Sistem Koordinat Tiga Dimensi

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Sebelumnya kita telah mengenal dan menggunakan sistem koordinat dalam pelajaran matematika. Sistem koordinat yang sering dipakai adalah sistem koordinat kartesius atau kartesian. Sistem koordinat ini biasa dipakai untuk menggambarkan garis dalam sistem persamaan linier dan sistem persamaan kuadrat. Dalam fungsi juga menerapkan sistem koordinat untuk menggambarkan setiap pasangan terurut himpunan penyelesaiannya. Bangun datar dan bangun ruang juga mempergunakan sistem koordinat ini untuk menggambarkan bangun serta untuk menentukan turunan rumusnya. Dalam integral juga diperlukan sistem koordinat untuk menentukan bentuk dan menghitung luas maupun volume benda putar atau benda pejal. Sistem koordinat menjadi sangat penting dalam mempelajari matematika tingkat atas dan lanjut. Hampir setiap submaterinya menggunakan sistem koordinat. Oleh karena itu, dalam makalah ini kami menjelaskan mengenai materi sistem koordinat, khususnya sistem koordinat tiga dimensi. 1.2 Rumusan Masalah 1. Pengertian sistem koordinat tiga dimensi. 2. Grafik dalam ruang dimensi tiga. 3. Vektor dalam ruang dimensi tiga 1.3 Tujuan Untuk mengetahui dan mempelajari sistem koordinat tiga dimensi, mulai dari pengertian, kategori dan grafik serta vektor dalam ruang dimensi tiga.

1

BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sejarah Singkat Sistem Koordinat Dua orang Perancis telah berjasa atas gagasan tentang sistem koordinat. Pierre de Fermat adalah seorang pengacara yang menggemari matematika. Pada tahun 1629, ia menulis sebuah makalah yang pada dasarnya menggunakan koordinat untuk mendeskripsikan titik – titik dan kurva – kurva. Rene Descartes adalah seorang ahli filsafat yang berpikir bahwa matematika dapat membuka kunci alam semesta. Ia menerbitkan La Geometrie pada tahun 1637. Buku itu sangat terkenal dan walaupun memang menekankan aljabar dalam memecahkan masalah – masalah geometri, orang hanya menjumpai suatu petunjuk tentang koordinat disana. Berdasarkan siapa yang mempunyai gagasan pertama kali, Fermat sepantasnya mendapat pengakuan yang utama. Akan tetapi, sejarah bisa menjadi hal yang membingungkan. Koordinat dikenal sebagai koordinat Cartesius, yang dinamakan menurut nama Rene Descartes. 2.2 Koordinat Cartesius Dalam sebuah bidang, gambarkanlah dua garis real, satu mendatar dan satu lainnya tegak, sedemikian sehingga keduanya berpotongan pada titik – titik nol dari kedua garis tersebut. Dua garis itu dinamakan sumbu – sumbu koordinat. Perpotongannya diberi tanda O dan disebut titik asal. Menurut perjanjian, garis yang mendatar dinamakan sumbu sumbu x dan garis yang tegak dinamakan sumbu y.Setengah bagian positif dari sumbu x adalah kekanan dan setengah bagian positif dari sumbu y adalah keatas. Sumbu – sumbu membagi bidang menjadi empat daerah, yang disebut kuadran – kuadran yang diberi tanda I, II, III, dan IV.

2

y

2 1

II

III

I x

-2 -1 O -1 1 -2

2

IV

Setiap titik pada bidang sekarang dapat dinyatakan dengan sepasang bilangan, yang dinamakan koordinat – koordinat Cartesiusnya. Jika garis – garis mendatar dan tegak yang melalui P masing – masing memotong sumbu x dan sumbu y di a dan b, maka P mempunyai koordinat ( a,b ). Kita sebut ( a,b ) sebagai pasangan berurutan bilangan – bilangan, karena akan berbeda jika urutannya dibalik. Bilangan pertam a dalah koodinat x atau absis dan bilangan kedua b adalah koordinat y atau ordinat. Sebaliknya, ambil sembarang pasangan terurut (a,b) bilangan – bilangan real. Garis tegak meelalui a pada sumbu x dan garis mendatar b pada sumbu y bertemu di titik P, koordinatnya adalah ( a,b ). -2 b .P(a,b) 1 x

O a

3

2

2.1 Koordinat Kartesius dalam Dimensi Tiga Dimensi tiga merupakan suatu konsep abstrak yang memiliki panjang, lebar, tinggi dan ruang. Oleh karena itu, dimensi tiga sering diterjemahkan sebagai geometri ruang. Koordinat cartesius tiga dimensi digunakan untuk menggambarkan suatu objek baik satu dimensi, dua dimensi maupun tiga dimensi. Dalam sistem koordinat kartesius, dimensi tiga digambarkan memalui tiga sumbu, yaitu sumbu ; x, y, z.

4

BAB III PEMBAHASAN 3.1 Pengertian Sistem Koordinat Tiga Dimensi Sistem koordinat tiga dimensi adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada ruang. Pada sistem koordinat tiga dimensi letak suatu titik pada umumnya dinyatakan dalam koordinat cartesius dan koordinat bola. 3.1.2 Koordinat Cartesius Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat. Sistem koordinat yang paling umum adalah koordinat cartesius. Jika kita berbicara ruang dua dimensi, maka koordinat cartesius dua dimensi memiliki pusat di O dan dua sumbu koordinat yang saling tegak lurus, yaitu x dan y. Selannjutnya koordinat cartesius dua dimensi dapat diperluas menjadi cartesius tiga dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y, dan z.

O

Sistem koordinat cartesius dalam ruang tiga dimensi dapat digolongkan kedalam dua kategori yakni, sistem tangan kiri dan sistem tangan kanan. Menurut

5

kebiasaan yang baku dalam penggambaran sumbu koordinat cartesius, pada sistem tangan kanan sumbu y dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah positif masing – masing ke atas. Kemudian sumbu x tegak lurus kertas dengan arah positif menuju kita. Dinamakan tangan kanan karena jika jari – jari tangan kanan dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif, ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif. Untuk sistem tangan kiri memiliki sumbu x dan sumbu z terletak pada bidang kertas dengan arah positif masing – masing ke kanan dank ke atas. Kemudian sumbu y tegak lurus kertas dengan arah positif menuju kita. Dinamakan tangan kiri karena jika jari – jari tangan kiri dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif, ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif.

Sistem tangan kanan

Sistem tangan kiri

Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, bidang – bidang xy, xz dan yz, yang membagi ruang menjadi delapan oktan. Terhadap tiap titik P dalam ruang berpadanan suatu bilangan ganda tiga berurut ( x, y, z), yaitu koordinat cartesiusnya, yang mengukur jarak – jarak berarahnya dari tiga bidang itu.

6

Oktan-oktan I, II, III dan IV diatas bidang xy dan lainnnya dibawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, VIII berturut-turut berada tepat dibawah oktan oktan I, II, III dan IV. Pada gambar berikut berturut-turut adalah contoh letak titik P (2,3,4) dan Q (4,-2,3)

x

NO

Titik P(x, y, z) pada :

Bilangan-bilangan

1

Oktan I

X>0

y>0

z>0

2

Oktan II

X0

z>0

7

3

Oktan III

X0

y0

5

Oktan V

X>0

y>0

z