SISMIQUE REFLEXION ET REFRACTION : LES PRINCIPES DE BASE

SISMIQUE REFLEXION ET REFRACTION : LES PRINCIPES DE BASE.

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Djeddi Mabrouk. Sismique Réflexion et Réfraction: Les Principes de Base.Departement de Géophysique. FHC-Université M’Hamed Bougara de Boumerdes. Algérie 9/2016 INTRODUCTION RAPPEL DES CARACTERISTIQUES ELASTIQUES DES SOLIDES - Module d’allongement, Coefficient de Poisson, Module de Coulomb et Module d’incompressibilité. - Relations entre différents coefficients statiques d’élasticité, Coefficients dynamiques d’élasticité - Relations entre les constantes élastiques et les vitesses de propagation des ondes sismiques

PROPAGATION DES ONDES ELASTIQUES DANS UN MILIEU ISOTROPE ET HOMOGENE. -

Le potentiel scalaire et Le potentiel vecteur Propagation des ondes sismiques. Différents types d’ondes sismiques : ondes de volume (𝑷 et 𝑺 ) Ondes de surface : ondes de Rayleigh, de Love, de stoneley et onde de Scholte, Méthodes Mathématiques de séparation des ondes de surface, Atténuation du Ground- Roll.

CARACTERE DISPERSIF DES ONDES DE SURFACE - Relation entre la vitesse de groupe et la vitesse de phase,methodes de mesure de la dispersion, Extraction de la dispersion. Inversion de la dispersion des ondes de surface. Calcul du module de cisaillement.

RAPPEL SUR LES OPERATEURS DIFFERENTIELS BIBLIOGRAPHIE

1

INTRODUCTION Les méthodes de prospection sismique réflexion et réfraction reposent sur le principe de la propagation des ondes élastiques dans un milieu (roche ou un sous- sol) .Parmi ces deux méthodes, la sismique réflexion fournit des images (échographies) détaillées du sous-sol en deux(2) ou trois (3) dimensions avec une assez bonne résolution. La sismique réflexion constitue le principal procédé d’investigation indirecte pour déterminer notamment les structures (position et géométrie du réflecteur sismique, vitesse sismique du milieu) du sous-sol en prospection pétrolière, à terre comme en mer. Sa profondeur d’investigation peut atteindre jusqu’à quelques kilomètres.

RAPPEL DES SOLIDES

CARACTERISTIQUES

ELASTIQUES

DES

La théorie de l’élasticité des matériaux est à la base de la transmission des ondes sismiques. Le comportement des ondes élastiques est intimement lié aux propriétés élastiques du milieu dans lequel elles se propagent, d’où avant d’aborder les principes des méthodes sismiques, il est indispensable de rappeler brièvement certains paramètres ou modules élastiques pour un corps soumis à une contrainte, sans subir une déformation permanente. La relation contrainte-déformation en élasticité fut découverte à la fin du 17 eme siècle presque simultanément par Mariotte et Young. Le module d’élasticité fut introduit en 1807 par Young (1773-1829). Tout matériau soumis à des contraintes se déforme .En général tout matériau soumis à des contraintes subit grosso modo deux types de comportement.

2



Un comportement élastique dit domaine d’élasticité. Les contraintes qui agissent sur les matériaux sont assez faibles pour qu’elles n’engendrent pas des déformations permanentes .C’est le cas des matériaux (y compris les roches et sols) se trouvant à des températures et des pressions relativement faibles. Ils peuvent être considérées comme parfaitement élastiques, à condition que les déformations dont elles étaient l’objet, soient petites. Le comportement élastique (domaine d’élasticité) est défini par :

- Une relation de proportionnalité entre contrainte appliquée et la déformation du corps (relation linéaire entre contrainte et déformation). - Une réversibilité de la déformation c’est-à-dire lorsque la contrainte qui a provoqué la déformation élastique cesse d’agir, le corps retrouve son état initial. 

Un comportement plastique. La phase contrainte déformation est suivie par un comportement irréversible de différentes natures .C’est un comportement non linéaire entre la déformation et la contrainte.

Les propriétés élastiques des matériaux sont régies par la loi de Hooke qui exprime une relation de proportionnalité entre contraintes au taux de déformations d’un milieu, relations que l’on peut établir par les modules d’élasticité et de cisaillement qui sont des coefficients intrinsèques à chaque matériau. La contrainte 𝜹 se définit comme la force par unité de surface. Si la force 𝑭 agit perpendiculairement à la surface , il s’agit alors d’une contrainte de compression ou de tension suivant la direction de la force tandis que dans le cas d’une contrainte de cisaillement, la force 𝑭 agit parallèlement à la surface 𝑺. Les contraintes de tension ou de compression font varier le volume mais non pas la forme d’un matériau, alors que des contraintes de cisaillement modifient la forme et non pas le volume d’un corps matériel.

3

Module d’allongement Le module d’allongement ou module d’élasticité (longitudinale) de Young 𝑬 ou encore module de traction se définit par le rapport contrainte/ déformation pour un matériau élastique isotrope dans une simple compression ou dilatation linéaire.

𝑬 =

𝜹 𝜺

=

𝑭/𝑺 ∆𝒍/𝒍

=

𝑭/𝑺 (𝒍−𝒍𝟎 )/𝒍

𝑭/𝑺 : Etant la force ou la contrainte appliquée par unité de surface. ∆𝒍/𝒍 : Étant l’allongement relatif du matériau (ou le raccourcissement) par unité de longueur sous l’effet de la contrainte. Ainsi, une tension 𝑻 appliquée sur les faces perpendiculaires d’un parallépipède rectangle engendre un allongement ∆𝒍 des arêtes parallèles à l’axe de la Tension 𝑻. Le module de Young caractérise la résistance du matériau à la déformation uniaxiale. Il est lié aux vitesses des ondes de cisaillement 𝑽𝒔 par la relation.

𝑬 = 2. 𝒅. 𝑽𝟐𝒔 (𝟏 + 𝝈)

(module de Young dynamique)

𝑽𝑺 : Etant la vitesse des ondes de cisaillement (ondes transversales) 𝒅 ∶ Étant la masse volumique (densité) 𝝈 : Etant le coefficient de Poisson Ou encore :

𝑬 = 𝒅.

𝑽𝟐𝒑 (𝟏−𝟐 𝝈)(𝟏+ 𝝈) (𝟏− 𝝈)

𝑽𝒑 : Etant la vitesse des ondes primaires (ondes longitudinales) Lorsqu’on connait que

𝑽𝒑 , le module de Young 𝑬 est déduit en

supposant 𝝈=0.25

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Ainsi, la loi de Hooke stipule que la déformation 𝜺 subie par un corps est proportionnelle à la contrainte 𝜹 qui lui est appliquée .Le coefficient de proportionnalité étant le module de Young 𝑬. Fig.1

𝜹 = 𝑬. 𝜺 Le module de Young est lié aux propriétés du milieu. Dans un réseau cristallin le comportement élastique des matériaux correspond à des petits déplacements réversibles des atomes tout autour de leur état d’équilibre. La distance d’équilibre entre atomes correspond à un minimum d’énergie. Sous l’agissement d’une force, les atomes s’écartent de leur position d’équilibre accompagnée d’une augmentation d’énergie. Une réaction due aux forces de liaison (force de rappel) tendant à rapprocher les atomes provoque la réaction.

Fig 1 Loi de Hooke

5

Coefficient de Poisson La tension 𝑻 relative ∆𝒅/𝒅 rapport de la coefficient de 𝝈=

qui a provoqué l’allongement ∆𝒍 se suit d’une contraction des arêtes perpendiculaires à la direction de la tension .Le contraction latérale à la dilatation longitudinale est appelé Poisson 𝝈 (Siméon Denis Poisson, 1781 − 1840) . Fig.2

(𝒅 − 𝒅𝟎 )/𝒅 ∆𝒅/𝒅 = (𝒍 − 𝒍𝟎 )/𝒍 ∆𝒍/𝒍

Il est

défini tel que :

𝝈=

𝟑𝑲−𝟐𝝁 𝟐(𝟑𝒌+𝝁)

𝟏

𝑬

𝟐

𝟔𝑲

= −

Il est sans unité, dans la plupart des cas compris dans l’intervalle [0 et 0.50]

=

𝝀 𝟐(𝝁+𝝀)

le coefficient de Poisson est

Le coefficient de Poisson peut être également(en relation avec les déformations) défini comme étant :

𝛔= −

𝛆𝐲 𝛆𝐱

= −

𝛆𝐳 𝛆𝐱

La mesure des temps d’arrivée puis la détermination des vitesses de propagation des ondes transversales et longitudinales permet de calculer le coefficient de Poisson. Pour un milieu isotrope, le coefficient de Poisson est :

𝝈=

𝑽𝟐𝒑 −𝟐𝑽𝟐𝒔 𝟐(𝑽𝟐𝒑 −𝑽𝟐𝒔 )

Fig 2 . Relation de la contraction latérale à la dilatation longitudinale

6

Module de Coulomb Le module de Coulomb 𝝁 (𝑜𝑢 𝑮) est également appelé module de rigidité, module de glissement ou encore module de cisaillement. L’effet d’une contrainte de cisaillement appliquée sur les faces parallèles d’un pararallélépipède est de provoquer, sur chacune de ces faces, une déformation dite de cisaillement sans changement du volume global. Le rapport contrainte/déformation de cisaillement est appelé module de Coulomb. Il a pour expression. fig3. 𝑭 𝑺

= 𝝁.

∆𝑿 𝒍

, soit

𝝉 = 𝝁 . 𝒕𝒈 𝜸 ≈ 𝝁 . 𝜸

(pour les petites

déformations) 𝑭 𝑺

: Contrainte appliquée parallèlement par unité de surface.

𝜸=

∆𝑿 𝒍

Déformation de cisaillement

Fig3. Déformation de cisaillement.

𝝁 rend compte de la résistance du matériau à changer de forme .Pour les liquides parfait 𝝁 = 𝟎 , 𝑬 = 𝟎 et 𝝈 = 𝟎. 𝟓 Une contrainte de cisaillement change la forme d’un corps matériel et non son volume.

7

Module d’incompressibilité Lorsqu’un matériau de volume 𝑽 est soumis à une pression uniforme 𝑷 dans toutes les directions, la variation de volume ∆𝑽/𝑽 est proportionnelle à la pression 𝑷. ∆𝑽 𝑽

𝟏

=

𝑲

𝑷

ou

𝑲=

𝑷 ∆𝑽 𝑽

Le module d’incompressibilité est appelé également module global d’élasticité. Plus 𝑲 est grand, plus il est difficile de réduire le volume du matériau sous l’effet de la pression 𝑷 .L’inverse de 𝑲 est appelé module de compressibilité 𝜷

avec 𝜷 =

𝟏 𝑲

RELATIONS ENTRE DIFFERENTS STATIQUES D’ELASTICITE

COEFFICIENTS

Pour un matériau homogène, isotherme et parfaitement élastique, les paramètres précédemment mentionnés, sont qualifiés de statiques (mesurés au laboratoire) car ils sont reliés entre eux selon les relations suivantes :

𝑬 = 𝟑𝑲 (𝟏 − 𝟐 𝝈 ) = 𝟐𝝁(𝟏 + 𝝈 ) =

𝑲=

𝝁=

𝟗𝑲𝝁 𝝁+𝟑𝑲

𝟏 𝑬 𝟐 𝝁(𝟏 + 𝝈 ) . = . 𝟑 𝟏−𝟐𝝈 𝟑 𝟏−𝟐𝝈

𝟏 𝟐

.

𝑬 𝟏+ 𝝈

=

𝟑 𝟐

.

𝑲(𝟏−𝟐𝝈 ) 𝟏+𝝈

𝟐𝝁 𝟏−( ) 𝟏 𝑬 𝟑𝑲 𝝈= − = 𝟐𝝁 𝟐 𝟔𝑲 𝟐+( ) 𝟑𝑲

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Relations entre 𝑬, 𝑲 et 𝝈 et les constantes de Lamé(𝝁 , 𝝀).

𝑬= 𝑲= 𝝈=

𝝁(𝟑𝝀 + 𝟐𝝁 ) 𝝁+ 𝝀 𝟑𝝀+𝟐𝝁 ) 𝟑

𝝀 𝟐(𝝁 + 𝝀)

𝝀 + 𝟐𝝁 =

𝝀=

𝑬. 𝝈 (𝟏 + 𝝈)(𝟏 − 𝟐 𝝈)

𝑬(𝟏 − 𝝈) (𝟏 + 𝝈)(𝟏 − 𝟐 𝝈)

Le module d’Young 𝑬 et le coefficient de Poisson 𝝈 sont les deux principaux paramètres qui s’obtiennent facilement à partir des mesures expérimentales.

COEFFICIENTS DYNAMIQUES D’ELASTICITE La mesure des temps d’arrivée des ondes sismiques puis la détermination des vitesses des ondes transversales 𝑽𝒔 et longitudinales 𝑽𝒑 et la densité 𝒅 du milieu permettent de calculer aisément les coefficients dynamiques d’élasticité .Toutefois , ces coefficients ou modules dynamiques d’élasticité sont légèrement différents des modules statiques.

𝝁𝒅 = 𝒅. 𝑽𝟐𝑺 𝝀𝒅 = 𝒅. (𝑽𝟐𝒑 − 𝟐𝑽𝟐𝒔 ) = 𝒅. 𝑽𝟐𝒑 − 𝟐𝝁𝒅 𝑽𝒑 𝟐

𝝀𝒅 ⁄𝝁𝒅 = ( ) − 𝟐 𝑽 𝒔

𝝀𝒅 . 𝒅 = 𝒁𝟐𝒑 − 𝟐𝒁𝟐𝒔

9

𝝁𝒅 . 𝒅 = 𝒁𝟐𝒔 𝒁𝒑 = 𝒅. 𝑽𝒑 Impédance acoustique de l’onde longitudinale 𝑃 𝒁𝒔 = 𝒅. 𝑽𝒔 Impédance acoustique de l’onde de cisaillement (transversale) 𝑺

𝑬𝒅 = 𝒅. 𝑽𝟐𝑺 .

(𝟑𝑽𝟐𝒑 .−𝟒 𝑽𝟐𝒔 ) 𝑽𝟐𝒑 − 𝑽𝟐𝒔

𝑲𝒅 = 𝒅. ( 𝑽𝟐𝒑 −

𝟒 𝟑

𝑽𝟐𝒔 )

𝑽𝟐𝒑 − 𝟐𝑽𝟐𝒔 𝑽𝟐𝒑 𝝈𝒅 = =𝟏− 𝟐. (𝑽𝟐𝒑 − 𝑽𝟐𝒔 ) 𝟐. (𝑽𝟐𝒑 − 𝑽𝟐𝒔 ) 𝝀𝒅 + 𝟐𝝁𝒅 = 𝒅. 𝑽𝟐𝒑 L’ indice d dans ces formules indique que les constantes élastiques utilisées dans les relations ci-dessus sont des constantes dynamiques obtenues par les méthodes de prospection sismique.Elles diffèrent des constantes élastiques mesurées en laboratoire. 𝒁 = 𝒅. 𝑽 est appelé impédance acoustique caractéristique d’un milieu de densité 𝒅 et de vitesse 𝑽. La densité des roches varie avec la profondeur sous l’effet de la compaction.Une roche est constituée par une matrice 𝒎 et par des vides remplis par un fluide .Le rapport volume des vides / volume total de la roche constitue la porosité 𝜱. La densité totale de la roche s’exprime par : 𝒅𝑻 = 𝒅𝒎 (𝟏 − 𝜱) + 𝜱 . 𝒅𝒇 𝒅𝑻 :

la densité totale

𝒅𝒎 : la densité de la matrice 𝒅𝒇 : la densité de fluide

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Les vitesses 𝑽𝒑 et 𝑽𝒔 des ondes sismiques et la densité dépendent de la composition minéralogique , du degré d’altération et de consolidation, ainsi que la nature granulaire de la matrice des roches sedimentaires ,la cimentation, la porosité et le contenu en fluide . La pression environnante et l’âge géologique exercent également un effet sensible sur la vitesse de propagation des ondes sismiques.

RELATIONS ENTRE LES CONSTANTES ELASTIQUES ET LES VITESSES DE PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES. Les vitesses des ondes longitudinales 𝑽𝒑

et transversales 𝑽𝒔 s’expriment

en fonction des constantes élastiques de la roche par les relations suivantes (tableau 1) :

𝑽𝒑 = √ 𝑽𝒔 = √ 𝑽𝒑 𝑽𝒔

𝑲𝒅 + 𝟒⁄𝟑 .𝝁𝒅 𝒅

𝝁𝒅 𝒅 𝑲

𝑬 (𝟏−𝝈𝒅 )

𝒅 = √ 𝒅(𝟏−𝟐𝝈

𝒅 )(𝟏+𝝈𝒅 )

𝑬

𝒅 = √ 𝟐𝒅.(𝟏+𝝈

𝒅)

𝟒

𝟏−𝝈𝒅

= √ 𝒅 + = √𝟏 𝝁𝒅 𝟑 𝟐

− 𝝈𝒅

Etant donné que le coefficient de Poisson est 𝝈 ≅ 0.25 pour la plupart des roches, on a alors :

𝑽𝒑 ≅ √𝟑 𝑽𝒔 Seules les ondes longitudinales se propagent dans un milieu liquide , car 𝝁 = 𝟎 pour les liquides d’où : 𝑽𝒑 = √

𝑲𝒅 𝒅

11

La détermination de 𝑽𝒑

par

les méthodes sismiques s’effectue

aucune difficuler alors que la vitesse 𝑽𝒔 des ondes de torsion difficile à réaliser du point de vue pratique.

sans reste

Types de matériau

𝒅(𝑮𝑷𝒂)

𝑲 (𝑮𝑷𝒂)

𝝁(𝑮𝑷𝒂)

𝑽𝒑 (𝒎/𝒔)

𝑽𝒔 (𝒎/𝒔)

𝑽𝒑 /𝑽𝒔

𝝈

Granite

25002700 2200-2800

20-55

17-24 13-32

26002800 1900-2600

20-60

10-38

10-55

2-19

20002400 1700-2000

5-45

2-10

0.01-10

0.005-0.5

26003300 24003400 20003700 12002700 10002000 50-400

1.6-1.8

25-65

42005900 45006200 37006300 27005600 20005000 100-2000

0.190.27 0.280.30 0.230.29 0.350.38 0.330.40 0.350.49

Basalte Calcaire Grès Marnes Sols

1.8-1.9 1.71.85 2-2.25 2-2.5 2-5

Tableau 1. Paramètres élastiques pour différents matériaux présents dans la subsurface (d’après Schön ,2011).

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PROPAGATION DES ONDES ELASTIQUES MILIEU ISOTROPE ET HOMOGENE.

DANS

UN

Les méthodes sismiques d’exploration et la seismologie se basent sur le fondement de la propagation des ondes sismiques (de nature mécanique, élastique ) dans le sous-sol. L’onde sismique est une transmission d’une perturbation (agitation) d’un milieu ou d’un materiau par rapport à sa position d’équilibre. Le milieu (particules du milieu ) soumis à cette agitation réagit pour revenir à son état initial de repos engendrant de ce fait des contraintes. Le fait qu’un corps dérangé exerce des contraintes internes pour retourner à sa position initiale est ce qui permet d’engendrer les ondes élastiques .Ces ⃗⃗ d’une particule du milieu qui varie ondes engendrent un déplacement 𝑼 dans le temps. Dans les milieux solides homogènes et isotropes, le déplacement ⃗ élastique ⃗𝑼 est solution de l’équation du mouvement (en présence des forces volumiques exterieures ).

𝒅.

⃗⃗ 𝝏𝟐 𝑼 𝝏𝒕𝟐

⃗ = 𝒅𝒊𝒗 𝜹 + 𝑭

En l’absence des forces volumiques , cette équation devient :

𝒅.

⃗⃗ 𝝏𝟐 𝑼 𝝏𝒕𝟐

= 𝛁. 𝜹 = 𝒅𝒊𝒗 𝜹

La propagation des ondes dans le sous-sol est traitée en considérant l’approximation de l’élastodynamique suivant les deux concepts : - La seconde loi de Newton (principe fondamental de la dynamique) - La loi de Hooke associant contrainte et déformation .Elle fait le lien entre les forces appliquées et les déformations qui en découlent .Il en résulte deux apports :  

Une déformation de compression ou de dilatation (avec changement de volume) Une déformation de cisaillement (changement de forme) c’est-àdire à volume constant.

L’utilisation de la loi de Hooke en supposant que le milieu est isotrope, élastique et homogène, qui donne une relation contrainte déformation ⃗ d’un point du milieu au passage entre la contrainte 𝜹 et le déplacement ⃗𝑼

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de l’onde élastique en fonction de 𝝀 et 𝝁 , il est possible de formuler l’équation de propagation d’une onde élastique sous la forme vectorielle. ⃗⃗ 𝝏𝟐 𝑼 ⃗ ) + 𝛁𝝁 . [𝛁𝑼 ⃗⃗ + (𝛁𝑼 ⃗⃗ )𝑻 ] + ( 𝝀 + 𝟐𝝁 )𝛁𝛁. ⃗𝑼 ⃗ − 𝝁 𝛁 × (𝛁 × ⃗𝑼 ⃗ ) 𝒅. 𝟐 = 𝛁𝝀 (𝛁. ⃗𝑼 𝝏𝒕 Cette équation est complexe pour être résolue analytiquement.Elle se simplifie suffisamment si l’on néglige les gradients des paramètres de Lamé (𝝀 , 𝝁).

⃗ 𝝏𝟐 ⃗𝑼 ⃗ − 𝝁 𝛁 × (𝛁 × ⃗𝑼 ⃗ )= 𝒅. 𝟐 = ( 𝝀 + 𝟐𝝁 ) 𝛁𝛁. ⃗𝑼 𝝏𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒊𝒗𝑼 ⃗⃗ −𝝁 . 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑼 ( 𝝀 + 𝟐𝝁 )𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑻 : étant le transposé ×

produit vectoriel

(𝝀 , 𝝁) : paramètres de Lamé 𝒅 ∶Masse volumique( densité) Etant donné que la divergence du tenseur des contraintes à pour expression

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒊𝒗𝑼 ⃗⃗ + 𝝁 . 𝒓𝒐𝒕 ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑼 𝒅𝒊𝒗 𝜹 = ( 𝝀 + 𝟐𝝁 )𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒊𝒗𝑼 ⃗⃗ + 𝝁 . ∆𝑼 ⃗⃗ ( 𝝀 + 𝟐𝝁 )𝒈𝒓𝒂𝒅

Le champ de déplacement est recherché en utilisant la décomposition de Helmholtz De l’équation :

𝒅.

⃗ 𝝏𝟐 ⃗𝑼 ⃗⃗ − 𝝁 𝛁 × (𝛁 × 𝑼 ⃗⃗ ) = = (𝝀 + 𝟐𝝁) 𝛁𝛁. 𝑼 𝝏𝒕𝟐

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒊𝒗𝑼 ⃗⃗ − 𝝁 . 𝒓𝒐𝒕 ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑼 (𝝀 + 𝟐𝝁)𝒈𝒓𝒂𝒅

(𝑨)

Il est possible de séparer les ondes de compression (longitudinale) et de cisaillement(transversales) en utilisant la décomposition de ⃗ en Helmholtz.Celle-ci à pour but de séparer le vecteur déplacement ⃗𝑼

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une composante de dilatation (scalaire) et une composante de cisaillement (potentiel vecteur), sous la forme :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜱 + 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑼 ⃗ = ⃗𝑼 ⃗ 𝒑 + ⃗𝑼 ⃗ 𝒔 = 𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗⃗ = 𝛁𝜱 + 𝛁 × ⃗𝜳 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝜳

(𝑩)

Le potentiel scalaire 𝜱 Si on considère un vecteur déplacement defini par un potentiel scalaire 𝜱 appelé potentiel de dilatation tel que :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜱 ⃗𝑼 ⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅

⃗ =𝟎 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒐𝒕 ⃗𝑼

avec

Il exprime la propagation d’une onde de compression 𝑷 grâce à cette notation , le champ de déplacement est séparé en :

⃗ × (𝛁 ⃗ 𝜱)=𝟎 - Une partie à rotationnel nul puisque 𝛁 ⃗ . (𝛁 ⃗ × 𝜳 ⃗⃗⃗ ) = 𝟎. - Une partie à divergence nulle (puisque 𝛁 En substituant les potentiels de Helmholtz dans l’équation (𝑨) on obtient : 𝟐𝜱

⃗ [( 𝝀 + 𝟐𝝁 ) 𝛁𝟐 𝜱 − 𝒅. 𝝏 𝛁

𝝏𝒕

⃗ × [𝝁𝛁 𝟐 𝜳 ⃗⃗⃗ − 𝒅. ]=𝛁 𝟐

⃗⃗⃗ 𝝏𝟐 𝜳 𝝏𝒕𝟐

] ©

L’expression de gauche de cette équation satisfait aux mouvements de compression – dilatation (onde 𝑷)

𝒅 𝝏𝟐 𝜱 𝛁 𝜱 − ( ) = 𝟎 𝝀 + 𝟐𝝁 𝝏𝒕𝟐 𝟐

Avec (

𝒅

) = 𝝀+𝟐𝝁

d’où

𝟏 𝑽𝟐𝒑

𝛁𝟐𝜱 −

𝟏 𝝏𝟐 𝜱 𝑽𝟐𝒑

𝝏𝒕𝟐

= 𝟎

avec

𝑽𝒑 = √

𝝀+𝟐𝝁 𝒅

=

𝑬(𝟏−𝝈)

√𝒅(𝟏−𝟐𝝈)((𝟏+𝝈) La

vitesse

𝑽𝒑 s’exprime en fonction des paramètres

milieu(coefficient de Poisson 𝝈 , module d’élasticité 𝑬 coefficients de Lamé 𝝀, 𝝁 ). 15

élastiques du ou encore des

La solution du type harmonique

𝛁𝟐𝜱 −

𝟏 𝝏𝟐 𝜱 𝑽𝟐𝒑 𝝏𝒕𝟐

donne l’équation suivante :

= 𝟎

(𝛁 𝟐 + 𝒌𝟐𝒑 ) 𝜱 = 𝟎

𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 – 𝒊 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕 de l’ équation :

avec 𝒌𝒑 =

𝝎 𝑽𝒑

𝒌𝒑 : nombre d’onde des ondes 𝑷 Lors du passage de l’onde 𝑷 dans le milieu les particules de celui-ci subissent un mouvement parallèle à la direction de propagation. (Fig.4)

Fig.4 .Comportement du milieu lors du passage de l’onde P

-

Le potentiel vecteur

L’expression de droite de l’équation © satisfait aux mouvements de cisaillement (onde Secondaire ).Le mouvement rotationnel est défini par le ⃗⃗ ,tel que ⃗𝑼 ⃗ = 𝒓𝒐𝒕 ⃗⃗ , l’équation d’onde devient : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝜳 potentiel vecteur ⃗𝜳

⃗⃗⃗ 𝒅 𝝏𝟐 𝜳 𝛁 𝜳 − ( ) = 𝟎 𝝁 𝝏𝒕𝟐 𝟐 ⃗⃗⃗

𝒅

𝟏

𝝁

𝑽𝟐𝒔

Avec ( ) =

𝝁

𝑬

𝑽𝒔 = √ = √ 𝒅 𝟐.𝒅(𝟏+𝝈)

d’où

⃗⃗ − 𝛁 ⃗𝜳 𝟐

𝟏 𝝏𝟐 ⃗𝜳 ⃗⃗ = 𝟎 𝑽𝟐𝒔 𝝏𝒕𝟐

Par analogie ,on obtient pour les ondes 𝑺 :

⃗⃗⃗ = 𝟎 (𝛁 𝟐 + 𝒌𝟐𝒔 )𝜳

𝒌𝒔 =

𝝎 𝑽𝒔

∶ le nombre d’ondes des ondes 𝑺 16

⃗⃗ décrit la propagation d’une onde de cisaillement Le potentiel vecteur ⃗𝜳 dont le déplacement se fait dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation Fig5. Les équations :

(𝛁 𝟐 + 𝒌𝟐𝒑 ) 𝜱 = 𝟎

et

⃗⃗⃗ = 𝟎 (𝛁𝟐 + 𝒌𝟐𝒔 )𝜳

sont habituellement appelées équations de Helmholtz.

Fig.5 .Comportement du milieu lors du passage de l’onde S

PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES Le principe des méthodes sismiques repose sur la propagation des ondes élastiques dans le milieu naturel.Lorsqu’on provoque en un point donné du sol un ébranlement de ses conditions d’équilibre, il se produit une perturbation. Les ondes élastiques de nature différente vont prendre naissance et se propagent dans toutes les directions à travers les couches à une vitesse qui dépend de la nature des roches .Le paramètre physique qui définit le milieu est donc son impédance acoustique 𝒁(𝒁 = 𝒅. 𝑽), produit de sa densité 𝒅 par la vitesse de propagation 𝑽 de l’onde considerée. Chaque terrain dispose d’une impédance acoustique propre : ainsi, la surface de séparation entre deux formations géologiques de nature différente constitue une discontinuité physique où les ondes élastiques subissent des phénomènes de réflexion et de réfraction.

Différents types d’ondes sismiques Si une contrainte est appliquée en un point de la surface du sol, trois types d’ondes sismiques prennent naissance et se propagent à des vitesses differentes. Elles se propagent en réalisant un transfert d’énergie sans transport de matière .Elles peuvent être réflechies, réfractées , ou diffractées.

17

-

Deux de ces types d’ondes sont des ondes de volume incluant les ondes longitudinales (𝑃) et les ondes transversales(𝑆)

-

Le troisième type d’ondes est représenté par les ondes de surface .Il est provoqué par les conditions spéciales d’interface.Il comprend une variété d’ondes dont les plus connues sont les ondes de Rayleigh , les ondes de Love, les ondes de stoneley.

Les ondes de volume Toute onde qui se propage réalise un transfert d’énergie sans transfert de matière.Dans un milieu élastique, homogène et infini, les ondes élastiques qui se propagent sont des ondes de volume.Elles ne sont pas dispersives, toutefois comme les milieux réels ne sont pas tout à fait élastiques et les ondes de volume peuvent être légèrement dispersives . Les ondes de volume comprennent deux types d’ondes. 1- Les ondes de compression (𝑷) Les ondes 𝑃 se caractérisent par un mouvement des particules parallèle à la direction de la propagation .Au moment de leur passage dans le milieu géologique, les particules faisant l’objet de déformations sans rotation sont soumises à des contraintes de compression et de dilatation. Elles sont appelées aussi ondes longitudinale (primaires) parce qu’elles sont les plus rapides et se propagent à une vitesse 𝑽𝒑 .Elles sont généralement enregistrées en premier par les géophones ou les hydrophones. Leurs vitesses et les constantes élastiques sont étroitement liées entre – elles par les relations suivantes :

𝑽𝒑 = √

𝑲𝒅 + 𝟒⁄𝟑 .𝝁𝒅 𝒅

𝑬 (𝟏−𝝈𝒅 )

𝒅 = √ 𝒅(𝟏−𝟐𝝈

𝒅 )(𝟏+𝝈𝒅 )

𝝀 + 𝟐𝝁

𝑽𝒑 = √

𝒅

Dans les fluides , le module de rigidité 𝝁 est nul .Ainsi 𝑽𝒑

𝑽𝒑 = √

𝝀 𝒅

=√

𝒌 𝒅

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est égal à :

Elles ont une polarisation rectiligne (ou linéaire) propagation de l’onde.

suivant la direction de

Les ondes 𝑷 se propagent dans tous les états de la matière(solide, liquide et gazeux).Dans l’air, les ondes longitudinales constituent les ondes sonores(𝑽𝒑 ≅ 𝟑𝟑𝟏 𝒎/𝒔). La vitesse 𝑽𝒑 , la longueur d’onde 𝝀 , la fréquence 𝒇 et la période 𝑻 sont liées entre elles par la formule :

𝑽𝒑 = 𝝀. 𝒇 =

𝝀 𝑻

Elles sont facilement enregistrées sur la composante verticale du géophone et constituent les ondes les plus utilisées en sismique d’exploration. 2- Les ondes secondaires Les ondes secondaires (ou ondes de cisaillement 𝑺) sont appelées également ondes de torsion.Elles sont moins rapides que les ondes primaires (𝑷) et elles se propagent à une vitesse 𝑽𝒔 inférieure à celle des ondes primaires .Pendant leur passage, le milieu est soumis à des contraintes de cisaillement.La direction d’oscillation des particules du milieu est perpendiculaire à celle de la propagation de l’onde 𝑺 . La vitesse 𝑽𝒔 des ondes transversales est reliée aux constantes élastiques par la formule : 𝝁

𝑬

𝑽𝒔 = √ = √ 𝒅 𝟐.𝒅(𝟏+𝝈) Dans un liquide parfait

𝑽𝒔 = 𝟎

( car 𝝁 = 0)

Les ondes secondaires se décomposent en deux ondes : -

Une onde avec une composante horizontale 𝑺𝑯 (polarisée horizontalement, perpendiculaire au plan d’incidence ) de vitesse 𝑽𝒔𝒉

-

Une onde avec une composante verticale 𝑺𝑽 verticalement dans le plan d’incidence ) de vitesse 𝑽𝒔𝒗

(polarisée

Comme les ondes 𝑷 , les ondes 𝑺 ont une polarisation rectiligne .Elles sont polarisées dans le plan tangent au front d’onde 𝑷.

19

Dans un milieu isotrope , les relations suivantes sont vérifiées.

𝑽𝒑 > 𝑽𝒔 𝑽𝒔𝒉 = 𝑽𝒔𝒗 L’excitation des ondes 𝑺 exigent l’utilisation des sources sismiques spécifiques peu commode à manipuler sur le terrain. L’enregistrement des ondes (𝑺) s’éffectue à l’aide de géophones horizontaux qui sont difficiles à implanter de manière horizontale. Elles sont plus difficiles à identifier que les ondes (𝑷) sur les enregistrements (sections temps).

Les ondes de surface La vitesse des ondes de surface est plus faible que celle des ondes 𝑷 et 𝑺 .Les ondes de surface sont les dernières à se manisfester sur un enregistrement (sismogramme).Par contre , ce sont des ondes qui ont les amplitudes les plus fortes à grandes distances , leur énergie s’ affaiblit exponentiellment en fonction de la profonddeur avec une baisse d’amplitude 1/√𝒓 Dans un milieu élastique infini ne peuvent exister que des ondes de volume (longitudinales et transversales ).Quand le milieu élastique infini est divisé en deux milieux aux propriétés élastiques différentes,leur surface de séparation donne naissance à des reflexions des ondes de volume qui vont se combiner pour générer un nouveau type d’ondes que l’on appelle les ondes de surface. Des travaux montrent que dans un milieu semi-infini, près de 67 % de l’énergie engendrée par une source sismique donnée se propage sous forme d’ondes de surface , et le reste sous forme d’ondes de volume (26% d’ondes de cisaillement et 7% ondes de compression) (Miller et Pursey (1955).

20

A l’inverse des ondes de volume , généralement indépendantes de la fréquence (très peu dispersives), les ondes de surface ont la grande caractéristique d’être dispersives c’est-à-dire la vitesse de groupe et la vitesse de phase se diffèrent si elles se propagent dans une structure verticalement inhomogène (stratifiée). Les ondes de surface se propagent parallèlement à la surface de séparation et dont les amplitudes décroient avec la distance perpendiculairement au plan de cette discontinuité. Les ondes de surfaces regroupent : -

les ondes de Rayleigh (découvertes par L. Rayleigh en 1885). les ondes de Love (decouvertes par A.Love en 1911). L’onde de stoneley. L’onde de Scholte.

Les ondes de Rayleigh, de Stoneley et de Scholte possèdent des mécanismes de propagation très semblables tandis que l’onde de Love possède un mécanisme de propagation diffèrent. Les ondes de surface les plus étudiées et couramment utilisées sont l’onde de Love et l’onde de Rayleigh .Dans un milieu stratifié, celles-ci sont des ondes dispersives. Leurs amplitudes sont plus grandes près de la surface, elles se réduisent d’une manière exponentielle avec la profondeur , et s’annulent à une profondeur à peu près égale à la longueur d’onde. En prospection sismique terrestre, les ondes de Rayleigh et de Love connues sous le nom de « Ground – Roll » forment un bruit nuisible à l’enregistrement des ondes de volume dont on ne peut jamais se débarasser complètement fig6. Elles se propagent dans les couches superficielles du sous-sol avec des vitesses relativement faibles comparables à celles des ondes transvesales avec un caractère basse fréquence (généralement inférieur à 20 -30 Hz ) et des longueurs d’ondes de quelques mètres à plus de 100 mètres environ.

21

22

Atténuation du Ground Roll Le Grouund –Roll est un bruit de surface , engendré à la surface du sol en utilisant des sources sismiques de type 𝑷 ou 𝑺𝑽. Il constitue un parasite amplement génant, car il est énergétique et son atténuation en sismique réflexion est impérative. L’atténuation du ground –roll peut être réalisée par différentes méthodes dont nous citons principalement : le filtrage en fréquence, le filtrage dans le domaine (𝒇, 𝒌), la transformation de Radon (𝝉, 𝒑), le mute , la transformée en ondelettes continue (𝑻𝑶𝑪) etc . Les ondes de surface sont ordinairement dispersives, c’est-à-dire que leur vitesse depend de leur fréquence .Cette dispersion produit une déformation de la forme de l’onde .On peut alors distinguer deux types de vitesses . - La vitesse de phase correspondant à la vitesse particulière.

à une fréquence

- La vitesse de groupe correspondant à la vitesse d’un paquet d’ondes( gamme de fréquence). La figure 7 montre avec clareté que l’atténuation des ondes de surface par expansion géométrique est généralement moins importante que celle des ondes de volume(𝑷 et 𝑺) .De ce fait, lors de la mesure des déplacements verticaux des particules de la surface de ce milieu , les ondes de surface , loin de la source, dominent dans le signal sismique enregistré.

23

Fig 7: sismogramme enregistré à la station de Dumont d’Urville( Terre d’Adelie)du seisme du 26 Décembre 2004 au large de Sumatra.On remarque que les ondes de surface arrivent plus tardivement que les ondes de volume.

L’ONDE DE RAYLEIGH Les ondes de Rayleigh résultent de l’interaction (interférences constructives) entre les Ondes 𝐏 et 𝐒𝐕 au voisinage de la surface du sol. C’est une onde confinée à la surface, sa divergence géométrique (atténuation géometrique) liant la répartition de l’énergie sur toute la surface du front d’onde n’est pas sphérique mais plutôt cylindrique.L’amplitude du déplacement particulaire est donc de 𝟏⁄√𝒓 .Cette propriété de divergence cylindrique représente la répartition géométrique de l’énergie sismique de l’onde plus petite que celle relative à la forme sphérique des fronts des ondes de volume (𝑷 et 𝑺) qui est de 𝟏⁄𝒓𝟐 . En présence de la couche altérée (WZ) agissant comme un guide d’onde , des ondes ressemblantes aux ondes de Rayleigh peuvent prendre naissance près de la surface du sol.Ces ondes, désignées ondes pseudoRayleigh, forment un bruit dispersif très fréquemment génant et masque fortement l’image sismique utile en prospection sismique.

24

Dans un milieu élastique homogène et isotrope, seules apparaissent des ondes de Rayleigh ; elles se propagent sur l’interface libre .L’amplitude du mouvement des particules décroit exponentiellement avec la profondeur, depuis la surface , devient négligeable à partir d’une profondeur égale à la longueur d’onde 𝜆 , et s’annule definitivement à environ 2 fois la longueur d’onde. Lors du passage de l’onde de Rayleigh les particules du milieu vibrent selon des ellipses dont le plan est parallèle à la direction de propagation et perpendiculaire à cette propagation (sous forme d’un mouvement elliptique-polarisation élliptique).fig8 La vitesse de propagation des ondes de Rayleigh est inferieure à celle des ondes 𝑆 𝑽𝑹 ≅ 𝟎. 𝟗𝑽𝒔 . Elle dépend fortement de celle des ondes de cisaillement et du coefficient de Poisson du milieu. L’onde de Rayleigh pour un milieu isotrope, homogène et parfaitement élastique est non dispersif .Sa vitesse de phase 𝑽𝑹 de propagation est donnée par la solution réèlle positive de l’équation de Rayleigh suivante : 𝑽𝑹 𝟔

𝑽𝑹 𝟒

𝑽𝒔

𝟐

𝑽𝑹 𝟐

𝑽𝒔

𝟐

[ 𝑽 ] − 𝟖 [ 𝑽 ] − 𝟖 { 𝟑 − 𝟐 [𝑽 ] } [ 𝑽 ] - 𝟏𝟔 { 𝟏 − [𝑽 ] } = 𝟎 𝑺

𝑺

𝒑

𝑺

𝒑

Cette équation est obtenue en imposant les conditions aux limites propres à toute onde de surface classique de propagation des ondes longitudinales 𝑷 et transversales 𝑺. Les deux principales conditions sont : - Les contraintes normales sont supposées nulles à la surface libre - L’amplitude de l’onde est nulle dans les régions très éloignées de la surface. Cette équation possède 6 racines qui ne dépendent que du coefficient de Poisson du milieu dans lequel l’onde de Rayleigh se propage. L’onde de Rayleigh

𝑽

correspond à la racine [ 𝑽𝑹 ] 𝑺

comprise entre 𝟎 et 𝟏.Il

n’existe qu’une racine et une seule verifiant cette condition pour toute valeur du coefficient de Poisson d’un milieu donné.

25

La vitesse 𝑽𝑹 de phase de l’onde de Rayleigh varie de 𝟎, 𝟖𝟕 𝑽𝑺 à 𝟎, 𝟗𝟔 𝑽𝑺 étant donné que le coefficient de Poisson change de 𝟎 à 𝟎, 𝟓.

Cas d’une couche superficielle Quand l’épaisseur de la couche superficielle est présumée grande comparée à la longueur d’onde, les ondes de Rayleigh seront non dispersives .Elles se propagent alors dans la couche superficielle avec une vitesse constante équivalente à 0.9194 de celle de l’onde transversale de la dite couche. Soit

𝑽𝑹 = 𝟎. 𝟗𝟏𝟗𝟒. 𝑽𝒔

L’Amplitude 𝑨 de L’onde de Rayleigh de fréquence 𝒇 et de vitessse de propagation 𝑽𝑹 dans le milieu en fonction de la profondeur 𝒁 est donnée par la relation. A = 𝟏, 𝟒𝟕. 𝒆

𝝎 )𝒁 𝑽𝑹

−𝟎,𝟑𝟗 (

- 𝟎, 𝟖𝟓 . 𝒆

𝝎 )𝒁 𝑽𝑹

−𝟎,𝟖𝟓 (

La composante horizontale( 𝑼𝒙 )du mouvement des ondes de Rayleigh à pour expression 𝑼𝒙 = 𝑫 ( 𝒆−𝟎,𝟖𝟒𝟕𝟓𝒌𝒛 - 𝟎, 𝟓𝟕𝟕𝟕𝟑 𝒆−𝟎,𝟑𝟗𝟑𝟑𝒌𝒛 ) 𝐒𝐢𝐧 𝒌(𝒗𝒕 − 𝒙) La composante verticale ( 𝑼𝒁 ) du mouvement aura pour expression 𝑼𝒁 = 𝑫 (−𝟎, 𝟖𝟒𝟕𝟓 𝒆−𝟎,𝟖𝟒𝟕𝟓𝒌𝒛 + 𝟏, 𝟒𝟔𝟕𝟗 𝒆−𝟎,𝟑𝟗𝟑𝟑𝒌𝒛 ) 𝐂𝐨𝐬 𝒌(𝒗𝒕 − 𝒙) 𝒗 : la vitesse 𝒕 : le temps 𝒙 : la direction horizontale de la source 𝒛 : la profondeur 𝑫: une fonction de k 𝒌: le nombre d’onde

26

le mouvement des ondes de Rayleigh est élliptique et rétrograde et sa composante verticale est 𝟏, 𝟓 fois plus grande que sa composante horizontalefig 8b. le mouvement horizontal disparait à une profondeur de 𝟎, 𝟏𝟗𝟐 de la longueur d’onde Dans un demi-espace homogène et isotrope , la vitesse des ondes de Rayleigh est directement fonction de la vitesse des ondes de volume 𝑽𝒔 et 𝑽𝒑 et ne dépend pas de la fréquence .Elle a pour expression : 𝑽𝟐𝑹

(𝟐 − 𝐕𝐑 =

𝝎 𝑲

=

𝑽𝟐𝒔

𝟐𝝅𝒇 𝑲

𝟐

) = 𝟒. √𝟏 −

𝑽𝟐𝑹 𝑽𝟐𝒑

. √𝟏 −

𝑽𝟐𝑹 𝑽𝟐𝒔

: répresente la vitesse de phase de l’onde de Rayleigh le

long de la surface avec 𝐕𝐑 < 𝐕𝐬 < 𝐕𝐩 . Etant donné que dans un milieu élastique, le rapport

𝑽𝟐𝑹

de son coefficient de Poisson 𝝈 , Victorov(1967)

a déterminé

𝑽𝟐𝒔

est dépendant une

formule de la vitesse 𝐕𝐑 en fonction de la vitesse 𝐕𝐬 et le coeficient de Poisson 𝝈 ( formule valable dans un milieu homogène ou les ondes de Rayleigh ne sont pas dispersives).

𝐕𝐬 = 𝐕𝐑

𝟏 + 𝝈 𝟏,𝟏𝟐 𝝈 + 𝟎,𝟖𝟕

soit

𝐕𝐑 =

𝟏,𝟏𝟐 𝝈 + 𝟎,𝟖𝟕 𝟏 + 𝝈

soit

𝐕𝐑 =

avec

𝟎,𝟕𝟏𝟖. 𝑽𝟐𝒑 − 𝑽𝟐𝒔 𝟎,𝟕𝟓𝟎 𝑽𝟐𝒑 − 𝑽𝟐𝒔

𝝈 =

. 𝐕𝐬

𝑽𝟐 𝒑 − 𝟐 𝑽𝟐 𝒔 𝑽𝟐 𝒑 𝟐 [ 𝟐 −𝟏 ] 𝑽𝒔

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𝐕𝐬

Direction de propagation

Fig.8 : (a) Comportement du milieu lors du passage de l’onde de Rayleigh.(b) Comportement de l’onde de Rayleigh avec la profondeur

Lors d’un seisme, les ondes de Rayleigh très énergétiques sont généralement enregistrées sur les trois composantes du sismomètre. Elles sont très destructrices notamment lorsque les seismes sont superficiels. Elles sont bien utilisées pour l’étude du manteau superieur.

LES ONDES DE LOVE Les ondes de Love decouvertes en 1911 par A.Love sont des ondes de cisaillement comme les ondes 𝑺 fig9 .Elles résultent de l’interférence entre les ondes 𝑷 et les ondes 𝑺𝑯. Leur mouvement particulaire est horizontal et donc parallèle à la surface .fig 9a. Elles n’existent que si le sol n’est pas homogène. Elles sont donc polarisées horizontalement .La direction de polarisation étant perpendiculaire à la direction de propagation. Elles prennent naissance lorsque le milieu semi-fini est surplombé d’une couche d’épaisseur finie, de plus faible vitesse, et ellemême délimitée par une surface libre .Le passage des ondes de Love dans le milieu provoque des déformations perpendiculaires à la direction de propagation, et parallèles à la surface libre.

28

C’est également comme l’onde de Rayleigh, une onde confinée à la surface, sa divergence géométrique est également cylindrique (𝟏⁄√𝒓 ).

(a)

(b)

Fig. 9. (a) Comportement du milieu lors du passage de l’onde de Love .(b) . Illustration de l’onde de Love sur un enregistrement sismique.

Les ondes de Love sont enregistrées essentiellement sur les composantes horizontales du sismomètre .Elles sont utilisées comme les ondes de Rayleigh pour l’étude du manteau dans les études séismologiques.

LES ONDES DE STONELEY Les ondes de Stoneley sont des ondes de surface qui prennent naissance sous conditions particulières à l’interface entre deux solides différents et qui se caractérisent par de grandes amplitudes fig 10.Elles correspondent à la composition de deux ondes de Rayleigh qui se propagent de part et d’autre de l’interface entre les deux solides.Leur vitesse de propagation est située entre la plus petite vitesse des ondes de Rayleigh parmi les deux solides pris séparément et la plus petite vitesse des ondes de volume.

29

Aux interfaces liquide /solide l’onde de Stoneley devient l’onde Scholte. L’onde de Stoneley constitue un bruit important en sismique de puits .Aux basses fréquence , elle est semblable aux ondes de tube en PSV(Profil sismique vertical). En prospection pétrolière elle est de plus en plus utilisée pour la détection des fractures en vue de l’évaluation de la perméabilité des formations géologiques.La vitesse de l’onde de Stoneley a pour expression dans une formation géologique saturée en eau (White 1983) 𝟏 𝑽𝟐𝒔

=

𝒅 𝒅𝒇

(

𝟏 𝑽𝟐𝒔𝒕

−

𝟏 𝑽𝟐𝒇

)

𝒅 : densité de la formation géologique 𝒅𝒇 : Densité du fluide contenu dans la formation géologique 𝐕𝐬 : vitesse des ondes de cisaillement(m/s) 𝐕𝐬𝐭 :vitesse de l’onde de stoneley(m/s) 𝐕𝐟 ∶ vitesse sismique dans le fluide (m/s)

Fig.10 Champ d’ondes enregistré par une sonde dans un puits (sismique de puits) .Le trou de forage constitue un guide d’onde ou des ondes de Stonely (onde de tube) prennent naissance.

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LES ONDES DE SCHOLTE Les ondes de Scholte prennent naissance sur les interfaces solide-liquide .Elles sont considérées comme un cas limite des ondes de Stoneley lorsque le module de cisaillement 𝝁 d’un des deux milieux tend vers zéro.C’est le cas en prospection sismique marine ou elles se propagent à l’interface entre l’eau et les sediments marins. En milieu non homogène les ondes de scholte deviennent dispersives .Leur amplitude diminue d’une manière exponentielle de part et d’autre de l’interface liquide-solide.Leur vitesse est inférieure à celle des ondes 𝑃 dans l’eau et dans les sediments marins .Elles se caractérisent également par une divergence géométrique cylindrique . Elles se propagent le long de l’interface fluide- sediments marins avec une très petite pénétration ce qui permet de les utiliser pour repérer les objets enterrés près de l’interface eau /sediments marins.

Mathématiques de séparation des ondes de surface La dispersion est péniblement identifiable dans le plan (𝒙, 𝒕) , il est alors indispensable de faire un changement de variable des signaux sismiques dans de nouveaux systèmes de coordonnées afin de rendre l’information sur la dispersion sismique sous une forme plus simple et facile à exploiter . l’utilisation des transformations mathématiques les plus employées pour extraire et identifier plus facilement la dispersion sont les domaines (𝒌 − 𝒇) , (𝝉 , 𝒑) , ( 𝒑 , 𝒇) etc . Ces transformations mathématiques se résument comme suit :

LA TRANSFORMEE EN F - K Les données sismiques représentées en (𝒙, 𝒕) sont tout d’abord corrigées de la divergence géométrique . Puis elles sont transformées dans le domaine (𝒇 − 𝒌) à l’aide de la Transformée de Fourier bidimentionnelle selon l’expression. +∞

𝑻(𝒇, 𝒌) = ∬

𝑻(𝒙, 𝒕)𝒆−𝒊(𝒌𝒙−𝝎𝒕) 𝒅𝒙. 𝒅𝒕

−∞

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et sa transformée inverse +∞

𝑻(𝒙, 𝒕) = ∬−∞ 𝑻(𝒇, 𝒌 )𝒆𝒊(𝒌𝒙−𝝎𝒕) 𝒅𝒇. 𝒅𝒌 La figure 15 illustre le passage au domaine( 𝒇, 𝒌 ) ou les ondes de surface (Ground –Roll) sont bien séparées nettement des autres types d’ondes.

Fig.15

:

Séparation du Ground –Roll dans le domaine( 𝒇, 𝒌 )

Cette figure montre que la transformation des données sismiques du plan 𝑥, 𝑡 (section sismique) et sa projection dans le plan de projection 𝑓, 𝑘 permet d’organiser les différents champs d’ondes et de les mieux séparés . LA TRANSFORMEE DE RADON La Transformée de Radon (Transformée de Hough) est une version qui consiste en la sommation selon 𝒙 de la section sismique suivant une droite de pente 𝒑 appelée lenteur apparente (paramètre de rai) et d’ordonnée à l’origine 𝝉 (intercept). +∞

𝑻( 𝝉 , 𝒑 ) = ∫

𝑻(𝝉 + 𝒑𝒙, 𝒙 ) 𝒅𝒙

−∞

𝝉(𝒑) = 𝒕(𝒙) − 𝒑𝒙

et

𝒑=

𝒅𝒕 𝒅𝒙

Cette équation montre qu’il s’agit d’une sommation de signaux sismiques le long d’une droite définie par les paramètres 𝝉 et 𝒑

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Par la suite, il faut appliquer à la trace sismique 𝑻( 𝝉 , 𝒑 ) la Transformée de Fourier selon l’intercept 𝝉 pour obtenir un champ d’ondes ( ).La linéairement converti dans le domaine 𝒇 − 𝒑 dispersion des ondes de surface apparaitra à travers les maxima d’énergie du plan ( 𝒇 − 𝒑 )

Caractère dispersif des ondes de surface La prospection sismique par ondes de surface repose sur le phénomène de dispersion. Celle-ci traduit la relation entre profondeur de pénétration des ondes sismiques de surface et les propriétés élastiques du milieu qui varient avec la profondeur .En effet si le milieu géologique dans lequel se propagent les ondes de surface possède des propriétés élastiques variables avec la profondeur, alors la vitesse des ondes de surface varie avec la longueur d’onde. Il en résulte que plus la longueur des ondes de surface est grande et plus la profondeur de pénétration est grande et inversement. La prospection sismique par ondes de surface repose sur la détermination des vitesses des ondes de surface en fonction de la fréquence puis d’obtenir la distribution verticale(avec la profondeur 𝒛) de la vitesse des ondes cisaillement 𝑽𝑺 . La partie superficielle du sous-sol est géneralement constituée d’une zone alterée (Weathered zone -WZ) de quelques mètres à quelques dizaines de mètres d’épaisseur . C’est une zone à faible vitesse de propagation des ondes sismiques et à fort coefficient d’amortissement jouant le rôle d’un guide d’onde pour les ondes de surface. la variation des vitesses (𝑽𝒔 ) des ondes de cisaillement en profondeur causée par de nombreux facteurs tels que les stratifications lithologiques de différentes impédances acoustiques(hétérogeinité verticale) et bien d’autres va rendre les ondes de Rayleigh dispersives .On parle alors d’ondes sismiques de surface dites « pseudo-Rayleigh »(Ground-Roll).

33

Le phénomène de dispersion des ondes de surface traduit la relation entre la profondeur de pénétration des ondes de Rayleigh et les propriétés élastiques du milieu.Les ondes de surfaces de composantes fréquentielles les plus elévées(faibles longueurs d’ondes) provoqueraient un mouvement des particules localisé plus en surface alors que le mouvement des particules du milieu plus profond seront liées aux composantes de basses fréquences (grandes longueurs d’ondes) Elle (la dispersion) provoque un changement de la forme du train d’ondes avec la distance dans la partie superficielle du sous-sol ce qui signifie que les différentes harmoniques des ondes de surface se propagent à des vitesses différentes contrairement un milieu non dispersif ou les ondes de surface se propageront à la même vitesse, quelle que soit leurs fréquences . En milieu dispersif des ondes de differentes fréquences se propagent à des vitesses differentes : la vitesse de groupe et la vitesse de phase fig 11 -

La vitesse de groupe correspond à la vitesse de propagation de l’enveloppe du train d’ondes (vitesse du paquet énergétique)

-

La vitesse de phase correspond à la distance parcourue par unité de temps , par un point de phase constante de la surface d’onde :par exemple un pic( maximum) ou un creux (minimum) ou encore un point nul du signal fig11b.

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(a)

(b)

Fig11 exemples illustrant la difference entre la vitesse de groupe 𝑉𝑔 et la vitesse de phase 𝑉𝑝ℎ sur un enregistrement réel (a)

Relation entre la vitesse de groupe et la vitesse de phase La vitesse de propagation de l’énergie (vitesse de groupe )

𝒎 𝒅𝝎 𝒅(𝑽𝒑𝒉 . 𝒌) 𝑽𝒈 ( ) = = 𝒔 𝒅𝒌 𝒅𝒌 La vitesse de phase (retard de phase) 𝒎

𝝎

𝒔

𝒌

𝑽𝒑𝒉 ( ) =

La relation entre la vitesse de groupe et de phase est fig 12:

𝑽𝒈 = 𝑽𝒑𝒉 + 𝒌

𝒅(𝑽𝒑𝒉 ) 𝒅𝒌

= 𝑽𝒑𝒉 + 𝝎

𝒅(𝑽𝒑𝒉 ) 𝒅𝝎

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𝑘 ∶ nombre d’onde (𝒌 =𝟐𝝅⁄𝝀 = 𝟐𝝅𝒇⁄𝑽𝒑𝒉 𝜆:

en 𝑚−1 )

longueur d’onde (m)

𝑽𝒈 = 𝑽𝒑𝒉 + 𝝀

𝒅(𝑽𝒑𝒉 ) 𝒅𝝀

Fig 12. Comparaison des vitesses de groupe pour les ondes de Rayleigh se propageant dans les océans et les continents modifée (d’après Bath , 1979). C’est grâce à l’étude de la dispersion des ondes de Rayleigh qu’il a été possible de distinguer la structure des océans de celle des continents.

36

METHODES DE MESURE DE LA DISPERSION Il existe plusieurs méthodes de détermination de la dispersion qui ne diffèrent par leur principe que très peu l’une de l’autre. Les méthodes les plus connues sont: - Steady State Rayleigh Method (SSRM) - Spectral analysis of surface Waves (SASW) - Multichannel Analysis of Surface Wave (MASW) Dans toutes les méthodes ,on procède comme suit : - Acquisition des signaux temporels (𝑥, 𝑡) - Extraction de la courbe de dispersion des vitesses de phase empérique propre du milieu exploré . - Proceder à l’inversion de la courbe de dispersion pour obtenir 𝑽𝑺 (𝒛). Dans ce qui suit ,on décrit très brièvement quelques méthodes :

1ere METHODE Steady State Rayleigh Method (SSRM) C’est la plus simple méthode de mesure de la dispersion .Une source du type vibreur émet un signal monofréquence (𝒇) sinusoidal sur la surface du sol. Elle permet de déterminer la longueur d’onde émise dans le sol.Un seul géophone est déplacé jusqu’à annuler le déphasage entre le signal émis par la source et le signal enregistré par le géophone .La distance entre la source d’émission et le géophone est alors un multiple de la longueur d’onde 𝝀𝑹 .Une fois 𝝀𝑹 connue et connaissant la fréquence utilisée par le vibreur, la vitesse de l’onde de Rayleigh (vitesse de phase 𝐕 𝐑) est déterminée selon l’expression :

𝐕𝐑

=

𝝀𝑹 (𝝎) .𝝎 𝟐𝝅

= 𝒇. 𝝀𝑹 =

𝝎 𝒌

On répète l’opération de mesure pour différentes fréquences permet de tracer la courbe 𝐕 𝐑 = 𝑭 (𝝀𝑅 )

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ce qui

2 EME METHODE Spectral analysis of surface Waves La méthode dite « Spectral analysis of surface comprend deux variantes

Waves

(SASW) »

- La méthode « controlled Source SASW » (combinaison de SSRM et SASW) - La méthode « Continuous Surface Waves(C.S.W) La méthode SASW est constituée d’un dispositif de mesure comprenant une source vibratoire et deux géophones séparés par une distance ∆𝑿 = (𝑿𝟏 − 𝑿𝟐 ).On peut aussi utiliser différentes géométries et différentes sources sismiques. 𝑿𝟏 : distance entre la source et le premier géophone 𝑿𝟐 : distance entre la source et le second géophone La source émis un signal sismique monofréquence .Chaque géophone enregistre un signal sismique ,bien entendu chaque signal enregistré se caractérise par son spectre d’amplitude et le spectre de phase ( après transformée de Fourier) .Les phases des deux signaux sismiques arrivant respectivement aux deux géophones 𝑮𝟏 et 𝑮𝟐 sont respectivement 𝜶𝟏 et 𝜶𝟐 . la distance ∆𝑿 entre les deux géophones étant connue. Pour rappel la Transformée de Fourier (𝑻𝑭) d’un signal 𝑺(𝒕) est :

𝑻𝑭[𝑺𝟏 (𝒕)] = 𝑺𝟏 (𝝎) = │𝑺𝟏 (𝝎)│𝒆𝒊𝜶𝟏(𝝎) : pour le signal enregistré par le 1er géophone

𝑻𝑭[𝑺𝟐 (𝒕)] = 𝑺𝟐 (𝝎) = │𝑺𝟐 (𝝎)│𝒆𝒊𝜶𝟐(𝝎) : pour le signal enregistré par le 2eme géophone

𝜶𝟏 (𝝎) =

𝝎 𝑿 + 𝜶𝒔𝟏 (𝝎) 𝑽𝑹 (𝝎) 𝟏

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𝝎 𝑿 + 𝜶𝒔𝟐 (𝝎) 𝑽𝑹 (𝝎) 𝟐

𝜶𝟐 (𝝎) =

La différence entre les spectres de phase est :

∆𝜶(𝝎) = 𝜶𝟐 (𝝎) − 𝜶𝟏 (𝝎) 𝜶𝒔 (𝝎) : terme de source (inconnu) comme

∆𝜶(𝝎) =

𝝎 𝑽𝑹 (𝝎)

(𝑿𝟐 − 𝑿𝟏 ) =

avec 𝝎 𝑽𝑹 (𝝎)

𝜶𝒔𝟏 (𝝎) = 𝜶𝒔𝟐 (𝝎) . ∆𝑿

La différence entre les temps d’arrivée 𝒕𝟏 (𝝎) et 𝒕𝟐 (𝝎)

∆𝒕(𝝎) = 𝒕𝟐 (𝝎) − 𝒕𝟏 (𝝎) = ∆𝜶(𝝎) 𝝎

=

∆𝑿 𝑽𝑹 (𝝎)

est :

∆𝜶(𝝎) 𝝎

= ∆𝒕(𝝎)

Et la vitesse de phase de l’onde de Rayleigh est :

𝑽𝑹 (𝝎) =

∆𝑿 ∆𝒕(𝝎)

𝝎 = 𝟐 𝝅𝒇 :pulsation ou fréquence angulaire

La construction de la courbe de dispersion necessite la réalisation de plusieurs points de tir. Le choix de la distance 𝑿𝟏 entre la source sismique et le 1er géophone et la distance le plus proche se détermine selon: 𝝀 𝟒

≤ 𝑿𝟏

La distance ∆𝑿 inter géophones est prise comme suit : 𝝀 𝟏𝟔

≤ ∆𝑿 ≤ 𝝀

Tokimatsu et al(1991)

La différence de phase ∆𝜶(𝝎) entre deux géophones est déduite pour chaque fréquence tour à tour selon les formules précédentes.Dans le cas d’une source impulsionnelle , il est fait appel a l’analyse intersepectrale (cross-correlation de deux signaux).

39

En outre, les différentes valeurs de 𝑿𝟏 et ∆𝑿 sont couvertes soit en gardant la même position de la source d’émission des ondes sismiques , soit en conservant le point milieu des deux géophones commun à toutes les mesures. TROISIEME METHODE La méthode dite MASW (Multichannel Analysis of Surface Wave) utilise un dispositif classique de sismique petite réfraction composé de N géophones séparés chacun par une distance ∆𝑿 constante fig.13 .La source provoquant le signal sismique est un marteau ou une masse, un vibroseis ou autres. .On construit la courbe de dispersion à partir des signaux temporels enregistrés par les N géophones .

Fig13.Dispositf de mesure de la dispersion par la methode MASW

Extraction de la dispersion. La courbe de dispersion nécessite donc l’acquisition des données acquises en surface à l’aide d’un dispositif dans le domaine spatio-temporel , suivie d’une analyse spectrale des signaux sismiques et la construction de la courbe de dispersion proprement dite (représentation de vitesse de phase en fonction de la fréquence) fig 14 .C’est grâce à la courbe de dispersion des ondes de Rayleigh fig 14b qu’il est possible de déterminer la distribution verticale de la vitesse des ondes transversales 𝑽𝒔 .

40

(a)

(b)

Fig.14. Image sismique de l’onde de Rayleigh sur un enregistrement sismique .(b) La courbe de dispersion 𝑉𝑅 = 𝐹 (𝑓) corespondant à (a) . Tirées de Grandjean et al.

La courbe de dispersion fait ressortir. -

Un premier mode (fondamental .BF) allant de 5 à 40 Hz pour des vitesses de phase variant entre 750m/s à 1100m/s Le second mode allant de 40 à 80 Hz pour des vitesses de phase allant de 1100 à 1500m/s Le dernier mode (HF) de fréquences superieures à 80Hz pour des vitesses de phase 1900m/s.

La dispersion des ondes de Rayleigh peut être estimée à partir des données sismiques acquises en surface dans le plan (𝒙, 𝒕) fig 14a . La représentation des variations du signal sismique en fonction du temps 𝒕 en un point de détection situé à une distance 𝒙 de la source d’émission constitue la trace sismique 𝑻(𝒙, 𝒕). L’ensemble des traces sismiques(section temps) fournit une description du milieu dans le plan distance-temps (𝒙, 𝒕).

41

INVERSION DE LA DISPERSION DES ONDES DE SURFACE L’omniprésence des ondes de surface sur les enregistrements en prospection sismique et sur les sismogrammes en séismologie et leur caractère dispersif s’avère très utile à la détermination des caractéristiques élastiques des milieux explorés. La construction de la courbe de dispersion est reliée aux paramètres de cisaillement du milieu exploré et son inversion permet d’estimer son modèle de vitesse de cisaillement fig.16. Il est possible d’effectuer un zonage ou profilage des paramètres mécaniques (élastiques) des couches superficielles du sous-sol ce qui représente un avantage non négligeable sur les techniques de forage.

d (a) (𝒃) Fig16.(a) Pointé de la courbe de dispersion( vitesse de phase de l’onde de surface en fonction de la fréquence).(b) : Modèle de vitesse obtenu après inversion de la courbe de dispersion (source Gexplore)

42

CALCUL DU MODULE DE CISAILLEMENT En prospection sismique pétrolière les ondes de surface sont quasiment omniprésentes dans les enregistrements sismiques ; elles constituent des bruits organisés de basses fréquences qui affectent la qualité des données de la sismique réflexion. Toutefois leur lien direct avec les propriétés mécaniques du sous-sol dans lequel elles se propagent et leurs propriétés dispersives permettent d’utiliser la variation de leur vitesse à différentes profondeurs pour estimer la variation de la vitesse des ondes de cisaillement en fonction de la profondeur et de mesurer le module de cisaillement recherché. Le calcul de ce dernier s’opère comme suit : La vitesse de l’onde de Rayleigh 𝑽𝑹 est définie par la relation :

𝑽𝑹 = 𝑪 . 𝑽𝒔 𝑽𝒔 : étant la vitesse des ondes transversales 𝑪 : étant un coefficient qui dépend du coefficient de Poisson 𝝈 Le coefficient 𝑪 est défini par l’équation suivante :

𝑪𝟔 − 𝟖𝑪𝟒 + 𝟖 [𝟑 −

𝟏−𝟐𝝈 𝟏−𝝈

] 𝑪𝟐 − 𝟏𝟔 [𝟏 −

𝑪 = 𝟎. 𝟖𝟕𝟓

pour

𝝈=𝟎

𝑪 = 𝟎. 𝟗𝟏𝟗

pour

𝝈 = 𝟎. 𝟐𝟓

𝑪 = 𝟎. 𝟗𝟓𝟓

pour

𝝈 = 𝟎. 𝟓𝟎

𝟏−𝟐𝝈 𝟐(𝟏−𝝈)

] =𝟎

Le module de cisaillement est calculé à l’aide de l’expression :

𝝁= 𝒅

. 𝑽𝟐𝒔

𝑽𝟐𝑹 = 𝒅. ( 𝟐 ). 𝑪

43

Le Gradient le gradient d’une fonction scalaire A(x,y,z) noté ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒈𝒓𝒂𝒅 A , est un vecteur décrit par : 𝝏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑮𝒓𝒂𝒅 𝑨(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝛁 𝑨 = ( 𝒊 + 𝝏𝒙

𝛁= (

𝝏 𝝏𝒙

𝒊+

𝝏 𝝏𝒚

𝒋+

𝝏 𝝏𝒛

𝝏 𝝏𝒚

𝒋+

𝝏 𝝏𝒛

⃗ )𝑨 = ( 𝒌

𝒅𝑨 𝒅𝒙

𝒊 +

𝒅𝐀 𝒅𝒚

𝒋+

𝒅𝐀 𝒅𝒛

⃗) 𝒌

⃗) 𝒌

La divergence

⃗ ,notée : La divergence d’une fonction vectorielle ⃗𝑩 ⃗⃗ =𝛁. 𝑩 ⃗⃗ = ( 𝝏 𝒊 + 𝒅𝒊𝒗𝑩 𝝏𝒙

+

𝝏𝑩𝒛 𝝏𝒛

𝝏 𝝏𝒚

𝒋+

𝝏 𝝏𝒛

⃗ ).( 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋 + 𝑩𝒁 𝒌 ⃗ ) = ( 𝝏𝑩𝒙 + 𝒌

𝝏𝑩𝒚

𝝏𝒙

𝝏𝒚

)

Le laplacien Le laplacien d’une fonction scalaire 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧) est une fonction scalaire . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨 s’appelle l’opérateur laplacien ; on écrit La divergence du vecteur 𝒈𝒓𝒂𝒅

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝛁. 𝛁 = ∆ = ( 𝝏 𝒊 + 𝒅𝒊𝒗 (𝒈𝒓𝒂𝒅 𝝏𝒙

𝝏𝟐 𝝏𝒚𝟐

+

𝝏 𝝏𝒚

𝒋+

𝝏 𝝏𝒛

⃗ ). ( 𝝏 𝒊 + 𝒌 𝝏𝒙

𝝏 𝝏𝒚

𝒋+

𝝏 𝝏𝒛

⃗ )= 𝒌

𝝏𝟐 𝝏𝒙𝟐

+

𝝏𝟐 𝝏𝒛𝟐

⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) est une fonction vectorielle Le laplacien d’une fonction vectorielle 𝑩 , il a pour expression :

⃗⃗ =∆ 𝑩𝒙 𝒊 ∆𝑩

+ ∆ 𝑩𝒚 𝒋

+ ∆ 𝑩𝒁 ⃗𝒌

44

Le rotationnel ⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) est telle que : Le rotationnel d’une fonction vectorielle 𝑩

⃗𝑩 ⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋 + 𝑩𝒛 ⃗𝒌 ⃗ est un vecteur , noté 𝒓𝒐𝒕 ⃗ , defini par : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑩 Le rotationnel de ⃗𝑩

⃗ = 𝛁 × ⃗𝑩 ⃗ = ( 𝝏𝑩𝒛 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑩 𝒓𝒐𝒕

𝝏𝑩𝒚

𝝏𝒚

=

(

𝒊 𝝏

| 𝝏𝒙 𝑩𝒙

𝝏 𝝏𝒙

𝒊 + 𝒋 𝝏

𝝏 𝝏𝒚

𝝏

𝒋+

𝝏𝒛

𝝏𝒛

⃗ 𝒌

)𝒊 + (

𝝏𝑩𝒙 𝝏𝒛

−

𝝏𝑩𝒛 𝝏𝒙

)𝒋 + (

) × ( 𝑩𝒙 𝒊 + 𝑩𝒚 𝒋

𝝏𝑩𝒚 𝝏𝒙

−

𝝏𝑩𝒙 𝝏𝒚

) ⃗𝒌

⃗ + 𝑩𝒁 𝒌

) =

⃗ 𝒌 𝝏

𝝏𝒚

𝝏𝒛

𝑩𝒚

𝑩𝒛

|

Avec le vectoriel laplacien :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝒅𝒊𝒗 ⃗𝑩 ⃗⃗ = 𝒈𝒓𝒂𝒅 ⃗ ) – ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ) = 𝛁 (𝛁. ⃗𝑩 ⃗ ) − 𝛁 × ( 𝛁 × ⃗𝑩 ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗𝑩 ∆𝑩 𝒓𝒐𝒕(𝒓𝒐𝒕 ⃗ ) = 𝛁 × (𝛁. ⃗𝑩 ⃗ ) − 𝛁 𝟐 ⃗𝑩 ⃗ 𝛁 × ( 𝛁 × ⃗𝑩

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

45

et

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