Sintesis Matematicas 11º IV Periodo 2017

SUMATORIAS

INTEGRAL DEFINIDA

TEROREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

INTEGRACION POR PARTES

PROBABILIDAD CONDICIONADA En esta sección examinaremos como la probabilidad de ciertos eventos depende o se ve influida por la ocurrencia de otros. Para ello veremos algunos ejemplos. Ejemplo 1: Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. La primera semilla sea roja? b. La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja? Solución: a) La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:

b) La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por

, y se lee: la probabilidad de B2 dado R1.

Esta probabilidad , puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes. Veamos la situación en un diagrama de árbol:

Ejemplo 2: Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila? Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss} El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es: A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa} El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, A∩B ={aaa} y

De donde

Nótese que es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

VARIABLES ALEATORIAS Una variable aleatoria es una variable que toma valores numéricos determinados por el resultado de un experimento aleatorio. No hay que confundir la variable aleatoria con sus posibles valores. Ejemplos: -

nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)

-

nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora

-

tiempo que esperan los clientes para pagar en un supermercado…

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas: - Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo. - Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir. Ejemplo: Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias: a) nº de páginas de un libro → discreta b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua c) nº de preguntas en una clase de una hora → discreta d) cantidad de agua consumida en un mes → continua En la práctica se consideran discretas aquellas variables para las que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales.

Distribución de una variable aleatoria Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3, …, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, …, pk. Estas cantidades función de masa.

pi  P{x  xi } reciben el nombre de función de probabilidad o

Ejemplo: Variable aleatoria x = nº de caras al lanzar tres veces una moneda. Posibles valores de x: 0, 1, 2 y 3 Lanzar 3 veces moneda: E = {CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}

La variable aleatoria x: -

Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}

-

Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX}

-

Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC}

-

Toma valor 3 cuando {CCC}

La función de probabilidad es:

p0  P{x  0}  1 / 8  0,125 p1  P{x  1}  3 / 8  0,375 p2  P{x  2}  3 / 8  0,375

p3  P{x  3}  1 / 8  0,125 Función de probabilidad de x: 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0

1

2

3

¿Cuál será la probabilidad de que salgan al menos dos caras?

P{x  2}  P{x  0}  P{x  1}  P{x  2}  0,125  0,375  0,375  0,875 ¿y la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?

P{1  x  2}  P{x  1}  P{x  2}  0,375  0,375  0,75

DISTRIBUCION BINOMIAL Sea un experimento aleatorio en el que sólo puedan darse dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que ocurra su complementario, que llamaremos fracaso  Se conoce la probabilidad de ocurrencia del suceso A, y por lo tanto la de su complementario:

Se repite el experimento n veces en las mismas condiciones (independencia). Se define la variable aleatoria Binomial: X: “nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) en n realizaciones independientes del experimento” Por lo tanto, X: 0, 1, 2 , 3, ……n

Función de probabilidad

n es el número de pr uebas. r es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de f racaso.

Ejemplo: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son af icionados a la lectura:

¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?

n = 4 p = 0.8 q = 0.2 B(4, 0.8)

¿Y cómo máximo 2?