Sintesis Binomial

DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ASIGNATURA: Antenas NRC: 2547 Tema: Síntesis Binomial de Antenas PROFESOR: Ing. Dario Duque INTEGRANTES: Jefferson Curay Sebastián Noboa Luis Tapia Alex Suquillo 04/08/2016 - SANGOLQUÍ

1TEMA Arreglo Binomial de Antenas

2INTRODUCCIÓN En el ámbito de arreglo de antenas existen varios parámetros de control para darle forma al patrón de radiación global del arreglo como:     

Configuración geométrica, lineal, circular o plana. Distancia de separación entre los elementos. Amplitud de excitación de cada elemento. Fase de excitación de cada elemento. Patrón relativo de cada elemento.

Dichos parámetros pueden ser establecidos siguiendo distribuciones específicas (binomial, Tchebysheff, triangular, senoidal, etc.), esto permite que el diagrama de radiación de la antena básica puede aprovecharse para sintetizar un diagrama de radiación que cumpla con determinadas especificaciones tales como: Patrón de radiación, factor de arreglo, ancho de haz, Directividad o red de lóbulos). [1]

3DISTRIBUCIÓN BINÓMICA O BINOMIAL 3.1 CARACTERÍSTICAS

DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Los arreglos de antenas binomiales permiten por medio de cambios de amplitud en la excitación de sus elementos, controlar el nivel de los lóbulos secundarios, a expensas de ensanchar el lóbulo principal, y por lo tanto reducir la directividad del arreglo.

3.2 COEFICIENTES

DE EXCITACIÓN DEL ARREGLO BINOMIAL El arreglo binomial de antenas toma su nombre al definir el polinomio como un binomio elevado a una potencia y desarrollarlo según la fórmula de Newton, con el resultado:

p ( z )= ( z +1 )

N−1

( )( ) ( )

( )

= N−1 + N−1 z + N−1 z 2 +…+ N−1 z N−1 0 1 2 N−1

Los coeficientes del polinomio pueden obtenerse a través de la expresión de los números combinatorios:

( N−1 ) ! an = N −1 = n ( N −1−n ) ! n !

( )

O bien siguiendo los coeficientes del triángulo de pascal

Fig. 1 Triángulo de Pascal.

Fig. 2 Síntesis binomial de antenas.

3.3 FACTOR

DE

ARREGLO

El ángulo eléctrico del arreglo está definido como:

ψ=β 0 d cos ( θ ) +α El polinomio de la distribución polinómica solo presenta un cero, situado en

ᴪ =π , o bien en

e jᴪ =−1,

haz entre ceros en

ᴪ

pero con multiplicidad N-1. Por tanto el ancho de es

2π

y no existen lóbulos secundarios. Sin

embargo, en el diagrama de radiación del espacio real puede aparecer un lóbulo debido a un lóbulo principal periódico (o lóbulo de difracción) que entra en el margen visible. Si la amplitud de este lóbulo es inferior a la del principal, puede definirse en este caso un nivel de lóbulo principal a secundario. El factor de arreglo viene definido por N−1

FA= ∑ an e n=0

jn ( β 0 d cos ( θ ) +α )

N−1

( )

jn β FA= ∑ N−1 e ( n n=0

FA=( e jψ +1 )

FA=e

j ( N −1)

ψ 2

0

d cos ( θ ) +α )

N−1

(e

j

ψ 2

−j

+e

|FA|=2N −1 cos N −1

ψ ( N −1 ) 2

)

=e

j ( N −1 )

ψ 2

2N −1 cos N−1

( ψ2 )

( ψ2 ) N−1

| ( )|

FA ( Ψ )= 2 cos

Ψ 2

3.4 DIRECTIVIDAD

Y ANCHO DE HAZ DE MEDIA POTENCIA Desafortunadamente, expresiones cercanas para la directividad y para el haz de media potencia no están disponibles. [2] Sin embargo, debido al diseño usando

d=λ /2 nos guía a un patrón sin lóbulos menores, aproximando

expresiones para el haz de media potencia y al directividad máxima en términos del número de elementos o la longitud del arreglo y son dados respectivamente por:

1.06 = ( 2λ ) ≅ √1.06 N−1 √2 L/ λ

HPBW d=

√

Do=1.77 √ N=1.77 1+

2L λ

A pesar de ser aproximaciones estas expresiones se pueden ocupar efectivamente para el diseño de arreglos binomiales con un haz de media potencia o directividad deseada.

3.5 COMPARACIÓN

DE FACTOR DE ARREGLO A continuación se presentan algunos tipos de excitación, para arreglos de 5 elementos, comparadas con el caso de la uniforme. Como se puede observar la máxima directividad la da la uniforme, y el mínimo nivel de lóbulos secundarios el caso ideal de la binomial, aunque a expensas de una fuerte reducción de su directividad. [3]

Fig. 3 Comparación de arreglos con diferentes tipos de excitación en coordenadas polares.

Fig. 4 Comparación de arreglos con N=7de diferentes tipos de excitación en coordenadas rectangulares.

4EJEMPLOS Y SIMULACIÓN 4.1 EJEMPLO # 1 Para un arreglo binomial de 10 elementos con una separación de

d=λ /2

entre cada componente. Determine: a) Expresión del factor del arreglo b) El ancho de haz de media potencia c) Directividad máxima. d) Realiza la simulación del factor de arreglo en coordenadas rectangulares y polares.

a) Expresión del factor de arreglo: Para determinar los coeficientes de excitación de una arreglo binomial, usamos el triángulo de Pascal y reemplazamos según el número de elementos del arreglo (m), de la siguiente manera:

a0 =1

a1=4

|

N−1

FA ( γ )= ∑ ai e i =0

a2=6

a3 =4

a 4=1

2

|

j iγ

FA ( γ )=|1+4 e +6 e jγ

j2γ

+4 e

j3γ

+e

j4γ 2

FA ( γ )=( 6+ 8 cos ( γ )+ 2cos ( 2 γ ) )

FA ( Ψ )=2 N−1 cos N−1

FA ( Ψ )=16∗cos 4

Para calcular

( Ψ2 )=2

5−1

cos 5−1

|

2

( Ψ2 )=2 cos ( Ψ2 ) 4

4

( Ψ2 )

Ψ

tenemos:

Ψ =k∗d∗cos ( θ ) Ψ=

2π ∗0.5 λ∗cos ( θ ) λ Ψ =π cos ( θ )

b) Ancho de haz de media potencia. λ 1.06 1.06 HPBW d= ≈ = =0.53 rad 2 √ N−1 √ 5−1

( )

( 2λ )=30.36 °

HPBW d=

c) Ancho de haz de media potencia. Do ≈ 1.77 √ N =1.77 √ 5=3.9578 Do=5.97 dB c) Realiza la simulación del factor de arreglo en coordenadas rectangulares y polares.

Código de programación en MatLab %Binomial N=5; %numero de elementos y=-2*pi:pi/150:2*pi; %rango de variacion FA=abs(2.*cos(y/2)).^(N-1); %factor de agrupacion %Grafica para factor de arreglo en coordenadas cartesianas figure(1) plot(y,FA); title('FACTOR DE ARREGLO PARA N = 7 - cartesianas') xlabel('y'); ylabel('|FA(y)|'); grid on %Grafica para factor de arreglo en coordenadas polares figure(2) polar(y,FA,'r'); title('FACTOR DE ARREGLO PARA N = 7 - polares') xlabel('Q'); ylabel('|FA(Q)|'); factorial1=1; for i=1:N-1 factorial1=factorial1*i; end n=1; factorial2=1; factorial3=1; disp(sprintf('Polinomio P(z)')) disp(sprintf('%d',factorial3)) for n=1:N-2 m=(N-1-n); nf=1; for i=1:n nf=nf*i; end nf=nf; for j=1:m factorial2=factorial2.*j; if(j==(N-1-n)) factorial3=factorial1./(nf.*factorial2); disp(sprintf('%dz^(%d)',factorial3,n)) factorial2=1; end end end factorial3=1; disp(sprintf('%dz^(%d)',factorial3,N-1))

Resultados:

Fig. 5 Factor de Arreglo Binomial para N=5 en coordenadas rectangulares.

El factor del arreglo está dado por la ecuación

|FA(Ψ )|=16 cos 4

( Ψ2 )

Donde el valor de su módulo es 16 cuando el coseno es máximo; también podemos observar que al reducir el número de antenas pertenecientes al arreglo, este va a disminuir el valor de su módulo, e inversamente proporcional si agregamos más elementos a nuestro arreglo.

Fig. 6 Factor de Arreglo Binomial para N=5 en coordenadas polares.

En coordenadas polares observamos que si reducimos el número de elementos del arreglo este se asemejara a la gráfica de un cardiode, reduciendo su módulo; caso contrario al incrementar el número de elementos la gráfica se vuelve más ovalada y concéntrica.

El Polinomio P(z) resultante es:

Fig. 7 Polinomio (z) Resultante.

p ( z )= (1+ z )5 p ( z )=1+ 4 z +6 z 2+ 4 z 3 + z 4

4.2 EJEMPLO # 2 Una agrupación de 7 antenas isotrópicas, espaciadas con d = 0.8λ, se alimenta en fase con amplitudes 1:4:6:8:6:4:1 (distribución binomial). Calcular, la expresión del factor de arreglo la Directividad y graficar el factor de agrupación. Si N = 7, entonces:

|FA(Ψ )|=2N −1 cos N −1

|FA(Ψ )|=27−1 cos 7−1

|FA(Ψ )|=26 cos6

Ψ =k ∙d ∙ cos(θ)

( Ψ2 )

( Ψ2 )

|FA(Ψ )|=64 cos 6 Factor de arreglo:

( Ψ2 )

( Ψ2 )

Ψ=

2π ∙ 0.8 λ ∙ cos (θ) λ

Ψ =1.6 π ∙ cos(θ)

Directividad: D=1.77 √ N D=1.77 √ 7 D=4.68 D=10 log 4.68

D=6.7052 dBi Simulación: Código MatLab %Binomial clc close all clear N=7; %numero de elementos y=-2*pi:pi/150:2*pi; FA=abs(2.*cos(y/2)).^(N-1);

%factor de agrupacion

%Factor de arreglo cartesianas figure(1) plot(y,FA); title('Factor de arreglo N = 7') xlabel('y'); ylabel('|FA(y)|'); grid on %Factor de arreglo polares figure(2) polar(y,FA,'r'); title('Factor de arreglo N = 7') xlabel('Q'); ylabel('|FA(Q)|'); factorial1=1; %Coeficientes for i=1:N-1 factorial1=factorial1*i; end

n=1; factorial2=1; factorial3=1; disp(sprintf('Polinomio P(z)')) disp(sprintf('%d',factorial3)) for n=1:N-2 m=(N-1-n); nf=1; for i=1:n nf=nf*i; end nf=nf; for j=1:m factorial2=factorial2.*j; if(j==(N-1-n)) factorial3=factorial1./(nf.*factorial2); disp(sprintf('%dz^(%d)',factorial3,n)) factorial2=1; end end end factorial3=1; disp(sprintf('%dz^(%d)',factorial3,N-1))

Factor de arreglo (cartesianas)

Fig. 8 Factor de Arreglo Binomial para N=7 en coordenadas cartesianas.

Factor de arreglo (polares):

Fig. 9 Factor de Arreglo Binomial para N=7 en coordenadas polares.

Polinomio binomial:

Fig. 10 Polinomio (z) Binomial

p ( z )= (1+ z )6 2

3

4

5

6

p ( z )=1+ 6 z +15 z + 20 z +15 z +6 z + z

5CONCLUSIONES 

Los arreglos binomiales reducen los lóbulos secundarios, reducen la directividad y aumentan el ancho de haz de media potencia, esto puede





resultar ser muy útil en ciertas aplicaciones en donde se necesita obtener un solo lóbulo pudiendo llegar a la ganancia requerida añadiendo más elementos al arreglo sin que se generen lóbulos secundarios. La relación de lóbulo principal a lóbulo secundario teóricamente debería ser nula, debido a que este arreglo binomial no presenta lóbulos secundarios, sin embargo en la práctica es posible que aparezca un lóbulo de difracción que puede ser visible en el patrón de radiación. A pesar de no contar con expresiones exactas de directividad y haz de media potencia, se tienen aproximaciones en término del número de elementos o longitud del arreglo efectivas para el diseño de arreglos binomiales.

6BIBLIOGRAFÍA [1] The upv.es Website. [Online] Available: http://www.upv.es/antenas/Documentos_PDF/Notas_clase/Agrupaciones.pdf [2] The ocw.upm.es Website. [Online]. Available: http://ocw.upm.es/teoria-de-lasenal-y-comunicaciones-1/radiacion-ypropagacion/contenidos/apuntes/tema5_2004.pdf [3] The catedras.facet.unt.edu.ar Website. [Online]. Available:http://catedras.facet.unt.edu.ar/labtel/wpcontent/uploads/sites/99/2015/09/ELECTROMAGNETISMO-2.pdf