Simulink I

SIMULINK I SIMULACIÓN DE SISTEMAS

Melanio A. Coronado H. I.Q. Universidad del Atlántico 2014

Melanio A. Coronado H.

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Contenido SECCIÓN I

ESTRUCTURA DE SIMULINK

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Lección 1. Estructura de Simulink

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SECCIÓN II SISTEMAS LINEALES - DOMINIO TIEMPO

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Lección 2. Sistemas de Primer Orden SISO

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Lección 3. Sistemas de Segundo Orden SISO

47

Lección 4. Sistemas de Orden Mayor SISO

65

Lección 5. Sistemas en Serie no Interactuantes

77

Lección 6. Sistemas en Serie Interactuantes

89

Lección 7. Espacio de los Estados

97

SECCIÓN III SISTEMAS LINEALES - DOMINIO LAPLACE

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Lección 8. Sistemas de Primer Orden SISO

119

Lección 9. Sistemas de Segundo Orden SISO

131

Lección 10. Sistemas en Serie no Interactuantes

145

Lección 11. Sistemas en Serie Interactuantes

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Lección 12. Sistemas con Tiempo Muerto

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Bibliografía

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SECCIÓN

I

ESTRUCTURA DE SIMULINK

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Lección 1. ESTRUCTURA DE SIMULINK 1.1 INTRODUCCIÓN Simulink es un software que funciona bajo la plataforma de Matlab muy útil para modelar, simular y analizar sistemas lineales o no lineales, tanto en lazo abierto como en lazo cerrado. Simulink permite realizar estudios dinámicos de sistemas tanto en el dominio del tiempo como el de Laplace, aplicar las funciones de transferencia en la forma estándar, la de zeros y polos y la del espacio de los estados. Lo anterior hace de Simulink una herramienta útil para simular dinámica y control de sistemas.

1.2 ACCESO A SIMULINK Para acceder a Simulink se requiere abrir el espacio de trabajo de Matlab y presionar el icono “Simulink” que aparece en la barra de herramientas o digitar la palabra clave “simulink” con letras minúsculas en el editor de comandos. Con lo anterior se despliega la interfaz gráfica titulada “Simulink Library Browser” (Ver Figura 1.1) que despliega los nombres de un conjunto de librerías que reúnen, cada una de ellas, los bloques que han de instalarse dentro del ambiente de simulación para realizar con ellos las operaciones matemáticas que exige la solución del modelo objeto de la simulación.

Figura 1.1. Simulink Library Browser

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Se hace necesario desplegar el espacio de trabajo de Simulink ya sea presionando el icono “Create a new model” que se encuentra en la barra de herramientas de la ventana “Simulink Library Browser” o desplegando el menú “File” y seleccionando sucesivamente “New” y “Model” (Ctrl + N). En la Figura 1.2 se muestra desplegada la ventana espacio de trabajo de Simulink que por defecto se denomina “untitled” a la derecha de la ventana “Simulink Library Browser”

Figura 1.2. Simulink Library Browser y Espacio de trabajo de Simulink

1.3 LIBRERÍAS DE SIMULINK Al accesar a Simulink se despliega una ventana que en su sección izquierda muestra un árbol de opciones de trabajo. La primera rama del árbol es la básica de Simulink y, generalmente por defecto, aparecen desplegadas las librerías incluidas. A la derecha de dicho árbol se observan bloques con los mismos nombres de las librerías de Simulink. Los nombres de las librerías son: Continuous, Discontinuities, Discrete, Logic and Bit Operations, Look-Up Tables, Math Operations, Model Verification, Model-Wide Utilities, Ports & Subsystems, Signal Attributes, Signal Routing, Sinks, Sources y User-Defined Functions y Additional Math & Discrete. El despliegue de los bloques contenidos en cada una de las librerías se consigue haciendo clic izquierdo sobre el nombre que aparece en el árbol izquierdo o doble clic sobre el bloque que aparece en la sección derecha. Por ejemplo, al hacer clic sobre el nombre “Continuous” se despliega en la sección derecha los correspondientes bloques operacionales como se observan en la Figura 1.3. En forma similar, se pueden observar los bloques incluidos en cada una de las otras librerías.

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Figura 1.3 Bloques operacionales de la librería Continuous

Instalación, Conexión y Especificación de un bloque operacional Para la instalación de un bloque en el espacio de trabajo de Simulink se selecciona de la librería con un clic izquierdo del mouse y en forma sostenida se arrastra hasta el espacio de trabajo de Simulink. Las conexiones entre dos bloques se realizan acercando el puntero del mouse a uno de los topes (entrada o salida) hasta observar un cambio en su forma de cruz, se presiona el botón izquierdo del mouse y en forma sostenida se arrastra hasta el otro tope. La conexión es correcta cuando el puntero del mouse tome la forma de una cruz de doble trazo. Se debe observar una línea con una saeta en el tope del bloque de entrada. Las especificaciones mínimas requeridas en un bloque se relacionan con la operación que realizan dentro del diagrama que representa el proceso de solución del modelo matemático del sistema.

1.4 LIBRERÍA “CONTINUOUS” (CONTINUO) La Figura 1.3 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre la librería “Continuous”. Los nombres de los bloques son: Derivative (Derivada), Integrator (Integrador), Integrator Limited, Integrator Second Order, Integrator Second Order Limited, PID Controller, PID Controller (2DOF), State-Space (Espacio de los Estados), Transfer Fcn (Función de Transferencia estándar), Transport Delay (Tiempo Muerto), Variable Time Delay, Variable Transport Delay (Tiempo Muerto Variable), Zero-Pole (Transferencia Muerto en la forma de zeros y polos). Los bloques de la librería “Continuous” representan unidades que se Melanio A. Coronado H.

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alimentan de una información de entrada y que al desarrollar sobre esta un proceso matemático transmite el resultado como una información de salida. En la librería “Continuous” se incluyen los bloques para realizar operaciones matemáticas continuas en el tiempo. A continuación se explican algunos de ellos

Bloque Integrador (“Integrator”) El bloque “Integrator” desarrolla la operación de integrar la información de entrada desde un tiempo inicial hasta un tiempo final que se especifica como uno de los parámetros de la simulación. Se observa en la ventana de especificaciones del bloque integrador mostrada en la Figura 1.4 que se requiere la especificación de la condición inicial de la variable que se suma (integra).

Figura 1.4 Bloque Integrator

Es común a todas las ventanas de especificaciones de bloques operacionales, la inclusión de la barra de título seguido de un pequeño cuadro con el nombre del bloque y una breve descripción de la función de éste. De igual manera, en la parte inferior se incluyen los botones “OK”, “Cancel”, “Help” y “Apply”.

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Bloque Derivada (“Derivative”) El bloque “Derivative” desarrolla la derivada con respecto al tiempo de la variable de entrada para lo cual no se necesita especificación. La Figura 1.5 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre el bloque Derivative.

Figura 1.5 Bloque Derivative

Bloques Funciones de Transferencia (“Transfer Fcn” y “Zero-Pole”) La Figura 1.6 muestra las ventanas de especificaciones para las funciones de transferencia en la forma estándar y en la forma de zeros y polos.

(a) Forma estándar (b) Forma zeros y polos Figura 1.6 Bloques Funciones de Transferencia

En la Figura 1.6a, se observan los cuadros donde se especifican en forma matricial el numerador y el denominador de la función de transferencia, mientras que en la Figura 1.6b los cuadros donde se incluyen en forma matricial los zeros, los polos y las ganancias de la función de transferencia

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Bloque Tiempo Muerto (“Transport Delay”) La Figura 1.7 muestra las ventanas de especificaciones para los bloques que simulan un atraso por tiempo muerto dentro de la dinámica de un sistema. A continuación se explica el bloque “Transport Delay”.

Figura 1.7 Bloque Tiempo Muerto Se observa el cuadro denominado “Time delay” donde se especifica el tiempo muerto.

Bloque Espacio de los Estados (“State-Space”) El conjunto de las ecuaciones diferenciales que constituye un modelo lineal multivariable suele organizarse en una escritura explícita para cada una de las derivadas que de tal manera que se agrupan los términos en vectores (derivadas, variables de estado) y matrices (coeficientes de las variables de entrada y salida) lo que se conoce como la escritura del modelo en la forma del espacio de los estados. Resultan entonces dos matrices A y B y se agrega un sistema algebraico de ecuaciones para expresar las salidas de la solución del modelo que introduce dos matrices adicionales C y D. La Figura 1.8 muestra la ventana de especificaciones para el bloque que desarrolla un modelo lineal en la forma del Espacio de los Estados. Se observan los cuadros para especificar las matrices A, B, C y D y las condiciones iniciales.

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Figura 1.8 Bloque Espacio de los Estados

Bloque Controlador PID (“PID Controller”) El bloque “PID Controller” se aplica para simular controladores proporcional – integral y derivativo dentro de un lazo cerrado de control. En la Figura 1.9 se muestra la ventana de especificaciones y se observa el cuadro denominado “Controller” donde se seleccionan las acciones que se le asignan al controlador. A continuación aparecen los radio botones que permiten seleccionar el dominio de tiempo continuo o discreto y la forma en paralelo o en serie de las acciones. Y seguidamente los cuadros donde se especifican los valores de los parámetros dinámicos del controlador de acuerdo a las acciones especificadas en el cuadro “Controller”. Un recurso nuevo e importante adicionado en las nuevas versiones de Simulink es el botón “Tune” que al presionarlo facilita los valores de los parámetros dinámicos del controlador y algunas características de la respuesta del sistema tanto en lazo abierto como en lazo cerrado. Algunos bloques, dentro de esta librería, no se explican dentro de este instructivo considerando que es una iniciación y que el desarrollo de un curso de dinámica de sistemas va mostrando la necesidad de conocer su utilidad y sus especificaciones.

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Figura 1.9 Bloque Controlador PID

1.5 LIBRERÍA “MATH OPERATIONS” (MATEMÁTICA) La Figura 1.10 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre la librería “Math Operations”. Los bloques de la librería “Math Operations” se utilizan en la simulación de la dinámica de un sistema como operadores matemáticos sobre su información de entrada. Entre otros muy utilizados se encuentran: Add, Sum, Substract, Product, Divide, Gain, Math Function, Sqrt, Trigonometric Function, MinMax. A continuación se describe la especificación de algunos de ellos

Bloque Suma (“Sum”) El bloque “Sum” realiza la suma algebraica de las informaciones de entradas alimentadas al bloque. La Figura 1.11 muestra la ventana de especificaciones de este bloque y se observa el cuadro desplegable donde se selecciona la forma del icono

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Figura 1.10 Bloques operacionales de la librería Math Operations

Figura 1.11. Bloque de Suma

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El bloque “Sum” se especifica introduciendo en el cuadro “List of signs” los signos de cada uno de las informaciones de entrada o el número de ellas. En el primer caso los signos de suma o resta se despliegan a un lado de los topes de entrada del icono que representa al bloque. Para mas ilustración léase la leyenda que aparece debajo de la barra de título de la ventana de especificaciones. El bloque “Add” también se utiliza para sumar algebraicamente varias entradas y el bloque “Substract”, por defecto realiza una diferencia pero puede especificarse para que haga sumas algebraicas de varias entradas. El bloque “Sum of Elements” también se emplea para sumar varias entradas. En todos estos bloques se pueden explicar los signos de cada entrada o el número de entradas si todas son positivas.

Bloques Ganancia (“Gain” y “Slider Gain”) El bloque “Gain” aplica un factor multiplicador constante a la información de entrada y el producto lo transmite como la información de salida. El factor multiplicador es la ganancia. La Figura 1.12 muestra la ventana de especificaciones del bloque Gain. En el cuadro Gain se introduce la ganancia como un valor constante.

Figura 1.12. Bloque Ganancia El bloque “Slider Gain” realiza la misma operación del bloque “Gain” permitiendo la variación del valor de la ganancia asignada, mediante el botón deslizable, desde un valor mínimo hasta un máximo. La Figura 1.13 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Slider Gain”

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Figura 1.13 Bloque Slider Gain

Bloque Producto (“Product”) El bloque “Product” realiza el producto o la división entre las informaciones de entrada. Esto se especifica introduciendo, ya sea, el número de corrientes a multiplicar o los signos producto o división para cada una de las informaciones de entrada en el cuadro “Number of inputs” de la ventana de especificaciones que se muestra en la Figura 1.14

Figura 1.14 Bloque Producto

Al especificar los signos, estos se despliegan con los símbolos de producto o división a un lado de los topes de entrada del icono que representa al bloque. Otros bloques que desarrollan productos y divisiones son el “Dot Product” y “Divide”.

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Bloque Función Matemática - “Math Function” El bloque “Math Function” aplica a la información de entrada una función matemática que se selecciona en el cuadro desplegable “Function”. Por defecto, al abrir la ventana de especificaciones (Figura 1.15) se muestra seleccionada la función exponencial, si se despliega el cuadro se observan las otras funciones incluidas en el bloque como la función logaritmo y antilogaritmo, la función potencia, la función raíz cuadrada y otros funciones modulares. El bloque “Trigonometric Function” aplica, a la información de entrada funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas.

Figura 1.15 Bloque Función Matemática

En la Figura 1.16 se puede observar que en su ventana de especificaciones en el cuadro Function aparece desplegada, por defecto, la función seno. El bloque “Sine Wave Function” aplica a la información de entrada una función sinusoidal. La Figura 1.17 muestra los cuadros donde se introducen las especificaciones de amplitud, frecuencia y fase requeridas. El bloque “Sqrt” aplica la raíz cuadrada a la información de entrada y el resultado es lo que trasmite como información de salida. La Figura 1.18 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Sqrt” haciendo notar las tres opciones de uso del bloque.

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Figura 1.16 Bloque Función Trigonométrica

Al observar el conjunto de bloques incluidos en la librería Math Operations se encuentra el denominado “Signed Sqrt” y el llamado “Reciprocal Sqrt”, ambas son opciones incluidas dentro del bloque “Sqrt”. “Signed Sqrt” reporta la raíz cuadrada con signo y “Reciprocal Sqrt” desarrolla el inverso de la raíz cuadrada de la información de entrada

Figura 1.17 Bloque Función Seno Melanio A. Coronado H.

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Figura 1.18 Bloque Raíz cuadrada

Bloque Minimo y Maximo (“MinMax”) El bloque “MinMax” selecciona el valor mínimo o el máximo entre los correspondientes a las informaciones de entrada. En su ventana de especificaciones (Ver Figura 1.19) se encuentra el cuadro donde se elige la función del bloque, es decir, “min” o “max” y un cuadro adicional donde se especifica el número de entradas al bloque. Después de introducir lo anterior, se observa en el icono del bloque un número de topes de entrada igual al especificado

Figura 1.19 Bloque MiniMax

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1.6 LIBRERÍA “SOURCES” (ENTRADAS) La Figura 1.20 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre la librería “Sources”, ésta contiene un conjunto de bloques de donde emergen señales que representan los cambios en las variables de entrada. Estos bloques solo tienen puertos de salida, es decir, no tienen puertos de entrada. A continuación se describen los bloques Step (Paso), Ramp (Rampa), Sine Wave (Seno), Constant, Clock, Digital Clock, Signal Generator, From Workspace, From File.

Figura 1.20. Librería Sources

Bloque Paso (“Step”) La Figura 1.21 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Step” (Función cambio paso). En el cuadro “Step Time” se introduce el tiempo transcurrido para que la variable de entrada cambie desde un valor inicial que se introduce en el cuadro “Initial value” hasta un valor final que se introduce en el cuadro “Final value”.

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Por defecto, el “Step time” se despliega con un valor de 1 pero el concepto de cambio step aplicado al análisis dinámico usualmente es el de un salto que se realiza en un tiempo cero.

Figura 1.21 Bloque Step

Bloque Rampa (“Ramp”) La Figura 1.22 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Ramp”. En el cuadro “Slope” se introduce la pendiente de la rampa y en el cuadro “Start time” se introduce el tiempo de iniciación del cambio rampa. Los otros cuadros de especificaciones se dejan con sus valores por defecto.

Bloques Seno (“Sine Wave”) La Figura 1.23 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Sine Wave”. La Amplitud, el umbral, la frecuencia y la fase de la onda sinusoidal se introducen en los cuadros de nombres “Amplitude”, “Bias”, “Frequency” y “Phase”, respectivamente.

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Figura 1.22 Bloque Ramp

Figura 1.23 Bloque Sine Wave

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Bloque Generador de Señal (“Signal Generator”) La Figura 1.24 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Signal Generator”. En el cuadro “Wave from” se especifica si la onda periódica de entrada es sinusoidal, cuadrada, diente de sierra o al azar. La amplitud y la frecuencia se introducen en los cuadros de nombres “Amplitude” y “Frequency”, respectivamente. En la librería “Sources” se encuentran otros bloques similares por su periodicidad como son: “Pulse Generator”, “Repeating Sequence”, etc.

Figura 1.24 Bloque Signal Generator

Bloque Reloj (“Clock” y “Digital Clock”) La Figura 1.25 muestra la ventana de especificaciones para el bloque “Clock” que se utiliza para mostrar el tiempo de simulación. Si se verifica el cuadro “Display time” se despliega el tiempo sobre el icono. El bloque “Digital Clock” se puede utilizar como otra opción para ingresar tiempos de simulación.

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Figura 1.25 Bloque Clock

Bloque Constante (“Constant”) La Figura 1.26 muestra la ventana de especificaciones para el bloque “Constant” que se utiliza para entrar un valor constante en el diagrama de bloques que simula la dinámica de un sistema.

Figura 1.26 Bloque Constante

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1.7 LIBRERÍA “SINKS” (SALIDAS) La librería “Sinks” contiene un conjunto de bloques receptores de señales de salida y, por lo tanto, solo tienen puertos de entrada. Mediante estos bloques se observan los resultados de las simulaciones en diferentes formas, por ejemplo, gráfica o numérica. La Figura 1.27 muestra la ventana que se despliega al hacer doble clic sobre la librería “Sinks”.

Figura 1.27 Librería Sinks Los botones “Scope”, “Floating Scope” y “XY Graph” despliegan la información de salida de la simulación en función del tiempo, en forma gráfica. El botón “Scope” no requiere especificaciones. Al hacer doble clic sobre el bloque se despliega la ventana donde se muestra el gráfico de la respuesta de la simulación en función del tiempo. La Figura 1.28 muestra la ventana donde se despliega el perfil gráfico de la respuesta capturada en el bloque “Scope” y la ventana de especificaciones del mismo abierta después de presionar el icono “Parameters” de la barra de herramientas

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Figura 1.28 Bloque Scope El bloque “Floating Scope” se utiliza para representar los perfiles de cada una de las informaciones de salida en gráficos separados, para lo cual se hace doble clic sobre el icono, se presiona el cuadro “Parameters” de la barra de herramientas y se introducen el número de gráficos en el cuadro “Number of axes”. La Figura 1.29 muestra la ventana donde se despliega el perfil gráfico de la respuesta captura en el bloque “Floating Scope” y la ventana de especificaciones del mismo

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Figura 1.29 Bloque Floating Scope El botón “XY Graph” se utiliza para representar gráficamente la relación entre una variable independiente X y una variable dependiente Y. Requiere de las especificaciones de los valores límites en los ejes de representación de las variables “X” e “Y”. La Figura 1.30 muestra la ventana de especificaciones del bloque “XY Graph”.

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Figura 1.30 Bloque XY Graph Los bloques “Display” y “To Workspace” despliegan la información de salida en forma numérica. El primero lo muestra en forma digital sobre el mismo icono mientras que el segundo lo hace sobre el espacio de trabajo de Matlab asignándole un símbolo a las variables que se quieren desplegar. La Figura 1.31 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Display”

Figura 1.31 Bloque Display Melanio A. Coronado H.

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El bloque “Display” permite la selección del formato numérico para el despliegue de la información de salida. Por defecto, aparece desplegado el formato short. Además contiene los formatos long, short_e, long_e y bank. El bloque “To Workspace” asigna, por defecto, la palabra simout al nombre de la(s) variable(s) capturada(s). El formato de salvamento, por defecto, es “Structure” pero se hace necesario seleccionar la opción “Array” para manipular la serie de datos capturados. La Figura 1.32 muestra la ventana de especificaciones del bloque “To Workspace”

Figura 1.32 Bloque To Workspace El bloque “To File” captura la información en forma similar al bloque “To Workspace” pero lo guarda como un archivo de extensión mat.

1.8 LIBRERÍAS “SIGNAL ROUTING” Y “PORTS & SUBSYSTEMS” La Figura 1.33 muestran las ventanas que se despliegan al abrir las librerías “Signal Routing” y “Ports & Subsystems” que contienen bloques de enrutamiento de señales y definición de puertos y subsistemas.

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Figura 1.33 Librerías Signal Routing y Signal Attributes La librería “Signal Routing” contiene un conjunto de bloques de enrutamiento de señales como interruptores, mezcladores, divisores, etc. Estos bloques tienen puertos de entrada y de salida La librería “Ports & Subsystems” contiene un conjunto de bloques que definen puertos de entradas y de salidas o subsistemas con los que desarrollan lazos de control de flujo como if, switch, while, for, etc.

1.9 OTRAS LIBRERÍAS En el árbol de herramientas en donde se incluye la de Simulink se observan otras que en este instructivo no se han incluido pero que para las necesidades de simulación dinámica de sistemas son muy útiles. Por ejemplo, la librería denominada “Simulink Extras” contiene varios formularios adicionales denominados Additional Discrete, Additional Linear, Additional Sinks, Flip Flops, Linearization y Transformations. Si se despliega el formulario denominado “Additional Linear” se encuentran bloques que desarrollan funciones de transferencia con considerandos adicionales como el State-Space (with initial outputs), Transfer Fcn (with initial outputs), Transfer Fcn (with initial states), Zero-Pole (with initial outputs) y Zero-Pole (with initial states).

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En el formulario “Control System Toolbox” se encuentra el bloque denominado “LTI System” que también desarrolla una función de transferencia especificada con los comandos y argumentos utilizados en Matlab para escribir una función de transferencia.

Figura 1.34 Bloque LTI System

Por defecto, el bloque LTI System especifica una función de transferencia en la forma estándar con el comando tf de Matlab pero también permite la especificación en la forma de zeros y polos y en la forma del espacio de los estados. En cuanto a herramientas útiles en la simulación de sistemas de control se encuentran, entre otras, la de control de modelo predictivo (Model Predictive Control), la de control robusto (Robust Control Toolbox), la de control difuso (Fuzzy Logic Toolbox) y la de redes neurales (Neural Network Toolbox). En la herramienta “Signal Processing Blockset” se incluyen varias ramas o herramientas con las denominaciones de Estimation, Filtering, Math Functions y Signal Management. En la herramienta Estimation se encuentran bloques para realizar predicciones lineares (Linear Prediction), estimación paràmetrica (Parametric Estimation) y estimaciones de espectros de potencia (Power Spectrum Estimation). En la herramienta denominada “Math Functions” se encuentran tres conjuntos de bloques denominados Math Operations, Matrices and Linear Algebra y Polynomial Functions. En la herramienta Math Operations se encuentran bloques que realizan algunas operaciones matemáticas como suma acumulada (Cumulative Sum), producto acumulado (Cumulative Product), exponencial de cantidades complejas (Complex Exponential), diferencias finitas (Difference), normalización (Normalization), ganancia en decibeles (db Gain) y conversión del valor de una ganancia a decibles (db Conversion). En la herramienta denominada Matrices and Linear Algebra se encuentran cuatro conjuntos de bloques denominados Linear System Solver (solucionadores de sistemas de ecuaciones lineales), Matrix Factorizations (factorización de matrices),

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Matrix Inverses (determinación de la inversa de una matriz) y Matrix Operations (operaciones entre matrices). En la herramienta Polynomial Functions se encuentran bloques que realizan operaciones importantes como el ajuste polinomial de un conjunto de datos mediante el método de los mínimos cuadrados (Least Squares Polynomial Fit), la evaluación de un polinomio (Polynomial Evaluation) y la estimación o prueba de la estabilidad de una ecuación polinomial (Polynomial Stability Test).

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SECCIÓN

II

SISTEMAS LINEALES SIMULACIÓN DOMINIO TIEMPO

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Lección 2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN SISO 2.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL – FORMA ESTÁNDAR La ecuación diferencial que expresa el modelo matemático de la dinámica de un sistema lineal de primer orden SISO en su forma estándar tiene la siguiente forma:



dY (t )  Y (t )  KX (t ) dt

(2.1)

Siendo Y(t) y X(t) las variables desviación de salida y de entrada, respectivamente. La constante de tiempo  y la ganancia estacionaria K son parámetros con significado dinámico que caracterizan al sistema. El parámetro  tiene unidades de tiempo y se conoce como el atraso dinámico y el parámetro K puede ser adimensional o con unidades de acuerdo con el análisis de la ecuación (2.1). Para la solución de la ecuación (2.1) se requieren las especificaciones de los parámetros dinámicos del sistema y el tipo de cambio que se ejerce a la variable de entrada. Es importante anotar que por expresarse la ecuación (2.1) en términos de las variables desviación, los valores iniciales de cada una de ellas es cero. La ecuación diferencial (2.1) es de fácil solución tanto en forma analítica como en forma numérica. Una solución analítica es la que se alcanza siguiendo un método como el del factor integrante o mediante una transformación de Laplace. Una solución numérica es la que se desarrolla mediante procedimientos que aproximan el término derivada por equivalentes finitos como el método de Euler y los de RungeKutta. La solución de la ecuación diferencial (2.1) en forma analítica en cualquier dominio analítico (tiempo o Laplace) o mediante algún procedimiento numérico, permite analizar el cambio de la variable desviación de salida en el tiempo ante un determinado tipo de cambio en la variable desviación de entrada, es decir, la dinámica del sistema cuyo fenómeno físico se expresa mediante dicha ecuación. El análisis dinámico de un sistema es el conocimiento del comportamiento en estado no estacionario y de las condiciones de estabilidad que se pueden alcanzar.

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2.2 MODELOS SIMPLIFICADOS Cuando un sistema lineal de primer orden SISO en su modelo dinámico no presenta atraso dinámico o no incluye el término variable desviación de salida se considera que es un sistema simplificado del modelo completo. En el primero de los casos se denomina “Sistema de ganancia pura” y el segundo se denomina “Sistema de capacidad pura” ó “Sistema integrante” o “Sistema no auto regulante”.

Sistema de Ganancia Pura Para un sistema lineal de primer orden SISO sin atraso dinámico, el modelo matemático que lo explica es la siguiente ecuación algebraica

Y (t )  KX (t )

(2.2)

Los sistemas de ganancia pura se caracterizan por el parámetro ganancia y se encuentran, siempre, en estado estacionario. Se desplazan, instantáneamente, de un estado estacionario a otro sin desarrollar un comportamiento no estacionario entre los dos estados. Se puede entender que la variable de salida es la variable de entrada amplificada, atenuada o igual a la variable de entrada según que K sea mayor, menor o igual que 1.

Sistema de capacidad pura o integrantes Un sistema de primer orden de Capacidad Pura es aquel en el que la rapidez de cambio de la señal de salida del sistema es directamente proporcional al valor de la señal de entrada, siendo la ganancia del proceso la constante de proporcionalidad. La ecuación diferencial característica de un sistema de capacidad pura es:

dY (t )  KX (t ) dt

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(2.3)

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La ecuación (2.3) al escribirla en forma inversa es equivalente a la ecuación

t

Y (t )  K  X (t )dt 0

(2.4)

La ecuación (2.4) permite definir (en forma inversa) a un proceso de capacidad pura como aquel cuya respuesta es la sumatoria en el tiempo de los valores de la señal de entrada multiplicados por el valor de la ganancia. Como la variable de salida de este proceso se calcula con una integral de la función de entrada, los procesos de capacidad pura, a menudo, son denominados procesos “Integradores Puros”

2.3 SIMULINK: Diagrama de Bloques En la Figura 2.1 se muestra un diagrama de bloques para la simulación dinámica de sistema lineal de primer orden SISO en el dominio del tiempo dentro de la plataforma de Simulink.

2.3.1 Entradas y Salidas A la izquierda se observan dos bloques “Constant”, de color rojo, con los cuales se introducen los parámetros físicos del sistema, es decir, la ganancia estacionaria y el atraso dinámico. Adicionalmente, se incluyen tres bloques de la librería “Sources”, también de color rojo, para considerar el cambio paso (“Step”), el cambio seno (“Sine Wave”) y el cambio rampa (“Ramp”) en la variable de entrada. El botón constante de color negro cumple la función de asignar al interruptor múltiple (“Multiport Switch”) el tipo de cambio en la variable de entrada que se desea transmitir. Es fácil entender que el interruptor múltiple se especifica con el número de entradas y una primera entrada, que aparece por defecto, es la información que requiere el interruptor del número correspondiente a la variable de entrada del sistema para permitir su transmisión. El bloque interruptor múltiple se encuentra en la librería “Signal Routing”.

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Figura 2.1. Diagrama de bloques - Sistema lineal de primer orden SISO

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A la derecha se observan tres bloques “Scope”, de color rojo, para mostrar en forma gráfica el cambio de la variable de salida con el tiempo. El denominado Y(t) solo muestra el perfil gráfico de la variable de salida, el denominado Y(t) – X(t) muestra superpuestas, a través de un bloque “Mux” (Librería “Signal Routing”) las variaciones de tanto la variable de salida como la variable de entrada y el denominado Ganancia Pura muestra la respuesta del sistema para cuando se quiera observar su comportamiento para este caso simplificado. El bloque “Scope” se encuentra en la librería “Sinks”.

2.3.2 Solución numérica de la ecuación diferencial – Forma estándar La sección del diagrama de bloques que aparece de color magenta corresponde al ciclo requerido para resolver numéricamente la ecuación diferencial lineal de primer orden SISO. El bloque “Product” multiplica la ganancia del sistema por el cambio en la variable de entrada y el resultado lo transmite al bloque “Sum” (+ -) donde se calcula la diferencia entre el anterior producto y la variable de salida y este resultado se transmite al bloque “Divide” en donde se desarrolla la división por el valor del atraso dinámico. El resultado anterior es igual a la derivada con respecto al tiempo de la variable de salida y, por lo tanto, dicha información debe alimentarse a un bloque “Integrator” para que estime los sucesivos valores de la variable de salida para los correspondientes tiempos de acuerdo al método numérico de solución elegido. Se hace necesario especificar el límite inferior de la integración, pero en este caso es el valor cero que se observa por defecto en la ventana de especificaciones porque la variable de salida es variable desviación. La variable de salida generada en el integrador se captura en el “Scope” llamado Y(t) y se transmite el botón “Sum”, conexión pendiente de instalar.

2.3.3 Solución numérica de la ecuación diferencial – Modelo simplificado Sistema de Ganancia Pura Se observa en el “Scope” denominado Ganancia Pura que recibe, a través de un bloque “Mux”, la información correspondiente al producto de la ganancia del sistema por el cambio en la variable de entrada y el cambio en la variable de entrada.

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Es decir, que se muestra el perfil de la respuesta del sistema cuando el atraso dinámico sea cero o lo que se conoce como un sistema de ganancia pura.

Sistema de Capacidad Pura En la señal que recircula la información de la variable de salida generada por el integrador se observa la introducción de un interruptor manual (“Manual Switch”) conectado a un bloque “Constant4” con un valor de cero. Esto es para interrumpir la transmisión de la señal y de esta forma simular la solución de la ecuación diferencial lineal de primer SISO sin incluir el término correspondiente a la variable de salida, es decir, simular un modelo de capacidad pura. La respuesta se observa en el bloque “Scope” denominado Y(t) – X(t)

2.3.4 Operaciones adicionales El interruptor múltiple denominado “Multiport Switch1” permite tres entradas (1, 2, 3) tomadas del mismo bloque constante denominado Entrada. Para las entradas 1 (cambio paso) y 2 (cambio seno) permite la transmisión del número 1 asignado al bloque constante denominado “Constant3” y para la entrada 3 permite la transmisión del valor de la ganancia asignada como parámetro de entrada. El bloque “Divide1” que recibe dicha información, para los primeros dos valores (1 y 2) transmite la misma información de entrada pero para el valor 3 (cambio rampa) transmite la variable de salida dividida por el valor de la ganancia. Lo anterior se hace, específicamente, para cuando se simule la respuesta rampa el perfil observado en el “Scope” Y(t) – X(t) sea el de la respuesta dividido por la ganancia y de esta manera se observe un paralelismo con la rampa de entrada.

2.3.5 Menú “Simulation” El menú “Simulatión” además de mostrar la opción “Start” que al presionarla ejecuta la simulación del diagrama de bloques elaborado, incluye otras opciones como “Stop” para detener la simulación y “Configuration Parameters…”. La Figura 2.2 muestra la ventana que se despliega al presionar esta opción.

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Figura 2.2 Ventana “Configuration Parameters…”

En una lista vertical a la izquierda de la ventana se observa un árbol de opciones para definir parámetros de la simulación y el que aparece seleccionado por defecto cuando se despliega ésta ventana es la opción “Solver” donde se definen por el usuario como el tiempo de simulación, el tipo de método que se desea aplicar en la solución de la ecuación diferencial, el tamaño mínimo y máximo del paso a utilizar en el procedimiento de solución, la tolerancia relativa y absoluta y otros. En especial se llama la atención en el cuadro “Solver” que al desplegarlo se observan los diferentes métodos disponibles para resolver la ecuación diferencial. Se nota en la Figura 2.2 que para la solución de la ecuación diferencial lineal de primer orden SISO de este instructivo se ha seleccionado el método “ode23s(stiff/Mod. Rosenbrock)” que corresponde al método de Runge-Kutta 2 y 3 de procedimiento riguroso (stiff) debido a Rosenbrock.

2.3.6 Ejecución de la simulación La simulación se ejecuta seleccionando la opción “Start” del menú “Simulatión” o presionando el icono con forma de triángulo denominado “Start Simulation”

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y que aparece en la barra de herramientas. A la derecha del triángulo anterior se localiza un pequeño rectángulo que al presionarlo detiene la simulación y más a la derecha del anterior se observa un cuadro donde se puede digitar el tiempo de la simulación. Antes de ejecutar la simulación se deben definir los parámetros de la simulación explicados en el inciso anterior.

2.3.7 Resultados de la simulación En el diagrama de bloques de la Figura 2.1 se han colocado bloques “Scope” para capturar los resultados de la simulación en forma gráfica. Se pueden simular los tres casos descritos de sistemas lineales de primer orden SISO: el modelo estándar, el modelo de ganancia pura y el modelo integrador. A continuación se muestran los resultados de las respuestas paso unitario, rampa unitaria y seno de un modelo estándar cuyos parámetros dinámicos son 5 minutos para el atraso dinámico y 2 para la ganancia estacionaria. Se fija un tiempo de simulación de 50 minutos

Respuesta Paso Unitario Para simular la respuesta paso, se especifica con el valor de 1 el botón “Entrada” y el interruptor manual se conecta para dejar pasar la señal correspondiente a la respuesta paso. Después de presionar el icono “Start Simulation” y una vez terminado el tiempo de simulación especificado se presiona dos veces seguidas el botón “Scope” para desplegar la ventana que muestra la respuesta gráfica. El perfil obtenido con los parámetros dinámicos expresados en el planteamiento del problema es el observado en la Figura 2.3 Se observa el comportamiento característico de la dinámica de un sistema lineal de primer orden SISO. Siendo la ganancia estacionaria de un valor de 2 y el cambio paso unitario en la variable de entrada, entonces se cumple que el valor último de la variable de salida es el producto de la ganancia por el cambio paso unitario, es decir, 2. El perfil gráfico de tipo monotónico estable está de acuerdo con el modelo exponencial correspondiente a este tipo de respuesta y el tiempo necesitado de, aproximadamente, 25 minutos (5 veces el atraso dinámico) es lo que se espera. Para un tiempo de simulación igual al atraso dinámico (5 minutos) se puede leer que el

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valor de la respuesta es, aproximadamente, el 62.3 % del valor último de la respuesta, es decir, 1.25.

Figura 2.3 Respuesta Paso Unitario – Sistema de Primer Orden Lineal SISO

Respuesta Rampa Unitaria Para simular la respuesta rampa, se especifica con el valor de 3 el botón “Entrada” y el interruptor manual se conecta para dejar pasar la señal correspondiente a la respuesta rampa. El perfil obtenido con los parámetros dinámicos expresados en el planteamiento del problema es el observado en la Figura 2.4. Se muestra la respuesta del sistema con la rampa de la variable de entrada. Se observa una respuesta de perfil monotónico inestable durante un breve tiempo inicial y posteriormente un perfil lineal paralelo con la rampa de entrada (esto debido a que se grafica la respuesta dividida por el valor de la ganancia estacionaria del sistema). El atraso que muestra el perfil de la respuesta con respecto al perfil de la variable de entrada es exactamente el valor del atraso dinámico del sistema (5 minutos)

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Figura 2.4 Respuesta Rampa Unitaria – Sistema de Primer Orden Lineal SISO

Respuesta Seno (Amplitud: 1 y Frecuencia: 1 radian/segundo) Para simular la respuesta seno, se especifica con el valor de 2 el botón “Entrada” y el interruptor manual se conecta para dejar pasar la señal correspondiente a la respuesta seno. El perfil obtenido con los parámetros dinámicos expresados en el planteamiento del problema es el observado en la Figura 2.5. Superpuestos el perfil sinusoidal de la variable de entrada (oscilatorio de amplitud constante, color magenta) con el perfil de la respuesta del sistema (color amarillo) se observa que durante un breve tiempo inicial la respuesta no tiene la misma amplitud observada posteriormente. Se nota un atraso en la respuesta con respecto a la variable de entrada tal que se puede afirmar que la definición sinusoidal de la respuesta se alcanza en un tiempo aproximadamente 5 veces el atraso dinámico del sistema.

2.4 EJERCICIOS 1. Con respecto a la respuesta sinusoidal anterior, calcule:

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a. La amplitud del perfil sinusoidal b. La fase del perfil sinusoidal

Figura 2.6 Respuesta Seno – Sistema de Primer Orden Lineal SISO 2. Simule la dinámica de un sistema de primer orden y describa las características de la respuesta. a. Paso unitario para diferentes valores de la constante de tiempo manteniendo constante el valor de la ganancia b. Paso unitario para diferentes valores de la ganancia manteniendo constante el valor de la constante de tiempo 3. Simule la dinámica del sistema integrador y describa las características de la respuesta: a. Paso unitario b. Rampa unitaria c. Seno de amplitud 1 y frecuencia 1 rad/min 4. Simule la dinámica del sistema de ganancia pura y describa las características de la respuesta: a. Paso unitario Melanio A. Coronado H.

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b. Rampa unitaria c. Seno de amplitud 1 y frecuencia 1 rad/min

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Lección 3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN SISO 3.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL – FORMA ESTÁNDAR La ecuación diferencial que expresa la dinámica de un sistema lineal de segundo orden SISO, se puede expresar con la siguiente forma:

a2

d 2 y(t ) dy(t )  a1  ao y(t )  b1 x(t )  bo 2 dt dt

(3.1)

Siendo y(t ) la variable de salida, x(t ) la variable de entrada y a2 , a1 , ao , b1 y bo parámetros característicos del sistema. La ecuación 3.1 en términos de las variables desviación suele escribirse con el siguiente arreglo:

a2 d 2Y (t ) a1 dY (t ) b   Y (t )  1 X (t ) 2 ao dt ao dt ao

(3.2)

Las relaciones entre los parámetros físicos del sistema que se observan en la ecuación (3.2) suelen sustituirse por símbolos que expresan parámetros de significado dinámico como son la constante de tiempo  , el factor de amortiguamiento  y la ganancia estacionaria K , resultando la ecuación diferencial característica de un sistema lineal de segundo orden SISO así:

2

Siendo



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d 2Y (t ) dY (t )  2  Y (t )  KX (t ) 2 dt dt

(3.3)

a2 ao

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 

1 a1 1 a1  2 ao 2 ao a2

K

b1 ao

Las anteriores ecuaciones expresan que estos tres parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinámico, el valor del factor de amortiguamiento determina el tipo de respuesta del sistema y la ganancia tiene el mismo significado definido para un sistema de primer orden. La ecuación diferencial (3.3) es la forma estándar completa que expresa la dinámica de un sistema lineal de segundo orden SISO. Para la solución de la ecuación (3.3) se requieren las especificaciones de los parámetros dinámicos o en su defecto los parámetros físicos y el tipo de cambio que se ejerce a la variable de entrada. Es importante anotar que por expresarse la ecuación (3.3) en términos de las variables desviación, los valores iniciales de cada una de ellas es cero. Para el cálculo de los parámetros dinámicos es posible que se requieran los valores iniciales de las variables de entrada y salida los que se calculan considerando la ecuación (3.1) en el estado estacionario. La solución de la ecuación diferencial (3.3) permite analizar la variación en el tiempo de la variable desviación de salida ante un determinado tipo de cambio en la variable desviación de entrada, es decir, la dinámica del sistema cuyo fenómeno físico se expresa mediante dicha ecuación.

Ecuación característica de un sistema lineal de segundo orden SISO A partir de la parte homogénea de la ecuación 3.3 se escribe la denominada Ecuación característica o Ecuación auxiliar del sistema cuyas raíces determinan el tipo de respuesta del sistema ante un determinado cambio en su variable de entrada y que se puede escribir de la siguiente forma:

 2 r 2  2 r  1  0

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(3.4)

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Siendo r las raíces de dicha ecuación. Para un sistema de segundo orden la ecuación característica es de segundo grado y las raíces solución se hallan con la siguiente ecuación:

r

    2 1



(3.5)

La ecuación (3.5) muestra que la naturaleza de sus raíces depende del factor de amortiguamiento, es decir, que este factor determina el comportamiento del sistema modelado matemáticamente con la ecuación diferencial (3.3). Cuando las dos raíces de la ecuación característica (3.4) sean reales se definen dos atrasos dinámicos  1 y  2 como los inversos negativos de cada una de las raíces lo que permite escribir que:

1  

1   r1    2  1

(3.6)

2  

1   r2    2  1

(3.7)

3.2 COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Según el valor que le corresponde al factor de amortiguamiento, los diferentes tipos de respuesta de un sistema lineal de segundo orden SISO son los siguientes:

Comportamiento monotónico estable o sobreamortiguado estable Si   1 , las raíces son reales diferentes y negativas y la respuesta del sistema es una suma de términos exponenciales con signos negativos. Esto se define como un Comportamiento monotónico estable o Sobreamortiguado

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Comportamiento monotónico estable crítico o amortiguado crítico Si   1 , las raíces son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signo negativo. Esto muestra un Comportamiento monotónico estable crítico o Amortiguado crítico porque si se disminuye el valor del coeficiente de amortiguamiento la respuesta es de tipo subamortiguado y si, por lo contrario, se aumenta el sistema es más sobreamortiguado.

Comportamiento monotónico estable o subamortiguado estable Si 0    1, las raíces son complejas conjugadas con parte real negativa y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal decreciente. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio estable o Subamortiguado estable

Comportamiento oscilatorio sostenido Si   0 , las raíces son cantidades imaginarias iguales de signo contrario y la respuesta del sistema es una expresión sinusoidal. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio sostenido

Comportamiento oscilatorio inestable o subamortiguado inestable Si  1    0 , las raíces son complejas conjugadas con parte real positiva y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal creciente. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio inestable o Subamortiguado inestable, es decir con oscilaciones de amplitud creciente

Comportamiento monotónico inestable o sobreamortiguado inestable Si   1 , las raíces son reales positivos y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signos positivos. Esto muestra un Comportamiento monotónico inestable o Sobreamortiguado inestable.

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3.3 SOLUCIÓN NUMÉRICA - SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Una ecuación diferencial de segundo orden se puede transformar en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden mediante la introducción de dos variables que sustituyan a la variable de salida de la siguiente manera:

Y (t )  Y (1)

dY (t ) dY (1)   Y (2) dt dt

d 2Y (t ) dY (2)  dt dt 2

En términos de Y(1), Y(2), la ecuación diferencial de segundo orden (3.3) se transforma en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

dY (1)  Y (2) dt

2

dY (2)  2 Y (2)  Y (1)  KX (t ) dt

(3.8) (3.9)

Un análisis de las ecuaciones (3.8) y (3.9) permite observar que la solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden requiere de dos integraciones en serie. La integración resolutiva de la ecuación (3.9) requiere de la información de los parámetros dinámicos del sistema y del resultado de la integración resolutiva de la ecuación (3.8) es decir de Y(1). El resultado de la primera integración, es decir Y(2) se requiere en la integración resolutiva de la ecuación (3.8) y esto facilita como solución a Y(1), es decir Y(t). Se deduce de la simultaneidad de las ecuaciones, por ejemplo, en que la segunda ecuación requiere de la respuesta de la primera y viceversa.

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3.4. SIMULINK: Diagrama de Bloques En la Figura 3.1 se muestra un diagrama de bloques para la simulación dinámica de sistema lineal de segundo orden SISO en el dominio del tiempo dentro de la plataforma de Simulink.

3.4.1 Entradas y Salidas A la izquierda se observan tres bloques “Constant”, de color rojo, con los cuales se introducen los parámetros físicos del sistema, es decir, la ganancia estacionaria, el atraso dinámico y el factor de amortiguamiento. Adicionalmente, se incluyen tres bloques de la librería “Sources”, también de color rojo, para considerar el cambio paso (“Step”), el cambio seno (“Sine Wave”) y el cambio rampa (“Ramp”) en la variable de entrada. El botón constante de color negro cumple la función de asignar al interruptor múltiple (“Multiport Switch”) el tipo de cambio en la variable de entrada que se desea transmitir. Es fácil entender que el interruptor múltiple se especifica con el número de entradas y una primera entrada, que aparece por defecto, es la información que requiere el interruptor del número correspondiente a la variable de entrada del sistema para permitir su transmisión. El bloque interruptor múltiple se encuentra en la librería “Signal Routing”. A la derecha se observan un bloque “To Workspace” (Librería “Sinks”), de color rojo, para capturar los valores de la variable de salida calculados para el conjunto de valores de tiempo definidos de acuerdo al método de solución de la ecuación diferencial escogido. Además de la variable de salida también se captura la variable de entrada. Se observa un bloque “Clock” de la librería “Sources” conectado como entrada al bloque “To Workspace” para incluir dentro del almacenamiento los respectivos valores del tiempo a cada uno de los valores de las variables capturadas. Con este bloque, la matriz de valores capturada es almacenada en la memoria de Matlab con un nombre que por defecto es denominada “simout”. Dentro de la ventana de especificaciones de este bloque debe seleccionarse la opción “Array” incluida dentro del cuadro titulado “Save format”.

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Figura 3.1. Diagrama de bloques para la simulación de un sistema lineal de segundo orden SISO

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3.4.2 Solución numérica de la ecuación diferencial – Forma estándar La sección del diagrama de bloques que aparece de color magenta corresponde al ciclo requerido para resolver numéricamente la ecuación diferencial lineal de segundo orden SISO. El bloque “Product” multiplica la ganancia del sistema por el cambio en la variable de entrada y el resultado lo transmite al bloque “Sum” (+-) donde se calcula la diferencia entre el anterior producto y la variable de salida y este resultado se transmite al bloque “Add” en donde se desarrolla la diferencia entre el resultado anterior y el producto que resulta de multiplicar al número dos por el valor del factor de amortiguamiento por el valor del atraso dinámico y por el valor de la primera derivada de la variable de salida. El resultado anterior es igual al producto del cuadrado del atraso dinámico multiplicado por la segunda derivada con respecto al tiempo de la variable de salida, razón por la cual dicho resultado se alimenta a un bloque “Divide2” para desarrollar la división del resultado anterior por el cuadrado del atraso dinámico y obtener como resultado, de éste último bloque, la segunda derivada con respecto al tiempo de la variable de salida. La información que emerge del bloque “Divide2”, es decir, la segunda derivada se alimenta a un bloque “Integrator” (Condición Inicial = 0) y éste transmite como información de salida la primera derivada, la que a su vez se alimenta a un segundo bloque “Integrator1” donde se obtienen los valores de la variable de salida. Las salidas de cada uno de los bloques integradores se requieren en los bloques “Sum” y “Add” localizados anteriormente lo que hace que se observen dos lazos de recirculaciòn dentro del diagrama de bloques.

3.4.3 Operaciones adicionales El interruptor múltiple denominado “Multiport Switch1” permite tres entradas (1, 2, 3) tomadas del mismo bloque constante denominado Entrada. Para las entradas 1 (cambio paso) y 2 (cambio seno) permite la transmisión del número 1 asignado al bloque constante denominado “Constant3” y para la entrada 3 permite la transmisión del valor de la ganancia asignada como parámetro de entrada. El bloque “Divide1” que recibe dicha información, para los primeros dos valores (1 y 2) transmite la misma información de entrada pero para el valor 3 (cambio rampa) transmite la variable de salida dividida por el valor de la ganancia. Lo anterior se hace, específicamente, para cuando se simule la respuesta rampa, el perfil observado en el bloque “To Workspace” sea el de la respuesta dividida por la ganancia y de esta manera se observe un paralelismo con la rampa de entrada.

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3.4.4 Ejecución de la simulación En la Figura 3.1 se observa un diagrama de bloques para la solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden SISO asignándole a la ganancia un valor de 8 y al atraso dinámico un valor de 5 minutos. Se plantean, a continuación, varias simulaciones para diferentes valores para el factor de amortiguamiento, el tiempo de simulación es de 300 minutos y el método de solución de la ecuación diferencial es el ode23s (stiff/Mod. Rosenbrock). Con la definición de los anteriores parámetros para la dinámica del sistema y de la simulación se ejecuta la simulación presionando el icono con forma de triángulo denominado “Start Simulation” y que aparece en la barra de herramientas.

3.4.5. Resultados de la simulación A continuación se muestran los resultados de las respuestas paso unitario, rampa unitaria y rampa (de amplitud = 1 y frecuencia = 1 rad/minuto) para comportamientos sobreamortiguado, subamortiguado y oscilatorio de amplitud constante. Las simulaciones para las respuestas seno se desarrollan como parte del trabajo grupal de los estudiantes.

Respuesta Paso Unitario Para simular la respuesta paso unitario, se especifica con el valor de 1 el botón “Entrada” y el interruptor manual se conecta para dejar pasar la señal correspondiente a la respuesta paso. Después de presionar el icono “Start Simulation” y una vez terminado el tiempo de simulación especificado se despliega el espacio de trabajo de Matlab y en el editor de comandos se digita la siguiente orden:

plot(simout(:, 1), simout(:, 2))

El comando “plot” grafica la variable de salida Y(t) (simout(:, 2)) en función del tiempo (simout(:, 1)). “simout” es una matriz con 3 columnas, la primera es la de los valores de la variable tiempo (primera conexión al bloque “Mux”), la segunda es la Melanio A. Coronado H.

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variable de salida (segunda conexión al bloque “Mux”) y la tercera es la variable de entrada (tercera conectada al bloque “Mux”). Por lo tanto, la sintaxis simout(:, 1) se entiende como todos los valores de la columna 1 de la matriz simout, la sintaxis simout(:, 2) se entiende como todos los valores de la columna 2 de la matriz simout y así sucesivamente. La adición del título del gráfico, las leyendas en los ejes y la edición, en general, del gráfico mostrado en las siguientes figuras se hacen con la ayuda del asistente gráfico.

Respuesta Paso Unitario Sobreamortiguada Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 5 (mayor que 1) y se espera un perfil monotónico estable como se observa en la Figura 3.2

Figura 3.2 Respuesta Paso Unitario Sobreamortiguada

Se nota que el perfil es exponencial estable y el valor último que alcanza la respuesta es de 8, lo que está de acuerdo con el valor de 8 asignado a la ganancia

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estacionaria del sistema y con el cambio paso unitario aplicado a la variable de entrada.

Respuesta Paso Unitario Subamortiguada Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0.3 (menor que 1) y se espera un perfil oscilatorio de amplitud decreciente como se observa en la Figura 3.3

Figura 3.3 Respuesta Paso Unitario Subamortiguada

Se nota que el perfil es oscilatorio decreciente y el valor último que alcanza la respuesta es de 8, lo que está de acuerdo con el valor de 8 asignado a la ganancia estacionaria del sistema y con el cambio paso unitario aplicado a la variable de entrada. Es claro el sobrepaso máximo en el perfil gráfico y un decaimiento en la amplitud de las sucesivas oscilaciones. La respuesta se estabiliza en un tiempo entre 100 y 150 minutos.

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Respuesta Paso Unitario Oscilatoria Sostenida Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0 y se espera un perfil oscilatorio de amplitud constante como se observa en la Figura 3.4.

Figura 3.4 Respuesta Paso Unitario Oscilatoria Sostenida

Los casos anteriormente simulados han mostrado respuestas estables u oscilatoria sostenida porque el factor de amortiguamiento asignado en cada uno de los dos primeros casos es positivo y en el caso de la respuesta oscilatoria sostenida, el factor de amortiguamiento asignado es de cero. Si se asignan valores negativos al factor de amortiguamiento, las respuestas serán inestables. La Figura 3.5 muestra la respuesta gráfica del sistema considerado para un factor de amortiguamiento de -0.3

Respuesta Rampa Unitaria Para simular la respuesta rampa unitaria, se especifica con el valor de 3 el botón “Entrada” y el interruptor manual se conecta para dejar pasar la señal correspondiente a la respuesta rampa. Después de presionar el icono “Start Melanio A. Coronado H.

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Simulation” y una vez terminado el tiempo de simulación especificado se despliega el espacio de trabajo de Matlab y en el editor de comandos se digita la siguiente orden: plot(simout(:, 1), simout(:, 2), ‘k’, simout(:, 1), simout(:, 3), ‘k’)

Figura 3.5 Respuesta Paso Unitario Subamortiguada Inestable (Amortiguamiento = -0.3)

El comando “plot” grafica en una misma ventana las variable de salida y entrada (simout(:, 2)) y simout(:, 3) en función del tiempo (simout(:, 1)) Las gráficas se despliegan de color negro por la orden ‘k’. La adición del título del gráfico, las leyendas en los ejes y la edición, en general, del gráfico mostrado en las siguientes figuras se hacen con la ayuda del asistente gráfico.

Respuesta Rampa Unitaria Sobreamortiguada Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 5 (mayor que 1) y se espera un perfil monotónico inestable creciente como se observa en la Figura 3.6

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Figura 3.6 Respuesta Rampa Unitaria Sobreamortiguada Inestable

Se observa, inicialmente, un perfil exponencial creciente y posteriormente una tendencia lineal paralela con la rampa de entrada (linea roja) con un atraso

Respuesta Rampa Unitaria Subamortiguada Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0.3 (menor que 1) y se espera un perfil oscilatorio de amplitud decreciente aproximándose a la rampa de entrada como se observa en la Figura 3.7. Se fija un tiempo de 60 minutos para una observación mejor del perfil de la respuesta del sistema.

Respuesta Rampa Unitaria Oscilatoria Sostenida Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0 y se espera un perfil oscilatorio de alrededor de la rampa de entrada como se observa en la Figura 3.8

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Figura 3.7 Respuesta Rampa Unitaria Subamortiguada

Figura 3.8 Respuesta Rampa Unitaria Oscilatoria Sostenida

Respuesta Seno Sobreamortiguada A la función seno para la variable de entrada se le asigna a la amplitud un valor de 1 y a la frecuencia un valor de 1 rad/minuto. Se asigna al factor de amortiguamiento

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un valor de 5 (mayor que 1) y un tiempo de simulación de 60 minutos, se espera un oscilatorio como se observa en la Figura 3.9. Inicialmente se nota una respuesta oscilatoria cuya amplitud aumenta hasta alcanzar un valor constante después de un cierto tiempo y, además, es visible el atraso del perfil respuesta con respecto al cambio sinusoidal de entrada.

Figura 3.9 Respuesta Seno Sobreamortiguada

Respuesta Seno Subamortiguada Se asigna al factor de amortiguamiento un valor de 0.3 (menor que 1) y se espera un perfil oscilatorio que inicialmente es de amplitud decreciente y posteriormente adquiere un perfil oscilatorio de amplitud constante como se observa en la Figura 3.10. Se fija un tiempo de 160 minutos para una observación mejor del perfil de la respuesta del sistema.

3.5. EJERCICIOS 1. Con respecto a la respuesta rampa sobreamortiguada anterior, calcule el valor del atraso que muestra la respuesta con respecto a la rampa de entrada. Melanio A. Coronado H.

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2.

3. Figura 3.10 Respuesta Seno Subamortiguada 2. Con respecto a la respuesta rampa subamortiguada anterior, calcule los siguientes valores: a. El atraso dinámico de la respuesta cuando muestre una tendencia lineal b. La frecuencia en radianes por minuto del perfil oscilatorio c. La fase en radianes del perfil oscilatorio 3. Con respecto a la respuesta seno sobreamortiguada anterior, calcule los siguientes valores: a. La amplitud del perfil sinusoidal de amplitud constante b. La fase de dicho perfil en radianes 4. Con respecto a la respuesta seno subamortiguada anterior, calcule los siguientes valores: a. La fase con respecto al término sinusoidal de la respuesta b. La fase con respecto al término sinusoidal exponencial c. La frecuencia del perfil oscilatorio sinusoidal exponencial.

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5. Fije los parámetros requeridos para simular una repuesta seno amortiguada crítica y calcule las características de dicha respuesta

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Lección 4. SISTEMAS DE ORDEN MAYOR SISO 4.1 INTRODUCCIÓN Los sistemas lineales SISO cuyo modelo matemático es una ecuación diferencial de orden mayor que dos se clasifican como de orden mayor. La forma general que expresa a un modelo de este tipo es: d n y (t ) dy n 1 (t ) dy (t ) an  an 1  .....  a1  ao y (t )  n n 1 dt dt dt d m x(t ) dx m 1 (t ) dx(t ) bm  b  .....  b1  bo x(t )  co m 1 m m 1 dt dt dt

(4.1)

Siendo y(t ) la variable de salida y x(t ) la variable de entrada. Los coeficientes pueden ser constantes o funciones lineales o no lineales con el tiempo. La ecuación (4.1) expresada con las respectivas variables desviación es: d nY (t ) dY n 1 (t ) dY (t )  a  .....  a1  aoY (t )  n 1 n n 1 dt dt dt d m X (t ) dX m 1 (t ) dX (t ) bm  b  .....  b1  bo X (t ) m 1 m m 1 dt dt dt an

(4.2)

Siendo Y (t ) la variable desviación de salida y X (t ) la variable desviación de entrada. Si la ecuación diferencial (4.2) los términos derivadas de la variable de entrada son iguales a cero se simplifica a:

an

d nY (t ) dY n1 (t ) dY (t )  a  .....  a1  aoY (t )  bo X (t ) n 1 n n 1 dt dt dt

(4.3)

Ecuación diferencial homogénea Las ecuaciones diferenciales homogéneas de orden n tienen la siguiente forma:

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an

d nY (t ) dY n1 (t ) dY (t )  a  .....  a1  aoY (t )  0 n 1 n n 1 dt dt dt

(4.4)

Considerando que los coeficientes de la ecuación diferencial (4.4) son constantes, su solución se puede hallar remplazando los términos derivadas dY i (t ) / dt i por i con lo cual resulta la llamada ecuación característica: an n  an1n1  .....  a1  ao  0

(4.5)

Las n raíces de la ecuación característica son denominadas los valores característicos. Estos valores se utilizan para la solución de la ecuación diferencial y su naturaleza determina las características de la solución en cuanto a su estabilidad monotónica u oscilatoria.

4.2 SOLUCIÓN NUMÉRICA - SISTEMA DE ORDEN n Una ecuación diferencial de orden n se puede transformar en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden mediante la introducción de n variables que sustituyan a la variable de salida de la siguiente manera: Y (t )  Y (1) dY (t ) dY (1)   Y (2) dt dt d 2Y (t ) dY (2)   Y (3) dt dt 2

-------------------------d n1Y (t ) dY (n  1)   Y ( n) dt dt n1 d nY (t ) dY (n)  dt dt n

Una ecuación diferencial de orden 3 con el tipo de la (4.3) se puede transformar al siguiente sistema de tres ecuaciones diferenciales (4.6), (4.7) y (4.9) lineales así:

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Y (t )  Y (1) dY (t ) dY (1)   Y (2) dt dt d 2Y (t ) dY (2)   Y (3) dt dt 2 d 3Y (t ) dY (3)  dt dt 3 dY (3) a3  a2Y (3)  a1Y (2)  aoY (1)  bo X (t ) dt

(4.6) (4.7) (4.8) (4.9)

Un análisis de las ecuaciones (4.6) a (4.9) permite observar que la solución de una ecuación diferencial lineal de tercer orden requiere de tres integraciones en serie. La integración resolutiva de la ecuación (4.9) requiere de la información de los parámetros dinámicos del sistema y el resultado es el perfil para Y(3), es decir la segunda derivada de Y(t). La integración de la ecuación (4.7), previo conocimiento de Y(3) obtiene como resultado a Y(2), es decir, la primera derivada de Y(t) y finalmente la integración de la ecuación (4.6) obtiene como resultado la variación de Y(t).

4.3. SIMULINK: Diagrama de Bloques En la Figura 4.1 se muestra un diagrama de bloques para la simulación dinámica de sistema lineal de tercer orden SISO en el dominio del tiempo dentro de la plataforma de Simulink. La ecuación diferencial se plantea en la siguiente forma:

a3

d 3Y (t ) dY 2 (t ) dY (t )  a  .....  a1  aoY (t )  bo X (t ) 2 3 2 dt dt dt

(4.10)

Siendo Y(t) y X(t) variables desviación de salida y entrada, respectivamente, las condiciones iniciales de ellas y de sus derivadas son iguales a cero.

4.3.1 Entradas y Salidas A la izquierda se observan seis bloques “Constant”, de color rojo, con los cuales se introducen los parámetros del sistema, que en este caso son los coeficientes de la ecuación diferencial, a3, a2, a1, ao y bo. Adicionalmente, se incluyen un bloque de la librería “Sources”, también de color rojo, para considerar el cambio paso (“Step”), Melanio A. Coronado H.

67

Figura 4.1 Diagrama de bloques – Sistema lineal de tercer orden SISO

Melanio A. Coronado H.

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A la derecha se observan un bloque “Scope” (Librería “Sinks”), de color rojo, para capturar los valores de la variable de salida.

4.3.2 Solución numérica de la ecuación diferencial – Forma estándar La sección del diagrama de bloques que aparece de color magenta corresponde a los ciclos requeridos para resolver numéricamente la ecuación diferencial lineal de tercer orden SISO. El bloque “Product” desarrolla el producto boX(t) y el resultado lo trasmite al bloque “Add1” (+-) donde se calcula la diferencia boX(t) – aoY(t) y cuyo resultado es transmitido al bloque “Add2” donde se calcula la diferencia boX(t) – aoY(t) - a1dY(t)/dt y, finalmente, este resultado es transmitido al bloque “Add3” donde se calcula la diferencia boX(t) – aoY(t) - a1dY(t)/dt – a2d2Y(t)/dt2. Esta última diferencia se alimenta al bloque “Divide4” para dividirse por el valor de a3 lo que equivale a dejar en forma expresa la tercera derivada de Y (t) con respecto al tiempo d3Y (t)/dt3. A continuación se desarrollan las tres integrales que se requieren para obtener la respuesta Y (t). Se utiliza un primer bloque “Integrator” con condición inicial cero (d2Y (t)/dt2 = 0) y cuyo resultado es la segunda derivada. Las dos integrales que siguen a continuación se desarrollan con el bloque “Integrator, Second-Order” de la librería “Continuous” y con el cual se realizan dos integrales simples. Los bloques “Divide1”, “Divide2” y “Divide3” realizan las multiplicaciones anteriores, en su orden, aoY (t), a1dY (t)/dt y a2d2Y (t)/dt2.

Bloque “Integrator, Second-Order” El bloque “Integrator, Second-Order” se puede emplear en remplazo de dos bloques “Integrator” en serie, es decir, para hacer la integración de una segunda derivada. La ventana de especificaciones es la que se muestra en la Figura 4.2. Se lee en la leyenda debajo de la barra de título de la ventana de especificaciones la función que desarrolla el bloque dentro de una simulación. Seguidamente, se observan tres pestañas: x, dx/dt y Attributes, siendo la primera la que se despliega por defecto. En el cuadro desplegable denominado “Initial condition source x” se elige si la condición inicial para x, en este caso, es interna o externa, y en el cuadro digitable “Initial condition x:” se escribe el valor inicial de x. A continuación debe seleccionarse la pestaña “dx/dt” para introducir las especificaciones correspondientes. La Figura 4.3 (a) muestra la ventana de especificaciones con la pestaña “dx/dt” seleccionada.

Melanio A. Coronado H.

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Figura 4.2 Bloque “Integrator, Second-Order” de la librería “Continuous” Simulink

(a)

(b)

Figura 4.3 Bloque “Integrator, Second-Order”. (a) Pestaña “dx/dt”, (b) Pestaña “Attribute” En la pestaña “Attribute” (Figura 4.3 (b)) se encuentra el cuadro desplegable “Show output” que selecciona por defecto la opción “both”, con la cual el bloque despliega ambas salidas, la de x y la de dx/dt. Las otras dos opciones son cada una de las mencionadas anteriormente.

Melanio A. Coronado H.

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4.3.3 Solución algebraica de la ecuación característica Anexo al diagrama de bloques que resuelve la ecuación diferencial lineal de tercer orden SISO de la Figura 4.1 se colocan en color azul los bloques necesarios para solucionar la ecuación algebraica característica del sistema caracterizada dinámicamente por la ecuación diferencial considerada. Se utiliza el bloque “Vector Concatenate” de la librería “Math Operations” y el bloque “MATLAB Fcn” de la librería “User-Defined Functions”.

Bloque “Vector Concatenate” El bloque “Vector Concatenate” se emplea para organizar varios números en arreglos vectoriales o multidimensionales. La Figura 4.4 muestra la ventana de especificaciones de este bloque, basta con especificar el número de entradas (4, en este caso) y el modo del arreglo (Vector, en este caso). En esta simulación se alimentan los coeficientes a3, a2, a1 y ao y el vector correspondiente es alimentado a un bloque “MATLAB Fcn” donde a la entrada se le puede aplicar una función definida dentro de la plataforma de Matlab.

Figura 4.4 Bloque “Vector Concatenate”

Bloque “MATLAB Fcn” El bloque “MATLAB Fcn” se emplea para aplicar una función, definida dentro del código de Matlab, a la información de entrada. En este caso se utiliza la función “roots” con la cual se determinan las raíces de una ecuación polinómica con coeficientes constantes que es el tipo correspondiente a la ecuación característica de

Melanio A. Coronado H.

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tercer grado que se simula en el diagrama de bloques de la Figura 4.1. La sintaxis requerida para dicha función es el vector de los coeficientes de la ecuación. La Figura 4.5 muestra la ventana de especificaciones de este bloque, basta con especificar el número de salidas (3, en este caso) porque la ecuación algebraica de tercer grado tiene tres raíces solución. Los valores de estas raíces son capturados en un bloque “Display” que se ha denominado “Raíces”.

Figura 4.5 Bloque “MATLAB Fcn” En la Figura 4.5 se observa que en el cuadro titulado “MATLAB function” aparece la palabra clave “roots”, en el cuadro digitable “Output dimensions” se especifica el número 3 (tres raíces) y en el cuadro desplegable “Output signal type” se selecciona la opción “complex” porque las raíces pueden ser reales o complejas conjugadas.

4.3.4 Ejecución de la simulación Para la ejecución de la simulación se aplica el método ode23s (stiff/Mod. Rosenbrock) y el tiempo de simulación asignado es de 12 minutos Con la definición de los anteriores parámetros se ejecuta la simulación presionando el icono con forma de triángulo denominado “Start Simulation” y que aparece en la barra de herramientas.

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4.3.5. Resultado de la simulación La ecuación diferencial que se resuelve en el diagrama de bloques de la Figura 4.1 es la siguiente (coeficientes 1, 6, 9, 10 y 1):

d 3Y (t ) dY 2 (t ) dY (t )  6 9  10Y (t )  X (t ) 3 2 dt dt dt

Respuesta paso unitario subamortiguada estable A continuación se muestra, en forma gráfica, el resultado de la respuesta paso unitario del sistema con la ecuación diferencial lineal de tercer orden considerada. Es una respuesta subamortiguada estable con un sobrepaso con respecto a su valor último que es de 0.1 (bo/ao). Se aprecia en el bloque “Raíces” que los valores que resultan al resolver la ecuación algebraica característica son: -4.492, -0.754 + 1.288 i y -0.754 – 1.288 i. Una raíz real negativa y dos raíces complejas conjugadas con parte real negativa son características de una respuesta subamortiguada estable

Figura 4.6 Respuesta paso unitario subamortiguada estable Sistema lineal de tercer orden SISO

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Respuesta paso unitario sobreamortiguada estable Modificando la ecuación diferencial que se resuelve en el diagrama de bloques de la Figura 4.1 a la siguiente (coeficientes 1, 3, 3, 1 y 1):

d 3Y (t ) dY 2 (t ) dY (t )  3 3  Y (t )  X (t ) 3 2 dt dt dt

Se aprecia en el bloque “Raíces” que los valores que resultan al resolver la ecuación algebraica característica son: -1, -1 y -1. Tres raíces reales negativas son características de una respuesta sobreamortiguada estable. La Figura 4.7 muestra el perfil obtenido con una respuesta última igual a 1 (bo/ao)

Figura 4.7 Respuesta paso unitario sobreamortiguada estable Sistema lineal de tercer orden SISO

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Respuesta paso unitario subamortiguada inestable Modificando la ecuación diferencial que se resuelve en el diagrama de bloques de la Figura 4.1 a la siguiente (coeficientes 1, 6, -9, 10 y 1):

d 3Y (t ) dY 2 (t ) dY (t )  6 9  10Y (t )  X (t ) 3 2 dt dt dt

Se aprecia en el bloque “Raíces” que los valores que resultan al resolver la ecuación algebraica característica son: -7.399, 0.6995 + 0.9285 i y 0.6995 – 0.9285 i. Una raíz real negativa y dos raíces complejas conjugadas con parte real positiva son características de una respuesta subamortiguada inestable. La Figura 4.8 muestra el perfil obtenido para la respuesta de esta ecuación diferencial.

Figura 4.8 Respuesta paso unitario subamortiguada inestable Sistema lineal de tercer orden SISO

El tiempo de simulación se fijó de 25 minutos para capturar un perfil gráfico más ilustrativo del carácter subamortiguado inestable de la respuesta.

Melanio A. Coronado H.

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4.4. EJERCICIOS 1. Elabore un diagrama de bloques con Simulink para resolver una ecuación diferencial lineal SISO de cuarto orden con coeficientes constantes de la forma:

a4

d 4Y (t ) dY 3 (t ) dY 2 (t ) dY (t )  a  a  a1  aoY (t )  bo X (t ) 3 2 4 3 2 dt dt dt dt

2. Asigne coeficientes enteros a la ecuación diferencial para obtener una respuesta subamortiguada estable y calcule: a. b. c. d.

Las raíces de la ecuación característica El valor último de la respuesta del sistema El sobrepaso máximo La razón de decaimiento

3. Asigne coeficientes enteros a la ecuación diferencial para obtener una respuesta: a. Sobreamortiguada estable b. Subamortiguada inestable c. Sobreamortiguada inestable

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Lección 5. SISTEMAS EN SERIE NO INTERACTUANTES 5.1 INTRODUCCIÓN Varios sistemas lineales conectados el uno a continuación del otro constituyen un sistema global cuyo modelo es lineal multivariable de orden mayor. Si la variable de salida de uno de los sistemas afecta, en un solo sentido, a la variable de salida del siguiente entonces el sistema es no interactuante, pero si el efecto es también en el sentido contrario entonces el sistema es interactuante.

5.2 SISTEMAS NO INTERACTUANTES Considérense tres sistemas interconectados de tal manera que sus modelos matemáticos están expresados por las siguientes ecuaciones diferenciales:

dY1 (t )  Y1 (t )  K1 X (t ) dt dY (t )  2 2  Y2 (t )  K 2Y1 (t ) dt dY (t )  3 3  Y3 (t )  K3Y2 (t ) dt

1

(5.1) (5.2) (5.3)

Siendo, Y1 (t), Y2 (t), Y3 (t), las variables de estado en cada una de las unidades y X (t) una variable de entrada. Las ecuaciones (5.1), (5.2) y (5.3) muestran que cada una de las unidades es de una dinámica de primer orden lineal SISO si se analiza su variable de salida con respecto a su variable de entrada. La ecuación (5.1) muestra que un cambio en la variable de entrada X (t), produce una variación en la variable de estado de la primera unidad, y a su vez, ésta última variación afecta la variable de estado de la segunda unidad y así sucesivamente. Como los efectos opuestos no ocurren, el sistema de las tres unidades se dice que es “No Interactuante” Al combinar las ecuaciones (5.1) y (5.2), de tal manera que se elimine la variable Y1 (t), resulta la siguiente ecuación diferencial de segundo orden d 2Y2 (t ) dY (t ) 1 2  ( 1   2 ) 2  Y2 (t )  K1K 2 X (t ) 2 dt dt

Melanio A. Coronado H.

(5.4)

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La ecuación (5.4) es de segundo orden lineal SISO, es decir, que el conjunto de las dos primeras unidades analizadas globalmente es de segundo orden. Se deduce de la ecuación (5.4) que la segunda unidad, ante perturbaciones en la variable de entrada, responde con: 1. Un atraso mayor que la primera unidad porque incluye dos atrasos dinámicos, y 2. Una ganancia que es el producto de las ganancias de las dos primeras unidades Y al combinar las tres ecuaciones (5.1), (5.2) y (5.3), resulta la siguiente ecuación diferencial

d 3Y3 (t ) d 2Y3 (t ) 1 2 3  (1 2  1 3   2 3 )  ( 1   2   3 )Y3 (t )  Y3 (t )  K1 K2 K3 X (t ) dt 3 dt

(5.5)

La ecuación (5.5) es de tercer orden lineal SISO, es decir, que el conjunto de las tres unidades analizadas globalmente es de un orden mayor porque es de tercer orden. Se deduce de la ecuación (5.5) que la tercera unidad, ante perturbaciones en la variable de entrada, responde con: 1. Un atraso mayor que la primera y la segunda unidad porque incluye tres atrasos dinámicos y 2. Una ganancia que es el producto de las ganancias de las tres primeras unidades En los sistemas posteriores al primero se dice que hay un atraso por transferencia adicional al de su propia dinámica.

5.3. SIMULINK: Diagrama de Bloques En la Figura 5.1 se muestra un diagrama de bloques para la simulación dinámica de tres sistemas lineales de primer orden SISO conectados en serie en forma no interactuante en el dominio del tiempo dentro de la plataforma de Simulink. La ecuación diferencial que se resuelve para cada uno de los sistemas es en su orden, la (5.1), (5.2) y (5.3), respectivamente. Y1 (t), Y2 (t), Y3 (t), son las variables de estado en cada una de las unidades y X (t) es una variable de entrada, mientras que τ1, τ 2 y τ 3 son los atrasos dinámicos en cada uno de los sistemas y las respectivas ganancias estacionarias son K1, K 2 y K3

Melanio A. Coronado H.

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Figura 5.1. Diagrama de bloques – Tres sistemas lineales de primer orden SISO en serie

Melanio A. Coronado H.

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5.3.1 Entradas y Salidas A la izquierda se observan dos bloques “Constant”, de color rojo, con los cuales se introducen los parámetros dinámicos del primer sistema, que en este caso son el atraso dinámico y la ganancia estacionaria. Adicionalmente, se incluyen tres bloques de la librería “Sources”, también de color rojo, para considerar el cambio paso (“Step”), rampa (“Ramp”) y seno (“Sine Wave”). El bloque de color negro se utiliza para indicar al interruptor múltiple el tipo de cambio en la variable de entrada que se desee simular. Encima del diagrama de bloques se observan otros bloques para ingresar los atrasos dinámicos y las ganancias del segundo y tercer sistema, respectivamente. A la derecha se observan un bloque “Scope” (Librería “Sinks”), de color rojo, para capturar los valores de la variable de salida en cada uno de los sistemas previa agrupación en un bloque “Mux”.

5.3.2 Solución numérica de las ecuaciones diferenciales Las secciones de color magenta, azul y verde (Figura 5.1) constituyen los diagramas de bloque para solucionar cada una de las ecuaciones diferenciales lineales del primer, segundo y tercer sistema, respectivamente. Se observa la naturaleza no interactuante de la serie porque la variable de salida del primer sistema es la variable de entrada del segundo y esta, a su vez, es la variable de entrada al tercer sistema. Se recogen en un bloque “Mux” las tres variables de salida junto con la variable de entrada para observarlas en el bloque “Scope” denominado “Respuesta”. En cada uno de los integradores se especifica el valor cero como condición inicial para cada una de las variables de salida correspondientes. Simulink dispone del bloque “Subsytem” dentro del cual se construyen secciones de bloques dentro de un gran diagrama de bloques. Se explica, a continuación, el uso de este bloque y su aplicación dentro del diagrama de la Figura 5.1

Bloque “Subsystem” El bloque “Subsystem” se puede emplear para agrupar un conjunto de bloques que se puedan considerar como una sección o subsistema dentro de un diagrama de bloque extenso o complejo. Para la creación de un bloque subsistema se tienen dos rutas: la una es instalar el bloque “Subsystem” de la librería “Ports & Subsystems” y entonces elaborar el diagrama de bloques que constituye el subsistema con sus correspondientes puertos de entrada y salida, y la otra consiste en seleccionar, dentro de un gran diagrama de bloques elaborado el conjunto de bloques con sus respectivas conexiones y seleccionar la opción “Create Subsystem” (Crtl + G) del menú “Edit”. Inmediatamente se enmascaran los bloques incluidos dentro del subsistema en un solo bloque que, por defecto, se denomina “Subsystem”. Simulink Melanio A. Coronado H.

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se encarga de instalar los puertos de entrada y salida y colocar los topes de conexión dentro de la ventana de presentación del bloque subsistema. Al instalar el bloque “Subsystem” en el espacio de trabajo de Simulink se observa un rectángulo (Figura 5.2 a) con un puerto de entrada (In1) y un puerto de salida (Out2) y al desplegar la ventana de especificaciones se despliega la ventana que se muestra en la Figura 5.2 b.

(a)

(b)

Figura 5.2. Bloque (a) “Subsystem” y (b) su ventana de especificaciones El bloque “In1” de la librería “Sources” se utiliza para representar un puerto de entrada dentro del subsistema y el bloque “Out1” de la librería “Sinks” se utiliza para representar un puerto de salida dentro del subsistema. La conexión entre ellos se entiende como la ilustración que dice que el diagrama de bloques construido como subsistema debe mostrar sus entradas a partir de puertos de entrada y sus salidas hasta puertos de salida. Al colocar dichos puertos, en la ventana de presentación del bloque aparecen agregados los puertos para las conexiones externas con el subsistema La Figura 5.3 muestra el subsistema correspondiente al diagrama de bloques para resolver la ecuación diferencial del primer subsistema de la Figura 5.1. Para su elaboración se copiaron los bloques de color magenta del diagrama y se pegaron en el espacio de trabajo del bloque “Subsystem”. Los bloques puertos de entrada y los bloques puertos de salida se instalaron haciendo copiado de los instalados por defecto y pegados en cada uno de los respectivos terminales. La numeración de cada uno de ellos es la única especificación requerida y en ese orden aparecen de arriba abajo en la ventana de presentación del bloque como se observa en la Figura 5.4.

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Figura 5.3. Bloque “Subsystem” – Ecuación diferencial primer sistema

(a)

(b)

Figura 5.4. Bloque (a) “Subsystem” primer sistema – (b) Ventana de presentación El conocimiento del diagrama permite deducir que el puerto “In1” es el de entrada del atraso dinámico, el puerto “In2” es el de entrada de la ganancia y el puerto “In3” es el de la entrada del cambio en la variable de entrada. En forma similar, el puerto “Out1” es la salida a la variable de estado del primer sistema. Por supuesto, que las leyendas de los puertos pueden digitarse para mejor ilustración como se observa en la Figura 5.4 b. Para desplegar el diagrama de bloques correspondiente al subsistema se hace doble clic sobre el bloque ventana de presentación. Este bloque es editable en todos los aspectos. La Figura 5.5 muestra el diagrama de bloques de la Figura 5.1 organizado por subsistemas que encierran las ecuaciones diferenciales de cada uno de ellos y se elaboran procediendo de la segunda forma explicada anteriormente. Se nota claramente la conexión en serie entre sistemas en forma no interactuante Melanio A. Coronado H.

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Figura 5.5. Diagrama de bloques organizado por subsistemas

Melanio A. Coronado H.

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5.3.3. Ejecución de la simulación Para la ejecución de la simulación se aplica el método ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal) y el tiempo de simulación asignado es de 10 minutos. Se ejecuta la simulación asignando valores unitarios a los parámetros dinámicos en cada uno de los sistemas y a continuación se muestran respuestas paso unitario, rampa unitaria y seno unitario en amplitud y frecuencia.

5.3.4. Resultado de la simulación A continuación se muestran las respuestas gráficas obtenidas al simular cada uno de los cambios en la variable de entrada incluidos en el diagrama de bloques, de acuerdo a las ecuaciones diferenciales (5.1) a (5.3).

Respuesta paso unitario A continuación se muestra, en forma gráfica (Figura 5.6), el resultado de la respuesta paso unitario de cada uno de los sistemas conectados en serie.

Figura 5.6. Respuesta paso unitario – Sistemas en serie

Se observa que el primer sistema muestra una respuesta característica de primer orden estable (color azul), el segundo sistema es de una dinámica con mayor atraso Melanio A. Coronado H.

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(segundo orden, color magenta) y el tercer sistema es de una dinámica con un atraso mucho mayor (tercer orden, color amarillo). Se observa en los sistemas dos y tres el denominado atraso por transferencia. En este caso el valor final que alcanza la variable de salida en cada uno de los sistemas es el mismo porque las ganancias estacionarias en cada uno de ellos es igual a uno. Si las ganancias, en cada sistema, son de valores diferentes, entonces los valores últimos de las variables de salida son diferentes si se tiene en cuenta que las ganancias para el segundo sistema es el producto de las ganancias de los sistemas uno y dos, y la ganancia para el tercer sistema es el producto de las ganancias de los tres sistemas.

Respuesta rampa unitaria A continuación se muestra, en forma gráfica (Figura 5.7), el resultado de la respuesta rampa unitaria de cada uno de los sistemas conectados en serie.

Figura 5.7. Respuesta rampa unitaria – Sistemas en serie

Se observan respuestas inestables características de sistemas de primer orden (color azul), con atrasos mayores para el segundo sistema (color magenta) y el tercer

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sistema (color amarillo). Se observa en los sistemas dos y tres el denominado atraso por transferencia. Las respuestas muestran después de un determinado tiempo un perfil lineal debido al valor unitario de las ganancias en cada uno de los sistemas. Si alguno de estos valores es diferente de uno, el perfil de estas respuestas toma un perfil lineal de acuerdo al valor correspondiente a la pendiente de cada sistema.

Respuesta seno unitaria A continuación se muestra, en forma gráfica (Figura 5.8), el resultado de la respuesta seno de amplitud uno y de frecuencia 1 rad/min de cada uno de los sistemas conectados en serie.

Figura 5.8. Respuesta seno unitaria – Sistemas en serie

Se observan las respuestas oscilatorias características de cambios seno en su variable de entrada de sistemas de primer orden (color azul), segundo orden (color magenta) y de orden mayor (color amarillo). La oscilación de color rojo es el cambio sinusoidal en la variable de entrada. Se observa en los sistemas dos y tres el denominado atraso por transferencia.

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5.4. EJERCICIOS 1. Realice los siguientes cálculos: a. Atrasos efectivos del segundo y tercer sistema en la respuesta paso, rampa y seno b. La amplitud de los perfiles sinusoidales de los tres sistemas en la respuesta seno c. Las respuestas últimas para cada uno de los sistemas en el cambio paso unitario si las ganancias tienen valores de 2, 3 y 4, respectivamente.

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Lección 6. SISTEMAS EN SERIE INTERACTUANTES 6.1 INTRODUCCIÓN Varios sistemas lineales conectados el uno a continuación del otro constituyen un sistema global cuyo modelo es lineal multivariable de orden mayor. Si la variable de salida de uno de los sistemas afecta, en un solo sentido, a la variable de salida del siguiente entonces el sistema es no interactuante, pero si el efecto es también en el sentido contrario entonces el sistema es interactuante.

6.2 SISTEMAS INTERACTUANTES Considérese dos sistemas interconectados de tal manera que sus modelos matemáticos están expresados por las siguientes ecuaciones diferenciales:

1

dY1 (t )  Y1 (t )  K1Y2 (t )  K o X (t ) dt

(6.1)

2

dY2 (t )  Y2 (t )  K 2Y1 (t ) dt

(6.2)

Siendo, Y1 (t), Y2 (t), las variables de estado en cada una de las unidades y X1(t), X2(t) dos variables de entrada. Las ecuaciones (6.1), (6.2) muestran que cada una de las unidades es de una dinámica de primer orden lineal SISO si se analiza su variable de salida con respecto a su variable de entrada. La ecuación (6.1) muestra que la dinámica de la primera unidad se afecta por cambios tanto en la variable de entrada como también por la variable de estado de la segunda unidad y, a su vez, la ecuación (6.2) muestra que la dinámica de la segunda unidad se afecta por cambios en la variable de estado de la primera unidad. Como la variación de una unidad afecta la otra y viceversa, entonces, el sistema de las dos unidades se dice que es “Interactuante” Una combinación de las ecuaciones (6.1) y (6.2) permite obtener las ecuaciones diferenciales para cada uno de los sistemas que relacionan a su variable de estado con la variable de salida y que son las siguientes para el primer y segundo sistema, respectivamente:

 1 2

d 2Y1 (t ) dY (t )  dX (t )   ( 1   2 ) 1  (1  K1 K 2 )Y1 (t )  K o  2  X (t )  2 dt dt dt  

Melanio A. Coronado H.

(6.3)

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 1 2

d 2Y2 (t ) dY (t )  ( 1   2 ) 2  (1  K1 K 2 )Y1 (t )  K o K 2 X (t ) 2 dt dt

(6.4)

Las ecuaciones diferenciales (6.3) y (6.4) corresponden a sistemas lineales de segundo orden SISO. La forma estándar de estas dos ecuaciones es:  1 2

K o  dX (t ) d 2Y1 (t )  1   2 dY1 (t )    Y1 (t )   X (t )   2 2 1  K1 K 2 dt 1  K1 K 2 dt 1  K1 K 2  dt 

(6.5)

 1 2

(6.6)

Ko K2 d 2Y1 (t )  1   2 dY1 (t )   Y1 (t )  X (t ) 2 1  K1 K 2 dt 1  K1 K 2 dt 1  K1 K 2

La ecuación característica de las ecuaciones (6.5) y (6.6) muestra que los sistemas se caracterizan con los parámetros característicos de una dinámica de segundo orden dados por las siguientes ecuaciones:  1 2

Atraso dinámico:



Coeficiente de amortiguamiento:



Ganancia primera unidad:

K u1 

Ko 1  K1 K 2

(6.9)

Ganancia segunda unidad:

Ku 2 

Ko K2 1  K1 K 2

(6.10)

1  K1 K 2

1   2 2  1 2 1  K1 K 2 

(6.7)

(6.8)

Se deduce a partir de las ecuaciones anteriores que el sistema global tiene resultados físicos realistas para valores de K1 y K2 tales que el producto entre ellas sea menor que 1. La presencia del término derivada de la variable de entrada en el miembro derecho de la ecuación diferencial correspondiente al primer sistema indica que ante perturbaciones en dicha variable la respuesta del primer sistema es adelantada o más rápida que la del segundo sistema. En este caso el parámetro  2 significa un adelanto en la respuesta del sistema

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6.3 SIMULINK – Diagrama de Bloques A continuación se explica, en orden secuencial, la elaboración del diagrama de bloques construido para simular la solución de las ecuaciones diferenciales (6.1) y (6.2). 1. Se instala un bloque “Subsystem”, se despliega su ventana espacio de trabajo y se construye el diagrama de bloques mostrado en la Figura 6.1 y que corresponde a la solución de la ecuación diferencial (6.1). El orden dado para los puertos de entrada es para conveniencia de las conexiones externas.

Figura 6.1 Diagrama de bloques subsistema primera unidad 2. Se instala un bloque “Subsystem”, se despliega su ventana espacio de trabajo y se construye el diagrama de bloques mostrado en la Figura 6.2 y que corresponde a la solución de la ecuación diferencial (6.2). El orden dado para los puertos de entrada es para conveniencia de las conexiones externas.

Figura 6.2 Diagrama de bloques subsistema segunda unidad

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3. Se instalan los bloques que ingresan los parámetros y la variable de entrada a cada uno de los subsistemas incluyendo la interconexión entre ellos. El diagrama de bloques que constituye el conjunto de los sistemas conectados en serie en forma interactuante es el que se muestra en la Figura 6.3. El primer subsistema se denomina “Primera Unidad” y el segundo “Segunda Unidad”

Figura 6.3 Diagrama de bloques dos sistemas en serie interactuantes 4. Los valores asignados a los parámetros para ejecutar la simulación son los observados en la Figura 6.3. K1 = 1, K2 = 0.5, Ko = 1, 1 = 1, 2 = 1. Los cambios paso, rampa y seno todos son unitarios

6.3.1. Ejecución de la simulación Para la ejecución de la simulación se aplica el método ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal) y el tiempo de simulación asignado es de 30 minutos. Se ejecuta la simulación asignando valores unitarios a los parámetros dinámicos en cada uno de los sistemas y a continuación se muestran respuestas paso unitario, rampa unitaria y seno unitario en amplitud y frecuencia.

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6.3.2. Resultados de la simulación A continuación se muestran las respuestas gráficas obtenidas al simular cada uno de los cambios en la variable de entrada incluidos en el diagrama de bloques, de acuerdo a las ecuaciones diferenciales (6.1) y (6.2).

Respuesta paso unitario A continuación se muestra, en forma gráfica (Figura 6.4), el resultado de la respuesta paso unitario de cada uno de los sistemas conectados en serie.

Figura 6.4. Respuesta paso unitario – Sistemas en serie Se observa que ambos sistemas muestran respuestas sobreamortiguadas estables, comportamiento que está de acuerdo con el valor mayor que 1 que le corresponde al factor de amortiguamiento calculado con la ecuación (6.8). La respuesta del primer sistema (color amarillo) muestra un adelanto con respecto a la respuesta del segundo sistema (color magenta) explicado con el término derivada de la variable de entrada que se incluye en el miembro derecho de la ecuación diferencial (6.3) ó (6.5). El valor último del primer sistema es 2 mientras que el del segundo sistema es 1. Esto se explica por los valores de las ganancias correspondientes a cada sistema de acuerdo con las ecuaciones (6.9) y (6.10). Cabe anotar el atraso dinámico es el

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mismo valor para ambos sistemas y, por lo tanto, la respuesta última se alcanza en el mismo tiempo para cada uno de los sistemas.

Respuesta rampa unitaria A continuación se muestra, en forma gráfica (Figura 6.5), el resultado de la respuesta rampa unitaria de cada uno de los sistemas conectados en serie.

Figura 6.5. Respuesta rampa unitaria – Sistemas en serie

Se observan comportamientos inestables característicos de las respuestas rampas de sistemas de segundo orden. El primer sistema muestra un adelanto (color amarillo), con respecto a la respuesta del segundo sistema (color magenta). Los perfiles lineales de cada una de las respuestas muestran pendientes diferentes teniendo en cuenta que las ganancias de cada uno de los sistemas son diferentes.

Respuesta seno unitaria A continuación se muestra, en forma gráfica (Figura 6.6), el resultado de la respuesta seno de amplitud uno y de frecuencia 1 rad/min de cada uno de los sistemas conectados en serie.

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Figura 6.6. Respuesta seno unitaria – Sistemas en serie

Se observan las respuestas oscilatorias características de cambios seno en su variable de entrada de sistemas de segundo orden. El primer sistema muestra una respuesta adelantada (color amarillo) con respecto a la respuesta del segundo sistema (color magenta). El perfil definidamente sinusoidal se alcanza al mismo tiempo para cada uno de los sistemas debido a que el valor del atraso dinámico es el mismo para ambos sistemas.

6.4. EJERCICIOS 1. Realice los siguientes cálculos: a. Atraso efectivo de los sistemas b. Coeficiente de amortiguamiento c. Ganancia del primer sistema d. Ganancia del segundo sistema e. Raíces de la ecuación característica 2. Para la respuesta seno, calcule a. El valor de la amplitud del perfil sinusoidal para las respuestas de cada uno de los sistemas b. La fase de cada uno de los perfiles sinusoidales de las respuestas

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3. Cambie el valor de K1 a 2 y el de K2 a 0.4 y repita los cálculos del numeral 1 y2 4. Modifique el diagrama de bloques de la Figura 6.3 insertando los bloques necesarios para que se observen los cambios en la variable de entrada junto con las respuestas de las unidades. (Para el cambio rampa haga que la respuestas muestren su perfil lineal paralelo con la rampa de entrada). 5. Considere una variable de entrada X1 (t) a la segunda unidad con ganancia Ko2 y desarrolle: a. El procedimiento matemático para obtener las ecuaciones diferenciales para cada una de las unidades en función de su respectiva variable de salida y variables de entrada b. El diagrama de bloques modificado de la Figura 6.3 para resolver el sistema de ecuaciones con la inclusión de la nueva variable de entrada c. La simulación del sistema en paralelo para un cambio paso unitario en la variable de entrada X1 (t) manteniendo constante la variable de entrada X(t) (Valor inicial y final = 0) d. La descripción analítica de los resultados obtenidos en la simulación del punto c. e. Repita el punto c para cambios rampa y seno unitario en la variable de entrada X1 (t) manteniendo constante la variable de entrada X(t) y describa los resultados obtenidos.

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Lección 7. ESPACIO DE LOS ESTADOS 7.1 FORMULACIÓN GENERAL Un sistema multivariable cuyo modelo en el dominio del tiempo es un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales se puede escribir en una forma más compacta mediante una ecuación matricial que exprese la relación entre la rapidez de cambio de las variables de estado con ellas mismas y con las variables de entrada. Esta representación constituye la escritura del modelo en la forma del Espacio de los Estados que además, incluye una ecuación matricial algebraica que compacta la representación de las variables de salida en función de las variables de estado y de entrada. Un sistema lineal con n variables de salida simbolizadas por xi y m variables de entrada simbolizadas por ui cuyo modelo matemático es de la forma: dx1 (t )  A11x1 (t )  A12 x2 (t )  .....  A1n xn (t )  B11u1 (t )  B12u2 (t )  .....  B1mum (t ) dt dx2 (t )  A21x1 (t )  A22 x2 (t )  .....  A2 n xn (t )  B21u1 (t )  B22u2 (t )  .....  B2 mum (t ) dt . . . dxn (t )  An1 x1 (t )  An 2 x2 (t )  .....  Ann xn (t )  Bn1u1 (t )  Bn 2u2 (t )  .....  Bnmum (t ) dt

Se puede escribir en forma compacta agrupando los términos en matrices de tal manera que resulta el siguiente arreglo:  dx1 (t )   dt   A11  dx (t )  A  2   21  dt   .  .     .   .    .  .    dxn (t )   An1  dt 

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A12

. . .

A22 . . .

. . . .

. . . .

. . . .

An 2 . . .

A1n   x1 (t )   B11    B A2 n   x2 (t )  21  . .  .  .     .  .   .  . .  .     Ann   xn (t )  Bn1

B12 B22 . . . Bn 2

. . . B1m   u1 (t )  . . . B2 m   u 2 (t )  . . . .  .  .   . . . .  .  . . . .  .    . . . Bnm  u m (t )

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Los coeficientes de las variables de salida simbolizados por Aij y los de las variables de entrada simbolizados por Bij pueden ser constantes o funciones del tiempo. Cada una de las matrices y vectores incluidos en el arreglo anterior se representan por los símbolos x, A, x, B, u y la escritura generalizada de un sistema de ecuaciones lineales en la forma del espacio de los estados es:

x  Ax  Bu y  Cx  Du

(7.1)

El punto sobre la variable de estado indica la derivada con respecto al tiempo. Un coeficiente Aij representa el cambio con respecto a la variable de estado j de la rapidez de cambio de la variable de estado i. En forma similar, un coeficiente Bij representa el cambio con respecto a la variable de entrada j de la rapidez de cambio de la variable de estado i. La matriz A es la matriz Jacobiana cuyos valores característicos determinan la estabilidad del sistema de ecuaciones y la rapidez de la respuesta. En la ecuación algebraica del sistema de ecuaciones escrito en la forma del espacio de los estados (7.1), los elementos del vector y son salidas relacionadas linealmente con las variables de estado y de entrada de la siguiente manera: y1 (t )  C11x1  C12 x2  .....  C1n xn  D11u1 (t )  D12u 2 (t )  .....  D1m u m (t ) y 2 (t )  C 21x1  C22 x2  .....  C2 n xn  D21u1 (t )  D22u 2 (t )  .....  D2 m u m (t ) . .

(7.2)

. y n (t )  Cn1 x1  Cn 2 x2  .....  Cnn xn  Dn1u1 (t )  Dn 2 u 2 (t )  .....  Dnmu m (t )

Un coeficiente Cij relaciona a la variable de estado j con la variable de salida i, mientras que un coeficiente Dij relaciona a la variable de entrada j con la variable de salida i.

7.2 ESPACIO DE LOS ESTADOS - FORMA ESTACIONARIA El espacio de los estados escrito para el estado estacionario es dado por:

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Axs  Bu s  0

(7.3)

La solución de la ecuación (7.3) es el vector cuyos elementos son los valores de las variables de estado en estado estacionario y se halla a partir de la siguiente ecuación matricial algebraica.

xs   A1Bu s

(7.4)

Un sistema multivariable cuyo modelo en el dominio del tiempo es un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales se puede escribir en una forma más compacta mediante una ecuación matricial que exprese la igualdad que relaciona a las rapideces de cambio de las variables de estado con las variables de estado y las variables de entrada. Esta representación constituye la escritura del modelo en la forma del Espacio de los Estados que además, incluye una ecuación matricial algebraica que compacta la representación de las variables de salida en función de las variables de estado y de entrada.

7.3 DINÁMICA DE UNA COLUMNA DE ABSORCIÓN En una columna de absorción esquematizada como se muestra en la Figura 7.1 los componentes que entran por el fondo en la corriente de alimento de gas son absorbidos por una corriente de líquido en contra corriente lo que hace que el producto gaseoso que sale por el tope de la columna sea más puro. Un ejemplo es el uso de una corriente de aceite pesado (liquido) para remover benceno de una corriente de alimento de gas compuesta por benceno y aire. Las columnas de absorción a menudo contienen platos con una capa liquida fluyendo a través de estos; estos platos son a menudo modelados como etapas de equilibrio. Se considera que el flujo de líquido de alimento es L = 4/3 kg mol de aceite inerte/min, el flujo de vapor es V = 5/3 kg mol de aire/min, la composición del líquido de alimento xf = 0.0 kg mol de benceno/kg mol de aceite inerte, y la composición del vapor de alimento y6 = 0.1 kg mol de benceno/kg mol de aire. En cada etapa se asume que la retención de líquido es M = 20/3 kg mol. Para el modelamiento matemático de la dinámica de la columna se tienen en cuenta las siguientes consideraciones:

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V y1

L xf

1 2 3

N-2 N-1 N

V yN+1

L xN

Figura 7.1. Columna de absorción de gases de N etapas.  El mayor componente de la corriente de gas es inerte y no se absorbe en la corriente de líquido.  Cada etapa del proceso es una etapa de equilibrio, es decir, el vapor que deja una etapa esta en equilibrio termodinámico con el líquido que entra.  La relación en cada etapa entre las composiciones de vapor y líquido en equilibrio es lineal y el valor de la constante de proporcionalidad es k = 0.5, es decir que:

yi  kxi

(1)

Para el planteamiento del modelo dinámico de la columna se utilizan las siguientes convenciones:

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Flujo mola r de líqui do:

L 

Flujo mola r de vapor:

V 

Re tención mo lar de líq uido por etapa:

M 

Re tención mo lar de vapor por etapa:

W 

Fracción m olar de lí quido en l a etapa i:

xi 

Fracción m olar de vapor en la etapa i:

yi 

moles de líquido ine rte tiempo moles de vapor inerte tiempo moles de líquido etapa moles de vapor etapa moles de soluto moles de líquido ine rte moles de soluto moles de vapor inerte

1. Escribir un modelo dinámico para una columna de absorción de cinco etapas y expresarlo en la forma del espacio de los estados. 2. Encontrar las concentraciones de vapor y líquido en equilibrio en cada una de las cinco etapas de equilibrio mediante la solución en estado estacionario del modelo en la forma del espacio de los estados 3. Mostrar gráficamente los cambios que resultan en las composiciones en cada etapa para un cambio paso en las composiciones de la corriente de entrada de alimento (vapor y líquido).

Etapa de Equilibrio El concepto de etapa de equilibrio es importante para el desarrollo de un modelo dinámico de una columna de absorción. Una etapa de equilibrio está representada esquemáticamente en la Figura 7.2.

L, xi -1 V, yi

i

Q

L, xi

V, yi +1

Figura 7.2. Etapa de equilibrio i.

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1. Modelo dinámico de la columna El modelamiento del fenómeno de transporte de materia se plantea para las etapas intermedias i, la primera y la etapa N.

Balance de Materia en la etapa i (2, 3 y 4) La cantidad total de soluto en la etapa i es la suma del soluto en la fase liquida y la fase gaseosa (es decir, Mxi  Wyi ). La velocidad de cambio de la cantidad de soluto es d (Mxi  Wyi ) / dt . El balance de materia de los componentes en la etapa i pueden ser escritos (Acumulación = Entrada - Salida): d ( Mxi  Wyi )  Lxi 1  Vyi 1  Lxi  Vyi dt

(2a)

Como el líquido es mucho más denso que el vapor, podemos asumir que la mayor contribución al termino de acumulación es Mxi . Ecuación (2) puede ser escrita como:

d ( Mxi )  Lxi 1  Vyi 1  Lxi  Vyi dt

(2b)

Siendo la retención de líquido M constante y substituyendo la ecuación (1) en la ecuación (2b), esta se transforma así: dxi L V L V  xi 1  kxi 1  xi  kxi dt M M M M

(3)

La ecuación (3) puede escribirse en la siguiente forma: dxi L Vk  L  Vk   xi 1   xi 1  xi  dt M M  M 

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(4)

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Se observa que la ecuación (4) proporciona una matriz con estructura tri-diagonal y es la ecuación que expresa la variación dinámica de la composición del líquido en la etapa i.

Balance de Materia en la etapa de tope (1) El balance de materia en el tope (etapa 1) es: dx1 L Vk  L  Vk   xf   x2  x1  dt M M  M 

(5)

Donde x f es conocido (composición del líquido de alimento).

Balance de Materia en la etapa de fondo (N) El balance de materia en el fondo (etapa N) es: dxN L Vk  L  Vk   xN 1   y N 1  xN  dt M M  M 

(6)

Donde y N 1 es conocido (composición del vapor de alimento).

Columna de absorción de cinco etapas Para una columna de absorción de cinco etapas, las ecuaciones del modelo (4), (5) y (6) pueden escribirse con el siguiente arreglo, en donde las variables de estado son xi (i = 1 a 5), y las variables de entrada son x f (composición del líquido de alimento) y y6 (composición del vapor de alimento). Se asume que las velocidades de flujo de líquido y vapor son constantes. Estas ecuaciones pueden ser escritas compactadas en una escritura matricial (estructura tri-diagonal), es decir, en forma del espacio de los estados (Ecuación 7)

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dx1 Vk L  L  Vk    x2  xf  x1  dt M M  M  dx2 L Vk  L  Vk   x1   x3  x2  dt M M  M  L Vk  L  Vk  x2   x4  x3  M M  M 

dx3  dt

L Vk  L  Vk  x3   x5  x4  M M  M 

dx4  dt

L V  L  Vk  x4   y6  x5  M M  M 

dx5  dt

 ( L  Vk )  M  x  1  L  x   M  2    x3    0     x  4  0  x5     0 

Vk M ( L  Vk )  M L M 0 0

0 Vk M ( L  Vk )  M L M 0

0 0 Vk M ( L  Vk )  M L M

    x1   L 0    M   x2   0 x    0 0  3     x4   0 Vk x   M   5   0 ( L  Vk )   M  0

 0 0 x f  0    y6  0  V  M

(7)

7.3.1. SIMULINK - Solución en estado estacionario Al evaluar los elementos que componen las matrices de la ecuación (7) resultan los siguientes arreglos:

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0 0 0   0.325 0.125  0.2  0.325 0.125 0 0   A 0 0.2  0.325 0.125 0    0 0.2  0.325 0.125   0  0 0 0 0.2  0.325

(8)

0   0. 2 0 0   B 0 0    0  0  0 0.25

(9)

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El vector cuyos elementos son los valores de las variables de entrada en estado estacionario es:

 x  0.0 u   fs      y6s   0.1

(10)

Los valores de x para cada una de las cinco etapas en el estado estacionario se pueden hallar haciendo uso de las herramientas de Simulink. La Figura 7.3 muestra el diagrama de bloques elaborado para resolver el conjunto de ecuaciones algebraicas dado por (7.4) con las matrices A, B y u dadas por (8), (9) y (10):

Figura 7.3. Solución del conjunto de ecuaciones del estado estacionario

Los bloques de color rojo son las entradas y salidas de la ecuación (7.4). Las entradas son bloques “Constant” de la librería “Sources” utilizados para ingresar las matrices A, B y Us y las salidas son bloques “Display” en donde se despliegan los resultados de la ecuación, es decir, las composiciones en fase líquida. El bloque “Gain” denominado “Constante de Equilibrio” se ha especificado con el valor de 0.5 para con ello desarrollar la ecuación de equilibrio de fases líquido - vapor y, por lo tanto desplegar las composiciones Melanio A. Coronado H.

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en fase vapor en el bloque “Display” denominado “Ys Composición Vapor”. Para multiplicar la matriz B por el vector Us se utiliza el bloque “Matrix Multiply” que se explica a continuación. Matrices A, B y Us La matriz A se especifica en su “Constant value” con la matriz [-0.325 0.125 0 0 0; 0.2 -0.325 0.125 0 0; 0 0.2 -0.325 0.125 0; 0 0 0.2 -0.325 0.125; 0 0 0 0.2 -0.325] y la matriz B se especifica en su “Constant value” con la matriz [0.2 0; 0 0;0 0; 0 0; 0 0.25] y el vector de variables de entradas Us se especifica en su “Constant value” con el vector [0 0.1]´. En todos los anteriores bloques constantes se aclara el cuadro de verificación “Interpret vector parameters as 1-D”, la propiedad “Sampling mode” se deja seleccionada con la opción “Sample based” y la propiedad “Sample time” se ajusta a 1 Bloque “Matrix Multiply” El bloque “Matrix Multiply” se utiliza para multiplicar varias matrices. Para accesar a éste bloque se selecciona la rama denominada “Signal Processing Blockset” incluida en el mismo árbol donde se encuentra Simulink y a continuación se seleccionan, en orden, las siguientes opciones: “Math Functions”, “Matrices and Linear Algebra” y “Matrix Operations”. Se encuentran, dentro de esta última, un conjunto de bloques para hacer operaciones con matrices dentro de los cuales se incluye al bloque “Matrix Multiply”. Este bloque solo requiere la especificación del número de matrices a multiplicar. En el diagrama de bloques de la Figura 7.3 se utiliza este bloque para multiplicar la matriz B por el vector Us y el vector resultante es alimentado junto con la matriz A al bloque “LU Solver”

Bloque “LU Solver” El bloque “LU Solver” se utiliza para resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales escritas compactadamente en forma matricial de tal manera que su organización se pueda representar por:

AX = B

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Siendo A una matriz cuadrática de dimensiones M x M, X el vector cuyos elementos son las M incógnitas del sistema de ecuaciones y B es un vector con M elementos. La ruta de búsqueda de librerías para seleccionar el bloque “LU Solver” es Signal Processing Blockset / Math Functions / Matrices and Linear Algebra / Matrix Operations / LU Solver. El bloque “LU Solver” se alimenta con la matriz A y el vector B y genera como salida el vector solución X del sistema de ecuaciones algebraicas lineales. En el sistema de ecuaciones resuelto en el diagrama de bloques de la Figura 7.3, la solución arroja los valores de las concentraciones en fase líquida. Las concentraciones en fase vapor se obtienen multiplicando las composiciones obtenidas para la fase líquida por el valor de la constante de equilibrio. Al hacer doble clic sobre el bloque “LU Solver” instalado se observa que no requiere de especificaciones.

7.3.2. SIMULINK - Solución en estado dinámico El análisis dinámico que se realiza a continuación se limita a la determinación de las variaciones de las concentraciones de líquido y vapor en cada etapa de la columna de absorción para un cambio paso en la composición del vapor de alimento y para un cambio paso en la composición del líquido de alimento:

Cambio paso en la composición del vapor de alimento En el siguiente desarrollo se considera que en un instante de tiempo despreciable (t = 0 minutos) la composición de la corriente de vapor que entra a la columna cambia de y6 = 0.1 kg mol de benceno/kg mol de aire a y6 = 0.15 kg mol de benceno/kg mol de aire, es decir que experimenta un cambio paso de 0.05 kg mol de benceno/kg mol de aire y se propone el determinar gráficamente:  El cambio en el tiempo de la concentración del líquido que sale por el fondo de la columna y del vapor que sale por el tope.  El cambio en el tiempo de la concentración de líquido en cada etapa de la columna Para determinar el perfil gráfico de la concentración del líquido que sale por el fondo y del vapor que sale por el tope a través del tiempo, la matriz C del modelo en la forma del espacio de los estados es

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 0 0 0 0 1 C  0.5 0 0 0 0

El producto de la anterior matriz C por el vector X cuyos elementos son las composiciones del líquido en los platos 1 a 5 da un vector Y cuyos elementos son las variables de salida X5 y Y1. La matriz D es:

0 0  D  0 0 

Los perfiles de las composiciones de líquido y vapor para cada una de las cinco etapas en el estado estacionario se pueden hallar haciendo uso de las herramientas de Simulink. La Figura 7.4 muestra el diagrama de bloques elaborado para resolver el conjunto de ecuaciones algebraicas dado por la ecuación (7) con las matrices A, B y u dadas por (8), (9) y (10) resuelto para un cambio paso de 0.05 en la composición del vapor de entrada manteniendo constante la composición del líquido de entrada: El bloque “Step” se especifica así: “Step time” = 0, “Initial value” = [0 0] y “Final value” = [0 0.05] porque la composición del vapor se le aplica un cambio paso de 0.1 a 0.15, es decir que el cambio paso es de 0.05. El modelo de la columna de absorción escrito en forma matricial se introduce con el bloque “State-Space” de la librería “Continuous”.

Bloque “State-Space” Este bloque permite la especificación del conjunto de ecuaciones diferenciales lineales del sistema a simular en la forma compacta denominada “Espacio de los Estados”. Por lo tanto, requiere de las especificaciones de las cuatro matrices A, B, C y D que se incluyen en este tipo de escritura y, además, la especificación de las condiciones iniciales de cada una de las variables de salida que contiene el sistema de ecuaciones.

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Figura 7.4. Solución del conjunto de ecuaciones del estado dinámico

El bloque denominado “State-Space” y el “State-Space1” se especifican con la matriz A y la matriz B del sistema de ecuaciones diferenciales que constituyen el modelo de la columna de absorción, pero las matrices C y D se especifican teniendo en cuenta que en el primero solo quiere dársele salida a la composición del líquido en el fondo de la columna y a la composición del vapor en el tope de la columna mientras que en el segundo se quiere mostrar como salida las cinco composiciones en fase líquida correspondiente a cada una de las cinco etapas de equilibrio de la columna de absorción. La Figura 7.5 muestra la ventana de especificaciones de ambos bloques y se nota la diferencia en las matrices C y D. La matriz C en el bloque “State-Space1” se especifica con el comando “eye” que se enuncia para una matriz identidad de 5 filas y 5 columnas porque se quiere mostrar como salidas las 5 composiciones en fase líquida correspondientes a cada etapa de equilibrio y la matriz D se especifica con el comando “zeros” que se enuncia para una matriz de ceros de 5 filas y 2 columnas porque debe tener el mismo número de filas de la matriz C y solo se tienen 2 variables de entrada. Las condiciones iniciales para cada una de las 5 composiciones en fase líquida son cero porque se maneja el modelo considerando las variables en su forma desviación.

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Las respuestas obtenidas se muestran en los bloques “Scope” que se muestran identificados por sus nombres.

(a)

(b)

Figura 7.5. Ventana de especificaciones del (a) Bloque “State-Space” (b) Bloque “State-Space1”

De arriba abajo, en el primero se muestra solo el perfil de la composición del líquido en el fondo de la columna, en el segundo se muestra el perfil de la composición del vapor en el tope de la columna y en el tercero se observan los perfiles de las composiciones de líquido en cada una de las etapas de la columna de absorción. Las Figuras 7.6, 7.7, 7.8 y 7.9 muestran los gráficos de dichos perfiles. El método de solución del sistema de ecuaciones es ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal) y el tiempo de simulación es 120 minutos. El perfil de color verde (superior) corresponde a la etapa 5 en donde es mayor la composición del líquido que en cualquier otra etapa y el perfil de color amarillo (inferior) corresponde a la etapa 1 en donde la composición del líquido es menor que en cualquier otra etapa más abajo.

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Figura 7.6. Respuesta paso de 0.05 en la composición del vapor de fondo Perfil de la composición del líquido en el fondo de la columna

Figura 7.7. Respuesta paso de 0.05 en la composición del vapor de fondo Perfil de la composición del vapor en el tope de la columna

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Figura 7.8. Respuesta paso de 0.05 en la composición del vapor de fondo Perfil de la composición del líquido en cada etapa de la columna

Figura 7.9. Respuesta paso de 0.05 en la composición del vapor de fondo Perfil de la composición normalizada del líquido en cada etapa

La Figura 7.9 muestra los perfiles normalizados de las composiciones del líquido en cada una de las etapas de la columna de absorción. En el diagrama de bloques que se observa en la Figura 7.4 se agrega una sección coloreada de azul en donde se calculan los valores en estado estacionario para cuando la concentración del vapor que se alimenta por el fondo sea de 0.15. El resultado, que se observa en el bloque

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“Display” denominado “Xs Composición Líquido”, es alimentado al bloque “Matrix Multiplicity1” en donde se realiza la división de las composiciones en fase líquida por sus respectivas composiciones en estado estacionario para calcular las composiciones normalizadas. En este caso se hace necesario especificar con signos la operación para cada una de las entradas (*/) y además que la división es de elemento a elemento (es decir./). La Figura 7.10 muestra la ventana de especificaciones del bloque “Matrix Multiplicity1”.

Figura 7.10. Ventana de especificaciones del bloque “Matrix Multiplicity1”

Se nota que la propiedad “Number of inputs” se especifica con los signos */ y la propiedad “Multiplication” se especifica con la opción “Element-wise(.*)” con la cual se realiza la operación elemento a elemento.

Cambio paso en la composición del líquido de alimento En el siguiente desarrollo se considera que en un instante de tiempo despreciable (t = 0 minutos) la composición de la corriente de líquido que entra a la columna cambia de xf = 0.0 kg mol de benceno/kg mol de aceite inerte a xf = 0.025 kg mol de

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benceno/kg mol de aceite inerte, es decir que experimenta un cambio paso de 0.025 kg mol de benceno/kg mol de aceite inerte y se propone el determinar gráficamente:  El cambio en el tiempo de la concentración del líquido que sale por el fondo de la columna y del vapor que sale por el tope  El cambio en el tiempo de la concentración de líquido en cada etapa de la columna

El diagrama de bloques elaborado para esta simulación es similar al anterior y es mostrado en la Figura 7.11

Figura 7.11. Solución del conjunto de ecuaciones del estado dinámico El bloque “Step” se especifica así: “Step time” = 0, “Initial value” = [0 0] y “Final value” = [0.025 0] porque la composición del líquido se le aplica un cambio paso de 0.0 a 0.025, es decir que el cambio paso es de 0.025. El modelo de la columna de absorción escrito en forma matricial se introduce con el bloque “StateSpace” de la librería “Continuous”. Las Figuras 7.11, 7.12 muestran los resultados de esta simulación.

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Figura 7.11. Respuesta paso de 0.025 en la composición del líquido de tope Perfil de la composición del líquido en cada etapa de la columna

Figura 7.12. Respuesta paso de 0.025 en la composición del líquido de tope Perfil de la composición normalizada del líquido en cada etapa

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La observación de las Figuras 7.11 y 7.12 muestra que la composición del fondo (X5) responde más lentamente a un cambio en el líquido de alimento que la composición del vapor de tope (Y1). Esto tiene sentido físico, porque la perturbación debe propagarse a través de las seis etapas (del tope a el fondo de la columna) para afectar la composición del fondo. En la sección para resolver el modelo en estado estacionario se observa que las variables de entrada están expresadas en términos desviación de tal manera que el valor de la composición del líquido de entrada es 0.025 y el valor de la composición del vapor de entrada se mantiene constante, es decir en términos desviación con un valor igual a cero.

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SECCIÓN

III

SISTEMAS LINEALES SIMULACIÓN DOMINIO LAPLACE

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Lección 8. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN SISO 8.1 INTRODUCCIÒN La ecuación diferencial que expresa el modelo matemático de un sistema lineal SISO se puede expresar con la siguiente forma: d n y (t ) dy n 1 (t ) dy (t )  a  .....  a1  ao y (t )  n 1 n n 1 dt dt dt d m x(t ) dx m1 (t ) dx(t ) bm  bm1  .....  b1  bo x(t )  co m m 1 dt dt dt an

(8.1)

Siendo y(t ) la variable de salida y x(t ) la variable de entrada. Los coeficientes pueden ser constantes o funciones lineales o no lineales con el tiempo. La ecuación (8.1) expresada con las respectivas variables desviación es: d nY (t ) dY n 1 (t ) dY (t )  a  .....  a1  aoY (t )  n 1 n n 1 dt dt dt d m X (t ) dX m 1 (t ) dX (t ) bm  b  .....  b1  bo X (t ) m 1 m m 1 dt dt dt an

(8.2)

Siendo Y (t ) la variable desviación de salida y X (t ) la variable desviación de entrada. El orden dinámico del sistema está determinado por el valor de n y el valor de m siempre debe ser menor que n

8.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Para el análisis dinámico de un sistema en el dominio de Laplace la ecuación diferencial de un sistema suele expresarse en la forma denominada función de transferencia, que se define como la relación entre la transformada de la variable desviación de salida y la transformada de la variable desviación de entrada, es decir:

G( s) 

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Y ( s) X ( s)

(8.3)

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Siendo G(s) el símbolo utilizado para representar una función de transferencia. Si la función de transferencia se escribe como una relación entre los polinomios correspondientes al numerador Y(s) y el denominador X(s) se dice que tiene la forma estándar, pero si dichos polinomios se muestran como productos de factores lineales en s se dice que tiene la forma de zeros y polos. La función de transferencia (8.3) permite encontrar la respuesta del sistema para un determinado tipo de cambio en su variable de entrada, mediante un procedimiento algebraico que requiere de la expansión de la fracción en fracciones parciales, la evaluación de los coeficientes para cada una de las fracciones y finalmente la inversión de la transformada de Laplace.

Función de transferencia - Forma estándar Si a la ecuación diferencial (8.2) se le aplica la transformada de Laplace se puede escribir la función de transferencia de un sistema lineal SISO de orden mayor en la siguiente forma estándar: cm s m  cm1 s m1  ....  1 Y ( s) G( s)  K X (s) cn s n  cn1 s n1  ....  1

(8.4)

Siendo n > m.

Polos y zeros de una función de transferencia El denominador de la función de transferencia (8.4) igualado a cero es la ecuación característica del sistema y las raíces de esta se denominan los polos de la función de transferencia. Por lo tanto, para un sistema lineal SISO de orden mayor se tienen tantos polos como de orden sea la ecuación diferencial que expresa el modelo matemático del sistema. Se entiende entonces que los polos son los valores de s que hacen indeterminada a la función de transferencia. La naturaleza real o compleja de los valores de los polos en una función de transferencia determina las características de la solución en cuanto a su estabilidad monotónica u oscilatoria Al igualar el numerador de la función de transferencia (8.4) a cero, las raíces de esta ecuación se denominan los zeros de la función de transferencia. El número de zeros que es posible encontrar en una función de transferencia es igual o mayor que cero pero siempre dicho número debe ser menor que el número de polos que haya en la

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función de transferencia. Según el signo positivo o negativo de los zeros que contenga una función de transferencia se observa un efecto en la dinámica del sistema en relación con el adelanto o la inversión de la respuesta del mismo.

Función de transferencia - Forma de polos y zeros Si el numerador y denominador de la función de transferencia (8.4) se factorizan, se pueden expresar de tal manera que se expresen los polos y zeros de la siguiente forma:

G( s) 

Y ( s) K ' ( s  z1 )(s  z 2 )(s  z 3 )....(s  z m )  X ( s) ( s  p1 )(s  p 2 )(s  p3 )....( s  p n )

(8.5)

Siendo p n el valor del enésimo polo y z m el valor del emésimo polo. Cuando los polos y los zeros son reales negativos los inversos negativos de sus valores expresan atrasos o adelantos dinámicos y la función de transferencia (8.5) suele escribirse de la siguiente manera:

G( s) 

Siendo  pn  

Y ( s) K ' ( z1 s  1)( z 2 s  1)( z 3 s  1)....( zm s  1)  X ( s) ( p1 s  1)( p 2 s  1)( p 3 s  1)....( pn s  1)

(8.6)

1 1 el valor del enésimo atraso dinámico y  zm   el valor del pn zm

emésimo adelanto dinámico. Cuando en la función de transferencia de un sistema no existen zeros, la función de transferencia en la forma estándar y en la forma de zeros y polos se reducen a las siguientes expresiones:

Y ( s) K  n n 1 X ( s) cn s  cn1 s  ....  c1 s  1 Kp Y (s) G(s)   X ( s) ( s  p1 )(s  p2 )(s  p3 )....( s  pn ) K Y ( s) G( s)   X ( s) ( p1 s  1)( p 2 s  1)( p 3 s  1)....( pn s  1)

G( s) 

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(8.7) (8.8) (8.9)

121

8.3. SISTEMA DE PRIMER ORDEN SISO Un sistema lineal de primer orden con un atraso dinámico  g , un adelanto dinámico  d y con una ganancia estacionaria K, la función de transferencia en su forma estándar es dada por:

G( s) 

Y (s)  s 1 K d X ( s)  g s 1

(8.10)

A partir de la función de transferencia (8.10) se pueden definir los siguientes casos de sistemas lineales de primer orden SISO:

1. Atraso de primer orden ( d  0) : Si el adelanto dinámico es igual a cero, entonces la función de transferencia (8.10) se reduce a la de un atraso dinámico y es de la forma:

G ( s) 

Y ( s) K  X ( s)  g s 1

(8.11)

2. Adelanto – Atraso de primer orden ( d  0) : En este caso la función de transferencia es la correspondiente a la (8.10). Si el adelanto dinámico es mayor que el atraso dinámico ( d   g ) , la respuesta es adelantada y si el adelanto dinámico es menor que el atraso dinámico ( d   g ) , la respuesta muestra un atraso menor que el que se observa cuando el adelanto dinámico es cero.

3. Integrador o de Capacidad Pura La función de transferencia de un sistema integrador es:

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G( s) 

Y ( s) K  X ( s)  gs

(8.12)

En la función de transferencia (8.12) el adelanto dinámico es cero y tiene un polo con un valor de cero.

4. Ganancia pura ( d   g  0) : Si el atraso y el adelanto dinámico son iguales a cero, la función de transferencia (8.10) se reduce a:

G( s) 

Y ( s) K X ( s)

(8.13)

8.4 SIMULINK: Diagrama de Bloques En la Figura 8.1 se muestra un diagrama de bloques para la simulación dinámica de sistema lineal de primer orden SISO en el dominio de Laplace dentro de la plataforma de Simulink.

8.4.1 Entradas y Salidas A la izquierda se observan dos bloques “Constant” de color negro, el llamado “Interruptor” se especifica con un valor de cero y tiene como función interrumpir o permitir el flujo de señal a través de los bloques función de transferencia instalados y el denominado “Entrada” se debe especificar con un valor de 1 o 2 o 3 según que el cambio en la variable de entrada sea paso, seno o rampa, respectivamente. Adicionalmente, se incluyen tres bloques de la librería “Sources” de color rojo, para considerar el cambio paso (“Step”), el cambio seno (“Sine Wave”) y el cambio rampa (“Ramp”) en la variable de entrada. Lo anterior es la información que debe manejarse al utilizar el interruptor múltiple o “Multiport Switch”. A la derecha se observa un bloque “Scope”, de color rojo, para mostrar en forma gráfica el cambio de la variable de salida con el tiempo. El bloque “Mux” (Librería “Signal Routing”) permite el paso individualizado de las señales seleccionadas de acuerdo a las posiciones definidas en cada uno de los interruptores manuales. Estos últimos bloques se utilizan para seleccionar los sistemas que se quieran simular dentro de los incluidos como bloques función de transferencia. Melanio A. Coronado H.

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Figura 8.1. Diagrama de bloques – Sistema Lineal de Primer Orden SISO

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Se quiere analizar individual y comparativamente las dinámicas de sistemas de primer orden con solo atraso dinámico, con adelanto dinámico (menor y mayor que el atraso dinámico), de solo ganancia e integradores ante cambios en la variable de entrada tipo paso, seno o rampa.

Bloque Función de Transferencia Forma Estándar “Transfer Fcn” El bloque “Transfer Fcn” se emplea para manejar el modelo matemático de un sistema en el dominio de Laplace, es decir con su función de transferencia en la forma estándar. La Figura 8.2 muestra la ventana de especificaciones de este bloque y se observa que solo se requiere la especificación del numerador y del denominador en forma matricial cuyos elementos sean los coeficientes de los respectivos polinomios.

Figura 8.2 Bloque Función de Transferencia forma estándar

La Figura 8.2 es la ventana de especificaciones de la función de transferencia denominada “Atraso Dinámico” dentro del diagrama de bloques correspondiente a la Figura 8.1

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125

8.4.2 Sistemas Lineales de Primer Orden La sección del diagrama de bloques que aparece de color negro corresponde a las funciones de transferencia de sistemas lineales de primer orden SISO que se quieren analizar en esta simulación. De arriba hacia abajo, el primer bloque corresponde a un sistema con solo atraso dinámico de 2 minutos y una ganancia estacionaria de 1, el segundo y el tercer bloque corresponden a sistemas adelanto – atraso. El primero de estos tiene un adelanto dinámico menor que el atraso dinámico mientras que el segundo tiene un adelanto dinámico mayor que el atraso dinámico. El cuarto bloque representa una dinámica de ganancia pura con un valor de 2 y el quinto bloque corresponde a una función de transferencia para un sistema integrador con ganancia de 1 y un atraso dinámico de 2 minutos. Los interruptores manuales conectados en las entradas de cada uno de los bloques función de transferencia se proponen permitir o interrumpir la respectiva señal de entrada de acuerdo al propósito que se plantee en la simulación. Adicionalmente, se observa otro interruptor múltiple cuya función es permitir el paso de la señal correspondiente al cambio en la variable de entrada para incluirla dentro del conjunto de perfiles respuesta de las simulaciones realizadas.

8.4.3. Ejecución y Resultados de la simulación Para la ejecución de la simulación se selecciona el método ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal), un tiempo de 25 minutos y los cambios en las variables de entrada son unitarios. Se quiere utilizar las distintas funciones de transferencia incluidas en el diagrama de bloques de la Figura 8.1 para comparar respuestas entre varios de ellos y observar la diferencia entre un sistema con solo atraso dinámico y otro sistema con el mismo atraso dinámico pero con un adelanto dinámico, por ejemplo.

Respuesta Paso Unitario La Figura 8.3 muestra los perfiles gráficos de la respuesta paso unitario del sistema con solo atraso dinámico y la del sistema con el mismo atraso dinámico y un adelanto dinámico menor que el atraso dinámico. Se observa que la respuesta del sistema adelanto-atraso es adelantada con respecto a la de solo atraso dinámico. Lo anterior es equivalente con respecto a la inclusión de un zero negativo en la función de transferencia del sistema. En la respuesta adelantada se observa un valor inicial de 0.5 que se puede calcular con el teorema del valor inicial con la función de transferencia del sistema considerado, es decir:

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 s 1 1 Y (0)  sY ( s ) s   s  0.5  2s  1 s   s

Figura 8.3. Respuesta Paso Unitario – Sistema de Primer Orden SISO Atraso dinámico (Amarillo) – Respuesta adelanto – atraso (magenta)

La respuesta última es la misma para ambos sistemas porque la ganancia es la misma y el cambio paso en la variable de entrada es el mismo al igual que el tiempo en que se alcanza la respuesta última. Si el adelanto dinámico se reduce aun más la respuesta del sistema es menos adelantada y su valor inicial se disminuye y cuando el adelanto dinámico es cero el sistema es de solo atraso dinámico. Si el adelanto dinámico se hace igual al atraso dinámico, el sistema es de solo ganancia y si el adelanto dinámico es mayor que el atraso dinámico entonces la respuesta es adelantada con un valor inicial mayor que el alcanzado cuando el sistema es de solo ganancia. La Figura 8.4 muestra los perfiles de las respuestas paso unitario del sistema con solo atraso dinámico, con un adelanto dinámico menor que el atraso dinámico, con un adelanto dinámico igual al atraso dinámico y con un adelanto dinámico mayor que el atraso dinámico Las características de la respuesta de este sistema son iguales a las de los sistemas con iguales parámetros dinámicos. El valor inicial de la respuesta del sistema con un adelanto dinámico mayor que el de su atraso dinámico es:

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 3s  1 1  Y (0)  sY ( s ) s   s  1.5  2s  1 s   s

Figura 8.4. Respuesta Paso Unitario – Sistema de Primer Orden SISO

Los perfiles de las respuestas y sus respectivos colores son: Atraso dinámico (Amarillo), Respuesta adelanto – atraso (magenta), Respuesta ganancia pura (azul oscuro) y Respuesta adelanto – atraso (azul claro).

Respuesta Rampa Unitaria La Figura 8.5 muestra los perfiles de las respuestas rampa unitaria del sistema con solo atraso dinámico, con un adelanto dinámico menor que el atraso dinámico, con un adelanto dinámico igual al atraso dinámico y con un adelanto dinámico mayor que el atraso dinámico. Las respuestas son inestables en virtud del cambio inestable rampa en la variable de entrada. Se observan resultados similares en cuanto a los atrasos o adelantos en cada una de las respuestas de acuerdo al valor de estos. Resalta el perfil adelantado del sistema con adelanto dinámico mayor que el atraso dinámico. Siendo la ganancia del sistema de un valor de uno la respuesta del sistema de solo ganancia se confunde con el perfil rampa de la variable de entrada.

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Figura 8.5. Respuesta Rampa Unitaria – Sistema de Primer Orden SISO

Los perfiles de las respuestas y sus respectivos colores son: Atraso dinámico (Amarillo), Respuesta adelanto – atraso (magenta), Respuesta ganancia pura (azul oscuro) y Respuesta adelanto – atraso (azul claro).

Respuesta Seno Unitario La Figura 8.6 muestra los perfiles de las respuestas seno del sistema con solo atraso dinámico, con un adelanto dinámico menor que el atraso dinámico, con un adelanto dinámico igual al atraso dinámico y con un adelanto dinámico mayor que el atraso dinámico. Se asigna un valor de uno tanto a la amplitud como a la frecuencia del cambio seno en la variable de entrada. Siendo la ganancia del sistema de un valor de uno la respuesta del sistema de solo ganancia se confunde con el perfil sinusoidal de la variable de entrada. Las respuestas son oscilatorias en virtud del cambio sinusoidal en la variable de entrada. Se observan resultados similares en cuanto a los atrasos o adelantos en cada una de las respuestas de acuerdo al valor de estos. Resalta el perfil adelantado del sistema con adelanto dinámico mayor que el atraso dinámico.

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Figura 8.6. Respuesta Seno Unitaria – Sistema de Primer Orden SISO

Los perfiles de las respuestas y sus respectivos colores son: Atraso dinámico (Amarillo), Respuesta adelanto – atraso (magenta), Respuesta ganancia pura (azul oscuro) y Respuesta adelanto – atraso (azul claro).

8.5. EJERCICIOS 5. Para un cambio paso unitario en la variable de entrada y un sistema con atraso dinámico de 3 minutos y adelanto dinámico de 1 minuto, calcule: a. El valor último de la respuesta b. El valor inicial de la respuesta 6. Para el cambio rampa unitario en la variable de entrada, realice los cálculos de los atrasos o adelantos de las respuestas simuladas. 7. Para el cambio seno de amplitud y fase unitaria, calcular a. El valor de la amplitud del perfil sinusoidal para las respuestas de cada uno de los sistemas b. La fase de cada uno de los perfiles sinusoidales de las respuestas

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Lección 9. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN SISO 9.1 INTRODUCCIÓN La ecuación diferencial que expresa el modelo matemático de un sistema lineal SISO de segundo orden se puede expresar con la siguiente forma:

a2

d 2Y (t ) dY (t ) dX (t )  a1  aoY (t )  b1  bo X (t ) 2 dt dt dt

(9.1)

Siendo Y (t ) la variable desviación de salida y X (t ) la variable desviación de entrada. En términos de los parámetros dinámicos que caracterizan a un sistema lineal SISO de segundo orden, la ecuación (9.1) se escribe así:

 g2

d 2Y (t ) dY (t )  dX (t )   2 g  Y (t )  K  d  X (t ) 2 dt dt dt  

(9.2)

Siendo  g el atraso dinámico,  d el adelanto dinámico,  el factor de amortiguamiento y K la ganancia estacionaria del sistema.

9.2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – FORMA ESTÁNDAR La función de transferencia en su forma estándar para un sistema lineal de segundo orden SISO de acuerdo a la ecuación diferencial (9.2) es dada por:

G( s) 

Y ( s)  s 1 K 2 2 d X ( s)  g s  2 g s  1

(9.3)

El denominador de la función de transferencia (9.3) igualado a cero es la ecuación característica del sistema. La naturaleza de las raíces de dicha ecuación depende del valor del factor de amortiguamiento si se tiene en cuenta que dichas raíces se calculan con la ecuación:

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r

  g

 2 1 g

(9.4)

La función de transferencia (9.3) permite encontrar la respuesta del sistema para un determinado tipo de cambio en su variable de entrada, mediante un procedimiento algebraico que requiere de la expansión de la fracción en fracciones parciales, la evaluación de los coeficientes para cada una de las fracciones y finalmente la inversión de la transformada de Laplace.

Polos y zeros de la función de transferencia (9.3) Siendo el denominador de la función de transferencia (9.3) de un sistema lineal de segundo orden SISO un polinomio de segundo grado, al igualarlo a cero la ecuación característica del sistema tiene dos polos. Y si el adelanto dinámico es diferente de cero, entonces en la función de transferencia hay un zero igual al inverso negativo del adelanto dinámico. Cuando las raíces de la ecuación característica son reales negativas diferentes o iguales se tienen dos polos reales negativos y se definen dos atrasos dinámicos que permiten que la función de transferencia se pueda escribir en la denominada forma de zeros y polos.

9.3. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – FORMA ZEROS Y POLOS La función de transferencia de un sistema lineal de segundo orden SISO escrita en la forma de zeros y polos se expresa de la siguiente manera:

G( s) 

K ' ( s  z1 ) Y ( s)  X ( s) ( s  p1 )( s  p2 )

(9.5)

1

Siendo el zero de la función de transferencia:

z1  

Los polos de la función de transferencia:

 p1  r1    g

 2 1 g

  g

 2 1 g

d

p2  r2  

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La ganancia de la función de transferencia:

K' 

K d

 g2

Una forma más usual de expresar la función de transferencia de un sistema lineal de segundo orden SISO en la forma de zeros y polos es:

G( s) 

Siendo los atrasos dinámicos

K ( d s  1) Y ( s)  X ( s) ( 1 s  1)( 2 s  1)

(9.6)

1 p1 1 2   p2

1  

9.4. RESPUESTAS DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN SISO La respuesta de un sistema lineal de segundo orden SISO depende del valor del factor de amortiguamiento. Si es mayor que cero la respuesta es estable, si es igual a cero es oscilatoria de amplitud constante y si es menor que cero es inestable. El comportamiento estable puede ser monotónico exponencial u oscilatorio decreciente. De acuerdo a lo anterior se distinguen los siguientes comportamientos:

Comportamiento monotónico estable o sobreamortiguado estable Si   1 , la respuesta es monotónica estable o Sobreamortiguada. En este caso, las raíces de la ecuación característica son reales diferentes y negativas y la respuesta del sistema es una suma de términos exponenciales con signos negativos.

Comportamiento monotónico estable crítico o amortiguado crítico Si   1 , la respuesta es monotónica estable crítica o Amortiguada crítica porque si se disminuye el valor del coeficiente de amortiguamiento la respuesta es de tipo subamortiguado y si, por lo contrario, se aumenta el sistema es más sobreamortiguado. En este caso, las raíces son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signo negativo. Melanio A. Coronado H.

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Comportamiento oscilatorio estable o subamortiguado estable Si 0    1, la respuesta es oscilatoria estable o Subamortiguada estable porque muestra una oscilación de amplitud decreciente. En este caso, las raíces son complejas conjugadas con parte real negativa y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal decreciente.

Comportamiento oscilatorio sostenido Si   0 , la respuesta es oscilatoria sostenida, es decir, de amplitud constante. En este caso, las raíces son cantidades imaginarias iguales de signo contrario y la respuesta del sistema es una expresión sinusoidal.

Comportamiento oscilatorio inestable o subamortiguado inestable Si  1    0 , la respuesta es oscilatoria inestable o Subamortiguada inestable, es decir con oscilaciones de amplitud creciente. En este caso, las raíces son complejas conjugadas con parte real positiva y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal creciente.

Comportamiento monotónico inestable o sobreamortiguado inestable Si   1 , la respuesta es monotónica inestable o Sobreamortiguada inestable. En este caso, las raíces son reales positivos y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signos positivos.

9.5 SIMULINK: Diagrama de Bloques En la Figura 9.1 se muestra un diagrama de bloques para la simulación dinámica de sistema lineal de primer orden SISO en el dominio de Laplace dentro de la plataforma de Simulink.

9.5.1 Entradas y Salidas A la izquierda se observan dos bloques “Constant” de color negro, el llamado “Interruptor” se especifica con un valor de cero y tiene como función interrumpir o

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Figura 9.1. Sistemas de Segundo Orden – Dominio Laplace

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permitir el flujo de señal a través de los bloques función de transferencia instalados y el denominado “Entrada” se debe especificar con un valor de 1 o 2 o 3 según que el cambio en la variable de entrada sea paso, seno o rampa, respectivamente. Adicionalmente, se incluyen tres bloques de la librería “Sources” de color rojo, para considerar el cambio paso (“Step”), el cambio seno (“Sine Wave”) y el cambio rampa (“Ramp”) en la variable de entrada. Lo anterior es la información que debe manejarse al utilizar el interruptor múltiple o “Multiport Switch”. A la derecha se observa un bloque “Scope”, de color rojo, para mostrar en forma gráfica el cambio de la variable de salida con el tiempo. El bloque “Mux” (Librería “Signal Routing”) permite el paso individualizado de las señales seleccionadas de acuerdo a las posiciones definidas en cada uno de los interruptores manuales.

9.5.2 Sistemas Lineales de Segundo Orden La sección del diagrama de bloques que aparece de color negro corresponde a las funciones de transferencia de sistemas lineales de segundo orden SISO que se quieren analizar en esta simulación. De arriba hacia abajo, los bloques corresponden a funciones de transferencia de sistemas lineales de segundo orden con la misma ganancia (1), el mismo atraso dinámico (2) y diferentes valores para el factor de amortiguamiento que son, en su orden, 3, 0.2, 0.0 -0.2 y -3. Los interruptores manuales conectados en las entradas de cada uno de los bloques función de transferencia se incluyen para permitir o interrumpir la respectiva señal de entrada de acuerdo al propósito que se plantee en la simulación. Adicionalmente, se observa otro interruptor múltiple cuya función es permitir el paso de la señal correspondiente al cambio en la variable de entrada para incluirla dentro del conjunto de perfiles respuesta de las simulaciones realizadas. Se adicionan los bloques (en color azul) para determinar las raíces de la ecuación algebraica correspondiente a la ecuación característica del sistema representado por el tercer bloque (de arriba abajo). En el bloque “Constant” denominado “Ecuación Característica” de introducen encerrado entre corchetes los coeficientes del polinomio denominador [4 0 1]. Se conecta al bloque “Matlab Fcn” que se le ha agregado a dicho nombre la palabra “roots” porque la función utilizada es la que con dicha palabra clave determina las raíces de una ecuación polinómica. Se especifica con el valor de 2 la propiedad “Output dimensions” y se selecciona la opción “Complex” en el cuadro desplegable titulado “Output signal type”. Se conecta este bloque a un bloque “Display” donde se observa para el caso mostrado que las raíces son imaginarias puras

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9.5.3. Ejecución y Resultados de la simulación Para la ejecución de la simulación se selecciona el método ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal) y los cambios en las variables de entrada son unitarios. Se quiere utilizar las distintas funciones de transferencia incluidas en el diagrama de bloques de la Figura 9.1 para observar los distintos comportamientos que muestra la respuesta de un sistema lineal de segundo orden SISO de acuerdo al valor del factor de amortiguamiento

Respuestas Sobreamortiguadas Las Figuras 9.2, 9.3 y 9.4 muestran los perfiles gráficos de la respuesta paso unitario, rampa unitaria y seno unitario del sistema sobreamortiguado incluido e el diagrama de bloques de la Figura 9.1 con un factor de amortiguamiento de 3 . Para obtener la respuesta paso unitario solo se permite la señal de entrada al primer bloque y se interrumpen las señales de entrada a los otros bloques función de transferencia, el tiempo de simulación es de 50 minutos. Se observa un perfil monotónico estable con una respuesta última de 1.

Figura 9.2. Respuesta Paso Unitario - Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado

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En la Figura 9.3 se observa el perfil inestable de la respuesta ante un cambio rampa en su variable de entrada. La respuesta es de naturaleza exponencial que después de un cierto tiempo toma un perfil lineal paralelo a la rampa de entrada y con un atraso con respecto a esta.

Figura 9.3. Respuesta Rampa Unitaria - Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado

Figura 9.4. Respuesta Seno Unitaria - Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado

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La respuesta seno resultante alcanza un perfil aproximadamente sinusoidal cuyas características de amplitud y fase, por ejemplo, se pueden calcular con las ecuaciones disponibles. Para obtener cada una de las respuestas anteriores se manipulan los interruptores en forma tal que solo se permita el flujo de la señal de entrada a la función de transferencia correspondiente al sistema sobreamortiguado

Respuestas Subamortiguadas Las Figuras 9.5, 9.6 y 9.7 muestran los perfiles gráficos de la respuesta paso unitario, rampa unitaria y seno unitario del sistema subamortiguado considerado en el diagrama de bloques de la Figura 9.1 con un factor de amortiguamiento de 0.2. En este caso, solo se permite el paso de la señal de entrada al bloque cuya función de transferencia corresponde a un comportamiento subamortiguado estable.

Figura 9.5. Respuesta Paso Unitario – Sistema de Segundo Orden Subamortiguado

La respuesta paso unitario del sistema es oscilatoria decreciente con un valor último de 1 (Figura 9.5). Se observan algunas características propias de este comportamiento como el sobre paso máximo, el tiempo de asentamiento, el tiempo de levantamiento, etc.

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Figura 9.6. Respuesta Rampa Unitaria – Sistema de Segundo Orden Subamortiguado

La respuesta rampa unitaria del sistema subamortiguado es oscilatoria decreciente que se aproxima con un perfil lineal a la rampa de entrada (Figura 9.6). Entre menor sea el valor del factor de amortiguamiento mas se acerca dicho perfil a la rampa de entrada

Figura 9.7. Respuesta Seno Unitaria – Sistema de Segundo Orden Subamortiguado

La respuesta seno unitaria (Figura 9.7) subamortiguada muestra un perfil oscilatorio durante de amplitud variable que posteriormente se observa con amplitud constante.

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Respuestas Oscilatorias sostenidas Las Figuras 9.8, 9.9 y 9.10 muestran los perfiles gráficos de la respuesta paso unitario, rampa unitaria y seno unitario del sistema oscilatorio sostenido considerado en el diagrama de bloques de la Figura 9.1 con un factor de amortiguamiento de 0.0. En este caso, solo se permite el paso de la señal de entrada al bloque cuya función de transferencia corresponde a un comportamiento oscilatorio sostenido.

Figura 9.8. Respuesta Paso Unitaria – Sistema de Segundo Orden Oscilatorio

Figura 9.9. Respuesta Rampa Unitaria – Sistema de Segundo Orden Oscilatorio

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Figura 9.10. Respuesta Seno Unitaria – Sistema de Segundo Orden Oscilatorio

La respuesta paso unitario del sistema es oscilatoria con amplitud constante (Figura 9.8), la respuesta rampa es de un perfil oscilatorio constante a través de la rampa de entrada (Figura 9.9) y la respuesta seno es de un perfil oscilatorio periódico.

Respuestas Inestables En el diagrama de bloques de la Figura 9.1 se incluyen dos bloques funciones de transferencia de sistemas con valores negativos para el factor de amortiguamiento (3 y -0.2). Esto hace que el comportamiento esperado de dichos sistemas sea inestable, en el primer caso sobreamortiguado y en el segundo caso subamortiguado.

Respuesta Sobreamortiguada Inestable Una respuesta sobreamortiguada inestable resulta cuando en la ecuación característica de un sistema el factor de amortiguamiento es menor o igual a -1. En este caso, las raíces de la ecuación característica son reales positivas y el perfil gráfico de la respuesta es exponencial o monotónico creciente, es decir inestable. Las Figuras 9.11 y 9.12 muestran los perfiles gráficos de la respuesta paso unitario y la respuesta rampa unitaria para el sistema sobreamortiguado inestable considerado. Para este caso, las raíces de la ecuación característica son 2.914 y 0.08579.

Melanio A. Coronado H.

142

Figura 9.11. Respuesta Paso Unitaria – Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado

Figura 9.12. Respuesta Rampa Unitaria – Sistema de Segundo Orden Sobreamortiguado

Respuesta Subamortiguada Inestable Una respuesta sobreamortiguada inestable resulta cuando en la ecuación característica de un sistema el factor de amortiguamiento es menor que cero y mayor que -1. En este caso, las raíces de la ecuación característica son complejas

Melanio A. Coronado H.

143

conjugadas con parte real positiva y el perfil gráfico de la respuesta es exponencial sinusoidal creciente, es decir inestable. La Figura 9.13 muestra el perfil gráfico de la respuesta paso unitario para el sistema subamortiguado inestable considerado. Para este caso, las raíces de la ecuación característica son 0.1 + 0.4899i y 0.1 – 0.4899i.

Figura 9.13. Respuesta Paso Unitaria – Sistema de Segundo Orden Subamortiguado

9.6. EJERCICIOS 1. Para la respuesta paso subamortiguada estable, calcule: a. El atraso dinámico del sistema b. El factor de amortiguamiento c. El sobrepaso máximo d. La razón de decaimiento 2. Para la respuesta seno sobreamortiguada estable, calcule: a. La amplitud del perfil sinusoidal de la respuesta y b. La fase de la respuesta

Melanio A. Coronado H.

144

Lección 10. SISTEMAS EN SERIE NO INTERACTUANTES Los sistemas de orden mayor son aquellos cuya dinámica se expresa mediante una ecuación diferencial de orden mayor que dos, como por ejemplo un proceso de flujo a través de un sistema constituido de tres o más tanques conectados entre sí. Si el flujo de la corriente de salida de uno de los tanques afecta, en un solo sentido, al flujo de la corriente de salida del siguiente entonces el sistema es no interactuante, pero si el efecto es también en el sentido contrario entonces el sistema es interactuante.

10.1 SISTEMAS NO INTERACTUANTES Considérese un sistema de tres tanques de flujo interconectados de tal manera que sus modelos matemáticos están expresados por las siguientes ecuaciones diferenciales:

1

dY1 (t )  Y1 (t )  K1 X (t ) dt

(10.1)

2

dY2 (t )  Y2 (t )  K 2Y1 (t ) dt

(10.2)

3

dY3 (t )  Y3 (t )  K3Y2 (t ) dt

(10.3)

Siendo, Y1(t), Y2(t), Y3(t), las variables de estado en cada una de las unidades y X(t) una variable de entrada. Las ecuaciones (10.1), (10.2) y (10.3) muestran que un cambio en la variable de entrada X(t), produce una variación en la variable de estado de la primera unidad, y a su vez, ésta última variación afecta la variable de estado de la segunda unidad y así sucesivamente. Como los efectos opuestos no ocurren, el sistema de las tres unidades se dice que es “No Interactuante”

Funciones de Transferencia – Forma estándar Las funciones de transferencia correspondientes a las ecuaciones (10.1), (10.2) y (10.3) son respectivamente

Melanio A. Coronado H.

145

K1 X (s)  1s  1 K2 Y2 ( s)  Y ( s)  2s 1 1 K3 Y3 ( s)  Y ( s)  3s  1 2 Y1 ( s) 

Primer tanque: Segundo tanque: Tercer tanque:

(10.4) (10.5)

(10.6)

Un diagrama de bloques que represente al sistema de los tanques en el dominio de Laplace es un conjunto de bloques conectados en serie procesando cada una de las funciones de transferencia y cuyas variables de entrada corresponden a las variables de salida del anterior (Ver figura 10.1).

X(t)

K1  1s  1

Y1(t)

K2  2s  1

Y2(t)

K3  3s  1

Y3(t)

Figura 10.1 Funciones de Transferencia en Serie

La eliminación de la variable de entrada X(s) entre las funciones de transferencia (10.4) y (10.5) resulta la función de transferencia global para el segundo tanque que es:

Segundo tanque:

Y2 ( s) 

K1 K 2 X ( s) ( 1s  1)( 2 s  1)

(10.7)

Y la eliminación entre las funciones de transferencia (10.4), (10.5) y (10.6) resulta la función de transferencia global para el tercer tanque que es:

Tercer tanque:

Melanio A. Coronado H.

Y3 ( s) 

K1K 2 K3 X ( s) (1s  1)( 2 s  1)( 3 s  1)

(10.8)

146

La función de transferencia (10.7) es característica de un sistema de segundo orden lineal SISO, es decir, que el conjunto de las dos primeras unidades analizadas globalmente es de segundo orden. Se deduce de la ecuación (10.7) que la segunda unidad, ante perturbaciones en la variable de entrada, responde con: 1. Un atraso mayor que la primera unidad porque incluye dos atrasos dinámicos, y 2. Una ganancia que es el producto de las ganancias de las dos primeras unidades La función de transferencia (10.8) es característica de un sistema de tercer orden lineal SISO, es decir, que el conjunto de las tres unidades analizadas globalmente es de un orden mayor porque es de tercer orden. Se deduce de la ecuación (10.8) que la tercera unidad, ante perturbaciones en la variable de entrada, responde con: 3. Un atraso mayor que la primera y la segunda unidad porque incluye tres atrasos dinámicos y 4. Una ganancia que es el producto de las ganancias de las tres primeras unidades

Funciones de Transferencia en Serie La función de transferencia global (10.7) para el segundo tanque es el producto de las funciones de transferencia del primero y segundo tanque en serie, es decir que:

Y2 ( s) 

 K1  K 2  K1K 2   X ( s) X ( s)    1s  1 2 s  1   1s  1   2 s  1 

Y la función de transferencia global (10.8) para el tercer tanque es la multiplicación de las funciones de transferencia del primero, segundo y tercer tanque, es decir que:

Y2 ( s) 

 K1  K 2  K 3  K1K 2 K 3  X ( s)   X ( s)    1s  1 2 s  1 3 s  1   1s  1   2 s  1   3 s  1 

Por lo tanto, la función de transferencia global resultante de dos o más unidades en serie es la multiplicación de cada una de ellas. Lo anterior es utilizado tanto para expresar dinámicas globales de varias unidades en serie o para descomponer Melanio A. Coronado H.

147

dinámicas con múltiples factores en el denominador como el producto de varias dinámicas en serie. En Matlab, la multiplicación de dos funciones de transferencia se puede realizar haciendo el producto simple entre ellas o utilizando la palabra clave “series” que requiere como argumentos las dos funciones de transferencia a multiplicar.

Funciones de Transferencia – Forma zeros – polos - ganancia Las funciones de transferencia para (10.4), (10.7) y (10.8) se pueden expresar en la forma de zeros – polos y ganancia haciendo las factorizaciones en cada uno de los binomios de primer grado incluidos en el denominador, así:

K1

Primer tanque:

Y1 ( s ) 

1

s

(10.9)

1

1 K1 K 2

Segundo tanque:

Tercer tanque:

 1 2

Y2 ( s) 

 1  1  s   s     1   2  K1 K 2 K 2  1 2 3 Y2 ( s)   1  1  1  s   s   s     1   2   3 

(10.10)

(10.11)

En las funciones de transferencia (10.9), (10.10) y (10.11) se observan las ganancias (producto de ganancias dividido por producto de atrasos dinámicos) y los polos (inversos negativos de los atrasos dinámicos) para cada uno de los tanques. No existen zeros. Es decir, que se puede escribir que para un conjunto de sistemas en serie como el considerado en el conjunto de ecuaciones (10.1) – (10.3) la ganancia global y los polos en cada uno de ellos es dado por las ecuaciones:

j

Kj  i 1

pj 

Melanio A. Coronado H.

1

j

Ki

i

j = 1, 2, 3,….

(10.12)

j = 1, 2, 3,….

(10.13)

148

10.2. SIMULINK En el un diagrama de bloques para la simulación dinámica de tres sistemas lineales de primer orden SISO conectados en serie en forma no interactuante en el dominio del Laplace dentro de la plataforma de Simulink se incluyen bloques función de transferencia tanto de la forma estándar como el de la forma de zeros y polos.

Bloque Función de Transferencia Forma zeros y polos “Zero-Pole” El bloque “Zero-Pole” se emplea para manejar el modelo matemático de un sistema en el dominio de Laplace, es decir con su función de transferencia en la forma de zeros y polos. La Figura 10.1 muestra la ventana de especificaciones de este bloque y se observa que solo requiere la especificación de los zeros, los polos y las ganancias en forma matricial.

Figura 10.1 Bloque Función de Transferencia forma zeros y polos

La Figura 10.1 es la ventana de especificaciones del bloque que representa a la función de transferencia denominada “Dos Sistemas” dentro del diagrama de bloques correspondiente a la Figura 10.2. En este caso, en el cuadro digitable “Zeros” aparece un corchete vacío que es la forma de indicar que en la función de transferencia no hay zeros, los polos son -1/2 y -1/4 y la ganancia es el resultado de la división 1/2/4.

10.2.1. Diagrama de Bloques La Figura 10.2 muestra el diagrama de bloques de tres sistemas en serie Melanio A. Coronado H.

149

Figura 10.2 Diagrama de bloques. Tres sistemas en serie no interactuantes

Melanio A. Coronado H.

150

Se consideran funciones de transferencia de primer orden para cada uno de los sistemas con ganancia de 1 y con atrasos dinámicos de 2, 4 y 5 minutos, respectivamente. En la cascada de unidades en serie se utilizan bloques función de transferencia forma estándar y en paralelo a esta se incluyen bloques función de transferencia forma zpk para representar las dinámicas globales de los primeros dos tanques y de los tres tanques en su conjunto. Se deduce, entonces, que en la ventana de especificaciones de la función de transferencia denominada “Tres Sistemas” que representa al conjunto de los tres sistemas, dentro del diagrama de bloques correspondiente a la Figura 10.2, en el cuadro digitable “Zeros” aparece un corchete vacío, los polos son -1/2, -1/4 y -1/5 y la ganancia es el resultado de la división 1/2/4/5.

Bloque “Scope” con 2 ejes El bloque “Scope” se puede especificar para que muestre en un mismo despliegue varios gráficos en representaciones separadas. El bloque denominado “Scope2” se ha especificado para que muestre la respuesta del segundo tanque dos veces en representaciones separadas. La primera es la respuesta que resulta de los dos tanques en serie y la segunda (equivalente a la primera) es la que resulta de considerar una función de transferencia global para el conjunto de dichos tanques.

Figura 10.3. Respuesta Seno – Segundo Tanque La Figura 10.3 muestra la respuesta seno unitario del segundo tanque en representaciones separadas, se observa claramente que son completamente iguales, en este caso. Para habilitar esta opción dentro del bloque “Scope” se presiona el Melanio A. Coronado H.

151

icono “Parameters” incluido a la izquierda de la barra de herramientas situada debajo de la barra de título para desplegar la ventana de especificaciones que se muestra en la Figura 10.4.

Figura 10.4. Ventana de especificaciones del bloque “Scope2” Se despliega por defecto la pestaña “General” y dentro de ella se especifican propiedades de los ejes “Axes”. En este caso, en el cuadro “Number of axes” se especifica el valor 2 porque se quiere el despliegue de dos gráficos separados. Se deja para el manejo del estudiante el dilucidar el propósito de las propiedades “Time range” y “Tick labels”.

10.2.2. Ejecución y Resultados de la simulación Para la ejecución de la simulación se selecciona el método ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal), se ajusta la tolerancia relativa o “Relative Tolerance” al valor 1e5 para alcanzar perfiles gráficos menos lineales por tramos y se selecciona la opción “Robust” dentro del cuadro desplegable “Solver reset method” para encontrar soluciones más rigurosas. Los cambios en las variables de entrada son unitarios.

Respuesta Paso Unitario La Figura 10.5 muestra los perfiles gráficos de la respuesta paso unitario de cada uno de los tres sistemas en serie. El segundo y tercer tanque muestran atrasos mayores que el primero porque en ellos se dan los denominados atrasos por transferencia. Las respuestas son sobreamortiguadas porque los polos son reales negativos, es decir el perfil gráfico debe corresponder al de una expresión exponencial con exponentes negativos.

Melanio A. Coronado H.

152

Figura 10.5. Respuesta paso unitario – Tres tanques en serie

Figura 10.6. Respuesta rampa unitaria – Tres tanques en serie

Respuesta Rampa Unitaria La Figura 10.6 muestra los perfiles gráficos de la respuesta rampa unitaria de cada uno de los tres sistemas en serie. Es un perfil inestable en virtud del cambio Melanio A. Coronado H.

153

inestable de un cambio rampa y se observa, el fenómeno del atraso por transporte en el segundo y tercer tanque. Se observan los perfiles oscilatorios que alcanzan perfiles con amplitud constante con atrasos mayores para los tanques dos y tres.

Respuesta Seno Unitaria La Figura 10.7 muestra los perfiles gráficos de la respuesta seno unitaria de cada uno de los tres sistemas en serie.

Figura 10.7. Respuesta seno unitaria – Tres tanques en serie

10.3. EJERCICIOS Explicar los cambios que se observan en cada una de las respuestas (paso, rampa y seno) para cada uno de los tanques si los valores de las ganancias en cada uno de los tanques son 1, 2 y 4, respectivamente

Melanio A. Coronado H.

154

Lección 11. SISTEMAS EN SERIE INTERACTUANTES Los sistemas en serie interactuantes son aquellos en los cuales la variable de salida de uno es la variable de entrada del otro y viceversa. Al analizar la dinámica de cada uno de los sistemas con respecto a las variables del sistema global resultan ser sistemas de orden mayor o igual dos, según sean las dinámicas individuales de cada uno de los subsistemas y el número de estas.

11.1. SISTEMAS INTERACTUANTES Considérese un sistema de dos tanques de flujo interconectados de tal manera que sus modelos matemáticos están expresados por las siguientes ecuaciones diferenciales:

1

dY1 (t )  Y1 (t )  K1Y2 (t )  K01 X1 (t) dt

(11.1)

2

dY2 (t )  Y2 (t )  K 2Y1 (t ) + K02 X 2 (t ) dt

(11.2)

Siendo, Y1(t), Y2(t), las variables de estado en cada una de las unidades y X1(t), X2(t) dos variables de entrada. Las ecuaciones (11.1) y (11.2) muestran que cada una de las unidades es de una dinámica de primer orden lineal SISO si se analiza su variable de salida con respecto a su variable de entrada. La ecuación (11.1) muestra que la dinámica de la primera unidad se afecta por cambios tanto en la variable de entrada como también por la variable de estado de la segunda unidad y, a su vez, la ecuación (11.2) muestra que la dinámica de la segunda unidad se afecta por cambios en la variable de estado de la primera unidad. Como la variación de una unidad afecta la otra y viceversa, entonces, el sistema de las dos unidades se dice que es “Interactuante”

Funciones de Transferencia Las funciones de transferencia correspondientes a las ecuaciones (11.1) y (11.2) son respectivamente

Melanio A. Coronado H.

155

Primer tanque:

Y1 ( s) 

K K1 Y2 ( s)  01 X1 ( s)  1s  1  1s  1

(11.3)

Segundo tanque:

Y2 ( s) 

K K2 Y1 ( s)  02 X 2 ( s)  2s 1  2s 1

(11.4)

La combinación de las ecuaciones (11.3) y (11.4) permite la obtención de las funciones de transferencia para las variables de salida en cada uno de los tanques en función de las variables de entrada así: Primer tanque:

Y1 ( s) 

K01 ( 2 s  1) K02 K1 X 1 ( s)  X 2 ( s) (1s  1)( 2 s  1)  K1K 2 (1s  1)( 2 s  1)  K1K 2

(11.5)

Segundo tanque:

Y2 ( s) 

K01K 2 K02 (1s  1) X 1 ( s)  X 2 ( s) (1s  1)( 2 s  1)  K1K 2 (1s  1)( 2 s  1)  K1K 2

(11.6)

A partir de las funciones de transferencia (11.5) y (11.6) se deduce que las dinámicas de las respuestas tanto en el primer como en el segundo tanque son de segundo orden con respecto a las variables de entrada. Además, muestran que con respecto a una variación en X1, manteniendo a X2 constante, la dinámica de la respuesta en el primer tanque es más rápida que en el segundo porque en la función de transferencia de Y1 con respecto a X1, se incluye un término en el numerador, es decir, un zero. En forma similar, se muestra que con respecto a una variación en X2, manteniendo a X1 constante, la dinámica de la respuesta en el segundo tanque es más rápida que en el primero porque en la función de transferencia de Y2 con respecto a X2, se incluye un término en el numerador, es decir, un zero. Un diagrama de bloques que represente al sistema de los tanques en el dominio de Laplace es un conjunto de bloques conectados en paralelo donde se observa que la variable de salida del segundo bloque se retroalimenta al primero y a su vez la variable de salida del primer tanque se alimenta al segundo. (Ver Figura 11.1).

Melanio A. Coronado H.

156

X1(s)

Y1(s)

K 01  1s  1

+

K1  1s  1

K2  2s 1 X2(s)

+

Y2(s)

K02  2s 1

Figura 11.1 Diagrama de bloques de un sistema interactuante

11.2. SIMULINK – Diagrama de Bloques En la Figura 11.2 se muestra el diagrama de bloques elaborado para simular la respuesta de un sistema cuyo modelo matemático sean las ecuaciones (11.1) y (11.2). Los parámetros utilizados son: K1 = 1, K2 = 0.5, Ko1 = 1, Ko2 = 1, 1 = 1, 2 = 1. Los cambios en las variables de entrada incluidos en el diagrama son paso, rampa y seno. Los resultados para las variables de salida son capturados en bloques “GoTo” y transferidos a bloques “From” a partir de los cuales se hacen mostrar en forma gráfica en un bloque “Scope”

Bloque “GoTo” El bloque “Goto” se encuentra dentro de la librería “Signal Routing” y se emplea para capturar datos que serán transferidos a otro bloque, de la misma librería, denominado “From”. Tanto el bloque “Goto” como el bloque “From” requieren como especificación el nombre de la propiedad “Goto Tag”. En la Figura 11.2, se observa que los bloques “Goto” utilizados, se han especificado con las propiedades Y1 y Y2 y que aparecen desplegadas en el frente del bloque encerradas entre corchetes. Para este caso, se selecciona la opción “local” para la propiedad “Tag Visibility”. La Figura 11.3 muestra la ventana de especificaciones del bloque denominado “Goto Y1”.

Melanio A. Coronado H.

157

Melanio A. Coronado H.

158

Figura 11.3. Bloque “Goto” – Ventana de Especificaciones

Bloque “From” El bloque “From” se encuentra dentro de la librería “Signal Routing” y se emplea para capturar datos que serán transferidos desde otro bloque, de la misma librería, denominado “Goto”. Tanto el bloque “Fom” como el bloque “Goto” requieren como especificación el nombre de la propiedad “Goto Tag”. En la Figura 11.2, se observa que los bloques “From” utilizados, se han especificado con los mismos nombres asignados a los bloques “Goto”, es decir Y1 y Y2 y que aparecen desplegadas en el frente del bloque encerradas entre corchetes. La Figura 11.4 muestra la ventana de especificaciones del bloque denominado “From Y1”.

Figura 11.4. Bloque “From” – Ventana de Especificaciones

Melanio A. Coronado H.

159

En el diagrama de bloques de la Figura 11.2 se muestra la conexión en paralelo de los sistemas interactuantes y se incluyen dos interruptores manuales con el objeto de manejar la opción de analizar respuestas dinámicas de cada uno de los sistemas para cambios en solo una de las dos variables de entrada.

11.2.1. Ejecución y Resultados de la simulación Para la ejecución de la simulación se selecciona el método ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal), se ajusta la tolerancia relativa o “Relative Tolerance” al valor 1e5 para alcanzar perfiles gráficos menos lineales por tramos y se selecciona la opción “Robust” dentro del cuadro desplegable “Solver reset method” para encontrar soluciones más rigurosas. Los cambios en las variables de entrada son unitarios.

Respuesta Paso Unitario Al hacer un cambio paso unitario en la variable de entrada al primer sistema manteniendo constante la variable de entrada al segundo sistema, los sistemas muestran respuestas de acuerdo a los perfiles gráficos mostrados en la Figura 11.5.

Figura 11.5. Respuesta paso unitario – Cambio paso en la variable de entrada X1

Melanio A. Coronado H.

160

Se observa que el primer sistema responde más rápidamente que el segundo sistema; pero si se mantiene constante la variable de entrada X1 y se hace un cambio paso unitario en la variable de entrada X2, entonces la respuesta más rápida es la mostrada por el segundo tanque como se observa en la Figura 11.6. Las respuestas son monotónicas estables.

Figura 11.6. Respuesta paso unitario – Cambio paso en la variable de entrada X2

Figura 11.7. Respuesta paso unitario – Cambio paso en las variables X1 y X2

Melanio A. Coronado H.

161

Respuesta Rampa Unitaria Las Figuras 11.8, 11.9 y 11.10 muestran los perfiles gráficos de las respuestas rampas unitarias de los sistemas para cambios en la variable X1 o X2. Se observan comportamientos similares en lo que respecta al sistema con respuesta adelantada. Las respuestas son monotónicas inestables.

Figura 11.8. Respuesta rampa unitaria – Cambio rampa en la variable de entrada X1

. Figura 11.9. Respuesta rampa unitaria – Cambio rampa en la variable de entrada X2

Melanio A. Coronado H.

162

Figura 11.10. Respuesta rampa unitaria – Cambio rampa en las variables X1 y X2

Respuesta Seno Unitaria Las Figuras 11.11, 11.12 y 11.13 muestran los perfiles gráficos de las respuestas senos unitarias de los sistemas para cambios en la variable X1 o X2.

Figura 11.11. Respuesta seno unitaria – Cambio seno en la variable de entrada X1

Melanio A. Coronado H.

163

Figura 11.12. Respuesta seno unitaria – Cambio seno en la variable de entrada X2

Figura 11.13. Respuesta seno unitaria – Cambio seno en las variables X1 y X2 Se observan comportamientos similares en lo que respecta al sistema con respuesta adelantada. Las respuestas son oscilatorias con perfiles sinusoidales después de un tiempo inicial. Melanio A. Coronado H.

164

11.3. EJERCICIOS 1. Para cada uno de los tres cambios pasos unitarios simulados anteriormente: A. Calcule el valor de las raíces de la ecuación característica B. Explique el cálculo del valor último de la respuesta de cada uno de los sistemas C. Explique, matemáticamente, por qué es adelantada la respuesta del primer sistema cuando el cambio paso se hace en la variable X1. D. Explique, matemáticamente, por qué es adelantada la respuesta del segundo sistema cuando el cambio paso se hace en la variable X2. E. Explique, matemáticamente, la respuesta observada en los sistemas cuando el cambio paso se hace en las variables X1 y X2. 2. Para cada uno de los tres cambios rampa unitario simulados anteriormente: A. Calcule el valor de las raíces de la ecuación característica B. Explique el cálculo de la pendiente del perfil linealizado de cada una de las respuestas de los sistemas 3. Para cada uno de los tres cambios seno unitario simulados anteriormente: A. Calcule el valor de las raíces de la ecuación característica B. Explique el cálculo de la amplitud y la fase del perfil sinusoidal de la respuesta de cada uno de los sistemas C. Explique, matemáticamente, la respuesta observada en los sistemas cuando el cambio paso se hace en las variables X1 y X2. 4. En el diagrama de bloques de la Figura 11.2 cambie la ganancia 0.5 de la función de transferencia del bloque desplegado con la leyenda “Y2/Y1” por el valor de 1 y desarrolle lo siguiente: A. La función de transferencia para Y1(s) y Y2(s) B. La respuesta paso para cada uno de los tres casos considerados en esta simulación. C. Explique, matemáticamente, el por qué se observan los perfiles monotónicos no lineales obtenidos D. El atraso o adelanto de cada sistema en cada simulación 5. En el diagrama de bloques de la Figura 11.2 mantenga los valores de las ganancias en cada una de las funciones de transferencia y asigne valores a los atrasos dinámicos en cada tanque de tal manera que se obtengan respuestas

Melanio A. Coronado H.

165

paso unitarias monotónicas estables y repita los cálculos desarrollados en el punto 1.

Melanio A. Coronado H.

166

Lección 12. SISTEMAS CON TIEMPO MUERTO 12.1. INTRODUCCIÓN Un fenómeno que se presenta muy a menudo en los sistemas de flujo es el del atraso por transporte, que se conoce también como tiempo muerto. Para explicar dicho fenómeno, se considera un sistema como el mostrado en la Figura 12.1, que consiste en un líquido que fluye a través de un tubo aislado de área transversal constante, A, y una longitud, L, con un flujo volumétrico constante, Q. La densidad  y el calor específico, c, del líquido son constantes; la pared del tubo es de un calor específico despreciable y el flujo es de un régimen de pistón, es decir, el perfil de velocidad es plano. La temperatura de entrada del fluido, Ti, varía con el tiempo y se quiere hallar la respuesta del sistema con respecto a la temperatura, T, de salida del fluido en términos de la función de transferencia

Area Seccional = A Ti(t) Q

T(t) L

Q

Figura 12.1 Sistema de flujo con atraso por transporte

Se considera como estado inicial, las temperaturas del fluido en estado estacionario y que además son iguales, es decir que Ti (0)  T (0)

(12.1)

Al perturbar la temperatura de entrada, Ti(t), con un cambio paso en un instante t = 0, dicho cambio se detecta en el otro extremo del tubo después de un tiempo to, requerido para que el fluido entrante atraviese todo el tubo. El parámetro to es el denominado atraso por transporte o tiempo muerto y es, simplemente, el tiempo necesario para que una partícula de fluido se traslade desde la entrada hasta la salida del tubo y puede calcularse a partir de la expresión:

Melanio A. Coronado H.

167

Volumen del Tubo Flujo Volumétric o AL to  Q

to 

(12.2)

Esta respuesta se representa en la Figura 12.2

Ti(t)

T(t)

t

0

to

Figura 12.2 Respuesta de un atraso por transporte a un cambio paso

Si la variación en Ti(t), es una función arbitraria como la mostrada en la Figura 12.3, la respuesta T(t) en el otro extremo del tubo será idéntica a la variación de Ti(t) pero nuevamente retrasada en to unidades de tiempo.

Ti(t)

T(t)

t

0

to

Figura 12.3 Respuesta de un atraso por transporte a un cambio arbitrario Melanio A. Coronado H.

168

Se puede observar a partir de las Figuras 12.2 y 12.3 que la relación entre Ti(t) y T(t) es: T (t )  Ti (t  t o )

(12.3)

En términos de las variables desviación Γ la ecuación (12.3) se expresa como (t )  i (t  t o )

(12.4)

El miembro derecho de la ecuación (12.4) expresa una traslación de la temperatura de entrada a un tiempo posterior. Aplicando el teorema sobre la transformada de Laplace a una función trasladada, la función de transferencia correspondiente a la ecuación (12.4) es de la forma ( s )  e  sto i ( s)

(12.5)

La ecuación (12.5) es la función de transferencia de un atraso por transporte.

Cuando se establece una proporcionalidad constante entre las variables de salida y entrada, esto incluye un parámetro adicional en la función de transferencia entendida como una ganancia proporcional y, por lo tanto, se escribe como: ( s )  Ke  sto i ( s)

(12.6)

El atraso por transporte es muy común en las industrias químicas donde se transportan fluidos a través de tuberías. Los atrasos por transporte hacen más difícil el control de los sistemas, por lo que deben evitarse en lo posible colocando los equipos lo más cerca posible entre sí.

Melanio A. Coronado H.

169

Aproximación de Padé A menudo el término exponencial correspondiente al tiempo muerto se aproxima mediante las aproximaciones de Padé de primer y segundo orden, así:

to s 2  t 1 o s 2

Primer Orden:

e t o s

Segundo Orden:

e tos 

1

(12.7)

(to ) 2 s 2  6to s  12 (to ) 2 s 2  6to s  12

(12.8)

12.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON TIEMPO MUERTO Si en la respuesta de un sistema se considera tanto atraso dinámico como por transporte, el atraso total corresponde a dos atrasos en serie que en un diagrama de bloques pueden representarse de la siguiente manera para un sistema de primer orden:

Atraso Dinámico

X(s)

K1 s  1

Atraso por Transporte

Y1(s)

Y(s) K2e-sto

Figura 12.4 Sistema de Primer Orden con Tiempo Muerto

Sistemas de Primer Orden con Tiempo Muerto De acuerdo al algebra de las funciones de transferencia, para un sistema de primer orden como el representado en la Figura 12.4 se tiene que:

Atraso dinámico:

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 K  Y1 ( s)   1  X ( s) s  1

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Atraso por transporte:

Y (s)  K 2 e  sto Y1 (s)

Atraso total:

 Ke  sto  Y ( s)    X (s)  s  1  

(12.9)

El término encerrado entre corchetes en la ecuación (12.9) es una función de transferencia importante utilizada para aproximar la respuesta de procesos de orden mayor que uno. Se le denomina como “Función de transferencia de primer orden más tiempo muerto”

Sistemas de Segundo Orden con Tiempo Muerto En forma similar, algunos procesos de dinámica desconocida pueden aproximarse a un modelo de segundo orden con tiempo muerto con funciones de transferencia en la forma de

  Ke  sto Y ( s)    X ( s) (  s  1 )(  s  1 ) 2  1 

ó

  Ke  sto Y (s)   2 2  X ( s)  s  2  s  1  

(12.10)

(12.11)

Siendo K, la ganancia estacionaria; to, el tiempo muerto; , los atrasos dinámicos y  la razón de amortiguamiento

12.3. SIMULINK 12.3.1. Diagrama de Bloques En la Figura 12.5 se muestra el diagrama de bloques que simula la dinámica con tiempo muerto de un sistema de primer orden y de segundo orden. Se simulan dichos sistemas a partir de la especificación de los parámetros dinámicos correspondientes.

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Figura 12.5. Diagrama de bloques – Sistemas con tiempo muerto

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12.3.2. Tiempo muerto - “Transport Delay” En el diagrama de bloques de Simulink el tiempo muerto se incluye con el botón “Transport Delay” de la librería “Continuous”. Solo requiere de la especificación del valor del tiempo muerto que es la propiedad “Time Delay”. La propiedad “Initial output” es el valor de la variable de salida durante el tiempo muerto y se deja en su valor por defecto. En la Figura 12.6 se observa la ventana de especificaciones de un bloque “Transport Delay”. Las otras especificaciones se mantienen en sus valores por defecto

Figura 12.6. Ventana de especificaciones del bloque “Transport Delay”

12.3.3. Ejecución y Resultados de la simulación Para la ejecución de la simulación se selecciona el método ode23t (mod. Stiff/Trapezoidal), se ajusta la tolerancia relativa o “Relative Tolerance” al valor 1e5 para alcanzar perfiles gráficos menos lineales por tramos y se selecciona la opción “Robust” dentro del cuadro desplegable “Solver reset method” para encontrar soluciones mas rigurosas. Los cambios en las variables de entrada son unitarios.

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12.4. RESPUESTAS DINÁMICAS A continuación se muestran las respuestas paso, rampa y seno unitario para los sistemas de primero y segundo orden incluidos en el diagrama de bloques de la Figura 12.5. En los perfiles gráficos se incluyen el cambio en la variable de entrada y las respuestas sin y con tiempo muerto para mostrar el mayor atraso de la respuesta con tiempo muerto con respecto a la respuesta sin tiempo muerto.

12.4.1. Respuesta Sistema de Primer Orden El sistema de primer orden incluido en el diagrama de bloques de la Figura 12.5 es de solo atraso dinámico, de tal manera que las respuestas a cambio paso, rampa o seno son de características conocidas y en este caso la respuesta con tiempo muerto es más atrasada.

Figura 12.7. Respuesta Paso Unitario – Sistema de Primer Orden Las respuestas paso unitario son monotónicas estables, el valor último para ambos casos es el mismo (1) y se observa el atraso por transporte en la respuesta con tiempo muerto (1).

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Figura 12.8. Respuesta Rampa Unitaria – Sistema de Primer Orden Las respuestas rampa unitaria son monotónicas inestables, y se observa el atraso por transporte en la respuesta con tiempo muerto (1).

Figura 12.9. Respuesta Seno Unitaria – Sistema de Primer Orden

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Las respuestas senos unitarias son oscilatorias con un perfil inicial decreciente y posteriormente de amplitud constante. Se observa la fase de la respuesta con solo atraso dinámico y el atraso mayor a la respuesta con tiempo muerto.

12.4.2. Respuesta Sistema de Segundo Orden El sistema de segundo orden incluido en el diagrama de bloques de la Figura 12.5 es subamortiguado con una ganancia de 1, un atraso dinámico de 1 y un factor de amortiguamiento de 0.2. Al determinar las raíces de la ecuación característica se encuentra que son complejas conjugadas con parte real negativa. La respuesta paso es oscilatoria decreciente (Figura 12.10), la respuesta rampa es inestable con alguna oscilatoriedad inicial y con una traslación que tiende a la rampa de entrada (Figura 12.11) y la respuesta seno es oscilatoria periódica (Figura 12.12). Se observa, en ambas respuestas, que las características dinámicas son iguales pero, como en los casos anteriores, que la respuesta con tiempo muerto es más atrasada que la respuesta sin tiempo muerto. El valor último de la respuesta paso unitario del sistema de segundo orden subamortiguado es 1.

Figura 12.10. Respuesta Paso Unitario – Sistema de Segundo Orden

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Figura 12.11. Respuesta Rampa Unitario – Sistema de Segundo Orden

Figura 12.12. Respuesta Seno Unitario – Sistema de Segundo Orden

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12.5. EJERCICIOS 1. Para la respuesta seno del sistema de primer orden simulado anteriormente: A. Calcule el valor de la amplitud del perfil sinusoidal de la respuesta B. Calcule la fase de la respuesta con perfil sinusoidal 2. Para la respuesta paso del sistema de segundo orden simulador anteriormente calcule el valor de: C. Las raíces de la ecuación característica D. El sobrepaso máximo E. El valor de la razón de decaimiento 3. Para la respuesta seno del sistema de segundo orden simulado anteriormente: a. Calcule el valor de la amplitud del perfil sinusoidal de la respuesta b. Calcule la fase de la respuesta con perfil sinusoidal 4. En el diagrama de bloques de la Figura 12.5 agregue una función de transferencia correspondiente a un sistema de tercer orden que sea sobreamortiguada estable y calcule: a. El valor último de la respuesta paso unitaria. b. Los polos de la función de transferencia c. Los tres atrasos dinámicos reales positivos 5. En el diagrama de bloques de la Figura 12.5 agregue una función de transferencia correspondiente a un sistema de cuarto orden que sea subamortiguada estable (dos raíces reales negativas y dos raíces complejas conjugadas con parte real negativa) y calcule: a. El factor de amortiguamiento de la respuesta oscilatoria decreciente b. El sobrepaso máximo c. La razón de decaimiento

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BIBLIOGRAFÍA Bequette W.B. Process Dynamics. Modeling, Analysis and Simulation. Prentice Hall International Series. 1998 Coughanowr D.R. Process Systems Analysis and Control. Segunda Edición. McGraw-Hill International Editions. 1991 Himmelblau D.M., Bischoff K.B. Análisis y Simulación de Procesos. Editorial Reverte S.A. 1976 Luyben W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers. Second Edition. McGraw-Hill International Editions. 1990 Ogata K. Ingeniería de Control Moderna. 4ª. Edición, Pearson Prentice Hall. 2003 Ogunnaike, B.A., Harmon Ray W. Process dynamics, modeling and control, Oxford University Press. 1994 Smith C.A, Corripio A. Principles and Practice of Automatic Process Control. Tercera Edición. Jhon Wiley. 2006

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