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Simulación y análisis de sistemas con ProModel®

Simulación y análisis de sistemas con ProModel® Eduardo García Dunna H eriberto G arcía Reyes Leopoldo Eduardo Cárdenas Barrón

R ev isió n t é c n ic a :

Dr. L in o A A N o ta ra n to n io D e p a rta m e n to d e in g e n ie ría in d u s tria l In s titu to T e c n o ló g ic o y d e E s tu d io s S u p e rio re s d e M o n te rre y C a m p u s S a n ta Fe B o n ifa cio R o m á n T a p ia F a c u lta d d e In g e n ie ría U n iv e rs id a d N a cio n a l A u tó n o m a d e M é x ic o

M é x ic o • A rg e n tin a • B rasil • C o lo m b ia • C o s ta R ic a • C h ile • E c u a d o r E spaña • G u a te m a la • P an am á • P e rú • P u e rto R ic o • U ru g u a y •V en ezu ela

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Datos de catalogarán bibliográfica

GARCÍA DUNNA EDUARDO, GARCÍA R EY ES H ERIBERTO y CÁRDENAS BARRÓN LEOPOLDO EDUARDO Sim ulación y análisis de siste m a s con ProModel

Primera edición PEARSO N ED UCACIÓ N . M éxico, 2 0 0 6

ISBN: 970-26-0773-6 Formato: 18.5 x 23.5 cm

Páginas: 280

Edición en español: Editor:

Pablo Miguel Guerrero Rosas e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo:

Bernardino Gutiérrez Hernández

Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernández Primera edición, 20 0 6 D.R.© 2 0 0 6 por Pearson Educación de México. S .A . de C.V. AtJacomulco 500 -5° Piso Colonia Industrial Atoto 5 3 5 1 9 , Naucalpan de Juárez, Edo. de México e-mail: [email protected] Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México. S.A . de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transm itirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por foto­ copia. grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN: 970-26-0773-6

Impreso en México. Prínted in México. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 0 9 0 8 0 7 06

PEARSON E d u c a c ió n

Contenido

Prólogo

ix

Capítulo 1 Principios básicos d e la sim ulación 1.1 Introducción a la sim ulación 1.2 D efiniciones de sim ulación 1.3 Ventajas y desventajas de la sim ulación 1.4 Elem en to s clave para garantizar el éxito de un m odelo de sim ulación 1.5 Pasos para realizar un estudio de sim ulación 1.6 Problem as

1 2 3 7 8 10 13

Capítulo 2 Números p seu d o aleatorios 21 Los núm eros pseudo aleatorios 22 Generación de núm eros pseudo aleatorios 22.1 Algoritm o de cuadrados m edios 2 2 .2 Algoritm o de productos m edios 2 2 .3 Algoritm o de m ultiplicador co n stan te 2 2 .4 Algoritm o lineal 2 2 .5 Algoritm o congruencial m ultiplicativo 2 2 .6 Algoritm o congruencial aditivo 2 2 .7 Algoritm os congruenciales no lineales 23 Propiedades de los núm eros pseudo aleatorios en tre 0 y 1 2.4 Pruebas estadísticas para los núm eros pseudo aleatorios 24.1 Prueba de m edias 2 4 .2 Prueba de varianza 2 4 .3 Pruebas de uniform idad 2 4 .4 Pruebas de independencia 25 Problem as

17 18 18 20 21 22 23 25 26 27 28 31 31 32 34 37 48

Capítulo 3 Variables aleatorias 3.1 D efinición de variable aleatoria 3.2 Tip o s de variables aleatorias 3.3 D eterm inación del tipo de distribución de un conjunto de datos 3.3.1 Prueba Chi-cuadrada 3.3.2 Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov 3.3.3 Prueba de Anderson-Darling 3.3.4 Ajuste de datos con Stat: :Fit

53 54 54 56 57 59 62 67

| Contenido

3.4

3.5 3.6

G eneración de variables aleatorias 3.4.1 M étodo de la transform ada inversa 3.4.2 Método de convolución 3.4.3 Método de com po sició n 3.4.4 Método de transform ación directa Expresiones co m u nes de algunos generadores de variables aleatorias Problem as

72 72 79 82 85 87 90

Capítulo 4

Sim ulación de variables aleatorias 4.1 Verificación y validación de los m odelos de sim ulación 4.1.1 Sim ulaciones te rm in ale s 4.2 Sim ulaciones no term inales o de estado estable 4.2.1 Longitud de las réplicas 4.3 M odelos de sim ulación 4.3.1 M odelo de una línea de espera con un servid o r 4.3.2 M odelo de un proceso de ensam ble e inspección 4.3.3 M odelo de un sistem a de inventarios 4.4 Selección de lenguajes de sim ulación 4.5 Problem as

105 106 106 109 109 113 113 117 121 124 126

Capítulo 5

Sim ulación con ProM odel 5.1 Introducción al uso de ProM odel 5.2 Elem entos básicos 5.3 Estructura de program ación en ProM odel 5.4 Construcción de un m odelo 5.4.1 M odelo M/M/1 de líneas de espera 5.4.2 M ejoram iento visual del m odelo 5.4.3 M odelado de un sistem a q ue incluye m ás de un proceso 5.4.4 Inclusión de gráficos de fondo en el m odelo 5.5 Caso integrador 5.6 Problem as

131 132 132 133 133 133 146 154 162 164 166

Capítulo 6

Instrucciones d e ProM odel 6.1 Uso de la biblioteca de probabilidades 6.2 Recursos 6.3 Paros en los equipos 6.4 Reglas de ruteo 6.5 Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de piezas 6.6 Transporte entre estaciones 6.7 Caso integrador 6.8 Problem as

171 172 175 182 185 190 208 214 219

Anexo 1

D istribuciones d e p ro b ab ilidad A1 Distribuciones co ntinuas A2 D istribuciones discretas Reportes estadísticos en ProM odel D istribuciones d e pro b ab ilid ad

231 232 240 245 255

Anexo 2 Anexo 3 vi

A m is podres M artha y Eduardo, o m i esposa Carmen Alicia y a m is hijos Eduardo y Jo sé Pablo. Eduardo

A m is padres H eribertoy M aría de Jesús, a m i esposa Cyntia y a m is hijos Heriberto, Daniel Alejandro y Jo sé Miguel. Heriberto

A m i am ada esposa: Saraí; p o r su am or y cariño constante. A m is valiosos tesoros: David Nahúm , Italia Tatnaíy Zuriel Eluzai, quienes so n la fuente de m i inspiración. A m is adorados padres: M aría Guadalupe Am ada y Rafael, por su esfuerzo y dedicación para hacer de m í un buen hom bre y profesionista. A m is queridos herm anos: M ario Rafael, Óscar, Viviana Guadalupe y Nora Alicia, p o r creer en mí. A los padres de m i esposa: Argelia y Cayetano p o r su apoyo. Leopoldo Eduardo

Prólogo La com plejidad en la operación de los sistem as de producción y servicios de la actualidad requieren de una m odelación cada vez m ás apegada a la realidad, q u e perm ita un análi­ sis profundo y detallado. Por ello, herram ientas q ue perm itan m odelar esta com plejidad se hacen relevantes y necesarias. Estam os convencidos q ue la sim ulación es una de las he­ rram ientas que hace posible conocer m ejor el sistem a en estudio, ya q ue p erm ite evaluar diversos escenarios considerando m últiples variables de decisión y visualizar su co m po r­ tam iento a través del tiem po. A q u í pretendem os dar al lector la oportunidad de iniciarse en el diseño, desarrollo y análisis de sistem as de una m anera sencilla a tra vé s de la sim u­ lación utilizando de m anera especial el program a ProModel. El capítulo 1 establece los conceptos básicos relacionados con un proyecto de sim u­ la ció n ^ incluye la introducción a la técnica y la metodología para su desarrollo. El capítulo 2 presenta los núm eros aleatorios, base de los modelos estocásticos, sus propiedades, mane­ jo y generación, así co m o todos los requerim ientos para ser considerados com o tales. El capítulo 3 o frece los conceptos de pruebas de bondad de ajuste, para determ inar la dis­ tribución de probabilidad asociada co n las variables de decisión y eventos e n el sistem a a m o d elar; para co n ello generar variables aleatorias a usarse d urante la sim ulación. Este capítulo in co rp o ra d uso de la herram ienta S ta t:F it,q u e se incluye con el CD q ue acom pa­ ñ a d libro. Esta herram ienta perm ite determ inar autom áticam ente la distribución de pro­ babilidad de las variables y eventos a m odelar en el sistem a. El capítulo 4 m aneja los conceptos de validación y análisis de los m odelos de sim u­ lació n ; y presenta al final del capítulo ejem plos, d esarrollados en h ojas de cálculo, sobre líneas de espera, procesos de ensam ble y sistem as de inventarios, co n la esperanza de que al final el lector sea capaz de realizar m odelos sim ples usando una hoja de cálculo. El capí­ tulo 5 presenta las características y bondades de ProModel por m edio de ejem plos que guían al usuario en la construcción de los m odelos. El capítulo 6, po r su parte, cub re ele­ m entos m ás co m p lejo s de program ación q ue le perm itirán am pliar sus capacidades de m odelación. Al final de cada capítulo encontrará una serie de ejercicios q ue le ayudarán a fo r­ talecer su aprendizaje. Asim ism o, al final del libro existe una sección de tre s anexos: el 1 proporciona inform ación fundam ental sobre las distribuciones de probabilidad m ás co ­ m unes. El 2 describe de m anera exhaustiva el significado de los resultados obtenido s en los reportes de ProM odel. Finalm ente, el 3 incluye un conjunto de tab las estadísticas que serán de utilidad en el análisis de los m odelos. Es im portante destacar q ue el CD-ROM q ue se incluye con el libro co n tie n e la ver­ sión estudiantil de ProM odel con tod as las fun cio nes de la versión profesional, con la ú n i­ ca restricción en cuanto al tam año de los m odelos q ue pueden construirse. Agradecem os enorm em ente a nuestros colegas del departam ento de Ingeniería Industrial y de Sistemas del ITESM-Campus Monterrey, por sus comentarios y por el impulso Ix

que nos dieron para q ue e ste libro llegara a ser realidad, y a nuestros estudiantes po r el interés m ostrado con este proyecto. Q uerem os agradecer de una m anera m u y especial a ProModel por perm itirnos in cluir su software, y en especial a D aniel Villarreal Parás po r su apoyo constante e incondicional para lograrlo. Por últim o, agradecem os a Pearson Ed u ca­ ción de M éxico por creer en nosotros.

Los autores

CAPÍTULO 1

PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA SIMULACIÓN

1.1

Introducción a la sim ulación

1 .2

D efiniciones de sim ulación

1 .3

Ventajas y desventajas de la sim ulación

1 .4

Elem entos clave para garantizar el éxito de un m odelo de sim ulación

1 .5

Pasos para realizar un estudio de sim ulación

1 .6

Problem as

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

1.1 Introducción a la sim ulación En años recientes, el advenim iento de nuevos y m ejores desarrollos en el área de la co m p u ­ tación ha traído consigo innovaciones ig ualm ente im portantes en los terreno s de la tom a de decisiones y el diseño de procesos y productos. En este sentido, una de las técn icas de m ayor im pacto es la sim ulación. Hoy en día, el analista tie n e a su disposición una gran cantidad de softw are de sim u­ lación que le perm ite tom ar decisiones en tem as m uy diversos. Por ejem plo, determ inar la m ejor localización de una nueva planta, diseñar un nuevo sistem a de trabajo o efectuar el análisis productivo de un proceso ya existen te pero q u e requiere m ejoras. Sin duda, la fa ­ cilidad que otorga a la resolución de éstas y m uchas otras problem áticas, ha hecho de la simulación una herram ienta cuyo uso y desarrollo se han visto significativam ente alenta­ dos. Cada vez resulta m ás sencillo encontrar paquetes de softw are co n gran capacidad de análisis, así com o m ejores anim aciones y características para generación de reportes. En general, dichos paquetes — ya sea orientados a procesos, a servicio s o de índole gene­ ral— nos proveen de una enorm e diversidad de herram ientas estadísticas q ue perm iten un m anejo m ás eficien te de la inform ación relevante bajo análisis, y una m ejor presen ta­ ción e interpretación de la mism a. El concepto de sim ulación engloba soluciones para m uchos propósitos diferentes. Fbr ejem plo, podríam os decir q ue el m odelo de un avión a escala que se in tro d u ce a una cámara po r d ond e se hace pasar un flujo de aire, puede sim ular los efectos q ue e xp e ri­ m entará un avión real cuando se vea som etido a turbulencia. Por otro lado, algunos p a­ quetes perm iten hacer la representación de un proceso de fresado o tornead o : una vez que el usuario establezca ciertas co nd icio nes iniciales, podrá ver cóm o se llevaría a cabo el proceso real, lo q ue le perm itiría revisarlo sin necesidad de desperdiciar m aterial ni po­ ner en riesgo la m aquinaria. Entre los distintos tipos de procesos de sim ulación q ue podem os u tiliz a re n este li­ bro nos ocuparem os del q ue se basa en el uso de ecuaciones m atem áticas y estadísticas, conocido com o sim ulación d e eventos d iscreto s.Este proceso consiste en relacionar los diferentes eventos q u e pueden cam biar el estado de un sistem a bajo estudio po r m edio de distribuciones de probabilidad y condiciones lógicas del problem a q ue se esté anali­ zando. Por ejem plo, un proceso de inspección d ond e sabem os estadísticam ente q ue 0.2% de los productos tie n e algún tipo de defecto puede sim ularse con facilidad m ediante una sim ple hoja de cálculo, considerando estadísticas de rechazos y productos conform es, y asignando una distribución de probabilidad con 0.2% de oportunidad de defecto para ca­ da intento de inspección. En el presente capítulo abordarem os las definiciones básicas de los co nceptos de la simulación de eventos discretos. En los siguientes se presentarán algunos otros elem en ­ tos relevantes, com o los núm eros pseudo aleatorios y las pruebas estadísticas necesarias para co m p ro b ar esta aleatoriedad, la generación de variables aleatorias y la caracteriza­ ción de algunas distribuciones de probabilidad de uso com ún e n la sim ulación, lo cual nos perm itirá realizar una sim ulación sencilla con ayuda de una hoja de cálculo. Por ú lti­ mo, describirem os la utilización de un softw are com ercial: Prom odel, una versión lim itada del cual se incluye en este libro.

2

1.2 D efin icio nes d e sim u lació n |

1.2 D efin icio n es d e sim ulación Para poder realizar un buen estudio de sim ulación es necesario entender los co nceptos básicos q ue com ponen nuestro m odelo. Com enzarem os po r definir el concepto de sim ulación d e eventos discretos com o el conjunto de relaciones lógicas, m atem áticas y probabilísticas que integran el com porta­ m iento de un sistem a bajo estudio cuando se presenta un evento determ inado. El objetivo del m odelo de sim ulación consiste, precisam ente, e n com prender, analizar y m ejorar las condiciones d e operación relevantes del sistema. En la definición anterior encontram os elem entos com o sistem a, m odelo y evento, de b s cuales se desprenden otros conceptos im portantes dentro de una sim ulación, po r lo que a co ntinu ación abundarem os en cada uno de ellos. La definición básica de sistem a nos dice q ue se trata de un conjunto de elem entos que se interrelacionan para funcionar co m o un to d o ;desde el punto de vista de la sim ulación, tales elem ento s deben tener una fro n tera clara. Por ejem plo, po dem os hablar del sistem a de atención de clientes en un banco, del sistema de inventarios de una em presa o del siste­ ma de atención en la sala de em erg encia de un hospital. Cada uno de ellos pu ed e dividir­ se en elem entos que son relevantes para la construcción de lo q ue constituirá su m odelo de sim u lación;entre ellos tenem o s entidades, estado del sistema, eventos actuales y fu tu ­ ros, localizaciones, recursos, atributos, variables y el reloj de la sim ulación. Una entidad es la representación de los flujos de entrada a un sistem a; éste es el ele­ mento responsable de q ue el estado del sistem a cam bie. Ejem plo s de en tid ades pueden ser los clien tes q ue llegan a la caja de un banco, las piezas q ue llegan a un proceso o el em barque de piezas q ue llega a un inventario. El estado del sistem a es la condición que guarda el sistem a bajo estudio en un m om en­ to determ inado; e s com o una fo to g rafía de lo q ue está pasand o en el sistem a en cierto instante. El estado del sistem a se com pone de variables o características de operación puntuales (digam os el núm ero de piezas que hay en el sistem a en ese m om ento), y de va­ riables o características de operación acum uladas, o prom edio (como podría ser el tiem po prom edio de perm anencia de una entidad en el sistema, e n una fila, alm acén o equipo). Un evento es un cam bio en el estado actu al del sistem a; po r ejem plo, la entrada o sa­ lida de una entidad, la finalización de un proceso en un equipo, la interrupción o reactiva­ ción de una operación (digam os po r un descanso del operario), o la descom postura de una m áquina. Podem os catalogar estos eventos en dos tip o s:eventos actuales, q ue son aquellos q ue están sucediendo en el sistem a en un m om ento dado, y eventos futuros, que son cam bios q ue se presentarán en el sistem a después del tiem p o de sim ulación, de acuerdo co n una program ación específica. Por ejem plo, im agine q ue cierta pieza entra a una m áquina para que ésta realice un proceso. El evento actual sería precisam ente q ue la entidad llam ada "pieza" se encuentra en la m áquina. El evento futuro podría ser el m o ­ mento en q ue la m áquina concluirá su trabajo con la pieza y ésta seguirá su cam ino hacia el siguiente proceso lógico, de acuerdo con la program ación: alm acenam iento, inspección o entrada a otra m áquina. Las localizaciones son to d o s aquellos lugares en los que la pieza puede detenerse p a ­ ra se r transform ada o esperar a serlo. Dentro de estas localizaciones tenem o s alm acenes, bandas transportadoras, m áquinas, estaciones de inspección, etcétera. 3

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

Los recursos son aquello s dispositivos —d iferentes a las localizaciones— necesarios para llevar a cabo una operación. Por ejem plo, un m ontacargas que transpo rta una pieza de un lugar a otro: una persona q ue realiza la inspección en una estación y to m a tu rn o s para descansar; una herram ienta necesaria para realizar un proceso pero que no form a parte de una localización específica, sino que e s trasladada de acuerdo con los requerim ientos de aquel. Un atributo es u na característica de una entidad. Por ejemplo, si la entidad e s un motor, b s atributos serían su color, peso, tam año o cilindraje. Los atributos son m u y útiles para diferenciar entidades sin necesidad de g en erar una entidad nueva, y pueden adjudicarse al m om ento de la creación de la entidad, o asignarse y/o cam biarse durante el proceso. Como indica su nom bre, las variables son condiciones cuyos valores se crean y m odifi­ can p o r m edio de ecuaciones m atem áticas y relaciones lógicas. Pueden ser continuas (por ejem plo, el costo prom edio de operación de un sistem a) o discretas (por ejem plo, el n ú ­ mero de unidades que deberá em pacarse en un contenedor). Las variables son m uy útiles para realizar conteos de piezas y ciclos de operación, así com o para determ inar caracte­ rísticas de operación del sistem a. El reloj d e la sim ulación e s el contador de tiem po de la sim ulación, y su fun ció n c o n ­ siste en responder preguntas tales com o cuánto tiem p o se ha utilizado el m odelo e n la si­ m ulación, y cuánto tiem po en total se quiere q ue d ure esta últim a. En general, el reloj de sim ulación se relaciona con la tabla de eventos futuros, pues al cum plirse el tiem p o prog am a d o para la realización de un evento futuro, éste se convierte en un evento actual. Reg esan d o al ejem plo de la pieza en la m áquina, cuando el tiem po de proceso se cum pla, la pieza seg uirá su cam in o hasta su sig u ie n te lo ca liza ció n ; el reloj de la sim u lació n sim u ­ la precisam ente ese tiem po. Podem os h ab lar de dos tip o s de reloj de sim u lació n: el reloj d e sim ulación ab so ­ luto, q ue parte de cero y te rm in a en un tiem po total de sim ulación definido, y el reloj de sim ulación relativo, q ue sólo considera el lapso de tiem p o que transcurre entre dos eventos. Por ejem plo, podem os decir q ue el tiem po de proceso de una pieza es relativo, mientras que el tiem po absoluto sería el tiem po global de la sim ulación: desde q ue la pieza entró a ser procesada hasta el m om ento en el que term inó su proceso. Como se m encionó antes, existen d istintos m odelos de sim ulación q ue perm iten re­ presentar situaciones reales de diferentes tipos. Podem os te n e r m odelos físicos — com o el del avión que m encio nam o s en la sección anterior— o m odelos m atem áticos, a los cu a ­ les pertenecen los m odelos de sim ulación de eventos discretos. Asim ism o, los m odelos pueden diferenciarse según el tipo de ecuacio nes m atem áticas q ue los com ponen. Por ejem plo, se conoce com o m odelos continuos a aquellos e n los q ue las relaciones en tre las variables relevantes de la situación real se definen po r m edio de ecuaciones d iferen­ ciales, dado q ue éstas perm iten co no cer el com portam iento de las variables e n un lapso de tiem po continuo. Problem as com o saber de q ué m anera se transfiere el calor en un m olde o determ inar cóm o flu ye cierto m aterial dentro de una tubería, e incluso discernir el com portam iento del nivel de un tanq ue de gasolina al paso del tiem p o m ientras el ve­ hículo está en m archa, pueden sim ularse en estos térm inos. Adem ás de m odelos continuos te n e m o s m odelos discretos. En ellos el co m p o rta ­ miento q ue nos interesa analizar puede representarse po r m edio de ecuaciones evalua­ das en un punto determ inado. Por ejem plo, si hacem os un m uestreo del núm ero de 4

1.2 D efin icio nes d e sim u lació n |

personas q ue llegaron a un banco e n un lapso de tiem po específico, podem os sim ular es­ ta variable co n ecuaciones ligadas a distribuciones de probabilidad que reflejen dicho com portam iento. Otro tipo de clasificación e s el de los m odelos dinám icos o estáticos. Los m odelos d i­ nám icos son aquellos en los q ue el estado del sistem a q ue estam os analizando cam bia respecto del tiem po. Por ejem plo, el núm ero de personas q ue hacen fila para entrar a una sala de cine varía co n el tiem po. Por otro lado, los m odelos estáticos representan un re­ sultado bajo un conjunto de situaciones o condiciones determ inado; po r ejem plo, al lan­ zar un dado los únicos valores q ue se pu ed e obtener son 1 ,2 ,3 ,4 ,5 o 6, de m anera q ue el resultado de la sim ulación será uno de tales valores p o sib les;este tipo de sim ulación ge­ neralm ente se co no ce com o sim ulación de M onte Cario. Por últim o, podem os hablar de m odelos determ inísticos y m odelos probabilísticos, conocidos tam bién com o estocásticos. Los prim eros se refieren a relaciones co ns­ tantes en tre los cam bios de las variables del modelo. Por ejem plo, si las cajas em pleadas en un proceso contienen siem pre 5 productos, cada vez q ue se añada una caja al inven­ tario éste se increm entará en 5 unidades. Si, po r el contrario, se da una distribución de pro­ babilidad en el proceso d e m anera q ue algunas cajas contienen 3 productos, otras 4 y así por el estilo, el inventario se m odificará según el núm ero de piezas de cada caja y, e n co n ­ secuencia, será necesario un m odelo estocástico. En el caso de la sim ulación de eventos discretos hablarem os de m odelos m atem áticos, discretos, dinám icos, y q ue pueden in ­ cluir variables determ inísticas y probabilísticas. Ejem plo 1.1 Un taller recib e ciertas piezas, m ism as que son acum uladas en un alm acén tem poral en donde esperan a ser procesadas. Esto ocurre cuando un operario transpo rta las piezas del alm acén a u n torno. Desarrolle un m odelo q ue incluya el núm ero de piezas q ue hay en el al­ m acén esperando a ser atendidas en tod o m om ento, y el núm ero de piezas procesadas en el torno. En la siguiente figura podem os observar cóm o se vería un m odelo de sim ulación pa­ ra este ejem plo.

m Piezas e n alm acén

A lm acén

Piezas p ro cesadas

Torno

Figura 1.1 M o d e lo d e s im u la c ió n p a r a e l e je m p l o 1.1

5

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

En este ejem plo podem os identificar algunos de los elem entos q ue participan en un m o ­ delo de sim ulación, de acuerdo con las definiciones q ue hem os com entado: Sistem a: En este caso, el sistem a está conform ado po r el conjunto de elem entos interrelacionados para el funcionam iento del proceso: las piezas, el alm acén tem poral, el o pera­ rio, el torno. Entidades: En este m odelo sólo tenem o s una entidad: las piezas, q ue representan los flu ­ jos de entrada al sistem a del problem a bajo análisis. Estado del sistem a: Podem os observar q ue cuando llevam os 1 hora 10 m inu to s de sim u­ lación (vea el extrem o superior derecho de la figura) en el alm acén se encuentran 9 piezas esperando a ser procesadas;el operario está transportando una pieza m ás para pro cesar­ la en el torno. El torno, po r lo tanto, no está trabajando en ese m om ento, au n q u e ya ha procesado 4 piezas. Adem ás de estos datos, podem os llevar un control de o tras estadísti­ cas relacionadas con el estado del sistem a, com o el tiem p o prom edio de perm anencia de las piezas en los estantes del alm acén tem poral o en el sistem a global. Eventos: Entre otros, podríam os considerar co m o eventos de este sistem a el tiem po de descanso del operario o la salida de una pieza tras ser procesada por el torno. Adem ás es posible identificar un evento futuro: la llegada de la siguiente pieza al sistem a (tendríam os más eventos de este tipo respecto de las piezas q ue esperan a q ue el operario las tom e). Localizaciones: En este caso tenem o s el alm acén al q ue deberán llegar las piezas y en el que esperarán a ser procesadas, así com o el torno en donde esto ocurrirá. Recursos: En este m odelo, un recurso es el operario q ue transpo rta las piezas del alm a­ cén al torno. Atributos: Digam os q ue (aunque no se m encio na e n el ejem plo) las piezas pueden ser de tres tam año s diferentes. En este caso, un atributo llam ado tam año podría agregarse a la inform ación de cada pieza q ue llega al sistem a, para posteriorm ente seleccionar el tipo de operación q ue deberá realizarse y el tiem po necesario para llevarla a cabo de acuerdo con dicho atributo. Variables: Tenem os dos variables definidas en e ste ca so :e l núm ero de piezas en el alm a­ cén y el núm ero de piezas procesadas en el torno. Reloj d e la sim ulación: Como se puede ver en la esquina superior derecha de la figura 1.1, en e ste m om ento la sim ulación lleva 1 hora 10 m inutos. El reloj de la sim ulación co n ­ tinuará avanzando hasta el m om ento que se haya establecido para el térm ino de la sim u­ lación, o hasta q ue se cum pla una condición lógica para detenerla, po r ejem plo, el núm ero de piezas que se desean sim ular. Otro concepto im portante que vale la p e n a d e fin ire s e ld e réplica o corrida de la simu­ lación. Cuando ejecutam os el m odelo en una ocasión, los valores q u e obtenem os de las variables y parám etros al final del tiem p o de sim ulación g eneralm ente serán d istintos de los q ue se producirán si lo volvem os a co rrer usando diferentes núm eros pseudo aleato­ rios. Por lo tanto, e s necesario efectuar m ás de una réplica del m odelo q ue se e sté anali­ zando, co n la finalidad de obtener estadísticas de intervalo q ue nos den una m ejor ubicación del verdadero valor de la variable bajo los diferentes escenarios que se presen­ tan al m odificar los núm eros pseudo aleatorios en cada oportunidad.

6

1.3 V entajas y d e sv e n ta ja s d e la sim u lació n |

En este sentido, la pregunta clave e s cuánto tiem p o se d ebe sim ular un m odelo para obtener resultados confiables. En general, podemos decir que tod as las variables q ue se ob­ tienen en térm ino s d e prom edios presentan dos d iferentes etapas: un estado transitorio y un estado estable. El prim ero se presenta al principio de la sim ulación; po r ejem plo, en el arranque de una planta, cuando no tien e m aterial en proceso: el últim o de los procesos estará inactivo hasta q ue el prim er clien te llegue, y si el tiem p o de sim ulación e s bajo, su im pacto sobre la utilización prom edio de este proceso será m u y alto, lo cual no ocurriría si el m odelo se sim ulara lo suficiente para lograr una com pensación. En el estado transi­ torio hay m u cha variación entre los valores prom edio de las variables de decisión del m o ­ delo, por lo q ue fo rm ular conclusiones co n base en ellos sería m u y arriesgado, to d a vez que difícilm ente nos darían una representación fiel de la realidad. Por otro lado, en el estad o estable los valores de las variables de decisión perm ane­ cen m u y estables, presentando sólo variaciones poco significativas. En este m om ento las decisiones q ue se tom en serán m ucho m ás confiables.Sin em bargo no tod as las variables convergen al estado estable con la m ism a rapidez: algunas pasan con m ás lentitud que otras de un estado transitorio a un estado estable. Es responsabilidad del analista verificar q ue las variables de decisión del m odelo se encuentren en estado estable antes de dete­ ner el tiem p o de la sim ulación. Otro factor im portante para decidir el tiem p o de sim ulación es el costo de la corrida. M ayor tiem p o de sim ulación requ iere m ás tiem p o co m p u tacio n al, lo cu al im plica, nece­ sariam ente, un co sto m ás alto. Por supuesto, la situación em peora si a esto le agregam os que en algunos casos e s necesario efectu ar m ás de tre s réplicas.

Figura 1.2 0

■n i n i i i m " i i h i t m i m u t i I I m u í m i l t i i i i i i r r i 11 m i n n m i m

ti m m í n i m u m

n m i mi

G r á fic a d e e s t a b iliz a c ió n d e u n a v a r ia b le

1.3 V en tajas y d e sv e n ta ja s d e la sim ulación Como hem os visto hasta ahora, la sim ulación e s una de las diversas herram ientas con las q ue cu e n ta el analista para to m a r d ecisio n es y m e jo ra r sus procesos. Sin em bargo, es n ecesario d estacar que, com o to d a s las d em ás o p cio n es de q ue disp onem o s, la sim u ­ lación de eventos discretos presenta ventajas y desventajas que e s preciso tom ar en cuenta al d eterm inar si es apta para resolver un problem a determ inado.

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[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

Dentro de las ventajas m ás com unes q ue ofrece la sim ulación po dem os citar las si­ guientes: a) Es m u y buena herram ienta para conocer el im pacto de los cam bio s en los proce­ sos sin necesidad de llevarlos a cabo en la realidad. b) M ejora el conocim iento del proceso actual al p erm itir q ue el analista vea cóm o se com porta el m odelo generado bajo diferentes escenarios. c) Puede utilizarse com o m edio de capacitación para la to m a de decisiones. d) Es m ás económ ico realizar un estudio de sim ulación q ue hacer m u cho s cam bios en los procesos reales. e) Perm ite probar varios escenarios en busca de las m ejores condiciones de trabajo de los procesos q ue se sim ulan. f ) En problem as de gran com plejidad, la sim ulación perm ite generar una buena so­ lución. g) En la actualidad los paquetes de softw are para sim ulación tienden a ser m ás sen­ cillos, lo q ue facilita su aplicación. h) G racias a las herram ientas de anim ación que form an parte de m uchos de esos p a­ quetes es posible ver cóm o se com portará un proceso una v e z q ue sea m ejorado. Entre las desventajas q ue pu ed e llegar a presentar la sim ulación están: a) Aunque m uchos paquetes de softw are perm iten obtener el m ejo r escenario a p ar­ tir de una com binación de variaciones posibles, la sim ulación n o es una herram ien­ ta de optim ización. b) La sim ulación puede ser costosa cuando se q uiere em plearla en problem as relati­ vam ente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analíticas q ue se han desarrollado de m anera específica para ese tipo de casos. c) Se requiere bastante tiem p o — g eneralm ente m eses— para realizar un buen estu ­ dio de sim ulación; po r desgracia, no todos los analistas tienen la disposición (o la oportunidad) de esperar ese tiem p o para obtener una respuesta. d) Es preciso q ue el analista d om in e el uso del paquete de sim ulación y q ue te n g a só­ lidos conocim iento s de estadística para interpretar los resultados.

1.4 Elem en to s clave para g aran tizar el éxito d e un m odelo d e sim ulación Independientem ente de los beneficios q ue co nlleva la sim ulación, es im posible garantizar que un modelo tendrá éxito. Existen ciertas condiciones clave que pueden traer problem as si no se les po n e atención al m om ento de usar la sim ulación para la to m a de decisiones. A continuación destacarem os algunas de las causas po r las q ue un m odelo de sim ulación podría no ten er los resultados q ue se desean: Tamaño Insuficiente de la corrida. Como se m encionó antes, para pod er llegar a co n ­ clusiones estadísticas válidas a partir de los m odelos de sim ulación es necesario q ue las variables aleatorias de respuesta estén en estado estable. El problem a estriba en que,ge8

1.4 Elem en to s cla v e para g a ra n tiz a r e l é x ito d e un m o d e lo d e sim u la ció n |

neralm ente, cuando el m odelo consta de m ás de una variable de decisión, es difícil que éstas alcancen un estado estable al m ism o tiem po: e s posible q ue una se en cu entre esta­ ble y la otra no en un m om ento determ inado, po r lo q u e las co nclusio nes respecto de la segunda variable no serán estadísticam ente confiables. Variable(s) d e resp u esta mal defínida(s). Aun cuando el m odelo de sim ulación sea m u y eficiente y represente la realidad en gran m edida, si la variable de respuesta seleccio­ nada no es la apropiada será im posible tom ar decisiones q u e teng an im pacto en la ope­ ración del sistem a bajo estudio. Por ejem plo, digam os q ue una variable de respuesta es el nivel de inventarios de cier­ to producto. Al m ism o tiem po, la política de la em presa establece que no se d ebe parar ninguno de los procesos de fabricación. En consecuencia, el problem a no será el inventa­ rio final, sino el ritm o de producción necesario para q ue aquel cum pla con los requ eri­ m ientos de diseño q ue se desean. Errores al establecer las relaciones entre las variables aleatorias. Un error com ún de program ación es olvidar las relaciones lógicas que existen entre las variables aleatorias del modelo, o m inim izar su im pacto. Si una de estas variables no está definida de m anera c o ­ rrecta, ciertam ente aún es posible ten er un m odelo q ue se apegue a la realidad actu al; sin em bargo, si el sistem a no se lleva hasta su m áxim a capacidad para observar su com por­ tam iento, podría resultar im posible visualizar el verdadero im pacto de las deficiencias. Errores al determ inar el tip o d e distribución asociado a las variables aleatorias del m odelo. Este tipo de problem a es m u y sim ilar al anterior, sólo q u e e n este caso se utili­ zan distribuciones q ue no son las m ás adecuadas o que responden únicam ente a un in ­ tento de sim plificar los estudios estadísticos. Digam os, po r ejem plo, q ue se nos dan los siguientes parám etros de producción aproximados: m ínim o 10, m áxim o 4 0 y prom edio 30. En esta circunstancia la tentació n de sim plificar el estudio de la variable asignándole una distribución triangular co n parám etros (1 0 ,3 0 ,4 0 ) es m u y g rande; no obstante, hacer­ lo afectaría de m anera im portante los resultados de la sim ulación, pues el m odelo podría alejarse de lo q ue sucede e n la realidad. Falta d e un análisis esta d ístico d e lo s resu ltad o s. Un problem a com ún po r el q ue la sim ulación suele ser objeto de crítica, radica en asum ir q ue se trata de una herram ienta de optim ización. Esta apreciación es incorrecta, ya q ue involucra variables aleatorias y ca­ racterísticas propias de un m odelo q ue incluye probabilidades. Por lo m ism o — com o se apuntó antes— , es necesario realizar varias corridas a fin de producir diferentes resulta­ dos fin ales para las variables de respuesta y, a partir de esos valores, o b tener intervalos de confianza q ue puedan dar un rango en d ónd e encontrar los valores definitivos. Este tipo de problem as se presentan tam bién al com parar dos escenarios: podríam os encontrar un m ejor resultado para uno de ellos, pero si los intervalos de confianza de las variables de respuesta se traslapan resultaría im posible decir q ue el resultado de un escenario es m e­ jo r q ue el del otro. D e hecho, estadísticam ente hablando am bos resultados pueden ser iguales. En ese caso increm entar el tam año de co rrida o el núm ero de réplicas pu ed e ayu­ dar a obtener m ejores conclusiones. Uso incorrecto d e la inform ación obtenida. Un problem a que se presenta en ocasio­ nes es el uso incorrecto de la inform ación recabada para la realización del estudio, ya sea a través de un clie n te o de cualesquiera otras fuentes. M uchas veces esta inform ación se recolecta, analiza y adm inistra de acuerdo con las necesidades propias de la em presa, lo 9

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

que im plica q ue no siem p re está en el form ato y la presentación q ue se requ iere para la sim ulación. Si la inform ación se utiliza para determ inar los parám etros del m odelo sin ser depurada y re o rg a n iz a d le s m u y pro bable q ue la precisión de los resultados del estudio se vea afectada. Falta o exceso d e d etalle en el m odelo. Otro punto im po rtante a considerar e s el nivel de detalle del modelo. En m uchas ocasiones algún proceso se sim plifica tanto q ue tiend e a verse com o una "caja negra"que nos im pide ver qué ocurre e n el interior, aunque sí haya entrada y salida de datos que interactúan con otras partes del m odelo. Cuando esto suce­ de, el im pacto q ue podrían te n e r los subprocesos q ue se llevan a cabo en la "caja negra" (es decir, del proceso sobresim plificado) no se incluye e n la sim ulación. Por ejem plo, si se analiza un sistem a de distribución y se da por sentado que el alm acén siem pre surte sus pedidos, no incluirem os el im pacto de los tiem p o s necesarios para su rtir las órdenes, ni la posibilidad de q u e haya faltantes de pro d u cto ;exclu irem o s tam bién los horarios de co m i­ da, en los que no se surten pedidos, y las fallas en los montacargas que transportan los pedi­ dos hasta los cam iones para su distribución. Por otra parte, si el m odelo se hace demasiado detallado, tanto el tiem po dedicado al estudio com o el costo de llevarlo a cabo podrían increm entarse sustancialm ente. Es labor del encargado de la sim ulación sugerir y clarifi­ car los niveles de detalle q ue se requieren en el modelo, resaltando los alcances y lim ita­ ciones de cada uno.

1.5 Pasos para re aliza r un e stu d io d e sim ulación Debem os considerar q ue — igual a com o ocurre con otras herram ientas de investiga­ ción— la realización de un estudio de sim ulación requiere la ejecución de una serie de ac­ tividades y análisis q ue perm itan sacarle el m ejo r provecho. A continuación se m encionan los pasos básicos para realizar un estud io de sim ulación, aunque en m uchas ocasiones se­ rá necesario agregar otros o suprim ir algunos de los aq u í enum erados, de acuerdo con la problem ática en cuestión. 1. Definición del sistem a bajo estudio. En esta etapa es necesario conocer el sistem a a modelar. Para ello se requiere saber q ué origina el estud io de sim ulación y establecer los supuestos del m odelo: es co nven ien te definir co n claridad las variables de decisión del modelo, d eterm in ar las interacciones entre éstas y establecer con precisión los alcances y lim itaciones q ue aquel podría llegar a tener. Antes de concluir este paso es recom endable co n tar co n la inform ación suficiente para lograr establecer un m odelo conceptual del sistem a bajo estudio, incluyendo sus fronteras y to d o s los elem entos q ue lo co m po nen, adem ás de las interacciones entre és­ tos, flu jo s de productos, personas y recursos, así com o las variables de m ayor in terés para el problem a. 2. Generación del m odelo d e sim ulación base. Una v e z q ue se ha definido el sistem a en térm ino s de un m odelo conceptual, la siguiente etapa del estud io consiste en la gene­ ración de un m odelo de sim ulación base. No e s preciso q ue este m odelo sea dem asiado detallado, pues se requiere m ucha m ás inform ación estadística sobre el com portam iento de las variables de decisión del sistem a. La generación de este m odelo es el prim er reto para el program ador de la sim ulación, to d a vez que d ebe trad u cir a un lenguaje de sim ulación 10

1.5 Pasos para re alizar un e stu d io d e sim u lació n |

la información que se obtuvo en la etapa de definición del sistema, incluyendo las interrelaciones d e todos los posibles subsistem as que existan en el problem a a m odelar. En caso de q ue se requiera una anim ación, é ste tam bién es un buen m om ento para definir qué gráfico pu ed e representar m ejo r el sistem a que se m odela. Igual q ue ocurre e n otras ram as de la investigación de operaciones, la sim ulación exi­ ge ciencia y arte en la g eneració n de sus m odelos. El re alizad o r de un estud io de sim u ­ lación e s,e n este sentido,com o un artista q ue d ebe usar to d a su creatividad para realizar un buen m odelo q ue refleje la realidad del problem a q ue se está analizando.Conform e se avanza en el m odelo base se pueden ir incluyendo las variables aleatorias del sistem a, con sus respectivas distribuciones de probabilidad asociadas. 3. R eco lección y an álisis d e dato s. De m an era paralela a la generación del m odelo base, es posible com en zar la recopilación de la inform ación estadística de las variables aleatorias del m odelo. En esta etapa se d ebe determ inar qué inform ación es útil para la determ inación de las distribuciones de probabilidad asociadas a cada una de las variables aleatorias innecesarias para la sim ulación. A unque en algunos casos se logra co n tar con datos estadísticos, suele suceder q ue el form ato de alm acenam iento o de generación de reportes no es el apropiado para facilitar el estudio. Por ello es m uy im po rtante dedicar el tiem po suficiente a esta actividad. D e no contar con la inform ación necesaria o en caso de desconfiar de la q ue se tie n e disponible, será necesario realizar un estudio estadístico del com portam iento de la variable q ue se desea identificar, para posteriorm ente incluirla en el m odelo. El análisis de los datos necesarios para asociar una distribución de probabili­ dad a una variable aleatoria, así com o las pruebas q ue se d ebe aplicar a los m ism os, se analizarán m ás adelante. Al finalizar la recolección y análisis de datos para tod as las varia­ bles del modelo, se tend rán las condiciones necesarias para generar una versión prelim i­ nar del problem a q ue se está sim ulando. 4. G eneración del m odelo prelim inar. En esta etapa se integra la inform ación o b teni­ da a partir del análisis de los datos, los supuestos del m odelo y todos los datos que se re­ quieran para ten er un m odelo lo m ás cercano posible a la realidad del problem a bajo estudio. En algunos casos — sobre tod o cuando se trata del diseño de un nuevo proceso o esquem a de trabajo— no se cu e n ta con inform ación estadística, por lo q ue d ebe esti­ m arse un rango de variación o determ inar (con ayuda del cliente) valores constantes que perm itan realizar el m odelado. Si é ste es el caso, el encargado de la sim ulación puede, con base en su experiencia, realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad que com únm ente se asocien al tipo de proceso q ue se desea incluir en el m odelo. Al fina­ lizar esta etapa el m odelo está listo para su prim era prueba: su verificación o, e n o tras pa­ labras, la com paración co n la realidad. 5. Verificación del m odelo. Una vez q ue se han identificado las distrib uciones de pro­ babilidad de las variables del m odelo y se han im plantado los supuestos acordados, es necesario realizar un proceso de verificación de datos para com probar la propiedad de la program ación del m odelo, y co m p ro b ar que to d o s los parám etros usados en la simulación funcionen correctam ente.Ciertos problem as,en especial aquellos q ue requieren m uchas operaciones de program ación o q ue involucran distrib uciones de probabilidad difíciles de program ar, pueden ocasionar q ue el com portam iento del sistem a sea m u y di­ ferente del q ue se esperaba. Por otro lado, no se d ebe descartar la posibilidad de q ue o cu ­ rran errores h um ano s al alim entar el m odelo con la inform ación. Incluso podría darse el 11

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

caso de que los supuestos iniciales hayan cam biado una o varias veces durante el desa­ rrollo del modelo. Por lo tanto, debem os asegurarnos de que el m odelo q ue se va a ejecu ­ tar esté basado en los m ás actuales. U na vez q ue se ha com pletado la verificación, el m odelo está listo para su com para­ ción con la realidad del problem a que se está m odelando. A esta etapa se le co no ce ta m ­ bién co m o validación del modelo. 6. Validación del m odelo. El proceso d e validación del m odelo co n siste e n realizar una serie de pruebas al m ism o, utilizando inform ación de entrada real para observar su co m ­ portam iento y analizar sus resultados. Si el problem a bajo sim ulación involucra un proceso que se desea m ejorar, el m ode­ lo d ebe som eterse a prueba con las co nd icio nes actuales de operación, lo que nos dará como resultado un com portam iento sim ilar al q ue se presenta realm ente en nuestro pro­ ceso. Por otro lado, si se está diseñando un nuevo proceso la validación resulta m ás co m ­ plicada. Una m anera de validar el m odelo en este caso, consiste en introducir algunos escenarios sugeridos po r el clien te y validar q ue el com portam iento sea congruente con las expectativas q ue se tien en de acuerdo con la experiencia. Cualquiera q ue sea la situ a­ ción, e s im portante q ue el analista cono zca bien el modelo, de m anera q ue pueda ju stifi­ car aquellos com portam ientos q ue sean contrarios a las experiencias de los especialistas en el proceso q ue participan de su validación. 7. G eneración del m odelo final. Una vez q ue el m odelo se ha validado, el analista está listo para realizar la sim ulación y estudiar el com portam iento del proceso. En caso de que se desee com parar escenarios d iferentes para un m ism o problem a, é ste será el m odelo raír, en tal situación, el sigu ien te paso es la definición de los escenarios a analizar. 8. Determ inación d e los escenarios p ara el análisis. Tras validar el m odelo es n ecesa­ rio acordar co n el cliente los escenarios q ue se quiere analizar. Una m anera m u y sencilla de determ inarlos consiste en utilizar un escenario pesim ista, uno o ptim ista y uno interm edio para la variable de respuesta m ás im portante. Sin em bargo, es preciso to m ar en cuen ta que no tod as las variables se com portan igual ante los cam bios en los distintos escen a­ rios, po r lo q ue tal vez sea necesario q ue m ás de una variable de respuesta se analice b a­ jo las perspectivas pesim ista,o p tim ista e interm edia. El riesgo de esta situación radica en que el analista podría caer en un diseño de experim entos capaz de generar una gran ca n ­ tidad de réplicas, lo q ue redundaría en un increm ento considerable de costo, análisis y tiempo de sim ulación. Es po r ello q ue m uchos paquetes de sim ulación cuentan con he­ rram ientas para realizar este proceso, elim inando la anim ación y acortando los tiem p o s de sim ulación. Estas herram ientas perm iten realizar varias réplicas del m ism o escenario para obtener resultados con estadísticas im portantes respecto de la to m a de decisiones (por ejem plo, los intervalos de confianza). Por su parte, el analista tam bién puede contribuir a la selección de escenarios, su g i­ riendo aquellos que co nsidere m ás im po rtantes; al hacerlo dará pie a q ue se reduzca el número de com binaciones posibles. 9. Análisis d e sen sib ilid ad . Una vez q ue se obtienen los resultados de los escenarios es im portante realizar pruebas estadísticas que perm itan com parar los escenarios con los m ejores resultados finales. Si dos de ellos tienen resultados sim ilares será necesario co m ­ parar sus intervalos de confianza respecto de la variable de respuesta final. Si no h ay in ­ tersección de intervalos podrem os decir con certeza estadística q ue los resultados no son 12

1.6 Pro b lem as |

iguales; sin em bargo, si los intervalo s se traslapan será im posible determ inar, estadística­ m ente hablando, que una solución es m ejo r que otra. Si se desea obtener un escenario "ganador" en estos casos, será necesario realizar m ás réplicas de cada m odelo y/o incre­ m entar el tiem po de sim ulación de cada corrida. Con ello se busca acortar los intervalos de confianza de las soluciones finales y, po r consiguiente, in crem en tar la probabilidad de diferenciar las soluciones. 10. Docum entación del m odelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el análisis de los resultados, es necesario efectuar to d a la docum entación del modelo. Esta docum entación es m u y im portante, pues perm itirá el uso del m odelo generado en caso de q ue se requieran ajustes futuros. En ella se deben in cluir los supuestos del m o­ delo, las distribuciones asociadas a sus variables, todos sus alcances y lim itaciones y e n ge­ neral, la totalidad de las consideraciones de program ación.Tam bién es im po rtante incluir sugerencias tanto del uso del m odelo com o sobre los resultados obtenidos, co n el propó­ sito de realizar un repo rte m ás com pleto. Por último, deberán presentarse asim ism o las conclusiones del proyecto de sim ulación, a partir de las cuales es posible obtener los re­ portes ejecu tivo s para la presentación final. En la fig ura 1.3 se presenta una gráfica de G antt en donde se m uestra, a m anera de ejem plo, la planificación de los pasos para realizar una sim ulación que hem os com entado en esta sección.

A c t iv id a d

D e fin ició n d e l sistem a M o d elo d e sim u lació n base R ecolección y a n álisis d e d a to s M odelo p re lim in a r d e sim u lació n V erificació n d e l m o delo V alid ació n d e l m o d e lo M o d e lo fin a l d e sim u lació n iio to rm s riA n U noc o cron^ r inc L/trltrí II llíinIdLIUN trbLtHldlKJb A nálisis d e se n sib ilid a d

-------- --------- --------- -----

■

D o cu m e n tació n fin al T ie m p o

Figura 1.3

Gráfica de Gantt de un proyecto de simulación

1.6 Problem as 1. D eterm ine los elem entos de cada uno de los siguientes sistemas, de acuerdo co n lo que se com entó en la sección 1.2. a) La sala de em ergencia de un hospital. b) Un banco m ercantil. 13

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

c) d) e) f)

Una línea telefó nica de atención a clientes. La recepción de un hotel. Un taller de tornos. El proceso de pintura de un autom óvil.

2 D eterm ine los elem entos de cada uno de estos sistemas, de acuerdo co n lo q ue se analizó en la sección 1.2. a ) El sistem a de m antenim iento de los equipos de una em presa, llevado a cabo por una cuadrilla de personas. b) Un aeropuerto. c ) Una bodega de distribución de productos. d) Una línea em botelladora de refrescos. e) Un sistem a de control de tránsito para la ciudad. f ) Una línea de arm ado de refrigeradores. 3. D eterm ine cuáles podrían ser las entidades en cada uno de los siguientes sistem as. a ) Un cajero autom ático. b) Un sistem a autom ático de inspección de botellas. c ) Una m áquina dobladora de lám ina. d) Un proceso de em paque de televisores. 4. D eterm ine cuáles podrían ser las entidades en cada uno de los siguientes sistem as. a) Un sistem a de distribución de paquetería. b) Un sistem a de cobranza. c ) Un co nm utado r telefónico. d) Un departam ento de devolución de m ercancía. 5. D eterm ine q ué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación de los siguientes sistemas. a) El m aquinado de una fam ilia de engranes. b) Un proceso de pintura de refrigeradores. c ) Un sistem a de recepción de m ateria prima. d) Un proceso de soldadura para varios productos. 6. D eterm ine q ué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación de los siguientes sistemas. a) Un proceso de em paque de 10 productos po r caja, d ond e cada producto es dife­ rente. b) Un proceso de separación de 3 productos para enviarlos a sus respectivas áreas de procesamiento. c) Un sistem a de inspección de calidad de piezas m aquinadas. d) Un sistem a de program ación de m antenim iento q ue califica sus trabajos co m o u r­ gentes y no urgentes, adem ás de asignarles etiquetas de "Pendiente de asignar" "Asignado" "En proceso"y"Term inado"

14

1.6 Pro b lem as |

7. D eterm ine el prom edio m óvil de los núm eros de la tabla siguiente y grafique los pro­ medios, ¿llega a estado estable la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a partir de q ué valor se puede considerar el inicio del estado estable?

0 .5 6 3

0 .2 4 0

0.558

0 .8 0 5

0 .4 1 7

0 .5 4 5

0.549

0 .5 5 9

0 .7 7 2

0 .2 3 3

0 .1 0 2

0.471

0.569

0 .3 8 0

0 .8 2 2

0 .6 8 7

0.710

0 .9 3 5

0 .1 3 9

0 .4 5 4

0 .0 9 5

0 .1 3 6

0.919

0 .1 5 0

0 .1 6 5

0 .9 7 7

0.130

0 .1 1 0

0 .2 5 2

0 .4 4 4

0 .9 5 0

0.941

0.741

0 .9 3 3

0.081

0 .8 3 0

0.457

0 .1 8 6

0 .5 5 0

0 .8 9 3

0 .9 0 3

0 .1 1 3

0.111

0 .8 7 6

0.001

0 .6 2 2

0.461

0 .0 6 9

0 .9 1 6

0 .3 4 8

0 .9 4 2

0 .3 8 0

0.876

0 .5 3 4

0 .6 5 9

0 .8 2 7

0.593

0 .4 2 8

0 .9 1 6

0 .7 3 0

0 .0 9 3

0 .4 6 9

0.574

0 .5 6 2

0.191

0 .2 1 4

0.267

0 .7 8 6

0322

0 .4 7 6

0 .5 5 8

0 .0 8 9

0397

0 .0 1 5

0 .8 6 0

0.961

0.775

0 .0 4 6

0 .1 1 2

0 .7 5 6

0 .4 2 5

0 .7 3 3

0.879

0 .4 4 4

0 .8 8 6

0 .6 3 8

0.661

0 .2 8 9

0 .8 9 0

0 .5 1 3

0 .1 7 8

0.051

0.598

0 .3 2 8

0.041

0 .2 6 7

0.556

0 .8 1 4

0326

0 .7 9 5

0 .2 2 6

0 .1 4 5

0.508

0.611

0 .7 6 0

0 .9 7 9

0.020

0.601

0 .1 4 5

0 .1 2 3

Promedio m óvil:

1

r ,i~ n

n

I/'

para

n = 1, 2, . . . . , 1 0 0

8. D eterm ine el prom edio m óvil de los núm eros de la tabla siguiente y grafique los pro­ medios, ¿llega a estado estable la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a partir de q ué valor se puede considerar el inicio del estado estable?

0 .8 9 9

0 .0 5 3

0.141

0 .2 2 6

0 .5 0 6

0 .5 2 3

0.316

0 .8 7 0

0 .6 1 4

0 .8 4 4

0 .8 7 3

0 .4 0 2

0.823

0 .4 7 6

0 .9 6 9

0 .4 7 2

0.248

0326

0.221

0 .9 4 6

0 .2 0 9

0 .9 2 5

0.873

0 .9 6 5

0 .5 2 5

0 .0 5 5

0.454

0 .5 6 0

0 .7 8 9

0 .0 8 3

0 .0 4 8

0317

0.680

0372

0.821

0 .4 7 4

0.559

0 .8 4 9

0366

0 .8 5 2

0.801

0 .0 4 8

0.721

0 .5 2 5

0363

0 .4 3 3

0.151

0335

0 .6 6 8

0 .5 2 8

0 .9 7 0

0354

0.276

0 .6 3 8

0 .5 2 7

0 .7 7 6

0.285

0 .0 8 4

0 .4 3 8

0 .9 4 2

0.111

0 .8 8 8

0.010

0 .5 2 9

0 .8 5 2

0 .5 3 6

0.704

0 .8 0 4

0 .0 9 5

0329

0 .7 8 4

0 .5 7 0

0.885

0 .1 6 5

0 .0 2 0

0 .2 2 4

0.425

0 .3 0 0

0.801

0.831

0 .9 4 2

0 .8 8 8

0367

0343

0 .7 0 3

0365

0.457

0 .1 1 0

0.891

0320

0 .7 3 4

0 .1 6 5

0.085

0 .9 6 2

0 .6 9 2

0 .1 2 3

0.588

0 .7 3 8

0388

0 .9 8 4

Promedio m ó vil: rn =

1 n

Y r. n i- 1 -

para

n = 1 ,2 , ...,1 0 0

9. G en ere en una hoja de cálculo 100 núm eros co n la fun ció n x¡ = —3 ln(1 - r¡), d ond e r¡ es un núm ero pseudo aleatorio e n tre cero y uno, o btenido a partir de la función ALEATORIO de la hoja de cálculo. Suponga q ue estos valores son tiem p o s de proceso de cierta pieza. D eterm ine un prom edio m óvil d e estos valores co n fo rm e se va reali­ zando el procesam iento de las piezas, y grafique ese prom edio. ¿El tiem po prom edio

15

[ C a p itu lo 1 Principios b ásico s d e la sim ulación

de proceso es estable? ¿Y si ahora se generan 200 núm eros? (Sugerencia: Para evitar que se recalculen los núm eros aleatorios, e s necesario copiarlos y pegarlos usando un pegado especial de sólo valores.) 10. G enere en una hoja de cálculo 100 núm eros con la fun ció n x¡ = 5 + 10r.,d o nd e r¡ es un núm ero pseudo aleatorio entre cero y uno, o btenido a partir de la fun ció n A LEA ­ TORIO de la hoja de cálculo. Suponga q u e e sto s valores son tiem p o s de atención a clientes en un banco. D eterm ine un prom edio m óvil de estos valores co nfo rm e se va realizando la atención de los clien tes, y grafique ese prom edio. ¿El tiem po prom edio d e atención a clien tes e s estable? ¿Y si ahora se generan 200 núm eros?

16

CAPITULO 2

NÚMEROS PSEUDO ALEATORIOS

2.1

Los núm eros pseudo aleatorios

2 .2

Generación de núm eros pseudo aleatorios 2 .2 .1

Algoritmo de cuadrados m edios

2 .2 .2

Algoritmo de productos m edios

2 .2 .3

Algoritmo de m ultiplicador co nstante

2 .2 .4

Algoritm o lineal

2 .2 .5

Algoritmo congruencial m ultiplicativo

2 .2 .6

Algoritmo congruencial aditivo

2 .2 .7

Algoritm os congruenciales no lineales

2 .3

Propiedades de los núm eros pseudo aleatorios en tre 0 y 1

2 .4

Pruebas estadísticas para los núm eros pseudo aleatorios

2 .5

2 .4 .1

Prueba de m edias

2 .4 .2

Prueba de varianza

2 .4 .3

Pruebas de uniform idad

2 .4 .4

Pruebas de independencia

Problem as 17

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

2.1 Los nú m ero s p seu d o aleato rio s Para poder realizar una simulación que incluya variabilidad dentro de sus eventos, es preci­ so generar una serie de núm eros q ue sean aleatorios po r sí m ism os, y q ue su aleatoriedad se extrapole al m odelo de sim ulación q ue se está construyendo. Como pu ed e co m p ren ­ der, en la construcción del m odelo los núm eros aleatorios juegan un papel relevante. Así, una de las prim eras tareas q ue e s necesario llevar a cabo consiste en determ inar si los núm eros que utilizarem os para "correr"o ejecutar la sim ulación son realm ente alea­ torios o n o ; por desgracia, precisar lo anterior co n absoluta certidum bre resulta m u y co m ­ plicado, ya q ue para ello tendríam os q ue generar un núm ero infinito de valores que nos perm itiera com probar la inexistencia de correlaciones entre ellos. Esto sería m u y costoso y tardado, volviendo im práctico el uso de la sim ulación aun co n las com putadoras más avanzadas. A pesar de lo anterior, podem os asegurar con altos niveles de confiabilidad q ue el conjunto de núm eros q ue utilizarem os en una sim ulación se co m po rtan de m anera m uy sim ilar a un conjunto de núm eros totalm ente aleatorios; po r ello es q ue se les denom ina núm eros pseudo aleatorios. Casi tod as las aplicaciones com erciales tienen varios g enera­ dores de núm eros pseudo aleatorios q ue pueden generar un conjunto m u y grande de núm eros sin m ostrar correlación en tre ellos. En el presente capítulo discutirem os algunos de los m étodos de generación de núm eros pseudo aleatorios, y precisarem os q u é carac­ terísticas deben ten e r para em plearlos com o una fu en te confiable de variabilidad dentro de los m odelos. Asim ism o se m ostrarán algunas de las p rueb as m ás co m u nes para co m ­ probar q ué tan aleatorios son los núm eros obtenidos con dichos generadores.

2.2 G en eració n d e núm eros p seu d o aleato rio s Para realizar una sim ulación se requieren núm eros aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales se hará referencia com o r¡,e s decir, una secuencia r¡ = [r} , ry ry . . . , rn} q ue contiene n números, todos ellos diferentes;/? recibe el n o m b re de periodo o ciclo de vida del gene­ rador q ue creó la secuencia r¡. Los r¡ constituyen la parte m edular de la sim ulación de procesos estocásticos, y gene­ ralm ente se usan para generar el com portam iento de variables aleatorias, tanto co ntinuas como discretas. D ebido a q ue no es posible generar núm eros realm ente aleatorios, co nsi­ deram os los r como núm eros pseudo aleatorios, generados por m edio de algoritm os determ inísticos q ue requieren parám etros de arranque. Para sim ular el com portam iento de una o m ás variables aleatorias e s necesario co n ­ tar con un conjunto suficientem ente grande de r¡ que perm ita, po r ejem plo, q ue la se­ cuencia ten g a al m enos un periodo de vid a de n = 231 = 2 147 483 648. D e acuerdo con L'Ecuyer141 una secuencia de r.c o n periodo de vida de n = 231 es relativam ente pequeña; de hecho, incluso una secuencia de r¡ que co n ten g a un ciclo de vida de n = 2M se co n ­ sidera pequeña. En la actualidad contam os ya co n generadores y procesadores capaces de construir una secuencia de r¡ con periodo de vida de n = 2200. Probablem ente el lector se preguntará por qué d ebe interesarnos co nstru ir una se­ cuencia de n úm ero s r¡ suficientem ente grande. A continuación ilustrarem os la razón m e­ diante un ejem plo. Suponga que querem os sim ular el tiem p o de atención a clien tes en un 18

2 2 G e n e ració n d e nú m e ro s p seu d o ale ato rio s [ "1

banco q ue tie n e 5 cajeros e n paralelo, cada uno de los cuales atiende aproxim adam ente 50 clien tes diarios. Para sim ular el tiem p o de atención se requiere un generador de varia­ ble aleatoria en fun ció n de r¡, po r ejem plo T¡ = 5 + 2 r¡,expresado m inu to s para to d a i = 1, 2 , 3 , n. (El tem a de generadores de variables aleatorias se presenta en el capítulo 3.) Si sim ulam os el tiem p o de atención de m anera aislada, es decir, sin considerar el tiem po transcu rrid o d esd e la llegada d e éstos, serán necesario s 5 x 50 = 250 n úm e ro s r¡ para simular un día; si deseáram os sim ular 5 días se necesitarían 2 5 0 x 5 = 1 250 r . Ahora bien, si consideram os el tiem po desde la llegada de los clientes, precisaríam os de 250 r¡ para sim u­ lar el tiem po transcurrido desde la llegada al banco de los 250 clientes po r día, y 250 x 5 = 1 250 r¡ para sim ular el correspondiente al to tal de clientes atendidos d urante 5 días. Por lo tanto, se requerirán 2 500 núm eros pseudo aleatorios r¡ para sim ular la operación del banco d urante 5 días. Como se m encionó antes, los resultados no pueden basarse en una sola sim ulación del sistem a; por el contrario, e s necesario realizar varias réplicas de la m ism a, corriendo ca­ da una de ellas con núm eros pseudo aleatorios diferentes. Retom ando el ejem plo del banco, sim ular 5 días otra vez significa q ue necesitam os otros 2 500 núm eros pseudo aleatorios en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5 000 r. para realizar la sim u­ lación del sistem a de atención a clientes con dos réplicas. El lector podrá im aginar cuántos núm eros r serán necesarios para sim ular la opera­ ción del banco d urante un año co n 9 réplicas, o cuántos n úm e ro s r¡ se requieren para si­ m ular un sistem a productivo d urante un año, co n varias líneas de producción, y cada línea de producción co n varias estaciones, y cada estación con uno o m ás procesos. Dada la im portancia de contar co n un conjunto de r¡ suficientem ente grande, e n es­ ta sección se presentan diferentes algoritm os d eterm inístico s para obtenerlo. Por otra parte, es conveniente señalar q ue el conjunto de r¡ debe ser som etido a una variedad de pruebas para verificar si los núm eros q ue lo conform an son realm ente independientes y uniform es. (Las pruebas estadísticas q ue determ inan si un conjunto r¡ tie n e las propieda­ des de indep end encia y uniform idad se cu b ren e n la sección 2.4.) Una v e z generado el conjunto r m ediante un algoritm o determ inístico, es necesario som eterlo a las pruebas antes m encionadas: si las supera, podrá utilizarse en la sim ulación; de lo contrario, sim ple­ m ente deberem os desecharlo. Un conjunto de r¡ debe seguir una distribución uniform e continua, la cual está defini­ da por: 1,

0s r s 1

0,

en cualq uier otro valor

f(r ) =

G enerar un conjunto de r¡ es una tarea relativam ente sencilla; para ello, el lector sólo tie­ ne q ue diseñar su propio algoritm o de generación. Lo q ue resulta difícil es diseñar un al­ goritmo q ue genere un conjunto de r¡ con periodo de vida suficientem ente g rand e (N), y q ue adem ás pase sin problem a las p rueb as de uniform idad e independencia, lo cual im ­ plica evitar problem as com o éstos: •

Que los núm eros del conjunto r¡ no estén uniform em ente distribuidos,es decir, q ue haya dem asiados r¡ en un subintervalo y en otro m u y pocos o ninguno. 19

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

• • •

Que los núm ero s r¡ generados sean discretos en lugar de continuos. Q ue la m edia del conjunto sea m u y alta o m u y baja, e s decir, que esté po r arriba o por debajo de V 2. Que la varianza del conjunto sea m u y alta o m u y baja, e s decir, q ue se localice por arriba o por debajo del V 12 (la obtención de estos valores se discute en la sección 2.3).

En ocasiones se presentan tam bién anom alías com o núm eros r. seguidos po r arriba o po r debajo de la m edia; secuencia de r¡ po r arriba de la m edia, seguida de una secu en ­ cia po r debajo de la m edia, y viceversa, o varios r¡ seguidos en fo rm a ascendente o des­ cendente. A continuación se presentan diferentes algoritm os d eterm inísticos para generar los r¡, los cuales se clasifican en algoritm os no congruenciales y congruenciales. Los algorit­ mos no co ng ru enciales q ue analizarem os en esta obra son cuadrados m edios, productos m edios y m ultiplicador constante. E n tre los algoritm os congruenciales se encuentran los algoritm os congruenciales lineales y los no lineales. En este libro abordarem os los algorit­ mos cong ruenciales lineales — tales com o algoritm o congruencial lineal, m ultiplicativo y aditivo— , y los algoritm os no lineales, com o el algoritm o de Blum , Blum y Shub, y el cong-uencial cuadrático.

2.2.1 A lg o ritm o d e cu ad rad o s m edios Este algoritm o no congruencial fu e propuesto en la década de los cuarenta del siglo xx por Von N eum ann y M etró po lis111. Requiere un núm ero entero d etonador (llam ado sem i­ lla) co n D dígitos, el cual es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los D dígi­ tos del centro; el prim er núm ero r¡ se determ ina sim plem ente anteponiendo e r o ." a esos dígitos. Para o b tener el segundo r¡ se sigue el m ism o procedim iento, sólo q ue ahora se elevan al cuadrado los D dígitos del centro q ue se seleccionaron para obtener el prim er r . Este m étodo se repite hasta o b tener n núm eros r¡. A continuación se presentan con más detalle los pasos para generar núm eros co n el algoritm o de cuadrados m edios. 1. Seleccionar una sem illa (Xq) co n D dígitos (D > 3). 2 Sea X0 = resultado de elevar X0 al cuadrado; sea X , = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0D dígitos del centro. 3. Sea Y¡ = resultado de elevar Xj al cuad rad o; sea X/+1 = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0 £) dígitos del centro para to d a /= 1 ,2 ,3 , 4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n núm eros r¡ deseados. Nota: Si no es posible o b tener los D dígitos del centro del núm ero K , agregue ceros a la izquierda del núm ero Y¡. Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de cuadrados m edios se p re se n ta d siguiente ejem plo. Ejem plo 2.1 Generar los prim eros 5 núm eros r¡ a partir de una sem illa X0 = 5 735, de d ond e se puede observar q ue D = 4 dígitos. 20

2.2.2 A lg o ritm o d e pro d ucto s m ed io s |

Solución: Y( = (5 735)2 = 32 890 225

X , = 8 902

r , = 0.8902

Y} = (8 902)2 = 79 245 604

X2 = 2 456

r2 = 0.2456

Y2 = {2 456)2 = 06031936

X3 = 0319

r3 = 0.0319

Y^ = (0319)2 = 101 761

X4 = 0176

r4 = 0.0176

Ya = (01 76)2 = 030976

X5 = 3 097

r5 = 0.3097

El algoritm o de cuadrados m edios g eneralm ente e s incapaz de generar una secuencia de r. con periodo de vida n grande. Además, en ocasiones sólo es capaz de generar un número, por ejem plo, si X0 = 1 000, entonces X , = 0000; r¡ = 0.0000 y se dice q ue el algoritm o se de­ genera con la sem illa de XQ = 1 000.

2.2.2 A lgoritm o d e p ro d u cto s m edios La m ecánica de generación de núm eros pseudo aleatorios de este algoritm o no congruencial es sim ilar a la del algoritmo de cuadrados m edios. La diferencia entre am bos radica en que el algoritm o de productos m edios requiere dos sem illas, am bas con D dígitos;adem ás, en lugar de elevarlas al cuadrado, las sem illas se m ultiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales fo rm arán el prim er núm ero pseudo aleatorio r¡ = 0 D dígitos. Después se elimina una sem illa,y la otra se multiplica por el prim er número de D dígi­ tos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conform arán un segundo núm e­ ro r . Entonces se elim in a la segunda sem illa y se m ultiplican el prim er núm ero de D dígitos por el segundo núm ero de D dígitos; del producto se obtiene el tercer núm ero r . Siem pre se irá elim inando el núm ero m ás antiguo, y el procedim iento se repetirá hasta generar los n núm eros pseudo aleatorios. A continuación se presentan con m ás detalle los pasos del método para generar núm eros con el algoritm o de producto medios. 1. 2 3. 4.

Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3). Seleccionar una sem illa (X ,) co n D dígitos (D > 3). Sea Yq = X0*X 1;s e a X2 = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0 D dígitos del centro. Sea Y . = X * X ^ ; sea X/+2 = los D dígitos del centro, y sea r.+1 = 0 £) dígitos del centro para tod a / = 1 ,2 , 3 , . .. , n. 5. Repetir el paso 4 hasta o b tener los n núm eros r¡ deseados.

Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Y, agregue ceros a la iz­ quierda del núm ero Y. Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de productos m edios se presenta el siguiente ejem plo. Ejem plo 2.2 Generar los prim eros 5 núm eros r¡ a partir de las sem illas X0 = 5 015 y X 1 = 5 734; observe q ue am bas sem illas tien en D = 4 dígitos. 21

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Solución: Yq = (5

015) (5 734)= 28 756 010

x 2 = 7 560

r} = 0.7560

Yy = (5

734) (7 560) = 43 349 040

X 3 = 3 490

r2 = 0.3490

Y2 = (7

560)(3 490) = 26 384 400

X4 = 3 844

r3 = 0.3844

Y3 = (3 490) (3 844) = 13 415 560

X 5 = 4 155

r4 = 0.4155

Ya = (3 844) (4 155) = 15 971 820

X6 = 9 718

r5 = 0.9718

2.2.3 A lg o ritm o d e m u ltip licad o r constante Este algoritm o no congruencial es sim ilar al algoritm o de productos m edios. Los siguien­ tes son los pasos necesarios para generar núm eros pseudo aleatorios con el algoritm o de m ultiplicador constante. 1. 2 3. 4.

Seleccionar una sem illa (X q) co n D dígitos (D > 3). Seleccionar una co n stan te (a ) co n D dígitos (D > 3). Sea Yq = a*XQ; sea X , = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0.D dígitos del centro. Sea Y¡ = a*X¡; sea Xí+1 = los D dígitos del centro, y sea r M = 0 .D dígitos del centro para tod a i = 1 ,2 , 3 , . .. , n. 5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n núm eros r¡ deseados.

Nota: Si no e s posible o b tener los D dígitos del centro del núm ero K , agregue ceros a la izquierda del núm ero Y¡. Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de m ultiplicador constante se presenta el si­ guiente ejem plo. Ejem plo 2.3 Generar los prim eros 5 núm eros r. a partir de la sem illa X( = 9 803 y con la co nstante a = 6 965. O bserve q ue tanto la sem illa com o la co nstante tien en D = 4 dígitos.

Solución:

22

YQ= (6 965) (9 803) = 68 277 895

X , = 2 778

r , = 0.2778

Yy = (6 965) (2 778) = 19 348 770

X 2 = 3 487

r2 = 0.3487

Y2 = (6 965) (3 487) = 24 286 955

X 3 = 2 869

r3 = 0.2869

Y3 = (6 965) (2 869) = 19 982 585

X4 = 9 825

r4 = 0.9825

Ya = (6 965) (9 825) = 68 431 125

X 5 = 4 311

r5 = 0.4311

2.2.4 A lg o ritm o lin e a l |

2 .2 .4 A lg o ritm o lineal Este algoritm o congruencial fu e propuesto po r D. H .Le h m e r151 en 1951. Según Law y Kelton(31,e s te algoritm o ha sido el m ás usado. El algoritm o congruencial lineal genera una se­ cuencia de núm eros enteros po r m edio de la siguiente ecuación recursiva: X¡+} = (aX¡ + c )m o d (m )

/ = 0 ,1 ,2 ,3 ,..., n

donde X( es la sem illa, a es la constante m ultiplicativa, c es una co nstante aditiva y m es el m ódulo; X0 > 0 ,a > 0 , c > 0 y m > 0 deben ser núm eros enteros. La operación “m od m " sig­ nifica m u ltip licar X¡ por a, sum ar c y dividir el resultado en tre m para obtener el residuo X ¡+y Es im portante señalar q ue la ecuación recursiva del algoritm o congruencial lineal genera una secuencia de núm eros enteros S = { 0 ,1 ,2 ,3 ,..., m - 1}, y q ue para obtener n ú ­ m eros pseudo aleatorios e n el intervalo (0,1) se requ iere la siguiente ecuación: X. r¡= ~~ 1 m - 1

i - 1 , 2, 3 , . . . , n

Analice el ejem plo siguiente para com prender m ejo r la m ecánica del algoritm o co n ­ gruencial lineal. Ejem plo 2.4 G enerar4 números entre 0 y 1 con los siguientes parámetros:X0 = 37,a = 19 ,c = 33 y m = 100. Solución: X , = (19*37 + 33) m od 100 = 36

r } = 36/99 = 0.3636

X2 = (1 9 *3 6 + 33) m od 1 00 = 17

r 2 = 17/99 = 0.1717

X3 = (19*17 + 33) m od 100 = 56

r 3 = 56/99 = 0.5656

X4 = (19*56 + 33) m od 100 = 97

r4 = 97/99 = 0.9797

En el ejem plo anterior se colocaron de m anera arbitraria cada uno de los parám etros re­ queridos: Xq, a, c ,m .Sin em bargo, para q ue el algoritm o sea capaz d e lograr el m áxim o pe­ riodo de vida n , es preciso q ue dichos parám etros cum plan ciertas condiciones. Banks, Carson, Nelson y N ic o l[1] sugieren lo siguiente: m = 29 a k c g

= 1 + 4k debe ser entero relativam ente prim o a m debe ser entero

Bajo estas co n d icio n es se obtiene un periodo d e vida m áxim o: N = m = 2g. Veam os un ejem plo más, tom and o en cuen ta lo anterior. 23

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Ejem plo 2.5 G enerar suficientes n úm e ro s en tre 0 y 1 con los parám etro s X0 = 6, k = 3, g = 3 y c = 7, hasta en con trar el periodo de vida m áxim o {N). Como podem os ver, si se cum plen las condiciones q ue Banks, Carson, Nelson y Nicol sugieren, se logrará el periodo m áxim o A/ = m = 8. A continuación se presenta el desarro­ llo de la generación d e los núm eros r¡. y

m = 23 = 8

o* II ON

0 = 1 + 4 ( 3 ) = 13

X^ = (13*6 + 7 ) m od 8 = 5

r} = 5 /7 = 0.714

X2 = (13*5 + 7 ) m od 8 = 0

r2 = 0/7 = 0.000

X3 = (13*0 + 7 ) m od 8 = 7

r3 = 7 /7 = 1.000

X4 = (13*7 + 7 ) m od 8 = 2

r4 = 2/7 = 0.285

X5 = (13*2 + 7 ) m od 8 = 1

r5 = 1/7 = 0.142

Xfi = (13*1 + 7 ) m od 8 = 4

r6 = 4/7 = 0.571

X7 = (1 3 * 4 + 7 ) m od 8 = 3

r? = 3/7 = 0.428

X8 = (13*3 + 7 ) m od 8 = 6

rg = 6/7 = 0.857

Es im p o rtan te m e n cio n ar q u e el núm ero generado e n X8 = 6 es e xa cta m e n te igual a la sem illa X y si co n tin u á ra m o s generando m ás núm ero s, éstos se repetirían. A dem ás sa­ bem os q ue el alg o ritm o co ng ruencial lineal genera una secu encia de n úm e ro s enteros S = { 0 ,1 ,2 ,3 ,..., m - 1}. O bserve q ue en este caso se genera la secuencia S = {0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 , 6,7). Ejem plo 2.6 Considerem os nuevam ente el ejem plo anterior, pero tratem os de violar de m anera arb i­ traria alguna de las condiciones. Supongam os q ue a = 1 2 ;se sabe q ue a no es el resultado de 1 + 4 k,d o n d e k es un entero. Veam os el com portam iento del algoritm o congruencial lineal ante tal cam bio. Solución: a = 1 + 4 (3 )= 13

y

m = 23 = 8

X0 = 6

24

X 1 = (12*6 + 7 ) m od 8 = 7

r , = 7 / 7 = 1 .0 0 0

X2 = (12*7 + 7 ) m od 8 = 3

r2 = 3/7 = 0.428

X3 = (12*3 + 7 ) m od 8 = 3

r3 = 3/7 = 0.428

2 2 .5 A lg o ritm o co n g ru e n cia l m u ltip lica tivo |

El periodo de vida en este caso e s N = 3, de m anera que, com o pu ed e ver, el periodo de vi­ da m áxim o no se logra. Como conclusión tenem o s q ue si no se cum ple alguna de las co n ­ diciones, el periodo de vida m áxim o N = m n o se garantiza, por lo q ue el periodo de vida será m en o r q ue m.

2.2.5 A lg o ritm o congruencial m ultiplicativo El algoritm o congruencial m ultiplicativo surge del algoritm o congruencial lineal cuando c = 0. Entonces la ecuación recursiva es: X¡+t = (oX;) m od (m)

/ = 0 , 1 , 2 , 3 ,. . ., n

En com paración con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja del algoritmo m u lti­ plicativo es q ue im plica una operación m enos a realizar.Los parám etros de arranque de es­ te algoritmo son X^ a y m,to d o s los cuales deben ser núm eros enteros y m ayores q ue cero. Para transform ar los núm eros X¡ en el intervalo (0,1) se usa la ecuación r. = xf./(m - 1). De acuerdo con Banks, Carson, Nelson y N ico l111, las condiciones q ue deben cum p lir los pará­ m etros para q ue el algoritm o congruencial m ultiplicativo alcance su m áxim o periodo son: m = 2g a = 3 + 8k o a = 5 + 8k k = 0 , 1 ,2 ,3 ,... X0 debe ser un núm ero im par g debe ser entero A partir de estas co nd icio nes se logra un periodo de vida m áxim o N = k/4 = 29"2

Ejem plo 2.7 G en e rar su ficien tes n úm ero s e n tre 0 y 1 con lo s sig u ien tes parám etro s: X( = 17, k = 2 y g = 5, hasta en co n trar el periodo o ciclo de vida. Solución: £7 = 5 + 8(2) = 21

y

m = 32

X0 = 17 X , = (21#17) m od 32 = 5

r, =5/31 = 0 .1 6 1 2

X2 = (21*5) m od 32 = 9

r2 = 9/31 = 0.2903

X3 = (21*9) m od 32 = 29

r3 = 29/31 = 0.9354

X4 = (21*29) m od 32 = 1

r4 = 1/31 = 0.3225 25

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Xs = (21*1) m od 32 = 21

r5 =21/31 = 0 .6 7 7 4

X6 = (21 *21) m od 32 = 25

r6 = 25/31 = 0 .8 0 6 4

X7 = (21*25) m od 3 2 = 13

r? = 13/31 = 0.4193

X8 = (21*13) m od 3 2 = 17

rg = 17/31 = 0.5483

Toda vez q ue la sem illa X0 se repite, volverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo ta n ­ to, el periodo de vida e s n = 8 , el cual corresponde a N= m/4 = 32/4 = 8.

Ejem plo 2.8 Ahora bien, si violam os la condición de q ue la sem illa sea un núm ero impar, digam os con X0 = 12, tenem os: Solución: X0 = 1 2 X , = (21*12) m od 32 = 28

q = 28/31 = 0.9032

X2 = (21*28) m od 32 = 12

r2 = 12/31 = 0.3870

En vista de q ue la sem illa X0 se repite, volverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo tanto, el periodo de vida e s N = 2 .

2.2.6 A lgoritm o congruencial aditivo Este algoritm o requiere una secuencia previa de n números en te ro sX 1,X 2,X 3,X 4, ...,X n para generar una nueva secuencia de núm eros enteros q ue em pieza en Xn+1,X m.2,X m.3,X n+4, . .. Su ecuación recursiva es: X .= (X.L1 + X;._n)m od (m)

/ = n + 1, n + 2, n + 3 ,...,N

Los n úm ero s r¡ pueden ser generados m ediante la ecuación r .= x .l ( m - 1)

Ejem plo 2.9 Generar 7 núm eros pseudo aleatorios en tre cero y uno a partir de la sigu ien te secuencia de núm eros enteros: 6 5 ,8 9 ,9 8 ,0 3 ,6 9 ; m = 100. Sean X1 = 65, X2 = 89, X3 = 98, X4 = 03, X 5 = 69. Para generar rv r2, ry r4, ry r6 y r7 antes es necesario g en erar X6, X7, X8, X^ X 10, X , 1, X , 2. 26

2 2 .7 A lgoritm os co n g ru e n cia le s n o lineales [

:

Solución: X6 = (X 5 + X1)m o d 100 = (60 + 6 5 )m o d 100 = 34

r , = 34/99 = 0.3434

X7 = (X6 + X2) m od 100 = (34 + 89) m od 100 = 23

r 2 = 23/99 = 0.2323

X8 = (X7 + X3) m od 100 = (23 + 98) m od 100 = 21

r 3 = 21/99 = 0.2121

X9 = (X8 + X4) m od 100 = (21 + 0 3 ) m od 100 = 24

r4 = 24/99 = 0.2424

X10= (X 9 + X5)m od 1 00 = (24 + 69) m od 1 0 0 = 9 3

rs = 93/99 = 0.9393

X\ i = (X10 + Xg) mod 100 = (93 + 34) m od 100 = 27 X12= ( X „ + X 7)m od 100 = (27 + 23) m od 1 0 0 = 5 0

2.2.7 A lgoritm os co n g ru en ciales no lineales En esta sección se analizarán dos algoritm os congruenciales no lineales: el congruencial cuadrático y el algoritm o presentado po r Blum , Blum y S h u b [2]. 2.2.7.1 Algoritm o congruencial cuadrático Este algoritm o tie n e la siguiente ecuación recursiva: X^, = (oX? + bX¡ + c) m od (m)

/ = 0 ,1 , 2 , 3 , . . ., N

En este caso, los núm eros r¡ pueden ser generados con la ecuación r. = x / (m - 1 ). D e acuer­ do con L'Ecuyer141, las condiciones q ue deben cum p lir los parám etros m , a , b y c para al­ canzar un periodo m áxim o de N = m son: m = 29 a debe ser un núm ero par c debe ser un núm ero im par g debe ser entero (b - 1) m od 4 = 1 D e esta m anera se logra un periodo de vida m áxim o N = m.

Ejem plo 2.10 Generar, a partir del algoritm o congruencial cuadrático, suficientes núm eros enteros has­ ta alcanzar el periodo de vida, considerando los parám etros X0 = 13, m = 8, a = 26, b = 27 y c = 27. Como to d a s las condiciones estipuladas para los parám etros se satisfacen, es de esperarse q ue el periodo de vida del generador sea N = m = 8, tal com o podrá com probar al revisar los cálculos correspondientes, q ue se presentan a continuación. 27

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Solución:

X , = (26*132 + 27*13 + 27) m od (8) = 4 X2 = (26*42 + 2 7 *4 + 27) m od (8) = 7 X3 = (26*72 + 2 7 *7 + 27) m od (8) = 2 X4 = (26*22 + 2 7 *2 + 27) m od (8) = 1 X5 = (26*12 + 27*1 + 27) m od (8) = 0 X6 = (26*02 + 2 7 *0 + 27) m od (8) = 3 X7 = (26*32 + 27*3 + 27) m od (8) = 6 Xg = (26*62 + 2 7 *6 + 27) m od (8) = 5 X9 = (26*52 + 27*5 + 27) m od (8) = 4 ft)r otro lado, el algoritm o cuadrático genera una secuencia de núm eros en tero s S = {0,1, 2,3, 1}, al igual q u e el algoritm o co ng ruencial lineal. Z 2 .7 .2 Algoritm o d e Blum , Blum y Sh u b 121 Si en el algoritm o congruencial cuadrático a = ‘\ ,b = 0 y c = 0 ,entonces se construye una nueva ecuación recursiva: X¿+1 = (X 2)m o d (m)

/ = 0 ,1 ,2 ,3 .........n

La ecuación anterior fu e propuesta po r Blum , Blum y Sh u b [2J com o un nuevo m éto­ do para generar núm eros que no tienen un com portam iento predecible.

2.3 P ro p ied ad es d e los nú m ero s p seu d o aleato rio s entre 0 y 1 En la sección anterior hablam os de cóm o generar núm eros aleatorios usando diferentes métodos. Sin em bargo, ¿de qué m anera se puede garantizar q ue tales núm eros son real­ m ente aleatorios en tre 0 y 1?, ¿cuáles son las características que los identifican?, ¿cuáles son sus parám etros? La respuesta a las preguntas anteriores es m u y im portante, dado q ue los núm eros aleatorios serán utilizados e n la sim ulación para generar los valores de cualquier variable aleatoria. En gran m edida, conocer las propiedades q ue deben tener estos núm e­ ros aleatorios garantiza una buena sim ulación, po r ello, se enum eran a continuación. Media d e lo s aleatorios entre 0 y 1. En vista d e q ue estos núm eros deben te n e r la m is­ ma probabilidad de presentarse, es preciso q ue su com portam iento m uestre una distri­ bución de probabilidad uniform e continua, con lím ite inferior cero y lím ite superio r uno. La función de densidad de una distribución uniform e e s la siguiente: f{x) = —!— b-o 28

azxzb;

en este caso,

a=0

y

b =1

2.3 Propiedades d e tos n ú m e ro s p seu d o aleatorios e n tre 0 y 1 |

Gráficam ente se vería de la siguiente m anera:

Para o b tener la m ed ia de la distribución m ultiplicam os la fun ció n de densidad po r x, y la integram os en todo el rango de la m ism a distribución de la sigu ien te m anera:

Sustituyendo los valores de a y b fW -j Por lo tanto, el valor esperado (es decir, la m edia de los n úm e ro s aleatorios en tre 0 y 1) es At = 0.5. V arianza de los núm eros aleatorios. Partiendo de la m ism a distribución uniform e c o n ­ tinua o btenem o s la varianza de la distribución po r m edio de la ecuación: V(x) = a 2 = E (x 2) - fi 2 lo q ue nos da E{x2):

£(x2)=íaí br -4a (x2)=^ 3{b f- ah) l' Al su stituir ten em o s que £ (**)= 1 Por lo tanto,

29

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Dados estos resultados podem os decir q ue los núm eros aleatorios entre 0 y 1 deben te n e r „ =1 *

2

y

Y

o2 = —

12

Independencia. Ésta es una propiedad m u y im portante, e im plica q ue los núm eros alea­ torios no deben te n e r correlación entre sí; es decir, deben ser independientes, de m anera que puedan dispersarse uniform em ente dentro d e todo el espectro de valores posibles. La fig ura 2.2a m uestra una gráfica to talm en te dispersa en los valores posibles, y la figura 2 2 b presenta una acum ulación de los valores en la parte central, lo cual quiere decir que hay una correlación entre los m ism os.

(a)

Figura 2.2 (a) Valores uniformemen­ te dispersos y (b) valores correlacionados

& posible realizar una serie de pruebas para corroborar q ue no existe correlación entre los núm eros aleatorios, e incluso para garantizar q ue no exista un sesgo o tend encia en ­ tre los dígitos de cada uno de ellos. Estas pruebas se revisarán con m ás detalle en la si­ guiente sección. 30

2.4.1 Pru eb a d e m ed ias |

2 .4

P ru eb as e sta d ística s p ara los núm eros p se u d o aleato rio s En la sección 2.2 se presentaron diversos algoritm os para construir un conjunto r¡, pero ése es sólo el prim er paso, ya que el conjunto resultante d ebe ser som etido a una serie de pruebas para validar si los núm eros q ue lo integran son aptos para usarse en un estudio de sim ulación. A continuación se analizarán las pruebas estadísticas básicas que se em plean gene­ ralm ente para determ inar si un conjunto de núm eros pseudo aleatorios entre cero y uno cum plen con las propiedades básicas de indep end encia y uniform idad. El objetivo, en otras palabras, es validar q ue el conjunto r¡ realm ente está conform ado por núm eros alea­ torios. Es im portante m encionar que las pruebas que se discutirán no son únicas; si desea conocer otras, consulte Banks, Carson, Nelson y N ico l[1].

2.4.1 Prueba d e m edias Una de las propiedades q ue deben cu m p lir los núm eros del conjunto r.,e s q u e el valor es­ perado sea igual a 0.5. La prueba q ue busca determ inar lo anterior e s la llam ada prueba de m edias,er\ la cual se plantean las siguientes hipótesis:

H0:Mrí = 0.5 0.5 La prueba de m edias consiste en determ inar el prom edio de lo s n núm eros q ue c o n ­ tiene el conjunto r¡, m ediante la ecuación siguiente:

Posteriorm ente se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecu a ­ ciones siguientes:

Si el valor de r s e en cu entra entre los lim ites de aceptación, concluim os q ue no se puede rechazar q ue el conjunto r¡ tiene un valor esperado de 0.5 con un nivel de aceptación de 1 - a .E n caso contrario se rechaza que el conjunto r. tien e un valor esperado de 0.5. Para el cálcu lo de lo s lím ites de acep tació n se u tiliza el estadístico m/2, el cual se determ ina por m edio de la tabla de la distribución norm al estándar (tam bién se puede calcular dicho valor utilizando la fun ció n PROMEDIOA (o AVERAGE) — m edia aritm ética— de Excel). 31

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

Ejem plo 2.11 Considere los 4 0 núm eros del conjunto r¡ que se presenta a continuación, y d eterm in e si tienen un valor esperado de 1/2 con un nivel de aceptación de 95 po r ciento.

0.0449

0.1 7 33

0.5746

0 .0 4 9

0.8 4 06

0.8 3 49

0 .9 2

0.2 5 64

0.6015

0.6 6 94

0.3972

0.7 0 25

0.1 0 55

0.1 2 47

0.1 9 77

0.0 1 25

0.63

0.2531

0.8297

0.6 4 83

0.6 9 72

0.9 5 82

0.9 0 85

0.8 5 24

0.5514

0.0 3 16

03587

0.7041

0.5 9 15

0.2 5 23

0.2 5 45

0.3 0 44

0.0207

0.1 0 67

0.3587

0.1 7 46

0.3 3 62

0.1 5 89

03727

0.4 1 45

El conjunto r¡ contiene 4 0 núm eros, po r lo tanto, n = 40. Un nivel de aceptación de 95% im plica q ue a = 5% . Enseguida procedem os a calcular el prom edio de los núm eros y los lím ites de aceptación: 1 n

1

40

7 = -¿r [0.04487 + 0.17328 + 0.57548 + 0.04901 + ...+ 0 .3 3 6 1 6 + 0.15885 + 0.37266 + 40 0.41453] 7 = 0.43250 L l'~ 2

Z“/2(v T 2 n ) ~ 2

Z° 05/2(-/l2(40))

L I . = 1 - (1.96) I , 1 \ = 0.410538649 ' 2 V l2 (4 0 )j

¿S' ~ 2 + Z“ /2(v T 2 n ) ~ 2 + Z° 05/2(\/T2(40í) ¿Sf = 1 + (1.96)f ...-1 _ \ = 0.589461351 ' 2 \v^Í2(40)/ Como el valor del prom edio: F = 0.43250 se encuentra en tre los lím ites d e aceptación, se concluye que no se pu ed e rechazar q ue el conjunto de 4 0 núm eros r¡ tiene un valor es­ perado de 0.5, con un nivel de aceptación de 95 po r ciento.

2.4.2 Prueba d e varianza Otra de la propiedades q ue d ebe satisfacer el conjunto r.,e s q ue sus núm eros teng an una varianza de 1/12. La prueba q ue busca d eterm inar lo anterior es la prueba de varianza,q u e establece las siguientes hipótesis: H0: 0-2= 1/12 H yO -** 1/12 32

2 4 .2 Pru eb a d e v a ria n z a |

La p rueb a de varianza consiste en d eterm inar ia varianza de los n núm eros que co n ­ tiene el conjunto r , m ediante la ecuación siguiente:

m = ,=' n -1 Después se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes: 2

//

_ ^a/2,n - 1 1 2 (n - 1) 2

LS

= ^ W 2'n_1 12 (n —1)

Si el valor de V[r) se en cu entra entre los lím ites de aceptación, decim os q ue no se puede rechazar q ue el conjunto r¡ tiene una varianza de 1/12, co n un nivel de aceptación de 1 - a ;d e lo contrario, se rechaza q ue el conjunto r. tiene una varianza de 1/12. Ejem plo 2.12 Realizar la prueba de varianza a los 4 0 núm eros r¡ del ejem plo 2.11. Considerando q ue n = 4 0 y a = 5% , procedem os a calcu lar la varianza de los núm e­ ros, y los lím ites de aceptación correspondientes: 40

n

5 > ,- n 2 V(r) = l=' n- 1

2 ^ - ° - 43250)2 40-1

V[r) = ^ [(0.04487 - 0.43250)2 + (0.17328 - 0.43250)2 + . . . + (0.37266 - 0.43250)2 + (0 .4 1 4 5 3 -0 .4 3 2 5 0 )2] V(r) = 0.08695062 i i

X q/2,/ i -1

¿/W

£c

v{,)

X o.05/2,39

- i2 ( n - 1 ) " lW

'

58.1200541 n i-M io o ic 468 - 0-12418815

= * Í : a/2‘n: l = X \^ ?5* 39 = 2 36 543003 = 0.05054338 12(n - 1 ) 12(39) 468

Dado q ue el valor de la varianza: V(r) = 0.8695062 está entre los lím ites de acepta­ ción, podem os decir q ue no se puede rechazar q ue el conjunto de 4 0 núm eros r tiene una varianza de 1/12 = 0.08333. 33

| C a p ítu lo 2 Núm eros p se u d o aleato rio s

2.4.3 P rueb as d e uniform idad Una de las propiedades m ás im portantes que d ebe cum p lir un conjunto de núm eros r es la uniform idad. Para com probar su acatam iento se han desarrollado pruebas estadísticas tales co m o las p rueb as Chi-cuadrada y de Kolm ogorov-Sm irnov. En cualquiera de am bos casos, para probar la uniform idad de los núm eros d e un conjunto r. es necesario form ular las siguientes hipótesis: H ¿ r ¡ ~ U ( 0,1) H y í¡ no son uniform es Vfeamos a continuación cóm o fun cio na cada una de estas pruebas. 2 4.3.1 Prueba Chi-cuadrada La prueba Chi-cuadrada busca d eterm inar si los núm eros del conjunto r¡ se distribuyen uniform em ente en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba e s necesario d ivid ir el intervalo (0,1) en m subintervalos,en donde es recom end able m = Vñ. Posteriorm ente se clasifica cada núm ero pseudo aleatorio del conjunto r.e n los m intervalos. A la cantidad de núm eros r¡ que se clasifican en cada intervalo se le deno m ina frecuencia observada (0 ; ), y a la cantidad de núm eros r¡ que se espera en co n trar en cada intervalo se le llam a fre­ cuencia esperada (E ); teó ricam en te, la r¡ es igual n/m . A partir de los valores de Oj y E¡ se determ ina el estadístico m ediante la ecuación o m ( E .- Q ) E I; Si el valor del estadístico A^es m e n o r al valor de tablas de X 2 a m_ v entonces no se puede rechazar q ue el conjunto de núm eros r¡ sigue una distribución uniform e. En caso contrario, se rech aza q ue r¡ sigue una distribución uniform e. Ejem plo 2.13 Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 núm eros de un conjunto r,c o n un n i­ vel de confianza de 95 po r ciento.

34

0.347

0.832

0 .9 6 6

0 .4 7 2

0 .7 9 7

0.101

0 .6 9 6

0 .9 6 6

0 .4 0 4

0.603

0.993

0 37 1

0 .7 2 9

0 .0 6 7

0 .1 8 9

0.977

0 .8 4 3

0 .5 6 2

0 .5 4 9

0.992

0.674

0.628

0 .0 5 5

0 .4 9 4

0 .4 9 4

0.235

0 .1 7 8

0 .7 7 5

0 .7 9 7

0.252

0.426

0.054

0 .0 2 2

0 .7 4 2

0 .6 7 4

0.898

0.641

0 .6 7 4

0.821

0.19

0.46

0.224

0 .9 9

0 .7 8 6

0 .3 9 3

0.461

0.011

0 .9 7 7

0 .2 4 6

0.881

0.189

0.753

0 .7 3

0 .7 9 7

0 .2 9 2

0.876

0 .7 0 7

0 .5 6 2

0 .5 6 2

0.821

0.112

0.191

0 .5 8 4

0347

0 .4 2 6

0.057

0 .8 1 9

0 .3 0 3

0 .4 0 4

0.64

0.37

0314

0.731

0 .7 4 2

0313

0.472

0.641

0 .9 4 4

0.28

0.663

0.909

0.764

0 .9 9 9

0 .3 0 3

0 .7 1 8

0.933

0 .0 5 6

0 .4 1 5

0 .8 1 9

0.444

0.178

0.516

0 .4 3 7

0393

0 .2 6 8

0.123

0 .9 4 5

0527

0 .4 5 9

0.652

2 4 .3 Pru eb as d e un ifo rm id a d |

Antes de proceder, es recom endable crear una tab la sim ilar a la tab la 2.1, e n donde se resum en los pasos q ue deben llevarse a cabo en la prueba Chi-cuadrada. Tabla 2.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada Intervalo

iEr O }2 OT

E¡ = — 1 m

E¡

[0.00-0.10)

7

10

0.9

[0.10-0.20)

9

10

0.1

[0.20-0.30)

8

10

0.4

[0.30-0.40)

9

10

0.1

[0.40-0.50)

14

10

1.6

[0.50-0.60)

7

10

0.9

[0.60-0.70)

11

10

0.1

[0.70-0.80)

14

10

1.6

[0.80-0.90)

9

10

0.1

[0.90-1.00)

12

10

0.4

10 (E . - o y El estadístico x \ - 2 r¡ — ~£~'— = 6-2 es m enor al estadístico correspondiente de

la Chi-cuadrada ^ Q5 g= 16.9. En consecuencia, no se pu ed e rechazar que los n úm e ro s r. siguen una distribución uniform e. 2.4.3.2 Prueba Kolm ogorov-Sm lrnov Propuesta por Kolm ogorov y Sm irnov, ésta es una prueba estad ística q u e tam b ién nos sirve para determ inar si un conjunto r¡ cum ple la propiedad de uniform idad. Es recom en­ d ab le ap licarla en co n ju n to s r¡ pequeños, p o r e je m p lo , n < 20. El p ro ced im ien to es el siguiente: 1. O rdenar de m enor a m ayor los núm eros del co n ju n to r¡ .

2

D eterm inar los valores de: D+, Dr y D con las siguientes ecuaciones: D * = m, áx á x ¡j{ i --r r,l .} 1 5, no se requiere ajuste. Por últim o, al com parar el estadístico de prueba A 2 n = 1.3516 co n el valor crítico con el nivel de significancia seleccionado, a 00530 = 2.492 (tabla 3.3 de valores críticos d e a ), ve­ mos q ue no se pu ed e rechazar la hipótesis HQ.

Tabla 3.5 Cálculos de la segunda hipótesis en la prueba de Anderson-Darling C1

C2

O

C4

2m

P E A {Y )

C5

C6

C7

C8

¿M C 4 )

L N (C 5 )

(Q )* ((C 6 ) + a 7 ) )

1

*i

1

5.63282

13.4663

1

0.02354

0.0 2 67

-3.7491

-3 .6 2 1 8

-7 3709

2

5.76414

13.4663

3

0.02743

0.0 2 67

-3.5961

-3 .6 2 1 8

-2 1 .6 5 3 5

3

5.76414

133229

5

0.02743

0.0 3 15

-3.5961

-3 .4 5 8 3

-3 5 .2 7 1 8

4

6 .95686

12.6853

7

0.09282

0.0 6 17

-2377 1

-2 .7 8 5 4

-3 6 .1 3 7 5

(Continúa) 66

3.3.4 A ju ste d e d a to s co n S ta t: :Fit |

Tabla 3.5 (Continuación) 5

7.11163

12.19

9

0.10634

0.0 9 80

-2.2411

-2 3227

-4 1.0 74 3

03696

-2.2411

-0 .9 9 5 2

-3 5 .5 9 9 7

6

7.11163

10.2697

11

0.10634

7

7.8266

10.0562

13

0.18707

0.4 1 06

-1 .6 7 6 3

-0 .8 9 0 2

-3 3 3 6 4 1

8

830552

9.93504

15

0.25808

0.4 3 43

-1 3545

-0.8341

-3 2 .8 2 8 2

9

8 .61959

9.83097

17

031128

0.4 5 48

-1.1671

-0 .7 8 7 8

-3 3 .2 3 3 2

10

8 .86415

9.82943

19

035571

0.4551

-1 .0 3 3 6

-0 .7 8 7 2

-34.5951

11

8.97359

9.62768

21

037629

0.4 9 53

-0 .9 7 7 4

-0 .7 0 2 6

-3 5 .2 8 0 2

12

9.1919

9.53164

23

0.41837

0.5 1 44

-0 .8 7 1 4

-0 .6 6 4 7

-3 5 .3 2 9 6

13

9.25952

939954

25

0.43161

0.5 4 07

-0 .8 4 0 2

-0 .6 1 4 8

-3 6 .3 7 6 8

14

9.26901

934602

27

0.43348

0.5 5 13

-0 .8 3 5 9

-0 .5 9 5 4

-3 8 .6 4 6 0

15

9.27425

934602

29

0.43451

0.5 5 13

-0 .8 3 3 5

-0 .5 9 5 4

-4 1 .4 3 9 9

16

9.34602

9.27425

31

0.44867

0.5 6 55

-0 .8 0 1 5

-0.5701

-4 2 .5 1 7 3

17

934602

9.26901

33

0.44867

0.5 6 65

-0 .8 0 1 5

-0 .5 6 8 2

-4 5.2 00 4

18

939954

9.25952

35

0.45927

0.5 6 84

-0.7781

-0 .5 6 5 0

-47.0071

19

9.53164

9.1919

37

0.48556

0.5 8 16

-0 .7 2 2 5

-0 .5 4 1 9

-4 6.7 81 7

20

9.62768

8 .97359

39

0.50471

0.6 2 37

-0 .6 8 3 8

-0.4721

-4 5 .0 7 7 7

21

9.82943

8 .86415

41

0.54486

0.6 4 43

-0 .6 0 7 2

-0 .4 3 9 6

-4 2.9 20 0

22

9.83097

8 .61959

43

0.54516

0.6 8 87

-0 .6 0 6 7

-0 3729

-42.1221

23

9 .93504

830552

45

0.56572

0.7 4 19

-0 .5 6 9 7

-0 .2 9 8 5

-3 9 .0 6 7 7

24

10.0562

7.8266

47

0.58943

0.8 1 29

-0 .5 2 8 6

-0.2071

-3 4 .5 7 8 3

25

10.2697

7.11163

49

0.63037

0.8 9 37

-0 .4 6 1 5

-0 .1 1 2 4

-2 8 .1 2 0 5

26

12.19

7.11163

51

0.90199

0.8 9 37

-0.1031

-0 .1 1 2 4

-1 0 .9 9 4 6

27

12.6853

6 .95686

53

0.93829

0.9 0 72

-0 .0 6 3 7

-0 .0 9 7 4

-8 .5 3 8 5

28

133229

5.76414

55

0.96852

0.9 7 26

-0 .0 3 2 0

-0 .0 2 7 8

-3 .2 8 9 2

29

13.4663

5.76414

57

0.97326

0.9 7 26

-0.0271

-0 .0 2 7 8

-3.1301

30

13.4663

5.63282

59

0.97326

0.9 7 65

-0.0271

-0 .0 2 3 8

-3 .0 0 4 2

______

3 .3.4 A juste d e d ato s con Stat: :Fit La herram ienta Stat: :Fit de ProModel se utiliza para analizar y determ inar el tipo de distribu­ ción de probabilidad de un conjunto de datos. Esta utilería perm ite comparar los resultados entre varias distribuciones analizadas m ediante una calificación. Entre sus procedim ientos em plea las pruebas Chi-cuadrada; de Kolm ogorov-Sm irnov y de Anderson-Darling. Ade­ más calcula los parám etros apropiados para cada tipo de distribución,e incluye información estadística adicional com o m edia, m oda, valor m ínim o, valor m áxim o y varianza, entre otros datos. Stat: :R t se puede ejecutar desde la pantalla de inicio de ProModel, o bien desde el com ando Stat: :Fit del m enú Tools (vea la fig ura 3.6).

67

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

ins.t< 3ll m o d p l p

www.prom odPl.com

£ > lm R u n n p r

Figura 3.6 Pantalla de inicio de ProModel

Una vez q ue co m ien ce a ejecutarse el com ando Stat: :Fit, haga c lic en el icono de la hoja en blanco de la barra d e herram ientas Estándar para abrir un nuevo docum ento (tam bién pu ed e abrir el m enú File y hacer c lic en New). Enseguida se desplegará una ven ­ tana con el nom bre Data Table (vea la fig ura 3.7), en la que deberá introducir los datos de la variable a analizar, ya sea utilizando el teclado o m ediante los com andos Copiar y Pegar (Copy / Paste) para llevar dichos datos desde otra aplicación, com o puede ser Excel o el Bloc de notas de W indow s.

S t a t ::F it - D o c u m e n tl F ile

E d it

In p u t

S ta b s tK S

□ i? y Ü

R t

©

U t ilit ie s

V ie * v

\M ndow

H e lp

e

D o c u m e n tl: D a ta T a b le

In te rv o ls

1

P o in is :

Figura 3.7 Introduzca los datos de la variable que desea analizar en esta ventana de Stat: :Fit

Una vez introducida la inform ación es posible seleccionar una serie de opciones de análisis estadístico, e n tre e lla s las de estad ística d escriptiva y las de p rueb as de bondad de ajuste, de las cuales nos ocuparem os en los siguientes ejem plos. 68

3.3.4. A ju ste d e d a to s co n S ta t: :Fit |

Ejem plo 3.4 Los datos del núm ero de autom óviles q ue entran a una gasolinera por hora son:

14

7

13

16

16

13

15

17

15

16

13

15

10

15

16

14

12

17

14

12

13

20

8

17

19

11

12

17

9

18

20

10

18

15

13

16

24

18

16

18

12

14

20

15

10

13

21

23

15

18

D eterm inar la distribución de probabilidad co n un nivel de significancia a de 5 por ciento. Después de introducir estos datos e n Stat: :Fit, despliegue el m enú Statistlcs y selec­ cione el com ando Descriptlve. Enseguida aparecerá una nueva ventana con el nom bre de Descriptive Statistics, en d ond e se m uestra el resum en estadístico de la variable (vea la figura 3.8).

S t a t ::F it

D o c u i" c r .t 1

File Ed.t !np S S - Jlc to l ¿ « l j ' d

íá

& y ( j|l

Documerv

1

i) e u . --------------■>"a 5

In t e r v a ls :

VVíndow Meto

P o in t s :

x

X

»

E l

L .

a

D o c u m e n t l : D e s c r ip t iv e S ta tis t ic s

50

d e s c rip tiv e

u

s ta tis tic s

14

d a t a p o in ts

50

7.

m ín im u m

7.

3

13.

m á x im u m

24.

4

16.

m ean

1 5 .0 4

5

16.

m e d ia n

15.

6

13.

m odc

13.

7

14.

s ta n d a rd

17

v a ria n c e

1 3 .1 4 1 2

15.

c o c ttic ie n t o f v a r ia tio n

2 4 .1 0 2 9 0 .1 3 4 6 5 1

¡2

9 10

16

sk e w n e ss

111

13.

k u r t o s is

12

15.

13

10.

1 4 ____________ 1 L.

d e v ia t io n

n

3 .6 2 5 0 8

0 .1 2 1 9 8 2

Figura 3.8 Ventana de resultados estadísticos de Stat: :Fit

Para d eterm inar el tipo de distribución de probabilidad de los d ato s,seleccio ne el c o ­ m ando AutoFit del m enú Fit en la pantalla principal de Stat: :Fit. A continuación se des­ plegará un cuadro diálogo sim ilar al q ue se ilustra e n la fig ura 3.9, e n el cual se tie n e que seleccio n ar el tipo d e distrib ució n q ue se desea probar, si dicha d istrib ució n e s no aco ­ tada en am bos extrem os (unbounded), o si el lím ite inferior está acotado; en e ste últim o caso se pu ed e aceptar la propuesta de q ue la cota del lím ite inferior sea el dato m ás pe­ queño de la m uestra (low er b o u n d ),o seleccionar explícitam ente otro valor com o lím ite inferior (assigned bound). Para este ejem plo seleccionam os una distribución de tipo dis­ creto: cfiscrete d istrib u tio n sy a q ue los datos de la variable aleatoria [autom óviles/hora] tienen esa característica. 69

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Auto::Fit

c o n íin u o u s d is trib u to r a •

d is c r e t e d s t r f o u t o n s

T h e D is tr ib u to r ) I s

OK

•

l o v -e r b o u r d

Cancel

Hefc»

Figura 3.9 Este cuadro de diálogo permite seleccionar el tipo de variable aleatoria

Haga clic en el botón OK para que el proceso de ajuste se lleve a cabo. El resultado se desplegará en la ventana A utom atic Fitting, dond e se describen las distrib uciones de probabilidad analizadas, su posición de acuerdo con el ajuste, y si los datos siguen o no al­ guna de las distribuciones. En la fig ura 3.10 se observa el resultado del an álisis de ajuste del ejem plo, el cual nos indica q ue no se pu ed e rechazar la hipótesis de q ue los datos pro­ vengan de cualq uiera de dos distribuciones, Binom ial, co n N = 104 y p = 0.145, o de Poisson, con m edia 15.0 (esta últim a coincide con el resultado que obtuvim os en el ejem plo 3.1 m ediante la prueba de bondad de ajuste Chi-cuadrada).

A u t o ::F ¡l o f D is trib u t io n s

d is t rib u t io n

ra n k

a c c c p ta n c c

d o n o t n íje c t d o n o t r e jc c t

Figura 3.10 Ventana de resultados del análisis de la variable aleatoria

Haga clic con el ratón en cualquiera de las dos distrib uciones (vea la fig ura 3.10); e n ­ seguida se desplegará el h isto g ram aq u e se ilustra en la fig ura 3.11, presentándole un histogram a: las barras azules representan la frecuencia observada de los datos; la línea roja indica la frecu encia esperada de la distribución teórica.

70

3.3.4. A ju ste d e d a to s co n S ta t: :Fit |

El form ato del histogram a puede ser m odificado m ediante el com ando Graphics sty le del m enú Graphics (esta o pció n solam ente está disponible cuando se tie n e activa la ventana Com parison G raph; vea la fig ura 3.11).

Figura 3.11 Histog ramas teórico y real de la variable aleatoria

Ejem plo 3.5 Éstos son los datos de un estudio del tiem p o de atención a los clientes en una florería, m e­ dido en m inutos/cliente:

9.400

& 620

9346

13323

7.112

13.466

5.764

8 .9 7 4

9.831

10.056

7.445

6 .6 1 9

9.260

6.775

8.306

5.633

8 .8 6 4

13.944

8.952

9355

10.489

6 .3 0 6

12.685

11.078

6.957

9.532

9.192

11.731

11350

14.389

12353

8 .0 4 5

9.829

11.804

9.274

12.190

10.270

14.751

9.237

6.515

12397

8 .4 5 3

9.628

13.838

9.935

7.827

9.269

8 .6 9 0

11315

8.527

D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a de 5 por ciento. Dadas las características de la variable aleatoria a analizar, al desplegarse el cuadro de diálogo A u to ::F it (vea la figura 3.9) debem o s activar la opción continuous distributions. El resum en de resultados q ue se ilustra en la figura 3.12 indica que la m uestra puede pro­ venir de cualq uiera de las cuatro distribuciones listadas, resultado q ue coincide co n el análisis ejem plificado previam ente en la prueba de Anderson-Darling acerca de la norm a­ lidad de los datos. En la ventana Com parison Graph puede com pararse la fo rm a de la distribución nor­ mal (verde) y lognorm al (roja) propuestas po r Stat: :Fit, y la diferencia respecto del histo­ gram a de frecuencias de la m uestra.

71

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

O o c u m e m í: D e w il p ll v e S t* 0

d e r.c n p t ¿ v e s t a l i s b " I O o m m u n l/ : A u tc m a tlc f llt ln g n iin im u m

5 .6 3 3

m á x im u m

1 4 .7 5 1

m ean

H ./ 8 6 0 ?

m e d ia n

0 .3 5 0 5

m ode

9 .1 3 2

A u t o ::F it o l D is tr ib u t io n s

d lo t r ib u lio n

ra n k

• c c e p la n c c

2 .3 2 6 7 4

L o g n o r m a l| -3 .1 . 2 .5 4 .0 .1 7 9 )

100

d a n o l re|e cl

v o ilo n c c

6 .4 1 3 / 2

T r i a n g u l a r l o . 1 5 . 5 . 9 .2 1 |

5 7 .2

d o n a l irje c t

c o e lt ic ie n l o f v a iia lio n

2 3 .7 / 6 2

N o i m a l ( 0 . / 0 . 2 .3 |

3 6 .7

sk rw n rs s

0 .3 2 2 5 3

U n H o r m | 5 . 6 3 . 1 4 .8 )

1 .2

d o n o l r e je c l

E x p o n e n t i a l | 5 . 6 3 . 4 .1 5 )

1 .6 3 e -0 0 2

r e je c l

s ta n d a rd d e v ia b a n

k u rt o s lt

3 .4

j

0 .6 7 2 2 4 1 j

d o n o l ic je c l

Figura 3.12 Resumen del análisis de la variable aleatoria del ejemplo 3.5

G en eració n d e v a ria b le s aleato ria s La variabilidad de eventos y actividades se representa a través d e fu n cio n e s de densidad para fenó m enos continuos, y m ediante distrib uciones de probabilidad para fenóm enos de tipo discreto. La sim ulación de estos eventos o activid ades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias. Los principales m étodos para generar las variables aleatorias son: • • • • •

Método Método Método Método Método

de la transfo rm ad a inversa. de convolución. de com posición. de la transform ación directa. de aceptación y rechazo.

En las siguientes secciones se describirán los prim eros cuatro m étodos;el lector intere­ sado en el método de aceptación y rechazo puede consultar la bibliografía recomendada.

3.4.1 M étodo d e la transform ad a inversa 0 m étodo de la transfo rm ad a inversa pu ed e utilizarse para sim ular variables aleatorias o^ntinuas, lo cual se logra m ediante la fun ció n acum ulada f{x ) y la generación de núm e­ ros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ). El m étodo consiste en: 1. 2. 3. 4.

72

D efinir la fun ció n de densidad F {x ) q u e represente la variable a m odelar. Calcular la fun ció n acum ulada F{x). D espejar la variable aleatoria x y obtener la fun ció n acum ulada inversa F{x)~} . G enerar las variables aleatorias x, sustituyendo valores co n núm eros pseudoalea­ torios r¡ ~ U {0 ,1) en la fun ció n acum ulada inversa.

3.4.1 M éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa |

El método de la transfo rm ad a inversa tam bién pu ed e em plearse para sim ular varia­ bles aleatorias de tipo discreto, com o en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binom ial, geom étrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acum ulada P{x) y la generación de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U[0 ,1 ). El método consiste en: 1. Calcular to d o s los valores de la distribución de probabilidad p {x ) de la variable a modelar. 2. Calcular to d o s los valores de la distribución acum ulada P {x). 3. G enerar núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ). 4. Com parar con el valor de P{x) y determ inar q ué valor de x corresponde a P {x). En la fig ura 3.13 se m uestra gráficam ente la m etodología para g en erar variables alea­ torias continuas:

Figura 3.13

Esquematización del método de la transformada inversa para variables continuas

Por su parte, la fig ura 3.14 m uestra de m anera gráfica la m etodología para generar variables aleatorias discretas.

D istribución d e probabilidad

p(x)

D istribución acu m u la d a

PM 1.2

n n n

1

0.8

r , ----------------------------------

0.6

0.4 0 .2

-

0 . i l . . . . \J I

0 1

I

I

2

3

.I . . I . . I . . I . . I . . 4 5 6 7 8

______________________

Figura 3.14

Esquematización del método de la transformada inversa para variables discretas 73

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Distribución uniform e A partir de la función de densidad de las variables aleatorias uniform es en tre a y b, f[x ) = —^— a < x < b b- a se o b tien e la función acum ulada F(x) = í -r^— d x J b - a

=

b- a

a< x< b

Igualando la función acum ulada F {x ) con el núm ero pseudoaleatorio r¡ ~ U{0 ,1 ), y despe­ jando x se obtiene:

x. = o + (b-a)F(x). x = o + (b - o )r .

Ejem plo 3.6 La tem peratura de una estufa se com porta uniform em ente dentro del rango de 95 a 100°C. Una lista de núm eros pseudoaleatorios y la ecuación x¡= 95 + 5r¡ nos perm iten m o ­ delar el com portam iento de la variable aleatoria q ue sim ula la tem peratura de la estufa (vea la tabla 3.6).

Tabla 3.6 Sim ulación de las tem peraturas de una estufa M edición

r¡

Tem peratura °C

1

0.48

97.40

2

0.82

99.10

3

0.69

98.45

4

0.67

98.35

5

0.00

95.00

Distribución exponencial A partir de la fun ció n de densidad de las variables aleatorias exponenciales co n m edia 1/A, f{x ) = Ae_Ax

para

x> 0

se o btien e la función acum ulada F(x) = J \e~Á’ d x 0 74

=

1 - e_A'

para

x >0

3.4.1 M éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa |

Igualando la función acum ulada F {x ) con el núm ero pseudoaleatorio r¡ ~ 1/(0,1), y despejando x se obtiene: X; = - i ln(1 - F { x ) .)

x¡ = ~ \

ln(1 -r¡)

Ejem plo 3.7 Los datos históricos del tiem po de servicio en la caja de un banco se com portan de form a exponencial con m edia de 3 m inutos/cliente. U na lista de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ) y la ecuación generadora exponencial x¡ = -3ln(1 - r¡) nos perm iten sim ular el com portam iento de la variable aleatoria (vea la tabla 3.7).

Tabla 3.7 Sim ulación del tiem p o de servicio en la caja de un banco Tiem po d e servicio (mln)

Cliente -

1

0.64

3.06

2

0.83

5.31

3

0.03

0.09

4

0.50

207

5

0.21

0.70

Distribución d e Bernoulli A partir de la distribución de probabilidad de las variables aleatorias de Bernoulli con m edia p (x ) = p V - p ) ' - x

para

x = 0,1

se calculan las probabilidades para x = 0 y x = 1, para obtener X

0

1

P(X)

1-p

P

Acum ulando los valores de p [x ) se obtiene: X

0

1

P(X)

1-p

1

75

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Generando núm eros pseudoaleatorios r. ~ 1/(0,1) se aplica la regla:

*/ =

si

r . e ( 0 ,1 - p )

x =0

si

r¡ e (1 - p , 1)

x= 1

Ejem plo 3.8 Los datos históricos sobre la frecuencia de paros de cierta m áquina m uestran q ue existe una probabilidad de 0.2 de q ue ésta fa lle ( x = 1), y de 0.8 de q ue no fa lle ( x = 0) en un día determ inado. G enerar una secu encia aleatoria q ue sim ule este com portam iento. A partir d e la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con m edia 0.8, P (x) = (O ^ ÍO .S )1-*

para

x = 0,1

se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas para x = 0 y x = l , y s e obtienen los datos ilustrados en la tab la 3.8: Tabla 3.8 Cálculo de las probabilidades acum uladas de las fallas de la m áquina del ejem plo 3.8 X

0

1

P(X)

0.8

0.2

P[X)

0.8

1

La regla para generar esta variable aleatoria estaría dada por: si

r¡ e ( 0 - 0 ,8 )

x= 0

si

r. e ( 0 .8 - 1 )

x =1

*/ = Con una lista de números pseudoaleatorios r ~ l/(0 ,1) y la regla anteriores posible sim u­ lar el comportam iento de las fallas de la m áquina a lo largo del tiempo, considerando que: • •

siel núm ero pseudoaleatorio es m enor q ue 0. 8, la m áquina no fallará, y siel núm ero pseudoaleatorio es m ayor q ue 0.8, o currirá la falla (vea la tabla 3.9).

Tabla 3.9 Sim ulación de las fallas de la m áquina

76

Día

r¡

*/

Evento: la m áquina

1

0.453

0

no falla

2

0.823

1

falla

3

0.034

0

no falla

4

0.503

0

no falla

5

0.891

1

falla

3.4.1 M éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa |

Ejem plo 3.9 El núm ero de piezas q ue entran a un sistem a de producción sigue una distribución de Poisson con m edia de 2 piezas/h. Sim ular el com portam iento de la llegada de las piezas al sistem a. A p a rtir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson con m edia 2,

p~ — “ ¿ Y=

ln(1 - r *)

[ln(1 - r ,) + ln(1 - r2) + . . . + ln(1 - rkj]

V '= - ¿ [ 'r » ( (1 - r , )(1

. . . (1 - '* ) ) ]

y = - ¿ [ |n ( ( 1 - ' , ) ( 1 - ' 2 ) -

( 1 - '* ) ) ]

In lld - r ,.) 1=1 Ejem plo 3.11 El tiem p o de proceso de cierta pieza sigue una distribución 3-Erlang con m edia 1/A de 8 m inutos/pieza. Una lista de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~ U{0 ,1 ) y la ecuación de gene79

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

ración de núm eros Erlang perm ite o b tener la tabla 3.14, q ue indica el com portam iento de la variable aleatoria.

y=F/?. = _ f /= 1 y = - f l n [ ( 1 -/■ ,)(!- / ^ ( I - r * ) ]

Tabla 3 .1 4 Sim ulación del tiem p o de proceso para el ejem plo 3.11

Pieza

Tiem po d e proceso (min/pza)

1

1 - '/ 0.28

1 - '/ 0.52

0.64

6.328

2

0.96

0.37

0.83

3.257

3

0.04

0.12

0.03

23.588

4

0.35

0.44

0.50

6.837

5

0.77

0.09

0.21

11.279

!

Distribución norm al La variable aleatoria norm al co n m edia //, y desviación estándar a puede generarse u san ­ do el teorem a del lím ite central: Y = X , + X2 + . . . + X k ~ N i k ^ k r f Al su stituir X. por núm eros pseudoaleatorios r¡, se obtiene: V' = r 1 + r2 + . . . + rk~ N[k \ ' k j

Y = r } + r2 + . . . + ru ~ N^y >

2

)

~M 6, ^

Y = Z = (r1 + r 2 + . . . + r u ) - 6 ~ N (0 ,1) 12

x-ix

N (0 ,1)

Despejando X,te n e m o s que 12

x= N t=

80

(r) - 6

a+

1 4 .2 M éto d o d e co n v o lu ció n |

Ejem plo 3.12 El volum en de líquido de un refresco sigue una distribución normal con m edia de 12 o n ­ zas y desviación estándar de 0 .4 onzas. G enerar 5 variables aleatorias con esta distribución para sim ular el proceso de llenado. 12 N; =

- e (T+ fA 7=1

N; =

(0 .4)+ 12

Tabla 3.15 Sim ulación del volum en de llenado de refrescos (ejem plo 3.12) 12

Volum en (onzas)

1

6.21

& - 6 /=1 0.21

2

5.34

-0 .6 6

11.736

3

6.03

0.03

12.012

4

6.97

0.97

12.038

5

4.81

-1 .1 9

11.524

Botella

/=1

12.084

Distribución binom ial La variable aleatoria binom ial con parám etros N y p puede ser generada a través de la su­ m a de N variables aleatorias con distribución de Bem oulli co n parám etro p. Y = B ¡ = BE] + B E 2 + .. . + BE n ~ BI{N,p) Ejem plo 3.13 Al inspeccionar lotes de tam año N = 5, la probabilidad de q ue una pieza sea defectuosa es 0.03. Sim ular el proceso de inspección para determ inar el núm ero de piezas defectuo­ sas por lote. Este proceso sigue una distribución binom ial con N = 5 y p = 0 .0 3 , y será sim ulado m ediante la generación de variables aleatorias de Bernoulli con p = 0.03, de acuerdo con el procedim iento señalado en la sección anterior, d ond e BE¡ = 0 representa una pieza en buen estado y BEj = 1 una pieza defectuosa. (O bserve los resultados en la tab la 3.16.) 0

si

r. e (0 - 0.97)

1

si

r¡ e (0 .9 7 - 1 )

BE ,.=

B¡ = 6 f 1 + BE2 + . . . + BES 81

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

Tabla 3.16 Sim ulación del sistem a de inspección del ejem plo 3.13

Lote

Piezas defectuosas

1

ri 0.49

“ i 0

r2 0.32

BE2 0

r3 0.15

B E3 0

, 0.01

B£« 0

0.45

“ s 0

2

0.11

0

0.85

0

0.93

0

0.99

1

0.61

0

1

3

0.57

0

0.92

0

0.84

0

0.74

0

0.82

0

0

4

0.62

0

0.01

0

0.68

0

0.98

1

0.99

1

2

5

0.34

0

0.98

1

0.99

1

0.02

0

0.98

1

3

0

3.4.3 M étodo d e com posición 0 m étodo de com posición — conocido tam bién com o m étodo m ixto— perm ite generar variables aleatorias x cuando éstas provienen de una fun ció n de densidad f x que puede expresarse com o la com binación co nvexa de m distribuciones de probabilidad fí{x ). En ­ tonces, la com binación convexa se pu ed e expresar com o: m fM

f¡(x)lA(x)

donde: si 1

si

X

$ A

Algunas de las distribuciones m ás conocidas q ue pueden expresarse com o una co m ­ binación convexa son: triangular, de Laplace y trapezoidal. El procedim iento general de generación es el siguiente: 1. Calcular la probabilidad de cada una de las distrib uciones f¡(x). 2 Asegurar q ue cada fun ció n f.(x) sea función de densidad. 3. Obtener, m ediante el m étodo de la transform ada inversa, las expresiones para ge­ nerar variables aleatorias de cada una de las distrib uciones f¡{x). 4. G enerar un núm ero pseudoaleatorio r¡ que perm ita definir el valor d e lA{x). 5. Seleccionar la función generadora correspondiente a la fun ció n f.(x). 6. G enerar un segundo núm ero pseudoaleatorio r¡ y sustituirlo en la función g enera­ dora anterior para o b tener Y.

82

3.4.3 M éto d o d e co m p o sició n |

Distribución triangular A partir de la fun ció n de densidad triangular

2 {x - o ) (6 - a ) ( c - a)

a< x< c

f(x ) = 2 (6 - x ) (6 - a ) { b - c )

c < x < ,b

calcular la probabilidad de cada uno de los segm entos de la función

rc

2( x - 0 )

Ja (6 - a ) ( c - a ) dX pM = rb

2 (6 - x )

Jc(6-o)(6(c - a )

c ) dX

a < x< c

(6 - a ) pM = (b-c) (6 - a)

c< x< b

Ya q ue los segm entos po r separado no son fun cio nes de densidad, se ajustan divi­ diendo por su correspondiente p {x). 2 (x — a )

(b — a )

2 (x - a )

(6 - o )(c -

a ) (c - a )

(c - a ) 2

2(6 - x )

(6 - a )

2 (6 - x )

a< x< c f(x ) = (6 - a )(b -

c< x< b

c ) ( 6 ^ 7 ) “ (6 - c )’

Expresando la fun ció n com o una com binación convexa se obtiene: m 2 H x ) = ^ i ím /am = 2 /=! /=!

f(X)=

>c^

bM

83

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

donde: 0

si

x e A

1

si

* £ A

/„(*>= Prim ero integram os para aplicar el m étodo de la transform ada inversa a cada seg­ mento de la función:

2 { X ~ Ü) d x = { x ~ 0)2

a< x< c

c - o ) 2 F(x) = (b

-

(b

- c )2

dx= 1 -

x y C < X < b

Luego, despejando x y sustituyendo r¡ en F{x) obtenem os:

a + (c - a ) V r ¡ x= b

-

(b - c ) V r ^

Por ú ltim o , al expresar la ecuación an terio r in cluyend o la fun ció n in d icad o ra lA{x) tenem os que: (c - o ) a + (c - a ) V r ¡

51

x=

¡b = á )

(c - a ) b

-

( b

- c)

51

'l*

(b - a )

Ejem plo 3.14 Generar una m uestra de 5 variables aleatorias con distribución triangular a partir de los parámetros: valor m ínim o 5, m oda 10 y valor m áxim o 20. (c - a ) a + (c - a ) V r ¡ 51

x= b

-

(,b - c ) V w

{b = 7 T )

(c - q)

; si

' j *

Sustituyendo 0.33

8.37

-

0 .967

-

18.18

0.853

0 .982

-

18.65

4

0.048

0.134

6.83

-

5

0.675

0.536

-

13.18

3 .4.4 M étodo d e transform ación directa Utilizado para generar variables aleatorias norm ales, este m étodo se basa en el teorem a de Pitágoras. En la fig ura 3.15 se m uestra la relación e n tre las variables involucradas en él.

Figura 3.15 Generación de variables aleatorias z ~ N(0,1)

Geom étricam ente, z 2 = h sen 0 z2 =

V z]

+ z \ sen 0 85

| C a p ítu lo 3 V ariables ale ato rias

La sum a de v variables aleatorias norm ales estándar sigue una distribución Chi-cua­ drada con v grados de libertad:

z 2 = V * v = 2sen 6 La función de densidad de una variable aleatoria Chi-cuadrada con 2 grad os de li­ bertad es la m ism a de una distribución exponencial co n m edia igual a 2. En co n secu e n ­ cia, usando la ecuación obtenida po r el m étodo de la transfo rm ad a inversa para generar variables aleatorias exponenciales, y sustituyéndola en la ecuación anterior se obtiene: z 2 = V - 2 ln (1 - rf-)sen 6 Se generan valores aleatorios uniform es del ángulo 6 entre 0 y 2 k m ediante el m éto ­ do de la transform ada inversa: 0= a + b { b - a)r. 0 = (2 jr)rj Y sustituyendo obtenem os: z 2 = V - 2 ln (1 - r/)sen(27rr.) Para cualquier variable aleatoria norm al N, = N -¡x (T Al despejar N y sustituir el valor de z previam ente desarrollado, se llega a la expresión final para la generación de variables aleatorias norm ales: N¡ = [ ( V - 2ln(1 - r¡) )s e n (2 jn p ]c r+ /t Este procedim iento iniciarse tam bién a través de la generación de la variable aleato­ ria z v lo cual d ará lugar a la ecuación final N. = [ ( V - 2 l n ( 1 - r¡) )cos(2Trrj )] -

189-4 1 + y =

(W

IC = 189.41 - ^ 4 ^ (2.685)

189.41 +

(2.685)

Vio

Vio —

,

'

Vio

IC = [186.08 - 192.73] piezas prom edio en el alm acén Si la variable aleatoria no fuera norm al, o si la suposición de norm alidad se conside­ rara inadecuada, el intervalo de confianza se calcularía así: IC = x -

x + V r í/ 2

'

V ra /2 _

107

[ C a p ítu lo 4 Sim ulació n d e variables aleatorias

3.916 IC = 189.41 - — , = V i 0 (0 .0 2 5 )

. '

3.916 189.41 + ’ V i 0(0 .0 25 ) .

IC = [181.57 - 197.24] piezas prom edio en el alm acén En consecuencia, si la variable aleatoria sigue una distribución norm al y realizam os 100 réplicas del experim ento, esperam os q ue el resultado de 95% de las m ism as se e n ­ cuentre en tre 186.08 y 192.73, a diferencia de lo q ue ocurriría en una variable no norm al, en donde tras 100 réplicas del experim ento esperam os que 95% de ellas se encuentren entre 181.57 y 197.24, lo cual im plica m ucho m eno s exactitud. Ejem plo 4.2 Un cliente ha solicitado la entrega de un pedido de 100 artículos. Como analistas, deseam os conocer un valor estim ado del tiem p o prom edio de en treg a del pedido, y un intervalo de confianza co n un nivel de 90 po r ciento. Toda vez q ue este problem a exig e una sim ulación de tipo term inal, debem os desa­ rrollar un m odelo y realizar suficientes réplicas independientes para o b tener la d istribu­ ción de probabilidad y el intervalo de confianza que nos interesan. Con este propósito realizam os 30 réplicas, obteniendo los siguientes resultados del tiem p o de entrega del producto, m edido en días transcurridos desde la form ulación del pedido. 9.57

4.81

733

5.72

7.90

12.03

630

5.83

839

9.74

6.55

2.92

10.65

7.85

8.04

4 .6 0

10.20

737

632

7.08

4.69

6.77

4.85

5.72

9.75

633

8 .3 5

8.89

5.83

3.77

En la fig ura 4.1 se m uestran el histogram a del tiem po de entrega y el resultado de la prueba de bondad de ajuste. f(x)

D istribución p erso nalizad a

0.50

0 .6

0 .8

1.0

N orm al (7 .1 4 ,2 .1 2 )

1.4x10'

Figura 4.1 Histograma de las réplicas del modelo de tiem po de entrega del producto (ejemplo 4.2)

Tom ando en cuen ta la evidencia estadística de norm alidad, así co m o la m edia y la des­ viación estándar de la m uestra, calculam os el intervalo de confianza: x = 7.14 s = 2.12 108

4 2 .1 Lo n g itu d d e las ré p licas |

I C= 7 .1 4 -

V 3Ó (í“owo) ' 7'14 + V i o

Bu*)

Q U f-,

!« ->

w m to w

C «p

H .t,

< * > «■

& T < ...

|

S t«* .

|

Información sobre las localizaciones de nuestro m odelo

á iü ir W

No*

0 ? ■ P í * • i A □ A uu

o >

Aa

»T*

« o

E d il

|

* *

E ra s e | ♦

A J %a 1 n * • 31 i

Área de trabajo para d efinir la

*

* *

L iflL J

configuración del m odelo X

* & f. • * -

« s »

ten taría de gráficos

K — —

4 2T

Figura 5.2

Definición d e localizaciones en ProModel

Otra posibilidad consiste en hacer clic con el botón derecho del ratón en el icono que define la localización en la ventana Layout.Enseguida aparecerá un m enú co ntextu al con ODmandos para editar o elim inar la localización y borrar, incluso, to d a la inform ación refe­ rente a ella. Por ejem plo, si selecciona el com ando Edit G rap hic podrá m odificar el tam a ­ ño y color del icono seleccionado, pero no la localización en sí m ism a. Para usar un gráfico diferente que identifique la localización, tendrá que borrar el actual y rem plazado po r el nuevo. (/Vota:Si olvida desm arcar la casilla de verificación New de la ventana Graphics, al reali­ zar cualq uiera de las acciones anteriores estará creando m ás localizaciones de las n ecesa­ rias [en el caso d e nuestro ejem plo, dos]. Para elim inar aquellas q ue no le sean útiles, seleccione la fila apropiada en la ventana Locations, abra el m enú Edit y haga clic en el com ando Delete.) Para continuar, definirem os la localización q ue representará la prensa. Igual q ue antes, se­ leccione un icono cualq uiera en la ventana Graphics. Gracias a la in terfaz gráfica de Pro­ Model pu ed e anexar una posición sobre el icono, de m anera que "se vea" q ue la pieza llega a la prensa; para ello, em plee el botón I H - U na vez concluidas estas definiciones prelim inares, la ventana Layout podría lu cir co m o se ilustra en la fig ura 5.3. 136

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

P io M o d iH

I |m p to 3

{

I m od

*

_i*l* f.*

í >

~ c i~ E C 'i

E ra s »

Vlew P re n s a

# í. . * «í * K r* Ü_L

Figura 5.B

Definición de localizaciones en Layout

Una vez definida la configuración del proceso, pasarem os a definir la entidad que re­ presentará la pieza en proceso. Para ello: •

Abra el m enú B uild y haga clic en el com ando Entities. Una vez más, en la panta­ lla aparecerán tre s ventanas: Entítíes, Entity Graphics y Layo ut,cuyo propósito es m u y sim ilar al de sus eq uivalen tes en el caso de la definición de localizaciones.

Tanto la definición de entidades com o su edición se lleva a cabo m ediante procedi­ m ientos parecidos a los q ue se realizaron co n las localizaciones. Es posible m odificar el gráfico seleccionado para cam biar sus dim ensiones y su color, y definir, com o se describe a continuación, varios gráficos para una m ism a entidad: •

D esm arque la casilla de verificación New de la ventana Entity G rap hics.En seg ui­ da aparecerán n uevo s lugares para definir m ás ico no s q ue identifican la m ism a en ­ tid ad ; una vez seleccionado el icono, su pantalla será sim ilar a la q ue se ilustra en la fig ura 5.4.

(Nota: Al igual q ue e n el caso de las localizaciones, si m an tiene m arcada la casilla de veri­ ficación N ew definirá nuevas en tid ades co n cada selección de ¡cono q ue haga.) 137

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

¿P in M o d c l f |fm pfc >3

»**

1

m od

H fld

8«M S*~«W" Q'-'px lo* W4XVK- Ü*>

Figura 5.4

Definición d e entidades

Una vez definidas las entidades determ inarem os su frecu encia de llegadas a nuestro m o­ delo. Para ello: •

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Arrivals. A continuación se desple­ gará la ven tan a A rriv a ls (vea la fig u ra 5.5). En ella d efinirem o s la fre cu e n cia de llegadas para nuestra pieza.

P io M u d n l

I mod

Figura 5.5

•

138

Definición de llegadas de la entidad al sistema

Para seleccionar la entidad oprim a el botón Entity. Luego especifique a q ué locali­ zación llegará la entidad; en este caso será a una localización llam ada "fila": haga

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

• • •

•

d ic en el botón Location para que se desplieguen tod as las localizaciones q ue de­ finim os previam ente. Ahora determ ine, en la co lum na Q ty Each ,cuántas piezas llegarán cada vez q ue se cum pla el tiem p o e n tre llegadas;en este caso determ inam os una (1) a la vez. Prosiga su trabajo, especificando esta vez el tiem p o de ocurrencia del prim er e ve n ­ to de llegada en la co lum na First Tíme. En la co lu m n a O ccurrences debe indicarse el núm ero de repeticiones del evento de llegada. En e ste caso especifique infinite (o sim plem en te inf), lo cual im plica que se adm itirá un núm ero infinito de eventos de llegada. En la co lu m n a de Freq u ency especifique la distribución del tiem p o en tre llegadas; en este caso m anejarem os un valor exponencial con m edia de 5 m inutos: e(5) min.

{Nota: Si desea conocer las opciones predeterm inadas de las distribuciones de probabili­ dad q ue ofrece ProModel, despliegue la ayuda del program a haciendo clic en el m enú H elp,co nsu lte el tem a Functions y elija la opción Probabilíty Distributions.) Finalm ente com pletarem os nuestro m odelo definiendo la lógica de la sim ulación; para ello abra el m enú Buíld y elija Processing. En esta ocasión se desplegarán dos ventanas en las q ue program arem os de m anera secuencial el proceso q ue sigue la pieza en el sis­ tem a: Process y Routing for. En la prim era definirem os las operaciones q ue se harán so­ bre la entidad, y en la segunda indicarem os la ruta secuencial e n el proceso. Al analizar una vez m ás el ejem plo, verá q ue po dem os dividir el proceso en los siguientes pasos: 1. La pieza llega a la fila para esperar su turno de procesam iento. Cuando se cum pla la condición sobre el estado de la prensa, la pieza abandonará la fila y seguirá su ruta hacia la localización "prensa" 2. La pieza llega a la prensa, donde se le procesa d urante un tiem p o prom edio de 4 m inutos,con distribución exponencial. Una vez term inado el proceso en la prensa, la pieza abandona esta localización; su sigu ien te paso es salir del sistema. Cada uno de estos pasos deberá program arse de m anera independiente, es decir, en un registro separado. Em pezarem os po r definir la llegada de las piezas a la fila. Para ello: •

•

Seleccione la entidad correspondiente en la ventana Processing, ya sea haciendo clic en el botón Entity o escribiendo d irectam ente el nom bre de la entidad en el cam po de dicha co lum na. Para program ar la localización de llegada de la entidad (en este caso la localización llam ada "fila"), haga clic en el botón Location; debajo se desplegarán tod as las lo­ calizaciones definidas.

Dado que en esta localización la pieza sólo espera a q ue la prensa e sté disponible, no se program a nada en la co lum na O peration. A continuación definirem os la ruta de sali­ da en la ventana Routing f o r •

En este caso la entidad de salida es n uevam ente la pieza, por lo q ue ése es el n o m ­ bre q ue escribim os e n la co lum na Output. 139

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

• •

•

0 destino de la pieza es la prensa, así q ue seleccionam os dicha localización en la colum na Destínation. La siguiente co lum na, Rule, indica la regla de m ovim iento; el valor predeterm ina­ do aq u í es FIRST 1,1o q ue significa q ue la entidad avanzará tan pronto se te n g a ca­ pacidad disponible en la localización de destino. La últim a colum na, Move Logic, determ ina el m ovim iento lógico de salida; e n es­ te caso dejarem os en blanco el cam po. Una vez co m pletad a, la prim era línea de program ación deberá quedar com o se ilustra en la fig ura 5.6.

Figura 5 .6

Definición d e la primera línea de program ación

Para continuar es preciso definir el proceso q ue se llevará a cabo con la pieza en la prensa. Una vez más, com enzarem os po r establecer q ue la entidad cuyo co m po rtam ien­ to nos interesa es la pieza, q ue la localización en la que se encuentra es la prensa y q ue el proceso ocupa un tiem po específico de esta localización: 4 m inutos prom edio con distri­ bución expo nencial. Para conocer los co m and o s de program ación necesarios para espe­ cificar lo anterior, haga clic en el botón O peratíon de la ventana Process. Enseguida se desplegará la ventana O peration (vea la fig ura 5.7), en d ond e se escribirá la lógica del proceso.

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Com pilar

Construir lógica

Figura 5 .7 La ventana O peration permite program ar las operaciones

140

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

•

Haga clic en el icono de m artillo para com enzar la construcción lógica. Al hacerlo se abrirá otra ventana, q u e contiene todos los com andos de program ación existentes.

ProModel hará una sugerencia de com andos q ue podrían resultar útiles. Al colocar el cursor del ratón sobre cada uno de ellos se m ostrará una sugerencia en pantalla con una breve descripción de su utilización. El com ando q ue pu ed e ser de utilidad en nuestro caso e s WAIT, q ue im plica una es­ pera de la entidad en cierto m om ento (por ejem plo, para realizar una operación).Toda vez que querem os m anejar un tiem p o exponencial de 4 m inutos, la instrucción co m p leta se­ rá WAIT E(4) mln. La sintaxis general del com ando e s la siguiente: WAIT a t>e s

« | »

(i a u n a l lo » e w m p lo 3 _ 1

Ñam e

V a lu é

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Figura 5.9

Reporte de datos generales d el m odelo (ficha General)

Ficha General Los datos q ue despliega esta ficha indican q ué archivo se usó para o b tener los resultados, así co m o la fecha y hora en la que se realizó la sim ulación. Ficha Locations En esta sección (vea la fig ura 5.10) se presenta la información de cada una de las localizacio­ nes, las horas simuladas, su capacidad (en este caso la capacidad infinita se representa con 999999), el núm ero total d e entidades q ue entraron durante la sim ulación, el tiem po prome­ dio de estancia de las en tid ades en cad a localizació n, el núm ero prom edio de piezas, el núm ero m áxim o de entidades, el núm ero actual de en tid ades al m om ento de fin alizar la simulación y el porcentaje de utilización de cada una de las localizaciones.Tam bién se pue­ den re visar las estad ísticas in d ep en d ien tes de cad a localización con capacidad unitaria — com o la prensa— y de aquellas que tienen capacidad m ayor a uno — com o la de la fila.

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2 8 5 2 2 .0 0

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0 79

1 .0 0

1.03

7 9 .2 8

Figura 5.10 142

(M IN )

i 00

Reporte estadístico de las localizaciones (ficha Locations)

5.4.1 M odelo M/M/1 d e líneas d e e s p era |~~|

La ficha Locations tam bién incluye inform ación respecto de los parám etros de un sis­ tem a de líneas de espera, com o: la utilización de la prensa (P), q ue e s un porcentaje de la operación; el núm ero prom edio de clientes en el sistem a (L), q ue es el Avg Contents de la fila m ás el Avg Contents de la prensa; el núm ero prom edio de clientes en la fila (Lq), que es el Avg Contents de la fila; el tiem po promedio de perm anencia en el sistema (W ),q u e es la sum a de los Avg tim e p er Entry de la fila y de la prensa, y el tiem po prom edio de perm anencia en la fila (W q), q ue es ú nicam en te el tiem p o de la fila. Si com param os estos resultados con los teóricos, verem os q ue son m u y sim ilares (vea la tab la 5.1). La diferencia puede deberse a q ue la sim ulación no ha llegado a estado esta­ ble, o a la variabilidad natural del modelo. En cualquier caso, e s recom end able graficar la variable o variables de respuesta q ue se desea comparar.

Tabla 5.1 Com paración entre los resultados teóricos y los obtenidos m ediante sim ulación

Parám etro

Resultado teórico

Resultado d e la sim ulación

L

4 piezas

3.83 p ie za s1

Lq

3.2 piezas

3.04 piezas

W

20 m inutos

19.35 m inutos

Wq

16 m inutos

15.35 m inutos

P

80%

79.28%

1 fe la sum a d e piezas d e a m b a s lo calizacio nes; lo m ism o su ce d e e n e l caso d el tie m p o to ta l d e p e rm a n e n cia e n e l siste m a .

Fichas Locations States Single/Tank y Locations States Multi En la prim era de estas fichas se presenta la inform ación de las localizaciones que tienen capacidad de uno (conocidas com o de capacidad unitaria), y la segunda la de aquellas que pueden contener m ás de una entidad a la vez d urante la sim ulación (denom inadas de m ulticapacidad; vea las fig u ras 5.11 y 5.12). En nuestro ejem plo tenem o s una de cada tipo: la localización "fila" tie n e capacidad infinita, m ientras q ue la localización "prensa" tie­ n e capacidad de uno. En esta sección del reporte podem os encontrar inform ación referente al porcentaje de tiem p o vacío, parcialm ente ocupado, lleno y no disponible respecto del tiem po dispo­ nible para cada localización con capacidad m ayor a uno. En e ste caso, la localización "fila" se encuentra 37.29% del tiem p o vacía, 6 2 7 1 % del tiem po con al m enos una pieza y nunca llena ni no disponible, pues le asignam os capacidad infinita y no se program aron eventos q ue lim itaran el acceso y/o salida d e las e n tid a d e s a esta lo calizació n. Por otro lado, la localización "prensa" es de capacidad unitaria, así que el reporte inform a el porcentaje de tiem po q ue la prensa estuvo procesando alguna pieza (79.28% del tiem p o ), el porcentaje de tiem po dedicado a actividades de preparación (en este ejem plo no existen), el porcen­ taje de tiem p o q ue la prensa estuvo inactiva debido a q ue no había piezas q ue procesar, 143

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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V ie w

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O u tp u t V ie w e r

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L o c a tio n S t a te s Multi

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7 9 .2 3

T im e

P re n sa

Figura 5.11

V ie w s :

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L o c a t io n S ta te s S ing le / T a n k j

S in g le / T a n k

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S c h e d u le d Ñ a m e

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L o c a tio n s

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B lo c k e d

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0.00

0.00

Reporte de localizaciones con capacidad unitaria (es decir,

con capacidad para una sola entidad)

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L o c a tio n s

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V ie w s : | L o c a tio n S t a te s S in g le /T a n k

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S c h e d u le d T im e (M IN )

R e s o iic e s

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N o d e E n trte s

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E n t it y A c l i v i l y l o i e je m p lo 3 _ 1

Nam c P ie z a

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C u n e n ! Q t y In

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A v g T im e W a ll F o i

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A v g T im e

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S y s te m (M IN )

L o g ic (M IN )

R e s (M IN )

O p e t o lio n (M I N )

O lo c k e d (M IN )

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0 00

0 00

4 .0 0

15 36

2 8 5 2 1 .0 0

Figura 5.14

3 00

Estadísticas de la actividad d e las entidades en el sistema (ficha En tity Activity)

Ficha Entity States En esta ficha del repo rte (vea la figura 5.15) podem os encontrar un resum en de los datos de la ficha En tity Activity, pero en térm inos porcentuales. Por ejem plo, com o en este caso la entidad "pieza" pasa sólo 4 m inutos en operación, el repo rte indica q ue pasó 20.68% del tiem po total de perm anencia en el sistem a (19.36 m inutos), m ientras q ue estuvo bloquea­ da para co n tin u ar su cam ino a la localización destino el tiem po restante, 15.36 m inutos (es decir, 79.32% del tiem p o total). 145

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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L o c a tio n s

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7 9 .3 2

Figura 5.15 Estadística porcentual de la actividad de las entidades (ficha Entity States)

5.4.2 M ejoram iento visual del m odelo ProModel perm ite in crem en tar la capacidad visual del m odelo m ediante un conjunto de herram ientas específicas para dicho propósito. En esta sección hablarem os sobre cóm o utilizarlas, basándonos una vez m ás en el m odelo q ue se co nstru yó para el ejem plo 5.1. Ejem plo 5.2 Nuestro trabajo en esta sección se basará en el ejem plo 5.1, aunque le harem os algunas m o d ificacio nes con el o b jetivo de m e jo ra r su p resen tació n al m om ento de e je c u ta r la sim ulación. Adem ás, tra tare m o s de o b te n e r in fo rm ació n re le va n te para el to m a d o r de decisiones y/o para el program ador del modelo. Para com enzar, determ inarem os la cantidad de piezas q ue h ay en el alm acén en c u a l­ quier m om ento dado. Esto se pu ed e hacer de dos form as: • •

• • •

146

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Locatíons. En la ventana Graphics, haga c lic en el icono predeterm inado para la fun ció n de contabilización de entidades en una localización ( 0 0 ). (Es im po rtante resaltar que debe desm arcar la casilla de verificación New para pod er integrar e ste co ntador a la localización q ue deseem os editar.) Vaya a la colum na Cap. del registro de la localización q ue desea m odificar (en este caso "fila"), y cam b ie su capacidad a 50. Seleccione los iconos correspondientes en la ventana Graphics, com o se m uestra en la fig ura 5.16. /p re g u e una barra q ue ilustre la capacidad utilizada del total (es po r eso q ue c a m ­ biam os la capacidad de la localización a 50; si la hubiéram os m antenido en infinito no aparecería registro alguno en la barra). Para ello em plearem os el icono prede­ term inado, la barra de color azul q ue se en cu entra debajo del icono 00 en la ven ­ tana Graphics. Si al m om ento de co lo car la barra de capacidad n o v e la escala, abra el m enú V iew y haga clic en el com ando Refresh Layout para actualizar la vista del modelo. Al hacerlo su pantalla deberá lu cir com o se ilustra e n la fig ura 5.16.

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

£4.

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P re n s a

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Figura 5.16

Determ inación d e la cantidad de piezas en una localización

La o tra m anera de llevar a cabo este procedim iento consiste en utilizar una variable e igualarla al com ando predeterm inado CONTENTS(fí/a) para contabilizar los contenidos de las localizaciones. Para agregar el núm ero de piezas procesadas utilizarem os una variable. Para ello: •

Abra el m enú Build, haga c lic en el subm enú M ore Elem ents y elija Variables (global). Enseguida se desplegará en pantalla la ventana de definición de varia­ bles, m ism a que se ilustra en la fig ura 5.17.

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Figura 5.17

La ventana Variables (global) nos servirá para d efinir las variables del m odelo

147

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Nuestro propósito e s definir los parám etros de la variable pzas_to t. Para ello: • • • •

FM

Colóquese en el prim er cam po (ID) y m odifique el nom bre de la variable. Cam bie al cam po de la segunda co lum na (Type) para definir el tipo de variable, que pu ed e ser en te ra (integer) o real; en este caso la variable e s entera. En el cam po de la siguiente colum na, Inicial Valué, determ ine co m o 0 el valor ini­ cial de la variable. Toda vez que queremos que el icono de esta variable aparezca en la simulación, haga clic en la co lum na Icón y después haga clic n uevam ente en el lugar en d ond e quie­ re q ue aparezca el co n tad o r (vea la fig ura 5.18).

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Figura 5.18

lo «

w * * »

H *

Determinación de los parámetros de la variable que contabiliza piezas totales

El siguiente paso consiste en especificar q ue la variable cam b ie cada vez q ue entre una pieza a la prensa. Esto se logra programando esta acción com o una operación que se ejecu ­ tará al m om ento de que la pieza term ine de ser procesada en la prensa. Para lograrlo: •

148

Elija el com ando Processing del m enú B u lld .E n este caso añadirem os la in stru c­ ción p zas_to t = ENTRIES(Prensa) en el segundo registro de la program ación, que

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

corresponde al proceso q ue se realiza en la localización "prensa" Esta línea de pro­ gram ación hará q ue cada vez q ue una pieza term in e su proceso de 4 m inutos con distribución exponencial en la p re n sa se contabilice com o una pieza term inad a. La program ación deberá quedar com o se m uestra en la fig ura 5.19.

Prensa

Iré

1

>n

Figura 5.19

Uso de la instrucción ENTRIES()

Si corriéram os la sim ulación en este m om ento, podríam os ver q ue tanto el contador com o la barra reflejan la cantidad de piezas q ue se encuentran en un m om ento d eterm i­ nado en el alm acén definido en la sim ulación. Sin duda el m odelo ya sim ula el problem a que estam os ejem plificando, a pesar de q ue lo único q ue hem os hecho e s agregar un par de gráficos q ue hagan m ás en te n d ib le lo q ue pasa. La segunda m o d ificació n q ue h arem o s co n sistirá en cam b iar el tie m p o d e sim u­ lación, de m anera q ue su ejecución no sea m u y larga. Suponga q ue q uerem o s cam biar la duración del m odelo a sólo 30 días. Para ello: •

D espliegue el m enú Sim ulation y haga clic e n el com ando Options, com o se m uestra en la fig ura 5.20. 149

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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Figura 5.20

•

Acceso a las opciones de la sim ulación

A co ntinu ació n se abrirá el cuadro de diálogo Sim ulation O ptions (vea la figura 5.21), en donde es posible m od ificar varias opciones de la sim ulación. Por lo p ro n ­ to, cam bie el valor del cuadro de texto Run hours a 30 days y haga clic en OK.

¡m u la t io n

E

O p tio n s

Output Path

Biowse

c< n o d e l 2 0 0 1 \ o u Ip i

Ctock Precisión Define run length by Time Only

F WeekV Time

F Celendai Dale

r Waimup Penod

M odifique a q uí el tiem p o de sim ulación

f Run hours:

Output Reporting

F Disable Time Series

(• Standard F gaich Mean

F Penodc

Indica una sola réplica

Number ol Retficalions

Reo

OK

Cancel

Help

r~ Disable Anmation F Disable £ost

Figura 5.21 El cuadro de diálogo

T Pause al Slart

Simulation Options

f~ Disney Noles

permite determ inar diversos parám etros de la sim ulación

Una interrogante im po rtante para el to m ad o r de decisiones e s si las variables del m o ­ delo están en estado estable o todavía se encuentran en un estado transitorio. Como se mencionó en el capítulo anterior, si querem os evitar la variabilidad q ue ofrecen los re su l­ tados del estado transitorio, e s necesario que nuestras soluciones se basen en las estadís­ ticas del estado estable. Una opción de m u cha utilidad para obtener estadísticas estables, consiste en definir un tiem p o transitorio o de preparación (w arm up) dentro del m odelo. Como probable­ m ente recordará, la gráfica de estabilización que m encionam os en capítulos anteriores nos m uestra q ue los valores de las variables de respuesta en el estado transitorio suelen describir una alta variabilidad. Para evitar que el efecto de esta variación se diluya y po d a­ mos obtener respuestas estables, es necesario contar con m ayor tiem po de ejecución. De­ finir un periodo de warm up im plica ejecutar el m odelo d urante cierto tiem po, después del cual las estadísticas regresarán a cero. Gracias a ello se elim inarán los registros correspon­ dientes a las variables de respuesta en el estado transitorio, y se conservará únicam ente 150

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

el valor final de las variables de respuesta, lo cual im plica m enos tiem p o de sim ulación y, por consiguiente, m e n o r inversión de tiem po de com putadora y m enor costo. Esto es m uy útil en casos en los que el sistem a se encuentra vacío en el arranque. Si se da un tiem po transitorio m ientras el sistem a se llena, ese tiem p o sería el q ue colocaríam os de warm up. Le sugerim os colocar un tiem p o de un día para com parar resultados entre los m odelos con y sin tiem po transitorio. La sim ulación term inará cuando se cum plan 31 días: uno transitorio que no será tom ado en cu e n ta al generar las estadísticas, y 30 q ue sí aportarán datos para obtener los prom edios fin ales de las variables de respuesta. Ahora nos falta co lo car algún elem ento q ue m uestre la utilización de la prensa en to ­ do m om ento. Esto nos servirá para determ inar si la variable de respuesta q ue deseam os conocer — la utilización del equipo— se encuentra en estado estable o aún en estado transitorio.Con dicho propósito incluirem os lo que se conoce com o un gráfico dinám ico. Para construirlo: •

•

Corra la sim ulación y, m ientras ésta se encuentra en ejecución, abra el m enú Infor­ m ation y haga c lic en el com ando D yn am ic Plot. Al realizar esta selección apare­ cerá una ventana con las diferentes estadísticas q ue ProModel recopila de m anera autom ática. Com o en este caso deseam os vincular el gráfico dinám ico con una localización, ha­ ga c lic en el botón Locations. Luego seleccio ne la localización "prensa" y d eterm i­ n e la estadística del porcentaje de utilización (Utilization % ). La gráfica resultante puede ser m odificada tal com o si se tratara de un gráfico de Excel.

Si desea guardar el gráfico dinám ico para utilizarlo en futuras ocasiones, agréguelo a la configuración de esta m anera: •

D espliegue el m enú Inform ation, abra el subm enú D yn am ic Plot y haga c lic en el com ando Conflgurations. En ese m om ento aparecerá una ventana en la que po­ drá asignar un n o m b re al gráfico q ue acaba de crear, y guardarlo para em plearlo en alguna oportunidad posterior (por ejem plo, nos será útil en la solución del ejem plo 5.2). La sintaxis general del gráfico dinám ico es la siguiente: DYNPLOT "nom bre del gráfico dinám ico"

Una vez guardado el gráfico dinám ico pod rem os activarlo al inicio de la sim ulación. Para ello m odificarem os lo que se co no ce co m o lógica inicial del m odelo: •

Abra el m enú Build y elija el com ando General Inform ation.Enseguida se desple­ gará en su pantalla el cuadro de diálogo correspondiente (vea la fig ura 5.22).

Este cuadro de diálogo nos perm ite acceder a una opción para co lo car notas q ue id enti­ fiquen el m odelo. (Para crearlas, haga c lic en el botón Model Notes, y para activarlas, des­ pliegue el cuadro de diálogo Sim ulation O ptions [Sim ulation/Options] y m arque la casilla de verificación D isplay Notes.) El cuadro de diálogo m uestra adem ás la ruta de la biblioteca de gráficos q ue actual­ m ente se está usando en el m odelo, y perm ite definir las unidades de tiem p o y distancia. 151

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

□

G e n e ra l In lo im a lio n

lite: f G ra p h c ü b a r/ .

M o d e l E jo te s

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Figura 5.22 QK

C á rc e l

det

El cu ad ro de diálogo General Information

Finalm ente, en él podem os especificar eventos o características iniciales y finales del m o ­ delo. Por ejem p lo ,es posible desplegar un m ensaje de advertencia que anuncie el inicio o el térm ino de la sim ulación. Sin em bargo, po r el m om ento sólo activarem os el gráfico dinám ico al com ienzo de la sim ulación. Siga e sto s pasos: •

Haga c lic en el botón Initialízatíon Logic para desplegar la ventana de program a­ ción co rrespo n diente (vea la fig ura 5.23).

Esta ventana e s sim ilar a la de O peration (vea la fig ura 5.7). En ella co lo carem o s la ins­ trucción DYN PLO T"nom bredel gráfico"Una vez introducida la in stru cció n ,cierre la ven ­ tana. Si ejecuta en este m om ento la sim ulación, el gráfico dinám ico aparecerá desde el inicio, m ostrando su periodo transitorio y perm itiendo observar si la variable graficada es­ tá estable o no. D urante la ejecución es posible que el gráfico oculte la sim ulación de nuestro siste­ ma. Para evitarlo podríam os m odificar el tam año del gráfico, aunque con ello sacrificaría­ m os su calidad. O tra solución consiste en definir una vista donde el sistem a se m uestre alineado hacia el lado contrario a d ond e aparece el gráfico dinám ico. Para lograrlo: •

Primero dim ensionarem os el sistem a actual. Abra el m enú View y haga clic en el com ando Views.

Initialization L o g ic

Figura 5.23 \fentana de program ación

_] L in e : 2

152

para la lógica inicial del m odelo

5.4.2 M ejoram ien to v isu a l d el m o delo |

• •

•

Enseguida haga clic en la opción A dd del cuadro de diálogo q ue aparece. Escriba un nom bre específico para la vista, y haga clic e n OK. Ahora el botón Set Vlew del m enú V iew está disponible para seleccionar la vista q ue acaba de definir. Haga clic en él. Para desplegar la vista, abra el m enú Vlew , elija el subm enú V lew s y haga clic en el nom bre de la vista q ue definió en el paso anterior. Otra o pció n es ejecutar la vista m ediante el m étodo abreviado de teclado q ue aparece al lado de su nom bre, el cual se co m p o n e de la tecla Ctrl y un núm ero q ue corresponde al núm ero de la vis­ ta, en este caso Ctrl+1.

Dado q ue la vista deberá ser activada al inicio de la sim ulación, regrese a la ventana Initializatíon Logic y escriba,en el siguiente renglón después de la instrucción del gráfi­ co dinám ico: VIEW "nom bre d e la vista". D e esta m anera la vista se activará al com ienzo de la sim ulación, al igual q ue el gráfico dinám ico. El resultado de estas acciones podría verse com o se ilustra en la fig ura 5.24. La sintaxis general de la instrucción VIEW es: VIEW "nom bre d e la vista"

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Figura 5.24

Ejem plo 5.2 term inado

Como pudim os ver en este ejem plo, increm entar el potencial gráfico de nuestro m o­ delo es relativam ente sencillo. Pero las herram ientas de ProM odel no sólo están destina­ das a m ejorar la interpretación visual del m o d elo ;tam bién nos perm iten integrar m uchos otros elem entos con propósitos distintos, po r ejem plo: la tasa de descom posturas de un 153

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

equipo, el tiem p o q ue tarda en reparase, la probable generación de piezas defectuosas en el proceso, los niveles de retrabajo o de utilización de los recursos, etc.Evid en tem en te, e n ­ tre m ás apegado a la realidad queram os que resulte nuestro m odelo, m ás cantidad de ajustes tend rem o s q ue hacer; ésta e s la razón po r la q ue un buen m odelo de sim ulación toma tiempo en ser construido. No obstante, es preciso tom aren cuenta, en todo momento, que de nada sirve un m odelo gráficam ente perfecto si no se tien en bu eno s datos estadís­ ticos de entrada.

5.4.3 M odelado d e un sistem a q u e in clu ye m ás d e un proceso Ejem plo 5.3 A un sistem a arriban 2 tip o s de piezas. La prim era es un engrane q ue llega a una estación de rectificado d ond e se procesa po r 3±1 m inutos; la distribución de probabilidad asocia­ da a las llegadas de e ste engrane a la fila de la rectificadora es una distribución normal con tiem p o prom edio de 13 m inu to s y desviación estándar de 2 m inutos. La segunda pie­ za es una placa de m etal q ue llega a una prensa co n una distribución de probabilidad e x ­ ponencial co n m edia de 12 m inutos. La prensa procesa un engrane cada 3 m inutos con distribución exponencial. Al term inar sus procesos iniciales, cad a una de estas piezas p a­ sa a un proceso autom ático de lavado q ue perm ite lim piar 2 piezas a la vez de m anera in ­ dependiente; este proceso, con distribución constante, tarda 10 m inutos. Finalm ente, las piezas son em pacadas e n una estación q ue cu e n ta con 2 operadores, cada uno de los c u a ­ les em paca un engrane en 5±1 m inuto y una placa en 7±2 m inutos. Se sabe q ue los tie m ­ pos de transporte en tre las estaciones es de 3 m inutos con distribución exponencial. No hay alm acenes en tre cada proceso: sólo se tie n e espacio para 30 piezas antes de la p ren ­ sa y 30 antes de la rectificadora. Asum a q ue cada día de trabajo es de 8 horas. Sim ule es­ te sistem a por 4 0 días, indicando el m om ento en q ue se inicia y se te rm in a la sim ulación. Esquem atízación inicial d el m odelo Antes de com enzar a definir el m odelo en ProModel, es conveniente analizar el problem a. 0 prim er paso consiste en esquem atizar el sistem a, com o se m uestra en la fig ura 5.25. Definición d e localizaciones Recordem os q ue el m odelado en ProModel co m ienza po r la definición de las localizacio­ nes físicas de nuestros procesos, en e ste caso: 1. La fila de llegada para la rectificadora, con capacidad para 30 piezas. 2. La fila de llegada para la p rensa,co n capacidad para 30 piezas. 3. El proceso de rectificado, con capacidad para una pieza. 4. El proceso de prensado, con capacidad para una pieza. 5. El proceso de lim pieza, con capacidad para lim piar dos piezas de m anera in dep en ­ diente. 6. El proceso de em paque, en el q ue participan dos operadores independientes. 154

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

U n ifo rm e (5,1) e n g ra n e Engrane

U nifo rm e (3,1) R ectificado

C o n sta n te 10

U n ifo rm e (7,2) placa

Lim pieza

Em p aq ue

Fila

t e r m a l (13,2) Tran sp o rte e n tre estacio n e s e x p o n e n cia l (3) Exp o n e n cial (3) Placa

t e h a y inventario s Prensa

Fila E xp o n e n cia l (12)

Figura 5.25

Esquema del sistema a m odelar en el ejem p lo 5.3

En este m odelo aparece un nuevo tipo de localización, ya q ue debem os definir filas de entrada. En m uchos sistem as se tien en bandas o transportadores q ue se encargan de desplazar las piezas de un proceso a o tro ;en otros casos, co m o el de las in stitucio nes ban­ cadas, hay solam ente una fila, d ond e cada cliente espera a ser atendido. ProModel perm i­ te sim ular estos detalles. Por ejem plo, para definir una fila: • •

Abra el m enú B uild y elija Locations. Seleccione el icono q ue parece una escalera horizontal ([ m i ) en la ventana G ra­ p h ic s^ haga clic en la posición de la ventana Layout donde q uiere q ue aparezca la fi la de rectificado. Si m u eve el curso r del ratón al realizar este procedim iento, una flecha indicará q ue está definiendo la fila; coloqúese en el lugar donde q uiere que term in e la fila y haga d oble clic. Es im po rtante m encionar q ue si sólo hace un clic en la posición final, seguirá construyendo la m ism a fila ;e sta característica es m uy útil para definir en una sola localización bandas o transportadores que pasen por tod a la planta o po r varios procesos.

Podría o currir q ue al definir nuestra fila el icono apareciera com o una banda de rodi­ llos m ás que com o una fila; sin em bargo, es im po rtante q u e el m odelo sepa q ue se ha de­ finido una fila y no una banda, pues al m om ento de la sim ulación tra ta cada elem ento de m anera diferente. Le recom endam os q ue co nsu lte la ayuda de ProM odel para conocer to ­ das las características q ue se pueden asignar a una fila y a una banda. Por lo pronto, una buena fo rm a de asegurarse de q ue la localización es una fila (queue) y no una banda (conveyor), haga d oble c lic e n ella desde la ventana La yo u t;enseguida se desplegará el cuadro de diálogo Conveyor / Q u eue (vea la fig ura 5.26), e n donde adem ás, podrá co n ­ trolar varias características de la localización: 155

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Figura 5.26 Definición de las características de una fila

• •

• •

•

Asegúrese de q ue esté m arcada la casilla de verificación de la opción Queue. R ecuerd e q ue el icono es sólo una rep resentació n visual, a sí q u e p u e d e decidir, en la sección Style, si el icono aparecerá sólido (Solid), com o banda de rodillos (Roller) o sólo com o una línea (Line). Si desea que el icono no aparezca al m om ento de ejecutar la sim ulación, m arque la casilla de verificación de la opción Invisible During Sim ulation. Además de estas características, el cuadro de diálogo perm ite definir otras, com o el color de borde y de relleno del icono (m ediante los bo to nes Border Color y Fill Color) y su longitud (Length),en metros. Al term in ar de definir las características de la fila de rectificado, haga clic en el bo­ tón OK.

Repita el procedim iento para d eterm inar la localización de la prensa. (Recuerde que ambas filas tienen una capacidad de 30 piezas solamente.) Luego defina la prensa y la recti­ ficadora de la m ism a m anera q ue definim os otros procesos en los ejem plos anteriores. A continuación d efinirem os la lavadora, seleccionando para ello el icono q ue desee­ mos q ue la represente. Para una m ejor visualización, coloque 2 iconos de posicionam iento sobre el icono que representará a la lavadora (recuerde q ue ésta tie n e capacidad de lim ­ piar dos piezas a la vez y de m anera independiente). Por últim o, defina los operadores de ensam ble. D e acuerdo con la descripción, en el proceso participan d o s operadores q ue realizan la m ism a operación, pero de m anera in ­ dependiente. O bserve que, en el caso de la lavadora, un m ism o equipo tie n e capacidad para realizar 2 procesos de lavado, m ientras que ahora tenem o s dos operarios q ue reali­ zan la m ism a operación de em paque. Para definir esto en el m odelo podem os proceder de dos m aneras. La prim era consiste en especificar a cada operador de em paque com o una nueva localización;sin em bargo, a 156

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

nivel de program ación tendrem os q ue determ inar rutas de entrada y salida para cada uno de ellos. La segunda opción e s m ás práctica: se trata de establecer q ue el proceso de e n ­ sam ble tie n e 2 unidades de capacidad, una po r cada operador. Para lograrlo: •

D efina una operación de em p aq u e y, al term inar, co lo q u e un 2 en la co lum na Units de la ventana Locations. D espués d e aceptar este cam bio aparecerá una segunda localización, idéntica a la q ue definim os originalm ente.

Si desea cam biar de posición dicha localización, hágalo; esto no afectará el modelo. Es im portante m encionar q ue si la definición del proceso im plica m ás de un icono, es po­ sible m o ver todos los iconos de esa localización a la vez si se tom an de la línea punteada q ue aparece en su contorno. Esta m anera de definir localizaciones ig uales facilita la program ación y p erm ite se­ guirlas tratan d o de m an era in d ep e n d ie n te , lo cual resulta m u y ú til cu an d o querem os simular, por ejem plo, un banco con 10 cajeros q ue realizan las m ism as operaciones. Al term inar estas definiciones, el m odelo se verá com o se m uestra en la fig ura 5.27.

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Definición de localizaciones para el ejemplo 53

O b serve que, au n q u e las filas aparecen com o lín e a s en el m odelo, e n la ve n tan a Lo­ cations siem pre lucirán com o bandas de rodillos. 157

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Definición d e entidades 0 sigu ien te paso en ia construcción d e nuestro m odelo será la definición de las en tid a­ des. Para ello es necesario desplegar la ventana apropiada m ediante el com ando Entities del m enú Buüd.En este problem a será necesario definir dos entidades: una q ue represen­ te el engrane y otra que represente la placa. Com enzarem os po r definir el engrane seleccionando el gráfico para dicho propósito. Como se m encionó e n el ejem plo 5.1, para m ejorar el aspecto visual po dem os agregar una segunda gráfica. Después repetim os el m ism o proceso para la placa.O bserve q ue en la parte inferior de la ventana G raphics aparecen unas dim ensiones bajo el concepto Cónveyor O n ly :e stá s dim ensiones son las que to m aría la pieza si entrara a alguna locali­ zación definida com o banda y no com o fila. Uno de los pro blem as q ue podrían presentar­ se al m om ento de sim ular el m odelo, es q ue estas dim ensiones sean dem asiado grandes, lo q ue ocasionaría q ue las piezas no pudieran ser contenidas en la banda. Al m om ento de definir el m odelo es im po rtante considerar que el sim ulador tom ará en cuen ta las d im en ­ siones físicas de las piezas definidas en la opción Conveyor O n ly en caso de entrar a una banda; sin em bargo, las ignorará cuando en tre n a una fila. Definición d e llegadas El sigu ien te paso en la construcción del m odelo es la definición de los arribos o llegadas de las piezas al sistem a; para ello, abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Arrivals. Al especificar los parám etros, recuerde q ue las llegadas de los engranes tienen d istri­ bución norm al con m edia de 13 m inu to s y desviación estándar de 2 m inutos, m ientras q ue las de las p lacas tie n e n d istrib ució n e xp o n encial con m e d ia d e 12 m inutos. U na vez d efinid as am b as llegad as, la ven tan a A rrivals deberá lu cir com o se m uestra en la figura 5.28.

Figura 5.28

Definición de llegadas de las entidades (ejem plo 5.3)

Definición del proceso: uso d e la opción View Text A continuación definirem os la lógica de procesam iento de la sim ulación. Para ello ejecu ­ te el com ando Processing del m enú Build. Para program ar las operaciones y rutas de am bas entidades (engranes y placas), pro­ cederem os com o se indicó en el ejem plo 5.1, pero prim ero es co nveniente te n e r un es­ quem a del proceso secuencial de cada una de ellas. Es en este tipo de situaciones donde herram ientas com o los diagram as de operación resultan útiles para realizar una p ro gra­ m ación m ás eficiente. Recuerde q ue el tiem p o de transporte e n tre procesos es de 3 m inutos, co n d istribu­ ción exponencial. Por lo tanto, en cada ruta q ue im plique m ovim iento de un proceso a 158

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

otro será necesario program ar ia instrucción m o vefo r E(3) en la co lum na Move Logic de la ventana Routing. La sintaxis general de esta instrucción es: M OVE FO R , donde el tiem p o pu ed e ser una constante, una distribución de probabilidad, una variable o un atributo num érico. Para ilustrar la programación de am bas piezas en este modelo, em plearem os una op­ ción de ProModel que perm ite visualizar la m ayor parte de la inform ación. Siga estos pasos: •

Abra el m enú File y haga c lic en el com ando View T e x t. Enseguida se desplegará en la pantalla to d a la inform ación q ue h em o s incluido hasta el m om ento e n el m o ­ delo. Esto e s m u y útil, sobre tod o en problem as en los que se requiere m u cha pro­ gram ación. En la fig ura 5.29 se m uestra la parte correspondiente al procesam iento q ue desplegará el com ando V iew T e x tT o m e está inform ación com o referencia pa­ ra verificar si ha program ado la secuencia de los procesos y las rutas de m anera adecuada.

O bserve q ue en este ejem plo hem os utilizado el com ando GRAPHIC #, m ism o que perm ite cam biar la gráfica de la entidad po r otra determ inada al m om ento de definir las entidades. El sím bolo # representa la posición q ue tie n e la gráfica dentro de la lista de grá­ ficos definidos para esta entidad. Vea tam bién có m o se usa la instrucción M OVE FO R en cada caso dond e se requiere un transp o rte de un proceso a otro. Finalm ente, observe que se program aron prim ero las tra ye cto ria s del e n g ran e y p o sterio rm en te las de la placa. ProModel perm ite definir cualquier proceso y ruta sin im portar el orden cronológico. Sin em bargo, co n el propósito de lograr una m ejor lectura de la program ación, se recom ien­ da proceder com o se m uestra en este ejem plo. D e esta m anera, si po r algún m otivo fuera necesario m odificar la program ación, será m ás sencillo insertar y elim inar líneas para darle un orden secuencial a la sintaxis de nuestro modelo.

*

»*

P roce ssin g P rocess E n tity

L ocation

Engrane Engrane Engrane

F ila _ re ctifica d o ra R ect i f ica d ora la v a d ora

Engrane p la ca p la ca p la ca

Em paque F ila _ p re n sa Prensa la v a d ora

p la ca

Em paque

Figura 5.29

O p era tion w a it u < 3 ,l> w a it 10 G ra p h ic 2 w a it u < 5 ,l> w a i t E< 3 > w a it 15 G ra p h ic 2 w a it u < 7 ,2 >

R ou tin g H lk

Output

D e stin a tion

R u le

Move

L og ic

1 1

Engrane Engrane

R e ctifica d o ra la v a d ora

F IR S T 1 F IR S T 1

mov e

fo r

E< 3 >

1 1 1 1

Engrane Engrane p la ca p la ca

Enpaque EX I T Prensa la v a d ora

FIRST FIRST FIRST F IR S T

1 1 1 1

move

fo r

E< 3 >

mov e

fo r

E< 3 >

1

p la ca

Enpaque

PIRST 1

move

fo r

E< 3 >

1

p la ca

EX IT

FIRST 1

Instrucciones d e procesam iento del ejem p lo 5.3

159

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

Uso d e la instrucción DISPLAY A partir de los pasos que hem os seguido hasta e ste m om ento, el m odelo deberá poder ejecutarse sin problem as. Sin em bargo, aún no hem os incluido el m ensaje de inicio y de fin de la sim ulación q ue se nos pidió. Para hacerlo: • •

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando G eneral Inform ation para desple­ gar el cuadro de diálogo correspondiente (vea la fig ura 5.22). Haga clic en el botón Initllization Logic y, en la ventana q ue aparece, escriba la ins­ trucción DISPLAY "Inicio de la Sim ulació n".Esta instrucción desplegará una ven ­ tana de m ensaje q ue detendrá la sim ulación hasta q u e hagam os clic en uno de los botones incluid os en ella: si hacem os c lic en Cancel, la sim ulación no se ejecutará; si hacem os clic en O K la sim ulación com enzará.

U na v e z q ue haya program ado el m e nsaje de inicio, deberá hacer lo propio con el m ensaje de finalización de la sim ulación. • •

Vuelva a desplegar el cuadro de diálogo General Inform ation,y ahora haga clic en el botón Term ination Logic. Cuando se abra la ventana Term ination Logic, coloque n uevam ente el com ando DISPLAY, pero esta vez con un m ensaje de finalización de la sim ulación. (Recuerde colocar el texto en tre com illas dobles.)

La instrucción DISPLAY es m u y útil para program ar m ensajes de alerta dentro de la sim ulación, o para realizar interacción con el usuario del m odelo. Sin em bargo, tie n e el in ­ conveniente de que detiene la sim ulación, po r lo que e s im portante utilizarla únicam ente cuando el m ensaje sea relevante. Por otro lado, si el program ador desea colocar co m en ­ tarios dentro de la program ación, puede hacerlo en los espacios reservados para las notas del modelo. Adem ás, si se considera necesario, es posible usar com entarios en la p ro gra­ mación de las operaciones y rutas de las entidades, usando cualquiera d e las siguientes opciones al com ienzo del renglón: // texto de un solo renglón # texto de un solo renglón I* texto en varios reng lo nes */. En este caso es necesario definir el inicio del co ­ m entario y la finalización del m ism o; e s po r ello q ue se utilizan dos sím bolos La sintaxis general de la instrucción DISPLAY es: DISPLAY “ m ensaje”{, < expres¡ó n >}, Nuestro m odelo se encuentra casi term inado. Sólo nos falta incluir el tiem po q ue de­ seam os sim ular el sistema. Definición del tiem po d e sim ulación En el p lan team ien to del p ro blem a se estab leció q ue cada d ía tie n e 8 ho ras h áb ile s de trabajo.Tam bién se e stip u ló q ue el m o d elo del sistem a abarcaría 4 0 días, po r lo q ue el 160

5.4.3 M od elado d e un siste m a q u e incluye m ás d e un p ro ce so |

tiem po total de sim ulación será de 320 horas. Dé los pasos pertinentes para determ inar estos parám etros com o sigue: •

Abra el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando O ptions.En el cuadro de diá­ logo q ue se despliega, esp ecifiqu e 320 H r. en el cam po Run H o u rs.Ten g a cuida­ do de no d eterm inar 40 day, porque si lo hace el m odelo sim ulará el sistem a por 4 0 días de 24 ho ras cada uno.

Estam os listos para guardar y ejecutar el m odelo. Abra el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando Save & Run. V erifique que el m odelo se ejecu te sin problem as. Entidades que no pudieron entrar al sistem a Una de las problem áticas q ue pueden presentarse al m om ento de m odelar un sistem a, ra­ dica en q ue la capacidad de las localizaciones de llegada resulte insuficiente para recibir todas las piezas q ue llegan al sistem a.Cuando esto ocurre, ProModel g enera, al final de la sim ulación, un m ensaje de advertencia com o el que se ilustra en la fig ura 5.30 (en espa­ ñol, el m ensaje dice:"¿Q uiere ver los resultados? [NOTA: Se presentaron fallas en la llega­ da de en tid ades debido a capacidad insuficiente])."

Simulation Complete

□

13

D oyou want to see the results? (MOTE: There were e n % arrival tailures due to insufficíent capacity)

Yes

No

Figura 5.30 Aviso de llegadas fallidas

En este ejem plo se espera q ue se presente esta situación. Es posible, sin em bargo, que no sea así.Todo depende de la com putadora que se esté m anejando, y tam bién del n ú ­ mero de veces q ue se ejecute la sim ulación, dado que al ejecutarse en repetidas ocasio­ nes, los n úm ero s aleatorios q ue se utilizan para el m odelo cam bian, m odificando a su vez los resultados finales. O bserve q ue el m e nsaje de la fig ura anterior no estipula cuántas entidades no pudie­ ron ser sim uladas. Para conocer el dato preciso, co nsu lte la inform ación de la ficha Faíled Arrivals en el reporte de resultados, d ond e se m ostrará el núm ero de piezas q ue no p u ­ dieron en trar al sistema. En cualq uier caso, a fin de evitar la ocurrencia de este tipo de problem a se sugiere al lector q ue cam bie la capacidad de las filas de entrada. Dicho increm ento no dism inuye de m anera lineal el núm ero de piezas q ue no pudieron ser sim uladas. Incluso si se increm en­ ta 300% la capacidad actual de las filas, el m odelo seguirá presentando entidades q ue no pudieron ser sim uladas. El analista d ebe evaluar si es m ejor ten er filas m ás grandes — q ue ocupan m ás espacio— o m odificar algunos de los procesos, de m anera q ue las piezas puedan flu ir m ejor po r el sistem a. 161

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

5.4.4 Inclusión d e g ráficos d e fo nd o en el m odelo En algunos casos podría ser necesario m odelar procesos sobre un plano real de una p lan ­ ta o de un área de trabajo, en especial con m iras a m ejorar la presentación visual de la sim ulación. En ProM odel esto es p o sib le po r m edio de un cam b io del gráfico de fondo del modelo. Veam os cóm o fun cio na esto en el ejem plo siguiente. Ejem plo 5.4 Tom ando com o base el ejem plo 5.1, m o d ifiq ue el fondo de la sim ulación y ag reg ue un código de colores a la prensa, para saber cuándo está trabajand o y cuándo se encuentra ociosa. Sim ule este sistem a po r 4 0 días. Para comenzar, harem os las m odificaciones pertinentes en las localizaciones: agregar un código de co lo res a la prensa, para identificar sus periodos activos e inactivos: • • • •

Abra el m enú Build y haga c lic en el com ando Locatíons. Seleccionam os el icono de la prensa en la ventana Layout. Desm arque la casilla de verificación de la opción New en la ventana Graphics. Seleccione el icono del punto azul !_•_ en la ventana Graphics, y arrástrelo hasta colocarlo a un lado de la prensa.

El icono cam biará de co lo r autom áticam ente d urante la sim ulación, indicando el es­ tado de la prensa: será azul si está ociosa, verde cuando esté realizando alguna operación y rojo cuando no esté disponible (en e ste caso, cuando se p resen te el even to del m ante­ nim iento preventivo). El siguiente paso consiste en cam biar el fondo de la sim ulación. Podem os hacerlo de dos m aneras; la prim era consiste en m od ificar así el fondo del área de trabajo: • •

Abra el m enú Vlew , elija el subm enú Layout Settín g s,y haga clic en el com ando Background Color (vea la fig ura 5.31). Seleccione el color q ue desee en la ventana q ue se despliega, y haga clic en el bo­ tón O K ;e l cam bio se reflejará de inm ediato en el área de trabajo.

Figura 5.31 162

Siga esta ruta para cam biar el color d e fondo d el área d e trabajo d e la sim ulación

5.4.4 Inclusión d e g rá fico s d e fo n d o e n e l m o d e lo £ '

El otro m étodo para m od ificar el fondo del área de sim u lació n nos perm ite, ade­ más, co lo car una im agen co n fo rm ato BMP, WMF, GIF o PC X . Esto fa cilita la im portación de archivo s de AutoCad, po r ejem plo, perm itiendo trab ajar sobre el plano de una planta real. En este caso es recom endable colocar el fondo antes de com enzar a definir las locali­ zaciones, ya q ue de otra m anera éstas podrían quedar desfasadas de su lugar si se hiciera una m odificación de tam a ñ o al plano, exig iendo invertir m ás tiem p o en su reubicación. Para pod er in se rta r el arch ivo gráfico co m o fondo: •

•¿ K i u M ih I o I

Abra el m enú Build, elija el subm enú Background Graphics, y haga clic en el c o ­ m ando Behind G rid (vea la fig ura 5.32).

» | n m p t a :< _ ! a c i l

SIT.J**». (Mu

Figura 5.32

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Primer paso para la inserción de una imagen de fondo en el área de trabajo

Enseguida se desplegará en la pantalla una interfaz gráfica q ue nos p erm ite insertar im ágenes de fondo, o incluso diseñar nuestros propios fo nd o s para el área de trabajo (vea la fig ura 5.33). Sin em bargo, en este ejem plo ilustrarem os sólo cóm o insertar una im agen con form ato BMP. Una vez que en tre al área de im portación y generación de im ágenes de fondo: • •

Abra el m enú Edít y elija Im port G raphic. A continuación se desplegará un cuadro de diálogo Open, sim ilar al habitual en los program as de plataform a W indow s. Localice el archivo q ue le interese en la unidad y carpeta de su com putadora en donde esté alm acenado (en ProM odel los form atos predeterm inados para im por­ tación son BMP y WMF, aunque adm ite otros form atos). Selecciónelo y haga clic en el botón OK. El archivo gráfico se abrirá de inm ediato com o fondo de la sim ulación (las im ágenes im portadas g eneralm ente aparecen en la esquina superior izquier­ da del área de trabajo).

En ocasiones el gráfico im portado resulta m u y pequeño, por lo que tendrá que agran­ darlo m anualm ente.Para ello,selecciónelo,coloque el cursor del ratón en una de sus esqui­ nas, haga clic y, sin soltar el botón del ratón, arrastre hasta lograr el tam año deseado. Es im portante señalar que, en el caso de los archivos BMP en particular, un increm ento de ta ­ maño im plica tam bién m ayor distorsión d e la im agen. 163

[ C a p ítu lo 5 Sim ulació n co n ProM odel

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{,}} {A N D o O R {Canti­ dad} {,< prioridad 1 > {,}}} La instrucción G ET captura un recurso o com binación de recursos, d e acuerdo con cierta prioridad especificada. Si ya se tien e un recurso capturado previam ente, la entidad tratará de capturar un recurso adicional. Ejem plos: G ET H erram ental G ET 1 Operario, 2 ,2 5 G ET Grúa 1,20 AND {G rua2,\0 OR Polipasto,20,70) G ET 2 Cajas, AND (Pegam ento OR Cinta) Instrucción FREE La sintaxis general es: FR EE ,... FR EE libera recursos previam ente capturados con las instrucciones GET o JOINTLY GET. Ejem plos: FR EE pallet FR EE Juan, Paco, Luisa FR EE 4 Tornillos, 3 Tuercas FR EE all Ejem plo 6.2 Considere el sistem a de m anufactura q ue se ilustra en la fig ura 6.6, el cual consta de dos procesos en serie: torneado y fresado de barras en las m áq uinas llam adas Lathe y Mili, res­ pectivam ente. El tiem p o de torneado es de 3 m inutos/pieza, y el de fresado es de 2.7 m i­ nutos/pieza. Para operar am bas m áq uinas se ha contratado a un solo operario llam ado M achinist. Las barras esperan antes de cada proceso en alm acenes denom inados Palletl y Pallet2. La tasa de entrada es de 10 piezas/hora. Sim ule el sistem a po r 24 horas para de­ term inar la utilización del equipo y del personal.

177

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

fül Layout

P a lle n

Figura 6.6

L a th e

P a lle t2

Layout del sistema de manufactura (ejemplo 6.2)

Iniciarem os la construcción del m odelo definiendo los siguientes elem entos: •

imi

En la ventana Locatíons (Build / Locations) active la ventana de edición q ue se ilustra en la fig ura 6.7, y defina las localizaciones Lathe, Mili, Pallet 1 y Pallet2.

Locations

Icón

Ñame

4

►

♦

D Ts. . .

1

1

None

M ili

1

1

None

P a lle e l

In f

1

None

P a lle tl

in f

1

Nene

Figura 6.7

•

U n ica

L a-che

1 1

Cap.

Definición de las localizaciones y su capacidad

En la ventana En titie s (Build / Entitíes) defina la en tid ad Barra (vea la fig ura 6.8).

lllll Entities Ñame 3arra

Figura 6.8

•

178

Speed

¡£ p m )

150

\fentana de edición para la definición de la entidad Barra

En la ventana A rrívals (Build / Arrivals) especifique un núm ero infinito de ocurren­ cias para la entidad Barra, con un tiem po entre llegadas de 6 m inutos al Palletl (vea la fig ura 6.9). (Al definir un núm ero de ocurrencias infinito, es necesario q ue el m ode­ lo de simulación se detenga m ediante la determinación de un tiem po de corrida.)

6 2 R ecursos |

Illii A r r i v a l s E n tity ...

1

B arra

P a lle tl

F ig u r a 6 .9

•

L o c a tio n ...

Q ty

each... 1

1

F irst

T im e

D ccurzeneea IN F

0

Frequency 6

M odelado de las llegadas de material

En la ventana Resources (Build / Resources) defina el recurso M achinist y la can­ tidad del recurso q ue se tie n e (vea la fig ura 6.10).

ílllí R e s o u r c e s Icón

t

Naxr.e

O n its

M a ch in ist

F ig u r a 6 .1 0

•

D Ts. .

1

.

H one

S ta te... 3 '/ U n it

S pecs... N o N etW ork.

\fentana de edición para la definición de recursos

En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de producción d e las barras a través del to rn o y la fresadora, incluyendo en dichas localizaciones la cap­ tura del recurso co n la instrucción G ET M a ch in ist, y su liberación con la instrucción FR EE M a c h in is t después del tiem p o de proceso. La fig ura 6.11 m uestra una parte de la program ación d e la ruta.

m E n t i t y ___

L o c a tio n ...

Barra

P a lletl

Barra

Lathe

3arra

P a ll«t2

3arr»

M ili

-

□ X

O p e r a tic n ...

j

p lk

AD

O n t p o t ___

Barra

De s t i r . a t

R u le. . .

P a llet2

FIRST 1

30DFREE M a c h i n i s t |

GET M a c h i n i i t

1 ▼

______________

O p e r a tio n

GET M a c h i n i s t KAIT 3 FREI M a c h i n i s t

Pafét2

Une: 1

F i g u r a 6 .1 1

Ruta de producción de las barras

179

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

•

Fbr últim o, abra el m enú Sim ulation y haga c lic e n el com ando Options para des­ plegar el cuadro de diálogo q ue se m uestra en la fig ura 6.12. En el cuadro de texto de este cuadro establezca la longitud de la corrida de sim ulación en 24 horas.

Simulation Options O u tp u t P a th :

|c A p ro m o d 4 \o u tp u t

B ro w se . Q o c k P re c isió n

D e fin e ru n le n g th by:

♦ T im e O n ly I-

C

W e e k ly Tim e

10.001

C a le n d a r D ate

W a im u p Period

Wairn u p

h o u rs :

•

|

R u n h o u rs :

Figura 6.12

’ Seco n d

|2 4

M inute

C

H our

r

D ay

Definición de la duración de la corrida de simulación

Para consultar el resultado de los pasos anteriores, abra el m enú File y haga clic e n el com ando V iew Text. En la fig ura 6.13 h em o s resaltado, m ediante un círculo, el uso de las instrucciones G ET y FREE.

^ A WW^ ... . . . . . .. x

A ^ ^ «V « v A W V » —V ^ ^ -W «V V » —•W A ^ -.W a*V ^ ✓V V » WV ^ ^ wV ^ A ^ A «V «v A WV Vfc .V ^ A -W «V V » -V W «W vV «V «W «V ^ . . . . . • m- . . . . ... . . ................ . • » A a > a k A te a te A « V a V A te .V a te A V a te ^ « V k te A V a te a te a V ^ A te a te a te a > ^ te A te w V k te A V a te A ^ A w V a te ^ « V a te A te a te A a V a te A te a V k k A V a te A a V < te .A k te k te a V k te w te te ^ ^ a te A « V A a V k te a te « V k te .m \te

*

A rrivals

*

a. a . a. a. a. a.a »a . • «.. a. ... a. a. a. a aa a . a. a a a ka aa a.. .. .. a a... .. .a a a .a »a. .. a a.a *.a a. a .a aa a . a. .aa aa »a v.. a t e ak a a.a.. a a— a. .aa aa áa. .. .tea aa aa a -.. .. a a .a a.aa. a a.av aa a.. a aa a.. .. .. a .

Entity

L o c a t i o n Qty each

F i r s t Time o cc u rr en ce s Frequency

Rollo

Entrada

0

Figura 6.45

1

INF

Logic

12 min

Sintaxis general del programa de modelado para el ejemplo 6.7

Como se m encionó anteriorm ente, tam bién e s posible m odelar e ste proceso co n el uso de la instrucción S P L IT . Para hacerlo se deben realizar cam bio s solam ente en la ruta del proceso. En la figura 6.46 se m uestra la parte del program a q ue sufre m odificaciones.

203

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

« z~zz

::z z : r - . r : r

-r-r

zz

:: z r z z

:r ;r

P r o c e s s i ng

•r : r : r

-.r zz

zz

’. r

: r zr

P ro c e ss E n t it y

L o c a c ió n

o p e r a t io n

output

D e s t in a t io n

1

Rollo

cortadora

Rollo

Entrada

R o llo

c o rta d o ra

L ami na L ami na

cortadora

l

L ami na

salida

s a lid a

l

L a m in a

EX I T

Figura 6.46

í í ií

R o u t i ng E lle

30 se c S p lit 10 as

:: z r z r z z z r z z z z z r z z : r : r

R u le

M ove L o g ic

FIRST 1

w a it

L a m in a

FIRST 1 1

F IR S T

Uso de la instrucción SPUT para el ejem plo 6.7

Instrucción ROUTE La sintaxis general de esta instrucción es: ROUTE La instrucción ROU TE envía la entidad hacia el proceso especificado po r el núm ero del bloque. Ejemplos: ROUTE 2 ROUTE Tipo_de_pieza Ejem plo 6.8 Sim ule el proceso de separación de tres tip o s de pieza (vea la fig ura 6.47): 20% de las pie­ zas son de tipo 1; 50% son de tipo 2, y el resto son de tipo 3. El tiem po de transporte es de 3 m inu to s en las bandas de en trada; d e 3 m inu to s en las bandas de salida de las piezas tipo 1 y 3, y de 5 m inutos en la banda de de salida de las piezas tipo 2. El tiem p o entre llegadas al sistem a es de 1 m inuto/pieza, distribuido exponencialm ente.

ProM odel - R u teo . MOD - [N o rm al R u n ] j f T I Pile

S'nulaOon

Options

-I

Informa to n

J

Window

In tera ct

Help

Entrada

Figura 6.47 204

P ro c e s o d e s e p a r a c ió n d e m a t e r ia le s

6.5 E n sa m b le s, acu m u lació n y a g ru p a m ie n to d e piezas [ :

• •

•

D efina las localizaciones Entrada, Separación, Banda_ 1, Ban da_2 y Banda_3 en la ventana Locations (Build / Locations), siguiendo el esquem a de la fig ura 6.47. D efina la entidad Gear en la ventana Entities (Build / Entities), especificando tres form as d iferentes para q ue cada entidad pueda diferenciarse po r su color (revise el procedim iento descrito en el ejem plo 5.3 de la sección 5.4.3). Abra la ventana Attibutes (Build / Attributes) para definir el atributo Ruta que identifique la trayectoria q ue seguirá cada tipo de pieza (vea la fig ura 6.48).

i ProModel F ie

E C it

- Ruteo. MOD

V ie w

B u id

S im u la t io n

O u tp u t

To 6 s

W ndow

H e lp

MI Attributes ID

T y p «...

R u ta

Figura 6.48

•

K*

C la sa iíica tio r..

In teger

Ene

Identificación del atributo RUTA

En la ventana User Distributions (Build / U ser Distributíons), defina una tab la si­ m ilar a la q ue se m uestra en la fig ura 6.49 para d eterm inar la m ezcla de producto donde la variable Tipo_de_pieza tom ará los valores 1 ,2 ,3 , de acuerdo con los po r­ centajes definidos.

Edt

BuW

Sm Uaxn

O u tp jt

T o c fe

W V x to w

~*fc,

XD 7 ip o _ d ._ p i.x a

Type- - -

|

D u c t.s e

C u a u la s iv e . . . Ko

|

l i l i T r th ll-

U>i

T ip < i_ r tr -_ íiÍ0 M P e rc e r.íe g e

|

T a b la . . .

j

D c f ir .c d

■ i■ a u n V a lu é

S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n

Figura 6.49

•

Definición de la distribución de usuario T ip o _d e_p ie za

Haga clic en el botón Logic de la ventana Arrivals (Build / Arrivals) para desple­ gar la ventana Logic y asignar a h í los atributos de cad a pieza (vea la fig ura 6.50). Indique, en la colum na Freq uen cy de la m ism a figura, el tiem p o e n tre llegadas: exponencial con m edia de 1 m inuto/pieza. Al llegar cualq uier pieza se evaluará la función Tipo_de_pieza, y se asigna un valor al atributo RUTA y a la fo rm a de la en ­ tidad (graphic RUTA). Estos valores perm anecerán com o característica de la entidad hasta q ue sea destruida.

205

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Figura 6 .5 0

•

Asignación de atributos a la entidad

Abra la ventana Processing (Build / Processing) para definir la ruta de la entidad Gear a través de las localizaciones.Tenga cuidado al crear el proceso de separación que se ilustra en la fig ura 6.51; observe q ue en la localización Separación existen tres posibles rutas de salida, identificadas en el cam po B lk como 1 ,2 ,3 . Para lo g rar­ lo es necesario m arcar la casilla de verificación de la opción Start a New B lock en el cuadro de diálogo Routing Rule.

Figura 6 .5 1

Segm ento d e la ruta de la localización Separación

La sintaxis co m p leta de la program ación para el ejem plo 6.8 se m uestra en la fig ura 6.52.

206

6.5 E n s a m b le s ,a c u m u la c ió n y a g ru p a m ie n to d e p ie z a s [ :

u a rtiE s s í ¡ssüffKasüissnsí a iü ü K rtS B S S ííis s íE s s n in s s ü S í ü S K ssn sK n ísssn sK ü sn ssíiS B iíin ssn sB s *

L o c a t io n s

Ñame

cap

units s ta ts

*

Rules

cosí

separación i

i

Time s e r i e s o l d e s t , .

B an d a_i 5 an d a _2

in f in it e

i

IN F IN IT E

i

T im e T im e

Banda_3

in finite

i

Time s e r i e s o l d e s t .

E n tra d a

IN F IN IT E

i

T im e

s e r ie s S e r ie s S e r ie s

o ld e s t . f if o . O ld e s t . F IF O . fifo .

O ld e s t . F IF O :

s-B ísftiísiíiüs-B n ifrts-íEísa ü ís-íEiü s-ítissiíttitK S-B ü iriiííSisís-B ísitR a ie n sisíü En sB iíssitis-itiíS ü íssn n -ffisíií-B rü tsssaíssaíü en is

*

E ntities

*

ü !í!S ;íS E :3 ti!!i5 i!:!!:ír!i5 i!E i!i!P í!E S !!S !!is a E !3 S !tín !ir!s c E its i!is i!íi!3 S 3 !a 5 S !!E 5 5 J3 S !iíiE 5 2 ¡!iB i! Ñame

speed (f p ir Q

stats

cost

Gear

15 0

Time s e r i e s

15

P r o c e s s in g

P ro c e ss

s

R o u t in g

E n t it y

L o c a t io n

o p e r a t io n

B lk

O u tp u t

D e s t in a t io n

G ear G ear

E n tra d a S e p a r a c ió n

w a it 3 RO U TE R U T A

l 1

G ear G ear

s e p a r a c ió n Ean d a_l

R u le f ir s t

M ove

L o g ic

i

F IR S T

1

2

Gear

eanda_2

first

i

b

G ear

B a n d a_3

f ir s t

i

Gear

Banda_i

wait 3

1

Gear

exit

first

i

G ear

B an d a_2

w a it 5

l

G ear

e x it

f ir s t

i

Gear

Banda_3

wait 3

1

Gear

exit

first

i

r S S S E E S S E E S a E E E S E S S E S E E E E n E E E I S I f E E E E E E E E S E E E E E E S E E S E S S S E E E E S E E E E S E E S E S E B n i E E E S S

*

Arrivals

*

E E E S E I E n E S S E E S E E E n E B n E E S E E E E S E E a E n E E E E S E S S E S E E a E S E S a E E a E S S E B E E E E a E S a E E E S B S E B S Í E E

E n t it y

L o c a t io n Q ty

Gear

Entrada

each

F ir s t

1

T im e o c c u r r e n c e s

o

INF

F re q u e n c y

EC l)

L o g ic

RUTA=Típo_de_piezaO g r a p h ic RUTA

* 3 Í íí-íííí ± r t íí* S ííS T t íS * íí

íít ír t ^ s í

*

i í ^ íí -i t íí Í ÍT t íiíít ííi^ S t íí-it r t ít t í

í í - í í í íí? í í í * í í í t t í í í í b r t í t * í > í í ^ í i ^ t í í t * í í tí

A t t r ib u t e s

*

E E E S S I S E E E E S E S E E E n S Í E E E S E E E E E Í E S E n E E E E E E E E E E E E E S E S E E E E B E E E I S S E E E E E S B E E E E B E E E E E E E

ID

Typ®

c ia s s ific a t io n

R u ta

in t e g e r

E n t it y

~E~E^~Eír-E-^~-E"E-E~-íí:~ErT~rí~-E-"~Eírt;E~E-ít~Tír;-E-Er;Er;~E^E-E~Er;E-^r;E-Er:-Er;E-E~~r;~^r;E-Er;-E-írr;^í:T:r:~ —r;~ * U se r D is t r ib u t io n s *

ID

Type

T ip o _ d e _ p ie r a D is c r e t a

Figura 6.52

c u m u la t iv e

P e rc e n ta g e

v a lu é

no

20 50

1 2

30

3

Sintaxis completa de la programación del modelo para el ejemplo 6.8

207

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

6.6 Tran sp o rte en tre estacio n es En ProModel, el m odelado del transporte de entidades a través de un sistem a se lleva a cabo gracias a los recursos dinám icos y a la creación de rutas de transpo rte. El procedi­ miento es el siguiente: • • •

Definir la ruta y sus propiedades en la ventana Path NetWork (Build / Path NetWork). Determ inar el recurso en la ventana Resource (Build / Resource), y asociarlo con la ruta creada previam ente. Program ar en la ventana Processing (Build / Processing) la captura del recurso con la instrucción G E T ,e l uso del recurso con las instrucciones M O VE W IT H o MOV E FO R, y la liberación del recurso con la instrucción FR E E .

Ejem plo 6.9 Al inicio del día entran 100 barriles de 200 litros a un alm acén de m aterial en proceso. Es­ tos barriles deben ser transportados hacia un proceso de inspección, en donde el operario, llamado Casimiro, inspecciona el producto en 5 m inutos con distribución exponencial. De­ bido al tam año de los barriles, un m ontacargas d ebe realizar el m ovim iento del producto desde el alm acén hasta d ond e se en cu entra Casimiro. El tiem po de transporte es de 2 a 3 m inutos con distribución uniform e.O bserve el esquem a del problem a en la fig ura 6.53.

Figura 6.53 Esquem atización del ejem plo 6.9

Tom ando com o base el esquem a de la fig ura 6.53, resulta claro q ue debem os: • • • •

Definir en la ventana Locations (Build / Locations) dos localizaciones: Alm acén y Casimiro. Especificar en la ventana Entities (Build / Entities) la entidad Barril. Definir en la ventana Arrivals (Build / Arrivals) las características de las llegadas del Barril al Almacén. En la ventana Path NetWork (Build / Path NetWork), active una ventana de edi­ ción para especificar la trayectoria por d ond e se m overá el recurso. Al crear la ruta deberá establecer los valores de los siguientes parámetros: Graphic. Perm ite seleccio n ar el color de la trayecto ria, y ésta será visible o no d u ­ rante la sim ulación. Si e s una grúa viajera perm itirá especificar sus colores, la sep a­ ración del p u en te y la representación gráfica.

208

6 .6 T ra n sp o rte e n tre e sta cio n e s | '

Ñam e. Nom bre de la trayectoria. T yp e Set. Perm ite definir la posibilidad de rebasar dentro de la trayectoria. Selec­ cio ne la opción Crane si la trayecto ria es una grúa viajera. T/S. Férm ite determ inar si el m ovim iento e s con base en el tiem po o e n la velocidad. Paths. Perm ite crear y ed itar la trayecto ria y sus nodos. Interfaces. Perm ite asociar los n odos co n las localizaciones. M apping. Perm ite realizar el m apeo de d estinos y rutas. Nodes. Se crean autom áticam ente al crear la trayectoria. Para c re a r la ruta y sus nodos: • •

•

Haga clic en el botón Paths de la ventana Path Networks. Haga c lic con el botón izquierdo del ratón sobre el punto del layout d ond e desee m arcar el inicio de la ru ta. Haga clics sucesivos para d eterm inar cam bios de direc­ ción. Haga clic con el botón derecho del ratón en el punto d ond e quiera fijar un n o ­ do. Si desea seg uir agregando nodos, repita el proceso anterior a partir del últim o nodo q u e haya determ inado (vea la fig ura 6.54). D efina el resto de las características de la trayectoria. Com o e n este ejem plo desea­ m os m over el recurso de acuerdo con el tiem po, active la opción Tim e en la co lu m ­ na T/S y, en la ventana de edición Paths, establezca un tiem p o U (2 .5 ,0.5) en tre el nodo N 1 y N2 en la colum na Time.

ProM odel - E JE M P L 0 4 .3 .M 0 D F iíe

E d it

V ie .\

B u id

S m u la O o n

O u to u t

To o te

W in d o w

M eb

I I I Path Networks

T ra n s p o rte e n tre e s t a c io n e s

A lm acén

Figura 6.54

Haga clic con el botón derecho del ratón

Haga clic con el botón izquierdo

C re a c ió n d e la r u t a d e l m o n t a c a r g a s

209

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Term inado este proceso, haga clic en el botón In te rfa c e s para ab rir el cuadro de diálogo q ue se m uestra e n la fig ura 6.55. Asocie cada nodo con su localización res­ pectiva: en este caso, asocie el nodo N 1 co n Alm acén, y el nodo N2 con Casimiro.

illii I n t e r f a c e s

[1 1

N c d e

O

Q

l x

l

L o c a c i ó n

▲

A lm acén

U N 2

C a a i i n i r o

Fig u ra 6 .5 5 Registre en este cuadro de diálogo la interfaz entre cada nodo y la ▼

localización asociada

En la fig ura 6.56 vem os finalizado el proceso de creación de la trayectoria. Los c írc u ­ los señalan la aso ciació n;en el layout ésta se identificará m ediante una línea punteada en ­ tre el nodo y la localización.

i ProModel - E JE M P L 0 4 .3 .M 0 D F ile

E d it

V ie w

B u id

S m u 'a t io n

O u tp u t

T o o te

m

A ín d o w

H e b

mu* ■M Transporte en tre estaciones

cf Almacén

Fig u ra 6 .5 6

210

Definición final d e la ruta

Casimiro

6 .6 T ra n sp o rte e n tre e sta cio n e s | '

Para continu ar el m odelado del problem a: •

Abra la ventana Resources (Build / Resources) para esp ecificar el recurso M onta­ cargas y la cantidad de unidades que co n tie n e (vea la fig ura 6.57).

Figura 6.57

•

•

Ctefinición d el recurso M ontacargas

Haga clic en el botón Sp ecs (identificado m ediante un círculo en la fig ura 6.57) pa­ ra asociar el recurso con la ruta. Enseguida se abrirá el cuadro de diálogo Specificatlons (vea la fig ura 6.58), en d ond e deberá seleccionar la ruta por la q ue se m overá el recurso M ontacargas. En este ejem plo, la Ruta tendrá asociado un nodo que será la base del recurso ;tam bién determ inarem os si cuando dicho recurso e s­ té ocioso deberá regresar a ese punto. Asim ism o podem os especificar otras pro­ piedades, co m o velocidad de m ovim iento, aceleración, desaceleración, etc. (En este ejem plo dichos cam pos quedan en blanco, ya q ue el m ovim iento en tre los nodos se definió en función del tiem p o y no en fun ció n de la velocidad.) Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta considerando tos detalles de la fig ura 6.59, q ue consisten en la captura del recurso en el Almacén, su m ovim iento hacia Casimiro, y su liberación final. 211

[ C a p ítu lo 6 In stru ccio n es d e ProM odel

Specifications N odes P a th NetWork:

H o m e:

r

| NI

Retum Hom e If Idle

r R eso u fc*

-

B re a k : |(none)

d

Motion

C losest R esource r u a s

O ffS h ift: 1(none)

Longest Waiting

.1

i C* L o n a e s l idle

r

C losest Entity

C

M in Attribute

d r

M ax Attribute

OK

Figura 6.58

S p e e d (Empty):

fpm

Sp eed (Full):

fpm

A ccelerate

fpss

D ecelerale

fpss

Pick-up Tim e:

S e co n d s

Deposit Tim e:

S e co n d s

Cancel

Help

Especificaciones d el recurso y su asociación con la ruta

ni - In ®

a r r il ® Almacer

E n t it y .. . B a r r il

-o catio n. .

Almacén

Oporatior.. . . GS7 Montacargas

B a r r il

Casimiro

HAIT E 5>

■ Operalion

□

h -'H GE? Montacargas une

X

Bul*. r ip s i i

Move L o g ic ... MOVE WITK Kont *

E)(DB

■ Move Logic

MOVE H:CH Montacargas THEN FBEE

1

Figura 6.59

D estinació n.. Casimiro

Ourput. B a r r il

Crie i

Segm ento d e la program ación d e la captura, uso y liberación d el recurso dentro

del proceso

La sintaxis de program ación del m odelo para el ejem plo 6.9 se m uestra en la fig ura 6.60.

a

L c c a t ic n s

N arre

C ap U n it s S t a t s

iL lm a e en C a s im ir o

IN F 1 1 1

Figura 6.60 212

j*

R u le s

T im e S e r i e s O l d e s t , T im e S e r i e s O l d e s t .

C o st , .

F ir s t

Sintaxis com pleta del m odelo para el ejem p lo 6.9 (c o n t i n ú a )

6 .6 T ra n sp o rte e n tre e sta cio n e s | '

*

F n t it ie s

Narre

Speed

B a r r il

150

tfp n )

S ta ts

A.

Coat

T im e S e r i e s

P a t h N e t t r o r lia

tr

Narre

Type

T /S

F rc a n

To

B I

D i s t / T im e

R u ta

P a a a in g

T im e

NI

N2

B i

U { 2 .5 ,0 . 5 )

*1

N et

N ode

Ir> c a t i ó n

R a ta

NI N2

A lm a c é n C S 3 im ir c

a

Narre

ü n its

L ic r- ta c a r g a s 1

S ta ts B y U n it

Speed F a c to r

In te rfa c e s

Ai

R e so u rce s

A.

Rea S e a rc h

Bnt S e a r c h P a th

M o t io n

Cost

C íe s e s t O ld e s t R u ta H orre: N I

a

P r o c e s s in g

A.

P ro ce sa

R o u t in g

E n t it y

I r :c a t ió n

O p e ra t i e n

31k

O u tp u t

D e s t i n a t i o n R u le

N ove L c g i

B a r r il

a lm a c é n

G BT K c n t a c a r g a a

1

B a r r il

C a s im ir o

F IR S T 1

MDVZ W ITH K o n ta e a rg IH F N “ R Z F

3 a r r il

C a s i m i r o TIA I T E ( 5 )

1

B a r r il

F X IT

F IR S T 1

0

Parámetro de escala: \ > 0 A

Rango

[0,=°)

Media ‘ ( i) Varianza ‘ Q

í

fOO

Erlang (0,3,5)

6 .0 0 x 10~2

3.00

0 .0 0

—.—

^ 0. 0

2.0

4 .0 X

232

i 6 .0

i 8 .0 x 1 0 '

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución exponencial

Codificación

E( 1 /A )

Función de densidad

Ae-A*

si

x> 0

f(x) = 0

Distribución acum ulada

en otro caso

1 - e_Ax

si

x>

0

F(x) = 0

en otro caso

Parám etros Parámetro de escala: Rango

\ >0 A

[0/ °°)

Media

1 A

Varianza

1 A2 Exp o n e n cial (2)

f(x)

0.50

0.25

0.00 CLO

2.0

4 .0

6 .0

8 .0

10.0

X

233

A nexo 1 D istribu cio nes d e p ro b ab ilid ad

Distribución gam m a

Codificación Función de densidad

G [a ,p ) f(x )~

para

x>0

T {a) Distribución acum ulada

para a no entera F{x) = 1

e -x z /ig { x/f ]'

Parámetros

Parámetro de form a: a Parámetro de escala: /3 > 0

Rango

[0,co)

Media

aP

Várianza

CP* Hx)

para a entera

G a m m a (3 .8 6 ,5 .2 5 )

5.00 x 10~2

2.50

n nn

/ 0 .0

i

i

i

0 .2

0 .4

0 .6 X

234

i

i 0 .8

i 1.0

1.2x1o2

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución lognorm al

Codificación Función de densidad

LN{p, 0

Rango Media

[0,0=) q/x+o2/!

Varianza

(e " ! - ij e 2'1* " ' «*)

Lo g n o rm al (4 ,0 .7 9 2 )

235

A nexo 1 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

D istribución norm al

Codificación Función de densidad

N[fiL, 0

Rango

( - 00 , 00 )

Media Várianza

termal (10, 2) fW

236

X > ^X)

A n e xo 1 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

D istribución trian g u lar ---------------------------Codificación

T [ a , b f c)

Función de densidad

2 { x - a) /1 w \ (b - a ) ( c - o)

ci si

í* xir 0 .2 0

—

0.10

0.00 0.0

244

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

AN EXO 2

REPORTES ESTADÍSTICOS EN PROMODEL

Anexo 2 Rep ortes e sta d ístic o s e n ProM odel

Los reportes q ue genera ProModel contienen los resultados num éricos de la sim ulación, presentados en un form ato de h o ja de cálculo. El reporte co n tien e la inform ación separada en las siguientes fichas: General R e p o rt f o r e je m p lo 4 .1 General

Locations

Location States Multi

Location States S i n g b / T a n k

Resour 4

y

General foi Ejemplo 4.1

Ñame

Valué

R u n D a te /T im e

21/04/2005 13:22:00

M o d d Path/File \ t : W c h i y o s d e programa^ProModeÍN ModeísSEJEMPLO4 .1 .M 0 D Model Title

En la ficha General se encuentran los datos generales del modelo, com o nom bre, fe­ cha de ejecución y ruta del archivo.

Entity A ctivity R e p o rt f o r e je m p lo 4 . 1 R e s ou rc es

Re s o u rc e States

H o d e E n t rie s

Failed Arrivals

f Entity Activity]

Entity States

< |»

Entity Activity for ejemplo4.1 Ñame

Total Exits

Curient A vg T ime 1n A vg Time In Qty In System Moye System (MIN) Logic (MIN)

Pieza A

0.00

0.00

Pieza B

2216.00

3.00

Pieza C

0.00

0.00

0.00 11.31

0.00

Avg Time Avg Time In A vg Time W ait F 01 Operation B locked R es(M IN ) (MIN) (MIN)

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00

0.00

9.01

2.30

0.00

0.00

Incluye la inform ación q ue se describe a continuación: • • •

246

Total Exlts. Número de en tid ades q ue abandonaron el sistem a. Current Q ty In Sy ste m . Núm ero de en tid ad e s q ue p erm anecen en el sistem a al finalizar la sim ulación. Avg T im e In System (MIN). Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecieron en el sistem a sim ulado.

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

• • • •

Avg Tim e In M ove Logic (M IN).Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron viajando e n tre las localizaciones. Avg Tim e Wait For Res (MIN). Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron esperando un recurso u otra entidad. Avg Tim e In O peration (MIN). Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron en operación o en una banda transportadora. Avg Tim e Blocked (M IN).Tiem po prom edio q ue las entidades perm anecieron es­ perando una localización desocupada.

Entities Costing Esta ficha incluye datos com o los siguientes: • •

Total Cost. Costo total de las entidades. % Total Cost. Porcentaje del costo de una entidad activa respecto del costo total de las entidades.

Entity States By Percentage Report for ejem plo4.1 Loca l ion S l ates M ulti

Local! o n S lal e s S ingle/T a nk

R esour ces

R esource

S la

Entity States for ejemplo4.1 Ñame

X

1n Move Logic

%

Wait For Res

%, In Operation ■ ■—

Pieza A Pieza B Pieza C

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

% Blocked

.1

0.00

0.00

79.70

20.30

0.00

0.00

O frece la siguiente inform ación: • • • •

% In Move Logic. Porcentaje del tiem po q ue las entidades perm anecieron viajan­ do en tre localizaciones. % Wait For Res. Porcentaje del tiem po q ue las entidades perm anecieron esp eran ­ do un recurso u otra entidad. % In O peration. Fbrcentaje del tiem p o prom edio q ue las entidades perm anecie­ ron en operación o en una banda transportadora. % Blocked. Porcentaje del tiem po prom edio q ue las entidades perm anecieron es­ perando una localización desocupada.

247

| Anexo 2 Reportes e sta d ístic o s en ProM odel

Failed A rrival m R e p o r t fo r e je m p lo 4 .1 G en eral

Loca l ions

Loe a tion S tatos M ult i

F a ile d Arrivals: for ejem plo4.1 En tity Ñ am e

L o c a tio n Ñ am e

T o tal Fa ile d

Pieza B

A lm a c é n 1

0.00

Esta ficha ofrece los siguientes datos: • • •

Entity Ñam e. Nom bre de la entidad. Location Ñam e. Localización d ond e ocurre la llegada de la entidad. Failed A rrivals. Nú mero de entidades q ue no entraron a la localización po r falta de capacidad.

Locations Costing R e p o rt fo r d e a e rc o N o d e E n tr ie s

Failed Arrivals

E ntity Actívity

Entity Sietes

Variables

{ Location Costini 4

►

L o c a tio n C o stin g for d e a e rc o

Ñam e

0 peration Cost D ollars

Aislé 1

0.00

0.00

30.89

4.62

30.89

4.62

Aislé 2

0.00

0.00

34.36

5.13

34.36

5.13

Aislé 3

0.00

0.00

45.93

6.86

45.93

6.86

Aislé 4

0.00

0.00

30.04

4.49

30.04

4.49

Aislé 5

0.00

0.00

40.87

6.11

40.87

6.11

Aislé 6

0.00

0.00

26.65

3.98

26.65

3.98

Aislé 7

0.00

0.00

40.10

5.33

40.10

5 .9 9

X O peration

C ost

R e s o u rc e C o st D o lía is

X R e s o u rc e

C o st

T o tal Cost D ollars

X T o tal

Cost

n

Aquí podrá o b tener la inform ación q ue se lista a continuación: • • • • • •

248

Operation Cost. Costo del tiem po de operación. % O peration Cost. Porcentaje del co sto de la localización, respecto de la sum a de los costos de operación. Resource Cost. Costo po r el uso de un recurso q ue opera dentro de la localización. % Resource Cost. Porcentaje del costo de un recurso en la localización, respecto de la sum a de los costos del resto de los recursos. Total Cost. Costo de operación m ás costo del recurso. % Total Cost. Porcentaje del costo to tal de la localización respecto de la sum a de tos costos totales de las localizaciones.

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

Location States By Percentage (M últiple Capacíty) Ü R ep o rt fo r e je m p lo 4 .1 General

Locations

¡ Location States Muiti!

Location States Single /Tank

Resources

Location States Multi foi ejemplo4.1 Ñame

Scheduled Time [MIN)

X

Empty

Z

Part Occupied

A lm a c é n 1

19200.4 0

82.91

17.09

A lm a c é n 2

19200.4 0

39 .3 8

0.62

%

%

Full

Down

0.00 0.00

0.00 0.00

En esta ficha encontrará los siguientes datos: • • • • •

Scheduled T im e. Porcentaje de tiem p o en operación. % Em pty. Porcentaje de tiem po q ue la localización estuvo vacía. % Partially O ccupied. Porcentaje de tiem p o q ue la localización estuvo parcial­ m ente llena. % Full. Porcentaje de tiem po q u e la localización estuvo llena. % Down. Fbrcentaje de tiem po que la localización estuvo no disponible po r paros no program ados.

Location States By Percentage (Sin g le Capadty/Tank) R ep o rt f o r e je m p lo 4 .1 Locations

Location States Multi

f Locatio n S tate s S ingle/T a n i i

R esources

R esource <

ñ .

Location States Single/Tank for ejemplo4.1 Scheduled Time (MIN)

%

X

X

X

X

Operation

Setup

Idle

Waiting

Blocked

Down

19200.40

46.15

53 .8 5

0.00

lnspector.1

19200.40

41.32

Inspector. 2

19200.40

16.59

Inspector

38400.80

28.95

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00

wame Lavadora

X

58 .6 9

0.00

83.41

0.00

71 .0 5

0.00

►

Con esta inform ación: Scheduled T im e .Tiem po total program ado. % O peration. Porcentaje de tiem p o q ue la localización estuvo en operación. % Setup. Porcentaje de tiem p o q ue la localización estuvo en preparación. % Idle. Porcentaje de tiem po que la localización estuvo ociosa porfalta de entidades. % W aiting. Porcentaje de tiem p o q ue pasó la entidad esperando un recurso u otra entidad para agruparse, unirse, etcétera. % Blocked. Porcentaje de tiem p o q ue las entidades perm anecieron bloqueadas en la localización. % Down. Porcentaje de tiem po po r paros no program ados. 249

| Anexo 2 Reportes e sta d ístic o s en ProM odel

Locatíons R e p o rt fo r e je m p lo 4 .1 Ge ¡n e ra l

L o c a tio n s

L o c a tio n S t a t e s M ulti

L o c a tio n S t a te s S in g le / T a n k

R e so u rc e s

R e s o u r c e S t a te

4

►1

Lo ca tio n s fo i ejemplc»4.1 ----------------- r-

Schedu led Time (MIN)

Capacita

A lm a c é n 1

1 9 2 0 0 .4 0

9 3 9 9 9 9 .0 0

2 2 1 9 .0 0

L a v a d o ra

1 9 2 0 0 .4 0

1 .0 0

2 2 1 8 .0 0

A lm a c é n 2

1 9 2 0 0 .4 0

9 9 9 9 9 9 .0 0

In s p e c to r. 1

1 9 2 0 0 .4 0

In s p e c to r. 2

1 9 2 0 0 .4 0

In s p e c to r

3 3 4 0 0 .8 0

Ñame

1.00 1.00 2.00

pera

%

A vg Contents:

Máximum Contents

Cunent Contents

Utilization

2 .2 5

0 .2 6

5 .0 0

4 .0 0

0 .4 6

1 .0 0

1.00 1.00

4 6 .1 5

2 2 1 7 .0 0

0 .0 5

0.01

2.00

0 .0 0

0 .0 0

1 5 8 4 .0 0

5.01

0.41

1 .0 0

1.00

4 1 .3 2

6 3 3 .0 0

5 .0 3

0 .1 7

1 .0 0

0 .0 0

1 6 .5 9

2 2 1 7 .0 0

5 .0 2

0 .2 9

2.00

1.00

2 3 .9 5

T o tal

* v9 j ™ e

0 .0 0

La ficha Locations le ofrece esta inform ación: • • • • • • • •

Scheduled T im e (MIN). Tiem po total program ado de la localización. Capacity. Capacidad de la localización. Total Entrles. Total de entidades q ue entraron a la localización. Avg Tim e Per Entry (MIN). Tiem po prom edio de perm anencia en la localización. Avg Contents. Número prom edio de en tid ades en la localización. M áximum Contents. Número m áxim o de en tid ades en la localización en el tran s­ curso de la sim ulación. Current Contents. Número de entidades e n la localización al final de la sim ulación. % Utllization. Porcentaje de utilización.

Logs

Q®S

R e p o r t fo r e je m p lo 4 .1 R e s o u rc e S ta te s

M o d e E n t r ie s

F a ile d A r r iv a ls

E n t it y A c t iv it y

E 4

*

1

L o g s for ej&mplo4.1 .. am e

N um bei O b se rv a tio n s

Mínimum V a lu é

Máximum V a lu é

A vg V a lu é

La ficha Logs da al usuario los datos q ue se listan a continuación: • • • • 250

Number O bservatio ns. Número de en tid ades que ejecutaron la instrucción LOG durante la sim ulación. M ínimum Valué. El m ínim o valor de tiem p o registrado po r la instrucción LOG. M áximum Valué. El m áxim o valor de tiem p o registrado por la instrucción LOG. Avg Valué. El valor prom edio de tiem po registrado po r la instrucción LOG.

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

Node Enfries 1

R e p o r t f o r e je m p lo 4 .

I R e s o u r c e S ta le s

1

Q

| N o d e E n trie s :

@

f x

Fa ile d A n iv a ls

4

»

N ode E n trie s fo i ejem plo4.1 1 P a th Ñ am e

----- T-v^v.-^.-------Node Ñam e

T o ta l E n trie s

B lo c k e d E ntries

Node Entries presenta estos datos: • • • •

Path Ñam e. N om bre de ia trayectoria. Node Ñam e. Número del nodo. Total Entries. Total de entradas de un recurso a u n nodo. Blocked Entries. Número de veces q ue el nodo estuvo bloqueado por otro recurso.

Resource Costing Report fo r deaerco N o d e E n t r ie s

F a ile d A r r iv a ls

E n tity A c t iv it y

E n tity S t a t e s

V e n a b le s

L o c a t io n C o stin g

jf<

^

R e s o u r c e C o stin g for d e a e rc o

N onU se Usage Cost Cost Dollars

Z Usage T otal Cost Cosí Dolíais

Z T otal Cost

Units

NonUse Cost Dolíais

Filler.1

1 .0 0

0 .8 0

0 .4 5

9 9 .1 8

1 2 .1 0

9 9 .9 8

1 0 .0 4

F ille r.2

1 .0 0

0 .4 5

9 9 .0 8

1 2 .0 9

9 9 .8 8

1 0 .0 3

F ille r.3

1 .0 0

0.00 0.00

0 .4 5

9 8 .8 8

1 2 .0 7

9 9 .8 8

1 0 .0 1

F ille r.4

1 .0 0

0.81

0 .4 6

9 9 .8 3

1 2 .0 9

9 9 .8 3

1 0 .0 2

F ilie r.5

1 .0 0

0 .8 3

0 .4 7

9 9 .1 3

1 2 .1 0

9 9 .8 6

1 0 .0 3

Fillet

5 .0 0

4 .0 4

2 .2 8

4 9 5 .2 9

6 0 .4 5

4 9 3 .3 3

5 0 .1 2

C hecker

1 .0 0

1 1 .3 9

6 .4 4

8 7 .7 9

1 0 .7 1

9 9 .1 8

Ñame

%

9 .9 6 v

Esta ficha indica: • • • • • •

N onUse Cost. Costo atribuible al ocio del recurso. % N onUse Cost. Porcentaje del costo de ocio del recurso respecto de la sum a de los costos de ocio de to d o s los recursos. U sage Cost. Costo po r usar el recurso. % U sage Cost. Porcentaje del costo de utilización del recurso respecto de la sum a de los costos de utilización de todos los recursos. Total Cost. Costo de utilización m ás costo de ocio. % Total Cost. Porcentaje del costo total del recurso respecto de la sum a de los cos­ tos de todos los recursos.

251

| Anexo 2 Reportes e sta d ístic o s en ProM odel

Resource States By Percentage R e p o rt fo r d e a e rco

a

- Üf5<

L o c a t io n S t a t e s S in g le / T a n k

R e so u rc e s

í R e s o u rc e S ta te s;

N o d e E n trie s

F a ile c 4

l l l

R e s o u r c e S t a t e s fo r d e a e ic o S c h e d u le d Tim e (M IN )

X In U se

Filler.1

6 0 0 .0 0

9 8 .6 0

....... 0 .6 0

F ilb t .2

6 0 0 .0 0

9 8 .6 0

F ille r .3

6 0 0 .0 0

9 8 .5 7

F ilb r .4

6 0 0 .0 0

F ille r.5

6 0 0 .0 0

Ñ am e

Filiar C hecker

X T ra v e l X T ra v e l T o

X Id le

£ Down

0 .0 0

0 .8 0

0 .0 0

0 .6 0

0 .0 0

0 .8 0

0 .0 0

0 .6 2

0 .0 0

0 .8 0

0 .0 0

9 8 .6 3

0 .5 7

0 .0 0

0.81

0 .0 0

9 8 .6 0

0 .5 7

0.00

0 .8 3

0.00

3 0 0 0 .0 0

9 8 .6 0

0 .5 9

0.00

0.81

0.00

6 0 0 .0 0

8 5 .1 4

3 .4 7

0.00

1 1 .3 9

0.00

To U se

»

P a rk

Incluye la siguiente inform ación: • • • • • •

Scheduled Tim e (MIN). Tiem po total q ue el recurso fu e program ado para estar disponible. % In U se. Porcentaje de tiem p o que el recurso fu e utilizado. % Travel To U se. Porcentaje de tiem p o q ue el recurso fu e utilizado en m o vim ien­ tos en tre localizaciones. % Travel To Park. Porcentaje de tiem p o que el recurso estuvo viajando a su nodo base. % Id le. Porcentaje de ocio del recurso. % Down. Porcentaje q ue el recurso estuvo no disponible a causa de paros no pro­ gramados.

Resources H

R e p o rt fo r d e a e rco

L o c a tio n S ta te s S in g le /T a n k

* ] } R e s o u rc e s i

R e s o u r c e S ta te s

N o d e E ntr ie s

F a i led A rriv a ls

E n t it y A ci

4

*

R e s o u r c e s fo r d e a e rc o

Ñam e

S c h e d u le d Tim e (M IN )

Num ber T im e s U se d

A v g Tim e Per U sag e (M IN )

A v g Tim e T ia v e l To U s e (M IN )

A y g Tim e % T ra v e l T o B lo c k e d P a r k (M IN ) In T ra v e l

0.00

0.00

99.20 ■

0.00

0.00

99.20

0.00

0.00

99.20 99.19

A» U llllZ allO n

1.00 1.00

600.00

33.00

F ille r.2

600.00

33.00

17.93 17.93

Filler.3

1 .0 0

6 0 0 .0 0

34.00

17.40

Filbr.4

1.00

6 0 0 .0 0

31.00

19.09

0.11 0.11 0.11 0.11

0.00

0.00

Fille r.5

1 .0 0

600.00

31.00

1 9 .0 8

0.11

0.00

0.00

99.17

Filler

5 .0 0

3000.00

1 62.00

1 8 .2 6

0.11

C h e c ...

1 .0 0

600.00

134.00

3.81

0.16

0.00 0.00

0.00 0.00

99.19 88.61

Filler.1

252

U n its

A nexo 2 Rep ortes estad ísticos e n P ro M o d el |

La ficha Resources presenta estos datos: • • • • • • • •

Units. Número de recursos. Scheduled T im e (MIN). Tiem po program ado para utilizar el recurso. N um ber of Tim es Used. Número de ocasiones q ue se utilizó el recurso. Avg Tim e Per U sage (MIN). Tiem po prom edio de utilización del recurso. Avg Tim e Travel To U se (MIN). Tiem po prom edio po r viaje del recurso. Avg Tim e Travel To P ark (MIN). Tiem po prom edio para dirigirse al nodo base. % Blocked In Travel. Porcentaje de tiem po que el recurso estuvo bloqueado al fi­ nal del viaje. % Utilization. Fbrcentaje de utilización del recurso.

Variables EH R e p o r t f o r d e a e r c o 1 E ntity A c t iv it y

0

E ntity S (a te s

¡ V a r ia b le s !

I

L o c a t io n C o stin g

R e s o u r c e C o stin g

®

E n tity D

l ®

4

-

V a ria b le s for d e a e rc o T o tal Change s

A v g Time Per C h a n g e ...

Mínimum V a lu é

Máximum V a lu é

Current V a lu é

In v e n to ry A is lé 1

6 9 .0 0

8 .5 6

2 8 9 1 .0 0

3 6 0 0 .8 0

2 6 8 1 .0 8

3 2 6 1 .0 5

In v e n to ry A ís le 2

86.00

6.88

2 6 7 8 .0 0

3 6 0 0 .8 0

2 6 7 8 .0 8

3 1 3 9 .7 9

Ñam e

Avg V a lu é

In v e n to ry A is lé 3

1 0 8 .0 0

5 .5 0

2 3 3 4 .0 0

3 0 0 0 .0 0

2 3 0 4 .0 0

2 9 8 4 .0 3

In v e n to ry A is lé 4

7 0 .0 0

8 .4 6

2 6 8 3 .0 0

3 6 8 0 .8 0

2 8 3 3 .0 8

3 2 3 4 .8 3

In v e n to ry A is lé 5

1 0 7 .0 0

5 .5 8

2 4 5 7 .0 0

3 6 8 0 .8 0

2 4 5 7 .0 8

3 0 1 9 .4 4

6

6 0 .0 0

9 .9 7

2 3 7 4 .0 0

3 6 0 0 .0 0

2 9 9 2 .0 0

3 2 5 4 .7 4

In v e n to ry A ís le 7

1 1 7 .0 0

512

2 3 0 7 .0 0

3 6 0 0 .0 0

2 3 0 7 .0 8

2 9 3 0 .7 6

In v e n to ry A is lé

►

■

Finalm ente, la ficha Variables ofrece la siguiente inform ación: • • • • • •

Total Changes. Total de cam bios de valor de la variable. A verage T im e Per C h a n g e . El tiem p o pro m ed io e n tre ca m b io s de va lo r de la variable. M ínim um Valué. Valor m ínim o de la variable en el transcurso de la sim ulación. M áxim um Valué. Valor m áxim o de la variable en el transcurso de la sim ulación. Current Valué. Valor de la variable al fin alizar la sim ulación. Avg Valué. Valor prom edio de la variable a lo largo del tiem po.

253

AN EXO 3

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

255

'

| A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

P ro b ab ilid ad es acu m u lad as para la d istrib u ció n Norm al Estánd ar

0

0.01

0.02

0.03

0 .0 4

0.05

0 .0 6

0.07

0.08

0 .0 9

0.00

0.5000

0.5040

0.5 0 80

0.5120

0.5 1 60

0.5199

0.5 2 39

0.5279

0.5319

0.5 3 59

0.10

0.5398

0.5438

0.5 4 78

0.5517

0.5 5 57

0.5596

0.5636

0.5675

0.5714

0 .5 753J

0.10

0.20 030

0.5793 0.6179

0.5832 0.6217

0.5871 0.6 2 55

0.5910 0.6293

0.5 9 48 0.6331

0.5987 0.6368

0.6 0 26 0.6 4 06

0.6064 0.6443

0.6103 0.6480

0.6141 0.6 5 17

0.20 030

0.40

0.6554

0.6591

0.6 6 28

0.6664

0.6 7 00

0.6736

0.6 7 72

0.6808

0.6844

0.6 8 79

0.40

0.50

0.6915

0.6950

0.6 9 85

0.7019

0.7 0 54

0.7088

0.7 1 23

0.7157

0.7190

0.7 2 24

0.50

0.60

0.7257

0.7291

0.7 3 24

0.7357

0.7 3 89

0.7422

0.7 4 54

0.7486

0.7517

0.7 5 49

0.60

0.70

0.7580

0.7611

0.7642

0.7673

0.7704

0.7734

0.7 7 64

0.7794

0.7823

0.7 8 52

0.70

0.80 0.90

0.7881 0.8159

0.7910 0.8186

0.7939 0.8 2 12

0.7967 0.8238

0.7 9 95 0.8 2 64

0.8023 0.8289

0.8051 0.8 3 15

0.8078 0.8340

0.8106 0.8365

0.8 1 33 0.8 3 89

0.80 0.90

1.00

0.8413

0.8438

0.8461

0.8485

0.8 5 08

0.8531

0.8554

0.8577

0.8599

0.8621

1.00

1.10 1.20

0.8643

0.8665

0.8 6 86

0.8708

0.8 7 29

0.9749

0.8 7 70

0.8790

0.8810

0.8 8 30

1.10

0.8849

0.8869

0.8 8 88

0.8907

0.8925

0.8944

0.8 9 62

0.8980

0.8997

0.9 0 15

1.20

1.30 1.40

0.9032 0.9192

0.9049 0.9207

0.9 0 66 0.9 2 22

0.9082 0.9236

0.9 0 99 0.9251

0.9115 0.9265

0.9131 0.9 2 79

0.9147 0.9292

0.9162 0.9306

0.9 1 77 0.9 3 19

1.30 1.40

1.50

0.9332

0.9345

0.9357

0.9370

0.9 3 82

0.9394

0.9 4 06

0.9419

0.9429

0.9441

1.50

1.60

0.9452

0.9463

0.9474

0.9484

0.9 4 95

0.9505

0.9 5 15

0.9525

0.9535

0.9545

1.60

1.70

0.9554

0.9564

0.9 5 73

0.9582

0.9591

0.9599

0.9 6 08

0.9616

0.9625

0 .9 6 3 3 J

1.70

1.80

0.9641

0.9649

0.9656

0.9664

0.9671

0.9678

0.9 6 86

0.9693

0.9699

0.9706

1.80

1.90 2.00

0.9713 0.9772

0.9719 0.9778

0.9726 0.9 7 83

0.9732 0.9788

0 .9 7 3 8 0.9 7 93

0.9744 0.9798

0.9750 0.9 8 03

0.9756 0.9808

0.9761 0.9812

0.9 7 67 0.9 8 17

1.90 ZOO

Z10

0.9821

0.9826

0.9830

0.9834

0.9 8 38

0.9842

0.9 8 46

0.9850

0.9854

0.9857

Z10

2.20

0.9861

0.9864

0 .9 8 6 8

0.9871

0.9 8 75

0.9878

0.9881

0.9884

0.9887

0.9 8 90

2.20

2.30

0.9893

0.9896

0.9 8 98

0.9901

0.9 9 04

0.9 9 06

0.909

0.9911

0.9913

0.9 9 16

2.30

2.40 2.50

0.9918 0.9938

0.9920 0.9940

0.9922 0.9941

0.9925 0.9943

0.9 9 27 0.9 9 45

0.9929 0.9946

0.9931 0.9 9 48

0.9932 0.9949

0.9934 0.9951

0.9 9 36 0.9 9 52

Z40 2.50

2.60

0.9953

0.9955

0.9 9 56

0.9957

0.9 9 59

0.9960

0.9961

0.9962

0.9963

0.9 9 64

2.60

2.70

0.9965

0.9966

0.9967

0.9968

0.9969

0.9970

0.9971

0.9972

0.9973

0.9 9 74

2.70

2.80

0.9974

0.9975

0.9 9 76

0.9977

0.9 9 77

0.9978

0.9 9 79

0.9979

0.9980

0 .9 9 8 1 1

2.80

2.90

0.9981

0.9982

0.9982

0.9983

0.9984

0.9984

0.9 9 85

0.9985

0.9986

0.9986

2.90

3.00 3.10

0.9987 0.9990

0.9987 0.9991

0.9 9 87 0.9991

0.9988 0.9991

0.9 9 88 0.9 9 92

0.9989 0.9992

0.9 9 89 0.9 9 92

0.9989 0.9992

0.9990 0.9993

0.9 9 90 0 .9 9 9 3 J

3.00 3.10

3.20

0.9993

0.9993

0.9994

0.9994

0.9 9 94

0.9994

0.9 9 94

0.9995

0.9995

0.9 9 95

3.20 3.30

3.30

0.9995

0.9995

0.9 9 95

0.9996

0.9 9 96

0.9996

0.9 9 96

0.9996

0.9996

0.9 9 97

3.40

0.9997

0.9997

0.9997

0.9997

0.9 9 97

0.9997

0.9 9 97

0.9997

0.9997

0.9 9 98

3.40

3.50 3.60

0.9998 0.9998

0.9998 0.9998

0.9 9 98 0.9 9 99

0.9998 0.9999

0.9 9 98 0.9 9 99

0.9998 0.9999

0.9 9 98 0.9 9 99

0.9998 0.9999

0.9998 0.9999

0.9 9 98 0.9 9 99

3.50 -. 3.60

3.70

0.9999

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9999

0 .9 9 9 9 J 3.70

3.80

0.9999

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9 9 99

0.9999

0.9999

0.9999

0.9999

0.9 9 99

3.90

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

3.90

4.00

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

1.0000

4.00

Fuen te : Va lores calcu la d o s co n Excel.

256

Z« 0.00

3.80

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Valores críticos para la d istrib u ció n f-student

ta

v g a d o s de libertad

*0.10

*0.05

^0025

1 2

3.078

6.314

12.706

1.886

2.920

4.303

3

1.638

2.353

3.182

4

1.533

2.132

2.776

*001 31.821

*0005

*0.001

63.657

3 18.309

6.965

9.925

22327

4.541

5.841

10.215

3.747

4 .6 0 4

7.173

5

1.476

2.015

Z571

3.365

4 .0 3 2

5.893

6

1.440

1.943

2.447

3.143

3.707

5.208

7 8

1.415 1.397

1.895 1.860

2.365 2.306

2.998 2.896

3.499 3.355

4 .7 8 5 4.501

9

1.383

1.833

2.262

2.821

3.250

4 .2 9 7

11

1.372 1.363

1.812 1.796

2.228 2.201

2.764 2.718

3.169 3.106

4 .1 4 4 4 .0 2 5

12 13

1.356

1.782

2.179

2.681

3.055

3.930

1.350

1.771

2.160

2.650

3.012

3.852

14

1.345

1.761

2.145

2.624

2.977

3.787

15

1.341

1.753

2.131

2.602

2.947

3.733

16

1.337

1.746

2.120

2.583

2.921

3.686

17

1.333

1.740

2.110

2.567

2.898

3.646

18 19

1.330 1.328

1.734 1.729

2.101 2.093

2.552 2.539

2.878 2.861

3.610 3.579

20

1.325

1.725

2.086

2.528

2.845

3.552

1.323

1.721

2.080

2.518

2.831

3.527

22

1.321

1.717

2.074

2.508

2.819

3.505

23 24

1.319 1.318

1.714 1.711

2.069 2.064

2.500 2.492

2.807 2.797

3.485 3.467

1316

1.708

2.060

2.485

2.787

3.450

26

1.315

1.706

2.056

2.479

2.779

3.435

27

1.314

1.703

2.052

2.473

2.771

3.421

28

1.313

1.701

2.048

2.467

2.763

3.408

29

1.311 1.310

1.699 1.697

2.045 2.042

2.462 2.457

2.756 2.750

3.396 3.385

40

1.303

1.684

2.021

2.423

2.704

3.307

1.299

1.676

2.009

2.403

2.678

3.261

60

1.296

1.671

2.000

2.390

2.660

3.232

70 80

1.294 1.292

1.667 1.664

1.994 1.990

2.381 2374

2.648 2.639

3.211 3.195

90

1.291

1.662

1.987

2.368

2.632

3.183

100 cc

1.290

1.660

1.984

2.364

2.626

3.174

1.282

1.645

1.960

2.326

2.576

3.090

Fuen fe: f l o r e s calcu la d o s co n Excel.

257

'

| A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

Valores crítico s para la d istribución X 1

/

K

o

X 2a X 2a v grados d e libertad 1 2 S 4

* 2oo25

*X 0.01

* 0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

4 .6 0 5

5.991

7.378

9.210

10.597

13.816

6.251

7.815

9.348

11.345

12.838

16.266

7.779

9.488

11.143

13.277

14.860

18.467

9.236

11.070

12.833

15.086

16.750

20.515

12.592 14.067

14.449 16.013

16.812 18.475

18.548 20.278

22.458 24.322

8

13.362

15.507

17.535

20.090

21.955

26.124 27.877

9

14.684

16.919

19.023

21.666

23.589

10

15.987

18.307

20.483

23.209

25.188

29.588

11

17.275

19.675

21.920

24.725

26.757

31.264

12

18.549

21.026

23.337

26.217

28.300

32909

19.812

22.362

24.736

27.688

29.819

34.528

14

21.064

23.685

26.119

29.141

31.319

36.123

15

22.307

24.996

27.488

30.578

32.801

37.697

16

23.542

26.296

28.845

32.000

34.267

39.252

17 18

24.769

27.587

30.191

33.409

35.718

40.7 90

25.989

28.869

31.526

34.805

37.156

42312

19

27.204

30.144

32.852

36.191

38.582

43.8 20

20

28.412

31.410

34.170

37.566

39.997

45.3 15

21

29.615

32.671

35.479

38.932

41.401

46.7 97

22

30.813

33.924

36.781

40.2 89

42.7 96

48.2 68

23 24

32.007 33.196

35.172 36.415

38.076 39.364

41.6 38 42.9 80

44.181 45.5 59

49.7 28 51.179

25

34.382

37.652

40.6 46

44.3 14

46.9 28

52.620

26 27 28

35.563 36.741

38.885 40.1 13

41.9 23 43.1 95

45.6 42 46.9 63

48.2 90 49.6 45

54.052 55.476

37.916

41.3 37

44.461

48.2 78

50.993

56.892

29

39.087

42.5 57

45.7 22

49.5 88

52.336

58.301

30

40.2 56

43.7 73

46.9 79

50.892

53.672

59.703 73.402

40

51.805

55.758

59.342

63.691

66.7 66

50

63.1 67

67.5 05

71.420

76.154

79.490

86.661

60

74.397

79.082

83.2 98

88.3 79

91.952

99.607

85.5 27

90.531

95.023

100.425

104.215

112317 124.839

90

m

96.578

101.879

106.629

112.329

116.321

107.565

113.145

118.136

1 24.116

128.299

137.208

118.498

124.342

129.561

135.807

140.169

149.449

P a ra v >

Fuen te : Va lores calcu la d o s co n Excel.

258

0.001

10.645 12.017

55 80 \—

** 0.05

6 7

5

r

y2

*A 0.10

100 u s a r * 5 ,,, = 0 .5 ( Z 0 + V 2 v - 1 ) 2

(c o n t i n ú a )

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Valores críticos para la d istrib u ció n X 2 (co n tin u a ció n )

X 2a

X 2o

v g ad o s de lib e r t a d

X A 20.90

* 2o.9S

* 0.975

*X 0.99

n .9 9 5

* 0.999

1 2

0 .0 1 6

0.004

0.001

0.000

0 .0 0 0

0 .0 0 0

0 .2 1 1

0.103

0.051

0 .0 2 0

0 .0 1 0

0 .0 0 2

3

0.584 1.064

0.352 0.711

0.216 0.484

0.115 0.297

0 .0 7 2 0 .2 0 7

0 .0 2 4 0.091

1.610

1.145

0.831

0.554

0.412

0 .2 1 0

2.204

1.635

1.237

0.872

0 .6 7 6

0.381

Z833

2.167

1.690

1.239

0 .9 8 9

0 .5 9 8

3.490

2.733

2.180

1.646

1.344

0 .8 5 7 1.152

4 5 6 7 9

4 .1 6 8

3.325

2.700

2.088

1.735

10

4 .8 6 5

3.940

3.247

2.558

Z156

1.479

11 12

5.578

4.575

3.816

3.053

2.603

1.834

6 .3 0 4

5.226

4.404

3.571

3.074

2.214

7.042

5.892

5.009

4.107

3.565

2.617

14

7.790

6.571

5.629

4.660

4 .0 7 5

3.041

15

8.547

7.261

6.262

5.229

4.601

3.483

16

9.312

7.962

6.908

5.812

5.142

3.942

17 18

10.085

8.672

7.564

6.408

5.697

4 .4 1 6

10.865

9.390

8.231

7.015

6 .2 6 5

4 .9 0 5

19

11.651

10.117

8.907

7.633

6 .8 4 4

5.407

20

12.443

10.851

9.591

8.260

7.434

5.921

21

13.240

11.591

10.283

8.897

8 .0 3 4

6.447

22

14.041

12.338

10.982

9.542

8.643

6 .9 8 3

23

14.848 15.659

13.091 13.848

11.689 12.401

10.196 10.856

9.260 9.886

7.529 8 .0 8 5

25

16.473

14.611

13.120

11.524

10.520

8 .6 4 9

17.292

15.379

13.844

12.198

11.160

9.222

27

18.114

16.151

14.573

12.879

11.808

9.803

28 29

18.939 19.768

16.928 17.708

15.308 16.047

13.565 14.256

12.461 13.121

10.391 10.986

30

20.599

18.493

16.791

14.953

13.787

11.588

40

29.051

26.509

24.433

22.164

20.707

17.916

50

37.689

34.764

32.357

29.707

27.991

24.674

60

46.459

43.1 88

40.4 82

37.485

35.534

31.738

70 80

55.329 64.278

51.739 60.391

48.7 58 57.153

45.4 42 53.540

43.2 75 51.172

39.036 46.5 20

73.291

69.1 26

59.196

54.155

82.358

77.929

65.6 47 74.777

61.7 54

100

70.065

67.3 28

61.9 18

P a ra v

> 100 u s a r X Í , a = 0 .5 ( Z a + V 2 V - 1 ) 2

Fuen fe: Va lores calcu la d o s co n E x c e l

259

A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

Valores crítico s d e la d istribución F con a = 0.05 G rados d e libertad p ara e l d e n o m in a d o r X

1

2

3

4

5

6

8

9

10

15

20

30

50

100

1

161.45

18.51

10.13

7.71

6.61

5.99

532

5.12

4.96

4 .5 4

4.35

4.17

4 .0 3

3.94

2

199.50

19.00

9.55

6.94

5.79

5.14

4 .4 6

4.26

4.10

3.68

3.49

3.32

3.18

3.09

L0 "O 2 01 E 3 c 13 2 2. "O

3

215.71

19-.16

9.28

6.59

5.41

4.76

4 .0 7

3.86

3.71

3.29

3.10

2.92

2.79

2.70

4

224.58

19.25

9.12

6.39

5.19

4.53

3.84

3.63

3.48

3.06

2.87

2.69

2.56

2.46

5

230.16

19.30

9.01

6.26

5.05

4.39

3.69

3.48

3.33

2.90

2.71

2.53

2.40

231

6

233.99

1933

8 .9 4

6.16

4.95

4.28

3.58

337

3.22

2.79

2.60

2.42

2.29

2.19

8

238.88

19.37

8 .8 5

6.04

4.82

4.15

3.44

3.23

3.07

2.64

2.45

2.27

Z13

2.03

9

240.54

19.38

8.81

6.00

4.77

4.10

3.39

3.18

3.02

2.59

2.39

2.21

2.07

1.97

1

10

241.88

19.40

8 .7 9

5.96

4.74

4.06

335

3.14

2.98

2.54

235

2.16

2.03

1.93

5

Estadístico de prueba ajustado

0.1

0.05

0.025

0.001

A2 n

1.933

2.492

3.070

3.857

0.632

0.751

0.870

1.029

1.070

1.326

1.587

1.943

0.637

0.757

0.877

1.038

0.563

0.660

0.769

0.906

Normal

< H -5 ) Exponencial

* (’ +s) Weibull ^ ( 1 + = V í) Log-logistica

4 +-vs) F u e n t e : La w , A .M .y

262

Kelto n , W .D . S i m u l a t i o n M o d e i i n g a n d A n a l y s i s , 3 a .e d .( p p .3 6 8 , M cG raw H ill (2000).

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Valores d e la función G am m a x

I »

x

r(x )

1.00 1.01

1.0000000 0 .9 9 43 2 59

1.25 1.26

0.9064025 0.9043971

1.02

0 .9 8 88 4 42

1.27

0.9025031

1.03

0 .9 8 35 5 00

1.28

0.9007185

1.04

0 .9 7 84 3 82

1.29

0.8990416

1.05

0 .9 7 35 0 43

1.30

1.06

0 .9 6 87 4 36

131

1.07

0.9641520

132

1.08

0 .9 5 97 2 53

1.33

1.09

0 .9 5 54 5 95

1.34

|

x

I »

X

T (x )

1.50 1.51

0 .8 8 62 2 69 0 .8 8 65 9 17

1.75 1.76

0.9190625 0.9213749

1.52

0 .8 8 70 3 88

1.77

0.9237631

1.53

0 .8 8 75 6 76

1.78

0.9262273

1.54

0.8881777

1.79

0.9287675

0.8974707

1.55

0 .8 8 88 6 83

1.80

0.9313838

0.8960042

1.56

0 .8 8 96 3 92

1.81

0.9340763

0.8946405

1.57

0 .8 9 04 8 97

1.82

0.9368451

0.8933781

1.58

0.8914196

1.83

0.9396904

0.8922155

1.59

0 .8 9 24 2 82

1.84

0.9426124

1.10

0 .9 5 13 5 08

135

0.8911514

1.60

0 .8 9 35 1 53

1.85

0.9456112

1.11

0 .9 4 73 9 55

1.36

0.8901845

1.61

0 .8 9 46 8 06

1.86

0.9486870

1.12

0 .9 4 35 9 02

137

0.8893135

1.62

0 .8 9 59 2 37

1.87

0.9518402

1.13

0 .9 3 99 3 14

1.38

0.8885371

1.63

0 .8 9 72 4 42

1.88

0.9550709

1.14

0.9364161

1.39

0.8878543

1.64

0 .8 9 86 4 20

1.89

0.9583793

1.15

0 .9 3 30 4 09

1.40

0.8872638

1.65

0 .9 0 01 1 68

1.90

0.9617658

1.16

0.9298031

1.41

0.8867647

1.66

0 .9 0 16 6 84

1.91

0.9652307

1.17

0 .9 2 66 9 96

1.42

0.8863558

1.67

0 .9 0 32 9 65

1.92

0.9687743

1.18

0 .9 2 37 2 78

1.43

0.8860362

1.68

0 .9 0 50 0 10

1.93

0.9723969

1.19

0 .9 2 08 8 50

1.44

0.8858051

1.69

0 .9 0 67 8 18

1.94

0.9760989

1.20

0 .9 1 81 6 87

1.45

0.8856614

1.70

0 .9 0 86 3 87

1.95

0.9798807

1.21

0 .9 1 55 7 65

1.46

0.8856043

1.71

0 .9 1 05 7 17

1.96

0.9837425

1.22

0 .9 1 31 0 59

1.47

0.8856331

1.72

0 .9 1 25 8 06

1.97

0.9876850

1.23 1.24

0 .9 1 07 5 49 0.9085211

1.48 1.49

0.8857470 0.8859451

1.73 1.74

0 .9 1 46 6 54 0 .9 1 68 2 60

1.98 1.99

0.9917084 0.9958133

2.00

1.0000000

Valores calcu la d o s a p a rtir d e la ecu ació n d e a p ro x im a c ió n d e Lanczo s Para va lo re s d e x no ta b u la d o s, u sa r la relació n T ( x + 1) = x r ( x ) P a ra

va lo re s natu rales d e x ,u s a r T (x ) = x ( x - 1)!

F u e n t e : A P r e c is ió n A p r o x i m a t i o n o f t h e G a m m a F u n c t i o n , J .

SIAM N o .an a l. ser. B.( v o l . l , p p .68-96 (1964).

263

A nexo 3 D istribu cio nes d e pro b ab ilid ad

P ro b ab ilid ad es acu m u lad as d e la d istrib u ció n Poisson Media X

0 .0 1

0

0.9 9 00

0.9 5 12

0.9 0 48

0.8 1 87

0.7408

0.6 7 03

0.6 0 65

1 2

1.0000

0.9 9 88

0.9 9 53

0.9 8 25

0.9631

0.9 3 84

0.9 0 98

1.0000

0.9 9 98

0.9 9 89

0.9964

0.9921

0.9 8 56

0.9769

1.0000

0.9 9 99

0.9997

0.9 9 92

0.9 9 82

0.9966

1.0000

1.0000

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9996

1.0000

1.0000

1.0000

0 .0 5

3

0 .1

4

0.2

0 .3

5

0 .4

0.5

0 .6

0 .7

0 .8

0.5488

0.4 9 66

0.4 4 93

0.4 0 66

0.8781

0.8 4 42

0.8088

0.7 7 25

0.9 6 59

0.9 5 26

0.9371

0.9 9 42

0.9 9 09

0.9 8 65

0.9 9 92

0.9 9 86

0.9 9 77

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9 9 97

1.0000

1.0000

1.0000

1 .9

6

0 .9

Media X

1

1.1

1 .2

1.3

0

0.3 6 79

0.3 3 29

0.3 0 12

0.2 7 25

1 2

0 .7 3 58

0.6 9 90

0.6 6 26

0.6 2 68

0.9 1 97

0.9 0 04

0.8 7 95

0.8571

1.4

1.5

1 .6

1 .7

1 .8

0.2466

0.2231

0.2 0 19

0.1827

0.1 6 53

0.1 4 96

0.1 3 53

0.5918

0.5 5 78

0.5 2 49

0.4932

0.4 6 28

0.4 3 37

0.4 0 60

0.8335

0.8 0 88

0.7 8 34

0.7572

0.7 3 06

0.7 0 37

0.6 7 67 0.8571

3

0.9 8 10

0.9 7 43

0.9 6 62

0.9 5 69

0.9463

0.9 3 44

0.9 2 12

0.9068

0.8 9 13

0.8 7 47

4

0.9 9 63

0.9 9 46

0.9 9 23

0.9 8 93

0.9857

0.9 8 14

0.9 7 63

0.9704

0.9 6 36

0.9 5 59

0.9 4 73

5

0.9 9 94

0.9 9 90

0.9 9 85

0.9 9 78

0.9968

0.9 9 55

0.9 9 40

0.9920

0.9 8 96

0.9 8 68

0.9 8 34

6

0.9 9 99

0.9 9 99

0.9 9 97

0.9 9 96

0.9994

0.9991

0.9 9 87

0.9981

0.9 9 74

0.9 9 66

0.9 9 55

7 8

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

1.000

0.999

0.999

0.999

1.000

1.000

1.000

X

2 .5

3

3 .5

4

4 .5

0

0.0821

0.0 4 98

0.0 3 02

0.0 1 83

0.0111

0.0 0 06

1 2

0 .2 8 73

0.1991

0.1 3 59

0.0 9 16

0.0611

0.0 4 04

0.0 2 66

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0.2381

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0.1 2 47

0.0 8 84

3

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0.6 4 72

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0.4 3 35

0.3423

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0.2 0 17

4

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0.5321

0.4 4 05

5

0.9 5 80

0.9161

0.8 5 76

0.7851

0.7029

0.6 1 60

6 7

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0.9 6 65 0.988

0.9 3 47 0 .9 7 3

0.8 8 93 0.949

0.8311 0 .9 1 3

8

0.999

0.996

0 .9 9 0

0.979

9

1.000

0.999

0 .9 9 7

0.992

1.000

0 .9 9 9

0.997

0 .9 9 3

1.000

0.999

0 .9 9 8

0 .9 9 5

0.989

0 .9 8 0

0.966

0.947

0.921

1.000

0 .9 9 9

0 .9 9 8

0.996

0.991

0.984

0.973

0.957

1.000

0 .9 9 9

0.998

0 .9 9 6

0.993

0.987

0.978

1.000

0.999

0 .9 9 9

0.997

0.994

0.990

1.000

0 .9 9 9

0.999

0 .9 9 8

0.995

1.000

1000

0.999

0.998

1.000

0.999

Media

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Fuente: \& lores calcu la d o s co n E xce l.

264

5.5

6

6 .5

0.0041

0.0025

0.0 0 15

7 0.0 0 09

0.0174

0.0 1 13

0.0 0 73

0.0 0 47

0.0620

0.0 4 30

0.0 2 96

0.0 2 03

0.1512

0.1 1 18

0.0 8 18

0.0591

03575

0.2851

0.2 2 37

0.1 7 30

0.1321

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0.4457

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0.3 0 07

0.2 4 14

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0.6 8 60 0.809

0.6063 0 .7 4 4

0.5 2 65 0.673

0.4 4 97 0.599

0.3 7 82 0.525

0 .9 6 0

0 .9 3 2

0.894

0 .8 4 7

0.792

0.729

0.662

0 .9 8 3

0 .9 6 8

0.946

0 .9 1 6

0.877

0.830

0.776

0 .9 8 6

0.975

0 .9 5 7

0.933

0.901

0.862

* 0.0 0 67

7.5

1.000 [c o n tin ú a )

A n e xo 3 D istrib u cio nes d e p ro b ab ilid ad | '

Probabilid ad es acu m u lad as d e la d istrib u ció n Poisson (co n tin u a ció n ) M edia X

8

10

11

14

0

0.0 0 03

* 0.0001

0.0 0 00

0.0000

0.0 0 00

1 2

0.0 0 30

0.0 0 12

0.0 0 05

0.0002

0.0001

0.0 0 00

0.0 0 00

0.0 1 38

0.0 0 62

0.0 0 28

0.0012

0.0 0 05

0.0 0 02

0.0001

»

15

16

0.0 0 00

0.0 0 00

18

20

3

0.0 4 24

0.0 2 12

0.0 1 03

0.0049

0.0 0 23

0.0011

0.0 0 05

0.0 0 02

0.0001

0.0000

4

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0.0 5 50

0.0 2 93

0.0151

0.0 0 76

0.0 0 37

0.0 0 18

0.0 0 09

0.0 0 04

0.0001

0.0 0 00

5

0.1 9 12

0.1 1 57

0.0671

0.0375

0.0 2 03

0.0 1 07

0.0 0 55

0.0 0 28

0.0 0 14

0.0003

0.0001

6 7

03134 0.453

0.2 0 68 0.324

0.1301 0.220

0.0786 0 .1 4 3

0.0 4 58 0 .0 9 0

0.0 2 59 0.054

0.0 1 42 0.032

0.0 0 76 0.018

0.0 0 40 0 .0 1 0

0.0010 0.003

0.0 0 03 0.001

8

0.5 9 25

0.4 5 57

0.3 3 28

0.2320

0.1 5 50

0.0 9 98

0.0621

0.0 3 74

0.0 2 20

0.0071

0.0021

9

0.7 1 66

0.5 8 74

0.4 5 79

0.3405

0.2 4 24

0.1 6 58

0.1 0 94

0.0 6 99

0.0 4 33

0.0154

0.0 0 50

10

0.8 1 59

0.7 0 60

0.5 8 30

0.4599

0.3 4 72

0.2 5 17

0.1 7 57

0.1 1 85

0.0 7 74

0.0304

0.0 1 08

11 12

0.8881

0.8 0 30

0.6 9 68

0.5793

0.4 6 16

0.3 5 32

0.2 6 00

0.1 8 48

0.1 2 70

0.0549

0.0 2 14

0.9 3 62

0.8 7 58

0.7 9 16

0.6887

0.5 7 60

0.4631

0.3 5 85

0.2 6 76

0.1931

0.0917

0.0 3 90

13

0.9 6 58

0.9261

0.8 6 45

0.7813

0.6 8 15

0.5 7 30

0.4 6 44

0.3 6 32

0.2 7 45

0.1426

0.0661

14

0.9 8 27

0.9 5 85

0.9 1 65

0.8540

0.7 7 20

0.6751

0.5 7 04

0.4 6 57

03675

0.2081

0.1 0 49

15

0.9 9 18

0.9 7 80

0.9 5 13

0.9074

0.8 4 44

0.7 6 36

0.6 6 94

0.5681

0.4 6 67

0.2867

0.1 5 65

16

0.9 9 63

0.9 8 89

0.9 7 30

0.9441

0.8 9 87

0.8 3 55

0.7 5 59

0.6641

0.5 6 60

0.3751

0.2211

17 18

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0.4686 0.5622

0.2 9 70 0.3 8 14

19

0.9 9 97

0.9 9 89

0.9 9 65

0.9907

0.9 7 87

0.9 5 73

0.9 2 35

0.8 7 52

0.8 1 22

0.6509

0.4 7 03

20

0.9 9 99

0.9 9 96

0.9 9 84

0.9953

0.9 8 84

0.9 7 50

0.9521

0.9 1 70

0.8 6 82

0.7307

0.5591

21

1.0000

0.9 9 98

0.9 9 93

0.9977

0.9 9 39

0.9 8 59

0.9 7 12

0.9 4 69

0.9 1 08

0.7991

0.6 4 37

22

0.9 9 99

0.9 9 97

0.9990

0.9 9 70

0.9 9 24

0.9 8 33

0.9 6 73

0.9 4 18

0.8551

0.7 2 06

23 24

1.0000

0.9 9 99 1.0000

0.9995 0.9998

0.9 9 85 0.9 9 93

0.9 9 60 0.9 9 80

0.9 9 07 0.9 9 50

0.9 8 05 0.9 8 88

0.9 6 33 0.9 7 77

0.8989 0.9317

0.7 8 75 0.8 4 32

25

0.9999

0.9 9 97

0.9 9 90

0.9 9 74

0.9 9 38

0.9 8 69

0.9554

0.8 8 78

26

1.0000

0.9 9 99

0.9 9 95

0.9 9 87

0.9 9 67

0.9 9 25

0.9718

0.9221

27

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9 9 94

0.9 9 83

0.9 9 59

0.9827

0.9 4 75

28 29

1.0000

0.9 9 99 1.0000

0.9 9 97 0.9 9 99

0.9991 0.9 9 96

0.9 9 78 0.9 9 89

0.9897 0.9941

0.9 6 57 0.9 7 82

30

0.9 9 99

0.9 9 98

0.9 9 94

0.9967

0.9 8 65

31

1.0000

0.9 9 99

0.9 9 97

0.9982

0.9 9 19

1.0000

0.9 9 99

0.9990

0.9 9 53

33

0.9 9 99

0.9995

0.9 9 73

34 35

1.0000

0.9998 0.9999

0.9 9 85 0.9 9 92

36

0.9999

0.9 9 96

37

1.0000

32

0.9 9 98

38

0.9 9 99

39

0.9 9 99

40

1.0000

Fuen fe: Va lo res calcu la d o s co n E x c e l

265

ÍNDICE A ACCUM (cantidad), 190 Aceptación y rechazo, 72 Actividades, 10 Agrupa m iento, 190 Ajuste d e datos, 67 Aleatorio, 50 Algoritm o congruencial aditivo, 26 congruencial cuad rático,27 congruencial m ultiplicativo, 25 de Blum , B lum y Shub, 28 de cuadrados m edios, 20 de m ultiplicador constante, 22 de productos m edios, 21 lineal, 23 Algoritm os congruenciales no lineales, 27 Análisis de datos, 1 1 de sensibilidad, 12 Anderson-Darling, 56 prueba, 53,62 Arena, 125 Arrivals, 134,138 As Altérnate, 186 As Backup, 186 Atributo, 4 Atributos, 6 Autof it, 69 Autom atic Fitting, 70 AutoMod, 125

B Banks,Carson, Nelson y Nicol, 25 B e rn o u lli,5 5 ,89 Biblioteca d e probabilidades, 172 Binom ial, 5 5 ,8 9 Build, 134 B y turn , 185

c Ciclo, 48 COMBINE (cantidad) AS (nueva entidad), 193 Com posición, 53

CONTENTS, 147 Continué, 186 Continuous distributions, 71 Convergencia, 115 Convolución, 53 Corrida, 8 ,1 1 0 Corridas arriba y abajo, prueba, 3 7 ,3 9 Crystal Bal 1,125 Cuadrados m edios, 21

CH Chi-cuadrada, 3 4 ,3 5 ,5 3 ,5 6 prueba, 3 4 ,5 7

D D. H. Lehmer, 23 Definición, 10 Dependent, 186 Descriptive, 69 Discrete distributions, 69 Discretos, 20 DISPLAY, 160 DISPLAY "mensaje" {(expresión)}, 160 DISTNORMINV, 114 Distribución binom ial, 81 de Bernoulli, 75 de Erlang,79 exponencial, 74 norm al, 80 triangular, 9 ,8 3 uniform e, 19,74 Distribuciones continuas, 231 discretas, 55,231 Docum entación, 13 DYNPLOT, 151 DYNPLOT"nom bre d el gráfico dinám ico" 151

E Editor de turnos, 133 gráfico, 132 Ensam ble e inspección, 117

267

¡ | índice

Ensambles, acum ulación, 190 Entidad, 3 Entidades, 6 Entities, 134 Entity, 138 Entity Activity, 246 Entity Activity, fich a, 145 Entity States, fich a , 145 ENTRIES, 148 Erlang ,56,88 Estado del sistem a, 3 desventajas, 8 estable, 7 transitorio, 7 ventajas, 8 Evento, 3 secundario, 113 (vento s, 6 Exactitud, 111 Excel, 119 Exponencial, 56,88

F

H Hipergeom étrica, 55 Histograma, 57 Hoja de cálculo, 48

i If Em pity, 186 If Join Request, 185 If Load Request, 186 If Send, 186 IFF (condición), 196 IN (tiem po), 196 Independencia, 19,30 Instrucción, 191 Instrucciones ACCUM, 190 COMBINE, 193 FREE, 177 GET, 177 JOIN, 194 LOAD, 196 ROUTE, 204 SPUT, 201 UNGROUP, 192 UNLOAD, 196 Intervalos d e co nfianza, 12,106 Inventario, 121

260 Failed Arrival, 248 fich a, 144 R íe , 68 First available 185 First Ti mes, 139 Fit, 69 Flexsim , 125 FORTRAN, 124 Frecuencia esperada, 34 observada, 34 FREE, 177,208 Frequency, 139 Función de densidad de probabilidad, 55

j JOIN (cantidad) (entidad a ensam blar), 194

G

K

Gam m a, 88 ,2 6 3 GASP, 124 GE, 208 Generación, 10 de variables aleatorias, 72 Generadores de variables aleatorias, 53 General, 246 fich a, 142

Kolmogorov-Smirnov, 3 4 ,5 3 ,5 6 ,2 6 1 prueba, 59

F,

268

GET, 177 GPSS, 124 Gráfica de dispersión, 44 de estabilización, 115 de G antt, 13 GRAPHIC #,159 GROUP (cantidad) AS (nueva entidad), 191

L L'Ecuyer, 18 Lanczos,263 Law, A. M. y Kelton, W . D., 262 Límite central, teorem a, 80

ín d ice |

Lím ites de aceptación, 33 Línea de espera, 113 LOAD (cantidad), 196 Localizaciones, 3 ,6 Location, 249 Locations, 250 fich a, 143 Locations States Si ngle/Tank, fich a , 143 Locations States M ulti, fich a , 143 Locations Costing, 248 Log-logística,62 Log norm al, 6 2 ,8 9 Logs, 250 Longest U noccupied, 186 Longitud de la réplica, 109,110

M M/M/1 de líneas d e espera, 133 Massey, F. J., 261 M edia, 20 de los a leatorios entre 0 y 1,28 Método de com posición, 82 de convolución, 79 de la transform ada inversa, 72 de transform ación directa, 85 M odelo, 10,131 Modelos, 4 continuos, 4 de sim ulación, 113 determ inísticos,5 dinám icos, 5 discretos, 4 estáticos, 5 estocásticos, 5 probabilísticos,5 Módulo (M OD), 122 Most Available, 186 MOVE FOR, 208 (tiem po), 159 MOVE WITH, 208

N Normal, 56 estándar, 256 NORMINV, 114 Number of Replications, 141 Número de corridas, 39 Números pseudo aleatorios, 18

O Occurences, 139

P Par, 40 Paros en los equipos, 182 Path Networks, 134 Fériodo de v id a , 48 Fóisson, 5 5 ,5 7 ,8 9 ,2 6 4 Póker, 40 prueba, 40 Probabilidad esperada acum ulada, 61 distribuciones, 11 Probability, 186 Processing, 134 ProModel, 9 1 ,1 3 1,1 32 Propiedades de los núm eros pseudo aleatorios entre 0 y 1,28 Prueba chi-cuadrada, 3 4 ,5 6 ,5 7 de Anderson-Darling, 53,62 de corridas arriba y abajo, 37,39 de corridas arriba y abajo de la m edia, 38 de huecos, 46 de Kolm ogorov-Sm irnov, 3 5 ,3 6 ,5 9 de m edias, 31 de series, 43 de varianza, 31 póker, 40 de independencia, 37 Pruebas, 19 de uniform idad, 34 estadísticas para los núm eros pseudo aleatorios, 31 Pseudo aleatorios, 78 núm eros, 17,1 8 Pzas_tot=ENTRIES (prensa), 148

Q Qty Each, 139 Quantity, 186 Q uintilla, 40

R fe n d , 50 Random , 186 Recolección y análisis de datos, 11 Recursos, 4 ,1 7 5

269

¡ | índice

Referencias y ayuda, 133 Reglas d e ruteo, 185 Reloj de la sim ulación, 4 Replica o corrida, 6 Réplicas, 12,19 Reportes, 246 Residuo, 122 Resources, 134,252 Resultados, 132 RDUTE (bloque de ruteo), 204 Rule, 185 Run hours, 141

s Semilla, 20 Sensibilidad,análisis, 12 SIMAN, 124 SIMPROCESS, 125,126 Simrunner, 133 SIMSCRIPT, 124 Sim ulación, 1 ,2 ,9 de eventos discretos, 2 reloj, 4 Sim ulaciones no term inales o de estado estable, 109 term inales, 106 Sim ulation, 141 Sistema, 3 ,6 de inventarios, 121 estado del, 6 SLAM, 124 SPUT (cantidad) AS (nueva e ntid ad ), 201 SSED, 124 S ta f:: Fit, 5 3 ,6 7 ,9 1 ,1 3 2 Statistics, 69

T Tabla d e eventos, 113 Taylor, 125 Tchebycheff, teorem a, 110 Teorema del lím ite central, 8 0 Tercia, 40

270

Tools, 67 Transform ación directa, 53 Transformada inversa, 53 Transporte, 208 Triangular, 87 f-Student, 257

u UNGROUP, 192 Uniformidad, 19 UNLOAD (cantidad) IFF (expresión), 196 Until Full, 186 U serC ondition, 186

v O lid a c ió n , 12 O lo r exterm o tip o 1, 62 f r ia b le aleatoria, 54 de respuesta, 9 f r ia b le s , 6,253 aleatorias, 19 continuas, 55 discretas, 55 C r ia n z a , 20 de los núm eros aleatorios, 29 O rifica ció n , 11 y validación, 106 Visual Basic, C++, 125 VIEW, 152 "nombre de la vista" 153 View s, 152 O n Neumann y M etrópolis, 20

w WAIT, 141 (unidades de tiem p o), 141 W eibull, 56,88 Witness, 125,126

X X2, 8 8 ,2 5 8 ,2 5 9

Todos los días surgen nuevos y m ejores desarrollos en el área de la com puta­ ción, los cuales traen consigo innovaciones igualm ente im por-tantes en el te r­ reno de la tom a de decisiones y el diseño de procesos y productos. Una de las tecnologías que mayores perfeccionam ientos ha recibido p o r parte de la com putación es la simulación, concepto que engloba soluciones para m ú lti­ ples p ro p ó s ito s En este lib ro nos ocuparem os de la sim ulación de sistemas, q u e es la parte teórica basada en ecuaciones m atem áticas y estadísticas Este proceso con­ siste en relacionar los diferentes eventos que pueden cam biar el estado de un sistema bajo estudio, p o r m edio de distribu cion es de probabilidad y con­ diciones lógicas del problem a que se esté analizando. Al final del libro se in­ cluye un caso de estudio integrador. Como indica el títu lo, a lo largo del texto se describe el uso de un software comercial diseñado expresamente para la sim ulación: ProModel, del cual se in­ cluye una versión estudiantil en el CD que acompaña al libro.