Simulación y análisis de sistemas con ProModel, 2da Edición - E. García Dunna-FREELIBROS.ORG.pdf

Simulación y análisis de sistemas con ProModel

Simulación y análisis de sistemas con ProModel Segunda edición

Eduardo García Dunna Heriberto García Reyes Leopoldo E. Cárdenas Barrón Tecnológico de M onterrey

R e v is ió n t é c n ic a

Lu is Ernesto M ancilla Espinosa División de Estudios de Posgrado e Investigación Instituto Tecnológico d e León Victoria Á lv a re z U reña D epartam ento d e Ingeniería Industrial Centro Universitario d e Ciencias Exactas e Ingenierías - CUCEI Universidad d e Guadalajara Liliana Y adira C astellan o s Ló p ez D epartam ento d e Ingeniería Industrial Instituto Tecnológico Superior del Occidente del Estado d e Hidalgo

PEARSON

/

D ato s d e c a ta lo g a c ió n b ib lio g ráfica

G A R C ÍA DUNNA, ED U A RD O ; G A R C ÍA R E Y E S , H E R IB E R T O y C Á R D E N A S B A R R Ó N , L E O P O L D O E.

Simulación y análisis de sistemas con ProModel. S egunda edición P E A R S O N , M éx ico , 2 0 1 3 IS B N : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1 5 1 1 -4 A rea: In g en iería F o rm ato : 18.5 X 2 3 .5 c m

P ág inas: 360

Edición en español D irector E ducación Superior: M ario C ontreras Editor S ponsor:

Luis M iguel C ru z C astillo e-m ail: luis.cruz@ pearson.com

E ditor d e D esarro llo : Supervisor d e P ro d u cció n : G erente E ditorial Educación S uperior L atinoam érica:

B ernardino G u tiérrez H ernández R odrigo R om ero V illalobos M arisa d e A nta

SEG U N D A E D IC IÓ N , 2013 D.R. © 2013 p o r P earso n E ducación d e M éxico, S. A. d e C.V. A tlaco m u lco 500-5° Piso C o l. Industrial A toto, C.P. 53519 N au calp an d e Ju árez, E stad o d e M éxico e-m ail: ed ito rial.universidades@ pearsoned.com C ám ara N acional d e la Industria E ditorial M exicana. R eg. núm . 1031. R eservados todos los derechos. N i la to talid ad ni parte d e e sta p u b licación pueden reproducirse, registrarse o tran sm itir­ se, por un siste m a d e recuperación d e in fo rm ació n , e n ninguna fo rm a ni por ningún m edio, sea electrónico, m ecánico, fotoquím ico, m agnético o electro ó p tico , por fotocopia, g rab ació n o cu alq u ier o tro , sin perm iso previo por e sc rito d e los coeditores. El préstam o, alquiler o cu alq u ier o tra fo rm a d e cesió n d e uso d e e ste ejem p lar requerirá tam bién la autorización d e los coeditores o d e sus representantes.

ISBN versión impresa: 978-607-32-1511-4 ISBN E-Book: 978-607-32-1501-5 ISBN E-Chapter: 978-607-32-1502-2 Im preso en M éxico. P rinted in M éxico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12

PEARSON

www. pea rsonenes paño l.co m

Contenido

Introducción

Capítulo 1

Capítulo 2

ix CD-ROOM con ProM odel

x

Agradecim ientos

x

Principios b ásico s de la sim ulació n

1

1.1

Introducción a la sim ulación

2

1.2

D efiniciones de sim ulación

4

1.3

Ventajas y desventajas de la sim ulación

9

1.4

Elem entos clave para garantizar el éxito d e un m odelo de sim ulación

10

1.5

Pasos para realizar un estudio de sim ulación

12

1.6

Problem as

16

Referencias

20

N úm eros p seu d o aleato rio s

21

2.1

Los núm eros pseudoaleatorios

22

2.2

Generación d e núm eros pseudoaleatorios

22

22.1

Algoritm o d e cuadrados m ed ios

24

2 2 .2

Algoritm o d e productos m edios

25

2 2 .3

Algoritm o d e m ultiplicad or constante

26

2 2 .4

Algoritm o lin eal

27

2 2 .5

Algoritm o co ngruencial m ultip licativo

29

2 2 .6

Algoritm o co ngruencial aditivo

30

2 2 .7

Algoritm os congruenciales no lineales

31

2.3

Propiedades d e los núm eros pseudoaleatorios entre 0 y 1

32

2.4

Pruebas estadísticas para los núm eros pseudoaleatorios

34

24.1

Prueba d e m edias

35

2 4 .2

Prueba d e varianza

36

2 4 .3

Pruebas de uniform idad

38

2 4 .4

Pruebas de independencia

41

2.5

Problem as

52

Referencias

58

v

Variables aleato rias

59

3.1

Definición d e variab le aleatoria

60

3.2

Tipos d e variables aleatorias

60

3.3

D eterm inación del tip o de distribución de un conjunto d e datos

62

3.3.1

Prueba Chi-cuadrada

63

3.3.2

Prueba de Kolm ogorov-Sm irnov

65

3.3.3

Prueba de Anderson-Darling

68

3.3.4

Ajuste de datos con Stat::Fit

74

3.4

Generación d e variables aleatorias

78

3.4.1

M étodo d e la transform ada inversa

78

3.4.2

Métod o d e convoluc ión

86

3.4.3

M étodo d e com posición

89

3.4.4

M étodo d e transform ación directa

92

3.5

Expresiones com unes de algunos generadores d e variables aleatorias

93

3.6

Problem as

96

Referencias

112

Sim ulación de v aria b les aleato rias

113

4.1

Verificación y validación d e los m odelos de sim ulación

114

4.1.1

114

4.2

4.3

Sim ulaciones n o term in ales o de estado estable

117

4.2.1

117

Longitud d e las réplicas

M odelos de sim ulación

121

4.3.1

M odelo d e una línea d e espera con un servidor

122

4.3.2

M odelo d e un proceso de ensam ble e inspección

126

4.3.3 4 .4

Sim ulacio nes term inales

M odelo d e un sistem a de inventarios

Selección de lenguajes de sim ulación

130 134

4.5

Caso d e estudio 1

135

4.6

Caso d e estudio 2

137

4.7

Problem as

138

Sim ulación con ProM odel

151

5.1

Introducción al uso de ProModel

152

5.2

Elem entos básicos

152

5.3

Estructura de program ación en ProM odel

153

C o n te n id o |

5.4

Capítulo 6

Anexo 1

Construcción d e un m odelo

153

5.4.1

M odelo M/M/1 de líneas d e espera

153

5.4.2

M ejoram iento visual del m od elo

166

5.4.3

M odelado d e un sistem a que incluye m ás de un proceso

175

5.4.4

Inclusión d e gráficos d e fo n d o en el m odelo

183

5.5

Arribos cíclicos

186

5.6

Caso integrador

190

5.7

Problem as

192

Instrucciones de ProM odel

201

6.1

Uso d e la biblioteca de funcio nes probabilísticas

202

6.2

Recursos

207

6.3

Paros en los equipos

212

6.4

Reglas d e ruteo

220

6.5

Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de piezas

225

6.6

Transporte entre estaciones

241

6.7

Instrucciones de control

252

6.8

Optim ización con Sim runner

257

Introducción

257

Sim Runner

258

6.9

Caso integrador 1

269

6.10

Caso integrador 2

271

6.11

Problem as

277

D istribucio n es de p ro babilidad

295

A.1

D istribuciones continuas

296

A.2

D istribuciones discretas

305

Anexo 2

Reportes estad ístico s en ProM odel (form ato View er 2.0)

311

Anexo 3

Reportes estad ístico s en ProM odel

321

Anexo 4

D istribucio n es de p ro babilidad

331

vii

Introducción

La sim ulación es una form a de estudiar los procesos aleatorios, los cuales se encuentran p rácticam ente en todas las operaciones d e sistem as de producción y servicios. Aprender a m odelar con sim ulación estocástica discreta es un reto dem andante, principalm ente por la com plejidad del tem a y porque el proceso de sim ulación y el análisis d e los resul­ tado s requieren d e un razonable conocim iento de probabilidad, estadística y co m pu­ tación. La experiencia nos ha m ostrado que estos tem as son difíciles de dom inar, y desafortunadam ente la m ayoría d e los estudiantes no se sienten cóm odos al trab ajar con ellos. En este texto presentam os los conceptos de la m odelación d e los procesos estocásticos, el análisis estadístico de la inform ación y la relación d e éstos con la sim ulación estocástica discreta, utilizando com o herram ienta el program a ProModel. ProM odel y su ento rno con el usuario fueron desarrollados específicam ente para sim p lificar la interac­ ción entre el estudiante y la com putadora. ProM odel es una poderosa herram ienta de análisis que, sin em bargo, es fácil de usar. Para un m ejo r m an e jo d e los tem as, el lib ro se ha d ivid id o en seis capítulo s. El c a p í­ tu lo 1 establece los conceptos básicos relacionados con un proyecto d e sim ulación, e in clu ye una introducción a la técnica y la m etodología para su desarrollo. El capítulo 2 presenta los núm eros aleatorios, base d e los m odelos estocásticos, sus propiedades, m anejo y generación, así com o todos los requerim ientos para ser considerados com o tales. Tam bién se han agregado m ás problem as y fó rm ulas d e generación d e núm eros pseudoaleatorios, com o son los m étodos M IN STD y Super-Duper. El capítulo 3 ofrece los conceptos de pruebas de bondad de ajuste, para determ inar la distribución de probabilidad asociada a las variables de decisión y eventos en el siste­ ma a modelar, para con ello generar variables aleatorias que puedan ser usadas durante la sim ulación. Este capítulo incorpora el uso d e la herram ienta Stat:Fit, que se incluye ju n to en el CD que acom paña este libro, la cual p erm ite determ inar autom áticam ente la distribución de probabilidad d e las variables y eventos a m o d elar en el sistem a; co n este fin se han m odificado m uchos d e los problem as, para poder ser analizados con Stat:Fit, tam bién se ha agregado una gran cantidad de p ro blem as que involucran la generación d e variables aleatorias con el m étodo de la transform ada inversa. El capítulo 4 m aneja los conceptos d e validación y análisis d e los m odelos de sim u ­ lació n ; y presenta al fin al del capítulo ejem p lo s de sim ulación M onteCarlo, desarrollados en hojas de cálculo, sobre líneas de espera, procesos de ensam ble y sistem as de inventa­ rios, con la esperanza de que el lecto r sea capaz d e realizar m odelos sim ples usando una hoja de cálculo. Se han agregado dos casos d e estudio: en el prim ero se requiere de la optim ización d e un sistem a d e producción, y el seg u n d o es sobre el d iseño de un s is te ­ m a de m uestreo. A dicionalm ente se ha agregado m ás del d o b le d e problem as que en la versión anterior.

| In tro d u cció n

□ c a p ítu lo 5 p re se n ta las caracte rísticas y b o n d ad es d e P ro M o del a tra v é s de e jem p lo s que guían al usuario en la construcción de los m odelos. El capítulo 6 , por su parte, cub re elem entos m ás com plejos de program ación que le perm itirán am p liar las capacidades d e m odelación. En estos capítulo s se han agregado nuevos conceptos de program ación, específicam ente aquellos que tienen que ver con arribos cíclicos, la crea­ ción de fu n cio n es d e usuario, el uso d e la program ación de paros por turnos, el m anejo de m ateriales usando grúas viajeras, ejem plos d e instrucciones d e control del tipo IF-THEN-ELSE, WHILE-DO, entre otros, y el uso de la herram ienta Sim Runner que perm ite la optim ización de los m odelos desarrollados con ProModel. En estos capítulo s se han agregado casos integradores y m ayo r cantidad d e ejercicios para fo rtalecer el aprendizaje. Finalm ente, el nuevo apéndice describe el significado de los resultados obtenidos en los repo rtes con la nueva versión O utput View er 4 .0 de ProM odel.

CD-ROOM con ProM odel Es im p o rtan te d estacar que el CD-ROM que se incluye con el libro contiene la versión estudiantil m ás reciente de ProM odel con to das las fu n cio n es de la versión profesional. La única restricción es en cuanto al tam añ o d e los m odelos que pueden construirse.

A gradecim ientos A gradecem os a las personas e institucio nes que han hecho posible la publicación d e esta segunda edición. A nuestros estudiantes, quienes con sus com entarios nos han perm itido agregar nuevo m aterial y corregir detalles que se nos escaparon en la prim era edición. Al departam ento de Ingeniería Industrial y de Sistem as del ITESM Cam pus M onterrey por el tiem p o que nos dieron para que este lib ro llegara a ser realidad. Q uerem os agradecer a ProM odel por perm itirnos incluir su softw are, y en especial a D aniel Villarreal Parás por su apoyo constante e incondicional para lograrlo. Finalm ente, agradecem os al equipo ed ito ­ rial d e Pearson por creer en nosotros, especialm ente a Luis Cruz Castillo y Óscar Ortega, co n quienes hem os trab ajad o durante estos últim os años. Eduardo G arcía D unna

x

1.1

Introducción a la sim ulación

1.2

D efiniciones d e sim ulación

1.3

Ventajas y desventajas d e la sim ulación

1.4

Elem entos clave para garantizar el éxito de un m odelo d e sim ulación

1.5 1.6

Pasos para realizar un estudio d e sim ulación Problem as Referencias

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

1.1 Introducción a la sim ulación La creación de nuevos y m ejo res desarrollos en el área d e la com putación ha traído co n­ sigo innovaciones m u y im portantes tanto en la tom a d e decisiones com o en el diseño de procesos y productos. Una d e las técn icas para realizar estudios piloto, con resultados rápidos y a un relativo b ajo costo, se basa en la m odelación — la cual se conoce com o sim ulación— que se ha visto beneficiada por estos avances. A ctualm ente, el analista que desea h ace r uso d e esta herram ien ta d isp o n e d e una gran cantidad d e so ftw are d e sim ulación que le p erm ite to m a r decisio nes en tem as m uy diversos. Por ejem p lo , en ap licacio n es dond e se usan len g u ajes d e program ación g eneral co m o Fo rtran, para analizar esq uem as d e ad m inistració n del in ve n tario ,111 en a p lica cio n e s para a n alizar y m e jo ra r la ad m in istració n d e la cad e n a d e su m in istro ,1121 en análisis y valid ació n de m ed idas de d esem p eñ o en sistem as de m an u factu ra / 31 en aplicacio nes d e m ejo ras m ed ian te d esp lieg u es seis sig m a ,141 o en procesos de ca p a cita ­ ción a través de la sim ulación com o herram ien ta b ase .151 Sin duda, la fle xib ilid a d en cu an to a la m o delació n, el análisis y el m ejo ram ien to d e sistem as ha h e ch o d e la sim u ­ lación una h erram ien ta cu y o uso y desarro llo se han visto alentad os d e m anera sig n ifi­ cativa. En la actualidad resulta fá cil en co n trar p aq uetes d e so ftw a re con gran capacidad de análisis, a sí co m o m ejo res an im acio n es (2D y 3D) y ap licacio n es para generació n de repo rtes con inform ación relevan te para la tom a de d ecisio nes. En g eneral, dichos p aq uetes — ya sea orientados a procesos, a servicio s, o d e ín d o le general— nos p ro ­ veen d e una eno rm e diversidad d e h erram ien tas estadísticas que p erm iten tan to un m anejo m ás eficien te de la info rm ación relevan te b ajo análisis com o una m ejo r p re se n ­ tación e in terpretació n. El concepto d e sim ulación engloba soluciones para m uchos propósitos diferentes. Por ejem plo, podríam os decir q u e el m o d elo d e un avión a escala que se introduce a una cám ara por dond e se hace pasar un flu jo d e aire, puede sim ular los efectos que exp eri­ m entará un avión real cuando se vea som etido a turbulen cia. Por otro lado, algunos paquetes perm iten hacer la representación de un proceso de fresado o torneado: una vez que el usuario establezca ciertas condiciones iniciales, podrá ve r cóm o se llevaría a cabo el proceso real, lo q u e le d a la posibilidad d e revisarlo sin necesidad d e desperdiciar m ate ­ rial ni poner en riesgo la m aquinaria. Por lo tanto, la sim ulación se refiere a un gran conjunto de m étodos y aplicaciones que buscan im itar el co m portam iento de sistem as reales, generalm ente por m edio de una com putadora con un softw are apropiado. Existen distintos m od elo s de sim ulación que p erm iten representar situacio nes rea­ les d e diferentes tipos. Podem os ten e r m odelos físico s — co m o el del avión q u e m en cio ­ nam o s en el párrafo anterior— o m odelos m atem áticos, a los cu ale s pertenecen los m odelos d e sim ulación d e evento s discretos. Asim ism o, los m odelos pueden diferenciar­ se según el tip o d e ecuacio n es m atem áticas que los com ponen. Por ejem p lo , los m o d e­ lo s co ntinu o s son aquello s en los que las relaciones entre las variables relevantes d e la situación real se definen por m edio d e ecuaciones diferenciales, ya que éstas perm iten co n o cer el co m po rtam iento d e las variab les en cierto tiem po. Problem as tales com o saber d e qué m anera se tran sfiere el calor en un m olde, o determ inar có m o flu ye cierto m aterial dentro d e una tub ería, e incluso p rever el co m p o rtam ien to del nivel d e un tan2

1.1 In tro d u c c ió n a la sim ulación \~ \

que d e gasolina al paso del tiem po, m ientras el veh ículo está en m archa, pueden sim u­ larse con este tip o d e m odelo. Adem ás de m odelos co ntinuo s tenem o s m o d elo s discretos. En ellos el co m p o r­ tam ie n to qu e nos in teresa an alizar puede rep resentarse por m e d io de ecu acio n es e va ­ luadas en un p u n to determ inado . Por ejem p lo , si hacem os un m u e streo del n ú m e ro de personas qu e llegaron a un b anco en un lapso específico , podem os sim u lar esta variab le con ecu acio n es lig ad as a d istrib u cio n es d e probabilidad que reflejen dich o co m po rtam iento . Otro tip o de clasificación es el d e los m odelos dinám icos o estáticos. Los m odelos dinám ico s son aquellos en los que el estado del sistem a que estam os analizando cam bia respecto del tiem po. Por ejem plo, el núm ero de personas que hacen fila para entrar a una sala d e cine varía con el tiem po. Por otro lado, los m odelos estático s representan un resultado b ajo un conjunto d e situaciones o condiciones determ inado; por ejem plo, al lanzar un dado los únicos valores que se puede obtener son 1, 2, 3, 4, 5 o 6 , d e manera que el resultado d e la sim ulación será uno de tales valores po sibles; a esto se le conoce generalm ente com o sim ulación de M onte Cario. Por últim o, podem os hablar d e m odelos determ inístico s y m odelos probabilísticos, llam ados tam bién estocásticos. Los prim eros se refieren a relaciones constantes entre los cam b io s de las variables del m odelo. Por ejem plo, si las cajas em p lead as en un proceso contienen siem pre 5 productos, cada vez que se añada una caja al inventario éste se increm entará en 5 unidades. Si, por el contrario, hay una distribución de probabilidad en el proceso de m anera que, por ejem plo, algunas cajas contienen 3 productos y otras 4 , el inventario se m odificará según el núm ero d e piezas de cada caja y, en consecuencia, será necesario un m odelo estocástico. En el caso d e la sim ulación de eventos discretos hablarem os d e m odelos m atem áticos, discretos, dinám icos, y que pueden incluir varia­ b les determ m ísticas y probabilísticas. En este libro nos ocuparem os del proceso que se basa en el uso d e ecuaciones m ate ­ m áticas y estadísticas, conocido com o sim ulación de even to s discretos. Este proceso consiste en relacionar los diferentes eventos que pueden cam b iar el estado d e un sistem a bajo estudio por m ed io d e d istrib uciones d e probabilidad y condiciones lógicas del pro­ blem a que se esté analizando. Por ejem plo, un proceso de inspección donde sabem os estadísticam ente que 0 . 2 % d e los productos tien e algún tip o d e defecto, puede sim ularse co n facilidad m ediante una sim p le hoja d e cálculo, al co nsid erar estadísticas d e rechazos y productos sin defecto, y al asignar una distribución de probabilidad con 0 . 2 % de opor­ tunidad de defecto para cada intento de inspección. En este capítulo abordarem os las definiciones básicas de los conceptos de la sim ula­ ción d e eventos discretos. En el capítulo 2 se presentarán algunos otros elem entos re le ­ vantes, co m o los núm eros pseudoaleatorios y las pruebas estadísticas necesarias para co m probar esta aleatoriedad, la generación de variables aleatorias, y la caracterización de algunas distribuciones de probabilidad de uso com ún en la sim ulación. El capítulo 3 m uestra cóm o usar estos núm eros pseudoaleatorios para m odelar sistem as, y una vez que sepam os utilizarlos podrem os realizar una sim ulación sencilla con la ayuda de una hoja d e cálculo. En el cap ítu lo 4 se presenta sim ulación d e variables aleatorias. En el resto d e los capítulo s describirem os el uso del softw are com ercial ProM odel, del cual incluim os una versión lim itada. 3

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

1.2 D efiniciones d e sim ulación Para poder realizar un buen estudio de sim ulación es necesario entender los conceptos básicos que com ponen nuestro m odelo. Com enzarem os por d efin ir e l concepto de sim ulación de even to s discretos com o el conjunto d e relaciones lógicas, m atem áticas y probabilísticas q u e integran el com porta ­ m iento d e un sistem a b a jo estudio cuando s e presenta un evento determ inado. El objetivo d e l m odelo d e sim ulación consiste, precisam ente, en com prender, analizar y m ejorar las condiciones d e operación relevantes del sistem a. En la definición anterior encontram os elem entos co m o sistem a, m odelo y evento, de los que se desprenden otros conceptos im portantes dentro de una sim ulación. A conti­ nuación abundarem os en cada uno. La definición básica de sistem a nos dice que se trata de un conjunto d e elem entos q u e s e interrelacionan para funcionar com o un to d o ; desde el p u n to de vista d e la sim ulación, tales elem entos deben ten e r una frontera clara. Por ejem plo, podem os hablar del sistem a de atención a clientes en un banco, del sistem a d e inventarios d e una em presa, o del sistem a d e atención en la sala d e em ergencia d e un hospital. Cada uno p u e d e dividirse en elem entos que son relevantes para la construcción de lo que será su m odelo de sim u­ lació n ; entre ellos tenem os entidades, estado del sistem a, eventos a ctu ales y futuros, localizaciones, recursos, atributos, variables, y el relo j de la sim ulación, los cuales a continuación se describen: Una entidad por lo general es la representación délos flujos d e entrada y salida en un siste­ m a; al entrar a un sistema una entidad es el elemento responsable de que el estado del sis­ tem a cam bie. Ejem plos de entidades pueden ser; los clientes que llegan a la caja de un banco, las piezas que llegan a un proceso, o el embarque de piezas que llega a un inventario. El estado del sistem a es la condición q u e guarda e l sistem a b a jo estu dio en un m om ento d e tiem po determ in ado; es com o una fotografía d e lo que está pasando en el sistem a en cierto instante. El estado del sistem a se co m po ne d e variab les o característi­ cas d e operación pun tu ales (digam os el núm ero d e piezas que hay en el sistem a en ese m om ento), y d e variables o características d e operación acum uladas, o prom edio (com o podría ser el tiem p o prom edio d e perm anencia d e una entidad en el sistem a, en una fila, alm acén o equipo). Un evento es un cam bio en el estado actual del sistem a; por ejemplo, la entrada o salida d e una entid ad, la fin alizació n d e un proceso en un equipo, la interrup ció n o re a ctiva ­ ción d e una operación (d ig am o s por un d escan so del operario ), o la d esco m p o stura de una m áquina. Podem os catalogar estos eventos en dos tipos: eventos actuales, aquellos que están sucediendo en el sistem a en un m om ento dado, y eventos futuros, cam bios que se presentarán en el sistema después del tiem po de simulación, de acuerdo con una pro­ gram ación específica. Por ejemplo, im agine que cierta pieza entra a una máquina para que ésta realice un proceso. El evento actual sería precisamente que la entidad llamada "pieza" se encuentra en la m áquina. El evento futuro podría ser el m om ento en que la máquina concluirá su trabajo con la pieza y ésta seguirá su cam ino hacia el siguiente proceso lógico, d e acuerdo con la program ación: alm acenam iento, inspección o entrada a otra m áquina. Para ilustrar con m ayor claridad estas definiciones veam os la siguiente figura. 4

1.2 D e fin icio n es de sim u lació n |~1

RELOJ H R :0 0 M IN:05 E ven to futuro: lleg a d a d e entidad "pieza" a la tarim a, H R: 0 0 M IN: 07

En tid ad "pieza"

Evento a ctu al: e n tid a d "pieza" en p ro ceso en e sta c ió n . Inicio HR 00 MIN 0 3 . D u ració n 3 m in .

F ig u ra 1.1 R ep resentación d e co n c e p to s de sim u lació n .

Estados del sistem a: 2 e n tid a d e s "pieza" en la ta rim a .

A dicional a la figura 1.1 podem os ilustrar los cam bios en el estado del sistem a de m anera tab ular y la m anera en que va cam b iand o con cada evento en el tiem po. Si bien es cierto que en un m odelo real se puede considerar una gran variedad de estadísticas, com o podría ser el tiem p o d e perm anencia en el sistem a, el tiem p o que pasa entre esta­ ciones, el tiem p o d e procesos y el prom edio de piezas. Cada una d e estas estadísticas se vu elve a calcular hasta que un nuevo evento altera el estado del sistem a actual; de aquí la im portancia de identificar este tip o d e sim ulación com o eventos discretos. Esta rep re­ sentación se m uestra en la siguiente tabla, la cual sólo considera el núm ero d e entidades en el sistem a, en un m odelo real am bas tablas contendrían m ás inform ación.

Historia de la simulación

Tabla de eventos futuros Reloj

Evento futuro

Estatus

00:02

Llegada pieza

Realizado

00:03

Mover pieza a estación

Realizado

00:04

Llegada de la pieza

Realizado

00:05

Llegada de la pieza

Realizado

00:06

Fin de proceso estación

En espera

00:07

Llegada de la pieza

En espera

Reloj

Evento

Estado tarima

Estado estación

00:00

Inicio de simulación

0 piezas

0 piezas

00:02

Llegada de pieza

1 pieza

0 piezas

00:03

Pieza en estación

0 piezas

1 pieza

00:04

Llegada de pieza

1 pieza

1 pieza

00:05

Llegada de pieza

2 piezas

1 pieza

RELOJ H R :0 0 MIN 05

Tabla 1.1 Relación eventos y estado del sistema. 5

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

Adem ás del esquem a transaccional (pieza en tarim a -> pieza en estación) que se presenta en un m o d elo de sim ulación, es necesario considerar algunos otros elem entos que tam b ién form an p arte de este tip o d e m odelaciones. A continuación describirem os algunos de ellos. Las lo calizaciones son todos aquellos lugares en los q u e la pieza p u ed e detenerse para se r transform ada o esperar a serlo. D entro d e estas localizaciones tenem os alm acenes, b and as transportadoras, m áquinas, estaciones d e inspección, etcétera. En el caso del gráfico m ostrado en la figura 1.1 la tarim a y la estación serían consideradas localizaciones del m odelo. O bserve que en el caso d e la estación una sola localización puede ser rep re­ sentada gráficam ente por varias figuras. En la estación observam os una m esa y a una persona que en conjunto form an una sola localización. En térm ino s d e sim ulación algu­ nos p aq uetes perm iten la anim ación d e lo que se program ó. En estos p aq uetes la rep re­ sentación iconográfica es sólo para aspectos visuales y n o le resta o agrega potencia al m odelo. Es decir, podríam os h ab er co locado una casa en lugar de la estación con m esa y operador y el m o d elo nos hubiese dado el m ism o resultado. Los recu rso s son aquellos dispositivos — diferentes a las localizaciones— necesarios para llevara cabo una operación. Por ejem plo, un m ontacarg as que transporta una pieza de un lugar a otro: una persona que realiza la inspección en una estación y tom a turnos para descansar; una herram ienta necesaria para realizar un proceso p ero que no form a parte de una localización específica, sino que es trasladada d e acuerdo con los requeri­ m ientos de aquel. Un atributo es una característica d e una entidad. Por ejem plo, si la entidad es un motor, los atributos serían su color, peso, tam año o cilindraje. Los atributos son m u y útiles para diferenciar entidades sin necesidad de generar una nueva, y pueden adjudicarse al m om ento de la creación de la entidad, o asignarse y/o cam b iarse durante el proceso. Com o indica su nom bre, las varia b les son condiciones cuyos valores s e crean y m od i­ fican p o r m edio d e ecuaciones m atem áticas y relaciones lógicas. Pueden ser continuas (por ejem plo, el costo prom edio de operación d e un sistem a) o discretas (com o el núm ero de unidad es que deberá envasarse en un contenedor). Las variables son m u y útiles para realizar conteos d e piezas y ciclos de operación, así com o para determ inar características d e operación del sistem a. El reloj de la sim ulación es el contador de tiem po d e la sim ulación, y su función consiste en responder preguntas tales com o cuánto tiem po se ha utilizado el modelo en la sim ula­ ción, y cuánto tiem po en total se quiere que dure esta última. En general, el reloj d e sim u­ lación se relaciona con la tabla de eventos futuros, pues al cum plirse el tiem po programado para la realización de un evento futuro, éste se convierte en un evento actual. Regresando al ejem plo de la figura 1. 1, cuando el tiem po de proceso se cum pla, la pieza seguirá su cam ino hasta su siguiente localización, si ésta es la última del sistema lo m ás probable es que su siguiente proceso sea salir del sistem a; el reloj simula precisam ente ese tiem po. Podem os hablar d e dos tipos d e reloj de sim ulación: el reloj de sim ulación ab so lu ­ to, que p arte de cero y term ina en un tiem p o total d e sim ulación definido, y el relo j de sim ulación relativo, que sólo considera el lapso que transcurre entre dos eventos. Por ejem plo, podem os d e cir que el tiem p o de pro ceso de una pieza es relativo, m ientras que el absoluto sería el tiem p o global de la sim ulación: desde que la pieza entró a ser pro ce­ sada hasta el m om ento en el que term in ó su proceso. 6

1.2 D efinicion es de sim ulación |~1

Ejem plo 1.1 Un taller recibe ciertas piezas, m ism as que son acum uladas en un alm acén tem p o ral en dond e esperan a se r procesadas. Esto ocurre cu an d o un operario transpo rta las piezas del alm acén a u n torno. Desarrolle un m odelo que incluya el núm ero de piezas que hay en el alm acén y que esperan ser atendidas en todo m om ento, y el núm ero de piezas pro­ cesadas en el torno. En la sig uiente figura podem os o bservar có m o se vería un m o d elo d e sim ulación para este ejem plo.

pr P iezas e n alm acén

Piezas procesadas

Torno A lm acén

♦ Figura 1.2 M odelo de sim u lació n para el e je m p lo 1 . 1 .

En este ejem p lo podem os identificar algunos d e los elem ento s que participan en un m odelo de sim ulación, d e acuerdo con las definiciones que hem os com entado: Sistem a: En este caso, el sistem a está conform ado por el conjunto d e elem entos interrelacionados para el funcio nam iento del proceso: las piezas, el alm acén tem poral, el opera­ rio, el torno. En tid ad es: En este m odelo sólo tenem o s una entid ad; las piezas, que representan los flu jo s de entrada al sistem a del problem a b ajo análisis. Estad o del sistem a: Podem os observar que cuando llevam os 1 hora 10 m inutos d e sim u ­ lación (vea el extrem o superior derecho de la figura) en el alm acén se encuentran 9 piezas esperando a ser procesadas; el operario está transpo rtando una pieza m ás para procesar­ la en el torno. E l torno, por lo tanto, no está trab ajan d o en ese m om ento, aunque ya ha procesado 4 piezas. A d icional a estos datos, podem os llevar un co ntro l d e otras estadísti­ cas relacionadas con el estado del sistem a, com o el tiem p o prom edio de perm anencia de las piezas en los estantes del alm acén tem p oral o en el sistem a global. 7

|- |

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

Eventos: Entre otros, podríam os considerar com o eventos de este sistem a el tiem po de descanso del operario o la salida de una pieza tras ser procesada por el torno. Adem ás es posible identificar un evento futuro: la llegada de la siguiente pieza al sistem a (tendríam os m ás eventos de este tip o respecto de las piezas que esperan a que el operario las tome). Localizacion es: En este caso tenem o s el alm acén al que deberán llegar las piezas y en el que esperarán a ser procesadas, a sí com o el to rn o en dond e esto ocurrirá. Recursos: En este m odelo, un recurso e s el operario que transporta las piezas del alm a­ cén al torno. A trib uto s: D igam os que (au nque n o se m enciona en el ejem plo) las piezas pueden ser d e tre s tam años diferentes. En este caso, un atributo llam ado tam año podría agregarse a la inform ación de cada pieza que llega al sistem a, para m ás adelante seleccionar el tipo d e operación que deberá realizarse y el tiem p o necesario para llevarla a cabo d e acuerdo con dich o atributo. V ariables: Tenem os dos variables definidas en este caso: el núm ero de piezas en el alm a­ cén y el núm ero d e piezas procesadas en el torno. R eloj de la sim ulación: Com o se puede ver en la esquina superior derecha d e la figura 1.2, en este m o m ento la sim ulación lleva 1 hora 10 m inutos. El reloj de la sim ulación co n­ tinuará avanzando hasta el m om ento que se haya establecido para el térm in o de la sim u ­ lación, o hasta que se cum pla una condición lógica para detenerla, por ejem plo, el núm ero d e piezas que se desean simular. Otro concepto im po rtante que vale la pena d efin ir es el d e réplica o corrida de la sim ulación. Cuando ejecutam os el m o d elo una vez, los valores que obtenem os de las variables y parám etros al fin al del tiem p o de sim ulación generalm ente serán distintos de los que se producirán si lo vo lvem o s a correr con diferentes núm eros pseudoaleatorios. Por lo tanto, es necesario efectuar m ás d e una réplica del m odelo que se esté analizando, con la finalidad d e obtener estadísticas d e intervalo que nos den una m ejo r ubicación del verdadero valo r d e la variable b ajo los d iferentes escenarios que se presentan al m odificar los núm eros pseudoaleatorios en cada oportunidad. De esta m anera, la pregunta clave es: ¿cuánto tiem p o se deb e sim ular un m odelo para obtener resultados confiables? En general, podem os decir que to das las variables que se obtienen en térm ino s de prom edios presentan dos diferentes etapas: un estado tran sito rio y un estado estable. El prim ero se presenta al p rin cip io de la sim ulación; por ejem plo, en el arranque d e una planta, cuan do no tien e m aterial en proceso: el últim o de los procesos estará inactivo hasta que el prim er cliente llegue, y si el tiem p o d e sim ula­ ción es bajo, su im pacto sobre la utilización prom edio d e este proceso será m u y alto, lo cual no ocurriría si el m odelo se sim ulara lo suficiente para lograr una com pensación. En el estado transitorio hay m ucha variación entre los valores prom edio de las variables de decisión del m odelo, por lo que fo rm ular conclusiones con base en ellos sería m u y arries­ gado, toda vez que difícilm ente nos darían una representación fiel d e la realidad. 8

1.3 Ventajas y desventajas de la sim ulación |

Por otro lado, en el estado estab le los valo res d e las variab les d e decisión p erm a­ necen m u y estables, y presentan sólo variacio nes poco sig nificativas. En este m om ento las d ecisio n es q u e se tom en serán m ucho m ás confiables. Sin em bargo, n o to das las variab les convergen al estado estab le con la m ism a rapidez: algunas pasan con m ás lentitud qu e otras d e un estado transitorio a uno estable. Es responsabilidad del analista verificar q u e las variables d e decisión del m o d elo se encuentren en estado estable antes d e d e ten er el tiem p o d e la sim ulación (vea la figura 1.3). Otro facto r im po rtante para decidir el tiem p o d e sim ulación es el co sto de la corrida. M ayor tiem p o de sim ulación requiere m ás tiem p o com putacional, lo cual im plica, n ece­ sariam ente, un costo m ás alto. Por supuesto, la situación em peora si a esto le agregam os que en algunos casos es preciso efectuar m ás d e tre s réplicas.

Figura 1.3 G rá fica de estab iliza ció n de una va riab le.

1.3 V entajas y d esv e n ta ja s d e la sim ulación Com o hem os visto hasta ahora, la sim ulación es una d e las diversas herram ientas con las que cuenta el analista para to m ar decisiones y m ejorar sus procesos. Sin em bargo, se d eb e destacar que, com o to das las dem ás opciones de que disponem os, la sim ulación de eventos discretos presenta ventajas y desventajas que se precisa to m ar en cuenta al d eci­ dir si es apta para resolver un problem a determ inado. D entro d e las ventajas m ás com unes que ofrece la sim ulación podem os citar las siguientes: a) Es m u y buena herram ienta para conocer el im p acto d e los cam b io s en los pro ce­ sos, sin necesidad d e llevarlos a cabo en la realidad. b ) M ejora el conocim iento del proceso actual ya que perm ite que el analista vea cóm o se com porta el m o d elo generado b ajo diferentes escenarios. c) Puede utilizarse co m o m ed io d e capacitación para la tom a d e decisiones. d) Es m ás económ ico realizar un estudio d e sim ulación que hacer m uchos cam bios en los procesos reales. 9

|- |

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

e)

Perm ite probar varios escenarios en busca d e las m ejo res co nd icio nes de trabajo

de los procesos que se sim ulan. f ) En problem as d e gran com plejidad, la sim ulación perm ite generar una buena solución. g) En la actualidad los paquetes d e softw are para sim ulación tiend en a ser m ás sen­ cillos, lo que facilita su aplicación. h) Gracias a las herram ientas de animación que form an parte de m uchos de esos paquetes es posible ver cóm o se comportará un proceso una vez que sea mejorado. Éstas son algunas de las desventajas que la sim ulación puede presentar: a) Aunque m uchos paquetes de softw are perm iten obtener el m e jo r escenario a partir de una com binación de variaciones posibles, la sim ulación n o es una herra­ m ienta de optim ización. b) La sim ulación puede ser costosa cuando se quiere em plearla en problem as rela­ tivam ente sencillos de resolver, en lugar de utilizar soluciones analíticas que se han desarrollado de m anera específica para ese tip o de casos. c) Se requiere bastante tiem po — p o r lo general m eses— para realizar un buen estudio d e sim ulació n; por desgracia, no todos los analistas tienen la disposición (o la oportunidad) d e esp erar ese tiem p o para obtener una respuesta. d) Es preciso que el analista dom ine el uso del paq uete d e sim ulación y que tenga sólidos conocim ientos d e estadística para interpretar los resultados. é)

En algunas ocasiones el cliente puede tener falsas expectativas de la herram ienta de sim ulación, a tal grado que le asocia condiciones sim ilares a un video ju e g o o a una bola d e cristal que le p erm ite pred ecir con exactitud el futuro.

1.4 Elem entos clave para g aran tizar el éxito de un m odelo d e sim ulación Pese a los b eneficios que conlleva la sim ulación, es im po sible garantizar que un m odelo tendrá éxito. Existen ciertas condiciones clave que pueden traer problem as si no se les pone atención al m o m ento d e usar la sim ulación para la tom a de decisiones. A co n tin u a­ ción destacarem os algunas d e las causas por las que un m odelo d e sim ulación podría no ten e r los resultados que se desean. Tam año insuficiente de la corrida. Com o se m en cio nó antes, para poder llegar a co n­ clusiones estadísticas válidas a p a rtir de los m odelos de sim ulación es necesario que las variables aleatorias de respuesta se encuentren en estado estable. El problem a estriba en que, por lo general, cu an d o el m odelo consta d e m ás de una variable de decisión, es difícil que éstas alcancen un estado estable al m ism o tiem po: es posible que una se encu en tre estable y la otra no en un m o m ento determ inado, por lo que las conclusiones respecto de la segunda variable no serán confiables en cuanto a la estadística. Variable(s) de resp u esta m al definida(s). Aun cuando el m o d elo d e sim ulación sea m uy eficiente y represente en gran m edida la realidad, si la variab le de respuesta seleccionada 10

1.4 Elem entos clave para garantiza r el é xito de u n m o d e lo de sim ulación |~ j

n o es la apropiada, será im po sible to m ar decisiones que tengan im p acto en la operación del sistem a b ajo estudio. Por ejem plo, digam os que una variable de respuesta es el nivel de inventarios de cierto producto, sin em bargo, la política d e la em presa establece que no se debe parar ninguno d e los procesos de fabricación. En consecuencia, el problem a no será el inventa­ rio final, sino el ritm o de producción necesario para que aquel cum pla con los requeri­ m ientos de diseño que se desean. Erro res al estab lecer la s relacio n es entre la s v aria b les aleato rias. Un error com ún de program ación es olvidar las relaciones lógicas que existen entre las variab les aleatorias del m odelo, o m in im izar su im pacto. Si una de estas variab les n o está definida de m anera correcta, es posible tener un m o d elo que se apegue a la realidad actual; sin em bargo, si el sistem a no se lleva hasta su m áxim a capacidad para o bservar su com portam iento, podría resultar im posible visualizar el verdadero im p acto d e las deficiencias. Erro res al d eterm in ar el tipo de distribución asociado a la s variab les a le ato ria s del m odelo. Este tip o de problem a es m u y sim ilar al anterior, pero en este caso se utilizan d istrib uciones que no son las m ás adecuadas o que responden únicam ente a un intento d e sim plificar los estudios estadísticos. Digam os, por ejem plo, que se nos dan los siguien­ tes parám etros d e producción aproxim ados: m ínim o 10, m áxim o 40, y prom edio 30. En esta circunstancia la tentación de sim p lificar el estudio d e la variab le asignándole una distribución triang u lar con parám etros (10, 30, 40) es m u y gran de; no obstante, hacerlo afectaría d e m anera im po rtante los resultados de la sim ulación, pues el m odelo podría alejarse de lo que sucede en la realidad. Falta de un an á lisis estadístico de lo s resultad o s. Un problem a com ún por el que la sim ulación su ele ser objeto d e crítica, radica en asum ir que se trata d e una herram ienta d e optim ización. Esta apreciación es incorrecta, ya que involucra variables aleatorias y características propias d e un m o d elo que incluye probabilidades. Por lo m ism o — com o se ap un tó antes— , es necesario realizar varias corridas a fin de p ro du cir diferentes resul­ tado s finales para las variables d e respuesta y, a p artir d e esos valores, obtener intervalos d e confianza que puedan dar un rango en dónd e encontrar los valores definitivos. Este tipo de problem as se presentan tam b ién al com parar dos escenarios: podríam os encon­ trar un m e jo r resultado para uno d e ellos, pero si los in tervalo s de confianza de las variab les de respuesta se traslapan resultaría im po sible decir q u e el resultado de un esce­ nario es m ejo r que el del otro. De hecho, en lo que a la estadística se refiere, am bos resul­ tado s pueden ser iguales. En ese c a so in crem en tar el tam añ o d e corrida o el n ú m e ro de réplicas puede ayudar a obtener m ejores conclusiones. Uso incorrecto de la inform ación o b tenida. Un problem a que se presenta en ocasiones es el uso inco rrecto d e la inform ación recabada para la realización del estudio, ya sea a través d e un cliente o d e cualquier otra fuente. M uchas veces esta inform ación se recolec­ ta, analiza y adm inistra de acuerdo con las necesidades propias de la em presa, lo que im plica que no siem pre está en el form ato y la presentación que se requiere para la sim u ­ lación. Si la inform ación se utiliza para determ inar los parám etros del m o d elo sin ser 11

|- |

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

depurada y reorganizada, es m u y pro bable que la precisión d e los resultados del estudio se vea afectada. Falta o exceso de detalle en el m odelo. Otro punto im po rtante a considerar es el nivel d e detalle del m odelo. En m uchas ocasiones algún pro ceso se sim plifica tan to que tiende a verse com o una "caja negra"que nos im p id e v e rq u é ocurre en el interior, aunque sí haya entrada y salida d e datos que interactúan con otras p artes del m odelo. Cuando esto su ce­ de, el im p acto que podrían ten e r los subprocesos que se llevan a cabo en la "caja negra" (es decir, del proceso sobresim plificado) no se incluye en la sim ulación. Por ejem plo, si se analiza un sistem a de distribución y se da por sentado que el alm acén siem pre su rte sus pedidos, no incluirem os el im pacto de los tiem p o s necesarios para surtir las órdenes, ni la posibilidad d e que haya faltantes de p ro du cto; excluirem os tam b ién los horarios de com ida, en los que no se surten pedidos, y las fallas en los m ontacargas que transportan los pedidos hasta los cam iones para su distribución. Por otra parte, si el m odelo se hace dem asiado detallado, tanto el tiem p o dedicado al estudio com o el costo de llevarlo a cabo podrían increm entarse sustancialm ente. Es labor del encargado de la sim ulación sugerir y clarificar los niveles de detalle que se requieren en el m odelo, resaltando los alcances y lim itaciones de cada uno.

1.5 Pasos para realizar un estu d io d e sim ulación D ebem os considerar que — igual a lo que ocurre con otras herram ientas d e investiga­ ción— la realización de un estud io d e sim ulación requiere la ejecución de una serie de actividad es y análisis que perm itan sacarle el m ejo r provecho. A continuación se m en cio ­ nan los pasos básicos para realizar un estudio de sim ulación, aunque en m uchas ocasio­ nes será necesario agregar otros o suprim ir algunos d e los aq u í enum erados, d e acuerdo con la problem ática en cuestión. 1. Definición del sistem a bajo estudio. En esta etapa es necesario conocer el siste­ ma a modelar. Para ello se requiere saber qué origina el estudio d e sim ulación y establecer los supuestos del m odelo: es conveniente definir con claridad las varia­ bles de decisión d e l m odelo, determ inar las interacciones entre éstas, y establecer co n precisión los alcances y lim itaciones que aquel podría llegar a tener. Antes de concluir este paso es recom endable contar con la información sufi­ ciente para lograr establecer un modelo conceptual o un mapa m ental del sistema bajo estudio, el cual debe incluir sus fronteras y todos los elem entos que lo com ­ ponen, adem ás d e las interacciones entre ellos, los flujos de productos, las perso­ nas y los recursos, a sí com o las variables d e m ayor interés para el problema. 2. G eneración del m odelo de sim ulación b ase. Una vez que se ha definido el sistem a en térm ino s d e un m odelo conceptual, la sig uiente etapa del estudio consiste en la generación de un m o d elo d e sim ulación base. No es preciso que este m odelo sea dem asiado detallado, pues se requiere m ucha m ás inform ación estadística sobre el co m portam iento de las variables d e decisión del sistem a. La generación de este m odelo es el prim er reto para el program ador d e la sim ula­ ción, ya que debe traducir a un lenguaje d e sim ulación la inform ación que se 12

1.5 Pasos para realizar u n estu d io de sim ulación |

obtuvo en la etapa de definición del sistem a, e incluir las interrelaciones de todos los po sibles sub sistem as que existan en el problem a a m odelar. En caso de que se requiera una anim ación, éste tam b ién es un buen m om ento para defi­ n ir qué gráfico puede representar m ejo r el sistem a que se m odela. Igual que ocurre en otras ram as d e la investigación d e operaciones,"la sim u ­ lación exige ciencia y arte en la generación de sus modelos". El realizador de un estudio d e sim ulación es, en este sentido, co m o un artista que debe usar toda su creatividad para realizar un buen m o d elo que refleje la realidad del problem a que se está analizando. Conform e se avanza en el m odelo base se pueden ir agregando las variables aleatorias del sistem a, con sus respectivas distribuciones de probabilidad asociadas. 3. Recolección y a n á lisis de datos. Es posible com enzar la recopilación d e la infor­ m ación estadística de las variables aleatorias del m odelo d e m anera paralela a la generación del m odelo base. En esta etapa se debe establecer qué inform ación es útil para la determ inación d e las d istrib uciones de probabilidad asociadas a cada una d e las variables aleatorias necesarias para la sim ulación. Aunque en algunos casos se logra contar con datos estadísticos, suele suceder que el fo rm a­ to d e alm acenam iento o d e generación de reportes n o es el apropiado para facilitar el estudio. Por ello, es m u y im po rtante dedicar el tiem p o suficiente a esta actividad. D e n o contar con la inform ación requerida o en caso de desconfiar de la disponible, será necesario realizar un estudio estadístico del com portam iento d e la variable que se desea identificar, para lueg o incluirla en el m odelo. Más adelante se hará e l análisis de los datos indispensables para asociar una d istrib u­ ción de probabilidad a una variable aleatoria, así co m o las pruebas que se le deben aplicar. Al finalizar la recolección y análisis d e datos para todas las varia­ bles del m odelo, se tendrán las condiciones para g enerar una versión p relim inar del problem a que se está sim ulando. 4. Generación del m odelo prelim inar. En esta etapa se integra la inform ación obtenida a p artir del análisis d e los datos, los supuestos del m odelo y todos los datos necesarios para crear un m odelo lo m ás cercano posible a la realidad del problem a b ajo estudio. En algunos casos — sobre to d o cuando se trata del dise­ ñ o d e un nuevo proceso o esquem a de trabajo — no se cuenta con inform ación estadística, p o r lo que debe estim arse un rango d e variación o determ inar (con ayuda del cliente) valores constantes que perm itan realizar el m odelado. Si éste es el caso, el encargado de la sim ulación puede, con base en su experiencia, realizar algunas sugerencias de distribuciones de probabilidad que co m únm en­ te se asocien al tip o de proceso que se desea incluir en el m odelo. A l fin alizar esta etapa el m o d elo está listo para su prim era prueba: su verificación o, en otras palabras, la com paración con la realidad. 5. Verificación del m odelo. Una vez que se han identificado las distribuciones de probabilidad d e las variables del m odelo y se han im plantado los supuestos acordados, es necesario realizar un proceso de verificación de datos para com ­ probar la propiedad d e la program ación del m odelo, y co m probar que todos los parám etros usados en la sim ulación funcio nen correctam ente. Ciertos p ro b le­ m as, en especial aquellos que requieren m uchas operaciones de program ación 13

|- |

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

o que involucran distribuciones de probabilidad difíciles de program ar, pueden ocasionar que el co m po rtam iento del sistem a sea m u y diferente del que se espe­ raba. Por otro lado, no se debe descartar la posibilidad d e que ocurran errores hum anos al alim en tar el m o d elo con la inform ación. Incluso podría darse el caso d e que los supuestos iniciales hayan cam biado una o varias veces durante el desarrollo del m odelo. Por lo tanto, debem os asegurarnos de que el m o d elo que se va a ejecutar esté basado en los m ás actuales. Una ve z que se ha co m pletad o la verificación, el m odelo está listo para su com paración co n la realidad del problem a que se está m odelando. A esta etapa se le conoce tam b ién co m o validación del m odelo. 6. Validación del m odelo. El proceso de validación del m o d elo consiste en realizar una serie de pruebas sim ultáneas con inform ación d e entrada real para o bservar su co m portam iento y analizar sus resultados. Si el problem a b ajo sim ulación involucra un proceso que se desea mejorar, el m odelo debe som eterse a prueba con las condiciones actuales de operación, lo que nos dará com o resultado un co m po rtam iento sim ilar al que se presenta realm ente en nuestro proceso. Por otro lado, si se está diseñando un nuevo p ro ­ ceso la validación resulta m ás com plicada. Una m anera de validar el m odelo en este caso, consiste en introducir algunos escenarios sugeridos por el cliente y validar que el co m po rtam iento sea congruente con las exp ectativas que se tie ­ nen d e acuerdo con la experiencia. Cualquiera que sea la situación, es im p o rtan­ te que el analista conozca bien el m odelo, d e m anera que pueda ju stificar aquellos co m po rtam iento s que sean contrarios a la exp eriencia de los especia­ listas que participan en su validación. 7. Generación del m odelo final. Una vez que el m o d elo se ha validado, el analista está listo para realizar la sim ulación y estudiar el co m portam iento del proceso. En caso d e que se desee com parar escenarios diferentes para un m ism o p ro b le­ m a, éste será el m odelo raíz; en tal situación, el siguiente paso es la definición de los escenarios a analizar. 8. D eterm inación de lo s escen ario s para el análisis. Tras validar el m o d elo es necesario acordar con el cliente los escenarios q u e se quieren analizar. Una m anera m u y sencilla d e determ inarlo s co nsiste en utilizar un escenario p esim is­ ta , uno optim ista y uno interm edio para la variab le d e respuesta m ás im p o rtan ­ te. Sin em bargo, es preciso to m ar en cu e n ta que n o to das las variab les se com portan igual ante los cam b io s en los d istin to s escenarios, p o r lo q u e ta l vez sea necesario q u e m ás d e una variable d e respuesta se analice b ajo las p ersp e c­ tiva s pesim ista, optim ista e interm ed ia. El riesgo d e esta situación radica en que el analista podría realizar un d iseño d e exp erim en to s capaz d e g enerar una gran cantidad d e réplicas, lo q u e redundaría en un increm ento co nsid erab le d e co s­ to, análisis y tiem p o d e sim ulación. Es por ello que m uchos p aq uetes d e sim ula­ ción cuentan con h erram ien tas para realizar este proceso, las cuales elim inan la anim ación y acortan los tiem p o s d e sim ulació n. Estas h erram ien tas perm iten realizar varias réplicas del m ism o escenario para obtener resultados con estad ís­ ticas im p o rtantes respecto d e la toma d e d ecisio n es (por ejem plo, los intervalos d e confianza). 14

1.5 Pasos para realizar u n estu d io de sim ulación |

Por su parte, el analista tam b ién puede co ntribuir a la selección de escena­ rios, sugiriendo aquellos que considere m ás im portantes; al hacerlo dará p ie a que se reduzca el núm ero de com binaciones posibles. 9. A nálisis de sensib ilidad . Una vez que se obtienen los resultados d e los escena­ rios es im portante realizar pruebas estadísticas que perm itan com parar los esce­ narios co n los m ejores resultados finales. Si dos d e ellos tienen resultados sim ilares será necesario com parar sus intervalos d e confianza respecto de la varia­ ble de respuesta final. Si no hay intersección d e intervalos podrem os decir con certeza estadística que los resultados no son iguales; sin em bargo, si los intervalos se sobreponen será im posible definir estadísticam ente que una solución es m ejor que otra. Si se desea obtener un escenario "ganador", será necesario realizar más réplicas de cada m odelo y/o increm entar el tiem p o de sim ulación d e cada corrida. Con ello se busca acortar los intervalos de confianza de las soluciones finales y, por consiguiente, increm entar la probabilidad d e diferenciar las soluciones. 10. Documentación del modelo, sugerencias y conclusiones. Una vez realizado el análisis de los resultados, es necesario efectuar toda la docum entación del modelo. Esta docum entación es m u y im portante, p ues perm itirá el uso del m odelo generado en caso de que se requieran ajustes futuros. En ella se deben incluir los supuestos del m odelo, las d istrib uciones asociadas a sus variables, todos sus alcances y lim itaciones y, en general, la totalidad de las consideraciones de pro­ gram ación. Tam bién es im po rtante incluir sugerencias tanto respecto del uso del m odelo com o sobre los resultados obtenidos, con el propósito de realizar un reporte m ás com pleto. Por últim o, deberán presentarse las conclusiones del proyecto de sim ulación, a p artir de las cu ale s es posible obtener los reportes ejecutivos para la presentación final. En la figura 1.4 se presenta una gráfica d e G antt en dond e se m uestra, a m anera de ejem ­ plo, la planificación d e los pasos para realizar una sim ulación que hem os com entado en esta sección.

Actividad Definición del sistema Modelo de simulación base Recolección y análisis de datos Modelo preliminar de simulación Verificación del modelo Validación del modelo Modelo final de simulación Determinación de escenarios Análisis de Sensibilidad Documentación Final Tiempo Figura 1 .4

Gráfica de Gantt de un proyecto de simulación. 15

|- |

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

Podem os decir que la realización de un proyecto de sim ulación im p lica tres grandes fases. El diseño del m odelo del problem a a analizar, la construcción del m odelo y la e x p e ­ rim entación que se puede realizar con éste. La figura 1.5 ilustra una m anera alternativa de presentar este m ism o proceso .161

D is e ñ o d e l m o d e lo

C o n s tr u c c ió n

E x p e r im e n t a c ió n

Figura 1 .5 R ep resen tació n del c ic lo d e un p ro yecto d e sim u lació n .

Com o podem os o b servar en la fig u ra 1.5, la construcción del m o d e lo es sólo una parte d e l b en eficio de una h erram ien ta co m o sim u lació n. Tam bién se puede usar para h ace r análisis con diferentes escen ario s y to m ar d ecisio n es sustentad as e sta d ística ­ m ente. En el sig uiente cap ítu lo revisarem o s cóm o se m odela la variabilid ad natural de los procesos.

1.6 Problem as 1. D eterm ine los elem entos de cada uno d e los siguientes sistemas, de acuerdo con lo que se com entó en la sección 1 . 2 . a) b) c) d)

La sala de em ergencia d e un hospital

Un b anco m ercantil Una línea telefónica de atención a clientes La recepción de un hotel é) Un taller d e tornos f) El proceso de pintura de un autom óvil g ) Un hospital h) Un sistem a de respuesta en caso de em ergencias 16

1.6 Problem as [~ ]

2. Defina los elem entos de cad a uno de estos sistem as, de acuerdo con lo que analizó en la sección 1. 2 . a) El sistem a d e m antenim ien to d e los equipos de una em presa, llevado a cabo por una cuadrilla d e personas b) Un aeropuerto c) Una bodega de distribución d e productos d) e) f) g) h)

Una línea em botelladora de refrescos Un sistem a de control de tránsito para la ciudad Una línea d e arm ado de refrigeradores Una superm ercado Un taller d e m antenim iento d e m oldes

3. ¿Cuáles podrían ser las entidades d e cada uno d e los siguientes sistem as? a) Un cajero autom ático b) Un sistem a autom ático de inspección de botellas c) Una m áquina dobladora d e lám ina d) é) f) g)

Un proceso de em p aq ue d e televisores Una sala d e urgencias d e un hospital Un alm acén de p ro ducto term inado Una línea d e em b utid o d e carnes

4. ¿Cuáles podrían ser las entidades d e cada uno d e los siguientes sistem as? a) b) c) d) e) f) g)

Un sistem a de distribución d e paquetería Un sistem a de cobranza Un conm utador telefónico Un d epartam ento d e devolución d e m ercancía El abordaje de un crucero por el Caribe Un taller d e reparación de m otores Un centro de despacho y asignación de pedidos d e productos

5. D eterm ine qué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación d e los siguientes sistem as. a) b) c) d) é) f)

El m aq uinado de una fam ilia de engranes Un proceso de pintura de refrigeradores Un sistem a de recepción de m ateria prim a Un proceso de soldadura para varios productos Una sala d e tratam iento s dentales Un sistem a de registro de p acientes en un hospital g) Un sistem a de localización de m ercancía por radio frecuencia 6 . ¿Qué atributos podrían ser relevantes para la sim ulación de los siguientes sistem as?

a) Un proceso de empaque de 10 productos por caja, donde cada producto es diferente b) Un proceso d e separación de 3 productos para enviarlos a sus respectivas áreas de procesam iento 17

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

c)

Un sistem a de inspección de calidad de piezas m aquinadas

d)

Un sistem a de program ación de m antenim ien to que califica sus trab ajo s com o urgentes y no urgentes, adem ás d e asignarles etiquetas d e "Pendiente d e asig­ nar", "Asignado", "En proceso" y "Term inado"

7. Especifique las variables que podrían ser relevantes en los siguientes sistemas. a) b) c) d) é) f)

El m aq uin ado de una fam ilia de engranes Un proceso de pintura de refrigeradores Un sistem a de recepción de m ateria prim a Un proceso de soldadura para vario s productos Una sala d e tratam ientos dentales Un sistem a de registro de p acientes en un hospital

g ) Un sistem a de localización de m ercancía por radio frecuencia 8 . De los siguientes sistemas, ¿cuáles podrían ser clasificados co m o eventos?

a) b) c) d) é)

Una sala d e urgencias d e un hospital Un sistem a de em ergencias epidem iológicas Un sistem a de control de calidad de una planta que fabrica botellas Un restaurante d e com ida rápida Una term in al de cam iones de carga

f)

Una aduana com ercial d e im portaciones y exportaciones

9. D eterm ine el p ro m ed io m óvil d e los núm eros d e la sig uiente tabla y grafique los prom edios. ¿Llega a estado estab le la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a p a rtir de qué valor se puede considerar el inicio del estado estable?

0.6435

0.9849

0.9152

0.8327

0.2803

0.1730

0.9002

0.1853

0.3499

0 .7 3 6 8

0.0168

0.1133

0.5673

0.5013

0.0330

0.9814

0.7602

0.1865

0.5518

0 .1 0 6 4

0.3553

0.3846

0.3063

0.1319

0.3769

0.3809

0.5290

0 .8 5 8 6

0.6225

0 .5 4 2 5

0.1242

0.2806

0.9285

0.4257

0.5007

0.9997

0.2072

0.0580

0.5460

0 .3 9 1 0

0.4006

0.2376

0.3883

0.7998

0.9111

0.5554

0.6080

0 .6 7 2 4

0.0332

0.9451

0.2944

0.5657

0.4072

0.6198

0.6809

0.7154

0.8810

0 .3 0 2 8

0.5950

0.3131

0.1438

0.7546

0.0982

0.4946

0.1837

0.5438

0 .6 5 9 8

0.6460

0.8039

0 .1 5 9 9

0.7612

0.8071

0.5163

0.5810

0.6720

0.6020

0.0120

0.4502

0.4228

0 .2 7 3 4

0.4776

0.1012

0.0935

0.4389

0.7195

0.7738

0.8939

0.5225

0.1220

0 .8 2 6 5

0.6031

0.9288

0.1209

0.5537

0.1219

0.9657

0 .9 7 3 4

0.9955

0.2281

0 .1 0 8 4

1 n Prom edio m óvil: rn = —\ r ¡ n /.i

18

pora

n =1,2,...,100

1.6 Problem as [~ ]

10. D eterm ine el p ro m ed io m óvil d e los núm eros d e la sig uiente tabla y grafique los prom edios. ¿Llega a estado estable la gráfica? En caso afirm ativo, ¿a p a rtir de qué valor se puede considerar el inicio del estado estable?

0.1762

0.0477

0.5245

0.6735

0.9922

0.3669

0.1380

0 .6 5 8 4

0.5371

0 .4 5 8 0

0.9750

0.7266

0 .2 0 9 4

0.5885

0.5842

0.5057

0 .2 6 1 4

0.6131

0.8510

0 .9 5 0 2

0.9770

0.6959

0.2955

0.4447

0 .2 8 5 6

0.3545

0.2401

0 .5 4 0 6

0.0547

0 .4 5 5 2

0.4181

0.7080

0.5093

0.1922

0.0685

0.3380

0.7969

0.3670

0.4124

0 .9 6 0 8

0.4409

0.8448

0.4257

0.0763

0.0513

0.8583

0.9419

0.8389

0.0096

0 .0 6 3 3

0.6124

0.8186

0 .1 2 8 8

0.8095

0.1313

0.8238

0 .9 6 2 8

0 .0 7 3 6

0.8992

0 .3 6 5 7

0.7017

0.8310

0.2849

0.5471

0 .3 7 1 6

0.7481

0.0009

0 .0 9 3 6

0.2608

0 .5 4 1 5

0.9343

0.5679

0 .0 1 1 6

0.3081

0.6192

0.4047

0.9659

0 .5 6 3 8

0.7183

0 .5 6 4 9

0.1087

0.8235

0.9399

0.6169

0.0711

0.3051

0.4250

0 .5 2 7 6

0.2523

0 .1 2 4 2

0.8740

0.0961

0 .2 1 6 6

0.5799

0.2477

0.1443

0.4937

0.7373

0.9575

0 .1 7 0 6

i n Prom edio m óvil:

para

n = 1, 2 , ...,100

n /-i 11. G enere en una hoja de cálculo 100 núm eros con la función x¡ = —3ln(1 — ); donde r;.es un núm ero pseudoa lea to rio entre cero y uno, obtenido a p a rtir d e la función ALEATORIO de la hoja d e cálculo. Suponga que estos valores son tiem po s de proceso de cierta pieza. D eterm ine un prom edio m ó vil d e estos valo res co nfo rm e se va reali­ zan d o el procesam iento d e las piezas, y grafique ese prom edio. ¿El tiem po prom edio de proceso es estable? ¿Y si en lugar de 100 se generan 200 núm eros? (Sugerencia: Para evitar que se recalculen los núm eros aleatorios es necesario copiarlos y pegarlos m ediante pegado especial de sólo valores). 12. En una hoja d e cálculo genere 100 núm eros con la fu n ció n x¡ = 5 + 10/;.;do nd e/;.es un núm ero pseud oaleato rio entre ce ro y uno, obtenid o a p artir d e la fu n ció n ALEATORIO de la hoja d e cálculo . Suponga que estos valores son tiem po s d e atención a clientes en un banco. D eterm ine un p ro m ed io m óvil d e estos valores conform e se va reali­ zan d o la atención d e los clientes, y grafique ese prom edio. ¿El tiem p o p ro m ed io de atención a clientes es estable? ¿Q ué pasa si ahora se generan 200 núm eros? 13. G enere en una hoja de cálculo núm eros con las siguientes funciones: a) x,. = - 2 0 * ln (r ,* r y) b) x , = - 1 0 * ln (o * / )* /• ,* /;) c) x¡ = —5 *ln(r, * r¡ * rk *rl * rm *rn* r0 *rp)

19

|- |

C a p ítu lo 1 P rincipios básicos d e la sim ulación

D ond e r,,rj ,rk,rl,rm,rn,rolrp son núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno, obtenidos a p artir de la función ALEATORIO de la hoja de cálculo. Suponga que estos valores son tiem po s de reparación de una m áquina. D eterm ine un prom edio m ó vil de estos valores conform e se van realizando m antenim ientos, y grafique ese prom edio. ¿C u ál d e las tres fu n cio n es llega a estado estable m ás rápidam ente? ¿En qué p u n to del tiem p o llega cada una a estado estable? ¿A qué valor converge el prom edio en cada una?

Referencias [1] Goodsell, C. A. y Van Kely(T. J. (2004)."lnventory Management Simulation atCAT Logistics", En J. A. Joines, R. R. Barton, K. Kang, y P. A. Fishwick (Eds), pp 1185-1190. [2] Chan, F.T.S., N. K. H., Tang, H. C. W., Lau, y R. W. L., Ip (2002). "A Simulation Approach in Supply Chain Management", IntegratedManufacturing Systems, volumen 13 {número 2), pp 117-122. [3] O'Kane, J. (2004)."Simulating production performance: cross case analysis and policy implications" Industrial Management and Data Systems, volumen 104 {número 4), pp. 309-321. [4] Mahanti, R. y Antony, J (2005)."Confluence of Six Sigma, Simulation and Software Development" Managerial Auditing Journal, volumen 20 (número 7), pp. 739-762. [5] Strauss, U. (2006). "Using a Business Simulation to Develop Key Skills - the MERKIS Experience", Industrial and Commercial Training, volumen 38 (n úmero 4), pp. 213-216. [6] García, H. y Centeno, M. A. (2009)."S.U.C.C.E.S.S.F.U.L.: a Frameworkfor Designing Discrete Event Simulation Course", Proceed’m gsofthe 2009 WinterSimulation Conference, M. D. Rossetti, R. R. Hill, B. Johansson, A. Dunkin y R. G. Ingalls (Eds), pp. 289-298.

20

Capítulo 2 Núm eros pseudoaleatorios

2.1

Los núm eros pseudoaleatorios

2 .2

Generación de núm eros pseudoaleatorios

2 .3

Propiedades de los núm eros pseudoaleatorios entre 0 y 1

2 .4

Pruebas estadísticas para los núm eros pseudoaleatorios

2 .5

Problem as Referencias

| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

2.1 Los núm eros pseu d o aleato rio s Para poder realizar una sim ulación que incluya variabilidad dentro d e sus eventos, es preciso g enerar una serie d e núm eros que sean aleatorios por sí m ism os, y que su aleatoriedad se extrapole al m o d elo de sim ulación que se está construyendo. Com o puede com prender, en la construcción del m odelo los núm eros aleatorios ju e g an un papel re le ­ vante. Así, una de las prim eras tareas que es necesario llevar a cabo co nsiste en determ inar si los núm eros que utilizarem os para "correr"o ejecutar la sim ulación son realm ente alea­ torios o no. Por desgracia, precisar lo anterio r con absoluta certidum bre resulta m uy com plicado, ya que para ello tendríam os que g enerar un núm ero infinito de valores que nos perm itiera com probar la inexistencia de co rrelaciones entre ellos. Esto sería m uy costoso y tardado, adem ás volvería im práctico el uso d e la sim ulación aun con las com ­ putadoras m ás avanzadas. A pesar d e lo anterior, podem os asegurar que el conjunto de núm eros que utilizare­ m os en una sim ulación se com porta de m anera m u y sim ilar a un conjunto de núm eros totalm ente aleatorios; por ello es que se les denom ina núm eros pseudoaleatorios. Casi to das las aplicacio nes com erciales tienen varios generadores d e núm eros pseud oaleato­ rios que pueden generar un conjunto m u y grande d e núm eros sin m ostrar correlación entre ellos. En el presente c a p ítu lo d iscu tirem o s alg uno s de los m éto d o s d e g e n e ra ­ ción de núm eros pseudoaleatorios, y precisarem os qué características deben ten e r para em plearlos com o una fuen te confiable de variabilidad dentro de los m odelos. Asim ism o, se m ostrarán algunas d e las pruebas m ás com unes para co m probar qué tan aleatorios son los núm eros o btenid os con dichos generadores.

2.2 G eneración de núm eros pseu d o aleato rio s Para realizar una sim ulación se requieren núm eros aleatorios en el intervalo (0,1), a los cuales se hará referencia com o rr es decir, una secuencia r¡ = { f , , r2lr3 l...,rn} que contiene un" núm eros, todos ellos diferentes. El valor un ” recibe el nom bre de periodo o ciclo d e vida del generador que creó la secuencia r¡. Los r¡ constituyen la parte m edular d e la sim ulación de procesos estocásticos, y por lo regular, se usan para generar el co m portam iento de variables aleatorias, tanto continuas com o discretas. Debido a que no es posible generar núm eros realm ente aleatorios, co n­ sideram os los r. com o núm eros pseudoaleatorios generados por m edio de algoritm os determ m ísticos que requieren parám etros d e arranque. Para sim ular el co m portam iento de una o m ás variables aleatorias es necesario co n ­ tar co n un co n ju n to suficientem ente grande de r, que perm ita, por ejem plo, que la secuencia tenga al m enos un perio do d e vida d e n = 2 31 = 2,147,483,648. D e acuerdo con L'E cu ye r 141u n a se cu e n cia d e r ,c on p erio d o d e vid a d e n = 2 31 es re la tiv a m e n te p e q u e ­ ñ a ; de hecho, incluso una secuencia d e r¡ q u e contenga un ciclo d e vida de n = 2M se considera pequeña. En la actualidad, contam os ya con generadores y procesadores capa­ ces de construir una secuencia de r. con perio do d e vida de n = 2 200. Tal vez se preguntará; ¿p o r qué debe interesarnos co nstruir una secuencia d e n ú m e­ ros r. lo bastante grande? A continuación ilustrarem os la razón m ediante un ejem plo. 22

2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |

Suponga que querem os sim ular el tiem p o d e atención a clientes en un b anco que tiene 5 cajeros en paralelo, cada uno de los cuales atiend e alrededor de 50 clientes diarios. Para sim ular el tiem p o de atención se requiere un generador de variable aleatoria en función de rF com o por ejem p lo 7 = 5 + 2 rf expresado en m inutos para toda i = 1, 2, 3 , . . . , n. (El tem a de generadores de variables aleatorias se presenta en el capítulo 3). Si sim ulam os el tiem p o de atención de m anera aislada, es decir, sin considerar el tiem p o transcurrido desde la lleg ad a d e éstos, serán n ecesario s 5 x 50 = 2 5 0 n ú m e ro s r¡ para sim u la r un d ía ; si deseáram os sim ular 5 días se necesitarían 250 x 5 = 1250 rv Ahora bien, si consideram os e l tiem p o desde la llegada de los clientes, precisaríam os de 250 r¡ para sim ular el tiem po transcurrid o desde la llegada al banco de los 250 clientes p o r día, y 250 x 5 = 1250 r¡ para sim ular el correspondiente al total de clientes atendidos durante 5 días. Por lo tanto, se requerirán 2500 núm eros pseudoaleatorios r¡ para sim ular la operación del banco duran­ te 5 días. Com o se m encionó en el capítulo 1, los resultados no pueden basarse en una sola sim ulación del sistem a; por el contrario, es necesario realizar varias réplicas d e la m ism a, corriend o cada una d e ellas con núm eros pseudoaleatorios diferentes. Si retom am os el ejem p lo del banco, sim ular 5 días otra vez significa que necesitam os otros 2500 núm eros pseudoaleatorios en el intervalo (0,1). En consecuencia, se requieren 5000 r, para realizar la sim ulación del sistem a d e atención a clientes con d o s réplicas. Usted podrá im aginar cuántos núm eros r. serán necesarios para sim ular la operación del banco durante un año con 9 réplicas, o cuántos núm eros r, se requieren para sim ular un sistem a p ro du ctivo durante un año con varias líneas d e producción, y cada una con varias estaciones, y cada estación con uno o m ás procesos. Dada la im po rtancia de contar con un co n ju n to de rysuficientem ente grande, en esta sección se presentan diferentes algoritm os determ m ísticos para obtenerlo. Por otra parte, es conveniente señalar que el conjunto d e r. debe ser som etido a una variedad de p ru e­ bas para verificar si los núm eros que lo conform an son realm ente independientes y u n i­ form es. En la sección 2 .4 verem os las p rueb as estadísticas que determ inan si un conjunto r. tie n e las p ro p ie d a d e s de in d e p e n d e n c ia y u n ifo rm id a d . U na ve z g e n e ra d o el c o n ­ ju n to r m ed iante un algoritm o determ inístico, es necesario som eterlo a las pruebas antes m encionadas: si las supera, podrá utilizarse en la sim ulació n; d e lo contrario, sim p lem en­ te deberem os desecharlo. Un conjunto de ry debe seguir una distribución uniform e continua, la cual está defini­ da por: f ( r ) = { 1'

[ 0,

oárS1

en cualquier otro valor

G enerar un conjunto d e r, es una tarea relativam ente sencilla; para ello, el lector sólo tien e qu e diseñar su propio algoritm o de generación. Lo que resulta difícil es diseñar un algoritm o que genere un conjunto d e r.co n perio do de vida lo bastante grande (A/), y que adem ás p ase sin problem a las pruebas d e uniform idad e independencia, lo cual im plica evitar problem as com o éstos: •

Que los núm eros del co n ju n to r. no estén uniform em ente distribuidos, es decir, que haya dem asiados r. en un subintervalo y en otro m u y pocos o ninguno. 23

C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

•

Que los núm eros r. generados sean discretos en lugar d e continuos.

•

Que la m edia del conjunto sea m u y alta o m u y baja, es decir, que esté por arriba o

•

por debajo de V2 . Que la varianza d e l co n ju n to sea m u y alta o m u y baja, es decir, que se lo calice por arriba o por d e b a jo d e l V2 (la o b tenció n d e estos valo res se d iscu te en la sección 2.3).

En ocasiones se presentan tam b ién anom alías com o núm eros r. seguidos por arriba o por d eb ajo d e la m e d ia ; secu e n cia d e r ¡ p o r arriba d e la m ed ia, seg uid a d e u n a secu e n cia p o r d e b a jo d e la m e d ia, y viceversa, o varios r. seg u id o s en fo rm a a scen d en te o d e s­ cendente. A co ntinuació n se presentan diferentes algoritm os determ m ísticos para g enerar los r¡, los cuales se clasifican en alg o ritm o s n o co n g ru en ciales y co ng ruenciales. Los a lg o ­ ritm os n o co ng ru enciales que analizarem os en esta obra son: cu ad rad o s m ed ios, p ro ­ ductos m ed ios y m u ltip lica d o r co nstante. En tre los alg o ritm o s co n g ru en ciales se en cu en tran los algoritm os co ngruenciales lineales y los n o lineales. En este libro abo rda­ rem os los algoritm os co ngruenciales lineales — tales com o algoritm o congruencial lineal, m ultip licativo y aditivo— , y los algoritm os no lineales, com o el algoritm o de Blum , Blum y Shub, y el co ngruencial cuadrático.

2.2.1

Algoritm o de cuadrados m edios Este algo ritm o n o co ngruencial fu e pro p uesto en la década d e los cuarenta d e l siglo xx por Von N eum ann y M etrópolis .1’1Requiere un núm ero entero detonado r (llam ado sem i­ lla) con D dígitos, el cu a l es elevad o al cuadrado para seleccio nar del resultado los D díg ito s d e l centro ; el p rim er núm ero r¡ se determ ina sim p lem ente an tep o n ie n d o e l" 0 ." a esos d íg ito s. Para o b te n e r el se g u n d o r¡ se sig ue el m ism o p ro ced im ien to , sólo que ahora se elevan al cuadrado los D díg ito s del centro q u e se seleccionaron para obtener e l p rim er rr Este m éto d o se repite hasta o b ten er n núm eros rr A continuación se presen­ tan con m ás d e talle los pasos para g enerar núm eros co n el algo ritm o d e cuadrados m edios. 1. Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3). 2. Sea Y0 = resultado de elevar Xq al cuadrado; sea X, = los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0. D dígitos del centro. 3. Sea /.= resultado d e e le v a rX al cuadrado; sea XM = los D d íg ito s del centro, y sea r. = 0 . D dígitos del centro para toda /= 1, 2 , 3 , . . . n. 4 . Repetir el paso 3 hasta obtener los n núm eros r. deseados. N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yp agregue ceros a la izquierda del núm ero Yr Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de cuadrados m edios se presenta el siguiente ejem plo.

24

2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |

Ejem plo 2.1 G enerar los prim eros 5 núm eros r¡ a p a rtir de una sem illa X 0 = 5735, d e dond e se puede o bservar que D = 4 dígitos. S o lu c ió n Y0 = (5735)2 = 32890225

X, =8902

r, = 0.8902

Y} = (89 0 2 )2 = 79245604

X 2= 2 4 5 6

r2 = 0.2456

V2 = (2456)2 = 06031936

X 3= 0 3 1 9

r3 = 0.0319

Y3 = (0319 )2 = 101761

X4 = 0176

r4 = 0.0176

/4 = (0176)2 = 030976

X 5 = 3097

r5 = 0.3097

El algoritm o de cuadrados m edios generalm ente es incap az de generar una secuencia de r. con perio do d e vida n grande. Adem ás, en ocasiones sólo es capaz de generar un n ú m e­ ro, por ejem p lo , si X0= 1000, entonces X , = 0 0 0 0 ; r.= 0.0000 y se dice que el algoritm o se degenera con la sem illa d e X 0= 1 0 0 0 .

2.2.2

Algoritm o de productos m edios La m ecánica de generación d e núm eros pseudoaleatorios de este algoritm o n o congruencial es sim ilar a la del algoritm o de cuadrados m edios. La diferencia entre am bos radica en que el algoritm o de productos m edios requiere dos sem illas, am bas con D díg i­ to s; adem ás, en lugar de elevarlas al cuadrado, las sem illas se m ultiplican y del producto se seleccionan los D dígitos del centro, los cuales form arán el prim er núm ero pseudoaleato rio r, = 0 .D dígitos. D espués se elim ina una sem illa, y la otra se m ultiplica por el prim er núm ero d e D dígitos, para luego seleccionar del producto los D dígitos que conform arán un seg u n d o n ú m e ro rr Entonces se e lim in a la seg un d a se m illa y se m u ltip lica n el p ri­ m e r núm ero de D dígitos por el segundo núm ero d e D dígitos; del p ro ducto se obtiene el tercer núm eror,. Siem pre se irá elim inando el núm ero m ás antiguo, y el procedim iento se re p e tirá hasta g e n e ra r los n n úm ero s p seu d o aleato rio s. A co n tinuació n se p re se n ­ tan con m ás detalle los pasos del m étodo para generar núm eros con el algoritm o de producto m edios. 1. 2. 3. 4.

Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3) Seleccionar una sem illa (X,) co n D dígitos (D > 3) Sea Y0= X ^ X ,; sea X 2= los D dígitos del centro, y sea r¡ = 0.D dígitos del centro. Sea Y = X *X m; sea X V2= los D dígitos del centro, y sea r /+1 = 0 .D dígitos del centro para toda / = 1, 2, 3 ,... n.

5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n núm eros r, deseados. N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yf agregue ceros a la izquierda del núm ero Yr Para ilustrar la m ecánica del algoritm o d e productos m edios se presenta el siguiente ejem plo. 25

C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

Ejem plo 2.2 G enerar los prim eros 5 núm eros r,a p a rtir de las sem illas X0= 5 0 1 5 y X , = 5734; o bserve que am bas sem illas tien en D = 4 dígitos. Solución:

2.2.3

v ; = (5015) (5734) = 28756010

X 2 = 7560

r, = 0.7560

Y} = (5734) (7560) = 43349040

X 3 = 3490

r 2 = 0.3490

Y2 = (7560) (3490) = 26384400

X 4 = 3844

r 3 = 0.3844

Y3 = (3490) (3844) = 13415560

X 5 = 4155

r4 = 0.4155

Y4 = (3844) (4155) = 15 971820

X 6 = 9718

r 5 = 0.9718

Algoritm o de m ultiplicador constante Este algoritm o no co ngruencial es sim ilar al algoritm o de productos m edios. Los siguien­ te s son los pasos necesarios para generar núm eros pseudoaleatorios con el algoritm o de m ultiplicad or constante. 1. 2. 3. 4.

Seleccionar una sem illa (X0) con D dígitos (D > 3). Seleccionar una constante (a) co n D dígitos (D > 3). Sea Y0= a *X ¿ sea X 1= los D dígitos del centro, y sea r = O.D dígitos del centro. Sea Y,= a*X¡; sea X^, = los D dígitos del centro, y sea rM = O.D dígitos del centro para toda / = 1, 2, 3 ,... n. 5. Repetir e l paso 4 hasta obtener los n núm eros r. deseados.

N o ta : Si no es posible obtener los D dígitos del centro del núm ero Yf agregue ceros a la izquierda del núm ero Yr Para ilustrar la m ecánica del algoritm o de m ultiplicad or constante se presenta el sig uiente ejem plo. Ejem plo 2.3 G en e ra r los p rim e ro s 5 n ú m e ro s r. a p a rtir d e la se m illa X 0 = 9803 y con la co n sta n te a = 6 9 65. O bserve que tanto la sem illa com o la constante tienen D = 4 dígitos. Solución:

26

Y0 = (6965) (9803) = 68277895

X, =2778

r, = 0.2778

V, = (6965) (2778) = 19348770

X 2 = 3487

r2 = 0.3487

Y2 = (6965) (3487) = 24286955

X 3= 2 8 6 9

r3 = 0.2869

Y3 = (6965) (2869) = 19982585

X 4 = 9825

r4 = 0.9825

YA= (6965) (9825) = 68431125

X 5 = 4311

r5 =0.4311

2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |

2 .2 .4

Algoritm o lineal Este algoritm o co ng ruencial fue propuesto por D. H. Lehm er 151 en 1951. Según Law y Kelto n,PI no ha sid o el m ás usado. E l algoritm o co ngruencial lin eal genera una secuencia d e núm eros enteros por m edio de la siguiente ecuación recursiva: X + 1 = (ax¡ + c)m od(m )

/ = 0 , 1, 2 , 3 , . . n

dond e XQes la sem illa, a es la constante m ultiplicativa, c es una constante aditiva, y m es e l m ódulo. Xo > 0 , a > 0 , c > 0 y m > 0 deben ser núm eros enteros. La operación "mod (m)" significa m ultip licar^ , por a, sum are, y dividir el resultado entre m para obtener el residuo X/+1. Es im po rtante señalar que la ecuación recursiva del algoritm o co ngruencial lineal genera una secuencia d e núm eros enteros S = {0, 1 ,2 , 3 ,..., m - 1}, y que para obtener núm eros pseudoaleatorios en el intervalo (0 , 1 ) se requiere la siguiente ecuación: X,

í = 0 , 1 ,2 ,3 ,...,n

A nalice el sig uiente ejem p lo para com prender m ejo r la m ecánica del algo ritm o co n­ gruencial lineal: Ejem plo 2.4 G enerar 4 n úm ero s e n tre 0 y 1 con los sig u ie n te s p arám etros: X0= 37, a = 19, c = 33 y m = 100.

Solución: X , = (19*37 + 33) m od

100 = 36

r, = 36/99 = 0.3636

X 2 = (19*36 + 3 3 ) m od

100 = 17

r 2 = 17/99 = 0.171 7

X 3 = (19* 17 + 33) m od

100 = 56

r 3 = 56/99 = 0.5656

X 4 = (19*56 + 33) m od

100 = 97

r4 = 97/99 = 0.9797

En el ejem p lo anterior se dieron d e m anera arbitraria cada uno d e los parám etros req ue­ ridos: Xq, a, c, m . Sin em bargo, para que el algoritm o sea capaz de lograr el m áxim o p e rio ­ do d e vida N, es preciso que dichos parám etros cum plan ciertas condiciones. Banks, Carson, Nelson y N icol 111sugieren lo siguiente: m = 29 a = 1 + 4k k debe ser entero c relativam ente prim o a m g debe ser entero Bajo estas condiciones se obtiene un perio do de vida m áxim o: N = m = 2g. Veam os un ejem p lo m ás, to m and o en cuenta lo anterior. 27

C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

Ejem plo 2.5 G enerar suficientes núm eros entre 0 y 1 con los parám etros X 0 = 6 , k = 3, g = 3 y c = 7, hasta encontrar el periodo de vida m áxim o (A/). Com o podem os ver, si se cum plen las condiciones que Banks, Carson, Nelson y Nicol sugieren, se logrará el periodo m áxim o N = m = 8 . A continuación se presenta el d esarro ­ llo de la generación d e los núm eros rr a = 1 + 4 ( 3 ) = 13 y m = 23 = 8 X0 = 6 X } = (1 3*6 + 7) m od 8 = 5

r, = 5/7 = 0.714

X 2 = (13*5 + 7) m od 8 = 0

r2 = 0/7 = 0.000

X 3 = (13*0 + 7) m od 8 = 7

r3 = 7/7 = 1.000

X 4 = (13*7 + 7) m od 8 = 2

r4 = 2/7 = 0.285

X 5 = (13*2 + 7) m od 8 = 1

rs = 1 /7 = 0 .1 4 2

X 6 = (13*1 + 7 ) m od 8 = 4

r6 = 4/7 =0.571

X 7 = (1 3 *4 + 7) m od 8 = 3

r 7 = 3/7 = 0.428

X 8 = (13*3 + 7) m od 8 = 6

r8 = 6/7 = 0 .8 5 7

Es im po rtante m encionar que el núm ero generado en X8= 6 es exactam en te igual a la sem illa X^ y si continuáram os generando m ás núm eros, éstos se repetirían. Adem ás, sabem os que el algoritm o co ngruencial lineal genera una secuencia d e núm eros enteros S = {0, 1 ,2 , 3 ,..., m - 1}. O bserve q u e en este caso se genera la secuencia S = { 0 ,1 ,2 , 3, 4, 5 ,6 , 7}. Ejem plo 2.6 Considerem os d e nuevo el ejem p lo anterior, pero tratem o s de infringir de m anera arb i­ traria alguna d e las condiciones. Supongam os que a = 12; se sabe que a no es el resultado de 1 + 4/c, dond e k es un entero. Veam os el co m portam iento del algoritm o congruencial lin eal ante ta l cam bio. Solución: o = 1 + 4 (3) = 13 y m = 2 3 = 8 X0 = 6 X , = (12*6 + 7) m od 8 = 7

r, = 7 /7 = 1.000

X 2 = (12*7 + 7) m od 8 = 3

r2 = 3/7 = 0.428

X 3 = (12*3 + 7) m od 8 = 3

r 3 = 3/7 = 0.428

El perio do de vida en este caso es N = 2, de m anera que, com o puede ver, el periodo de vida m áxim o no se logra. Com o conclusión tenem o s que si n o se cu m p le alguna de las condiciones, el perio do de vida m áxim o N = m no se garantiza, por lo que el perio do de vida será m en o r que m. 28

2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |

2 .2 .5

Algoritm o congruencial m ultiplicativo El algoritm o co ngruencial m ultiplicativo surge del algoritm o co ng ruencial lineal cuando c = 0. Entonces la ecuación recursiva es: XM = {aX) m od (m)

i = 0 , 1 ,2 ,3 , . . . , n

En com paración con el algoritm o co ngruencial lineal, la ventaja del algoritm o m u ltip lica­ tiv o es que im plica una operación m enos a realizar. Los parám etros d e arranque d e este algoritm o son XQ, a y m, los cuales deben ser núm eros enteros y m ayores que cero. Para transform ar los núm eros X. en el intervalo (0 ,1 ) se usa la ecuación r¡= x l/(m - 1 ) . D e acuer­ do con Banks, Carson, Nelson y Nicol,111las condiciones que deben cum plir los parám etros para qu e el algoritm o co ngruencial m ultip licativo alcance su m áxim o perio do A/, son: m = 2i

a = 3 + 8k

o

a = 5 + 8k

k = 0 , 1, 2, 3 ,... X0 = debe ser un núm ero im par g debe ser entero A p a rtir d e estas condiciones se logra un perio do d e vida m áxim o N = k/4 = 2g'2 Ejem plo 2.7 G enerar suficientes n úm ero s entre 0 y 1 con los sig uientes p arám etros: X0 = 17, k = 2 y g = 5, hasta encontrar el perio do o ciclo de vida. Solución: a = 5 + 8 (2) = 21

y

m = 32

X0 = 1 7 X , = (21 *1 7 ) m od 32 = 5

r , = 5/31 = 0 .6 1 2

X 2 = (21*5) m od 32 = 9

r2 = 9/31 = 0.2903

X 3 = (21 *9 ) m od 32 = 29

r3 = 29/31 = 1.9354

X 4 = (21*29) m od 32 = 1

r4 = 1/31 = 0.3225

X 5 = (2 1 *1 ) m od 32 = 21

r5 = 21/31 = 0 .6 7 7 4

X 6 = (21*21) m od 32 = 2 5

r6 = 25/31 = 0 .8 0 6 4

X ? = (21*25) m od 32 = 13

r? = 13/31 = 0 .4 1 9 3

X 8 = (21*13) m od 32 = 17

r8 = 17/31 = 0 .5 4 8 3

Si la sem illa X 0 se repite, volverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo tanto, el p e rio ­ do d e vida es n = 8 , el cual corresponde a N = m /4 = 32/4 = 8 . 29

C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

Ejem plo 2.8 Ahora bien, si quebrantam os la condición de que la sem illa sea un núm ero im par, diga­ m os con X 0 = 12, tenem os: Solución: X0 = 1 2 X , = (21 *1 2 ) m od 32 = 2 8

r, =28/31 = 0 .9 0 3 2

X 2 = (21 *28) m od 32 = 12

r 2 = 12/31 = 0 .3 8 7 0

En vista de que la sem illa X 0 se repite, vo lverán a generarse los m ism os núm eros. Por lo tanto, el perio do d e vida es N = 2.

2 .2.6

Algoritm o congruencial aditivo Este algoritm o requiere una secuencia previa d e n núm eros e n te ro sX ,, X2, X 3,X 4, ...,X n para generar una nueva secuencia de núm eros enteros que em pieza en X ^ , Xn^ Xn i, Xn+A, ... Su ecuación recursiva es: X = (x/+1 +X._n) m od (m)

/'= n + 1, n + 2 , n + 3 ,...A/

Los núm eros r, pueden ser generados m ediante la ecuación r. = x./m - 1 Ejem plo 2.9 G enerar 7 núm eros pseudoaleatorios entre cero y uno a p a rtir de la siguiente secuencia d e núm eros enteros: 6 5 ,8 9 , 9 8 ,0 3 ,6 9 ; m = 100. Sean X , = 65, X 2= 8 9 , X 3= 98, X 4 = 03, X 5= 6 9 . Para generar r}, r2, r3, r4, ry r6 y r7 antes es necesario generar X^ X 7, X8, Xg, X 10, X ,,, X 12. Solución:

30

X 6 = (X 5 + X ,)m o d 100 = (69 + 65) m od 100 = 34

r ,= 34/99 = 0.3434

X 7 = (X6 + X2) m od 100 = (34 + 89) m od 100 = 23

r 2 = 23/99

0.2323

X 8 = (X 7 + X3) m od 100 = (2 3 + 98) m od 100 = 21

r 3 = 21/99

0.2121

X 9 = (X8 + X4) m od 100 = (21 + 0 3 ) m od 100 = 24

r4 = 24/99

0.2424

X 10= (X 9 + X 5) m od 100 = (24 + 69) m od 100 = 93

r5= 93/99

0.9393

X u = (X 10 + X J m od 100 = (9 3 + 3 4 ) m od 1 0 0 = 2 7

r6 = 27/99

0.2727

X 12 = ( X „ + X 7) m od 100 = (2 7 + 2 3 ) m od 1 0 0 = 5 0

r7 = 50 /9 9

0.5050

2.2 G eneración d e n ú m e ro s pseudoaleatorios |

2.2.7

Algoritm os congruenciales no lineales En esta sección se analizarán dos algoritm os co ngruenciales no lineales: el congruencial cuadrático y el algoritm o presentado por Blum , Blum y Shub .121 2.2.7.1 Algoritm o congruencial cuadrático Este algoritm o tien e la siguiente ecuación recursiva: XM = (aX¡2 + bX¡ + c ) mod (m)

i = 0 , 1, 2 ,3 , ...A/

En este caso, los núm eros^ pueden ser generados con la ecuación r¡= x ¡/ ( m - 1). De acuer­ do con L'Ecuyer ,141 las condiciones que deben cu m p lir los parám etros m , a, b y c para alcanzar un periodo m áxim o de N = m son: m = 2< > a debe ser un núm ero par c debe ser un núm ero im par g debe ser entero (6 - 1) m od 4 = 1 D e esta m anera se logra un periodo de vida m áxim o N = m. Ejem plo 2.10 Generar, a p a rtir del algoritm o co ngruencial cuadrático, suficientes núm eros enteros has­ ta a lcan zar el p erio d o de vid a, para esto considere los parám etros Xq= 13, m = 8 , a = 26, b = 27 y c = 27. Com o to das las condiciones estipuladas para los parám etros se satisfacen, es d e esperarse que el perio do de vida del generador sea N = m = 8 , tal com o podrá com ­ p robar al revisar los cálculos correspondientes, que se presentan a continuación. Solución: X , = (2 6 *1 32 + 27*13 + 27) m od (8 ) = 4 X 2 = (2 6 *4 2 + 2 7 *4 + 27) m od (8 ) = 7 X 3 = (2 6 *7 2 + 2 7 *7 + 27) m od (8 ) = 2 X 4 = (26*22 + 2 7 *2 + 27) m od (8 ) = 1 X 5 = (2 6 *1 2+ 27*1 + 2 7 ) m od (8 ) = 0 X 6 = (2 6 *0 2 + 2 7 *0 + 27) m od (8 ) = 3 X 7 = (26*32 + 2 7 *3 + 27) m od (8 ) = 6 X 8 = (2 6 *6 2 + 2 7 *6 + 27) m od (8 ) = 5 X 9 = (26*52 + 2 7 * 5 + 2 7 ) m od (8 ) = 4 31

| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

Por otro lado, el algoritm o cuadrático genera u na secuencia d e núm eros enteros S = {0 ,1 , 2, 3

, m - 1}, al igual que el algoritm o congruencial lineal.

2.2.7 .2 Algoritm o de Blum , Blum y Shub =40^i.i r>

r = — [0.0 4 4 8 7 + 0.17328+ 0.57458 + 0.04901 + ...+ 0.33616 + 0.15885 + 0.37266 + 0.41453 40 r =0.43250

1

1 __

7 1

2

U

T

=

~

U

—

( 1

.9

6

l

]

1

2

n

J

i

2

( 4

z

2

Z

°“

' 2

U

1

2

( 4

0

)

= 0.410538649

) v

0

)

\

1 :

+

1

1

— _

_i_ 7

z

2 2

L S

7

=

^

a

+

(

n

1 .9

V

6

l

2

n

0 -0 5 / 2 W

1

2

( 4

0

)

= 0.589461351

)

V i 2(40) , Com o el valo r del prom edio: 7 = 0.43250 se encuentra entre los lím ites d e aceptación, se co n cluye que no se puede rechazar que el conjunto de 4 0 núm eros r. tien e un va lo r espe­ rado de 0.5, con un nivel de aceptación de 95 por ciento.

2.4.2 Prueba de varianza Otra de las propiedades que debe satisfacer el co n ju n to r¡t es que sus núm eros tengan una varianza de 1/1 2. La prueba que busca determ inar lo anterior es la prueba d e varianza, que establece las siguientes hipótesis: Ho:° Í = 1 /1 2 H,:o\2 * 1 /1 2 36

2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |

La prueba d e varianza consiste en determ inar la varianza d e los n núm eros que contiene e l conjunto r,, m ed iante la ecuación siguiente:

l(r - 7 )2 V (r) = ^ — n- 1 D espu és se calculan los lím ites de aceptación inferior y superior con las ecuaciones siguientes:

,r

..

_ X a/2,n- 1 vw ~ 12 (n - 1)

X Q-a)/2,n--\ VM ~ 12 ( n - 1)

Si el valo r d e V(r) se encuentra entre los lím ites d e aceptación, decim os que no se puede re ch a za r q u e el c o n ju n to r¡ tie n e u n a v a ria n z a d e 1/ 12 , co n un n iv e l d e a ce p ta ció n d e 1 - a ; d e lo contrario, se rechaza que el conjunto tien e una varianza de 1/12. Para o btener valores de los facto res Chi-cuadrada vea los anexos del libro. Ejem plo 2.12 Realizar la prueba de varianza a los 4 0 núm eros r{ del ejem p lo 2.11. Considerando que n = 40 y a = 5%, procedem os a calcular la varianza de los números, y los lím ites d e aceptación correspondientes:

V (r)

Í ( r - r ) 2 Z (f¡ - 0 .4 3 2 50)2 /-i _ /-i n -1 4 0 -1

l/(r) = — [(0.04487 - 0.43250)2 + (0.17328 - 0.43250)2+ ...+ (0.37266 - 0.43250)2+ (0.41453 - 0.43250)2] 39 V (r) = 0.08695062 LS = X- “ a-*--\. = XJ ™ ™ . = 58.1200541 = Q 12 41 g8 1 5 1 2 (0 -1 ) 12(39) 468 m

U n ,)

_X = X ^ 3 » = 23;6 5 43003 = 0.05054338 12(n —1) 12(39) 468 Dado que el valo r d e la varianza: V{r) = 0.08 6 9 5 0 6 2 está entre los lím ites d e aceptación, podem os decir que no se puede rechazar que el co n ju n to de 4 0 núm eros r, tien e una varianza de 1/1 2 = 0.08333. 37

C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

2.4.3

Pruebas de uniform idad U na de las propiedades m ás im p o rtantes que debe cu m p lir un conjunto d e núm eros r. es la uniform idad. Para co m probar su acatam iento se han desarrollado pruebas estadísticas tales com o las p rueb as Chi-cuadrada y de Kolm ogorov-Sm irnov. En cualquiera de am bos casos, para probar la uniform idad d e los núm eros de un conjunto r es necesario form ular las siguientes hipótesis: H0:r ,~ (/(0,1) H ,: r¡ no son uniform es Veam os a continuación cóm o funciona cada una d e estas pruebas. 2.4.3.1 Prueba Chi-cuadrada La prueba Chi-cuadrada busca determ inar si los núm eros del co n ju n to r.se distribuyen de m anera uniform e en el intervalo (0,1). Para llevar a cabo esta prueba es necesario dividir e l intervalo (0,1) en m sub-intervalos, en dond e es recom endable m = v n . Luego se clasi­ fica cada núm ero pseudoaleatorio del conjunto r. en los m intervalos. A la cantidad de núm eros r. que se clasifican en cada intervalo se le denom ina frecuencia observada (O ), y a la cantidad d e núm eros r¡ que se espera encontrar e n cada intervalo se le llam a frecu en ­ cia esperada (E) ; teóricam ente, la E .e s igual n/m . A p artir d e los valores de O. y E se deter­ m ina el estadístico X 0 m ed iante la ecuación ,2

Xo ~

m ( E , - 0 ,)2 /-i

p

fc/

Si el valo r del estadístico Xo e s m en o r al valo r d e tablas d e X 2a jn - 1 , entonces no se puede rechazar que el conjunto de núm eros r¡ sigue una distribución uniform e. En caso co n tra­ rio, se rechaza que r¡ sigue una distribución uniform e. Ejem plo 2.13 Realizar la prueba Chi-cuadrada a los siguientes 100 núm eros d e un conjunto r.,c o n un n ivel de confianza de 95 %.

38

0.347

0.832

0.9 6 6

0.4 7 2

0.797

0.101

0 .6 9 6

0.9 6 6

0.4 0 4

0.6 0 3

0.993

0.371

0.729

0.0 6 7

0.189

0.977

0.8 4 3

0.562

0.549

0.9 9 2

0.674

0 .6 2 8

0.055

0 .4 9 4

0.4 9 4

0.235

0 .1 7 8

0.775

0.797

0.2 5 2

0.426

0 .0 5 4

0.022

0.7 4 2

0.6 7 4

0.8 9 8

0.641

0.6 7 4

0.821

0.19

0.46

0 .2 2 4

0.99

0.7 8 6

0.3 9 3

0.461

0.011

0.977

0.2 4 6

0.881

0.189

0 .7 5 3

0.73

0.797

0.2 9 2

0.8 7 6

0.7 0 7

0.562

0.562

0.821

0.112

0.191

0.5 8 4

0.347

0 .4 2 6

0.057

0.819

0.3 0 3

0.4 0 4

0 .6 4

0.37

0 .3 1 4

0.731

0.742

0.2 1 3

0.472

0.641

0 .9 4 4

0.28

0.6 6 3

0.909

0 .7 6 4

0.999

0.303

0 .7 1 8

0.933

0.0 5 6

0.4 1 5

0.819

0 .4 4 4

0.178

0 .5 1 6

0.437

0.393

0 .2 6 8

0.123

0.945

0.5 2 7

0.459

0.6 5 2

2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |

Antes de proceder, es recom endable crear una tabla sim ilar a la tabla 2 . 1, en dond e se resum en los pasos que deben llevarse a cabo en la prueba Chi-cuadrada. Tabla 2.1 Cálculos para la prueba Chi-cuadrada.

Intervalo

* ,= m

5

[0.00-0.10)

7

10

0.9

[0.10-020)

9

10

0.1

[0.20-0.30)

8

10

0.4

[0.30-0.40)

9

10

0.1

[0.40-0.50)

14

10

1.6

[0.50-0.60)

7

10

0.9

[0.60-0.70)

11

10

0.1

[0.70-0.80)

14

10

1.6

[0.80-0.90)

9

10

0.1

[0.90-1.00)

12

10

0.4

_ X '( E ¡ ~ 0 ¡ ) 2 El estadístico * 02 = £ /-I E,

_

6.2 es m en o r al estadístico correspondiente de la

Chi-cuadrada xlosg = 16.9. En co nsecuencia, no se puede rechazar que los núm eros r. siguen una distribución uniform e. 2.4.3 .2 Prueba Kolm ogorov-Sm irnov Propuesta por Kolm ogorov y Sm irnov, ésta es una prueba estadística que tam b ién nos sirve para determ inar si un conjunto r¡ cum ple la propiedad de uniform idad. Es recom en­ dable aplicarla en co njuntos r¡ pequeños, por ejem plo, n < 20. El procedim iento es el siguiente: 1. O rdenar d e m en o r a m ayo r los núm eros del conjunto r 1

0.27

2

1

(3X0.1 X0.9)2

0243

3

0

3X0.1 X0.9)3

02187

4

1

(3X0.1 X0.9)4

0.1968

>5

0

(3X0.1 X0.9)5

1.7715

Total

h= 3

h=3

h=3

Tamaño del hueco

2

Se procede entonces a calcular el error o estadístico de prueba Xo = 2 j /-i

ñ H

/ P or

últim o, si este valor es m enor que o igual al estadístico de tablas x l^ - v no podem os rechazar la hipótesis d e la independ encia entre los números.

50

2.4 Pruebas estadísticas para los n ú m e ro s pseudoaleatorios |

Ejem plo 2.19 Realizar la prueba de huecos a los siguientes 30 núm eros, con un nivel de confianza de 95% para e l intervalo (a - /3) = (0 .8 ,1 .0 ).

0.872

0.950

0.343

0.058

0.3 8 4

0.219

0.041

0.0 3 6

0.213

0.9 4 6

0.570

0.842

0.7 0 6

0.809

0.300

0.6 1 8

0.512

0.462

0.005

0.203

0.291

0.151

0.5 9 6

0.443

0.8 6 8

0.913

0.511

0.5 8 6

0.6 0 8

0.879

Tom ando los núm eros por renglón (o fila) y tenien d o en cuenta el intervalo (0.8,1.0), la secuencia de unos y ceros es: s={11,0,0,0,0,0,0,0, \ 0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,1} Si calculam os los huecos d e la m uestra, tenem os:

S = 1,1,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,1,1,0,0,0,1

r°

7

1 I

10

~0

3

E l núm ero d e ocurrencias de cada tam año d e hueco 0¡, su correspondiente frecuencia esperada £; y el cálculo del estadístico d e prueba se m uestran en la tabla 2.10. Tabla 2.10 Ejemplo de la prueba de huecos.

[E> 9> J

O,

E '-m p -a H I-W -a f í £, = (7)(0.2) (0.8)'

0

2

1.4

02571

1

2

1.12

0.6914

2

0

0.896

0.896

3

1

0.7168

0.1119

4

0

0.5734

05734

>5

2

7(0.8)5=2.2938

0.0376

Total

h=7

h=7

2.5675

Tamaño d e l hueco f i

f,

6 (E —O.) — = 2.5675 es m enor que el estadístico /-i E¡ d e tablas Xa/n-i= X ods¿ = 1 1 0 7 , no podem os rechazar la hipótesis d e independencia entre los núm eros. Ya que el estadístico de prueba x l -

51

C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

2 .5 Problem as 1. D eterm ine el ciclo o periodo d e vida d e los siguientes generadores congruenciales. a) x /+1 = (21x; + 1 5 ) m od (31)con x0 = 21 b) x /+1 = (13 x + 9) m od (128)con x0 = 7 c) xM = (17 x) m od (31) con d) x /+1 = (121 + x ) m od (256)con e) x /+1 = (21 x. + 15 x m ) m od (64)

x0 = 23 xQ= 17 con x0 = 21

y

x. = 43

2. D eterm ine el ciclo o perio do d e vida d e los siguientes generadores congruenciales. a) XM = (13 7 * X + 47) m od 17 b) c) d) e) f)

X^, = (191*X^.+ 17) m od 23 X/f1 = (2 3 7 *X + 71) m od 37 XM = (1 17*X¡ + 31) mod 19 X *, = (157*X^. + 47 ) m od 37 XM = (3 2 1 *X + 11) m od 27

3. Program e en una hoja de cálculo la serie co ngruencial x /+1= (553 + 121x.) m od (177) con x0 = 23, y haga lo que se indica. a) D eterm ine el ciclo o periodo de vida. b) Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad. 4. Realice las pruebas de uniform idad, series y corridas a los prim eros 100 aleatorios de los siguientes generadores а )X íf l= (1 1 1 7 #X;. + 3057) m od 1679567; semilla 1457 б) X^, = (2 1 77*X. + 2367) m od 1351867; semilla 1117 5. Para cada uno de los generadores del problem a anterior to m e ahora los datos de 101 al 200 y realice las pruebas de m edia, varianza y poker. 6. Program e en una hoja de cálculo la generación autom ática d e núm eros pseudoalea­ torios co n el m étodo d e cuad rado s m edios. Genere una m uestra de 50 núm eros con la sem illa 5735, y determ ine con un nivel d e aceptación de 90 % si son uniform es entre 0 y 1. 7. Realice las pruebas de m edia, varianza y uniform idad a los 50 núm eros de la tabla siguiente, con un nivel de aceptación de 95 %.

52

0.8797

0.3884

0.6289

0.8750

0.5999

0.8589

0 .9 9 9 6

0.2415

0.3808

0 .9 6 0 6

0.9848

0.3469

0.7977

0.5844

0.8147

0.6431

0.7387

0.5613

0.0318

0.7401

Q4557

0.1592

0 .8 5 3 6

0.8846

0.3410

0.1492

0.8681

0.5291

0.3188

0 .5 9 9 2

0.9170

0.2204

0.5991

0.5461

0.5739

0 .3 2 5 4

0.0856

0 .2 2 5 8

0.4603

0 .5 0 2 7

0.8376

0.6235

0.3681

0.2088

0.1525

0 .2 0 0 6

0.4720

0.4272

0.6360

0 .0 9 5 4

2.5 Problem as |

8. G enere la secuencia de aleatorios del generador congruencial x /+1= (71 x ) m od (357) con x0 = 167 y efectúe lo que se indica: a) Realice la prueba de corridas arriba y abajo. b) Realice la prueba de corridas arriba y ab ajo d e la m edia. 9. O btenga una secu e n cia de aleatorios d e tam añ o n = 200 con el g en erad o r co n­ gru encial M INSTD.161 xj } = (16807x;) m od (2147483647) con x 0 = 1 y e fe ctú e lo que se in d ica: a) Realice la prueba de m edia, varianza y uniform idad. b) Realice la prueba de corridas arriba y abajo. c) Realice la prueba d e co rridas arriba y ab ajo de la m edia. d) Realice la prueba de poker y series. é) Realice la prueba de huecos. 10. Obtenga una secuencia de aleatorios con el generador congruencial Super- D uper.171 x/+1= (69069x) m od (4294967296) con x0 = 1 y efectúe lo que se indica: a) Realice la prueba de m edia, varianza y uniform idad. b) Realice la prueba de corridas arriba y abajo. c) Realice la prueba de corridas arriba y ab ajo de la m edia. d) Realice la prueba de poker y series. e) Realice la prueba de huecos. 11. D eterm ine si la siguiente lista de 100 núm eros de 2 dígitos tien e una distribución uniform e con un nivel de aceptación de 90 %.

0.7 8

0.9 8

0.24

0.73

0.43

0 .1 6

0 .7 8

0.47

0 .1 8

0.55

0.0 4

0.29

0.68

0.77

0.16

0.03

0.79

0.22

0.37

0.80

0.9 6

0.2 6

0.91

0.55

0.75

0.55

0 .6 4

0.39

0.53

0.45

0.61

0.1 4

0.38

0.12

0.40

0.74

0 .7 8

0 .9 8

0.27

0.60

0.43

0.67

0.62

0.32

0.53

0.54

0 .2 4

0.29

0 .1 8

0 .0 8

0.82

0.9 4

0.19

0.98

0.41

1.00

0 .7 4

0.92

0 .1 4

0.43

0.83

0.8 8

0.18

0.21

0.50

0.13

0.43

0.69

0 .0 8

0.12

0.22

0.50

0.16

0.11

0.18

0.89

0.80

0.42

0.29

0.87

0.83

0.79

0.65

0.28

0.78

0.49

0.36

0 .8 6

0.87

0 .6 4

0.51

0.07

0.18

0.94

0.50

0.22

0.66

0.91

0 .4 8

0 .2 4

12. U tilice la prueba de poker con nivel de aceptación de 95 % para com probar la h ip ó ­ tesis de que los núm eros de la sig uiente lista son aleatorios.

53

r~ | C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

0.5632

0.2395

0.5583

0.8050

0 .4 1 6 6

0 .5 4 5 4

0.5491

0.5593

0.7725

0 .2 3 2 6

0.1020

0 .4 7 0 8

0.5690

0.3802

0 .8 2 2 4

0 .6 8 6 6

0 .7 0 9 8

0.9352

0 .1 3 8 8

0.4535

0.0945

0.1357

0.9191

0.1503

0 .1 6 4 5

0.9770

0.1301

0.1100

0.2523

0.4439

0.9499

0.9415

0.7413

0.9335

0 .0 8 0 5

0.8295

0.4575

0.1863

0 .5 5 0 4

0 .8 9 2 6

0.9035

0.1133

0.1115

0.8761

0 .0 0 0 7

0.6222

0.4605

0 .0 6 8 8

0 .9 1 6 4

0.3482

0.9419

0.3802

0.8765

0.5340

0.6593

0 .8 2 6 6

0.5932

0.4277

0.9162

0.7300

0.0927

0.4691

0 .5 7 3 6

0.5615

0.1909

0 .2 1 4 3

0.2672

0 .7 8 6 4

0 .3 2 1 8

0.4765

0.5581

0 .0 8 8 8

0.3969

0.0151

0.8605

0 .9 6 1 5

0.7752

0.0461

0.1122

0.7559

0.4251

0.7327

0.8791

0.4445

0 .8 8 6 4

0 .6 3 8 4

0.6607

0.2892

0.8905

0 .5 1 2 6

0.7184

0.0512

0.5982

0.3277

0.0407

0 .2 6 6 8

0.5557

0.8139

0.3261

0 .7 9 4 9

0.2236

0.1455

0.5083

0 .6 1 0 6

0.7605

0 .9 7 8 8

0 .0 2 0 4

0 .6 0 0 6

0.1452

0 .1 2 3 4

13. D eterm ine, m ediante las pruebas d e independ encia (corridas arriba y abajo, corridas arriba y debajo de la m edia, de poker, d e series o de huecos) si los 100 núm eros d e la tabla son pseudoaleatorios con un nivel d e aceptación de 90 %.

0.7 8

0.9 8

0.24

0.73

0.43

0 .1 6

0 .7 8

0.47

0 .1 8

0.55

0.0 4

0.29

0.68

0.77

0.16

0.03

0.79

0.22

0.37

0.80

0.9 6

0.2 6

0.91

0.55

0.75

0.55

0 .6 4

0.39

0.53

0.45

0.61

0.1 4

0.38

0.12

0.40

0.74

0 .7 8

0 .9 8

0.27

0.60

0.43

0.67

0.62

0.32

0.53

0.54

0 .2 4

0.29

0 .1 8

0 .0 8

0.82

0.9 4

0.19

0.98

0.41

1.00

0 .7 4

0.92

0 .1 4

0.43

0.83

0.8 8

0.18

0.21

0.50

0.13

0.43

0.69

0 .0 8

0.12

0.22

0.50

0.16

0.11

0.18

0.89

0.80

0.42

0.29

0.87

0.83

0.79

0.65

0.28

0.78

0.49

0.36

0 .8 6

0.87

0 .6 4

0.51

0.07

0.18

0.94

0.50

0.22

0.66

0.91

0 .4 8

0 .2 4

14. Abra el directorio telefó nico en la prim era página de la letra D y seleccione los últi­ mos 5 dígitos de los prim eros 50 núm eros telefónicos. D eterm ine si esta selección es aleatoria con un nivel d e aceptación de 95 % ; utilice para ello las pruebas de corridas arriba y abajo, arriba y ab ajo de la m edia, y poker. 15. O bserve y anote los 4 dígitos de las placas de 100 autom óviles que pasen por alguna calle. D eterm ine si esta selección es aleatoria co n un nivel d e aceptación de 95% ; utilice para ello las p rueb as d e corridas arriba y abajo, arriba y ab ajo d e la m edia, y la prueba de series.

54

2.5 Problem as |

16. D eterm in e con la p r u e b a d e corridas arriba y a b a jo si los 50 n ú m e ro s d e la ta b la son in d e p e n d ie n te s con un nivel d e a c e p ta c ió n d e 90 %. Q6069

0.5316

0.5929

0.4131

0.2991

0 .6 8 4 8

0.8291

0.1233

0.2497

0.9481

0.4411

0.8195

0.3521

0 .8 0 6 8

0.1062

0 .5 3 8 4

0.9287

0.7954

0.7271

0 .5 7 3 9

0.4029

0.2549

0.1003

0.5523

0.1897

0.8725

0.4439

0.6056

0.8310

0 .4 7 0 9

0.1926

0.0266

0 .5 6 9 6

0 .7 5 0 4

0.8542

0.6045

02269

0.7970

0 .3 7 3 8

0 .1 2 8 4

Q 6367

0.9543

0.5385

02574

0.2396

0 .3 4 6 8

0.4105

0.5143

0 .2 0 1 4

0 .9 9 0 0

17. D eterm ine, con la prueba d e corridas arriba y ab ajo de la m edia, si los 50 núm eros de la ta b la son independ ientes con un nivel de aceptación de 90 %.

Q6351

0.0272

0.0227

0.3827

0.0659

0.3683

0.2270

0.7323

0 .4 0 8 8

0 .2 1 3 9

Q4271

0.4855

0 .2 0 2 8

0 .1 6 1 8

0.5336

0 .7 3 7 8

0.3670

0.6637

0 .1 8 6 4

0 .6 7 3 4

Q 9498

0.9323

0.0265

0 .4 6 9 6

0.7730

0.9670

0.7500

0.5259

0.5269

0 .5 4 0 6

Q3641

0.0356

0.2181

0 .0 8 6 6

0.6085

0 .4 4 6 8

0.0539

0.9311

0 .3 1 2 8

0 .1 5 6 2

Q8559

0.7280

0.7789

0 .1 7 4 6

0.6637

0.0687

0 .5 4 9 4

0.1504

0.8397

0 .2 9 9 5

18. U tilice la prueba d e series para determ inar si los 50 núm eros d e la tabla son ind ep en­ dientes con un nivel de aceptación de 90 % .

0.5858

0.8863

0 .8 3 7 8

0.3203

0.4115

0.2710

0 .9 2 3 8

0.1959

0 .9 2 6 8

0 .6 7 0 2

Q6213

0.4360

0.6279

0.8415

0.5786

0.0543

0.3567

0.1655

0.3880

0 .8 0 8 0

Q1931

0.0843

0.9152

0.6093

0.7587

0.4515

0.3203

0.5139

0.7070

0 .9 1 2 3

Q 1242

0.8826

0.9921

0.8523

0.6723

0.8540

0.4722

0.4781

0.2101

0 .1 6 8 0

08658

0.4028

0 .6 1 3 6

0.8720

0.1126

0.5857

0.9172

0.8943

0.8095

0 .6 4 0 8

19. G enere en una hoja de cálculo 200 núm eros aleatorios en una m ism a colum na, use la fu n ció n pred eterm inad a ALEATORIO (o RAND). Copie estos valores y ub íq uelo s en la sig u ie n te co lu m n a, pero desfáselos una p o sició n . Copie el ú ltim o d e los valo ­ res en el lugar que quedó vacío al principio, y haga una gráfica de relación XY. ¿Se observa que los datos están dispersos de m anera uniform e? 20. Obtenga la m edia y la varianza d e los datos del problem a 18. ¿Son exactam en te los m ism os qu e para una distribución uniform e entre cero y uno? ¿A qué atribuye esta diferencia? 21. Un m étodo m ultiplicativo m ixto genera 19500 núm eros de 3 dígitos, de los cuales 13821 tienen todos sus dígitos diferentes, 5464 pares y 215 tercias. Calcule el error respecto d e las frecuencias esperadas b ajo la prueba poker. 22. Un m étodo congruencial genera 71500 núm eros de 4 dígitos, de los cuales 3500 se clasifican com o 2 pares. Calcule el error de este evento respecto de su frecuencia esperada b ajo la prueba poker. 55

| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

23. Al realizar la prueba poker a 50 núm eros aleatorios de 4 dígitos, el resultado del error total es de 11.07. ¿Aceptaría la hipótesis de independencia con nivel d e aceptación de 95 %? 24. Al realizar la prueba poker a X cantidad d e núm eros aleatorios de 6 dígitos, el resul­ tado del error to tal es de 15.51. ¿Aceptaría la hipótesis de independencia con nivel de aceptación de 95 % ? 25. Un m étodo co ngruencial genera 357500 núm eros de 6 dígitos, d e los cuales 17500 se clasifican com o 2 pares. Calcule el error de este evento respecto d e su frecuencia esperada b ajo la prueba poker. 26. ¿Cuáles d e las aseveraciones siguientes son correctas? a) La prueba poker requiere núm eros aleatorios de 5 dígitos. b) Si acepto que los núm eros son uniform es (0,1), no necesito hacer la prueba de m edia = Vi y de varianza = 1/12. c) Si acepto la prueba d e series los núm eros no contienen ciclos o tendencias. d) Si acepto la prueba de m edia = Vi y la de varianza = 1/12, entonces los núm eros son uniform es (0,1). 27. La siguiente tabla m uestra los resultados d e la prueba de series después d e clasificar los núm eros entre 0 y 1.

92

85

90

93

88

98

93

90

96

91

86

88

100

85

84

81

a) Calcule el error to tal existen te (C) entre lo real y lo teórico. b) ¿Existe evid encia estadística de falta de independencia d e la secuencia d e n ú m e­ ros con un nivel d e aceptación de 90 %? 28. Calcule la cantidad m ínim a y m áxim a d e corridas que deben existir en una secuencia de 17000 núm eros para co ncluir que son núm eros aleatorios con un nivel de confian­ za de 95 %. 29. Genere 100 núm eros pseudoaleatorios usando cualquier hoja de cálculo, y realice las pruebas d e corridas, uniform idad e independencia. ¿Bajo este análisis es posible considerar que el generad or d e núm eros aleatorios que tien e la hoja de cálculo usa­ da es confiable? 30. Para los siguientes núm eros pseudoaleatorios determ ine por m edio d e una prueba de series si se pueden considerar independientes. a) U tilice 9 casillas equiprobables 56

2.5 Problem as |

b) U tilice 16 casillas equiprobables c) U tilice 25 casillas equiprobables.

0.1108

0.9082

0 .4 7 3 8

0.1181

0.7422

0.5005

0 .6 4 3 8

0.1873

0.7379

0 .4 9 9 9

0.3316

0 .2 9 7 4

0.2480

0.0048

0.9841

0.8873

0.6742

0.4242

0.2729

0 .5 0 0 8

0.1813

0 .7 3 4 8

0.4232

0.5429

0.7373

0.3440

0.4653

0.1465

0.1511

0 .7 9 3 2

0.6113

0 .1 5 0 8

0.4751

0.2777

0.4041

02909

0.4072

0.7725

0.7611

0.5241

0.4128

0.7647

0.8461

0.3529

0 .9 9 6 6

0 .6 5 7 6

0.1951

0 .1 8 4 4

0.0851

0 .9 6 9 8

0.1883

0 .1 3 2 8

0 .4 9 4 4

0.5323

0.0333

0 .1 1 0 6

0 .3 0 0 4

0 .1 1 2 8

0.4664

0 .4 8 2 0

0.2977

0.9579

0.6782

0.2963

0.9185

0.8141

0.9240

0 .5 2 5 4

0.8034

0.7441

0.5114

0.3399

0.2121

0.0674

0 .8 5 3 4

0 .2 1 4 4

0.9660

0 .2 2 4 8

0.9855

0 .9 3 9 4

0.0213

0 .0 1 6 4

0.8420

0.8373

0.7677

0.9857

0 .6 9 7 8

0 .4 1 3 6

0.4721

0 .2 8 1 2

0.6239

0.0502

0 .1 8 4 8

0.1978

0.5805

0.1240

0 .9 5 4 6

0.2802

0.6087

0 .7 1 4 6

31. Dado el siguiente generador de aleatorios Xj+J = (2177*X .+ 2367) m od 1351867; sem i­ lla 1117. Tom e los prim eros núm eros entre cero y uno para com pletar 100 pares de datos. Luego elabore una prueba de series com o se pide. a) Considere clases en increm entos de 0.125 en el e je X y de 0.25 para Y. Es decir, una m atriz de 32 casillas. b ) Considere clases en increm ento d e 0.2 en el eje X y 0.25 para Y. Es decir, una m atriz de 20 casillas. c) Basado en los dos casos, ¿podem os decir que los aleatorios generados son in d e­ pendientes? 32. La siguiente tabla m uestra los resultados de la prueba d e huecos con p - a = 0.1 después de clasificar los núm eros uniform es.

Tamaño del hueco

Frecuencia ob servada

0

5

1

4

2

3

3

3

>3

25

Total

40

a) Calcule el error to tal existen te entre lo real y lo teórico. b) ¿Se puede considerar que esta m uestra es pseudoaleatoria con un nivel de acep­ tación d e 90 %?

57

| C a p ítu lo 2 N úm eros pseudoaleatorios

33. D eterm ine, m ediante la prueba d e huecos, con a = 0.5 y/3 = 0.8, si los 50 núm eros de la ta b la son independ ientes con un nivel de aceptación de 90 %.

0.5858

0.8863

0 .8 3 7 8

0.3203

0 .4 1 1 5

0.2710

0 .9 2 3 8

0.1959

0 .9 2 6 8

0.6702

0.6213

0.4360

0.6279

0.8415

0 .5 7 8 6

0.0543

0.3567

0.1655

0.3380

0.8080

0.1931

0.0843

0.9152

0.6093

0 .7 5 8 7

0.4515

0.3203

0.5139

0.7070

0.9123

0.1242

0 .8 8 2 6

0.9921

0.8523

0 .6 7 2 3

0.8540

0.4722

0.4781

0.2101

0.1680

0.8658

0 .4 0 2 8

0 .6 1 3 6

0.8720

0 .1 1 2 6

0.5857

0.9172

0.8943

0.8095

0 .6 4 0 8

Referencias [1] Banks, J., Carson, J.S., Nelson, B.L., y Nicol, D.M.(2005). Discrete-Event System Simulation (4* ed.) NuevaJersey: Prentice Hall. [2] Blum, L., Blum, M.y Shub, M.A(1986). Simple Unpredictable Pseudo-random NumberGenerator, SIAMJ. Comput, volumen 15 (número 2), pp. 364-383. [3] Law, A.M. y Kelton, W.D. (2000). Simulation Modeling andAnalysis (3*. ed.): McGraw Hill. [4] L'Ecuyer, P (1994b). Uniform Random Number Generation, Ann. OfOperations Research., 53, pp. 77-120. [5] Lehmer D.H. (1951). Proceedings o f the Second Symposium on Large-Scale Digital Computing Machinery, Massachussetts: Harvard University Press, Cambridge. [6] Lewis P.A., Goodman A.S., and Miller J.M. (1969). A pseudo-random number generator for the System/360, IBMSyst. J., volúmenes 8,2, pp.136-146. [7] Margsalia D.H. (1972). The structure of linear congruential sequences, Applications o f Number Iheoryto Numérica! Analysis, S.K. Zaremba, pp. 248-285, Nueva York: Academic Press.

58

Variables aleatorias

1

Defi n ic ión de va ria b le a leato ria

2

Tipos de variab les aleatorias

3

D eterm inación del tip o d e distribución d e un conjunto de datos

4

Generación de variables aleatorias

5

Expresiones co m unes d e algunos generadores de variables aleatorias

6

Problem as Referencias

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

3.1 Definición de va riab le aleato ria A lo largo de los capítulos anteriores hem os m en cio nad o que un m odelo de sim ulación perm ite lograr un m ejo r entendim iento de prácticam ente cualquier sistem a. Para ello, resulta indispensable obtener la m ejor aproxim ación a la realidad, lo cual se consigue co m poniendo el m odelo con base en variables aleatorias que interactúen entre sí. Pero, ¿cóm o podem os determ inar qué tip o de distribución tien e una variable aleatoria?, ¿cóm o podem os usarla en el m odelo una vez que conocem os su distribución asociada? En este capítulo com entarem os los m éto d os y las herram ientas que pueden d ar respuesta a estas interrogantes clave para la generación del m odelo. Podem os decir que las variables aleatorias son aquellas que tien en un co m po rta­ m iento pro babilístico en la realidad. Por ejem plo, el núm ero d e clientes que llegan cada hora a u n banco depende del m o m ento del día, del día d e la sem ana y de otros factores: por lo general, la afluencia d e clientes será m ayor al m ediodía que m u y tem prano por la m añana; la dem anda será m ás alta el viernes que el m iércoles; habrá m ás clientes un día de pag o que un día norm al, etcétera. D ebido a estas características, las variables aleato­ rias deben cum plir reglas d e distribución de probabilidad com o éstas: • • • •

La sum a de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la variable aleatoria x e s uno. La probabilidad de que un posible valo r de la variables x se presente siem pre es m ayor que o igual a cero. El valo r esperado de la distribución de la variab le aleatoria es la m edia de la m is­ m a, la cu al a su vez estim a la verdadera m edia d e la población. Si la distribución de probabilidad asociada a una variab le aleatoria está definida por m ás de un parám etro, dichos parám etros pueden obtenerse m ed iante un estim ador no sesgado. Por ejem plo, la varianza de la población cr2 puede ser esti­ m ada usando la varianza de una m uestra que es s2. De la m ism a m anera, la d esvia­ ción estándar de la po blación cr, puede estim arse m ediante la desviación estándar d e la m uestra s.

3.2 Tipos d e v a riab le s aleato rias Podem os diferenciar las variables aleatorias de acuerdo con el tip o d e valores aleatorios que representan. Por ejem p lo , si habláram os del núm ero d e clientes que solicitan cierto servicio en un periodo de tiem p o determ inado, podríam os encontrar valores tales com o 0, 1, 2, ..., n, es decir, un co m portam iento co m o el que presentan las d istrib uciones de probabilidad discretas. Por otro lado, si habláram os del tiem p o que tarda en ser atendida una persona, nuestra investigación tal vez arrojaría resultados com o 1.54 m inutos, 0.028 horas o 1.37 días, es decir, un co m po rtam iento sim ilar al de las distribuciones de pro ba­ bilidad continuas. Si consideram os lo anterior podem os diferenciar entre variables alea­ torias discretas y las continuas. V a ria b le s a le a to ria s d iscre ta s. Este tip o d e variab le s deben c u m p lir con esto s p a rá ­ m etros: 60

3.2 Tipos de variables aleatorias |

P(x) > 0

Í

/-o

p,= i b

P [ a ¿ x < , b ) = ] £ p , = p „ + ...+p„

/-fl Algunas d istrib ucio n es discretas de probabilidad son la unifo rm e d iscreta, la de Berno u lli, la hip erg eo m étrica, la d e Poisson y la bino m ial (vea la fig u ra 3.1). Podem os a s o c ia ra estas u otras d istrib u cio n es d e probabilidad el co m p o rtam ien to d e una varia­ ble aleato ria. Por ejem p lo , si n u e stro p ro pó sito al an alizar un m uestreo d e calidad con­ siste en d e cid ir si la pieza b ajo insp ecció n es b u en a o no, estam os realizan d o un exp e rim e n to con 2 posibles resultados: la pieza es b u en a o la p ieza es m ala. Este tip o de co m p o rtam ien to está aso ciad o a una d istrib ución d e Berno ulli. Por otro lado, si lo que querem os es m o d elar el n ú m e ro d e usuarios q u e llam arán a un teléfo n o d e aten­ ción a clientes, el tip o d e co m p o rtam ien to p u e d e llegar a parecerse a una d istrib ución de Poisson. In clu so podría ocurrir que el co m p o rtam ien to d e la variab le n o se pareciera a otras d istrib ucio n es d e p ro babilidad conocidas. Si éste fu era el caso, es p e rfe ctam e n ­ te vá lid o usar una d istrib u ción em p írica que se ajuste a las co nd icio nes reales d e pro­ b ab ilid ad . Esta d istrib ución puede se r una ecuación o una sum a d e térm in o s que cum pla con las co nd iciones necesarias para se r considerada una d istrib ución d e pro­ babilidad.

D istrib u c ió n B in o m ial (A/ = 5 ,p = 0 .5 ) P (x)

Figura 3.1 D istrib u ció n de probabilidad d e una variab le aleatoria d iscreta.

Variables a le ato ria s continuas. Este tip o de variables se representan m ediante una ecuación que se co no ce com o función d e densidad d e probabilidad. Dada esta condición, cam biam os el uso de la sum atoria por la d e una integral para conocer la función acum u­ lada d e la variable aleatoria. Por lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cum plir los siguientes parám etros.

61

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

P (x)> 0 oo

J fM

=i b

P {a < ,x < b ) = P { a < x < b) = F ( x ) = j f ( x ) d x a

Entre las distribuciones de probabilidad tenem o s la uniform e continua, la exp o n en ­ cial, la norm al, la d e W eibull, la Chi-cuadrada y la de Erlang (vea la figura 3.2). De la m ism a form a que en las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser asociados a cie r­ tas distribuciones.

Por ejemplo, es posible que el tiem po entre llegadas de los clientes a un sistema tenga una distribución de probabilidad m uy sem ejante a una exponencial, o que el tiem po que le tom a a u n operario realizar una serie de tareas se com porte de manera m u y similar a la dis­ persión que presenta una distribución normal. Sin embargo, debemos hacer notar que este tip o de distribuciones tienen sus desventajas, ya que el rango de valores posibles implica que existe la posibilidad de tener tiem pos entre llegada de clientes infinitos o tiem pos de ensam ­ ble infinitos» situaciones lejanas a la realidad. Por fortuna, es m uy poco probable de se pre­ senten este tipo de eventos, aunque el analista d e la simulación debe estar consciente de cóm o pueden im pactar valores com o los descritos en los resultados del modelo. En las siguientes secciones revisaremos algunas herram ientas útiles para lograr ese objetivo.

3.3 D eterm inación del tipo d e d istrib u ció n d e un conjunto de datos La distribución de probabilidad de los datos históricos puede determ inarse m ediante las pruebas Chi-cuadrada, de Kolm ogorov-Sm irnov y de Anderson-Darling. En esta sección se revisarán los procedim ientos d e cada una de estas pruebas, así com o la form a d e rea­ lizarlas a tra vés d e Stat::Fit, una herram ienta com plem entaria d e ProModel. 62

3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]

3.3.1 Prueba Chi-cuadrada Se trata de una prueba de hipótesis a p artir de datos, basada en el cálculo de un valor llam ado estadístico d e prueba, al cual suele com parársele con un valo r conocido com o valor crítico, m ism o que se obtiene, generalm ente, de tab las estadísticas. El pro ced im ien­ to general de la prueba es: 1. O btener al m enos 30 datos de la variab le aleatoria a analizar. 2. Calcular la m edia y varianza d e los datos. 3. Crear un histogram a d e m = \fn intervalos, y obtener la frecuencia observada en cada intervalo O.. 4 . Establecer exp lícitam ente la hipótesis nula, m ediante una distribución de pro ba­ bilidad que se ajuste a la form a del histogram a. 5. Calcular la frecuencia esperada, E¡, a p a rtir de la función de probabilidad p ro ­ puesta. 6. Calcular el estadístico de prueba

/«i

s-

7. D efinir el n ive l de sig n ifican cia d e la prueba, a, y d e te rm in ar el valo r crítico de la p ru e b a, Xa^-k^ {k es el n ú m e ro d e parám etros estim ado s en la d istrib ución propuesta). 8. Com parar el estadístico d e prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es m en o r que el valo r crítico n o se puede rechazar la hipótesis nula. Ejem plo 3.1 Éstos son los datos del núm ero de autom óviles que entran a una gasolinera cada hora:

14

7

13

16

16

13

14

17

15

16

13

15

10

15

16

14

12

17

14

12

13

20

8

17

19

11

12

17

9

18

20

10

18

15

13

16

24

18

16

18

12

14

20

15

10

13

21

23

15

18

D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel d e significancia a de 5 %. El histogram a (vea la figura 3.3) d e los n = 50 datos, que considera m = 11 intervalos, la m edia m uestral de 15.04 y la varianza m uestral de 13.14, perm ite establecer la siguien­ te hipótesis: Ho: Poisson (A = 15) autom óviles/hora H ,: Otra distribución

63

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

Histogram a 12

-

10 -

.2 8 -)£ 3 6u 4-

l

2

n r v a \ . - r o i n r v o \ . - r o i n

(N

(N

5

*

Normal

, *

4

25

0.1

.05

.025

.001

1.933

2.492

3.070

3.857

0.632

0.751

0.870

1.029

1.070

1.326

1587

1.943

0.637

0.757

0.877

1.038

0.563

0.660

0.769

0.906

' +« ~ ¥ )

Exponencial K

H

.

DeWeibull K Log-logística K

E je m p lo 3.3

Los siguientes son los datos d e un estudio del tiem p o d e atención a los clientes en una florería, m edido en m inutos/cliente:

9.400

8.620

9.346

13.323

7.112

13.466

5.7 6 4

8.9 7 4

9.831

10.056

7.445

6.619

9.260

6.7 7 5

8.3 0 6

5.633

8.864

13.944

8.952

9.355

10.489

6.306

12.685

11.078

6.957

9.532

9.192

11.731

11.350

14.389

12.553

8 .0 4 5

9.829

11.804

9.274

12190

10.270

14.751

9.237

6.5 1 5

12.397

8 .4 5 3

9.628

13.838

9.935

7.827

9269

8.690

11.515

8.5 2 7

D eterm inar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a de 5 por ciento. El histogram a (vea la figura 3.5) de los n = 50 datos, que considera m = 10 intervalos, la m edia m uestral de 9.786 y la varianza m uestral de 5.414, perm ite establecer la siguien­ te hipótesis nula: Ho: N orm al (/x = 10, a = 2.0) m inutos/cliente H ,: Otra distribución

69

n

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

Histograma

14 T 12

|

10-

S 8+

*

6 -I4

2 _L

Figura 3.5

0 co-6

6-7

7-8

8-9

9-10

10-11

11-12 12-13 13-14

Minutos/cliente

14^>o

Histograma de frecuencias del tiempo de servicio en la florería.

En la tabla 3 .4 se m uestran los resultados d e los cálculo s d e cada uno d e los pasos del procedim iento siguiente: -

En la colum na C1 se ordenaron los datos Y, i = 1,2,...,30 en form a ascendente. En la colum na C2 se organizaron los datos V'30^1_/ / = 1,2,...,30 en form a descen­ dente.

-

En la colum na C3 se calcula la variable auxiliar 2/ —1 / = 1,2,...,30 del estadístico de prueba. En las colum nas C4 y C5 se calcula la probabilidad esperada acum ulada para cada núm ero Yr PEA(Y¡) d e la colum na C1, y el co m plem ento de la probabilidad espera­ da acum ulada para cada núm ero : 1-P EA {Y n^ ¡) de la colum na C2 a p a rtir de la función de probabilidad propuesta, que en este ejem p lo es una norm al (yx = 10,

-

cr = 2 .0 ). Si se to m a, por ejem plo, el renglón / = 7 con Y7 = 7.8266 de la colum na C1 y Y2A= 10.0562 d e la colum na C2, y se estandarizan am bos valores 7 .8 2 6 6 - 1 0 Z, , = --------------- = - 1 .0 8 6 7 2 1 0 .0 5 6 2 - 1 0 = 0.0281 z¡„24 =

se e n cu e n tra la p ro babilidad acum ulad a en la tab la no rm al estándar. D e esta form a te n e m o s u n a PEA7 = 0.1385 para z = - 1 .0 8 6 7 y, para z = 0.0285 u n a PEA2A = 0 .5 1 1 2 y 1 - PEA2A= 0.4888. En las colum nas C6, C7 y C8 se desglosan los cálculos del estadístico d e prueba

70

3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]

* = -

n + —¿ ( 2 / - 1)[lnP£A(V^)+ln (1 - P E A t C ,.,) ]

30 + ^ ¿ ( 2 / - l) [ ln P £ 4 ( y ') + ln ( 1 - P M ( V 'n+1.,) ] /-I a

:= -

30 + — [(1)[-4.2399 —3.1812] + (3 )[-4.0692 —3.1812] + ... + (5 9 )[-0 .0 4 2 4 - 0 .0146]] 30

= 2,825724

U na vez calculado el estadístico d e prueba es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3. En este caso, com o tenem os n > 5 no se requiere ajuste. Por últim o, al com parar el estadístico d e prueba A* = 2.825724 con el valor crítico de la prueba y el nivel d e significancia seleccionado, a00S 3O= 2.492 (vea la tabla 3.3, en donde se dan los valores críticos de a), se rechaza la hipótesis H .

Tabla 3.4 C á lc u lo s d e la h ip ó t e s is in ic ia l e n la p r u e b a d e A n d e r s o n - D a r lin g . --------------- -----------------------

C7

C8

LN[C4)

LN(CS)

(C 3)*((C 6) + C (7 ))

0 .0 4 1 5

-4 2339

-3 .1 8 1 2

-7.4151

0.01709

0 .0 4 1 5

-4 0692

-3 .1 8 1 2

-2 1 .7 5 1 3

5

0.01709

0 .0 4 8 3

-4 0692

-3.0301

-3 5 .4 9 6 7

12.6853

7

0.06 4 0 5 8

0 .0 8 9 7

-2 7480

-2 4 1 1 4

-3 6 .1 1 5 2

7.11163

12.19

9

0.074343

0 .1 3 6 8

-2 5 9 9 1

- 1 .9 8 9 6

-4 1 .2 9 7 7

6

7.11163

10.2697

11

0.074343

0 .4 4 6 4

-2 5 9 9 1

- 0 .8 0 6 6

-3 7 .4 6 2 5

7

7.8266

10.0562

13

0.138585

0 .4 8 8 8

-1 .9 7 6 3

- 0 .7 1 5 8

-3 4 .9 9 7 4

8

8.30552

9.93504

15

0.198431

0 .5 1 3 0

-1 .6 1 7 3

- 0 .6 6 7 6

-3 4 .2 7 3 2

9

8.61959

9.83097

17

0.245033

0 .5 3 3 7

- 1 .4 0 6 4

-0 .6 2 8 0

-3 4 .5 8 3 6

10

8.86415

9.82943

19

0.285043

0 .5 3 4 0

-1 2 5 5 1

- 0 .6 2 7 4

-3 5 .7 6 7 6

11

8.97359

9.62768

21

0.303903

0 .5 7 3 8

-1 .1 9 1 0

- 0 .5 5 5 4

-3 6 .6 7 5 5

12

9.1919

9.53164

23

0.343089

0 .5 9 2 6

- 1 .0 6 9 8

-0 .5 2 3 3

-3 6 .6 3 9 9

13

9.25952

9.39954

25

0.355602

0 .6 1 8 0

-1 .0 3 3 9

-0 .4 8 1 3

-3 7 .8 8 0 3

14

9.26901

9.34602

27

0.357372

0 .6 2 8 2

-1 .0 2 9 0

-0 .4 6 5 0

-4 0 .3 3 6 2

15

9.27425

9.34602

29

0.358348

0 .6 2 8 2

-1 .0 2 6 2

-0 .4 6 5 0

-4 3 .2 4 5 0

16

9.34602

9.27425

31

0.371838

0 .6 4 1 7

-Q 9 8 9 3

-0 .4 4 3 7

-4 4 .4 2 3 3

17

9.34602

9.26901

33

0.371838

0 .6 4 2 6

-0 .9 8 9 3

-0 .4 4 2 2

-47.2391

18

9.39954

9.25952

35

0.382

0 .6 4 4 4

-Q 9 6 2 3

- 0 .4 3 9 4

-4 9 .0 6 2 0

19

9.53164

9.1919

37

0.407422

0 .6 5 6 9

-0 .8 9 7 9

-0 .4 2 0 2

-4 8 .7701

20

9.62768

8.97359

39

0.426161

0.6961

-Q 8 5 2 9

-0 .3 6 2 3

-4 7 .3 9 3 0

21

9.82943

8.86415

41

0.466018

0 .7 1 5 0

-Q 7 6 3 5

-0 .3 3 5 5

-4 5 .0 6 1 7

22

9.83097

8.61959

43

0.466323

0 .7 5 5 0

-Q 7 6 2 9

-0.2811

-4 4 .8 9 0 2

23

9.93504

8.30552

45

0.487045

0 .8 0 1 6

-Q 7 1 9 4

-0 .2 2 1 2

-4 2 .3 2 6 3

C1

C2

C3

C4

CS

C6

/

Y,

Y30+W

2/-1

PEA(Y)

1 - / W 30íw>

1

5.63282

13.4663

1

0.01 4 4 9 6

2

5.76414

13.4663

3

3

5.76414

13.3229

4

6.95 6 8 6

5

71

n

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

24

10.0562

7.8266

47

0.51 1 2 1 6

0 .8 6 1 4

-0 .6 7 1 0

-0 .1 4 9 2

-3 8 .5 4 6 7

25

10.2697

7.11163

49

0.55 3 6 3 6

0 .9 2 5 7

-0 5912

-0 .0 7 7 3

-3 2 .7 5 6 5

26

12.19

7.11163

51

0.863247

0 .9 2 5 7

-0 1 4 7 1

-0 .0 7 7 3

-1 1 .4 3 9 6

27

12.6853

6.9 5 686

53

0.91 0 3 0 6

0 .9 3 5 9

-0 0940

-0 .0 6 6 2

-8 .4 8 9 4

28

13.3229

5.76414

55

0.951689

0 .9 8 2 9

-0 0495

-0 .0 1 7 2

-3 6715

29

13.4663

5.76414

57

0.95 8 4 6 4

0 .9 8 2 9

-0 0 4 2 4

-0 .0 1 7 2

-3 4007

30

13.4663

5.63282

59

0.95 8 4 6 4

0 .9 8 5 5

-0 0 4 2 4

- 0 .0 1 4 6

-3 3645

Replanteam iento de una nueva hipótesis: Ho: N orm al (/x = 9.604, a = 2.0) m inutos/cliente H ,: O tra distribución En la tabla 3.5 se presenta el resum en de resultados de cada uno d e los pasos del pro ce­ dim iento; la m odificación se ve reflejada en los cálculos de las probabilidades esperadas acum uladas. Por ejem plo, para el renglón / = 7 tenem o s ahora: 7 .8 2 6 6 -9 .6 0 4 */-7 =

1 0 .0 5 6 2 -9 .6 0 4 Z /-2 4 =

-0.8887 = 0.2261

Con estos valores se encuentra la probabilidad esperada acum ulada en la tabla norm al están d ar: a z = -0 .8 8 8 7 le corresponde PEA7 = 0.18707, y a z = 0.2261, PEA24 = 0 .5 8 9 4 y 1 - P£/\24 = 0.4106. Al calcular de nuevo el estadístico d e prueba se obtiene:

K = - n + i ¿ ( 2 / - 1 ) [ h f l E W , ) + l n O - / W . fW )] 11 /=1 $ = -

a

;= -

3 0 + ¿ £ ( 2 / - 1 ) [ l n / W #) + l n O - / W „ w )]

/-I

3° + ¿

[(1) [ _ 3-749 - 3 .6 2 1 8 ]+ (3 )[-3 .5 9 6 1 -3 .6 2 1 8 ]+ ...+ {5 9 )[- 0 .0 2 7 1 - 0.0238]]

=1.3516

Una vez calculad o el estadístico de prueba, es necesario ajustarlo de acuerdo con la tabla 3.3. En este caso, com o tenem os n > 5, no se requiere ajuste. Por últim o, al com parar el estadístico d e prueba A 2 n =1.3516 con el va lo r crítico y el n ivel de significancia seleccionado, o005J0 = 2.492 (tabla 3.3 d e valores crítico s d e a ), vem os que n o se puede rechazar la hipótesis H0. 72

3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]

Tabla 3.5

C á lc u lo s d e la s e g u n d a h ip ó t e s is e n la p r u e b a d e A n d e r s o n - D a r lin g . C1

--------------- ---------------C3 C4

C2

CS

C6

C7

C8

LN [C4)

LN[CS)

(C 3 )*((C 6 ) + C (7 ))

1/

W

i

2 7 -1

PEM Y)

1

5.63282

13.4663

1

0.02354

0.0267

-3.7491

- 3 .6 2 1 8

-7 .3 7 0 9

2

5.76414

13.4663

3

0.02743

0.0267

-3.5961

-3 .6 2 1 8

-2 1 .6 5 3 5

3

5.76414

13.3229

5

0.02743

0.0315

-3.5961

-3 .4 5 8 3

-3 5 .2 7 1 8

4

6.9 5 68 6

12.6853

7

0.09282

0.0617

-2 3 7 7 1

-2 .7 8 5 4

-3 6 .1 3 7 5

5

7.11163

12.19

9

0.10634

0.0980

-2 2 4 1 1

-2 3227

-4 1 .0 7 4 3

6

7.11163

10.2697

11

0.10634

0 .3 6 9 6

-2 2 4 1 1

-0 9952

-3 5 .5 9 9 7

7

7.8266

10.0562

13

0.18707

0 .4 1 0 6

-1 .6 7 6 3

-0 8902

-33.3641

8

8.30552

9.93504

15

0.25808

0.4343

-1 .3 5 4 5

-0 8 3 4 1

-3 2 8 2 8 2

9

8.61959

9.83097

17

0.31128

0 .4 5 4 8

-1.1671

-0 7 8 7 8

-3 3 .2 3 3 2

10

8.86415

9.82943

19

0.35571

0.4551

-1 .0 3 3 6

-0 7872

-34.5951

11

8.97359

9.62768

21

0.37629

0.4953

-0 .9 7 7 4

-0 7 0 2 6

-3 5 .2 8 0 2

12

9.1919

9.53164

23

0.41837

0 .5 1 4 4

-0 .8 7 1 4

-0 6647

-3 5 .3 2 9 6

13

9.25952

9.39954

25

0.43161

0.5407

-0 8 4 0 2

-0 6 1 4 8

-3 6 .3 7 6 8

14

9.26901

9.34602

27

0.43348

0.5513

-0 8 3 5 9

-0 5 9 5 4

-3 8 .6 4 6 0

15

9.27425

9.34602

29

0.43451

0.5513

-0 8 3 3 5

-0 5 9 5 4

-4 1 .4 3 9 9

16

9.34602

9.27425

31

0.44867

0.5655

-0 8 0 1 5

-0 5 7 0 1

-4 2 .5 1 7 3

17

9.34602

9.26901

33

0.44867

0 .5 6 6 5

-0 8 0 1 5

-0 5 6 8 2

-4 5 .2 0 0 4

18

9.39954

9.25952

35

0.45927

0 .5 6 8 4

-0 7 7 8 1

-0 5 6 5 0

-47.0071

19

9.53164

9.1919

37

0.48556

0 .5 8 1 6

-0 7 2 2 5

-0 5 4 1 9

-4 6 .7 8 1 7

20

9.62768

8.97359

39

0.50471

0 .6 2 3 7

-0 6 8 3 8

-0 4 7 2 1

-4 5 .0 7 7 7

21

9.82943

8.86415

41

0.54486

0 .6 4 4 3

-0 6 0 7 2

-0 4 3 9 6

-4 2 .9 2 0 0

22

9.83097

8.61959

43

0.54516

0 .6 8 8 7

-0 6 0 6 7

-0 3 7 2 9

-42.1221

23

9.9 3 5 0 4

8.30552

45

0.56572

0 .7 4 1 9

-0 5 6 9 7

-0 2 9 8 5

-3 9 .0 6 7 7

24

10.0562

7.8266

47

0.58943

0 .8 1 2 9

-0 5 2 8 6

-0 2 0 7 1

-3 4 .5 7 8 3

25

10.2697

7.11163

49

0.63037

0 .8 9 3 7

-0 .4 6 1 5

-0 1 1 2 4

-2 8 .1 2 0 5

26

12.19

7.11163

51

0.90199

0 .8 9 3 7

-0.1031

- 0 .1 1 2 4

-1 0 .9 9 4 6

27

12.6853

6 .9 5 6 8 6

53

0.93829

0 .9 0 7 2

-0 .0 6 3 7

- 0 .0 9 7 4

-8 .5 3 8 5

28

13.3229

5.76414

55

0.96852

0 .9 7 2 6

-0 .0 3 2 0

- 0 .0 2 7 8

-3 .2 8 9 2

29

13.4663

5.76414

57

0 .9 7 3 2 6

0 .9 7 2 6

-0.0271

- 0 .0 2 7 8

-3.1301

30

13.4663

5.63282

59

0 .9 7 3 2 6

0 .9 7 6 5

-0.0271

-0 .0 2 3 8

-3 .0 0 4 2

73

[~\ C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

3 .3 .4

A juste de datos con Stat::Fit La h e rram ie n ta Sta t::Fit d e ProM odel se u tiliza para a n a liza r y d e te rm in ar el tip o de d istrib u ció n d e p ro babilidad de un co n ju n to d e datos. Esta u tilería p e rm ite co m p arar los resultad o s e n tre varias d istrib u cio n e s analizad as m ed ian te u n a ca lific a ció n . Entre sus p ro ced im ien to s em p lea las p rueb as C hi-cuadrad a, d e K o lm o g o ro v-Sm irno v y de A nderso n -D arlin g. A d em ás c a lcu la los parám etros apro piado s para cad a tip o d e d is tri­ b ució n, e in clu ye info rm ación estad ística ad icio n al co m o m e d ia, m oda, valo r m ín im o , v a lo r m á xim o y varian za, e n tre o tro s d ato s. S ta t::F it se p u e d e e je c u ta r d e sd e la p a n ­ ta lla d e in icio d e ProM odel, o bien d esd e el co m an d o S t a t ::F it d e l m enú Too ls (vea la fig u ra 3.6).

P ro M o d e l F íe

---

Ylew

3uta

SmulaOor

O jtput

VM ow

Help

e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n e n l V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n

V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n

en » V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n

V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n

V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n S tu d e n t V e r s ió n W u .n ln n C tn ila M

W o r p ln n C tu H o n l \ lo r n ln o

T h e P ro M o d e l S lio r t c u t P a n e l

in s s tc a ll

m o c J e 3!

p c a c k c a Q e »

Figura 3.6

Pantalla de inicio de ProModel.

Una vez que com ience a ejecutarse el com ando Stat::Fit, haga clic en el icono d e la hoja en blanco de la barra d e herram ientas Estánd ar para abrir un nuevo docum ento (tam bién puede ab rir el m enú File y hacer clic en New). Enseguida se desplegará una ventana con el nom bre Data Table (vea la figura 3.7), en la que deberá introducir los datos de la variab le que se analizará, ya sea con el teclado o m ed iante los com andos C o piar y Pegar (Copy / Paste) para llevar dichos datos desde otra aplicación, co m o puede ser Excel o el Bloc d e notas de W indows.

74

3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]

S t a t : : F it F ie

Edt

D o c u m o n tl

Irp u t

Statabcs

R

U tib es

a y

1

D o c u m e n M : D a ta I a b le

Intervols:

1

Wew

e

W ndow

zt

Help

~)L\

^

A

I_

Points: Fig u ra 3.7

Introduzca los datos de la variable que desea analizar en esta ventana de Stat: :Fit.

Una vez introducida la inform ación es posible seleccionar una serie d e opciones de análisis estadístico, entre ellas las d e estadística descriptiva y las de pruebas de bondad d e ajuste, de las cuales nos ocuparem os en los siguientes ejem plos. Ejem plo 3.4 Los datos del núm ero d e autom óviles que entran a una gasolinera por hora son:

14

7

13

16

16

13

14

17

15

16

13

15

10

15

16

14

12

17

14

12

13

20

8

17

19

11

12

17

9

18

20

10

18

15

13

16

24

18

16

18

12

14

20

15

10

13

21

23

15

18

D eterm ine la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a d e 5 %. Después de introducir estos datos en Stat::Fit, desp lieg ue el m enú Statistics y selec­ cio n e el com ando D escriptive. Enseguida aparecerá una nueva ventana con el nom bre d e D escriptive Statistics, en dond e se m uestra el resum en estadístico de la variable (vea la figura 3.8).

S t d t ::( i t

Doci>:.K>nt1

X Intervolí «

0 2 3 4

14. 7. 13. 16. 16. 13. 14. 17. 15. 16. 13. 15. 10. 15.

n

P o in ts:

|

50

6

D o cu m o n tl: D e scrip tivo S ta tis tic s d e s c rip tiv e s t a t is t ic s d a ta p o in ts m ín im u m m á x im u m m ean m e d ia n m od e s ta n d a rd d e v ia tio n v a r i a n ee c o e t iid e n t o f v a ria tio n ske w n e ss k u rto s is

____________________

50 7. 24. 1 5 .0 4 15. 13. 3 .6 2 5 0 0 1 3 .1 4 1 2 2 4 .1 0 2 9 0 .1 3 4 6 5 1 0 .1 2 1 9 8 2

Figura 3.8

Ventana de resultados estadísticos de STAT: :Fit.

75

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

Para determ inar el tip o d e distribución de probabilidad de los datos, seleccione el com ando A utoFít del m enú Fit en la pantalla principal d e Stat::Fit. A continuación se desplegará un cuadro diálogo sim ilar al que se ilustra en la figura 3.9, en el cual se tiene que seleccionar el tip o d e distribución que se desea probar. Se deb e seleccionar si dicha distribución es no acotada en am b o s extrem os (unbounded), o si el lím ite inferior está acotado — en este últim o caso se puede aceptar la propuesta d e que la cota del lím ite inferior sea el dato m ás peq ueñ o de la m uestra (low er bound)— , o seleccionar exp lícita­ m ente otro valor co m o lím ite inferior (assigned bound). Para este ejem p lo seleccionam os una distribución d e tip o discreto: discrete distributions, ya que los datos d e la variable aleatoria [autom óviles/hora] tien en esa característica.

Auto::Fit

C

c o n tin u á is distrbutons

( • de cre te dKtnbutons

C

unbounded

r

a s s o n e d bou

T h e Distributor! Is:

lower bound

Figura 3.9 OK

Cancel

Help

Este cuadro de diálogo permite seleccionar el tipo de varia ble aleatoria.

Para que el proceso d e ajuste se lleve a cabo, haga clic en el botón OK. E l resultado se desplegará en la ventana Autom atic Fitting, donde se describen las distribuciones de probabilidad analizadas, su posición de acuerdo con el ajuste, y si los datos siguen o no alguna d e las distribuciones. En la figura 3.10 se observa el resultado del análisis de ajuste del ejem plo 3.4, el cual nos indica que no se puede rechazar la hipótesis de que los datos provengan de cualq uiera de las sig uientes dos d istrib u cio n e s; B ino m ial, con N = 104 y p = 0.145, o de Poisson, con m edia 15.0 (esta últim a coincide con el resultado que obtuvi­ m os en el ejem plo 3.1 m ediante la prueba de bondad d e ajuste Chi-cuadrada).

«I

|

D o cu m e n tl: A uloriuilic f iltirift

Figura 3 .10

Ventana de resultados del análisis de la variable aleatoria.

76

3.3 D e te rm in a ció n d el tip o de d is trib u c ió n de u n c o n ju n to d e datos |~ ]

Haga clic co n el ratón en cualquiera d e las dos distribuciones (vea la figura 3.10); enseguida se desplegará el histogram a que se ilustra en la figura 3.11: las barras azules representan la frecuencia observada de los datos; la línea roja indica la frecuencia espera­ da d e la distribución teórica.

Figura 3.11

Histogramas teórico y real de la variable aleatoria.

El form ato del histogram a puede ser m odificado m ed iante el co m and o G raphics style del m enú G rap h ics (esta opción solam ente está disponible cuando se tiene activa la ventana Com parison G raph; vea la figura 3.11). Ejem plo 3.5 Éstos son los datos de un estudio del tiem p o de atención a los clientes en una florería, m edido en m inutos/cliente:

9.400

8.620

9.346

13.323

7.112

13.466

5.7 6 4

8.9 7 4

9.831

10.056

7.445

6.619

9.260

6.7 7 5

a306

5.633

8.864

13.944

8.952

9.355

10.489

6.306

12.685

11.078

6.957

9.532

9.192

11.731

11.350

14.389

12.553

8.045

9.829

11.804

9.274

12190

10.270

14.751

9.237

6.5 1 5

12.397

8.453

9.628

13.838

9.935

7.827

9.269

8.690

11.515

8.5 2 7

D eterm ine la distribución de probabilidad con un nivel de significancia a d e 5 %. Debido a las características de la variable aleatoria a analizar, al desplegarse el cuadro de diálogo Auto::Fit (vea la figura 3.9) d eb em o s activar la opción co ntinuous distributions. El resum en de resultados que se ilustra en la figura 3.12 indica que la m uestra p uede pro venir de cualquiera d e las cuatro distribuciones listadas, resultado que coincide con el análisis ejem p lificad o previam ente en la prueba d e Anderson-Darling acerca d e la norm alidad de los datos. 77

n

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

En la ventana G>mparison G raph puede com pararse la form a d e la distribución no rm al (verde) y lognorm al (roja) propuestas por Stat::Fit, y la diferencia respecto del histogram a de frecuencias de la m uestra.

í á D o c u m e n t ? : O d io l a b i o

J

1»

I

5

Pont»

_

I

X

™ m x u m c m J ; O K r y a i . ' t . . U j|> > i F in a d D a n a lty

50

-d 94 8(2 9 946 13323 7112 13 466 5 764 8974 8831 10 056 7 445

i 2 3 4 s 5 7 g 9 10

O o c u n o n l ? : I t o v i l j r i v i - S U ll.

d c tc r tp liv r a ta titlC T d a t a p o in ta m í n im u m m á x im u m m ean m e d ia n m ode c la n d a id d rv ia tio n v a lla n te lo r m c le n i o l v a ila llo n

60 6 .6 3 3 1 4 .7 6 1 9 .7 8 6 0 2 9 .3 6 0 6 9 .1 3 2 2 .3 2 6 7 4 6 .4 1 3 7 2 2 3 .7 7 6 2

sk ew ness k u rto s lí

0 .3 2 2 6 3 -8 .6 7 2 2 4 3

1 4 C to c u n K n t7 : A u t o m a t i c 1 i l t i n g

A u t o : .» I I o l D l s t r i b u U o n s d is tr lb u tlo n

re a l

l o g n a r m a l | - 3 . 1 . 2 . 5 4 . 0 .1 7 9 ) T i l a a g u l o i |4 . 8 8 . 1 5 .5 . 9 . 2 1 | N o i c i . a i p . 7 9 . 2 .3 ) U n l l o i m |5 .6 3 . 14.81 E x p o n e n t l a i p . 6 3 . 4 .1 5 )

100 S 7 .2 3 6 .7 1 .2 l.6 3 e -0 0 2

Fig u ra 3.12 R esu m en del a n álisis d e la v a ria b le aleato ria d e l e je m p lo 3.5.

3 .4 G eneración de variab les aleato rias La variabilidad de eventos y actividad es se representa a través de funcio nes de densidad para fenóm enos continuos, y m ediante d istrib uciones de probabilidad para fenóm enos d e tip o discreto. La sim ulación d e estos eventos o actividad es se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias. Los principales m étodos para generar las variables aleatorias son: •

M étodo de la transform ada inversa

•

M étodo de convolución

• • •

M étodo de com posición M étodo de transform ación directa M étodo de aceptación y rechazo

En las siguientes secciones se describirán los prim eros cuatro m étodos; el lector interesa­ do en el m étodo d e aceptación y rechazo puede consultar la bibliografía recom endada.

3.4.1

M étodo de la transform ada inversa El m étodo d e la transform ada inversa puede utilizarse para sim ular variab les aleatorias continuas, lo cual se logra m ediante la función acum ulada F(x) y la generación de n ú m e­ ros pseudoaleatorios r¡ ~ U (0 ,1). E l m étodo consiste en:

78

3.4 G eneración de variables aleatorias | 1

1. D efin ir la función d e densidad F(x) que represente la variable a m odelar. 2. Calcular la función acum ulada F(x). 3. D espejar la variable aleatoria x y obtener la función acum ulada inversa F(x)~'4 . G enerar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con núm eros p seud oa­ leatorios r. ~U(0,1) en la función acum ulada inversa. El m étodo de la transform ada inversa tam bién puede em plearse para sim ular variables aleatorias d e tip o discreto, com o en las d istrib uciones d e Poisson, de Bernoulli, binom ial, geom étrica, discreta general, etcétera. La generación se lleva a cabo a través de la pro ba­ bilidad acum ulada P(x) y la generación de núm eros pseudoaleatorios r^ U fO J). El m éto­ do consiste en: 1. Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar. 2. Calcular todos los valores de la distribución acum ulada P(x). 3. G enerar núm eros pseudoaleatorios ry~U(0,1). 4 . Com parar con el valo r d e P(x) y determ inar qué valo r d e x corresponde a P(x). En la figura 3.13 se m uestra gráficam ente la m etodología para generar variables aleato­ rias continuas:

Función de densidad (Normal)

Función acumulada (Normal)

f(x) 0.45 0.4 -

Función de densidad (Exponencial)

Función acumulada (Exponencial) F(x)

Fig u ra 3 .13 Esquematización del método de la transformada inversa para variables continuas.

79

n

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

Por su p a rte , la figura 3.14 m u e s tra d e m a n e r a gráfica la m e to d o lo g ía p a ra g e n e ra r variables aleatorias discretas.

Distribución de probabilidad (Geométrica)

Distribución acumulada (Geométrica)

P(x)

pM

1

0.25 0.8 0.2

r> 0.6

0.15

0.4

0.1

0.2 4 rr

0.05

0

I

0

2

4

I

6

I

8

I

1

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1

10 12 14 16 18 2 0 x

Distribución de probabilidad (Poisson)

I

01

2 3 4 5 6 7 8 9

101112131415*

Distribución acumulada (Poisson) P(x)

pM 0 .1 4

0.1

0.12

0.8

r

0.1

0 .0 8

0.6

0 .0 6

0 .4

0 .0 4 0.2

0.02

0 0

2

4

q fl

□ppi

i 6

8

10 12 14 16 18 2 0 x

0

2

4

6

8

10~12 14 16 18 2 0 *

Figura 3 .1 4 Esquematización del método de la transformada inversa para variables discretas.

D istribución uniform e A p a rtir d e la función d e densidad de las variables aleatorias uniform es entre a y b,

F {x ) =

b -a

a< x< b

se obtiene la función acum ulada

F(x) = f - ! —dx b -a

=

x-a b -a

a< x< b

A l igualar la función acum ulada F(x) con el núm ero pseudoaleatorio r^ U fO , 1), y despejar x se obtiene:

x, = fl+ (b - o )f(x ), x, = fl+ (6 - ú )r , 80

3.4 G eneración de variables aleatorias | 1

Ejem plo 3.6 La tem p eratura de una estufa se com porta de m anera uniform e dentro del rango de 95 a 100°C. La lista d e núm eros pseudoaleatorios y la ecuación x. = 95 + 5 r¡ nos perm iten m odelar el co m portam iento d e la variab le aleatoria que sim ula la tem peratura d e la estu­ fa (vea la tabla 3.6).

Tabla 3.6 Simulación de las temperaturas de una estufa. Medición

Temperatura °C

1

0.48

97.40

2

0.82

99.10

3

0.69

98.45

4

0.67

98.35

5

0.00

95.00

D istribución exponencial A p a rtir de la función de densidad de las variables aleatorias exponenciales con m edia 1/A, f ( x ) = \ e rÁX

para

x> 0

se obtiene la función acum ulada

F ( x ) = ^*\e~Xxd x

=

1 - e " Ax

para

x> 0

Si igualam os la función acum ulada F(x) con el núm ero pseudoaleatorio r/~ U (0 ,1), y des­ pejam os x se obtiene:

x, = - - l|n ( 1 - F ( x ) ,)

A

x, = —j-ln (l-f|) A

Ejem plo 3.7 Los datos históricos del tiem p o de servicio en la caja d e un banco se com portan d e form a e xp o n e n cia l con m ed ia d e 3 m in u to s/clie n te . U na lista de n úm ero s p seu d o aleato rio s r. ~U(0,1) y la ecuación generadora exp o nencial x. = —3ln(1 nos perm iten sim ular el co m portam iento de la variab le aleatoria (vea la tabla 3.7). 81

n

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

Tabla 3.7 Sim ulación del tiem p o de servicio en la ca ja de un banco. Cliente

Tiempo de servicio (min)

ri

1

0.64

3.06

2

0.83

5.31

3

0.03

0.09

4

0.50

2.07

5

0.21

0.70

D istribución de Bernoulli A p a rtir de la distribución de probabilidad d e las variables aleatorias de Bernoulli con m edia p(x)= p*(1 - p ) 1- *

para

x = 0 ,1

se calculan las probabilidades p a r a x = 0 y x = 1, para obtener

X

0

P(X)

1-p

1 P

Si acum ulam os los valores de p(x) obtenem os:

X

0

PW

1-p

1 ------------1

A l g enerar los núm eros pseudoaleatorios r.~U(0/1) se aplica la regla:

*'

(0

si

r{ e ( 0 ,1 - p )

(1

si

/; e ( 1 - p , 1)

Ejem plo 3.8 Los datos históricos sobre la frecuencia de paro s d e cierta m áquina m uestran que existe una probabilidad de 0.2 de que ésta falle (x = 1), y de 0.8 de que no falle (x = 0) en un día determ inado. G enere una secuencia aleatoria que sim ule este com portam iento. A p artir de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli con m edia 0.8, p(x) = (0.2)x (0.8), “ x

para

x = [0 ,1 ]

se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas p a ra x = 0 y x = 1 , y se obtienen los datos ilustrados en la tabla 3.8: 82

3.4 G eneración d e variables aleatorias

Tabla 3.8 Cálculo de las probabilidades acum uladas de las fallas d e la m áquina del ejem plo 3.8. X

0

1

Pix)

0.8

0.2

PiX)

0.8

1

La regla para generar esta variable aleatoria estaría definida por: _ |0

si

r. e ( 0 - 0 . 8 )

X ,- )l

si

r ,e (0 . 8 - 1)

Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r/~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular el co m portam iento d e las fallas de la m áquina a lo largo del tiem po, al considerar lo siguiente: • •

Si el núm ero pseudoaleatorio es m en o r que 0.8, la m áq uina no fallará. Si el núm ero pseudoaleatorio es m ayo r que 0.8, ocurrirá la falla (vea la tabla 3.9).

Tabla 3.9 Sim ulación de las fallas de la m áquina. Día

Evento: la máquina

1

0.453

0

no falla

2

0.823

1

falla

3

0.034

0

no falla

4

0.503

0

no falla

5

0.891

1

falla

Ejem plo 3.9 El núm ero de piezas que entran a un sistem a de producción sigue una distribución de Poisson con m edia de 2 piezas/hr. Sim ule el co m po rtam iento de la llegada d e las piezas al sistem a. A p artir d e la distribución de probabilidad d e la variab le aleatoria d e Poisson con m edia 2,

p {x ) = — — x\ 2* e~2 P (X ) =

x\

p ara

x = 0 , 1 ,2 , 3„..

paro

x = 0, 1 ,2 ,3 ,...

83

n

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

s e calculan las p ro b a b ilid a d e s p u n tu a le s y las a c u m u la d a s p a ra x = 0 , 1; 2,..., y se o b tie n e n los d a to s d e la ta b la 3.10.

Tabla 3.10 Cálculo de las probabilidades acumuladas para el ejemplo 3.9. X

p( x)

Pix)

0

0.1353

0.1353

1

0.2706

0.4060

2

0.2706

0.6766

3

0.1804

0.8571

4

0.0902

0.9473

5

0.0360

0.9834

6

0.0120

0.9954

7

0.0034

0.9989

8

0.0008

0.9997

9

0.0001

0.9999

10

0.00003

0 .9 9 9 9

La regla para generar esta variable aleatoria estaría definida por:

0

si

r .e ( 0 - 0 .1 3 5 3 )

1

si

r. € ( 0 .1 3 5 3 - 0 .4 0 6 0 )

2

si

/; e (0 .4 0 6 0 - 0 .6 7 6 6 )

3

si

r¡ € ( 0 .6 7 6 6 - 0 .8 5 7 2 )

4

si

r¡G (0 .8 5 7 1 - 0 .9 4 7 3 )

5

si

r¡ € ( 0 .9 4 7 3 - 0 .9 8 3 4 )

6

si

r¡ e (0 .9 8 3 4 - 0 .9 9 5 4 )

7

si

r¡ € ( 0 .9 9 5 4 - 0 .9 9 8 9 )

8

si

r¡ e (0 .9 9 8 9 - 0 .9 9 9 7 )

9

si

r¡ e (0 .9 9 9 7 - 0 .9 9 9 9 )

Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r.~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular la llegada de las piezas al sistem a de producción, con los resultados consignados en la tabla 3.11.

84

_______________________________________________________________ 3.4 G eneración de variables aleatorias | 1

Tabla 3.11 Simulación de la llegada de piezas al sistema, con variables aleatorias de Poisson. Hora

Piezas/hr

1

0.6754

2

2

0.0234

0

3

0.7892

3

4

0.5134

2

5

0.3331

1

Ejem plo 3.10 La ta b la sig u ie n te m u e stra la d em and a diaria d e cep illo s d e n tales en un su p e rm e rca ­ do. Sim ule el co m p o rtam ien to d e la d em and a m ed iante el m éto d o d e la tran sfo rm ad a inversa.

Día

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Demanda

1

2

2

1

3

0

3

1

3

A p artir d e la inform ación histórica se calculan las probabilidades puntuales y las acum uladas p a r a x = 0, 1, 2, 3 (vea la tabla 3.12).

Tabla 3.12 Cálculo de la probabilidades acumuladas para el ejemplo 3.10. X

p(x)

p(x)

0

0.1111

0.1111

1

0.2222

0.3333

2

0.3333

0.6666

3

0.3333

1

La regla para generar esta variable aleatoria estaría determ inada por:

*/ =

si

(0 -0 .1 1 1 1 )

si

r, €(0.1111 - 0 .3 3 3 3 )

si

r. € (0 .3 3 3 3 -0 .6 6 6 6 )

si

r. € (0 .6 6 6 6 - 1 )

Con una lista d e núm eros pseudoaleatorios r. ~U(0,1) y la regla anterior es posible sim ular la dem anda diaria de cepillos dentales, ta l com o se m uestra en la tabla 3.13. 85

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias__________________________________________

Tabla 3 .1 3 Sim ulación de la dem anda de cepillos dentales. Día

3.4.2

Demanda diaria

1

0213

1

2

0.345

2

3

0.021

0

4

0.987

3

5

0.543

2

M étodo de convolución En algunas distribuciones de probabilidad la variab le aleatoria a sim ular, Y, puede g en e­ rarse m ediante la sum a de otras variables aleatorias X de m anera m ás rápida q ue a través d e otros m étodos. Entonces, el m étodo de convolución se puede expresar como: Y = X } + X2 + ...+ Xk

Las variables aleatorias d e cuatro de las distribuciones m ás conocidas (de Erlang, norm al, binom ial y d e Poisson) pueden generase a través de este m étodo, com o se verá a conti­ nuación. D istribución de Erlang La variable aleatoria /c-Erlang con m edia 1/A puede producirse a p artir de la generación d e k variab les exp o nenciales co n m ed ial /kA: Y = X l + X 2 + .„ + X k

y = - ^ [ l n ( w 1) + ln ( l- r 2) + ...+ ln ( l- r lr)]

Y= ER' = - ¡ ¿

86

In r io - '.)

3.4 G eneración de variables aleatorias | 1

Ejem plo 3.11 El tiem p o de proceso d e cierta pieza sig ue una distribución 3-Erlang con m ed ia 1/A de 8 m inutos/pieza. Una lista de núm eros pseudoaleatorios r¡ ~U(0,1) y la ecuación de genera­ ción de núm eros Erlang perm ite obtener la tabla 3.14# que indica el co m portam iento de la variable aleatoria. Y= ER, = ~ 3 Y

=

-

f

l n

[ ( 1

- f

In f ld - r ,) /-I , )

( 1

-

f , ) ( 1

-

f , ) ]

Tabla 3.14 Simulación del tiempo de proceso para el ejemplo 3.11. Tiempo de proceso (min/pieza)

Pieza

1 - 'i

1

0.28

052

0.64

6.328

2

0.96

0.37

0.83

3.257

3

0.04

0.12

0.03

23 5 8 8

4

0.35

0.44

050

6.837

5

0.77

0.09

0^1

1 1 .2 7 9

D istribución norm al La variable aleatoria norm al con m ed ia /x y desviación estándar cr puede generarse m ediante el teorema d e l lím ite central: Y = X, + X 2 + ... + X k ~ N (kfxx, k a l ) A l sustituir X. por núm eros pseudoaleatorios rr se obtiene: Y = r ,+ r , + ...+ rk ~ N ( k - ,k — ) 2 12

V'=r1+r2 + ...+ r12 ~A/(—

)~A/(6,1)

Y = Z = (r, + r2 + ... + r12) - 6 ~ A/(0,1) 12

Z =1 (0 - 6 /-i

x - fl

N (0 ,1).

Si despejam os X, tenem o s que 12

x = AA =

X ('i)-6 (=1

87

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

Ejem plo 3.12 El vo lum en d e líquido de un refresco sigue una distribución norm al con m edia d e 12 o nzas y desviación estándar de 0 .4 onzas. G enere 5 variables aleatorias con esta d istrib u­ ción para sim u lar el pro ceso d e llenado. 12

N ,= 5 > « > - 6 CT+ j.1 /-i N ,= í > , ) - 6 /-I

(0.4)+ 12

Tabla 3.15 Simulación del volumen de llenado de refrescos (ejemplo 3.12). \folumen (onzas)

Botella

!< * ;> /=i

1

62 1

021

12.084

2

5.34

- 0 .6 6

11.736

3

6.03

0.03

12.012

4

6.97

0.97

12.038

5

4.81

-1 .1 9

1 1 .5 2 4

£ w /=i

-

D istribución Binom ial La variable aleatoria Binom ial con parám etros N y p puede ser generada a través de la sum a de N variables aleatorias con distribución de Bernoulli con parám etro p. Y = B¡ = BE} + BE2 + ... + BEN~ B I(N ,p ) Ejem plo 3.13 A l inspeccionar lotes de tam añ o N = 5, la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0.03. Sim ule el proceso de inspección para determ inar el núm ero de piezas d efectuo ­ sas por lote. Este proceso sig ue una distribución Binom ial con N = 5 y p = 0.03, y será sim ulado m ediante la generación d e variables aleatorias d e Bernoulli con p = 0.03, d e acuerdo con el procedim iento señalado en la sección anterior, donde BE. = 0 representa una pieza en buen estado y BE¡= 1, una pieza defectuosa. (O bserve los resultados en la tabla 3.16.)

BE¡ =

si

=(0 - 0 .9 7 )

si

(0 .9 7 -1 )

B¡ = B E : + B E 2+ ...+ BE^ 88

3.4 G eneración de variables aleatorias | 1

Tabla 3.16 Simulación del sistema de inspección del ejemplo 3.13. Lote

3.4.3

'3

*3

r4

SÉ4

r5

Piezas defectuosas

1

0.49

0

0.32

0

0.15

0

0.01

0

0.45

0

0

2

0.11

0

0.85

0

0.93

0

0.99

1

0.61

0

1

3

0.57

0

0.92

0

0.84

0

0.74

0

0.82

0

0

4

0.62

0

0.01

0

0.68

0

0.98

1

0.99

1

2

5

0.34

0

0.98

1

0.99

1

0.02

0

0.98

1

3

M étodo de com posición E l m étodo de com posición — conocido tam b ién com o m étodo m ixto— p erm ite generar variables aleatorias x cuando éstas provienen de una función de densidad f(x) que puede expresarse com o la co m binació n convexa d e m distribuciones de probabilidad f.(x). Entonces, la com binación co nvexa se puede expresar como:

/-I donde: xgA

x¿A A lgunas de las distribuciones m ás conocidas que pueden expresarse com o una co m b ina­ ción convexa son: la triangular, la de Laplace y la trapezoidal. El procedim iento general de generación es el siguiente: 1. Calcule la probabilidad de cada una de las distribuciones f.(x). 2. Asegúrese que cada función f.(x) sea función d e densidad. 3. O btenga, m ed iante el m étodo de la transform ada inversa, las expresiones para g enerar variables aleatorias d e cada una d e las d istrib uciones fyx). 4 . G enere un núm ero pseudoaleatorio r que perm ita definir el valor de lA(x). 5. Seleccione la función generadora correspondiente a la función f,(x). 6. G enere un segundo núm ero pseudoaleatorio r .y sustitúyalo en la función g en e­ radora anterior para obtener /. D istribución trian g u lar A p a rtir d e la función d e densidad triangular

f(x) =

_ 2 (x-a) fh (b-a){c-a) 2jb-x)

a < ,x < c c< xib

(b-a)(b-c) 89

C a p ítu lo 3 Variables aleatorias

calcule la probabilidad d e cada uno de los segm entos d e la función

í P (X ) =

—

dx a)(c-a) zi 2(b - x )

o dx Jf ífl ( b—- a ) ( b - c ) (c - Q )

(b - ú ) P (x ) = (b - c )

a < ,x ic c < x < ,b

(b-a) Ya que los segm entos por separado no son funcio nes de densidad, se ajustan al dividir entre su correspondiente p(x). 2(x-a) f(x) =

(b-a) _ 2 {x - a )

(b-a)(c-a)(c-a) 2 (6 - x )

(c-af

(b-a) _2 (b -x )

(b-a)(b-c)(b-c)

(b - c )2

a (c _ o ) ' (6 - a ) a = Límite inferior de la distribución triangular.

a + ic - a )^

T.

b = Límite superior de la distribución triangular.

s

r. < (c _ o ) 1 ib-a)

c = Moda de la distribución triangular.

T,=

b = Límite superior de la distribución triangular.

b-[(b-c)^ -r,] t (c-a) si r. >------' (6 - o )

Z = Números aleatorios con distribución normal estándar.

II !M a A

*

*2

n = Grados de libertad. 1/A = Valor esperado. k = Parámetro de forma.

Erlang ER.

Normal

J

N, = [(7-21 n(1 - r¡)) eos (27rr¡) a +/x

",

A// = [(7 -2 ln (1 -rí ))sen(27rr/)]=E12.E12,D12) -F(D13>-E13.E13,D13) = F(D14> =E14.E14,D14)

=MAX0.SD11-$F11) =MAX =E15.E15.D15)

=MAX0, SD15-SE15)

(a) Relación entre los elementos 9

10 11 12 13 14

H

|

Costo de ordenar =F(MOD(B11.7)=0.1000.0) =F(MOD(B12.7)=Ó.10ÓÓ.0) =F (MOD(B 13.7)=0.1000.0) - F (MOD(B 14.7 )-0 ,1000.0)

15

' Costo de llevar inventario

|

J Costo de faltante

Costo total

Costo promedo

=1*(D11+G11)/2 =1*(D12*G12)/2 =1’ (D13+G13)/2 = 1*(D14+G14)/2

=IF(D11

L o c a tio n S la te s S ingte/T a n k

R esouces

t

J| ©

©

^

R eso u rce S tate s

N o d e Entnes

F aitedA riivals

( FnúvA onví

E n t it y A c t i v i t y l o i c ic m p lo 3 _ 1

Ñam e Pieza

T o ta l E x it *

C u n e n ! Q ty In S y s te m

A v g T im e In S y s te m (M IN )

A v g T im e I n M o v e l o g ic (M IN )

28521.00

3.0 0

19.36

0.00

A v g T im e W a i t F o r R e s (M IN )

A v g T im e I n O p e r a tio n (M IN )

A v g T im e B lo c k e d (M IN )

400

1536

0.00

F ig u ra 5 .1 4 Estad ísticas d e la a ctivid a d d e la s e n tid ad e s e n el sistem a (fich a E n tity A ctivity).

Ficha En tity States En esta ficha del reporte (vea la figura 5.15) podem os encontrar un resum en de los datos d e la ficha En tity Activity, p ero en térm ino s porcentuales. Por ejem plo, com o en este caso la entidad "pieza"pasa sólo 4 m inutos en operación, el reporte indica que pasó 20.68% del tiem p o total de perm anencia en el sistem a (19.35 m inutos), m ientras que estuvo blo­ queada para co n tin u arsu cam ino a la localización destino el tiem p o restante, 15.35 m in u ­ to s (es decir, 79.32% del tiem p o total).

J¡] ejem plo3_1.idb - Output V iew er 3D R - [Report for ejem plo3_1] m

Fie

View

&

Tools Window y

General

Locations

i

Help lÉ i - &

-

Location States Multi

Views: |

su s»

^undefine<

Location S lates S ingle/T ank

R esoui

Entity S ta te s for ejemplo3_1

Ñame Pieza

% In Move Lo gic

£ W ait For Res

% In Operation

% B lo cked

0.00

0.00

20.68

79.32

F ig u ra 5 .1 5 Estad ística p o rcentu al d e la a ctivid a d d e la s e n tid a d e s (fich a E n tity States).

5.4.2

M ejoram iento visual del modelo ProM odel p e rm ite in cre m e n ta r la cap acid ad visu al d e l m o d e lo m e d ia n te un c o n ju n ­ to d e h e rra m ie n ta s e sp e c ífic a s para d ich o p ro p ó sito . En e sta se cció n h ab larem o s sobre có m o u tiliz a rla s, con b ase u n a ve z m ás en el m o d e lo que se co n stru yó para el e je m p lo 5.1.

166

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

Ejem plo 5.2 Nuestro trabajo en esta sección se basará en el ejem plo 5.1, aunque le harem os algunas m odificaciones con el o b jetivo d e m ejorar su presentación al m o m ento d e ejecutar la sim ulación. Adem ás, tratarem os de obtener inform ación relevante para el tom ador de decisiones y/o para el program ador del m odelo. Para com enzar, determ inarem os la cantidad de piezas que hay en el alm acén en cualquier m o m ento dado. Esto se puede hacer de dos form as: • •

Abra el m enú Build y haga clic en el com and o Locations. En la ventana Graphics, haga clic en el icono predeterm inado para la función de contabilización de entidades en una localización (00). (Es im p o rtan te resaltar que d eb e desm arcar la casilla d e verificación New para poder integrar este contador a la localización que deseem os editar.)

•

Vaya a la colum na Cap. del registro d e la localización que desea m odificar (en este caso "fila"), y cam b ie su capacidad a 50.

•

Seleccione los iconos correspondientes en la ventana Graphics, co m o se m uestra en la figura 5.16. B4M'roivrn

lod*

jr* S .r i* .

0 1 4 ..1

Prensa

Figura 5 .16 D e te rm in a ció n d e la c a n tid a d de piezas e n una localización.

167

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

•

Agregue una barra que ilustre la capacidad utilizada del to tal (es por eso que cam ­ biam os la capacidad de la localización a 5 0 ; si la hubiéram os m antenido en infini­ to no aparecería registro alguno en la barra). Para ello em plearem os el icono predeterm inado, la barra de color azul que se encuentra debajo del ico no 0 0 en la ventana Graphics. Si al m om ento d e colocar la barra de capacidad no ve la escala, d e un doble click con el ratón sobre la barra y se abrirá la ven tana d e diálogo Gauge/Tank donde podrá cam b iar las características visuales de la barra, active la opción Show Escale y cierre la ventana. Al hacerlo su pantalla deberá lucir com o se ilustra en la figura 5.16.

La otra m anera de llevar a cabo este procedim iento consiste en utilizar una variab le e igualarla al com ando predeterm inado CONTENTS(/7/o) para contabilizar los contenidos d e las localizaciones. Para agregar el núm ero de piezas procesadas utilizarem os una variable. Para ello:

•

Abra el m enú Build, haga clic en el subm enú More Elem en ts y elija Váriables (global). Enseguida se desplegará en pantalla la ventana d e definición d e varia­ bles, m ism a que se ilustra en la figura 5.17.

Ic en |

I n i c i a l valué In te g e r

0

S t a c s .. .

|

T iae S e r ie s . j ^ » * “

T o ta le s p r e n s a ^ l -J

z l

F ig u ra 5 .1 7 La v e n ta n a V ariab les (g lo b a l) n o s se rvirá para d e fin ir la s v a ria b le s del m odelo.

Nuestro propósito es d efin ir los parám etros de la variab le p za s_to t. Para ello:

• •

Coloqúese en el prim er cam p o (ID) y m odifique el nom bre de la variable. Cam bie al cam p o d e la segunda colum na (Type) para definir el tip o d e variable, que puede ser entera (integer) o real; en este caso la variable es entera.

•

En el cam p o d e la sig uiente colum na, Inicial Valué, determ ine com o 0 el valor

•

inicial de la variable. Com o querem os que el inco no d e esta variable aparezca en la sim ulación, haga clic en la colum na Icón y después, nuevam ente en el lugar en dond e quiere que aparezca el contador (vea la figura 5.18).

16 8

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~1

Fig u ra 5 .18 D eterm in ació n d e lo s p ará m etro s d e la v a ria b le q u e co n ta b iliza piezas to tales.

□ sig u ien te paso co nsiste en esp e cificar que la variab le cam b ie cad a ve z que entre una pieza a la pren sa. Esto se logra al program ar esta acción com o una operación que se ejecutará al m o m ento d e que la pieza term in e d e ser procesada en la prensa. Para log rarlo:

•

E lija el c o m a n d o P ro c e ssin g d e l m en ú B u ild . E n este caso a ñ a d ire m o s la in stru c c ió n p z a s _ t o t = E N T R IE S (P re n sa ) e n el se g u n d o re g istro d e la p ro ­ g ra m a ció n , q u e c o rre s p o n d e al p ro ceso q u e se re a liza e n la lo c a liz a c ió n "prensa". Esta lín e a d e p ro g ra m a c ió n hará q u e cad a ve z q u e u n a p ieza te r m i­ ne su pro ceso d e 4 m in u to s co n d istrib u ció n e x p o n e n c ia l e n la p ren sa se c o n ta b ilic e co m o u n a p ieza te rm in a d a . La p ro g ram ació n d e b erá q u e d a r co m o se m u e stra e n la fig u ra 5.19.

169

¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

£ fe

E-lt

Y^V,

a ,*

S W .iV r n

Q i/ p í

J o*

y -fc .

IX r r m n

III l 'i o c o i t I ? !• !»

t s e a t ic n . ..

|

O p a c a t io a .

S

| »«~ a

FA X ? Ü C X p i a i . U l

3oi

r

Io n ;

|

-

O p «»a lio n ________________________B H

j

A

-l.ri xj|l: B

I

* n

(lia

? ia ia

u

¿

B

□ □ □ □ □ □ E D I F A IT 1 (4 ) •

B H T P X E 3 (P ia n a a >

Prensa 000000

oooooo

I S T

F ig u ra 5 .19 Uso de la in stru cció n E N T R IE S ().

Si corriéram os la sim ulación en este m om ento, podríam os ver que tan to el contador com o la barra reflejan la cantidad de piezas que se encuentran en un m om ento determ i­ nado en el alm acén definido en la sim ulación. Sin duda el m o d elo ya sim ula el problem a que estam os ejem plificando, a pesar de que lo único que hem os hecho es agregar un par d e gráficos que hagan m ás entendible lo que pasa. La segunda m odificación que harem os consistirá en cam b iar el tiem p o d e sim ula­ ción, de m anera qu e su ejecución no sea m u y larga. Suponga que querem os cam b iar la duración del m odelo a solo 30 días. Para ello: •

D espliegue el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando O ptions, com o se m uestra en la figura 5.20.

S rrU y c n

É W jU

B v r.

¡W ,

V

n a l fltn

U ttM P S s rc tm S senvot

Figura 5 .20 Acceso a las o p c io n e s d e la sim ulación.

17 0

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

A continuación se abrirá el cuadro de diálogo Sim ulation O p tio ns (vea la figura 5.21), en dond e es posible m odificar varias opciones d e la sim ulación. Por lo p ro n ­ to, cam b ie el valo r del cuadro d e texto Run h o u rs a 30 days y haga clic en OK.

Simulation Options O utputPath:

ts and se

Run Ñame:

■ M

J JJ

documente toromodel H53B

Bro-Ase...

Ejemplo 5.1 Disable

Run Length © Time Only

O Weekly Time

O Calendar Date

f~~l Warmup Pefiod

□ Animation

□ Cost

□ A rray Exp o rt

□ Time Series

A tS ta rt " Run Tañe*:

□

Trace

□ üisplay Model Notes

T im e units default to hours unless otherwise spedfied.

General "

Adjust for Dayiight Sa

□ Generate Animabon S ] Common Random Nun 0

Output Reporbng © Standard

O Batch Mean

C

Indica una sola ré p lic a

lllB jg g B W

------------------------------------Number o f Replicabons:

Run

Modifique aquí el tiempo de simulación

]

1 ^

|

Seleccione el formato del reporte de resultados

Slap Resource D Ts if O ff-sh ft U Recompfe Mappings

u u ip u i viewer^sj 1 0 «unen / 1 -------------------------------r — 1 0 Output Viewer 2 . 0 (3DR) v □ Minitab

OK

|

Cancel

Help

Figura 5.21 0 cu a d ro de d iálo g o Sim ulation O p tio n s p erm ite d e te rm in a r d ive rso s p arám etro s d e la sim u lació n .

Una interrogante im po rtante para el tom ador d e decisiones es si las variables del m odelo están en estado estable o todavía se encuentran en un estado transitorio. Com o se m encionó en el capítulo anterior, si querem os evitar la variabilidad que ofrecen los resultados del estado transitorio, es necesario que nuestras soluciones se basen en las estadísticas del estado estable. Una opción de m ucha utilidad para obtener estadísticas estables consiste en definir un tiem p o transitorio o de preparación (w arm up) dentro del m odelo. Com o p ro b ab le­ m ente recordará, la gráfica de estabilización que m encionam os en capítulo s anteriores nos m uestra que los valores de las variables de respuesta en el estado transitorio suelen describir una alta variabilidad. Para evitar que el efecto d e esta variación se diluya y poda171

¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

m os obtener respuestas estables, es necesario contar con m ayo r tiem p o de ejecución. D efinir un perio do de w arm up im plica ejecutar el m odelo durante cierto tiem po, después del cual las estadísticas regresarán a cero. Gracias a ello se elim inarán los registros corres­ pondientes a las variables d e respuesta en el estado transitorio, y se conservará única­ m ente el valor fin al d e las variables de respuesta, lo cual im plica m enos tiem p o de sim ulación y, por consiguiente, m en o r inversión de tiem po de com putadora y m enor costo. Esto es m u y útil en casos en los que el sistem a se encuentra vacío en el arranque. Si se da un tiem p o transitorio m ientras el sistem a se llena, ese tiem p o sería el que coloca­ ríam os de warm up. Le sugerim os acom odar un tiem p o d e un día para com parar resulta­ dos entre los m odelos con y sin tiem p o transitorio. La sim ulación term inará cuando se cum plan 31 días: un tiem p o transitorio que no será to m ad o en cuenta al g enerar las esta­ dísticas, y 30 días que sí aportarán datos para o b ten er los pro m ed io s finales d e las varia­ bles d e respuesta. Ahora nos falta colocar algún elem ento que m uestre la utilización de la prensa en to d o m om ento. Esto nos servirá para determ inar si la variable de respuesta que deseam os conocer — la utilización del equipo— se encuentra en estado estable o aún en estado transitorio. Con dicho propósito incluirem os lo que se conoce com o un gráfico dinám ico. Para construirlo: •

Corra la sim ulación a una velocidad lenta para darle tiem p o a construir el gráfico antes de que term in e la sim ulación, m ientras ésta se encuentra en ejecución, abra el m enú Inform ation y haga clic en el com ando D ynam ic Plot/New. Al realizar esta selección aparecerá la ventana D ynam ic P lo ts con la pestaña Stats to Plot activada con las diferentes estadísticas que ProM odel recopila de m anera autom á­ tica, se recom ienda m over el tam año y la posición de la ventana hacia un lugar

•

dond e n o estorbe la vista del m odelo. Com o en este caso d eseam os vin cu la r el gráfico d in ám ico con una lo calizació n, haga clic en el botón Locations. Lu e g o seleccio ne la localizació n "prensa", y d eterm ine la estad ística del p o rcentaje d e utilizació n (U tilization % ). Enseq uida cam b ie a la p estañ a C h art y verá el co m p o rtam ien to d e la variab le a través del tiem p o . La gráfica resultante puede ser m o d ificad a tal com o si se tratara d e un gráfico d e Excel.

Si desea guardar el gráfico d inám ico para utilizarlo en futuras ocasiones, agréguelo a la configuración de la siguiente m anera: M ientras el m o d elo esté aún en ejecución y con el gráfico creado anteriorm ente en la posición y dim ensiones deseadas, despliegue d e nuevo el m enú Inform ation, abra el subm enú D ynam ic P lot y haga clic en el com ando Configurations. En ese m om ento aparecerá una ventana en la que podrá asignar un nom bre al gráfico que acaba d e crear, y guardarlo para em plearlo en alguna oportunidad posterior (por ejem plo, nos será útil en la solución del ejem plo 5.2). En el cam p o Save/Renam e A s: pondrem os figura prensa, haga clic en el botón Save. Una vez guardado el gráfico dinám ico podrem os activarlo al inicio d e la sim ulación. Para ello m odificarem os lo que se conoce com o lógica inicial del m odelo: 17 2

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

Abra el m enú Build y elija el com ando G eneral Inform ation. Enseguida se des­ plegará en su p antalla el cuadro d e diálogo correspondiente (vea la figura 5.22).

□

G e n e i a l I n f o im a t i o n

Tile

M o d d E jo te s )

G ta p h ic Líxa»y:

|C A P io g ra m F ie s V P io M o d e l\G lb \P R 0 M 0 D 6 .G L B

B row se

Logic

U n ftt T im e U m ls

Distance Units

^

S econds

f^Feei

M inutes

r Ms»ers

r

Hours

r Deys

¡rrtia fc a lio n L o g ic ...

T e irrw u tio n L o g c ..

F ig u ra 5 .2 2 0 cu a d ro de d iálo g o G eneral Inform ation.

Este cuadro d e diálogo nos perm ite acceder a una opción para colocar notas que identifiquen el m odelo. (Para crearlas, haga clic en el botón Model Notes, y para activar­ las, despliegue el cuadro de diálogo Sim ulation O p tio ns [Sim ulation/Options] y m ar­ que la casilla d e verificació n Display Notes). El cuadro d e diálogo m uestra adem ás la ruta d e la biblioteca de gráficos q u e actual­ m ente se está usando en el m odelo, y que perm ite definir las unidades de tiem p o y dis­ tancia. Por últim o, en él podem os especificar eventos o características iniciales y finales del m odelo. Por ejem plo, es posible desplegar un m ensaje d e advertencia que anun cie el in icio o el té rm in o d e la sim u la ció n . Sin em b argo , p o r el m o m en to sólo activare m o s e l gráfico dinám ico al com ienzo de la sim ulación. Siga estos pasos: •

Haga clic en el botón Inizialization Logic para desplegar la ventana d e program a­ ción correspondiente (vea la figura 5.23). Initializaiion Logic

x u

Ud U ne 2

■H

%

F ig u ra 5 .2 3 V entana de pro gram ació n para la lógica inicial del m odelo.

Esta ventana es sim ilar a la d e Operation (vea la figura 5.7). En ella colocarem os la instrucción DYNPLOT"nom bre del gráfico". Para nuestro ejem p lo escribirem os: DYNPLOT "figura prensa". Una vez introducida la instrucción, cierre la ventana. Si ejecuta en este 173

¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

m om ento la sim ulación, el gráfico dinám ico aparecerá desde el inicio y m ostrará su perio­ do transitorio, lo cual le perm itirá o bservar si la variable graficada está estable o no. D urante la ejecución es posible que el gráfico oculte la sim ulación d e nuestro siste­ m a. Para evitarlo podríam os m odificar el tam año del gráfico, aunq ue con ello sacrificaría­ m os su calidad. Otra solución consiste en definir una vista dond e el sistem a se m uestre alineado hacia el lado contrario a dond e aparece el gráfico dinám ico. Para lograrlo: •

Prim ero d im ensio narem o sel sistem a actual. D etenga la sim ulación y abra el menú V ie w y haga clic en el com ando V ie w s.

•

Enseguida escriba un nom bre específico para la vista en V ie w Ñ a m e , y haga clic en la opción A d d del cuadro de diálogo. Ahora el botón S e t V ie w del m enú V ie w está disponible para seleccionar la vista que acaba de definir. Haga clic en él.

•

Para desplegar la vista, abra el m enú V ie w , elija el subm enú V ie w s y haga clic en el nom bre de la vista que definió en el paso anterior. Otra opción es ejecutar la vista m ediante el m étodo abreviado de teclado que aparece al lado de su nombre, el cual se com pone de la tecla Ctrl y un núm ero que corresponde al núm ero d e la vista, en este caso Ctrl+ 1.

Puesto que la vista deberá ser activada al inicio de la sim ulación, regrese a la ventana In ic ia t iz a t io n L o g ic y escriba en el siguiente renglón después d e la instrucción del gráfi­ c o dinám ico: V IEW " N o m b re d e la v is ta " . De esta m anera, la vista se activará al co m ien­ zo d e la sim ulación, al igual que el gráfico dinám ico. El resultado d e estas acciones podría verse com o se ilustra en la figura 5.24. La sintaxis general de la instrucción VIEW es: V IEW " n o m b re d e la v is ta "

F ig u ra 5 .2 4 Eje m p lo 5.2 term in ad o .

174

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

Com o pud im os ve r en este ejem plo, increm entar el po tencial gráfico d e nuestro m odelo es relativam ente sencillo. Pero las herram ientas de ProM odel no sólo están desti­ nadas a m ejorar la interpretación visual del m odelo; tam b ién nos perm iten integrar m uchos otros elem entos con propósitos distintos, por ejem plo: la tasa de descom postu­ ras de un equipo, el tiem p o que tarda en repararse, la p ro b ab le generación de piezas defectuosas en el proceso, los niveles de retrabajo o de utilización de los recursos, e tcé ­ tera. Es evidente, que, cuanto m ás apegado a la realidad queram os que resulte nuestro m odelo, m ás cantidad de ajustes tendrem os que hacer; ésta es la razón p o r la que un buen m o d elo d e sim ulación tom a tiem p o en ser construido. No obstante, es preciso to m ar en cuenta, e n todo m om ento, que de nada sirve un m odelo perfecto gráficam ente si n o se tien en buenos datos estadísticos de entrada.

5.4.3

M odelado de un sistem a que incluye m ás de un proceso E je m p lo 5.3

Dos tipos d e piezas entran a u n sistem a. La prim era es un engrane q ue llega a una estación de rectificado donde se procesa por 3±1 m inutos; la distribución de probabilidad asociada a las llegadas de este engrane a la fila de la rectificadora es una distribución norm al con tiem p o prom edio de 13 m inutos y desviación estándar d e 2 m inutos. La segunda pieza es una placa de m etal que llega a una prensa con una distribución de probabilidad exponen­ cial con m edia de 12 m inutos. La prensa procesa un engrane cada 3 m inutos con distribu­ ción exponencial. Al term inar sus procesos iniciales, cada una d e estas piezas pasa a un proceso autom ático de lavado que perm ite lim piar 2 piezas a la vez de m anera indepen­ diente; este proceso, con distribución constante, tarda 10 minutos. Finalm ente, las piezas se em pacan en una estación que cuenta con 2 operadores, cada uno de los cuales em paca un engrane en 5±1 m inuto y una placa en 7±2 m inutos. Se sabe que los tiem po s de tran s­ porte entre las estaciones son de 3 m inutos con distribución exponencial. No hay alm ace­ nes entre cada proceso: sólo se tien e espacio para 30 piezas antes d e la prensa y 30 antes de la rectificadora. Suponga que cada día de trabajo es de 8 horas. Sim ule este sistem a por 4 0 días, indique el m om ento en que se inicia y se term ina la sim ulación. E s q u e m a t iz a d o n i n id a l d e l m o d e lo

Antes de com enzar a definir el m odelo en ProM odel, es conveniente analizar el problem a. El prim er paso consiste en esquem atizar el sistem a, com o se m uestra en la figura 5.25.

U n ifo rm e (3 ,1 )

E xp o n e n cia l ( 1 2 )

C o n sta n te 10

U nifo rm e (5 ,1 ) e n g ran e U n ifo rm e (7, 2 ) placa

F ig u ra 5 .2 5 Esq u em a del sistem a a m odelar e n el ejem p lo 5.3.

175

¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

D e f in ic ió n d e lo c a liz a c io n e s

Recordem os que el m odelado en ProM odel com ienza por la definición d e las localizacio­ nes físicas d e nuestros procesos, en este caso:

1. La fila de llegada para la rectificadora, con capacidad para 30 piezas. 2. La fila de llegada para la prensa, co n capacidad para 30 piezas. 3. El proceso d e rectificado, con capacidad para una pieza. 4 . El proceso d e prensado, co n capacidad para una pieza. 5. El proceso de lim pieza, con capacidad para lim piar dos piezas de m anera in d e­ pendiente. 6. El proceso d e em paque, en el que participan dos operadores independientes.

En este m o d e lo a p arece un n u e vo tip o d e lo c a liz a c ió n , ya que d e b em o s d e fin ir fila s de e n tra d a . En m u ch o s siste m as se tie n e n b an d as o tra n sp o rta d o re s q u e se e n c a r­ gan d e d esp lazar las p iezas d e un p ro ceso a otro; en otros casos, co m o el d e las in sti­ tu cio n es b an cad as, hay so lam en te una fila para aten d er al clien te . ProM odel p erm ite sim u la r esto s d e ta lle s. Por ejem plo, para definir una fila:

• •

Abra el m enú B u ild y elija L o c a tio n s . i Seleccione el icono que parece una escalera horizontal » *** "* ■ ) en la ventana G r a p h ic s , y haga clic en la posición d e la ven tana L a y o u t dond e q uiere que

aparezca la fila de rectificado. Luego, al m over el curso r del ratón, una flecha indi­ cará que está definiendo la fila; coloqúese en el lugar dond e quiere que term ine la fila haga doble clic. Es im po rtante m en cio nar que si sólo hace un clic en la posi­ ción final, seguirá construyendo la m ism a fila; esta característica es m u y útil para definir en una sola localización band as o transportadores que pasen por toda la planta o por varios procesos.

P o dría o c u rrir q u e al d e fin ir n u e stra fila el ico n o ap a re cie ra co m o u n a b a n d a d e ro d i­ llo s m ás q u e co m o u n a fila ; sin em b argo , es im p o rta n te que el m o d e lo sep a q u e se ha d e fin id o u n a fila y n o u n a b an d a, p u e s al m o m en to d e la sim u la c ió n tra ta cada e le m e n to d e m anera d ife re n te . Le re co m e n d a m o s q u e c o n s u lte la ayud a d e P ro M o del para co n o ce r to d as la s c a ra c te rís tic a s q u e se p u e d en a sig n a r a una fila y a u n a b a n ­ d a. P o r lo p ro n to , u n a b u e n a fo rm a d e a se g u ra rse d e q u e la lo c a liz a c ió n es u n a fila ( q u e u e ) y n o u n a b a n d a ( c o n v e y o r), es co n un d o b le clic e n e lla d esd e la ven tan a

L a y o u t;e n s e g u id a se d esp leg ará el cu ad ro d e d iá lo g o C o n v e y o r / Q u e u e (vea la fig u ­ ra 5 .2 6 ). E n este cu ad ro po drá co n tro la r varias ca ra cte rística s d e la lo c a liz a c ió n . Haga lo sig u ie n te :

17 6

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~1

C o n ve y o i / Q ueue

Style

Width

r

s o iid

r Roller Line Boeder Color... FU Color... Length 116 000

meters

Conveyor Op‘ions. [nviable Dunng SmUation í

• •

•

OK

1

Cancel

Help

F ig u ra 5 .2 6 D e fin ició n d e las ca ra cte rística s de u n a fila .

Asegúrese de que esté m arcada la casilla de verificación d e la opción Q u e u e . Recuerde qu e el icono es sólo una representación visual, así q u e puede decidir, en la sección S ty le , si el icono aparecerá sólido (Solid), co m o banda de rodillos (R o ller), o sólo com o una línea (U n e ). Si desea qu e el icono no aparezca al m o m ento d e ejecutar la sim ulación, m arque la casilla de verificación d e la opción In v is ib le D u rin g S im u la tio n .

•

A dem ás d e estas características, el cuadro d e diálogo perm ite definir otras, com o el color de borde y de relleno del icono (m ediante los botones B o r d e r C o lo r y Fill C o lo r) y su longitud (Le n g h t), en metros.

•

Al term in ar d e definir las características de la fila de rectificado, haga clic en el botón O K.

R epita el p ro ce d im ie n to para d e te rm in a r la lo ca liza ció n d e la p ren sa. (R ecu erd e q u e am bas fila s tie n e n u n a cap acid ad d e 30 p iezas so lam en te.) Lu e g o d e fin a la p ren sa y la re ctifica d o ra d e la m ism a m anera que d e fin im o s o tro s pro ceso s en lo s ejem p lo s a n terio res. A continuación definirem os la lavadora, seleccionando para ello el icono que desee­ m os que la represente. Para una m ejo r visualización, coloque 2 iconos de posicionam iento sobre el icono que representará a la lavadora (recuerde que ésta tien e capacidad de lim piar dos piezas a la vez y de m anera independiente). Por últim o, defina los operadores d e ensam ble. D e acuerdo con la descripción, en el proceso participan dos operadores q u e realizan la m ism a operación, pero de m anera independiente. O bserve que, en el caso d e la lavadora, un m ism o equipo tien e capacidad para realizar 2 procesos de lavado, m ientras que ahora tenem o s dos operarios que reali­ zan la m ism a operación d e em paque. Para definir esto en el m odelo podem os proceder d e dos m aneras. La prim era consis­ te en especificar a cada operador d e em paque com o una nueva localización; sin embargo, 177

¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

a nivel d e program ación tendrem os que determ inar rutas d e entrada y salida para cada u no d e ellos. La segunda opción es m ás práctica: se trata de establecer que el pro ceso de ensam ble tie n e 2 unidades de capacidad, una por cada operador. Para lograrlo: •

Defina una operación de em paque y, al term inar, coloque un 2 en la colum na U n its de la ventana Locations. D espués d e aceptar este cam bio aparecerá una segunda localización, idéntica a la que definim os originalm ente.

Si desea ca m b ia r d e posición d ich a lo calizació n , h ág alo ; e sto n o afectará el m o d e lo . Es im p o rtan te m e n cio n a r que si la d e fin ició n d e l pro ceso im p lica m ás d e un ico no , es p o sib le m o verlo s todos a la vez si se tom an d e la lín ea p u n te ad a q u e aparece en su co ntorno. Esta m anera d e d efin ir localizaciones iguales facilita la program ación y perm ite seguirlas tratando d e m anera independiente, lo cual resulta m u y útil cuando querem os sim ular, por ejem plo, un banco con 10 cajeros que realizan las m ism as operaciones. Al term in ar estas definiciones, el m odelo se verá co m o se m uestra en la figura 5.27.

i ÍL m n b o Io 3 3 v p ttN M C*

i '- '-

! * ..

lo -,-

fc’r r t - - /

¿ jr*

s« tt*s

oídas*

J in a S a lta *

O íd a .»

t im S * ;* « í l r x k : >

Planta iavadoio

7.b* Baila* Non*

lis o

£ < n « !

T in » S a r t a *

i* r»T“*

lapaijvM. i

Non*

T lM

l a ; o tju o . i

Non*

7jn« Sote:

«

8*1

la *

o id e s * (lid » .» ,

i

I m

p i c a

in d « s < r .d ic n e « e

l

O íd a .»

Oldeir

«*•

P í i *•

% %

jJ

A

F ig u ra 5 .2 7 D efin ició n de lo ca liza cio n e s p ara el e je m p lo 5.3.

O bserve que, aunque las filas aparecen com o líneas en el m odelo, en la ventana Locatio n s siem pre lucirán com o band as de rodillos. 17 8

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

D efinición de en tid ad es E l siguiente paso en la construcción d e nuestro m o d elo será la definición de las entid a­ des. Para ello es necesario desplegar la ventana apropiada m ediante el com ando En tities del m enú Build. En este pro blem a será necesario d efin ir dos entidades: una que rep re­ sente el engrane y otra que represente la placa. Com enzarem os por d efin ir el engrane seleccionando el gráfico para dicho propósito. Com o se m en cio nó en el ejem p lo 5.1, para m ejorar el aspecto visu al podem os agregar una segunda gráfica. D espués repetim os el m ism o proceso para la placa. O bserve que en la p arte inferior d e la ventana G rap h ics aparecen unas dim ensiones b ajo el concepto Conveyor Only: estás dim ensiones son las que tom aría la pieza si entrara a alguna loca­ lización definida com o banda y no com o fila. Uno de los p ro blem as que podrían presen­ tarse al m om ento de sim ular el m odelo, es que estas dim ensiones sean dem asiado grandes, lo qu e ocasionaría que las piezas no pudieran ser contenid as en la banda. Al m om ento d e definir el m odelo es im po rtante considerar que el sim ulador tom ará en cu e n ta las d im e n sio n e s física s d e las p iezas d e fin id a s en la o p ció n C o n v eyo r O n ly en caso de entrar a una banda; sin em bargo, las ignorará cuan do entren a una fila. D efinición de lleg ad as El sig u ie n te paso en la construcción del m o d e lo es la defin ició n de los arribos o lle g a ­ das d e las p iezas al siste m a ; para ello , abra el m enú Build y hag a clic en el com ando A rrivals. Al esp e cificar los parám etros, recu erd e que las llegad as d e los eng ranes tien en d istrib ución no rm al con m ed ia d e 13 m in u to s y desviació n están d ar d e 2 m inuto s, m ientras que las d e las placas tien en d istrib u ció n exp o n en cial con m edia d e 12 m in u ­ tos. Una ve z definidas am bas llegadas, la ventana A rrivals deberá lu cir com o se m uestra en la fig u ra 5.28.

r s t« n»o. . Ik j i u m

illa

p l.z m

iiu ^ r t u .

ia < tillc » w ia

|& i

1° 0

ln l

!V i 13,2) 1112)

Zl

F ig u ra 5 .2 8 D efin ició n de lleg a d as d e la s e n tid ad e s (ejem p lo 5.3).

D efinición d el proceso: uso de la opción V iew Text A continuación definirem os la lógica de procesam iento de la sim ulación. Para ello ejecute e l com ando Processing del m enú Build. Para program ar las operaciones y rutas de am bas entidades (engranes y placas), pro­ cederem os com o se indicó en el ejem plo 5.1, pero prim ero es co nveniente ten e r un esquem a del proceso secuencial d e cada una d e ellas. Es en este tip o d e situaciones don­ de herram ientas co m o los diagram as de operación resultan útiles para realizar una pro­ gram ación m ás eficiente. 179

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

Recuerde que el tiem p o de transpo rte entre procesos es de 3 m inutos, con d istrib u­ ción exponencial. Por lo tanto, en cada ruta que im p liq u e m o vim iento d e un proceso a otro será necesario program ar la instrucción M ove For E(3) en la colum na Move Logic de la ventana Routing. La sintaxis general d e esta instrucción es: M OVE FO R < tie m p o > , dond e el tiem p o puede ser una constante, una distribución de probabilidad, una variable o un atributo num érico. Para ilustrar la program ación de am bas piezas en este m odelo, em plearem os una opción d e ProM odel que perm ite visualizar la m ayor p arte de la inform ación. Siga estos pasos: •

Abra el m enú File y haga clic e n el com ando View Text. Enseguida se desplegará en la pantalla toda la inform ación que hem os incluido hasta el m o m ento en el m odelo. Esto es m u y útil, sobre todo en problem as en los que se requiere m ucha program ación. En la figura 5.29 se m uestra la p arte correspondiente al procesa­ m iento que desplegará el com ando View Text. Tom e está inform ación com o referencia para verificar si ha program ado la secuencia d e los procesos y las rutas d e m anera adecuada.

P ro c e s a in g P ro c e sa E n tity

L o c a tio n

E n gran e

P i la _ r e c t i f ic a ilo r a

E n g ran e E n g ran e

R e c tific a d o ra la v a d o ra

E n g ran e p la c a p la c a p la c a

E npaque P ila ._ P re n sa la v a d o ra

u a i t E u a i t 1S G ra p h ic 2 u a i t u < ? .2 >

D e s tin a tio n

R u le

fio v e L o g ic

1 1

E n g ran e E n g ran e

R e c tific a d o ra la v a d o ra

P IR S I 1 FIRST 1

n o v e f o r E

1 1 1 1

E n g ran e E n g ran e p la c a p la c a

E m paque EX 1I P re n sa la v a d o ra

FIR S T FIR S T FIR S T FIRST

1 1 1 1

n o v e f o r E

1

p la c a

E m paque

FIRST 1

f o r E

1

p la c a

EXIT

FIRST 1

nove «i

E npaque

u a i t u < 3 .i> u a i t 10 G ra p h ic 2 u a i t u < S .l>

B lh

I

p la c a

O p e r a tio n

R o u tin g O u tp u t

f o r E

F ig u ra 5 .2 9 In stru ccio n es d e p ro cesam ien to del e je m p lo 5.3.

O bserve que en este ejem p lo hem os utilizado el com ando GRAPHIC #, m ism o que perm ite cam b iar la gráfica de la entidad por otra determ inada al m om ento de definir las entidades. El sím bolo # representa la posición que tien e la gráfica dentro d e la lista de gráficos definidos para esta entidad. Vea tam b ién cóm o se usa la instrucción M OVE FO R en cada caso donde se requiere un transpo rte de un proceso a otro. Por último, observe que se program aron prim ero las trayectorias del engrane y posteriorm ente las de la placa. ProM odel p erm ite definir cualq uier proceso y ruta sin im p o rtar el orden cronológico. Sin em bargo, con el propósito de lograr una m ejo r lectura d e la program ación, se recom ien­ da proceder com o se m uestra en este ejem plo. D e esta m anera, si por algún m o tivo fuera necesario m odificar la program ación, será m ás sencillo insertar y elim inar líneas para darle un orden secuencial a la sintaxis d e nuestro m odelo. 18 0

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

Uso de la instrucción DISPLAY A p artir d e los pasos q u e hem os seguido hasta este m om ento, el m odelo deberá poder ejecutarse sin problem as. Sin em bargo, aún no hem os incluido el m en saje de inicio y de fin de la sim ulación que se nos pidió. Para hacerlo: •

Abra el m en ú Build y haga clic en el com ando G en eral Inform ation para desp le­

•

gar el cuad ro d e diálogo correspondiente (vea la figura 5.22). Haga clic en el botón Initilization Logic y, en la ventana que aparece, escriba la instrucción DISPLAY "Inicio de la Sim ulación". Esta instrucción desplegará una ven tana d e m e n saje q u e d e ten d rá la sim u lació n h asta que h ag am o s clic en u no d e los botones incluidos en ella: si hacem os clic en Cancel, la sim ulación no se ejecutará; si hacem os clic en OK la sim ulación com enzará.

Una vez que haya program ado el m en saje de inicio, deberá hacer lo pro p io con el m e n ­ saje de finalización d e la sim ulación. •

Vuelva a desplegar el cuadro d e diálogo General Inform ation, y ahora haga clic

•

en el botón Term ination Logic. Cuando se abra la ventana Term ination Logic, coloque nuevam ente el com ando DISPLAY, pero esta ve z con un m en saje de fin d e la sim ulación. (Recuerde colocar el texto entre com illas dobles.)

La in stru cció n D ISP LA Y es m u y ú til para program ar m en sajes d e alerta d e n tro d e la sim ulació n, o para realizar interacción con el usuario del m odelo. Sin em bargo, tien e el inco nveniente d e que detiene la sim ulación, por lo que es im po rtante utilizarla única­ m ente cuando el m en saje sea relevante. Por otro lado, si el program ador desea colocar com entarios dentro d e la program ación, puede hacerlo en los espacios reservados para las notas del m odelo. Adem ás, si se considera necesario, es posible usar com entarios en la program ación de las operaciones y rutas d e las entidades, m ediante cualquiera d e las siguientes o pciones al com ienzo del renglón: // te x to d e un solo renglón • te x to d e un solo renglón /* texto en varios renglones */. En este caso es necesario d efin ir el inicio del co m en­ tario y la finalización del m ism o; es por ello que se utilizan dos sím bolos. La sintaxis general d e la instrucción DISPLAY es: DISPLAY iJm e n sa je " {, < e x p re sió n >}, N uestro m odelo se encuentra casi term inado. Sólo nos falta incluir el tiem p o que desea­ m os sim ular el sistem a. 181

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

D efinición del tiem p o de sim ulación En el planteam iento del problem a se estableció que cada día tien e 8 horas hábiles de trabajo. Tam bién se estipuló que el m odelo del sistem a abarcaría 4 0 días, por lo que el tiem p o to ta l de sim ulación será de 320 horas. Dé los pasos pertinentes para determ inar estos parám etros com o sigue: •

Abra el m enú Sim ulation y haga clic en el com ando Options. En el cuadro de diálogo que se despliega, especifique 3 2 0 hr. en el cam p o Run H ours. Tenga cui­ dado y no lo indique c o m o 4 0 d a y , porque si lo hace el m o d elo sim ulará el sistem a por 4 0 días de 2 4 horas cada uno.

Estam os listos para guardar y ejecutar el m odelo. Abra el m enú Sim ulation y haga clic en e l com ando Save & Run. V erifique que el m odelo se ejecute sin problem as. En tid ad es que no pudieron en trar al sistem a U na de las problem áticas que pueden presentarse al m o m ento de m o d elar un sistem a, radica en que la capacidad de las localizaciones d e llegada resulte insuficiente para recibir to das las piezas que arriban a l sistem a. Cuando esto ocurre, ProM odel genera, al fin al de la sim ulación, un m en saje de advertencia co m o el que se ilustra en la figura 5.30 (en español, el m ensaje dice "¿Q uiere ve r los resultados?) (Nota: Se presentaron fallas en la llegada de entidades debido a capacidad insuficiente). im ulation Complete

$

Do you want lo see Ihe resulls? (NOTE: There weie enlity arñval lailures due lo ¡nsufficient capacity) No

F ig u ra 5 .3 0 Aviso de llegadas fa llid as.

En este ejem p lo se espera que se presente esta situación. Es posible, sin em bargo, que no sea así. Todo depende de la com putadora que se esté usando, y tam bién del núm ero d e veces que se ejecute la sim ulación, puesto que al ejecutarse en repetidas ocasiones, los núm eros aleatorios que se utilizan para el m odelo cam bian, y a su vez m odifican los resultados finales. O bserve que el m ensaje de la figura anterior no estipula cuántas entidades no pud ie­ ron ser sim uladas. Para conocer el dato preciso, consulte la inform ación d e la fich a Failed A rriv a ls en el rep o rte de resultados, donde se m ostrará el núm ero d e piezas que no pudieron entrar al sistem a. En cualquier caso, a fin d e evitar la ocurrencia de este tip o de problem a se sugiere al lecto r qu e cam b ie la capacidad d e las filas de entrada. D icho increm ento no dism inuye de m anera lineal el núm ero de piezas que no pudieron ser sim uladas. Incluso si se increm en­ ta 300% la capacidad actual d e las filas, el m odelo seguirá p resentan do entidades que no pudieron ser sim uladas. El analista debe evaluar si es m ejo r ten e r filas m ás grandes — que ocupan m ás espacio— o m odificar algunos d e los procesos, de m anera que las piezas puedan fluir m ejo r por el sistem a. 18 2

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

5 .4 .4

Inclusión de gráficos de fondo en el modelo En algunos casos podría ser necesario m odelar procesos sobre un plano real de una p lan ­ ta o de un área d e trabajo, en especial con m iras a m ejorar la presentación visual de la sim ulación. En ProM odel esto es posible por m edio de un cam bio del gráfico d e fondo del m odelo. Veam os có m o fu n cio n a esto en el ejem p lo siguiente. Ejem plo 5.4 Tom e com o base el ejem p lo 5.1, m o difique el fo n d o d e la sim ulación y agregue un código d e colores a la prensa, para saber cuándo está trab ajan d o y cuándo se encuentra ociosa. Sim ule este sistem a por 4 0 días. Para com enzar, harem os las m odificaciones pertinentes en las localizaciones: agre­ gue un código de colores a la prensa, para identificar sus periodos activo s e inactivos: • • • •

Abra el m enú Build y haga clic en el com ando Locations. Seleccione e l icono d e la prensa en la ventana L a y o u t Desm arque la casilla de verificación d e la opción N ew en la ventana Graphics. Seleccione el icono del punto azul en la ventana G raphics, y arrástrelo hasta colocarlo a un lado d e la prensa.

LíJ

El icono cam b iará de color autom áticam ente durante la sim ulación, lo que le indica el estado de la prensa: será azul si está ociosa, verd e si está realizando alguna operación, y rojo cuan do n o esté disponible (en este caso, cuan do se presente el evento del m anteni­ m iento preventivo). El sig uiente paso consiste en cam b iar el fo n d o de la sim ulación. Podem os hacerlo de dos m aneras; la prim era consiste en m odificar así el fondo del área d e trabajo: • •

Abra el m enú View, elija el subm enú Lay o u t Settings, y haga clic en el com ando Background C olo r (vea la figura 5.31). Seleccione el co lor que desee en la ventana que se despliega, y haga clic en el botón OK; el cam b io se reflejará d e inm ed iato en el área de trabajo.

eiii i ni t*

’

m SinAtxn JUv.1 Ioob S'nb-

F ig u ra 5.3 1 Siga e s ta ruta para ca m b ia r el c o lo r d e fo n d o del á re a d e trab a jo de la sim ulación.

El otro m étodo para m odificar el fondo del área d e sim ulación nos perm ite, adem ás, co lo car una im agen con form ato BMP, WMF, G IF o PCX. Esto facilita la im portación de archivos de AutoCad, por ejem plo, p erm ite trab ajar sobre el p lano de una planta real. En 183

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

este caso es recom endable colocar el fo n d o antes d e com enzar a definir las localizacio­ nes, ya qu e d e otra m anera éstas podrían quedar desfasadas d e su lugar si se hiciera una m odificación de tam año al plano, lo cual exigiría invertir m ás tiem p o en su reubicación. Para poder insertar el archivo gráfico com o fondo: •

Abra el m en ú Build, elija el subm enú Background G raphics, y haga clic en el com ando Behind G rid (vea la figura 5.32).

6 *3

Q upu

Ix fc 014 Cu14 Di141

r *J

CM4I 014» 01-4 Sa* *4#e

Z iw u

014

F ig u ra 5 .3 2 Prim er paso p ara la inserció n d e u n a im ag en d e fo n d o e n el área de trab ajo .

Enseguida se desplegará en la p antalla una interfaz gráfica que nos p erm ite insertar im ágenes d e fondo, o incluso diseñar nuestros propios fo ndo s para el área d e trabajo (vea la figura 5.33). Sin em bargo, en este ejem p lo ilustrarem os sólo cóm o insertar una im agen con form ato BMP.

fi.

v—

0 -*-

Q / ;u

t

.r ,

tf"

Figura 5 .33 Im p o rta c ió n d e una im a g e n d e fo n d o a la sim ulación

184

-ISJ21

5.4 C onstrucción de u n m o d e lo |~ 1

Una vez que entre al área de im portación y generación d e im ágenes d e fondo: •

•

Abra el m enú Ed it y elija Im port G raphic. A continuación se desplegará un cu a­ dro d e diálo go O pen, sim ile al h ab itu al en los program as d e plataform a W indows. Localice el archivo que le interese en la unidad y carpeta d e su com putadora en dond e esté alm acenado (en ProM odel los fo rm atos predeterm inados para im po r­ tación son BMP y WMF, aunq ue adm ite otros form atos). Selecciónelo y haga clic en el botón OK. El archivo gráfico se abrirá d e inm ed iato com o fondo de la sim ulación (las im ágenes im portadas generalm ente aparecen en la esquina superior izquier­ da del área de trabajo).

En ocasiones el gráfico im portado resulta m u y pequeño, por lo que tendrá que agrandar­ lo m anualm ente. Para ello, selecciónelo, coloque el cursor del ratón en una de sus esqui­ nas, haga clic y, sin soltar el botón del ratón, arrastre hasta lograr el tam año deseado. Es im po rtante señalar que, en el caso d e los archivos BMP en particular, un increm ento de tam año im plica tam bién m ayo r distorsión de la im agen. Una ve z com pletada la im portación podríam os ver un fondo com o el que se m uestra en la figura 5.34. En este caso se colocó un gráfico predeterm inado d e W indows com o fo n d o del sistem a.

F ig u ra 5 .3 4 0 fo n d o d e e sta sim u lació n u tiliza un a rc h iv o gráfico e n fo rm a to BM P para m ejorar su p resen tació n .

Con esto concluim os las m odificaciones visuales requeridas en el ejem p lo 5.4. 185

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

5.5 A rribos cíclicos En los ejem p lo s anteriores se ha utilizado el m ó d ulo A rriv a ls para sim ular la llegada de en tid ad es a cada sistem a. En estos ejem p lo s se ha su p u esto que la fre cu e n cia d e lle g a ­ das no cam b ia durante to d o el tiem p o d e sim ulación, de esta m anera en el ejem p lo 5.1 las entid ades llegarán siem pre de una en una (QTY e a c h .. .: 1) con un tiem p o entre arri­ bos exp o n encial de 4 m inutos (Frequency : E(4)), com o se m uestra en la figura 5.5. De m anera sim ilar en el ejem plo 5.2 tan to la llegada de los engranes com o la d e las placas ocurrirá de una en una con un tiem p o entre arribos N(13,2) y E(12) respectivam ente e n el transcurso de la sim ulación (ver figura 5.28). En m uchos sistem as la llegada d e las entidades sigue un co m portam iento cíclico. Algunos ejem plos son las llegadas de p acientes a un consultorio, la llegada de autobuses a una parada, la llegada d e alum nos a un salón d e clases, los aviones a un aeropuerto o los clientes a un restaurante. Estos arribos cíclico s se definen en el m ódulo A rrival Cycles (Build / More Elem en ts /Arrivals Cycles). Las llegadas pueden ser definidas com o un porcentaje o com o una cantidad, y puede hacerse en form ato acum ulativo o n o acum u­ lativo. Una vez definido el ciclo d e arribos, puede ser asignado en el cam p o Qty each... dentro de A rrivals (Build / Arrivals). Ejem plo 5.5 A una clínica llegan todos los días a consulta un prom edio de 70 p acientes con d istrib u­ ción Poisson. Los registros históricos m uestran el siguiente patrón d e llegadas:

De:

A:

Porcentaje

6:00

700

30

7:00

9:30

10

9:30

1200

10

1200

1300

10

1300

1500

5

1500

1900

35

El tiem p o d e co nsulta sigue una función de densidad uniform e entre 25 y 35 m in u ­ tos. Se dispone de 3 doctores para las consultas. Corra el m odelo d e sim ulación durante treinta días para encontrar el tiem p o prom edio d e espera d e un paciente antes d e ser atendido. D efina en el ventana Locations (Build/Locations) dos localizaciones: Fila y Doctores, y en la ventana En tities (Build/Entities) la entidad Pacientes con sus correspondientes características. Enseguida, en la ventana Process (Build/Processing) defina la lógica de proceso d e acuerdo a lo m ostrado en la figura 5.35. 1 8 6

5.5 A rribos cíclicos |~1

«*

**

L o ca t io n s Ñame

Cap

U n its S t a t s

D octores D o c t o r e s .1 D o c to r e s .2 D o c to r e s .3 F ila

1

3

1 1 1

1 1 1

IN FIN ITE 1

T im e T im e T im e T im e T in o

R u les

C ost

S e r ie s O ld est, S e r ie s O ld e st, S e r ie s O ld e st, S e r ie s O ld e st, S e r ie s O ld e st,

»

,

F ir st

#

P FIFO ,

M

E n titie s Ñame

Speed

P a c ie n te s

150

< fp m >

S ta ts

C ost

T iñ e S e r ie s

«*

•»

P ro cessin g P rocess

E n tity

L o c a tio n

O p era tio n

P a c ie n te s P a c ie n te s

F ila D o c to r e s w a it

U < 3 0 ,5 > m in

R o u tin g B lk

O utput

D e stin a tio n

P a c ie n te s D octores P a c i e n t e s EXII

R u le

Houe L o g i c

FIR ST PIRST

F ig u ra 5 .3 5 Lo calizacio nes, e n tid a d e s y ló g ica d e la ruta d e lo s pacientes.

En la figura 5.36 se m uestra una im agen del m odelo de sim ulación d e la clínica.

Figura 5 .36 Esquem atización d e l e je m p lo 5.5.

187

¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

Para definir el ciclo de arribos activam o s el m ó d ulo A rrival Cycles (Build / More E lem en ts /Arrivals Cycles), se abre la tabla d e edición que se m uestra en la figura 5.37. A l ciclo de arribos se le llam ará Llegadas. Debido a que los datos están expresados en porcentaje, seleccionam os Percenten el cam p o Qty/% . Estos porcentajes son no acum u­ lativos de ta l form a que especificam os No en el cam p o Cum ulative.

¡III A rrival Cycles

ni Q

ID

Qty/%

Llegadas

Percent

Cum ulative No

l f x ]

Table... D efined

V

F ig u ra 5 .3 7 E sq u em atizació n del c ic lo d e a rrib o s del ejem p lo 5.5.

Enseguida activam o s el botón T a b le ... para activar la ventana de edición del ciclo lo strad a en la figura 5.38.

lili Table for Llegadas |» |fp ][X j Tim e (Hours) 1

Qty / % 30

------------------------------

3.5

10

6

10

7

10

9

5

13

35

24

0

F ig u ra 5 .3 8 Esq u em atizació n del c ic lo de arribos.

En este ejem plo, aun cuan do los porcentajes d e pacientes que llegan a la clínica son n o acum ulativos, el tiem p o siem pre será acum ulativo. D e tal form a que la tabla se lee co m o sigue: 30% del to tal de p acientes arriba en la prim era hora, 10%, entre la hora 1 y la hora 3.5 de la sim ulación, y a sí sucesivam ente. Las llegadas se distribuyen d e m anera uniform e dentro del intervalo en el que el p acien te llega. Una vez definido el ciclo de arribos, ahora puede ser asignado al cam p o Qty e a c h ... del m ódulo d e A rrivals (Build/Arrivals). En la ventana de diálogo que se m uestra en la figura 5.39 seleccionam os el ciclo de arribos creado anteriorm ente y la cantidad de pacien tes qu e llegan por ciclo.

18 8

5.5 A rribos cíclicos |~1

Arrival Qty Amval Cycle (optional)

Quantity: P(70) I

Figura 5 .3 9 Program ación d el c ic lo d e a rrib o s d en tro d el m ó d ulo Arr'rvals.

Cancel

OK

El m ó d ulo d e arribos queda com o se m uestra en la figura 5.40.

W- Arrivals Entity.

Location

First T im e... f \ Occurrence-

Qty Each...

>isjbl«

P{70); Llegadas 0

Pacientes

Ciclo de arribos

Tiempo de simulación

Tiempo entre arribos

Figura 5 .40 A rrib o s a la clín ica .

Al ejecu tar este m od elo se despliega e l resultado de 4 7.80 m inutos de tiem p o p ro ­ m edio de espera de los p acientes en fila (figura 5.41).

B0B

u r General Report (Normal Run - Rep. 1 ' G eneral

| Locabonsj

L o c a to n States McJü

Lo ca tio n States S m jfc

E n b tyA ctivily

E n tíy S ta te :

Ejemplo 613.mod (Normal Run - Rep. 1 ) N am c

S c h e d u le d T im e |H R )

C a p a c ily

T o t a l E n tiic s

Avg T une Per Fnl.y (MIN)

A v g C o n tc n ts

M á x im u m C o n te n te

C u rte n ! C o n te n te

X U tiliz u tio n

Doctores. 1

709.86

1.00

75600

3 0 06

0.53

1.00

0.00

D octores 2

70966

1.00

734 00

2984

0.51

1 .0 0

0.00

51.44

D o d o re s . 3

709.66

1.00

69500

3000

0.49

1 .0 0

0.00

4 8 97

Doctores Fia

2128.99

3.00

2185 00

709.68

99999900

2185 00

29.97

I

TTW

1

5 3 33

0.51

3 .0 0

0.00

51.26

245

21.00

0.00

000

Figura 5.41 R esultados d e la e je cu ció n del m o d elo por tip o d e c lie n te , c o n el fo rm ato de rep o rte V ie w e r 2.0 (3DR).

189

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

Si la opción de form ato de salida d e los resultados dada d e alta en Sim ulation/ O p tio ns es V iew er 4.0, el despliege d e los resultados d e la ficha Locations se verá de una form a sim ilar al m ostrado en la figura 5.42.

O u t p u t V ie w e r

Tabíes C olum n C h a rts -

lo c a tio n Resource

Summary

U til c a tió n R c p o rtl

Scenario

B ntity

L o ca tio r lo c a tio n Resource Pie S irg le Cap M u lti Cap O ia rts -

T e re P io t

H istogram

State

r

Entity

Count

lo c a tio n L c c a tio r Resourte UtBization State Jsage

Tim e Senes

R e p o rt? x

Ñame

Basefine

Doctores

Basdlne

Scheduled Tim e (H r)

C aparity

Total Entrtes

Average Tim e Per E r try (M n )

Average C o c te rts

Máxim um

C urrent

Cor.tents

C cn te rts

% UtBization

2,128.99

3.00

2,185.00

29.97

0.51

3.00

0.00

51.26

Doctores. 1

709.66

1.00

756.00

30.06

0.53

1.00

0.00

53.38

BaseBne

Doctor es.2

709.66

1.00

734.00

29.84

0.51

1.00

0.00

51.44

Basehne

Doctor es.3

709.66

1.00

695.00

30.00

0.49

1.00

0.00

48.97

Basehne

Fila

709.66 999,999.00

« * > l

2.45

21.00

0.00

0.00

2,185.00 1

F ig u ra 5 .4 2 R esultados de la e je cu ció n del m o d elo por tip o d e c lie n te , c o n el fo rm ato d e rep o rte V ie w e r 4 .0 .

5.6 Caso integrador Se tien e una línea de em paque a la que llegan piezas cada 2 m inutos con distribución exponencial. Esta línea cuenta con cinco procesos, que se describen a continuación: 1. Recepción de m ateriales. Cuenta con un espacio ilim itado de alm acenam iento. En este lugar se reciben las piezas que llegan al sistem a, y lueg o éstas pasan a un pro ce­ so d e lavado. El traslad o de las piezas d e una estación a otra es de 3 m inutos con distribución exponencial. 2. Lavado de la p ieza. La lavadora tiene capacidad para lim piar 5 piezas a la vez. El tiem ­ po d e proceso de cada pieza se distribuye norm alm ente con m edia d e 10 m inutos y desviación estándar de 2 minutos. De aquí pasan a u n proceso de pintura, antes del cual llegan a un alm acén con capacid ad para un m áxim o d e 10 p iezas. El tiem p o de traslado entre estas estaciones es de 2 m inutos con distribución exponencial. 3. Pintura. En el área de pintura se tien e capacidad para pintar 3 piezas a la vez. El tiem po de pintado tiene una distribución triangular de (4, 8, 10) minutos. Posteriormente las piezas pasan a un horno, el cual cuenta con un alm acén que tiene capacidad para 10 piezas. El tiem po d e transporte entre estos procesos está uniform em ente distribui­ do con un lím ite inferior de 2 m inutos y uno superior de 5 minutos. 4. Horno. En el horno se seca la pintura. El horno sólo puede procesar una pieza a la vez. La duración del proceso es d e 3 ± 1 m inutos. D e aq u í son transpo rtadas a dos m esas de inspección visual. No existe un alm acén entre el horno y las m esas d e inspección. El tiem p o d e transpo rte entre estas estaciones es de 2 ± 1 m inutos. 19 0

5.6 Caso in te g ra d o r |

5. Inspección. En cada m esa hay un operario que realiza la inspección de 3 elem entos en cada pieza. La revisión de cada elem ento tarda 2 m inutos con distribución exp o ­ nencial. Al fin alizar este proceso, las piezas salen del sistem a. Realice lo siguiente: a ) Sim ule el sistem a por 90 días d e 2 4 horas cada uno. b) Ejecute 3 réplicas d e la sim ulación. c) Analice el archivo d e resultados del m odelo. d) Obtenga un intervalo de confianza para el núm ero d e piezas producidas. e)

D eterm ine, en una tabla, las utilizaciones d e to das las localizaciones del m odelo.

A n á lisis del m odelo Cada una de las siguientes preguntas es independiente, y tien en com o b ase el m odelo original. Respóndalas con b ase en el análisis de sus resultados. 1. ¿D ónde se encuentra el cuello d e botella de este sistem a? 2. ¿Q ué sugerencias haría para m ejorar el sistem a? 3. El hecho d e que una entidad se encuentre en estado d e bloqueo significa que la pieza ha term inad o sus operaciones en la localización actual p ero no puede avanzar a la siguiente, puesto que no hay espacio para colocarla. De acuerdo con esto, ¿considera que es grave el pro blem a de blo queo d e las piezas? ¿En qué localizaciones? ¿Q ué se puede hacer para m ejorar la situación? Haga los cam bios que considere necesarios al m odelo, y ejecútelo nuevam ente para determ inar la m ejora porcentual respecto del núm ero de piezas term inadas. 4 . Si pudiera lograr una m ejoría de 10% en el tiem p o de proceso de alguna d e las estaciones, ¿en cuál de ellas sería y por qué? 5. ¿Es necesario que alguno de los alm acenes sea m ás grande? ¿Cuál y por qué razones? 6. ¿Considera necesario colocar un alm acén entre el horno y las m esas de inspec­ ción? ¿De qué capacidad? 7. Cada pieza deja una utilidad de $5 y ninguna de las inversiones deb e recuperar­ se en m ás de 3 meses. ¿Cuál sería su recom endación si se está analizando la posibilidad de com prar otro horno con la m ism a capacidad y que cuesta $

100 , 0 0 0 ?

8. ¿Cuál sería su recom endación si lo que se desea com prar e s otra lavadora de la m ism a capacidad y con un costo de $100,000? 9. ¿Valdría la pena contratar otro operario para la inspección? El costo de esta o p e­ ración es de $50,000. 10. Con base en su conocim iento del sistem a, haga com binaciones d e los incisos anteriores y trate de obtener la m ayo r cantidad de piezas con el m ínim o costo de inversión. 191

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

5.7 Problem as 1. Los espectadores llegan a un estadio de béisbol cada 2 ± 1 segundos y hacen cola para entrar. El tiem p o que se requiere para pasar por la puerta giratoria del estadio es 5 ± 3 segundos. M odele este sistem a y sim ule el paso de 300 personas por la p u e r­ ta. D eterm ine la longitud prom edio de la fila y la utilización de la puerta. 2. Un m u e lle cuenta con una grúa para descargar barcos. El tiem p o d e descarga es de 2 ± 1 d ías y los barcos llegan de u n o en u n o a u n a tasa p ro m ed io d e 6 barcos cada 14 ± 2 días. Si un barco llega y la grúa está ocupada, espera en una línea para ser descargado posteriorm ente. Sim ule un año y determ ine el tiem p o p ro m ed io que transcurre desde que un barco llega al sistem a hasta que term ina su descarga y la longitud m áxim a de la fila. 3. A una m áquina d e autolavado llegan coches con un tiem p o entre arribos de 5 ± 5 m inutos/auto. E l tiem p o de lavado es d e 4.5 ±1 m inuto/auto. Frente a la m áquina hay un tech o que proporciona som bra a los 4 prim eros autom óviles d e la fila. Haga 100 réplicas d e este sistem a, de 8 horas cada una, y determ ine el núm ero prom edio de autos haciendo fila en la som bra y haciendo fila en el sol. 4. Una tienda em plea a un dependiente para atender a sus clientes. El tiem p o entre arribos es de 5 ± 4 m inutos/cliente. El depend iente tien e que cobrar y em p acar los artículos com prados. El prim er proceso consum e 1 ± 0.5 m inutos y el segundo, 3.5 ± 2 m inutos. Sim ule hasta que asegure que el sistem a llegue a estado estable, use un gráfico dinám ico de la utilización del dependiente y calcule: a) la utilización del dependiente y b) el tiem p o prom edio de espera en la fila. 5. Una gasolinera tien e una bom ba y una fila con capacidad para n autos dond e p u e ­ dan esperar antes de ser atendidos. El tiem p o entre arribos de los vehículos es de 3 ± 1 m inutos/auto. El tiem po para dar servicio es de 5 ± 2 m inutos. Elabore un m odelo en ProM odel con sólo dos localizaciones, una que sim ule la bom ba y otra, la fila de tam año finito. Ejecute el m odelo durante 100 horas con n = 1, 2, 3, 4, 5 e indique en cada caso el núm ero to tal d e autos que no pudieron e n tra re n la gasolinera p o r falta de espacio. ¿Cuál es el núm ero m ínim o d e espacios que se deberían tener para ase­ gurar que n o hubiera rechazos de autos? 6. Un centro de m aq uinado recibe tres diferentes tipos d e piezas. Antes del centro exis­ te un alm acén d e producto en proceso, con capacidad prácticam ente infinita. El tiem p o d e operación y la tasa de entrada d e las piezas son las siguientes:

19 2

Tipo de pieza

Tasa de entrada (piezas/hr)

Tiempo de maquinado (min/pieza)

1

2

3

2

4

5

3

2

10

5.7 Problem as | j

Sim ule este sistem a en ProM odel durante 100 horas y determ ine: a) b) c) d)

La utilización del centro de m aquinado. Núm ero total de piezas producidas. Tiem po prom edio d e espera d e las piezas en el alm acén. Núm ero prom edio d e piezas en el alm acén.

7. A un operario de lim pieza se le entregan sim ultáneam ente 60 piezas cada hora. El tiem p o de lim pieza es de 50 segundos/pieza. Sim ule el proceso anterio r durante 500 horas para determ inar: a) b) c) d)

La utilización del operario. Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas. La cantidad to tal d e piezas lim piadas.

8. Al operario de lim pieza del problem a anterior le entregan ahora una pieza cada m inuto. El tiem p o d e lim pieza es de 50 segundos/pieza. Sim ule el proceso anterior durante 500 horas para determ inar: a) La utilización del operario. b) Tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) Tiem po prom edio d e espera d e las piezas antes d e ser lim piadas. d) La cantidad d e piezas lim piadas. e) ¿Existen diferencias entre los resultados de este problem a y el anterior? ¿A qué atribuye que algunos resultados sean sim ilares y otros no? 9. Un sistem a d e pintura consta de dos procesos en serie: pintura y horneado, antes de cada proceso h ay un alm acén de capacidad infinita. El tiem p o de pintura es de 10 m inutos/pieza, y el tiem p o d e horneado es de 6 m inutos/pieza. Para el proceso hay dos pintores y un horno. La tasa d e entrada es de 7 piezas/hora (pieza tipo 1) y de 3 piezas/hora (pieza tip o 2). El tiem po para m o verse d e un proceso a otro es d e 30 segundos. Sim ule el sistem a con 5 días para determ inar: a) La utilización de cada operación. b) El tiem po prom edio d e perm anencia de las piezas en todo el proceso. c) El tie m p o p ro m ed io d e espera d e las p iezas an tes d e l p in ta d o y antes del h o r­ neado. 10. A u n centro d e copiado arriban tre s tipos de trabajos, cada uno llega individ ualm en­ te. Si un trabajo no puede iniciarse d e inm ediato, espera en una fila com ún hasta que esté disponible alguna de las tre s copiadoras. El tiem po de copiado y la tasa de entra­ da de los trab ajo s son com o en el siguiente cuadro:

Upo de trabajo

---------------------------------- ---------------------------------Tasa de entrada Tiempo de copiado (trabajos/hr) (min/trabajo)

1

4

12

2

8

15

3

16

1 193

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

Después del proceso de copiado los trab ajo s son inspeccionados por un em pleado en un tiem p o de 3 ,6 ,1 0 m inutos para los trabajos 1, 2 y 3, respectivam ente. Sim ule el sistem a en ProM odel durante 50 horas, y determ ine: a) La utilización del em pleado y de las copiadoras en la situación propuesta. b ) Núm ero d e em pleados y copiadoras m ínim os necesarios para asegurar el flujo constante de los trabajos. 11. La aerolínea V FC ha instalado un m ódulo con tre s agentes para la atención de los pasajeros, existen tres tipos de pasajeros. Los tiem po s entre llegadas y los tiem po s de servicio para cada uno son co m o en esta tabla:

Tipo de pasajero

Tiempo entre arribos (mi n utos/pa saje ro)

Tiempo de servicio (min/pasajero)

A

55 ±2

3±1

B

10.5 + 5

8±5

C

155 ±10

12 ±7

D esarro lle un m o d e lo d e sim u lació n co n an im ació n . S im u le d u ran te 1000 horas. Si cad a ag en te atien d e sólo a un tip o de pasajero , d eterm in e la lon g itud m áxim a da cad a fila , la lon g itud p ro m ed io d e cada u n a d e las fila s y la utilizació n d e cada agente. 12. Cierto tip o de pieza entra a una línea d e producción; el pro veedo r entrega las piezas en grupos d e 5 cada 10 m inutos. La línea consta de 5 operaciones, con una m áquina dedicada a cada operación. Los tiem pos de proceso son: Operación

1

2

3

4

5

Tiempo (min/pza)

2

1

05

0.25

0.125

El tiem p o para m o verse entre estaciones es d e 0.0625 m inutos. La anim ación debe incluir un contador de las piezas producidas. Sim ule en ProM odel el proceso de 1000 piezas para determ inar: a) Tiem p o to tal d e sim ulación. b) Utilización de cada operación. c) Tiem p o d e espera antes d e la prim era operación. d) Porcentaje del tiem p o que la pieza está bloqueada. 13. ELEC TRSA fa b rica co m po nentes e le ctró n ico s. El p ro ceso co nsta de cu a tro e sta c io ­ nes: en sam b le, sold ad u ra, p intura e in sp e cció n . A n tes d e cad a estación h a y a lm a­ cenes d e cap acid ad para 50 co m p o nentes. Las ó rd en es d e tra b a jo tie n e n un tiem p o e n tre arrib o s d e 20 ± 14 m in u to s. Los tie m p o s d e p ro cesam ien to s en cada estación son: 194

5.7 Problem as | j

Operación

ensamble

soldadura

pintura

inspección

Tiempo (min/ pza)

13.5 ± 1 5

36 ±20

55 ± 15

8± 6

Hay un operario en la estación d e ensam ble, uno en inspección, tre s en soldadura y cuatro en pintura. Elabore un m odelo de sim ulación d e este sistem a de m anufactura, sim ule 100 días de 8 horas cada uno. D eterm ine la utilización d e cada estación de trabajo, el núm ero de com ponentes en prom edio que están esperando antes de cada operación y el núm ero prom edio d e órdenes fabricadas cada 8 horas. 14. A un cajero autom ático llegan clientes cada 10 m inutos con distribución exp o n en ­ cial. El tiem p o que tarda cada d ie n te en hacer sus m ovim ientos bancario s se distri­ buye exp o n encialm en te con m edia de 4 m inuto s. Lleve a cabo lo que se indica a continuación: a) Si se desea que el cajero no tenga m ás de 5 clientes haciendo fila en un m om ento determ inado, ¿qué recom endación haría al banco? Considere una sim ulación con 3 réplicas una sem ana de 4 0 horas de trab ajo cada una. b) Realice un análisis d e sensibilidad variando el tiem p o prom edio de servicio del cajero, y determ ine cuál es el tiem p o m áxim o que un d ien te debe tardar para que la fila de espera no exceda 5 clientes en ningún m om ento. c) Program e un gráfico dinám ico que m uestre la utilización del cajero autom ático durante la sim ulación. ¿Q ué observaciones puede hacer respecto d e la gráfica de estabilización generada? 15. A un centro d e copiado llegan clientes cada 5 m inutos, con distribución exponencial. Ah í son atendidos por un operario con un prom edio d e servicio de 6 m inutos con distribución exponencial. Sólo hay espacio para tres personas en la fila; si llega alguien m ás, se le envía a otro centro d e copiado. Sim ule el sistem a a p artir d e esta inform ación y determ ine: a) ¿Cuál es el núm ero prom edio de clientes que esperan en la fila? b) ¿Cuál es la utilización del centro d e copiado? c) Si cada cliente que se va le cuesta $5 a l centro de copiado, ¿a cuánto asciende la pérdida esperada? 16. En una autopista hay una sola caseta de cobro para autom óviles y cam iones. El tiem ­ po entre llegadas d e autos es 25 ± 10 segundos y el de cam iones 60 ± 20 segundos. La caseta de cobro, operada por una sola persona, tien e distintos tiem po s de cobro según el tip o de vehículo. El tiem p o de cobro para los cam iones es de 50 ± 2 0 seg un­ dos y el d e los autos es de 20 ± 15 segundos. R e a líc e lo réplicas de 8 horas y encuen­ tre la utilización del operario y el tiem po de perm anencia en el sistem a p o r cada tipo de vehículo. 17. Un centro d e servicio cuenta con 3 cajeros. Los clientes llegan individualm ente y lo hacen en prom edio a razón de 60 por hora con distribución d e Poisson. El tiem po prom edio qu e se requiere para atender a un cliente es de 2 m inutos con distribución 195

C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

exponencial. Lo s clientes hacen una sola fila y no hay lím ite para su longitud. Haga lo siguiente: a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas. b) D eterm ine la utilización de los cajeros. c) Si el costo de ten e r a un cliente haciendo fila es de $5/cliente prom edio-hr; deter­ m ine el costo d e operación de este sistem a. 18. Un banco está diseñando su área de cajas, y desea determ inar cuán tas ventanillas debe colocar. D espués de hacer un análisis estadístico, la em presa sabe que sus clien ­ tes llegan con un tiem po m edio de 3 m inutos con distribución exp o n en cial; asim is­ mo, se sabe — a p artir de inform ación de otras sucursales del m ism o banco— que cada cajero tarda un tiem p o prom edio de 8 m inutos con distribución exp o nencial en atender a un cliente. La em presa planea utilizar una sola fila dond e se ubicarían todos los clientes, para después pasar a la prim era caja desocupada. Si el costo de ten e r un cajero es de $15 por hora, y adem ás se sabe que por p o lí­ tica de la em presa el costo de que un cliente esté esperando a ser atendido es de $8/ cliente-hr, determ ine: a) El núm ero óptim o d e cajeros de acuerdo con el costo. Tom e en cuenta este n ú m e­ ro de cajeros, determ ine tam bién la probabilidad d e que el sistem a esté vacío, la utilización d e los cajeros, el tiem p o prom edio en el sistem a, el tiem po prom edio en la fila, y el núm ero prom edio de clientes en el sistem a. b) Realice este m ism o análisis considerando que cada caja tien e su propia fila y que las llegadas se distribuyen proporcionalm ente al núm ero de cajas; es decir, las llegadas a cada fila son iguales al núm ero to tal d e llegadas, dividid o entre el núm ero de cajas. c) ¿Cuál de los dos m odelos sería m e jo r y a qué atribuye este resultado? d) ¿Cuál sería el costo de utilizar el m odelo original de una sola fila y evitar, al m ism o tiem po, que 70% d e los clientes hagan fila? 19. Un sistem a recibe piezas d e acuerdo con una distribución uniform e de entre 4 y 10 m inutos. Las piezas son colocadas en un alm acén co n capacidad infinita, donde esperan a ser inspeccionadas por un operario. El tiem po d e inspección tiene una distribución exponencial con m edia de 5 m inutos. D espués de la inspección las p ie ­ zas pasan a la fila de em paque, con capacidad para 5 piezas. E l proceso de em paque está a cargo de un operario que tarda 8 m in u to s con distribución exponencial en em pacar cada pieza. Luego, las piezas salen del sistem a. a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas. b) Identifique dónde se encuentra el cuello de botella. c) G enere vistas para cada uno de los procesos p o r separado. d) Increm entar el espacio en el alm acén cuesta $5/sem ana-unidad de espacio adi­ cional; aum entar 10% la velocidad de em p aq ue cuesta $15/sem ana; el costo de incluir otro operario para que se reduzca el tiem p o d e em p aq ue a 5 m inutos con distribución exponencial, es de $20/sem ana. Cada unidad producida deja una utilidad de $0.40. Con base en está inform ación, determ ine qué m ejoras podrían hacerse al sistem a para increm entar su utilidad sem anal. 19 6

5.7 Problem as | j

20. A un to rn o llegan barras cada 3 m inutos con distribución exponencial. A hí se proce­ san de acuerdo con una distribución norm al con m edia de 5 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto. Posteriorm ente pasan a un proceso de inspección. La cap aci­ dad del alm acén p revio al to rn o es de 10 piezas. Por otro lado, a una fresadora llegan placas cada 5 ± 1 m inutos. El tiem po de proceso d e las placas en la fresadora se dis­ trib u ye triangularm ente (2,4,7). Después, las placas pasan a inspección. La capacidad del inventario antes d e la fresadora es de 10 piezas. En el proceso d e inspección se cuenta con espacio disponible para alm acenar 15 piezas, m ientras que el tiem p o de inspección es de 4 ± 2 m inutos para las barras y de 6 ± 1 para las placas. Tras la ins­ pección, las piezas salen del sistem a. Considere un tiem p o d e transpo rte entre esta­ ciones d e 2 m inutos, con distribución constante. a) Sim ule el sistem a por 4 0 horas para determ inar la capacidad m ínim a d e cada inventario, de m anera que to das las piezas que lleguen al sistem a se procesen y no exista blo queo por falta de capacidad. b) ¿Cuál es la diferencia en el núm ero d e piezas producidas entre el m odelo original y el m o d elo m ejorado? c) Coloque m ensajes de inicio y fin d e la sim ulación. d) Cam bie las gráficas de am bas piezas después d e ser procesadas. 21. A una línea de em ergencias m édicas llegan llam adas norm alm ente distribuidas con un tiem po m edio entre llam adas d e 6 m inutos, y desviación estándar de 1.5 m inutos. El tiem p o de atención d e cada llam ada es de 10 m inutos con distribución exp o n en ­ cial. Se desea determ inar el núm ero d e líneas necesarias para que por lo m enos 80% de 24 a) b)

los clientes no tenga que esperar a ser atendido. Sim ule el sistem a por 7 días de horas cad a u no para responder las siguientes preguntas. ¿Cuántas líneas telefó nicas se necesitan para cu m p lir con la m eta? Si el costo de cada línea es de $150/sem ana, ¿cuál es el costo d e operación por sem ana? c) ¿Cuál es el costo d e increm entar el porcentaje d e clientes atendidos sin espera a 90%?

d) ¿Cuál sería el núm ero de llam adas en espera que se tendría en el caso a? ¿Cuál sería en el caso c? e) Si el costo de cada cliente en línea de espera es de $40/cliente, ¿q ué opción sería mejor, a o c? 22. A una em presa llegan piezas con m edia de 8 m inutos y distribución exponencial. Las piezas entran a un alm acén con capacidad para 50 unidades, donde esperan a ser procesadas en un torno. A hí son torneados por 3 m inutos con distribución exp o n en ­ cial. El tiem p o de transportación del alm acén a l to rn o tien e una distribución norm al con m edia de 4 m inutos y desviación estándar de 1 m inuto.D espués, las piezas son transportadas a una estación de inspección donde hay dos operarios, cada uno tra­ bajando d e m anera independiente. La inspección tarda 6 ± 2 m inutos por pieza. El tiem p o d e tran sp o rte entre el to rn o y los operarios es de 4 ± 1 m inutos. a) Sim ule el sistem a por 30 días de 8 horas de trab ajo cada uno. b) Incluya un contador y una gráfica d e barra para las piezas en el alm acén. 197

¡~~| C a p ítu lo 5 S im ulación c o n ProM odel

c) Incluya un indicador de actividad para el torno. d) Realice 3 réplicas y obtenga un intervalo d e confianza para el núm ero d e piezas que salieron del sistem a. 23. Una tienda dep artam ental recibe hom bres y m ujeres co n un tiem p o entre arribos de 5 ± 2 m inutos y 3 ± 3 m inutos respectivam ente. Los clientes seleccionan prim ero la ropa y el tiem p o para este proceso es de 20 ± 5 m inutos para los hom bres y 50 ± 30 para las m ujeres. Una vez seleccionada la ropa, los clientes van a la sección de pro ba­ dores y el tiem p o para trasladarse hacia ese lugar es de 4 0 ± 10 segundos. La tienda tien e separados los probadores para cada género y ha asignado 2 probadores para hom bres y 6 para m ujeres. Los clientes esperan e n fila en caso de que los probadores estén ocupados, considere que hay una fila para hom bres y otra para m ujeres. El tiem po para probarse la ropa es de 12 ± 7 m inutos para los hom bres y de 20 ± 8 m inutos para las m ujeres. Sim ule este sistem a y haga recom endaciones a la tienda, por ejem plo: a) ¿Son suficientes los probadores para cada género? b ) ¿Agregaría o quitaría probadores? ¿Cuántos? c) ¿Recom endaría que el total de los probadores fueran com partidos por am bos géneros? 24. A las cajas d e la cafetería d e una universidad llegan 800 estudiantes por día. La tasa de entrada durante el día es variab le y se com porta de la siguiente form a: De:

*

Porcentaje

600

700

5

700

1000

20

1000

1200

10

1200

1400

50

1400

1800

5

1800

1900

10

Existen 4 em pleados para cobrar y una fila com ún donde los estudiantes pueden hacer fila antes d e ser atendidos. El tiem p o de atención es de 4 5 ± 20 segundos. Sim ule el proceso anterior durante 30 días. Incluya en la sim ulación un gráfico diná­ m ico en el que se o bserve la cantidad d e estudiantes en la fila a través del tiem po, y determ ine: a) La utilización de los em pleados. b) El tiem po prom edio d e perm anencia de los estudiantes en la fila. c) Con base en los resultados anteriores ¿agregaría m ás em pleados? d) Con base en la gráfica ¿qué recom endaciones haría?

19 8

5.7 Problem as | j

25. Una zapatería tien e un em pleado que atiende a dos tipos de clientes: niños y adultos. D iariam ente recibe 30 niños y 60 adultos. La tasa de llegada d e los niño s durante el día es variable y depende d e la hora del día d e acuerdo con las siguientes tablas: Tasa de llegada para los niños: De:

A:

Porcentaje

8:00

1200

0

1200

1400

20

1400

1600

20

1600

1800

50

1800

2000

10

De:

A:

Porcentaje

800

1000

10

1000

1200

10

1200

1400

5

1400

1300

5

1300

1800

50

1800

2000

20

Para los adultos:

El tiem p o d e atención es d e 4 ± 2 m inutos para los niños y 10 ± 4 m inutos. Sim ule el pro ceso a n terio r d u ran te 30 días. In clu ya en la sim u lació n un gráfico d in á m ico en el que se o bserve la cantidad d e clientes en la fila a través del tiem po, y determ ine: a) La utilización del em pleado. b) El tiem po prom edio d e perm anencia de los clientes en la fila. c) Con base en los resultados anteriores ¿agregaría m ás em pleados?, ¿cuántos?

199

Instrucciones de ProM odel

6.1

Uso de la biblioteca d e fu n cio n e s probabilísticas

6.2

Recursos

6.3

Paros en los equipos

6.4

Reglas de ruteo

6.5

Ensam bles, acum ulación y agrupam iento d e piezas

6.6

Transporte entre estaciones

6.7

Instrucciones d e control

6.8

O ptim ización con Sim runner

6.9

Caso integrador 1

6.10

Caso integrador 2

6.11

Problem as

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

6.1 Uso d e la biblioteca de fun cio n es p rob ab ilísticas La biblioteca de distribuciones de probabilidad de ProM odel perm ite sim ular la variabili­ dad de los procesos. En la tabla 6.1 se num eran las distribuciones de probabilidad inclui­ das e n ProM odel y la form a d e program ar cada una de ellas. Tabla 6.1 Funciones de probabilidad disponibles en ProModel. Distribución de probabilidad

Beta

B (1 ,a ,, ocy a, b)

Parámetros a ,: forma a 2: forma a: mínimo b: máximo

Binomial

BI(N, p)

N: intentos p: probabilidad

k-Erlang

ER(/x, k)

k: forma /x: media

E(m )

/x: media

Exponencial

a: forma p : escala a : forma p : escala

Gamma

G( } {,< prioridad 1>{,< p rioridad 2>}} {AND o OR {Cantidad} {^ p rio rid a d 1> {/}}} La instrucción G ET captura un recurso o com binación de recursos, d e acuerdo con cierta prioridad especificada. Si ya se tiene un recurso capturado, la entidad tratará d e capturar uno adicional. Ejem plos: G ET Herram ienta1 G ET 1 Operario, 2 ,2 5 G ET Grúa 7,20 AND (Grua2,10 OR Polipasto,20,70) G ET 2 Cajas, AND (Pegam ento OR Cinta) Instrucción FR EE La sintaxis general es: FR EE n i n UflIT U < 1 3 . 3 > n i n UfllT U < 1 8 . 4 > n i n

Move L o g i c

F ig u ra 6 .2 3 Ló g ica d e la ruta d e lo s clie n te s.

f?. A rriv a ls t n in y ... 1 C lie n te s

■

^

■ L o ca tio n ...

Q ty Edch...

| Pu erta

Ü Figura 6 .24 A rrib os a la tienda.

216

_____________

F irs t T im e ...

0

■

B

O ccu rren ces INF

F re q u e n c y E ( 16) m in

6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1

F ig u ra 6 .2 5 Esq uem atizació n del e je m p lo 6 .4 .

Para d efin ir el horario de trabajo: •

A ctive el editor d e turno s Shifts Ed ito r (Build / Sh ifts / D efine) y se abrirá un calendario sem anal sim ilar al d e la figura 6.26

r--------------------------------^ Shift Pditor

O

nie con v/t»v upuois n |* |u |s |

U

L ®

nu |l2:00 p .n-ri

. Y

EndTine ]l2 :0 0 :p .n ^ -

i^

2

■i

A

:

'

S\

10 •n

Sun

i

Han

\ v

'12 I

■ 4

i>

i• J

8

í1

0 '1

ROTÓM \

Tue

‘

P A R A A C T IV A R 0 D E S A C T IV A R LO S D ES C A N S O S

Wed Ttvi Fi S*

F ig u ra 6 .2 6 Ed ito r d e tu rn o s.

•

Verifique que el icono con la taza de café perm anezca resaltado (desactivado). Seleccione cualquier día de la sem ana y deslice d e izquierda a derecha el ratón m anteniendo oprim ido el botón izquierdo, notará que el área de ese día se cubre de color azul.

•

Oprim a el icono con la taza d e café para activar el proceso d e descansos. Deslice otra v e z de izquierda a derecha el ratón con el botón izquierdo oprim ido cub rien­ do el horario donde no se trabajará, al finalizar observará superpuesta un área de color rojo. En este proceso siem pre quedará el área roja arriba del área azul, y en caso de n o ser a sí el editor m arcará error. A l term inar cualq uier día obtendrem os una im agen sim ilar a la figura 6.27. 21 7

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

EREAK M C O IFIE D

F ig u ra 6 .2 7 H orario d e d e scan so s d e l lunes.

•

Repita el proceso para todos los días, activand o y desactivando la taza de ca­ fé, note que para desactivar la taza d e café debe o p rim ir el botón que está a la izquierda d e la taza. Si la estructura d e uno de los días se repite puede usar la opción de duplicar ese día en el m enú Ed it tan tas veces com o se desee. Al finalizar el proceso (vea la figura 6.28) debem os guardar (File / Save As) nuestro archivo de turno s con extensión .SFT.

G

S h i f j td ito r - C : \ D o c u m e n t s a n d S e tt¡n g s \u s u a r io \l) e s k to p \e je n ip lo 6 . 8 0 . s f t

| File

Fdh

View

1 n | t ¿ | H

O p S o rs

| ^ |

^ | ^ |

|

'‘• J b i

3eS ” T r r «

|l2 :0 2 :a .n “ r i

*

i

¡2

X

E

Help E n d T in e | l l : 5 7 : p . i r í J,

PM 1

2

3

4

5

6

7

8

i

IC

11

12

■

2

5

1

5

6

7

}!

!5

ir

ii

Sun Vu¡ Tue VeJ Thu Fi Sal

Reüdy

¡EREAK

i

F ig u ra 6 .2 8 Pro g ram ació n co m p le ta d e lo s tu rno s.

•

218

Ahora debem os definir a cuáles localizaciones o recursos afecta el program a de turnos, por lo que activam o s la opción Shifts A ssig n m en ts (Build / Sh ifts / Assign). En el cam p o Locatio ns seleccionam os las localizaciones Entrada y Venta

6.3 Paros e n los e q u ip o s |~1

y en el cam p o Shift F ile s b uscam os la ruta dond e guardam os el archivo SFT. En la figura 6.29 se visualiza este proceso.

lo t- itio n s .

S h ift Files...

P rio rM e s ..

D is d b le

C :\ D o < u m c n t s a n d S c t t l r Í 9 9 . 9 9 . 9 9 .9 9

P u e rta . V e n t a

S e le c t lo s f lliu n i

S « lo c t S h if t F

ífWtl

«

< - R enové A l

F ig u ra 6 .2 9 A sig n ació n d e lo s tu rn o s.

•

A ctive la ventana d e Sim ulation O p tio ns (Sim ulation / Options) y en la sección Run Leng th seleccione la opción Calendar D ate. En esta m ism a sección con los botones Sim . Begin y Sim . End, defina la fecha d e inicio de sim ulación y la fecha d e fin d e sim ulación. Ejecute el m odelo y o bserve que el reloj de sim ulación corre en un esquem a sem anal. Al fin alizar la sim ulación aparecerá un aviso que indica que ocurrieron Failed A rrivals, lo cual es no rm al ya que m ientras la tiend a p erm a­ necía cerrada los clientes siguieron llegando y fueron rechazados.

En la figura 6.30 se despliegan los resultados finales del tiem po prom edio d e espera de los clientes desglosados por tip o d e cliente. A v g Time W a t n g - fn t ty

Tpo

Ok cíente

F ig u ra 6 .3 0 R esultados de la ejecució n d el m o d elo p o r tip o d e clie n te .

21 9

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

6 .4 Reglas d e ruteo La ventana d e edición que se ilustra en la figura 6.31 m uestra una de las herram ientas disponibles en ProM odel. Rule perm ite gran versatilidad en la creación del proceso al construir las rutas d e las entidades. Para desplegar la ventana correspondiente, abra el m enú Build y haga clic e n el com ando Processing.

S i ProModel

mV

ULTIMO 1.M0D

id! View BuU ímiaBor Cufput Toob Windo* Hefc

III Process Kncity... 9IEZA1 9IKZA1 PTKZA1 P1KZAI

Locación— LLEGADA CSLCA1 FILAC1 IfJWl

ni ||Operación... CBAPHIC 2 aroiNK r,o watt

x

III Routing tor PIEZA1 ® LLEGADA «■: A 1 1PTBZA1 G3LDA1 —

Bula... 1FIBST 1

ni -] (n ;[ x Hov.Lo*lc. | A —*

pii

__

F ig u ra 6 .3 1 A cceso a la s reglas de ruteo.

La colum na Rule p erm ite seleccionar la condición que se debe cum plir para que una entidad sea transferida desde la localización actual (definida en la colum na Location) hasta la localización sig uiente (determ inada en la co lum na Destination). Al oprim ir el botón Rule se abre el cuadro d e diálogo Routing Rule. En él se puede seleccionar cualquiera d e las siguientes reglas d e ruteo: First availab le. Selecciona la prim era localización que tenga capacidad disponible. By tu rn . Rota la selección entre las localizaciones que estén disponibles. If Jo in Request. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso de unión (requiere el uso de la instrucción JOIN). If Send. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso d e envío (requiere el uso de la instrucción SEND). U ntil Full. Selecciona la localización hasta que esté llena. Random . Selecciona aleatoriam ente y en form a uniform e alguna d e las localizaciones disponibles. M ost A vailab le. Selecciona la localización que tenga la m ayo r capacidad disponible. If Load Request. Selecciona la localización que solicite una entidad para un proceso de carga (requiere el uso de la instrucción LOAD). Longest Unoccupied. Selecciona la localización que tenga el m ayor tiem po desocupada. 220

6.4 Reglas d e ru te o | 1

If Em pty. Selecciona la localización solam ente cuando está vacía, y continuará seleccio­ nándola hasta que esté llena. Probability. Selecciona la localización de acuerdo con un p o rcentaje asignado. U ser C ondition. Selecciona la localización que satisfaga una condición booleana especi­ ficada por el usuario. Continué. Se m an tien e en la localización para realizar operaciones adicionales. A s A ltérnate. Selecciona la localización com o alternativa si está disponible y ninguna de las reglas anteriores se cum ple. A s Backup. Selecciona una localización com o respaldo si la que tien e preferencia está descom puesta. D ependent. Selecciona una localización solam ente si la ruta inm ediata anterior ya fue ejecutada. Q u antity. Es un cam p o adicio nal que p erm ite d e fin ir el n ú m e ro d e unidad es que sa l­ drán de esta localización por cada unidad que entre. Esta instrucción se utiliza para pro­ cesos d e corte y separación. Ejem plo 6.5 El proceso de m anufactura ilustrado en la figura 6.32 consta de 2 tornos y un alm acén dond e las piezas esperan antes d e ser procesadas. Los tiem po s d e proceso son de 12 y 15 m in/pieza en los tornos 1 y 2, respectivam ente. La tasa d e entrada a este proceso es d e 6 piezas/h con distribución d e Poisson. Sim ule el proceso.

! Layout - Student Versión

Torno 1

Almacén

%

Torno 2

F ig u ra 6 .3 2 Esq u em atizació n d e un proceso de torneado.

221

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

•

Para em pezar, definirem os las localizaciones Alm acén, T o rn o _ l y Torn o_2 en la ventana Locatio ns (Build / Locations). Especifique la capacidad de dichas locali­ zacio nes com o se m uestra en la figura 6.33.

lllli Lo catio n s Icó n

k *

|

N&jce

Cap.

U n its

DTs...

T o m o _ l|

1

1

None

Tom o 2

1

1

None

Almacén

in f in it e 1

None

Fig u ra 6 .33 D efin ició n d e ca p a cid a d d e la s lo calizacio n es.

•

Defina la entidad Pieza en la ventana En tities (Build / Entities), co m o se m uestra en la figura 6.34.

lllll E n titie s 1 Icó n

Ñame

Speed (fpm)

P ie z a

ISO

Fig u ra 6 .34 D efin ició n de la entidad.

A co n tinuació n program arem o s las lleg ad as d e la Pieza al A lm acén. Abra la v e n ta ­ na A rriv a ls (Build / A rrivals) y e sp e cifiq u e los p arám etro s que se m u estran en la fig u ra 6.35.

lllll A rriv a ls E n t1 1 y . - P ie z a

| L o c a tio n .. . A lm a c é n

|Q ty 1

c u c h ._ . |

F i r s t Tune

0

| o ccu rren cc3 IN F

Fig u ra 6 .35 E ntrada d e m ateria p rim a (Pieza) al p u n to inicial del proceso (Almacén).

222

F requ en cy E (1 0 )

m in

6.4 Reglas d e ru te o | 1

•

D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta de p ro ­ ducción de las piezas a través de cualquiera d e los 2 tornos (vea la figura 6.36).

P l

IIB P roce ss 1,0 en n o n ----

u u tjr - .Id io s a

|

- j( n |( x |

u p e r a t ia r . . . .

|

I I I R o u tin g to r P .e z a » A lm a c é n

y n

X lu c n

• | m

llia it

T o rn o _ l

12

1 P ir r a

Tom o_?

u n ít ib

— 1

w u tp u t...

. n i i r u i c . i ---- / |

P la n

T o rr.o _ l

íin ii

T o rr.o _ 2

1

1

Kb.C . . .

\

FIRST 1 \

r ic s T

^

/

—

F ig u ra 6 .3 6 Selecció n d el to rn o d o n d e se procesará la pieza.

Com o puede ver en la figura 6.36, en el cam p o Rule aparece, de m anera pred eterm i­ nada, el valo r FIRST para am bas salidas. En este caso la regla de ruteo indica que la pieza deberá m overse al prim er torno que se encuentre disponible. Si am bos están disponibles, el torno 1 será la opción elegida. E l"1 " a la derecha del prim er FIRST indica el valo r del cam p o Q uantity del cuadro de diálogo Routing Rule (vea la figura 6.37). •

Haga clic en el botón Rule de la ventana Routing fo r para desplegar el cuadro de diálogo Routing Rule (figura 6.37), en donde podrá seleccionar alguna de las reglas de ruteo para el registro activo, en este caso para Torno_1.

Routing Rule

W Slait New Block

Quanhly 1 1

T New Entity

(* Fus! Available r By Turn

c Mosl Available C Random C II Load Request

(*' II Jom Request

Longest Unoccupied

T || Send

r

C || Empty

Unhl Full

C Piobability (" User Condilion.

f

C As Allernate OK 1

1

Conlinue

C As Backup Cancel 1

C Dependen! Help

F ig u ra 6 .3 7 Seleccio ne e n e ste cu adro de diálogo la regla de tran sfere n cia entre localizaciones.

Por ejem p lo si desea cam b iar la regla de m anera que 30% d e las piezas sean pro ce­ sadas en el to rn o 1 y el resto en el to rn o 2: • •

Abra prim ero la ventana Routing Rule para el to rn o 1, seleccionam os la opción Probability, y escriba 0.3 en el cuadro de texto correspondiente. Haga clic en OK. Repita los pasos anteriores para el torno 2, tenga cuidado d e que la opción Start N ew B lock esté desm arcada en este caso. Elija Probability y escriba 0.7 en el cam p o d e texto. La figura 6.38 m uestra p arte d e este procedim iento. 223

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

I I I R o u tiiig f o r P ie za k -

i» A ln u ce n

De91 . l i a 11 u n ----

O u lp u t...

ÍM H ------------------------------------VMM

T o rn o

B u le ...

1

O .S O 3 C 0 O

Tou>o_2

0 .7 0 D C C 0

1

K n u tin g R u i* Rlix-k

11..

r NewFnlity f Fatl Avaiable

C Motl AvaJjble

C

C

B y T u rn

C II Joir llequcst C |f Scrnl

r

R andun

II LoadHequeit Lonycsl Unuccupied rillmpi,

Urjj ruii n 7onooo

< • H iiiI ijI u I iI v

Utei CondKion f * C o n lin u p f '

Ai pAckup Cancel

A i A lt-iiW »

OK

C D»>fi»nri*nl llrlp I

F ig u ra 6 .3 8 Selecció n del to rn o e n fu n ció n de p orcen tajes.

Podemos seleccionar de manera similar cualquier otra regla de ruteo. La sintaxis de pro­ gramación del ejem plo (m anteniendo la regla probabilística) se muestra en la figura 6.39:

m

B “ •

F o r n a t t e d L i s t i n g o f M od el: C:\ProM od4\raodels\rutas.M OO

T im e u n it s : D is t a n c e u n it s :

M in u tes Feet

■

L o c a tio n s Mame

cap

T orn o_i Torn o _2

l i 1 i in fin ite 1

Alnacen

u n it s S t a t s

R u le s

C ost

T iñ e s e r l e s O ld e s t , T iñ e s e r l e s O ld e s t , T iñ e S e r i e s O ld e s t .

•

, , .

E n titie s Mane

Speed ( f p n )

s ta ts

C ost

P ie z a

ISO

T im e s e r i e s

■

P r o c e s s in g P rocess E n t it y

L o c a t io n o p e r a t io n

P ie z a

A ln a c e n

P ie z a P ie z a

T orn o_l Torn o_2

)L o u tin g B lk 1

w a it 12 w a it 1S

i l

O utput

O e s t in a t io n R u le

P ie z a P ie z a P ie z a P ie z a

T orn o_l T o rn o _2 e x it

EXIT

M ove L o g ic

0.300000 1 0.700000 f ir s t i FIRST l

A r r iv a ls

224

E n t it y

L o c a t io n Q t y ea ch

F i r s t T iñ e o c c u r r e n c e s F re c u e n c y

P ie z a

Alm acén

0

i

IMF

E (1 0 ) rain

L o g ic

F ig u ra 6 .3 9 Sintaxis co m p leta d e la program ación para el e je m p lo 6 . 5 .

6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |

6 .5 Ensam bles, acum ulación y agrup am iento de piezas Un gran núm ero de procesos de producción incluyen operaciones de separación, ensam ­ ble, agrupam iento y unión. A continuación se resum en varias de las funcio nes que ProM odel tiene para m odelar este tip o de procesos.

Instrucción ACCUM La instrucción ACCUM, cuya sintaxis general es ACCUM , retrasa el proceso de las entidades hasta que cierta cantidad del m ism o tip o se haya acu ­ m ulado en algún lugar del m odelo. Una vez que se han acum ulado, se p erm ite que todas ellas continúen en form a separada. Si la entidad a procesar se define co n el parám etro ALL, todas las entidades, sin im p o rtar su tipo, entran en el proceso de acum ulación. Esta instrucción no consolida las entid ades (vea la figura 6.40).

Ejem plos: ACCUM 5 ACCUM 10

a c c u ín w o it

5 12

v

¡ Lñe

1

A lm a c é n

M a q u in a

F ig u ra 6 .4 0 Ejem p lo d e u n p ro ceso d e m a n u factu ra d e 12 m in u to s, q u e inicia c u a n d o se han acum ulado 5 p ie zas e n la m áquina.

22 5

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

Instrucción GROUP La sintaxis general d e esta instrucción es: GROUP A S / y su propósito es realizar una unión tem p oral d e entidades de un m ism o tip o (a m enos que se utilice com o parám etro la palabra A LL, en cuyo caso puede unir entidades de diferente tipo). Las entidades agrupadas se m antienen en ese estado hasta que encuen­ tran una instrucción UNGROUP. Si se utiliza la opción AS, la entidad resultante de la unión puede ten e r un nom bre diferente (vea la figura 6.41). Ejem plos: GROUP 10 GROUP 10 A S Am igos GROUP PRODO AS Lote

ProModel - agrupar.MOD P ie

E d it

V ie w

B uilc

S im J a ü o n

O u tp u t

T o c ls

W m dow

H elp

lili Procos*

III

R o u tiu g foi L o te ® A lm acén R u le

g ru u p 5

o í

la te

A lm a c é n

P vocess E n tity

L o c a tio n

O p e r a tio n

P ie z a L o te L o te

filn a c e n ftln a c e n M a q u in a

group u a it

5

ac

M a q u in a

R o u tin g B lk

O u tp u t

D e stin a tio n

R u le

lo te

10

F ig u ra 6 .4 1 Ejem p lo d e u n sistem a d e p ro d u cció n d e 10 m in/lo te, c o n a g ru p ació n p revia d e 5 p ie zas e n el alm a cé n (in cluye la sin taxis d e p ro gram ació n co m p leta del proceso).

226

6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |

Instrucción UN GROUP La instrucción UN GROUP tien e la sig uiente sintaxis general: UNGROUP El o b jetivo de esta instrucción es separar las entid ades agrupadas previam ente con la instrucción GROUP. Las entidades son desagrupadas d e acuerdo con e l esquem a "prim e­ ro en entrar, prim ero en salir", a m enos que se indique lo contrario con la expresión LIFO (vea la figura 6.42). Ejem plos: UNGROUP UNGROUP LIFO

i

ProM odel - desag rupar.M O D

File

Edt View Builc

Scnulation Outpu: Tods

Pl Q¡F|(X 1 1

........... ...... —

S n t i t y --

L o c a t ion...

P ie z a

A lm a c é n

L o te

Alnnrpn

Lote

Mequine

|

10

III R outing ío r Lote $ M aquina O u t p u t -----

Operation—

le a tin a tio n ..

R u le ...

gtuup S oí lote

ueit 1 0 ungroup

BU)

O peration

w a it

Wirdow Help

u n grou p

Almaser

Maquina

Une I Pro c e s s in q

P rocess E n tity

L o ca C io n

O p e r a c ió n

P i e 2a L o te L o te P ie z a

A lm a c é n g r o u p 5 a s lo te A lm a c én M a q u in a w a i t 1 0 ungroup M a q u in a

R o u tin g B lk

OuCput

D e c C in a tio n

R u le

L o te

M a q u in a

F IR S T 1

P ie z a

EX I T

F IR S T 1

F ig u ra 6 .4 2 Ejem p lo d e u n sistem a d e p ro d u cció n d e 10 m in/lo te, a g ru p a n d o p reviam en te 5 p ie zas e n el alm acén y d esag ru p an d o d e sp u é s del p roceso.

22 7

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

Instrucción COM BINE La sintaxis general d e la instrucción es: COMBINE AS Su propósito es realizar una unión definitiva de entidades de un m ism o tipo, a m enos que se utilice com o parám etro la palabra A LL, en cuyo caso puede unir entid ades d e diferen­ te tipo. La entidad resultante m antiene el nom bre y atributos de la últim a entidad com ­ b inad a; si se utiliza el parám etro AS, la entidad resultante de la unión puede ten e r un nom bre diferente (vea la figura 6.43). Ejem plos: COMBINE 10 COMBINE 50 AS Lote

PioM odel - co m bina!.M O D He

E d it

V ie A

B jld

S m u la b o n

O u tx -t

io o Is

W ndov\

H e lp

lili R u uting foi c a ja © A lm a cé n

lili P i o c e s s

O p eratio n

A lm a c é n

Routing E n tity

L o ca tio n Operation

P ieza caja

Almacén Al m a c é n

combine 1 0

Blk

Output

D e s t i n a t i o n Rule

a s ca.ia E X II

FIR S T

1

F ig u ra 6 .4 3 Ejem p lo d e u n sistem a de em p a q u e e n u n a lm a cé n , co m b in a n d o 10 p iezas/caja (in cluye parte d e la sin taxis de p ro g ram ació n d e l m odelo).

228

6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |

Instrucción JOIN Con la sin taxis general: JOIN < Entidad a ensam blar> la instrucción JOIN ensam bla entid ades de cierto tip o a la entidad actual. Las entidades a ensam blar provienen de otra localización, y se dirigen m ed iante la regla d e ruteo IF JOIN REQUEST. U na vez ensam bladas, las entidades pierden su identidad y atributos. Ejem plos: JOIN 2 4 Refrescos JOIN Variable_1 Cajas Ejem plo 6.6 Com o se ilustra en la figura 6.44, un operario em paca cajas de 25 piezas cada una. El tiem p o de em p aq u e es exp o nencial de 1 m inuto. Las tasas de entrada por hora son cons­ tantes, d e 1500 en el caso d e las piezas, y de 60 en el de las cajas.

ProModel - Ensamble.MOD - (Normal Run] p .jj F ie

S m iia b o n

O pbons

In fo rm atio n

W indow

In te rn e t

Help

n 2168 & A lm acén Pieza

C aiü3 te n e s

i Figura 6 .4 4 Proceso de empaque para el ejemplo 6.6.

• •

Para com enzar, defina las localizaciones Alm acén_Caja, Alm acén_Pieza y Operario en la ventana Locatio ns (Build / Locations). Especifiq ue las entidades Caja_vacía, C a ja JIe n a y Pieza en la ventana En tities (Build / Entities).

22 9

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

•

En la ventana A rriv a ls (Build / Arrivals) determ ine las entradas al sistem a, d e la C aja_vacía al Alm acén_Caja, y de la Pieza al Alm acén_Pieza.

•

En la ventana Processing (Build / Processing), cree la ruta de cada tipo de entidad.

Para m odelar la unión de las entidades son necesarios dos procesos: uno para la entidad principal, C aja_vacía, y otro para la entidad secundaria, Pieza. El prim er proceso se ilustra en la figura 6.45; en él harem os uso de la instrucción JOIN para indicar que la entidad actual, C aja _va da , en la localización Operario solicita 25 entidades Pieza para llevar a cabo la unión. La entidad resultante d e este proceso se identifica com o C a ja JIe n a ,y es enviada al exterior.

Process

I2 I

E n tiry

|-

H

X

lili Routing for C a ja_vaeia Operario

O p a ra e io n

T . O C A t l OT1

C a ja v a c ia

A ln a c e n C a ja

C a ja v a c a a

Clararlo

V iv ía

A J ja a c e n V i e s e

O ucpur. C a ja

lle n a

L

D a a c ln a e la n

JO IN 2 5 P ie s a U J K A I T 2

Operation M rools New Process

pOTM 2 5 P i a s a H A IT E {1}

Add Routing Find Process

Entitv: Figura 6 .45 Programación de la instrucción JOIN.

El segundo proceso a program ar es para la entidad Pieza, y consiste en m odificar la regla de ruteo hacia la localización Operario. En la figura 6.46 se m uestra có m o llevarlo a cabo m ediante la selección d e la opción If Jo in R eq u esten el cuadro d e diálogo Routing Rule.

I I R o u tin g l o r P ie za ® A lm a c e n _ P ic /a £ u l . l . y ____ C a ;»

v ic i»

lu c il.u i.

..

C y n iitik u ..

.

A lm a c é n _ C a ja

C a ja _ v a c x a

C p e a a a io

P isa s

A lm acon_Plsan

JOIN 2fi P i n a

R outing Rulo P S t * t N w Block

QuanWy 1

r Ne* Enlitr B ljla y o u t M o jI Avaddble N e w P ro c e s s A dd Routmg

Figura 6 .46 P rogram ación d e la regla de ru te o If J o in Request.

230

C Ky lia n

\

I I J o in rie q iJc it

r ii Sond y

C R.indom C II Load

(le q u c it

C I n r g r t l lln n c ru p in d

6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |

La sintaxis de program ación del ejem p lo 6.6 se ilustra en la figura 6.47.

In s t r u c c ió n LO A D

La instrucción LO A D , cuya sintaxis general es LO A D < C a n tid a d > IF F < C o n d ic ió n > IN < T ie m p o > ,

agrupa tem p oralm ente entidades d e cierto tip o a la entidad actual. Las entidades a agru­ par provienen d e otra localización, y se dirigen m ed iante la regla d e ruteo I f L o a d R e q u e s t. Las entidades agrupadas m antienen su identidad y atributos, y se separan cuan do encuentran una instrucción U N LO A D . 231

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

Ejem plos: LOAD 5 LOAD 10 IFF Tipo > 2 LOAD 2 IF F Peso > 3 IN 5 m in LOAD 5 IN 10 m in In s tru c c ió n U N LO A D

La sintaxis general d e esta instrucción es: U N LO A D < C a n tid a d > IF F < E x p re sió n >

y su propósito es p erm itir que una entidad descargue o desagrupe otras entidades p re ­ viam ente agrupadas por una instrucción L O A D o G R O U P si se cu m p le la condición espe­ cificada. Ejem plos: UNLOAD 10 UNLOAD 2 IFF entityO = Pieza E je m p lo 6 .7

Un proceso requiere m over m aterial en contenedores d e un lugar a otro. Cada co ntene­ dor debe llevar 5 piezas. El tiem po para cargar e l contenedor es de 1 m inuto. Los co n te­ nedores se m ueven a través de una banda transportadora en 30 segundos. A l fin al d e este m o vim iento se separan y cada entidad co ntinúa por separado en bandas transportadoras independientes. Vea la esquem atización de este problem a en la figura 6.48.

ProModel

Í

j j = íe

Ejem p lo L0AD .M 0D

S r r u ia tjo n

O p tio n s

In fo rm a tio n

[N orm al Run] W ndow

In te ra c t

H elp

3 -------------------------------------------------------------------------------------------B an d a paDets

B an d a p ie z a s

Figura 6 .4 8 Esquem atización d e la sim ulación d e u n proceso d e u n ió n y separación d e entidades.

232

6.5 Ensambles, a cu m u la ció n y a g ru p a m ie n to de piezas |

Para este ejem p lo , antes que nad a es necesario d e fin ir las siete lo calizacio n es que se m uestran en la fig u ra 6.48 (alm acén de piezas, alm acén d e pallets, carga, banda, banda p allets, d e scarg a y banda piezas), las dos entid ades que se m ueven a través d e l sistem a {pallet y piezas), y la inform ación sobre la llegada del m aterial al sistem a. Estos elem entos y sus características se describen m ás adelante en la sintaxis d e p ro gram a­ ción del m odelo. De la misma form a que en el caso de la instrucción JO IN , para lograr la unión o carga se requieren dos procesos: uno para la entidad principal, Pallet, y otro para la entidad secunda­ ria, Piezas. El prim ero de dichos procesos se muestra en la figura 6.49. En él se hace uso de la ins­ trucción LO A D para indicar que la entidad actual, Pallet, solicita en la localización Carga 5 entidades para llevar a cabo la unión, incluyendo el tiem po necesario para hacerlo. La enti­ dad resultante de este proceso es enviada hacia la banda transportadora Banda.

lili Process

lili Routing for Pallet @ Carga

■ Operation B s n d ít _ p i

LO A D 5

IN

1 m r.

A c d R o u tin g

F ig u ra 6 .4 9 Program ación de la in stru cció n LOAD.

El segundo proceso a program ar es para la entidad Piezas, y consiste en m odificar la regla d e ruteo desde el Almacen_de_piezas hacia la localización Carga. La figura 6.50 ilus­ tra có m o se lleva esto a cabo m ediante la selección de la opción If L o a d R e q u e s t en el cuadro de diálogo R o u tin g Rule. III PlOC«>

□

,X

m K o u tm g tu i P ie io * e> A lm < ic tM i_ d v _ p ie ia *

!U n i 1 i i _ p > l t M a

llr»

R oiitir>e P ulo F S t a il N ew B lock I

N ew L o lilf C M .u l A voilob le

N®w P rrc e s s

\

r Rondo^ II I iidil Rin|unit I o n g etf tlno cco p ied

Fm d P roce ss

F ig u ra 6 .5 0 Program ación d e la regla de ru te o If Load Request.

Una vez transportado el Pallet por la banda, se lleva a cabo el proceso d e separación o descarga m ediante la instrucción U N L O A D , de m anera que cada entidad sea enviada a su sig uiente proceso (vea la figura 6.51). 233

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

, n

|X

I I R o u tin g l o r P a lte t v Descarga

O p e ra tto n

N ew P rocesa

Artd Routing III R o u tin g lo i P ie za s 9 Descaí:

F ig u ra 6.51 Program ación d e la instrucció n UNLOAD.

O bserve la sintaxis de program ación com pleta para el m odelo del ejem p lo 6.7 en la figura 6.52.

F oraacted L i s t m ; o f f c d e l : C:\Prolfod4\iasdel9\B jesplo IOAD.1CC •••••••• Time I t a it a : D istan ce U n íta ;

* -

K iru ta s Feet

*

L o c a tic n a Cup

A ln B c a n _ d e _ p a lle t9 A l uneen~de_plezna Banda Dasrargn Carga B an d A _p allets k _p iea a »

Unica S

D JF D JnS 1 IN F IN n B 1 INFDJITB 1 1 1 1

to ta

* Rui « a

Coac

T une S a n e a O l d e a t . . Tune Tune Tune Tuno Tune TUne

1

DJFDJ ITK 1 IN F IN riB 1

S e d e a O ld e a t. S e n e s O ld e a t. S a n e a O ld e a t. S o c io ■ O ld e a t, S a n e a O ld e a t, S a n a s O ld e a t,

. FIFO, . . FIFO. FIFO.

B n titie 9

P ie z a s P a lla r

Speed ne)

R

Moínn

t* Longest Wailing

C

jJ

Acodérate!”

fpss

Deceterate|

fpss

Pick-up Tme [~~

Seconde

Deposí Time:|""

Seconds

F ig u ra 6 .6 9 Esp ecificacio n es del recu rso y su aso ciació n co n la ruta.

J

Cancd

Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta, considere los detalles d e la figura 6.70 que consisten en la captura del recurso en el Alm acén, su m ovim iento hacia Casimiro, y su liberación final.

II' Procesa E ncicy___

|1) J L c e a c ie® —

B a r r il R arri

1

-’CI.

___

CE? KjüiBCótijua

Cn-nmirn

■ Operfltion

II RoutinB ( 0 1 Bü»ril 9 Alnuceii

. |C X

Operarían

|

Cutput___ * H i B a r r il

|l|

B íK iM ts a n ..] C asim iro

R u la___ FIRST 1

| M o v í

-

-

X

L a g i- _ _ _ _ _ 1

M0V2 XXTH Mont *

T - |H X

■ Move Logic

F Hant»c»£ijB* FFFFFFFF

- □ I X

□ □ □ □ □ G ílI E D

ICE?

H I 1 M H o n r a - o i j a i 1M i S

«U ü C

L Figura 6 .7 0 S egm ento d e la p rogram ació n d e la ca p tu ra , uso y lib e ra ció n d e l recurso d e n tro d el proceso.

24 5

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel__________________________________________________________________________

La sintaxis de programación del modelo para el ejem plo 6.10 se muestra en la figura 6.71.

246

6.6 T ransporte e n tre estaciones |

ProModel perm ite tam bién la construcción de sistem as de m anejo de m ateriales a través de grúas viajeras. Estos sistem as son m odelados m ediante el uso d e los m ódulos de Path NetWork y Resources. Ejem plo 6.11 En un punto denom inado bodega l , e n un patio d e m aniobras, se colocan 400 co ntene­ dores d e 2 to neladas al inicio del día. Estos contenedores deben ser transportados hacia dos lugares; bodega 2 y bodega 3, en donde se depositan para su posterior operación. El 40% d e los contenedores se envían a la bodega 2 y el resto a la bodega 3. D ebido a su tam año, una grúa debe realizar el m o vim iento entre las bodegas. La distancia entre la bodega 1 y la 2 es de 4 0 m etros, y entre la bodega 1 y la 3 es de 50 m etros. La velocidad de la grúa cuando viaja sin contenedor es de 50 m etros por m inuto y con contenedor es de 20 m etros por m inuto. El tiem p o para elevar el contenedor es de 4 0 segundos y para depositarlo es de 50 segundos. Este sistem a se puede o bservar en la figura 6.72.

381 C o ntened o res pen d ientes de m over

i

it t

n

Q üEB J Bodega3

F ig u ra 6 .7 2 Esq u em atizació n del ejem p lo 6 .1 1 .

Si se tom a com o base el esquem a d e la figura 6.72, debem os: • • • •

D efinir en la ventana Locatio ns (Build / Locations) tre s localizaciones: B o d e g a l, Bodega2 y Bodega3. En la ventana En tities (Build / Entities) dé d e alta la entidad Contenedor. Especifique en la ventana A rrivals (Build / Arrivals) las características de las lleg a­ das del C ontenedor a la Bodega 1. Para crear la ruta y los nodos, en la opción Path N etw ork (Build / Path Network), active la ventana de edición para especificar la trayectoria por donde se m overá el recurso. Al crear la ruta deberá establecer los valores de los siguientes parámetros:

G raphic. Especifique los colores, la separación del p uente y la representación gráfica de los rieles. 24 7

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

Ñ am e. Establezca el nom bre a la trayectoria com o Red. Type. Seleccione la opción Crane. Aparecerán sobre el layout un p ar de rieles conectados por el p uente sobre el que se m overá la grúa viajera y se activará la opción Nodes. Con el ratón podrá m over y cam b iar las dim ensiones de los rieles m oviendo cualquiera de los 4 punto s extrem os. Estos punto s denom inados O rigin, R a illE n d , BrideEnd y Rail2End representan las fronteras d e m o vim iento d e la grúa. Al redim ensionar el tam año d e los rieles, las localizaciones deberán quedar dentro del área. En la ventana de edición N odes m odifique las dim ensiones d e estos punto s en la colum na Coords(R,B) para que coinci­ dan con las dim ensiones del sistem a, en este caso el área de m o vim iento será de 100 m etros d e largo por 50 d e ancho. Con el botón izquierdo del ratón agregue tres nodos N I, N2 y N3 dentro del área de los rieles e indique en la colum na Coords(R,B) las coordenadas de estos nodos para definir la distancia entre cada uno de ellos de acuerdo a las dim ensiones de este sistem a, vea la figura 6.73 y o bserve que la distancia entre el nodo 1 y e l2 e s d e 4 0 m etros y entre el nodo 2 y el 3 es de 50 m etros.

Path Networks P a l li s . . .

[ In le ifa te s ... |

M a p p in t;...

[N o d e s ]

A D iste

.!5

N odes Node O r ig in

- [ r .|X

'

Layout

C o o r d s ( 11, 0 ) 0 .0 0 ,0 .0 0

R a i ll E n d

1 0 0 .0 0 , 0 .0 0

B r id g c E n d

0 .0 0 , 5 0 .0 0

R a ¡l2 fn d

1 0 0 .0 0 , 5 0 .0 0

N I

5 .0 0 ,2 5 .0 0

N2

4 5 .0 0 , 2 5 .0 0

NJ

9 5 .0 0 ,2 5 .0 0

C o n te n e d o r e s p e n d ie n t e s d e m o v e r

B odegal

Dimensiones de los rieles y coordenadas de los nodos

xw xoo< xi tfX K !

F ig u ra 6 .7 3 C reació n d e lo s rieles de m o vim ien to .

In te rfa c e s: Haga c lic en el b o tó n In te rfa c e s para a b rir el cu a d ro d e d iálo g o q u e se m u e stra en la fig u ra 6 .7 4 y a so c ie cad a no d o con su lo ca liza ció n re s p e c tiv a : en este caso, a so cie el n o d o N I co n B o d eg a 2, el n o d o N2 co n B o d e g a l y el n o d o N3 con B odega3

248

6.6 T ransporte e n tre estaciones |

In te rfaces Node

Location

NI

Bodega2

N2

---------------9 Bo d eg al

N3

Bodega3 M

F ig u ra 6 .7 4 R egistre e n este c u a d ro d e d iálo g o la interfaz e n tre c a d a nodo y la localizació n a so cia d a.

T/S. Las grúas viajeras solam ente se m ueven con base en la velocidad por lo que este cam p o perm anece inactivo. Paths. Esta opción perm anecerá desactivada. M apping. Esta opción perm anecerá desactivada. Para co ntinuar el m odelado del problem a: •

‘

Abra la ventana Resources (Build / Resources) para especificar el recurso Grúa y la cantidad d e unidades que contiene es 1 (vea la figura 6.75).

Resources

F ig u ra 6 .7 5 D efin ició n d el recurso G rú a .

Haga clic en el botón Sp ecs (identificado con uno de los círculos en la figura 6.75) para asociar el recurso con la ruta. Enseguida se abrirá el cuadro de diálogo

24 9

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

Sp ecificatio ns (vea la figura 6.76), en donde deberá seleccionar la ruta por la que se m o verá el re cu rso Grúa. En este e je m p lo , la Red te n d rá aso cia d o un no d o que será la base del recurso; tam b ién determ inarem os que cuan do dich o recurso esté ocioso deberá regresar a ese punto. Asim ism o, vam os a especificar otras pro­ piedades, com o velocidad d e m ovim iento, aceleración, desaceleración, etcétera.

Specifications Nodes P a th N etw afc

Red

------- 1

'*] Home:

M

N1

OflShlt

Ó-one)

B-eak

(roñe)

0 Retum Haré 1 kJe K e s o u rc e b e a rc fi •

b m t y be a re n

C losest R e30Lrce

©

Least U liiz e d

S p c c d (F j I). 2 0 .2 0

M h A trib u te V M ax ¿ttnfcure i

•

5 0 .5 0

S p e e d (b n p ty )

O d o s e s t E r ít y

OK

d

*

M o to n

.o n g e s t W a itn g

Lcnses*. dle

é

inpm

A cceíera le

rrp ss

U eceíe-ate

r'P s s

P ic k n jp T m e : 4 0

S eccnd s

50

S eccrids

O e o c s l T ifie

C ance l

rp m

F ig u ra 6 .7 6 Esp ecificacio n es d e l recurso y su a so cia ció n c o n la ruta.

Help

Abra la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta, considere los detalles de la figura 6.77, que consisten en la captura del recurso para transpo rtar los contenedores desde la B o d e g a l hacia Bodega2 o Bodega3, utilice la regla de ruteo probabilística, respete los porcentajes fijad os inicialm ente. Para hacer uso del recurso utilizam os la instrucción MOVE WITH G rúaTH EN F R E E y a utilizada en ejem plos anteriores. Note que en el ejem p lo no usam os la instrucción G ET Grúa e n el cam p o O p e ra tio n , lo a n te rio r se d e b e a q u e e sta in stru c c ió n e stá im p lí­ cita en la instrucción M OVE WITH por lo que puede ser elim inada sin ningún problem a, esto es válido tam bién para el ejem p lo anterior.

R o j l i n g f o í C o n l r .- K 'i l o r a

F ío c c s s

B odega1

O p p rm lo n

Rixtrca? Bo^gal ' f Mc a * Log c

Figura 6 .77 S egm ento d e la p rogram ació n d e la ca p tu ra , uso y lib e ra ció n d e l recurso d e n tro d el proceso.

250

6.6 T ransporte e n tre estaciones |

La sintaxis de program ación del m odelo para el ejem plo 6.11 se m uestra en la figuras 6.78 y 6.79.

* a

C :\ P r o g r a m

F o m a t t e d L i s t i n g o f M o d e l: F i l e s \ P r o M o d e l \ M o d e l s \ E je r i p l o 6 1 0 .n o d

* *

a a a a a a o a a s a d t t a a a a a s a B B o a a t t a a a a a a a a a a a o a o a ía a o t t Q t t a a a a n a o a a s a o n a s a s o a a a o a a a n a fr o a o a

T im e U n i t s : D is t a n c e U n it s :

M in u t e s M e te rs

L o c a t io n s

Ñame

C a p U n it s S t a t s

Bodegal Bodega2 Bodega3

in f 1 in f 1 in f 1

R u le s

T im e S e r i e s O l d e s t , T im e S e r i e s O l d e s t . T im e S e r i e s O l d e s t .

*

C o st , , .

E n t it ie s

Ñame

S p e e d (mpfTi)

C o n te n e d o r 1 5 0

S ta ts

C o st

T im e S e r i e s

P a th N e tw o rk s

-

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Ñame

Type

T /S

F ro m

R ed

C ra n e Speed & D is t a n c e O r ig in R a illE n d Uni O r ig in B r id g e E n d U n i B n d g e E n d R a il2 E n d Uni

*

To

BI

D is t / T í™ ^

Speed F a c t o r

In te rfa c e s

N et

Node

L o c a t io n

C o o rd s (R . B)

R ed

NI N2 N3

Bodega2 Bodegal Bodega3

5 .0 0 . 2 5 .0 0 45.00. 25.00 95.00. 25.00

F ig u ra 6 .7 8 Prim era p arte d e la sin taxis d e l m o d elo para el e je m p lo 6 .1 1 .

251

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

a

a

R e so u rc e s

Ñame

U n it s S t a t s

G rú a

1

Res S e a rch

B y U n it

Ent S e a rc h P a th

M o tio n

C l o s e s t O ld e s t Red Home: M I (R e tu rn )

C o st

E n p ty : 5 0 . 5 0 npn F u l l : 2 0 . 2 0 mpm P ic k u p : 4 0 Seco nd s D e p o s it : 50 S eco n d s

s a a * s a a a s s f t * s * * 4 4 a s a a a 4 s s 4 S 4 * 4 3 i± 4 s 4 a 4 a 4 4 ± a s s a a s a ± a a s s 4 a t s f t a is ± a 4 t t ± a » a s M s * s a s 9 4 a

P r o c e s s in g

* R o u t in g

P ro c e s s E n t it y

L o c a t i o n O p e r a t io n

C o n te n e d o r B o d e g a l

B lk

O u tp u t

D e s t in a t io n

1

C o n te n e d o r B o d eg a2

1 1

C o n te n e d o r E X I T C o n te n e d o r E X IT

a

M ove L o g i c

0 .4 0 0 0 0 0 1 MOVE G rú a THEN 0 .6 0 0 0 0 0 MOVE G rú a THEN F IR S T 1 F IR S T 1

C o n te n e d o r B o d eg a3

C o n t e n e d o r B o d eg a2 C o n t e n e d o r B o d eg a3

R u le

W ITH FREE WITH FREE

A r r iv a ls

E n t it y

L o c a t io n Q ty Each

C o n te n e d o r B o d e g a l

400

F ir s t 0

T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y IN F

L o g ic

1 day

F ig u ra 6 .7 9 S eg u n d a p arte d e la sin taxis del m odelo p ara el ejem p lo 6.11.

6 .7 Instrucciones de control En ProM odel se puede hacer uso d e algunas instrucciones de co ntro l con el propósito de to m ar decisiones. Estas instrucciones se pueden clasificar en decisiones, cuando uno o m ás blo ques d e código d e program ación son ejecutados en función de cierta condición, o en ciclos, cuando una o m ás instrucciones son ejecutadas repetidam ente hasta que cierta condición sea verdadera. A continuación se resum en las instrucciones de control disponibles en ProM odel. Instrucción IF-THEN-ELSE La instrucción IF-THEN-ELSE, cuya sintaxis general es: IF THEN {acción 1} EL S E {acción 2} y su propósito es que el program a ejecute la acción 1 si la Condición es verdadera y la acción 2 si es falsa.

252

6.7 Instrucciones de c o n tro l |~1

Ejem plos: IF Tipo=1 THEN {W A IT5 m in } ELSE {W A IT IO m in } IF RAND(1)

A r r iv a ls

e

t s t f C s s í r t s M í í i s s t r f t s í r e s t t ü S í S f t t s s t r e i r r s s s s í í s s í l t s s s f r t s s s e s s s í í r i s s t e t f f

E n tity

L o c a tio n

Q ty E a c h

F i r s t T im e O c c u r r e n c e s

F re q u e n c y

P ie z a P ie z a

A lm a c é n A lm a c é n

1 1

O O

E f 12 E ( 14

TNF IN F

) )

m in m in

A ltr ib u te *

10

Type

c ia s s lflc a t lo n

T ip o

in te g e r

E n tity

L o g ic T ip o T ip o

-

1 2

*

F ig u ra 6 .8 6 Sin taxis co m p le ta d e la p ro g ram ació n para el e je m p lo 6 .1 2 .

6 .8 O ptim ización con Sim runner Introducción Una d e las razones por las cuales se desarrollan m odelos de sim ulación es por la necesi­ dad d e optim izar el sistem a d e estudio. La optim ización es el proceso de evaluación de diferentes com binaciones de valores d e un conjunto de factores que puedan ser contro­ lables con el fin de encontrar aquella com binación que logre obtener el m ejo r d e los resultados del sistem a. En un proceso de optim ización surgen preguntas tales com o "¿Cuál es el núm ero óptim o de m áq uin as que se deben instalar para m axim izar la produc­ ción por hora?" "¿Cuántos operarios debem os de asignar a cierto departam ento para m inim izar el inventario p ro m ed io de piezas?". En estos ejem plos podem os distinguir a los

25 7

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

operarios y las m áq uin as com o los facto res o variables controlables y la producción por hora o el inventario prom edio com o la m edida de rendim iento que nos perm ite seleccio­ n ar la m e jo r d e las alternativas evaluadas. La búsqueda de la m ejo r solución puede ser llevada a cabo en form a m anual o autom ática a través del uso de algoritm os específica­ m ente diseñados para la búsqueda de una solución sin la necesidad d e evaluar todas las posibles soluciones. ProM odel incorpora la herram ienta Sim Runner con el fin d e facilitar el proceso d e optim ización. Sim Runner utiliza un algoritm o evolutivo que pertenece a un conjunto de técnicas d e optim ización conocidas com o "Técnicas d e Búsqueda Directa", las cuales se han diseñado para encontrar los valores óptim os para las variables de decisión de un sistem a con la finalidad de m axim izar o m inim izar las m edidas de interés de dicho sistem a. La relación entre el ProModel y el Sim Runner se puede visualizar com o un sistem a cerrado con retroalim entación en el cual el m o d elo de sim ulación se ejecuta en ProModel co n alguna de las com binaciones posibles d e las variables d e decisión, d e esta ejecución se obtiene el resultado de la variable de salida, que sirve com o inform ación d e entrada al algoritm o de optim ización que reside en el Sim Runner y que perm ite generar una nueva com binación d e valores de las variables d e decisión para ejecutar el m od elo nuevam ente e ir en form a iterativa en busca d e la m ejo r com binación de valores (vea la figura 6.87).

F ig u ra 6 .8 7 R elació n e n tre el ProM odel y el Sim Runner.

Sim Runner A l conducir y analizar un experim en to m ediante Sim Runner se deb e de construir y ejecu ­ tar un proyecto. En cada proyecto Sim Runner utiliza un algoritm o d e búsqueda para encon­ trar sim ultáneam ente valores óptim os para m ú ltip les variables de decisión. Para cada proyecto se deb e crear un m odelo d e sim ulación, identificar los facto res a m odificar y defin ir la función o b jetivo con la que se m edirá el rendim iento del sistem a. Para llevar a cabo este procedim iento se deben seguir los siguientes pasos:

Paso 1. C rear un m o d elo en ProM odel estadísticam ente vá lid o y representativo del siste­ m a a optim izar. Paso 2. Seleccionar las variables d e entrada o factores que se desean analizar para encon­ trar su valor óptim o. Estas variables son generalm ente aquellos parám etros que pueden ser ajustados por el usuario, tales com o el núm ero de m ontacargas a asignar, el núm ero de operarios a contratar, el núm ero de tarim as a com prar o el precio d e venta de un pro258

6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |

ducto. En este punto se deberá crear en ProM odel una M acro para cada uno d e estos factores. Paso 3. Cada facto r estará representado por una M acro y para cada una d e ellas se define e l tip o d e dato (real o entero), su lím ite inferior (el valo r m ás peq ueñ o posible a analizar) y el lím ite superior (el valo r m ás alto posible que se desee analizar). La cantidad d e facto ­ res y el rango d e valores que puede to m ar cada uno afecta d e m anera directa el espacio d e búsqueda o núm ero d e posibles soluciones del problem a, por ejem plo, si se desean analizar tres factores cada uno con cuatro po sibles valores, el espacio de búsqueda será de 81 com binaciones, pero si cada uno de los facto res requiere de cin co valores, entonces e l espacio de búsqueda será de 243 co m binaciones. Increm entar el núm ero de factores o su rango hará m ás difícil y m ás tardada la búsqueda del óptim o. Es im po rtante seleccio­ n a r sólo aquellos facto res que afecten de form a significativa las variables de respuesta. Paso 4 . Construir en Sim Runner la función objetivo para m ed ir la utilidad d e cada co m bi­ nación d e factores. Esta función o b jetivo se construye por m edio d e los térm ino s del reporte de salida generado al fin alizar una corrida de sim ulación. Por ejem plo, la función o bjetivo puede estar basada en las estadísticas de las entid ades (entities), las estadísticas de las ubicaciones (locations), las estadísticas de los recursos (resources), etcétera. Al diseñar la función o b jetivo se deb e especificar si se desea m inim izar (Min), m axim izar (M ax), o lograr un objetivo determ inado (Target). Para crear la función o b jetivo se debe pen sar en térm ino s de Program ación por M etas en donde podem os ten e r un objetivo d ividid o en varias m etas, cada una con cierta ponderación. Por ejem plo, podem os tener en un sistem a com o prim er objetivo o m eta la de m inim izar el inventario de piezas y un segundo o b jetivo que puede ser m axim izar las producción por hora. Cada uno de ellos d eb e d e estar acom pañado por un facto r d e im po rtancia relativa. Paso 5. Seleccionar en Sim Runner el perfil de optim ización (optim ization profile) y com en­ za r la búsqueda d e la com binación óptima. Existen tres perfiles d e optim ización: agresivo, m oderado y cauteloso. La selección de cada uno de ellos afecta el núm ero de soluciones que el algoritm o de optim ización va a evaluar. El perfil agresivo evalúa una m enor canti­ dad d e com binaciones que el cauteloso antes d e detenerse. En form a general se puede decir que a m ayor cantidad de soluciones evaluadas m ayor probabilidad d e encontrar la mejor, y m ayo r el tiem p o requerido para llevar a cabo la búsqueda d e la solución. E je m p lo 6.13 A un estadio llegan aficionados con un tiem p o entre arribos de 2.5 m inutos con d istrib u­ ción Expo nencial. El tiem p o d e viaje desde la entrada hasta las taq u illas está no rm alm en­ te distribuido con una m edia de cuatro m inutos y una desviación estándar de 0.75 m inutos. Frente a las taquillas, los aficionados esperan en una fila hasta que uno de los cajeros esté d isp o nib le para atend erlos. El tie m p o para com prar los bo leto s es exp o ­ n en cial con una m edia de cinco m inuto s. D espués de com prar los boletos los visitantes se dirigen hacia las puertas d e acceso para entrar al estadio. Se desea crear un m o d elo de sim ulación para determ inar el núm ero m ínim o d e taq u illas a ab rir con el objetivo de que los aficionados esperen en prom edio m enos d e 1 minuto. 25 9

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel________________________________________________________

Sim ule el proceso para atender 100 aficionados (vea la figura 6.88).

F ig u ra 6 .8 8 Proceso d e ve n ta de boletos.

•

Com o prim er paso, se dará de alta una M acro que representará el facto r que deseam os optim izar. Para este problem a, el facto r es el núm ero d e em pleados a contratar para la venta de boletos. Iniciarem o s co n un valo r d e 3 em pleados pero se hará una búsqueda del óptim o en el rango de 1 y 15 em pleados. Definirem os la M acro Em pleados en la ventana M acros (Build / Macros). En el cam p o Text se dará el valor inicial de 3 y en el cam p o O p tio ns seleccionarem os Scenario Param eter/D efine especificando en la ventana d e diálogo el rango de valores de 1 a 15, co m o se m uestra en la figura 6.89.

Id Macros

1 EMPLEADOS

11] I= _ il3 jl2 < i| Options

W

S c e n a rio P a r a m e t * —

Param eter d e fin id o r to r LMPLLADüS

'

Layout

|

P a ra meter Ñ am e P íw n p l.

OUnfMnrteri mrt O

R e c o rd R aoq e

®

N um coc

Fig u ra 6 .89 D e fin ició n d e la Macro.

260

6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |

Enseguida definirem os las localizaciones Entrada, Fila y Taquilla en la ventana Locatio n s (Build / Locations). Especifiq ue la capacidad d e dichas localizaciones com o se m uestra en la figura 6.90, o bserve que el valo r num érico en la localización Taquilla se sustituye por la nom bre d e la M acro Em pleados, de esta form a p o d re­ m os ejecutar el m o d elo con los diferentes valores, en este caso el valor actu al de la M acro es 3.

Ñame

Icón

m

i m

iimiiiiii X

Cap.

ENTRADA

U nits

1 __________ __ 1

FILA

/ INFINITE

TAQ UILLA

\ EMPLEADOS

D Ts... None None None

p

Figura 6 .9 0 D e fin ició n d e ca p a cid a d d e la s lo calizacio n es.

D efina la entidad A ficionado en la ventana En tities (Build / Entities), com o se m uestra en la figura 6.91. • Entities Ñame

II

Speed (fpm)

AFICIONADO

150 Figura 6.91 D efinició n de la e n tid ad .

A continuación program arem os la llegada de cada A ficionado a la Entrada. Abra la v e n ta n a A rriv a ls (Build / A rriv a ls) y e sp e c ifiq u e lo s p arám e tro s q u e se m u e stran en la figura 6.92. ^ Ai livals F n li t y . . . A F IC IO N A D O

][

I tx a tio n ... ENTRADA

Q t y E a c h ...

1

F ir s t lim e . . .

0

O c c u rre n c e s

100

F re q u e n c y E (2 .S ) m ln

Figura 6 .9 2 Entrada d e e n tid a d e s (A ficionado) a l p u n to inicial del p ro ceso [E n trad a).

•

D espliegue la ventana Processing (Build / Processing) para crear la ruta d e los aficionados por las taq u illas del estadio, (figura 6.93). Routing i : t ATICIONADO u ENTRADA fn tity...

II location

AFICIONADO j fNTRADA

AfICIONAOO

Opet.Hlon A f l f IONADO

HRST1

TAQUILLA

Fig u ra 6 .93 P rogram ación d e l proceso in clu ye n d o tie m p o s d e traslado.

261

| C a p ítu lo 6 Instrucciones d e ProM odel

El núm ero d e aficionados que serán atendidos durante la ejecución del m o d elo no necesariam ente asegura que los resultados lleguen a estado estable, por lo que para cada escenario se harán 30 réplicas. Para esto entram os al m enú S im u la tio n /O p tio n s y en la ventana de diálogo correspondiente dam os de alta el valo r de 30 en el cam p o N u m b e r o f re p lic a tio n s : una ve z hecho esto se procede a guardar y ejecutar el m odelo, con el fin d e corregir cualq uier error antes d e iniciar con la optim ización. En el m enú File/View Text podem os visu alizar la sintaxis del ejem p lo, el cual deb e ser sim ilar al d e la figura 6.94:

. • *

.............

■ ........ .................................................................. F o rm a tte d L i s t i n g o f M o d e l: C :\ P r o g r a m F ile s \ P r o M o d e l\ M o d e ls \ L ib r o V2 E je m p lo s \ E ;je m p lo 7 1 . mod

T im e u n i t s : D is t a n c e u n i t s :

M in u te s Feet

*

o

L o c a t io n s Ñame

Cap

u n it s S t a t s

en trad a

i

i

F IL A T A Q U ILLA

in f in it e

i

EMPLEADOS l

R u le s

T im e s e r i e s o l d e s t . T im e s e r i e s o l d e s t . T im e S e r i e s O ld e s t ;

*

C o st . . F ir s t

f if o

,

* • B » • *>» m *»

E n t it ie s Ñame

sp e e d (fp m )

AFICIONADO 1 5 0

sta ts

co st

T im e S e r i e s

-

*

P r o c e s s in g P ro c e s s E n t it y

e *

L o c a t io n o p e r a t io n

R o u t in g

B lk

O u tp u t

D e s t i n a t i o n R u le

AFICIO N ADO ENTRADA

1

AFICIO N ADO F I L A

F IR S T 1

AFICIO N ADO F I L A AFICIONADO TA Q U ILLA W AIT E ( S ) MIN

1 1

AFICIO N ADO 1AQU1LLA AFICIO N ADO E X I T

F1KSI 1 F IR S T 1

Move L o g ic MOVE FOR N ( 4 ,0 .7 5 )M IN

« * A r r iv a ls ; - í : í í f ; : t í ; í * f ; ; í ; : : í ; ; í í - ; ; - í ; t ; r : í í í : í í r : ; í ; ; ; í í : i * ; ; í f ; ; ; í t ; t - ; ; 5 í í ; í AAAAAAA E n t it y

L o c a t io n Q t y E a c h

AFICIO N ADO ENTRADA

1

F i r s t T im e O c c u r r e n c e s F r e q u e n c y 0

100 M acro s

ID

Text

EMPLEADOS

3

Figura 6 .9 4 Sintaxis d el e je m p lo 6.13.

262

L o g ic

E ( 2 . S ) m1 n *

6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |

Para optim izar el m o d elo vam os a ejecutar el Sim Runner desde el m enú Sim ulation / Sim ru n ner y debem os ir siguiendo las instrucciones que se presentan en la pantalla, en ocasiones h ay qu e ser p acientes ya que este proceso puede tard ar varios m inutos. En caso d e ten e r la versión estudiantil aparecerá una ventana d e inform ación en la cual se indica el núm ero m áxim o de experim entos que podrán realizarse en la búsqueda del óptim o, en la versión incluida en este libro el núm ero m áxim o es 25. Cuando aparece la pantalla m ostrada en la figura 6.95 estarem os ya dentro del Sim runner. En esta prim era ventana se dará de alta un nuevo proyecto, y por default se hará co n el m odelo que se encuentre activo. Tam bién es posible ejecutar proyectos realizados anteriorm ente.

Saladnr

hbevMis

F ig u ra 6 .1 0 0 V en tan a d e resultados.

Para este ejem p lo podem os o bservar el resultado fin al en la figura 6.100 en dond e el o bjetivo de que los espectadores esperen m enos de 1 m inuto en prom edio ocurre cuan­ do el núm ero d e em pleados es m ayo r o igual a 4 . Si asignam os 4 em pleados podem os esperar en la fila 0 .774 m inutos equivalente a 4 6 .4 4 segundos, con lím ites entre 0.489 y 1.059 m in con un intervalo d e confianza del 95% . E je m p lo 6 .1 4 Considerem os ahora el m ism o sistem a descrito en el ejem plo 6.13 pero deseam os deter­ m inar el núm ero d e taquillas a instalar en función de un objetivo diferente. Si en este caso tenem o s que el costo por hora d e instalar cada taquilla es de $300/h y el costo d e espera por cada aficionado se estim a en $15/h, podem os plantear com o nuevo objetivo: en co n ­ trar el núm ero óptim o d e taq u illas que m inim icen el costo del sistem a. El m odelo en ProM odel es idéntico al desarrollado anteriorm ente, el único cam bio es en la definición de una nueva función objetivo la cual es: M in 266

costo

=

300*(cantidad

de

taquillas)

+

75*(aficionados

en

espera)

6.8 O p tim iza ció n c o n S im runner |

Y la función objetivo se m odifica en las ventanas de diálogo del Sim runner, por lo que ejecutam os nuestro m odelo de Prom odel siguiendo los pasos del ejem p lo 6.13 hasta lle g a ra la ventana que se m uestra en la figura 6.101 en dond e com enzarem os a form ar la nueva función objetivo:

SimRunn0

otro

caso

[0

en

caso

Parám etros Parám etro d e e sc a la : — > 0 A Rango

[0, oo)

M edia

1 A

V arianza

1 A2 Exponencial (2)

m 0.50

—

0.25

-

nnn 0.0

\

i

i

i

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

X

29 7

; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d

Distribución gam ma Codificación

G(a,p)

F u n c ió n d e d e n s id a d

f { x ) = ^ f ^ e ‘ 'a r{a)

para

D is t r ib u c ió n a c u m u la d a

pora a n o entera F (x ) =

t 1 -e

X* & l x / B y 2^ — :—

1=0

P a r á m e tro s

x>0

P a rá m e tro d e fo rm a :

P °ro a

i-

entera

a

P a r á m e t r o d e e s c a la : /3 > 0 Rango

[0 , o o )

M e d ia

a .f i

V a r ia n z a

«,/ 32

m

G a m m a (3 .86,5.25)

5.00 x 1 0 ~2

250

(\c\r\ 0.0

0 .2

0 .4

0 .6 X

298

0 .8

1.0

1.2x10 2

A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d

|~1

D is trib u c ió n lo g -lo g ís tic a C o d ific a c ió n Fu n ció n d e d en sid ad

LL[a .P ) a ( x f PY~' f ( x ) = ---------- ------- -

para

x> 0

/ 3 [ l+ ( x / / 3 ) “ ] D istrib u ció n acu m u lad a

F { x ) = --------------1+ ( x / p ) Parám etros

para

x> 0

P arám etro d e e sc a la : /3 > 0 Parám etro d e fo rm a : a > 0

Rango

[0, oo)

M edia

77/3 ^ — cosecante

a

V arianza

tt /32

a

7T — a )

( 2 i r \ tt \ * f ^ 1 — — co seca n te — U J «1 \ a )_

2 cosecante

Log-Logística (3,1)

m 1.00

0.50

0.00

y 0. 0

i

i

1.0

2.0

— — 3.0

i

—

4.0

i

i

5.0

6.0

X

299

; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d

Distribución lognorm al Codificación Fu n ció n d e d en sid ad

L N i f r a 2)

f ( x ) = — - ---- ^ 0 X\¡2tt(t 2

x >o

D istrib u ció n acu m u lad a

-

Parám etros

P arám etro d e e sc a la : ¿i Parám etro de fo rm a : a > 0

Rango

[0, oo)

M edia V arianza

(e‘r' - 1 )ew Lognormal (4,0.792)

m 1.40 xio -2

0.70

0.00 ^ 0.0

1

03

13

1.0 X

300

2.0

-L-----

23

1 3.0x102

A n e x o ! D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d

|~1

D is trib u c ió n n o rm a l Codificación Fu n ció n d e d en sid ad

A/(/x, a 2) f(x)-—- — \'27 t c t 2

para

D istrib u ció n acu m u lad a

-

Parám etros

P arám etro d e lo ca liza ció n : /x

x> -~

Parám etro d e e sc a la : a > 0 Rango

(-o°, oo)

M edia V arianza

o-2 Normal (10,2)

m 0.20

0.10

0.00 —-— 0 .4

—i 0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6x10’

X

301

; | Anexo 1 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d

Distribución triangular Codificación

T [a ,b ,c )

Fu n ció n d e d en sid ad 2 ( x - fl)

f{x) =

{b - a ) ( c - a ) 2 { b - X)

Sí

a 5

<

1.933

2.492

3.070

3.857

Normal

0.632

0.751

0.870

1.029

Exponencial

1.070

1.326

1.587

1.943

Weibull

0.637

0.757

0.877

1.038

Log-logística

0.563

0.660

0.769

0.906

4 ^ ) Fuente: Law, A.M. y Kelton, W.D. (2000), "Simulation Modeling and Analysis", (3th. ed). pp. 368, McGraw Hill.

33 9

| ~| Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d

Valores de la función Gamm a X

T(x)

X

T(x)

T(x)

T(x)

1.00

1.0000000

1.25

0.9064025

1.50

0.8862269

1.75

0.9190625

1.01

0.9943259

1.26

0.9043971

1.51

0.8865917

1.76

0.9213749

1.02

0.9888442

1.27

0.9025031

1.52

0.8870388

1.77

0.9237631

1.03

0.9835500

1.28

0.9007185

153

0.8875676

1.78

0.9262273

1.04

0.9784382

1.29

0.8990416

1.54

0.8881777

1.79

0.9287675

1.05

0.9735043

1.30

0.8974707

1.55

0.8888683

1.80

0.9313838

1.06

0.9687436

1.31

0.8960042

1.56

0.8896392

1.81

0.9340763

1.07

0.9641520

132

0.8946405

157

0.8904897

1.82

0.9368451

1.08

0.9597253

1.33

0.8933781

1.58

0.8914196

1.83

0.9396904

1.09

0.9554595

1.34

0.8922155

1.59

0.8924282

1.84

0.9426124

1.10

0.9513508

1.35

0.8911514

1.60

0.8935153

1.85

0.9456112

1.11

0.9473955

1.36

0.8901845

1.61

0.8946806

1.86

0.9486870

1.12

0.9435902

1.37

0.8893135

1.62

0.8959237

1.87

0.9518402

1.13

0.9399314

1.38

0.8885371

1.63

0.8972442

1.88

0.9550709

1.14

0.9364161

1.39

0.8878543

1.64

0.8986420

1.89

0.9583793

1.15

0.9330409

1.40

0.8872638

1.65

0.9001168

1.90

0.9617658

1.16

0.9298031

1.41

0.8867647

1.66

0.9016684

1.91

0.9652307

1.17

0.9266996

1.42

0.8863558

1.67

0.9032965

1.92

0.9687743

1.18

0.9237278

1.43

0.8860362

1.68

0.9050010

1.93

0.9723969

1.19

0.9208850

1.44

0.8858051

1.69

0.9067818

1.94

0.9760989

1.20

0.9181687

1.45

0.8856614

1.70

0.9086387

1.95

0.9798807

1.21

0.9155765

1.46

0.8856043

1.71

0.9105717

1.96

0.9837425

1.22

0.9131059

1.47

0.8856331

1.72

0.9125806

1.97

0.9876850

1.23

0.9107549

1.48

0.8857470

1.73

0.9146654

1.98

0.9917084

1.24

0.9085211

1.49

0.8859451

1.74

0.9168260

1.99

0.9958133

2.00

1.0000000

Valores calculados a p artir de la ecuación de aproxim ación de Lanczos Para valores d e x no tabulados, usar la relación T (x + 1) = x T(x) Para valores n aturales d e x , usar T(x) = ( x - 1)! Fuente. A P re c is ió n A p ro x im a tio n o f th e G a m m a F u n c tio n ; J SIAM N u m e r. A n al. Ser. B v V o l l ; p p 6 8 - 9 6 ; (1 9 6 4 ).

340

A nexo 4 D istrib u cio n e s d e p ro b a b ilid a d | 1

Probabilidades acum uladas de la distribución Poisson X

0 1 2

0.01 0.9900 1.0000

0.05 0.9512 0.9988 1.0000

3

0.1 0.9048 0.9953 0.9998 1.0000

4 5

0.2 0.8187 0.9825 0.9989 0.9999

0.3 0.7408 0.9631 0.9964 0.9997

1.0000

1.0000

Media 0.4 0.6703 0.9384 0.9921 0.9992

05 0.6065 0.9098 0.9856 0.9982

0.6 05488 0.8781 0.9769 0.9966

0.7 0.4966 0.8442 0.9659 0.9942

0.8 0.4493 0.8088 0.9526 0.9909

0.9 0.4066 0.7725 0.9371 0.9865

0.9999 1.0000

0.9998 1.0000

0.9996 1.0000

0.9992 0.9999 1.0000

0.9986 0.9998 1.0000

0.9977 0.9997 1.0000

Media 15 0.2231 0.5578 0.8088 0.9344 0.9814 0.9955 0.9991 1.000

1.6 0.2019 05249 0.7834 0.9212 0.9763 0.9940 0.9987 1.000

0.1827 0.4932 0.7572 0.9068 0.9704 0.9920 0.9981 1.000

1.8 0.1653 0.4628 0.7306 0.8913 0.9636 0.9896 0.9974 0.999 1.000

1.9 0.1496 0.4337 0.7037 0.8747 0.9559 0.9868 0.9966 0.999 1.000

2 0.1353 0.4060 0.6767 0.8571 0.9473 0.9834 0.9955 0.999 1.000

6 0.0025 0.0174 0.0620 0.1512 0.2851 0.4457 0.6063 0.744 0.847 0.916 0.957 0.980 0.991 0.996 0.999 0.999 1.000

6.5 0.0015 0.0113 0.0430 0.1118 0.2237 0.3690 0.5265 0.673 0.792 0.877 0.933 0.966 0.984 0.993 0.997 0.999 1000

7 0.0009 0.0073 0.0296 0.0818 0.1730 0.3007 0.4497 0.599 0.729 0.830 0.901 0.947 0.973 0.987 0.994 0.998 0.999 1.000

75 0.0006 0.0047 0.0203 0.0591 0.1321 0.2414 0.3782 0.525 0.662 0.776 0.862 0.921 0.957 0.978 0.990 0.995 0.998 0.999 1.000

6

X

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 0.3679 0.7358 0.9197 0.9810 0.9963 0.9994 0.9999 1.000

2.5 0.0821 0.2873 0.5438 0.7576 0.8912 0.9580 0.9858 0.996 0.999 1.000

1.1 0.3329 0.6990 0.9004 0.9743 0.9946 0.9990 0.9999 1.000

3 0.0498 0.1991 0.4234 0.6472 0.8153 0.9161 0.9665 0.988 0.996 0.999 1.000

1.2 0.3012 0.6626 0.8795 0.9662 0.9923 0.9985 0.9997 1.000

35 0.0302 0.1359 0.3208 0.5366 0.7254 0.8576 0.9347 0.973 0.990 0.997 0.999 1.000

1.3 0.2725 0.6268 0.8571 0.9569 0.9893 0.9978 0.9996 1.000

4 0.0183 0.0916 0.2381 0.4335 0.6288 0.7851 0.8893 0.949 0.979 0.992 0.997 0.999 1.000

1.4 0.2466 05918 0.8335 0.9463 0.9857 0.9968 0.9994 1.000

4.5 0.0111 0.0611 0.1736 0.3423 0.5321 0.7029 0.8311 0.913 0.960 0.983 0.993 0.998 0.999 1.000

Media 5 0.0067 0.0404 0.1247 02650 0.4405 0.6160 0.7622 0.867 0.932 0.968 0.986 0.995 0.998 0.999 1.000

5.5 0.0041 0.0266 0.0884 0.2017 0.3575 0.5289 0.6860 0.809 0.894 0.946 0.975 0.989 0.996 0.998 0.999 1.000

Fuente. Valores calculados con Excel.

341

| ~| Anexo 4 D istribu cio n e s d e p ro b a b ilid a d

Probabilidades acum uladas de la distribución Poisson (continuación) 8 0 0.0003 1 0.0030 2 0.0138 3 0.0424 4 0.0996 5 0.1912 6 0.3134 7 0.453 8 05925 9 0.7166 10 0.8159 11 0.8881 12 0.9362 13 0.9658 14 0.9827 15 0.9918 16 0.9963 17 0.9984 18 0.9993 19 0.9997 20 0.9999 21 1.0000 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 X

9 0.0001 0.0012 0.0062 0.0212 0.0550 0.1157 0.2068 0.324 0.4557 0.5874 0.7060 0.8030 0.8758 0.9261 0.9585 0.9780 0.9889 0.9947 0.9976 0.9989 0.9996 0.9998 0.9999 1.0000

10 0.0000 0.0005 0.0028 0.0103 0.0293 0.0671 0.1301 0.220 0.3328 0.4579 0.5830 0.6968 0.7916 0.8645 0.9165 0.9513 0.9730 0.9857 0.9928 0.9965 0.9984 0.9993 0.9997 0.9999 1.0000

Fuente. Valores calculados con Excel.

342

11 0.0000 0.0002 0.0012 0.0049 0.0151 0.0375 0.0786 0.143 0.2320 0.3405 0.4599 05793 0.6887 0.7813 0.8540 0.9074 0.9441 0.9678 0.9823 0.9907 0.9953 0.9977 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000

12 0.0000 0.0001 0.0005 0.0023 0.0076 0.0203 0.0458 0.090 0.1550 0.2424 0.3472 0.4616 0.5760 0.6815 0.7720 0.8444 0.8987 0.9370 0.9626 0.9787 0.9884 0.9939 0.9970 0.9985 0.9993 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000

Media 13 0.0000 0.0002 0.0011 0.0037 0.0107 0.0259 0.054 0.0998 0.1658 0.2517 0.3532 0.4631 0.5730 0.6751 0.7636 0.8355 0.8905 0.9302 0.9573 0.9750 0.9859 0.9924 0.9960 0.9980 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 1.0000

14 0.0000 0.0001 0.0005 0.0018 0.0055 0.0142 0.032 0.0621 0.1094 0.1757 0.2600 0.3585 0.4644 0.5704 0.6694 0.7559 0.8272 0.8826 0.9235 0.9521 0.9712 0.9833 0.9907 0.9950 0.9974 0.9987 0.9994 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000

15

16

0.0000 0.0002 0.0009 0.0028 0.0076 0.018 0.0374 0.0699 0.1185 0.1848 0.2676 0.3632 0.4657 0.5681 0.6641 0.7489 0.8195 0.8752 0.9170 0.9469 0.9673 0.9805 0.9888 0.9938 0.9967 0.9983 0.9991 0.9996 0.9998 0.9999 1.0000

0.0000 0.0001 0.0004 0.0014 0.0040 0.010 0.0220 0.0433 0.0774 0.1270 0.1931 0.2745 0.3675 0.4667 0.5660 0.6593 0.7423 0.8122 0.8682 0.9108 0.9418 0.9633 0.9777 0.9869 0.9925 0.9959 0.9978 0.9989 0.9994 0.9997 0.9999 0.9999 1.0000

18

0.0000 0.0001 0.0003 0.0010 0.003 0.0071 0.0154 0.0304 0.0549 0.0917 0.1426 0.2081 02867 0.3751 0.4686 0.5622 0.6509 0.7307 0.7991 0.8551 0.8989 0.9317 0.9554 0.9718 0.9827 0.9897 0.9941 0.9967 0.9982 0.9990 0.9995 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

20

0.0000 0.0001 0.0003 0.001 0.0021 0.0050 0.0108 0.0214 0.0390 0.0661 0.1049 0.1565 02211 02970 0.3814 0.4703 0.5591 0.6437 0.7206 0.7875 0.8432 0.8878 0.9221 0.9475 0.9657 0.9782 0.9865 0.9919 0.9953 0.9973 0.9985 0.9992 0.9996 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

í ndice

A Algoritm o co ngruencial aditivo, 30

D D istribución de conjunto d e datos, determ ina ción, 62

co ngruencial m ultiplicativo, 29 d e cuadrados m edios, 24 d e m ultiplicad or constante, 26 d e productos m edios, 25 lineal, 27 Algoritm os congruenciales no lineales, 31

D istribuciones de probabilidad (Anexo 1), 296-309,331 de Erlang, 296 de W eibull, 304 distribuciones continuas, 296 exponencial, 297

cuadrático, 31 d e Blum , Blum y Shub, 32 A nálisis d e sensibilidad, 15 Arribos cíclicos, 186 Atributo, 6 C Corrida, tam a ñ o insu ficiente d e la, 10

gam m a, 298 log.logística, 229 lognorm al, 300 normal, 301 triangular, 302 uniform e, 303 D istribuciones de probabilidad (Anexo 4), 331-342

| ~| índice

estadísticos d e prueba y valores críticos para la prueba de Anderson-Darling, 339 probabilidades acum uladas para la d istrib u­ ción N orm al Estándar, 333 valores críticos de la prueba d e KolmorovSm irnov, 338 valores d e la función gam m a, 340 D istribucio nes discretas, 305 binom ial, 306 de Bernoulli, 305

I Instrucciones d e control, 252 Instrucciones d e ProM odel, 201-294 funcio nes probabilísticas, biblioteca, 202 L Localizaciones, 6 M M étodo de la transform ada inversa, 78 M odelo d e un proceso d e ensam ble e

E Ensam bles, acum ulación y agrupam iento de

inspección, 126 estado d e la barra, 1 27 gráfica d e estabilización, 128 longitud d e la barra 1 ,1 2 7 M odelo d e un sistem a d e inventarios, 130 dem anda, 131

piezas, 225 Entidad, 4 , 7 Erlang, distribución de, 129 Estado, estable, 8, 9 transitorio, 8

entrega d e m aterial, 131 inventario al fin al del día, 132 registros históricos, 147 resid uo o m ódu lo (MO), 131 M odelo(s) d e sim ulación, 2 ,1 2 1 continuos, 2

de Poisson, 308 geom étrica, 307 uniform e discreta, 309

Evento(s), 4 , 8 actuales, 4 futuros, 4 F Función de densidad de probabilidad, 61 G Generación de distribución distribución distribución distribución

variables aleatorias, binom ial, 88 de Bernoulli, 82 de Erlang, 86 exponencial, 81

distribución norm al, 87 distribución triangular, 89 distribución uniform e, 80 m étodo de com posición, 89 m étodo de convolución, 86 m étodo de la transform ada inversa, 78 m étodo de transform ación directa, 92 344

de una línea d e espera con un servidor, 122 determ m ísticos, 3 dinám icos, 3 discretos, 3 estáticos, 3 generación del, 12 probabilísticos (estocásticos) 3 validación del, 13 verificación del, 13 verificación y validación del, 114 M odelado de un sistem a, 175 definición d e entidades, 179 definición d e localizaciones, 176 definición d e llegadas, 179 esquem atización inicial del m odelo, 175 uso de la instrucción DISPLAY, 181 uso de la opción View Text, 179 N N úm eros aleatorios entre 0 y 1, m edia de, 32

ín d ic e |~ ]

instrucción GET, 208

independencia de, 34 varianza de, 33 N úm eros pseudoaleatorios, 21-58 entre 0 y 1, 32 generación de, 22-24 propiedades, 30 prueba Chi-cuadrada, 38 prueba de corridas arriba y abajo, 41 prueba de huecos, 49 prueba de Kolm ogorov-Sm irnov, 65 prueba de m edias, 35

instrucción FREE, 208 utilización d e turnos, 216 Reglas d e ruteo, 220 Reloj d e la sim ulación, 6 ,8 absoluto, 6 relativo, 6 Reportes estadísticos en prom odel (A nexo 2), 311-319, 322 entities costing, 313 entity activity, 312 entity States b y percentage, 313 failed arrival, 314 general, 312 locations costing, 314 logs, 316 resources States by percentage, 328

prueba de series, 47 prueba de varianza, 36 prueba poker, 4 4 pruebas d e independencia, 41 pruebas d e uniform idad, 38 pruebas estadísticas para, 34 O O ptim ización con Sim runner, 257

Scoreboard, 329 variables, 327 Reportes estadísticos en prom odel (A nexo 3), 322-329

P Pallet, 233

S

Paros en los equipos, 212 Principios básicos de la sim ulación, 1-20 definición, 4 introducción, 2 ProM odel, 152 construcción d e un m odelo, 153 editor de turnos, 153

Selección d e leng uajes d e sim ulación, 134 arrastrar y colocar, 134 plantillas, 135 Sim ulación con ProM odel, 151-199 Sim ulación con ProM odel, 151

editor gráfico, 152 elem entos básicos, 152 estructura d e program ación en, 153 inclusión de gráficos, 183 introducción al uso de, 152 m ejoram iento visual del m odelo, 166 m odelo M/M de líneas de espera, 153 referencias y ayuda, 153 resultados, 152 Stat::Fit, 152 R Recursos, 6 ,8 , 207 estáticos, 207 dinám icos, 207

de eventos discretos, 3 ,4 de variables aleatorias, 113 definición del tiem p o de, 182 definición, 2 modelos, 2,121 réplica (corrida), 8 ventas y desventajas, 9 Sim ulación d e variables aleatorias, 113-149 Sim ulaciones term inales, 114 intervalos d e confianza, 114 Sim ulaciones no term inales (o de estado estable), 117 longitud d e las réplicas, 117 Sistem a, 7 estado del, 4 , 7 34 5

| ~| índice

Stat::Fit, 74 T Transporte entre estaciones, 241 m ontacargas, 245 ruta, 245 V V alor crítico, 63 V alor estadístico d e prueba, 63 Valores críticos para la distribución t-student, 332

346

Variables aleatorias, 6 , 8 , 1 1 , 59-112 continuas, 61 definición, 60 fin de la inspección, 122 generación de, 78 inicio de la inspección, 122 prueba de Anderson-Darling, 67 prueba de Chi-cuadrada, 63 prueba de Kolm ogorov-Sm im ov, 65 tiem po entre llegadas, 122 tipos de, 60

Esta edició n d e Simulación y análisis de sistemas con ProModel presenta los conceptos de la m o d e la ció n d e los pro cesos e sto cá sticos, e l a n á lis is e stad ístico d e la in fo rm ació n y su relación con la sim u ­ lación e sto cástica discreta, utilizand o com o h e rra m ie n ta ProM odel, un p ro gram a m u y poderoso para e l a n á lisis y fácil d e usar. Entre las m e jo ras m ás sig n ific a tiv a s d e e ste texto s e encuentran las sig uien tes: ■ N u e vo s co ncepto s d e p ro gram ació n, e sp e cífica m e n te a q u e llo s q u e tie n e n q u e v e r con arribo s cíclicos. ■ El uso d e la pro g ram ació n d e paro s por turnos. ■ El m a n e jo d e m a te ria le s u sa n d o g rú as v ia je ra s. ■ Eje m p lo s d e instrucciones d e control del tipo IF-TH EN -ELSE, W HILE-DO . El m a n e jo de la h e rram ie n ta Sim R u n n er q u e perm ite la o p tim iza­ ción d e lo s m o d e lo s d esarro llad o s con ProM odel. A sim ism o , se han ag re g a d o ca so s integ rad o res y una gran can ti­ dad de eje rcicio s para fortalecer el aprend izaje. F in alm en te , se in clu ye un a p é n d ice d o nd e se d e scrib e n los re su l­ tad o s obtenido s en los reportes con la n u e va v e rsió n O utput V ie w e r 4 .0 de ProM odel.

CD-ROOM con ProModel El lib ro in c lu y e u n C D -R O M c o n la v e r s ió n e s tu d ia n til m á s re c ie n te d e P ro M o d e l, q u e c u e n t a c o n to d a s la s fu n c io n a lid a d e s d e la v e r s ió n p ro fe sio n a l.