Simulacion de Serie de Fourier en Matlab

Laboratorio N° 1: Simulación de la Serie de Fourier mediante el software de Matlab Curso: EE513-M Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universidad Nacional de Ingeniería Lima, Perú

I.

Objetivos: El siguiente experimento tiene finalidad mostrar:    

II.

Graficar aproximadamente una onda periódica por medio de la sumatoria de “n” términos de la serie de Fourier Estimaremos el ancho de banda Desarrollo analítico del espectro de frecuencias para una señal asignada Calculo de armónicos para una mejor aproximación de la función asignada

Teoría: 

Introducción:

Las Series de trigonométricas de Fourier, o simplemente series de Fourier fueron desarrolladas por el matemático francés JeanBaptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768 en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en Paris). La idea que subyace en las series de Fourier es la descomposición de una señal periódica en términos de señales periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son múltiplos de la señal original. La idea de descomposición es un proceso fundamental en el área científica en general: la descomposición permite el análisis de las propiedades y la síntesis de los objetos o fenómenos. 



Sumas Parciales:

Para la serie de Fourier de una función f(x) periódica definida en un intervalo de longitud T la k-ésima suma parcial, representada por Sk(x) está dada por:



Condiciones de convergencia:

Sea f (x) una función periódica definida en un intervalo de longitud T continua, excepto posiblemente en un número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas y que posee derivada continua también excepto en número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas. Entones, la serie de Fourier para f(x) converge a f(x) en todo punto de continuidad y en los puntos de discontinuidad la serie de Fourier converge a:

Donde f(x+) representa el límite por la derecha a x y f(x−) representa el límite por la izquierda a x. 

Forma compacta de la series Fourier:





Serie de Fourier:

La serie de Fourier de una función periódica f(x) de periodo T, también conocida como señal, definida en un intervalo de longitud T está dada por:

Series complejas de Fourier:

La serie compleja de Fourier de una función f(x) periódica definida en el intervalo de longitud T está dada por la fórmula: 

Potencia Media:





III.

La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Desarrollo de la experiencia: A.

Una computadora Software MATLAB Acceso a Internet Capturador de imagen o cámara fotográfica. Guía de laboratorio ( se encuentran en el Aula Virtual)

Nota: Para poder responder la pregunta: ¿cuantos términos de la serie de Fourier se deben tomar para aproximar razonablemente una función periódica? La clave puede estar en la potencia media. Se calcula la potencia media y establece un nivel en el cual se desea aproximarla. Digamos un 95% o un 99%. Con esto se van realizando sumas parciales de la fórmula de Parseval hasta alcanzar el nivel de aproximación deseado. Aunque sería deseable determinar analíticamente para un nivel de aproximación el valor no en el cual se obtiene la aproximación, en general, es muy difícil tener dicho valor. 

Aplicaciones:



Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas. Análisis en el comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales. Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.

  

Equipos y materiales:

IV. 1.

Respuesta a preguntas: En telecomunicaciones, ¿Cómo representa una función periódica?

se

Una función periódica es representada por: f(t)=f(t+T); Donde: T≠0 (número real, lo menor posible ) Para todo dominio de “t” Luego puede ser representada mediante una suma de armónicos (Serie de Fourier). 2.

La serie de periódica?

Fourier

es

una

función

La Serie de Fourier es una función periódica, debido a que tiene el mismo periodo de su respectiva función f(t) de periodo T. Otro motivo es que esta serie es un tipo especial de series funcionales en las que sus términos son funciones trigonométricas (sen y cos) de variable real (t).

3.

Determinar los coeficientes de Fourier.

Partimos de la forma general de la serie de Fourier:

4.

Utilizar la Identidad de Euler para determinar la forma compleja de la serie de Fourier.

Al final obtenemos:

a0, basta integrar en un periodo T. Y para obtener los coeficientes an y bn se multiplica a cada miembro por: cos(mω o x ) y sen(m ωo x) Para obtener el coeficiente

5.

respectivamente y luego integramos en un periodo T, ayudándonos con las propiedades de las funciones ortogonales.

Sea f (x) una función periódica definida en un intervalo de longitud T continua, excepto posiblemente en un número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas y que posee derivada continua también excepto en número finito de puntos donde tiene discontinuidades finitas. Entones, la serie de Fourier para f(x) converge a f(x) en todo punto de continuidad y en los puntos de discontinuidad la serie de Fourier converge a:

Y

Qué ocurre si la función periódica es discontinua?

obtenemos: 6.

Explicar detalladamente las condiciones de DRICHLET y el teorema de convergencia

Las condiciones de Dirichlet son condiciones suficientes para garantizar la existencia de convergencia de las series de Fourier o de la transformada de Fourier. Estas condiciones son: Condición débil de Dirichlet:



Esta condición plantea que los coeficientes de la serie de Fourier deben ser finitos. Esto se puede demostrar mediante la integral del valor absoluto de la función a evaluar. T

∫|f ( X )|dx