Simulação exame mat.pdf

PROVA MODELO EXAME DISCIPLINA: Matemática A 12º Ano de Escolaridade

Duração da Prova: 150 + 30 min

Data: 25/05/2016

VERSÃO 1

         

Indique de forma legível a versão da prova. A ausência dessa indicação implica a anulação de todos os itens de escolha múltipla. Não é permitido o uso de corretor. Deve riscar aquilo que pretende que não seja classificado. Nos itens de escolha múltipla selecione apenas a alternativa correta ou incorreta conforme o solicitado. É atribuída a classificação de zero pontos às respostas em que apresente mais do que uma opção. Para cada resposta, identifique o grupo e o item. Apresente apenas uma resposta a cada item. Nos itens, em que seja solicitada a escrita de um texto, a classificação das respostas contempla aspetos relativos aos conteúdos, à organização lógico-temática e à terminologia científica. É permitida a utilização de régua, esquadro, transferidor e calculadora gráfica. As cotações dos itens encontram-se na página dois do enunciado da prova. A prova inclui um formulário em anexo.

COTAÇÕES Questões

Cotações

Grupo I 8 questões x 5 pontos

Grupo II 1. 1.1...……………...…………………………………………………………………………….……………………………. 1.2…….……….……………………………………………………………………………………………………………… 1.3…….……….……………………………………………………………………………………………………………… 2. 2.1...……………...…………………………………………………………………………….……………………………. 2.2…….……….……………………………………………………………………………………………………………… 3. 3.1...……………...…………………………………………………………………………….……………………………. 3.2…….……….……………………………………………………………………………………………………………… 3.3…….……….………………………………………………………………………………………………………………

4. ....……………...…………………………………………………………………………….……………………………. 5. 5.1...……………...…………………………………………………………………………….……………………………. 5.2…….……….………………………………………………………………………………………………………………

6. ……………...…………………………………………………………………………….……….……………………….

Total: 40 pontos

12 pontos 12 pontos 14 pontos Total: 38 pontos 15 pontos 15 pontos Total: 30 pontos 12 pontos 12 pontos 16 pontos Total: 40 pontos 16 pontos Total: 16 pontos 12 pontos 10 pontos Total: 22 pontos 14 pontos Total:14 pontos Total: 160 pontos Total : 200 pontos

As docentes: Carla Godinho/ Isabel Braga

Versão 1

Página 2

GRUPO I As cinco questões desta primeira parte são de escolha múltipla. Apresente apenas uma resposta a cada uma das questões. Não apresente cálculos. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correta.

1. Numa turma com 15 raparigas e 7 rapazes, vai ser formada uma comissão com 5 elementos. Pretende-se que essa comissão seja mista e tenha mais raparigas do que rapazes. Quantas comissões diferentes se podem formar? (A)

15

(C) 15C4  7  15C3  7C2

A3  15 A4

(D) 22C3  19C2

(B) 15C4  7  15C3  7C2

2. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis

A S

e B  S  . Sabe-se que P  A   0, 2 e que

 

P B A  0, 2 . Qual pode ser o valor de P( B) ? (A) 0,1

(C) 0,5

(B) 0,3

(D) 0, 7

3. Seja a um número real positivo.



  x  a   0 .

Considere o conjunto S  x  :ln e

Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto S ? (A)   ln 1  a  ,  ln a 

(C)   ,  ln 1  a  

(B)   ln 1  a  ,  ln a 

(D)   ln 1  a  ,  

 x5   é igual a:   xy 2   

 4. Sejam a e b  tal que a  log2 x e b  log4 y . A expressão log 64 

2a  2b 6 4a  2b (B) 6 (A)

Versão 1

3a  4b 6 2a  4b (D) 6 (C)

Página 3

2 x  9 se 0  x  5  5. Seja f uma função de domínio  0,  , definida por: f  x    1 ex se x  5   x Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano-Cauchy permite garantir a existência de, pelo menos, um zero da função f ? (A) 0,1

(C) 4, 6

(B) 1, 4

(D) 6, 7 ' , é dada por f (x)   4  x  .

6. Seja f uma função cuja derivada, f ' , de domínio

2

Qual das seguintes afirmações é verdadeira? (A) O gráfico da função f tem concavidade voltada para cima em

.

(B) A função f tem um máximo relativo em x  4 . (C) O gráfico da função f não tem pontos de inflexão. (D) O gráfico da função f tem um ponto de inflexão de coordenadas  4, f (  4)  . 7. Qual das condições seguintes define uma reta no plano complexo? (A) 3iz  1  2i  0 (B) Arg  z  

(C) z  1  z  i



(D) z  1  4

2

8. Na figura estão representados, no plano complexo, as imagens geométricas dos números complexos z1 , z2 , z3 e z4 . Sabendo que z  2 , qual deles pode ser igual a

8

z

3

z ?

(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 .

Versão 1

Página 4

GRUPO II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

1. Resolva os itens seguintes usando processos analíticos. No plano complexo ao lado, considere:  

 5  20i98  4i cis    2  O ponto P , imagem geométrica do complexo z  3  3i  11    6 

O ponto A , imagem geométrica do complexo w  2cis 

1.1 Mostre que z  2 3  6i e represente-o na forma trigonométrica. 1.2 Seja B a imagem geométrica de w .

Esboce o triângulo  ABP  e calcule a sua área.

          ,   3  Determine  de modo que v  w .

1.3 Considere v  2cis 

2. Seja S o espaço de resultados associado a uma experiencia aleatória e sejam A e B dois acontecimentos possíveis  A  S e B  S  .

 

 1  P  A  1  P  B    P  B   P A B  1  

2.1 Mostre que P A B  





2.2 Uma caixa contém bolas azuis e brancas numeradas com números naturais. Sabe-se que:  o número de bolas azuis é o dobro do número de bolas numeradas com um número par;  entre as bolas numeradas com um número ímpar, 70% são azuis;  entre as bolas numeradas com um número par, dois quintos são brancas; Escolhendo ao acaso uma bola da caixa, qual é a probabilidade de ela ser azul? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Sugestão: Pode utilizar a igualdade enunciada em 2.1. neste caso, deverá começar por caracterizar claramente os acontecimentos A e B , no contexto da situação apresentada.

Versão 1

Página 5

3. Considere, para um certo número real k positivo, a função f , de domínio

, definida por

 3x se x  0  2x 1  e  f  x   ln k se x  0 x 6x    ln   se x  0  x 1   2 Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 3.1 Determine k de modo que lim f  x   f  0  . x0

3.2 Prove que a função g ( x)  f ( x)  8 interseta a interseta a bissetriz dos quadrantes pares no intervalo 2, 1 .

 e 0, .  3  é um extremo relativo da função f no intervalo   

3.3 Mostre que ln 

4. Considere a função f , de domínio 0, , definida por f  x   ln x  cos x  1 . Sabe-se que:  A é um ponto do gráfico de f ; 

a reta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa A , tem inclinação

 radianos; 4

Determine a abcissa do ponto A , recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: 

equacionar o problema;



reproduzir o gráfico ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;



indicar a abcissa do ponto A com arredondamento às centésimas.

5. Na figura está representada em referencial o.n. Oxyz a pirâmide triangular  ABCD  . Sabe-se que: 

a face  ABC  está contida no plano xOy



os pontos A e C pertencem ao eixo Ox



o ponto D tem coordenadas 1,1,5 



uma equação do plano ABD é 3x  y  z  9



uma equação do plano BCD é x  3 y  z  7



o ponto de coordenadas  1, 2, 10  pertence ao plano ACD

5.1 Escreve as equações cartesianas da reta BD Versão 1

Página 6

5.2 Mostre que uma condição que define o plano ACD é 5 y  z  0

6. Considere duas funções g e h , de domínio



.

Sabe-se que :  A reta de equação y  2 x  1 é assintota do gráfico de g ; 

A função h é definida por h  x  

1   g  x  

2

x2

Mostre que o gráfico da função h tem uma assintota horizontal, e determine-a.

FIM

Versão 1

Página 7