Sferno i Složeno Kretanje Tijela

SFERNO KRETANJE TIJELA (obrtanje tijela oko stalne tačke) 1. Definicija i jednačine sfernog kretanja Ako tijelo prilikom kretanja ima jednu tačku koja je nepomična tada to tijelo vrši sferno kretanje. Sve tačke tijela se u tom slučaju kreću po linijama koje se nalaze na koncentričnim srefama čiji su radijusi jednaki rastojanjima posmatranih tačaka od nepomične tačke. Potrebno je jednoznačno definisati položaj tijela koje vrši sferno kretanje. U ovom slučaju tijelo ima tri stepena slobode kretanja, a njegov položaj ćemo definisati preko 3 OJLEROVA UGLA. -

Ugla precesije Ugla nutacije Ugla sopstvene rotacije

To su ustvari uglovi koji definišu međusobni položaj pomičnog sistema , , čvrsto vezani za tijelo u odnosu na nepomični sistem x, y, z pri čemu su ishodišta ta dva sistema poklopljena u nepomičnoj tački O tijela. Međusobni položaj ta dva sistema možemo objasniti preko tri rotacije običnog sistema u odnosu na nepomični sistem. Prva rotacija se dešava oko nepomične ose z za ugao precesije , pri čemu osa pomičnog sistema koja se u početku poklapala sa osom x, zauzima međupoložaj N (čvorna osa), dok osa pomičnog sistema koja se u početku poklapala sa osom y zauzima međupoložaj 1. Druga rotacija za ugao nutacije oko čvorne ose N pri čemu osa međupoložaja 1 prelazi u međupoložaj prelazi u svoj konačni položaj.

2,

se dešava iz

a osa koja se u početku poklapala sa osom z

Trećom rotacijom oko ose za ugao sopstvene rotacije osa koja se poklapala sa osom N doći će u konačan položaj , a osa će zauzeti svoj konačan položaj. Možemo definisati i pojedine ugaone brzine tijela koje su povezane sa ojlerovim uglovima. 1z

=

;

zN

=

;

3

=

Prema tome jednačine sfernog kretanja tijela su:

=

(t) ;

= (t) ;

= (t).

OJLER – DALAMBEROVA TEOREMA Ojler – dalamberova teorema glasi: Premještanje tijela koje ima jednu nepomičnu tačku iz jednog u drugi položaj može se izvršiti sa samo jednom rotacijom oko ose koja prolazi kroz pomenutu nepomičnu tačku. Dokaz: Tijelo koje ima jednu nepomičnu tačku ćemo presjeći jednom sferom, položaj tijela će biti jednoznačno određen položaju dviju tačaka koje se nalaze na toj sferi čiji se centar poklapa sa nepomičnom tačkom tijela. Neka je prvi položaj tijela određen lukom radijusa sfere koji spaja tačke A i B u tom položaju, tj. lukom ̂ , a u drugom položaju neka je taj luk ̂ . Tačke A1 i A2 kao i tačke B1 i B2 ćemo spojiti lukom radijusa sfere. Na dobijene lukove ̂ i ̂ povući ćemo simetrale SA1A2 i SB1B2 . Te simetrale koje su radijusi sfere će se presjecati u tački C. ̂ = ̂

;

̂ = ̂ ;

̂ = ̂

To znači da su sferni trouglovi CA1B1 i A1CB1 =

CA2B2 podudarni.

A2CB2

Ako ovom izrazu dodamo ugao A1CB2 dobiti ćemo

B1CB2 =

A1CA2

Pošto su tačke tijela ( A i B) proizvoljne onda će dobijeni izraz važiti za sve tačke tijela, to znači, da se tijelo može premjestiti iz jednog u drugi položaj sa samo jednom rotacijom oko ose OC. Tu osu nazivamo osom konačne rotacije. Stvarno sferno kretanje se može posmatrati kao niz elementarnih rotacija tijela oko ose koja prolazi kroz nepomičnu tačku tijela i koja u opštem slučaju mijenja svoj položaj. Tu osu nazivamo osom trenutne rotacije.

Ugaonu brzinu tijela pri sfernom kretanju definisat ćemo u obliku:

Pri tome ⃗ j jedinični vektor duž ose trenutne rotacije, a brzine na osu.

projekcija vektora ugaone

INTENZITET UGAONE BRZINE TIJELA IZRAŢEN PREKO OJLEROVIH UGLOVA Analizirati ćemo vezu između intenziteta trenutne ugaone brzine tijela pri sfernom kretanju iz Ojlerovih uglova. Sabrati ćemo komponente ugaone brzine 1 i 3 čija rezultanta iznosi I koja leži u ravni zO . Pošto je z, tada je i ravan zO okomita na osu N.

PROJEKCIJE VEKTORA UGAONE BRZINE NA OSU POMIČNOG I NEPOMIČNOG SISTEMA Projekcije vektora ugaone brzine biti :

na ose nepomičnog sistema pri sfernom kretanju će

N

Projekcije vektora

na ose pokretnog sistema će biti:

BRZINA TAČKE PRI SFERNOM KRETANJU TIJELA Pošto sferno kretanj možemo posmatrati kao zbir elementarnih rotacija tijela oko trenutne ose rotacije, tada će trenutni vektor brzine neke tačke tijela biti isti kao u slučaju rotacije tijela oko stalne ose, čiji se položaj u tom trenutku poklapa sa položajem trenutne rotacije sfernog kretanja.

= [⃗ ,

]

...(1)

Pri tome je r radijus vektora posmatrane tačke M. =

r sin

=

h

(⃗ ,

)

....(2)

h - rastojanje tačke od trenutne ose rotacije .

Izraz (1) možemo pisati u obliku determinante prikazane u nepomičnom i pomičnom sistemu. -

Nepomični sistem –

- i , j, k su jedinični vektori nepomičnog koordinatnog sistema, a x,y,z koordinate posmatrane tačke M.

-

Pomični sistem –

- i 1, j1, k1 – jedinični vektori pokretnog sistema, a , , koordinate posmatrane tačke u pomičnom koordinatnom sistemu.

NEPOMIČNI I POMIČNI AKSOID Pri sfernom kretanju tijela trenutna obrtna osa opisuje konusnu površ čiji se vrh poklapa sa nepomičnom tačkom tijela. Ako se ta površ posmatra u nepomičnom sistemu tada se radi o nepomičnom aksoidu, a ako se ta površ posmatra u pomičnom sistemu čvrsto vezanom za tijelo, tada je riječ o pomičnom aksoidu. Jednačinu aksoida ćemo dobiti iz uslova da tačke tijela koje u datom položaju leže na pravcu obrtne ose imaju brzinu jednaku 0. =0 U nepomičnom koordinatnom sistemu:

=

=

y

z–

z

y=0

z

x–

x

z=0

x

y–

y

x=0

....(1)

...(2)

Izraz (1) predstavlja jednačinu trenutne obrtne ose u nepomičnom koordinatnom sistemu. Vidi se da ta osa prolazi kroz koordinatni početak.

Na osnovu izraza (2) , eliminisanjem vremena t kao parametra iz komponenata ugaone brzine tijela dobit ćemo jednačinu nepomičnog aksoida u obliku f (x,y,z) = 0 ...(3)

U pomičnom koordinatnom sistemu će biti: –

=

=

=0

–

=0

–

=0

....(4)

...(5)

Izraz (5) predstavlja jednačinu trenutne obrtne ose u pomičnom sistemu. Eliminacijom vremena t kao parametra, iz izraza (5) dobit ćemo jednačinu pomičnog aksoida u obliku g ( , , ) = 0 ....(6) Pri sfernom kretanju tijela se pomični aksoid kotrlja po nepomičnom bez klizanja, a zajednička dodirna izvodnica se poklapa sa trenutnom obrtnom osom . Kao primjer možemo navesti slučaj kotrljanja kružnog konusa po nepomičnoj ravni.

U ovom slučaju nepomični aksodi se poklapa sa nepomičnom ravni (R), a pomični se poklapa sa omotačem konusa.

UGAONO UBRZANJE TIJELA PRI SFERNOM KRETANJU Vektor ugaonog ubrzanja ćemo dobiti diferenciranjem vektora ugaone brzine tijela po vremenu.

=

⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗ j )

(

⃗⃗⃗⃗ j +

=

⃗⃗⃗

...(1)

Izvod jediničnog vektora ⃗⃗⃗

= [ ⃗ ' , ⃗ j ] ... (2)

pri čemu je

⃗ ' trenutna ugaona brzina rotacije obrtne ose

na kojoj leži vektor

⃗ j.

Na taj način će drugi član u izrazu (1) biti : ⃗⃗⃗

[⃗ ' , ⃗ j ] = [⃗ ' , (

=

⃗⃗⃗⃗ j +

=

, ⃗ j)] = [ ⃗ ', ⃗ ]

[ ⃗ ', ⃗ ] ...(3)

Iz izraza (3) se vidi da se vektor ugaonog ubrzanja sastoji od dvije komponente i to:

⃗⃗⃗ j ...(4)

1=

koja leži na osi 2=

i karakteriše promjenu intenziteta ugaone brzine

i karakteriše promjenu pravca vektora ugaone brzine

Pri tome možemo pisati:

1

i od komponente

[ ⃗ ', ⃗ ] ...(5)

koja je okomita na osu

=

⃗

1+

2

2

.... (6)

⃗.

Vektor ugaonog ubrzanja možemo dobiti na drugačiji način, ako diferenciramo vektor ugaone brzine prikazan u nepomičnom sistemu:

... (7) U pomičnom sistemu će biti :

⃗ =

= = ̇

1

⃗⃗⃗

1

+

1

= ̇

1

+ ̇

1

⃗1

+

+ ̇

1

+ ̇ ⃗ 1+

+ ̇ ⃗ 1+

[⃗

,

̇1 + 1]

+

[⃗

̇1 +

,

1]

+

⃗̇ 1 [⃗

, ⃗ 1]

A će biti :

Vektor

= [⃗ , (

1

+

1

⃗ 1) ] = [ ⃗ , ⃗ ] = 0

+

Prema tome:

= ̇

1

+ ̇

1

+ ̇ ⃗1

... (8)

UBRZANJE TAČKE TIJELA KOJE VRŠI SFERNO KRETANJE Ubrzanje tačke tijela koje vrši sferno kretanje dobiti ćemo diferenciranjem izraza za brzinu tačke

= =[ =[

⃗

=

[⃗ ,

⃗⃗⃗

] + [⃗ ,

,

,

]

] + [⃗ ,

] ] ...(1)

Pošto se vektor ugaonog ubrzanja tijela sastoji od dvije komponente tijela izraz (1) možemo pisati u obliku:

=[

1

,

]+[

2,

] + [⃗ ,

] ...(2)

1

i

2

, tada

Vidimo da se ubrzanje tačke u ovom slučaju sastoji od 3 komponente i to rot

=[

1

rot 2

=[

2,

akp

= [⃗ ,

=

1

1

rot

+

,

] ] ] = [⃗ [⃗ , rot 2

akp

+

]] ...(3)

Rotaciona komponenta ubrzanja rot će imati pravac tangente na kružnicu čija je ravan okomita na osu E i čiji se centar nalazi na toj osi. Aksipetalna komponenta ubrzanja je uvijek usmjerena okomito na osu . Intenziteti pojedinih vektora su: rot

=

akp

=

r sin sin

( ,

)=

(⃗ ,

hE

)=

=

2

h

U opštem slučaju vektori rot i akp nisu međusobno okomiti, tako da intenzitet ubrzanja određujemo po kosinusnoj teoremi:

√(

)

(

)

(

)

Intenzitet ubrzanja tačke možemo dobiti i sabiranjem projekcija svih komponenti ubrzanja na pojedine ose, a zatim ukupno ubrzanje odrediti u obliku:

=√

;

=√

KRETANJE SLOBODNOG TIJELA U PROSTORU Definicija i jednačina kretanja slobodnog tijela u prostoru Slobodno tijelo u prostoru podrazumijeva kretanje tijela u prostoru pri čemu ne postoje nikakve prepreke (veze) koje ograničavaju to kretanje.

Ovakav slučaj kretanja tijela može se posmatrati kao zbir translacija tijela zajedno sa usvojenim polom 01 i sfrnim kretanjem tijela oko pola 01. U tom smislu ćemo pomenuti Šalovu teoremu koja glasi : „Svako premještanje slobodnog tijela iz jednog u drugi poloţaj se moţe izvršiti sa jednom translacijom zajedno sa usvojenim polom translacije i jednom rotacijom oko ose koje prolazi kroz taj pol.“ Dokaz: Imajući u vidu da je položaj tijela potpuno određen položajem trougla ABC koji je kruto vezan za tijelo tada posmatrano kretanje tijela, možemo analizirati posmatranjem kretanja tog trougla. Predpostavit ćemo da se u cilju premještanja tog trougla iz početnog u krajnji položaj prvo izvršava translacija zajedno sa polom A sve dok tačka A ne dođe u položaj A’, A1 tj. u svoj konačni položaj.

Nakon toga u skaldu sa Ojler-Dalamberovom teoremom izvršit ćemo rotaciju tijela odnosno trougla ABC oko neke ose p koja prolazi kroz pol A sve dok tačke B i C ne zauzmu svoje konačne položaje B1 i C1.

Na taj način možemo formirati sljedeće jednačine kretanja. ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

}

…( )

Poznavajući jednačine kretanja možemo doći i do veličina koje karakterišu kretanje tijela kao cjeline, a to su brzina i ubrzanje polo translacije kao i ugaone brzine i ubrzanje tijela, kao veličine vezane za sfernu komponentu kretanja tijela.

Brzina tačke pri kretanju slobodnog tijela u prostoru Neka slobodno tijelo vrši kretanje u prostoru i neka je brzina tijela pola translacije v01 i ugaona brzina tijela .

Odredit ćemo brzinu neke proizvoljne tačke M tijela. Poći ćemo od relacije iz koje se vidi veza pojedinih radijus vektora ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ... (1)

Izraz (1) možemo napisati ⃗ =⃗

+⃗

01

….(2)

pri čemu je brzina tačke M1 u odnosu na pol O1 u pravcu tangente na kružnicu koja je okomita na pravac Ω čiji centar leži na osi Ω i koja prolazi kroz tačku M.

Između projekcija dviju tačaka tijela na pravac koji spaja te dvije tačke možemo pisati ⃗ =⃗

+⃗

01

=⃗

+ [⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

ovaj izraz ćemo projektovati na pravac O1M. (⃗ ) O1M = (⃗ Pošto je ⃗

01

(⃗ ) O1M = (⃗

) O1M + (⃗

01

) O1M

okomito na O1M, slijedi (⃗

01

) O1M = 0

) O1M …(3)

Vidimo da su projekcije brzina dviju tačaka slobodnog tijela koje se kreće u prostoru na pravac koji spaja te tačke međusobno jednake.

NEZAVISNOST VEKTORA UGAONE BRZINE OD POLA TRANSLACIJE Neka je odabrani pol translacije O1 i neka u tom slučaju ugaona brzina tijela ω1

Neka je u tom slučaju brzina pola translacije ⃗ tijela ⃗

⃗

, tada je brzina neke proizvoljne tačke M

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] … (1)

Brzina neke tačke O2 tijela ⃗

⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] …(2)

Ako tačku O2 usvojimo kao pol translacije sa ugaonom brzinom tijela ω2 tada je brzina tačke M ⃗

⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] …(3)

Iz izraza (1), (2) i (3) dobijamo ⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] = ⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] + [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

[ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )] = [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗

…(4)

Vidimo da će se vektor ugaone brzine tijela koje vrši slobodno kretanje u prostoru biti nezavistan od izbora pola translacije.

Iz ovog slijedi da će i vektor ugaonog ubrzanja biti nezavistan od izbora pola translacije.

=

⃗⃗⃗

...(5)

Prema tome jedino će od pola translacije zavisiti brzina i ubrzanje translacije. TRENUTNA ZAVOJNA OSA I TRENUTNO ZAVOJNO KRETANJE Postavlja se pitanje da li postoji takav pol translacije za koji će brzina do pola biti kolinearna sa vektorom ugaone brzine. Neka je zadat pol translacije O1 i njegova brzina ⃗

Neka je ugao između vektora ω i ⃗

jednak α.

Neka je (R) ravan na kojoj leži pol O1, koja je okomita na vektor ω .Potražit’ ćemo tačku A na ravni (R) za koju će pol translacije ležati na pravcu vektora ⃗ . Pošto je ⃗

=⃗

+⃗

; ⃗

01

=⃗

’+⃗

’’ + ⃗

01

tada je s obzirom na rečenu pretpostavku: ⃗

’+⃗

01

⃗

=0;

01

=-⃗

Pri tome ⃗ ’ komponenta ⃗ u pravcu vektora ⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sin ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

=

sinα

’ ;

[⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] = - ⃗

’ … (1)

brzine koja leži u ravni (R) , a ⃗

’’ komponenta koja leži

o sinα

…(2)

Izrazi (1) i (2) određuju položaj tačke A koji predstavlja novi pol translacije za koji su vektori ugaone brzine i brzine pola translacije kolinearni i leže na osi p. Osa p predstavlja trenutnu zavojnu osu, a vidimo da se općim slučajem kretanje tijela svodi na trenutno zavojno kretanje oko zavojne ose.

UBRZANJA TAČAKA SLOBODNOG TIJELA ZA OPŠTI SLUČAJ KRETANJA Poći ćemo od izraza za brzinu tačke ⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

Diferenciranjem po vremenu ⃗

⃗

⃗

⃗

[⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] + (⃗

01 rot

)

+ (⃗

[⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] …(1)

⃗⃗⃗

01 akp

)

…(2)

Intenziteti pojedinih komponenti ubrzanja su: (⃗ (⃗

01 rot

)

=

01 akp

)

=

hE 2

h

SLOŢENO KRETANJE TAČKE Prenosno relativno i apsolutno kretanje Neka tijelo K vrši slobodno kretanje u prostoru. Pri tome ćemo to kretanje posmatrati u odnosu na nepomični sistem xyz. Neka posmatrana tačka M vrši kretanje u odnosu na tijelo K, tj. u odnosu na koordinatni sistem koji je kruto vezan za tijelo K. U ovom slučaju kažemo da tijelo K odnosno sistem vrši prenosno kretanje, a da tačka M vrši relativno kretanje u odnosu na tijelo k, tj. u odnosu na prenosni koordinatni sistem .

Neka tijelo K ima prenosnu ugaonu brzinu ⃗ p i ubrzanje ⃗ ,⃗ .

p,

a neka pol translacije ima O1 ,

Potrebno je analizirati vezu između apsolutnog kretanja tačke M tj. kretanja u odnosu na nepomični sistem x,y,z, zatim prenosno i relativno kretanje tačke. TEOREMA O SLAGANJU BRZINA PRI SLOŢENOM KRETANJ TAČKE Poći ćemo od relacije koja povezuje radijus vektora posmatrane tačke M i radijus vektora pola O1 koji predstavlja pol translacije tijela K koje vrši prenosno kretanje. ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vektor ⃗ = M 1 + M 1 + M ⃗ 1 pri čemu su vektori pokretnog koordinatnog sistema, tako da ćemo imati ⃗

⃗

M 1

+

M 1

+

M

⃗1

1

,

1

, ⃗ 1 jednaki vektorima

...(1)

Diferenciranjem izraza (1) po vremenu dobiti ćemo ⃗

̇M

⃗

1

̇M

+

1

+ ̇M ⃗ 1 +

̇ +

M 1

A

̇ +

M 1

M

⃗ ̇ 1 ... (2)

B

Vektor A u izrazu (2) predstavlja relativnu brzinu tačke M u odnosu na prenosni sistem ⃗ = ̇M

1

+

̇M

1

+ ̇M ⃗ 1 .. (3)

M [ ⃗⃗⃗ p , 1 ]

Izraz B =

+

M [⃗⃗⃗ p , 1 ]

+

M [⃗⃗⃗ p ,

⃗ 1 ] = [⃗⃗⃗ p , (

M 1

+

M 1

+

M

⃗ 1)]

= [⃗⃗⃗ p , ⃗ ] ⃗ = [⃗⃗⃗ p , ⃗ ] …(4)

Dobijeni vektor predstavlja brzinu tačke M’ tijela K koja se u posmatranom trenutku poklope sa tijelom tačke M u odnosu na pol brzina 1. Izraz (2) se sada može napisati ⃗

⃗

+⃗

S druge strane

+⃗

01

.. (5)

⃗

+⃗

01

= ⃗

...(6)

pri čemu je ⃗ u izrazu (6) apsolutna brzina tačke M' tijela K koje se u datom trenutku poklapa sa posmatranom pokretnom tačkom M. Tu brzinu nazivamo prenosnom brzinom. Prema tome možemo pisati ⃗ =⃗ + ⃗

...(7)

Izraz (7) predstavlja teoremu o slaganju brzina pri složenom kretanju tačke iz koje se vidi da je apsolutna brzina tačke jednaka zbiru prenosne i relativne brzine.

TEOREMA O SLAGANJU UBRZANJA PRI SLOŢENOM KRETANJU TAČKE (KORIOLSOVO UBRZANJE) Poći ćemo od izraza (2) iz prethodnog poglavlja ⃗

̇M

⃗

̇M

+

1

1

+ ̇M ⃗ 1 +

M [⃗⃗⃗ p , 1 ]

+

M [⃗⃗⃗ p ,

1]

+

M [⃗⃗⃗ p ,

⃗ 1 ] …(1)

Izraz (1) ćemo diferencirati po vremenu ⃗

̈M

⃗

+ ̇ M [⃗⃗⃗ p , +

1]

1

1

+ ̈ M ⃗ 1 + ̇ M [⃗⃗⃗ p ,

+ ̇ M [⃗⃗⃗ p ,

⃗ 1] +

M [⃗ p ,

+ ̈M

M [⃗⃗⃗ p

1]

[⃗⃗⃗ p ,

1]

+ ̇ M [⃗⃗⃗ p ,

+ ̇M [⃗⃗⃗ p , ⃗ 1 ] +

M [⃗ p , 1 ]

1 ]]

+

M [ ⃗⃗⃗ p

[⃗⃗⃗ p ,

1 ]]

+

1]

+

M [ ⃗⃗⃗ p

+ ̇M [⃗⃗⃗ p , ⃗ 1 ] + M [⃗ p ,

1]

+

[⃗⃗⃗ p , ⃗ 1 ]] …(2)

Vektor u gore navedenom izrazu predstavlja relativno ubrzanje posmatrane tačke M u odnosu na prenosno tijelo. ⃗ = ̈M

1

+ ̈M

+ ̈ M ⃗ 1 ...(3)

1

Vektor ⃗ = 2 [ ( ̇ M

1

+ ̇M

1

+ ̇M ⃗ 1 )] = 2 [⃗⃗⃗ p , ⃗ ] … (4)

Izraz 4 prikazuje Koriolsovo ubrzanje ⃗

= 2 [⃗⃗⃗ p , ⃗ ] ..(5)

Vektor ⃗ = [⃗ p , (

M 1

+

M 1

+

M

⃗ 1 )] = [⃗ p , ⃗ ] …(6)

Dobijeni vektor predstavlja rotacionu komponentu ubrzanja tačke M’ u odnosu na pol 01 (⃗

01 rot

)

= [⃗ p , ⃗ ] ...(7) u izrazu (2) će biti:

Vektor ⃗ = [⃗⃗⃗ (⃗

p

[⃗⃗⃗ p ,(

01 akp

)

= [⃗⃗⃗

M 1

+

M 1

+

M

⃗ 1 )] = [⃗⃗⃗ p [⃗⃗⃗ p , ⃗ ]

…(8)

[⃗⃗⃗ p , ⃗ ] …. (9)

p

Dobijeni vektor predstavlja aksipetalnu komponentu ubrzanja tačke M u odnosu na pol 01 (izraz (9)). Sabiranjem izraza (7) i (9) sa vektorom AO1 dobiti ćemo apsolutno ubrzanje tačke M tijela K koje predstavlja prenosno ubrzanje. ⃗

=⃗

+ (⃗

⃗

=⃗ +⃗ +⃗

01 rot

)

+ (⃗ …(11)

01 akp

)

...(10)

Izraz (11) predstavlja teoremu o slaganju ubrzanja pri složenom kretanju tačke iz koje se vidi da je apsolutno ubrzanje tacke jednako zbiru prenosnog, relativnog i koriolsovog ubrzanja. Ova teorema se još i naziva Koriolsovom teoremom. Koriolsovo ubrzanje će biti jednako nuli u sljedećem slučaju: 1. Kada je , odnosno kada prenosni sistem ima permanentnu ili trenutnu translaciju. 2. Kada je 3. Kada je ⃗⃗⃗⃗⃗ || ⃗⃗⃗

SLOŢENO KRETANJE TIJELA Ako neko tijelo istovremeno učestvuje u dva ili više kretanja tada kažemo da ono vrši složeno kretanje. Analiziranjem složenog kretanja tijela pri čemu ćemo posmatrati slaganje translacija tijela, rotacija kao i slaganje rotacije i translacije. Slaganje translacija tijela Neka tijelo A vrsi translaciju u odnosu na nepomični koordinatni sistem, pri čemu je u datom trenutku brzina translacije ⃗⃗⃗⃗ i neka tijelo B u odnosu na tijelo A vrši translaciju relativnom brzinom translacije ⃗⃗⃗⃗⃗

Pošto tijelo A vrši translaciju tada sve njegove tačke imaju brzinu ⃗⃗⃗⃗ . Na isti način sve tačke tijela B imaju relativnu brzinu ⃗⃗⃗⃗ u odnosu na tijelo A, pa tako i tacka tijela B. Ako za tačku

primjenimo teoremu o slaganju brzina tada će biti:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

( )

I za bilo koju drugu tačku tijela B, brzina će biti ista kao i u izrazu (1). To znači da će tijelo vršiti translaciju kao apsolutno kretanje. Ako tijelo učestvuje u 3 ili više translacije istovremeno, tada će ukupno kretanje biti također ∑ ⃗⃗⃗ ( ) translacija sa apsolutnom brzinom kretanja

Slaganje rotacija tijela a) Slaganje rotacija oko osa koje se sijeku Neka tijelo A vrši rotaciju oko stalne ose ugaonom brzinom ⃗⃗⃗⃗⃗ , a neka tijelo B vrši rotaciju u odnosu na tijelo A ugaonom brzinom ⃗⃗⃗⃗⃗ pri čemu se pravci vektora ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗⃗ sijeku.

⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

( )

Posmatrat ćemo brzinu neke tačke M tijela B, ta brzina će biti posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗⃗ komponenta brzine tačke M uslijed ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ (1). Komponenta brzine tačke M kao posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ će biti: ⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

( )

Tačka O se nalazi na presjeku pravaca vektora ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗⃗ tako da je brzina tačke O jednaka nuli. To znači da će rezultujuće kretanje tijela B u posmatranom trenutku biti trenutna rotacija oko ose koja prolazi kroz tačku O. Trenutna brzina tačke M je : [ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

( ) ; ⃗ - trenutna ugaona brzina tijela B.

Iz (1),(2),(3) možemo pisati (imajući u vidu da je ukupna brzina tačke M posljedica ugaonih brzina ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗⃗ ) [ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

[⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ( )

I u slučaju kada imamo slaganje 3 ili više rotacija oko osa koje se sijeku u jednoj tački rezultujuće kretanje će biti također rotacija oko ose čiji pravac prolazi kroz tu presječnu ∑ ⃗⃗⃗⃗ ( ) tačku, a ukupna brzina će biti: ⃗ b) Slaganje 2 rotacije oko paralelnih osa sa istim smjerovima ugaonih brzina Neka tijelo istovremeno učestvuje u dvije rotacije oko paralelnih osa sa ugaonim brzinama. ⃗⃗⃗⃗⃗ i ⃗⃗⃗⃗⃗

Brzina tačke A će biti posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

Brzina tačke B će biti posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

Vidimo da u ovom slučaju tijelo vrši ravno kretanje pri čemu je ukupna ugaona brzina tijela ̅̅̅̅ ( ) Trenutni pol brzina tijela će se nalaziti na duži ̅̅̅̅ između tačaka ̅̅̅̅, a njegov položaj je određen: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

c) Slaganje 2 rotacije oko paralelnih osa sa suprotnim smjerovima ugaonih brzina Neka tijelo istovremeno učestvuje u dvije rotacije oko paralelnih osa sa ugaonim brzinama , pri čemu su one suprotnog smjera i pri čemu

Brzina tačke A je posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ , a brzina tačke B je posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

Brzine tačaka A i B će biti paralelne i istog smjera. Tijelo će vršiti ravno kretanje sa ugaonom brzinom: ̅̅̅̅ ( ) Tačka P kao pol brzine se nalazi na pravcu AB izvan duži AB sa strane tačke sa manjom brzinom, njen položaj određen je izrazom: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

d) Slaganje dvije rotacije oko paralelnih osa sa suprotnim smjerovima ugaonih brzina istog intenziteta (kinematski spreg) Neka tijelo učestvuje istovremeno u dvije rotacije oko paralelnih osa sa ugaonim brzinama suprotnog smjera i istog intenziteta. Takav oblik kretanja nazivamo kinematskim spregom.

Brzina tačke A će biti posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ : ⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

Brzina tačke B će biti posljedica ugaone brzine ⃗⃗⃗⃗⃗ : ⃗⃗⃗⃗

[⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ =

=

̅̅̅̅ =

̅̅̅̅

Tijelo će u ovom slučaju vršiti translaciju (stalnu ili trenutnu) tako da je njegova ugaona brzina jednaka nuli. Također vidimo da ovdje postoji analogija sa spregom sila pri čemu su vektori ugaonih brzina analogni silama, a vector brzine neke tačke tijela, tj. bilo koje tačke tijela ima analogiju sa vektorom sprega sila.

SLAGANJE TRANSLACIJE I ROTACIJE a) Slaganje translacije i rotacije kada je ⃗⃗⃗

⃗

Neka tijelo učestvuje istovremeno u jednoj translaciji i rotaciji pri čemu je brzina pola translacije okomita sa ugaonom brzinom ⃗ .

U ovom slučaju ćemo vector zamijeniti sa kinematskim spregom koji čine vektori ⃗ ’ i ⃗ ’’, pri čemu je ⃗ ’ = - ⃗ = - ⃗ ’’ i pri čemu ⃗ ’ leži na pravcu vektora ⃗ , a vector ⃗ ’’ leži na pravcu koji prolazi kroz neku tačku A tako da je zadovoljen uslov [⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ]

Vektori ⃗ ’ i ⃗ će se poništiti, pa ćemo kao rezultat dobiti vector ⃗ ’’ = ⃗ koji prolazi kroz tačku A, što znači da se ovakvo kretanje svodi na rotaciju oko ose koja je paralelna zadanoj osi rotacije i koja prolazi kroz tačku A.

b) Slaganje rotacije i translacije kada su vektori ⃗⃗⃗ i ⃗ paralelni (zavojno kretanje tijela) Neka tijelo istovremeno učestvuje u translaciji i rotaciji, pri čemu su vektori ⃗ i

paralelni.

U tom slučaju će bilo koja tačka tijela vršiti kretanje po zavojnoj liniji tako da to kretanje nazivamo zavojnim kretanjem. Ako su vektori ⃗ i istog smjera, tada se radi o desnom zavojnom kretanju, a ako su suprotnog smjera, riječ je o lijevom zavojnom kretanju.

Analizirati ćemo zavojno kretanje za slučaj kada je ⃗ i

konstantno:

Za taj slučaj posmatramo razvijenu putanju tačke za period kretanja T. ukupna brzina tačke će biti: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Pri čemu je ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ komponenta brzine uslijed rotacije ugaone brzine ⃗ . rot =

R

uk =

√

, pri tome je R rastojanje posmatrane tačke od pravca na kojem leži vektor ⃗ .

Ugao uspona zavojne putanje tačke određen je izrazom: tg

=

=

krak zavojne putanje će biti h = 2R

h=

tg

= 2R

;

Period zavojnog kretanja T =

c) Slaganje rotacije i translacije kada je ⃗

⃗⃗⃗ , ⃗

Neka pri istovremenoj rotaciji i translaciji tijela vrijedi da je ⃗

⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗

⃗

U tom slučaju ćemo vektor ⃗ rastaviti na dvije komponente, pri čemu je komponenta ⃗

⃗ , a ⃗ '' leži na pravcu vektora ⃗ . Pri tome je:

‘=

sin

‘’ =

cos

Komponentu

' ćemo zamijeniti sa kinematskim spregom kojeg čine vektori ⃗ ' i ⃗ ''.

⃗ ' = - ⃗ = - ⃗ '' , pri čemu vector ⃗ ' leži na pravcu vektora ⃗ , a vektor ⃗ '' prolazi kroz tačku A, pri čemu je [ , OA] = ' Vektori ⃗ i ⃗ ' se poništavaju, pa kao rezultat svega ostaju vektori ⃗ '' = ⃗ i '' koji čine zavojno kretanje tijela oko ose kroz tačku A. Ako je ugao oštar – desno zavojno kretanje, a ako je ugao tupi – lijevo zavojno kretanje. Iz ovog slučaja vidimo da se opšte kretanje tijela svodi na zavojno kretanje.