Set de Problemas de hidraulica

“UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA” FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS AGRARIAS

“ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGRÍCOLA”

TEMA ENCARGADO. 01. Problemas De Análisis Dimensional Y Similitud Hidráulica

HIDRAULICA (RH - 441)

ASIGNATURA

:

PROFESOR

: ING. M. Sc. PASTOR WATANABE, Jorge Edmundo.

ALUMNO

:

HUAMAN BONIFACIO, Talión

SEMESTRE

:

2009 - I

AYACUCHO - PERÚ 2009

Problemas De Análisis dimensional Y Similitud Hidráulica 01.- Establecer dimensionalmente la expresión Solución Como:

t = f (u, v, L) a

b

c

t = u *v *L 1 0 -2

Donde:

a a -2a

b

-b

c

F T L = (F T L) (L T) (L)

Igualando los exponentes F L T se obtiene: 1= a , a = b , -2 = -2a + b + c de donde c = -1 Sustituyendo:

-1

t=uvL t=u v L

t = u dv dy

02.- Establecer la expresión del numero de Froude al ser este función de la velocidad v, la aceleración de la gravedad g, y de la longitud L. Solución NF = f (v, g, L) a b

c

NF = k v g L 0

Donde :

0

a

-a

b

-2b

c

L T = ( L T ) ( L T ) (L)

Igualando los exponentes L T se obtiene: 0 = a + b + c , 0 = -a + (-2b) de donde a = -2b b = c , a = -2c , c = c Sustituyendo: -2c c c

NF = k v g L V2   N F  K   L.g 

c

03.- Establecer la expresión del numero de Weber, si es función de la velocidad v, la densidad ℓ, de la longitud L, y de la tensión superficial D. Solución   .L.V

Sol. N w  K  N w  K  V ,  , L,  



M 0 F 0 L0  K L .T 1





2



 . M .L  a

  

3 b

d

M 0 F 0 L0  K La  3b  c .T  a  2b .M b  d

De donde: 0 = a – 3b + c 0 = -a – 2d 0=b+d Reemplazando: d N w  K V 2 . .L. 1  Nw

  .L.V  K   

2

  

d



.Lc M .T 2





d

5. Determinar las escalas de velocidad, gasto y fuerzas, para un modelo construido a escala le = 100 de una obra de excedencias que descargará un gasto de 10 000m3/seg. Solución: Lr 

Lm 1  L p 100

Vp

NF 

2

2



g .L p

Vm g .L m

2

 Qm   QP       AP    Am  LP Lm

2

 Q P  2  Qm  2 LP



5

 Qm   QP

Lm

5

2

  Lm      LP

  

5

 Qm  1    100 5  QP  Qr  10 5 m 3 / seg Hallando velocidad de relación: 2 2 Vp Vm NF   Lp Lm

Vm

2

Vp

2

Hallando relación de fuerzas:



Lm LP

2  .Vm  .V P  P P 2 F p  .V m 2  .V P 2

e e

P



FP

1 100

P



Fm Fm

2

2

VP  Vm



V P .FP V m .Fm  AP Am  VP   Vm

2

2

  Lm  F      m FP   LP 

Reemplazando: 2

 1  10     Fr  100  2

Fr 

1 100

06.- Un barco cuyo casco tiene una longitud de 140m, ha de moverse a 7.77m/seg. ¿a que velocidad debe remolcarse en agua un modelo construido a una escala de 1:30?

Solución: Datos: Vp = 7.77m/seg Esc = 1/30 = Lm/Lp Vm = ?? En este problema predomina la fuerza de inercia y gravitatoria por tanto las dimensiones del prototipo y modelo se igualan mediante Froude.

Vm2 = Vp2(Lm/Lp) Vm2 = (7.77)2(1/30)

07.- Se espera m/seg., a)

Vm = 1.418 m/seg

ha construido un modelo de torpedo a escala 1:4, se que el prototipo se mueva a una velocidad de 7 en agua a 15º. Se pide: Cual debe ser la velocidad en el modelo, si el ensayo se hace en un canal de corriente a 15ºC?.

Escala=Ln=1:4 Vp=7m/s T0=150C Vm=? Solución Aplicando Nº de froude

Elevando al cuadrado = Elevando al cuadrado

Remplazando valores

Problemas De Impulso Y Cantidad De Movimiento 1. Una tubería de diámetro interior de 0.76 m, presenta una bifurcación en dos ramas 2 y 3 que tienen una llave. La carga es de 130 metros de agua. La tubería está anclada en una masa de concreto. Calcular la magnitud y posición de las fuerzas sobre la masa del anclaje. a) si las llaves dos y tres están cerradas b) si la llave 3 está cerrada y si fluye un caudal de 4.8 m3/s por la llave 2. c) Si las llaves están abiertas con un caudal de 4.8 m3/s , en el tramo 2 y de 0.62 m3/s, en el 3. 1

D2= 0.5

120º

2 D3 = 0.76 3

SOLUCIÓN Parte A: si las llaves dos y tres están cerradas 3 F3 60º 2 F2 1

  0.76 2  0.454m 2 4   0.5 2 A2   0.196m 2 4   0.76 2 A3   0.454m 2 4 A1 

F1 Calculo de las fuerzas Calculo de la presión en cada punto del sistema p h  p  hx p  130m  1000 Kg 3  130000 Kg 2 m m Kg p1  p 2  p 3  130000 m2

Calculo del área de cada sección

F  F  P A A F 1 130000  0.454  59020 P

F2  130000  0.196  25480 F3  130000  0.454  59020

Descomponiendo las fuerzas en el punto 3

59020cos 60º

60º

59020sen60º

Calculo del modulo y posición de la fuerza

F  4030 2  51112 .819 2 F  51271.446

Hallando las fuerzas en X-Y

59020  25480  FX  59020 cos 60º FX  4030 FY  59020sen60º  51112 .819 FY  51112 .819

 51112 .819    tg 1    4030    85º 29´30"

Parte B: si la llave 3 esta cerrada y si fluye un caudal de 4.8 m3/s por la llave 2. D=0.76 1

D=0.5 2 D= 0.76 3

De los datos del problema h= 130 m 3 Q  4.8 m

seg

Q1  Q2 A1V1  A2V2  4.8 m

3

seg Velocidades en el punto 1 y 2 Q Q V   A   D2 4 3 4 .8 m seg V1   10.573 m seg 0.454m 2 3 4 .8 m seg V2   24.490 m seg 0.196

Presión en el punto 1 P  h P1  1000 Kg 3  130m m P1  130000 Kg 2 m Presión en el punto 2 Por Bernoulli Z1 

V12 P1 V2 P   Z 2  2  2  H f1 2 2g  2g 

10.5712 24.490 2 P2  130   2  9.81 2  9.81  P2  105128.860

Calculo de las fuerzas en los puntos F1  130000  0.454  59020

F2  105128.860  0.196  20605.257 F3  130000  0.454  59020

Por impulso y cantidad de movimiento

F 

Q (V 2V1 ) g

59020  20605.257  59020 cos 60º  FX 

1000 Kg

3

 4.8 m seg  m3    24.490 m  10.573 m seg seg   9.81

FX  2095.202 FY  59020sen60º FY  51112 .819

Calculo del modulo y posición de las fuerza

F 

2095.202 2  51112 .819 2

F  51155 .744  51112 .819    tg 1    97 º54´36.68"  2095.202  Parte C: Si las llaves están abiertas con un caudal de 4.8 m3/s , en el tramo 2 y de 0.62 m3/s, en el 3. 0.76 F1

0.5 F2

0.76 F3

Q1  Q2  Q3  5.420 m

3

seg

Calculo de las velocidades V 

V1 

Q Q  A D 2 4 5.420

Bernoulli entre 1-2



5.420  11 .938 m seg 0.454

  0.76 2 4 4.8 4.8 V2    24.490 m 2 seg 0.196   0.5 4 0.62 0.62 V3    1.366 m 2 seg 0.454   0.76 4

Bernoulli entre 1 – 3

Z1 

P1 V12 P V2   Z 2  2  2  H f1 2  2g  2g

130 

11 .938 2 P2 24.490 2   2  9.81  2  9.81

P2  106.685  P2  106685.260 Kg

m2

Z1 

P V2 P1 V12   Z 3  3  3  H f 1 3  2g  2g

11 .938 2 P3 1.366 2 130    2  9.81  2  9.81 P3  137.264  P2  137168.700 Kg 2 m

Calculo de las fuerzas F  F  P A A F 1 130000  0.454  59020 Kg P

F2  106685.260  0.196  20910.311Kg F3  137168.700  0.454  62274.590 Kg

Calculo de las componentes de las fuerzas Impulso cantidad de movimiento

F

X



Q V2  V1  g

 FX  59020  20910.311  62274.590 cos 60º 

1000  5.420   24.49  1.366 cos 60º   11.938 9.81

FX  339.910 FY  62274.59sen60º 

1000  5.420   1.366sen60º  9.81

FY  54584.976Kg

Calculo del módulo y posición de la fuerza

F 

339.910 2  54584.976 2

F  54586.034  54584.976    Tg 1    89º38`35.57"  339.910 

2.- Empleando la ecuación de energía especifica y la ecuación de impulso momento. Demostrar que en un canal rectangular la pérdida de energía en un tiempo corto es igual a: (V  V2 ) 2 (h1  h2 ) 2 E  1  2g 2h2

E = perdida de energía en el tramo corto, esto podría ser un cambio brusco de sección. V1 = Velocidad aguas arriba (m/seg) h1 = Tirante aguas arriba (m) V2 = Velocidad aguas abajo (m/seg) h2 = Tirante aguas abajo (m) g = Aceleración de la gravedad (m/seg)

Empleando la ecuación de energía especificase tiene

E  E1  E 2 2 V E1  1  y1 2g 2

V2  y2 2g Como h1 = y1 y h2 = y 2 Reemplazando tenemos: 2 2 V V E  1  h1 - 2 - h2 2g 2g Restamos y sumamos y tememos el siguiente artificio: E2 

2

2

2V V 2V V 2V 2V E   1 2  1 2  2  2 y remplazamos en la ecuación 2g 2h2 2g 2g 2

2

2

2

2

V 2V V V 2V 2V V 2V E  1  1 2  2  2  1 2  2  h1  h2 2g 2g 2g 2g 2g 2g 2

E 

2

2

V1  2V1V2  V2 2V V V  1 2  2  h1  h2 2g 2g 2g 2

(V1  V2 ) 2 2V2  (V2  V1 ) 2  h1  h2 ........................I 2g 2g Por la ecuación de Impulso y momento tenemos: E 

1 1 8Q P1 A1  P2 A2  (V2  V1 ) 2 2 g 1 1 8Q P1 A1  P2 A2  (V2  V1 ) 2 2 g

8V2 A2 1 1 P1 A1  P2 A2  (V2  V1 ) 2 2 g

V bh 1 1 P1bh1  P2 bh2  2 2 (V2  V1 ) 8* 2 8*2 g V bh 1 1 2 2 bh1  bh2  2 2 (V2  V1 ) 2 2 g 2

2

h  h2 2V2 E  1  V2  V1 .......................................A h2 g Reemplazando en la ecuación anterior I: 2 (V  V2 ) 2 2V2 E  1  (V1  V2 ) 2  h1  h2 ........................I 2g 2g

E 

2

2

2

2

(V1  V2 ) 2 (h1  h2 )   h1  h2 2g 2h2

(V  V ) 2 (h  h2 )  2h1 h2  2h2 E  1 2  1 2g 2h2 2

2

2

(V1  V2 ) 2 h1  h2  2h1 h2  2g 2 h2 Factorizando signo 2 2 (V  V2 ) 2 h1  h2  2h1 h2 E  1  2g 2 h2 E 

(V1  V2 ) 2 (h1  h2 ) 2  2g 2h2 Por lo tanto queda demostrado que (V1  V2 ) 2 (h1  h2 ) 2 (V1  V2 ) 2 ( h1  h2 ) 2   = 2g 2h2 2g 2h2 E 

03.- un chorro de agua de 50 mm de diámetro y 20 m/seg, de velocidad choca con un alabe en forma de cuchara que es de una semiesfera de radio de 180 mm, fija a una rueda. El eje del chorro coincide con el eje de la cuchara. a) La fuerza ejercida por el chorro sobre la cuchara cuando esta está fija. b) Cuando la cuchara se mueve en la misma dirección del chorro con velocidad de 7 m/seg. c) Cuando hay una serie de cucharas en vez de una. d) Potencia desarrollada por el chorro en los dos últimos casos. e) Rendimiento en los dos últimos casos.

f) Representar bien el dibujo. Solución: a) La fuerza ejercida por el chorro sobre la cuchara cuando esta está fija. Radio del alabe = 180 mm = 0.18 m = R

Por continuidad Q = V*A Q = 20 π (0.05)2 4 Q = 0.039 m3/seg Por cantidad de movimiento = Q (v2 – v1 ) g - Fx = 1000(0.039)(0 - 20) 9.81

Fx = 80 kg b) Cuando la cuchara se mueve en la misma dirección del chorro con velocidad de 7 m/seg. Vreal = Vchorro – Vplc = 20 – 7 = 13 m/seg Q = V*A Q = 13 π (0.05)2 4 Q = 0.0255 m3/seg

Por cantidad de movimiento = Q (v2 – v1 ) g - Fx = 1000(0.0255)(0 - 20) 9.81

Fx = 52.04 kg d) Potencia desarrollada por el chorro en los dos últimos casos.

Pot HP

=

Q H 76 n

H = 0.18m Q = V*A Q = 20 π (0.05)2 4

Q = 0.039 m3/seg Caso I Pot HP = Caso II Q = 0.055 H = 0.18 Pot HP =

1000 * 0.39 * 0.18 76

=

0.092 HP

1000*(0.0855) 76

=

0.0605 HP

05) En la figura suponer que  = 120º, que el chorro es de agua, con una velocidad de 30m/s y que el diámetro del chorro es de 50mm. Si se desprecia la perdida de carga por fricción; determinar: a) Componente d la fuerza en la dirección del chorro. b) Componente de la fuerza normal al chorro. c) Magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el cuerpo.

30    0.05 2 Q  0.059m 3 / s 4 V2  30m / s  V1 . a)

b)

1000  0.059  ( 30COS 60  30) 9.81  FX  270.64 Kg .

1000  0.059  (30 SEN 60  0) 9.81  FY  156.26 Kg .

.

 FR  312.51Kg

 FX 

FY 

.  FR  312.51Kg

  arctan(

156.26 )  30º 270.64

.

6).- Del problema anterior, suponiendo que la fricción es tal que V2 se reduce en 24m/s.

Por continuidad.

V 2ysen = 24sen60º = 20.78m/s

Q = V1A1 = V 2A2 Q = 30m/s*(0.05)2 4

Aplicamos

la

tercera

ley

de

la

hidrodinámica:

Q = 0.0589m3/s.

Fx = Q(V2-V1)x

Velocidad V2 en los ejes X – Y

-Fx = 1000*0.0589(12-30)

V 2xcos = 24cos60º = 12m/s.

9.81 Fx = 108.07Kg.

Eje Y

Entonces FR será:

Fy = 1000*0.0589(20.78-0) 9.81 Fy = 124.76Kg.

FR =

(Fy)2+(Fx)2

FR = (108.07)2+(124.76)2 FR = 165.05Kg.

Dirección: Tg= Fy Fx

= 124.76 108.07

 = 49.1º

7) suponer que el chorro del problema 04, choca perpendicularmente contra una gran placa plana ¿Cuál será la fuera dinámica sobre la placa? Q = 0.0589 V = 30 m/seg Solución 1000  0.0589     0  30 m seg   9.81  F  180.1223 F  180.1223 F 

08.-Un chorro de agua de 100 mm de diámetro y 10m/seg, de velocidad choca con una placa que se mantiene normal al eje del chorro. Calcular: a. La fuerza normal a la placa ejercida por el chorro, si la placa se mueve con una velocidad de 7m/seg.

b. La fuerza normal de la placa ejercida por el chorro si en vez de una placa hubiera una serie de placas dispuestas de manera que cada una pasase sucesivamente en frente del chorro, en la misma posición, moviéndose siempre con la velocidad de 7m/seg. Solución a)

1).- Hallando la velocidad real. Vr = Vchorro – Vplaca = 10 – 7 Vr = 3 m/s 2).- hallando el caudal. Q = Vr . A

Q = 0.0000589 m3/s - Por impulso y cantidad de movimiento

Fx = 0.019 Kg = 0.19 N b)

La fuerza normal calculada para una sola placa que fue de F = 0.19 N será la misma para las placas sucesivas. 09). Una tubería de 200 mm, termina en una tobera que produce un chorro de agua de 70mm de diámetro. El chorro

descarga en el aire. Un manómetro conectado en la tubería marca una presión de 7 atmósferas y la velocidad del agua en la tubería es de 3m/seg. ¿Calcular la fuerza axial que se ejerce sobre la tobera?

D1 = 200 mm = 0.2 m

D2 = 70mm = 0.07m

1.033Kg / cm 2  7.231 jg / cm 2 P1 = 7 amt = 1atm Por la ecuación de Bernuolli entre 1 y 2

P1 V12 P 2 V22     2g  2g 7.231

P2  0

kg 100 2 cm 2 x V22 (3m / seg ) 2 cm 2 1m 2   kg m m 1000 3 2 x9.81 2 x9.81 2 cm seg seg 2

V22 72.31 m + 0.458716m =

19.62

19.62

m seg 2

m x72.768716m  V22 seg 2

m2 1427.72223  V2 seg 2

 V2  37.7352 m / seg

Q  V2 x A Q  3m / sef x

 (0.2m) 2 4

 Q  0.0942 m 3 / seg

FP1 = P x A

 (0.2m) 2  FP1  2271.6856 kg. 4 P2  0

FP1  7.2310kg / m 2 x FP 2  0

Por la ecuaci ón de Impulso y cantidad de movimiento:



 Fx  g Q(V

2

 V1 )

1000 Kg / m 3 x0.0942m 3 / seg x (37.7852  3)m / seg 90.81m / seg 2  Fx  334.02302 kg  2271.6856 kg Fx  1937.66 kg. FP1  Fx 

10). Una tubería de 0.30m de diámetro contiene agua, que se mueve a una velocidad de 3m/seg. ¿Qué cantidad de energía pasa por segundo por una sección donde la presión es de 1.4 kg/cm2? D = 0.30 m Vi=3 m/seg

100 2 cm 2 P1  1.4 kg / cm x  14000kg / m 2 2 1m 2

E1 

P1 V12   Z1  2g

14000 kg / m 2 (3m / seg ) 2 1   1000 kg / m 3 2(9.81)m / seg 2 1 14 m  0.4587156 m 1 14.46 m 11). Una tubería de 20 cm de diámetro contiene una corta sección en el cual el diámetro se reduce gradualmente a 0.075 m, volviéndose a ensanchar gradualmente a su diámetro normal, si la presión de agua es de 5.7 kg/cm 2 en el punto entre que se inicie la reducción ¿Cuál será la presión en el zona estrecha, si pasan 35 l/seg. Se supone que no hay pérdida de carga?

D1 =20 cm = 0.20 m

D2 = 0.075 m

P1 = 3.7 k,/cm2 = 57000 kg/m2

P2 = ?

Q  35

lts  0.035m 3 / seg seg

Q V xA1 Q 0.035m 3 / seg   V1  1.11408 m / seg A1  ( 0 .2 m ) 2 4 Q 0.035m 3 / seg V2    V2  7.92238 m / seg A2  (0.075m) 2 4 V1 

Por el principio de Bernoulli entre 1 y 2. 2

2

P1 V1 P 2 V2   Z1    Z2  2g  2g kg 2 57000 2 (1.11408 m / seg ) 2 P 2 +(7.92238 m / seg ) m   kg m kg m 1000 3 2 x9.81 1000 3 2 x9.81 2 2 m seg m seg 2 P2  53864.2746 kg / m

12). Una tubería de 0.30m de diámetro tiene un gasto de 0.157 m 3/seg. En una sección A de la tubería la presión es de 2.7 kg/cm 2 mientras que en la sección B, situada en un punto de la tubería 2.40m, más bajo que A, la presión es de 3kg/cm 2 ¿Calcular perdida de carga entre A y B?

VA = VB

HfAB = 0.6 13. Una tubería de 0.48m de diámetro se reduce mediante una transmisión a una tubería de 0.30m de diámetro. El flujo que circula es aceite, la densidad =800 kg/m 3 y una presión de entrada de 3 x 105 kg/m2. Despreciando las pérdidas de carga. Hallar la fuerza que ejerce el fluido contra la reducción para un gasto e 1m 3/seg. El mecanismo es coplanar.

D1 = 0.48m

D2 = 0.30 m

aceite  800 kg / m 3   hf  0 P1 ₧ 30612.2449 kg!m‘ Hallando velocidades: Q V 1xA Q 1m 3 / seg   V1  5.526213 m / seg A  (0.48m) 2 4 3 Q 1m / seg V2    V2  14.1471m / seg A  (0.3m) 2 4 V1 

Hallando P2 por el principio de Bernoulli.

P1 V12 P V2   2  2  2g  2g kg 30612.2449 2 2 P2 (14.1471m / seg ) 2 m  (5.5262m / seg )  kg m kg m 800 3 2 x9.81 800 3 2 x9.81 2 m seg m seg 2 P2 38.2653m  1.55652m   10.20084m kg 800 3 m kg P2  23696.784 2 m

 (0.48) 2  5539.4613 kg. 4  (0.35) 2 FP 2  P2 x A2  23696.789 x  1675.0269 kg. 4 FP1  P1 x A 1  30612.2449 x



 Fx  g Q(V

2

 V1 )

800Kg / m 3 x1m 3 / seg x (14.1471  5.5262)m / seg 2 90.81m / seg  Fx  703.0295 kg  5539.4613kg  1675.0269kg Fx  3161.40 kg. FP1  FP 2  Fx 

14).

Un codo reductor tiene aguas arriba un diámetro de 0.42m. Y aguas abajo un diámetro de 0.30m. El líquido que circula es agua con un gasto de 0.5m3/s. la presión de entrada es de 1.6*10 5N/m2. Desprecie la perdida de carga. Calcular la fuerza ejercida por el fluido.

Datos del problema

   

D1 0.42m D2 0.30m Q 0.5m3/seg P1 1.6x105N/m2 x 1kg/9.81N 16309.888



Calculo de las velocidades Q V 1xA Q 0.5m 3 / seg   (0.30m) 2 A 4 Q 05m 3 / seg V2   A  (0.42m) 2 4 V1 

 V1  7.0735 m / seg

 V2  3.6090 m / seg

FP1  P1 x A 1  16309.888 x

 (0.30) 2  1152 .878kg. 4

Bernoulli en 1 y 2

P1 V12 P2 V22     2g  2g kg 16309.888 2 2 2 m  (7.0735m / seg )  P2  (3.6090m / seg ) kg m m  1000 3 2 x9.81 2 x9.81 2 m seg seg 2 P 16.3099m  2.55m  2  0.6639m  kg P2  2520.9786 2 m Por la ecuación de impulso y cantidad de movimiento

 Fx 

 Q(V  V1 ) g 2

1000 Kg / m 3 x 0.5m 3 / seg x (0  7.0735) m / seg 9.81m / seg 2 Fx  1513.4030kg Fx  3161.40 kg . FP1  Fx 

1000Kg / m 3 x 0.5m 3 / seg x (3.6090  0) m / se 9.81m / seg 2 FN  3099.516

 FP 2  Fy 

15). Un chorro de agua de 0.05m de diámetro. Que sale con una velocidad de 5m/s. choca contra una placa plana inclinada en 30º con la horizontal. Si la placa se desplaza con una velocidad de 5m/s en la dirección normal a su superficie. Calcular la fuerza normal que se ejerce contra la placa. El sistema esta al aire libre. v = 5m/s

 =5sen30ºm/s = 2.5m/s Fx

 = 0.05m 30º

Fy

 = 5m/s

Q = V 1 A1 Q = 5m/s*(*(0.05)2)m2/4

Vabs. = Vr + 

Q = 0.0098m3/s

Vr

=

V-

Q = 9.8Lt/s

Vr

=

5 – 2.5

Vr =

2.5m/s.



Aplicamos la tercera ley de la hidrodinámica. ∑Fx =

Q ( V2-V1 )x g

X: - Fx = 10*0.0098*(0 – Vr ) 9.8 - FX =

1000*0.0098*(0 – 2.5) 9.8

FX

=

2.49kg.

Y: Fy = 1000*0.0098*(4.33 – 0) 9.8 Fy = 4.32 kg. Entonces tenemos que FR . FR = FR =

4.98 kg.

16). Determinar el caudal en una tubería de 30 cm de diámetro si la ecuación de la distribución de velocidades v2 = 70(y – y2), con el origen de distancias en la pared de la tubería. Solución

dQ = v * dA ……….. (1) dA = dy {2π(R - y)}

dA 2π(R – Y)dy ...... (2) (2) en (1) dQ = v {2π(R – Y) dy} Dq =

Q = 2π√70 (2.247*10-3) Q = 0.1184 m3/s = 118.14 lt/seg

TEORIA 1) DEFINIR: - Coeficiente de bussinesq  : El cálculo de la cantidad de movimiento de una corriente también se ve afectada por la distribución de velocidades. El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra  y que recibe el nombre de coeficiente de bussinesq o coeficiente de la cantidad de movimiento. 

=  V2hdA V 2A

2) En un mismo conducto se tiene dos tipos de flujo, uno laminar y el otro turbulento; en cuál de ellos será mayor el coeficiente  (alfa) y por qué?

a)

PARA EL FLUJO LAMINAR

2  r   V  Vmax 1      R   

Velocidad media

Vmed 

1 R 2

  R 2  Vmax V 0 max 1   R   2rdr  Vmed  2   R

Coriolis 3

2    r   Vmax 1     1 R   R   dA      0 Vmax A   2  

 

1 R 2

Velocidad media

Vmed 

3



R

  r 2  81     2rdr   R  

2 R 2



0

Vmed

2 R  r     2rdr    8 1       2 0    R    R  2

2  2 R

Vmed

2V  max R2

Bussines

Vmed 

0

3

r   V  Vmax 1   R 

7

V

 y Vmax   R



R

0

1

2

 R  y  dy

8  6 1 7 r 7 y 7  y 1  R 7 

 dy  

49 Vmax 60

1   R 2

PARA FLUJO TURBULENTO 1



Vrdr

Coriolis

2 1  1  1.33 3 b) Donde:

R

 y   max  R 

1



R

0

3

7

3

 60   y       49   R 

 60  1   2  2  49  R   1.06

3

7

2rdr

 y 0  R  y   R  R

3

7

dy

Bussines

1.06  1 3   1.02

Haciendo:

  1

r  R  y; dr   dr

- A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para el numero de Reinold altas, la distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierto la suposición de que  = 1 =  . - En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades el valor de  es grande.  En flujo laminar es mayor que en un flujo turbulento. 3). En un flujo en canales. Podría ser la velocidad media, ser mayor que la velocidad máxima en una vertical. Por qué?

- Como podemos observar, en un canal se da que la velocidad máxima siempre será mayor que la velocidad media, esto debido a que la velocidad máxima se da en la superficie y a medida que se profundiza dicha velocidad se reduce como podemos ver en la figura. Donde:

 h2  V  Vmax 1  2  y  

Vmed   vdA  1 h2   bdy V 1  max  A y 2   1  y 2  h 2 bdy  Vmax  by y2 V  y y 2 dy  y h 2 dy   max 3  0 0  y 

Vmed  Vmed Vmed

Vmax  y 2  y y 3  Vmax  2 y 3     3   3  y3  1 y  3  2  Vmax 3

Vmed  Vmed

4) En un flujo en tubería, podría la velocidad media, ser mayor que la velocidad máxima en una sección por qué?

La velocidad máxima es mayor que la velocidad media y se da dicha V máx. En el eje y la velocidad mínima se da en el contorno de la tubería, esto se debe a que existe en dichos paredes de la tubería rugosidad, la dirección del movimiento (tubo). Donde:

 r2  V  Vmax 1  2 ; porecuacio ndelaparabola  rº 

05.-Defina el coeficiente de Coriolis tiene al decir

 , de la carga de velocidad. ¿Qué significado

 , vale 1.5 en determinado flujo?, ¿Cuáles son los valores límites de

 y porqué? 

Coeficiente de Coriolis (  ) Sabemos que Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente, el cual en cada línea tiene un valor de velocidad que es Vh y la energía cinética correspondiente = Vh2/2g, del que habría que tomarse el promedio de los valores.

Como esto es difícil de hacer en la práctica, se busca una equivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a la velocidad media. Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de los cuadrado, que el cuadrado promedio. De acá que el valor de la energía para toda la sección transversal, obtenida con la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra  (coeficiente de coriolis o coeficiente de energía). Para calcular el valor de  pensemos en un tubo de encierre cuya velocidad es Vh, que tiene una sección transversal dA por el que pasa un fluido cuyos pesos específicos es x, la energía en general se expresa por:  QV

y aplicando la ecuación de continuidad en el tubo de corriente: H 

Vn 2 2g

Para el tubo de corriente la energía resulta: hdA

2g

  Vh3dA 2

Y la energía de toda la sección transversal se detiene entregando la expresión anterior:  2

 Vh

2

dA

Si hiciéramos el cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando la velocidad media se tiene:  2

V 2A

06 Se tiene una distribución triangular y una distribución parabólica de la velocidad en un flujo coplanar. En cuál de ellos será mayor el coeficiente  y porque? Sea la distribución vertical dada por la siguiente ecuación: 1

Vh  kh n

 El gasto específico para un ancho unitario será: dq  Vh dh

 Reemplazando la velocidad:

1

dq  kh n dh

 El gasto unitario es: 1

q   Vh dh   q   kh n dh

 La velocidad media se obtiene dividiendo el gato entre el área. V 

1 n

q k  h dh  y y y 0

3 3

V dA k  0y h n dh    h3     3 v A  y 1n  Si se sabe que:  k  h dh  y 0  y     1 3 3 1  1 13 1   2 1  n  3 entonces n n n    y       3 n 2  3  n    1     1 1   n 

a. si la distribución es lineal n=1 entonces el coeficiente de Coriolis es  

1  n 3  1  1 3  por tan to     2 n 2  3  n  12  3  1

b. si la distribución es parabólica n=2,3,4… entonces el coeficiente de coriolis es:  

1  n  3  1  2 3  por tan to    2  1.35 n 2  3  n  2 2  3  2

 3  1.19  4  1.12

07. En un conducto vertical cerrado de diámetro uniforme circula agua de arriba hacia abajo; de las tres formas de energía que puede tener un liquido en movimiento. ¿Cual aumenta? ¿Cual disminuye? Y ¿Cuál permanece inalterada, a medida que el líquido desciende? Solución: Teniendo en cuenta las tres formas de energía se tiene en el primer caso que la presión es baja a comparación al caso 2, debido a la diferencia de altura.

La energía que permanece inalterado es la altura de velocidad, el cual es constante en un conducto cerrado. 08.-En un flujo en tuberías, podría la velocidad media ser mayor que la velocidad máxima en una sección ¿por qué? La velocidad media en una sección es:

 VdA  Q

Vm 

A

A

donde: y=r, H = R, dA = 2rdr   r 2  V  V max 1       R  

De la cual obtenemos:   y 2  V  V max 1       H  



R

0

V 

  r 2  V max 1     2rdr   R   R 2

y se tiene: Vmed = ½ Vmax. Entonces: - Vmed = 0.5 Vmax. --- V med. = 0.1 veces de Vmax. - Vmed = 2 Vmax. --- V max. = 2 veces de Vmed. 09.- Calcular el coeficiente de coriolis y Bussinesq para un canal rectangular muy ancho cuando la distribución en una vertical de las velocidades es: )a lineal )b parabólica Problema de coeficiente de coriolis y bussinesq 1).- En una vertical la velocidad se distribuye según se indica en la figura:

0.25

0.70 m seg

0.50

0.80 m seg

0.75

0.95

m

seg

1.00

1.00 m seg

1.25

0.95 m seg

1.50

0.80 m seg

1.75

0.60 m seg

Calcular el coeficiente de coriolis y ussinesq. El gasto se halla: q

x y

V h 0

h

dh

q   0.6  2.5   1.375  0.80   1.125  0.95   0.875  0.95   0.625  1   0.375  0.80    0.125  0 q  1.5  1.1  1.069    0.875   0.594    0.30    0.088 

q  5.526 m V 

3

seg  ml

q 5.526   0.79 m seg A 7

a)

calculo de



Yn

Yn3

A

Vn3 A

0.60 0.80 0.95 1.00 0.95 0.80 0.70

0.716 0.512 0.857375 1 0.857375 0.512 0.343

2.50 1.375 1.125 0.875 0.625 0.375 0.125

0.54 0.704 0.964546875 0.875 0.535859375 0.912 0.042875

V



3 h

A  38542.8125

V

3 h

A

3 h

V A



3.8548125  1.1187708974  0.79 3  7 

  1.12

b) calculo de  :

V 

2 h

2 h

A

V A

Vn

Vn2

A

Vn2 A

0.60 0.80 0.95 1.00 0.95 0.80 0.70

0.36 0.04 0.9025 1.00 0.9025 0.64 0.49

2.50 1.375 1.125 0.875 0.625 0.375 0.125

0.90 0.88 1.0153125 0.875 0.9640625 0.24 0.06625

V  

2 n

A  4.53562

4.535625

 0.79  2  7 



4.535625  1.03 4.3687

seobtieneelvalor Vmax 1 1   1  0.262248 V 0.79 E  0.26582278481 E

E 2  0.070661753 E 3  0.090352820

  1  3  E 2  2 E 3  1.21   1  E 2  1.07