Sesiones de Clase 3 - Medidas de Tendencia Central
July 10, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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FACULTAD DE INDUATRIAS ALIMENTARIAS
Escuela Profesional de Ingeniería Industrial.
SESIÓN N° 03
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PLAN DE CLASE
•
CIERRE
• •
Reroalimenación Resumen Auoevaluación •
COSNTRUCCIÓ N
• •
Medidas de endencia cenral. Media, mediana y moda. Media geomérica, media armónica.
INICIO
•
•
•
Motvación Compeencias Saberes previos
COMPETENCIA S Calcula e inerprea medidas de endencia cenral en daos agrupados y no agrupados
Usa Excel para calcular medidas de endencia cenral.
Calcula e inerprea medidas de endencia cenral
Reconoce y calcula la mediana
Reconocen y calculan la media
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
SABERES PREVIOS
Qué son medidas de resumen.
¿Qué es un promedio? Es posible obener un promedio de la variable género.
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MOTIVACIÓN
La grafca muesra el ingreso de proesionales y écnicos mejor remuneradas
¿Cuál será el promedio de los ingresos de profesionales en ingeniería?
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MEDIDAS DE RESUMEN
Medidas de resumen, conocidas también como de tendencia central, valor central o de posición. Estas medidas permiten resumir en una sola cifra una serie estadísca, de tal manera que sus valores están ubicados al centro de la serie. Balanceando candades mayores y menores alrededor de la cifra encontrada.
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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Nos sirven para describir caracteríscas básicas de un estudio con datos cuantavos; muestra promedios, compara resultados, o interpreta puntajes en relación a otro central; son: media, mediana y moda.
La media es la más úl, se le conoce como promedio
Media =
Mediana = Me Moda = Mo
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS MEDIA ARITMETICA O SOLAMENTE SOCIALES EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN “MEDIA” Es el valor obtenido
por la suma de todos sus valores divididos entre el numero de sumandos sumandos
Representación: Para valores de la variable X observados de una muestra: es denotada por:
Se llama también Promedio
Es una medida muy sensible a los extremos Valores Valore s muy grande, aumenta la media. Valores muy pequeños, disminuye la media.
Para valores de la variable X observados de una población: es denotada por:
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS La Media Aritmética SOCIALES EDUCACION Y DE LA
COMUNICACIÓN
Datos no agrupados
+ + ...+
1 2
¯ = ( )=
Donde:
¯ = ( )=
∑ =
1
xi: cada uno de los daos. n: es el oal de daos.
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS La Media Aritmética Aritmétic a SOCIALES EDUCACION Y DE LA
COMUNICACIÓN
Datos agrupados Discretos Donde: :
Es el va valo lorr de la va vari riabl ablee D Dis iscr cret etaa ccla lasi sific ficada ada en k
valores distintos.
∑
¯ = =1
. h = ∑ = 1
k:
Es el nume numero ro d dee va valo lore ress d dis isti tint ntos os d dee xi.
n:
Es el ttot otal al de da dato tos. s.
:
Es la fre frecu cuenc encia ia ab abso solut lutaa ssim imple ple en posi posici ción ón “i “i”. ”.
:
Es la fre frecu cuenc encia ia rel relat ativ ivaa si simpl mplee en la posi posici ción ón “i “i”. ”.
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
La Media Aritmética Aritmética
Datos agrupados por Intervalos Donde:
∑ ′
¯ = = 1
′ . h = ∑ = 1
k :
Es la marca de clase del intervalo “i”. Es el numero de intervalos de clase.
n:
Es el total de datos.
:
Es la frec frecue uenc ncia ia ab abso solu luta ta del del in inte terv rval alo o “i “i”. ”.
:
Es la frecu frecuen enci ciaa re rela lati tiva va de dell iint nter erva valo lo “i “i”. ”.
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS La Media Aritmética SOCIALES EDUCACION Y DE LA
COMUNICACIÓN 1 2 ¯ = + + ... +
Para Datos no agrupados
∑
Para Datos no agrupados
=1
¯ = ¯ =
¯ =
∑
=1
∑
′
Para Datos agrupados en Intervalos
=1
Donde:
: :
Para Datos agrupados
Valores de la variable X Es la marc marca a de de cla clase se del del in inerv erval alo o “i” “i”
k:
Es e ell nume numero ro de de valo valore ress dist distn nos os de de n: Es el oal de da daos. os. : Es la la re recu cuen enci cia a abs absol olu ua a sim simpl ple e en en pos posic ició ión n “i” “i”
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La Media Aritmética
Ventajas:
Es la medida de tendencia central mas usada. Su valor es único para una serie de datos. Se emplea a menudo menudo en cálculos estadísticos. En la grafica de frecuencias representa el centro de gravedad.
Desventajas:
Es sensible a los valores extremos. No es recomendable emplearla en distribuciones muy asimétricas.
Ejemplo 1:
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACION Y DE LA Los esudianes de la escuela proesional de IngenieríaCOMUNICACIÓN Indusrial requieren inormación
sobre la clasifcación dede losconcientzación residuos solidosa en disrio para de Independencia con la fnalidad de realizar actvidades laselamilias, ello solicio inormación a la plana de raamieno de la municipalidad disrial de Independencia brindándoles los siguienes daos en kilogramos: T/Día Papel Plasco Glass Metal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 1 5 6 4 4 25 10 8 4
19 18 13 7 18 7 10 17 14 16
36 49 21 32 34 49 40 15 15 50
12 7 12 44 50 25 28 44 32 25
¿Cuál es el promedio del residuo solido meal que se generan?
Solución: ¯ =
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN ∑ =1
͞ x = 12 + 7 + 12 + 44 + 50 + 25 + 28 + 44 + 32 + 25. ͞ x = 279
n
10 ͞ x = 27.9 kilos
Interpretación: El promedio de residuos Meal que se generan en el disrio de Independencia por día en las amilias es de aproximadamene.
28
kilos
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN La Empresa Minera LINCUNA SAC, ha realizado la muestra de 100 puntos de agua ,en el Departamento de Ancash, Provincias de Aija y Recuay, Recuay, en el mes de Julio del presente presente año, para el análisis micro bilógico, la administración solicita al Ingeniero ambiental, determinar el promedio de los pesos en Kg de las muestras de agua, mostrado en la siguiente tabla.
Ejemplo 2:
Solución: Variable: Peso en Kg de muesras de agua, realizados en las Provincias de Aija y Recuay, 2021 Muesra: 100 muesras muesras de agua = n Objetvo: Deerminar el Promedio = ? = Peso en Kg ( [ - +A[ ) 1
[5 4 – 5 8 [
Reemplazando en la Formula
20
56
1120
2
[5 8 – 6 2 [
30
60
1800
3
[6 2 – 6 6 [
40
64
2560
4=
[6 6 – 7 0 [
10
68
680
Total
100
6160
+ ( ¿ ¿ + ) ¿ 2
4
¯=
A: Ampliud
∑
× ′
=1
=
6160 100
= 61.6
La Media Aritmética
Propiedades de sumatoria:
1. Suma de una constante. Es igual a n veces la constante, si se inicia con i=1
∑
= + + + ....... + =
=1
2. Suma de una constate por una variable. Es igual a lo constante por la suma de la variable. 3. Suma de una variable más una constante. Es igual a la suma de la variable más la constante mulplicada por n, si se inicia en i=1
∑ ( + = 1
= ( 1 + )+ ( 2 + )+ ( 3 + ) + ....+ ( + )= ∑ + = 1
) La Media Aritmética
Propiedades de la media aritmética: 1. La suma algebraica de las diferencias de cada uno de los valores respecto a su media aritméca, es igual a cero. ….. Para daos no agrupados .... Para daos agrupados.
2. La media aritméca de una constante, es igual a la constante M(K) = K
3. La media aritméca de una constante por una variable, es igual a la constante por la media aritméca de la variable.
M(XK) = K M(X)
La Media Aritmética Propiedades de la media aritmética: 4. La media aritméca de una variable más (menos) una constante, es igual a la media aritméca de la variable mas (menos) la constan constante. te. M(X K) = M(X) K M(aX b) = a M(X) b
5. La media aritméca de una suma de variables, es igual a la suma de las medias aritmécas de cada una de las variables. M(X + Y – Z) = M(X) + M(Y) – M(Z)
La Media Aritmética
Ventajas:
Desventajas:
0 Es la medida más usada. 0 Emplea en su cálculo oda la inormación disponible. 0 Se expresa en las mismas unidades que la variable en esudio. 0 El promedio se esable en el muesreo.
0 Es sensible a los valores exremos. recomendable e emplearla en disribuci disribuciones ones 0 No es recomendabl muy asiméric a siméricas. as. 0 Si se emplean variables discreas o cuasi-cualiatvas, la media arimétca puede no perenecer al conjuno de valores de la variable. 0 Si el conjuno de daos es muy grande puede ser edioso su cálculo manual. cualiatvos. 0 No se puede calcular para daos cualiatvos. 0 No se puede calcular para daos que engan clases de exremo abiero, ano superior como inerior.
0 Es a cualquier cambio los daos (puede sersensible usado como un deecor deen variaciones en los daos). 0 Es útl para llevar a cabo procedimienos esadístcos como la comparación de medias de varios conjunos de daos. 0 En la gráfca de recuencia represena el cenro de gravedad.
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La Mediana (Me)
•
Es el valor que divide una serie de daos en dos pares iguales, previamene ordenados.
•
En el caso de que engamos una abla de recuencias se calcula en primer lugar el número de observaciones N dividido enre 2.
•
Si N/2 no coincidiese con ningún valor de la columna de recuencias acumuladas, la mediana seria el primer valor de xj con recuencia absolua acumulada Nj mayor que N/2.
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS La Mediana SOCIALES (Me) EDUCACION Y DE LA
COMUNICACIÓN
Daos no agrupados:
+
Si “n” es par enonces:
=
( ) ( + 1) 2
2
2
Si “n” es impar :
= ( 12+ )
FACULT ACULTAD AD DE CIENCIAS SOCIALES EDUCACION Y DE LA COMUNICACIÓN
La Mediana (Me)
Daos agrupados
= +
[
2
− − 1
]
Donde: : limie inerior de la clase mediana. : Ancho de clase de la clase mediana. n : Es el oal de daos. : Es la recuencia recuencia absolua de la clase mediana. : Es la recuencia recuencia absolua acumulada de la clase mediana − 1
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La Mediana (Me) Venajas • Esablece los valores exremos.
• Es recomendable para disribuciones muy asiméricas. • La mediana, sólo depende del número de daos ordenados y no del valor de los daos Por lo ano, no es sesgada por algún valor grande o pequeño.
• La mediana puede ser calculada para disribuciones de recuencia con inervalos de dierene ampliud, siempre que se pueda deerminar el límie inerior del inervalo de la mediana, L¡.
• La mediana puede ser calculada para variables con valores en escala ordinal.
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La Mediana (Me) Desvenajas
No presena odo rigor maemátco. Se emplea solo en variables cuantatvas.
Me
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La Mediana (Me) Del ejercicio anerior Nº Edad
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
7
12
12
25
25
28
32
44
44
50
1. Ordenar los daos 2. En ese caso el número es par, par, enonces la órmula será:
=
25 + 28 2 Me = 26.5
( )
+
( + 1) 2
2
Me =
Interpretación: El resulado anerior signifca que las personas que se enconraron en la plaza de armas de Huaraz tenen una edad menor o igual a veintséis años y medio y la ora miad tene una edad mayor o igual a veintséis años y medio.
2
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La Moda (Mo) Indica el valor que recuencia.
mas se repie o la clase que posee mayor
Daos no agrupados: Sean los daos:54; 63; 91, 59; 54; y 69 La Moda =54, pues se repie dos veces.
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La Moda (Mo)
Daos agrupados:
= +
[ ] 1
1 + 2
Donde: : Limie inerior de la clase modal.
: Ancho de clase de la clase modal.
1 : Es la dierencia enre la recuencia absolua de la clase modal y la anerior a ella. 2 : Es la dierencia enre la recuencia absolua de la clase moral moral y al que sigue.
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La Moda (Mo) Venajas
Es esable a los valores exremos Es recomendable para el raamieno de variables cualiatvas
Desvenajas
Pueda que no se presene. Puede existr mas de una moda. En disribuciones muy asiméricas suele ser un dao muy poco represenatvo. en el caso de una variable discrea que no oma valores repetdos, la moda no tene sentdo.
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La Moda (Mo) Del ejercicio anerior Nº Edad
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
7
12
12
25
25
28
32
44
44
50
De lo anerior podemos observar que se repie con mayor recuencia las edades 12, 25 y 44. Es decir, las modas son Mo1 = 12 años, Mo2 = 25 años, Mo3 = 44 años. Ese es un conjuno de daos multmodal.
Resumen: Medidas de Tendencia Cenral
Se divide en
Se Encarga
Resumir inormación de conjuno de daos
Media
Mediana
Moda
numéricos
Promedio del conjuno de daos numéricos
Cenro del conjuno de daos numéricos
Número con mayor recuencia en conjuno de daos
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Ejercicio 1:
Del ejercicio anerior: En una encuesa dirigida a 20 esudianes sobre el numero de sesiones de inducción en la plaaorma de aprendizaje SVA de la UNASAM, se obuvo el siguiene cuadro de Disribución de recuencias, hallar las medidas de endencia cenral:
N° de Sesiones
Mo = 2
Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Absoluta Absoluta Relava Absoluta Acumulada Simple () Simple (hi) Acumulada (Hi) (Fi)
0 1 2 3 4
1 4 7 6 2
0.05 0.20 0.35 0.30 0.10
Total
20
1.00
1 5 12 18 20
0.05 0.25 0.60 0.90 1.00
Posición de la mediana Me = = = 10
Media:
͞ x = = = = 2.2
Mediana: Me = 2
Moda: Mo = 2
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Ejercicio 2:
Del ejercicio anerior: Los resulados de un es académico de 100 pregunas, donde cada preguna tene valor de 1 puno, de los esudianes de la Faculad de Ciencias Sociales, Educación y Comunicación la abla de recuencias que se obuvo ue:
Resulados de Un es Académico
f
Fi
hi
Hi
Xi
[26 - 34[ [34 - 42[ [42 - 50[ [50 - 58[ [58 - 66[ [66 - 74[
1 2 4 10 16 8
1 3 7 17 33 41
0.02 0.04 0.09 0.22 0.36 0.18
0.02 0.07 0.16 0.38 0.73 0.91
30 38 46 54 62 70
[74 - 82] TOTAL
4 45
45
0.09 1.00
1.00
78
Posición de la mediana Me = = = 22.5
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Media:
͞ x = = = = 59.86
Mediana: − − 1
= +
[ ] 2
Me = 58 + 8 = 59.33
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Moda: = +
[
1
]
1 +2
Mo = 58 + 8 = 61.43
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Retroalimentación
Se omará un es de habilidades sociales a cada uno de usedes, eniendo como escala de califcación: Alo (7-10), normal (4 - 6.9) y bajo (1 – 3.9). Enrar al siguiene link hps://www.psicologia-online.com/es-de-habilidades-sociales-4375.hml Con los resulados de la clase complear el cuadro. n = ____ 4
7
8
9
10
5
4
2
3
2
1
4
3
2
5
6
7
7
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10
1
2
3
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a) Cu Cuan anos os alumn alumnos os te tenen nen lla a cal califc ifcaci ación ón ala. ala. b) Indique la proporció proporción n de esudian esudianes es que obuvier obuvieron on una una califcación califcación media. c) d) e) )
Que porcen porcenaje aje de al alumn umnos os tene tene una calif califcació cación n normal. normal. Que po porce rcena naje je de alumnos alumnos ten tene e una califca califcación ción enre enre baja baja y normal. normal. Que propor proporción ción de al alumno umnoss ten tene e un una a cali califcac fcación ión baja. baja. Rea Realice lice el gráfco gráfco corr correspo espondie ndien ne e e in inerpr erpree ee..
g) Ca Calc lcul ule e la Med Media ia,, Medi Median ana a y Moda Moda
Relación entre media, mediana y moda •
Si la disribución de recuencias es simérica, enonces: =Me=Mo. • Si la disribución es asimérica de cola a la derecha, en enonces, onces,
• Si la disribución es asimérica de cola a la izquierda, enonces: < M e < M o .
RECORDAR QUE
• De los promedios defnidos, la media arimétca se usa con más recuencia por su mejor raamieno algebraico. Pero no siempre es un buen promedio. • Si la disribución de recuencias es simérica (o "casi" simérica), la media, o la mediana o la moda es el promedio represenatvo, pues, en ese caso, los res promedios son iguales (o casi iguales). • Si la disribución tene marcada asimería, enonces, la mediana es la medida promedio más represenatva.
Medias geométrica, armónica y cuadrática Existen otras definiciones de media que pueden tener su utilidad en algunos casos.
Media geométrica XG En el caso de una muestra con valores diferentes de la variable se define como la raíz enésima (N es el tamaño de la muestra) del producto de los valores de la variable
√
´ = 1 2 …
Media geométrica XG Si los datos aparecen agrupados en k valores distintos la definición seria:
´=
1
2
1 2 …
√
Esta media tiene la característica negativa de que si uno de los valores es nulo, la media seria asimismo cero, y por lo tanto seria poco representativa del valor central. Además si existen valores negativos es posible que no se pueda calcular. A la hora de calcularla tener endecuenta que el logaritmo de la media geométrica es la media aritmética es delútil logaritmo los datos
∑ ´
log lo g =
lo log g
=1
Ejemplo: La producción de una empresa de ingeniería ha experimentado un crecimiento del 30% del primero al segundo año y un incremento del 35% del segundo al tercer año y un decrecimiento del 15% del tercer al cuarto año. a) Calcular Calcular la tasa tasa promedio promedio de crecimi crecimiento ento de de los 3 últimos últimos años. años. b) Calcular la producción producción del quinto quinto año, si la del primer año es 100.
Solución: 1. Toman Tomando do co como mo produ producc cciión base 100 para el primer a ño. En el segundo año, el porcentaje de crecimiento es de 30%, la producción es.1 0 0 + 0 .3 0 x 1 0 0 = 130 y la tasa de crecimiento es 130/100 = 1.30. 2.
En el tercer a ño, el porcentaje de crecimiento es de 35%, la producci ón es: 130 + 0.35 x 1 3 0 = 175.5 y la tasa de crecimiento es 1 7 5.5/130= 1.35.
3. En el el cu cuarto año. el porcentaje de crecimiento es de -15% , la producci ón es: 175.5 — 0.15(175.5) = 149.175 y la tasa de crecimiento es 149.175/175.5 = 0.85
Solución: %
AÑO 1
-
2
CRECIMIENTO
PRODUCCIÓN
TASAS
100
-
30%
100+0.3(100)=130
130/100=1.30
3
25%
130+0.35(130)=175.5
175/130=1.35
4
-15%
175.5-0.15(175.5)=149.175
149.175/175.5=0.85
El promedio de las tasas de aumento durante los tres años es la media geométrica.
Esto es, el porcentaje promedio de crecimiento es de 14.26%.
b) La producción para para el quinto año es igual igual a: 149.175+0.1426x149.175=170.44
Media armónica XA La media armónica XA se define como la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable. Es decir, para variables no agrupadas y agrupadas, seria: ´ =
1
∑ = 1
1
Para datos No agrupados
´ = ∑ = 1 1 Para datos agrupados
Es evidente que si una de las medidas es e s 0, la media armónica no tiene sentido.
Ejemplo: Una persona manejando su automóvil recorre los primeros 10 Km. a 60 Km. por hora y los siguientes 10 Km. a 70 Km. por hora, calcular la velocidad media. Para recorrer los primeros 10 Km. usa 10/60 horas. Para recorrer los siguientes 10 Km. usa 10/70 horas. Por lo tanto, para cubrir los 20 Km. Km. (10 + 10) se emplearon (10/60)+( (10/60)+( 10/70) horas horas con un promedio promedio de velocidad de: de:
Solución: 10 + 10 ´ = = 10 10 = 60
+
70
1 60
2
+
1 = 64.6 / h 70
Media cuadrática XQ La media cuadrática XQ. Se define ésta como la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores
∑ 2
2
∑
√ √
´ =
=1
Para datos No agrupados
´ =
=1
Para datos agrupados
Esta media tiene su utilidad utili dad con frecuencia en la aplicación a fenómenos físicos. Se puede demostrar que estas medias se relacionan con la media aritmética, en el caso de valores positivos de la variable, por
´ ≤ ´ ≤ ´ ´ ≤
Ejemplo: Un profesor pide a sus alumnos que realicen un experimento en el laboratorio . Espera que los alumnos obtengan 5 litros de ácido clorhídrico. Anota en una tabla una columna con las candades de ácido obtenidos por cada alumno y en la otra el error por falta o exceso de la candad esperada, de la siguiente manera:
Solución: Al profesor no le importa si el error se produjo por falta o por exceso, sino la candad de ácido de diferencia respecto a la esperada. Para ello, uliza la media cuadráca:
Nota: Ninguna de esas medias es muy robusa en general, aunque eso depende de cómo se disribuyan las variables. Por ejemplo, la media armónica es muy poco sensible a valores muy alos de x, mienras que a la media cuadrátca apenas le aecan los valores muy bajos de la variable.
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FRASE MOTIVADORA….
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