Sesión de Aprendizaje Homotecia

 

 PLANIFICACIÓN DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE Docente: Valentín Timoteo Ochoa Avilés   Grado: 4° Grado:  4° A-B-C-D-E Duración: Duración: 2  2 hrs Fecha: 13 al 15 noviembre del 2019 UNIDAD 5 NÚMERO DE SESIÓN: 1

I. TÍTULO DE LA SESIÓN Resolvemos problemas de transformaciones geométricas en otros contextos. 

II. APRENDIZAJES ESPERADOS  ESPERADOS  COMPETENCIA CAPACIDADES

ACTÚA Y PIENSA MATEMÁTICAMENTE EN SITUACIONES DE FORMA, MOVIMIENTO Y LOCALIZACIÓN   LOCALIZACIÓN

Modela objetos con formas geométricas y sus transformaciones.   Comunica su comprensión sobre las formas y relaciones geométricas.´  

DESEMPEÑOS   Examina propuestas de modelos que combinan traslación, rotación y reflexión de figuras respecto a un eje de simetría.   simetría.



  Realiza proyecciones y composición de transformaciones de traslación, rotación, reflexión y de homotecia con segmentos, rectas y formas geométricas en el plano cartesiano al resolver problemas, usando recursos gráficos y otros.  otros. 



III. SECUENCIA DIDÁCTICA  DIDÁCTICA  Inicio: (20 minutos)

Una vez que el profesor(a) haya saludado a sus alumnos (as) cordialmente, y haber verificado su asistencia, comenta a sus alumnos lo siguiente: “Se han fijado que en nuestra vida diaria nos enfrentamos muchas veces a la reducción o ampliación de figuras. Por ejemplo: al proyectar una diapositiva, al observar a través de una lupa, cuando queremos ampliar una fotografía, fotograf ía, una insignia e inclusive nuestro ojo humano a través de la retina crea una imagen invertida y proporcional a la real, es más si alguna vez han ido al cine se habrás fijado que la pantalla es solo un telón blanco, que no funciona como un televisor sino que es una imagen proyectada a este mencionado telón”. Luego el profesor plantea la siguiente pregunta: ¿Cómo podemos ampliar o reducir una figura en un factor que nosotros queramos?

Estas situaciones mencionadas anteriormente, se pueden asociar asociar a un modelo matemático. Y corresponde al concepto que estudiaremos hoy, pero enfocado en el plano y NO en el espacio, llamado “Homotecia”, la cual nos dará la respuesta a la pregunta planteada Desarrollo: (50 minutos) En este instante el profesor(a), revisa aquellos preconceptos necesarios para el estudio del concepto de “Homotecia”. Anotando en la pizarra los siguientes preconceptos, dando una

 

breve explicación de cada uno uno de ellos, y proponiendo proponiendo a sus alumnos alumnos y alumnas alumnas los ejemplos respectivos. l.  Transformaciones Isométricas: Eran transformaciones aplicadas a figuras planas, tal que cambiaba sólo la posición de la figura en el plano, pero NO su forma ni tamaño; entre ellas tenemos:   

  Traslación. 



  Rotación.



 



  Simetría Axial.

Simetría Central. 

2.Razón: Es la comparación de dos magnitudes por medio de un cuociente. Ejemplo:  

  Los hijos de la familia Canelo son 3 y los hijos de la familia Ibarra son 2, entonces

la razón entre los hijos de la familia Canelo y los de la familia Ibarra es: 3 hijos

3

2 hijos

2

, o bien 3:2 y se lee “tres es a dos”.  dos”. 

3.Proporción: Una proporción es la igualdad de dos razones.  a:b

c : d , donde a, b, c y d distintos de cero y se lee “a es a b como c es a d”.  d”.  

Ejemplo:   Ejemplo: 

 

1 2

, porque 4 1

2 2.

2 4 4.  Figuras Planas Semejantes: Dos figuras planas son semejantes cuando tienen la misma forma y distinto tamaño. tamaño. 

Ejemplo:   Ejemplo:

El profesor(a) luego de haber hecho la instancia de motivado a los alumnos y alumnas, y de revisar los preconceptos necesarios, escribe en la pizarra la definición del concepto, recordando a sus alumnos que deben anotarla en su cuaderno de manera destacada.

 

Se llama Homotecia de centro O y razón k, con k distinto de cero, a la transformación del plano que hace corresponder  a  un  punto  A  otro  A ,  alineado  con  O  y  con  A, tal que  cada punto A  cumple:  '

'

OA'  k  OA OA 



El profesor(a), luego de escribir la definición del concepto en la pizarra, les pide a los alumnos y alumnas que intenten responder la siguiente pregunta:  pregunta:  ¿Cómo puedo darme cuenta de que estoy frente f rente a una Homotecia? El profesor(a), luego de oír algunas de las respuestas de sus alumnos y alumnas. Les hace una nueva pregunta, “por ejemplo, ¿cuáles fueron las condiciones que debieron cum plir ustedes para ingresar a este colegio?”. Luego de oír las respuestas a esta pregunta, el profesor(a) explica que al igual que como ellos debieron cumplir condiciones necesarias para ingresar al colegio, para la Homotecia también se deben cumplir “condiciones necesarias” para que ello   ocurra. Así el profesor(a) y sus alumnos (as) acuerdan que estamos frente a una Homotecia si: ➢

  C.N.l: Es una transformación en el plano. 

➢

  C.N.2: Tiene asociada un punto O, llamado centro de homotecia. 

➢

  C.N.3: Tiene asociada una razón k, con k distinto de cero.

➢

  C.N.4: Cada punto A de la figura original le corresponde un punto A’, alineado con A y O, tal que OA'

k OA .

El profesor(a) muestra a los alumnos y alumnas un ejemplo de Homotecia, Homoteci a, y un NO ejemplo de Homotecia, que ya traía preparados previamente en cartulina, para hacerlo más llamativo. El profesor(a) pregunta a los alumnos y alumnas “¿Por qué la primera transformación es una Homotecia y la otra no lo es?, si en ambas amplié la figura y la Homotecia sirve para ampliar figuras”. Luego concluyen que deben verificar si se cumplen las C.N.S, estudiadas   anteriormente.

Ejemplo l: (pegar la figura en la pizarra)  

 

 

El profesor(a), en conjunto con los alumnos y alumnas verifican si se cumplen o no las

Escribiendo en la pizarra la justificación del cumplimiento o no de cada una y pidiendo a los alumnos que anoten en sus cuadernos estas justificaciones de manera destacada. ❖  Cumple con la C.N.l, ya que a cada punto en el plano le corresponde otro punto enel

mismo plano.  ❖ 

Existe el punto O, es decir, el centro de homotecia, homotecia, luego cumple con la C.N.2.  ❖  Medimos los segmentos:  l.

OA

5 y el OA' 10  10 

2.  OB

8 y el OB' 16

3.  OC

10 y el OC'

4.  OD

7 y el OD' 14

Aplicando OA' k 5

2. 16

k 8

3. 20

k 10

4. 14

k 7

Existe una razón k

❖

k OA . Resulta:

10

l.

20

 k

2 

 k

2

 k

2

 k

2

→

→

→

→

2

La C.N.3 se cumple.

loss segmentos:    Como sabemos la razón de Homotecia es k =2. Luego con la medida de lo

 

OA l.

5 , OB

8 , OC

OA' 2 5

2. OB'

2 8

3. OC'

2 10

7 . Y aplicando OA'

k OA . Resulta:

 OA' 10

→

→

4. OD' 2 7

10 , OD

 OB' 16

→

 OC' 20

La C.N.4 se cumple.

 OD' 14

→

Cierre: (20 minutos)

Luego el profesor(a), explica algunas de las propiedades propiedades que tiene la Homotecia, escribiéndolas escribiéndolas en la pizarra y pidiendo a los alumnos y alumnas que las copien en su cuaderno de manera destacada.

 

IV. TAREA A TRABAJAR EN CASA  CASA  

1. Aplicar una Homotecia con k = - 2 y luego con k = 0.6, aun cuadrado de lado 3 cm. 2. Responde :  :  a)  ¿Qué diferencia existe entre los cuadrados que obtuviste, luego de aplicar la homotecia con k = -2 y k = 0.6?  

 b)  ¿Qué diferencia existe entre los cuadrados que obtuviste y el aumentado en clases?  3. Averigua el significado etimológico de la palabra “Homotecia”.  

V. MATERIALES O RECURSOS A UTILIZAR UTILIZAR   -  -  - 

Fichas de actividades. Hojas de papel, plumones y pizarra.   Proyector multimedia 

 

  ACTIVIDAD 1 Halla la homotecia de la figura geométrica geométrica si R=2

Halla la homotecia de la figura geométrica geométrica si R= 1/2

 

 

ACTIVIDAD 2

Dado los cuadrados homotéticos ABCD y A 1B1C1D1 de coordenadas A (0; 0), B(0; -2), C(2; -2), D(2; 0), A1(-5; 1), B1(-5; -3),

C1(-1; -4) y D1(-1; 1). Encuentre: Las coordenadas del centro de homotecia. La razón de homotecia.

Dado los cuadrados homotéticos ABCD y A2B2C2D2 se conocen las coordenadas de los puntos p untos A (-1; 1), B(-1; -1), C(1; -1), A2(0;

2), B2(0; -2) y C2(4; -2). Encuentra: Las coordenadas de los puntos D y D2. Las coordenadas del centro de homotecia. La razón de homotecia.