Sesión 9.3 Libro Digital_Funciones Sinusoidales- Ecuaciones Trigonométricas
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Funciones Sinusoidales...
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UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420)
SESIÓN VIRTUAL 9.3 - TEORÍA Funciones Sinusoidales y ecuaciones trigonométricas. CONTENIDO
FUNCIONES SINUSOIDALES – ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Motivación
1.1. Funciones sinusoidales.
Definiciones y notaciones
Ejemplos
1.2. Ecuaciones trigonométricas Definiciones y notaciones
Ejemplos
Profesores MA420
1
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Motivación Corriente Alterna Durante la década de 1880 en Estados Unidos hubo un acalorado y enconado debate entre dos inventores acerca del mejor método de distribución de energía eléctrica. Thomas Edison estaba a favor de la corriente continua, es decir, la corriente constante que no varía
con
el
tiempo.
En
cambio,
George
Westinghouse se inclinaba por la corriente alterna, con voltajes y corrientes que varían en forma sinusoidal.
A final de cuentas, prevaleció prevaleció el punto de vista de Westinghouse, y en la actualidad la mayoría de los sistemas de distribución de energía para uso doméstico e industrial en el Perú operan con corriente alterna. Corriente alterna
Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de alternating current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una senoidal ,
puesto
que
se
consigue
transmisión más eficiente de la energía.
onda
una
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1.1
Funciones sinusoidales
Definición: Una función f es llamada sinusoidal si su regla de cor respondencia es de la forma: f ( x) a senb( x ) k
Donde
a
f ( x) a cosb( x ) k
o
0 , b 0 y k son constantes reales.
Para graficar una función sinusoidal se debe seguir los siguientes pasos (teniendo en cue nta las técnicas de graficación vistas en semanas anteriores): Determine el valor de la amplitud, cuyo valor es
a
(valor absoluto de número
a
Determine el valor del periodo de la función, cuyo valor se obtiene mediante: T
)
2
b
Determine el valor del ángulo de fase o desfase ( ). Determine el valor del desplazamiento vertical ( k ). Finalmente, basta graficar para un periodo, e l cual debe iniciar en y finalizar en T , y usando
el concepto de punto medio se debe dividir el intervalo en cuatro partes iguales:
P2
P1
T
P3
Donde:
P1 es
el punto medio de y T .
P2 es
el punto medio de y
P1
P3 es
el punto medio de
T
P1 y
Recuerde: El punto medio de valores
Ejemplo 1: Dada la función
a
y
b es la semisuma:
f con regla de correspondencia
ab 2
f x 3sen 2 x
1, determine: el 4
dominio, la amplitud, el periodo, la traslación horizontal horizontal (ángulo de fase o desfase), la traslación vertical y el rango. Luego trace su gráfica.
Solución:
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Ejemplo 2: Dada la función
4 cos 2 x 1, determine: el
g con regla de correspondencia g x
3
dominio, la amplitud, el periodo, la traslación horizontal (ángulo de fase o desfase), la traslación vertical y el rango. Luego trace su gráfica.
Solución:
https://youtu.be/cd6DLrPCePk
Ejemplo 3: La energía eléctrica en Perú se genera usualmente utilizando agua al macenada en represas, la energía es transportada desde las centrales hasta los lugares de consumo por líneas de transmisión o líneas de alta tensión sostenidas por altas torres, las empresas de distribución son las que se encargan del alumbrado público y de la atención a las fábricas, oficinas hogares y otros usuarios. En los domicilios de Perú la electricidad llega a los tomacorrientes con voltajes que varían sinusoidalmente y la regla de correspondencia de la función que modela el voltaje en cualquier instante de tiempo
V t
t viene dada por:
220 220 2 sen 120 t
Donde:
V t : es el valor instantáneo del voltaje o tensión, es decir, el valor en un determinado instante
unidad de medida es el voltio). t : es el tiempo expresado en segundo.
Trace la gráfica de la función que modela el voltaje en el primer periodo, ósea en el primer ciclo u onda.
Solución:
(
)
Sea la regla de correspondencia: V (t ) = 220 2 s e n120 t Amplitud:
a
Periodo: T
220 2
1
60
=
311,13
segundos
Traslación vertical: k Desfase:
=
0
Intervalo de referencia:
0
t (su
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Luego la gráfica es:
1.2 Ecuaciones trigonométricas Definición: Una ecuación trigonométrica es una igualdad donde la variable debe estar afe ctada necesariamente por una función trigonométrica. Por ejemplo:
sen x cos x 1
tan
2
x
tanx 6 0
Resolución de ecuaciones trigonométricas trigonométricas Para resolver una ecuación trigonométrica, aplicamos las reglas del álgebra para aislar la función trigonométrica en un lado del signo igual. Luego usamos los conocimientos de los valores de las funciones trigonométricas para determinar la variable.
Ejemplo 4: Determine el conjunto solución (forma general) de las siguientes ecuaciones: a. b.
sen x
0
cos x
0
Solución: a.
Para ello recordemos la gráfica de la función seno:
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Observamos que
x
; 0; ; 2 ;
de donde se deduce: deduce: x
k con k Z
Así, CS k / k Z
NOTA: Si despejamos tememos:
deducir que sen x
b.
x
sen 1 (0) 0 solo tenemos una solución pero a partir de la gráfica podemos
0 en intervalos de longitud
Despejando se tiene:
x
cos 1 (0)
2
,
por tal razón x
k con k Z .
(compruebe el el valor usando una calculadora, asegúrese asegúrese de que
este programada en radianes) De esta manera solo posemos tener una solución, por tal razón debemos apoyarnos en la gráfica de la función coseno.
Observamos que cos x longitud
,
0 en
x
;
;
2 2
;
3 2
; , es decir las soluciones se repiten en intervalos de
entonces para poder tener todas las soluciones se hace: x
Por lo tanto: CS
2
k con k Z .
k / k Z 2
NOTA: Es importante que sepa que no es la única manera de escribir las soluciones generales de las ecuaciones
trigonométricas, por ejemplo la última solución también se puede escribir así: CS
Ejemplo 5: x
k / k Z 2
Determine el conjunto solución (forma particular) de la siguiente ecuación:
2sen x
1 para
0; 2
Solución:
Despejando la ecuación dada se tiene sen x T
2
1 / 2 . Analizando el periodo de la función seno, observamos que
2 , esto quiere decir que la función realiza una vuelta completa (un ciclo) en un intervalo de
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Ahora nos apoyamos en la gráfica de las funciones y
sen x
e y
1
2
De donde observamos que hay dos soluciones, la primera solución ya fue encontrada con la calculadora, es decir
x
1
6
y para hallar la segunda solución basta hacer x 2
Por lo tanto: CS
5
6
6
(Ver la figura).
5 ; 6 6
Ejemplo 6: Determine el C.S. de la ecuación:
3 0
5 cos 2 x
Solución:
Despejando la ecuación dada se tiene cos 2 x observamos que T
2
intervalo de longitud
2 .
3 / 5 . Analizando el periodo de la función coseno,
, esto quiere decir que la función realiza una vuelta completa (un ciclo) en un
Además, en este caso nos piden soluciones generales.
Ahora despejemos y calculemos la primera solución: cos 2 x
Grafiquemos (solo en el periodo T y cos(2 x) e y 3/ 5
) las funciones
3 5
cos 1 (3 / 5)
x1
2
1,10714
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Ejemplo 7: En el ejemplo 3 se realizó la gráfica del voltaje
220
V t
2 sen sen 120 t en el primer ciclo, a partir
de ella determine el tiempo en el cuál el voltaje será 180 voltios.
Solución: Graficando v(t ) 180 en la gráfica del ejemplo 3, se tiene:
Observamos que la curvas se intersectan en 2 puntos, esto quiere decir que hay dos instantes de tiempo (en segundos) donde la el voltaje es 180 voltios. Para ello debemos resolver la siguiente ecuación: V t
Despejando: t
sin
-1
220 2 sen sen 120 t
180 / 220 2 y utilizando la calculadora se tiene:
t 1
120 Luego, para hallar el segundo instante de tiempo (segunda solución) hacemos: t 2
1
120
0,00163...
180 con t
1 0; 60
0,00163...seg
0,00669...seg (Ver figura)
Respuesta: En un ciclo, el voltaje será de 180 voltios en los instantes de tiempo 0,00163 y 0,00669 segundos, aproximadamente.
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Código QR: Link: https://goo.gl/o1NsII
Ejemplo B: Determine el C.S. de la ecuación:
5 cos x
3
0
Solución: Determinemos el CS. Utilizando la calculadora
cos x
3 x
5
1
3
cos ( ) 0,927... 5
2
Representando la solución en la circunferencia unitaria
0,927...
5,355...
Analizando la circunferencia unitaria, las soluciones generales son:
x1
0,927... 2k π
x2
5,355... 2k π
Por lo tanto, el c onjunto solución será:
Ejemplo C:
C.S 0,927... 2k π ;5,355... 2k π,
Determine todas las soluciones en el intervalo indicado para cada ecuación trigonométrica:
5sen(4 x) 3 0;
x
π; π
Solución: Despejando
sen4 x
k ∈ Z
y
utilizando
la
calculadora
se
tiene:
3 0,353 35 3... 4 x sen 1 5 5 3
Representando y analizando la circunferencia unitaria, las soluciones generales son:
0,353...
2,787...
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UPC - Área de Ciencias - Matemática Básica – Blended (MA420)
Uso de la calculadora: calculadora: Ejemplo 1: Usando una calculadora, determine el conjunto solución ( forma general) de la ecuación: 2 cos x 3 0 Código QR:
Link: https://goo.gl/yGka55
Ejemplo 2: Usando una calculadora, determine el conjunto solución ( forma general) de la ecuación: ; 2 2
2sen(4 x) 1 0; x
Código QR:
Link: https://goo.gl/HM9aAL
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