Sesión 8. Redes Clase

SEPI - UPIICSA – IPN Investigación de operaciones Maestría en administración Sesión 8

Introducción a Redes En general las redes pueden ser muy complejas por la cantidad excesiva de nodos, por tales razones en teoría de redes los algoritmos pueden ser exactos (por ejemplo, el simplex) los cuales se caracterizan por dar soluciones óptimas; heurísticos por ejemplo, búsqueda tabú, redes neuronales, glotones, etc. mismos que se caracterizan por dar soluciones aproximadas a las óptimas. En ocasiones se combinan los heurísticos con los exactos, utilizando primeramente un heurístico, para encontrar rápidamente una solución aproximada y posteriormente la exacta. Cuando se trata de encontrar el camino más corto entre un origen y un destino, la técnica, algoritmo o el modelo más común es el de la ruta más corta; aunque existen otros modelos de redes que dependiendo de la complejidad de cómputo pueden ser usados, como es el caso de los algoritmos heurísticos, por ejemplo la búsqueda Tabú. Uno de los problemas principales de las redes se refiere a la minimización de las trayectorias. En general las redes pueden trabajarse como problemas lineales o lineales enteros, al utilizar un principio básico en teoría de redes: “Siempre debe cumplirse el equilibrio en los nodos, flujo entrante debe ser igual al flujo saliente”. Por lo tanto, el capítulo inicia con un resumen de la terminología general de una red, siguiendo con la solución de los problemas de redes más comunes por medio de la programación lineal. Posteriormente se revisan los algoritmos clásicos de los modelos de redes y se revisan algunas aplicaciones. 8.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE REDES A continuación se mencionan algunos conceptos básicos de redes y notación. 1. Red: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos o vértices y las líneas se llaman arcos, ligaduras, aristas o ramas. 2. Arcos: Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B. En un problema de programación lineal, las técnicas de flujo de redes están orientadas a optimizar situaciones vinculadas a las redes de transporte, rutas de navegación de los cruceros, rutas entre ciudades, y todas aquellas situaciones que puedan representarse mediante una red donde los nodos denotan las estaciones o las ciudades, los arcos los caminos, y el flujo lo 1

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representan vehículos de transporte que pasan por la red; con el objetivo de encontrar la ruta más corta entre un par de nodos que permita fluir productos para su comercialización o distribución. 3. Arcos dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección, la dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco. Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA, otra manera es A B. 4. Ligadura: Se llama ligadura cuando el flujo a través de un arco ocurre en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas. 5. Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que unen el nodo inicial con el nodo final. 6. Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. 7. Árbol de Expansión: es una red conexa para los n nodos, que contiene ciclos no dirigidos. Todo árbol de expansión tiene justo n  1 arcos, ya que éste es el número mínimo de arcos necesarios para tener una red conexa y el máximo número posible para que no haya ciclos no dirigidos. EJEMPLOS DE REDES 8.1

 Transporte  Los 7 puentes de Königsberg (Euler 1736)  Internet.  Etc. Nota: un principio fundamental en una red es que todo lo que entra a un nodo debe ser igual a lo que sale. 8.2 SOLUCIÓN DE OPTIMIZACIÓN DE REDES POR PROGRAMACIÓN LINEAL Los modelos más comunes de optimización de redes son:  Redes de transito urbano.  Transporte y transbordo.  Redes de la ruta más corta.  Redes de flujo máximo.  Árbol de expansión mínima.

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8.2.1 TRANSPORTE Y TRANSBORDO

El modelo de transbordo se puede considerar como un ampliación del modelo de transporte, en donde los artículos que se deben transportar de una fuente a un destino puede ser que tengan que pasar o almacenarse primeramente en otro centro, de tal forma que se requiere de un transbordo para llegar al centro de destino. La solución de este tipo de problema se realiza con el principio de equilibrio de la red para los nodos de transbordo: Todo lo que entra en un nodo debe salir. Por otro lado, los nodos de las fuentes son nodos emisores y los nodos de la demandas son nodos receptores o sumidero EJEMPLO 8.2

Una compañía tiene un solo campo petrolero desde donde envía todo el petróleo, a través de un oleoducto, a uno de dos centros de embarque, en donde se almacena en buques tanques para su envío a refinerías de los estados. La oferta diaria en el campo es de 2,000 barriles. Deben considerarse los costos del oleoducto, los costos de embarque y las cantidades de petróleo que pueden enviarse a través de los oleoductos. Los costos del oleoducto y las capacidades diarias de éste se muestran en la tabla siguiente. Instalación de Costo por barril Capacidad del oleoducto envío (en barriles) B1 $0.20 1000 B2 $0.15 500 En la tabla siguiente se presentan los costos de embarque de cada estación de embarque a cada refinería y las demandas diarias de las refinerías. Refinería Núm. De ubicación R1 R2

Costo de transporte por barril del Centro 1 Centro 2 $0.10 $0.15 $0.20 $0.25

Demanda diaria 600 800

Se desea minimizar los costos de transportación, para mandar el petróleo del campo petrolero a las refinerías R1 y R2, pasando por las instalaciones de envío B1 y B2. 8.2.2 RUTA MÁS CORTA

Los problemas de redes para determinar la ruta más corta entre un nodo y otro se pueden plantear como problemas lineales, en donde las variables de decisión son binarias, puesto que de un nodo a otro solo debe existir una posibilidad, se recorre el arco o no se recorre. EJEMPLO 8.4

La compañía de muebles “El mueble moderno” quiere transportar comedores de su planta en Naucalpan, Estado de México a una distribuidora que se encuentra en Tlalpan, en el sur de la ciudad de México, en el menor tiempo posible. Las rutas que enlazan estas dos instalaciones forman la red que se muestra a continuación.

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1

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6

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4 22 En donde las distancias son los tiempos de viaje del camión dados en minutos. Formule el problema como un problema lineal y resuélvalo. 2

Solución Sean las variables binarias xij que representan si existe traslado de la ciudad i a la j, !EJEMPLO 8.1; !FUNCIÓN OBJETIVO; MIN=10*X12+12*X13+20*X25+22*X24+15*X35+12*X34+10*X46+10*X56; !RESTRICCIONES EN LOS NODOS; X13+X12=1; X35+X34=X13; X25+X24=X12; X25+X35=X56; X34+X24=X46; X56+X46=1; @BIN(X12);@BIN(X13);@BIN(X25);@BIN(X24);@BIN(X35); @BIN(X34);@BIN(X46);@BIN(X56); Global optimal solution found at step: 1 Objective value: 34.00000 Branch count: 0 Variable Value X12 0.0000000 X13 1.000000 X25 0.0000000 X24 0.0000000 X35 0.0000000 X34 1.000000 X46 1.000000 X56 0.0000000

Reduced Cost 10.00000 12.00000 20.00000 22.00000 15.00000 12.00000 10.00000 10.00000

La ruta más corta: ir de la ciudad 1 a la 3, luego a la 4 y finalmente a la 6. Con un tiempo mínimo de 34 minutos. EJERCICIO 1

9.3.1 Usted debe hacer un viaje en auto a otra ciudad que nunca ha visitado. Estudia un plano para determinar la ruta más corta a su destino. Según la ruta que elija, hay otras cinco ciudades (llamadas A, B, C, D, E) por las que puede pasar en el camino. El plano muestra las millas de cada carretera que es una conexión directa entre dos ciudades sin que otra intervenga. Estas cifras

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se resumen en la siguiente tabla, donde un guión indica que no hay conexión directa sin pasar por otras ciudades. Pueblo Origen O) A B C D E

A 40

B 60 10

Millas entre ciudades adyacentes C D E 50 70 20 55 40 50 10

Destino (T) 60 80

a) Formule este problema como uno de la ruta más corta trazando una red donde los nodos son ciudades, los arcos, carreteras, y los números la distancia en millas. b) Use el algoritmo de ruta más corta para resolver este problema. c) Formule y resuelve un modelo en hoja de cálculo. d) Si cada número en la tabla representa su costo (en dólares) de manejar de una ciudad a la siguiente, ¿obtiene la ruta de costo mínimo con la respuesta del inciso b o c? e) Si cada número en la tabla representa su tiempo (en minutos) para manejar de una ciudad a la siguiente, ¿obtiene la ruta de tiempo mínimo con la respuesta del inciso b o c? EJERCICIO 2

9.3.2 En un pequeño aeropuerto que está creciendo, la compañía aérea local piensa comprar un tractor nuevo para mover el tren de carros que llevan y traen el equipaje de los aviones. Dentro de tres años se instalará un nuevo sistema mecanizado de transporte de equipaje, por lo que después no se necesitará el tractor. No obstante, tendrá una carga de trabajo pesada y los costos de operación y mantenimiento aumentarán rápidamente con el tiempo y podrían resultar costeable reemplazarlo en uno o dos años. La siguiente tabla proporciona los costos descontados netos totales asociados con la compra del tractor (precio de compra menos valor de venta del tractor en uso más costos de operación y mantenimiento) al final del año i y si se reemplaza al final del año j (en donde el momento presente es el año 0). i\ j 0 1 2

1 $8,000

2 $18,000 $10,000

3 $31,000 $21,000 $12,000

El problema es determinar en qué momento (si existe) debe reemplazarse el tractor para minimizar el costo total durante los tres años. a) Formule el problema como uno de la ruta más corta y trace su diagrama de red. b) Resuelva el modelo. EJERCICIO 3

9.3.5 Un vuelo de Speedy Airlines está a punto de despegar a Seattle sin escalas a Londres. Existe cierta flexibilidad para elegir la ruta precisa, según las condiciones del clima. La siguiente red describe las rutas posibles consideradas, donde SE y LN son Seattle y Londres, respectivamente, y los otros nodos representan varios lugares intermedios. El viento a lo largo de cada arco afecta mucho el tiempo de vuelo (y por ende el consumo de combustible). Con base en el informe meteorológico actual, junto los arcos se muestran los tiempos de vuelo (en horas). 5

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Debido al alto costo de combustible, la administración ha establecido la política de elegir la ruta que minimiza el tiempo total de vuelo.

a) ¿Qué papel tienen las “distancias” en este problema? El tiempo depende de la distancia y del viento. EJERCICIO 4

9.3.6 La compañía Quick ha averiguado que un competidor planea lanzar un nuevo tipo de producto con ventas potenciales muy grandes. Quick ha trabajado en un producto similar programado para salir dentro de 20 meses. Sin embargo, la investigación está casi terminada y ahora la administración quiere lanzar el producto más rápidamente para hacer frente a la competencia. Se deben lograr cuatro etapas independientes que incluyen lo que falta de la investigación que por el momento se lleva a cabo a paso normal. No obstante, cada etapa se puede realizar en un nivel de prioridad o de quiebre para acelerar la terminación y estos son los únicos niveles considerados en las últimas tres etapas. Los tiempos requeridos para cada nivel se muestran en la siguiente tabla. (Los tiempos entre paréntesis en el nivel normal se han eliminado por ser muy largos.)

Se dispone de $30 millones para las cuatro etapas. El costo (en millones de dólares) para cada nivel es:

La administración desea determinar el nivel al que debe realizar cada una de las cuatro etapas para minimizar el tiempo total hasta la comercialización del producto sujeto a las restricciones de presupuesto. 6

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a) Formule éste como un problema de la ruta más corta. La gráfica es:

8.2.3 FLUJO MÁXIMO

Los problemas de redes para determinar el flujo máximo que se resuelven por programación lineal, tienen la característica de Maximizar el flujo a través de la red de distribución de la fuente a su destino, por ejemplo:  La red de distribución de flujo de transporte.  La red de distribución de una compañía a sus clientes.  La red de suministros de los proveedores a sus fábricas.  La red de flujo de gas por un sistema de tuberías.  La red de flujo de agua. EJEMPLO 8.7

Suponga que la compañía nacional de Substancias populares (CONASUPO) tiene un programa anual de costalera. Ésta se compra de dos fábricas, una en Mérida (nodo 2) con capacidad de producción máxima de 10 millones de costales al año y otra en Saltillo (nodo 3) con capacidad de producción máxima de 7 millones de costales al año. Los excedentes en la fábrica de Mérida pueden transferirse a la planta de Saltillo. La disponibilidad de transporte entre las dos fábricas permite un máximo de 8 millones de costales por año. Hay tres centros almacenadores: en la ciudad de México (nodo 5), Guadalajara (nodo 4) y Oaxaca (nodo 6). La tabla siguiente proporciona la capacidad máxima anual de transporte de las fábricas a los centros almacenadores. De: ciudad Saltillo Mérida

México 4 3

A: Ciudad Guadalajara 8 2

Oaxaca 3

Los excedentes de Guadalajara (nodo 4) y Oaxaca (nodo 6) pueden transferirse a la ciudad de México (nodo 5), la capacidad máxima anual es de 3 y 4 millones de costales, respectivamente. Una vez en los centros almacenadores, los costales se entregan a los ejidatarios de la región. La capacidad máxima anual de entrega es de 4 millones en la región almacenadora de Guadalajara, 7 millones en la región del Distrito Federal y 5 millones en la región de Oaxaca.

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La pregunta es ¿Cuál es el flujo máximo anual de costales nuevos que pueden circular en este sistema?, utilice un modelo de PL. El problema se representa gráficamente en la red siguiente. 4

8 3

7 1

8

4 2

4

3 5

3

10

7

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4 2

3

5 6

En donde las distancias son los flujos máximos de transporte de nodo a nodo. Solución Sean las variables enteras xij que representan el flujo en millones de costales transportados del nodo i al j, !FUNCIÓN OBJETIVO; MAX=X71; !RESTRICCIONES DE CAPACIDAD; X13