Sesión 4

Herramientas Estadísticas para Gestión de Mantenimiento Sesión 5: Variables Aleatorias Discretas Ing. Wilfredo O. Murillo V.

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Objetivo • Al finalizar la sesión, los estudiantes estarán en la capacidad de identificar variables aleatorias y realizar distribuciones de valores esperados. 2

Resultado • Los estudiantes aplicarán lo aprendido para realizar histogramas que les permitan elaborar gráficos de control y líneas de tendencia. 3

Contenidos a Tratar • • • •

Variables aleatorias. Distribuciones. Valores Esperados. Distribución de probabilidad binomial.

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5

Recordemos! • • • • • • • •

Variable. Unidad experimental. Población. Muestra. Variable Cualitativa / Cuantitativa Datos categóricos. Variable discreta / Contínua. Frecuencia 6

Frecuencia • Frecuencia absoluta: ( ni ) El número de veces que se repite cada valor o dato de la variable. • Frecuencia relativa: ( ) La frecuencia f i número de absoluta dividida por el datos. ni fi = N

donde N es el número de datos.

Frecuencia • Frecuencia absoluta acumuladas: ( N i ). Es el número de datos que hay igual al considerado o inferiores a él. • Frecuencia relativa acumuladas: ( Fi ). Es cada frecuencia acumulada dividida por el número de datos.

Frecuencia n

n1 + n2 + K + ni + K + nn = n = ∑ ni

• Frecuencia absoluta:

i =1

N1 = n1

• Frecuencia absoluta acumulada:

N2 = n1 + n2 ................ Nk = n1 + n2 +... + nk

• Frecuencia relativa: f

i

=

n i n

..................

n

∑

f

i

= 1

Nn = n1 + n2 +... + nk +... + nn = N

1

• Frecuencia relativa acumulada. F i = f1 + K + f i

Intervalos • Intervalos: (Li −1 ; Li ). Se puede agrupar valores en clases o intervalos. Esto ayuda cuando existe un gran número de observaciones, pero se pierde información. Li −1 es el extremo inferior y Li su extremo superior.

Intervalos • Recorrido de variable: Re = máx xi − mín ;xi la diferencia i i entre el mayor y el menor valor. • Amplitud de intervalo:

ci = Li − Li.−1

• Los intervalos pueden ser de amplitud constante o variable. Si la amplitud es constante; Re = N º de intervalos ∗ ci .

Intervalos • ¿Como podemos tratar un valor que coincide exactamente con un extremo de intervalo? • Lo normal es los intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha. (a, b]. El intervalo incluye todos los puntos entre ay b , incluido b , excluido a .

Intervalos xi =

Li + Li −1 2

• Marca de clase: ; su punto medio usamos como representante de cada intervalo. ni di = ci

• Densidad de frecuencia: ; se utiliza cuando los intervalos no son de la misma amplitud.

Tabla de frecuencias Valor

Frecuencia absoluta

xi x1 x2 x3

ni n1 n2 n3 Σni=N

Con Intervalos:

I I

Frecuencia absoluta accum.

i

= [e

i−1

, ei)

i

= (e

i−1

, ei]

Marca de clase:

e i −1 + e i xi = 2

Frecuencia relativa

Ni N1 N2 N

Frecuencia relativa accum.

fi f1 f2 f3 1

Fi F1 F2 1

Ii

xi

ni

fi

Ni

Fi

ci

I1= ( e0, e1]

x1

n1

f1

N1

F1

c1

I2= (e1,e2]

x2

n2

f2

N2

F2

c2

Ii=(ei-1,ei]

xi

ni

fi

Ni

Fi

ci

In=(ek-1,ek]

xn

nn

fn

Nn

Fn

cn

Ejemplo Número de hijos

•

¿Cuántos individuos tienen menos de 2 hijos? – frecuencia individuos sin hijos

+ frecuencia individuos con 1 hijo = 419 + 255= 674 individuos

•

¿Qué porcentaje de individuos tiene 6 hijos o menos? – 97,3%

•

¿Qué cantidad de hijos es tal que al menos el 50% de la población tiene una cantidad inferior o igual? – 2 hijos

0 1 2 3 4 5 6 7 Ocho+ Total

Frec. 419 255 375 215 127 54 24 23 17 1509

Porcent. (válido) 27,8 16,9 24,9 14,2 8,4 3,6 1,6 1,5 1,1 100,0

Porcent. acum. 27,8 44,7 69,5 ≥50% 83,8 92,2 95,8 97,3 98,9 100,0

Representaciones gráficas A) para fenómenos cualitativos: • Diagramas sectoriales • Cartogramas • Pictogramas B) para fenómenos cuantitativos: 1) Diagrama de barras (distribuciones no agrupadas) 2) Histograma de frecuencias (distribuciones agrupadas en intervalos)

Representaciones gráficas • A1: Diagramas sectorales • Diagramas sectoriales, circulares; • Tienen un ángulo central proporcional a las frecuencias absolutas o relativas, y un área proporcional a la frecuencia absoluta o relativa. X i º = ( 360º ∗ni ( abs )) / n

Representaciones gráficas • Diagramas sectoriales, rectángulos; Tienen una base constante y una altura proporcional a la frecuencia absoluta. Su superficie es proporcional a la frecuencia absoluta.

Representaciones gráficas • B1: Diagramas de barra • Diagramas de barra tienen las alturas proporcionales a las frecuencias absolutas (o relativas). Se pueden también aplicar para variables discretas.

• Las frecuencias acumuladas dan lugar a un diagrama de escalera o escalonado.

Representaciones gráficas • B2: Histograma de frecuencia • intervalos de amplitud constante: Las alturas de los rectángulos serán iguales a las frecuencias absolutas respectivas. (Las áreas sólo dependerían de la altura). • Intervalos de amplitud variable: Las alturas de los rectángulos deben calcularse dividiendo la frecuencia absoluta por la longitud del intervalo. ni - La altura del intervalo es la densidad de frecuencia, d i = ci - El área del rectángulo será ni S i = ci

ci

= ni

Intervalos de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Amplitud del intervalo

7.0 ≤ x< 9.0

3

0.10

2.0

Densidad de frecuencias (Y) 0.10/2.0= 0.05

9.0 ≤ x< 10.0

7

0.23

1.0

0.23/1.0= 0.23

10.0 ≤ x< 11.0

9

0.30

1.0

0.30/1.0= 0.30

11.0 ≤ x< 12.0

8

0.27

1.0

0.27/1.0= 0.27

12.0 ≤ x≤ 13.0

3

0.10

1.0

0.10/1.0= 0.10

Totales

30

1.00

0,35

0,35

0,30

0,30

0,25

0,25

0,20 0,15

Correcto

0,10

F re c . R e la tiv a

Densidad de frecuencia

Ejemplo :Distribución de frecuencias para la variable X:

Incorrecto

0,20 0,15 0,10 0,05

0,05

0,00

0,00

7.0 7.0

9.0

10.0 11.0 12.0 13.0 Hemoglobinemia en grs/dl

Histograma en densidad de frecuencias

9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 Hemoglobinemia en grs/dl

Histograma de frecuencias relativas,posterior a la fusión del primer y segundo intervalo

Representaciones gráficas • Polígono de frecuencias, usando frecuencia absolutas acumuladas. Se levanta en el extremo superior de cada intervalo una ordenada igual a la frecuencia acumulada correspondiente, uniendo a continuación dichas ordenadas. La primera ordenada se une al extremo inferior del primer intervalo y prolongando la ordenada del extremo superior del último intervalo. • La altura al extremo superior del último intervalo = N si hemos usado frecuencias absolutas acumuladas y = 1 si hemos usado frecuencias relativas acumuladas. • También se puede hacer un polígono de frecuencias, pero no cumuladas. Para construir el gráfico hay que unir marcas de clase a una altura proporcional a la frecuencia (intervalos constantes). Se puede comparar esto tipo de gráfico para grupos distintos.

Polígono de frecuencias o densidad • Gráfico de líneas que se construye a partir de un histograma de densidad o de frecuencias. • Útil para la comparación de dos o más distribuciones

0,35 0,35 0,30 Densidad de frecuencias (Y)

Densidad de frecuencias (Y)

0,30

0,25

0,20

0,15

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

0,10 0,00 7.0

0,05

8.0

9.0

10.0

11.0

Hemoglobinemia en grs/dl Polígono de densidad de frecuencias

0,00

7.0

8.0

9.0

10.0

11.0

Hemoglobinemia en grs/dl Polígono de densidad de frecuencias

12.0

13.0

12.0

13.0

Histograma de Frecuencia Relativa • Definición: es una gráfica de barras en la que la altura de la barra muestra “con qué frecuencia” (medida como proporción o frecuencia relativa) las mediciones caen en una clase o subintervalo particular.

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Histograma de Frecuencia Relativa • ¿Cómo construyo un histograma de frecuencia relativa? 1. Escoja el número de clases, por lo general entre 5 y 12. Cuantos más datos se tengan, más clases deben usarse. 2. Calcule el ancho aproximado de clase al dividir la diferencia entre los valores máximo y mínimo entre el número de clases. 3. Redondee el ancho aproximado de clase hasta un número cómodo. 4. Si los datos son discretos, se puede asignar una clase para cada valor entero tomado por los datos. Para un número grande de valores enteros, puede que sea necesario agruparlos en clases. 5. Localice las fronteras de clase. La clase más baja puede incluir la medición más pequeña. A continuación sume las clases restantes usando el método de inclusión izquierda. 6. Construya una tabla estadística que contenga las clases, sus frecuencias y sus frecuencias relativas. 7. Construya un histograma como una barra de gráfi cas, grafi cando intervalos de clase en el eje horizontal y frecuencias relativas como las alturas de las barras.

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Problemas • Para los siguientes conjuntos de datos, encuentre el rango, el ancho mínimo de clase y un ancho práctico de clase. El primer conjunto de datos está hecho para usted.

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• Para los mismos conjuntos de datos, seleccione un punto inicial conveniente y haga una lista de fronteras de clase para las primeras dos clases. El primer conjunto de datos está hecho para usted.

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PREGUNTAS

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GRACIAS

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