Sesion 3 No Para 2013 II

ESTIMACION DE PARAMETROS POR INTERVALOS DE CONFIANZA

ESTADISTICA NO PARAMETRICA

LIC. RITA GUZMAN LOPEZ

ESTIMACION DE PARAMETROS POR INTERVALOS DE CONFIANZA En vez de estimar el parámetro θ a partir de un valor del θˆ (estimación puntual) ahora se trata de encontrar para una probabilidad prefijado (1-α) (nivel de confianza)) un intervalo [L ( [ 1,L2] llamado intervalo de confianza, que q contiene el parámetro θ, en base a una m.a.s, la misma que esta definida como: P(L1 ≤

ɵ ≤ L2)=1-α Parámetro

Estimador puntual

L1

θ

L2

El intervalo [L1,L2] es un intervalo aleatorio ya que sus extremos son variables aleatorias. ESTADISTICA NO PARAMETRICA

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Nivel de Confianza Gráficamente : L1

θ

L2

Podemos considerar el nivel de confianza (1-α) que hemos prefijado para la expresión anterior como la probabilidad que existe (antes de tomar la muestra) de que el intervalo a construir a partir la muestra incluya el verdadero valor del parámetro a estimar. Refleja “la confianza” en la “construcción del intervalo” y de que este, tras concretar la muestra, contendrá el verdadero valor del parámetro, de ahí que en términos numéricos dicho nivel toma niveles altos (0.90, 0.95, 0.99).

p g , El complementario del “nivel de confianza”,, es “α”,, denominado nivel de significancia, supone la probabilidad de cometer el error de concluir que el intervalo no contiene el verdadero valor del parámetro cuando realmente si esta contenido. De ahí dado que se trata de un error posible a cometer, su cuantificación en términos de probabilidad sea muy pequeña (0.10, 0.05, 0.025).

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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA, MUESTRA GRANDE Sea X una población distribuida con media μ desconocida y varianza σ2 conocida. Debemos hallar un intervalo de confianza para μ, es decir, encontrar 2 estadísticos θ1 y θ2 tal que:

P(θ1 ≤ μ ≤ θ 2 ) = 1 − α

Con (1-α) conocido y establecido por el investigador

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Entonces : 1)Establecemos el nivel de confianza (1-α) 2)S X1, …,X 2)Sea Xn una m.a. de d tamaño t ñ “n” “ ” de d X, X y X la l media di muestral. t l 3)Sabemos que X es adecuada para estimar μ, por lo tanto podemos usar la distribución muestral de X para establecer un intervalo de confianza para μ. 4)Para “n” 4)P “ ” suficientemente fi i t t grande d (n≥30) ( ≥30) por ell teorema t central t l del d l limite li it se tiene que:

X ≈ N ( μ,

σ2 n

)

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Si X es una población normal, entonces X es normal para todo “n”. Además se obtiene:

Z=

( X − μ) n

σ

≈ N (0,1)

Se observa que si bien la v.a. depende del parámetro “μ” su distribución no. Por lo tanto bajo un nivel de confianza elegido puede determinarse:

P ( − z0 ≤ Z ≤ z0 ) = 1 − α

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, …….. (*)

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Por la simetría de la curva normal se tiene:

P(− z0 ≤ Z ≤ z0 ) = 2 P[ Z ≤ z0 ] − 1 = 1 − α Es decir:

2 P[ Z ≤ z0 ] = 1 + 1 − α P[ Z ≤ z0 ] =

2 −α 2

P[ Z ≤ z0 ] = f ( z0 ) =

2 −α α = 1− 2 2

Usando tabla de la distribución normal, se encuentra el valor de “z0”. ESTADISTICA NO PARAMETRICA

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5) Luego se sustituye “z0” (ya conocido) y el estadístico “Z” construido para la distribución de la media muestral, donde X es un estimador de µ Z=

en la siguiente expresión:

( X − μ) n

σ

P (− z0 ≤ Z ≤ z0 ) = 1 − α

P(− z0 ≤ Z ≤ z0 ) = P(− z 0 ≤ P(−

≈ N (0,1)

( X − μ) n

σ

≤ z0 ) = 1 − α

z0σ zσ ≤ X − μ ≤ 0 ) = 1−α n n

P(− X −

z0σ zσ ≤ −μ ≤ − X + 0 ) = 1 − α n n

P( X −

z0σ zσ ≤ μ ≤ X + 0 ) = 1−α n n

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P(− X −

zσ z0σ ≤ −μ ≤ − X + 0 ) = 1 − α n n

P( X −

z0σ zσ ≤ μ ≤ X + 0 ) = 1−α n n

De donde se obtiene el intervalo

[X −

z0σ zσ ,X + 0 ] n n

del 100(1-α)% de confianza para el parámetro μ.

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Para un valor particular de la muestra x1, …,xn sustituyendo el valor de de X en el intervalo aleatorio, se obtiene el siguiente intervalo de 100(1-α)% de confianza para µ :

x

x−

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z0σ zσ ≤μ≤x+ 0 n n

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Teorema que resume y formaliza el resultado anterior:

x

Si es la media de una muestra de tamaño n (n≥30) tomada de una población distribuida con media μ (desconocida) y varianza σ2 conocida, entonces :

μ ∈ IC [ x −

z0σ zσ ,x + 0 ] n n

Con un nivel de confianza de 100(1-α)% para la media μ. Donde z0 es tal que:

P(Z ≤ z0)=1-α/2

f ( z0 ) = 1 −

α 2

Nota: Si la v.a. X (población) se distribuye normalmente con media μ y varianza σ2 (conocida), entonces, el teorema anterior se cumple también para n≤30. ESTADISTICA NO PARAMETRICA

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Este teorema es aplicable al siguiente caso: Si se desconoce σ y n≥30, se puede usar la desviación estándar muestral “S” para aproximar σ. En el intervalo de confianza será:

μ ∈ IC [ x −

z0 S zS ,x + 0 ] n n

Con un nivel de confianza del 100(1 100(1-α)%. α)%.

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3)Cuando el muestreo es sin reemplazo en poblaciones finitas de N elementos se usa el factor de corrección :

( N − n) ( N − 1) i. Entonces, para una población finita de N elementos y un muestreo sin reposición, además siendo la desviación estándar poblacional σ conocida y n ≥ 30, el intervalo que contiene el parámetro ”µ” es:

⎡ σ ( z0 ) N − n σ ( z0 ) N − n ⎤ μ ∈ IC ⎢ X − ,X + ⎥ N −1 N −1 ⎦ n n ⎣ con un nivel de confianza del 100(1-α)% para μ. ESTADISTICA NO PARAMETRICA

ii.

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Para una población finita de N elementos y un muestreo sin reposición, si la desviación estándar poblacional “σ” es desconocida por lo indicado en el punto (1) n≥30, el intervalo de confianza es:

⎡

μ ∈ IC ⎢ X − ⎣

S ( z0 ) n

S ( z0 ) N −n ,X + N −1 n

N −n⎤ ⎥ N −1 ⎦

con un nivel de confianza del 100(1-α)% para μ.

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Observaciones: 1) Cuanto mayor sea el nivel de confianza prefijado la amplitud del intervalo de estimación será también mayor y por tanto la estimación será menos precisa. 2) El tamaño de la muestra aparece en el denominador de σ(z0), entonces muestras más grandes darán intervalos de confianza mas cortos, por lo tanto información más precisa.

Muestra grande reduce el intervalo

⎡

μ ∈ IC ⎢ X − ⎣

σ ( z0 ) n

σ ( z0 ) N −n ,X + N −1 n

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N −n⎤ ⎥ N −1 ⎦

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Ejemplo: Construir un intervalo del 95% de confianza para la media de una población con σ=10, siendo el tamaño de la muestra n=64 y el resultado de la media muestral X = 48.5 Solución: Del enunciado (1-α)=0.95 Sabemos: P ( Z ≤ z0 ) = f ( z0 ) = 1 − α , reemplazando: 2

P( Z ≤ z0 ) = f ( z0 ) = 1 −

0.05 = 0.975 2

De tabla de la distribución normal se obtiene:

z0 = 1.96 ESTADISTICA NO PARAMETRICA

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Dado que conocemos σ =10 y n=64, entonces:

μ ∈ IC [ x −

z0σ zσ ,x + 0 ] n n

Calculando los limites:

L1 = 48.5 − L2 = 48.5 +

(1.96)(10) = 46.05 8

(1.96)(10) = 50.95 8

Luego [46.05 ,50.95] es el intervalo encontrado. Por lo tanto concluimos que el valor real del parámetro μ se encuentra dentro del intervalo de confianza [46.05 ,50.95] con un nivel de confianza del 95%. ESTADISTICA NO PARAMETRICA

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INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION NORMAL CON VARIANZA POBLACIONAL DESCONOCIDA, PARA MUESTRA PEQUEÑA (n