Sesion 3-Aplicacion de La Derivada

Escuela de Ingeniería Civil Matemática II

Aplicación de la Derivada Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano. Isaac Newton (1903-1957)

Lic. Montes Oblitas Giancarlo

Situación Problemática

“Una escalera de 10 m de largo esta apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de -3 m/seg. ¿Con que rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior esta a 6 m del suelo?”

Recordamos • Composición de funciones

LOGROS DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante, resuelve ejercicios en los que:

1)

Calcula la derivada de una función compuesta haciendo uso de la definición y la regla de la cadena

2) Calcula la derivada de orden superior de una función. 3) Aplica la derivación implícita en problemas concretos.

1. Derivada de una función compuesta Definición: Sea g una función derivable en 𝑥0 y f derivable en g(𝑥0 ), entonces f o g es derivable en 𝑥0 y se define por: 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 − (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥0 ) ′ 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥0 = lim 𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑓 𝑔 𝑥 −𝑓 [𝑔 𝑥0 ] = lim 𝑥→𝑥0

𝑥−𝑥0

Observación: La definición también lo podemos expresar de la siguiente forma: 𝑓 𝑜 𝑔 ′ 𝑥0 = 𝑓 ′ 𝑔 𝑥0 . 𝑔′(𝑥0 )

Ejemplos aplicativos: 1. Sean 𝑓 𝑥 = 𝑥 5 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑎2 . Hallar 𝑓 𝑜 𝑔 2. Hallar la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑎 + 𝑥 3. Hallar la derivada de 𝑓 𝑥 =

1+𝑥 1−𝑥

𝑎−𝑥

′

𝑥0 .

2. Derivada de orden superior Definición: Sea f una función derivable en 𝑥0 , entonces la segunda derivada de f en 𝑥0 se define por: 𝑓′ 𝑥 − 𝑓′(𝑥0 ) ′′ 𝑓 𝑥0 = lim 𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0 Observación: En general cualquier n-ésima derivada de una función f denominaremos derivada de orden superior cuando n>1; y se define como: 𝑓 (𝑛) 𝑥 = [𝑓 𝑛−1 𝑥 ]′

Ejemplos aplicativos: Calcular la segunda derivada de cada una de las siguientes funciones: 1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 6 − 15𝑥 2 − 1

2. 𝑓 𝑥 = (3𝑥 2 − 1)5 8

3. 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥

Determinar la n-ésima derivada de cada una de las siguientes funciones, para el n dado: 1

1. n = 4 y 𝑓 𝑥 = 2𝑥+1 2

2. n = 5 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥

3. Derivación implícita Es un método que nos ayuda a encontrar la derivada de funciones que están definidas implícitamente en una ecuación de la forma G(x,y) = 0, donde estén relacionadas dichas variables y la variable y sea una función de x. Ejemplos:

1. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 = 0 2. 𝑥 3 + 𝑦 3 − 6𝑥𝑦 = 0

Procedimiento Consiste en suponer que y es una función derivable de x y derivar ambos miembros de la ecuación con respecto a x, obteniendo términos que contengan la derivada y’ para finalmente despejar la derivada y’ que queda en términos de x e y. Observación: Cuando las funciones son más complejas utilizar la siguiente fórmula para facilitar el cálculo: 𝐷𝑥 𝐺 ′ 𝑦 =− 𝐷𝑦 𝐺

Ejemplos aplicativos: 1. Calcular y’ en la ecuación: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 = 0

2. 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑥 3 + 𝑦 3 − 6𝑥𝑦 = 0 en el punto (3,3).

3. Calcular en el punto (2, 2) la ecuación de la recta tangente a la curva: (𝑥 2 + 𝑦 2 + 4)2 −16𝑥 2 = 36

4. Solución de la situación problemática

“Una escalera de 10 m de largo esta apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de -3 m/seg. ¿Con que rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior esta a 6 m del suelo?”