Sernesi - Geometria 1.pdf

PROGRAMMA DI MATEMATICA, FISICA, ELETTRONICA

EDOARDO SERNESI

Collezione diretta da Sergio Carrà, Emilio Gatti, Francesco Gherardelli, Luigi Radicati, Giorgio Talenti

Mario Ageno, Elementi di fisica T. M. Apostol, Calcolo VoI. 1 Analisi l VoI. 2 Geometria VoI. 3 Analisi 2 Scipione Bobbio e Emilio Gatti, Elementi di elettromagnetismo Max Born, Fisica atomica Vito Cappellini, Elaborazione numerica delle immagini Francesèo Carassa, Comunicazioni elettriche P. A. M. Dirac, I princìpi della meccanica quantistica Albert Einstein, Il significato della relatività Enrico Fermi, Termodinamica Bruno Ferretti, Le radici classiche della meccanica quantica Giorgio Franceschetti, Campi- elettromagnetici Giovanni Gallavotti, Meccanica elementare Enrico Giusti, Analisi matematica l Enrico Giusti, Analisi matematica 2 Werner Heisenberg, I princìpi fisici della teoria dei quanti Gerhard Herzberg, Spettri atomici e struttura atomica Charles Kittel, Introduzione alla fisica dello stato solido Charles Kittel e Herbert Kroemer, Termodinamica statistica Serge Lang, Algebra lineare Giorgio Letta, Teoria elementare dell'integrazione P. F. Manfredi, Piero Maranesi e Tiziana Tacchi, L'amplificatore operazionale J acob Millman, Circuiti e sistemi microelettronici Jacob Millman e C. C. Halkias, Microelettronica R: S. Muller e T. L Kamins, Dispositivi elettronici nei circuiti integrati Athanasios Papoulis, Probabilità, variabili aleatorie e processi stocastici WolfgangPauli, Teoria della relatività Giovanni Prodi, Analisi matematica Antonio Ruberti e Alberto Isidori, Teoria dei sistemi Walter Rudin, Analisi reale e complessa H. H. Schaefer, Introduzione alla teoria spettrale Edoardo Sernesi, Geometria l L M. Singer e J. A. Thorpe, Lezioni di topologia elementare e di geometria W. V. Smith e P. P. Sorokin, Il laser Giovanni Soncini, Tecnologie microelettroniche Guido Tartara, Teoria dei sistemi di comunicazione Bruno Touschek e Giancarlo Rossi, Meccanica statistica

GEOMETRIA 1

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BOLLATI BORINGHIERI

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Indice

Prima edizione ottobre 1989

© 1989 Bollati Boringhieri editore s.p.a., Torino, corso Vittorio Emanuele 86 I diritti di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati Stampato in Italia dalla Stampatre di Torino CL 74-9284-7 ISBN 88-339-5447-1

Prefazione, 9 '(( Geometria affine, 13 l 2 3 4 5 6 7 8 9 lO Il 12 13 14

Vettori geometrici. Spazi vettoriali Matrici Sistemi di equazioni lineari Alcune nozioni di algebra lineare Rango Determinanti Spazi affini (I) Spazi affini (II) Geometria in un piano affine Geometria in uno spazio affine di dimensione 3 Applicazioni lineari Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini Operatori lineari Gruppi di trasformazioni. Affinità

2 Geometria euclidea, 190

Geometria l/Edoardo Sernesi. - Torino: Bollati Boringhieri, 1989 480 p. ; 24 cm. ~ (Programma di matematica, fisica, elettronica) l. SERNESI. Edoardo l. GEOMETRIA - Manuali 2. CURVE ALGEBRICHE PIANE· Manuali

CDD 516 (a cura di

S. & T.

~ Torino)

15 16 17 18 19 20 21 22 23

Forme bilineari e forme quadratiche Diagonalizzazione delle forme quadratiche Prodotti scalari L'operazione di prodotto vettoriale Spazi euclidei Operatori unitari e isometrie 1sometrie di piani e di spazi tridimensionali DiagB

a ...... b significa che l'applicazione f dell 'insieme A nell 'insieme B manda l'elemento a EA in bE B. Se f: A -> B e g: B -> C sono applicazioni, la loro composizione si denota con g of. Per ogni numero intero positivo k, il simbolo k! denota il prodotto lo 2 o... ok, chiamato "k fattoriale". Per definizione si pone O! = 1. Dati a, bER, a < b, si denoteranno con (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) gli intervalli rispettivamente aperto, chiuso, aperto a sinistra, aperto a destra, di estremi a e b. Il coniugato a - ib di un numero complesso z = a + ib si denota con z. Il modulo di z è .Ja2 + b 2 e si denota con I z I . Per gli altri simboli utilizzati rinviamo il lettore alla lista che si trova alla fine del volume. Le nozioni introdotte nelle Appendici vengono liberamente utilizzate nel testo.

Geometria 1

A Stefania e Marta

Capitolo 1 /./-----

Geometria affine

1 Vettori geometrici. Spazi vettoriali

Lo studio della geometria nella scuola secondaria si basa sul sistema assiomatico di Euclide, nella formulazione moderna che gli fu data da David Hilbert (1862-1943) alla fine del secolo XIX. Per la geometria piana tale sistema considera come enti primitivi il punto e la retta. Inoltre vengono considerate come primitive alcune nozioni quali: l'appartenenza di un punto a una retta; il giacere di un punto tra altri due punti; l'uguaglianza di segmenti; l'uguaglianza di angoli (le nozioni di segmento e di angolo sono definite a partire dagli assiomi). Analogo sistema di assiomi esiste per la geometria dello spazio. Noi adotteremo un altro punto di vista, che consiste nel fondare la geometria sul concetto di "vettore". L'assiomatica basata su tale concetto, oltre ad essere molto semplice, riveste una grande importanza in tutta la matematica. Per motivare le definizioni che dovremo dare, cominceremo con l'introdurre il concetto di vettore nel piano e nello spazio della geometria di Euclide (che d'ora in poi chiameremo piano e spazio ordinan), e metteremo in evidenza le proprietà che verranno successivamente utilizzate per l'impostazione assiomatica. Per ora ci limiteremo a considerazioni di carattere intuitivo, senza curarci di dare dimostrazioni complete. Un vettore applicato (o segmento orientato) dello spazio ordinario è individuato da un punto iniziale A e da un punto finale B, e viene denotato con il simbolo (A, B). Il punto A si dice anche punto di applicazione del vettore applicato dato. Un vettore applicato viene rappresentato con una freccia che congiunge i punti A e B come nella figura 1.1. Due vettori applicati (A, B) e (C, D) si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso, cioè se giacciono su rette parallele (eventualmente coincidenti) e se, movendo una delle due rette parallelamente a

14

1/Vettori geometrici. Spazi vettoriali

Geometria affine

A

Se invece i vettori a e b sono dati mediante loro rappresentanti applicati nello ---+ ---+ ---+ stesso punto, cioè a = AB e b = AD rispettivamente, allora a + b = A C, dove il punto C è il quarto vertice del parallelogramma i cui altri vertici sono A, B, D. Questo modo di costruire a + b è chiamato regola del parallelogramma. L'operazione di somma di due vettori è associativa, cioè

Figura 1.1

;::;

~

Non equipollenti

Equipollenti

ll

~

-----

Non equipollenti

Figura 1.2

sé stessa, è possibile portare i due segmenti a sovrapporsi in modo che i loro punti iniziali e i loro punti finali coincidano. Nell'insieme di tutti i vettori applicati l'equipollenza è una relazione di equivalenza, perché soddisfa in modo evidente le tre· proprietà di riflessività, simmetria e transitività. Un vettore geometrico (o semplicemente vettore) è, per definizione, una classe di equipollenza di vettori applicati, cioè è l'insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti a un segmento orientato assegnato (fig. 1.2). I vettori verranno di solito denotati con lettere in neretto a, b, v, w ecc. Ogni vettore applicato che individua il vettore a si dirà rappresentante di a. Il vettore avente rappresentante (A, B) verrà anche denotato con AB. Dato un punto A, ogni vettore a ha un rappresentante, e uno solo, applicato in A. Nella definizione non abbiamo escluso che A = B. Il vettore individuato da uno qualunque dei segmenti orientati (A, A) si chiama vettore nullo: esso ha lunghezza nulla, direzione e verso indeterminati e si denota con O. Si può definire la somma di due vettori mediante loro rappresentanti nel modo seguente (fig. 1.3). Siano a = AB e b = BC; allora a + b = A C. ~

l !

I ì

I Figura 1.3

a+O=O+a per ogni vettore a. Se a = AB denoteremo con - a il vettore BA. Esso verifica evidentemente l'identità: ~

l

D

Figura 1.4

per ogni coppia di vettori a, b. Si noti anche che il vettore O soddisfa alla

~

c

(a + bl + c = a + (b + cl

a+b=b+a

I

A

per ogni tema di vettori a, b, c. Ciò si verifica immediatamente utilizzando la figura 1.4.

Dalla [1.1] segue che sommando tre vettori si possono omettere le parentesi perché la scrittura a + b + c ha un solo significato. Una proprietà simile vale per la somma di un numero finito qualunque di vettori (cfr. osservazione 1.3(2». Da come è stata definita è evidente che l'operazione di somma è commutativa, cioè che

~

B

[1.1]

a + (b + c) = (a+ b) + c

l

~

~

15

~

a+(-a)=O. Definiamo ora il prodotto di un vettore a per un numero reale k (i numeri reali, nel contesto dei vettori, vengono anche chiamati scalart). Esso è, per definizione, il vettore ka che ha la stessa direzione di a, lunghezza uguale a quella di a moltiplicata per I k I, e verso discorde o concorde con a a seconda che k abbia segno positivo o negativo; se k = O oppure a = O, allora ka = O. L'operazione di moltiplicazione di un vettore per uno scalare è compatibile con quella di somma di vettori e con le operazioni di somma e di prodotto tra scalari.

16

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Geometria affine

1/Vettori geometrici. Spazi vettoriali

Ad esempio la seguente identità è di immediata verifica:

na = a + '" + a

Perta~to d'ora ~n poi (ad eccezione che in app. A) denoteremo con K un sottocampo dl C che Sl supporrà fissato una volta per tutte.

(n volte)

In prima lettura sarà sufficiente limitarsi a considerare il caso K = R T tt . . l' . . u aVIa e mo to Importante tenere presente che ciò che direinoha una validità più generale.

per ogni vettore a e per ogni intero positivo n. In particolare

la = a.

Def. SPAZIO VETTORIALE . l. ~ ~EFINIZIONE Uno spaiio vettoriale su K, ovvero un K-spazio vettoriale, e un mSleme non vuoto V tale che: l) per ogni coppia di elementi v, wEV sia definito un terzo elemento di V, che denoterem~ con v + w, e che chiameremo la somma di v più w, 2) per ogm v EV ~ per ogni k EK sia definito un elemento di V, che denoteremo c.0n kv, e che chiameremo prodotto di v per k, m modo che le seguenti proprietà siano soddisfatte:

Inoltre (-1) a

=-

17

a.

Si può verificare facilmente che

(k + h) a = ka + ha e che .(kh) a = .k(ha)

SVI (Proprietà associativa)

per ogni coppia di scalari k, h e per ogni vettore a. È anche facile verificare geometricamente che la seguente identità è valida:

Per ogni u, v, WEV si ha

(u + v) + w = u + (v + w).

k(a + b) = ka + kb

SV2 (Esistenza dello zero) vettore nullo, tale che

per ogni scalare k e per ogni coppia di vettori a, b. In modo simile al precedente si introducono i vettori della retta e i vettori del piano ordinario.

Esiste un elemento OE V, chiamato lo zero, o il

O+v=v+O=v

per ogni vEV. È importante notare che, per definire i vettori e le operazioni di somma di due vettori e di moltiplicazione di un vettore per uno scalare, abbiamo solo usato il concetto di parallelismo tra rette e la possibilità di confrontare le lunghezze di due segmenti situati su rette parallele (cioè la possibilità di trovare il numero reale k che rappresenta la misura di uno di essi rispetto all'altro, e viceversa, di associare a un segmento e a uno scalare k un secondo segmento che abbia misura k rispetto al primo). Queste possibilità sono garantite dagli assiomi della geometria euclidea. Non abbiamo richiesto, per le nostre definizioni, che sia possibile confrontare due segmenti qualsiasi o misurare l'angolo di due semirette. In particolare non è necessario disporre di un'unità di misura assoluta delle distanze, né del concetto di perpendicolarità.

Ora che abbiamo verificato in modo geometrico intuitivo le proprietà dei vettori, capovolgeremo il punto di vista prendendo queste proprietà come assiomi per la definizione di "spazio vettoriale". U no spazio vettoriale è sempre definito in relazione a un campo di scalari (cfr. app. A), che nell'esempio precedente era R, ma che può scegliersi in modo del tutto generale. Noi non ci metteremo nella massima generalità possibile, ma prenderemo per campo di scalari un sottocampo di C.

SV3 (Esistenza dell'opposto) l'identità

Per ogni v EV l'elemento (- 1) v soddisFa 'J'

v+(-l)v=O.

I

Ij il

SV4 (Proprietà commutativa)

Per ogni u, v EV si ha

u + v = v + u.

SV5 (Proprietà distributiva rispetto alla somma di "vettort) e per ogni kE K si ha

Per ogniu, v E V

k(u + v) = ku + kv.

SV6 (Proprietà distributiva rispetto alla somma di scalari) per ogni h, kE K si ha

(h + k)v = hv + kv. SV7

Per ogni vEV e per ogni h, kE K si ha

(hk) v = h(kv).

Per ogni v EV e

,.. Geometria affine

18

SV8

Per ogni v EV si ha

Iv = v. Diremo anche che le due operazioni definiscono sull'insieme V una struttura di K-spazio vettoriale.

.

È implicito che su un insieme possono a priori esistere diverse strutture di spazio vettoriale, cioè diversi modi di definire su V delle operazioni che ne facciano uno spazio vettoriale, eventualmente su campi diversi (cfr. esempio 1.2(4)). Gli elementi dello spazio vettoriale V si dicono vettori, e gli elementi di K si dicono scalari. l vettori della forma kv, kE K, si dicono proporzionali a (o multipli di) v. Per ogni v EV il vettore (- 1) v, chiamato l'opposto di v, si indica con - v, e si scriverà u - v invece di u + (- 1) v. Dagli assiomi SV1, ... , SV8 seguono diverse proprietà elementari che verranno discusse alla fine di questo paragrafo (cfr. 1.3), e che d'ora in poi supporremo note al lettore. Quando K = R (K = C), V si dice anche spazio vettoriale reale (spazio vettoriale complesso).

.

Un insieme costituito da un solo elemento è in modo banale un K-spazio vettoriale il cui unico elemento è il vettore nullo. Vediamo ora alcuni esempi non banali di spazio vettoriale. 1.2 Esempi

1. Le proprietà che abbiamo verificato all'inizio del paragrafo implicano che l'insieme V dei vettori geometrici del piano, quello dei vettori geometrici dello spazio e quello dei vettori geometrici della retta, dotati delle operazioni di somma di due vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare, costituiscono altrettanti spazi vettoriali su R. 2. Siano n;::: 1 un intero e V = Kn, l'insieme delle n-uple ordinate di elementi di K. Definiamo la somma di due n-uple (Xi' , xn), (YI' ... , Yn)E Kn come (Xl' ... , Xn)

+ (YI'

e, per ogni k E K, (XI' k(x l ,

••• ,

, Yn) = (Xl ,

x n) = (kx l ,

+ YI'

, Xn + Yn)

x n ) E Kn, definiamo ••• ,

l/Vettori geometrici.

3. Sia I un insieme non vuoto qualunque e sia V l'insieme i cui elementi sono le applicazioni f: I -'-> K. Per ogni f, g EV definiamo f + g: I ~ K ponendo (f + g) (x) = f(x)

+ g(x)

per ogni xEI. Otteniamo in questo modo un elemento f + gEV. Se f EV e k E K, definiamo kf: I ~ K ponendo (kf) (x) = kf (x)

per ogni xEI. Si ottiene quindi kfEV. È facile verificare che V, con le operazioni che abbiamo introdotto, è un K-spazio vettoriale. 4. Sia F un sottocampo di K. Se V è uno spazio vettoriale su K, allora su V resta indotta una struttura di F-spazio vettoriale dalle stesse operazioni che definiscono la struttura di K-spazio vettoriale. In altre parole, la somma di due vettori rimane la stessa, e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare a E F si definisce considerando a come un elemento di K e quindi utilizzando la definizione di moltiplicazione per elementi di K. Ad esempio, il campo C dei numeri complessi può essere considerato, oltre che uno spazio vettoriale complesso (1' l-spazio numerico su C), anche come uno spazio vettoriale reale, perché R è un sottocampo di C.. 1.3 Osservazioni

1. Alcune delle proprietà che discendono dagli assiomi SV1, ... , SV8 di spazio vettoriale sono evidenti nel caso dei vettori geometrici, ma richiedono una dimostrazione nel caso di uno spazio vettoriale qualsiasi. Vediamole. Denotiamo con V un K-spazio vettoriale". In V esiste un solo vettore nullo, cioè, se 0 1 e O2 sono vettori tali che 0 1 + v = v, O2 + v = v per ogni vEV, allora 0 1 = O2 , Infatti, ponendo v = 01 nella O2 + v = v si ottiene O2 + 0 1 = 01 , mentre ponendo v = O2 nella 0 1 + v = v si ottiene 0 1 + O2 = O2 , Quindi 0 1 = O2 + 0 1 = 0 1 + O2 = O2 ,

in particolare

Per ogni vEV esiste un solo opposto, cioè, se v

xn)·

È immediato verificare che, con queste operazioni, Kn soddisfa gli assiomi SVl, ... , SV8 e quindi è un K-spazio vettoriale. Esso viene solitamente chiamato l'n-spazio numerico su K.

19

L' l-spazio numerico è Kstesso, il quale, con le sue proprie operazioni di somma e di prodotto, è uno spazio vettoriale su sé stesso. Se (XI' ... , Xn)E Kn, gli scalari XI' ... , Xn si dicono componenti, e Xi è l'i-esima componente, di (Xl' ... , x n).

kxn );

- (Xi' ... , x n) = (- XI' ... , -

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VI

+ VI = O = v + v2 , allora

v2 • Infatti si ha

=

VI

= O + VI = (v + v2) + VI = V + (v 2 + VI) = V + (VI + v2) = (v + VI) + V 2 = = O + V 2 = v2 •

r 20

Geometria affine

Per ogni a, b EV, l'equazione x + a = b ha l'unica soluzione x = b - a. Infatti (b - a) + a = b, e, se x + a = b, allora x = (x + a) - a

=

2/Matrici

21

per ogni {a n l, {b n l ESK, k E K. Dimostrare che, con queste operazioni, SK è un Kspazio vettoriaIe (questo è un caso particolare dello spazio vettoriale V considerato nell'esempio L2(3».

b - a.

Per ogni v EV, si ha Ov = O, dove OEK è lo scalare zero e OEV è il vettore zero. Infatti Ov = (O + O) v = Ov + Ov, e quindi Ov = Ov - Ov = O. Analogamente si ha kO = O per ogni k EK. Infatti kO = k(O + O) = kO + kO, e quindi kO = kO - kO = O. 2. Sia V un K-spazio vettoriale. Dati tre vettori u, v, w EV, scriveremo u + v + w per denotarne la somma effettuata in uno dei due modi possibili, i quali, per l'assioma SVI, danno lo stesso risultato. Supponiamo ora dati n;::: 3 vettori vi' ... , vnEV. Vogliamo dimostrare che la loro somma eseguita disponendo in un modo qualunque le parentesi: [1.2]

dà un risultato che dipende solo da v l' ••• , Vno e che quindi può essere denotato con v I + ... + vno omettendo le parentesi. Procediamo per induzione su n: se n = 3 l'affermazione è vera per l'assioma SV1.

2. Una successione (anl ESR si dice limitata se esiste RE R tale che an :5, R per ogni n E N. Sia L R il sottoinsieme di SR costituito dalle successioni limitate. Dimostrare che, con le stesse operazioni definite nell'esercizio (1), L R è uno spazio vettoriale reale.

3. Siano a, bER, a < b, e sia C(a,b) l'insieme di tutte le applicazioni continue definite nell'intervallo (a, b) a valori in R. Per ogni f, gE C(a, b) si definisca f + g: (a, b) ---+ R ponendo (f + g) (x) = f(x)

Se fE

C(a, b)

+ g(x) per ogni

xE (a, b).

e cE R, si definisca cf: (a, b) ---+ R ponendo

(cf) (x) = cf(x)

per ogni

xE (a, b).

Dimostrare che f + g e cf sono continue e quindi nel modo anzidetto restano definite due operazioni su C(a,b)' Dimostrare che con queste operazioni C(a, b) è uno spazio vettoriale reale. 4. Sia X un'indeterminata e sia K[X] l'insieme dei polinomi in X a coefficienti in K. Per ognif, gE K[X] e aE K, sianof + gE K[X] il polinomio somma dife g, e afE K[X] il polinomio prodotto di a, considerato come un polinomio costante, per f. Dimostrare che, con queste operazioni, K [X] è un K-spazio vettoriale.

Sia n;::: 4 e supponiamo dimostrato l'asserto per ogni intero k compreso tra 3 ed n-l.

Possiamo scrivere due diverse somme [1.2] come a + l3 e'Y + o rispettivamente, dove a, l3 sono somme in cui compaiono VI' , Vk , e Vk + l ' ... , V n rispettivamente, mentre in 'Y, O compaiono VI' ... , Vj e Vj+I' , Vn rispettivamente, per opportuni interi positivi j, k minori di n. Se k = j, allora, per l'ipotesi induttiva, si ha a = 'Y e l3 = o, e quindi a + l3 = 'Y + O. Supponiamo ora k j (per ogni i é- O, allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche [3.2] è incompatibile ed il procedimento si arresta. Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primimembri del sistema [3.11] sia identicamente nullo. Ora procediamo sul sistema [3.11] senza più occuparci della prima equazione e ragionando, sulle rimanenti equazioni, come caso precedente. Effettuando eventualmente un cambiamento dell'ordine delle variabili ed operazioni elementari (I) (II) possiamo supporre al2 = 1. Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per - a;2' - a;2' ... , - a;"2 (operazione elementare (III)), si ottiene un nuovo sistema della forma seguente:

41

3/Sistemi di equazioni lineari

Eseguiamo operazioni elementari sulle righe della matrice orlata:

-2

-8

-2

2

3

1

-

nel

Xl

+ a{2 X 2 + a{3X3 + X 2 + al~X3 + a;~X3 +

+ a{nXn = b{ + al~Xn = bl' + a;~Xn = b;'

2 3

:)

O

Il sistema ridotto a gradini è [3.12]

Dopo aver eliminato dal sistema [3.12] tutte le equazioni della forma O = O, verifichiamo se vi compare un'equazione della forma 0= b;", b;" >é- O: in caso affermativo il sistema è incompatibile e pertanto anche [3.2] lo è, ed il procedimento ha termine. In caso contrario applichiamo di nuovo lo stesso procedimento al sistema [3.12] escludendo le prime due equazioni. Questo procedimento potrà essere iterato fintanto che non si arrivi a un sistema incompatibile oppure a un sistema a gradini equivalente al sistema [3.2] da cui eravamo partiti. Nel primo caso possiamo concludere che il sistema [3.2] è incompatibile. Nel secondo caso possiamo calcolare le soluzioni del sistema a gradini, che sono anche le soluzioni di [3.2], ed il procedimento di Gauss-Jordan ha termine. La soluzione generale del sistema a gradini che si è ottenuto è detta soluzione generale del sistema [3.2]. Daremo ora alcuni esempi per illustrare il procedimento di eliminazione di Gauss-Jordan. Nella pratica è preferibile operare sulla matrice orlata del sistema piuttosto che sulle equazioni. Inoltre è più opportuno effettuare i cambiamenti nell'ordine delle variabili che dovessero rendersi necessari, corrispondenti allo scambio di colonne della matrice, solo dopo aver effettuato tutte le necessarie operazioni elementari sulle righe.

Xl + 2X2 + 3 X 3 = 1

X 3 =1, che possiede l'unica soluzione

2. K=R

X 3 + 2X4 2Xj

+ 4X2 - 2X3

=

3

[3.13]

= 4

2Xl +4X2 -X3 +2X4 =7.

Eseguiamo operazioni elementari sulle righe della matrice orlata: 2

O

(:

3.2 Osservazioni ed esempi

1. K= R

~) ~

3

-+

4

-2

O

4

-1

2

(~

2

-1

:)~(~ O

O

2

O

2

2

-1

O

4

-1

2

O

1

2

:) ~ C

2

-1

O

O

1

2

42

Geometria affine

Il sistema corrispondente è

K=R

=2

Xl + 2X2 - X 3 X 3 + 2X4

=

X3

=

Xl +X2 + X 3 + 2X4 -

3.

X 3'

= (5 -

2t - 2u, t, 3 - 2u, u),

[3.14]

+ 3X4 -2Xs =O Xl + X 2 + 3X3 + X s = O.

Questo sistema è omogeneo; in questo caso è ~ufficiente c~nsi~erare la m~trice dei coefficienti, anziché la matrice orlata. EsegUIamo operaZiOnI elementan sulle

2

+2X4 =3.

X4)

Xs=O

X l +X2

righe della matrice:

Abbiamo pertanto un sistema a gradini, la cui soluzione generale, che è anche la soluzione generale del sistema [3.13], è (Xl' X2 ,

=O

Xl + X 2 + 2X3 + X 4

Prendendo le variabili nell'ordine Xi' X 3 , X 2 , X 4 le stesse equazioni si riscrivono nella forma seguente: Xl - X 3 + 2X2

43

3/Sistemi di equazioni lineari

t, UE R.

-1

2

l

O

2

l

O

2

-1

O

O

-1

O

O

-2

O

O

--7

--7

Il sistema possiede

00

2

soluzioni. l

3. K= R

l

O

3

l

3

O

X 2 -X3 =-1

Xl

+X3 =

2X1 +X2 +X3 =

O

- 1 -

2.

J-(~ :-:-:)-

-(~ : =: -~)-(~ : "0' vn}' Poiché (vI> o.• , v n> è un sottospazio vettoriale contenente {VI' ... , vn}, si ha W C (VI' '0', vn>' D'altra parte W, essendo un sottospazio, contiene tutte le combinazioni lineari di suoi elementi, e quindi contiene quelle di VI' •.• , vn ; cioè W:::) (VI' '00' vn>o In conclusione W = (VI' ..• , Vn>' Chiameremo (VI' ... , Vn> il sottospazio generato da VI' ... , Vn. Osserviamo che, se 1::5 m < n, il sottospazio (VI' ... , vm > è contenuto in (VI' o.. , vn>' perché ogni combinazione lineare di VI' o•. , Vm è anche una combinazione lineare di VI' "0, vn :

Diremo che VI' '0.' Vn generano V, oppure-che {VI' "0, vn} è un sistema di generatori di V, se (VI' ... , v n> = Vo Quindi VI' ... , v n generano V se e solo se per ogni V EV esistono al' •.. , anE K tali che

4/Alcune nozioni di algebra lineare

4.5 PROPOSIZIONE

55

Un vettore V è linearmente dipendente se e solo se V = O.

4.6 PROPOSIZIONE Se VI e V2 sono due vettori tali che V2 sia proporzionale a VI' cioè tali che V2 = aVI per qualche aE K, allora VI e V2 sono linearmente dipendenti. Infatti aVI - V2 = O è una loro combinazione lineare con coefficienti a e-l, e quindi non entrambi nulli. Viceversa, se VI e v2 sono due vettori linearmente dipendenti, allora uno di essi è multiplo detraltro. Infatti al VI + a2 V2 = O, cioè a2 V2 = - al VI' con al' a2 non entrambi uguali a 0, implica, supponendo ad esempio a2 ~ 0, che v 2 = aVI' dove a = - a l a2 -I. 4.7 PROPOSIZIONE VI' '0" vnEV, n ~ 2, sono linearmente dipendenti se e solo se uno almeno di essi si può esprimere come combinazione lineare dei rimanenti. Infatti, se VI> 00" v n sono linearmente dipendenti, allora

con ai ~

°

per qualche i; quindi

cioè Vi = -ai-l(aIV I + ... + ai_1vi _ 1 +ai+IVi + 1 + "0 + = - ai-IaiV I - .•. - ai-Iai-IVi-I - ai-Iai+IVi+1 -

anvn) = •.. - ai-IanV n·

Viceversa, se per qualche i

allora

e quindi VI' 000' Vn sono linearmente dipendenti. Se !'insieme {VI' 000' Vn} contiene il vettore O, allora linearmente dipendenti. Supponiamo infatti che si abbia Vi = O per qualche i compreso tra 1 ed n. Allora si ha 408 PROPOSIZIONE

4.4 DEFINIZIONE

esistono scalari aI>

00"

I vettori VI' '00' VnEV si dicono linearmente dipendenti se

anE K non tutti nulli tali che

o, equivalentemente, se il vettore Osi può esprimere come loro combinazione lineare non banale. Altrimenti VI> .. o, Vn si dicono linearmente indipendenti. Vediamo alcune semplici conseguenze della definizione 4.40

vI> 0'0' Vn sono

OV I +

'0'

+OVi_I+1vi+OVi+l+ '"

+Ovn=vi=O,

e O è una combinazione lineare non banale di VI' ... , Vn. Si può anche osservare che Vi = O può essere espresso come combinazione lineare di VI' "0' Vi-I' Vi+l' "0' Vn' la loro combinazione lineare banale, e quindi VI' 00" vn sono linearmente dipendenti per la proposizione 4.7.

4.9 PROPOSIZIONE Se {VI' •.. , vn} sono linearmente indipendenti e 1:5 m < n, allora {vl> .•• , Vm} sono linearmente indipendenti. Equivalentemente, se {V l> ••• , Vm} sono linearmente dipendenti, allora anche {VI"'" Vn} sono linearmente dipendenti.

tuita da n elementi, ogni altra base ha lo stesso numero n di elementi. Questo risultato fondamentale è conseguenza del teorema seguente.

W

Dimostriamo la seconda affermazione. Se v l' denti, allora O=alv l + •••

••• , Vm

sono linearmente dipen-

+amvm=alv l + ... +amvm+Ovm+ l + ...

+Ovn

per qualche scelta di al' ... , amE K non tutti nulli, e quindi il terzo membro è una combinazione lineare non banale di VI' ••. , Vn che è uguale a O, cioè VI' •.• , Vn sono linearmente dipendenti.

4.12 TEOREMA Sia {VI' ... , Vn}un sistema di generatori di V e siano Wl' ... , elementi di V. Se m> n, allora Wl' ... , W m sono linearmente dipendenti. m

Dimostrazione Per la proposizione 4.9, se Wl> ... , W n sono linearmente dipendenti lo sono anche Wl' ... , W m • Pertanto non sarà restrittivo dimostrare l'asserto supponendo che Wl> ... , W n siano linearmente indipendenti. Sarà sufficiente dimostrare che Wl' ... , W generano V, perché da ciò seguirà che W m può esprimersi come loro n combinazione lineare, e quindi dalla proposizione 4.7 seguirà la dipendenza lineare di

4.10 PROPOSIZIONE Se bI, ... , bnE K sono tali che

VI' •.• , Vn

sono linearmente indipendenti, e al' ... , an,

57

4/Alcune nozioni di algebra lineare

Geometria affine

56

Wl> ... , W m •

Dall'ipotesi che VI' tali che

... , Vn

generano V si deduce che esistono scalari al' ... , an

alvI + .. , +anvn=blv l + ... +bnvn, allora al

=

Poiché abbiamo supposto che Wl' ... , W n siano linearmente indipendenti, Wl è diverso da O e quindi i coefficienti al' ... , an non sono tutti nulli. Salvo rinumerare VI' ... , Vn, possiamo supporre al ":;é O. Pertanto:

bI, az = b z' ••• , an = bn"

Infatti, essendo O = alVI + .•• +

si deve avere al - bI

anvn =

(biVI + ••• +

az - b z =

.•• =

bnvn) = (al -

an - bn =

bl)V l + .•. +

(an - bn)vn cioè VI E (Wl' v z, ... , si ha

O.

Vn).

Poiché ovviamente anche v z, ... ,

VnE (Wl' VZ' ... , v n),

4.11 DEFINIZIONE Un sottoinsieme finito {VI' ... , vn} di V si dice base finita, o semplicemente base, di V se VI' ... , Vn sono linearmente indipendenti e generano V. Se {VI' esistono al'

è una base, allora, poiché VI' , anE K tali che

, vn}

... , Vn

generano

V,

per ogni

vEV

cioè Wl' VZ' ... , Vn generano V. Supponiamo ora che per qualche 1:5 S:5 n-l si abbia (Wl> ... ,

[4.2] inoltre, per la proposizione 4.10, al' ... , an sono univocamente determinati da v. I coefficienti al' ... , an della combinazione lineare [4.2] si dicono le coordinate di V rispetto alla base {VI' ... , "nl. e (al' ... , an) si dice la n-upla delle coordinate di v. Quindi, una volta assegnata una base {VI' ... , vn} di V, ad ogni vettore VEV viene univocamente associata una n-upla di coordinate; viceversa ogni n-upla (al' ... , an) E Kn individua univocamente il vettore [4.2] di cui essa è la n-upla delle coordinate. Un vettore V di coordinate al' ... , an verrà spesso denotato con v(al> ... , an). Lo spazio vettoriaIe {O} costituito dal solo vettore O non possiede una base finita, perché il suo unico elemento è linearmente dipendente. Non tutti gli spazi vettoriali diversi da {O} possiedono una base finita (cfr. esempio 4.15(5)). Dimostreremo tra poco che se uno spazio vettoriale V possiede una base costi-

ws '

[4.3]

v s + l ' ... , v n ) = V.

Segue da ciò che esistono scalari bI' ... , bs '

Cs + I ' ... ,

cn tali che

Poiché Wl> , ws ' ws + I sono linearmente indipendenti, uno almeno dei coefficienti cs + l , , cn deve essere diverso da o: salvo rinumerare vs + I , ... , vn se necessario, possiamo supporre cs + l ":;é O. Deduciamo che

e quindi v s + I E (Wl' ... , w s ' w S + l ' se s = n -l). Pertanto si ha

cioè

Wl' ... , Ws ' Ws + l , Vs + z , ... , Vn

VS + Z, ... , v n )

(rispettivamente,

(rispettivamente

Wl' ... , W n )

vnE (Wl' ... , W n )

generano

V.

Geometria affine

58

Abbiamo già dimostrato che l'ipotesi [4.3] è vera se s allora per induzione su s.

=

59

4/Alcune nozioni di algebra lineare

1; la conclusione segue

4.13 COROLLARIO Siano {VI' ... , vn} e {Wl' ... , w m } due basi dello spazio vettoriale V. Allora m = n.

Dimostrazione Poiché Vi' ... , vn generano V e Wl' ... , w m sono linearmente indipendenti, dal teorema 4.12 segue che m:5 n. D'altra parte, poiché Wl' ... , w m generano V e VI' ... , vn sono linearmente indipendenti, dallo stesso teorema segue che anche n :5 m. Quindi m = n. Figura 4.2

4.14 DEFINIZIONE Se il K-spazio vettoriale V possiedè una base finita (Vi' ... , vnL il numero n si dice la dimensione di V, e si denota con dimK(V), o semplicemente dim(V). Se V = {O} consiste del solo vettore nullo, si pone dim(V) = 00 Se V = {O}, oppure V possiede una base finita, diremo che V ha dimensione finita. Dal corollario 4.13 segue che la definizione di dimensione è ben posta perché il numero di elementi di una base dipende solo da V. 4015 Esempi 1. Sia V = OP un vettore geometrico non nullo della retta ordinaria. Poiché ogni altro vettore geometrico è multiplo di v, {v} è una base dello spazio dei vettori geometrici della retta ordinaria, il quale quindi ha dimensione 1. Sia V lo spazio vettoriale reale dei vettori geometrici del piano ordinario, e siano VI e Vz due vettori non proporzionali di V, che penseremo applicati in uno stesso punto O, rappresentati nella forma

per opportuni punti P I e P z (fig. 4.2). Dalla proposizione 4.6 segue che VI e Vz sono linearmente indipendenti. Denotiamo con ~l (con ~z) la retta contenente i punti O e P I (i punti O e Pz). Sia V = OPEV un vettore qualsiasi. Detto QI (rispettivamente Qz) il punto di intersezione con ~I (con ~z) della retta parallela a ~z (a ~I) e passante per P, sia ~

-+

OQI

-+

-+

-+

= al OPI e OQz = a zOPz per opportuni

ai' a z ER.

Poiché -+

V= OQI

-+

+ OQz =

-+

al OPI

-+

+ azOPz =

alvI

+ azvz

vediamo che V è combinazione lineare di VI e di Vz e che quindi VI' Vz generano V. Dunque {VI' Vz"} è una base di V. Pertanto V ha dimensione 2.

-+

-+

-+

Nello spazio ordinario tre vettori geometrici VI = OPI' Vz = OPz, v3 = OP3 sono linearmente indipendenti se e solo se i punti O, Pi' P z, P 3 non giacciono in uno stesso piano: ciò segne subito dal fatto che la dipendenza lineare di VI' vz, V3 equivale all'essere uno di essi combinazione lineare dei rimanenti. Se Vi' vz, v3 sono linearmente indipendenti, allora, con una costruzione simile a quella illustrata dalla figura 4.2 nel caso del piano ordinario, si verifica che ogni vettore geometrico si può esprimere come loro combinazione lineare. Quindi {VI' vz, v3 } è una base, e i vettori geometrici dello spazio ordinario costituiscono uno spazio vettoriale reale di dimensione 3. n 2. Sia n 2: 1. Consideriamo lo spazio vettoriale numerico K , e siano El

=

(1, 0, ... , O),

E z = (O, 1, 0, ... , O),

En

=

(O, ... , 0, 1).

I vettori Ei' ..:' E n generano Kn. Infatti per ogni (XI' ... , xn)E Kn si ha (XI' ... , x n) = xlE I

+ xzEz + .., + xnEn.

[4.4]

Inoltre, essendo (XI' ... , x n) = O se e solo se XI = Xz = ... = x n = 0, segue dalla [4.4] che El' ... , E n sono linearmente indipendenti. Quindi {El' "0' E n } è una base di Kn e Kn ha dimensione n. {Ei' ... , E n } si chiama la base canonica di Kn. Per n = 1 otteniamo che il campo K, considerato come uno spazio vettoriale su sé stesso, ha dimensione 1, la sua base canonica essendo costituita dal solo 1EK. Dalla [4.4] segue che le coordinate di un vettore (XI' ... , x n ) rispetto alla base canonica coincidono con le sue componenti XI' ... , Xn· 3. Siano A EMm,n(K), X AX=O

= (XI

Xz

"0

X n ) indeterminate, e

[4.5]

il sistema omogeneo, di m equazioni nelle incognite X, la cui matrice dei coeffi-

\ 60

Geometria affine

cienti è A. Denotiamo con 1:0 l'insieme delle soluzioni del sistema. Come abbiamo già osservato nell'esempio 402(2), 1:0 è un sottospazio vettoriale di Kn. Le m equazioni [405] si dicono equazioni cartesiane del sottospazio 1:0 di Kn. Quindi, per definizione, due diversi sistemi di equazioni lineari omogenee nelle incognite X sono equivalenti se e solo se sono equazioni cartesiane dello stesso sottospazio di Kn Gli elementi di 1:0 possono interpretarsi come relazioni di dipendenza lineare tra le colonne A(l)' A(2)' '0" A(n) di A, considerate come vettori di Km Infatti x = t (XI X2 000 xn)EKn è soluzione di [405] se e solo se Ax = O, o, equivalentemente, se e solo se o

o

40 Consideriamo un sistema di m equazioni lineari omogenee a gradini: allXI + a l2 X 2 + a22 X 2 +

...

+ alnXn = O + a2n X n = O

"0

'00,

definita nel paragrafo 3, coincide con la dimensione dello spazio delle sue soluzioni. Più in generale, poiché ogni sistema di equazioni lineari omogenee [4.5] è equivalente a un sistema a gradini, abbiamo che !'infinità delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee è uguale alla dimensione dello spazio delle sue soluzionio

50 Sia X un'indeterminata. Il K-spazio vettoriale K [X] dei polinomi in X a coefficienti in K non ha dimensione finita. Supponiamo infatti per assurdo che esista una base finita {fl (X), ... , fn(X)} di K[X]. Detti dI' o." d n i gradi di fl(X), '00' fn(X) rispettivamente, poniamo D = max {dI' ... , d n}, e sia f(X) un polinomio di grado d > D. Poiché (fl(X)}, 000' fn(X)} è una base, esistono al' anEK tali che o •• ,

o

sm+2 = (Sm+21' sm+22'

Sm+2' '00' sn generano lo spazio 1: 0 delle soluzioni del sistema [4.6]. Segue che {sm+l' S-m+2' •.• , Sn } è una base di 1: 0, In particolare, .dim(1: o). = n-m. Pertanto l'infinità delle soluzioni del sistema omogeneo a gradini [4.6], così come è stata

[4.6]

all a22 ... amm -:;é O. Se n = m, il sistema [4.6] ammette solo la soluzione banale Se n> m le oon-m soluzioni di questo sistema sono ottenute dando valori arbitrari alle incognite X m + l , ••• , X n , e risolvendo il corrispondente sistema di m equazioni nelle XI' "0, X m • Consideriamo in particolare le n - m soluzioni sm+1 = (Sm+ll' sm+12' ... , sm+lm' 1, 0, ... ,

f(X) = adI (X)

Ma il polinomio a secondo membro ha grado non superiore a D e quindi non può essere uguale a f(X). Questa contraddizione implica che la base finita (fl (X), fn(X) l non esiste. . . In modo simile si dimostra che il K-spazio vettoriale K[XI, 000' X n] del pohnomi nelle indeterminate XI' ... , X n a coefficienti in K non ha dimensione finita. o •• ,

6. Per un qualsiasi intero positivo d, lo spazio vettoriaie K [XI' .. o, Xn]d costituito dai polinomi omogenei di grado d in XI' '0" X n a coefficienti in K e dal polinomio possiede una base finita: ad esempio quella costituita da tutti i monomi monici di grado d. Quindi K[Xp ••• , Xn]d ha dimensione finita uguale a (d

1)

o •• ,

tn) = (1, 0, ... , O), (O, 1, 0, 00" O),

rispettivamente Per ogni t m+ p t m+2,

o •• ,

(O, ... , 0, 1)

o

00"

tnE K si ha

tm+ISm+1 + t m+2sm+2 + ... + tnsn = (tm+ISm+11 + 00' + tnsnl , tm+lsm+12 ... + t nsn2 , ... , tm+ISm+lm + + tnsnm , t m+ p t m+2, "0, tn)' o ••

+ .,. [4.7]

Il secondo membro è uguale a (O, 00" O) se e solo se t m+ l = t m+2 = 00' = t n = 00 Quindi sm+l' sm+2' 00" Sn sono linearmente indipendenti. Il secondo membro della [407] è la soluzione del sistema [4.6] che corrisponde allascelta dei valori t m+l , t m+2, t n per le incognite X m+ l , "0' X n; la [4.7] mostra che tale soluzione è combinazione lineare di Sm+l' Sm+2' '0" sn- Quindi sm+l' o •• ,

+;

-1), per il lemma A.lI; in particolare lo spazio vettoriale K[XI, ... , Xn]1

dei polinomi omogenei di primo grado in XI' ... , X n ha dimensione n.

ottenute in corrispondenza alle (n - m)-uple (tm+l' tm+2,

+ 000 + anin(X),

°

O)

sm+2m' 0, 1, 0, ... , O)

0, '0.,0,

61

41Alcune nozioni di algebra lineare

70 Lo spazio vettoriale Mm,n(K) delle matrici m x n a elementi in K ha dimensione mn. Consideriamo infatti, per ogni 1:5 i:5 m, l:5j:5 n, la matrice 1ij che ha 1 nel posto i, j e ogni altro elemento uguale a 00 Otteniamo così un insieme di nm matrici {1l1' 112 , ... , 1mn }, che costituisce una base di Mm,n(K)· Infatti, se A = (aij) EMm,n(K), allora in modo unico si ha A =a ll 1ll +a I2 112 + ... +amn 1mn·

4.16 PROPOSIZIONE 1) Se VI' 2) Se VI'

Supponiamo che dim(V) = n.

, vnEV sono linearmente indipendenti, {VI' ... , vn} è una base di V. , vkEV sono linearmente indipendenti, esistono Vk+ l ' ... , VnEV tali che {VI' .. o, vn} sia una base di V.

62

,

Geometria affine

.

Dimostrazione 1) È sufficiente mostrare che (vI' ... , Vn) = V. Per ipotesi esiste una base {bI' ... , b n} di V, e ciò implica, per il teorema 4.12, che per ogni vEV i vettori VI' '0" Vn' V sono linearmente dipendenti. Pertanto esistono al' "0' ano aE K non tutti nulli tali che

Poiché VI' 00" Vn sono linearmente indipendenti, deve essere a -:;é. O. Quindi si ha

cioè vE (VI' 000' vn). Essendo vEV arbitrario, si ha l'asserto. 2) Per il teorema 4.12 deve essere k:::; n. Se k = n la conclusione segue dalla parte (I); supponiamo dunque k < n. vI' ... , V k non possono generare V, altrimenti si avrebbe una base costituita da k -:;é. n elementi, il che contraddirebbe il corollario 4.13. Pertanto possiamo trovare un vettore Vk+IEV"(v l, ... , v k ). Supponiamo che al' o.. , ak , ak + 1 E K siano tali che

Deve essere ak + I = 0, perché se fosse ak + I -:;é. V k+1 =

°

si avrebbe

- ak-+\alv i - 000 - ak-+\akvk,

cioè V k + 1 E(VI' "0' v k ), il che è contro l'ipotesi; pertanto si deve anche avere al = ... = ak = 0, perché VI' ... , v k sono linearmente indipendenti. Dunque i vettori VI' o.. , vk' V k + 1 sono linearmente indipendenti. Se k + l = n si conclude, per la parte (I), che {vI' ... , v k ' V k + l } è una base, e l'asserto è provato; se invece k + l < n possiamo ripetere il ragionamento precedente e trovare Vk+2 EV tale che {VI' "0, V k, V k+l' V k+2 } siano linearmente indipendenti. Iterando questo procedimento n - k volte è possibile trovare Vk+p V k + 2 ' ••• , vnEV tali che {VI' '0" vn} siano linearmente indipendenti. Per la (I), {VI' o.. , vn} è una base, e l'asserto è provato. 4.17 COROLLARIO Se dim(V) = n, ogni sottospazio vettoriale W di V ha dimensione finita non superiore a n. Dimostrazione Per il teorema 4012, per ogni sottoinsieme finito {Wl' ... , w m } di W costituito da vettori linearmente indipendenti deve essere m:::; no Quindi, se W ha dimensione finita, ogni sua base deve essere costituita da non più di n elementi, cioè dim(W):::; n. D'altra parte, se W non avesse dimensione finita, per ogni sottoinsieme finito {Wl' ... , wm } di vettori linearmente indipendenti di W si avrebbe (Wl' ... , w m ) -:;é. W, e quindi esisterebbe W m + 1 EW tale che Wl' '0', W m , W m + 1 siano

4/Alcune nozioni di algebra lineare

63

linearmente indipendenti (cfr. dimostrazione di 4.16(2». Ciò implica l'esistenza di insiemi finiti di vettori linearmente indipendenti di V con un numero arbitrariamente alto di elementi, il che è impossibile per il teorema 4012.

°

Se in particolare dim(W) = oppure n, allora W = (O) oppure W == V rispettivamente. Per ogni sottospazio vettoriaie W di V, il numero dim (V) - dim (W) si dice codimensione di W in V. Dimostreremo ora un'importante formula che mette in relazione le dimensioni di due sottospazi, della loro intersezione e della loro somma. 4.18 TEOREMA Siano U e W due sottospazi di dimensione finita dello spazio vettoriale V. Allora U n W e U + W hanno dimensione finita e dim(U) + dim(W) = dim(U + W) + dim(U n W).

[4.8]

In particolare, U + W è somma diretta di U e W se e solo se dim (U + W) = dim (U) + dim (W). Dimostrazione U n W è un sottospazio di U, che ha dimensione finita, e quindi anche U n W ha dimensione finita. Sia dunque {ZI' ... , Zq} una base di U n Wo Per la proposizione 4016(2) esistono U I' , u,EU e Wl' ... , wsEW tali che {ZI' o.. , Zq' U I, "0' u,} sia una base di U e {zp , Zq' Wl' o.. , w.} sia una base di W. Poiché dim(U) + dim(W) - dim(U n W) = q + t + s, per dimostrare la prima parte del teorema sarà sufficiente dimostrare che {zp ... , Zq' U I, 0.0' U,' Wl' 00" w s } è una base di U + W. oSia U + wEU + W. Esistono scalari al' ... , aq, ai, 000' a~, bi' 0'0' bI' CI' .. o, Cs talI che u=alzl+ .. o +aqzq+blu l + ... +b,u, w=aizi + ...

+a~Zq+cIWI +

00. +csws'

Si ha quindi u + W= (al + ai) ZI + ... + (aq + a~) Zq + bi U I +"0 + brut + CI Wl + .. o "o

+ CsWs '

Dunque ZI' ... , Zq' U I, ... , U,' Wl' ... , Ws generano U + W. Supponiamo ora che al' ... , aq, bi' ... , bI' CI' ... , csE K siano tali che alzl+ .. o +aqzq+blu l + ... + b,u, + CIW I + ... +csws=O.

[4.9]

Geometria affine

64

3. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali:

Dalla [4.9] segue che [4.10] Poiché il primo membro della [4.10] appartiene a W, il secondo membro sta in un w. Essendo {ZI' zql una base di U n W, si ha o •• ,

alzI + .0. +aqzq+blu l +

per opportuni e l ,

••• ,

65

4/Alcune nozioni di algebra lineare

+btut=elz l + ... +eqzq

o ••

eqE K, o, equivalentemente,

-(àl-el)ZI+ ... +(aq-eq)zq+blu l +

+btut=O.

Per l'indipendenza lineare di ZI' ... , Zq' Ul , , U t tutti i coefficienti sono 0, e in particolare bI = ... = b t = O. Per la [4.9] si ha dunque alzI + ... +aqzq+clw l +

Dall'indipendenza lineare di ZI'

+csws=O. ,

Zq'

Wl' ... , Ws segue che anche

a) {(O, 0, O)}

b) {(x, 0, O): xER, X;éO}

+ Z = l}

c) {(x, y, z): x - 2y

d) {(t, t, t): O:s t :sI} 3

e) {(l, t, t): O, B(Z), ... , B(n»

e pertanto r(AB) :5 r(B). D'altra parte si ha anche r(AB) = r('(AB» = r('BtA) :5 r('A) = r(A)

cioè r(A) = r(B), perché il rango di un insieme di vettori non dipende dall'ordine in cui si considerano. Se si è effettuata un'operazione elementare (II), le righe di B sono A(!), o" ... , cA (I), ... , A (m) per qualche c EK* e 1 :5 t:5 m, e si ha evidentemente (A(l), ... , cA(I), ... , A(m» = (A(ll,

o .. ,

A(m»,

cioè ancora r(A) = r(B). Se l'operazione elementare è del tipo (III), le righe di B sono A (I), .. o, A (s-1), A (s) + cA (I), A(s+l), ... , A (m), per qualche cE K e 1 :5 s, t:5 m, s,r. t; poiché tali righe sono combinazioni lineari di A (I), • o., A (m), si ha (A(1), ... , A(s-!), A(s)

h·

+ cA (I),

A(s+l), ... , A(m» C (A(I), ... , A(m».

e la (l) è dimostrata. 2) Per la (1) si ha r(AB):5 r(B) = r(A

-l

(AB» :5 r(AB)

e quindi r(AB) = r(B). La seconda uguaglianza in [5.3] si dimostra in modo simile. Per le matrici quadrate si ha il seguente teorema 5.4

TEOREMA

rango no

o

Una matrice quadrata di ordine n è invertibile se e solo se ha

70

Geometria affine

5/Rango

71

costituita dalla icesima, i2-esima, ... , .ip-esima riga. La disuguaglianza

Dimostrazione Per la proposizione 5.3(2) una matrice invertibile A ha lo stesso rango di In = A - I A. Il rango di In è n, perché le sue righe costituiscono la base canonica {El' ... , E n} di Kn. Viceversa, se A ha rango n, le sue righe A(l), , A(n) costituiscono una base di Kn. Quindi, per ogni i = 1, ... , n, esistono bi!, , binE K tali che

è ovvia se interpretata come una relazione tra i ranghi per righe delle due matrici. D'altra parte B è una sottomatrice di C, e precisamente

[5.4]

la sottomatrice costituita dalla jcesima, j2-esima, ... , jq-esima colonna di C. Anche in questo caso la disuguaglianza

Consideriamo la matrice B

=

(bi)EMn(K). La [5.4] equivale all'identità

In=BA

Una sottomatrice p X q di una matrice A EMm,n (K) è una matrice costituita dagli elementi di A comuni a p righe e a q colonne fissate in A. Scelti indici 1:5 il < i2 < '" < ip:5 m e 1 :5jl = cW + c' W' per qualche

1:5 i:5 n, c, c' E K, dove W

e W' sono due n-vettori colonna, si ha det(A) = cdet(A(I) .,. W ... A(n»)

+ c' det(A(l) ...

W' ... A(n»)'

3) Se la matrice BEMn(K) è ottenuta da A scambiando tra loro due righe

oppure A (I) A(Z)

oppure due colonne, si ha det(B) = - det(A). 4) Se A ha due righe oppure due colonne uguali, allora det(A) = O.

5) det (In) = 1. Dimostrazione 1) Si ha

A= A (n)

det(lA) = E pE

Un

E (p)

ap(l)lap(Z)Z ... ap(n)n·

[6.2]

76

Geometria 'affine

A meno del segno, gli addendi di [6.2J sono gli stessi di [6.1J; infatti il termine ape!) I ap(2) 2

ap(n)n

'"

[6.3J

77

6/Determinanti

E(P)

=-

E(top) e poiché al variare di pEUn> top descrive tutto Un> si deduce:

det(B)

=

E -

E(

q ) alq(l) '" aiq(i) ... ajq(j) ... anq(n)

supponi:r::~

può anche essere scritto nella forma seguente: [6.4]

dove q = P -I E un' Osservando poi che E (p -I) = E (p), si conclude che gli addendi di det(A) e di detCA) sono gli stessi, cioè det(A) = det(S4). 2) Le due affermazioni sono equivalenti per la (1), e quindi è sufficiente dimostrare la prima. Siano

= - det(A).

~guali. ~c~mbiando

Dal teorema 6.2 segue facilmente il risultato seguente. 6.3 COROLLARIO Se A, BEMn(K), allora det(AB) = det(A!1 det(B). In particolare, se A è invertibile, allora det(A -I) = det(A) .

Si ha

Dimostrazione Siano A = (ai}) e

e

B(l) det(A) = E

pEUn

=

E

(p) alp(l) a2p (2)

•••

B(2)

anp(n) =

B=

E E (p) alp(l) '" (CVp(i) + C' V; (i»

pEall

'"

anp(n)

=

= cPE~ E E (p) alp(l) ... Vp(i) ... anp(n) + c' pE~ E E (p) alp(l) '" A (l)

= cdet

V

V;(i) ... anp(n)

=

Si ha, utilizzando la (2) e la (3) del teorema 6.2:

A(I)

+ c' det

V'

det (AB)

=

all B(l) a21 B(l)

+ +

+ alnB(n) + a2n B(n)

ani B (l)

+ .. + ann B(n)

det 0

A (n)

3) Per la (1) è sufficiente dimostrare la (3) nel caso in cui B sia ottenuta da A scambiando due righe, siano esse la i-esima e laj-esima, dove l ::5 i K è un'applicazione tale che, per ogni A = (A(l) A(n»)EMn(K) si abbia

che è incompatibile. . 6. Siano XI' xz, ... , xnE K, n?: 2. Il determinante V(xl , Xz, ... , X) della matrice di Vandermonde n

XI XZ I

Xz XZ Z

Xn Z Xn

cV + c' V' + c' D(A(l)

a)

D(A(I)

b)

D(A(i)'" A(i) ... A(j) per ogni I :s i si può scrivere nella forma

I casi che vengono considerati nell'enunciato della proposizione 9.1 sono tutti quelli che si possono presentare per la posizione reciproca di due rette di A, perché corrispondono a tutte le possibilità per un sistema di due equazioni lineari in due incognite. In particolare vediamo che l'unica possibilità perché due rette ~ ed~' non abbiano punti in comune è che la [9.7] abbia rango 1 e la [9.8] abbia rango 2, e questo caso corrisponde al parallelismo di ~ ed ~'. Quindi due rette di un piano affine non possono essere sghembe. Sia Q(xo, Yo) EA. L'insieme 4> i cui elementi sono le rette di A passanti per Q si dice fascio proprio di rette e Q si dice il suo centro (fig. 9.1). Siano

per opportuni À, fl. I fasci di rette sono utili in pratica soprattutto quando il punto Q è individuato da due rette che lo contengono ma le sue coordinate non sono note, e si vuole individuare una retta contenente Q soddisfacente a condizioni assegnate, ad esempio la condizione di passare per un punto P diverso da Q, oppure di essere parallela ad una retta assegnata. È talvolta più conveniente utilizzare un solo parametro non omogeneo t, invece della coppia di parametri omogenei À, fl. In altre parole, anziché nella forma [9.10], ,i può scrivere la retta variabile nel fascio nella forma

AX+BY+C=O

equazioni cartesiane di due rette distinte, aventi in comune il centro Q di 4>. Siano À, fl EK due scalari non entrambi nulli; la retta di equazione cartesiana

AX +BY+ C+ t(A'X +B'Y + C') = O,

+ fl(A' X + B' Y + C') = O

[9.10]

Ax + By

[9.12]

+ C) + fl (A' x + B'y + C') = O

+ C + t (A' x + B'y + C') = O,

[9.13]

la cui soluzione, se esiste, determina la retta cercata. Si faccia però attenzione: nella forma [9.13] si rappresentano tutte le rette del fascio 4> ad eccezione della retta

passa per Q e quindi appartiene al fascio 4>. Viceversa, se ~E 4> e P(x, y) E~ è un punto diverso da Q, la condizione À (Ax + By

- x o) + fl (Y - Yo) = O

e la condizione di passaggio [9.11] diventa un'equazione lineare in t:

A'X+B'Y+C'=O

À(AX + BY + C)

À (X

A'X+B'Y+C'=O.

[9.14]

Ciò corrisponde aLfatto che l'equazione [9.13] è incompatibile se (e solo se) [9.11] A'x+B'y+C'=O

è un'equazione lineare omogenea in À e fl che ha un'unica soluzione, determinata e

Ax+By+

C~O,

cioè se P ~ Q e P appartiene alla retta [9.14]. Con questa avvertenza, si può sempre utilizzare un parametro non omogeneo per determinare una retta del fascio 4>, purché siinterpreti nel modo detto l'equazione [9.13] quando essa risulti incompatibile. Considerazioni simili alle precedenti si possono fare nel caso dei "fasci impropri". Dato un vettore non nullo v EV, l'insieme i cui elementi sono le rette di A aventi direzione è unfascio improprio di rette, e è la sua direzione (fig. 9.2). Data una r~tta del fascio improprio 4>, di equazione Figura 9.1

AX+BY+C=O,

Geometria affine

114

che denotiamo con ad~). Si noti che ad~) passa per adQ), dove Q(a, b) E~, ed è parallela a ~, avendo un vettore di direzione di coordinate (- l, -

ogni altra retta di W è un'applicazione lineare, allora le seguenti condizioni sono equivalenti:

F I: V IN (F) -> 1m (F)

tale che [11.8]

dove p: V -> VIN (F) è la proiezione naturale e i: 1m (F) -> W è l'inclusione. Dimostrazione Siano VI' vzEV. Si ha F(v l ) = F(v z) se e solo se F(v z - VI) = O, cioè se e solo se Vz - VI EN (F), ovvero vzE [VI + N(F)]

dim(W)

+ N(F»

= r(F) = dim(V).

= Wi,

i = 1, ... , n,

F ' è biunivoca perché, oltre ad essere ovviamente suriettiva, è anche iniettiva per la [11.9]. La verifica della linearità di F' e della [11.8] è lasciata al lettore.

Il.10 DEFINIZIONE Siano V e W due K-spazi vettoriali. V e W si dicono isomorfi, oppure si dice che V è isomorfo a W, se esiste un isomorfismo V -> W.

O,

Spazio Duale

(LI

+ L z) (V) = LI (v) + L z(v)

Definizione

per ogni

VEV.

Verifichiamo che LI + L z è lineare. Per ogni v, v' EV, c EK si ha (LI

[11.9]

= F(v).

=

Terminiamo questo paragrafo con la descrizione di alcune proprietà dell'insieme dei funzionali lineari su uno spazio vettoriale. Sia V un K-spazio vettoriale. È possibile introdurre in VV, l'insieme dei funzionali lineari su V, una struttura di K-spazio vettoriale definendo le operazioni nel modo seguente. Se Lp L z EVV, definiamo LI + L z EVV ponendo

Possiamo quindi definire F ' : VIN (F) -> 1m (F) ponendo F ' (v

per il teorema Il.6 si ha

è suriettiva perché Wl' ••• , W n generano W. Per il teorema 11.6, dim(N(F» e quindi F è anche iniettiva. Dunque F è un isomorfismo.

Il.9 TEOREMA (DI OMOMORFISMO PER GLI SPAZI VETTORIALI) Sia F: V -> W un'applicazione lineare di K-spazi vettoriali. F definisce un isomorfismo

= F(v z) #

= (O),

F(v)

Abbiamo il seguente teorema.

F(v l )

N(F)

141

Viceversa supponiamo dim(V) = n ~dirn(W), e siano {VI' ... , Vn} e {Wl' •.• , w n } basi di Vedi W rispettivamente. L'applicazione lineare F: V -> W definita da

1) N(F) = (O); 2) Im(F) = W; 3) F è un isomorfismo.

F= ioF' 0p,

Il/Applicazioni lineari

(LI

+ L z) (v + v') = LI(v + v') + Lz(v + v') = / = LI (v) + LI (v') + Lz(v) + LZ(v ) = / = LI (v) + Lz(v) + LI (v') + LZ(v ) = = (LI + Lz) (v) + (LI + L z) (v'). + Lz)(cv) = LI (cv) + Lz(cv) = cL I (v) + cLz(v) = = c(L I (v) + Lz(v» = = c(L I + L z) (v),

e quindi LI + L z è lineare. Se L EVV e cE K, definiamo cL EVV ponendo (cL) (v) = cL(v).

Ogni spazio vettoriale è isomorfo a se stesso, perché Iv è un isomorfismo. Se V è isomorfo a W, anche W è isomorfo a V, perché l'inverso di un isomorfismo è un isomorfismo. Infine, poiché la composizione di isomorfismi è un isomorfismo, se V è isomorfo a W e W è isomorfo a D, allora V è isomorfo a D. Quindi l'isomorfismo è una relazione di equivalenza tra spazi vettoriali.

La verifica della linearità di cL è lasciata al lettore. Il funzionale nullo OEVV, definito da O(v)

=

O

per ogni

VEV,

soddisfa evidentemente Il.11 TEOREMA Due K-spazi vettoriali di dimensione finita sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

Dimostrazione Supponiamo V e W isomorfi, e sia F: V -> W un isomorfismo. Poiché

L + O= L

per ogni

L EVV .

Lasciamo al lettore la facile verifica del fatto che VV, con le operazioni che abbiamo definito, è un K-spazio vettoriale. VV si chiama spazio vettoriale duale di V.

Geometria affine

142

Il (Applicazioni lineari

143

Supponiamo che V abbia dimensione finita, e sia e = {e l , ••• , en } una sua base. Sia 1:5 i:s n. Per il teorema Il.3 esiste un unico 11iEVv tale che [11.10] dove se i ':jé.j se i =j è il simbolo di Kronecker. Otteniamo così n funzionali lineari 111' ... , 11m che sono gli stessi considerati nell'esempio 11.1(4).

vedi pag.135

Il.12 TEOREMA Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia {el' ... , enl una sua base. L'insieme {111' ... , l1n} dei funzionali lineari definiti dalla [11.10] è una base di r; in particolare

Base duale

dim(VV) = dim(V) e quindi V e VV sono isomorfi.

...

Dimostrazione v Sia LEV e al = L (e l), a2 = L (ez), ... , an = L (eJ. Il funzionale a l l1l + anl1n soddisfa l'identità (al 111

+ a2112 + ...

+ ... + anl1n)(e) = (al 111)(e) + + (ail1i)(e) + ... + (anl1n)(e) = = a l 111 (e) + + ail1i(e) + ... + anl1n(e) = = ail1i(e)

= ai'

i = 1, ... , n

e quindi a l l1l + a2112 + ... + anl1n ha gli stessi valori di L sulla base {el' ... , en }. Dal teorema 11.3 discende che al 111

+ a2112 + ... + anl1n = L.

Quindi 111' ... , l1n generano VV. Supponiamo ora che al' ..., anEK siano tali che

L(xe l +

... +xnen) = (al 111 + ... + anl1n)(xle l + +xnen) = +xneJ + + (anl1n)(xl e l + '" + xne n) = = (al 111)(XI e l + = alx l + a2x 2 + + anxn,

perché l1i(XI e l + ... + xnen) = Xi' i = 1, ... , n. Quindi ogni funzionale lineare su V si esprime in modo unico come un polinomio omogeneo di primo grado nelle coordinate dei vettori rispetto alla base {e l , ... , en }. I coefficienti del polinomio sono le coordinate del funzionale rispetto alla base duale {111' ... , l1n}' In particolare, se V = Kn, e {El' ... , E n } è la base canonica, ogni funzionale lineare L su Kn si esprime in modo unico come un polinomio omogeneo di primo grado: [11.11] Si osservi che se il funzionale L: V ~ K non è nullo, la sua immagine è un sottospazio vettoriale diK diverso da (O), e quindi 1m (L) = K; da ciò e dal teorema 11.6 segue che dim [N (L)] = n -1.

Il.13 PROPOSIZIONE Siano V un K-spazio vettoriale ed f, g EVV tali che si abbia f(v) = O per ogni vE N (g), cioè N(f):::> N(g). Al/ora esiste cE K tale che f=cg. Dimostrazione Se g = O, allora N (g) = V e quindi N(f) = V, cioèf= O = g. Supponiamo viceversa g ':jé. O. In tal caso N (g) è un iperpiano. Fissiamo e EV\N (g), e sia cE K tale chef(e) = cg(e). Si ha V = (e) ED N(g) e quindi ogni vEV è della forma v = xe + w, per qualche wE N (g) e xE K. Pertanto f(v) = f(xe + w) = f(xe) + f(w) = xf(e) = xcg(e) = cg(xe) = = cg(xe) + cO = cg(xe) + cg(w) = cg(xe + w) = cg(v), cioèf= cg.

Allora, per ogni i = 1, ... , n:

0= O(e) = (al 111 + ... + anl1n)(e) = al 111 (ei ) + ... + a nl1n(e) = = ai l1i(e)

= ai'

Quindi al = .. , = an = O, e pertanto 111' ... , l1n sono anche linearmente indipendenti. L'insieme di funzionali lineari {111' ... , l1n} è la base duale della base {el, ...

... , en } di V.

Dati due K-spazi vettoriali V e W, è possibile introdurre in Hom(V, W) una struttura di K-spazio vettoriale definendo F + G e cF, per ogni F, G EHorn (V, W), c EK, nel modo seguente: (F + G) (v) = F(v)

+ G(v)

(cF) (v) = cF(v)

per ogni vEV.

Lasciamo al lettore il compito di verificare, in modo simile al caso di VV = Hom(V, K), che queste due operazioni definiscono su Hom(V, W) una struttura di K-spazio vettoriale, in cui lo zero è l'applicazione nulla O•

Nel caso particolare Y = K, lo spazio Hom(K, W) è isomorfo a W: un isomorfismo A: W ~ Horn (K, W) è definito associando a w EW l'applicazione lineare A(W): K ~ W tale che A(W) (1) = w; lasciamo al lettore la verifica del fatto che A è un isomorfisrno. A si chiama isomorfismo canonico di W su Hom(K, W), perché è individuato univocamente da W.

145

Il/Applicazioni lineari

Geometria affine

144

v

per ogni LEY Siano VZ' ••• , vnEY tali che (v, vz, ••• , vnl sia una base di Y. II funzionale L Ey definito da •

v

L(v) = 1,

L(v) = O,

i = 2, ... ,n,

dà una contraddizione. v

11.14 Complementi

2. Sia Y un K-spazio vettoriale, dim(Y) = n. Se L Ey i vettori del nucleo di L, cioè i v EY tali che L (v) = O, si dicono talvolta ortogonali a L. Se cI> è un sottoinsieme di y un vettore v EY si dirà ortogonale a cI> se v è ortogonale ad ogni L EcI> , cioè se L (v) = O per ogni L EcI>. L'insieme ,

1. Sia Y un K-spazio vettoriale. II duale di y si chiama spazio biduale di Y, e si denota con y dal teorema 11.12 che

v

v

, vv •

cioè lo spazio Horn (y , K), Se dim(Y) = n, allora segue

v

,

cI>.L

=

(VEY:v è ortogonale a cI> l

=

n LE'l' N (L) cV

v

e i tre spazi Y, y , y vv sono tra loro isomorfi. Se si sceglie una base {e l , ... , enl di Y, resta definita la base duale {1I1' , lInl v v di y , e un isomorfismo cp:Y ~ y è definito ponendo cp(e;} = 11;, i = 1, , n. L'isomorfismo cp dipende dalla base assegnata, cioè se si sceglie un'altra base di Y, si ottiene un isomorfismo diverso da cp (cfr. esercizio 6). Per lo spazio y si ha una situazione diversa: è infat.ti possibile definire un vv isomorfismo {3: Y ~ y in modo del tutto intrinseco, cioè indipendente da qualunque scelta ulteriore, il quale per questo motivo si dice l'isomorfismo canonico di Y su yvv. {3 è l'applicazione che ad ogni v EY associa il funzionale {3 (v) : y ~ K definito nel modo seguente:

è un sottospazio vettoriale perché èl'intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali di Y. Chiameremo cI>.L il sottospazio di Y ortogonale a cI>. Supponiamo in particolare che cI> sia un sottospazio vettoriale di y Sia dim(cI» = t e (LI' ... , Ltl una base di cI>. Allora si ha v

•

[11.12]

vv

e dim(cI>.L)

=

n-t.

v

(3(v)(L)

Infatti, se vEN(L 1) si ha

= L (v)

L (v) = aIL1(v)

v

per ogni LEY Verifichiamo che (3(v) è lineare: (3(v) (cL + c' L') = (cL + c' L') (v) = (cL) (v) + (c' L') (v) = = cL (v) + c' L'(v) = c{3(v) (L) + c'{3(v) (L'), vv

= L(cv + c'v') = cL (v) + c' L(v') c{3(v) (L) + c' (3(v') (L) [c{3(v) + c' (3(v')] (L) =:;

=

=:;

v

,

O

O LI(e m + l )

O

O

VV

).

vv

•

=:;

+ atLt(v) =

alLI + azL z + ... + atLt

O

definita da cp(v) = (LI(v), Liv), ... , Lt(v)). Dal teorema 11.6 segue che m ~ n-t. Supponiamo per assurdo che sia m > n - t. Scegliamo una base {e l , ... , enl di Y tale che (e p ••• , em l sia una base di cI>.L. La matrice t x n:

per ogni LEY e quindi (3(cv + c'v') =:; c{3(v) + c'{3(v'), cioè {3 è lineare. Per dimostrare che {3 è un isomorfismo è sufficiente far vedere che N ((3) =:; (O), Supponiamo per assurdo che esista VEY, v ~ O, tale perché dim(Y) =:; dim(Y Allora si ha che (3(v) =:; OE y (3(v) (L)

+ azLiv) +

=

cp:Y~Kt

v

per ogni L, L'E y , c, c'E K, e quindi (3(v) è un funzionale lineare su y • Verifichiamo ora che {3: Y ~ y è lineare. Per ogni v, v' EY, c, c'E K, si ha (3(cv + c'v') (L)

n .. , n N (Lt) , allora per ogni L

cioè v EN (L). Pertanto N (LI) n n N (L t) c cI>.L. L'inclusione opposta è ovviamente vera, e la [11.12] segue. Sia m = dim(cI>.L). Osserviamo che cI>.L coincide con il nucleo dell'applicazione lineare

•

v

[11.13]

O

L (v) = O

lO

Lz(em + l)

146

Geometria affine

ha rango non superiore a t -1, perché ha m > n - t colonne nulle. D'altra parte le sue t righe sono linearmente indipendenti, perché sono i vettori delle coordinate di Li' ... , L( rispetto alla base {'l] l ' .•• , 'l] n}, duale di {e l , ••• , enl. Abbiamo una contraddizione, e quindi dev'essere m = n-t.

6. Sia V un K-spazio vettoriale tale che dim (V) = 1, e sia e EV\ {O J. Sia 17 EV~ il funzionale duale di e, cioè il funzionale definito dalla condizione 17(e) = 1.

Dimostrare che per ogni aE K*:

3. Siano dati due spazi vettoriali complessi V, W. Un'applicazione

I

a) il funzionale lineare duale di ae è t = a- 17;

F: V-+W

b) se cp, if; : V --+ V' sono gli isomorfismi definiti rispettivamente da cp(e) = 17, if;(ae) = t, allora if; = a- 2 cp.

si dice antilineare se soddisfa le seguenti condizioni:

F(v + v') F(cv)

=

= F(v) + F(v'),

[11.14]

cF(v),

12 Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini

[11.15]

per ogni v, v'EV, cECo Una condizione equivalente alle [11.14], [11.15] è la seguente:

F(cv + c'v')

147

I2/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini

= cF(v) + c' F(v')

per ogni v, v'EV, c, c'ECo La verifica dell'equivalenza è lasciata al lettore.

Siano V e W due K-spazi vettoriali di dimensione finita, e v = {v l'

••• , Vn

l e

w = {Wl' ... , wml basi di Vedi W rispettivamente.

Sia F: V -+ W un'applicazione lineare. La matrice m x n la cuij-esima colonna, j = 1, ... , n, è costituita dalle coordinate del vettore F(vj ) EW rispetto alla base w è la matrice associata a F rispetto alle basi v e w, e si denota con M w,y(F). Esplicitamente:

Esercizi 1. Siano g: U --+ V, f: V --+ W applicazioni lineari. Dimostrare che N(g) C N(fog)

1m (f) ::) Im(fog).

dove

2. Dimostrare che, se F: V --+ W è un'applicazione lineare tale che N (F) = (O), e VI> ••• ... , vnEV sono vettori linearmente indipendenti, allora F(VI)' ... , F(v n) sono linearmente indipendenti. 3. Sia HC R3 il piano di equazione XI + X 2 - X 3 = 0, e sia u = (O, 1, 1). Dopo aver verificato che R 3 = H(f; (u), trovare l'espressione analitica della proiezione p : R 3 --+ H nella direzione (u).

F(v)

= mljw 1 + mZjwZ+ ... + mmjwm·

Ovviamente M w • JF) dipende, oltre che da F, anche dalle basi ve W. L'utilità della matrice Mw,y(F) sta nel fatto che, una volta assegnatele due basi ve w, da essa si può risalire all'applicazione lineare F, come chiarito dalla seguente proposizione.

4. Sia W il sottospazio di R 4 di equazioni cartesiane 2Xj

+ X 3 = 0,

-X2

-

3X4 = 0,

e sia U = «(1, 0, 0, O), (O, 1,0, O). Dopo aver verificato che R = U (f; W, trovare l'espressione analitica della proiezione p : R 3 --+W definita dalla precedente decomposizione di R 4 in somma diretta. 4

5. Esprimendo i funzionali lineari su R 3 come polinomi omogenei in XI> X 2 , X 3 a coefficienti reali, determinare le basi di (R 3)" duali di ognuna delle seguenti basi di R 3 : a) {(l,O, O), (0,1, O), (O, 0, l)J

c) {(l, -1, O), (O, 1, 1), (1, O, 2) J

d) {(l, O, O), (1,1, O), (1,1, l)J.

12.1 PROPOSIZIONE Siano V e W due K-spazi vettoriali, v = [vi' ... , vnl e w = {Wl' ... , wml basi di Vedi W rispettivamente, e F:V -+ W un'applicazione lineare. Perogniv=xlv l + ... +XnvnEV si ha

dove

148

Geometria affine

Dimostrazione Si ha:

I2/Applicazioni lineari e matricio Cambiamenti di coordinate affini

149

Sia A EMm,n(K) e definiamo FA:V~W

F(v) = F(x i VI + X2V 2 + ... + XnV n) = xIF(v l ) + x 2F(vJ + ... + xnF(vn) = =xI(mljw l +m 2I w2 + "0 + mmlWm) + + X2(m 12 W I + m 22 w 2 + ... + mm2Wm) + ... + xn(mlnW I + 2n W2 + .0. + mmnWm) = n n n = ( .1: mljx) Wl + ( .1: m 2j x) W 2 + '00 + ( .1: mmjx) Wm. "0

m

J~I

J~l

J~l

Quindi il vettore colonna delle coordinate di F(v) è

ponendo FA(x l VI + x 2V2 + ... + x nvn) = (A (I) x) Wl + (A (2) X) W 2 + ... + (A (m) X) Wm,

dove abbiamo denotato con x = t (XI'" x n) e A (I), A (2), ••• , A (m) le righe di A. In altre parole, il vettore colonna delle coordinate di FA (v) è A x. Verifichiamo che FA è un'applicazione lineare. Consideriamo due vettori qualsiasi v = XI V l + ... + x n Vm V' = X; V I + ... + x~ vn di V. Si ha FA (v + v') = A (I)(x + x')w 1 + ... +A(m)(x + x')wm = = (A(I)x + A(I)x') Wl + ... + (A (m)x + A(m)x') Wm = = (A (I)x) Wl + ... + (A (m) x) Wm + (A (l)x') Wl + ... + (A (m) x') Wm =

n

X2

= FA(v)

+ FA(v').

Se c EK si ha inoltre Abbiamo il seguente teorema. 12.2 TEOREMA Siano V e W due K-spazi vettoriali, e siano v = {VI' e w = {Wj' wnl basi di Vedi W rispettivamente. L'applicazione

o •• ,

vnl

o •• ,

FA(cv) = (A (l)CX) Wl + .. , = c(A (l) x) Wl + = c [(A (I)x) Wl +

+ (A (m)cx) Wm = + c(A (m) x) W m = + (A (m) x) Wm] =

cFA(v).

Quindi FA è lineare. Per definizione si ha

M w,.: Hom(V, W)~Mm,n(K) F ...... Mw,.(F)

è un isomorjismo di K-spazi vettoriali. In particolare

dim[Hom(V, W)]

=

mn.

Dimostrazione Siano F, GEHom(V, W), M=Mw,.(F), N=Mw,.(G), e cEK. Se V = Xl VI + ... + x nV m denotiamo con x = t(xi ••• x n) l'n-vettore colonna delle coordinate di V rispetto alla base Vo Gli m-vettori colonna delle coordinate di F(v) e di G(v) rispetto a w sono rispettivamente Mx ed Nx, mentre il vettore colonna delle coordinate di (F + G) (v) = F(v) + G(v) è Mx + Nx = (M + N) x; quindi Mw,.(F+ G) = Mw,.(F)

+ Mw,.(G).

Inoltre l'm-vettore colonna delle coordinate di (cF) (v) = cF(v) è c(Mx) = (cM) x, e quindi Mw,.(cF) = cMw,.(F).

Pertanto M w ,. è un'applicazione lineare.

D'altra parte, se A l'applicazione

= Mw,.(F)

si ha evidentemente FA

= F.

In conclusione,

Mm,n(K) ~ Hom(V, W)

A ...... F A

è l'inversa di M w ,.' L'ultima affermazione del teorema segue dall'esempio 4.15(7).

L'applicazione FA introdotta nel corso della dimostrazione del teorema 12.2 si dice applicazione lineare associata alla matrice A rispetto alle basi v e w. Essa è definita, per ogni A EMm,n(K), ponendo FA (xlv j

+ ...

+xnvn)=YjW I + .. · +Ymwm'

dove y = Ax, essendo x = t(xi ... x n), y = t(yl ... Yn)' Si noti che M w ,. fa corrispondere all'applicazione lineare O la matrice nulla m x n. Dalla definizione segue inoltre che per ogni v EV il vettore FA(v) ha per coordinate polinomi omogenei di primo grado nelle coordinate di v.

150

Geometria affine

12.3 PROPOSIZIONE Siano U, V, W spazi vettoriali su K di dimensioni s, n ed m, e siano U = {UI, ... , usL v = {VI' ... , vnl e w = (Wl' ... , wml loro rispettive basi. Siano G: U -+ V ed F: V -+ W applicazioni lineari. Si ha

U

= Zl U I + ZzU z + '" + ZsusEU,

151

Supponiamo ora che lo spazio vettoriale V sia reale. Due basi e = {e l , ... , en l ed f= (f l , ... , fnl di V si dicono orientate concordemente se det(Me,f(ly)) > O, e si scrive e -J. Altrimenti le due basi si dicono orientate discordemente. Ogni base è orientata concordemente a. sé stessa perché Me.iIy) = In' Inoltre, poiché M f , e(ly), = Me f(ly) -I, il fatto che due basi siano orientate concordemente o discordemente non dipende dall'ordine in cui esse sono state prese. Infine, se eed f sono orientate concordemente, e così pure f e g = (gl' ... , gn l, allora anche e e g sono orientate concordemente. Infatti si ha

.

Dimostrazione Se

I2/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini

siano

G(U)=XIVI +xzvz+ ... +xnvn

det(Me.g(ly))

= det(Me,f(ly) (Mf./Iy)) = det(Me,f(ly)) det(Mf.g(ly)) > O. -c è una relazione di equivalenza nell'insieme !J& di tutte le

Deduciamo che basi di V. Ogni classe di equivalenza si chiama orientazione di V. Quante sono le orientazioni di V? Certamente almeno due, perché se e = {e l , ... , en l è una base di V, esiste qualche base orientata discordemente da e, ad esempio la base f = ( - e l , ez, ... , en l. Infatti

x = M •. u(G) z y = Mw.• (F) x = Mw.•(F)[M•. u(G) z] = [Mw.•(F) M •. u(G)]z.

Se V = W e se v = {VI' ... , vnl e w = (Wl' ... , wnl sono due basi di V, ad ogni operatore lineare F su V è associata una matrice quadrata Mw.•(F)EMn(K). Se V = W, dalla proposizione 12.3 segue che FEGL(V) se e solo M•.•(F)EGLn(K), e in questo caso si ha

Inoltre M •.•(F) = In se e solo se F = Iy. Un caso particolare importante si ha prendendo due basi distinte v e w di V e F = Iy, l'applicazione identità. In questo caso M w• • (Iy) è detta matrice del cambiamento di coordinate dalla base v alla base w. Per definizione la colonnaj-esima di Mw.•(ly) è costituita dalle coordinate di Vj rispetto alla base w, per ogni j = 1, ... , n. Per ogni vettore V EV si ha

-1

O

O

O

O

O O

1

D'altra parte, le orientazioni non sono più di due: infatti se esistessero tre basi e, f e g orientate discordemente a due a due, si avrebbe l'assurdo O> det(Me./I y)) = det(Me.f(ly)) det(Mf./Iy)) > O.

Quindi V possiede due orientazioni, cioè !J& è ripartito in due classi di equivalenza rispetto a -c' L'orientazione cui una data base eE!J& appartiene è l'orien-

tazione di V definita da e. 12.4 Esempi y = M w• • (Iy) x.

Quindi la matrice M w•• (Iy) permette di ottenere le coordinate y di un vettore V rispetto alla base w una volta note le sue coordinate x rispetto alla base v. Si noti che, per la proposizione 12.3: M •. w(ly) Mw.•(ly) = M •.• (ly) = In

1. Se V = Kn, W = Km e v e w sono le basi canoniche di Kn e di Km rispettivamente, l'applicazione FA associata a una matrice A EMm.n(K) è data da

FA(x)=Ax

perognixEKn,

se gli elementi di Kn e diKm sono visti come vettori colonna. Poiché le colonne di A sono i vettori FA(E I ), FA(Ez), ••• , FA(En)' si ha Im(FA) = (FA(E I ), FA(Ez), ••• , FA(En)·

e quindi [12.1]

In particolare r(FA ) = r(A). Si noti che le coordinate del vettore A x sono m polinomi omogenei di primo

152

Geometria affine

grado in Xl' XZ' ... , Xw Viceversa, una qualunque applicazione lineare F: Kn -+ Km è della forma

I2/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini

153

D'altra parte, poiché Im(FA) è generata dalle colonne di A, affinché bE 1m (FA)' cioè affinché il sistema [12.2] sia compatibile, è necessario e sufficiente che

r(A) = r(A b). in cui ognuno degli Fj(xI, XZ' ..• , x n) è un funzionale lineare su Kn: infatti Fj è uguale alla composizione

che è lineare. Ricordando la [11.11], vediamo che ognuno degli Fj(x l , Xz, ... , x n) è un polinomio omogeneo di primo grado in XI,XZ, ... , Xn. Quindi ogni applicazione lineare F: Kn -+ Km è definita da m polinomi omogenei di primo grado in XI' ... , x n' e la corrispondente matrice ha per prima, seconda, "0' m-esima riga i coefficienti di F I (XI' Xz, ... , Xn), FZ(x I, XZ' ... , Xn), ... ... , Fm(x l , XZ' ••. , x n)·

In questo modo abbiamo ottenuto una nuova dimostrazione del teorema di Kronecker-Rouché-Capelli. Sappiamo che, se è compatibile, il sistema [12.2] possiede oon-r soluzioni, dove r = r(A). Ciò può essere dimostrato anche osservando che il sistema [12.2] pos- . siede un'infinità di soluzioni uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato AX=O,

e che tale spazio coincide con N(FA ). Per il teorema 11.6 abbiamo dim[N(FA)]

Ad esempio, alla matrice

=n -

r(F)

=n -

r.

3. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3, e sia e = [CI' Cz, C3 J una base di V. Consideriamo le seguenti basi, i cui vettori assegniamo in coordinate rispetto a e: V=[v l (1, 1, O), vz(2, 1, 1), v3 (0, -2, I)J w= [w l (-I, 0,1), w z(1, -2, -3), w 3 (1, 1, I)J.

è associata l'applicazione lineare FA: R 3 -+ R Z così definita: FA (XI' XZ' X3)

= (XI + 2xz + -J"2x3,

Si ha

3xI + Xz - x/2).

2

Viceversa all'applicazione lineare F: R 4 -+ R 3 seguente: F(x l , Xz, X3 , X4) = (2x I - X3 + X4 , Xz - -/3x3

+ 3x4 /2, Xl - Xz + X 3 + 5 X 4 )

-:)

1

M.,. (t,) {

è associata la matrice 2

O

--/3

O 1

-1

-1

Similmente 3 2

1 Me,w(lv) =

5

C

O -2

1

2. Siano A EMm,n(K), b = t(b l ... b m) EKm, e consideriamo il sistema di m equazioni lineari in n incognite AX=b,

M.,lt,)

-3

i)

[12.2]

dove X = t(XI ... X n). Un vettore x = t(X I ... x n) EKn è una soluzione del sistema [12.2] se e solo se FA(x) = b, dove FA: Kn -+ Km è l'applicazione lineare associata ad A. Affinché un x E Kn siffatto esista è necessario e sufficiente che b E1m (FA)'

M w e(lv) = Me,w(lv)~1 =

-

1 2

-2

1 2

-1

1

-1

3 2 -

1 2 1

~

M.,.(t,)-'

~

-2

-4)

2 .

(-:

-1

-1

154

Geometria affine

Per calcolare Mw.v(lv) conviene utilizzare la proposizione 12.3. Si ha Mw,v(lv)

= Mw.e(lv) M e• v (1v) = -

1 2 1 2

-2 -1 -1

1

3 2 1 2

2

(;

1

1

-}

r !

3 2 1 -2

1 2 1 2

-Il

2 5 2

1

2

'Y'2

O

2

3

1

-1

1

--

1

3

O

1

2

O

O

5

-

1 1 2

M.j1v) =

Infine, per calcolare Mv.w(lv) possiamo utilizzare l'identità

e calcolare l'inversa" di Mw.v(lv)' oppure scrivere

si ottiene 2 'Y'2

1

3-2 _4) (-~

= -1

(

2

1

-1

-1

1) = (-7 19 -3)

O -2

1

3

1

1

-2

-3

-9

=

(I

2

3

-2

O

1

-1

3

2. O

6-1

4. Siano V e W spazi vettoriali reali, dim(V) = 4, dim(W) = 2, siano v = = [VI' V2, v3' v4 } e w= [Wl' w2 } basi di V e W rispettivamente, e sia F:V-+W l'applicazione lineare tale che

M.,.(F)

155

/2/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini

=(:

:),

-1

~ ~)

4 -1 3

3 O

2

O O

5

1 --

1

-1

1

1

3

O

1

2

O O

5

6

1 2

1

2'Y'2

1

1

1

1

2

Siano

nuove basi di Vedi W rispettivamente, assegnate mediante le loro coordinate nelle basi ve w. Per la proposizione 12.3 si ha Mf.e(F)

=Mf.w(lw) Mw.v(F) M v.e(1v)'

Poiché M wf (1w)

.

=( 2 -3

~)

O

'Y'2+1

7

'Y'2-1

5. Nello spazio vettoriale M 2 (C) delle matrici 2 consideriamo le basi

e=[IIl=G p

:),l l2 =G

X

2 a coefficienti complessi

~),121=(~ :), 122 =G:)}

=[12, El =C ~), E2=(~

-i) O

,E

3

--

C ~JJ. O

156

Geometria affine

dove E" E z eE 3 sono le matrici di Pauli (cfr. esercizio 13, § 4). Poiché

I2/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini

157

Come era prevedibile, la [12.3] dipende solo dalle basi e ed l e dai punti E ed F, le origini nei due riferimenti affini assegnati.

Nel caso in cui lo spazio A è uno spazio affine reale, due riferimenti affini Ee l ... en e Ff l ... f n si diranno orientati concordemente (orientati discordemente) se le basi e ed l sono orientate concordemente (orientate discordemente). Consideriamo l'insieme ~ di tutti i riferimenti affini di A, e in ~ diciamo equivalenti due riferimenti se sono orientati concordemente. Procedendo in modo simile al caso vettoriale, possiamo verificare che quella che abbiamo definito è effettivamente una relazione di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono due. Esse si dicono le orientazioni di A. L'orientazione cui un dato riferimento Ee l ... enE ~ appartiene è l'odentazione di A ,definita daEe l ... en.

si ha:

12.5 Esempi

1. Se Ee l ... en è un riferimento affine dello spazio affine A e se un secondo riferimento affine assegnato è Fe l •.. en , cioè è ottenuto solo cambiando la posizione dell'origine e lasciando invariata la base dei vettori, la formula [12.3] si riduce alla seguente: y = x

+ e.

[12.4]

Se invece il secondo riferimento è Ef l ••• fn' cioè è ottenuto cambiando la base dei vettori, ma non l'origine, la formula [12.3] diventa In uno spazio affine A con spazio vettoriale associato V consideriamo due riferimenti affini, Ee l ... en e Ff l ••• fn' e un punto qualsiasi PE A. Sia x = t(xi ••• x n) il vettore colonna delle coordinate di P nel riferimento Ee l '" en e sia y = t(yl ••• Yn) quello delle coordinate di PE A rispetto a Ff j ••• fn' Si ha ---+

EP=xje j +

... +xnen FP = yjf 1 + :.. + Ynfn. --+

Supponiamo di conoscere x e di voler trovare y. Denotiamo con e = {e" ... , en J ed 1= (f l , ... , f n J le due basi di V, con A = (ai) = M i ,.(1v) e con e = t(c i ... cn ) il vettore delle coordinate di E rispetto a Ff l ••• fn' L'identità vettoriale ---+

---+

---+

FP=FE+EP,

[12.5]

Ogni cambiamento di riferimento affine si può ottenere come la composizione di uno del tipo [12.4] seguito da uno del tipo [12.5], o viceversa. La verifica è lasciata al lettore. 2. Siano Ee l .. , en, Ff l ... f n e Gg I gn tre riferimenti affini in A, e siano x = t(xi ... x n), y = t(YI ... Yn) e z = t(z[ zn) i vettori delle coordinate di un punto PE A rispetto ad ognuno dei riferimenti dati. Supponiamo che il passaggio dalle coordinate x alle y sia dato dalla [12.3] e che quello dalle y alle z sia dato dalla formula

z = By + d

[12.6]

con B = (bi)' ed = t(dl ... dn). Allora la formula che esprime il passaggio dalla x alle z si ottiene sostituendo la [12.3] nella [12.6], e quindi è

z = BA x + (d + Be).

espressa rispetto alla base l, ci dà y=Ax+e.

y=Ax.

[12.3]

La [12.3] è la formula del cambiamento di coordinate affini dal riferimento Ee l ... en al riferimento Ff l '" fn'

3. Con le notazioni della [12.3] la formula che esprime il passaggio dalle coordinate y alle x, cioè il passaggio inverso di quello dato dalla [12.3], è x

=

A

-I

Y- A

-I

e.

[12.7]

Geometria affine

158

12/Applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di coordinate affini

159

Infatti, sostituendo la [12.3] nel secondo membro della [12.7] si ottiene l'identità x = x. 17 2

4. Sia A uno spazio affine reale di dimensione 3, e sia V lo spazio vettoriale associato. Siano Ee l e2 e3 ed Ff l f 2 f 3 due riferimenti affini in A. Supponiamo che

13

2 e che F abbia coordinate (5, - 3/2, 1/2) nel riferimento Ee l e2 e3 • Per conoscere la formula di cambiamento di coordinate dal riferimento Ee l e2 e3 al riferimento Ff l f 2 f 3 occorre conoscere la matrice Mf,.(lv), nonché le coordinate Cl' C2, c 3 di E rispetto a Ff l f 2f 3. Si ha

-7 ovvero:

-1 O

e quindi Esercizi

-1)

2

1. Sia F: R 2 -+ R l l'applicazione lineare

O .

1

-1

F(XI, X2) = (Xl

1

+ X2,

Xl - 2X2' Xl)'

Determinare Mb', b(F), dove b' = {(l,l,l), (1, -2, O), (O, 0, l)}.

b= {(l,l), (O, -l)},

Per determinare calcolato. Si ha

(Cl' C 2 ,

c3) utilizziamo la matrice Mf,.(lv) che abbiamo appena

3 1)

2. Sia F: R

2

-+

l

R l'applicazione lineare

F(XI' X2) = ( -

2Xl

3 X2

3 Xl

+ --;- , -2- -

2X2

) ,2XI •

, ---'"+ "----+ ( clfl+C2f2+C3f3=FE=-EF=5el-"2e2+"2e3.

Determinare Mb'. b(F), dove b= {(l,l), (1, -l)},

Pertanto

b' = {(l,O, 1), (0,1,1), (2, -1, -l)}.

3. Sia F : Cl -+ C 2 l'applicazione lineare definita dalla matrice

-5 2

(:}M"(1Vl

3 2 1 -2

C

= -1

1

1

-1

-~)

-5 3 2 1 -2

-

17 2

13

-

2

-7

In conclusione, la formula del cambiamento di coordinate dal riferimento

A=(2l -1) i

i

1+ i

rispetto alle basi b = {(l, i, i), (i, i, 1), (O, i, O)} di Cl e b' = {(l,l), (i, - i)} di C Determinare la matrice che rappresenta F rispetto alle basi canoniche.

2 •

4. Siano vI=(~l, 1, 1), v2=(1, 1, O), Vl = (O, 2, l)ER l . Dimostrare che non esiste un'applicazione lineare F: Rl -+ Rl tale che F(VI) = (1, 0, O),

F(V2)

= (O, 1, O),

F(Vl) = (O, 0, 1).

160

Geometria affine

5. Per ognuna delle seguenti coppie di basi b e b' di Rl , determinare Mb,b,(l):

b) b = [(1, -1), (1, 1»),

c) b

= [(2,1),

(2, 2)},

Me: End (V) --+ MnCK)

b' = [(1, O), (1, 1») b'

=

F ...... Me(F)

[(vIs, -vls), (vIs, vIs»).

6. Per ognuna delle seguenti coppie di basi b e b' di Cl, determinare Mb,b.(l); a) b = [(1, i), (i, 1»),

b) b = {(i, i), (-1, 1»),

= [(1,0,1),

è un isornorfismo di K-spazi vettoriali. Si ha Me(ly)

b' = [(2, 1), (1, 2») b' = {(i, O), (O, i)).

7. Per ognuna delle seguenti coppie di basi b e b' di Q3, determinare Mb,b,(l): a)' b

Dal teorema 12.2 discende che l'applicazione

b' = [(1, V3), (V3, 1»)

a) b = (l, O), (O, l)},

b'

(1,1, O), (0,1, l)},

=

[(1,1,1), (0,1,1), (0,0, 1»)

Me: GL(V) --+ GLn(K). Sia f= {f l ,

8. In un p.iano affine reale A si supponga fissato un riferimento affine Oij. DetermInare le formule di cambiamento di coordinate dal riferimento Oij al riferimento O'i'j' dove O' = 0'(1,2), i' = i + 3j, j' = i + j. 9. In un piano affine reale A si supponga fissato un riferimento affine Oij, e siano ~, ~' ed ~" le rette di equazioni

~': X- Y-1=0,

Mf(F)

iY7J.

lO. Sia A uno spazio affine reale di dimensione 3, in cui sia fissato un riferimento affine Oijk. Determinare le formule del cambiamento di coordinate dal riferimento Oijk al riferimento O' i' j 'k', dove

k' = i + j + k.

f n } un'altra base di V. Dalla proposizione 12.3 deduciamo che

M f • e(1v) Me (F) Me. f(lv)'

= Me,f(ly) -l, otteniamo

Mf(F) = Me,f(ly)-1 Me (F) M e,f(1y)

[13.1]

da cui segue immediatamente che det(Mf(F»

Posto O.' .= ~ n ~', U = ~ n ~", U' = ~' n ~", siano i' = 0----:[;, j' = Dopo aver VerIfIcato che i vettori i' e j' sono linearmente indipendenti, determinare le formule del cambiamento di coordinate dal riferimento Oij al riferimento O' i' j' .

j' = j - k,

=

••• ,

Poiché Mf.e(lv)

~": 2X+ Y+2=0.

i' = i + k,

= In'

e Me(F)EGLn(K) se e solo se FEGLn(V), cioè un'operatore F è un automorfismo se e solo se Me(F) è invertibile. Quindi l'applicazione Me induce una biezione che denotiamo con lo stesso simbolo:

b) b= [(1, -1,1), (-1,1,1), (1,1,1»), b' = [(13, 5, -6), (8, -lO, -4), (-17,0, -7»).

~; X+ Y=O,

161

13/0peratori lineari

=

det(Me(F»,

cioè det(Me(F» non dipende dalla base e, ma solo da F. Chiameremo pertanto det(Me(F» il determinante detroperatore F e lo denoteremo con det(F), senza dover specificare la matrice Me(F) attraverso la quale è stato calcolato. 13.1 DEFINIZIONE Due matrici A, BE M n(K) si dicono simili se esiste MEGLn(K) tale che B = M-lAM. La similitudine è una relazione di equivalenza in Mn(K). Infatti ogni matrice è simile a sé stessa: A = I n- l Aln. Se B = M-l AM, allora

11. Siano e= [e" ... , en ), b= [bio"" bn ) due basi del K-spazio vettoriale V, e siano TI = [17" ... , 17n), f3 = [11" ... , I1n) le basi di VV duali di e e di b rispettivamente. Dimostrare che

e la relazione è simmetrica. Se B

=

M-l AM e C = N-l BN, allora

C=N-1(M-lAM)N= (MN)-IA(MN) 13 Operatori lineari

Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia e = {e l ,

e la relazione è transitiva. .•• ,

e J una n

ba~e di V. Per ogni operatore FEEnd(V) scriveremo Me(F) invece di Me.e(F), e chiameremo Me(F) la matrice di F rispetto alla base e.

13.2 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale, dim(V) = n, e siano A, BEMn(K). A e B sono simili se e solo se esistono un operatore lineare FEEnd(V) e basi e ed f di V tali che M.(F) = A ed Mf(F) = B.

11

Geometria affine

162

Dimostrazione Se F, e, f esistono, allora dalla [13.1] segue che A e B sono simili. Supponiamo viceversa che B=M-'AM.

[13.2]

Sia e una base arbitraria di V e sia F = FA l'operatore associato alla matrice A rispetto alla base e. Per ognij = 1, ... , n sia f j il vettore le cui coordinate rispetto a e sono gli elementi della j-esima colonna di M, cioè f j = mlje l + m 2j e2 + '" ... + mnjen. Poiché M ha rango n, i vettori fl' ... , f n sono linearmente indipendenti e quindi {fl' ... , f n } è una base di V. Si ha inoltre

M

= Me,rCIv).

Dalla [13.2] discende che B

=

Mf(F).

13.3 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale, dim(V) = n. Un operatore FEEnd(V) si dice diagonalizzabile se esiste una base e di V tale che Me(F) sia una matrice diagonale, cioè della forma

In relazione al problema di stabilire l'esistenza di basi diagonalizzanti si presentano in modo naturale le nozioni di "autovettore" e di "autovalore". 13.4 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale, e sia FE End (V). Un vettore v E V si dice autovettore di F se v ~ Oed esiste uno scalare À E K tale che F(v) = À v. À è l'autovalorè di F relativo all'autovettore v. Il sottoinsieme di K costituito dagli autovalori di F è lo spettro di F. Se AEMn(K), un autovettore di A è un autovettore xE Kn dell'operatore FA: Kn - Kn definito da A, e un autovalore di A è un autovalore di FA' Ad esempio, se F = Iv, ogni v ~ Oè un autovettore di F con autovalore À = 1. Se F è un operatore tale che N (F) ~ (O), ogni v EN (F)\ {O} è un autovettore di F con autovalore À = O. Diamo qui di seguito alcune semplici proprietà degli autovettori e degli autovalori di un operatore F EEnd (V). Supporremo dim (V) = n 2::: 1. 13.5 PROPOSIZIONE determinato.

o

163

13/0peratori lineari

L'autovalore relativo a un autovettore v è univocamente

O

Dimostrazione Se À v = F(v) = p, v per qualche dev'essere À - p, = O, cioè À = p,.

O O per opportuni ÀI , À2 , ... , ÀnE K. Se ciò avviene e è una base diagonalizzante per F. Una matrice A EMn(K) si dice diagonalizzabile se è simile auna matrice diagonale.

= Àie i,

i = 1, ... , n.

[13.3]

Viceversa, se una base e soddisfacente la [13.3] esiste, allora la matrice Me (F) è diagonale, e quindi F è diagonalizzabile ed e è una base diagonalizzante. Si noti che, se dim (V) = 1, allora ogni F EEnd (V) è diagonalizzabile ed ogni base di V è diagonalizzante per F. Se dim (V) 2::: 2 non tutti gli operatori F EEnd (V) sono diagonalizzabili. Similmente non tutte le matrici A EMn(K) sono diagonalizzabili se n 2::: 2 (cfr. esempio 13.15(3».

p, E K, allora

(À -

p,) v = O e, poiché

v

~ O,

13.6 PROPOSIZIONE Se vI' v2 EV sono autovettori relativi allo stesso autovalore À, allora per ogni c" c2E K il vettore CI VI + c2v 2, se non è il vettore nullo, è ancora un autovettore con autovalore À.

Dimostrazione Si ha

Ovviamente, se FEEnd(V) ed e è una base di V, F è diagonalizzabile se e solo se Me (F) è una matrice diagonalizzabile. In particolare A EM n(K) è diagonalizzabile se e solo se l'operatore FA: Kn - Kn definito da A è diagonalizzabile. Se F: V - V è un operatore lineare diagonalizzabile ed e è una base diagonalizzante per F, si ha

F(e)

À,

F(c i VI + c2V0 = cIF(v l ) + c2F(v 2) =

CIÀV I

+ C2 ÀV 2 = À(c i Vi + C2V2)·

Dalla 13.6 segue che l'insieme V). (F) = {v EV: v è un autovettore di F con autovalore À} U (O l è un sottospazio vettoriaie di V, detto l'autospazio relativo atrautovalore À. Per una matrice A EMn(K) si definisce l'autospazio V).(A) relativo atrautovalore À come il sottospazio V). (A) = V). (FA) di Kn.

13.7 PROPOSIZIONE Se v" ... , V k EV sono autovettori relativi agli autovalori Àk , e se questi Ài sono a due a due distinti, allora v l' ••• , V k sono linearI mente indipendenti.

À

, ••• ,

Geometria affine

164

Dimostrazione L'asserzione è banalmente vera se k = 1, perché VI -:;r. O. Procediamo per induzione su k, e supponiamo k:;:: 2. Se [13.4] allora, applicando F a entrambi i membri, si ha anche

165

n/Operatori lineari

13.9 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia FEEnd(V). Uno scalare ÀE K è un autovalore di F se e solo se l'operatore F-Àl y :

V~V

definito da (F -

À1 y)(v)

= F(v) -

ÀV

per ogni V EV,

non è un isomorfismo, o, equivalentemente, se e solo se det (F - Àl y) = O. cioè

Dimostrazione [13.5]

D'altra parte, moltiplicando ambo i membri della [13.4] per Àl' si ottiene [13.6] e sottraendo la [13.6] dalla [13.5]: cz(À z - ÀI)V Z + '" + Ck(À k - ÀI)V k = O.

PROPOSIZIONE

F(v)

=

»-:;r. (O), cioè se esiste [13.8]

Àv.

La [13.8] afferma che F possiede l'autovettore v con autovalore À. Sia e = (el' ... , enl una base di V. La matrice associata all'operatore Àl y è

[13.7]

Per l'ipotesi induttiva VZ , ••• , Vk sono linearmente indipendenti, e quindi i coefficienti del primo membro della [13.7] sono tutti uguali a O. Poiché Àj - ÀI -:;r. O per ognij, si deduce che Cz = ... = Ck = O. Quindi la [13.4] si riduce a CI VI = O, e quest'identità implica che anche CI = O, perché VI -:;r. O. 13.8

F- Àl y non è un isomorfismo se e solo se N(F- Àl y VEV, v -:;r. O, tale che (F - Àl y ) (v) = O, ovvero tale che

À

O

O

O

À

O

O O

À

Se ogni V E V\ (O l è un autovettore di F, allora esiste À E K

tale che F= Àl y •

e, se A = (aij) = M.(F), allora

Dimostrazione Se dim(V) = 1 l'asserzione è ovvia. Possiamo quindi supporre dim(V):;:: 2. Sia (e l, ... , en l una base di V. Dall'ipotesi segue che esistono ÀI, Àz, ... , Àn EK tali che F(e;) = Àiei, i = l, ... , n. Siano 1 ~ i, j ~ n due indici distinti, e sia vij = ei + ej . Per ipotesi esiste Àij EK tale che

ali - À

a 12

a ZI

azz -

À

F(vij) = Àijvij= Àije; + Àijej . D'altra parte si ha

13.10

DEFINIZIONE

Sia A EMn(K) e sia T un'indeterminata. Il determinante

F(v i) = F(e i + e) = F(e i) + F(e) = Àiei + Àjej , e, per l'indipendenza lineare di ei ed ej , deduciamo che Ài = Àj = Àij" In conclusione ÀI = Àz = .. , = À n , e l'asserto è provato. In pratica nella ricerca degli autovalori di un operatore o di una matrice si utilizza il cosiddetto "polinomio caratteristico". La sua definizione si avvale del seguente semplice risultato.

è un polinomio di grado n in T, detto polinomio caratteristico di A.

166

Geometria affine

Se FE End (V), e = (e l, ... ,enJ è una base di V e A = M.(F), allora P A (T) è il polinomio caratteristico di F, e si denota con PAT). La definizione di PF(T) è indipendente dalla base e, perché due matrici simili, come sono quelle che rappresentano F in due basi diverse, hanno lo stesso polinomio caratteristico. Per vederlo, siano A e B due matrici simili, cioè si abbia B qualche MEGLn(K). Allora

= M- IAM,

per

B - Tl n = M-IAM - Tl n = M-I(A - Tln)M. Pertanto IB- Tln 1= IM- I I lA - Tl n I IMI = lA - Tl n I. Si noti che il coefficiente di Tn in P A (T) è (-IY, e quindi (-IY PA (T) è un polinomio monico. Dalla proposizione 13.9 deduciamo il seguente corollario. 13.11 COROLLARIO Sia V uno spazio vettoriale di dimensionejinita n, e sia FE End (V). Allora À. EK è un autovalore di F se e solo se À. è radice di PF(T). In particolare F possiede al più n autovalori distinti.

Dimostrazione La prima asserzione è una riformulazione della proposizione 13.9. Poiché P A (T) ha grado uguale a dim(V), l'ultima asserzione segue dal fatto che un polinomio di grado n a coefficienti in K possiede al più n radici in K. Il corollario 13.11 fornisce un metodo pratico per calcolare autovalori ed autovettori di un operatore. Rinviamo agli esempi alla fine del paragrafo per illustrazioni pratiche di questo metodo.

I3/0peratori lineari

167

Se (À.i' ... , À.d C K è lo spettro di F, allora si ha: dim(V A,(F» + ... + dim(V Ak (F»::5 n

[13.9]

e l'uguaglianza sussiste se e solo seF è diagonalizzabile. Dimostrazione Per ogni i = l, 2, ... , k poniamo d(i) = dim(VA;(F», e sia (e il , .. , eid(i)J una base di VA,(F). In virtù della proposizione 13.12 sarà sufficiente dimostrare che i vettori eli' ... , eld(I)' e21 ,

••• , e 2d (2)' ••• , e kl , ••• , ekd(k)

sono linearmente indipendenti. Supponiamo che si abbia

o = CII eII + ... + cld(I)eld(I)+ C

21 e21 + ... + c 2d (2)e 2d (2) + ... ... + ckIe kl + ... + ckd(k)ekd(k)

[13.10]

per opportuni scalari Cv Ponendo Vi = Cii eil + .,. + cid(i)eid(i)' si ha viE VA, (F) eIa [13.10] può essere riscritta nella forma seguente:

Poiché Vi = Ose e solo se Cii = C i2 = .. , = Cid(i) = 0, sarà sufficiente dimostrare che VI = v2 = ... = Vk = O. Se vi;é O, allora Vi è un autovettore relativo a À.i e dalla [13.7] segue che (vi' V2 , ••• , vkJ\{OJ è un insieme di vettori linearmente indipendenti. Quindi il secondo membro della [13.11] può essere uguale a Ose e solo se tutti gli addendi sono O.

Il problema di stabilire se un operatore è diagonalizzabile è un problema di ricerca di autovalori e dei relativi autovettori. Si ha infatti:

Un caso particolare importante del teorema 13.13 è il seguente immediato corollario.

13.12 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Un operatore FEEnd(V) è diagonalizzabile se e solo se V possiede una base costituita da autovettori di F.

13.14 COROLLARIO Se dim CV) allora F è diagonalizzabile.

Il risultato seguente dà una condizione necessaria e sufficiente affinché un operatore sia diagonalizzabile. TEOREMA

Sia V un K-spazio vettoriale, dim(V)

n ed F EEnd (V) possiede n autovalori distinti,

Si noti che la condizione sufficiente di diagonalizzabilità espressa dal corollario 13.14 non è necessaria. Infatti l'operatore Iv è diagonalizzabile qualunque sia n = dim(V), ma possiede l'unico autovalore À. = 1.

Dimostrazione Segue immediatamente dalla [13.3].

13.13

=

=

n, e sia FE End (V).

13.15 Esempi e osservazioni 1. Il corollario 13.11 fornisce un metodo pratico per calcolare autovettori e autovalori di un operatore o di una matrice. Scegliendo una base di V ci si riduce a considerare il solo caso delle matrici.

Geometria affine

168

Sia dunque assegnata A EM n (K). Si cominci con il calcolarne gli eventuali autovalori, che si trovano calcolando il polinomio caratteristico P A (T) e le sue radici in K. Per ogni autovalore À, E K, il sistema omogeneo di n equazioni nelle n incognite X = t (XI'" X n ):

169

13/0peratori lineari

Ad esempio la matrice n x n, n;:::: 2,

o

O

O

O

O O l

EMn(K)

A= ha rango r < n e possiede quindi soluzioni non banali. Lo spazio delle soluzioni è l'autospazio V.. (A). Se la somma delle dimensioni degli autospazi così trovati al variare di À, tra tutte le radici di PA(T) è uguale a n, allora A è diagonalizzabile, per il teorema 13.13. Una base diagonalizzante si ottiene scegliendo una base di ciascun autospazio e prendendone l'unione. Ciò fornisce in linea di principio un metodo di calcolo di tutti i vettori di una base diagonalizzante e della matrice del corrispondente cambiamento di base. Si osservi che un operatore può non avere autovalori, e quindi neanche autovettori, perché il polinomio P A (T) può non avere radici in K. Se però K = C, allora dal teorema fondamentale dell'algebra segue che PA (T) possiede radici in C, e pertanto: ogni operatore di uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita possiede almeno un autovalore, e quindi possiede autovettori. Ciò non significa necessariamente che l'operatore sia diagonalizzabile (cfr. esempio 3). Se K = R può accadere che un operatore di uno spazio V non possieda autovalori (cfr. esempio 4). Se però dim(V) è,dispari, allora il polinomio caratteristico ha grado dispari, e quindi possiede almeno una radice reale. In conclusione, ogni operatore di uno spazio vettoriale reale di dimensione dispari possiede almeno un autovalore e quindi possiede autovettori.

O O O

l

O O O

O

ha polinomio caratteristico PA(T) = (-lYT

e quindi possiede l'unico autovalore À, = O. Da ciò segue che se A fosse diagona~ lizzabile sarebbe simile alla matrice O. Ma O è simile soltanto a sé stessa. InfattI per ogni MEGLn(K) si ha M-IOM=O. Quindi A non è diagonalizzabile. La matrice l

B =A + In

O

O O

l

O O EMn(K)

=

l

O O O

l

O O O

O l

ha polinomio caratteristico PB(T) = (1- TY, uguale aquello della matrice In" B non è diagonalizzabile, perché se lo fosse sarebbe simile a In' la quale invece è simile solo a sé stessa: infatti M-IInM= In per ogni MEGLn(K).

Il polinomio caratteristico della matrice nulla n x n è

4. La matrice

In entrambi i casi l'unico autospazio della matrice è Kn.

= (aij) EMn(K) è una matrice triangolare (superiore o inferiore),

l

O l

2. Il polinomio caratteristico della matrice identità n x n è

3. Se A

n

si ha

A

= (

O l) EM

-1

Se all' a 22 , ••• , a nn sono distinti, allora, per il corollario 13.14, A è diagonalizzabile perché possiede n autovalori distinti; altrimenti può non esserlo.

O

2

(R)

ha polinomio caratteristico l + T 2 • Poiché questo polinomio non ha radici reali, A non possiede autovalori né autovettori in R 2 • Se però A viene considerata come una matrice ad elementi complessi, allora possiede i due autovalori distinti À, = ± i.

Geometria affine

170

Per il corollario 13.14, A è diagonalizzabile in M 2 (C), ed è simile alla matrice diagonale

B

Per dimostrarlo si supponga che d = dim(V),.(F)) ~ 1, e sia {e j, ... en } una base di V tale che {el' ... , ed} sia una base di V),.(F). Si ha

=(~

Per trovare la matrice M tale che B = M-I AM, dobbiamo trovare una base di C 2 costituita da autovettori di A, il che equivale a trovare un autovettore per ciascuno dei due autovalori. Possiamo procedere nel seguente modo. Per la proposizione 13.9 gli autovettori relativi a À = i sono gli elementi del nucleo di A - i12, cioè sono le soluzioni del sistema omogeneo -iX+ Y=O

Pp(T)

=

(À - T)dp(T),

dove p(T) = Pc(T) è un polinomio di grado n-d. Pertanto h(À) ~ d. Se il campo K è algebricamente chiuso e ÀI , ••• , À k sono gli autovalori di F, h(À 1)

che ha rango 1, ed è quindi equivalente alla prima equazione. Soluzioni sono i vettori della forma (t, it), i quali, al variare di tE C, descrivono l'autospazio Cf(A). Prendendo ad esempio t = 1 si ottiene l'"autovettore (l, i) relativo a À = i. Analogamente, considerando il sistema omogeneo corrispondente a A + iI2 , otteniamo i vettori della forma (t, - it), e quindi (i, 1) è un autovettore relativo a À = - i. La base b = {(l, i), (i, l)} è diagonalizzante. Detta e la base canonica, si ha

M= Me,b(l) = (;

dove BEMd,n_d(K), OEMn_djK) è la matrice nulla, e CEMn~d,n-AK). Svilup-. pando I A - Tl n I con la regola di Laplace rispetto alle prime d righe si trova

si ha

-X- iY= O,

e

171

13/0peratori lineari

+ ... + h (À k )

=

n.

Pertanto, dalla [13.12] e dal teorema 13.13 segue immediatamente che se il campo K è algebricamente chiuso l'operatore F è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore À di F si ha dim(V),.(F)) = h (À), cioè se e solo se la molteplicità geometrica e la molteplicità algebrica di ogni autovalore À coincidono.

:)

i-

M'AM~( ~) (-~

6. Se A

= (ai) EM 2 (K),

P A (T) = T

1) (1 i (i

O

i

1) = O

O)

dove tr(A)

2

-

allora si ha

tr(A) T

+ det(A),

=

a ll + a22 è la traccia di A. La verifica è lasciata al lettore.

=

go + gl T+ ... + gn-I m-I + Tn

-i· 7. Sia P(T)

5. Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita. Sia FEEnd(V) e sia ÀE K un autovalore di F. La dim(V)JF)) si dice molteplicità geometrica di Àper F. La molteplicità algebrica di Àper F è la molteplicità h (À) di Àcome radice del polinomio caratteristico di F. In generale la molteplicità geometrica e quella algebrica sono diverse. Ciò accade ad esempio per le matrici A e B dell'esempio 3. Per A si ha infatti, evidentemente, h (O) = n, mentre per B si ha h(l) = n. D'altra parte A non è diagonalizzabile e quindi dim(Vo(A)) < n. Similmente per B. Per ogni F EEnd (V) e ÀEK autovalore di F sussiste la disuguaglianza dim (V),. (F)) :5.h(À), cioè la molteplicità geometrica non supera la molteplicità algebrica.

[13.12]

un polinomio monico di grado n a coefficienti in K, e sia

Mp =

O O

O

- go

1 O

O

-gj

O 1

O

- g2

O O

- gn-l

Il polinomio caratteristico di M p è uguale a (- l)n peT)o Se n = 1, l'affermazione è evidente: M p - T = - go - T. Procediamo per induzione su n, e suppo-

, 172

Geometria affine

niamo n ;:::: 2. Si ha

-

TIn 1=

173

4. Sia F: R 3 -> R 3 l'operatore lineare definito dalla matrice

-T IMp

13/0peratori lineari

O

O

- go

1

-T

O

-gl

O

1

O

-g2

O

O

(:

O

:)

rispetto alla base canonica. Determinare la matrice Mb(F) che rappresenta F rispetto alla base b= ((1,1, O), (-1, 0,1), (1, l, 1)l.

- gn-I - T

5. Sia F: R 3 -> R 3 l'operatore lineare definito dalla matrice

-T 1

O -gl

1

-T

O

O

O

1

O

- g2

=-T

+ (_l)n go O

=-

T(-ly-l(gl

1

-gn-l - T

O

O

1

+ g2 T + ... + gn-l Tn-2 + P-l) + (-l)n go = (_l)n P(T),

dove il valore del primo determinante è dedotto dall'ipotesi induttiva. Quest'esempio dimostra che per ogni polinomio monico di grado n;:::: 1 in K[T] esistono matrici quadrate di ordine n di cui esso, o il suo opposto, a seconda che n sia pari o dispari, è il polinomio caratteristico.

(:

-

~ :)

.

rispetto alla base canonica. Determinare la matrice Mb(F) che rappresenta F nspetto alla base b= ((-1, O, -1), (1,1,1), (1, -1, O)l. 6. Sia F: C 3 -> C 3 l'operatore lineare definito dalla matrice:

(:+i -~ :) rispetto alla base canonica. Determinare la matrice Mb(F) che rappresenta F rispetto alla base b = (i, 1, -1), (- 2, i, O), (2i, 1, i) l.

Esercizi

7. Determinare autovalori e autovettori di ciascuna delle seguenti matrici di M 2 (R):

l. Sia F: R 3 -> R 3 l'operatore lineare F(x, y, z) = (x + y - z, y

+ z,

a)

2x).

C _:)

b)

(~

:)

Determinare la matrice Mb(F), dove b = (1, 1, O), (-1, O, 1), (1, 1, 1) l. 2. Sia F: R 3 -> R 3 l'operatore lineare

c)

G :)

d) (:

:) .

F(x, y, z) = (2x, x- y, y - z).

8. Determinare autovalori e autovettori della matrice Determinare la matrice M b (F 2), dove b . 3. Sia F: C

: (

2

3

->

-1

=

((1, 1, O), (2, -1, 1), (O, 1, -l)l .

3

C l'operatore lineare definito dalla matrice

-:) -3

in cui a, b sono parametri reali. 9. Sia F: R 3 -> R 3 l'operatore lineare F(x, y, z) = (y - z, - x

rispetto alla base canonica. Determinare la matrice Mb(F) che rappresenta F rispetto alla base b= ((~2i, i, i), (-1, -1,1), (1, O, -l)l.

+ 2y -

z, x - y

+ 2z).

Dimostrare che F è diagonalizzabile, trovando una base b di R 3 formata da autovettori di F. Determinare la matrice che rappresenta F in tale base.

174

Geometria affine

lO. Calcolare gli autovalori e la loro molteplicità algebrica e geom t . seguenti matrici di M (R) e d d . e nca per ognuna delle 3 , e urre se sono o no dlagonalizzabili:

a)

(=: ; =:) lO

-3

8

b)

(=: ~: j 14

17

21)

,{ -: -I:) d{: _: _:) e) (_ ::

18

::)

-79

f) (-;

-46

O

-4; 16

44

O

O

O

O

O

O

O

O

O O

EM4 (C).

12. Determinare a, b, c, d, e, fE R sapendo ch (1 1 l) autovettori della matrice e , , ,(1, O, -1), (1, -1, O) ER 3 sono

13.

Il concetto di "gruppo", ed in particolare quello di "gruppo di trasformazioni", ha fondamentale importanza in geometria. Uno studio sistematico della teoria dei gruppi non rientra però negli scopi di un primo corso di Geometria; ci limiteremo pertanto a dare le definizioni essenziali, che sono sufficienti a rendere naturale la trattazione degli esempi geometrici più importanti. Rinviamo il lettore al corso di Algebra per maggiori dettagli. 14.1 DEFINIZIONE Un gruppo è una coppia ( ~ .) costituita da un insieme non vuoto ~ e da un'operazione binaria in Y: cioè un'applicazione .; ~x ~~ ~ che associa ad ogni (g, g')E ~x ~ un elemento g·g'E~, chiamato prodotto di g per g', in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:

(g.g').g"

~ia A

EMnb(l(f)EGL(V) l'automorfismo associato. Otteniamo un'applicazione cI>: Aff(A)o ---+ GL(V).

[14.3]

Dal lemma 14.5 segue che ogni fEAff(A)o è completamente individuata da cI> (f), e, viceversa, che ogni cp EGL (V) è immagine di qualche f EA!f(A)o' Qu~ndi cI> è biettiva. Poiché la composizione di affinità ha per automorfIsmo aSSocIato la composizione dei corrispondenti automorfismi, l'applicazione cI> è un isomorfismo di gruppi. . . Se cEK è uno scalare non nullo, l'affinità cI>-I(c1 v)E Aff(A)o SI dIce ornotetia di centro O e fattore c, e si denota con wO,c' Si ha quindi ------.l

OWo,c(P)

-+

= cOP.

--+

=

PQ

[14.1]

e quindi Pf(P)

~ioniPossono

P(tvo tw(P» = Ptv(Q) = PQ

- l) O

181

La [14.1] esprime la proprietà delle traslazioni di mandare ogni coppia ordiata di punti in un'altra che definisce lo stesso vettore. Intuitivamente le traslaquindi essere pensate come "movimenti rigidi" dello L'identità è una traslazione, quella to definita dal vettore O. Il prodotto dI due traslazioni t v e tw è tvotw = tv+ w' ancora una traslazione. Infatti per ogni PEA, posto Q = tw(P)' si ha .

mentre (

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità

--+

= Qf(Q) = v

è indipendente da P. Si ha pertanto f = tv' Quindi le traslazioni sono precisamente le affinità che hanno come isomorfismo associato IvEGL(V).

Si ha lA = WO,l' Inoltre Q = wo,c-1(P) soddisfa la ---+

(WO,c)-1

---+

OQ=c-IOP

"e quindi

----->.

OWo,c(Q)

"---+

---+

= cOQ = OP

= wO,c- 1

perché per ogni PEA il punto

182

Geometria affine

WO. d

=

WO. cd

g(O) = (fe Lv) (O) = f(f-I(O» = O g'(O) = (t-v' ef) (O) = (t-v') (f(0» = O,

. perché se PE A, posto Q = wo.c(P), si ha )

--+

--+

--+

OWo.AQ) = dOQ = d(cOP) = (cd) OP. In conclusione le omotetie di centro O costituiscono un sottogruppo di Aff(A)o' . 4. Sup~oniamo fissato nello spazio affine A su V un punto C. Per ogni PE A Il punto sImmetrico di P rispetto a C (cfr: 7.5(4» è il punto a (P) che soddisf~ l'identità vettoriale e -CadP) = - --+ CP.

Da quest'uguaglianza segue che, per ogni P, QEA, -.,--~)

--

--

--+

--+

l -

Vediamo ora come si descrivono esplicitamente gli elementi di Affn(l A

= Me(cp) E

della forma [14.7] per qualche

Nel caso particolare in cui A = A n e Oel ... en è il riferimento affine standard, si riottiene la descrizione delle affinità di A n data in precedenza. La dimostrazione del teorema è essenzialmente identica a quella precedente, ed è lasciata al lettore. Si noti l'analogia della [14.7] con la formula [12.3] che esprime il cambiamento di coordinate da un riferimento affine ad un altro. Le due formule descrivono però due operazioni di natura completamente diversa: la [12.3] dà le coordinate di uno stesso punto in riferimenti diversi, mentre nella [14.7] compaiono le coordinate di due punti diversi in uno stesso riferimento. Abbiamo il seguente corollario.

14.10 DEFINIZIONE Due figure geometriche F, F' C A si dicono affinemente equivalenti se esiste un'affinità che trasforma F in F', cioè se esistefEAff(A) tale che f(F) = F'. Una proprietà affine di una figura F è una proprietà che è comune a tutte le figure affinemente equivalenti a F. Se ad esempio F è un insieme finito di punti, il numero di punti di cui consiste è una sua proprietà affine, perché ogni affinità è una biezione. Se F è un sottospazio affine, allora la sua dimensione è una proprietà affine, come affermato dalla seguente proposizione. 14.11 PROPOSIZIONE Sia F un sottospazio affine di A efEAff(A). L'immagine f(F) di F tramite f è ancora un sottospazio affine e dim(f(F» = dim(F).

Dimostrazione Supponiamo che F sia il sottospazio passante per QEA ed avente giacitura W e chef EAff(A) sia un'affinità con isomorfismo associato cpE GL(V). Allora cp(W) è un sottospazio vettoriale tale che dim(cp(W» = dim(W). Inoltre per ogni PEF si ha f(Q) fe?) = cp(QP) Ecp(W): quindi f(P) appartiene al

14.9 COROLLARIO Nello spazio affine A su V siafissato un riferimento affine Oel ... en- L'applicazione Aff(A) -> Affn(K)

sottospaz~as­

sante per f(Q) e avente giacitura cp(W). Viceversa, per ogni RE S si ha Qj-I(R) = = CP-I(fW)EW, cioè f-I(R)EF, e quindi REf(F). Perciò f(F) = S, e ciò prova l'asserto.

[14.8]

che associa a un'affinitàf di A l'affinità fA,c di An data dalla [14.7] è un isomorfismo di gruppi. Dimostrazione Dal teorema 14.8 segue che la [14.8] è biettiva, e pertanto sarà sufficiente dimostrare che èun omomorfismo. SeI. gEAff(A), con automorfismi associati cp e ..p

Abbiamo anche la proposizione seguente. 14.12 PROPOSIZIONE Sia A uno spazio affine su V di dimensione n, e siano {p.o' P l' .... , P n } e {Q0' Q h ... , Qn } due (n + I)-pIe di punti indipendenti. Allora esiste un 'unica affinità f: A -> A tale che

f(P)

= Q;,

i = 0, l, ... , n.

Geometria affine

186

Qo' .. o, Qs indipendenti tali che S' = Qo QI ... Qs' Sia f un'affinità tale che f(P;) = Q;, i = 0, 00" so Alloraf(S) = S'. Infatti, Y0iché f(S) ~ontiene ~o, '0'; Qs ed è un sottospazio affine, si haf(S)::> S'; ma dlm[f(S)] = dlm(S) = dlm(S ), e

Dimostrazione

Per l'ipotesi di indipendenza, gli insiemi di vettori -+

-+

{POPI' PoPz, -+

-+ 000'

PoPnl

-+

(QOQI' QoQz,

quindi f(S)

-+ 000'

187

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità

=

S'.

QoQnl

costituiscono due basi di Vo Pertanto l'unico operatore lineare cp: V -> V tale che -+ -+ cp(PoP;) = QoQ;, i = l, 000' n, è un isomorfismoo Definiamo f: A -> A mediante la condizione:

Esercizi 1. Dimostrare che i gruppi SO(2) e U(1) sono isomorfi. 2. Per ognuna delle seguenti matrici A determinare

per ogni P EAo Evidentemente f è una biezione, e soddisfa all'identità

----->.

•

~

----->

-+

f(P)f(P') = Qof(P') - Qof(P) = cp(PoP') - cp(PoP) -+

= cp(PoP'

-+

a)

=

--+

- PoP) = cp(PP');

quindi f è un'affinitào Inoltre

d)

C -:) C :) ~i) (~ .~i ~

= Qoo

Infine per ogni i = l, ... , n si ha

4i 5

2

, 2

e quindi f(Po)

,{

*A:

:)

c) (:

b)

A, 'A,

1)

1 + 1). -1

f) (1. l-i

3. Dire quali delle matrici dell'esercizio precedente sono unitarie o

per la definizione di cp; pertanto f(P;) = Q;. L'unicità di f segue da quella di cp, dalla condizione f(Po) = Qo e dal lemma 14.5.

14013 COROLLARIO Sia A uno spazio affine su V di dimensione n. Allora: l) Per ogni 1:5 k:5 n + l, due qualsiasi k-uple di punti indipendenti di A sono affinemente equivalentio 2) Due sottospazi affini di A sono affinemente equivalenti se e solo se hanno la stessa dimensione. Dimostrazione 1) Se {Po, .. o, P k- I l e {Qo"'" Qk-I l sono due k-uple di punti indipendenti, esistono P k, '00, P n e Qk'oo" Qn tali che {Po, ... , Pnl e {Qo, ... , Qnl siano due (n + 1)-uple indipendenti. L'affinità f la cui esistenza è affermata dalla proposizione 14.12 manda {Po, 00" P k- I l in (Qo, ... , Qk-d.

2) Se i sottospazi affini S ed S' di A sono affinemente equivalenti, allora, per • la proposizione 14.11, hanno la stessa dimensione. Viceversa, supponiamo che dim(S) = dim(S') = s. È possibile trovare punti indipendenti Po, P p oo., P s E S tali che S = POPI . o. Pso Similmente esistono

4. SiaAEU(n)o Dimostrare che ciascuna delle matrici 'A,

A,

A* è unitariao

5. Dimostrare che se ~, ~, t sono rette di un piano aff~ne ~ ch~ non appartengono a uno stesso fascio, allora, date comunque tre rette ~ , ~ , t che non apparte~­ gono a uno stesso fascio, esiste un'unica affinità f: A --+ A tale che f( ~ ) = ~ , f(~) =P, f(t) =15'. 6. In uno spazio affine A di dimensione 3 sia data una tema di piani ;bi> ;bh tal~ che ;bi n~ consista di un solo puntoo Dimostrare che per ogni.altra tema di piani ~i> ~, ~3 tali che ~i n ~2 n ~3 consista di un solo punto, eSiste fE Aff(A)

ft-<

nft-<

tale che f(,.0i) = ~i' i = 1, 2, 3o 2 2 7. In ciascuno dei casi seguenti determinare l'affinità f: A (Q) --+ A (Q) che soddisfa le condizioni assegnate:

= (1, -1), 1) = (1,2),

a) f(O, O)

b) f(2,

= (3, -1), -1) = (1, 1),

f(1, O) f( -1,

c)f(n=~', f(~)=P,

= (2, 1) = (2,

f(O, 1)

2)

f(O,

-1)

f(t) =15',

dove

~: X = 1, ~: Y = X, t: y = - 2, ~': 2X - Y = 0, ~': X + Y = 0,

t':

2X + Y = 1.

Geometria affine

188

8. Dimostrare che, se A è un piano affine reale:

14/Gruppi di trasformazioni. Affinità

189

Dimostrare che:

a) due semirette qualsiasi di A sono affinemente equivalenti (suggerimento: dimostrare che un punto e un vettore non nullo assegnati possono essere trasformati in un altro punto e in un altro vettore non nullo arbitrari);

Z Z, '1 cui elemento neutro è a) con questa operazione n Z X 2Z e un gruppo I

b) due segmenti qualsiasi di A sono affinemente equivalenti;

b) posto x= (1, O) e y = (O, 1), si ha D 2n = (xo = e, x, ... , x" -,' y, xy, ... , Xn-'y).,

c) due semipiani qualsiasi di A sono affinemente equivalenti; d) due triangoli qualsiasi di A sono affinemente equivalenti.

c) x genera un sottogruppo di D 2n isomorfo a Z/nZ;

9. Sia A uno spazio affine reale. Dimostrare che:

d) y genera un sottogruppo di D 2n isomorfo a Z/2Z;

a) due semispazi qualsiasi di A sono affinemente equivalenti;

e) D 2n non è abeliano.

b) se U C A è un sottoinsieme convesso, ogni sottoinsieme affinemente equivalente a U è convesso. Quindi la convessità è una proprietà affine; c) ogni affinità di A trasforma il punto medio di un segmento nel punto medio del segmento immagine. lO. Sia b EAn e c EK*. Dimostrare che

Wb,

c = TeI , b(l-c)'

11. Sia n ~ 1 un intero. Due numeri interi a, bE Z si dicono congrui modulo n se b - a è divisibile per n. Dimostrare che la congruenza modulo n è una relazione di equivalenza in Z. L'insieme delle classi di congruenza (dette anche classi resto) modulo n si denota con Z/nZ, e consiste degli n elementi O, 1, ..., n -1, le classi di O, 1, ... , n-L Dimostrare che la somma in Z induce in Z/nZ un'operazione rispetto alla quale Z/nZ è un gruppo abeliano. 12. Sia !§' un gruppo. Un sottoinsieme ~ di !§' si dice sistema di generatori di !§' se ogni elemento di !§' si può esprimere come prodotto di un numero finito di elementi di ~ e di loro inversi. Se ~ consiste di un numero finito di elementi, !§' si dice finitamente generato. Se ~ = (g) consiste di un solo elemento !§' è detto gruppo ciclico di cui g è un generatore. Dimostrare che: a) ogni gruppo ciclico è abeliano; b) Z (con l'operazione +) e Z/nZ, n

~

1, sono gruppi ciclici;

c) ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z oppure a Z/nZ per qualche n

~

1;

d) l'insieme delle radici n-esime di 1 è un sottogruppo ciclico di C (ogni suo generatore è chiamato radice primitiva n-esima di 1). 13. Siano n

~

2 un intero. Nel prodotto cartesiano

Z

Z

nZ

2Z

--X--

definiamo un'operazione nel modo seguente: (alo

O) (a2, O) = (a, + a2' O) -

-

(alo O) (a2' 1)

(a" l~ (a2'

= (a, + a2'

1) =

(al - a2'

-

1)

O).

= (a"

-

-

1) (- a2' O)

e = (O, O); questo gruppo, indicatocon D2no è detto gruppo diedrale di ordine 2n;

14. Sia n ~ 2 un intero. L'insieme an di tutte le per.mutaz~oni. di un insieme .finito ~onte­ nente n elementi è un gruppo di trasformazionI che SI chIama gruppo simmetrico su n elementi. Dimostrare che an non è abeliano se n ~ 3.

191

15/Forme bilineari e forme quadratiche

Se b è antisimmetrica, allora b(v, v)

Capitolo 2

= - b(v, v) = O per ogni vEV. D'altra parte,

una forma bilineare b tale che

Geometria euclidea

b(v, v) = O

per ogni vEV

è antisimmetrica. Infatti, dalle FBI, FB2 segue che per ogni v, wEV si ha

0= b(v + w, v + w) = b(v, v) + b(v, w) + b(w, v) + b(w, w) = b(v, w) + b(w, v).

=

15.2 Esempi 1. Un esempio banale di forma bilineare su uno spazio ve.tt~riale V è l'a??licazione identicamente nulla: O(v, w) = O per ogni v, wE V. OSI dice forma bllmeare nulla. Essa è simmetrica e antisimmetrica. 2. Sia A

In geometria affine hanno senso solo proprietà geometriche che non utilizzano nozioni di natura metrica quali quelle di angolo, distanza, perpendicolarità: In questo capitolo vedremo come in uno spazio affine reale sia possibile introdurre una struttura più fine, quella di spazio euclideo, in cui gli ordinari concetti metrici sono definiti. Per far ciò sono necessari nuovi argomenti di algebra lineare, e precisamente la teoria delle forme bilineari e delle forme quadratiche, che inizteremo a studiare in questo paragrafo. Tratteremo anche aspetti della teoria non strettamente necessari nel seguito, e però di importanza fondamentale in matematica.

15.1 b:

VxV~K

si dice forma bilineare su V se è lineare in ognuno dei due argomenti, cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

+ b(v / , w) b(v, w) + b(v, w')

FBI

b(v + v', w)

= b(v,

FB2

b(v, w + w')

=

FB3

b(kv, w)

w)

= b(v, kw) = kb(v,

w)

per ogni v, v', w, W/EV, kEK. La forma bilineare b si dice simmetrica se b(v, w)

=

b(w, v)

per ogni v, wEV;

b si dice antisimmetrica, o alterna, se b(v, w)

= -

b(x, y)

b(w, v)

per ogni v, WEV.

= txAy = l,l Eaijx;y;

y - t (y y) Dalle proprietà del prodotto di matrici per ogm• x = t (x l •.. x) n' l ••• n' . . • . segue che in questo modo si è definita unà forma bIlmeare (cfr. propos1Zl0ne 2.2(1)). Se {El' ... , Enl è la base canonica di Kn, si ha

b (E;, E)

= aij

per ogni l 50 i, j 50 n. Se ad esempio si prende n

I

Sia V un K-spazio vettoriale. Un'applicazione

DEFINIZIONE

= (aij) EMn(K);

considerando i vettori di Kn come degli n-vettori colonna, otteniamo una forma bilineare su Kn ponendo

15 Forme bilineari e forme quadratiche

A~\

1 O

-1

O

-2

O

-l

7f

= 3

e

2 O 3

allora la corrispondente forma bilineare su K è b(x, y) = XIYl - 2X1Y3

+ x 2y/2 -

X3Yl

+ 7fX2Y3'

Questa forma bilineare non è simmetrica perché b(E 1, E 3)

Se A

= In'

= - 2 ~ - l = b(E3 ,

El)'

matrice identità, si ottiene

b(x, y) = txy = XIYl

+ X2Y2 + ... + xnYn'

[15.1]

La b definita dalla [15.1] è una forma bilineare simmetrica che è chiamata forma

simmetrica standard su Kn.

192

Se n

=

193

15/Forme bilineari e forme quadratiche

Geometria euclidea

2k, cioè se n è pari, e se si prende A = J k , dove aij = b(ei , ej ),

l

:5

i, j:5 no

La matrice A individua la forma bilineare b. Infatti per ogni v, wEV si ottiene b(x, y) = XIYk+[ + '" + xkYn - Xk+IYI - ... - XnYk,

si ha

+ xnen> Ylel + + Ynen) = b(v, w) = b(xle l + = b(xle l , yle l + o" + Ynen) + o" + b(xnen, ylel + o" + Ynen) = = x[b(e l , y[e l + + Ynen) + + xnb(e n, yle l + + Ynen) = = xdb(e l , YI e l) + + b(e p Ynen)] + o" + x n[b(en> YI el) +

che è una forma bilineare alterna, chiamata formà alterna standard su Kn.

0'0

Sia b: V x V -+ K una forma bilineare. La bilinearità di b permette di definire due applicazioni lineari di V in VV nel modo seguente. Per ogni v EV l'applicazione bv: V -+ K definita da bv(w) = b(v, w),

'00

"0

00'

"0

=XI[ylb(e l , e l)+ .. +Ynb(el, en )] + 0

.00

+ b(en, Ynen)] =

+xn[ylb(en> el)+ o" + Ynb(en> en )] =

"0

= 'E.ijxiyjb(e i, e) = IxAy,

è un funzionale lineare. Infatti dalla definizione segue che bv(ci Wl + c2 w:J = b(v, CI Wl + c2 w:J = CI b(v, Wl) + c2 b(v, w2) = clbv(w l) + c2 b v(w2)

.0.

00'

per ogni WEV,

per ogni Wl' W2 EV, CI' c2 EK. Quindi, ponendo 0b(V) un' applicazione

"0

=

= bv per ogni vEV,

si ottiene

dove abbiamo denotato con x e y i vettori colonna delle coordinate di vedi w rispettivamente. Viceversa, se A = (aij) EMn(K) è una qualunque matrice quadrata di ordine n ed [e p .. o, en J è una base di V, ponendo b(v, w) = 'E.aijxiYj = IxAy l.l

per ogni v(x l, ... , x n), W(YI' ... , Yn)EV, si definisce una forma bilineare su V. Infatti, per ogni v, w, v'(x;, ... , x~), w'(Y;, ... , y~)EV, kEK si ha

La 0b è lineare. Infatti per ogni vI' v2 EV, CI' c2 EK si ha [Ob(C I VI

+ c2 v:J] (w) = b

C ,V'+C2 V'(W) = b(c i VI + c2 v2 , w) = = c1b(v l, w) + c2 b(v2 , w) = clbv,(w) + c2 bv,(w) = [CIOb(V I) + C2 0b (V 2)] (w)

per ogni wEV, cioè 0b(CIV I + C2 V2 ) = CIOb(V I) + COoh(v,). In modo simile si verifica che ponendo O;(w) -= b~~ dove b~: V -+ K è il funzionale definito da b~(v)

= b(v, w)

b(v + v', w) = I(X + x')Ay = IxAy + Ix'Ay = b(v, w) + b(v', w), b(v, w + w') = IxA(y + y') = IxAy + IxAy' = b(v, w) + b(v, w'), b(kv, w) = l(kx)Ay = k1xAy = kb(v, w) b(v, kw) = IxA(ky) = k1xAy = kb(v, w)o

=

per ogni vEV,

È evidente che la forma bilineare b così definita ha proprio A come matrice rispetto alla base [el' ... , en J• Si osservi inoltre che si ha

b(w, v) =tyAx = IX tAy

si definisce un'applicazione lineare

o;:

e quindi

V-+Vv.

Il lettore non avrà difficoltà a dimostrare che 0b = metrica.

o;

b(v, w)

se e solo se b è sim-

15.3 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n, [e[, ... , en J una sua base, e sia b: V x V -+ K una forma bilineare su V. La matrice di b (o che rappresenta b) rispetto alla base [e l, .. o, en J è la matrice

= b(w,

v)

per ogni v(x l , ... , x n), W(YI' ... , Yn)EV se e solo se tA =Ao In altre parole, la forma bilineare b è simmetrica se e solo se la matrice A è simmetricaoAnalogamente, b è antisimmetrica se e solo se tA = - A, cioè se e solo se A è antisimmetrica. Riassumendo, possiamo enunciare la seguente proposizione.

13

194

Geometria euclidea

15.4 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione jinita, e sia e = [e l , ... , en} una sua base. Associando ad ogni jorma bilineare la suà matrice rispetto a e si ottiene una corrispondenza biunivoca tra l'insieme Bil (V) dellejorme bilineari su V ed Mn(K). Tale corrispondenza induce un'applicazione biunivoca dell'insieme delle jorme bilineari simmetriche (forme bilineari antisimmetriche) sull'insieme delle matrici simmetriche (matrici antisimmetriche). Ovviamente la corrispondenza biunivoca descritta dalla proposizione 15.4 dipende dalla base che si è scelta, cioè le matrici che rappresentano una data forma bilineare rispetto a due diverse basi sono in generale diverse. Vediamo in che modo. Supponiamo che b: V X V ~ K sia una forma bilineare e che e = [e , ... , e } l n ed f = [fi' ... , f n } siano due basi di V. Siano

A

= (ai) =

(b(ei , e)

15/Forme bilineari e forme quadratiche

195

In conclusione abbiamo dimostrato la seguente proposizione: 15.5 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione n. Due matrici A, BEMn(K) rappresentano la stessajorfl1(l bilineare b su V rispetto a due diverse basi se e solo se sono congruenti. Dalla proposizione 4.3(2) segue che due matrici congruenti hanno lo stesso rango. Pertanto, per la proposizione 15.5, il rango r della matrice A che rappresenta una data forma bilineare b rispetto a una base qualsiasi non dipende dalla base, ma solo da b: chiameremo r rango della jorma bilineare b. Se b ha rango r = dim(V) (r < dim(V» la forma bilineare si dice non degenere (degenere). La seguente proposizione dà diverse caratterizzazioni delle forme bilineari non degeneri.

B = (bi) = (b(fi , f j »

le matrici che rappresentano b rispetto a e ed f rispettivamente. Se v, w EV sono due vettori qualunque, con coordinate rispetto alle due basi

+ ... + xnen = X{ f l + '" + X; fn> w=yle l +· .. +ynen=y{f1 + ... +y;fn> v=

Xl

el

si ha b(v, w)

=

txAy = tx ' By'.

[15.2]

Posto M = Me,t(ly), si ha x = Mx', y = My' e, sostituendo nella [15.2], si ottiene tx

' By'

= t(Mx')A(My') = tx'(lMAM) y'.

Dimostrazione Scelta una base e = [e l , ... , en l di V, sia A EM n (K) la matrice di b rispetto a e. (1) (2) Se A ha rango n e x -;é. O è il vettore delle coordinate di v, allora txA -;é. (O ... O), e quindi esiste y E Kn tale che txAy -;é. O; il vettore w di coordinate y è tale che b(v, w) -;é. O. (2) (1) Per ipotesi per ogni x -;é. O esiste y tale che txAy -;é. O; ciò implica txA -;é. (O ... O) per ogni x -;é. O, e questo significa che A ha rango n. (1) {} (3) Si dimostra in modo simile. (2) (4) Poiché dim(V) = dim(VV), è sufficiente far vedere che N(Ob) = (O). Sia dunque v EV tale che b v sia il funzionale nullo. Allora =}

[15.3]

Poiché la [15.3] è vera per ogni x', y' E Kn, deduciamo che

B=MAM.

15.6 PROPOSIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione jinita e sia b: V x V ~ K una jorma bilineare. Le seguenti condizioni sono equivalenti: 1) b è non degenere. 2) Per ogni v -;é. O in V esiste wE V tale che b(v, w) -;é. O. 3) Per ogni w -;é. O in V esiste v -;é. O tale che b(v, w) -;é. o. 4) L'applicazione 0b: V ~ VV è un isomorjismo. 5) L'applicazione o;: V ~Vv è un isomorjismo.

=}

[15.4]

La [15.4] esprime la relazione esistente tra le matrici A e B che rappresentano la forma bilineare b rispetto alle due basi e ed f rispettivamente. Viceversa, se A è la matrice che rappresenta la forma bilineare b rispetto alla base e, e se ME GLnCK) è una qualunque matrice invertibile di ordine n, allora esiste una base f tale che M = M e,t(1y). Pertanto B = tMAM è la mat;ice che rappresenta b rispetto a f. Diremo che due matrici A, BE M n(K) sono congruenti se esiste M EGL (K) tale n che

B=MAM. Lasciamo al lettore il compito di verificare che la congruenza di matrici è una relazione di equivalenza in Mn(K).

=}

0= bv(w)

=

b(v, w)

per ogni WEV. Ciò contraddice la (2) a meno che v = O. (4) (2) Per ogni vEV, v -;é. O, Ob(V) = bv -;é. 0, e quindi esiste wE V tale che O -;é. bv(w) = b(v, w). L'equivalenza di (3) e (5) si dimostra nello stesso modo. =}

D'ora in poi ci limiteremo a considerare le forme bilineari simmetriche, le quali hanno una particolare importanza per gli argomenti geometrici che svilupperemo.

196

Geometria euclidea

15.7 DEFINIZIONE Sia b una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale V, e sia v EV. Un vettore w EV si dice ortogonale (o perpendicolare) a v, se b(v, w) == O. In tal caso i due vettori v e w si dicono ortogonali (o perpendicolari).

15/Forme bilineari e forme quadratiche

Se V ha dimensione finita ed e = (el> ... , en}è una base di V tale che i vettori che ne fanno parte siano a due a due ortogonali, cioè soddisfino la condizione

b(ei , e) = O Supponiamo assegnata in V una forma bilineare simmetrica b. Sia S un sottoinsieme di V; l'insieme dei vettori ortogonali ad ogni v ES si denota con S.L; in simboli: S.L = {wEV: b(v, w)=O per ogni VES}. È immediato verificare che S.L è un sottospazio vettoriale di V. Infatti, se w, w ES .L, k EK, allora I

b(v, w + w') = b(v, w) + b(v, w') = O+ O = O b(v, kw) = kb(v, w) = kO = O, per ogni v ES. Chiameremo S.L il sottospazio ortogonale ad S. Se S = [v}, è abituale scrivere v.L anziché [v l ~ . Due sottospazi U e W di V si dicono ortogonali se U C W .L; dalla simmètria di b segue immediatamente che 'questa condizione è equivalente a W C U.L. II sottospazio V.L è detto radicale di V. Dalla proposizione 15.6 segue che b è non degenere se e solo se V.L = (O). Un vettore v EV è isotropo rispetto alla forma bilineare simmetrica b se v Ev.L , cioè se b (v, v) = O. Ovviamente O è isotropo. Se v EV è isotropo e k EK, allora si ha

b(kv, kv) = kZb(v, v) = kZO = O

197

per ogni i 7é- i,

allora e è una base ortogonale, o diagonalizzante, per b. Se e è una base ortogonale, allora la matrice A = (ai) che rappresenta b rispetto ad e è una matrice diagonale, perché aij = b(ei , e) = O per ogni i 7é- j. In tale base la forma bilineare si esprime pertanto nel modo seguente:

b(v, w)

= allxIYI + azzxzYz + ... + annxnyn.

[15.8]

Si osservi che se una base ortogonale e esiste, essa non è unica: ad esempio ogni base della forma p'Ie I, À,zez, ... , À,nen}, À,I' ... , À,nEK*, è ancora ortogonale. Ponendo

q(v) = b(v, v)

per ogni VEV

si definisce un'applicazione q:

V~K,

detta forma quadratica determinata da (o associata a) b. Se ad esempio b è la forma bilineare (simmetrica) standard su Kn, la forma quadratica ad essa associata è q(x) = xt

+ xi + ... + x;,

chiamata forma quadratica standard su Kn. e quindi il sottospazio (v) consiste di vettori isotropi. Se v non è un vettore isotropo posto, per ogni WEV,

av(w) = b(v, w)/b(v, v),

[15.6]

si ha

q(kv)

b(v, w - av(w) v) = O

= kZq(v)

2b(v, w)

cioè w - av(w) vEv.L. Poiché w = av(w) v

15.8 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettoriale su cui sia assegnata unaforma bilineare simmetrica b: V x V ~ K. La forma quadratica q associata a b soddisfa le seguenti condizioni:

=

q(v + w) - q(v) - q(w)

per ogni kEK, v, wEV.

+ (w - av(w) v)

deduciamo che V = (v) + v.L. D'altra parte (v) n v.L = (O) perché v non è isotropo e pertanto (v) n v.L è un sottospazio proprio di (v). Quindi per ogni vettore non isotropo v EV si ha

Dimostrazione La prima proprietà è immediata conseguenza della FB3. Si ha poi q(v + w) - q(v) - q(w) = b(v + w, v + w) - b(v, v) - b(w, w) = = b(v, w) + b(w, v) = 2b(v, w).

[15.7] Lo scalare av(w) definito dalla [15.6] è detto coefficiente di Fourier di w rispetto a v. Si noti che av(w) è definito solo se v non è un vettore isotropo.

Dalla proposizione 15.8 discende in particolare che una forma quadratica q individua univocamente la forma bilineare simmetrica b cui è associata, perché b si esprime per mezzo di q; segue da ciò che è equivalente assegnare su V una

198

Geometria euclidea

forma bilinear"e simmetrica oppure la forma quadraticaad essa associata. La forma bilineare simmetrica b si dice forma bilineare polare della forma quadratica q. Nel caso in cui V ha dimensione finita diremo che q ha rango r se r è il rango di b. Se {el"'" en J è una base dello spazio V, e se A = (ai) è la matrice (simmetrica) che rappresenta la forma bilineare simmetrica b, si ha, per ogni v(x 1,

••• ,

[15.10]

= "E,aijxixj , l,}

Quindi q(v) Q(X)

=

=

Q(x), dove

'XA X

= "E,aijXi

J0

[15.9]

l,}

è un polinomio omogeneo di grado 2 nelle indeterminate Xl' ... , X che sono m state rappresentate complessivamente come un vettore colonna X = '(Xl'" X ). n Diremo che Q(X) rappresenta la forma quadratica q nella base e, Se ad esempio dim (V) == 3 e la matrice di b rispetto alla base {el' e , e J è 2

~1

O

5

-1

3

199

siffatto viene anche chiamato forma quadratica n-aria (binaria se n = 2, ternaria se n == 3 ecc.). Se A è una matrice diagonale il polinomio [15.9] è privo dei "termini misti" qijXiXj , i =;t. j, e quindi è della forma

x n) EV:

q(v) == 'xA x

2

15/Forme bilineari e forme quadratiche

3

5 1 3

Pertanto una base e di V è diagonalizzante per la forma bilineare b se e solo se il polinomio che rappresenta la forma quadratica q è della forma [15.10]. Diremo in tal caso che 6 è una base diagonalizzante per q. Evidentemente, due polinomi omogenei di secondo grado Q(X) = 'XA X e R (X) = !XBX nelle indeterminate X == !(Xl ••• X n ) rappresentano la stessa forma quadratica su V in due basi diverse se e solo se le matrici simmetriche A e B sono congruenti. Infatti, per la proposizione 15.5, l'essere congruenti è condizione necessaria e sufficiente affinché le matrici A e B rappresentino la stessa forma bilineare in due basi diverse. Nel paragrafo 16 dimostreremo che ogni forma quadratica su uno spazio vettoriale di dimensione finita possiede una base diagonalizzante. Supponiamo che sul K-spazio vettoriale V sia definita una forma bilineare simmetrica b: V x V ~ K, con forma quadratica associata q, e sia W un sottospazio di V. Allora b induce un'applicazione

-3 b':

WxW~K

si ha

Si noti che ogni polinomio omogeneo di secondo grado in n indeterminate

la quale evidentemente soddisfa ancora le condizioni della definizione, ed è pertanto una forma bilineare su W. Inoltre b' è simmetrica perché b lo è. Nello stesso modo vediamo che la forma quadratica q': W ~ K associata ab' coincide con la restrizione di q a W, e pertanto la restrizione di q a W è ancora una forma quadratica.

15.10 Complementi può rappresentarsi nella forma [15.9] per un'opportuna matrice simmetrica A, e quindi, in una data base e di V, Q rappresenta una forma quadratica q la cui forma bilineare polare è quella rappresentata da A. La matrice A = (ai) è data dalla seguente formula:

i = 1, ... , n a ij == qijl2,

i =;t. j.

Un polinomio omogeneo di secondo grado Q(X) può sempre essere considerato come un'applicazione Q: Kn~ K. Ovviamente Q è una forma quadratica il cui polinomio associato rispetto alla base canonica è Q(X) stesso. Pertanto spesso identificheremo il polinomio Q(X) con la forma quadratica Q. Un polinomio

1. Siano U e W sottospazi vettoriali di uno spazio V tali che V = U (±) W. Supponiamo assegnate forme bilineari h: U x U ~ K, k: W x W ~ K. Definiamo h (±) k: V x V ~ K ponendo

(h (±)k)«u, w), (u', w'»==h(u, u')+k(w, w'). L'applicazione h(±)k è una forma bilineare, detta somma diretta di h e k. Se h e k sono entrambe simmetriche (entrambe alterne) h (±) k è simmetrica (alterna). Le verifiche sono lasciate al lettore. 2. Sia b: V x V ~ K una forma bilineare, e = {e l , ••• , en J una base di V e V A = (aij)la matrice di b rispetto a e. Sia e = {'I]I' ..• , 'l]n J la base di VV duale di

200

Geometria euclidea

e. Allora ~ è la matrice che rappresenta l'applicazione lineare

f5/Forme bilineari e forme quadratiche

Ad esempio, la forma bilineare

0b: V --+ VV

h (x, y)

rispetto alle basi e ed e

201

= X]Yz + XZYI

V •

Ricordiamo che 0b è definita da 0b (v) bv(w)

= b(v,

w),

= bv ,

dove bv E yv è il funzionale

su KZ è iperbolica, e la base canonicaèiperbolica.. Anche la forma bilineare 1

wEV.

. Per dimost~arel'affermazione precedente è necessario dimostrare che, per ogni 1, ... , n, SI ha

1=

1

k(x, y) = -XIYI- -xzYz .22 è iperbolica, e una base iperbolica è [(1, 1), (l, -l)}. Per la forma k la base canonica è diagonalizzante.

n

Ob(e;) = E

ait'YJt"

[15.11]

t=1

Ma per ogni i = 1, ... , n abbiamo [Ob(e i )] (ej )

= b(ei , e) = a ij ,

mentre n

[E

t=1

w=v-

n

ait'YJt]

(e)

=

E

t=1

b(v, v) U

2

ait0tj = ai;.'

. Poiché assumono gli stessi valori sulla base e, il primo e il secondo membro dI [15.11] sono uguali, e questo prova quel che si voleva. Si verific~ in modo simile che A è la matrice che rappresenta l'applicazione o;: V --+ VV rIspetto alle basi e ed eV. 3. Sia V un K-s.p.azio ve~toriale tale che dim(V) = 2. Supponiamo assegnata ~u V una .forma bIlmeare sImmetrica h non degenere tale che esista un vettore Isotropo rIspetto ad h e non nullo. Allora h si dice forma iperbolica su Vela coppia (V, h) si dice piano iperbolico. Se ~I!' h) è ~n p!ano iperbolico, V possiede una base [UI, u z } formata da due vettOrI IS~tro?I t~h che h(u l , uz) = 1. Infatti, per definizione esiste u ~ O isoi tropo. POlche h e .non degenere, esiste v EV tale che h (u l , v) = 1. I vettori U , v I non sono proporzIOnali, perché si ha h(u l , ku l ) = kh(u l , u I ) = per ogni kE K' ~erta~to u l e N. so~o linearmente indipendenti. Prendendo U z = v - h(v, v)U/2 SI ottIene la base rIchiesta.

°

Una base. [UI> uz } con tali proprietà è detta iperbolica. La matrice che rappresenta h rIspetto a una base iperbolica è

[15.12t È evidente, viceversa, che se lo spazio vettoriale V ha una base [u u} tal che la matrice della forma bilineare sia la [15.l2J allora (V h) e' ~'z. e

· bolICO.

4. Siano V uno spazio vettoriale e b: V x V --+ K una forma bilineare simmetrica non degenere tale che V contenga un vettore isotropo U ~ O. Allora esiste un sottospazio V di V contenente U e tale che la coppia (V, bu) sia un piano iperbolico. Infatti, poiché b è non degenere, esiste v EV tale che b (u, v) = 1. Il vettore

,

,

un plano Iper-

è isotropo e tale che b(u, w) = 1. Quindi il sottospazio V volute.

= (u, w)

ha le proprietà

5. Siano V uno spazio vettoriale e q: V --+ K una forma quadratica. Uno scalare a E K si dice rappresentabile mediante q se esiste vEV, v ~ O, tale che q (v) = a. Se V è uno spazio vettoriale complesso e q è non degenere, allora ogni a EC è rappresentabile mediante q. Infatti, fissata una base [el' ... , en } tale che b(e]) ~ 0, e detta (3EC una radice quadrata di aq(el)-I, si ha q({3e l ) = (3Zq(e l ) = a.

Se K = R, V = Rn, n ~ 1, q(x) = x? + ... + x~, la forma quadratica standard, allora, evidentemente, nessun numero a :5 è rappresentabile mediante q. Invece ogni numero reale a > Olo è: lo si può dimostrare esattamente come nel caso degli spazi complessi, tenendo presente che a possiede una radice quadrata reale. La nozione di rappresentabilità di uno scalare mediante q è importante se K = Q. L'insieme degli scalari rappresentabili mediante una data forma quadratica q su un Q-spazio vettoriale, ad esempio su Qn, ha una notevole importanza aritmetica. Se (V, h) è un piano iperbolico e q: V --+ K è la forma quadratica associata ad h, allora q(V\ [O}) = K, e quindi ogni elemento di K è rappresentabile mediante q. Infatti, se [u l , uzI è una base iperbolica di V e a E K, si ha

°

q(U] + ~

u z) =a.

Dall'osservazione precedente e dalla 15.10(5) segue subito che se q è una forma quadratica non degenera su uno spazio vettoriale V, tale che esista in V un vet-

Geometria euclidea

202

tore isotropo non nullo, allora ogni ex EK è rappresentabile mediante q. In altre parole, se O è rappresentabile mediante q, lo è ogni ex EK. Prendendo ad esempio K = Q e V = Q2, otteniamo che ogni numero razionale a può essere espresso nella forma

a =1-(2 x - y2), 2

Esercizi

1. Stabilire quali delle seguenti sono forme bilineari sll Rn.

c)

6. Sia b: V x V ....... K una forma bilineare simmetrica non degenere su un K-spazio vettoriale V, e sia D un sottospazio di V. Il sottospazio ortogonale D.L coincide con l'ortogonale di (\(D) C VV, così come è stato definito in 11.14(3). Supponiamo che V abbia dimensione finita. Poiché b è non degenere, Ob è un isomorfismo, e quindi dim(U) = dim[ob(D)]. Dalla [11.13] segue pertanto che dim(D.L)

=

n - dim(D).

i; xjl yj I

a) (x,y) =

con x, yEQ.

[15.13] /

Se D non contiene vettori isotropi non nulli, si ha D n D.L = (O), e dalla [15.13] segue allora che V = D EB D.L. Prendendo in particolare D = (v), dove v è un vettore non isotropo, si ottiene l'identità [15.7] dimostrata in precedenza. 7. Sia b: V x V ....... K una forma bilineare simmetrica sullo spazio V, e denotiamo con Ib(V) C V l'insieme dei vettori isotropi rispetto a b. Ib(V) è detto cono isotropo di V (rispetto a b). Un sottospazio D di V si dice isotropo se D C Ib(V). Ovviamente (O) è un sottospazio isotropo di V, che si dice banale. Se b è degenere, allora il suo radicale V.L è un sottospazio isotropo non banale. . Se D è un sottospazio isotropo e 01' u 2 ED, allora, poiché Dj + O 2 ED, si ha

203

16/Diagonalizzazione delle forme quadratiche

b) (x, y)

~

j(=li; Xi) ( Yj)

(x:y) =

1=1

e) (x, y) =

=IE, XjYj\

d) (x, y) =

J-I

i; (Xj + yy - i; x] - i; y]. j=l

j=l

)=1

2. In ciascuno dei casi seguenti determinare la forma bilineare polare della forma qua~ drica q: R2 -> R: a) q(x, y)

= 3x- -

2

b) q(x, y) = 4x - 9xy + 5y 2 d) q(x, y), = x 2 - 2xy + y2

8xy - 3y 2

, 7 2 c) q(x, y) = 4x2 - 4xy + Y • .2 O 3' 2 e) q(x, y) = 3x + l xy + Y

f) q(x, y) = 6xy.

3. Determinare la matrice e il rango di ciascuna delle forme quadratiche dell'esercizio precedente. 4. In ciascuno dei casi seguenti determinare la forma bilineare polare della forma quadratica q: R 3 -> R:

= xz + xy + yz 2 2 2 2 c) q(x, y, z) == x - XZ - Y - z

b) q(x, y, z) = 2xy + y2 - 2xz 2 d) q(x, y, z) = 5x + 3y 2 + xz

a) q(x, y, z)

e) q(x, y, z) = - x 2 - 4xy

+ 3y 2 + 2z

2 .

5. Determinare la matrice e il rango di ciascuna delle forme quadratiche dell'esercizio precedente.

cioè 01 e O 2 sono ortogonali. Da ciò discende che D C D.L. Viceversa, se D C D.L , allora è evidente che D è isotropo. La forma b si dice anisotropa se V non possiede vettori isotropi non nulli, cioè se I b(V) = [O}. Ad esempio la forma bilineare standard su R n è anisotropa. Supponiamo b non degenere, e sia D un sottospazio isotropo. Allora si ha dim (D) ::S

..l dim (V).

[15.14]

2

Infatti D isotropo significa che D C D.L, e quindi, per la [15.13], abbiamo dim(D)::s dim(D.L) cioè la [15.14].

=

dim(V) - dim(D),

204

Geometria euclidea

Eseguiamo il cambiamento di coordinate

Prima dimostrazione

Procediamo per induzione su n = dim(V). Se n = l non c'è niente da dimostrare. Supponiamo dunque n ~ 2, e che ogni forma bilineare simmetrica su uno spazio di dimensione minore di n possieda una base diagonalizzante. Se b è la forma bilineare nulla non c'è niente da dimostrare, perché in una qualsiasi base la matrice di b è la matrice nulla, che è diagonale, e quindi ogni base di V è diagonalizzante. Possiamo dunque supporre che b non sia la forma bilineare nulla, e quindi che esistano v, WEV tali che b(v, w) ~ O. Da ciò segue che uno almeno dei tre vettori v, w, v + w è non isotropo. Infatti, se v e w sono entrambi isotropi, allora b(v + w, v

+ w) = b(v,

v)

+ b(w, w) + 2b(v, w) = 2b(v, w) ~ O.

Pertanto esiste un vettore e l EV tale che b(el' e l ) ~ O. Dalla (15.7] segue che V = (e l >(B ejL; in particolare dim (ell.) = n - l. Per l'ipotesi induttiva la forma bilineare b' indotta da b su ell. possiede/una base diagonalizzante: sia essa [e z, ... , en }. Allora e = [e l , ez, ... , en l è una base di v: infatti ez' •.• , en sono linearmente indipendenti e d'altra parte e l ~ (èz, •• , ... , en > = ell., sicché e l , e z, ... , en sono linearmente indipendenti. Inoltre b(e p e) = O per ogni j = 2, ... , n, perché ejEe/. Infine b(e;, ej ) = = b' (ei , e) = O per ogni i ~j, 2:$. i, j:$. n, perché [ez' ... , enl è una base di ell. diagonalizzante per b'. Quindi e è una base diagonalizzante per b. Seconda dimostrazione (Lagrange)

Per induzione su n = dim(V). Se n = l non c'è niente da dimostrare. Supponiamo n ~ 2, e che ogni forma bilineare simmetrica su uno spazio di dimensione minore di n possieda una base diagonalizzante. Scegliamo una base b = [bI' ... , bnl di V. Se b è la forma bilineare nulla, allora b è diagonalizzante, e non c'è niente da dimostrare. Se b non è la forma bilineare nulla, allora possiamo ottenere da b una nuova base c = [cl' ... , cn } tale che b(c l , CI) ~ O. Infatti, se b(b;, b) ~ O per qualche i, sarà sufficiente scambiare bi con bi' Se viceversa b(b;, b) = O per ogni i, allora dev'essere b(b;, b) ~ O per qualche i ~j; scambiando ancora possiamo supporre b(b l , bz} ~ O, e la nuova base c

= [bi + bz'

ha la proprietà voluta. Nella base c la forma quadratica q associata a b ha l'espressione n

I

= YI +

n

I; hi!l hIiy;, Zz

;=z

d

=

[dI' ... , d n l = - h l h c I + CZ' 12 ll

= (Cl'

CI) ~

q(V(ZI' ... , zn» = hllz? I (

+ C3'

I

••• ,

-

h ll hlnC I

l + Cn .

+ q'(ZZ' ... ,

zn)'

)

I.

Supponiamo che K sia algebricamente chius~: Sia V,un K(V) - n > l e sia b: V x V --+ K una forma bllmeare slmmespazIo vettona e,1m -, , d' b , . b {-e e l diagonalizzante per b tale che la matnce I tnca. ESIste una ase l' ••• , n

162 ..

TEOREMA

'l

d'

sia della forma

D =

(IOz 00 r

[16.2]

1

)

3

dove r è il rango di b e 01 EMr,n-r (K) '

(K) 03 EMn_r,n_r(K) sono le O M zE n-r,r ,

matrici nulle. ,. (K) di ran o r è congruente Equivalentemente, ogni matrice slmmetnca A EM n g alla matrice [16.2]. . l' P L'equivalenza delle due affermazioni è evidente. Dlmostrer~mo .a pr~ma. er . b f - {f f l tale che la matnce dI b nspetto a il teorema 16.1 eSIste una ase l' ... , n f sia diagonale della forma

O O

O, possiamo riscrivere la [16.1] nel

+ i=2 I; hl!1 hIiyY + (termini in cui non compare YI)'

hl! l h 13 CI

è un polinomio omogeneo di secondo grado in ZZ, ... , Zn' e dove q ZZ, ... , Zn . ' d > Per l'ipotesi induttiva . di è una forma quadratlca sullo spazIo (dz' ... , n ' ~~:~ ... , d n > p"Ossiede una base {ez"'" en } di~gonalizzante per q Pertanto la . [d e e l di V è una base diagonahzzante per q. l' z' ... , n b ase Il teorema precedente afferma l'esistenza di una base e rispetto alla ,qual~ EK Dimostreremo che nel caSI b ha la forma (15.8], con all' a zz ' ••• , ann . . K = R, C si possono ottenere risultati più precisi. I~iziamo dal c.aso K = C (COllSI",' generale il caso in cui K è algebncamente chIUso) . dereremo pIU m

[16.1]

n

q(v(yp ... , Yn» = h ll (YI

-

In queste coordinate q ha la forma

i~Z

= b(c l ,

= Yz, ... , Zn = Yn'

che corrisponde al passaggio dalla basè c alla nuova base

n

+ 2 I; hIiYIY; + ;,j=Z I; hijY;Yj'

dove hij = b(c;, c). Poiché h ll modo seguente: .

Z

Dimostrazione

b z, ... , b n }

q(v(YI' ... , Yn» = hlly?

205

16/Diagonalizzazione delle forme quadratiche

o O

Geometria euclidea

206

Salvo scambiare tra loro fl' 000' fn' possiamo supporre all' a22 , "0' arr diversi da 0, e ar + lr + l = "0 = ann = O. Siano al' a 2 , '0" arE K tali che a; = aii , i = 1, '0', r (gli ai esistono perché K è algebricamente chiuso) e consideriamo i vettori

Esattamente come nella dimostrazione del teorema precedente si verifica che rispetto alla base e = f/al' e2 = f 2/a 2, l

.,

o, en } è una base ortogonale o Inoltre 2

2

f/~r'

er + l = f r + l ,

"0'

en = f n

,

q(v)=xl+ ... +xp

b(ei , eJ = b(ai-lfi, (Xi-lfJ = a i- b«(, fJ = a i- aii = 1,

i = 1,

b(ei , eJ = b(fi , fJ =

i =1 + 1,

°

er =

o'"

. d'1 b e' la [16 3] e quindi la forma quadratica q associata a b è la matnce 2 2 _ 2 _ ... _ x 2 [16.4] o

Ovviamente e = [e l ,

207

16/Diagonalizzazione delle forme quadratiche

o •• ,

r '00,

no

Quindi e ha le proprietà volute.

x p+l

r

per ogni V=xle l +"0 +xnenEV. } Resta da dimostrare che p dipende solo da b, e non dalla base [e l : ... , ~n . b b - [b b } la forma b SI espnma Supponiamo dunque che m un'altra ase l' ... , n o

come 2

[1605]

Z2

+ Zt - Zt+l - o" - r' . _ b + .+ Zn bn EV per un opportuno intero t::::; r. Dobbiamo far per Oglll v - Zl l ••• ' o t vedere che t = p. Se p ~ t possiamo supporre che sia t < po Consldenamo 1 so -

1603 TEOREMA (SYLVESTER) Sia V uno spazio vettoriale reale, dim(V) = n ~ 1, e sia b: V x V ~ K una forma bilineare simmetrica. Esistono un numero intero non negativo p::::; r, dove r è il rango di b, dipendente solo da b, e una base e = [e l , • oo, en } di V, tali che rispetto a e la forma b abbia la seguente matrice:

tospazi

(: -~' :}

q(v) = zi

+

2

Nella dimostrazione del teorema precedente si è utilizzato il fatto che K è algebricamente chiuso per ottenere l'esistenza degli scalari ai' Nel caso K = R si ottiene un risultato un po' più debole.

o"

o

S = = (Wl' w2 ' ... , Wk>; i vettori Wl' w 2 , ... , w k sono a due a due ortogonali.

2) Se "l' "2' "3' ... è un'altra successione che soddisfa le condizioni (a) e (b) per ogni k ~ 1, allora esistono scalari non nulli Cl' c2' ... tali che"k = CkWk' k = 1, 2, ...

Dimostrazione 1) Costruiremo gli elementi Wl' W2 , ... per induzione su k. Prendiamo Wl = VI' che evidentemente soddisfa (a) e (b) per k = 1. Sia t ~ 1 e supponiamo di aver costruito Wl' ... , W t soddisfacenti alle condizioni (a) e (b) per k = t. Definiamo t

'W t+1 =

Vt+l -

E; aw,(Vt+l)W

i

(dove ~ denota la somma estesa ai soli indici i tali che wi;t: O). I

Definiamo la proiezione ortogonale di w nella direzione di v come il vettore av(w) v. La terminologia è giustificata dal fatto che (w - aV

= (w, v> - av(w) (v, v> = O,

cioè w - av(w) v è perpendicolare a v (fig. 17.1).

Dalla definizione segue che V t + l è combinazione lineare di Wl' W 2' ... , W t + l ' e per l'ipotesi induttiva i vettori VI' ... , Vt sono combinazioni lineari di Wl' W2' ... , Wt· Quindi (VI' V2' ... , v t + l >C (Wl' W 2, ... , Wt+l>' D'altra parte, sempre per la definizione di Wt+1' abbiamo che Wt+l è combinazione lineare di Wl' W2, ... , Wt, Vt+l'

214

Per l'ipotesi induttiva i vettori Wl' W 2 , ••• , w t sono combinazioni lineari di vI> V2 , ••• , v t ' e quindi W t + l è combinazione lineare di VI' V2 , ••• , v t + l ; dunque si ha anche (Wl' W 2 , ••• , w t + l ) C (VI' V2 , ••• , Vt + I ). Pertanto la (a) è soddisfatta per k = t + 1. Si ha poi, per ogni i = 1, 00.' t, tale che w, >é O: w,) = (v t + 1 = (v t + l>

I;' aw.(vt+l)wj ,

j=l

w,) -

J

(Vt+ l' W,)

w,) =

(v t + 1, .

w,) -

aw(v t + l ) (W"W, )

=

=

(w2 , v3 )

WI -

W2

(w2, w 2 )

2

(Wl'

= V4 -

V4 )

WI

(w2 , V4 )

-

(w 2,

(Wl' Wl)

- - - W2

2

1

W4

-2 4

1 =V 3 - - W l

=--e2

I

W2 -

W 2)

1 +-

(W3,

V4 )

(w 3,

W 3)

=

e 4,

2

W3

=

= O.

=V 4

°

per ogni i >é j, 1::; i, j::; t, la (b) è soddisfatta per k = t + 1. Ciò dimostra la parte (1) del teorema. 2) Procediamo per induzione su k. Per k = 1 la conclusione è ovvia. Supponiamo t;::: 1 e che esistano CI' C2, 000' c t tali che U k = CkWk per ogni k::; to Per la (a) si ha Ut+ 1 = Z

V3 )

(Wl' Wl)

Essendo per l'ipotesi induttiva anche (wj> w,)

(Wl'

= V3 -

W3

t

(Wt+1>

215

17/Prodotti scalari

Geometria euclidea

° ° 2

4

1/2

e2

[

e4

-J2 + -J2

,e l ,

e4

e2

-J2

-

]

-J2

1'-

,e3

o

2. Consideriamo R 4 con il prodotto scalare: (X

,

1 2

y) =

-X1YI

1 + -x2Yz + 2

X 3Y3

+

X 4Y4·

Applicando il procedimento di Gram-Schmidt ai vettori VI = (1, 1, -1, -1),

Si noti che la (b) del teorema 17.4 non afferma che {w l> W 2' ••• , W k l è un insieme ortogonale di vettori, perché può accadere che qualcuno dei vettori W l> W 2, ••• , W k sia uguale a 00 Se Wl' W 2, ••• , W k sono tutti non nulli, allora {Wl' W 2, .00 ..., wd è un insieme ortogonale di vettori Se V ha dimensione finita e {v l> •• o, V n} è una base di V, il procedimento di Gram-Schmidt applicato ai vettori VI> ... , Vn fornisce vettori Wl' •• 0' w n ' a due a due ortogonali, che generano V, e quindi tutti diversi da o: dalla proposizione 17.2 segue che {Wl' ••• , wnl è una base ortogonale di V. Per ottenere una base ortonormale non resta che normalizzare {w l> •• o, W n lo

=V4 •

I vettori Wl' W 2 , W 3 ' W 4 costituiscono una base ortogonale di Vo Normalizzando questi vettori si ottiene la base ortonormale

+ Ct+IWt+l'

per qualche zE (Wl' •• 0' Wt), Ct + 1 ER. Poiché, per la (b), sia Ut+1 che W t + 1 sono ortogonali a z, anche ut+ I - Ct+ IWt+ I = z è ortogonale a z, cioè z è ortogonale a .sé stesso; quindi z = O.

°

- - W I - - W 2 - - - W3

V2 = (1, 1, 1, 1),

v 3 =(-1, -1, -1,1),

v 4 =(1, 0, 0,1)

otteniamo

o

w3 = V3 -

v 3)

(Wl'

(w2, v3)

W1 -

(w2,

(Wl' Wl)

17.5 Esempi 1. Sia V uno spazio vettoriale euclideo, dim (V) base ortonormale di V. Consideriamo i vettori

=

4, e sia

(el> C2' e 3, e 4

VI(O, 1,0, 1), v 2 (2, 1,0, 1), v 3 (-1, 0, 0, 1), v 4 (0, 0, 1, O).

Il procedimento di Gram-Schmidt applicato a vI> V2 , V3 , V4 dà

W

W2)

-1 =v - - - w 2 3 3 l

- 4/3 8/3

- - . - - W2

=

1 1 =v +-w l +-w2 =(0, 0, -1, 1), 3 3 2

l una w4 = v4 =v 4

(Wl'

WI

-

(Wl> Wl)

(w2 , v 4 ) (w 2,

4/3 8/3

1/2 3

W z)

w2 -

(w 3, v4 ) (w" w,)

w3 =

1_ 2

- - - W I - - - W2 - - W3 -

= V + 1- W 4

v4)

6

l

_1- W 2 _1- W 3 = (1-, 2

2

2

1 2 ,0, O).

216

Quindi

Geometria euclidea

[(1, 1,

-1, -1),

(-.!,3 -.!,3 2,3 2), (O, O, 3

-1, 1),

è una base di R4 ortogonale rispetto a (, >.

- 1(1-, 2 2"

OO)]

217

scrivere nella forma equivalente: -lIvllllwll:5 (v, w> :5l1vllllwll

17.6 PROPOSIZIONE Sia V uno spazio vettoriale euclideo e W ';é (O> un suo sottospazio vettoriale di dimensione finita. Allora ogni elemento v EV si può esprimere in modo unico come v=w+w',

l7/Prodotti scalari

[17.4]

dove wEW e w' EW.l. Quindi si ha

dalla quale, dividendo per Il v Il Il w Il ,si ottiene -1:5

(v, w>:51. IIvllllwll

[17.5]

Dalla [17.5] e dalle proprietà della funzione coseno disc.ende che esiste un unico numero reale (), tale che 0:5 () :5 1r, e tale che si abbia (v, w> cos()=---IIvllllwll

Dimostrazione Sia {e 1, ••• , et l una base ortonormale di W. Se v EV, poniamo w = (v, e1 >e1 +

... + (v, et>et

Potremo quindi scrivere (v, w> = IIvllllwll cos().

[17.6]

Chiameremo

w' =v-w. Evidentemente w EW. Inoltre, per ogni i = 1, ... , t: (w', e) = (v, e) - (w, e) = (v, e;> - (v, e) (e;, e;> = O, e quindi w', essendo perpendicolare a e 1, ••• , et, è perpendicolare ad ogni loro combinazione lineare, cioè w' EW .l. Quindi v = w + w' si esprime nella forma voluta. Se v=u+u' per qualche UEW, u'EW.l, allora w-u=u' -w'EWnW.l e quindi w - u, essendo perpendicolare ad ogni elemento di W, è anche ortogonale a sé stesso. Ma allora w - u = O= u' - w', cioè w = u e w' = u'. L'elemento w che compare a secondo membro della [17.4] si dice proiezione ortogonale di v sul sottospazio W. Esplicitando l'identità Il v 11 2 = (w + w', w + w' > si ottiene immediatamente la seguente: IIvIl 2 =lIwIl 2 +lIw'1I 2 che è detta identità pitagorica. La disuguaglianza di Schwarz [17.1] permette di introdurre in uno spazio 'vettoriale euclideo V la nozione di "angolo convesso di due vettori non nulli" nel modo seguente. Supponiamo che v, wEV siano due vettori diversi da O. La [17.2] si può anche

() = arccos ( (v, w> ) IIvllllwll

[17.7]

l'angolo convesso (o non orientato) tra i (o formato dai) vettori v e w. Dalla sua espressione vediamo che l'angolo convesso formato dai vettori v e w non dipende dall'ordine in cui essi sono presi. Si noti che dalla definizione segue che due vettori non nulli v, w sono perpendicolari se e solo se il loro angolo convesso è 1r /2. Inoltre cos() = (v, w> se v e w sono versori. Al lettore più attento non sarà sfuggito che la definizione [17.7] di angolo convesso di due vettori, facendo ricorso alla funzione inversa della funzione cos(), apparentemente utilizza la geometria euclidea elementare, nell'ambito della quale le funzioni circolari vengono di solito definite. Questo rende inconsistente la nostra pretesa di sviluppare la geometria in modo indipendente dalla geometria elementare. La contraddizione è pero solo apparente: infatti tutte le funzioni circolari e le loro inverse possono essere definite in modo completamente autonomo dalla geometria elementare, mediante serie di potenze. Rinviamo il lettore ai corsi di analisi matematica per i dettagli. Per i nostri scopi sarà sufficiente sapere che le funzioni trigonometriche e le loro inverse si possono definire in modo puramente analitico, cosicché la definizione di angolo convesso di due vettori di uno spazio vettoriale euclideo qualunque data dalla [17.7] è indipendente dalla geometria euclidea elementare. L'angolo convesso così definito è un numero reale compreso tra Oe 1r, e non ha il significato geometrico che tale nozione possiede nella geometria del piano ordinario. La relazione esistente tra questa definizione ed il concetto di angolo che si dà nella geometria euclidea elementare è spiegata nell'esempio 17.7. Avvertiamo il lettore che d'ora in poi faremo liberamente uso delle principali proprietà delle funzioni trigonometriche.

218

Geometria euclidea

17.7 Esempio

Sia V lo spazio dei vettori geometrici del piano ordinario, in cui supponiamo introdotta un'unità di misura per le lunghezze dei segmenti. Per ogni v EV la lunghezza di v, denotata con Iv I, si definisce come la lunghezza di uno qualsiasi dei rappresentanti di v. Se v, wEV sono entrambi non nulli, l'angolo convesso (o non orientato) tra v e w si definisce come l'angolo convesso O (O::s; O::s; 1r se espresso in radianti) formato da rappresentanti di v e w applicati in uno stesso punto (qui stiamo utilizzando la definizione di angolo della geometria euclidea elementare). Queste definizioni sono state date senza utilizzare alcun prodotto scalare su V. È possibile però introdurre in V un prodotto scalare in modo che le nozioni di lunghezza di un vettore e di angolo convesso tra due vettori non nulli che si ottengono utilizzando il prodotto scalare, coincidano con quelle che abbiam~ appena introdotto geometricamente. Per ogni v, w EV poniamo vxw= {

Iv I I w I cos O

se v ;;t O ;;t w,

O

altrimenti.

[17.8]

Allora x definito dalla [17.8] è un prodotto scalare in V; lasciamo al lettore la facile verifica di questo fatto. Si osservi che se v e w sono versori allora il loro prodotto scalare coincide con il coseno dell'angolo da essi formato. Inoltre la norma Il v Il di un vettore v coincide con la sua lunghezza I v I. Se due vettori v, w soddisfano v x w = e nessuno dei due è O, allora cosO = 0, cioè il loro angolo è 1r12; quindi il concetto di perpendicolarità di vettori così come viene definito dal prodotto scalare [17.8] coincide con quello usuale. ---+ ---+ · Slano v = OA, w = OBEV, v;;t O. Sia P il piede della perpendicolare condotta da B sulla retta contenente i punti O e A. È immediat~erificare cheJ1..coefficiente di Fourier ay(w) è il rapporto i ~la ~ghezza di OP e quella di OA, preso con il segno + o - a seconda che OP e OA siano orientati concordemente o discordemente. La proiezione ortogonale di w nella direzione di v è il vettore OP = ay(w) v, e w - ay(w) v = PB, che è perpendicolare a v. Consideriamo una base ortonormale {i, j} di V. Se v = Xli + x2j, l'identità

°

Iv 12 = xi +xi è nient'altro che il teorema di Pitagora. Notiamo anche che la disuguaglianza di Schwarz Ivxwl::s; Ivllwl segue immediatamente dal fatto che I cosO I ::s; 1.

17/Prodotti scalari

219

Se si considera lo spazio vettoriale V dei vettori geometrici dello spazio ordinario in cui sia stata introdotta un'unità di misura dei segmenti, la [17.8] definisce anche in questo caso un prodotto scalare. in V, per il quale valgono considerazioni del tutto simili à quelle fatte nel caso precedente. Per le esigenze dell'algebra lineare e della geometria euclidea non è sufficiente disporre del concetto di angolo non orientato di due vettori, dato dalla [17.7], e si rende necessaria l'introduzione di una nozione di "angolo orientato" . La definizione di angolo orientato, come nel caso precedente, sarà data ricorrendo alle proprietà dei numeri reali nel modo seguente. Definiamo in R la seguente relazione. Diremo che O, cp ER sono congrui modulo 21r, oppure che O è congruo a cp modulo 21r, e scriveremo 0== cp (mod. 21r) se 0- cp = 2k1r per qualche kEZ. Si verifica facilmente che la congruenza modulo 21r è una relazione di equivalenza. Le classi di congruenza verranno chiamate angoli orientati, o semplicemente angoli. Dalla definizione segue subito che un angolo è un sottoinsieme di R della forma { ... , 0-41r, 0-21r, O, 0+21r, 0+41r, ... } = [0+2k1r: kEZ}

[17.9]

per qualche OER. Poiché le classi di congruenza costituiscono una partizione di R, ogni numero reale Oindividua un angolo [17.9] cui appartiene e uno solo. Gli elementi di un angolo sono le sue determinazioni; per definizione, due determinazioni di uno stesso angolo differiscono per un multiplo intero di 21r. Ogni angolo possiede un'unica determinazione 00 tale che O::s; 00 < 21r, la cosiddetta determinazione principale. Con abuso di linguaggio identificheremo spesso un angolo con una sua determinazione, cioè con un numero reale, sottintendendo che due numeri reali rappresentano lo stesso angolo se e solo se la loro differenza è un multiplo intero di 21r. Poiché ogni angolo possiede un'unica determinazione principale, si ha una corrispondenza biunivoca tra l'insieme !JJ di tutti gli angoli e l'intervallo chiuso a sinistra [O, 21r). In precedenza abbiamo definito un angolo convesso come un numero reale nell'intervallo [0, 1r]. Ad ogni angolo rO + 2k1r: kEZ} si può associare il numero reale min[10+2k1rl: kEZ}, che, è immediato verificarlo, appartiene a [O, 1r], e si dice l'angolo convesso associato. Gli angoli si possono sommare tra loro sommandone le determinazioni: se {O + 2k1r: kEZ} e ['11 + 2k1r: kEZ} sono due angoli, la loro somma è l'angolo [O + '11 + 2k1r: kEZ}.

220

Geometria euclidea

Rispetto all'operazione di somma gli angoli costituiscono un gruppo 9' il cui elemento neutro è l'angolo {2k1r: kEZ}, e in cui l'opposto dell'angolo {O+2k1r: kEZ} è {-O+2k1r: kEZ}. Per ogni OER consideriamo la matrice _ (COSO - sinO) . ResinO cosO Dall'identità (cosO)Z + (sinO)z= 1 segue che ReE SO (2). Dalle proprietà elementari delle funzioni trigonometriche si deduce che per ogni (a, b) ER 2 tale che az + b Z= 1 esiste OE R tale che a = cosO, b = sinO, e quindi, poiché ogni matrice in SO(2) è della forma [2.6], al variare di OE R la matrice Re descrive tutto SO(2). Infine, essendo le funzioni coseno e seno periodiche di periodo 21r, si ha Re = R = (coscp, sincp) (VI' vz) = (cosl/;, sinl/;).

uv,

Definiamo l'angolo orientato formato dai versori u e v come l'angolo una cui determinazione è l/; - cp. Se a, b EV sono due vettori non nulli, il loro angolo orientato è definito come " b =a - - ba Ila Il IIb Il . L'angolo orientato gode delle seguenti proprietà: a) b) c) d)

ià = O, """ = - ba, ........ ab

----

~

..A..

...........

ab T be = ae, (Aa)(ftb) = ab '"

per ogili tema di vettori non nulli a, b, c e per ogni A, ft > O. Le relative verifiche sono lasciate al lettore. Si osservi che per la definizione di angolo orientato è stata fissata una base ortonormale di V. In realtà la definiziohedipende solo dall'orientazione di V definita dalla base fissata. Infatti, sia [i', j' } un' altra base ortonormale, concordemente orientata con {i, j}, e sia

cosa

A= ( sina

- sina \ cosa)

la matrice del cambiamento di coordinate da [i, j} a [i', j' }. Se u = cos cp i + sin cp j = cos cp' i' + sin cp' j , v=cosl/;i+sinl/;j= cosl/;'i' +sinl/;'j', allora si ha - sina) (c~sCP) = (c~S(CP + cosa smcp sm(cp + a)

a»)

(c~sCP') smcp' e similmente

[17.11]

La [17.11] segue immediatamente calcolando il prodotto a primo membro e dalle ben note formule che esprimono cos(cp + O) e sin(cp + O) in funzione di coscp, cosO, sincp, sinO. . Consideriamo ora unO' spazio vettoriale euclideo V di dimensione 2, in cui sia fissata una base ortonormale [i, j}. Siano u(u p uz), v(v!, vz> due versori, e siano cp, l/; ER tali che

-----.,..

221

17/Prodotti scolari

l/;') = (c~s a (C~S sml/;' sma

-Sina)(C~sl/;) cosa

sml/;

=

(c~s(l/;+a»). sm(l/; + a)

Quindi si ha l/;' - cp' == (l/; + a) - (cp + a) == l/; - cp (mod. 21r), e pertanto le due basi definiscono lo stesso angolo orientato tra u e v.

17.8 Complementi 1. L'insieme C dei numeri complessi è uno spazio vettoriale reale di dimensione 2. La base [1, i} identifica C con R Z associando ad un numero complesso a + ib la coppia (a, b). Se z = a + ib EC, il modulo di z, che è definito come I z I = ili =

.J aZ + b Z ,

è uguale a Il (a, b) Il. Ad ogni ZEC* possiamo associare il numero complesso

_z_ = _a_ + i _b_ che ha modulo 1, e quindi è della forma Iz I Iz I Iz I _z_ = cosO + i sinO. Iz I

L'angolo individuato da O si dice l'argomento di z e si denota con arg(z); la determinazione principale di arg(z) è talvolta chiamata argomento principale di z.

Geometria euclidea

222

Poiché z = Iz I _z_ deduciamo da quanto detto che ogni numero complesso

z :;é O si

z

=

Izi

si definisce un prodotto scalare su R

+ i sinO)

[17.12]

dove Oè una determinazione di arg(z). La [17.12] è una rappresentazione trigonometrica di z. Se z, wE C* allora si ha I zw I = I z I I w I e arg(zw) = arg(z) + arg(w). Ciò può essere verificato per mezzo delle rappresentazioni trigonometriche nel modo seguente. Siano OEarg(z), cpEarg(w). Allora:

zw = I z I (cosO + i sinO) I w I (coscp + i sincp) =

=

I z I I w I (cosO coscp - sinO sincp + i(cosOsincp + sinO coscp»

=

I z I I w I [cos(O

=

+ cp) + i sin (O + cp)].

4 •

6. Sia V uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 4, in cui sia fissata una base ortonormale e, e sia W il sottospazio generato dai vettori w,(l, 1, O, 1),

W2(1, -1, O, -1),

w3(3, 1, O, 1).

Determinare dim(W), trovarne una base ortonormale ed estendere tale base a una base ortonormale di V.

7. In ciascuno dei casi seguenti determinare una base ortonormale del sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori assegnati: a) (2, O, O, 1), (1, 2, 2, 3),

(lO, -1, --;-, O), (5,2,2, 5)

b) (-1, O, 1, 1), (2, 1, 1,4), (O, 1, 3,6)

2. Consideriamo lo spazio vettoriale R [X] dei polinomi a coefficienti reali in una indeterminata X. Per ogni f(X), g(X) ER [X] poniamo

c) (1, 1, -1, 1), (- 2, - 2,2, - 2), (2, 1, 1,2), (3, 1, 1, 1) d) (1, 1, O, -1), (- 2, 1,

V3,

5), (4, 4,

V3,

2), (- 6, - 3, O, 3).

8. Determinare una base ortonormale di R4 applicando il procedimento di Grarn-

1

... , an ) è ortogonale ad H. 2. In ciascuno dei casi seguenti calcolare la distanza del punto P dalla retta ~ in E a) P

16

= (l,

- 3),

~: 2X -

Y +1=O

b) P

= (1, 4), 4X -

3Y+7

= o.

2 :

242

3. Determinare equazioni cartesiane della retta .J-- di E 3 passante per il punto p == (1, O, -1), incidente la retta ~ di equazioni X + Y ~ 2 = 2 Y - Z = O e ad essa perpendicolare. 4. Determinare un'equazione del piano,lv di E 3 contenente la retta ~ di equazioni X-l Y- . 2 =Z , e ortogonale al plano . d· . 2 -=tV l equazIOne X + 2 Y + Z = O. 2 3 4 ()

5. Determinare equazioni cartesiane della retta e incidente perpendicolarmente la retta .J-- :X + 1 = Y - Z

~

3

:

2 = O=X- 5Y+2Z +2

.J--:2X- Y+Z+l=0=X-2Y+2Z-3. 8. Determinare equazioni cartesiane delle rette di E 3 contenenti il punto P = (1, 1, 1), parallele al piano,lv dì equazione: Y + V2Z - 1 = O, e formanti con l'asse X un angolo convesso uguale a 1l"/3. 9. In ciascuno dei seguenti casi, dopo aver verificato che le rette sghembe, trovarne distanza e perpendicolare comune: a) ~ :2X - Y - Z -1

~

ed .J-- di E 3 sono

= O = X + Y - 2Z

.J--:2X+ Y-Z+2=0= Y+3Z-2 b)

Sia V uno spazio vettoriale euclideo con prodotto scalare (, ). In questo paragrafo supporremo che V abbia dimensione finita. Un operatore T: V --+ V si dice unitario se (T(v), T(w»

= (v,

[20.1]

w)

per ogni v, w E V. A parole la condizione [20.1] si esprime dicendo che T preserva il prodotto scalare.

= X + Z.

7. Determinare il coseno dell'angolo convesso formato dalle due seguenti rette di E

:x- 3 Y+ Z -

20 Operatori unitari e isometrie

di E 3 passante per il punto P = (1,2, 1)

6. Determinare equazioni cartesiane della retta ~ di E 3 passante per il punto . X+l Z P = (3, 2, 1), perpendIcolare alla retta .J-- : - - = Y - 2 = - e incidente la 3 2 retta t: X - 3 Y - Z = X + 7 Y + Z - 6 = O. Calcolare la distanza tra ~ ed .J-- •

~

243

20/0peratori unitari e isometrie

Geometria euclidea

~: Y + X

- 3 = O =\X - Z + 1 .J--:x = 1 - l, Y = 3 + 3~ = 1 - 2l.

Sia T: V --+ V un'applicazione. Le seguenti condizioni sono

20.1 TEOREMA equivalenti:

1) 2) 3) 4)

T è un operatore unitario. T è un operatore tale che IIT(v)1I = IIvll per ogni vEV. T(O) = O e IIT(v) - T(w)II = IIv - wll per ogni v, wEV. T è un operatore, e per ogni base ortonormale {e p ••• , en } di V, (T(e,), ... ... , T(e n)} è una base ortonormale. 5) T è un operatore, ed esiste una base ortonormale {e" ..• , en } di V tale che (T(e,), ... , T(e n)} sia una base ortonormale. Dimostrazione L'implicazione (1) ~ (2) è ovvia, perché IIT(v)II Z = (T(v), T(v»

= (v,

v)

= IIvll z.

Per dimostrare (2) ~ (1) osserviamo che si ha, per ogni v, wEV: 4(v, w)

= (v + w, v + w) -

4 (T(v), T(w)

= (T(v)

lO. Determinare equazioni cartesiane delle circonferenze di E 2 di centro e raggio assegnati:

[20.2]

(v - w, v - w)

+ T(w),

T(v) + T(w) - (T(v) - T(w), T(v) - T(w».

[20.3]

Dalla linearità di T segue che il secondo membro della [20.3] è uguale a a) C= (3, - 4)

r=l

b) C= (1,2)

r=V2

c)C=(l,-l)

r=-. 2

1

11. Determinare centro e raggio delle circonferenze di E 2 di equazioni: a) X

2

+

y

2

-

6X + 8 Y = O

12. Sia E uno spazio euclideo. Dimostrare che un disco di E è un insieme convesso, e che una sfera non è convessa. Dimostrare inoltre che il centro di un disco, o di una sfera, è il suo unico centro di simmetria.

(T(v

+ w),

T(v

+ w)

- (T(v - w), T(v - w»,

il quale, poiché T soddisfa la (2), è uguale al secondo membro della [20.2]: quindi 4 (T(v), T(w» = 4(v, w), cioè T soddisfa la (1). (2) ~ (3) La dimostrazione è lasciata al lettore. (3) ~ (1) Per ogni vEV si ha Il T(v) Il

= Il T(v) -

OIl

= Il T(v) -

Esplicitando l'uguaglianza Il T(v) - T(w) Il Z = Il v -

W

II z

T(O) Il

= Il v -

OIl

=

IIv Il.

[20.4]

244

Geometria euclidea

per ogni

V,

w EV otteniamo

IIT(v)11

2

-

2 (T(v), T(w» + IIT(w) 11

2

=

IIvll

2

-

2(v, w) + IIw1l

2

lare standard delle loro coordinate, per la (5) del teorema 20.1 T è unitario se e solo se

•

A(i)' A(j) = oij

Utilizzando la [20.4] deduciamo che (T(v), T(w»

= (v,

[20.5]

w)

per ogni v, wEV. Per concludere è sufficiente dimostrare che T è lineare. Sia (e l , ••• , enl una base ortonormale di V. Dalla [20.5] segue che (T(e l ), ••• , T(e n) lè una base ortonormale, perché soddisfa (T(eJ, T(e) = (ei , e) = oij Per ogni v =

XI

per ogni 1 :o; i, j:o; n.

e l + ... + xnen si ha quindi

n

n

n

T(v) = E (T(v), T(eJ) T(eJ =E (v, e) T(eJ =.E xiT(eJ, i=1

245

20/0peratori unitari e isometrie

1=1

per ogni 1 :o; i, j:o; n, cioè se e solo se tAA corollario:

=

In' Quindi abbiamo il seguente

20.2 COROLLARIO Un operatore T: V --+ V è unitario se e solo se la matrice di T rispetto ad una qualsiasi base ortonormale di V è ortogonale. Pertanto, fissata una base ortonormale c di V, l'applicazione

Me: GL(V)--+GLn(R)

che associa ad ogni operatore T la sua matrice M.(T) rispetto ad c, induce un isomorfismo del gruppo O(V) sul gruppo O(n).

1=1

Si noti che un operatore unitario T: V --+ V soddisfa la condizione

cioè n

T( E xieJ i=1

n

= i=1 E Xi T(eJ,

e pertanto T è lineare. (1) => (4) La dimostrazione è lasciata al lettore. (4) => (5) Ovvio. (5) => (1) Sia (e l , ... , enl la base ortonormale la cui esistenza è affermata dalla (5). Siano v = XI e l + ... + xnem w = Yl e l + ... + ynen- Si ha (T(v), T(w» = (XI T(e l ) + ..• + XnT(e n), YI T(e l ) + ... + Yn T(e n» = = EijxiYj(T(eJ, T(e) = EixiYi= (v, w).

La condizione (3) del teorema 20.1 può essere considerata come una condizione sullo spazio euclideo Va' Essa infatti afferma che T lascia fisso il vettore Oe conserva la distanza tra vettori di V, senza supporre che T sia un' applicazione lineare. La condizione (2) del teorema afferma che T preserva la norma dei vettori. Dalla (2) segue subito che se T è unitario allora T(v) = O implica v = O, cioè N(T) = (O). Quindi un operatore unitario è invertibile. L'inverso T-I di un operatore unitario T è ancora unitario e la composizione dei due operatori unitari è ancora unitaria; la verifica è lasciata al lettore. Pertanto gli operatori unitari formano un sottogruppo di GL (V), che si chiama gruppo ortogonale di V, e si denota con O(V). Supponiamo che c = (e l , ... , enl sia una base ortonormale di V, e sia A = Me(T) la' matrice dell'operatore T rispetto a c. Poiché le colonne A(l)' ... ... , A(n) di A sono le coordinate di T(e l ), ••• , T(e n) rispetto a c, e poiché rispetto a una base ortonormale il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto sca-

det(T)

=

[20.6]

±1

perché ogni matrice ortogonale ha determinante uguale a ± 1. Gli operatori unitari T tali che det(T) = 1 costituiscono un sottogruppo di O(V), il cosiddetto gruppo ortogonale speciale di V, che denoteremo con SO (V). Gli elementi di SO (V) si dicono rotazioni di V. Dal corollario 20.2 segue immediatamente che, fissata una base ortonormale c di V, l'applicazione Me induce un isomorfismo di SO(V) su SO(n). Gli operatori unitari godono della seguente proprietà relativa agli autovalori. 20.3 PROPOSIZIONE Sia TE O(V). Se ÀE R è un autovalore di T, allora À = ± 1. Se A EO (n) e ÀE R è un autovalore di A, allora À = ± 1.

Dimostrazione La seconda affermazione segue dalla prima, tenuto conto del corollario 20.2. Supponiamo che ÀER sia un autovalore di T, e sia v EV un autovettore di À. Poiché T è unitario si ha Il v Il = Il T(v) Il = II"A, v Il = I À I Il v Il e quindi dev' essere I À I

=

1.

Una caratterizzazione degli operatori unitari, equivalente a quella del corollario 20.2 ma più intrinseca, si ottiene introducendo il concetto di "operatore aggiunto" o "trasposto" . 20.4 PROPOSIZIONE

Per ogni operatore F EEnd (V) esiste Un unico operatore

246

Geometria euclidea

G EEnd (V) tale che

(F(v), w)

= (v,

G(w»

[20.7]

Dimostrazione Per ogni wEV l'applicazione F w : V ~ R definita ponendo

= (F(v),

w)

per ogni vEV

è un funzionale lineare. Infatti si ha

Fw=

b~

oF,

247

e quindi

per ogni v, wEV. L'operatore G si dice trasposto o aggiunto di F.

Fw(v)

20/0peratori unitari e isometrie

per ogni UEV;

poiché b~ ed F sono entrambe lineari, anche F w lo è. Dato che il prodotto scalare (, ) è una forma bilineare non degenere, per la proposizione 15.6 esiste un unico G (w) EV tale che si abbia l'uguaglianza di funzionali lineari

[20.8]

tAy = By.

Poiché è vera per ogni y, la [20.8] ìmplica chetA = B. A parole: rispetto a una base ortonormale il trasposto di un operatore è quello rappresentato dalla matrice trasposta della matrice che rappresenta l'operatore. FEEnd(V) si dice operatore simmetrico (o autoaggiunto) se F= tF. Diremo invece F antisimmetrico se F = - tF. Da quanto abbiamo visto si deduce che F è un operatore simmetrico (antisimmetrico) se e solo se rispetto a una base ortonormale si rappresenta con una matrice simmetrica (antisimmetrica). Ora possiamo dare una nuova caratterizzazione degli operatori unitari: 20.5 PROPOSIZIONE tTo T= Iv.

Un operatore T: V ~ V è unitario se e solo se

F w = ( - , G(w»,

Dimostrazione T è unitario se e solo se per ogni v, w EV si ha

cioè tale che si abbia

Fw(v)

=

(v, G(w»

per ogni vEV.

(v, w) = (T(v), T(w» = (v, tT(T(w») = (v, CTo T) (w».

L'applicazione G: V ~ V così definita soddisfa la condizione [20.7] ed è evidentemente unica; per concludere ci resta da dimostrare che G è lineare. Siano wl' w2 EV e Cl' c2 ER; si ha, per ogni vEV, (v, G(CIWl + C2 w2» = FCIWl+C'W'(v) = (F(v), Cl Wl + c2 w2 ) = = cl(F(v), Wl) + c2 (F(v), w 2 ) = = Cl FW1(v) + c2F w,(V) = = cl(v, G(w l» + C2 (v, G(w2» = = (v, Cl G(w l) + c2 G(W2», e quindi G(ClW l + C2 W 2)

=

CIG(W 1) + c2 G(W 2). Pertanto G è lineare.

L'aggiunto di un operatore lineare F si denota solitamente con il simbolo tF. Dalla proprietà di simmetria del prodotto scalare segue subito che t CF) = F. Diremo anche che F e tF sono aggiunti (o trasposti) uno dell'altro. Il motivo della terminologia che abbiamo introdotto si spiega subito nel seguente modo. Supponiamo che e = {e l , ••• , en } sia una base ortonormale di V, e siano A = M.(F), B = M.CF). Allora, per ogni v = Xl e l + '" + xnen> w = Yl e l + ... ... + ynen si ha

(F(v), w) = (Ax).y = t(Ax) y =

tx~y

e

(F(v), w)

=

(v, G(w»

=

x·(By).

= x.(tAy).

Poiché quest'uguaglianza è valida per ogni v, w EV, si deve avere w = CTo T) (w)

per ogni wEV, cioè tTo T= Iv. La discussione precedente mostra che gli operatori unitari sono essenziamente gli isomorfismi che rispettano la struttura di spazio vettoriale euclideo. È naturale quindi utilizzare la nozione di operatore unitario per definire, in uno spazio euclideo, delle particolari affinità che sono compatibili con la struttura metrica. 20.6 DEFINIZIONE Sia E uno spazio euclideo su V. Un'affinitàf: E~E si dice isometria di E se l'automorfismo associato cp: V ~ V è un operatore unitario. L'identità lE' e più in generale ogni traslazione, è un'isometria perché l'isomorfismo associato è l'identità di V, che è un operatore unitario. La composizione di due isometrie è un'isometria perché l'automorfismo associato è unitario, essendo la composizione di due operatori unitari. Analogamente l'inversa di un'isometria è ancora un'isometria. Pertanto le isometrie di E costituiscono un sottogruppo di Aff(E), cioè un gruppo di trasformazioni affini di E, indicato con Isom(E) e denominato gruppo delle isometrie di E. I sottogruppi di Isom (E) si dicono gruppi di isometrie di E. Un'isometria f, con automorfismo associato cp, si dice diretta se det(cp) = 1,

Geometria euclidea

248

e inversa se det(cp) = -1. Le isometrie dirette costituiscono un sottogruppo, Isom +(E), di Isom(E). Le traslazioni sono particolari isometrie dirette, e quindi TE è un gruppo di isometrie dirette di E. Sia O EE, e consideriamo lo stabilizzatore Isom (E)o di O in Isom (E). Le isometrie dirette appartenenti a Isom(E)o si dicono rotazioni di centro O, e costituiscono il sottogruppo Isom(E)o n Isom +(E). L'isomorfismo :

249

20/0peratori unitari e isometrie

sometria se e solo se d(f(P), f(Q»

=

[20.12]

d(P, Q)

per ogni P, QE E. Dimostrazione Se f è un'isometria, con isomorfismo associato cp: V ~ V, allora ---~l

Aff(A)o~GL(V)

~

~

d(f(P),f(Q» = IIf(P)f(Q) Il = Il cp(PQ) Il = IIPQII =d(P, Q)

(cfr. esempio 14.6(2» induce isomorfismi: Isom (E)o ~ O (V)

[20.9]

Isom(E)o n Isom +(E) ~ SO(V).

perchè cp è un operatore unitario, e per il teorema 20.1(2). . Supponiamo viceversa che la condizione [20.12] sia soddisfatta. Fissiamo arbitrariamente un punto OE E e definiamo un'applicazione cp: V ~ V ponendo . )

~

Se si fissa anche una base e = (e" ... , en J di V, dal corollario 20.2 deduciamo che la composizione Me o induce isomorfismi:

cp(OP) =f(O)f(P). ~

Poiché ogni vettore vEV è della forma v = OP, l'applicazione cp è ben definita e tale che cp(O) = cp(OO) = f(O) f(O) = O. Inoltre, se v = OP, w = OQ, si ha ~)

Isom(E)o ~ O(n)

[20.10]

Isom(E)o n Isom +(E) ~ SO(n).

~

~

~

l

~

)

Il cp(v) - cp(w) Il = Il cp(OP) - cp(OQ) Il = IIf(O) f(P) - f(O) f(Q) Il =

In particolare il secondo isomorfismo identifica il gruppo delle rotazioni di centro O con quello delle matrici ortogonali speciali di ordine n. Dal teorema 14.8 e dal corollario 20.2 segue direttamente il seguente teorema: 20.7 TEOREMA Sia E uno spazio euclideo in cui sia assegnato un riferimento cartesiano Oe, ... en • OgnifElsom(E), con automorfismo associatocp, si esprime nella forma

l

~

= IIf(Q)f(P) Il = Il QPII = IIv

~

wll.

Dal teorema 20.1(3) segue che cp è un operatore unitario. Inoltre, poiché per ogni P, QEE si ha ~

cp(PQ)

_

~-+

=

cp(OQ - OP)

=

~

)

l

cp(OQ) - cp(OP) =f(O)f(Q) - f(O)f(P) =

l

=f(P)f(Q),

f è un'affinità con isomorfismo associato cp, e pertanto è un'isometria. con y=Ax +c,

[20.11]

dove c = t(c, ... cn) E Rn è il vettore delle coordinate di f(O), e A = Me(cp) EO (n) è la matrice di cp nella base e. Viceversa, ogni trasformazione f: E~ E della forma [20.11] per qualche A EO(n), cE Rn, è un'isometria. In particolare le isometrie (rispettivamente le isometrie dirette) di E n sono precisamente le affinità fA,c tali che A E O(n) (rispettivamente A E SO (n». Il seguente teorema fornisce una caratterizzazione geometrica delle isometrie analoga della condizione (3) del teorema 20.1. 20.8

TEOREMA

Sia E uno spazio euclideo. Un'applicazionef:

E~ E

è un 'i-

Il teorema 20.8 rende possibile lo studio delle isometrie in modo puramente geometrico. Il modo più efficiente per trovare gruppi di isometrie di uno spazio euclideo è quello di studiare le isometrie di una figura geometrica. Sia F C E una figura geometrica. Un'isometria fE Isom(E) tale che f(F) = F si dice isometria di F. È evidente che le isometrie di una figura F costituiscono un gruppo di trasformazioni di F che è un sottogruppo Isom(F) di Isom(E); esso viene chiamato gruppo delle isometrie di F. Ad esempio, se O EE, allora Isom (O)

=

Isom (E)o.

Se S(O, r) è la sfera di centro O e raggio r> O, allora Isom(S(O, r» = Isom(E)o'

[20.13]

250

Geometria euclidea

Infatti ognifEIsom(E)o trasforma S(O, r) in sé stessa, perché

r = d(O, P)

= d(f(O), f(P» = d(O, f(P»

e quindif(P)ES(O, r) per ogni PES(O, r); dunque fE Isom(S(O, r». Per dimostrare il viceversa, osserviamo preliminarmente che per due punti qualsiasi P, QES(O, r) si ha d(P, Q):5 d(P, O) + d(O, Q) = 2r e vale l'uguaglianza se e solo se R, 0, S sono allineati, cioè se e solo se Red S sono diametralmente opposti. Sia dunquefE Isom(S(O, r»: allora, scelti P, QES(O, r) diametralmente opposti, si deve avere d(f(P),j(Q» = 2r, sicchéf(P),j(Q)ES(O, r) sono ancora diametralmente opposti. Pertanto il punto medio del segmento PQ viene trasformato nel punto medio del segmento f(P)f(Q), che è ancora O. Quindi f(O) = 0, cioè fE Isom(E)o' Ciò conclude la dimostrazione della [20.13]. Lo studio dei gruppi di isometrie delle figure euclidee costituisce un capitolo classico e molto vasto della teoria d€i gruppi. Intuitivamente il concetto di isometria di una figura geometrica corrisponde a quello estetico e artistico di "simmetria". Più grande è Isom(F), più la figura è "simmetrica", cioè possiede "simmetria". Storicamente la nozione di gruppo astratto è stata preceduta da quella di gruppo di trasformazioni, ed in particolare di gruppo di isometrie. Alcuni esempi di gruppi di isometrie verranno dati nel paragrafo 21.

°

251

20/0peratori unitari e isometrie

ottenute componendo un numero finito di isometrie e di omotetie in tutti i modi possibili. Tali affinità si chiamano similitudini, e costituiscono un sottogruppo, Simil(E), di Aff(E). Infatti l'identità èun'omotetia, e quindi una similitudine. Inoltre la composizione di due similitudini

e, poiché T è simmetrico, si deduce che A(V, w> = /L(v, w>. Poiché A ;;t: /L, si deve avere (v, w> = O.

(v, T(w» = (v, /Lw> = /L(v, w>

Geometria euclidea

272

23//1 caso complesso

22.7 Complementi

273

Esercizi

1. Come abbiamo ricordato all'inizio di questo paragrafo, non tutte le matrici A EMn(K) sono simili a una matrice diagonale. Tale circostanza fa sorgere il problema di trovare una classe di matrici, da chiamarsi forme canoniche, il più possibile semplici, tra le quali rientrino le matrici diagonali come casi particolari, e tali che ogni classe di similitudine ne contenga una. Tali matrici, se esistessero, potrebbero essere prese come rappresentanti delle classi di similitudine, e quindi fornirne una classificazione esplicita. Tra tutte le soluzioni note di questo problema la più importante è la cosiddetta forma canonica di Jordan, a cui accenneremo brevemente, rinviando il lettore a testi specializzati di algebra lineare per le dimostrazioni (cfr. ad esempio [6]). Un blocco di Jordan di ordine n è una matrice n X n a elementi in K della forma

1. In ciascuno dei casi seguenti determinare una mati-ice M ESO (2) che diagonalizzi la matrice simmetrica assegnata: 5 b) ( -13

d)

O

1

O

a) q(xl> X2, X3) = 2x~

O

b)

O

5

(~ ~)

2. In ciascuno dei seguenti casi deteÌminare una trasformazione ortogonale di R 3 che diagonalizzi la forma quadratica assegnata:

A O A

-13 )

c)

+ 2XjX2 + 2XjX3 + 2xi + 2X2X3 + 2xi q(xl> X2' X3) = - 2XjX2 + 2XjX3 - 2xi - 2X2X3 - 2xi q(xl> X2' X3) = x~ + 4XjX3 - xi + xi

e trovarne la corrispondente forma diagonale.

O O

3. Dimostrare che se A EM n (R) è una matrice antisimmetrica, ogni radice non nulla del suo polinomio caratteristico è un numero complesso puramente immaginario.

per qualche AE K. Denoteremo un blocco di Jordan siffatto con il simbolo Jn,'I.· Una matrice A EMn(K) si dice in forma canonica di Jordan se è della forma seguente:

Jn,,'I.,

O

O

O

J n2 ,'l.2

O

O

O

Jnk,'l.

23

A= k

per opportuni interi positivi n p ... , nk tali che n l + ... + nk = n, e Al' ... , AkE K. Si dimostra facilmente che gli scalari Al' ... , Ak sono gli autovalori di A. Se, in particolare, k = n ed nj = 1 per ognij = 1, ... , n, allora A = diag (Al' ... ... , An) è una matrice diagonale. Si ha il seguente risultato:

Supponiamo K algebricamente chiuso. Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita, e sia T: V -> V un operatore. Esiste una base e di V tale che la matrice Me(T) sia in forma canonica di Jordan. TEOREMA DI JORDAN

n caso complesso

Abbiamo visto che in uno spazio vettoriale euclideo è possibile definire tutti i concetti di natura metrica della geometria euclidea utilizzando il prodotto scalare. In un campo K diverso da R in generale non ha senso parlare di positività e quindi non è possibile introdurre la nozione di prodotto scalare in uno spazio vettoriale su un campo qualsiasi. Nel caso K = C è però possibile aggirare questa difficoltà in un modo molto semplice, modificando la definizione di forma bilineare simmetrica in quella di "forma hermitiana" . 23.1 DEFINIZIONE Sia V uno spazio vettoriale su C. Un'applicazione h: V x V -> C è una forma hermitiana su V se soddisfa le seguenti condizioni: h(v+v / , w) = h(v, w)+h(v / , w) [23.1] h(v, w + w')

h(cv, w)

Una conseguenza immediata del teorema di Jordan è che ogni MEMn(K) è simile a una matrice in forma canonica di Jordan.

h(v, w)

18

=

=

h(v, w) + h(v, w')

c h(v, w)

= h(w,

v).

[23.2] [23.3] [23.4]

Geometria euclidea

274

La [23.1] e la [23.3], insieme, affermano che h(v, w) è C-lineare in v, mentre la [23.2] afferma che h(v, w) è additiva in w. Dalla [23.4] deduciamo che si ha h(v, cw) = h(cw, v) = ch(w, v) = ch(v, w).

[23.5]

La [23.2] e la [23.4] insieme ci dicono quindi che h(v, w) è antilineare in w (cfr. complemento 11.14(3». Dalla [23.4] segue anche che h(v, v)ER per ogni vEV. La forma hermitiana h si dice semidefinita positiva (semidefinita negativa) se h (v, v) 2: O (h (v, v) ::5 O) per ogni v EV; h si dice definita positiva (definita negativa) se h(v, v) > O (h(v, v) < O) per ogni v -:;é. O. Supponiamo che V abbia dimensione finita e sia e = lei' ... , en ) una sua base. Per ogni 1::5 i, j::5 n poniamo hij = h (ej , e). La matrice H= (hij) EMn(C)

è detta la matrice che rappresenta h rispetto alla base e. Per la [23.4] si ha -

hji = hij

per ogni 1 ::5 i, j::5 n,

ovvero H = tH.. Una matrice HEMn(C) tale che H = tH si dice hermitiana. Quindi la matrice che rappresenta una forma hermitiana rispetto a una qualunque base è una matrice hermitiana. Si noti che se la matrice H è hermitiana, allora in particolare hiiE R per ogni i = 1, ... , n. Se H è simmetrica a elementi reali, allora è hermitiana.. Come nel caso delle forme bilineari, la matrice di una forma hermitiana rispetto a una base e determina la forma. Infatti, per ogni [23.6] si ha h(v, w)

= h(xle l + ... + xne n, yle l + ... + Ynen) = = L. ijXJii h (e ej ) = txHy. j,

Viceversa, data una matrice hermitiana HEMn(C) e una base e di V, ponendo h(v, w) = txHy per ogni v, wEV come in [23.6], si definisce una forma hermitiana su V. La verifica è lasciata al lettore. Nel caso particolare in cui H è la matrice nulla, si ottiene corrispondentemente la forma hermitiana nulla: h (v, w) = O per ogni v, w EV. Molte definizioni e risultati dimostrati in precedenza per le forme bilineari simmetriche si estendono al caso delle forme hermitiane. Due vettori v, wEV si dicono ortogonali o perpendicolari se h (v, w) = O. Se S C V, definiamo S.L = I w EV: w è ortogonale ad ogni v ES)

23//1 caso complesso

275

e chiamiamo S.L sottospazio ortogonale a S; si verifica immediatamente che S.L è un sottospazio vettoriale di V. Una base e = lei' ... , en ) di V si dice diagonalizzanteo ortogonale per h se i vettori el' ... , en sono a due a dueottogonali.. 23.2 TEOREMA Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita maggiore di zero, e sia h unaforma hermitiana su V. Esiste in V una base diagonalizzante per h. Lasciamo allettare il compito di dimostrare il teorema 23.2 adattando opportunamente le dimostrazioni dell'analogo teorema 16.1. Il caso più importante che verrà esaminato è quello in cui h è definita positiva. Una forma hermitiana h definita positiva sarà anche chiamata prodotto hermitiano su V. Uno spazio vettoriale complesso su cui è assegnato un prodotto hermitiano si dice spazio vettoriale hermitiano. Ponendo [23.7]

cn,

si definisce un prodotto hermitiano su il prodotto hermitiano standard. La verifica del fatto che la [23.7] è un prodotto hermitiano è lasci~ta al lettore. dotato del prodotto hermitiano standard è detto n-spazio vettofiale hermitiano. Gli spazi vettoriali hermitiani sono l'analogo complesso degli spazi vettoriali euclidei e la teoria sviluppata in quel caso si generalizza ad essi con pochi cambiamenti. Ad esempio, in uno spazio vettoriale hermitiano le nozioni di norma, o lunghezza, di un vettore, di coefficiente di Fourier e di proiezione di un vettore lungo la direzione di un vettore non nullo si definiscono esattamente come in uno spazio euclideo. Conseguentemente la nozione di base ortonormale si dà come nel caso euclideo. Dal teorema 23.2 discende immediatamente l'esistenza di una base ortonormale, che si ottiene a partire da una base ortogonale normalizzandone gli elementi, cioè dividendo ogni vettore della base per la sua norma. Il procedimento di GramSchmidt si estende senza cambiamenti agli spazi vettoriali hermitiani. Fissiamo uno spazio vettoriale hermitiano V di dimensione finita, e denotiamo con (v, il prodotto hermitiano di due vettori. Se e = lei, ... , en ) è una base ortonormale di V, la matrice che rappresenta il prodotto hermitiano rispetto ad e è In' Pertanto il prodotto hermitiano di due vettori v = Xl e l + ... + xnen, w = YI e l + ... + Ynen è

cn

w>

(v,

w> =

t

xy,

cioè uguaglia il prodotto hermitiano standard delle loro coordinate. Anche la disuguaglianza di Schwarz si estende agli spazi vettoriali hermitiani, ma la dimostrazione è un po' diversa dal caso euclideo.

Geometria euclidea

276

23.3

TEOREMA (DISUGUAGLIANZA DI

SCHWARZ)

Per ogni v, wEV si ha

l(v,w>I:::;lIvllllwll

[23,8]

e vale l'uguaglianza se e solo se ve w sono paralleli. Dimostrazione Se w = O la [23.8] è ovvia. Possiamo quindi supporre w ,,: O. Per ogni a, b EC si ha O:::; (av + bw, av + bw> = (av, av> + (!!V, bw> + (bw, av> + 0w, bw> = = dii (v, v> + ab(v, w> + ab(w, v> + bb(w, w>.

23/Il caso complesso

277

Abbiamo il seguente risultato, del tutto simile al teorema 20.1, che caratterizza gli operatori unitari: 23.5 TEOREMA Sia T: V ---+ V un'applicazione. Le seguenti condizioni sono equivalenti: 1) T è un operatore unitario. 2) T è un operatore tale che Il T(v) Il = Il v Il per ogni v EV. 3) T(O) = O e IIT(v) - T(w)1I = IIv - wll per ogni v, wEV. 4) T è un operatore e per ogni base ortonormale {e 1, ... , enl di V, (T(e 1), ... ... , T(en)l è una base ortonormale. 5) T è un operatore ed esiste una base ortonormale (e 1, ••• , en l di V tale che (T(e 1), ... , T(e n) l sia una base ortonormale.

Sostituendo i valori a = (w, w> e b = - (v, w> si ottiene

Poiché (v, w> (v, w> = I(v, w> 12, si ha

La dimostrazione del teorema 23.5 ricalca esattamente quella del teorema 20.1, cui rinviamo il lettore. Si noti che dal teorema precedente segue che un operatore unitario T è invertibile, cioè TE GL(V).

IIwIl 2 1(v, w> 12 :::;lIw1l 4 11v1l 2 e dividendo per IIwll 2 si ottiene la [23.8]. L'uguaglianza è vera se e solo se av + bw = O, che è soddisfatta se e solo se v e w sono proporzionali. La norma dei vettori gode delle proprietà NI, N2, N3 (cfr. § 17). La NI è ovvia e la N2 segue dall'identità

(rv, rv> = I r 1 2 (v, v>. La N3 è la disuguaglianza triangolare e si dimostra nel seguente modo. Esplicitiamo Uv + wll 2 = (v + w, v + w> = (v, v> + (v, w> + (w, v> + (w, w> e osserviamo che

Utilizzando la [23.8] otteniamo quindi IIv+wIl 2 :::;lIvIl 2 +21(v, w>1 + IIw1l 2 :::; :::;lIvIl 2 +2I1vllllwll + IIwIl 2 =(lIvll + IIwll)2, cioè la N3. DEFINIZIONE

Dimostrazione 1) Sia v EV un autovettore relativo a À. Si ha (v, v> = (T(v), T(v» = (Àv, ÀV> = ÀÀ(v, v>. Poiché (v, v> ,,: O, dev'essere ÀÀ = 1, cioè I À I = 1. 2) Si ha (v, w> = (T(v), T(w» = (Àv, p,w> = À/i(v, w>.

(v, w> + (w, v> = (v, w> + (v, w> :::; 2 I(v, w> I.

23.4 dizione

23.6 COROLLARIO Sia T: V --+ V un operatore unitario. 1) Ogni autovalore À di T è tale· che I À I = 1. 2) Se v e w sono due autovettori relativi ad autovalori distinti À, p, rispettivamente, allora v e w sono perpendicolari.

Un operatore T: V --+ V si dice unitario se soddisfa la con-

(T(v), T(w» = (v, w>

per ogni v, wEV.

[23.9] -

-

Se (v, w> ,,: O, dalla [23.9] segue À/i = 1; ma si ha anche ÀÀ = 1, e quindi À = /i, cioè À = p" che è contro l'ipotesi. Gli operatori unitari sono strettamente in relazione con le matrici unitarie. 23.7 COROLLARIO Un operatore T: V --+ V è unitario se e solo se la matrice che rappresenta T in una qualunque base ortonormale di V è unitaria.

Dimostrazione Sia e = {ei' ... , enl una base ortonormale di V, e sia A = (ai) EMn(C) la

278

Geometria euclidea

matrice che rappresenta l'operatore T rispetto a e. Allora T è unitario se e solo se si ha Oij = (Ci' C) = (T(c i ), T(c)} = t.A(i)A u »

1 :5 i, j:5 n,

d--9ve A(l)' ... , A(n) sono le colonne di A. Pertanto abbiamo t.AA = In' ovvero 'AA = In' La principale differenza tra operatori unitari nel caso reale ed in quello complesso riguarda la loro diagonalizzabilità. Il risultato seguente vale infatti per gli operatori unitari complessi, ma non per quelli reali. 23.8 TEOREMA Sia T: V ~ V un operatore unitario, e supponiamo dim (V) = n 2: l. Esiste una base ortonormale di V che diagonalizza T.

Dimostrazione Per induzione su n. Se n = 1 non c'è niente da dimostrare. Supponiamo n 2: 2 e che il teorema sia vero per spazi di dimensione minore di n. Sia CI EV un autovettore di T e si~ À il relativo autovalore. Possiamo supporre Il CI Il = 1. Sia U = CI.L. Poiché ÀÀ = 1, per ogni u E U si ha

Quindi T trasforma U in sé stesso, e induce un operatore unitario

Tu:

U~U.

23lll caso complesso

279

Supponiamo che e = {CI> ••• , cn } sia una base ortonormale di V, e sia A la matrice che rappresenta un operatore hermitiano T rispetto a e. Si ha, per ogni v=xle l + ... +xncn> w=yle l + ... +Yncn:

(T(v), w}

= t(Ax)y= txt.Ay [23.10]

(v, T(w» = tx(Ay) = txAy

e quindi tx t.A -y = txAy-. Poiché quest'uguaglI·anza e' vera per ognI· x , y E cn , dev'essere t.A = A, cioè A è una matrice hermitiana. Se viceversa A EMn(C) è una qualsiasi matrice hermitiana e T è l'operatore rappresentato da A nella base ortonormale e, allora dalle [23.10] segue che T è hermitiano. Abbiamo pertanto la seguente proposizione: 23.11 PROPOSIZIONE Un operatore T: V ~ V è hermitiano se e solo se la matrice A che rappresenta T rispetto a una qualunque base ortonormale è una matrice hermitiana. Gli operatori hermitiani sono gli analoghi, per gli spazi vettoriali hermitiani, degli operatori simmetrici nel caso euclideo. Abbiamo la seguente estensione del lemma 22.1: 23.12 LEMMA reali.

Tutti gli autovalori di un operatore hermitiano T: V ~ V sono

Per l'ipotesi induttiva U possiede una base ortonormale {c z, ... , en } rispetto alla quale Tu è diagonale. Allora {CI' cz, ... , en } è una base ortonormale di V che diagonalizza T.

Dimostrazione Sia À E C un autovalore di T, e sia v E V un autovettore relativo a

Il teorema 23.8, tenuto conto del corollario 23.7, afferma in particolare la diagonalizzabilità di ogni matrice unitaria mediante una matrice unitaria. Precisamente si ha:

Poiché (v, v) :;t:. O, si deduce che

23.9 COROLLARIO Per ogni A EU(n) esiste MEU(n) tale che M-1AM sia diagonale, o, equivalentemente, tale che *MAM sia diagonale. Dal corollario segue in particolare la diagonalizzabilità di ogni matrice A EO(n). Si faccia però attenzione: una matrice ortogonale non è in generale diagonalizzabile per mezzo di matrici reali, perché non possiede, in generale, autovalori reali. Ad esempio le matrici ReE 0(2), O< e < 11", non hanno autovalori reali. 23.10 DEFINIZIONE condizione

(T(v), w}

=

Un operatore T: V ~ V si dice hermitiano se soddisfa la

(v, T(w»

per ogni v, wEV.

À(v, v} = (Àv, v) =

À.

Si ha

(T(v), v} = (v, T(v)} = (v, Àv) = I(v, v}. À =

L

Il teorema spettrale, che abbiamo dimostrato per gli operatori simmetrici, si estende a quelli hermitiani: 23.13 TEOREMA (SPETTRALE) Sia T: V ~ V un operatore hermitiano. Esiste una base ortonormale di V che diagonalizza T. La dimostrazione è identica a quella del teorema 22.2 e pertanto la omettiamo. 23.14 Complementi

Sia h: V x V ~ C una forma hermitiana sullo spazio vettoriale complesso V. Separando la parte reale da quella immaginaria, per ogni v, w E V possiamo scrivere

h(v, w)

=

s(v, w) + ia(v, w)

280

Geometria euclidea

con s(v, W), a(v, W) ER. Segue subito dalle [23.1] e [23.2] che s(v, w) e a(v, w) sono additive sia rispetto a v che a w. Inoltre, per ogni cER, v, WEV, si ha s(cv, w) + ia(cv, w) = h(cv, w) = ch(v, w) = cs(v, w) + ica(v, w) per la [23.3], e

23/l1 caso complesso

Dalla [23.11] segue che s individua a, mentrela [23.12] mostra che, d'altra parte, a individua s. Viceversa, data una forma R-bilineare simmetrica s: V x V ~ R soddisfacente la [23.13], ponendo h(v, w) = s(v, w)

s(v, cw) + ia(v, cw) = h(v, cw) = ch(v, w) = cs(v, w) + ica(v, w). Quindi s(v, w) e a(v, w) sono due forme bilineari su V considerato come uno spazio vettoriale reale. Per la [23.4] si ha anche s(w, v) + ia(w, v) = s(v, w) - ia(v, w)

281

+ is(v, iw)

si definisce una forma hermitiana h: V x V ~ C. Verifichiamo la [23.3] e la [23.4]. Si ha, per ogni c=a+ibEC, v, wEV: h(cv, w) = = = =

s(av, ah(v, ah(v, ah(v,

w) + is(av, iw) + s(ibv, w) + is(ibv, iw) = w) + b[s(iv, w) + is(iv, iw)] = w) + b[s(- v, iw) + is(v, w)] = w) + ibh(v, w) = ch(v, w)

e quindi e la [23.3] è soddisfatta. Inoltre s(w, v) = s(v, w)

+ is(w, iv) = s(v, w) + is(i v, w) = = s(v, w) + is(- v, iw) = h(v, w),

h(w, v) = s(w, v)

a(w, v) = - a(v, w)

per ogni v, w EV. Pertanto s:

e anche la [23.4] è verificata. In modo simile si dimostra che, data una forma R-bilineare antisimmetrica a: V x V ~ R soddisfacente la [23.14], ponendo

VxV~R

è una forma R-bilineare simmetrica, mentre

a:

h(v, w) = a(iv, w)

VxV~R

si definisce una forma hermitiana su V. Riassumendo possiamo dire che assegnare una forma hermitiana sullo spazio· vettoriale complesso V è equivalente ad assegnare su V una forma R-bilineare simmetrica soddisfacente la condizione [23.13], oppure una forma R-bilineare antisimmetrica soddisfacente la [23.14].

è un forma R-bilineare antisimmetrica. Inoltre, esplicitando le identità h(iv, w) = ih(v, w) h(v, iw) = - ih(v, w)

si ottiene

Esercizi

a(v, w) = - s(iv, w) = s(v, iw)

[23.11]

s(v, w) = a(iv, w) = - a(v, iw)

[23.12]

1. Stabilire quali delle seguenti sono forme hermitiane su C 2 : a)

per ogni v, w EV. Infine, esplicitando l'identità

c) e)

h(iv, iw) = h(v, w)

= XIYl + ix Y2 + ix2Yl = XIYl + 2ix Y2 - 2ix2Yl = XIYl + 2X2Y2o 1

1

b) d)

= =

2. Stabilire quali delle seguenti matrici sono hermitiane:

si ottiene s(iv, iw) = s(v, w)

[23.13]

a(iv, iw)=a(v, w)

[23.14]

per ogni v, wEV.

+ ia(v, w)

a)

(l

l-i

c)

C ~)

l:;)

b)

G ~)

d)

G -;)

iI l

x" I y11

+ XIYl + XIY2

Geometria euclidea

282

,) c

Capitolo 3 2

2

Geometria proiettiva

-2i

l-i

3. Utilizzando il procedimento di Gram-Schmidt, ortonormalizzare la seguente base di C 3 rispetto al prodotto hermitiano standard: b = {(i, - i, O), (O, i, O), (O, i, i) l.

4. Per ciascuna delle seguenti matrici hermitiane A determinare una matrice unitaria M tale che *MAM sia diagonale:

J

Y3

li a) ( -i

hl (

~

i )

_

~

24 Spazi proieitivi

La geometria euclidea studia proprietà che, nella loro formulazione e dimostrazione, fanno ricorso a misurazioni e a confronto di lunghezze e di angoli. Anche nella geometria affine reale si ricorre a misurazioni, sebbene le distanze si confrontino solo lungo rette parallele. Per diversi secoli la geometria è stata studiata esclusivamente da un punto di vista metrico, e solo in tempi relativamente recenti ci si è accorti che esistono proprietà geometriche che possono essere formulate senza ricorrere a misurazioni o al confronto di grandezze. Alcune di queste proprietà vengono studiate dalla "geometria proiettiva". Questa geometria ha le sue origini nelle regole della prospettiva, che gli artisti del Rinascimento (Brunelleschi, L.B. Alberti, Piero della Francesca e altri) studiarono scientificamente e utilizzarono in modo sistematico. Tali regole sono basate sull'idea di "punti di fuga", verso cui concorrono i ccmtorni degli oggetti così come essi appaiono da un punto di osservazione. Precursore della geometria proiettiva fu Girard Desargues (1593-1650), il quale per primo considerò rette e piani paralleli come casi particolari di rette e piani incidenti. La nascita della geometria proiettiva come una parte organica della matematica risale alla prima metà del secolo XIX con l'opera di Gaspard Monge (1746-1818) e di J.V. Poncelet (1788-1867). Gli spazi ambiente in cui essa viene studiata costituiscono un modello matematico astratto di spazio in cui valgono proprietà di natura grafica simili alle regole del disegno prospettico. Gli spazi proiettivi nascono dall'esigenza di una geometria da cui venga eliminata la nozione di parallelismo, che in geometria affine comporta il dover tenere conto di casi d'eccezione quando si considera l'intersezione di sottospazi. La geometria proiettiva consente inoltre di interpretare geometricamente e rendere più trasparenti certe parti dell'algebra lineare, come ad esempio la teoria dei sistemi di equazioni lineari omogenee.

24/Spazi proiettivi

Geometria proiettiva

284

24.1 DEFINIZIONE Sia V un K-spazio vettoriale di dimensione finita. Lo spazio proiettivo associato a V è l'insieme P (V) i cui elementi, chiamati punti di P (V), sono i sottospazi vettoriali di dimensione 1 di V. Se K = R (K = C), P (V) si dice spazio proiettivo reale (spazio proiettivo complesso). La dimensione di P (V) è definita come dim(V)-l e si denota con dim(P(V». Se ha dimensione 1 (dimensione 2), P (V) è una retta proiettiva (un piano proiettivo). Ogni v EV \ {Ol genera il sottospazio di V di dimensione uno

=

°

[XO,X I, ... , x n] = [YO'YI' ... ,Yn] se e solo se esiste À;é

°in K tale che Yj=

ÀX;,

i = 0, ... , n.

24.2 DEFINIZIONE Sia P = P (V) e sia (eo, ... , en l una base di V. Diremo che {eo, ... , en l definisce in P un sistema di coordinate omogenee (o un riferimento proiettivo). Tale sistema verrà denotato con eo ... en. Sia

v=xoeo+xle l + ... +xnenEV\{OI. Gli scalari x O' ... , x n si dicono coordinate omogenee del punto P = [v] EP rispetto al riferimento eo ••• en. Scriveremo P[xo, ... , x n] per denotare il punto PEP di coordinate omogenee x O' ... , x n. I punti

U[l, 1,

= [eo], ,1] = [eo + , O]

,

Fn[O, ... , 0, 1] = [e n],

+en ]

si diranno rispettivamente punti fondamentali e punto unità del riferimento eo ••• en •

=

[Àv], e

per ogni v EV \ {O}, À;é 0, le coordinate omogenee di un punto P = [v] EP rispetto a un dato riferimento proiettivo sono determinate da P solo a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. In altre parole, se xO' ••• , x n sono coordinate omogenee di P, lo sono anche ÀXo, .•• , ÀXn per ogni À ;é in K. Se invece della base {eo,"" en l di V si considera la base proporzionale (fleo, ... , flenl per un qualsiasi fl;é in K, si ha

°

°

[À, v: À E Kl;

quando lo considereremo come un punto di P (V) denoteremo questo sottospazio con il simbolo [v]. Due vettori v, wEV\ (01 definiscono lo stesso punto di P(V), cioè [v] = [w], se e solo se esiste ÀE K, À;é 0, tale che w = Àv. Se dim(V) = 0, cioè V = (O l, si ha P (V) = 0, perché V non possiede sottospazi di dimensione 1. Quindi, per.definizione, 0 è uno spazio proiettivo di dimensione -1. Se dim(V) = 1, P (V) possiede un solo punto, V stesso, e dim(P(V» = O: uno spazio proiettivo di dimensione consiste dunque di un solo punto. Gli esempi più importanti di spazi proiettivi si ottengono considerando V = Kn+ l. Lo spazio p(Kn+l) si denota con pn(K), o semplicemente con pn se non c'èpossibilità di equivoco. È uno spazio proiettivo di dimensione n, che si chiama l'nspazio proiettivo numerico. Per ogni (Xo'x l, ... , Xn);é (O, 0, ... , O) denoteremo con [XO,x I, ... , x n] il punto corrispondente di pn. Si ha

Fo[l, 0,

Poiché [v]

285

e flv

= Xo(fleo) + X1(flel) + ... + Xiflen)

per ogni vEV\ (O l. Dunque le coordinate omogenee di [v] = [flv] rispetto ai due riferimenti sono le stesse. Per questo motivo si considerano identici due sistemi di coordinate omogenee se sono definiti da basi di V proporzionali; in simboli

In p n il riferimento determinato dalla base canonica di Kn+ 1 si dice riferimento proiettivo standard. Rispetto ad esso le coordinate omogenee di P = [xo, ... , x n] sono x o, ... , Xm e si dicono coordinate omogenee standard di P. I punti fondamentali di questo riferimento sono [1,0, ... , O], ... , [O, ... , 0,1], e il punto unità è [1, ... , 1]. Un sottospazio vettoriale W di V definisce a sua volta uno spazio proiettivo P(W) contenuto in P = P (V) , che è detto sottospazio proiettivo (o sottospazio lineare) di P. In particolare P stesso è un sottospazio proiettivo (improprio) di sé stesso. Si ha dim[P(W)] = dim(W) -1, e quindi dim (P) - dim [P (W)]

=

dim (V) - dim (W);

il numero dim(P) - dim[P(W)] è detto codimensione di P(W) in P. I sottospazi di codimensione uno si dicono iperpiani. Se dim(P) = n, le rette ed i piani di P sono i sottospazi di codimensione n-l ed n - 2 rispettivamente. Nello spazio proiettivo P = P (V) supponiamo assegnato un sistema di coordinate omogenee eo ... en , e sia [24.1] un'equazione lineare omogenea nelle indeterminate X o, ••• , X n , ajE K, tale che (ao, ... , an ) ;é (O, ... , O).

Geometria proiettiva

286

In V la [24.1] rappresenta, rispetto alla base (eo' •.• , en ], un iperpiano vettoriale, cioè un sottospazio vettoriale H C V di codimensione 1. I punti P = [v] EP le cui coordinate omogenee soddisfano la [24.1] sono quelli tali che VEH, v;é. O, e quindi la [24.1] è soddisfatta dalle coordinate di tutti e soli i punti dell'iperpiano P(H) di P. La [24.1] è un'equazione cartesiana dell'iperpiano P(H). Si osservi che, poiché la [24.1] è un'equazione omogenea, una (n + l)-upla (xo, ... , x n) EKn+ l \ {O l è una sua soluzione se e solo se lo è (À,xo, ... , À,xn) per ogni À, ;é. O in K; quindi ha senso dire se le coordinate omogenee di un punto PE P soddisfano la [24.1] oppure no. Se 0:5 i:5 n, l'iperpiano di P di equazione cartesiana Xi = O è detto i-esimo iperpiano coordinato e consiste di tutti i punti la cui i-esima coordinata omogenea è uguale a O (questa condizione è indipendente dalla scelta della (n + 1)-upla di coordinate omogenee del punto). Gli iperpiani coordinati di p n , rispetto al riferimento proiettivo standard, si indicano con Ho, Hl' ....' Hno Si ha quindi H i = {[xo, "0' x n] Epn:

Xi =

Ol.

Ad esempio, ogni iperpiano di p l ha dimensione zero e pertanto consiste di un solo punto; in particolare Ho = {[O, 1] l, e Hl = {[I, O] l. Più in generale consideriamo un ·sistema di t equazioni lineari omogenee

[24.2]

24/Spazi proiettivi

287

cartesiane, nel riferimento eo ••• em rispettivamente i sistemi [24.3] [24.4] dove Aled A 2 sono matrici, rispettivamente t X (n + 1) ed s X (n + 1), a elementi in K e X = t(Xo ... X n ). L'intersezione P(W I) n P(W2) è ancora un sottospazio proiettivo, e precisamente [24.5] Infatti P(W I) n P(Wz} è il luogo dei punti le cui coordinate omogenee sono soluzioni di entrambi i sistemi [24.3], [24.4]; questo luogo coincide con P(W I n W2), e le equazioni dei sistemi [24.3], [24.4] costituiscono un suo sistema di equazioni cartesiane. Si ha in particolare P(W I) n P(Wz} = 0 se e solo se Wl n W 2 = H

definita da 7rp ,

H(Q) = L (P, Q) n H.

A parole, 7rP,H è l'applicazione che associa a un punto Q .,t. P il punto di intersezione di H con la retta congiungente P e Q. Per ogni sottoinsieme J di P tale che P~J si ha quindi 7rP,H(J) =

Hn Cp(J),

cioè 7rP,H(J) è l'intersezione con H del cono proiettante J da P. L'insieme 7r P ,H(J) viene chiamato proiezione di J da P in H.

Geometria proiettiva

292 N

Ad esempio, se in p si considerano l'iperpianoHo e P Q = [xo, Xl' ... , Xn] >é P si ha

= [l, O, ... , O], per ogni

Infatti la retta L (P, Q) consiste dei punti [A. + flXo, flX I , ... , flXn]' al variare di [A., fl] Ep l , e il punto 1rP ,Ho(Q) = Ho n L (P, Q) si ottiene in corrispondenza a [A., fl] = [- x o' 1]. L'operazione di proiettare un sottoinsieme di P in un iperpiano è la versione geometrica astratta dell'operazione grafica di rappresentare un oggetto tridimensionale J su di un piano H così come esso appare da un punto di osservazione P. Questa è la costruzione su cui si basa il disegno prospettico.

24.5 Esempi e osservazioni 1. Sia V un K-spazio vettoriale e - la relazione di equivalenza in V \ {O} così definita: v - w se e solo se v = A.W per qualche A.E K. Allora l'insieme quoziente [V\ (O}lI - è in corrispondenza biunivoca naturale con P(V). Infatti le classi di equivalenza in V\ {O} sono i sottospazi vettoriali di dimensione uno di V privati di O, e quindi ogni classe di equivalenza individua un elemento di P (V); viceversa, ogni elemento [v] EP(V) è una classe di equivalenza cui è stato aggiunto O, e quindi individua un elemento di [V\ {O}lI -. Per questo motivo si usa talvolta definire P (V) come [V \ {O}li - . 2. Un punto di pn, n ~ 1, è essenzialmente una (n + l)-upla ordinata di scalari non tutti nulli, assegnati a meno di un comune fattore di proporzionalità non nullo. Un sottospazio proiettivo di pn può vedersi come l'insieme delle soluzioni non banali, prese ognuna a meno di un fattore di proporzionalità, di un sistema di equazioni lineari omogenee in n + 1 incognite. La geometria proiettiva dei sottospazi di pn può quindi interpretarsi come lo studio delle proprietà degli insiemi di soluzioni non banali di sistemi di equazioni lineari omogenee in n + 1 incognite. 3. Se dim(P) = 3, i sottospazi proiettivi non vuoti di P sono, oltre ai punti e a P stesso, i piani e le rette. La seguente tabella mostra quali sono le intersezioni di due sottospazi di P che si trovano in posizione generale:

retta piano

retta

piano

o

punto retta

punto

Se dim(P) = 4 i sottospazi non vuoti di P sono, oltre ai punti e a P stesso, le rette, i piani, e gli iperpiani, che hanno dimensione 3. La seguente tabella mostra

24/Spazi proiettivi

293

le intersezioni di due sottospazi di P in posizione generale:

retta piano iperpiano

retta

piano

iperpiano

0 0 punto

0 punto retta

punto retta piano

4. Sia n la dimensione di p = P (V). Un riferimento proiettivo eo '" en di P determina gli n + 1 punti fondamentali Fo = [eo], F I = [ea, ... , Fn = [en ], e il punto unità U=[eo + ... +en]EP. È immediato verificare che i punti Fo, F I , ••• , Fn> U sono in posizione generale. Viceversa, assegnando una (n + 2)-upla ordinata di punti in posizione generale Po, P I , ••• , P n , NEP, esiste un unico sistema di coordinate omogenee di cui essi sono i punti fondamentali. Infatti consideriamo vettori va' ... , VnEV tali che [Vi] = P i , i = O, ... , n. Poiché Po, P I , ••• , P n sono linearmente indipendenti, {vo, ... , vn} è una base di V. Quindi, se scegliamo un vettore DEV tale che [D] = N, abbiamo 0=

A.oVo +

+ A.nVn

per opportuni A.o, , A.nEK, tutti diversi da zero per la condizione che P 0' P l' .... , Pn> N siano in posizione generale. Il sistema di coordinate (A.ovo) ... (A. nvn) ha le proprietà volute. La sua unicità segue da quella di A.o, ... , A.n• 5. Sia n ~ 1 e siano X o, XI' ... , X n indeterminate. Denotiamo con K[X o' Xl' ... , Xn]d' o piu brevemente con K[X]d' il K-spazio vettoriale i cui elementi sono il polinomio O ed i polinomi omogenei di grado d ~ 1 nelle indeterminate X o, XI' ... , X n· Gli elementi dello spazio proiettivo P(K[X]d) si chiamano ipersuperfici di grado d di pn. Lo spazio P (K [X]d) è il sistema lineare delle ipersuperfici di grado d di p n • Se F(X)EK[X]d' l'equazione F(X) = O

[24.12]

si dice equazione dell'ipersuperficie [F(X)] EP(K[X]d)' Per definizione, ogni altra equazione della stessa ipersuperficie è della forma aF(X)

=O

per qualche a EK*. Le ipersuperfici di grado d = 1, 2, 3, si dicono rispettivamente iperpiani, quadriche, cubiche ecc. Se n = 2 le ipersuperfici si chiamano curve algebriche piane, e verranno studiate nel capitolo 4. Se una (n + l)-upla di scalari non tutti nulli xo, xI> ... , x n è soluzione della [24.12], diremo che [xo, XI' ... , Xn]Epn è un punto dell'ipersuperficie di equazione [24.12]. Questa definizione è ben posta cioè non dipende dalla scelta della (n + l)-upla di coordinate omogenee del punto; infatti per una proprietà dei polinomi omogenei (cfr. proposizione A. 12), ogni

294

Geometria proiettiva

altra (n + l)-upla ad essa proporzionale À,xo, À,xI ,

••• ,

À,xn ,

À, :;t:

0, è soluzione della

[24.12].

6. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e sia l ::5 k::5 dim(V). La grassmanniana dei k-spazi di V è l'insieme i cui elementi sono i sottospazi vettoriali di dimensione k di V, e si denota con Gk(V). Se V = Kn la grassmanniana si denota di solito con G(k, n) anziché con Gk(Kn). Gli spazi proiettivi sono casi particolari di grassmanniane, essendo P (V) = G I (V). Le grassmanniane furono introdotte per la prima volta nel 1844 da H.G. Grassmann. In virtù della corrispondenza biunivoca esistente tra sottospazi vettoriali di dimensione k di uno spazio vettoriale V e sottospazi proiettivi di dimensione k - l di P (V), la grassmanniana Gk(V) può anche interpretarsi come l'insieme i cui elementi sono i sottospazi proiettivi di dimensione k -1 di P(V). L'esempio più semplice di grassmanniana che non è uno spazio proiettivo è G(2, 4), la grassmanniana delle rette di p 3 • È possibile rappresentare G(2, 4) come un'ipersuperficie quadrica di p 5 associando ad ogni retta di p 3 le sue "coordinate pliickeriane", nel modo seguente. Siano P[xo, XI' XZ, x 3], Q [Yo, YI' Y2' Y3] Ep3 due punti distinti e consideriamo la matrice [24.13]

24/Spazi proiettivi

295

Sostituendo nella [24.13] le coordinatexo' , XI' , x 2' ' 3 X' al posto dixo'· Xh X2' X3' e calcolando le nuove coordinate pliickeriane P~l> P~z, P~3' P(2,P(3' P{3' si trova Pii = ÀPij'

Similmente si procede se Q è sostituito da un altro punto Q' EL(P, Q). Pertanto possiamo affermare che il punto [POI , P 02' P 03' P 12' P 13' p] E pS 23 dipende solo dalla retta L (P, Q). Osserviamo che le coordiI);ate pliickeriane POI' Poz, P03' P12' P13' P23 della retta L (P, Q) soddisfano l'identità PO I P23 - P02P13

+ P03P12 = O.

[24.14]

Infatti il primo membro è il determinante Xo XI

Xz X3

Yo YI

Y2 Y3

Xo XI

x 2 X3

Yo YI

Y2 Y3

sviluppato secondo i minori delle prime due righe, con il metodo di Laplace, ed è nullo perché ha due righe uguali. Pertanto il punto [POI , P02 ' 0P3 ' P 12' P 13' p] 23 appartiene alla quadrica di p5 di equazione [24.15]

Poniamo, per ogni coppia di indici i, j tali che 0::5 i

P j(ÀoPo + Àj P j) = ÀoPj P o·

-- ----

L'equivalenza delle due condizioni [25.1] segue subito dall'identità vettoriale Àj POPI - ÀOP IP o = POPI' Si noti che, se Po=P j, allora ÀoPo + ÀIP j = P o = P I. Se invece Po:;;t. P j, allora ÀoPo + ÀIPj appartiene alla retta POPj; viceversa, sePEPOP I' allora~ = ÀM per qualche ÀE K, e quindi P = (1 - À)Po + ÀP I. Dunque ogni punto della retta POPI è della forma ÀoPo + Àj P 1 al variare di Ào, Àj EK tali che Ào + Àj = 1, i quali sono univocamente determinati dal punto. L'osservazione precedente può essere utilizzata per definire un K-spazio vettoriale V ponendo

V=

V U (K* x A)

Figura 25.4

Geometria proiettiva

304

e definendo le operazioni in V nel modo seguente:

(h, P) + (k, Q)

=

h+k _h_p+_k_Q) h+k {( ---+' h + k hQP

h (k, P)

=

(hk, P)

O(k, P)

= OEV

(h, P) + v

=

se

h

~

se

h+k~O

se

h+k=O

25/Geometria affine e geometria proiettiva

305

e si identifica in modo ovvio con A. Consideriamo lo spazio proiettivo P(V) e il suo iperpiano P (V). Dal teorema 25.1(2) segue che P (V)\P (V) è uno spazio affine su V e che si ha un isomorfismo

Identificando VI con A otteniamo una corrispondenza biunivoca

O

A U P (V) --+ P (V).

(h, Q)

con

[25.2]

---+

PQ = h-IV;

le operazioni in V sono quelle che vi sono già definite. Lasciamo al lettore il compito di verificare che V è un K-spazio vettoriale. V è chiamato spazio vettoriale universale di A. 25.3 LEMMA Sia (e l , ... , enl Ulla base di Ve sia OEA. Per ogni hEK*, (h, O),e p ••• , enl è una base di V; in particolare dim(V) = dim(V) + 1.

Dimostrazione Supponendo che

Dalla costruzione fatta segue che la biezione [25.2] è univocamente determinata da A. Ciò giustifica il considerare P (V) uguale ad A U P (V) per mezzo della [25.2]. Quindi A U P (V).è uno spazio proiettivo, di cui P (V) è un iperpiano. Nel caso in cui A è la retta ordinaria e V è lo spazio dei suoi vettori geometrici, p (V) è un punto e A U P (V) è una retta proiettiva reale che si chiama retta ordinaria ampliata. Similmente, se A è il piano ordinario (lo spazio ordinario) e V è lo spazio dei suoi vettori geometrici, A U P (V) è un piano proiettivo reale (uno spazio proiettivo reale di dimensione 3) che si chiama piano ordinario ampliato (spazio ordinario ampliato).

25.4 Esempi e osservazioni si ha

a(h, O)

= -

1. Un modello geometrico di PI(C) può essere ottenuto per mezzo di un'applicazione chiamata "proiezione stereografica". Consideriamo in E 3 , con coordinate x, y, z, il piano ft di equazione Z = O e la sfera S2 di centro l'origine e raggio 1, e denotiamo con N il punto (O, O, l)E S2. Per ogni P(x' , y', z') ES2\ (N} denotiamo con a(P) il punto di ft allineato con N e con P. Si ottiene così una corrispondenza biunivoca

(ale l + ... + anen)EV

e pertanto a = o. Di qui

a2 = ... = an = O per l'indipendenza lineare di e l , ... , en • Quindi en sono linearmente indipendenti. Per dimostrare che (h, O), e l, ... , en generano V si consideri un elemento qualsiasi (k, P) EK* x A. Si ha e anche al

(h, O), e p

=

a: S2\ (N} --+ft '

••• ,

chiamata proiezione stereografica di S2 suft (fig. 25.5). Poiché la retta NP ha equazioni parametriche

(k, P)=kh-I(h, O)+ale l + ... +anen, dove al' a2 ,

••• ,

x=x't,

y=y't,

z=(z'-l)t+l,

anE K sono definiti dalla condizione

---+

OP=k-l(ale l + ... +anen)· Poiché anche V = (e l, ... , en ) C «h, O), e p «h, O), e p

••• ,

en ) =

N ••• ,

en ), si ha

V.

V è un sottospazio vettoriale di V. L'iperpiano affine VI giacitura V, perché è della forma

= (l}

x A di V ha

VI = ((1, O) + v: VEV},

Figura 25.5

20

Geometria proiettiva

306

si ha

- (XI a(x ' , y', Z/)=jvnNP= - - , -y'- , O) • 1- z'

1- Z'

a è un'applicazione biunivoca perché possiede l'inversa: 2

2

2u 2v u + v -1 ) a-I(u, v, O) = . , , . ( u2 + v2 + 1 2 2 u +v +1 u2 + v2 + l

L'applicazione a consente di rappresentare la sfera S2 come il piano jv cui è stato aggiunto il punto N, il quale può interpretarsi come "punto all'infinito" di jv, perché all'allontanarsi di QEjv dall'origine O, cioè al tendere di lIoQ"lI all'infinito, a-I(Q) si avviciila a N. Se identifichiamo jv con C, facendo corrispondere al punto (u, v, O) il numero complesso z = u + iv, otteniamo un'applicazione biunivoca

a: S2--+ PI(C) in cui a(N)

=

00

=

h: I: '--+ SO (3)

ponendo

x'

,y'

=---+ 1---= 1-z '

1-z '

x' +iy' 1-z '

se x -;é. O se z'-;é.1.

2. Un'ulteriore descrizione geometrica degli spazi pn = pn(R) può essere data nel modo seguente. Identifichiamo pn(R) con l'insieme i cui elementi sono le rette per l'origine di En+l, e consideriamo la sfera sn C En+I, di centro l'origine e raggio 1. Definiamo un'applicazione k:sn--+pn

ponendo retta per l'origine che contiene x.

Poiché ogni retta ~ passante per l'origine incontra sn in due punti simmetrici rispetto ad essa (cioè antipodali o diametralmente opposti) {x, - x}, l'applicazione k è suriettiva, e tale che k -I (~) consiste di due punti per ogni ~ Epn. k fa dunque corrispondere biunivocamente pn(R) all'insieme i cui elementi sono le coppie di punti antipodali {x, - x} di sn; in altri termini, possiamo rappresentarci pn (R) come l'insieme quoziente sn/ ==, dove x == y se e solo se y = - x. Un altro modello di pn(R) si ottiene considerando il semispazio E di En+1 definito dalla condizione X o 2: O, e la restrizione di k alla "semisfera" E' = sn n E. Sia M = E' n H, dove H è l'iperpiano di equazione X o = O. Le rette ~ di En+1 passanti per l'origine che non sono contenute nell'iperpiano H, cioè tali che ~~Ho' incontrano E' in un solo punto; se invece ~EHo' allora ~ n E è una coppia di punti antipodali appartenenti a M. I

I

C U {oo}

La sfera fornisce in questo modo un modello geometrico di pl(C), chiamat,o sfera di Riemann.

=

307

L'applicazione k induce pertanto una biezione di E' \M su pn\Ho; inoltre k' induce una applicazione di M su Ho in cui due punti hanno la stessa immagine se e solo se sono diametralmente opposti. pn (R) può essere dunque rappresentato come l'insieme che si ottiene da E facendo coincidere tra loro punti diametralmente opposti di M. Nel caso n = 1, E' è una sernicirconferenza, e pl si ottiene da essa "incollandone" gli estremi (fig. 25.6). La figura 25.7 si riferisce al caso n = 2. Nel caso n = 3 l'applicazione k induce una biezione di P3(R) su SO(3). Per dimostrarlo utilizzeremo l'applicazione p:S2 x [O, 'lr] --+ SO (3) descritta nella proposizione 21.6. Denotiamo con k/: I: ,--+ p3 la restrizione di k, e definiamo un'applicazione

e

a(x' , y', Z/)

k(x)

25/Geometria affine e geometria proiettiva

se x

=

O

dove x = t(x i x 2 x 3 ). Si noti che h è ben definita perché 0:5 IIxll :51. La restrizione di h a E' \M è biunivoca, perché 1Ix11 < 1 se (t,XI' X 2 , x 3) EE ' \M. Dalle proprietà di p segue che su M si ha h(O, XI' X 2,

x 3)

= h(O, YI' Y2' Y3)

se e solo se (yl' Y2' Y3) = (- XI' - X 2, - x 3). Confrontando con l'applicazione k' , vediamo che h induce una biezione P3(R) --+ SO(3). 3. Un altro modo di descrivere pl (R) si ottiene considerando la circonferenza C C E 2 di raggio 1 e centro nel punto (1, O) (fig. 25.8). Le rette per l'origine diverse dall'asse X o = O (cioè quelle che rappresentano i punti di PI(R)\ (Ho}) incontrano C in due punti, di cui uno è (O, O) e l'altro è variabile; invece la retta X o = O incontra C solo in (O, O). Facendo corrispondere alla retta ~ variabile la sua intersezione ')'(~) con C, diversa da (O, O), si definisce una corrispondenza biunivoca ')': pl(R)\{Ho} --+C\{{O, O)}.

Ponendo ')'(Ho) = (O, O), ')' si estende a una corrispondenza biunivoca ')':pl (R) --+ C. In questo modo si ottiene una circonferenza come modello geometrico di PI(R). 4. Denotiamo con Yl' ... , Yn le coordinate di un punto variabile in A n = A n(K), e con x o, XI' ... , xn le coordinate omogenee di un punto variabile in pn. Si consideri un iperpiano H di A n, di equazione [25.6]

Geometria proiettiva

308

25/Geometria affine e geometria proiettiva

309

E'

Figura 25.8

Figura 25.6

L'applicazione jo trasforma i punti di S nei punti propri del sottospazio pn di equazioni cartesiane

allXI + ... + alnXn + clXO =

S di

°

atl XI + ... + atnXn + ctXO = O. La verifica è simile al caso dell'iperpiano. Il sottospazio S si dice chiusura proiettiva (o proiettificazione) di S. Consideriamo llicuni casi particolari. Il caso n = 1 non è molto significativo, perché un sottospazio affine S>é- AI è ridotto a un punto, e S = j~(S). Quindi l'unico punto improprio di P I non è punto improprio di alcun sottospazio affine S>é-A I. Passiamo al caso n = 2. Sia ~ una retta di A 2 , di equazione

Figura 25.7

AX+BY+C=O.

[25.8]

L'applicazione jo: A ~ pn\Ho trasforma i punti di H nei punti propri dell'iperpiano H di pn di equazione

jo trasforma i punti di ~ nei punti propri di p2 appartenenti alla retta Z; di equazione

[25.7]

[25.9]

Infatti, se (YI' ... , yJ soddisfa la [25.6], allora [1, YI' ... , Yn] soddisfa la [25.7]. Viceversa, se [xo, XI' ... , x n] EH è un punto proprio, allora Xo >é- 0, [xo, XI' ... , x n] = = jo(x/xo, ... , xn/XO), e (x/xo, ... , xn/XO) soddisfa la [25.6]. H è la chiusura proiettiva (o proiettificazione) di H. Più in generale, si consideri un sottospazio affine S di A n, definito dal sistema di equazioni lineari

La retta [25.9] è la chiusura proiettiva di ~; essa consiste dei punti di jo(~) e del punto [0, - B, A], il suo punto improprio, che è la sua intersezione con la retta impropria Ho. Si osservi che (- B, A) è un vettore di direzione di ~. Ogni retta di p2 diversa dalla retta impropria, e quindi definita da un'equazione della forma [25.9] con (A, B) >é- (O, O), è la chiusura proiettiva di una retta di A 2 , precisamente della retta ~ di equazione [25.8]. Mediante la corrispondenza jo le rette di p2 passanti per un punto proprio jo(Q) sono le chiusure proiettive delle rette di A 2 del fascio proprio di centro Q. Invece le rette passanti per un punto improprio [0, I, m] sono tutte, meno una, le chiusure proiettive delle rette di A 2 del fascio improprio di direzione «(l, m).

allYI + ... +alnYn+cl=O

310

Geometria proiettiva

Fa eccezione la retta impropria, l'unica retta di pZ 'che non è la chiusura proiettiva di alcuna retta di AZ. Consideriamo ora il caso n = 3. Se ft è un piano di A 3 di equazione AX + BY + CZ + D = 0,

[25.10]

l'equazione AXI

+ BXz + CX3 + DXo =

°

[25.11]

ft

di ft in p3. _ definisce la chiusura proi~tiva I punti impropri di ft sono i punti della retta Ho n ft, ovvero [0, l, m, n] tali che I, m, n siano soluzioni non banali dell'equazione AXI

+ BXz +

punti

CX3 = 0,

cioè tali che (I, m, n) sia un vetto!e non nullo della giacitura di ft. In particolare l'insieme dei punti impropri di ft coincide con la retta P (W), dove W è la giacitura di ft. Se una retta ~ di A 3 ha equazioni cartesiane AX+BY+CZ+D=O,

[25.12]

AIX +BI Y+ CIZ +D I = 0,

la chiusura proiettiva di

~

è la retta

~

di p3 di equazioni cartesiane

+ BXz + CX3 + DXo =0, AIXI + BIXz + C I X 3 + DIXo = O.

AXI

[25.13]

Essa consiste dei punti dijo(~) e del suo punto improprio, che è [0, I, m, 11], dove (/, m, n) è un vettore di direzione di ~: infatti [0, I, m, n] è il punto improprio comune ai piani [25.13]. Ogni piano dip3 diverso da Ho è la chiusura proiettiva di un piano ft di A 3. Se una sua equazione è la [25.11], ft è il piano di equazione [25.10]. Nello stesso modo si vede che ogni retta di p3 non contenuta in Ho è la chiusura proiettiva di una retta ~ di A 3. I piani contenenti la retta data sono tutti e soli i proiettificati dei piani di A 3 del fascio di asse ~. Invece i piani che contengono una retta di p3 contenuta in Ho sono tutti, ad ed eccezione di Ho, proiettificati dei piani ft di A 3.appartenenti al fascio improprio di giacitura corrispondente alla retta impropria data. 5. Sia A uno spazio affine sul K-spazio vettoriale V. Dati punti Po, P I , ... ... + Àk = 1, resta univocamente determinato un punto, che denotiamo con ÀoPo + ÀIPI + ... + ÀkPk, dalla seguente condizione: ... , PkEA e scalari Ào, ÀI, ... , ÀkE K tali che Ào + ÀI +

[25.14]

25/Geometria affine e geometria proiettiva

311

È immediato verificare che la [25.14] è equivalente adognuna delle seguenti condizioni: ------------>.

Pj(ÀoPo + ÀIPI +

... + ÀkPk) =

-----'>

ÀoPjPO +

... +

~

~

+ Àj+IPjPj+1 + ...

Àj_IPjPj_1 ~

... + ÀkPjPk,

j

= 1, ... ,

k.

Per definizione il punto ÀoPo + ÀIP I + ... + ÀkPk appartiene al sottospazio affine POPI · .. P k; viceversa, ogni punto PEPoPI ... P k è della forma P = ÀoPo + ÀIPI + ... + ÀkPk per opportuni Ào, ÀI, ... ÀkE K tali che Ào + ÀI + ...

.. ' + À k = 1.

-----+

----+

-----+

Se Po, P I , ... , P k sono punti indipendenti, i vettori POPI' PoPz, ... , POPk sono linearmente indipendenti e pertanto Ào, ÀI, ... , Àk sono univocamente determinati dal punto ÀoPo + ÀIPI + ... + ÀkPk. Se, in particolare, k = n = dim(A), e Po, P I , ... , PnEA sono indipendenti, ogni punto PEA individua univocamente n + 1 scalari Ào, ÀI, ... , Àn tali che Ào + ÀI + ... + Àn = 1 e tali che P = ÀoPo + ÀIPI +

'" + ÀnPn.

Gli scalari Ào' ÀI, ... , Àn si dicono coordinate baricentriche di P rispetto a ... , P n· Si noti che ÀI, ... , Àn sono le coordinate di P nel riferimento affine -----'> Poe l ... en, doveej = POPj , e Ào = 1- ÀI - ... - Àn. Se Po, P I , ... , P k sono punti indipendenti, il punto

Po, P i ,

è detto baricentro di Po, P I , ... , P k. Se K = R il baricentro di due punti distinti P, Q è il punto medio del segmento PQ. Se K = R i punti della forma ÀoPo + À I P I + ... + ÀkPk, con Ào + ... + Àk = 1 e Ào' À1> ... , Àk ;::: 0, sono i punti del k-simplesso individuato da Po, P I , ... , P k· Le coordinate baricentriche furono introdotte per la prima volta nel 1827 da A. F. Moebius. 6. Le coordinate omogenee risultano utili anche in geometria euclidea, perché spesso permettono di esprimere in modo più semplice relazioni e grandezze metriche. Si considerino ad esempio una retta ~ di E 3 e due punti distinti (x, y, z) (x' , y', z') di ~. La chiusura proiettiva di ~ (rispetto ajo) ha coordinate pliickeriane: POI =x' -x,

Poz=y' -y,

P12=xy' -x'y,

P13=XZ'-X'z,

Denotiamole rispettivamente con I,

m,

n,

L,

M,

N,

P03=Z'-Z PZ3=YZ' -y'z.

312

Geometria proiettiva

e chiamiamole coordinate pluckeriane di ~. Dalla definizione segue che (l, m, n) è un vettore di direzione di ~,mentre (L, - M, N) = (x, y, z) 1\ (x' , y', z'). Sia ~' un'altra retta di E 3 avente coordinate pliickeriane l', m', n', L', M', N', e supponiamo che ~' non sia parallela a ~; Si ha IL'

h') =

d(~,v

+ LI' - (mM' + Mm') + nN' + Nn' 2

'Il

...J

ml Il m' + l'

l'

In particolare le rette IL'

2

~

ed

~'

nl n' +

2

m 1

m'

313

26/Dualità

26 Dualità Sia V un K-spazio vettoriale di· dimensione finita. Lo spazio proiettivo pv = p (VV), dove VV = Horn (V, K) è lo spazio vettoriale duale di V, si dice spazio proiettivo duale di P= P(V)o P e p hanno la stessa dimensione perché dim(V) = dim(V Per definizione, due funzionali F, F': V -+ K, entrambi non nulli, definiscono lo stesso elemento di p in simboli [F] = [F'], se e solo se F' = À,F per qualche À, -,é O. Poiché in tal caso si ha N (F) = N (F'), l'iperpiano ~ di V dipende solo dal punto [F] Ep Quindi si definisce un' applicazione,(~ettadi dualità, v

nl n'

V

)

•

v

sono incidenti se e solo se

,

+ LI' -(mM' +Mm')+nN' +Nn' =0.

v

•

La verifica di questi fatti è lasciata al lettore.

o: p

Esercizi 1. Determinare il punto improprio (rispetto a xo) di ciascuna delle seguenti rette di A 2 (C): a) 3X + Y

+1 = O 2iX + 3 Y + 9 = O Y+6=O

b) X - 2 Y -1 = O

c)

d) X

+1= O

e) f) X - 2 Y = O. 2. Determinare equazioni in coordinate omogenee di ciascuna delle rette considerate nell'esercizio precedente.

3. Determinare equazioni in coordinate non omogenee di ciascuna delle seguenti rette di p2: a) 7 X o - 4XI + X 2 = O b) 2XI - X 2 + iXo = O c) iXo + 2iX2

-

XI

d) (1 - i)Xo + 2X2

=O

= O.

4. Determinare coordinate omogenee del punto comune alle chiusure proiettive di ciascuna delle seguenti coppie di rette di A 2(C): a) 3X+iY+l=0,

b) - iX + (i

X-Y=O

+ 1) Y - 1 = O,

2 - 2X = O

c) X - 3 Y

= i,

X - 3 Y + 4 = O.

v

-+

""'V.A-~~F

[iperpiani di P l

ponendo o([F]) = P(N(F)). . oè iniettiva, perché due funzionali non nulli che hanno lo stesso nucleo sono v proporzionali e quindi definiscono lo stesso punto di p • Poiché ogni iperpiano di V è il nucleo di un funzionale lineare, oè anche suriettiva, e quindi è un'applicazione biunivoca. Essendo univocamente definita da P, oidentifica in modo intrinseco, cioè dipendente solo da P, l'insieme [iperpiani di P l con lo spazio proiettivo p v • In particolare opermette di considerare [iperpiani di P l come uno spazio proiettivo. Diremo che un numero finito di iperpiani Hl' H 2 , ••• , Hl di P sono linearmente indipendenti o viceversa linearmente dipendenti a seconda che i punti o- l (Hl)' o- l (H2 ) , ••• , o- l (Hl) di p siano linearmente indipendenti o linearmente dipendenti. Supponiamo fissata una base [eo, ••. , en l in V, e sia ['lJo, ••• , 'lJn l la base di VV duale di [eo, ... , en l, definita, lo ricordiamo, dalle condizioni 'lJ;(e) = 0ij'O :::; i, j:::; n. Il riferimento proiettivo 'lJo ... 'lJn di p si dice riferimento proiettivo duale del riferimento eo ••• en di P. I due sistemi di coordinate omogenee sono duali l'uno dell'altro. Sia H C P un iperpiano di equazione v

v

5. Determinare un'equazione cartesiana del piano di p3(R) passante per il punto [1, 1, O, 1] e per i punti impropri delle rette ~ ed J- di A 3 (R) di equazioni:

Z-:X + Y + Z -1

= 2X - Y -

Z

= O,

J- :2X - Y - 2Z + 1 = Y

6. Sia A uno spazio affine su V avente dimensione n, e siano Po, P h

+ Z -1 = O. ••• ,

Allora H

=

P (N (F)), dove FEV è il funzionale

PnEA punti

indipendenti. Dimostrare che a) {(1, Po), (1, P I ),

"0'

(1, P n)} è una base dello spazio universale

V;

e quindi H = o([F]). Gli scalari ao' al' an sono coordinate omogenee di [F] rispetto al riferimento proiettivo 'lJo ... TJn di p e vengono anche chiamati coordinate omogenee dell'iperpiano H. Denoteremo H anche con H[ao, ... , an ]. Gli iperpiani coordinati del riferimento eo •.• en sono le immagini tramite o o •• ,

v

b) se PE A ha coordinate baricentriche À-o, À" 0'0' Àn rispetto a Po, P h " 0 ' P n, allora Ào, À" . o., À n so~o le coordinate di (1, P) rispetto alla base {(1, Po), (1, P 1), 000' (1, P n )} di V.

Geometria proiettiva

314

dei punti fondamentali del riferimento duale Tlo

315

26/Dualità

~nnullano il primo membro della [26.2] Viceversa, sia H un iperpiano contenente S, di equazione:

Tln. Si ha cioè

o

Ho = Ho[l, O, ... , O] = 0([1]0])'

[26.3]

Sia S un sottospazio di P di dimensione k:5 n-l. L'insieme AI (S) i cui elementi sono gli iperpiani di P che contengono S si dice il sistema lineare di iperpiani di centro S. Se k = n - 2, AI (S) è un fascio di iperpianio Ad esempio se P è un piano e PE P è un suo punto, l'insieme delle rette che passano per P è un fascio di rette; se dim(p) = 3 ed t è una retta, AI (t) è un fascio di piani Queste nozioni sono simili a quelle di fascio di rette e fascio di piani studiate nel capitolo lo Se dim(p) = 3 e PE P è un suo punto, AI (P) è anche chiamato stella di piani. o

26.1 PROPOSIZIONE Supponiamo che il sottospaziò S di P abbia dimensione k, ed equazioni cartesiane

+ ali Xl azoXo + azlXI

+ +

aIOXO

+ alnXn + aznXn

= O

Il sistema [26.1] e quello costituito dalle equazioni [26.1] e dalla [26.3] sono equivalenti. Quindi la [26.3] è combinazione lineare delle equazioni [26.1], cioè è della forma [2602], come si voleva. Denotiamo con Hl' Hz, ... , H n- k gli n - k iperpiani definiti dalle equazioni del sistema [26.1]. Osserviamo che ogni iperpiano H definito dalla [26.2] ha coordinate omogenee che sono combinazioni lineari di quelle di Hl' Hz, .00' H n- k. Ciò significa che o-I (H) appartiene al sottospazio L(o -I (Hl)' o-I(Hz), 00" o-I (Hn- k)) di pVo Pertanto la propòsizione 26.1 afferma che

Poiché O-I (Hl)' O-I (Hz), ... , o-I(Hn_k) sono linearmente indipendenti, si deduce, in particolare, che o-I [Al (S)] è un sottospazio proiettivo di p di dimensione n - k - 1. Si ottiene così una corrispondenza tra sottospazi di dimensione k di P e sottospazi di dimensione n - k -} di p Questa corrispondenza è biunivoca perché un sistema lineare è individuato dal suo centro. Inoltre, se S C S', tra i sistemi lineari corrispondenti si ha l'inclusione opposta AI (S') C AI (S). Abbiamo pertanto il seguente teorema: v

v

•

=

O [26.1]

Sia dim(p) = n. L'applicazione o: p --> {iperpiani diP} definita più sopra è una biezione che fa corrispondere ad ogni sottospazio proiettivo di dimensione n - k - 1 di p un sistema lineare di iperpiani di P di centro un sottospazio proiettivo di dimensione k. Si ottiene in questo modo una corrispondenza biunivoca tra sottospazi di p e sottospazi di P che rovescia le inclusioni. 2602

che scriveremo in breve

v

TEOREMA

v

F I (Xo,

X n)

=

O

Fz(Xo, 00.' X n)

=

O

o •• ,

v

Se k = dim(S), allora n - k -1 è la dimensione del sistema lineare AI (S)o Ad esempio, i fasci di iperpiani di P hanno centro di dimensione n - 2, e pertanto hanno dimensione n - (n - 2) - 1 = 1, cioè corrispondono alle rette di p Se PE P, allora AI (P) ha dimensione n -1, cioè corrisponde a un iperpiano di p Otteniamo così una corrispondenza biunivoca: v

•

Allora il sistema lineare AI (S) consiste degli iperpiani di equazione

v

ÀIFI(Xo, " 0 ' X n) + ÀzFz(Xo, ... , X n) + ... + Àn-kFn-k(XO' 000' X n) = O, o ••

•

[26.2]

dove Àp Àz, '00' Àn_kE K sono scalari non tutti uguali a O. Dimostrazione Ogni iperpiano della forma [26.2] appartiene a AI (S), cioè contiene S, perché le coordinate di ogni punto di S annullano i polinomi F I , F z, 00" Fn- k e quindi

ov:

P --> {iperpiani di P P ...... AI (P)

V

[26.4]

}

(per ulteriori informazioni sull'applicazione oV, cfr. 2605). Si ha dim [AI (S)] = n se e solo se AI (S) = p e ciò avviene se e solo se S = 0. Diremo p = AI (0) il sistema lineare improprio. v

,

v

316

Geometria proiettiva

26.3 Esempi 1. Sia P un piano e sia P EP. Ogni retta del fascio AI (P) si può esprimere come combinazione lineare di due rette distinte z" ~ passanti per P. Se z, ed ~ sono assegnate mediante equazioni cartesiane:

aoXo + alXI + azXz = 0,

per z"

boXo + bi XI + bzXz = 0,

per~,

ogni altra retta di AI (P) ha equazione À(aoXo + alXI + azXz) + p, (boXo + blXI + bzXz) =

26/Dualità

317

proposizione vera che riguarda configurazioni di punti, iperpiani e loro incidenze una nuova proposizione, ancora vera, riguardante le configurazioni duali di iperpiani, punti e loro incidenze, come espresso dal seguente principio di dualità: Ad ogni proposizione vera riguardante punti e iperpiani di P e loro incidenze corrisponde una proposizione ancora vera riguardante iperpiani e punti di P e loro incidenze, che si ottiene dalla precedente scambiando tra loro le parole "punto" e "iperpiano". Le due proposizioni si dicono duali l'una dell'altra. Una coppia di proposizioni duali è la seguente:

°

con (À, p,) 7":- (O, O). Se z, è una retta di P, il sistema lineare AI (z,) ha dimensione 0, ed z, è il suo unico elemento. 2. Supponiamo che dim (P) = 3. Se P EP, il sistema lineare AI (P), la stella di centro P, ha dimensione 2. Se invece z, C P è una retta, AI (z,) è un fascio di piani e quindi ha dimensione 1. Infine, se /V C P è un piano, AI (jv) ha dimensione 0, e consiste del solo piano /V. In particolare, a punti, rette e piani di P corrispondono rispettivamente piani, rette e punti di p v

•

Siano P[xo, ... , Xn]EP eH[ao, ... , an] un iperpiano di P. La condizione che PEH, cioè che P e H siano incidenti, è equivalente alla seguente identità:

n punti indipendenti generano un iperpiano

Per riconoscere che le due proposizioni sono duali, le possiamo così riformulare: la prima afferma che esiste un unico iperpiano incidente n punti indipendenti, mentre la seconda afferma che esiste un unico punto incidente n iperpiani indipendenti. Secondo il principio di dualità, dal fatto che la prima proposizione è vera discende che lo è anche la seconda. Ovviamente in questo caso noi già sappiamo che entrambe le proposizioni sono vere senza dover ricorrere al principio di dualità; ma ciò non sempre avviene, e il principio fornisce in generale un modo di dedurre nuove proposizioni geometriche. Similmente possiamo riconoscere che le due seguenti proposizioni sono duali: Due punti distinti generano una retta.

[26.5] Fissati ao' al' ... , ano la [26.5] è una condizione sulle coordinate di punto, soddisfatta da tutti e soli i punti P[xo, ... , x n]EH. D'altra parte, se teniamo fissi x o, XI' ... , Xno la [26.5] si può considerare come una condizione sulle coordinate di iperpiano, che è soddisfatta da tutti e soli gli iperpiani H EAI (P). Supponiamo assegnata una configurazione di punti e di iperpiani di P, in modo che certe relazioni di incidenza tra di essi siano soddisfatte. Tali relazioni si esprimono come identità della forma [26.5] nelle coordinate dei punti e degli iperpiani della configurazione stessa. Se le coordinate di ogni punto della configurazione si interpretano come coordinate di iperpiano, e quelle di ogni iperpiano della stessa come coordinate di punto, si ottiene una nuova configurazione di punti e di iperpiani che viene chiamata configurazione duale della precedente. I suoi punti e i suoi iperpiani si diranno duali dei corrispondenti iperpiani e punti della configurazione di partenza. Poiché la [26.5] è simmetrica nelle coordinate di punto e di iperpiano, tutte le incidenze che sono soddisfatte dai punti e dagli iperpiani della configurazione data sono anche verificate dai corrispondenti elementi della configurazione duale. Possiamo utilizzare questa osservazione per ottenere da ogni

n iperpiani indipendenti hanno in comune un punto.

Due iperpiani distinti hanno per intersezione un sottospazio di codimensione 2.

La prima proposizione afferma che esistono n - 2 iperpiani indipendenti incidenti due punti distinti (e la cui intersezione è la retta da essi generata), mentre la seconda afferma che esistono n - 2 punti indipendenti che sono incidenti due iperpiani distinti. Una proposizione si dice autoduale se coincide con la sua duale. Dimostreremo un teorema classico riguardante le configurazioni di rette e di punti in un piano proiettivo, il teorema di Desargues, la cui versione affine è stata dimostrata nel paragrafo 9. 26.4 TEOREMA (DI DESARGUES-VERSIONE PROIETTNA) Sia P = P (V) un piano proiettivo e siano P I, ... , P 6 EP punti distinti tali che le tre rette L (P I, P 4 ), L (Pz, Ps), L(P3 , P 6 ) abbiano in comune un punto Po, diverso da P I, ... , P 6 • In tali ipotesi i punti L(Pl' P 3)

n L (P

4,

P6),

sono allineati (fig. 26.1).

L(Pz, P 3)

n L(Ps,

P 6),

L(PI , P z) n L (P4 , P s)

318

Geometria proiettiva

319

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

26.5 Complementi Sia P = P(V). Lo spazio proiettivo (P7, duale di p coincide con spazio proiettivo P (VVV) associato al biduale di V, esi dice spazio proiettivo biduale di P. L'isomorfismo canonico (3: V -+ VVv di V sul suo biduale induce una corrispondenza biunivoca b: P-+ (pvr, che associa ad ogni P = [v] EP il punto [(3 (v)] E(P7. Consideriamo l'applicazione di dualità di p v

,

v

:

o' :(PT -+ {iperpiani di

P

V }

e la composizione

o' o b:

P -+ {iperpiani di P

V }.

È facile vedere che o' ob coincide con l'applicazione oV definita dalla [26.4]. Se infatti P= [v] EP, allora, poiché (3 (v)(F) = F(v) per ogni FE VV, si ha

(o'ob)(P)

= o' ([(3 (v)]) = =

([F]Ep

v :

([F]Ep FEN((3(v»} = F(v) = O} = AI (P) = OV(P). v

:

Figura 26.1

Esercizi 1. Dimostrare che, se S ed S' sono due sottospazi proiettivi di P, allora A1(S) n A1(S') = A1(L(S, S'».

Dimostrazione Siano vo, VI' ... , V6 EV tali che P i = [vJ, i = 1, ... , 6. Per ipotesi esistono scalari al' ... , a 6 EK tali che

2. Sia dim(P) = 3. Formulare la duale di ognuna delle seguenti proposizioni: a) Dato un punto e una retta che non lo contiene, esiste un unico piano contenente entrambi. b) Due rette incidenti sono complanari.

Poiché P o è diverso da P I , ••• , P 6 , gli al' ... , a 6 sono tutti diversi da zero. I tre punti L (P I , P 3) n L (P4 , P 6 ), L (Pz, P 3) n (Ps, P 6), L (PI' P z) n L (P4 , P s) sono rispettivamente associati ai vettori

c) Date comunque due rette sghembe ed un punto fuori di entrambe, esiste un'unica retta contenente il punto e incidente le due rette date. d) Assegnati comunque tre punti linearmente indipendenti, esistono tre rette distinte ognuna delle quali ne contiene due.

alvI - a 3 v3 = - a 4 v4 + a 6v6 -azvz + a 3 v 3 = asv s - a 6 v 6

- al VI + azvz = a 4 v4 - asv s' Questi tre vettori sono linearmente dipendenti perché la loro somma è O, e quindi i tre punti corrispondenti sono allineati. Il teorema 26.4 si può anche enunciare così: sotto le ipotesi dette, sono allineati i tre punti di intersezione delle coppie di lati ordinatamente corrispondenti dei due triangoli di vertici P I , P z, P 3 e P 4 , P s, P 6 • Lasciamo al lettore il compito di verificare che il teorema di Desargues è autoduale.

27 Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività Siano V un K-spazio vettoriale di dimensione finita e P = P (V) lo spazio proiettivo associato, e sia dim(P) = n. Supponiamo assegnati due riferimenti proiettivi in P, rispettivamente dalle basi e = reo, e l , ... , en } ed f= {fo' f l , ... , f n } di V, e sia A = M[,e(lv)EGLn+I(K) la matrice che esprime il cambiamento di coordinate dei vettori di V dalla base e alla base f. Si ha

y=Ax

[27.1]

320

Geometria proiettiva

per ogni vettore

di V. Sia P = [v] EP. Se x = I(XO XI... x n) si interpreta come una (n + I)-pIa di coordinate omogenee di P nel riferimento proiettivo eo ••. en , una (n + l)-upla di coordinate omogenee di P, nel riferimento f o ••• fn' è y = l(yo YI ... Yn) data dalla [27.1]. Osserviamo che se x viene sostituita da una (n + 1)-upla proporzionale À.x, cioè da un'altra (n + l)-upla di coorcjinate omogenee dello stesso punto P nel riferimento eo ••• em si ottiene al posto di y la (n + 1)-upla À. y, che rappresenta ancora P nel riferimento f o ••. fn. La matrice A non è univocamente determinata dai due riferimenti proiettivi assegnati, perché questi individuano le due basi e ed f di V solo a meno di un fattore di proporzionalità. Una diversa scelta delle due basi avrà l'effetto di sostituire A con una matrice ad essa proporzionale aA, a ~ 0, dalla quale si otterrà una formula analoga alla [27.1]: y=aAx.

27.1 PROPOSIZIONE Siano eo ••• en ed f o ••• f n due riferimenti proiettivi in P. Esiste una matrice A EGL n + I (K), individuata solo a meno di un fattore di proporzionalità non nullo, tale che, se PE P ha coordinate omogenee x nel riferimento eo ••• em allora coordinate omogenee y di P nel riferimento f o ••• f n sono date dalla formula [27.1]. La [27.1] è laformula del cambiamento di coordinate omogenee dal riferimento al riferimento f o ••• fn. Siano eo ... em f o ... f m go ... gn riferimenti proiettivi in P, corrispondenti a coordinate omogenee di punto x, y, Z, e siano y = A x, e Z = By le formule che esprimono i rispettivi cambiamenti di coordinate omogenee di punto. Sostituendo nella seconda il valore di y dato dalla prima si ottiene la formula eo ••• en

= (BA)x

che esprime il cambiamento di coordinate omogenee da eo .•• en a go ... gn. La formula

321

Supponiamo fissato in P un riferimento proiettivo eo ••• en • In pratica un nuoVO riferimento proiettivo viene spesso assegnato mediante una (n + 2)-upla ordinata

di punti in posizione generale (cfr. esempio 24.5(4». Siano À.o' ••• , À.nE K tali che si abbia À.o(Poo, ... , POn)

+ ... + À.n(PnO'

... , Pnn)

= (mo,

... , m n)·

Allora la formula del cambiamento di coordinate dal riferimento riferimento è la [27.1] in cui A = B-1, dove À.oPoo

À.nPnO

À.OPOI

À.nPn I

eo ... en al nuovo

B=

[27.2]

È evidente che la [27.2] e la [27.1] sono equivalenti perché, date coordinate omogenee x di un punto PE P nel riferimento eo ... en , entrambe forniscono coordinate omogenee y di P nel riferimento f o ••• fn. Quanto fin qui detto è riassunto nella seguente proposizione:

Z

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

À.nPnn

Infatti i vettori di V le cui coordinate rispetto a {eo, ... , en J sono le colonne di B costituiscono una base di V che individua il nuovo riferimento. Quindi B è la matrice che esprime il cambiamento di coordinate inverso, cioè quello che fa passare dal riferimento individuato da Po, ... , P m M al riferimento eo ••• en.

27.2 Esempio Sia P una retta proiettiva in cui sia assegnato un riferimento proiettivo, e siano punti distinti. Siano a, ,8EK tali che

PdÀ. I , ILI]' Pz[À. z, ILz], M[À. 3, IL3]

e, per ogni punto P[xo, XI]EP, siano y, oEK tali che (

Xo ) = "/ (

a À. I

XI

alLI

)

+ o( ,8 À.z ) . ,8ILz

Allora P ha coordinate omogenee "/,

onel riferimento individuato da P

p

P z,

M. Calcolando a, ,8 e "/, o con la regola di Cramer ed eliminando i denominatori

otteniamo [27.3]

x =A -I y esprime il cambiamento di coordinate da f o ••• f n a eo •.. en •

Passiamo ora a considerare le trasformazioni di uno spazio proiettivo.

21

322

Geometria proiettiva

27.3 DEFINIZIONE Siano P = P (V) e P' = p (V ') due spazi proiettivi. Un'applicazione biunivoca f: P ~ P' è un isomorfismo di P su P' se esiste un isomorfismo ep: V ~ V' tale che

f([v]) = [ep(v)] per ogni [v] EP. L 'isomorfismo f si dice indotto da ep. Se un isomorfismo f esiste, p e P' si dicono isomorfi. Una proiettività di P è un isomorfismo di P in sé stesso. È evidente che ogni isomorfismo di spazi vettoriali ep: V ~ V' induce un iso-

morfismo di P su P' . Lasciamo al lettore il compito di verificare, nel modo consueto, che l'isomor~ fismo è una relazione di equivalenza tra spazi proiettivi. Due spazi proiettivi isomorfi hanno evidentemente la stessa dimensione. D'altra parte, poiché ogni K-spazio vettoriaIe di dimensione n + 1 è isomorfo a Kn+l, ogni spazio proiettivo di dimensione n è isomorfo a pn. Da ciò segue che due spazi proiettivi della stessa dimensione sono isomorfi. Se una proiettività f: P ~ P è indotta da ep, essa è anche indotta da Àep, per un qualunque ÀE K*: infatti si ha

[(Àep) (v)] = [À(ep(v»] = [ep(v)] =f([v]) per ogni· v EV\ ( OJ. Viceversa, se 1/;: V ~ V induce f, allora 1/; = Àep per qualche ÀEK*. Infatti per ogni v EV esiste ÀEK* tale che ep(v) = À1/;(v), ovvero tale che (1/; -I cep) (v) = Àv; ne consegue che ogni vE V\ (O J è un autovettore di 1/; -I cep, e quindi 1/;-1 c ep = Àly per qualche ÀE K*, cioè 1/; = Àep. Quindi l'automorfismo che induce una data proiettività è individuato solo a meno di un fattore di proporzionalità non nullo. L'identità l p è una proiettività, perché è indotta da l y. Se f, g: p ~ P sono proiettività indotte da ep, 1/; EGL (V) rispettivamente, la loro composizione g cf è una proiettività, indotta da 1/; c ep. L'inversa f- I della proiettività f è ancora una proiettività, indotta da ep ~ I. Le proiettività di P costituiscono dunque un gruppo di trasformazioni chiamato gruppo proiettivo di P, e denotato con PGL(P). Il gruppo proiettivo di pn si denota con PGLn+ 1 (K), e si chiama gruppo lineare proiettivo di ordine n + 1. Associando ad ogni 'P EGL (V) la proiettivifà indotta di P = P (V), si ottiene un omomorfismo suriettivo di gruppi 71": GL(V) ~ PGL(P(V».

Osserviamo che epEGL(V) è tale che 7I"(ep) = l p se e solo se ep = Àly per qualche ÀEK*. Quindi (epEGL(V): 7I"(ep) = l p J = (À1 y: ÀEK*J.

[27.4]

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

323

Il primo membro della [27.4] è un sottogruppo di GL(V) (il nucleo di 71"). Se nello spazio proiettivo P (V) è assegnato un riferimento proiettivo, associato alla base (eo,"" en J di V, ed f EPGL (P(V», allora, per ogni automorfismo epEGL(V) che inducef, diremo che himatrice A EGLn+ 1(K) associata a ep rispetto alla base (eo,"" en J definisce f rispetto al riferimento proiettivo eo '" en • La matrice A non è univocamente determinata. Un'altra matrice BE GLn+ 1(K) definisce la stessa proiettività rispetto allo stesso riferimento proiettivo se e solo se B = ÀA, per qualche ÀEK*. La verifica è lasciata al lettore. La seguente proposizione fornisce un procedimento geometrico per individuare un isomorfismo di spazi proiettivi, e in particolare una proiettività. 27.4 PROPOSIZIONE Supponiamo che P = P (V) e P' = P(V') abbiano dimensione n. Date comunque una (n + 2)-upla ordinata Po, , Pn> Pn + 1 di punti di P in posizione generale, e una (n + 2)-upla ordinata Qo' , Qn> Qn+ l di punti di P' in posizione generale, esiste uno ed un solo isomorfismo f: P ~ P' tale che f(P) = Q;, i=O, ... , n+1. In particolare, una proiettività che lascia fissi n + 2 punti di P in posizione generale è l'identità.

Dimostrazione Supponiamo P; = [vJ, Q; = [wJ, i = 0, ... , n + 1. Poiché dim(V) = n + 1 = = dim(V'), (vo, ... , vnJ e (wo, ... , wnJ sono basi di Vedi V' rispettivamente, e quindi si ha vn+ 1 =Àovo +ÀIV I +

+

Ànvn,

= ftowo +ftI Wl+

+

ftnwn

W n+ l

per opportuni Ào, ... , Àn , fto' ... , ftn EK che sono tutti non nulli per l'ipotesi che le due (n + 2)-uple siano in posizione generale. Sostituendo ÀiVi al posto di Vi e ft;W; al posto di w;, i = 0, ... , n, possiamo supporre che tutti i coefficienti siano uguali al, cioè che si abbia [27.5] Poiché (vo, ... , vnJ è una base di V, per il teorema 11.3 esiste un'applicazione lineare ep: V ~ V' tale che ep(v) = wi' i = 0, ... , n. Per le [27.5] e per la linearità di ep si ha ep(v n + l ) = Wn+ l ' L'isomorfismo f indotto da ep ha le proprietà volute. Supponiamo ora chef': P ~ P' sia un'altro isomorfismo avente le stesse proprietà. Consideriamo la composizione g = f' -I cf: P ~ P, che supporremo associata a 1/;E GL(V). Si ha g(P) = P;, i = 0, ... , n + 1, e pertanto

324

Geometria proiettiva

per opportuni

0'; E K*.

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

325

Quindi n

O'n+IVn+1 =

1{;(vn + l )

=

1{;(vo +

VI + .•. + Vn) =

1: 1{;(v;)

;=0

=

[27.6]

=O'oVo+ ••• +O'nVn-

D'altra parte si ha [27.7] Confrontando [27.6] e [27.7] deduciamo che

Quindi 1{;(v;) = 0'0 V;, cioè 1{; = e l'unicità di f è dimostrata.

O'olv.

Dalla [27.4] segue che g

=

Ip, cioèf = f- I ,

In particolare una proiettività di una retta proiettiva è individuata una volta assegnate le immagini di tre suoi punti distinti; una proiettività di un piano proiettivo è individuata dalle immagini di quattro punti, a tre a tre non allineati. Una proiettivitàf: P (V) --+ p (V), essendo indotta da un automorfismo cp: V --+ V, trasforma ogni sottospazio S = P(W) di P (V) nel sottospaziof(S) = P (cp(W)), che ha la sua stessa dimensione. Poiché cp induce un isomorfismo di W su cp(W), f induce un isomorfismo di S su f(S). 27.5 DEFINIZIONE Due sottoinsiemi (o figure) F ed F' dello spazio proiettivo P si dicono proiettivamente equivalenti se esistefE PGL(p) tale chef(F) = F'.

Le proprietà che sono comuni a tutte le figure proiettivamente equivalenti ad una figura F si dicono proprietà proiettive di F. Ad esempio, due sottospazi proiettivi S ed S' di P(V) aventi la stessa dimensione sono proiettivamente equivalenti. Infatti, se S = P(W), S' = P(W'), esiste cp EGL (V) tale che cp (W) = W' , e allora f(S) = S', dove f è la proiettività associata a cp. Per la proposizione 27.4 due sottoinsiemi di P costituiti ognuno da k punti in posizione generale sono proiettivamente equivalenti se k:5 dim (P) + 2. Se k > dim (P) + 2, ciò non è vero già nel caso di 4 punti di una retta proiettiva. Sorge allora il problema di descrivere le classi di equivalenza proiettiva di k-uple di punti di uno spazio proiettivo P, quando k > dim (P) + 2, cioè di classificare tali classi di· equivalenza. Come vedremo tra poco, la soluzione completa di questo problema può essere data nel caso di quaterne di punti distinti di una retta proiettiva per mezzo della nozione di "birapporto". Il risultato che otterremo sarà applicato nel capitolo 4 alla classificazione delle cubiche piane proiettive. 27.6

DEFINIZIONE

Sia P una retta proiettiva, e siano P I , P 2 , P 3 , P4 EP, con

dove Yo, YI sono coordinate omogenee di P4 nel riferimento proiettivo in cui P I e P2 sono i punti fondamentali e P 3 è il punto unità. Osserviamo che nella definizione si è supposto che P I , P 2 , P 3 siano distinti, ma non si è fatta alcuna ipotesi su P 4 • Se in P è fissato un riferimento proiettivo rispetto al quale i 4 punti assegnati sono P; [À i , p-;l, i = 1, ... , 4, allora, tenuto conto della [27.3], abbiamo la seguente espressione del loro birapporto: ÀI I p.,1 À2

I p.,2

À411 À2 À3 p.,4 p.,2 p.,3

! [27.8]

À411 ÀI À31 p.,4 p.,1 p.,3

Considerando invece coordinate non omogenee z; deduce dalla [27.8] la seguente espressione:

(3 (p l' P2' P 3' P 4) = (Z4 - Zl) (Z3 - Z2) (Z4 - Z2) (Z3 - ZI)

•

= p.,/Ài

dei punti P;, si

[27.9]

Il secondo membro della [27.9] ha senso solo se nessuno degli Z; è 00, cioè se Ài -:;é O per cigni i = 1, ... , 4. Altrimenti si utilizzerà la [27.8], che definisce in ogni caso un elemento di K U ( 00 l. Si noti che i valori (3(P I , P2 , P3 , P 4) = O, 00, 1 sono assunti in corrispondenza a P4 = P I , P2 , P 3 rispettivamente. Il significato proiettivo del birapporto è dato dal seguente teorema. 27.7 TEOREMA Siano P = P (V) e P' = P (V ') rette proiettive, e siano P I , P2 , P3, P4EP, QI' Q2' Q3' Q4 EP ', con P I, P 2, P3 distinti e QI' Q2' Q3 distinti. Esiste un isomorfismo f: P --+ P' tale che f (P;) = Qi' i = 1, ... , 4, se e solo se

Dimostrazione Per la proposizione 27.4 esiste un'unico isomorfismo f: P --+ P' tale che f(P;) = Q;, i = 1, 2, 3. Siano P i = [v;], i = 1, ... , 4, Q; = [w;]. Come nella dimostrazione della proposizione 27.4 possiamo supporre che f sia indotto da un' applicazione lineare cp: V --+ V' tale che cp (v;) = w i , i = 1, 2, 3. Se P 4 ha coordinate omogenee Yo, YI nel riferimento definito in P dai punti P I , P 2 , P 3 , allora f(P4 ) ha le stesse coordinate omogenee Yo, YI nel riferimento definito in P' dai punti

326

Geometria proiettiva

=

»·

(3(QI' Q2' Q3' f(P4

Maf(P4) = Q4 se e solo se Q4 ha coordinate omogenee Yo, YI' e questa condizione è equivalente a

(3(QI' Q2' Q3' Q4)

costanti {3, 1/{3, 1- {3, 1/1- {3, ({3 -1)/{3, (3/({3 -1)

1/{3

(3(P I, P 2, P 4, P 3) = (3(P2, P I, P 3, P 4) = = (3(P4, P 3, P I, P 2) = (3(P3, P4, P 2, P I) = (3(P I, P 3, P 2, P 4) = (3(P3, P I , P 4, P 2) = = (3(P2, P 4, P I, P 3) = (3(P4, P 2, P 3, P I)

{3

1/(1- (3)

(3(P 1, P 3, P 4, P 2) = (3(P3, P I, P 2, P 4) = = (3(P4, P 2, P I, P 3) = (3(P2, P 4, P 3, P I) ({3 -1)/{3 = (3(P I, P 4, P 2, P 3) = (3(P4, P I, P 3, P 2) = = (3(P2, P 3, P I, P 4) = (3(P3' P 2, P 4, P I)

(3/({3 -1)

2

=

[27.10]

=

= (3(Pl' P 4, P 3, P 2) = (3(P4, P I , P 2, P 3) =

Si consideri la funzione razionale

{{32 - {3

E, -

é,

2

è una radice cubica primitiva di 1. Nei casi (3 = -1,2, 112 si haj({3) = 27/4 e

Quindi i 24 birapporti che si possono ottenere a partire da 4 punti distinti si riducono a 6, e sono in generale distinti (cfr. 27.10(3». Dunque a una quaterna di punti distinti di P non è associato un solo valore del birapporto. Si può però ricorrere al seguente lemma.

j({3)

-1, 2, 1/2, -

1 -J3. E=--+--l

= (3(P3, P 2, P I, P 4) = (3(P2, P 3, P 4, P I )·

LEMMA

=

dove

=

1- {3

[27.11]

sono radici di q(X), se sono distinte esse sono tutte le radici di q(X) e il lemma segue in questo caso. Con un calcolo diretto si verifica subito che le [27.11] non sono distinte nei casi seguenti:

= (3(P I, P 2, P 3, P 4) = (3(P2, P I, P 4, P 3) =

= (3(P3' P 4, Pl' P 2) = (3(P4, P 3, P 2, P I)

27.8

Il primo membro è un polinomio. monico di sesto grado in X. Poiché le sei

= Y/Yo·

Il birapporto di quattro punti di una retta proiettiva P dipende dall'ordine in cui essi vengono considerati. Se P I, P 2, P 3, P 4EP sono distinti il birapporto di una loro qualsiasi permutazione è definito, e posto {3 = (3(P I, P 2, P 3, P 4), si ha {3

327

dove

QI' Q2' Q3· Quindi si ha (3(P I, P 2, P 3, P 4) = Y/Yo

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

+ 1)3

q(X) = (X + 1)2 (X - 2)2 (X -112)2,

mentre per (3

= - E, - E

2 si ha j({3)

=

Oe

q(X) = (~- X + 1)3 = (X + E)3 (X + E2)3.

In entrambi i casi le radici di q(X) sono solo quelle appartenenti all'insieme dei valori [27.11]: il lemma è dimostrato. Dal lemma segue che se (3 è il birapporto di 4 punti distinti di una retta proiettiva P presi in un certo ordine, alloraj({3) non dipende dall'ordine in cui i punti sono stati scelti. Di conseguenza, per una quaterna non ordinata di punti distinti {P I, P 2, P 3, P 4} è ben definito j({3(P I, P 2 , P 3, P 4», che è detto modulo della quaterna (P I, P 2, P 3, P4} ed è denotato conj(PI , P 2, P 3, P 4). Si noti che, poiché (3(P I, P 2, P 3, P 4)EK, dall'espressione dij({3) e dal fatto che K è un campo segue che anchej(PI, P 2 , P 3 , P 4)EK.

{32({3 _1)2 che è definita per ogni {3EC\(O, l}. Si haj({3) =j({3'), {3, {3' EC\(O, l}, se e solo se {3' E{{3, 1/{3, 1- {3, 1/1- {3, ({3 -1)/{3, (3/({3 -l)}. Dimostrazione Si calcola facilmente che j({3) =j({3-I) =j(1- (3) =j(1/(1- (3» =j«{3 -1)/{3) =j({3/({3 -1).

D'altra parte, per ogni fissato {3EC\(O, l} si haj({3) =j({3') se e solo se q({3')=O

27.9 TEOREMA Due quaterne non ordinate di punti distinti {P I, P 2 , P 3, P4}, (QI' Q2' Q3' Q4} di una retta proiettiva P sono proiettivamente equivalenti se e solo se [27.12] Dimostrazione Se (P I, P 2, P 3, P 4} e (QI' Q2' Q3' Q4} sono proiettivamente equivalenti allora esiste fEPGL(P) tale che {f(P I), f(P 2), f(P3)' f(P 4)} = (QI' Q2' Q3' Q4}· Per

Geometria proiettiva

328

il teorema 27.7 si ha in tal caso: (3(P J, P z, P 3, P 4) = (3 (f(P 1) , f(PZ}, f(P 3), f(P 4»

»

e quindi j(P J, P z, P 3, P 4) = j(f(P 1), f(Pz), f(P 3), f(P4 = j(QJ' Qz, Q3' Q4)· Viceversa, se la [27.12] è verificata, allora, per il lemma 27.8 e per le [27.10], possiamo supporre, dopo. aver eventualmente permutato i punti Qi' che si abbia: (3(P J, P z, P 3, P 4) = (3(QJ' Qz, Q3' Q4)·

Dal teorema 27.7 segue che {Pl' P z, P 3, P 4 } e {QJ' Qz, Q3' Q4} sono proiettivamente equivalenti. Il teorema precedente risolve il problema di classificazione che ci eravamo posti: esso infatti afferma che le classi di equivalenza proiettiva di quaterne di punti distinti di una retta proiettiva sono in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei valori assunti dal modulo, cioè sono classificate da tale insieme. Dalla dimostrazione del lemma 27.8 segue che in una retta proiettiva ci sono al più due classi di equivalenza proiettiva di quaterne di punti tali che tutti i loro possibili birapporti siano meno di 6; esse possono esistere in corrispondenza ai valori j(P J, P z, P 3, P 4) = 27/4, O. Il primo di tali valori viene assunto per (3 = -l, 2, 1/2, il secondo per (3 = - E, - é. Ovviamente, nel secondo caso una quaterna siffatta non può esistere se E r;. K, in particolare se K = R. Una quaterna [P J, P z, P 3,P4} di punti di P si dice armonica se j (P J, P z , P 3, P 4) = 27/4, e si dice equianarmonica se j(P J, P z, P 3, P 4) = O. Per informazioni sulle quaterne armoniche rinviamo il lettore a 27.10(5). 27.10 Complementi

l. Abbiamo visto come ad ognuna delle tre geometrie, l'affine, l'euclidea e la proiettiva, siano associati dei gruppi di trasformazioni: il gruppo Aff(A) per la geometria di uno spazio affine A, il gruppo Isom(E) per quella di uno spazio euclideo E, e il gruppo PGL(P) per la geometria di uno spazio proiettivo P. In corrispondenza a questi gruppi abbiamo introdotto delle relazioni di equivalenza tra figure geometriche. Due figure equivalenti possono essere considerate come due diversi rappresentanti di una stessa entità (la classe di equivalenza) nella geometria che si sta studiando e si può quindi affermare che la geometria (affine, euclidea o proiettiva) consiste dello studio delle proprietà delle figure che sono invarianti per equivalenza, cioè di quelle proprietà che una figura ha in comune con tutte quelle ad essa equivalenti. In questo modo il gruppo di trasformazioni dello spazio determina le proprietà geometriche che si vogliono studiare. Più in generale possiamo considerare un qualunque gruppo :§ di trasformazioni dello spazio e associare ad esso una "geometria", che definiremo come l'insieme delle proprietà e delle grandezze calcolate nello spazio che sono invarianti rispetto a tutte le trasformazioni del gruppo.

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

329

. Ad esempio, se si considera uno spazio euclideo E, il gruppo Aff(E) ne definisce la geometria affine, mentre Isom(E) è il gruppo della geometria euclidea di E. Un'altra geometria è quella definita dal gruppo Simil(E) delle similitudini. Nel caso in cui E è il piano o lo spazio ordinario, la geometria del gruppo Simil(E) coincide con la geometria euclidea elementare. Se ~ è un sottogruppo di ~ ogni proprietà (o quantità) invariante rispetto a :§ lo è anche rispetto a ~. Quindi quella di ~ è una geometria più "ricca", cioè in cui le figure hanno più proprietà, di quella di :§. Si pensi ad esempio a uno spazio euclideo E: il gruppo Isom(E) è un sottog~uppo di Aff(E), e ciò corrisponde al fatto che ogni proprietà affine di una figura geometrica di E è anche una proprietà euclidea. La stretta relazione esistente tra gruppi di trasformazioni e geometria fu messa in evidenza per la prima volta da F. Klein nel 1872, in una conferenza tenuta presso l'Università di Erlangen e rimasta famosa con il nome di "Programma di Erlangen". Per una discussione approfondita di quest'argomento si rimanda a [lO]. 2. Il gruppo PGLzé O. Ponendo f(- d/c) = 00

f

(00) = a/c,

e per z E C\ {- d/c} : f(z)

=

az + b cz+d

[27.14]

si definisce un'applicazione biunivocaf: C U {oo } --+ C U {oo}, chiamata trasformazione lineare fratta (TLF) o trasformazione di Moebius di parametri a, b, c, d. La biunivocità di f discende dal fatto che essa possiede l'inversa, data da

f

-J

_

(z) -

-dz-b cz + a

che è ancora una TLF. La composizione della [27.13] con un'altra TLF, g(z)

=

az+ (3 ')'z

+o

,

è ancora una TLF, perché si ha (aa + (3 c) Z + (ab + (3d) (g o f) (z) = - ' - - - - - - ' - - - - (l'a + oc) z + ')'b + od

330

Geometria proiettiva

e

(aa + (3c) (yb + od) - (ab + (3d) (/,a + oc)

= (ao -

(3/,) (ad - bc);é. O.

L'identità di C U {oo} è una TLF, ottenuta in corrispondenza a a = d = 1 b= c=O. ' Segue che le TLF costituiscono un gruppo di trasformazioni di C U {oo}. Si noti che questo gruppo non è abeliano. Infatti, considerando ad esempio fez) = lIz, h(z) = z + 1, si ha 1

f(h(z)) = z + 1

;é.

Z1 + 1 = h (f(z)).

Identificando C U {oo} con pl = Pl(C), una TLF può considerarsi come una trasformazione di p I in sé stesso. In coordinate omogenee la TLF [27.13] si esprime nel modo seguente:

f([xo, xd)

=

[cx I + dxo, aXI + bxo]

e quindi è la proiettività definita dalla matrice

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

cioè è un' affinità di C. Le affinità costituiscono un sottogruppo Affi (C) di PGL2(C) che si identifica al gruppo Simil + (E 2) (cfr. 20.10(2)). Dalla [27.15] discende che la [27.16] non ha altri poli oltre 00, cioè è parabolica, se e solo se a = l, cioè se è una tiaslazione. In caso contrario la [27.16] ha il polo b/(l- a). Otteniamo quindi che ogni similitudine diretta di E 2 diversa da una traslazione ha un punto fisso. Si osservi che ogni similitudine di E 2 trasforma rette in rette, perché è una particolare affinità. È anche facile vedere che una similitudine trasforma circonferenza in circonferenze. Infatti ciò è vero per le isometrie e per le omotetie, e quindi anche per le similitudini che, per definizione, sono composte di isometrie e omotetie. Viceversa non è difficile dimostrare che un'affinità di E 2 che trasforma rette in rette e circonferenze in circonferenze è una similitudine (per maggiori dettagli cfr. [5]). Per descrivere la geometria definita in C U {oo} dal gruppo di tutte le TLF sarà opportuno considerare circonferenze e rette di E 2 simultaneamente: un sottoinsieme di E 2 sarà detto cerchio di Moebius se è una retta oppure una circonferenza. Un cerchio di Moebius ha equazione della forma E(x 2 + y2)

Pertanto il gruppo delle TLF coincide con il gruppo PGLz{C) delle proiettività di Pl. Poiché numeratore e denominatore della [27.13] possono essere moltiplicati per ~n comu~e fattore di proporzionalità senza modificare la trasformazione f, ogm TLF puo essere scritta nella forma [27.13J con .

=

O.

[27.15]

Dunque una TLF diversa dall'identità ha almeno uno e al più due poli. Se ha un solo polo, f si dice parabolica. Quando c = O, cioè quando uno dei poli è (in questo caso si può supporre d = 1)

fez) = az + b,

00,

la [27.13] si riduce alla forma

[27.16]

. [27 .17]

con A, B, C, EE R tali che A2

+B 2

-

4EC>0.

La [27.17] rappresenta una retta oppure una circonferenza se E rispettivamente. Ponendo z = x + iy e utilizzando le identità

x=-2-'

[27.14]

Diremo f normalizzata se a, b, c, d soddisfano la condizione [27.14]. Osserviamo che la [27.14] individua a, b, c, d a meno di moltiplicazione per -1. .Le TLF si classificano per mezzo dei loro punti fissi, o poli, cioè dei punti Z talI che fez) = z. Dall'espressione della [27.13] segue che 00 è un polo se e solo se c = O. Gli altri eventuali poli si ottengono esplicitando la condizione f (z) = z e quindi sono gli zE C che soddisfano l'identità '

cz 2 + (d - a) Z - b

+ Ax + By + C = O

z+z

ad - bc = 1.

331

=

Ooppure E

;é.

O

z-z

y=-2-'

la [27.17] può essere riscritta nella forma equivalente: Ezz + A (z

+ z)12 + B(z - z)12 + C = O.

[27.18]

La TLF

fez) = lIz è chiamata inversione. Si ha f ( 00 ) = O, f (O) = 00 e f = f-l. Sostituendo 11z al posto di z nella [27.18] e razionalizzando otteniamo Czz + A (z

+ z)12 - B(z - z)12 + E = O.

Questa è l'equazione dell'immagine del cerchio di Moebius [27.18] tramitef, e rappresenta una circonferenza eccetto quando C = O, nel qual caso è una retta: ciò avviene precisamente se la [27.18] è un cerchio di Moebius passante per l'origine. Vediamo quindi che l'inversione trasforma cerchi di Moebius in cerchi di Moebius.

332

Geometria proiettiva

Passiamo ora a considerare una TLF [27.13] qualsiasi. Essa può anche essere espressa nella forma

f(z)

= .!!..- + bc - ad c(cz+ d)

c Ponendo

= cz+d Zz = llzl Zl

a

Z3=C+

bc-ad c Zz

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

333

con uu + vv = 1, e che ogni elemento di SO (3) proviene da una TLF di questa forma. Pertanto SO(3) è isomorfo al sottogruppo di PGLz(C) costituito dalle TLF [27.19]. La geometria della sfera 8 2 definita dal gruppo SO (3) coincide quindi con la geometria di C U {oo} definita dal gruppo delle [27.19]. Essa costituisce un modello di geometria non euclidea chiamata geometria ellittica. I due numeri complessi u, v che appaiono nella [27.19] si dicono parametri di Cayley-Klein della rotazione R; essi sono individuati da R solo a meno di moltiplicazione per - 1. Per ulteriori dettagli sulla geometria del gruppo PGLz(C) e dei suoi sottogruppi rinviamo il lettore a [4], [5], [6], [7], [12], [13], [14]. 3. Sia assegnata un'affinità di An(K):

abbiamo

TB,c(x) = c + Bx,

cioèf(z) è la composizione di un'affinità con l'inversione seguita da un'altra affinità. Poiché l'inversione e le affinità trasformano cerchi di Moebius in cerchi di Moebius, deduciamo che ogni TLF trasforma cerchi di Moebius in cerchi di Moebius. PGLz(C) possiede diversi sottogruppi notevoli dal punto di vista geometrico, che hanno la proprietà di trasformare in sé regioni particolari del piano. Ad esempio il sottogruppo PGLz(R) di PGLz(C), che consiste delle TLF [27.13] in cui a, b, c, dE R, trasforma R U {oo} in sé stesso, perché è il gruppo delle proiettività di p 1 (R). Consideriamo il sottogruppo PGLz+(R), costituito dalle fE PGLiR) tali che ad - bc> O. Moltiplicando numeratore e denominatore per (ad - bc) -112, si può normalizzare f(z) in modo che si abbia ad - bc = 1. Si calcola facilmente che si ha (denotando con Im(u) la parte immaginaria di un numero complesso u): Im(f(z» = Im(z)

e quindi il gruppo PGLz(R) trasforma in sé il semipiano h

= (ZE C:

Im(z)

> O},

e ne costituisce un gruppo di trasformazioni. La geometria definita in h da PGLz(R) è un modello di "geometria non euclidea" nota come geometria iperbolica. Identificando C U {oo} con la sfera di Riemann per mezzo della proiezione stereografica, le TLF si identificano con trasformazioni di 8 z, che in alcuni casi sono rotazioni. Si dimostra che una TLF corrisponde a un elemento R ESO (3) , se e solo se è della forma normalizzata

uz+ v f(z)=---

-vz+ u

[27.19]

dove c = t(c l ... Cn)E Kn, B = (bjk ) EGLn(K). Consideriamo l'applicazione di passaggio a coordinate omogenee:

jo:

An~.pn\Ho·

Poniamo x' = t(l

XI'"

xn), y' = t(l YI '" Yn)' e sia

1

O

O

CI

bu

b ln

A=

EGLn+I(K).

cn bnl

bnn

Si ha y' =Ax'.

La proiettivitàf: pn ~ pn definita dalla matrice A trasforma in sé stessi Ho e pn\Ho' Ciò segue subito dalla forma di A. È anche immediato verificare che l'affinità TB c coincide con la restrizione di fad An, cioè conjo-Iofojo. Vediamo quindi che il gruppo Affn(K) può considerarsi come un sottogruppo di PGL n+I(K), precisamente quello rappresentato dalle matrici A della forma detta sopra. 4. SefEPGL(P(V» è una proiettività, indotta da ipEGL(V), i punti fissi di f, cioè i punti PE P tali chef(P) = P, sono tutti e soli quelli della forma P = [v], dove v EV è un autovettore di ip. L'esistenza di autovettori di ip è quindi equivalente all'esistenza di punti fissi dif. Deduciamo che se P è uno spazio proiettivo complesso, ogni proiettività di P possiede almeno un punto fisso. Similmente, se P è uno spazio proiettivo reale di dimensione pari, ogni proiettività di P possiede almeno un punto fisso. Quest'ultima affermazione segue dal fatto che un opera-

Geometria proiettiva

334

27/Cambiamenti di coordinate omogenee e proiettività

335

tore di uno spazio vettoriale reale di dimensione dispari possiede almeno un autovettore (cfr. 13.15(1)). Una proiettività di uno spazio proiettivo reale di dimensione dispari può non avere punti fissi. Un esempio è dato dalla seguente proiettività f: P I (R) --+ p I (R): f([x o,

XI])

= [- XI'

x o]·

5. Siano P I, P z, P 3, P 4 punti distinti di una retta proiettiva P. La quaterna ordinata (P I, P z, P 3, P 4) è detta armonica se

In tal caso i punti P 3, P 4 si dicono coniugati armonici rispetto aPI' P z. Dalle [27.10] segue che anche P I, P z sono coniugati armonici rispetto a P 3, P 4. Se i punti di una quaterna armonica vengono permutati in tutti i modi possibili, i valori assunti dal birapporto sono solo tre, e precisamente - 1, 112, 2. Ciò segue subito dalle espressioni [27.10] di tali birapporti. Si ha inoltre in tal caso j(P I, P z, P 3, P 4) = 27/4.

Se P z è il baricentro dei punti P I e P 3 nella retta affine P\ {P4J (il punto medio del segmento P I P 3 se K = R), è possibile scegliere il riferimento in modo che P I =Pdl, O], P 4 =P4[0, 1], P 3 =P3[1, 1], P z =Pz [2, 1], e quindi (3(P I, P 4, P 3, P z) = 112,

da cui si deduce che

Figura 27.1

La configurazione di rette che abbiamo appena descritto è detta quadri/atero completo.

Esercizi 1. Determinare la formula y = Ax del cambiamento di coordinate dal riferimento standard di p 2 (R) al riferimento individuato dai punti Po, P" P 2, M in ciascuno dei casi seguenti: a) P o = [1,1, -1],P I = [2,1, O], P 2 = [0,1,1], M= [1,1, O]

" e quindi P I, P z, P 3, P 4 è una quaterna armonica. Un altro modo di costruire quaterne armoniche è il seguente. Sia P un piano proiettivo, e siano 01' 0z, 03' 04 punti a tre a tre non allineati. Siano P I = L(OI' Oz} n L(03' 04)' P z = L(OI' 04) n L (Oz, 03) e sia t- = L (PI, Pz}. Consideriamo i punti di t-

b) P o = [1, -1, O], P, = [O, 1, 1], P 2 = [2, O, 1], M = [1, 2, 2] c) P o =[I, 1, I],PI=[1'0'I],P2=[I,

~

,OlM=[4,2,2].

2. Determinare la proiettività f di p' (R) che soddisfa le condizioni seguenti: f([I, 1]) = [1, -1],

f([2, O]) = [1, 1],

f([I, -1]) = [2, 1].

3. Determinare la proiettività f di p2(R) che soddisfa le condizioni seguenti:

Allora P I, P z, P 3, P 4 è una quaterna armonica su t- (fig. 27.1). Per dimostrarlo fissiamo in P coordinate omogenee in modo che 01' 0z, 0 3 siano i punti fondamentali e 04 il punto unità. Si calcola subito chePI = P I [1,1, O], P z = Pz[O, 1, 1], P 3 = P 3[1, 2, 1], P 4 = P 4[1, 0, -1]. Poiché si ha (1, 2, 1) = (1, 1, O) (1, 0, -1)

otteniamo

= (1,

+ (O, 1, 1)

1, O) - (O, 1, 1),

f(t-)=t-',

f(~)=~',

f([1,2,1]=[1,0,0],dove:

t-': X o + Xl = O,

t-: X o - XI = 0,

~:

X o + Xl

+ X 2 = O,

~':

XI

+ X 2 = O.

4. Determinare i punti fissi delle seguenti proiettività di P"(R):

+ 15x, + 6X2, - 2xo + 8XI + 2X2,4xo -18xI - 5 X2]) [xo - XI' Xo + 3XI, 2X2].

a) f([xo, X" X2]) = [- Xo

b) f([xo, X" X2])

=

5. Dimostrare la seguente identità: (3(P" P 2, U, V) (3(P2, P 3 , U, V) (3(P3 , P" U, V)

= l

dove Pt> P 2 , P 3 , U, V sono punti distinti di una retta proiettiva P.

Geometria proiettiva

336

6. Dimostrare che le seguenti TLF:

z,

1-

z

z,

, l-z

Capitolo 4 z-l

z

z

z-l

costituiscono un sottogruppo di PGL2 (C), isomorfo a

Curve algebriche piane (J3.

28 Generalità

Uno dei concetti primitivi della nostra intuizione spaziale è quello di linea, o curva, piana. Già i geometri dell'antica Grecia consideravano curve piane particolari, ottenute come "luoghi geometrici"; ad esempio la circonferenza come luogo dei punti equidistanti dal centro. Per questa via furono studiate diverse curve, in modo spesso ingegnoso. La nozione stessa di curva ha subito un'evoluzione. Inizialmente, ad esempio nella scuola pitagorica (sec. VI a.C.), una curva era definita in modo empirico come aggregato di piccoli corpuscoli. Successivamente, con Platone e Aristotele, tale definizione lasciò il posto ad altre, ad esempio a quella di luogo descritto da un punto che si muove in un piano. Ancora nel secolo XVIII veniva chiamata "curva piana" qualsiasi linea che si potesse tracciare con un tratto di penna. Tali definizioni sono prive di significato per la matematica di oggi; d'altra parte, alla definizione rigorosa si è giunti solo attraverso approssimazioni successive, di cui le precedenti sono esempi. Questa evoluzione è avvenuta di pari passo all'accrescersi delle nostre conoscenze sulle curve. Per uno studio il più generale possibile occorrerebbe considerare curve definite in un piano euclideo, o in un piano affine O proiettivo sul campo K. Tuttavia, per semplicità, considereremo solo i piani numerici A2(K), E 2, P2(K), ai quali d'altra parte è sempre possibile ricondursi mediante la scelta di un sistema di coordinate; l'estensione al caso generale è trattata nei complementi (cfr. 28.4(1)). La definizione intuitiva di "luogo generato da un punto mobile" corrisponde a quella di curva definita in A2 (K) da equazioni parametriche, come luogo dei punti P(x, y) di coordinate x = a(t),

22

y

= (3(t),

338

Curve algebriche piane

dove O

Y1

ap + I

Y2

=

[31.18]

0,

~

B = (b) = iMAM. Quindi r(B) = r(A). Segue da ciò che il rango di A è una proprietà affine di lJ!, che si chiama rango di lJ!, e si denota con r(lJ!). Diremo lJ! non degenere o viceversa degenere a seconda che sia r(lJ!) = n + 1 oppure r(lJ!) ~ n. Le quadriche affini ed euclidee rispettivamente di N (K) e di E n • si possono classificare con metodi sostanzialmente simili a quelli visti per le coruche. Il teorema di classificazione, che include anche i casi degeneri, ha un enunciato un po' più lungo a causa delle numerose possibilità che si presentano. Si trova. comunque che le classi di equivalenza affine di quadriche di An(K), ~ algeb~lca"!ent~ chiuso, e di An(R), sono in numero finito. Limitandosi a consIderare I solI caSI non degeneri, si hanno i seguenti risultati:

Ogni quadrica non degenere di An(K) è affinemente equivalente a una e una

boa

i=1

bno

p=O, ... , n.

an-l> 0,

°

Se tra i coefficienti b ll , b22, ••• , b nn ve ne sono r non nulli, possiamo supporre che siano i primi r, a meno di permutare le variabili. Poiché det(B) 7é perché per ipotesi lJ! è non degenere, dev' essere r ~ n-l; ciò si verifica sviluppando det(B) secondo l'ultima colonna. Eseguiamo la traslazione

°

bOj

~=Zj-T'

j=l, ... , r,

))

Y n = Zn (nel caso r= n-l).

°

L'equazione [31.18] si trasforma nella n

EX;-Xn=O;

E b ..z + coo = j= I )) ) 2

i=1

2) K = R:

°

[31.19]

se r = n, oppure nell'altra, n

EX;- E X;= 1, i=1

~

°

B=

n-I

p

•••

p=O, ... , n

bOI

bIO bll

K algebricamente chiuso:

=

a n > 0,

°

sola delle seguenti:

n

~

Diamo un cenno della dimostrazione dell'esistenza, senza discutere l'unicità delle equazioni. Iniziamo dal caso affine. Per il teorema 16.1 è possibile trovare una matrice ME GLn(K) tale che la sostituzione X = MY trasformi la quadrica lJ! in una di equazione [31.18] tale che bij = per 1 ~ i, j ~ n, i 7é j, cioè tale che

dove

EX;-l

•.•

al~ ... ~ap>O

a p+ 1 ~

1)

369

p=O, ... , n

n-I

.E bjjZ; + 2bon Z n + d oo = 0,

j=p+1

[31.20]

)=1 n-I

p

EX;- E X;-Xn=O, i=1

(se p

=

p=O, ... , n

j=p+1

°si intende che la prima sommatoria non compare).

ser=n-1. Supponiamo di essere nel caso [31.19]. Poiché lJ! è non degenere si ha Coo 7é O. Dividendo per - Coo possiamo supporre Coo = - 1. Se K è algebricamente 24

Curve algebriche piane

370

32/Geometria delle coniche euclidee

371

chiuso la sostituzione Esercizi

j= 1, ... , n,

trasforma la [31.19] nella prima delle due quadriche dell'enunciato (1). Se invece K = R allora la sostituzione

x

Zj=~' Ib I

1. Sia ~ una conica a centro di A 2(1 O. Se a = b l'equazione [32.1] diventa

XZ + yz = a

\

2

X= ±a,

x

(a,O)

e ~ è una circonferenza di centro l'origine e di raggio a. Il supporto dell'ellisse [32.1] è contenuto nel rettangolo delimitato dalle rette di equazioni

(O, -b)

X= -aie

X=ale

Figura 32.1

y= ±b,

cioè nel sottoinsieme di E 2 costituito dai punti P(x, y) tali che Ixl ~a,

373

Iyl ~b.

Infatti, se P(x,y) è tale che I x I > a, allora x 2 /a 2 > l e quindi, essendo y2/b 2 "? O, la [32.1] non può essere soddisfatta dalle coordinate di P. I punti di coordinate (± a, O) e (O, ± b) appartengono a :.1f; essi sono i vertici di jf. Dalla forma dell' equazione [32.1] segue immediatamente che ~ è simmetrica rispetto all'origine e rispetto agli assi coordinati. Se ~ è una circonferenza, ogni retta per l'origine è un suo asse di simmetria: la verifica è un facile esercizio. Si chiamano semiassi i quattro segmenti di estremi l'origine e uno dei vertici. I numeri a e b sono le lunghezze dei semiassi. Per avere un'idea della forma di ~ si può risolvere l'equazione [32.1] rispetto a Y: [32.2]

Se P(x, y) E ~ al variare di x tra - a e Oi due valori della y dati dalla [32.2] variano tra O e ± b, mentre quando x varia tra O e a essi variano tra ± beO. La forma dell'ellisse è quella che si vede nella figura 32.1. Posto

c = .Ja2 - b 2

,

i punti di coordinate (± c, O) sono i fuochi dell'ellisse, e il numero

e= e/a è la sua eccentricità.

Si ha sempre O~ e < 1. Se ~ è una circonferenza, e solo in quel caso, e == O e i fuochi coincidono tra loro e con il centro. Se e;t. O, le due rette di equazioni x= ± a/e sono dette direttrici dell'ellisse (quella con segno ± nell'equazione si dice relativa al fuoco (± c, O». Iperbole Sia ~ l'iperbole di E 2 di equazione [32.4]

con a> O, b> O. ~ è detta iperbole equilatera se a = b. Come nel caso dell'ellisse, si vede che l'iperbole di equazione [32.4] è simmetrica rispetto all'origine e rispetto ai due assi coordinati. L'asse di simmetria Y = Oincontra ~ nei punti (± a, O), che si chiamano vertici di jf. Invece l'asse di equazione X = O non incontra jf. Dall'equazione [32.4] segue subito che nessun punto P(x, y) per cui si abbia I·x I < a appartiene a :.1f; quindi ~ è contenuta nei due semipiani E e E definiti rispettivamente dalle condizioni x ~ - a e x"? a. I sottoinsierni ~ n e ~ n E_ sono i rami dell'iperbole. . . + Risolvendo la [32.4] rispetto alla Y troviamo

E'

[32.3]

Poiché per ogni x tale che I x I "? I a I si ha

374

Curve algeb(jche piane

Y'

32/Geomeiria delle coniche euclidee

375

Poiché nella [32.6] l'unico termine in cui compare la Y è y2, ~ è simmetrica rispetto all'asse Y = o. Questa retta incontra ~ nell'origine, che è detta vertice di ~ . Dall'equazione [32.6] segue immediatamente che ~ non ha punti P(x, y) tali che x< O, e quindi è contenuta nel semipiano definito dalla condizione x 2: O. Risolvendo la [32.6] rispetto a Y otteniamo

Y=bXla

x

Y= ± .J2pX. Deduciamo che se x varia da O a + 00 e P(x, y) E ~ allora y varia da O a ± (fig. 32.3). Il punto di coordinate (p/2, O) è il fuoco di ~ e la retta di equazione

X= -p/2

Y= -bXliJ X= -aie ~

X=ale

Figura 32.2

è la sua direttrice. L'eccentricità di ~ è per definizione e = 1. Descriveremo ora alcune proprietà geometriche di ellisse, iperbole e parabola, le cosiddette proprietà focali, che permettono di ottenerle come luoghi geometrici. La prima caratterizzazione riguarda ellissi e iperboli.

è contenuta nel sottoinsieme di E 2 definito dalla disequazione

32.1 PROPOSIZIONE L'ellisse [32.1] (/'iperbole [32.4]) ha per supporto il luogo dei punti di E 2 le cui distanze dai due fuochi hanno somma (differenza) costante (costante in valore assoluto), uguale a 2a.

Le due rette di equazioni

y=± bX a sono gli asintoti di ~. La forma dell'iperbole è illustrata nella figura 32.2. Posto

c = .Ja2 + b 2

,

[32.5]

i punti di coordinate (± c, O) si dicono fuochi di ~. Il numero

Dimostrazione Denotiamo con F ed F' , rispettivamente, i due fuochi (± c, O). Per un punto P(x, y) la condizione

.J(x - C)2

x2

---;;; +

X=±.E..

e

sono le sue direttrici (quella con segno ± nell'equazione sidice relativa alfuoco (± c, O». Si noti che e> 1.

Parabola Consideriamo la parabola ~di E 2 di equazione

con p > O.

2pX,

+ y2 ± .J(x + C)2 + y2

=

2a.

[32.8]

Portando il secondo radicale a secondo membro ed elevando due volte al quadrato per eliminare i radicali, si arriva all'identità

è l'eccentricità di ~ e le rette di equazioni

=

[32.7]

I d(P, F) ± d(P, F') 1= 2a

si traduce nella condizione

e= c/a

y2

00

[32.6]

y2 (a 2

_

c 2 ) = 1,

[32.9]

la quale rappresenta la [32.1] oppure la [32.4], a seconda che c sia dato dalla [32.3] oppure dalla [32.5]. Per concludere resta da verificare che il luogo rappresentato dalla [32.9], il quale certamente contiene quello rappresentato dalla [32.7], coincide con esso. A questo proposito notiamo che il procedimento di passaggio dalla [32.8] alla [32.9] è reversibile, a meno di ambiguità dei segni dei radicali. Pertanto basta osservare che la condizione c < a (c> a) è compatibile solo con la [32.7] in cui si prenda il segno + (il segno -).

Curve algebriche piane

376

32/Geometria delle coniche euclidee

377

y

x=

-p/2

x

Figura 32.4 Figura 32.3

Poniamo Un'altra caratterizzazione delle coniche come luoghi geometrici è data dalla proposizione seguente. 32.2 PROPOSIZIONE L'ellisse [32.1], l'iperbole [32.4], la parabola [32.6] hanno per supporto il luogo dei punti le cui distanze da un fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante, uguale all'eccentricità della rispettiva conica.

---+

Per ogni Pe E 2 abbiamo ---+

---+

(FP + PFo)·n

.,j (x =F C)2 + y2 I X=F a/e I

=e,

(x =F C)2 + y2 = (ex =F a)2, ovvero a

x 2(l - e2) + y2 = 2(c - ea)x + a 2 - c 2, che è appunto l'equazione [32.1] oppure [32.4]. Nel caso della parabola si procede nello stesso modo.

32.3 Complementi 1. La proposizione 32.2 si presta a fornire una nuova rappresentazione analitica delle coniche, nel modo seguente.· Supponiamo che la conica 5f abbia eccentricità e> O, e siano F ed t- rispettivamente un suo fuoco e la relativa direttrice (fig. 32.4). Sia ~ la retta per F perpendicolare a t-, e Fo = t- n~. Si ha

= d(F,

t- )

---+

---+

PFo·n = d - FP·n; ---+

poiché I PFo·n I = d(P, t-), otteniamo ---+

d(P, t-) = Id - FP·n I .

che è equivalente a quella che si ottiene elevando al quadrato:

d

---+

= FFo·n = IIFFolI = d,

cioè ---+

Dimostrazione Consideriamo il caso di ellisse e iperbole. Per un punto P(x, y) la condizione dell'enunciato è

---+

n =FFo/IIFFolI.

= d(F,

F o).

Da quest'identità e dalla proposizione 32.2 deduciamo che i punti Pe precisamente quelli che soddisfano la seguente equazione: ---+

---+

IIFPII = e I d - FP·n I.

5f sono [32.10]

Supponiamo F = O e che la retta t- abbia equazione X = d. Allora n = El = (l, O), e, dette (p, O) le coordinate polari di P, la [32.10] si traduce nell'equazione in p, O: p

= e Id -

pcosO I.

[32.11]

Per eliminare dall'equazione il segno di modulo, dobbiamo distinguere due casi. Se P ed F sono nello stesso semipiano rispetto a t-, allora pcosO < d, e la [32.11] è equivalente a p = e(d - pcosO),

che, risolvendo rispetto a p, può essere riscritta nella forma p=

ed --==---ecosO

+1

[32.12]

Curve algebriche piane

378

32/Geometria delle coniche euclidee

379

Se invece P ed F sono in semipiani distinti, allora p cos () > d, e la [32.11] è equivalente a p = e(pcos() -d),

che, risolta rispetto a p, prende la forma

p=

ed ecos() -1

.

y

[32.13]

Questo secondo caso è possibile solo se e> 1, cioè se 51 è un'iperbole: in tal caso 51 possiede due rami, di equazioni rispettivamente [32.13] e [32.12]. Se invece O < e 5 1, allora 51 è un' ellisse oppure una parabola: in questo caso 51 possiede un solo ramo, situato nello stesso semipiano di F rispetto a~, e avente equazione [32.12]. Riassumendo abbiamo il seguente risultato.

(a)

(bI

Sia 51 una conica di eccentricità e, avente un fuoco f nel!'origine e per relativa direttrice la retta ~ di equazione X = d. Se O < e 51, 51 è un'ellisse o una parabola, e i suoi punti hanno coordinate polari che soddisfano l'equazione p=

z

ed ecos()

+1

. y

y x

Se e > 1, 51 è un 'iperbole, i cui due rami, giacenti nei'due semipiani definiti

da

~,

sono costituiti dai punti le cui coordinate polari soddisfano le equazioni

(c)

(d)

ed

p = ---"-"--ecos() + 1

p=

ed ecos() -1

,

dette equazioni polari della conica. 2. Consideriamo una circonferenza r > O; essa ha equazione

51 C E 2 di centro il punto (xo, Yo) e raggio

(e)

[32.14] X

cioè X 2 + y 2 + 2aOl X + 2a02 Y + aOO = 0,

[32.15]

221 • l ·h dove aOl = - x o, a02 = - Yo, aOO = X 2 o + Yo - r. n partlco are SI a

a~1+a~2-aOO>0.

o=

- aOl , Yo = - a02' r 2 = a~l + a~2 - aoo, e quindi ~ è una circonferenza di

centro (xo, Yo) e raggio r. Si noti che i punti impropri della circonferenza [32.15] sono i due punti non reali [O, 1, ± i], che sono chiamati punti ciclici del piano euclideo E 2 • Si verifica subito che una conica 51 di equazione

2 a1l X + a22 y 2 + 2a12 XY + 2a01 X + 2a02 Y + aoo =

[32.16]

Viceversa una conica di equazione [32.15] e tale che sia verificata la [32.16] è una circonferenza. Infatti la [32.15] si può scrivere nella forma [32.14] con

Figura 32.5

°

passa per i punti ciclici se e solo se a 1l = a22 , a12 = O. Quindi, supponendo = a22 = 1 dopo aver eventualmente diviso per all' se anche la [32.16] è soddi-

a 1l

Curve algebriche piane

380

33/Intersezione di due curve: proprietà elementari

381

sfatta Si' è una circonferenza. Se invece si ha 33 Intersezione di due curve: proprietà elementari

Si' è una circonferenza degenere (caso particolare dell'ellisse degenere), e se si ha a~1

+ a~2 - aoo < 0,

Si' è una circonferenza di raggio immaginario (caso particolare dell'ellisse a punti non reali). In particolare una conica non degenere con almeno un punto reale e passante per i punti ciclici è una circonferenza. 3. Nel caso particolare di E 3 il teorema di classificazione delle quadriche euclidee (cfr. 31.4) afferma che ogni quadrica non degenere di E 3 a punti reali è congruente a una delle seguenti 5 forme canoniche (fig. 32.5):

In questo paragrafo supporremoK algebricamente chiuso, salvo avviso contrario. Consideriamo una curva algebrica affine Si' di grado n in A 2 = A 2 (K), di equazione [33.1]

f(X, Y) =0.

Si' si dice irriducibile se f (X, Y) è un polinomio irriducibile di K[X, Y]; altrimenti si dice riducibile. Sia data una curva Si' riducibile; se il polinomio f si fattorizza come f (X,

n

=

fl (X,

n·· .fk(X, n,

[33.2]

allora, dette ~, ... , ~ le curve di equazioni

(a> b > c> O)

a)

ellissoide f..(X,

(a

b)

y2 Z2 ,-----=1 2 2 a b c2 X2

c)

> b > 0,

(a> 0,

c> O)

b > c> O)

n = 0,

iperboloide iperbolico (a una falda)

iperboloide ellittico (a due falde)

[33.3]

sussiste, tra i supporti, la relazione

Si'= ~u ... U~. Infatti, stante la [33.2], ogni soluzione (x, y) dell'equazione [33.1] è necessariamente soluzione di almeno ùna delle equazioni [33.3], e viceversa. Scriveremo

d)

e)

(a> b> O)

paraboloide ellittico

(a, b> O)

paraboloide iperbolico.

Si'=~+ ... +~

per esprimere il fatto che si ha la decomposizione [33.2]. Se la [33.2] è la decomposizione dif(X, Y) in fattori irriducibili, le curve irriducibili ~, ... , ~ si dicono componenti irriducibili di ~ Se fj (X, è un fattore multiplo di f(X, Y) di molteplicità fl-j' la corrispondente componente irriducibile di Si' è detta componente multipla di molteplicità fl-j' La curva Si' si dice ridotta se non possiede componenti multiple. Ad esempio, una conica è irriducibile se e solo se è non degenere. Una conica semplicemente degenere possiede due componenti irriducibili distinte che sono due rette, mentre una conica doppiamente degenere è non ridotta, essendo costituita da una retta con molteplicità 2. Utilizzando i risultati dell'appendice A (pp. 435-37) è immediato verificare che una curva Si' è irriducibile se e solo se lo è ogni curva ad essa affinemente equivalente. Quindi riducibilità e irriducibilità sono proprietà affini.

n

Esercizi 1. Dimostrare che una circonferenza ha ogni retta contenente il suo centro come asse di simmetria.

2. Calcolare coordinate dei fuochi, eccentricità ed equazioni delle direttrici delle coniche di equazioni X2 y2 a) - + - = 1

9

4

c) y2 = 4X.

[33.4]

Curve algebriche piane

382

Analogamente, sono proprietà affini di una curva numero, grado e molteplicità delle sue componenti irriducibili. Con ovvie modifiche, le nozioni che abbiamo introdotto per le curve affini (irriducibilità, componenti irriducibili ecc.) si possono dare per le curve algebricht( proiettive. Si dimostra allora che riducibilità e irriducibilità, numero, grado e molteplicità delle componenti irriducibili di una curva 2t di p2 sono proprietà proiettive. Evidentemente il grado di una curva è uguale alla somma dei gradi delle sue componenti irriducibili, purché ogni componente venga contata un numero di volte pari alla sua molteplicità: infatti la stessa proprietà vale per i polinomi. La teoria delle curve algebriche piane dipende in buona parte dallo studio delle intersezioni di due curve. Ciò corrisponde algebricamente a risolvere un sistema di due equazioni polinomiali. In quanto segue ci limiteremo a trattare aspetti elementari dal problema. 33.1 TEOREMA Siano 2t e § curve algebriche piane, affini o proiettive, di gradi n ed m rispettivamente. Se 2t e § non hanno infiniti punti in comune, esse hanno al più nm punti in comune. Se2t e § sono curve proiettive, esse hanno almeno un punto in comune. Dimostrazione Se 2t e § sono curve affini aventi un numero finito di punti in comune, anche le loro chiusure proiettive hanno un numero finito di punti in comune. Possiamo dunque limitarci a dimostrare l'asserto nel caso proiettivo. È evidente inoltre che non è restrittivo sostituire 2t e § con due curve loro trasformate mediante una (e la stessa) proiettività. Siano dunque ~ § C p2, e {P I , ••• , PN } = 2tn §. Per ognij -,é. k, sia 'bjk la retta per Pj e P k • Poiché esiste almeno un punto di p2 non appartenente alla curva riducibile 2t + § + Ejk 'bik , possiamo supporre, eventualmente utilizzando una proiettività per trasformare 2t e §, che [0, 0, 1] rt. 2t + § + E ik 'bik . Siano F(Xo, Xl' XJ

=

0,

equazioni di 2t e di §

G(Xo, XI' X 2)

=

°

An (Xo, XJ + An_I (Xo, X I)X2 +

=

G(Xo, XI' X 2)

= Bm(Xo, XI) + Bm_1(XO'

X I)X2 +

srn

383

°

Se [xo, XI' x;I E !», si ha R(xo, XI) = perché F(xo, XI' XJ e G(xo, Xl' XJ hanno la radice comune X2 • Viceversa, ad ogni (xo, XI) tale che R (xo, XI) = corrisponde almeno una radice comune X2 di F(xo, XI' XJ e G(xo, Xl' XJ che definisce un punto [xo, XI' x;I E 2t n §.Quiridi, poiché R (Xo, XI) ha almeno una radice, 2t n § -,é. 0. Poiché 2tn § è finito, R(Xo' XI) non si annulla identicamente. Dal teorema A.18 segue che R(Xo, XI) è omogeneo di grado nm. Poiché R(Xo, XI) possiede al più nm radici distinte, per concludere la dimostrazione sarà sufficiente far vedere che, per ogni radice (xo, XI) di R (Xo, XI)' esiste al più un punto [xo, XI' x2]E 2tn §. Ma se [xo, Xl' X2], [xo, Xl' y;l E 2t n §, x 2 -,é. Y2' la retta che contiene questi due punti passa per [0, 0, 1], e ciò contraddice l'ipotesi.

°

È possibile che due curve 2t e § abbiano meno di nm punti in comune anche nel caso proiettivo; ciò apparirà chiaro man mano che procederemo nella discussione, e diversi esempi ci si presenteranno. Nel caso particolare in cui § è una retta, il teorema afferma che 2t e § hanno al più n punti in comune. Ovviamente nel caso affine due curve possono non avere alcun punto in comune (si pensi a due rette parallele). Si noti anche che se K non è algebricamente chiuso due curve proiettive possono di P2(R) non avere punti in comune. Ad esempio la conica Xg- + X I2 + Xi = non ha punti reali e quindi ha intersezione vuota con ogni curva. È possibile introdurre in modo opportuno una nozione di "molteplicità di intersezione" di due curve in un loro punto comune. Una versione più precisa del teorema 33.1, il teorema di Bezout, afferma che due curve proiettive che non hanno infiniti punti in comune ne hanno precisamente nm, purché ognuno di essi venga contato con la sua molteplicità di intersezione. La dimostrazione del teorema di Bezout è alquanto più delicata e verrà data solo nell'ipotesi che una delle due curve sia una retta. Consideriamo ora il caso in cui 2t e § hanno infiniti punti in comune.

°

33.2 TEOREMA Siano 2t e § curve algebriche piane, affini o proiettive, con § irriducibile. Se 2t e § hanno infiniti punti in comune, § è una componentè irriducibile di 2t.

rispettivamente, dove

F(Xo, XI' X 2 )

33/Intersezione di due curve: proprietà elementari

+ AoX;, + BoX!!"

con Ah' BkE K[Xo, XI] omogenei di grado h, k rispettivamente. Sia R(Xo, XI) il risultante di F e G rispetto a X 2 • Poiché [0, 0, 1] rt. 2tu §, si ha AoBo -,é. 0, e di conseguenza, per ogni XO, XI E K, i polinomi in X 2 F(xo, XI' X 2) e G(xo, Xi' XJ hanno grado effettivo n ed m rispettivamente. Pertanto, per ogni XO, Xl E K, R(xo, XI) è il risultante di F(xo, XI' XJ e G(xo, Xl' X 2).

Dimostrazione Daremo la dimostrazione nel caso affine, lasciando al lettore la facile estensione a quello proiettivo. Supponiamo dapprima che § sia una retta 'b, di equazione aX+bY+c=O e che 2t abbia equazione [33.1]. I punti di 'b

[33.5]

n 2t

corrispondono alle solu-

384

Curve algebriche piane

zioni del sistema costituito dalla [33.1] e dalla [33.5]. Supponiamo b-:/;.O (il caso b = si tratta nello stesso modo, scambiando X e Y). Sostituendo Y = - b-laX - b-lc nella [33.1] otteniamo un'equazione in X:

°

33/Intersezione di due curve: proprietà elementari

Poiché F è il campo dei quozienti di K[X], esiste h E K[X], h -:/;. 0, tale che Ah e Bh appartengano entrambi a K[X]. Moltiplicando primo e secondo membro della [33.8] per h si ottiene l'identità

h

[33.6] dove [33.7] Ogni soluzione della [33.6], sostituita nella [33.5], formsce le coordinate di uno dei punti di z, n 5f, e tutti i punti di z, n :t: sono ottenuti in questo modo. La condizione che z, e :t: abbiano infiniti punti in comune è pertanto equivalente a quella che il polinomio [33.7] sia identicamente nullo. D'altra parte, Z, è una componente irriducibile di :t: se e solo se il polinomio Y + b-laX + b-lc dividef(X, Y), cioè se si ha

f(X, Y) = (Y + b-laX + b-lc)h(X, Y) per un opportuno h(X, Y)E K[X, Y]. Sostituendo a primo e secondo membro di questa identità - (b-laX + b-lc) al posto di Y, si deduce che la condizione detta è equivalente alla condizione

Ma il primo membro è il polinomio [33.7], il cui annullarsi equivale alla condizione che z, e :t: abbiano infiniti punti in comune. Ciò dimostra il teorema nel caso . in cui g è una retta. Consideriamo ora il caso generale. Supponiamo che :t: e g abbiano rispettivamente equazione

f(X, Y) = 0,

= (Ah)f + (Bh)g.

[33.9]

Dalla [33.9] deduciamo che ogni punto comune a :t: e g appartiene alla curva 5::f di equazione h = O. Quindi g e 5::f hanno infiniti punti in comune, perché infiniti ne hanno :t: ed g; poiché 5::f è un'unione di rette parallele all'asse Y, ragionando come sopra si deduce che g è una retta. Per la prima parte della dimostrazione g è una componente irriducibile di 5f, e questa è una contraddizione. 33.3 COROLLARIO Se due curve (affini o proiettive) di gradi m ed n rispettivamente hanno mn + 1 punti in comune, allora hanno una componente irriducibile in comune.

Dimostrazione Siano :t: e g le due curve. Dal teorema 33.1 discende che esse hanno in comune infiniti punti. Poiché g ha un numero finito di componenti irriducibili, una almeno di esse, g', ha infiniti punti in comune con Sf. Per il teorema 33.2 g' è una componente irriducibile di Sf. Consideriamo una curva

:t: C pZ di grado n di equazione [33.10]

e sia z, una retta, assegnata mediante due suoi punti distinti P Q = [qo, ql' qz)· Il punto variabile su z, è

= [Po, Pi' pz],

g(X, Y) = 0,

e

[33.11]

conf(X, Y), g(X, Y)E K[X, Y] non costanti, e g(X, Y) irriducibile. Sef(X, Y) è costante rispetto a Y, :t: consiste di un numero finito di rette parallele all'asse Y. In questo caso g interseca una almeno di queste rette in infiniti punti, e quindi la ha come componente irriducibile. Ma g, essendo irriducibile, coincide con una di tali rette, e quindi è una componente irriducibile di Sf. Se f (X, Y) non è costante rispetto a Y, consideriamo f (X, Y) e g(X, Y) come elementi di D[Y), dove D = K[X], e denotiamo con F il campo dei quozienti di D. Supponiamo per assurdo che g(X, Y) non dividaf(X, Y). Alloraf(X, Y) e g(X, Y) sono privi di fattori comuni non costanti rispetto a Y, cioè in D [Y] non hanno fattori comuni non costanti. Per la proposizione A.16, f(X, Y) e g(X, Y) non hanno fattori comuni non costanti in F[Y], cioè MCD(f, g) = 1 in F[Y). Per le proprietà del MCD esistono A, BEF[Y] tali che 1 =Af+Bg.

385

Denoteremo tale punto con AP + p.. Q. Esso appartiene a

:t:

se e solo se [33.12]

ovvero, più sinteticamente, se F(AP + p.. Q)

= O.

La [33.12] è un'equazione omogenea di grado n in A, p.., le cui soluzioni, sostituite nella [33.11], determinano i punti di z, n Sf. Segue dal teorema 33.2 che il primo membro della [33.12] si annulla identicamente se e solo se z, è una componente irriducibile di Sf. Assegnando due ulteriori punti P' [p~, p{, p{], Q' [q~ , q{, qz '] E z" ed esprimendo il punto variabile su z, come A' P' + p.. , Q'

[33.8]

25

= [A'p~

+ p.. , q~, A'p{ + p.. , q{, A'P; + p.. , q;],

[33.13]

Curve algebriche pianè

386

si ottengono i punti di ~ n :ti' anche sostituendo nella [33.13] le soluzioni dell'equazione

F(À' P' + jl' Q')

= o.

Ma ÀP + jlQ = À' P' + jl' Q' se e solo se esiste una matrice A tale che exÀ = auÀ' + a12 jl'

[33.14] =

(ai) E GLiK) [33.15]

387

La nozione di molteplicità di intersezione di una retta e di una curva in un punto si può dare anche nel caso affine, in mod.o simile al precedente. Se la curva :ti' C A 2 ha equazione [33.1], e la retta ~ ha equazioni parametriche

X=a+Lt

[33.17]

Y=b+Mt, sostituendo le [33.17] nella [33.1] si ottiene l'equazione in t

exjl = a21 À' + a22 jl' per qualche ex;é O. Quindi, a meno di un fattore ex n , la sostituzione [33.15] trasforma l'equazione [33.12] nella [33.14]. Poiché la [33.15] è invertibile, essa fa corrispondere biunivocamente i fattori irriducibili dei due polinomi F(ÀP + jlQ) e F(À' P' + jl' Q'), e quindi le soluzioni delle due equazioni si corrispondono biunivocamente in modo che quelle tra loro corrispondenti (che definiscono lo stesso punto di ~ n :ti') abbiano la stessa molteplicità. In particolare la molteplicità della radice della [33.12] corrispondente a un determinato punto di ~ n :ti' dipende solo dal punto e non da P e Q. Le osservazioni precedenti consentono di dare la seguente definizione. 33.4 DEFINIZIONE Siano ~ e :ti' una retta e una curva di p2. Con le notazioni testé introdotte, diremo che ~ e :ti' hanno molteplicità di intersezione I(5ff, ~; P o) nel punto P o = ÀoP + jloQE ~, se (Ào, jlo) è una radice di molteplicità I(5ff, ~; Pa> del polinomio F(ÀP + jlQ), convenendo di porre I(5ff, ~; Pa> = O nel caso in cui Po~ :ti' n ~, e I(5ff, ~; P o) = 00 se ~ C !Ii'. Come abbiamo appena verificato, la molteplicità di intersezione così definita non dipende dalla scelta dei due punti P e Q su ~, e quindi la definizione è ben posta. Il seguente teorema è un caso particolare del teorema di Bezout, cui abbiamo accennato precedentemente. 33.5 TEOREMA Siano:ti' C p2 una curva di grado n ed ~ una retta che non è sua componente. Allora I: I(5ff, ~; P o) = n.

33/Intersèzione di due curve: proprietà elementari

[33.16]

PoEi-

Dimostrazione Supponiamo che :ti' abbia equazione [33.10] e che ~ sia individuata dai punti P e Q. La sommatoria a primo membro della [33.16] consiste di infiniti addendi, di cui solo un numero finito sono diversi da zero, ed è uguale alla somma delle molteplicità delle radici del polinomio F(ÀP + jlQ). Poiché questo polinomio è omogeneo di grado n, l'asserto segue dalla proposizione A.13.

f(a + Lt, b+ Mt)

= O,

le cui soluzioni, sostituite nelle [33.17], determinano le coordinate dei punti di intersezione di :ti' ed ~. 33.6 DEFINIZIONE Siano ~ e :ti' rispettivamente una retta e una curva di A 2 • Con le notazioni introdotte sopra, diremo che ~ e :ti' hanno molteplicità di intersezione I(5ff, ~; P o) nel punto P o = (a + Lto, b + Mto) E ~ se to è una radice di molteplicità I(5ff, ~; P o) del polinomio f(a + Lt, b + Mt), convenendo di porre 1(5ff, ~; P o) = O nel caso in cui Po~ :ti' n ~, e I(5ff, ~; P o) = 00 se ~ C !Ii'. Riducendosi al caso proiettivo si può verificare che la definizione 33.6 è ben posta. Consideriamo infatti le chiusure proiettive :ti' * ed ~* di :ti' e di ~ rispettivamente. La curva :ti'* abbia equazione [33.10]. La retta ~* ha equazioni parametriche Xo

=À

XI

=aÀ+Ljl

[33.18]

x 2 =bÀ+Mjl perché contiene [1, a, b] e il punto improprio [O, L, M). Sostituendo le [33.18] in F(Xo, XI' X~ si ottiene un polinomio omogeneo in À e jl

F(À, aÀ + Ljl, bÀ + Mjl) tale che

F(1, a + Lt, b + Mt) =f(a + Lt, b + Mt).

[33.19]

Poiché I(:ti'*, ~*; P o) è per definizione la molteplicità della radice (1, to) per F(À, aÀ + Ljl, bÀ + Mjl), vediamo che [33.20] e quindi la definizione di I(5ff, ~; P o) è ben posta perché I(:ti'*, ~*; P o) dipende solo da 5ff, ~ e P o'

Curve algebriche piane

388

Si osservi che, posto P 1 per ogni retta t- passante per P. Si noti che, posto n == gr(F), si ha

Fo(Xo, Xl' XJXo + F l (Xo, Xl' XJXI + F2(Xo, Xl' XJX2 = nF(Xo, Xl' XJ [34.9J

(cfr. proposizione A. 12(3» e quindi le condizioni [34.8] implicano anche F(P) = O, cioè PE 5ff. • Possiamo riassumere quanto detto più sopra nel seguente enunciato: 34.3 PROPOSIZIONE Sia:t: C p 2 la curva di equazione [34.6]. Un punto PEp2 è semplice per :t: se e solo se PE :t: e almeno una delle derivate parziali prime di F(Xo, Xl' XJ non si annulla in P. Viceversa, il punto PE p2 è singolare per :t: se e solo se tutte e tre le deri-

vate parziali prime di F(Xo' Xl' X 2) sono nulle in P.

7

Supponiamo che P sia un punto semplice per :t: C p2, e consideriamo la retta di equazione [34.10]

Dalla [34.9] si deduce immediatamente che PE 7. La [34.7] implica poi che è l'unica retta tale che

7

l(~ 7; P»1. 7

si dice retta tangente a :t: nel suo punto semplice P.

Una curva irriducibile (affine o proiettiva) possiede al più un numero finito di punti singolari. 34.4 PROPOSIZIONE

393

Dimostrazione Sia :t: affine di equazione [34.2]. Per la proposizione 34.2, i punti singolari di :t: sono i punti comuni a :t: e alle curve :t:x e :t:y, di equazioni rispettive fx(X, Y) = O, fy(X, Y)

= O.

Sarà quindi sufficiente dimostrare che :t:n :t:x è finito. Poiché :t: è irriducibile e gr(:t:x ) < gr(:t:), :t:x non può essere una componente di 5ff. Dal teorema 33.2 discende che:t:x e :t: hanno solo un numero finito di punti in comune. Se :t: è proiettiva di equazione [34.6], ed è diversa dalla retta t-o di equazione X o = O, allora :t: è la chiusura proiettiva della curva affine 0 di equazione

. F(l, X, Y)=O, che è ancora una curva irriducibile. I sùpporti di :t: e di 0 differiscono solo per i punti di :t:n t-o, che sono in numero finito; inoltre un punto di ·0 è singolare per 0 se e solo se lo è per 5ff. Poiché per la prima parte della dimostrazione 0 possiede al più un numero finito di punti singolari, lo stesso è vero per 5ff. Se PE:t: è un punto singolare, ogni retta t- contenente P è tale che

Per questo motivo si conviene di considerare tangente a :t: ogni retta pas-

sante per P. 34.5 DEFINIZIONE Sia :t: una curva algebrica (affine o proiettiva) e sia PE:t: un suo punto. Una retta t- tale che l(~ t-; P) > mp(:t:) è detta tangente principale a :t: in P. Si noti che se P è un punto semplice, la nozione di tangente e quella di tangente principale coincidono. Sia :t: una curva affine e sia :t:* C p 2 1a chiusura proiettiva di 5ff. Una retta t- C A2 la cui chiusura proiettiva sia una tangente principale a :t:* in uno dei punti impropri di :t: si dice asintoto di 5ff. La curva :t: non possiede asintoti precisamente quando i suoi punti impropri hanno come unica tangente principale la retta impropria. Ad esempio, una parabola non degenere non ha asintoti. Infatti, essendo non singolare ed avendo un unico punto improprio, è intersecata con molteplicità 2 dalla retta impropria, la quale è la sua tangente in quel punto. Una conica a cen-

Curve algebriche piane·

394

a centro possiede due asintoti perché interseca la retta impropria in due punti distinti e quindi non può averla come tangente. Passiamo ora a studiare la struttura di un punto singolare di una curva 5d: calcolandone la molteplicità e le tangenti principali. Consideriamo ancora una curva qffine Sff di equazione [34.2] e un punto p = (a, b) E 5f. Sostituiamo inf(X, Y) le espressioni a secondo membro nelle equazioni parametriche [34.3] di una retta ~ passante per P. Utilizzando il teorema di Taylor otteniamo l'identità: f(a + Lt, b + Mt)

=

variabili corrispondenti agli indici, calcolate nel punto P. Anche in questo caso la condizione mp(Sff) = m è equivalente all'annullarsi in P di tutte le derivate parziali di F di ordine minore o uguale ad m-l ed al non annullarsi in P di almeno una delle derivate di ordine m. In questo caso la sola condizione di annullamento in P delle derivate parziali di ordine uguale a m-l implica l'annullamento di tutte le derivate parziali di ordine inferiore. Infatti, poiché F è omogeneo, le sue derivate parziali sono polinomi omogenei. Per la proposizione A.12(3) si ha (m - 2)F:l i2 ••• im_,(XO' XI' Xz) == = Fili2 ... im_20(XO' XI' XZ)XO+ F ili2 + Fili2

Ux(a, b)L + fy(a, b)M] t + fxx(a, b)L Z+ 2fxy(a, b)LM + fyy(a, b)M Z

+ ---=..::=-=-------~=----'----'--'--'-=-'--'--- t Z + ... 2!

kt (~)fx-,Y*(a, ... + r!

b)L'-kM

k t'

+ ...

[34.11]

[34.12] per r = 1, ... , m-l, e b)Lm-kMk -,é. O.

i 2 1 (XO ' XI' XZ)XI + im _ 2Z(XO' XI' XZ)XZ' m-

Se ognuno degli addendi a secondo membro, che sono derivate parziali di ordine

dove fx(a, b), fxx(a, b), ... , fX-kyk(a, b), ... denotano le derivate parziali di f(X, Y) rispetto alle variabili indicate, calcolate nel punto P = (a, b). Dalla [34.11] si deduce che la condizione necessaria e sufficiente affinché t = O sia una radice di molteplicità m per f(a + Lt, b + Mt) è

k~O (;)fxm-,y,(a,

395

34/Proprietà locali delle curve algebriche piane

m -1 di F, si annulla in P, ciò è vero anche per il primo membro, e dunque F: i im - (P) = O. Pertanto ogni derivata parziale di ordine m- 2 si annulla in P . l 2

...

2

In modo simile si dimostra che sono nulle le derivate parziali di ordine inferiore a m-2. Possiamo dunque enunciare il risultato seguente: 34.6 PROPOSIZIONE 1) Sia Sffc AZ la curva di equazione [34.2]. Un punto PESff ha molteplicità m per Sff se e solo se in P si annullano tutte le derivate parziali di f(X, Y) fino all'ordine m -1 e almeno una delle derivate di ordine m non si annulla. 2) Sia Sffc pZ la curva di equazione [34.6]. Un punto PESff ha molteplicità m per Sff se e solo se in P si annullano tutte le derivate parziali di F(Xo, XI' Xz) di ordine m -1, e non si annulla almeno una delle derivate di ordine m.

[34.13]

Quindi mp(Sff ) = m se e solo se la [34.12] è soddisfatta per ogni scelta di L, M e la [34.13] è soddisfatta per almeno una scelta di L, M. Queste condizioni sono evidentemente equivalenti all'annullarsi in P di tutte le derivate parziali di f (X, Y) fino all' ordine m-l incluso, e al non annullarsi in P di una almeno delle derivate parziali di ordine m. Il caso di una curva proiettiva di equazione [34.6] viene trattato in modo simile utilizzando il polinomio F(po +tqo, PI + tql' Pz + tqz). Precisamente, il teorema di Taylor dà

[34.14] dove F:(P), F}k(P), ... denotano le derivate parziali di F(Xo, XI' X 2) rispetto alle

Supponiamo che Sff sia affine di equazione [34.2], e che il punto P = (a, b) abbia molteplicità mp(Sff) = m. Le tangenti principali sono le rette ~ il cui vettore di direzione (L, M) annulla il primo membro della [34.13]: poiché questo è un polinomio omogeneo di grado m in L, M, deduciamo che esiste almeno una tangente principale, e che ve ne sono al più m = mp(Sff) distinte, ed esattamente mp(Sff) se il primo membro della [34.13] ha radici tutte distinte. Nel caso in cui Sff è proiettiva di equazione [34.6], e il punto P è di molteplicità m, valgono analoghe osservazioni relativamente al coefficiente di t m nella [34.14]. Otteniamo la seguente 34.7 PROPOSIZIONE-DEFINIZIONE la curva piana (affine o proiettiva)

Sia P un punto di molteplicità mp(Sff) per 5f. Il numero ~ di tangenti principali distinte

Curve algebriche piane

396

a ~ in P è tale che

34/Proprietà locali delle curve algebriche piane

ed esprimiamo f(X, Y) nel modo seguente: f(X, Y) = f«X - a) + a, (Y - b) + b) = g(X - a, Y - b) = = Go + G1(X - a, Y -::b) +G2 (X-a, Y - b) + ...,

l :5 ~ :5 mp(~).

Se ~ = mp(~) ;::: 2, P si dice punto multiplo ordinario. Un punto doppio ordinario si dice nodo. In un punto doppio non ordinario P la curva ~ possiede un'unica tangente principale 7, ed essa è tale che I(~ 7; P);::: 3. Un punto doppio non ordinario P tale che

dove Go = g(O, O) = f(a, b) = O. Sostituendo X = a + Lt, Y = b + Mt a primo membro si ottiene la [34.11]. Confrontando con l'ultimo membro e uguagliando i coefficienti di t', si deduce

f

G,(L, M)

k~O

(r)fX_kYk(a, b)L,-kM k k

=---'--!..------r!

I(5ff, 7; P) = 3 è detto cuspide ordinaria. Il calcolo delle tangenti principali a una curva affine di equazione [34.2] in un suo punto P = (a, b) si effettua, molto semplicemente, come segue. Supponiamo dapprima P = (O, O), e scriviamo ilpolinomio f(X, Y) come somma di polinomi omogenei f(X, Y)

dove Fo = f(O, O) = O, e F,(X, Y), r;::: l, è somma di tutti i monomi di grado r dif(X, Y). La [34.11] si ottiene sostituendo X = Lt, Y = Mt; uguagliando i coefficienti di t' si deduce

Pertanto, posto m = m(O, O)(~), si ha

= ... = Fm- 1(X,

Y)

= O, Fm(X,

Y):;é O,

cioè m (O, O) (~) evuavlia il minimo grado dei monomi non nulli di f(X, Y).• • o o Segue inoltre che le tangenti principali a ~ in (O, O) hanno equaZIOnI MX - LY = O, al variare di (L, M) tra le radici dell'equazione omogenea [34.15] Ciò equivale a dire che le equazioni delle tangenti principali si ottengono eguagliando a zero i fattori lineari del polinomio Fm(X, Y). Quindi la curva di equazione [34.15] si decompone nell'unione delle tangenti principali di 5if. Se Fm(X, Y) si decompone in m fattori lineari distinti, e solo allora, l'origine è un punto m-uplo ordinario per 5if. Nel caso generale P = (a, b) poniamo f(U+a, V+b)=g(U, V)=GO+G1(U, V)+G 2 (U, V)+ ... ,

Pertanto si ha G1(X-a, Y-b)=G 2 (X-a, Y-b)= ... = Gm_1(X-a, Y-b)=O e Gm(X - a, Y - b) non è identicamente nullo. La curva di equazione Gm(X - a, Y - b)

= Fo + F 1(X, Y) + F2 (X, Y) + ...,

F 1(X, Y)

397

=

O

si decompone nell'unione delle tangenti principali a ~ in P. Consideriamo alcuni esempi di curve affini con diversi tipi di singolarità nell'origine. Nelle figure 34. la-e ne è rappresentato il supporto reale. a) X 3 - X 2 + y 2 = O: la curva possiede un nodo nell'origine, con tangenti principali X - Y = O e X + Y = O. b) X 3 - y 2 = O: la curva possiede una cuspide ordinaria nell'origine, con tangente principale Y = O. c) 2X 4 - 3XZ Y + y 2 - 2 y 3 + y 4 = O: anche questa curva possiede un punto doppio nell'origine, con unica tangente principale 7 : Y = O. Si calcola facilmente che I(~ 7;'0) = 4, e quindi Onon è una cuspide ordinaria. Questa singolarità è chiamata tacnodo. d) (X 2 + y 2)2 + 3X 2 Y - y 3 = O: l'origine è un punto triplo, ordinario, con tangenti principali Y = O, Y - -J3x = O, Y + -J3x = O. e) (X 2 + y 2)3 - 4X 2 y 2 = O: l'origine è un punto quadruplo non ordinario, con due tangenti principali: X = O e Y = O. Un punto semplice P di una curva affine o proiettiva ~ è un flesso se I(~ 7; P) ;::: 3. Un flesso si dice di specie k(;::: l) se I(~ 7; P) = k

+ 2.

Un flesso di specie k = l (risp. k;::: 2) si dice ordinario (non ordinario). Una retta ~ è una curva non singolare che coincide con la sua tangente in ogni suo punto; quindi ogni suo punto P è un punto di flesso perché I(~, ~; P) = 00.

Curve algebriche piane

398

34/Proprietà locali delle curve algebriche piane

399

Poiché in ogni punto P di una curva ~ si ha I(!.t', 7; P):5 gr(~) a meno che 7 non sia contenuta in !.t', una conica irriducibile non possiede punti di flesso, e una cubica irriducibile può possedere solo flessi ordinari. La curva affine ~ di equazione-

y- X k + Z = 0,

k

~

l

ha nell'origine un flesso di specie k. Sia ~ C p Z una curva proiettiva di equazione [34.6], avente grado n ~ 3. L' hessiana di ~ è la curva di equazione (b)

(a)

H(X)

=

0,

dove H(X) è il determinante della matrice 3 X 3

(

FOO(X)

FOI (X)

FOZ(X»)

FIO (X)

Fil (X)

FdX) .

Fzo(X)

F Z1 (X)

Fzz(X)

[34.16]

La [34.16] e H(X) si dicono rispettivamente matrice hessiana e determinante hessiano di F(X). Si ha

gr(H(X»

=

3(n - 2).

L'hessiana di una curva serve a individuarne i punti di flesso.

I flessi di una curva proiettiva ~ sono i punti non singolari che la curva ha in comune con la sua hessiana. 34.8

(d)

(c)

PROPOSIZIONE

Dimostrazione Consideriamo un punto semplice P Q= [qo, ql' qz]EP z. Si ha

= [Po, PI' pz] E !.t',

F(ì-P + flQ) = F(P)ì- n + "EF;(P)q i ì- n- 1fl

e un punto qualunque

+ _1 "EF;j(P)qiqjì-n-zfl z + ....

i

2! i,j

Il punto P è un flesso di ~ se e solo se

per ogni Q tale che "EF;(P)qi = 0, l

cioè per ogni Q appartenente alla retta tangente (e)

Figura 34.1

"EFJP)Xi = O. l

7

in P, che ha equazione

Curve algebriche piane

400

4) PE:f! è un punto multiplo ordinario (non ordinario) per :f!se e solo se T(P)

Quindi P è un flesso se e solo se 7 è una componente della conica r di equazione

è un punto multiplo ordinario (non ordinario) per T(:f!).

EFij(P)XiXj = O. l,}

Se P è un flesso, r è degenere, cioè H(P) = o. Viceversa, supponiamo H(P) = O, cioè r degenere. Applicando due volte la proposizione A.12(3), si trova

EF.(P)pp = [EFoiP)p)po + [EF1j(P)P)Pl + [EFziP)pj]Pz = i,j l} l} j } } = (n -l)EFi(P)Pi = n(n -l)F(P) = O, I

Dimostrazione 1) Poiché le rette del fascio di centro P e quelle del fascio di centro T(P) si corrispondono biunivocamente, per la proposizione 33.9 si ha mp(:f!) = minpEJ(:t;, ~; P) = minT(P)ET(~l(T(:f!), T(~); T(P» = m T(P) (T(:f!».

EFij(P)PiXj = O. l,}

Poiché si ha

34.11 Complementi 1. Siano :f! e !?J due curve (affini o proiettive). Per ogni punto P del piano si ha [34.17]

EFij(P)PiXj = (n -1)fFlP)Xi, l,)

la tangente ar in P è T. Il fatto che r è riducibile implica che T'è una componente di r. Quindi P è un flesso. Dalla proposizione precedente e dal teorema 33.1 segue immediatamente il seguente corollario. 34.9 COROLLARIO Una curva proiettiva di grado n 2: 3, se non ha injinitiflessi, ne ha al più 3n(n - 2) e, se è non singolare, ne ha almeno uno. Il risultato seguente esprime la relazione esistente tra leyroprietà locali di due curve proiettivamente equivalenti. (L? Z Z Z • • 't' 34.10 PROPOSIZIONE Siano..0 C P una curva e T : P ~ P una prolettlVl a. 1) Per ogni PEp z si ha

=

mT(p)(T(:f!»;

in particolare P è punto semplice (punto multiplo) per :f!se e solo se T(P) è punto semplice (punto multiplo) per T(:f!). 2) Una retta ~ è tangente (tangente principale) a :f! in P se e solo se T(~) è tangente (tangente principale) a T(:f!) in T(P). 3) PE :f! è un flesso di specie k per :f! se e solo se T(P) è un flesso di specie k per T(:f!).

=

Le (2) e (3) sono una conseguenza immediata della (1) e della proposizione 33.9. La (4) segue dalla (2) e dal fatto che le rette del fascio di centro P e quelle del fascio di centro T(P) si corrispondono biunivocamente.

e quindi PE r. Inoltre la tangente a r in P ha equazione

mp(:f!)

401

34/Proprietà locali delle curve algebriche piane

La dimostrazione è un facile esercizio (si applichi la [33.22]). Dalla [34.17] discende che, data una curva qualsiasi :t;, i suoi punti singolari sono singolari per qualche sua componente irriducibile, oppure appartengono ad almeno due componenti, o a una componente multipla, Supponiamo in particolare che Yt sia ridotta. Dalla proposizione 34.4 segue che le componenti irriducibili di :f!hanno al più un numero finito di punti singolari; d'altra parte i punti di intersezione di tutte le possibili coppie di componenti irriducibili distinte di Yt sono in numero finito. Deduciamo quindi che ogni curva ridotta possiede al più un numero finito di punti singolari. Dalla [34.17] segue anche che se una curva (affine o proiettiva) :f! di grado n si decompone in n rette, non necessariamente distinte, passanti tutte per un punto P, allora mp(Yt) = n. Viceversa, se una curva (affine o proiettiva) :f! di grado n possiede un punto P di molteplicità n, :f!si decompone in n rette, non necessariamente distinte, passanti per P. Infatti ogni retta che contiene P e un altro punto di Ytha almeno n + 1 intersezioni con :f! e quindi, per il corollario 33.3, è una componente irriducibile di ~ Ne segue che ogni componente irriducibile di Yt è una retta contenente P, e quindi l'asserto. Supponiamo:f! affine di equazione [34.2]. La condizione che O = (O, O) sia un punto n-uplo per Yt equivale, per quanto appena visto, alla condizione chef(X, Y) si decomponga nel prodotto di n fattori lineari omogenei, e ciò è equivalente alla condizione che f(X, Y) sia un polinomio omogeneo.

26

Curve algebriche piane

402

35/Sistemi lineari di curve piane

403

Ad esempio, se ~ è una conica irriducibile r ~(~) è una retta. Se PE~, r~(~) è la tangente a ~in P. Se invece Pf/.~, allora r~(~) n~= (QI' Qz), e le rette L (P, Ql) ed L (P, Qz) sono tangenti a ~ (fig. 34.2).

Esercizi 1. Verificare che gli asintoti di un'iperbole come sono stati definiti nel § 32 sono asintoti anche nel senso della definizione data in questo paragrafo.

Figura 34.2

2. Nel piano affine A 2(C) si considerino le curve di equazioni: 2

2. Sia ~C pZ una curva proiettiva di equazione [34.6] e sia P un punto di pZ. Sostituendo

a) y 2(X - 2 Y) - (X 2 + y ) = =

[Po, PI' pz]

X + tP = (Xo + tpo' XI + tpi' X z + tpz) al posto delle variabili X = (Xo, XI' Xz) in F(X) , otteniamo il polinomio F(X + tP) in X o' Xi' X z, t. Uguagliando a zero il coefficiente di t'in F(X + tP) si ottiene una curva rr = r~(~), detta l'r-esima polare di P rispetto a ~ Se ~ ha grado n, rr ha grado n - r e ha equazione . I: Fi1 ... i,(X)Pi ",Pi, = O. l

Il,···,lr

rI

In particolare, rr è definita per O:5 r:5 n-l. Si ha rO di P è la curva di equazione

= 51, e la prima polare [34.17]

I: Fi(X)Pi = O. i

La più importante proprietà di r I è la seguente: ~n r ~(~) consiste dei punti QE~ che sono singolari oppure tali che la tangente a ~ in Q contenga P. Infatti QE~n r~(~) se e solo se F(Q) = O = I:Fi(Q)Pi' Ciò avviene prel

cisamente se Fo(Q)

°

b) (X- Y)3+X 2 - y2-4X=0 c) X 2(X 2 - y2) _ 4X 2Y + y3 =

d) X 2(X 2 + y2) _ X 2Y _ 4 y3 = e) X 2 y2 _ X 3 _ y3 - Xy = f) y2

4

+X +X

g) y - 4X 2 - X

5

=

°

5

=

O.

°

° °

Di ognuna di esse studiare le proprietà locali nell'origine e all'infinito. 3. Determinare equazioni cartesiane delle rette polari dei seguenti punti di P 2 (C): Fo = = [1, 0, O], F, = [O, 1, O], F 2 = [O, 0, 1], U = [l, 1, 1], P[l, 2, 3], rispetto a ciascuna delle coniche di equazioni seguenti, in coordinate non omogenee: a) X

2 + 2 y2 - 4 =

c) XY= 4

°

b)X 2 -3XY+Y=O d) X 2 + y2 - 2XY = O.

4. Determinare equazioni cartesiane delle rette tangenti alla conica xg - xf + xi = e passanti per il punto [1,0, 1].

°

!f! di equazione

5. Sia !f! una conica a centro di A 2(K). Dimostrare che la polare del centro di la retta impropria.

!f! è

= F I(Q) = Fz(Q) = O,

cioè se Q è singolare per 51, oppure se P appartiene alla tangente in Q, che ha

35 Sistemi lineari di curve piane

equazione I:F;(Q)Xi = O. i

Quindi le tangenti condotte da P a ~ in suoi punti non singolari sono le rette congiungenti P con i punti non singolari di ~ che stanno su r~(~). Da ciò segue che il numero di tali tangenti è al più n(n -1). Segue anche che, se PE51, allora PEr~(~).

Anche in questo paragrafo supporremo che il campo K sia algebricamente chiuso. Sia n ;:::: 1 un intero. La totalità delle curve di grado n di pZ = PZ(K) si dice il sistema lineare di tutte le curve di grado n, e si denota con An' Denotiamo con K [X]n C K [X] = K [Xo, XI' X z] lo spazio vettoriale costituito dal polinomio Oe da tutti i polinomi omogenei di grado n. Dalla definizione 28.2

Curve algebriche piane

404

segue che una curva di p 2 = p2 (K) di grado n può identificarsi con un elemento dello spazio proiettivo P(K[X]n). Quindi An = P (K[Xln) è uno spazio proiettivo. Nel caso n = 1 otteniamo il sistema lineare delle rette. La base di K [X]n costituita da tutti i monomi monici di grado n individua come coordinate di un polinomio i suoi coefficienti. Quindi le coordinate omogenee di una curva !1tEAn , rispetto al riferimento proiettivo individuato dai monomi monici, sono i coefficienti di uno qualsiasi dei polinomi che la definiscono. La dimensione di An è uguale a

n+ dim(K[X]n) - 1 = ( 2

1) -1

=

n (n + 3) 2 .

In particolare, il sistema lineare delle rette ha dimensione 2, quello delle coniche ha dimensione 5, quello delle cubiche ha dimensione 9 ecc. Un sistema lineare di curve di grado n è un sottospazio proiettivo A di An. Se ha dimensione 0, A consiste di una sola curva; se ha dimensione 1, il sistema lineare è un fascio, se ha dimensione 2 è una rete. Un sistema lineare di dimensione r può essere individuato da (r + 1) sue curve indipendenti di equazioni Fo(X)

= 0, ... ,

Fr(X)

= O.

=

che è a~punto una condizione lineare omogenea nei coefficienti U ijk • Quindi le curve dI ~n che contengono P sono quelle le cui coordinate Uijk sono soluzioni dell'equazIOne precedente: esse costituiscono pertanto un iperpiano di A . Più in generale, imponendo il passaggio per un punto assegnato P con ~olte­ plicità almeno r, dove r~ 1, si ottengono r(r + 1)/2 condizioni lineari corrispondenti all'annullarsi in P di tutte le derivate parziali di F(X) di ordine r -1, rispetto alle variabili X o' XI' X 2 • Si ha quindi la seguente proposizione.

rl ,

°

2

Comunque si assegnino punti distinti Pl> ... , P t , e interi

35.1 PROPOSIZIONE rt ~ 1, tali che

••• ,

n(n+3) 2

~

Et (r.+1) J 2

j~1

,

e~iston.o curve di grado n passanti per P I , ••• , P t con molteplicità almeno r , ••• , r l t riSpettIvamente, e la loro totalità costituisce un sistema lineare di dimensione almeno uguale a

per opportuni (Ào' ••• , Àr ) -;é. (O, ... , O). Un caso particolare che abbiamo già incontrato in precedenza è quello di un fascio di rette, individuato da due sue rette distinte qualsiasi. Un sistema lineare A può essere assegnato anche come intersezione di iperpiani di An. L'equazione di un iperpiano di An è lineare omogenea nei coefficienti della curva variabile, e viene chiamata condizione lineare sulle curve del sistema lineare An. . . n (n + 3) .. n (n + 3) Poiché A ha dImenSIOne , comunque SI assegnmo M:::; - - - n

405

terminate Uijk· Chiameremo F(X) il polinomio omogeneo generico di grado n. La condizione di passaggio per P è F(P) = 0, cioè

[35.1]

Ogni altra curva del sistema ha equazione EÀ.F(X) j J J

35/Sistemi lineari di curve piane

2

condizioni lineari, esistono curve di grado n che le soddisfano. Tali condizioni individuano quindi un sistema lineare A di dimensione pari almeno a n(n + 3) -M. 2 Il più naturale tipo di condizione lineare si ottiene imponendo il passaggio per un punto assegnato P[Po' PI' P2]. Sia

il polinomio omogeneo di grado n in X o, XI' X 2 i cui coefficienti sono delle inde-

n (n

+ 3) - Et

2

(r. + 1) J

•

2

1'=1

Dalla proposizione 35.1 discende in particolare che esistono curve di grado n . n(n + 3) . passantl per M:::; 2 puntI comunque assegnati. In particolare, per 2 punti passa u~a retta, per 5 punti passa almeno una conica, per 9 punti passa almeno una cubIca ecc. Il sistema lineare descritto dalla proposizione 35.1 si denoterà con [35.2] Se dim [An (pr,l ' pr,2'

... ,

pr,)] _ n (n , -

+ 3) 2

-

kJ

~

(r + 1)

1'=1

2

j

'

diremo che i punti P I , ••• , P t aventi rispettivamente molteplicità r l , ••• , r impont gono condizioni indipendenti alle curve di grado n. Più in generale, assegnato un sistema lineare A di curve di grado n, i punti

Curve algebriche piane

406

P I, ... , PI' di rispettive molteplicità rl, ... , rl' impongono condizioni indipendenti

35/Sistemi lineari di curve piane

P!, ... , P r ha equazione F(X)

407 =

O, dove F(X) è il determinante della matrice

a Ase dim[An(P[', P;', ... , P?) n A] Se r I

=

I

dim(A) - j~I

(r. 2+ 1) . J

= ... = rl = 1

diremo semplicemente che i punti P I, ... , P I impongono condizioni indipendenti a A. È evidente che, se P!, ... , P I impongono condizioni indipendenti a A, ciò avviene per ogni loro sottoinsieme. Un punto P appartenente a tutte le curve di un sistema lineare A si dice punto base di A. Se tutte le curve di A hanno una componente irriducibile 0 in comune, la curva 0 si dice componente fissa di A. Ad esempio, i punti P I , ••• , P I sono punti base del sistema [35.2]. Essi si dicono punti base assegnati del sistema lineare [35.2], ed r!, ... , rl le loro molteplicità. Non sempre i punti base di un sistema lineare coincidono con quelli assegnati. Ad esempio, dati 3 punti base P!, P z, P 3 su una retta t-, tutte le coniche che li contengono hanno t- come componente, e quindi t- è una componente fissa di Az(PI, P z, P 3), e ogni altro punto di t- è un punto base non assegnato del

sistema lineare AZ(P I, P z, P 3)· I punti base di un fascio A sono esattamente i punti di intersezione di due sue curve qualsiasi. Infatti, se ~: Fo(X)

=O e

~: FI(X)

=O

sono due curve del fascio, ogni altra curva

Infatti dalla sua espressione si vede che il polinomio F(X) è combinazione lineare E A. Inoltre contiene di Fo(X), ... , FAX), e quindi definisce una curva P!, ... , P" perché per ogni i = 1, ... , r, F(PJ è il determinante di una matrice avente due righe uguali. Le proprietà dei fasci di curve consentono di dimostrare il seguente teorema:

:c

:c

35.3 TEOREMA Se due curve proiettive di grado n hanno in comune N (::5 n Z) punti distinti, e se mn di essi appartengono a una curva irriducibile di grado m < n, allora i rimanenti N - mn punti appartengono a una curva di grado n-m. Dimostrazione Siano ~ e ~ le due curve di grado n, e sia g la curva irriducibile di grado m che contiene gli mn punti dell'enunciato. Fissato arbitrariamente un punto PE g diverso da questi mn punti, esiste una curva del fascio individuato da ~ e ~ che contiene P. Poiché ha mn + 1 punti in comune con g, essa ha una componente irriducibile in' comune con g. Ma g è irriducibile, e quindi 2t = g + 5tf, dove!rR è una curva di grado n-m. Poiché contiene gli N punti ~ n ~ e g contiene mn di questi e nessuno dei rimanenti N - mn (perché altrimenti g sarebbe componente irriducibile di ~ e di ~, il che contraddirebbe il fatto che ~ e ~ hanno solo un numero finito di punti in comune), questi sono contenuti in ii:

:c

:c

:c

:c EA ha equazione [35.3]

e quindi contiene ogni P E~ n ~. Viceversa, se P è un punto base di A allora in particolare appartiene a ~ e a ~. Se alle curve del fascio A si impone il passaggio per un punto qualsiasi Q diverso dai punti base, si ottiene dalla [35.3] un'equazione lineare omogenea in À., f.t, che ammette un'unica soluzione. Quindi esiste un'unica curva di A che contiene Q. In altre parole, Q impone una condizione a A. Più in generale, sia A un sistema lineare di curve di grado n di dimensione r ;::: 1. Se si scelgono punti distinti P I , ••• , P r in modo sufficientemente generale, essi impongono condizioni indipendenti a A. Basta infatti scegliere P I che non sia punto base di A, P z che non sia un punto base di A n An (PI)' P 3 che non sia un punto base di A n An(Pl' Pz) ecc. Se il sistema A è individuato dalle r + 1 curve [35.1], e se P I , ••• , P r impongono condizioni indipendenti a A, allora la curva appartenente a A e contenente

Terminiamo il paragrafo con un teorema che descrive la trasformazione di An indotta da una proiettività di p Z • 35.4 TEOREMA Sia T: pZ --+ pZ una proiettività. Per ogni n ;::: 1 l'applicazione di An in sé stesso che associa ad ogni curva 2t EAn la trasformata T(2t) è una proiettività. Dimostrazione Supponiamo che si abbia T-l

(xo,

Xl'

xz)

=

(aooxo + aOl Xl + aozxz, alOxO + all Xl + a 12 x Z' azoxo + + aZI Xl + azzxz)·

Curve algebriche piane

408

E

U/kXòX{X~ J

=O

la trasformata T(~) ha equazione E

/+j+k~n

409

È facile verificare che queste due condizioni sono linearmente indipendenti. Dunque le [35.4] individuano un sistema lineare E>py di curve di grado n, avente n(n + 3) dimensione .. - 2. 2 Se :tf: F(X) = O è una curva appartenente a E>P.~' allora, per un opportuno a>é O, si ha

Per ogni curva ~E An di equazione /+j+k=n

35/Sistemi lineari di curve piane

VikXbX{X~ = O, J

nF(P)

dove

I coefficienti v/ jk sono espressioni omogenee di primo grado degli u/ jk a coefficienti polinomi omogenei di grado n negli a/h' Ciò equivale a dire che la trasformazione che muta gli Uijk negli v/ jk è una proiettività. La proiettività di An indotta da una proiettività di p2 induce, come ogni altra, un isomorfismo di ogni sottospazio di An sulla sua immagine. Quindi sistemi lineari vengono trasformati in sistemi lineari della stessa dimensione. Un caso particolare di cui faremo uso nel paragrafo 36 si ottiene per n = 1: ogniproiettività T: p2 -+ p2 induce una proiettività di AI' e, per ogni PE p2, questa induce un isomorfismo del fascio di rette AI (T(P)) sul fascio di rette AI (P).

= Fo(P)po + FI(P)PI + F 2(P) P2 = aaopo + aalPI + aa2P2 = O,

e quindi ~ contiene P. Inoltre, per la [35.4], ~ è tangente a ~ in P oppure P è singolare per j:f. Viceversa, è evidente che ogni curva di grado n avente ~ come tangente in P oppure singolare in P appartiene a E>p,~. 2. Sistemi lineari di curve affini. La teoria dei sistemi lineari, pur appartenendo

alla geometria delle curve proiettive, può utilmente applicarsi allo studio delle curve affini ed euclidee, utilizzando il passaggio da coordinate omogenee a non omogenee e viceversa. Accenniamo bre~emente al caso dei fasci, lasciando al lettore il caso generale. Sianof(X, Y), g(X, Y) E K [X, Y] di gradi n ed m rispettivamente, n 2': m 2': O. Al variare di tE K l'equazione f(X, Y)

+ tg(X, Y)

=

[35.5]

O

definisce una curva di grado n di A 2(K) la cui chiusura proiettiva è la curva di grado n

35.5 Complementi 1. Condizione di tangenza a una retta in un suo punto. Sia ~ una retta di

equazione aoXo + alXI + a2X 2 = O

e P = [Po, PI' P2] un suo punto. Imponiamo ai coefficienti del polinomio generico F (X) la seguente condizione di proporzionalità: [ao' al' a2] = [Fo(Po, PI' P2)' FI(po, PI' P2)' F2(po, PI' P2)]'

[35.4]

La [35.4] è la condizione che la matrice (

Fo(Po'PI'PJ

FI(Po,PI,pJ

F 2(Po'PI'PJ)

ao

al

a2

abbia rango 1, ed equivale all'annullarsi dei suoi minori di ordine 2. Se ad esempio ao >é O questa condizione equivale alle due seguenti condizioni lineari omogenee sui coefficienti di F(X): aIFo(po, PI' pJ - aoFI(po, PI' pJ = O a2F o(po, PI' P2) - aOF 2(po, PI' pJ

= O.

[35.6] dove F e G sono i polinomi omogeneizzati dI f e g. La [35.6] definisce un fascio di curve di grado n di cui la [35.5] è l'equazione in coordinate non omogenee. Se ad esempio g è costante, il fascio [35.6] è quello individuato dalla curva F(Xo' XI' XJ = O e dalla retta impropria contata n volte. Queste osservazioni si applicano anche al caso di un campo K qualsiasi, e al caso euclideo. Ad esempio, siano ~ 9 C E 2 due circonferenze aventi in comune i due punti P, QE E 2, e ~*, 9 * C p2(C) le loro chiusure proiettive. Poiché Yf'* n 9 * consiste dei punti ciclici e di P e Q, ogni conica reale non degenere del fascio di coniche A individuato da ~ *, 9 * possiede punti reali e passa per i punti ciclici, quindi è la chiusura proiettiva di una circonferenza di E 2 passante per P e Q. Per questo motivo A si dice fascio di circonferenze. Analogamente, se f(X, Y) = O è l'equazione di una parabola ~ di E 2 , e aX + bY + c è un polinomio non nullo di grado minore o uguale al, l'equazione f(X, Y)

+ t(aX + bX + c) =

O

[35.7]

rappresenta ovviamente ancora una parabola per ogni tE R, perché i termini di

Curve algebriche piane

410

35/Sistemi lineari di curve piane

secondo grado del primo membro sono gli stessi di quelli dif(X, Y). Abbiamo quindi unfascio di parabole. Dal punto di vista proiettivo la [35.7] si interpreta osservando che la sua chiusura proiettiva è la curva di equazione [35.8]

°

°

Poiché le coniche di equazioni F(Xo' Xl' X:J = e XO(aXI + bX2 + cXo) = hanno per tangente la retta impropria t- nel punto improprio di ~ ciò avviene anche per la [35.8], perché entrambe appartengono al sistema lineare 0p.~ (cfr. complemento l). In modo simile si dimostra che se!J: è un'ellisse, o un'iperbole, allora per tE R la [35.7] è l'equazione di un'ellisse, rispettivamente di un'iperbole, e quindi si ha un fascio di ellissi, rispettivamente un fascio di iperboli.

°

3. Generazione proiettiva delle curve piane. Sia r ~ un intero. Per ogni i = 0, ... , r siano FiO(X), ... , F;r(X) polinomi omogenei di grado n; linearmente indipendenti, e sia A(;) il sistema lineare di curve di grado n; di equazione

Sia G(X) il determinante della matrice

411

nei di grado m, linearmente indipendenti, la curva di grado n + m di equazione [35.10] è il luogo dei punti di intersezione variabile delle curve dei due fasci

+ Àl F OI (X) = ÀOFIO (X) + Àl Fu (X) = ÀoFoo (X)

°

°

per stessi valori dei parametri À o'

Àl .

Nel caso n = m = l la [35.10] è una conica.

Esercizi 1. Siano (ao, ab az), (bo, bb b z), (co, Cb Cz), (do, di, d z), (eo, eb ez), (io, f,,h) sei punti di pZ(K). Dimostrare che esiste una conica che li contiene se e solo se è soddisfatta

la condizione aoa,

aoaz

a~

a,az

ai

bg

bobl

bobz

cg

Co CI

CoCz

bf cf CICZ

ci

dg

do d,

dodz d~

ag

blbz bi d,dz di

eg

eoe,

eoez

e~

ele2

ei

fg

fof

fofz

f~

f,fz

fi

=0.

2. Siano (ao, ab az), (bo, bb b z), (co, Cb Cz), (do, d b d z), (eo, e" ez), cinque punti di pZ(K). Dimostrare che essi impongono condizioni indipendenti al sistema lineare delle coniche se e solo se la matrice

che è un polinomio omogeneo di grado no + n l + ... + nr • Sia !J:C p2 la curva piana di equazione G(X) = O. Un punto P appartiene a !J: se e solo se la matrice [35.9], calcolata in P, ha rango ::;; r. Ciò è equivalente all'esistenza di una soluzione non banale del sistema di equazioni lineari omogenee di cui essa è la matrice dei coefficienti, cioè all'esistenza di lo, ... , IrE K non tutti nulli tali che si abbia simultaneamente 10F;0(P)

Quindi PE equazioni

+ ... + IrF;r(P)

!J:

10F;0(X)

=

0,

i = 0, ... , r.

se e solo se P appartiene simultaneamente alle r + l curve di

+ ... + IrF;r(X)

=

0,

i = 0, ... , r.

Questa descrizione di !J: è una sua generazione proiettiva per mezzo dei sistemi lineari A(o)' ... , A(r)" Ad esempio, dati Foo(X), F OI (X) omogenei di grado n, FIO(X), Fu (X) omoge-

ag

aoal

aoaz

a~

a,az

bg

bobl

bobz

blbz bi

d

Co CI

CoCz

bf cf

CICZ

ai ci

dg

do d,

dodz

d~

d,dz di

eg

eoe,

eoez

e~

e,ez

ei

ha rango massimo. Dimostrare che se questa condizione è soddisfatta, allora la conica che contiene i cinque punti assegnati ha equazione xg

XOXI XoXz X~

ag

aoal

bg

aoaz

a~

X,Xz xi alaz

ai

bob l

bobz

b~

blbz

bi

cg

Co CI

CoCz

c~

CICZ

ci

dg

do di

dodz

d~

dldz

di

eg

eoel

eoez

e~

elez

ei

=0.

412

Curve algebriche piane

3. Siano Pio P 20 P 30 P 4 Ep2 (K) punti distinti e non allineati. Dimostrare che Pio P 2 , P 3 , P 4 impongono condizioni indipendenti alle coniche, e che pertanto A2 (P 1 , P 2 , P 3 , P 4) è un fascio di coniche.

361Cubiche

, possiamo trasformare P nel punto [O, 0, 1] in modo che la tangente di flesso sia la retta di equazione X o = O. In coordinate affini la curva trasformata di Yt ha equazione:

4. Dimostrare che se Pio P 2 , P 3 , P 4 E p2 (K) sono punti distinti e a tre a tre non allineati, allora Pio P 2 , P 30 P 4 sono gli unici punti base del fascio di coniche A 2 (P 1, P~ P 3 , P 4 ). 5. Dimostrare che un fascio di coniche di p2(K) privo di componenti fisse càntiene al più 3 coniche degeneri, e che se il fascio ha 4 punti base (distinti), allora le sue coniche degeneri sono esattamente 3 (cfr. fig. 35.1).

413

yZ = g(X)

[36.2]

dove g(X) è un polinomio di grado 3. Se g(X) avesse una radice multipla a, la curva [36.2] sarebbe singolare in (a, O). Quindi g(X) è della forma

con a;é 0, e al' az, a 3 E C distinti. L'affinità corrispondente alla sostituzione:

X= (a z - (1)X' + al y

6. Dimostrare il seguente teorema di Poncelet: Se una curva proiettiva irriducibile !Ii' di grado n ~ 3 è intersecata in n punti distinti da una retta ~, le n tangenti a !li'in questi punti incontrano !li'in altri M::; n (n - 2) punti che appartengono a una curva di grado n - 2. (Suggerimento. Considerare il fascio 'determinato da !Ii' e dalla curva costituita dalle n tangenti, e imporre alle curve del fascio il passaggio per un punto di ~. Quindi utilizzare il complemento 35.5(1).)

36 Cubiche In questo paragrafo supporremo K = C. Nello studio delle cubiche proiettive complesse si presentano fenomeni geometrici nuovi rispetto al caso delle coniche. In questo paragrafo ne illustreremo alcuni aspetti, iniziando da quello della classificazione. Il primo passo per classificare le cubiche proiettive non singolari è costituito dal seguente teorema. 3.6.1 TEOREMA Ogni cubica non singolare Yt C pZ = pZ(C) è proiettivamente equivalente a una cubica di equazione affine:

Dal corollario 34.9 segue che una cubica possiede al più 9 flessi distinti, se non ne possiede infiniti. Per le cubiche non singolari abbiamo il seguente risultato più preciso: 36.2 TEOREMA 1) Una cubica non singolare Yt possiede esattamente nove flessi, che hanno la proprietà che una retta che ne contiene due, ne contiene un terzo. 2) Dati comunque due flessi A e B di Yt, esiste una proiettività cp: pZ --+ pZ che trasforma Yt in sé stessa e scambia tra loro A e B lasciando fisso il flesso allineato con A e B.

Dimostrazione Grazie al teorema 36.1, è sufficiente dimostrare il teorema per le cubiche della forma [36.1], o, equivalentemente, della forma f(X, y) =0, dove

f(X, Y) = yz - X 3 + (c + 1) X Z- cx. Si calcola facilmente che, in coordinate non omogenee, l'hessiana dif(X, Y) è

[36.1]

h (X, Y) = 8 [(Yz + cX) (3X - (c + 1»- «c + l) X - c)Z]

per qualche cE C\ (O, 1). Dimostrazione Poiché è non singolare,

-Ja(az - a l)3 Y'

trasforma la [36.2] nella [36.1], con c = (a 3 - al)/(az - al).

Figura 35.1

yZ =X(X -1) (X - c),

=

e il risultante di f e h/8 rispetto a Y è

Yt possiede almeno un flesso P. Con una proiettività

414

Curve algebriche piane

Calcolando il discriminante di R(X) si trova

e quindi R (X) ha quattro radici distinte, nessuna delle quali è O. Poichéf(X, Y) e h (X, Y) contengono la Y solo in grado 2, per ogni (x, y) che li annulla entrambi, anche (x, - y) ha la stessa proprietà. Quindi ognuna delle radici di R(X) corrisponde a due punti propri distinti in comune a y; e alla sua hessiana, perché ogni punto siffatto (x, y) soddisfa la condizione y ,r. O. Se ne deduce che, oltre al punto improprio [0, 0, l], Y; possiede altri 8 flessi, cioè Y; ha in totale 9 flessi. Siano ora assegnati due flessi di 5ff. Possiamo supporre che uno di essi sia [O, 0, l], e l'altro sia (x, y), y,r. O. Allora (x, - y) è un flesso ed è allineato con [O, 0, l] e (x, y). La prima parte del teorema è così dimostrata. Siano A e B due flessi qualsiasi di .tf, e sia C il terzo flesso allineato con A e B. Possiamo supporre C = [0, 0, l], e quindi A = (x, y), B = (x, - y). La proiettività cp(Xo, Xl' Xz) = (Xo, Xl> - Xz),

ha la proprietà voluta. Il seguente è un risultato classico sulle cubiche non singolari: 36.3 TEOREMA (SALMON, 1851) Sia Y; una cubica non singolare di pZ e sia p un suo flesso. Y; possiede esattamente quattro tangenti distinte che contengono P, inclusa la tangente in P. Il loro modulo è indipendente dalla scelta di P.

Dimostrazione Supponiamo dapprima che Y; sia la cubica [36.1], per qualche e,r. 0, l, e che P = [O, 0, l]. Y; possiede quattro tangenti distinte passanti per P: le rette Y = c, Y = l, Y = 0, e la retta impropria. Sia ora Y; una cubica non singolare qualsiasi e sia cp: pZ -> pZ una proiettività che trasforma Y; in una cubica [36.1], in modo che cp(P) = [0, 0, l]. Poiché le tangenti a Y; passanti per P e quelle a cp(Y;) passanti per [0, 0, l] si corrispondono biunivocamente (cfr. proposizione 34.10), la prima parte del teorema è dimostrata. Inoltre il birapporto delle 4 tangenti in P è lo stesso delle loro trasformate, prese nello stesso ordine, perché cp induce un isomorfismo dei due fasci di rette di centro P e [0, 0, l] rispettivamente. Il modulo comune delle quaterne di tangenti passanti per i flessi di una cubica non singolare Y; di pZ si chiama modulo della cubica, e si indica con j(Y;). Se la cubica Y; ha equazione [36.1], allora c = (3(0, 00, l, c). Poiché la corrispondenza che alle rette del fascio di centro [0,0, l] associa il loro punto di inter-

415

361Cubiche

°

sezione con la retta X z = è un isomorfismo di rette proiettive, segue che c è anche il birapporto delle quattro corrispondenti rette tangenti a Y; e passanti per [0, 0, l] (Y= 0, la retta impropria, Y = l, Y = c). Quindi Z

'(Y;) = '(e) = (e - c + 1)3 . J J cZ(e-I)Z

Dimostreremo che il modulo j(Y;) individua la classe di equivalenza proiettiva della curva. 36.4 COROLLARIO Due cubiche non singolari Y; e Y;' di pZ sono proiettivamente equivalenti se e solo se j(Y;) = j(Y;/).

Dimostrazione Se Y; e Y;' sono proiettivamente equivalenti, allora entr~mbe sono equivalenti a una stessa cubica della forma [36.1], e quindi j(Y;) =j(e) =j(Y;/).

Viceversa, supponiamo che la cubica Y; abbia equazione [36.1] e Y;' abbia equazione

y Z =X(X -l) (X - c'), con j(c)

= j(e' ).

[36.3]

Se e,r. c' , allora c' è una delle seguenti cinque espressioni in c:

1- c,

l

1- c '

c c-l'

c-l c

Sarà sufficiente determinare una proiettività che trasforma la [36.1] nella [36.3] nei due casi c' = C-I, l - c; negli altri ,casi le proiettività si ottengono componendo opportunamente queste due. Se c' = C-I, la proiettività corrispondente alla sostituzione di (eX, e 312 Y) al posto di (X, Y) trasforma la [36.1] nella [36.3]. Se c' = 1- c, si considera invece la proiettività corrispondente alla sostituzione di (-X + l, i Y) al posto di (X, Y). Sia 1

=

(classi di equivalenza proiettiva di cubiche non singolari l.

Il corollario 36.4 stabilisce una corrispondenza biunivoca tra 1 e il sottoinsieme di C costituito da tutti i valorij(e), cE C\ {O, l}. Ognij(e) proviene da al più 6 valori distinti di c: poiché C è infinito, in particolare anche 1 è infinito. Si osservi la differenza tra questo caso e quello delle coniche: abbiamo infatti dimostrato nel paragrafo 30 che esiste un'unica classe di equivalenza proiettiva di coniche non singolari.

416

.Curve algebriche piane

Terminiamo lo studio dell'equivalenza proiettiva di cubiche, considerando le cubiche singolari. Ci limiteremo al caso irriducibile. Per il teorema 33.5 una cubica irriducibile possiede al più un punto singolare, il quale deve essere un punto doppio, altrimenti la cubica si spezzerebbe nell'unione di tre rette passanti per quel punto. Se !ff ha un punto doppio ordinario P, con una proiettività possiamo trasformarlo nel punto [0, 0, 1] in modo c.he le tangenti principali siano le rette di equazioni X o = e XI = O. Allora !ff ha equazione affine

°

XY + aX 3 + bX 2 + cX + d

=

°

[36.4]

con a ;r. O. La proiettività corrispondente alla sostituzione X=~a-Id X',

417

36/Cubiche

....

per un opportuno

oE C.

Con l'ulteriore sostituzione

X' =~a-I X

Y'

= Y-o

si ottiene l'equazione

Y +X 3 =0,

[36.6]

che non dipende da a, b, c, d. Deduciamo quindi che tutte le cubiche irriducibili con una cuspide ordinaria sono proiettivamente equivalenti tra loro. In particolare ogni cubica irriducibile con un punto doppio non ordinario è proiettivamente equivalente alla curva di equazione

y 2 =X 3 , che è irriducibile, ha una cuspide ordinaria nell'origine, e un flesso in [0, 0, 1]. Deduciamo quindi che tutte le cubiche irriducibili con una cuspide ordinaria possiedono almeno un flesso. Riassumendo, abbiamo il seguente teorema.

trasforma la [36.4] nella

X' Y' +X'3+1=0, che non dipende da a, b, c, d. Se ne deduce che tutte le cubiche irriducibili con un nodo sono proiettivamente equivalenti tra loro. In particolare ogni cubica irriducibile con un nodo è proiettivamenteequivalente alla cubica di equazione

36.5 TEOREMA 1) Esistono due classi di equivalenza proiettiva di cubiche irriducibili e singolari, che sono rappresentate dalle curve di equazioni: [36.7] [36.8]

che è irriducibile, ha un nodo nell'origine e un flesso in [0, 0, 1]. Quindi tutte le cubiche irriducibili con un nodo possiedono almeno un flesso. Se !ff ha un punto doppio non ordinario P, la tangente principale incontra !ff in P con molteplicità 3. Quindi P è una cuspide ordinaria. Con una proiettività possiamq trasformare P nel punto [O, 0, 1] in modo che la tangente principale sia la retta di equazione X o = O. Allora !ff ha equazione affine

Y + aX 3 + bX 2 + cX + d

=

0,

con a ;r. O. La proiettività corrispondente alla sostituzione

X=X'-~

3a

2 Y= Y' - -b+ c 3a

trasforma la [36.5] nella

Y' + aX'3 + o=

°

[36.5]

Le curve della classe [36.7] hanno un nodo, quelle della classe [36.8] una cuspide ordinaria. 2) Ogni cubica irriducibile ha almeno un flesso. Il teorema precedente completa la classificazione proiettiva delle cubiche irriducibili. La classificazione proiettiva delle cubiche riducibili si fa facilmente utilizzando quella delle coniche e viene lasciata al lettore. La classificazione delle cubiche affini e di quelle euclidee è più complicata, e la sua trattazione esula dagli scopi del presente volume. Essa si ottiene, in modo analogo al caso delle coniche, suddividendo le cubiche secondo il loro comportamento all'infinito. Le possibilità che si presentano quando si ha un solo punto all'infinito sono esemplificate, nel caso euclideo, dall'esempio 29.4(3) (parabole cubiche di Newton). Su una cubica non singolare è possibile definire in modo puramente geometrico una struttura di gruppo abeliano, una volta fissato un suo punto di flesso.

27

418

Curve algebt:iche piane

36/Cubiche

419

Dalla definizione di + sulla cubica non singolare 5f! segue subito che 3 punti A, B, CE5f! sono allineati se e solo se A + B + C = o.

36.7 Esempi 1. Una cubica non singolare equazione Figura 36.1

Consideriamo infatti una cubica non singolare Definiamo un'applicazione

y2 =X(X -l)(X + 1)

5f! di p2 e sia O un suo flesso.

si dice armonica. Se invece 5f! è proiettivamente equivalente alla cubica di equazione = X(X -I) (X -

y2

nel seguente modo. Per ogni A,.B E5f! sia R (A, B) il terzo punto di intersezione con 5f! della retta L(A, B) (o della tangente in A se A = B), convenendo di considerare ogni punto di intersezione con la sua molteplicità (fig. 36.1). Definiamo A

+B

36.6 TEOREMA Con l'operazione + introdotta sopra, la cubica non singolare 5f! è un gruppo abeliano, il cui elemento neutro è O.

Dimostrazione È immediato verificare che O è un elemento neutro rispetto a +, e che per ogni A E.1f, -A = R(A, O). Il fatto che l'operazione sia commutativa è ovvio. Resta quindi solo da verificare l'associatività di +. Dobbiamo verificare che, dati comunque tre punti A, B, CE.1f, si ha

+ (B + C) = (A + B) + C,

dove E >é-l è una radice cubica di 1, 5f! si dice equianarmonica. Le cubiche armoniche ed equianarmoniche hanno modulo rispettivamente uguale aj(-I) = 27/4, j(l + E) = O.

y2

= tX(X -1) (X - c)

hanno tutte lo stesso modulo j(c). Invece le cubiche non singolari del fascio y2

= X(X -1) (X - t)

hanno modulo variabile j(t).

Esercizi 1. Determinare l'hessiana della cubica !tfdi equazione

°

cioè che R(A, B+ C)

= R(A + B,

[36.9]

C).

X'; +xi +xi = e dimostrare che !tf ha i seguenti flessi: [0,1, -1], [O, 1,

Considerata la cubica

2

!?J= L(A,

1 - E),

2. Le cubiche non singolari del fascio

= R(R(A, B), O).

A

5f! proiettivamente equivalente alla cubica di

B)

+ L(A + B,

C)

+ L(O,

B

+ C),

si ha

[- E , 0, 1],

Daremo la dimostrazione nel caso in cui questi 9 punti sono distinti. Poiché i 3 punti B, C, R(B, C) sono allineati, dalla proposizione 35.3 segue che i rimanenti 6 sono su una conica. Ma di questi, O, A + B ed R(A, B) sono su una retta; ancora dalla proposizione 35.3 segue che gli altri 3 punti, A, B + C ed R(A + B, C), sono allineati, cioè la [36.9].

[O, 1,

_E

2

]

l, 0, 1], [- E,O, 1]

[1, - E, O], [1, - é, O], [1, -1, O],

dove

5f!n!?J= (O, A, B, C, A + B, B + C, R(A, 'B), R(A + B, C),R(B, C) l.

I-

-E],

E

;: Osi ha n 1 ;t: Oil dominio K ha caratteristica O. Se invece esiste p > Otale che p 1 = O, allora K ha caratteristica positiva; il più piccolo intero p con tale proprietà è la caratteristica di K. Z, O, R e C hanno caratteristica O. Un esempio di campo di caratteristica positiva è il campo Zp delle classi resto modulo p, dove p ~ 2 è un numero primo. Un sottodominio di un dominio D è un sottoinsieme F di D sul quale le operazioni definite in D inducono altrettante operazioni in modo che esso sia ancora un dominio. Un sottocampo di un campo K è un sottodominio F di K che è un campo. Se F è un sottocampo di K, K è un'estensione di F. Ad esempio O ed R sono sottocampi di C e O è anche un sottocampo di R. Altri esempi di sottocampi

e, se a;t: O è invertibile, a-n denota con (a-Iy. Un importante esempio di dominio è costituito dai polinomi in una indeterminata a coefficienti in un dominio. Siano D un dominio e X un'indeterminata. Per ogni successione finita ao, a" ... , an di elementi di D, l'espressione

definisce un polìnomio in X a coefficienti in D, di cui ao' al' ... , an sono i coefficienti, e ao' alX, ... , anX n i monomi, o termini. Un'altra espressione g(X) = bo + + blX + ... + bmXm, bo, ... , bmE D, definisce lo stesso polinomio se e solo se f(X) e g(X) hanno gli stessi termini con coefficienti diversi da O. Il polinomio a coefficienti tutti nulli si dice polìnomio nullo, e si denota con O. Se f(X) ;t: O, il grado dif(X) è il più grande intero d tale che ad;t: O, e si denota con gr(f(X)).

424

Appendici

Un polinomiof(X) di grado d si dice monico se ad = l;f(X) si dice costante se è O oppure se ha grado O. L'insieme di tutti i polinomi in X a coefficienti in D si denota con D [X l. La somma di due polinomi f(X) = ao + alX + a2 X 2 + ... + anX n, g(X) = bo + blX + ... + bmxm, si definisce come il polinomio f(X) + g(X)

=

ao + bo + (al + bl)X + ...

e il loro prodotto come f(X) g(X)

=

aobo + (aob l + al bo) X + (aOb2 + al bi + a2 bo)X 2 + ...

Segue subito dalla definizione che, se f, g, f + g

~

O:

gr(f + g):5 max [gr(f), gr(g) J, gr(fg)

= gr(f) + gr(g).

Con le operazioni di somma e di prodotto che abbiamo definito, D [Xl è un dominio. La verifica è immediata ed è lasciata al lettore. Se D è un dominio ed XI' X 2 , ••• , X N sono indeterminate, un polinomio in XI' ... , X N a coefficienti in D è definito induttivamente come un polinomio in X N i cui coefficienti sono polinomi in X p ••• , X N _ I a coefficienti in D. L'insieme di tali polinomi si denota con D [XI' ... , X N_ I' X N]. In simboli, D [XI' ... , X N_ I' X N] = D [XI' ... , XN_I][XNl.

Ognif(XI, ... , XN)ED[XI , ••• , X N_I' XNl è in modo unico somma finita di monomi, cioè di termini della forma

ED* è il coefficiente del monomio, ij il grado rispetto a J0, e ••• iN = 1 il monomio si dice monico. Il grado di un polinomio non nullo f(X I, ... , X N) rispetto a J0 è il massimo dei gradi rispetto a J0 dei suoi monomi; il grado (o grado totale) di f(X I , ••• , X N) è il massimo dei gradi dei suoi monomi, e si denota con gr(f(Xp ••• , X N». Per definizione il polinomio nullo ha grado indeterminato. Siano D e D' due domini, con unità 10ED e 10,ED' rispettivamente. Un'applicazione f: D ~ D' si dice omomorfismo se soddisfa le condizioni dove ai,

'"

f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a) f(b) =

per ogni a, bE D.

lo"

(A vvertenza: taluni autori non richiedono quest'ultima condizione nella defi-

nizione, e chiamano "omomorfismi unitari" quelli che noi abbiamo chiamato omomorfismi.)

425

L'identità lo: D ~ D e la composizione go f: D ~ D di due omomorfismi j: D ~ D' e g: D' ~ D sono omomorfismi. Un isomorfismo è un omomorfismo f: D ~ D' che possiede un omomorfismo inverso. Due domini D e D' si diconoisomorfi se esiste un isomorfismo f: D ~ D' . L'identità, l'inverso di un isomorfismo e la composizione di isomorfismi sono isomorfismi. Pertanto l'isomorfismo è una relazione di equivalenza tra domini. Si osservi che un omomorfismo f: D ~ D'in cui D è un campo, è iniettivo. Infatti, se esistesse XE D* tale che f(x) = O, si avrebbe l'assurdo lo' = f(lo) = I I I := f(xx- ) = f(x) f(x- ) = Of(x- ). Il

Il

Il campo dei quozienti di un dominio Sia D un dominio. È possibile costruire un campo contenente D, che è in un certo senso il più piccolo campo con questa proprietà, in un modo che generalizza la costruzione del campo dei numeri razionali a partire da Z. A.l TEOREMA Per ogni dominio D esiste un campo L, unico a meno di isomorfismi, e chiamato campo dei quozienti di D, tale che 1) D è isomorfo a un sottodominio D' di L; 2) ogni elemento di L è della forma alb, dove a, b E D' .

Dimostrazione Sia S il sottoinsieme di D x D costituito da tutte le coppie (a, b) tali che b ~ O. Definiamo una relazione - in S ponendo (a, b) - (c, d) se e solo se ad - bc = O. È facile verificare che - è una relazione di equivalenza. Denotiamo con L l'insieme delle classi di equivalenza, e con S(a b)E L la classe dell'elemento (a, b). Definiamo operazioni in L nel modo seguente:

iN

il + ... + iN il grado (o grado totale) del monomio; se ail

f(lo)

A/Domini, campi, polinomi

S(a, b) + S(c, d)

= S(ad + bc, bd)

S(a, b) S(c, d)

S(ac, bd).

=

Queste operazioni sono ben definite perché non dipendono dai rappresentanti delle classi che intervengono nella definizione. Infatti, se

allora ab l = alb,

cdì = cld

e quindi (ad + ,?c)b l di acb l di

=

=

ab l dd l + bb l cdi

= al bddl

+ bb l CI d == (al di + bi cl)bd

al CI bd.

È facile verificare che L, con queste operazioni, soddisfa gli assiomi di campo,

se si prendono come zero e unità rispettivamente S(O, 1) ed S(l, 1). Il sottodomi-

426

Appendici

nio D' costituito dagli elementi della forma S(a, 1), aE D, soddisfa le condizioni (1) e (2) per la definizione stessa di L. Se H è un campo contenente un sottodominio D" tale che esista un isomorfismo i: D ~ D" e soddisfacente la condizione (2) rispetto a D" , allora l'applicazione f:L~H,

definita ponendo

f(S(a, b))

= i(a)/i(b),

è un omomorfismo suriettivo di campi, e quindi è un isomorfismo. In pratica è più comodo denotare un elemento S(a, b) del campo dei quozienti L di un dominio D con il simbolo a/b. Come abbiamo detto prima, il campo dei numeri razionali Q è il campo dei quozienti di Z. Un altro esempio importante di campo dei quozienti si ottiene considerando D =' K[X], dove K è un campo ed X è un'indeterminata. Il campo dei quozienti di D si chiama campo delle funzioni razionali in X a coefficienti in K, e si denota con K(X). I suoi elementi sono frazioni della formaf(X)/g(X), dove f (X), g(X) E K [X], g(X) ~ O. Più in generale, il campo dei quozienti di K[Xp ••• , X N ], dove K è un campo e XI' ... , X N sono indeterminate, si chiama campo delle funzioni razionali nelle indeterminate XI' ... , X N a coefficienti in K, e si denota con K(XI , ••• , X N ).

Proprietà di divisibilità e di fattorizzazione Sia D un dominio. Dati a, bE D diremo che a divide b, oppure che b è divisibile per a, in simboli al b, se esiste cE D tale che b = ac. In particolare, a è invertibile se e solo se alI. Si ha che a Ib e b Ia se e solo se b = ea, dove e ED è un elemento invertibile. In questo caso a e b si dicono associati. Un elemento aE D è irriducibile se è divisibile solo per i suoi associati e per gli elementi invertibili; altrimenti è riducibile. Una espressione a = al ... ar è una fattorizzazione di a, di cui gli aj si dicono fattori. D si dice dominio afattorizzazione unica se in esso sono soddisfatte le seguenti condizioni: DFU1 Ogni elemento non invertibile aE D si può fattorizzare come il prodotto al'" ar di un numero finito di elementi irriducibili di D. DFU2 Se al oo. ar = bI ... bs' in cui gli aj e i bk sono irriducibili e non invertibili, allora r = s ed è possibile riordinare gli aj in modo che aj sia associato a bj , j= 1, '00, ro

427

A/Domini, campi, po/inomi

È ovvio che ogni campo K è un dominio a fattorizzazione unica. Facendo uso della teoria elementare della divisibilità si dimostra che Z è un dominio a fattorizzazione unica. . Sia B un dominio. Le definizioni precedenti applicate a D = B[XI , 00" X N ] danno luogo alle nozioni di divisibilità tra polinomi, polinomi associati, polinomi

irriducibilio Ogni polinomio di grado 1 a coefficienti invertibili in B è irriducibile. 2 L'irriducibilità di un polinomio in generale dipende da B. Ad esempio, X + 1 è irriducibile come polinomio di R [X], ma in C [X] si fattorizza come

X 2 + 1 = (X + i)(X - i). Si osservi che se K è un campo, K [X] contiene infiniti polinomi monici irriducibili. Infatti, K[X] contiene qualche polinomio monico irriducibile (i p~l~no~i X - 01., 01. EK). D'altra parte, sefl (X),f2(X), o.. ,fn(X) EK[X] fossero tuttll pohnomi monici irriducibili, il polihomio monico

fl (X) f2(X) 000 fn(X) + 1 sarebbe irriducibile, perché non divisibile per alcuno di essi, e divèrso dafl (X), f2(X), .. o,fn(X), Quindifl (X), f2(X), "0' fn(X) non esauriscono tutti i polinomi monici irriducibili, che sono pertanto infiniti. Si ha il seguente importante teorema. A.2 TEOREMA (DI FATTORIZZAZIONE UNICA) Se D è un dominio a fattorizzazione unica e X è un'indeterminata, D [X] è anch'esso a fattorizzazione unicao In particolare, se K è un campo e XI' " 0 ' X N sono indeterminate, K [XI' " 0 ' X N ] è un dominio a fattorizzazione unicao Per la dimostrazione del teorema Ao2 rinviamo il lettore a [15]0 Raccogliendo i fattori che ricorrono più volte nella fattorizzazione di un polinomio fE K[XI , 00" X N ], si può scrivere f= gf'

o"

g:'

dove gl' '00' gs sono irriducibili e distinti. L'esponente ej si dice molteplicità di gj in fo Se ej > 1, gj è un fattore multiplo di f. Si ha l'identità:

grU) = elgr(gl) +

"0

+ esgr(gs)'

Ao3 PROPOSIZIONE Siano K un campo e X un 'indeterminata. Per ogni l, gEK[X], esiste hEK[X] tale che: 1) hlf, hlg; 2) se klf, klg, allora klh; 3) esistono A, BE K[X] tali che h = Af + Bgo

428

Appendici

h è detto massimo comun divisore (MCD) difeg, esi denota con MCD(f, g); esso è individuato a meno di un fattore costante. Per la dimostrazione della proposizione rimandiamo il lettore a [15].

Radici Siano D un dominio e X un'indeterminata. Per ogni

e per ogni aE D, il valore di f(X) in a è l'elemento di D

A/Domini, campi, polinomi

429

cioè se si ha

f(X)

= (X - a)'g(X)

[A.I]

per qualche e ~ 2. Il massimo intero e per cui esisfeuna fattorizzazione [A.I] si dice molteplicità della radice a per il polinomio f(X). Se ha molteplicità e = 1, a è una radice semplice. A un a che non è radice di f, si conviene di attribuire molteplicità e = O. Si noti che e è la molteplicità di a per f(X) se e solo se il polinomio g(X) che figura nella [A. 1] soddisfa g(a) =;t. O; poiché g(X) ha grado uguale a gr(f) - e, si ha e=:; gr(f).

A.5 COROLLARIO Un polinomio f(X) ED [X] di grado positivo d possiede al più d radici in D, se ognuna di esse viene contata con la sua molteplicità. ottenuto per sostituzione di a al posto di X. Si definisce in questo modo una applicazione f: D ~ D, detta funzione polinomiale definita da f. Se D' è un dominio contenente D come sottodominio, allora D [X] C D' [X], cioè ognif(X) ED [X] è anche un elemento di D' [X]. Pertanto ha senso parlare della sostituzione di un elemento a' ED'in f (X) al posto di X, e del valore f (a' ), che è un elemento di D'. Quest'osservazione si applica ad esempio al caso D' = D [X]· e permette di considerare il polinomio f (g(X» ottenuto per sostituzione di un polinomio g(X) E D [X] al posto di X in f(X). Siaf(X) un polinomio di grado positivo. Un elemento aE D tale chef(a) = O è una radice di f (X). A.4 PROPOSIZIONE divide f(X).

a E D è una radice di f (X) se e solo se il polinomio X - a

Dimostrazione Se X - a divide f (X), allora f(X) = (X - a)g(X), e quindi a è una radice dif(X). Supponiamo viceversa che a sia un radice dif(X). Se a = O,j(X) ha termine costante uguale a O, e quindi è divisibile per X. Se invece a =;t. O, introduciamo una nuova indeterminata Y e sia 1(Y) =f(Y + a)ED[Y].

Si hal(O) = Oe quindiJ(Y) y= X - a otteniamo

f(X)

=

~

2 e chef(X)

(X - a[)e'gl(X)

per un opportuno gl (X) ED [X] di grado d - el che soddisfa gl (al) =;t. O. Per ogni j = 2, ... , t si ha

O =f(a) = (aj

-

aIY'gl(a).

Poiché a j =;t. al e D è un dominio, è gl (a) e2 + ... + et =:; d - e l, e quindi

=

O. Per l'ipotesi induttiva,

el + e2 + ... + et =:; d. Il numero di radici che un polinomio ha in D dipende da D. Si pensi al polinomio X 2 + 1, che in C ha le radici ± i, ma non ne ha in R. Supponiamo che K sia un campo. Se ognif(X) E K[X] non costante possiede almeno una radice in K, il campo si dice algebricamente chiuso. Dalla proposizione A.4 si ottiene facilmente per induzione il seguente risultato (la dimostrazione è lasciata al lettore).

= Yg(Y) per un opportuno g(Y)E D[Y]. Sostituendo

f(X) =l(X - a) = (X - a)g(X - a) = (X - a)g(X), dove abbiamo posto g(X)

Dimostrazione Per induzione su d. Se d = 1 l'asserto è evidente. Supponiamo d possieda le radici distinte al' ... , a t, dLmolteplicità e l , ... , et. Scriviamo

=

A.6 TEOREMA Supponiamo che K sia un campo algebricamente chiuso. Ogni polinomio f(X) E K[X] di grado d ha esattamente d radici, se ognuna di esse viene contata con la sua molteplicità. Pertanto f(X) si fattorizza come

g(X - a).

a ED è una radice multipla dif(X) se (X - a) è un fattore multiplo dif(X),

dove al' ... , adE K sono le sue radici, non necessariamente distinte.

430

Appendici

Si noti che un campo algebricamente chiuso Kpossiede infiniti elementi. Infatti segue dal teorema A.6 che gli unici polinomi monici irriducibili in K [X] sono della forma X - a, a E K, e, come già osservato, i polinomi monici irriducibili sono infiniti. R non è algebricamente chiuso, perché esistono polinomi non costanti a coefficienti reali che non hanno radic.i reali, come i polinomi aX 2 + bX + c, in cui b 2 - 4acé O e (3k >é O per almeno un j e un k, e tali che Bf = Ag. Quest'identità implica che ao(3,

= -

boa,

a,(3, +ao(32= -b,a,-boa 2 [A. 11]

Le [A.11] esprimono l'esistenza della soluzione non banale (3" (32' .•. , (3m' a" ... , a n di un sistema di equazioni lineari omogenee la cui matrice dei coefficienti è la trasposta della [A.9]. Da dò segue che R(f, g) = O.

A.17 PROPOSIZIONE se L1(f) = O.

f ED [X] ha un fattore multiplo non costante se e solo

Dimostrazione Supponiamo L1 (f) = O. Dal teorema A.15 segue che f ed i' hanno un fattore non costante g in comune, che possiamo supporre irriducibile. Si ha f = gh e i' = g' h + gh'; poiché gli', si ha anche glg' h. Dal fatto che gr(g') < gr(g) e g è irriducibile, segue che g Ih. Quindi g2lf· Viceversa, se esiste g non costante tale che f = g2k, allora l' = 2gg' k + g2k' , cosicché glf e gli'. Dal teorema A.15 segue che L1(f) = O.

Nel caso in cui 0= K, un campo algebricamente chiuso, dal teorema A.15 discende che R (f, g) = O è una condizione necessaria e sufficiente affinché f e g abbiano una radice in comune. La proposizione A.17 implica invece che l'annullarsi di L1 (f) è condizione necessaria e sufficiente affinché f abbia una radice multipla. Infatti i soli fattori irriducibili non costanti di un polinomio di K[X] sono della forma (X - a), a E K, e i loro associati. Siano f, gE K[X" , X N ], N~ 2. Se si considerano come polinomi in X N a coefficienti in D [X" , X N _,], il loro risultante R(f, g) viene chiamato risultante dif e g rispetto a X N • R(f, g) appartiene a D [X" ... , X N _,], e viep.e perciò anche detto il polinomio ottenuto eliminando X N da f e g. La costruzione di R (f, g) è una generalizzazione del metodo di eliminazione di Gauss-Jordan per risolvere i sistemi di equazioni lineari. Tale costruzione può essere estesa a più polinomi simultaneamente.

440 B/Permu(azioni

441

Nel caso in cui i due polinomi considerati sono omogenei anche il loro l ' po, o ,nsut ant e l o e. 1U precIsamente si ha il seguente teorema. o

A.18

Siano

TEOREMA

e

F=A n+An-lXN + '" +AoX~,

q

G=Bm+Bm_lXN + '" + BoX':t

~ove, l!er ogni j.= O,

, n, k

O, ... , m, A j e B k sono omogenei di grado j e k

=

rrsp~ttlvamente In Xl' , X N - l , e AoBo =;é. O. Allora il risultante R(F G) di F G rrspetto a X N è un polinomio in X!' ... , X N_l omogeneo di grado :nn, oppur: R(F, G) = O.

Dimostrazione Ponendo R(F, G) = R(Xl , ... , X N_1), si ha

= (n

+ m)+ (n + m -1) + ... + 1 = ( m + 2n +

o

(n-IA n _ 1

AD (n-1A n _ 1

(nA n

000

R(tXl, ... , tXN_1)

o

= t q - p R(Xl, ... , X N- l) = t mn R(Xl ,

o •• ,

X N- l)

e la conclusione segue dalla proposizione A.l2 (1). A.19 Esempi

o AD

.

Deduciamo

1. Nel caso n (nA n

l)

F=A z +AlXN+AoX~

o o

00.

= m = 2, cioè se

G

=

Bz + BI X N+ BoX~,

si ha

o (mB m

o

(m-1B m _ 1 (m-lB m _ 1

(mB m

AD

o

Bo

Bo

o

o o

000

20 Nel caso m = I, cioè se F=A n +An-lXN + ...

o Bo

Molti~lichiamo la i-esima riga degli A per t m - i + l e laj-esima riga dei B per Ottemamo

("-j+l.

+AoX~,

G=B l + BOXN, si ha

R(F, G)

= (- Bo)nF(- B/Bo) = = AoB~ - Al BoBf-1 + AzB~B f-z +

tn+mA n

o

r+m-1A n _ 1 (n+m-lA

o

B Permutazioni

n

(n+m-lBm _ 1 (n+m-1B

m

+ (_1)n A nB3.

•••

o (n+mBm

O"

0.0

(nB o

(AD

o (n-lB o

o

o o

o ••

In quest'appendice esponiamo alcune proprietà delle permutazioni degli insiemi finiti, che vengono utilizzate nella definizione e nello studio dei determinanti. Sia / un insieme finito. Una permutazione di / è una corrispondenza biunivoca p: /~/ Supponiamo che / consista di n elementi. Dopo averli numerati, si può identificare / con l'insieme {I, 2, . n l dei primi n numeri naturali. Ci limiteremo quindi a considerare le permutazioni di {l, 2, ... , n l. Esse costituiscono un gruppo rispetto alla composizione, consistente di n! = 1 . 2· '" n elementi (la verifica è lasciata al lettore); denoteremo tale gruppo con il simbolo o o,

o = (QR(X" "0' X N -

o 1),

(m+l

Bm

000

(Bo

o

_ _ _."~_.~ ._ . ",~_~~.,~~_~~._,~ . . .__ "'._.~_"'.~='~~.=,.~

__

=Co'~'= ~-'=,~~",=,-,=",o",.~~~~

<

442

Appendici

BIPermutazio,!i

an • Un elemento pE an viene spesso indicato con una tabella:

443

Dimostrazione 1) Sia al E{l, ... , n} qualsiasi, e siano a2 = P (al)

2

a3 = P (a2), a4 = p (a 3),

'"

•

Nella successione

p (2)

[B.1] in cui sotto al numero i compare la sua immagine p (i). Ad esempio, la permutazione identica 1 è rappresentata da (

1 2

...

n).

1 2

'"

n

Questa notazione non richiede che nella riga superiore della tabella i numeri 1, 2, ... , n siano disposti in ordine crescente: ad esempio, per ogni pE an la tabella p (1) p (2) (

1

2

'"

p(n))

.. ,

n

rappresenta la permutazione p -I. Siano al' a2, ... , ar elementi distinti di {l, 2, ... , n}. La permutazione k definita da . . k(al) = a2, k(b)

=b

k(a~

= a3 ,

per ogni

•••

k(ar _l ) = a n

2

...

n) =

Ad esempio (1

(

3 2

1 2

.,.

2

...

3

n-l n) n

a2

•••

a) In partOlCO lare: r'

1

6) Ea6 è la permutazione

123456). ( 3 6 2 4 5 1 Ogni ciclo di lunghezza 1 è la permutazione identica. Un ciclo di lunghezza 2 si dice trasposizione. Una trasposizione scambia tra loro due elementi e lascia fissi tutti gli altri. In particolare una trasposizione è inversa di sé stessa. Due cicli (al a2 '" ar) e (bI b2 ... bs ) si dicono disgiunti se {a" a2, ... , ar}

B.1

n

e quindi p permuta ciclicamente gli elementi a" a2, ... , ar" Consideriamo il ciclo (al a2 '" ar)' Se r = n, allora p = (al a2 .,. an) e l'asserto è vero. Altrimenti esiste bi E {l, ... , n }\{a l , ••• , ar }. Ragionando come prima si ottiene un ciclo (bi b 2 '" bs) disgiunto dal precedente. Procedendo in questo modo otterremo un numero finito di cicli disgiunti K I , K 2 , ••• , K; tali che [B.2]

=

2) In virtù della (1), è sufficiente dimostrare l'asserto nel caso in cui p (al a2 ar) è un ciclo. A questo scopo è sufficiente osservare che

=

bE {al' a2, ... , ar},

è un ciclo di lunghezza r, e si denota con (al (1

k(ar) = al'

il primo elemento che viene ripetuto è al' perché se la prima ripetizione fosse < r, si avrebbe ar _1 = ak_l , e la ripetizione non sarebbe la prima. La [B.1] è dunque della forma

ar = ak, 2:5 k

{bi' b2, ... , b,} = 0.

PROPOSIZIONE

1) Ogni permutazione pEan è prodotto di cicli a due a due disgiunti. 2) Ogni permutazione p E an è prodotto di trasposizioni.

I cicli K I , K 2 , ••• , K;, essendo disgiunti, sono a due a due permutabili, cioè la scrittura [B.2] è indipendente dall'ordine in cui vengono presi. Se nella [B.2] compaiono dei cicli di lunghezza 1, questi possono essere omessi perché corrispondono alla permutazione identica. Pertanto ogni permutazione si scrive in modo irridondante come prodotto di cicli disgiunti di lunghezza almeno 2. Si noti che l'espressione di una permutazione come prodotto di trasposizioni non è unica. Ad esempio si ha (1 B.2

2

3) = (1

TEOREMA

3) o (1

2) = (2

3) o (l

3).

Sia p Ean. Supponiamo che

dove TI, ... , Th , SI' ... , Sk sono trasposizioni. Allora h hanno la stessa parità. Dimostrazione Poiché 1 = p o P - I = SI o S2 o

= k (m od. 2), cioè h e k

••• o Sk o Th o '" o T 2o TI' è sufficiente dimostrare che la permutazione identica non può essere ottenuta come prodotto di un numero dispari di trasposizioni.

444

Appendici

Sia

Risoluzione degli esercizi [B.3]

con R I , R 2 , ••• , R m trasposizioni. Supponiamo che si abbia R j = (l a), per ogni = 1, ... , m. Allora, poiché 1 (aj ) = aj , la trasposizione (l aj ) = (aj 1) compare un numero pari di volte in [B.3], e quindi il numero m di fattori è pari. Se per qualche j si ha Rj = (bj , a), con bj ~ 1 ~ aj , allora, poiché

j

(bj , a)

= (l b) o (l a) o (l bj ),

possiamo sostituire R j con il prodotto a secondo membro senza cambiare la parità del numero di fattori della [B.3]. Ci si può quindi ridurre al caso precedente, in cui l'asserto è già stato dimostrato. B.3 DEFINIZIONE SiapEan • Sep = Tlo T 2 0 sizioni, il segno di p è E(p) = (_1)h.

•••

o

Th , con TI' T2 ,

••• ,

T h traspo-

Dal teorema [B.2] segue che la definizione di segno di una permutazione p è ben posta, perché la parità di h dipende solo dap. Il segno E (P) gode delle seguenti proprietà, che discendono immediatamente dalla ,definizione. BA

o

= 1. E(p-I) = E (p) per ogni pEan •

4)

O O O O

E (T) = -

1 per ogni trasposizione TE an •

+A =A

+ lA;

I(A - lA) = lA -A

J.... (A + lA) + J.... (A -

=-

O 2

O

(A - lA).

lA) e il primo addendo è una matrice simme2 2 trica, mentre il secondo è una matrice antisimmetrica.

Si ha A =

3) E(poq) = E (p) E (q).

= lA

O

c)

lO

5. I(A + lA)

O O O

5 O

24' + 9Y2 ), 1. a) ( _'" - 8 + 5v2

PROPOSIZIONE

1) E(l)

2)

§ 2

6. a)

(; ~) :

+

('

:)

-~

C ~) + G:)

b)

1

O

2 c)

1

-1

O

2

O

O

+

1

1

-2

-1

O

-1

2

O

446

Risoluzione degli esercizi

Risoluzione degli esercizi

447

lO. c), d) e h) non sono ortogonali, tutte le altre lo sono.

§ 4 § 3

1. a) base c) base e) Il sistema omogeneo

1. a) Soluzione generale: (7t, 4t, t) b) (- 2t l

-

5 tl

-

4t3 ,

I~J -~)

--4

°

5. a) (O, 1, O)

(ti - tl + t 3), t lo tl , t3)

c) incompatibile;

e) (5 - 2t 1 - 2tl , ti, 3 - 2tl , t l ).

d) incompatibile

4. c) (-

-;-

b) dipendenti e non generano d) dipendenti e generano

e) - 1 ( 2 9 2+i

2

possiede soluzioni non banali se e solo se i vettori dati sono linearmente dipendenti. Risolvendo si trova ·che il sistema possiede 00 l soluzioni, sicché i vettori sono linearmente dipendenti; il sottospazio che essi generano ha dimensione 2 e quindi non è l'intero spazio R 3

-i).

-2

0

b)(l,-i)

c)

(v2,

1, O).

f) indipendenti

g) dipendenti e generano

h) base

i) dipendenti e non generano.

3. a), i). 4. U contiene i =

l. [(i + j) + (i -

j]) e j =

2

~[(i + j) 2

(i - j)]; inoltre U

+ W contiene

k = (j + k) - jo Quindi U + W = V perché contiene i, j, k. La somma non è diretta perché dim(U) = dim(W) = 2, e quindi, per la formula di Grassmann, dim(U W) = 1.

n

b)

G -~)

= R l (2)Rn(1)R l (-1)R 1l =

=

G:) G~) (- ~ ~) G~)

o

6. I vettori (1, 1, O) e (O, 0, 1) appartengono a U e sono linearmente indipendenti: poiché dim(U) 5 2, {(l,l, O), (0,0, l)} è una base di U. Si ha W n U = (O) perché ogni multiplo non nullo di (l,O, 1) è della forma (t,O, t), t:F- 0, e questo vettore non appartiene a U perché la sua prima coordinata è diversa dalla seconda. Quindi U + W = U Et) W; poiché U Et) W contiene propriamente U, si ha dim (U Et) W) = 3, cioè UEt)W=Vo

11. GLn (K) non contiene la matrice nulla.

12. Identificando Mn(K) con Kn" X

si identifica con l'insieme delle soluzioni dell'equazione di primo grado omogenea an +all + + ann = O. Quindi X è un sot2 tospazio vettoriale. Poiché l'equazione precedente possiede oon -1 soluzioni, si ha dim(X) = n l -1. 0.0

14. Supponiamo per assurdo che esistano n successioni al = {alO, an, all, o.. }, al = {alO, allo all, ... }, ... , an = {anO, anlo anl, ... } che generano SKo Allora, per ogni (bo, bio .. ... , bn)EKn+1 esistono XIo Xl, xnEK tali che 0.0'

dove b= {bo, bio ... , bn, 0, O, .. o}. _:

] - R"R,,(Z)R,(-7)R,,(3)R,,(Z)R,,(I).

Da ciò segue che (bo, bi, .00' bn) = Xl (alO, an, all, .0.' al n) + Xl (alO, all' all, ... , al n) + .0 • ... +xn(ano, anI, an 2' ••• , ann ) ,

0

448

Risoluzione degli esercizi

Risoluzione degli esercizi

..fi, ..fi )

4. a) (1,

cioè gli n vettori

449

b) (l, i, - 2i)

c) (2, 1, 1, -1).

6. I minori di ordine massimo di A presi a segni alterni sono: generano Kn+': ciò è assurdo, perché Kn+' ha dimensione n + 1.

a,=(-l)'det[A(l

17. Ogni polinomio f(X)EH[X] può identificarsi con un elemento di qa,b) e quindi R [X] può considerarsi come un sottoinsieme di C{a,b)' Poiché le operazioni in R [X] sono quelle indotte dalle operazioni in C{a,b), R[X] è un sottospazio vettoriale di C(a,b), Poiché R [X] non ha dimensione finita, neanche qa, b) ha dimensione finita. 18. I polinomi 1, X, X

2

, ... ,

2 ...

Gli a, non sono tutti uguali a

n-III

...

[

...

n)],

i=l, ... ,n.

°perché r(A) = n -1. Per ognij = 1, ... , n -1 si ha

dove aj

X d costituiscono una base di K[X]"d'

,

all .

B= (

§ 5

an -'2

an-Il

1. a) 3

c) 2.

b) 3

Poiché B ha due righe uguali, det(B) = 0, e quindi (a" ... , a n ) è soluzione della j-esima equazione del sistema.

§ 6 2. a) Il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite è 2 + m, e si annulla per m = - 2. Quando m ;t!: - 2 il sistema è compatibile, per il teorema 5.7, e possiede l'unica soluzione (1, 1- m), che può essere calcolata con la regola di Cramer o con il metodo di eliminazione. Quando m = - 2 il sistema diventa

§8 1- y ) b) ( - 2 - ' Y,z

1- y ) 1. a) ( - 2 - ' y, z

2X - Y=-l X

-2X+ Y=l,

c)

2

2y

2x 4y 1 2ix iy - 5 + 5 + 5 ' -5-+5+ z

(5-5+5'

i)

-5

ed è ancora compatibile; esso possiede le infinite soluzioni (t, 2t + l), tE R.

~

b) Compatibile solo se m =

, ed in questo caso la soluzione è

(~

,

O).

3. b) Se m ;t!: 0, 2 il sistema possiede l'unica soluzione

c=: ' 2~m

'

~=:);

se m = 0, possiede le (Xl' soluzioni (l + t, l, - t), t ER; se m = 2, è incompatibile. c) Se m = -1 il sistema è incompatibile; se m = 2, possiede le (Xl 2 soluzioni

(~

- s - t, s, t), s, tE R; se m;t!: -1, 2, possiede l'unica soluzione

C(m\

l

l

1) , 2(m + 1) , 2(m + lJ·

e) Incompatibile se m ;t!: 2. Se m = 2 possiede le (Xl' soluzioni (l, - 2 t, t), t ER. f) Incompatibile se m = - 1. Se m;t!: - l,IiI sistema possiede l'unica soluzione

-.!!!-);

3m + 2 , ~ , se m = 1, possiede le (Xl' soluzioni (2 + t, t, 1- t), tE R. ( m+l m+l m+l g) Se m = il sistema possiede le (Xl' soluzioni (t,O, O), t E R; se m = 1, possiede le (Xl' soluzioni (- 3 t, t, t), tE R; se m ;t!: 0, 1 il sistema possiede l'unica soluzione (O, 0, O).

°

d) (x, 1- 2x, 4ix + 2iy +

z - 2i).

§ 9 1. a), c).

X Y b) - + - = 1 . .J7 172 c) La retta cercata appartiene simultaneamente ai due fasci individuali da e da t e t'. La condizione che la retta di equazione

2. a) 2X + 3 Y = 6

(l + 3 t) X + 5 Y + (6t - 8) = 0,

variabile nel primo fascio, appartenga al secondo è 1+3t

5

6t-8

lO

-1

-2

1

-1

-5

cioè t = 7. Pertanto

~

=

°

è la retta di equazione 22X + 5 Y + 34 = O.

~

ed

~',

Risoluzione degli esercizi

450

21 3. a) x = 13

4(l.!, 2 5.

(~ ,

14 Y=- 13

+ 21,

3-~.5)

b) x =

+ 41

.l -

5 -J2 l,

2

1 y= - +71. 2

451

12. a) 2X + Y - Z - 8 = O c) Y+3Z-6=0

b) 7 X - Y + lOZ -13 = O d) 3X+2Y+Z-12=0.

13. a) 2X - Y + Z -1 = O, X - Z- l= O b) X+ Y+Z+3=0,· X+lOY-7Z+4=0 c) 2X - Y =Jl, 2X + 2 Y - Z - 3 = O.

.

2 :),

Risoluzione degli esercizi

G' ~), C' ~}.

-13X+25Y~8Z+4=0,

14. a)

3X+7Y-7Z+4=0

b) 3X+7Y+4Z+2=0, 13X+2Y-3Z-32=0 c) 4X + 6 Y + Z + 3 = O, 2 Y - 3 Z - 1 = O.

16. 2X - 3 Z - 2 = O.

§ lO

1. a). 3 b) m = c) nessuno 4 3. a) x = 21 + u, Y = -J21 + u, Z = 1 + (-J2 -1) u; (2- -J2)X+2(1- -J2) Y+(2- -J2)(Z-l)=0

2. a) m = 2

d) nessuno.

- XI 3. p(xt> X2' X3) = ( x"

Z=~l+.!!-U; 2 (7l" - 2 ~) (X - 5) + (27l" - 8 ~) (Y + 1) + 8Z = O c) x = 1 - 3 l + u, Y = 1 + u, Z = 1 - 1+ u; X + 2 Y - 3 Z = O.

b) x=5-41-8u,

d) x = l,

Y = u,

y=-1+21+2u,

Z

= O;

4. a) X+2Y+3Z-9=0 c) i Y - 2Z + 3 + 2i = O

§11

4. p(xt> X2,

Xh

X4) = (-

+ X2 - X3 2

~

, 3X4'

Xh

'

- XI - X2 2

+ X3 )

.

x4)'

Z = O. b) 2X- Y-i=O d) Y - 1 = O.

c) (2X, +X2 - X 3, 2XI + 2X2 -X3, -X, - X 2 + Xd

d) {XI - X 2, X 2 - X 3, X 3}.

5. a), b), c) no; d) sì.

6. a) x = 1 + 21, Y = 1 - l, Z = -J21; X + 2 Y - 3 = O, X - -J2z -1 = O Z = - 21; Z = - 2; X - Y+4= O b) x = - 2 + l, Y = 2 + l, c) x=l+l, y=2+21, z=3+31; 2X- Y=O, 3X-Z=0 d) x = l, Y = O, Z = O; Y = O, Z = O e) x = 1 + l, Y = 1 + l, Z = - l; X - Y = O, X + Z -1 = O. 7. a) x=il, b) x = l, c) x=l,

d) x =

y=l, z=-1-21 Y = 4 + 3 l, Z = 1- 3 l y=l, z=l

J... - -.L i + (1 2

i) l,

Y =2

+ l,

8. a) x=l+il, y=l+l, z=O b) x=l, y=O, z=l c)x=2+il, y=l, z=-5+1 , d) x = 3 + (-J2 + 5) l, Y = (3 -J2 + l) l,

lO. a) sghembe d) sghembe

11. a)

c) incidenti,

Z = - il.

X3 Y3

Z = 141.

c) X - 2 Y + 3 = O.

b) sghembe c) parallele; 3X - 3 Y + 3Z -l = O e) incidenti; 2X - 3Z + 8 = O. b) incidenti, Z.

z.nft =

{(- 2, l, 4)}

(:~ ~~),

dove XI, y" X2' Y2' X3' Y3 sono i coefficienti delle combinazioni lineari seguenti:

b) X - Y + 2Z - 5 = O

z.cft

1. La matrice cercata ha per colonne le coordinate rispetto ab' dei vettori F(1, l) = (2, -l, 1) e F(O, -1) = (-1,2, O). Quindi

Mb',b (F) =

2

9. a) X + Z + 1 = O

§ 12

d) parallele.

nft = {(- 6,17, 23)}

x,

(}X+:)+x'(:H-]

y, (}+}y.(~){:)

Risoluzione degli esercizi

452

x

Risolvendo i due sistemi così ottenuti si trova:

453

Risoluzione degli esercizi

8. x' = - 2

Y

l

2

2

3x y l y' = - - - - - . 2 2 2

+- - -

3x 3y y'=----o 5 5

X Y l 9. x' = - - + - + 555

lO. x'

41r

= 2x -

y - z - -- , 3

2.

:)

..

n

o

3. ~ 2

(-

3 - 2i 4 - 2i

-1 - 4i

i)

z'

=-

X

+ Y + z + 1r.

j, 1=1, ... ,

no

k=l

Calcolando in bj primo e secondo membro della seconda identità troviamo 111(bJ = = mjlo D'altra parte

- 2 - 3i

2i

z,

'rJ. = l: mk;{3b

i=l

- 4-

=x -

n

bj = l: nije;,

-1

y'

n

4. I vettori VI> Vz, V3 sono linearmente dipendenti. Se F esistesse, anche le loro imma~ gini El> E z, E 3 sarebbero linearmente dipendenti, il che è falso perché (E" E z, E 3 l e una base di R 3 •

111(b) = 11t( l: nije;) = n/j, i=l

e quindi

mjt

= nlj per ogni j, 1 = l, "0'

n.

§ 13 b) Detta e la base canonica, si ha

1. Detta e la base canonica, la matrice cercata è

Si ha:

-1 l. -:),

2)-' ( -/5 2

--/5 M •• (l)

6. a) Mb,b' =

7. a) M..

C-i 2 1- 2i

J...

~~

1- 2i)

l ( b) Mb,b' = -

2

2- i

l -i

~

'~ (=: _~ -:).

M •• (l)

e quindi 6

O

(:

O

2

O

O

-:)

b)

Mb(F) =

C -:

3

-5

l

O

Risoluzione degli esercizi

454

2. Procedendo come nell'esercizio precedente si deduce che

1

3

2 1

2 7 2

-

2

(al..

+ b) In I =

la(A - Àln) I

= a nI(A

- Àln) I

= O.

-2

6

Posto B

3 2 5

+ b)In I = I (aA + bIn) -

15. La matrice che rappresenta F rispetto alla base canonica è

1 -2 5 -2

quindi

455

11. ±l, ±i. 13. IC - (al..

1 Mb(F) =

Risoluzione degli esercizi

-4

= Mb(F), si ha A = MBM-\ dove

4

2 - 8i

6i )

-9

lO

-20

24

. O

_1) -1

.

-2

O si ha

9. b= {(l, l, -l), (1, l, O), (-l, O, I)J.

M'lfl{ : ~) lO. a) Il polinomio caratteristico della matrice assegnata A è T 3 - 6 T 2 + 12 T - 8 = = (T - 2)3, e quindi l'unico autovalore è l.. = 2, con molteplicità algebrica h (2) = 3. La matrice A - 213 ha rango 2 e quindi dim(Rn = 3 - 2 = 1. A non è diagonalizzabile perché la somma delle dimensioni degli autospazi è minore di 3. b) l.. = 2, 3, h (2) = l, h(3) = 2, dim(Ri) = dim(Rl) = l; A non è diagonalizzabile. c) l.. = 1,2, 3, h(l) = h (2) = h(3) = l, dim(Rf) = dim(Ri) = dim(Rl) = l; A è diagonalizzabile. d) l.. = -l, l, h(-l) = 2, h(l) = l, dim(R:,) = dim(Rf) = l; A non è diagonalizzabile. e) l.. = 7, O, h (7) = l, h (O) = 2, dim(Ri) = dim(RJ) = l; A non è diagonaliz~ zabile. f) l.. = - 4,4, h(- 4) = 2, h(4) = l, dim(R: 4) = dim(Rl) = l; A non è diagonalizzabile.

e quindi 5

F (x, y, z) = (- 30x + 31y - 31z,

- 31x + 32y - 31z,

31x - 31y + 32z).

§ 14

1. Gli elementi di U(l) si possono identificare con i numeri complessi di modulo 1. Definiamof: U(l)---> SO (2) ponendo

f(a + ib) =

(a -ab). b

È immediato verificare che f è un isomorfismo di gruppi.

Risoluzione degli esercizi

456

2. a) A

= A = '.4 = *A

b) A = '.4,

A

= *A = (

- i O

Risoluzione degli esercizi

457

§ 15 1. c), e).

c) A = '.4,

d) A = '.4,

3. a) e) A = '.4,

1 .

f) '.4=A= (

l+i

1-

i) ,

(-: -4) -3

,r= 2

bl (_

4 -2)7 ,r= 2

c) (

d)

-2

~ ~)- r~2 -

(-: -1)1 1 ,r =

*A =A.

-1

e) ( :

:),r=2

:), r= 2.

f) ( :

3. a), b), d), e). 7. a) f(x, y) = (2x + y

+ 1, 3y -1)

3

3)

3 y+5 , - x - -7y + b)f(x,y)= - -1x + ( 2 4 4 2 4 4 X

c) f(x, y) =

(-

Y

1

x

y

1)

b) X,Y2

+ X2Y, + y,Y2 - X,Z2 - X2Z,

c) X,X2 - X,Z2 - X2Z, - y,Y2 - Z,Z2

4 -12 + 3 ' "2 - 6 - 3 .

lO. "'b,e è individuata dalla condizione y - b = e(x - b),

O

dove y = "'b,e(X), e quindi y = b (1 - e)

+ ex,

1

5. a)

1

2

2

O

1

2

1

-1)

,r= 3

:

2

2

cioè "'b,e =

1

1 2

,r= 3

O O

TcI,b('-e)'

5

O

1

2 c) (

e)

(

O

d)

O

-1

1

-1

2

-~

3

O

O

O

,r= 3

458

Risoluzione degli esercizi

Risoluzione degli esercizi

459

§ 16 1. a) {(i, O), (O, l)}, x = ix', y = y'

b) ((~ + ~ i, O), (0, ~)]. c)

((~ , O),

(0,

+)].

d) {(i,0),(0,5i)}, 2. a) ((

~ , 0, O),

'b) ((0, 0, ~),

x' =

x=ix',

(0, 0,

2~)'

i , y=-y ..fi

~ x',

l

y=-y 3

y=5iy'. (0,

~, O) J,

(l,O, O), (O, l, O».

c) {(O, 0, l), (1, 0, O), (O, l, O)},

d) (0, l, O), (0, 0,

,

d) (l 0) (1 0) ( l-l) (1 l) °°

(2, l)

=

l

l

-l

°l

l

(l, l) (1,2)

~), (l, 0, O».

(2, O).

3. a) Seguendo il procedimento utilizzato nella seconda dimostrazione del teorema 16.1, si effettua il cambiamento di coordinate x nella forma diagonale:

q(x', y')

=

= x' +.i. y', y' = y,

il quale trasforma q

3

5. a) Una prima sostituzione x = x', y = y' - x', z = z' riduce q alla forma q(x', y', z') = = - X,2 + x' y' + y' z'. Procediamo come nella dimostrazione del teorema 16.1. Con la sostituzione x'· = x"

3X,2 _ ~ y,2. 3

2

q(x", y", x")

La segnatura è (1, l).

z"

+~Y',

x=x'

+ 1.- y", y' = y", z' = z" la forma si riduce alla seguente:

'8

y=y', (1, l).

= - x" 2 + 1.- y"2 + y" z". Infme, la sostituzione x" = X, y" = y - 2i, 4

=

i dà luogo alla seguente espressione per

q(x, y,

i) = -

q:

x2 + 1.- Y - i 2 • 4

l

x=x' +-y', y=y', (2, O). 2 y=y', (l, O). d) x 2, x=x'+y',

x=x'-~Y',y=Y',

(1, l).

3 f) In questo caso è evidente che il cambiamento di coordinate'x = x' - y', y = x' + y', trasforma la forma quadratica nella forma diagonale 6X,2 - 6 y l2. Segnatura: (l, l).

Scambiando tra loro y e x otteniamo x = jì, y = X, i = Z. Segnatura (1, 2). b) X,2+ y ,2_ Z ,2,

c) X,2_ y ,2_2z,2,

x=z' -y',

q(x,

jì, z) = 1.- x2 4

y=x' +y' -z',

x=x' +z',

y=y', l

x=x' - - z ' , lO

4. a)

e) 2X'2+ 7y,2_ Z ,2,

x=z',

y=y',

P-

z2, dove si è posto

z = y',

segnatura (2, l)

z=z', segnatura (1, 2) y=y',

z = z', segnatura (2, l)

z=x' -2y', segnatura (2, l).

6. a) La matrice M è ottenuta come prodotto delle matrici corrispondenti alle successive

461

Risoluzione degli esercizi

Risoluzione degli esercizi

460

sostituzioni effettuate; pertanto § 17

~ (~ ~) (~ ~

M = (_: O :) (:

:)

6. dim(W) = 2; base ortonormale di W:

O _

:) =

001001001001

1.-

1

vettori che la completano a una base ortonormale di V:

-1

2

1.-

-1 -1

2

O

O 7. a) [(

Si ha dunque:

(~

0) (~

O

2

O -

-1

O -1

O

1 c)

(0 _ 0

-1

-1

~

-1

=

(~

O -2

O

1

-

1

1

1

-

-

2

2 O

-

1

1

2

2

1

O

O

-1

-1

-1

~ , ~ , - ~, ~), (~, O, ~, ~), (~ , O, O, - ~)]. O,

O, O, O), (O, -

V;, V;), O,

(O, O, 1,0)].

_:)

~ _ ~ -~) (~

~)

O

O

~,o, ~, ~),(~, ~,o, ~)]

V;, V;), (1,

8. [(O,

O

O -1

b) [(-

c) [(

-1

O, O,

(~, ~,3'73,--m)]

O

O

-1

O

1

2 O

-~)(~

:

1 2 1

2

2

-1

O :) (

1

-

~)( ~

1

1 -1 O

:)

o

~)

2 1 -1

:)=(_~

O

-

1

Js ' Js),(- lo, ~, ~, ~),

O

1

9.

"[(1, O, O, O), (- ~, 1, O, O), (O, 0,1,0) (O, O, - ~, 1)]. § 19

2. a)

6

b)

.J5

1.-. 5

3. X - Y - 2Z - 3 = X + 3 Y - Z - 2 = O.

dt ,)

(~

O 3

O

O 7

0) ( O

=

2~

~)~

O -1

O O

- 110

O

1 O 2 3 O

5

:)

O 1

O

2

r

O

1

O

O

(~

')e :)(~ -2

-~

-~

O

O

s.

X + Y - 3 = O, Z

6. t-: X - 3 3

= l.

=Y_ 2=

Z -1; 5

d(t-, J.-)

= _4_. .JIO

. 3X 1 6Z 9. a) Perpendicolare comune: + - = 6 Y + 3 = - - + 1; 225 O

3

O

~~)

4. 5X - 6 Y + 2Z + 7 = O.

-2

:)

lO. a) X

2

+y

c) X

2

+ y 2 - 2X + 2 Y + -

2

-

6X + 8 Y + 24 = O 7

4

= O.

5 d(t-, J.-) = - - .

-!42

Risoluzione degli esercizi

462

b) C=(-4, 5), r=3.

11. a) C = (3, - 4), r= 5

l

Risoluzione degli esercizi

463

L'esercizio può essere risolto calcolando direttamente la trasformata di t- rispetto alla riflessione definita da jv (cfr. esercizio 4(b». Si trovano per la retta t-' le equa- ° zioni 5X-4Y+2Z=0, X-Z+l=O.

§ 20 § 22 1. a) Poiché è un'isometria diretta, f è della formaf(x)

la condizione fO) b) f(x) = -x+ 2. a) f(x, y)

x + c per qualche cE R. Per

= .!!.- dev'essere c = !!- -1. Pertanto f(x) = x +.!!.- - 1. 2 2.

7f -

2

2 1. a) (_.

= (- x, y)

c) f(x, y) =

=

b) f(x, y)

= (- y, - x)

.J5

(1.-5x +5 -.! y, -.! x _1.- y) 5 5

12x - -5 -5x + -12. y, y) ( 13 13 13 13 e)f(x,y)=(-y+l, -x+l).

c)

= (x + 1, y + 1)

c) f(x, y) =

(

b) f(x, y)

--3 )

~

~.

~

~

2. a) La trasformazione- ortogonale è quella che fa passare dalla base canonica ad una base ortonormale costituita da autovettori della matrice di q. Gli autovalori sono À = 1, 4. L'autospazio Ai ha dimensione 2, ed una sua base ortonormale è

= (x + 1, - y + 1)

3 4 -x+-y, -4 x - -3 y) ( 555 5

12, - x 3 + -4y +4) d)f(x,y)= ( - -4x +3- y - 5 5 5 5 5 5

)

.J5

-1

d) f(x, y) =

3. a) f(x, y)

~5 ~

--=l), (-.J6.J6.J6

O, _1_, [( .J2.J2

2 , _.1_ , _1_). L'autospazio

A~

ha dimensione l° e un suo

o

1 ) Q um . dOi la tras f ormaZlOne . versore e. o(-1 , - 1 , ort ogonale 'e o

.J3 .J3 .J3

4. a) f(x, y, z) = (y, x, z)

(~_2y_2z,

_2 x +L_2 z , _2x_2y+~) 333333333

XI

(~+2y_2z, 2

X2

b) f(x, y, z) = c) f(x, y, z)

=

x +L+2 z , _2x+2y+~) 333333333

3 4 4 4 --x+-z--,y, -x+ -3z + 2) ( 5 5 5 5 5 5

d) f(x, y, z) = e) f(x, y, z) =

X3

(~+!- y _-.!z+ 12-, !-x+ L

+

- -.! x + -.! y + 1.- z + 5. a) f è l'identità.

b) f(x, y, z)

6. t- incontra jv nel punto P

= (-

= (-

9

(

9

!-)

1 --

.J2

o

1

XI

.J3

9

1.-). La retta t-' contiene P ed il sim4

. . cartesiane: • - -2 , - -2, -1) . P ertanto t- , e. la retta dOi equazlOlll

3

3

X3

.J3

1 --

.J3

1

YI

1

Y2

.J3 -

.J6

1

.J3

-

.J6

-

-

1

Y3

.J3 = -

2

O

-1

-

1

.J2

.J6

1

1 --

.J2

(:)

1

Y2 O -

1

Y2

O -

O O -

1

Y2

(f:)

2yi - 3yi + y~. Trasformazione ortogonale:

Y2 Y3

.J6

1

Y2

yi + y~ + 4y~0

YI

.J6

c) Forma diagonale: q(y" Y2, Y3) -

X-Z+l =00

1

-

X2

3

5X-2Y+2=0,

-1

.J2

2 4 metrico di un qualsiasi punto di t-, ad esempio di (O, O, 1), il cui simmetrico è Q=

1

-

.J6

b) Forma diagonale: q(YI, Y2' Y3)

x, y, z).

1-, - 1-,

-2 --

La corrispondente forma diagonale è q(YI, Y2, Y3) =

-.!z _12-, 99999999 9

O

= -

Yi -

y~

+ 3y~. Trasformazione ortogonale:

464

Risoluzione degli esercizi

Risoluzione degli esercizi

465

§ 23 § 25 1. c), e). 1. a) [O, l, - 3]

2. a), c), e). 3.

°

[(~, - ~, o), (~, ~, o), (O, 0, i)].

2. a) 3X, +X2 +Xo = c) 2iX, + 3X2 + 9Xo =

4. a) A possiede gli autovalori Iv = 0, 2. I corrispondenti autovettori .)

l

(

--ti'..Jz

(-.L,- _1_) e --ti

b) Xl - 2X2

°

--ti

X o =:

°

+ i =0

b) 2X - Y

c) 2iY-X+i=0

d) 2 Y

4. a) [3 + i, - l, -l]

standard; pertanto la matrice cercata è:

-

d) [O, 0, l].

d) XI +Xo = O.

3. a) -4X+ Y+7=0

costituiscono una base ortonormale di C 2 rispetto al prodotto hermitiano

c) [O, - 3, 2i]

b) [O, 2, l]

+l

- i = O. c) [O, 3, l].

b) [l, l, l]

5. La giacitura del piano di A 3 (R) cercato è generata dalle direzioni di Zr ed ~. Impo-

~:

nendo il passaggio per il punto assegnato, si ottiene il piano di equazione in coordinate omogenee: X o - X 2 - X 3 = O.

il)

M- (

:

§ 27

b)A=(-: _: -~)

1

1. a) A = (_ 2

- 2

_ :)

1

-2

-l

'lA_C -;

§ 24

1. a) (2i - 3)Xo + (2i b) '-- (l

+ i)Xo -

+ I)X, - 4X2 = 2X, + (l + i)X2 =

°

°

b)

6.

~

~

f fissa tutti i punti della retta di equazione X o + XI = 0, e il punto [O,

°

l].

'lrP,H(Q3) = [3,5, l, -l],

'lrP,H(Q4) = Q4.

5. Zr ed

J

4. a) fpossiede i 3 punti fissi [3, 2, - 4], [4,2, - 5], [l, l, - 2].

3. 6Xo + 2X, - 5X2 = O. 'lrP,H(Q2) = [l, l, -l, -l],

-l

2. f([xo, Xl]) = [Xo - 3x" Xo + XI]'

c) 2iXo - X 2 = O.

4. 'lrP,H(QI) = [1,2,0, O],

l

§ 28

sono sghembe. 1. a) XOX I + 2xi - X5 = 0,

= L (P, Zr)n L (P, Zr').

b) xtXi - xt = 0,

7. a) L(P, Zr) è il piano contenente P e due punti di Zr, per esempio [O, 0, 2, l] e [l, - 2, l, O]. Similmente L (P, Zr') è individuato daPe da [O, 3, 2, O], [2, l,O, - 2] E Zr'. Quindi~= L (P, Zr) n L (P, Zr') ha equazioni 3Xo + 2X, + X 2 - 2X3 = 0, 3Xo - 2X, + + 3X2 + 2X3 = O. b) ~ ha equazioni cartesiane: 4Xo - 3X, + X 2 + X 3 = 0,

7X o - 3XI + X 2 + 2X3 = O.

[O, l, O]

[O, l, O], [0,0, l]

+ X OX IX 2 + XIX~ = 0, [O, d) X/X2 -X, Xi + xfXO- x2 xJ = 0, c) 3XJX2

l, O], [O, 0, l]; [O, l, O], [0,0, l], [0, l, l].

2. a) e b) non sono simmetriche rispetto all'origine né rispetto ad alcuno degli assi coordinati; c) è simmetrica rispetto all'origine e rispetto ad entrambi gli assi coordinati.

30

Risoluzione degli esercizi

466

Risoluzione degli esercizi

467

dratica X,Z + Y'z + X' Y' sono A. =l-,

§ 31

2

RTI2 = «-1, 1),

2

=

1

3 ->0,

1

1

2

2

1

4

1

2

2

2

1

1

2

2

1 =-;;!:.O, 2

Y2

è un'ellisse non degenere, in particolare è una conica a centro. Inoltre il punto :r; è un'ellisse a punti reali. Le coordinate del centro sono la soluzione del sistema

1 1 1 1 X+-Y+-=O, -X+ Y+-=O, 2

2

e quindi C = (_l-, _l-). l punti impropri [O, XI, xz] hanno per coordinate le soluzioni

dell'equ~ziOne3X~ + xi + XIXz =0,

e sono pertanto [O, -1 + V3 i, 2],

[O, 1 + V3 i, - 2].

di matrice (_

V3].

g) Ellisse a punti reali. C = (O, O). Punti impropri: [O, - 2 + i..[6, 2], [O, 2 + i..[6, - 2]. [O, 1 + 2V2,

-

= (-

~, ~).

Y2

Y2

Y2

3

Y2

Y2

Y2

.

X'

Y'

X'

Y'

Y2

Y2

Y2

Y2

c) RotazIOne: X = - - - , Y = - + Traslazione: X' = X" +

Y2,

Y' = Y" _ _ 1_.

2Y2

8

Y2 X". 2

:r;

3

. X d) Isometna:

è C = (.:-l-, _l-) la traslazione ·33

3

Y5

Y5

Y' +-.

Y5

X=~ - Y3

Y' -

Y3,

Y=

2

Y3 X' + ~+ 1. 2

2

Forma canonica: 3X'z - Y'z = 1.

X,z+ y,z+X'Y' _..i=0,

che ha centro nell'origine. Gli autovalori della matrice

Y5

2

nella conica di equazione

3

X' 2 Y' , Y =2- X' = - --

x,z Y'z Forma canonica: - - - - - = 1. 2 2 e) Isometria:

:r;

Y2

3

Forma canonica: Y" z =

X=X' _l-, Y= y,_ltrasforma

Sostituendo troviamo la conica di equazione

l- X" z + 1.. Y" z _..i = O. La forma canonica è pertanto 1.. X" z + .2.. Y " z = 1. 2 2 3 8 8 L'isometria cercata è la composizione della traslazione e della rotazione effettuate, X" Y" 1 X" Y" 1 cioè: X = - - + - - - , Y' = - - - + - - - .

Punti impropri: [O, - 1 + 2 V2, 3],

3].

3. a) Poiché il centro di

~.

Y2

f) Parabola non degenere. Punto improprio: [0, 4, - 3].

h) Ellisse a punti reali. C

+ ~)

Y2

X,z Y'z Forma canonica: - - - - - = 1. 4 9

d) Iperbole non degenere. C = (O, O). Punti impropri: [O, 3, 1], [0, -1, 3]. 1). Punti impropri: [O, 1, O], [O, -1,

Y2

Y2

Y2

c) Parabola non degenere. Punto improprio: [0, 1, 1].

V3,

consiste· di autovettori ed è

X' Y' X' Y' b) Isometria: X = - - - , Y = - + - .

b) Iperbole non degenere. C = (O, O). Punti impropri: [0, 5, 1], [O, 1, 5].

e) Iperbole non degenere. C = (-

=

X" X" Y' = - - - + -

X" Y" X'=--+-,

(-1, -1) appartiene a ..1:f, e quindi

2

R~12

concordemente orientata con la base canonica. In corrispondenza otteniamo la rotazione

:r;

2

2

«1, l). La base ortonorma.le [(_1_, - _1_), (_1_, _1_)] . Y2 Y2 Y2Y2

2. a) Poiché 1

1.., con autospazi

1~1) (~

f) Isometria: X = ..i X' + 1.. Y', Y =_1.. X ' 5 5 5 Forma canonica: Y'z - 2X' = O.

della forma qua-

+ ..i Y' . 5

. X =2- X' +-, Y' Y = - X' 2 Y' . -+g) Isometna:

Y5

Y5

X,z Y'z Forma canonica: - - + - - = 1. 12

2

Y5

Y5

Risoluzione degli esercizi

Risoluzione degli esercizi

468

X'

Y'

Y'i

X'

4. Le rette cercate sono le tangenti a ~ nei due punti ~ n r p. La polare r p ha equazione X o + X 2 = O, e interseca ~ nei punti [1, ± Y'i, l]; le corrispondenti tangenti hanno equazioni X o =F Y'i XI + X 2 = O.

Y'i

Y'

469

h) Isometria: X = - - - - - , Y = - + - + - · Y'i Y'i 2 Y'i Y'i 2 Forma canonica: 2X' 2 + y d = l. 4. a) X + Y + 2

= O,

c) Y-3X=0,

X - Y

b) 2X+2Y-1 =0,

=O

X

Y

-+-+1=0 2 2

§ 35

d) X+ Y=O.

X+Y'i Y=O

1. Il determinante si annulla se e solo se esiste una relazione di dipendenza lineare tra le colonne della matrice, cioè se e solo se esistono aoo, 2ao" 2a02, all, 2a12' a22 E K non tutti nulli tali che si abbia:

§ 34 2. a) La curva contiene l'origine perché la sua equazione non ha termine costante; i termini Poiché di grado più basso sono quadratici, e quindi l'origine è un punto doppio per X 2 + y 2 = (X + iY) (X - iY), le tangenti principali nell'origine hanno equazioni: X + iY = O, X - iY = O. Le coordinate [O, x" X2] dei punti impropri sono radici dell'e2 quazione ottenuta annullando i termini di grado massimo, cioè di X 2 (X, - 2X2) = O, e quindi i punti impropri sono: [O, 1, O], [0,2, l]. Poiché la retta impropria interseca ~ in [O, 2, 1] con molteplicità 1, il punto [0,2, 1] è semplice per ~ e la retta impropria non è la tangente. Quindi ~ ha un asintoto in corrispondenza a questo punto, ed esso ha equazione X - 2 Y = c per qualche c EC. Per determinare c si considerano le intersezioni di ~ con la retta variabile di equazione precedente, e si ottiene l'equazione in Y (c - 5) y 2 - 4cY - c 2 = O.

.ce:

Poiché il grado di quest'equazione si abbassa per c = 5, la retta di equazione X - 2 Y = 5 ha due delle sue tre intersezioni con ~ raccolte nel punto improprio, e quindi è l'asintoto cercato. Procedendo in modo simile con l'altro punto improprio si trova che esso è semplice per 5f, con tangente la retta impropria. b) L'origine è un punto semplice, con tangente di equazione X = O. L'unico punto improprio è [O, 1, 1], che è un punto doppio ordinario con tangenti principali la retta impropria e la retta di equazione X - Y - 2 = O, che è pertanto un asintoto di

.ce:

c) L'origine è un punto triplo ordinario, con tangenti principali: Y = O,

2X - Y = O,

la retta impropria e le rette X - Y

= 1-, X + 2

Y

= _1-. 2

gente la retta impropria: è un flesso di specie 3. r F,:X2=0,

aOa2

bob,

bob2

bl

cl

Co c,

COC2

cl

+ 2 a Ol

+ 2 a 02

r u:-4XO+XI +2X2 =0,

r p : - 2Xo + XI + 3X2 = O. b) r Fo :X2 = O, r F,:2X, - 3X2 = O, r F,: - 3XI + X o = O, ru:xo - X, - 2X2 = O, r p :3Xo - 5X, - 5X2 = O.

al

+all

dg

do d,

d od 2

dl

eg

eoe,

eOe2

el

ii

Io};

loh

1/

a,a2

ai

O

b , b2

bi

O

ci

O

d l d2

di

O

ele2

el

O

fJ2

R

O

C,C2

+ a22

+

Questa condizione equivale all'appartenenza dei 6 punti assegnati alla conica di equazione aooXo2 + 2ao,XoX, + 2a02XOX 2 + allXI2 + 2a 12 X,X2 + a 22 Xl = o. 5. Supponiamo che le coniche del fascio abbiano equazione AF(Xo, X" X 2) + p,G(Xo, X" X 2) = O,

f) L'origine è un punto doppio non ordinario (che non è una cuspide ordinaria), con tangente principale Y = O. L'unico punto improprio è [O, O, 1], che è semplice con tan-

rF,:XI=O,

aoal

bg

+ 2 a 12

2X + Y = O.

Punti impropri: [O, O, 1] [O, 1, l] e [O, 1, -1] semplici, con tangenti rispettivamente

3. a) rFo:XO=O,

aoo

ag

(A, p,) EK2 \ {(O, O) J.

Se F(Xo, X" X 2) = 'XA X,

G(Xo, XI, X o) = 'XBX,

dove A = (aij) e B = (bi) sono le matrici delle due coniche, allora AF(Xo, X" X 2) + p,G(XJ, X" X 2) = 'X(AA + p, B) X

e le coniche degeneri corrispondono alle coppie (A, p,) tali che det(AA

+ p,B) =

O.

Questa è un'equazione omogenea di grado 3 in A, p" che ha al più tre soluzioni distinte: quindi le coniche degeneri del fascio sono al più 3. Se il fascio ha 4 punti base distinti P" P 2 , P], P 4 , allora questi punti sono a tre a tre

Risoluzione degli esercizi

470

non allineati, e le tre coniche riducibili

Bibliografia

sono distinte e appartengono al fascio.

§ 36 1. L'hessiana ha equazione X OX,X2 = O. Quindi i flessi sono i 9 punti di intersezione di !tfJ con le rette X o = 0, XI = 0, X 2 = 0, e si verifica immediatamente che essi coincidono con i pùnti assegnati. 3. Sono le 4 cubiche di equazioni seguenti: . X OX,X2 = 0, (Xo + XI

+ X 2)(é X o + EXI + X 2)(XO + EX, + é X 2) = 0, 2 2 (Xo + E XI + E2 X 2)(E 2 X o + X, + E X 2)(E 2 X o + E Xl + X 2) = 0, (EXo + Xl + X 2)(Xo + EX, + X 2)(XO + XI + EX2) = 0, 2

ognuna delle quali è riducibile in 3 rette distinte. Queste 12 rette si ottengono congiungendo in tutti i modi possibili 2 dei 9 punti base del fascio. 4. È sufficiente dimostrare che l'hessiana di ogni cubica del fascio contiene i punti base. L'hessiana della cubica corrispondente ai valori l, m dei parametri ha equazione

[2] [3] [4] [5] [6] [7]

6lXo mX2 mX, mX2 6lXI tnXo

[1]

=

O.

mXI mXo 6lX2

È immediato verificare che le coordinate di ognuno dei punti base annullano il deter-

[8] [9] [lO] [Il]

minante a primo membro. [12] [13] [14] [15] [16]

Benson C. T. e Grove L. C., Finite Refleetion Groups, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1985. Berger M., Geometry I, II, Springer, Berlin-Heidelberg-NewYork 1987. Bertini E., Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, Principato, Messina 1923. Carathéodory C., Theory oj Funetions oj aComplex Variable, Chelsea Publishing Company, New York 1964. Guggenheimer H. W., PIane Geometry and Its Groups, Holden Day, San Francisco 1967. Herstein I., Topies in Algebra, Wiley, London 1976 [trad. it. Algebra, Editori Riuniti, Roma 1982]. Hilbert D. e Cohn-Vossen S., Ansehauliehe Geometrie, J. Springer, Berlin 1932 [trad. it. Geometria intuitiva, Bollati Boringhieri, Torino 1972]. Kleiman S. e Laksov D., Schubert Caleulus, in "Am. Math. Monthly", 73 (1972), pp. 1061-82. Klein F., Leetures on the Icosahedron, Dover, New York 1956. - Elementary Mathematiesjrom an Advaneed Standpoint: Geometry, Dover, New York 1948. Lang S., Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass. 1966 [trad. it. Algebra lineare, Bollati Boringhieri, Torino 1970]. Lyndon R. c., Groups and Geometry, Cambridge University Press, Cambridge 1985. Nikulin V. V., Safarevicl. R., GeometriesandGroups, Springer, Berlin-Heidelberg-NewYork 1987. Schwerdtfeger H., Geometry oj Complex Numbers, Dover, New York 1979. Walker R. J., Algebraie Curves, Dover, New York 1962. Weyl H., Symmetry, Princeton University Press, Princeton 1952 [trad. it. La simmetria, Feltrinelli, Milano 1962].

Elenco dei simboli

Mm,n(K). Mn(K)

In GLn(K).O(n) R7jo RF. R7j(c)

Et>