Serif Ou

Series de Fourier

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SERIES DE FOURIER Considerar a S el espacio vectorial de funciones f y f 2 integrables sobre un intervalo I = [a,b]. Se define como producto interno en S como b

f ,g

∫

=

f (t ) g (t ) dt

a

∫

=

f (t ) g (t ) dt

I

con f y g∈ S . En particular, nos interesa tratar con bases ortogonal en este espacio. Ejemplo. a) las funciones f m (t ) = sin mt , ∀m = 1, 2,  forman un conjunto ortogonal en el intervalo (−π, π) b) las funciones f m (t ) = cos mt , ∀m =1, 2, forman un conjunto ortogonal en el intervalo (−π, π) c) las funciones b forman un conjunto ortogonal en el intervalo (0, T ). d) las funciones f 0 (t ) =

1 , 2π

f 2 n −1 (t ) =

cos nt , 2π

f 2 n (t ) =

sin nt , 2π

∀n = 1, 2,

forman un conjunto ortonormal en el intervalo (−π, π) PROBLEMA: ¿Cómo aproximar una función f (t) en el espacio S por medio de una combinación lineal de funciones de una base ortonormal { ϕ k ( t )} de tal manera que si t n (t ) =

n

∑bk ϕk (t )

k =0

entonces f ( t ) ≈ t n ( t ) ? Si f (t ) =

n

∑ck ϕk (t )

k =0

y se requiere que f −t n =0

entonces

c k = f , ϕk

es el coeficiente de Fourier de la función f respecto a φ k.

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1

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Se puede demostrar que la mejor aproximación a f se logra con los coeficientes de Fourier. Es decir, si sn (t ) =

n

∑ck ϕk (t )

k =0 n

∑bk ϕk (t )

tn (t ) =

k =0

entonces la mejor aproximación se logra así: f −s n ≤ f −t n

Definición. Sea S el espacio vectorial de funciones f y f 2 integrables sobre un intervalo I = [a,b], con B = {ϕk ( t ) k ∈ N } una base ortonormal, entonces f (t ) ≈

∞

∑ck ϕk (t )

k =0

con . A esta serie se le conoce como la serie de Fourier de f relativa a la base B y a los coeficientes ck se les conoce como coeficientes de Fourier de f relativos a B. c k = f , ϕk

Teorema. Propiedades de los coeficientes de Fourier. Sea S el espacio vectorial de funciones f y f 2 integrables sobre un intervalo I = [a,b], con B = {ϕk ( t ) k ∈ N } una base ortonormal, y f (t ) ≈

∞

∑ck ϕk (t )

k =0

Entonces: ∞

∞

k =0

k =0

2 a) La serie ∑ck converge y ∑ck ∞

b) La igualdad ∑ck

2

= f

2

k =0

2

≤ f

2

(desigualdad de Bessel)

(Fórmula de Parseval) se da si, y sólo si, se tiene

que lim

n →∞

donde

sn (t ) =

f − sn = 0

n

∑ck ϕk (t ) .

k =0

La fórmula de Parseval se puede interpretar como una extensión del Teorema de Pitágoras como sigue c0

2

+ c1

2

+ c2

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2

+ = f

2

2

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recuerde que el conjunto de ck constituyen las coordenadas de la función f respecto a su base. Ejemplo. Calcular la aproximación a f(t) con M f (t ) =  − M

B = {sin ( k t ) k ∈N }

t ∈ [ 0, π )

y

t ∈ ( π , 2π )

¿Cuál es el error en la aproximación encontrada con sn? Sea ε el error cuadrático medio 1 ε= t 2 − t1 = =

t2

∫[

f (t ) − s n (t )] 2 dt

t1

1 f − sn , f − sn t 2 − t1 f − sn t 2 − t1

2

SERIE DE FOURIER TRIGONOMÉTRICA En Ingeniería, frecuentemente se usa la serie de Fourier en su versión trigonométrica, aplicada a una función periódica, como a continuación se define. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES PERIÓDICAS Una función f (t) es periódica con período T si se cumple que f (t) = f (t+ T) para todo t en el dominio de f. Supóngase que f(t) y g(t) son funciones periódicas con período T (¿formarán un espacio vectorial?, pruebe esta suposición), entonces: a) af (t) es periódica con período T, b) af (t) + b g(t) es periódica con período T, c) Si T es el período de f(t), entonces nT también lo es de f(t): f(t) = f(t+ nT). d) El período mínimo de una función f(t) se calcula como Tmin =

período natural de la función n

(Ejemplos: cos 5t, tan (t/3))

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cos 5t Período T = 2π /n = 2π /5 = 1.2566 1.5 1 0.5 0 -0.5 0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6 1.8

2

-1 -1.5

Definición. Una función se le considera como par o impar, si cumple con las siguientes características: a)Una función es par si f(t) = f(− t), (simetría respecto al eje y). b) Una función es impar si f(t) = − f(− t), (antisimetría respecto al eje y). Teorema. Propiedades de las funciones pares e impares. a) Si f (t) y g(t) son funciones pares (impares), entonces f (t) + g(t) es par (impar) b) Si f (t) y g(t) son funciones pares, entonces f (t) g(t) es par. c) Si f (t) es par y g(t) es impar, entonces f (t) g(t) es impar. d) Si f (t) y g(t) son funciones impares, entonces f (t) g(t) es par. 0     f (t ) dt =  a 2 f(t) dt −a    0

si f es impar

a

e)

∫

∫

si f es par

Gráficamente, se puede distinguir cuándo una función es par o impar, de acuerdo a la siguiente tabla que se muestra a continuación:

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Ejemplos de funciones par e impar Función par

f(t)

Función impar

t

t

Ejemplos. Determinar si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de ellas. a) f (t) =exp(t) b) f (t ) = cosh( t ) =

exp(t ) + exp(−t ) 2

c) f (t) = t sin t d) f (t ) =t n cos(t )

0 t ∈ ( − π / 2, π / 2 ) t ∈ ( π / 2, 3π / 2 ) 

e) f ( t ) =  t

Definición. Si f(t) es una función periódica f (t) = f (t+T), entonces su serie de Fourier está dada por: a f(t) = 0 + 2

∞

∑

a k cos k ω t + b k sin k ωt

k =1

donde ω = 2π f = 2π / T. Esta serie es válida para un intervalo de ancho T, y ak =

2 T

bk =

2 T

T 2

∫ ∫

f(t) cos kω t dt

− T 2 T 2

f(t) sin kω t dt

− T 2

Ejercicio. Demuestre estas fórmulas (use la definición de producto interno, introducido al inicio de este tema). c k = f , ϕk

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b

f ,g

∫

=

f (t ) g (t ) dt

a

∫

=

f (t ) g (t ) dt

I

Las condiciones de existencia de la serie de Fourier están dadas en el siguiente teorema. Teorema. Sea f una función periódica con período T y sean f (t) y f’(t) seccionalmente continuas en 〈–T, T〉, entonces la serie de Fourier de f (t) converge a: i) f (t) si t es un punto de continuidad, ii)

  1  lim f (t ) + lim f (t ) 2  + − t →t 0 t →t 0 

si t0 es un punto de discontinuidad

PROPIEDADES DE LAS SERIES DE FOURIER I a) Aproximación por mínimos cuadrados. Buscar por qué la aproximación a una función con la serie de Fourier produce la mejor aproximación en el sentido de mínimos cuadrados. b) Simetría. Hay tres tipos de simetría básica, las cuales afectan a los coeficientes de la Serie de Fourier como se enuncia a continuación: i. ii. iii. iv.

Si existe simetría par: x(t) = x(− t), entonces los términos seno de la serie de Fourier son cero. Si existe simetría impar: x(t) = − x(− t), entonces los términos coseno de la serie de Fourier son cero. Si existe simetría impar de medio período o de rotación: x(t) = − x(t ± T/2), entonces todas las armónicas pares son cero. Con cualquier tipo de simetría, es suficiente integrar la señal periódica sobre medio ciclo.

Ejemplos. a) Calcule la serie de Fourier de la función que se muestra a continuación: A / var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/165648863. doc

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− T/2 T/2

T

-A

(NOTA: ∫ t sin kt dt =

sin kt k

2

−

t cos kt k

∫

t cos kt dt =

cos kt k

2

+

t sin kt k

)

b) Calcule la serie de Fourier de la función que se usó en el ejercicio anterior a esta sección, M f (t ) =  − M 0 t ∈[ − 5,0 ) t ∈ ( 0, 5) 

c) f ( t ) = 3

t ∈ [ 0, π ) t ∈ (π , 2π )

. Respuesta: a0 = 3 2, a k = 0, bk =

3(1 − cos πk ) πk

d) f(t) es una onda senoidal rectificada de medio período. Una forma alterna de la serie de Fourier se puede obtener, si se agrupan los términos senoidales y cosenoidales como un coseno de una suma de argumentos como se muestra a continuación: ∞

f(t) = c0 +

∑ck cos( k ωt + φk )

k =1

c k = a k2 + bk2  − bk φk = tan −1   a  k

   

donde ω = 2π f = 2π / T. Al coeficiente ck se le conoce como la amplitud de la k-ésima armónica de f (t) y a la fase φ k se le conoce como la fase de la késima armónica de f (t), y al elemento ck cos(k ω t + φ k ) se le conoce como la la k-ésima armónica de f (t). Si se grafica la magnitud de los coeficientes ck , contra las distintas armónicas, se obtiene el espectro de la señal, el cual muestra las contribuciones de cada armónica en la construcción de la señal / var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/165648863. doc

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original. Asimismo, se puede graficar la fase φ k contra las armónicas y se obtiene la contribución a la fase por cada armónica. Ejercicio. Pruebe las expresiones para ck y φ k . Ejemplo. a) Calcule la serie de Fourier para f(t) = exp (− t) en [0, 0.5] y grafique los valores de ck y φ k. función periódica exp(-t)

Respuesta:  2 a k = 0.79   1 +16π2 k 2 a0 = 0.79

1.2 1 0.8

  2 , c k = 0.79  2 2   1 +16π k  φk = − arctan ( 4πk ), c0 = 0.79

0.6 0.4 0.2 0 -1.1

-0.6

  8πk  , bk = 0.79    1 +16π2 k 2

-0.1

0.4

0.9

En t = 0 hay una discontinuidad, y se tiene que ∞

f(t) = c0 +

∑ ck cos( φ k )

k =1 ∞

= 0.79 +

 2 0.79  2 2  1 + 16π k k =1

∑

  cos( − arctan( 4πk ) )  

= 0.83

[

  = 1  lim f (t ) + lim f (t ) = 1 f (0 + ) + f (0 − ) 2 2 t → 0− t → 0 + 

]

A continuación, se presenta el espectro de la señal en función de las componentes armónicas:

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8

  , 

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Espectro de exp(-t) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

k

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b) Encuentre la serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares de como se muestra en la figura:

Respuesta:

p(t)

τ

A

a0 =

Aτ 2 A  πkτ  , ak = sin  , bk = 0 , T πk  T 

  πkτ   sin   2 A  πkτ  2 Aτ   T    , ck = sin  =  πk T  πkτ   T    T  

t

φk = 0

T

En el caso extremo en que la amplitud crezca indefinidamente (A → ∞) y el ancho del pulso se decrezca a cero ( τ → 0), se tiene el caso de un tren de impulsos y ck = 2/T y c0 = 1/T . Coeficientes de Fourier 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-20

0 -0.1 -0.2

kω / var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/165648863. doc

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Espectro del tren de pulsos 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-20

0

kω

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SERIE DE FOURIER EXPONENCIAL Considerando que

exp( jx) + exp(− jx) 2 exp( jx) − exp(− jx ) sin x = 2j cos x =

se puede expresar a la serie trigonométrica de Fourier en términos exponenciales complejos. Haciendo estas sustituciones en esa serie, se puede demostrar que la forma exponencial de la serie de Fourier, f(t) se puede expresar como: ∞

f(t) =

∑

Ck exp(- jkω t)

k =− ∞

Ck =

1 T

T 2

∫

f (t ) exp(- jkω t ) dt

− T 2

donde Ck es un número complejo, y tiene estas propiedades: C k = C −k C k = | C k | exp( j ϕk )

donde Ck es el espectro de frecuencia de f(t) y |Ck | es el espectro de magnitud y φ k es el espectro de fase. Es importante notar que el espectro es un conjunto discreto de puntos en el dominio de la frecuencia. Ejemplo. Calcular el espectro de frecuencia de un tren de pulsos p(t) de período T y ancho de pulso τ : 

τ



 T / var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/165648863. doc

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El desarrollo en Series de Fourier es el siguiente: Ck = =

1 T

T 2

∫ ∫

1 T

f(t) e - j k ωt dt

−T 2

τ2

A e - j kωt dt

−τ 2

τ k ω sen   Aτ  2  = τ T k ω   2  

En la figura a continuación se presentan los coeficientes y el espectro de esta señal, donde la amplitud de los pulsos tiene una envolvente del tipo sinc(x). Coeficientes de Fourier 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-20

0 -0.1 -0.2

kω

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Series de Fourier

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Espectro del tren de pulsos 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-18

-20

0

kω

Ejemplo. Calcule el espectro de frecuencia de la señal f(t) = exp (-t) en [0, 0.5]. Respuesta:

función periódica exp(-t)

T

1 ck = T

1.2

∫

exp( −t ) exp( −j 4πk t ) dt

0 0.5

1

=2

0.8

∫

exp( −(1 + j 4πk t )dt

0

0.6

=

0.4 ck =

0.2

0.79 1 + j 4πk 0.79 1 +16 π2 k 2

, φk = −arctan(4πk )

0 -1.1

-0.6

-0.1

0.4

0.9

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Series de Fourier

Matemáticas Avanzadas MA95110

Espectro de exp(-t) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

k

PROPIEDADES DE LAS SERIES DE FOURIER II a) Desplazamiento en el tiempo. Si se tiene el desarrollo de una señal x(t) en series de Fourier, y se desea conocer la serie de la función x(t − τ), los coeficientes de Fourier no deben cambiar drásticamente. Sea cn los coeficientes de la serie compleja de Fourier de x(t), y dn los coeficientes de la serie compleja de Fourier de x(t− τ), entonces 1 dn = T

∫x(t −τ) exp(−jnω0t )dt

T

haciendo el cambio de variable α = t − τ resulta que d n =exp( −jω0τ)

1 T

x (α) exp(−jnω0α) dα ∫ T

b) Integración de señales periódicas. En el caso en que la señal contenga un término cn ≠ 0 en los coeficientes de Fourier, se tendría una integral que produciría una función no periódica. Si cn = 0, el resultado es una serie periódica y

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Series de Fourier

Matemáticas Avanzadas MA95110 t

∫

t

x (τ) dτ =

−∞

∞

∫ ∑c

n exp[ jnω0τ] dτ

−∞n =−∞ ∞ cn = exp[ jnω0t ], jnω0 n =−∞

∑

n ≠0

Note cómo la amplitud de los coeficientes disminuyen conforme n crece; es decir, los componentes de mayor frecuencia tienen menor influencia sobre la señal, provocando un efecto de filtrado pasa baja o suavizado. FENÓMENO DE GIBBS Gibbs encontró que aunque se tenga una buena aproximación a la función original por medio de la serie de Fourier, en los puntos de discontinuidad hay siempre un sobretiro que es del orden del 10% de la señal; este brinco en la aproximación se le llama fenómeno de Gibbs. En la siguiente gráfica se ilustra este caso con una función cuadrada con 10 términos.

Fenómeno de Gibbs 10 términos 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0

1

2

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