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November 17, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA ECONOMICA

SOLUCIONARIO ´ EXAMEN PARCIAL DE SERIES DE TIEMPO FINANCIERAS (2014-I) Profesor: Rafael Caparo SECCION ”L”*

1.

COIN COINTE TEGR GRA ACION CION

1.1.

El con concep cepto to de coi coint ntegr egraci aci´ o ´ on n desde un enfoque econ´ o omico mi co y eco econom´ nomé etritri co

Enfoque Econ´ omico: omico: El concepto de cointegración on se basa en la existencia de una relación on de equilibrio entre variables no estacionarias, por lo que los desequilibrios que se presentan son únicamente unicamente de corto plazo o transitorios. El concepto permite discriminar las relaciones de largo plazo realmente existentes de las espurias, con lo que se posibilita especificar relaciones de equilibrio entre variables económicas omicas junto con relaciones de corto plazo. Si X Si X t y Z t cointegran, entonces existe una relación on de equilibrio de largo plazo entre las series y por tanto la dinámica amica de corto plazo admite una representación on de mecanismo de corrección on de errores. Enf oque Enfoq ue Econ E conom´ ométrico: etri co: Se dice que dos series, X t y Z t cointegran si existe una combinación on lineal entre ellas que es estacionaria, esto es si existe un vector β vector β  = = 1 β 2 tal que que X X t β 2 Z t es I(0)

1.2.



−



−

¿Qu ¿Que e son los proc proceso esoss in integ tegrad rados? os? y ¿por qu´ e son import importan antes tes al momento de hacer modelamiento por cointegraci´ o on? n?

Los procesos no estacionarios más as importantes son los procesos integrados, que tienen la propiedad fundamental de que al diferenciarlos se obtienen procesos estacionarios. Una propiedad importante que diferencia a los procesos integrados de los estacionarios es la forma en que desaparece la dependencia con el tiempo. - En los procesos estacionarios ARMA las autocorrelaciones disminuyen disminuyen geométricamente, etricamente, y se hacen prácticamente acticamente cero a los pocos retardos. - En los procesos Integrados las autocorrelaciones disminuyen linealmente con el tiempo y es posible encontrar coeficientes de autocorrelación on distintos de cero hasta retardos muy altos. Generalizando, diremos que un proceso es integrado de orden k (k 0), y lo representaremos por I(k),

≥

*

El presente solucionario fue realizado en conjunto por los alumnos de esta secció on. n.

1

cuando al diferenciarlo k veces se obtiene un proceso estacionario. En la práactica ct ica la mayor´ıa ıa de las series no estacionarias que son integradas tienen un orden k 3.

≤

1.3.. 1.3

Co Cons nsid ider ere e e ell mode modelo lo Y = 0,1 + 0, 0 ,7X + + U U t U i.i.d. t (0 (0,, 0,9) t t

∼

¿Estáan n Y t y X t cointegradas? Justifique brevemente su respuesta. Si Y t y X t están an cointegradas,¿Cuál al es el vector de cointegración? on? Si X y Y son variables no estacionarias para que sean cointegradas debe existir una combinación on lineal de ellas que sea estacionaria. Para que una variable sea estacionaria debe tener media cero y varianza constante vemos que U t tiene esas caracteristicas por lo tanto la combinacióon n lineal mostrada es estacionaria lo que quiere decir que X que X t y Y t son cointegradas y el vector de cointegración on son los coeficientes de la ecuación on 0,1 0,7 1



2. 2.1. 2.1.



EJERCICIOS EJERCICIOS PROCESOS PROCESOS ESTACION ESTACIONARIOS ARIOS ARMA, VAR Ej Ejer erci cici cio o1

Consideramos un proceso vectorial (Yt) de tamaño no n, que se supone es integrado de orden 1, y admite una representación on VAR de la forma: Φ( Φ(L L)Y t = µ + +  t Donde s Donde s t es innovación on de Y de Y  e e Φ(0) = I = I d Ejercicio 1.1

− − X ))ΦΦ+(X ) demostramos que podemos

1. Utilizando la descomposición o n Φ(X Φ(X ) = Φ(1) + (I (I escribir el modelo en la forma equivalente p−1

(1

Φ(1)Y Y t − L)Y t = −Φ(1)

1 +

−

 Γ (1 − L)Y i

+ µ µ + +  t t−i +

i=1

Identificando los términos erminos de la descomposicióon n

− Φ1L − Φ2L2 − · · · − Φ pL p Φ+ (L) = ζ 0 + ζ + ζ 1 L + + ζ ζ 1 L2 − · · · − Φ p 1 L p 1 Φ(1) = I − Φ1 − Φ2 − · · · − Φ p Entonces pasamos a determinar los coeficientes Φi , i = 1, 2, · · · , p − 1 Φ( Φ(L L) = I − Φ1 − Φ2 − · · · − Φ p + (1 − L)( )(ζ ζ 0 + + ζ ζ 1 L + + ζ ζ 1 L2 − · · · − Φ p 1 L p Φ( Φ(L L) = (I − Φ1 − Φ2 − · · · − Φ p ) + (ζ ( ζ 0 + + ζ ζ 1 L + + ζ ζ 1 L2 − · · · − Φ p 1 L p 1 ) Φ( Φ(L L) = I

−

−

1

−

−

−

−

(ζ 0 + + ζ ζ 1 L + + ζ ζ 1 L2

−

Φ p

−···−

p−1 ) 1L

−

2

)

Agrupando: Φ( Φ(L L)

+ ζ 0 ) + (ζ ( ζ 1 − ζ 0 )L + (ζ ( ζ 2 − ζ 1 )L2 + (ζ (ζ 3 − ζ 2 )L3 + − Φ1 − Φ2 − · · · − Φ p + ζ +(ζ ζ  p 1 − ζ  p 2 )L p 1 − ζ  p 1 )L p · · · +( =

(I

−

−

−

−

Igualando Iguala ndo los términos ermino s de d e Φ(L Φ(L) con la expresión on anterior: I = I

− Φ1 − Φ2 − · · · − Φ p + + ζ ζ 0

Obtenido ζ Obtenido ζ 0 p podemos odemos ahora determinar el siguiente término ermino

−Φ1(L) = −Φ1 = ζ 1 =

(ζ 1

− ζ 0)L (ζ 1 − Φ1 − Φ2 − Φ3 − · · · − Φ p ) (Φ2 + Φ 3 + · · · + Φ p )

Y as as´´ı sucesivamente, podemos po demos generalizar genera lizar hacia el término ermino ζ i donde: p

ζ  j =

Φi , i = 1, 2,

· · · , p − 1



i=1+ j

Volviendo olviendo al problema, problema, utilizamos utilizamos la descomposici´ descomposici´ on: on: Φ(1)Y Φ(1) Y t + Φ+ (L)(1

− L)Y t = = µ µ + +  t φ(1) (1)Y Y t + (ζ 0 + + ζ ζ 1 L + + ζ ζ 1 L2 − · · · − ζ  p 1 L p 1 )(1 − L)Y t = = µ µ + +  t (Φ(1) + ζ 0 (1 − L)) ))Y Y t + + ζ ζ 1 (1 − L)) ))Y Y t 1 + + ζ ζ 2 (1 − L)) ))Y Y t 2 + · · · + ζ t p+1 ))Y Y t p+1 = µ µ + +  t p+1 (1 − L)) p+1 = −

−

−

−

−

−

= I Se deduce que ζ que ζ 0 = I

on: − Φ1 por lo tanto reduciendo la expresión: [Φ(1) + (1 − L)] )]Y Y t = −ζ 1 (1 − L)Y t 1 − ζ 2 (1 − L)Y t 2 − · · · − ζ t p+1 + µ µ + +  t p+1 (1 − L)Y t p+1 p+1 + −

−

−

−

Agrupando y despejando los términos: erminos: p−1

(1

 ζ i(1 − L)Y t Φ(1)Y Y t 1 − − L)Y t = −Φ(1)

+ µ µ + +  t i +

−

−

i=1

Para obtener la misma expresión on del dato, realizamos un cambio de variable de Γ i = lo tanto demostramos lo pedido:

−ζ i Por

p−1

(1

− L)Y t = −Φ(1) Φ(1)Y Y t

1 +

−

 Γ (1 − L)Y i

+ µ µ + +  t t−i +

i=1

2. Mostrar que el rango de Φ(1) de Φ(1) es es estrictamente menor que n. De la equivalenci equivalenciaa hallada hallada anteriormen anteriormente, te, observamos observamos que el primer primer t´ ermino ermino de la derecha derecha incluye una posible variable I (1). (1). Dado que sabemos que Y t es es I (1), (1), entonces Φ(1)Y Φ(1)Y t 1 debe contener cont ener las relaciones relaciones de cointegraci cointegración. ón. Entonces el determinante de Φ(1)Y Φ(1)Y es cero. −

−

t 1

3

Por propiedades de matrices se sabe que cualquier matriz, el cual su determinante sea cero, tanto una de sus filas o columnas puede contener todos sus elementos cero, por lo que el rango ser´´ıa menor que el orden de dicha matriz(en este caso menor que n) ser 3. Supongamos que el rango de Φ(1) de Φ(1) es es igual a r a r.. Demostrar que existen 2 matrices α y β β    de dimensiones (n (n,r) y rango rango r tal que Φ(1)) = αβ = αβ t Sea Φ(1) de rango r rango r,, expresarlo en función on del producto de α de α y y β β , iimplica mplica que el rango m´ınimo de cada uno de las dos matrices debe ser r, r , pero dado que son de orden (nxr ( nxr)) el rango máximo aximo que pueden tener es r. Intersectando ambas soluciones se obtiene que tanto α como β   β   deben tener rango r rango r 4. Mostrar que β que β t yt es necesariamente estacionario (Las columnas de β  son β  son entonces llamadas vectores de cointegraci´ on on yt ). β t yt = = β β t (I

− Φ(1)) Φ(1))Y Y t

+ β β t µ + + β β t t 1 +

−

El primer término ermino es cointegrado de orden o rden (1), (1) , mientras que β que β t µ y β t t son I son I (0) (0) por lo tanto t la suma de estos términos erminos resulta que que β yt es es I (0) (0)

4

3.

VECTO VECTORE RES S AUTORE UTOREGR GRESI ESIV VOS Considere el siguiente VAR bivariado:

03yy1,t y1,t = 2, 03

+ 1,t 0 , 04 04yy2,t−1 +  1 + 0,

y2,t = 1, 02 02yy1,t

1 + 3, 3 , 05 05yy2,t−1 +  + 2,t

−

−

Parte a) Determine si este sistema es estacionario en covarianzas Soluci´ on: on: Para ver si el sistema es estacionario, se usara el siguiente método: etodo:

Resolvemos Resolv emos el determinan determinante te para hallar lambda,

Como los valores encontrados son menores a cero, concluimos que el sistema no estacionario en covarianzas. En ese sentido, la parte 3.2 y 3.3 ya no se resuelve.

5

4.

MODE MODELO LOS S GAR GARCH CH Y MV

Solu So luci ci´ ´ o on n 4. 4.1 1 Sea y Sea y t un proceso estacionario AR( p AR( p), ), con un error u error u t , denotado por: yt = c c + + φ φ1 yt donde u donde u t es ruido blanco:

1 + + φ φ2 yt−2 + + ... ... + + φ φ p yt− p + + u ut

−

E (ut ) = 0 E (ut uτ ) =

 σ

2

para t = para t = τ τ otro caso.

0

El proceso pr oceso es estacionario estacionar io en covarianza covarianza puesto que las ra r a´ıces de 1

+ φ φ2 z 2 + ... + ... + φ φ p z p = 0 − φ1z +

están an fuera del circulo unitario. La predicción o n lineal optima óptima del nivel del yt para un proceso AR( p p)) es ˆ (y y E t

|

−

t 1

,y

−

,...)) = c ,... c + + φ φ y

t 2

+ + φ φ y

−

1 t 1

−

+ + ... ... + + φ φ y

2 t 2

−

p t p

Dado que el proceso es estacionario en covarianza, la media no condicional de y de yt es constante: E (yt ) = c/(1 c/ (1

− φ1 − φ2 − ... − φ p)

Algunas veces nosotros podr´ıamos ıamos estar interesados en predecir no solo el nivel de las series de yt sino que tambi´ en en su varianza. Una varianza que cambia a trav´ eess del tiempo tambi´ een n tiene implicancias implicancias para la validez y eficiencia eficiencia de la inferencia inferencia estad´ estad´ıstic ısticaa sobre los par´ aametros metros (c, φ1 , φ2 ,...,φ p ) que describen la dinámica amica del nivel de y de y t . Aunque por la condición on de la covarianza entre los errores errores u u del proceso AR( p p), ), eso implica 2 que la varianza no condicional de ut es la constante σ , la varianza condicional de ut po po dr´ıa cambiar a trav´ eess del tiempo. Una aproximaci´ on on es describir el cuadrado de ut por si mismo siguiendo un proceso AR(m AR(m): + α1 u2 + u2t = ζ   + α + α α2 u2 + + ... ... + + α αm u2t −

−

t 1

t 2

+ w wt m +

−

donde w donde w t es un nuevo proceso ruido blanco: E (wt ) = 0 2

E (wt wτ ) =

 λ 0

para t = para t = τ τ otro caso.

Un proceso ruido blanco ut que satisf satisface ace estas estas condic condicion iones es es descri descrito to como como un proce proceso so orden m, denotado denotado ut ARCH( ARCH(m m). Esta clase de autoregresivo autore gresivo condicional heteroce heteroced´ d´ astico de orden procesos fue introducido por Engle(1982).

∼

6

Solu So luci ci´ ´ o on n 4. 4.2 2 Desde que u que u t es el error en la predicción on de y de y t , la expresi´ expresi´ on on obtenida del proceso AR(m AR(m) para el cuadrado de de ut implica que la proyeccióon n lineal del cuadrado del error de una predicción on de yt en los previos m previos m errores cuadrados cuadrados pronosticados pronosticados está dado por ,...) = ζ   + α + α1 u2t 1 + + α α2 u2t 2 + + ... ... + + α αm u2t E ˆ (u2t u2t 1 , u2t 2 ,...)

|

−

−

−

−

m

−

n sensible Ya que que ut es aleatorio y u2t no puede ser negativo, esta puede ser una representacióon solo si dicha expresión on es positiva y la del ejercicio anterior(del proceso AR(m AR(m) para el cuadrado del error u error u t ) es no negativa para todas las realizaciones de ut . Esto puede ser asegurado si w t es delimitado desde debajo por ζ   ζ   con con ζ > 0 y si α si α j 0 para para j = 1, 2,...,m ,...,m.. Con el fin de que 2 covarianza, a, requerimos requerimos ademáass que las ra´ ra´ıces de ut sea estacionario en covarianz

− 1

≥

{ }

− α1z − α2z2 − ... − αmzm = 0

estéen n fuera del c´ırculo unitario. unitar io. Si los los α j son todos no negativos, este es equivalente al requerimiento de que α1 + α + α2 + ... + ... + + α αm < 1 Cuando estas condiciones son satisfechas, la varianza no condicional de u t está dado por σ 2 = E (u2t ) = ζ /(1 α1 α2 ... αm )

− − − −

Soluci´ o on n 4.3. Calcule el pron´ o ostico stico de s periodos hacia delante Solución: on: Sea AR(m)

u2 t = ζ = ζ   + α + α1 u2 t

+ α α2 u2 t−2 + . + . . . + α + αm u2 t−m + + w wt . . . (1) 1 +

−

Con el fin de que u que u t 2 tenga covarianza estacionaria se requiere:

1

− α1z − α2z2 − . . . − αmzm = 0 α1 + α + α2 + . + . . . + + α αm < 1

Por lo tanto, el segundo proceso ARMA(2,0) es estacionario, estacionario, pues pues | λ1 | > 1 y | λ2 | > 1 Tercer Proceso ARMA(2,2): Para el tercer proceso, tendremos: ARMA(2, 2) : y t = 2,4yt−1 − 1,78yt−2 + εt + 1 ,6εt−1 + 1 ,2εt−2 yt − 2,4yt−1 + 1 ,78yt−2 = ε t + 1 ,6εt−1 + 1 ,2εt−2

(1 − 2,4L + 1,78L2 )yt = (1 + 1,6L + 1,2L2 )εt Luego, del polinomio caracter´ caracter´ıstico de rezagos, tendremos: t endremos: λ1,2 =

2 ,4 ±

 2 4 − 4(1 78)(1) ,

2

,

2(1,78) λ1 = 0,6742 + 0,3276i λ2 = 0,6742 − 0,3276i

| λ1,2 | =

 0 6742 + 0 3276 = 0 5618674 ≤ 1 ,

2

,

2

,

Por lo tanto, el tercer proceso ARMA(2,2) es no-estacionario no-estacionario,, pues | pues | λ1 |≤ 1 y | λ2 |≤ 1

2

Cuarto Proceso ARMA(2,0):

Para el cuarto proceso, tendremos: ARMA(2, 0) : y t = 0,9yt−1 + 0 ,1yt−2 + εt yt − 0,9yt−1 − 0,1yt−2 = ε t

(1 − 0,9L − 0,1L2 )yt = ε t Luego, del polinomio caracter´ caracter´ıstico de rezagos, tendremos: t endremos: λ1,2 = 0,9 ±

 0 9 − 4(4(−−0 1)(1) ,

2

,

2( 2(− −0,1)

λ1 = −10 λ2 = 1

| λ1 | = 10 > 1 | λ2 | = 1 ≤ 1 no-estacionario,, pues | Por lo tanto, el cuarto proceso ARMA(2,0) es no-estacionario pues | λ1 | > 1 y | λ2 |≤ 1

1.1.2 1.1.2..

Funci´ unci´ o on n de Autocovarianzas y Funciones de Autocorrelaci´ on. on.

De cada uno de los procesos estacionarios procesos estacionarios encontrados encontrados en la sección on anterior, se pide: i) Hallar su forma MA(∞ MA(∞) y mostrar los 3 primeros coeficientes. ii) Hallar la función on de autocovarianzas para j=0,1,2,3. iii) Hallar la función on de autocor autocorrelac relaci´ i´ on on para j=0,1,2,3. iv) Expresar la funcióon n generatriz de autocovarianzas. ´ 1.1.2. SOLUCION Parte i:

Φ−1 = Ψ(L)

(1 − 0,5L − 0,04L2 )Y t = ε t Φ = (1 − 0,5L − 0,04L2 ) Y t = Φ−1 εt Ψ(L) = (Ψ0 + Ψ 1 L + Ψ2 L2 )

1 = Φ(L)Ψ(L) 1 = (1 − 0,5L − 0,04L)(Ψ0 + Ψ 1 L + Ψ2 L2 + ...) 1 = Ψ0 + (Ψ 1 − 0,54Ψ0 )L + (Ψ2 − 0,54Ψ1 )L2 Ψ0 = 1 Ψ1 − 0,54Ψ0 = 0 Ψ2 − 0,54Ψ1 = 0 Ψ1 = 0,54 Ψ2 = 0,2916 Y t = (1 + 0,54L + 0,2916L2 + ....)

3

Parte ii:

E (Y t )) = 0 γ j = E [[((Y t − E (Y t ))(Y t−j − E (Y t−j ))] supone suponemos mos ϑ2u = 1 γ j = E [Y t Y t−j ] j = 0 E [Y t Y t ] = E [Y t (0,5Y t − 1 + 0 ,04Y t−2 + εt )] γ 0 = 0,5γ 1 + 0 ,04γ 2 + ϑ2u j = 1 E [Y t Y t−1 ] = E [Y t−1 (0,5Y t−1 + 0 ,04Y t−2 + εt )] γ 1 = 0,5γ 0 + 0 ,04γ 1 j = 2 E [Y t Y t−2 ] = E [Y t−2 (0,5Y t−1 + 0 ,04Y t−2 + εt )] γ 2 = 0,5γ 1 + 0 ,04γ 0 j = 3 E (Y t Y t−3 ) = E (Y t−3 (0,5Y t−1 + 0 ,04Y t−2 + εt )) γ 3 = 0,5γ 2 + 0 ,04γ 1

 1 −0 5 −0 04 0   1 −−00045 −0065 01 00   = 00 0 0 −0 04 −0 5 1   1   = 0   0  1 77 1 53 0 07 0 10  1 47 2 94 0 06 0 0 =  0 80 1 53 1 03 0 0 0 099 0 19 0 05 1 0    1 77    =  1 47  0 80 0 099    γ 0 γ 1

,

,

,

,

,

, ,

,

γ 2 γ 3

γ 0 γ 1 γ 2 γ 3

A−1

, , , ,

, , , ,

A −1

, , , ,

γ 0 γ 1 γ 2 γ 3

, , , ,

Parte iii: ρj =

γ j γ 0

ρ0 =

j = 0 , 1, 2, 3

0,8 γ 3 γ 2 γ 1 1,47 γ 1 = 0,45 ρ3 = = = 0,83 ρ2 = = = 1 ρ1 = γ 0 1,77 γ 0 1,77 γ 0 γ 0 ρ3 =

4

Parte iv:

0,099 = 0,056 1,77

1.2. 1.2.1. 1.2. 1.

Ejercicio Ejercicio 2: Mecanism Mecanismos os de Ecuaci Ecuaciones ones en en Diferenc Diferencias. ias. FIR: FIR: Funci´ unci´ on on Impulso-Respuesta.

Considerar la siguiente ecuacióon n en diferencias de tercer orden: yt = 0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt

Donde wt

∼

2

RB (0, σu )

a) Hallar la Función on de Impulso-Respuesta para j=0,1,2. b) Determinar la Función on de Impulso-Respuesta para los primeros 30 per p er´´ıodos. (Nota: Deber´ Deb er´ a presentarse un script en MATLAB). (Laboratorio) ´ 1.2.1. SOLUCION Parte a: Tenemos: yt = 0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt

Para j=0, tendremos: ∂y t ⇒ ∂w t = 1

Para j=1, tendremos: yt+1 =0 ,6yt − 0,11yt−1 + 0 ,006yt−2 + wt+1 yt+1 =0 ,6(0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt ) − 0,11yt−1 + 0 ,006yt−2 + wt+1 yt+1 =0 ,25yt−1 − 0,06yt−2 + 0 ,0036yt−3 + 0 ,6wt + wt+1

⇒

∂y t+1 =0,6 ∂w t

Para j=2, tendremos: yt+2 =0 ,6yt+1 − 0,11yt + 0 ,006yt−1 + wt+2 yt+2 =0 ,6(0,25yt−1 − 0,06yt−2 + 0 ,0036yt−3 + 0 ,6wt + wt+1 )

− 0,11(0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt ) + 0 ,006yt−1 + wt+2 yt+2 =0 ,9yt−1 − 0,0239yt−2 + 0 ,0015yt−3 + 0 ,25wt + 0 ,6wt+1 + wt+2 ⇒

∂y t+1 =0,25 ∂w t

Parte b: SCRIPT DE MATLAB. phi1 =0.6; p h i 2 = − 0.11; phi3 =0.006 ; F= [ p hi h i 1 p hi h i 2 p hi hi 3 ; 1 0 0 ; 0 1 0 ] ; e i g e n v a l u e s =e =e i g ( F ) vp p11= e i g e n v a l u e s (1 , 1 ) vp p22= e i g e n v a l u e s (2 , 1 ) 5

vp p33= e i g e n v a l u e s (3 , 1 )

(1)

c1=vp1ˆ2/((vp1−vp2) ∗ (vp1 c1=vp1ˆ2/((vp1− (vp1− −v p 3 )) c2=vp2ˆ2/((vp2− c2=vp2ˆ2/((vp2 −vp1) ∗ (vp2 (vp2− −v p 3 )) c3=vp3ˆ2/((vp3− c3=vp3ˆ2/((vp3 −vp1) ∗ (vp3 (vp3− −v p 2 )) f o r j = 1: 1: 30 30 FIR( j+1)=c1 ∗ vp1ˆ( j)+c2 ∗ vp2ˆ( j)+c3 ∗ vp3ˆ ( j ) en d 1.2.2. 1.2. 2.

Multip Multiplic licador adores es Din´ Dinamicos. a ´micos.

´ 1.2.2. SOLUCION Dado Da do qu quee : F   = T ΛT −1 F T   = T Λ

Asignando Asign ando matriz matriz colum columna: na: F ti = t i λi ...(∗)

(2)

tomamos arbitrariamente ti :

ti

λi 1 p−2 λi p−3 λi . . .

   =   

p−

1

    

Donde: λ1 , λ2 , ... λ p son distint dis tintos os entre s´ı Enton Entonces ces ”ti ”debe cumplir ...(*) Comprobacion : F ti = t i λi

p−1

  1  0  

φ1 φ2 0 1 . . . . . . 0 0

..... φ p−1 φ p ... 0 0 ... 0 0 ... . . ... . . ... . . ... 1 0

        

λ pi −2 λi p−3 λi . . . λi

1

     =     

φ1 λ pi − 1 + φ2 λ pi − 2 + φ3 λ pi − 3 + ... + φ p p−1 λi p−2 λi . . . λi

    

(3)

De la proposi proposicio cion: n: λ p − φi λ p−1 − φi λ p−2 − φi λ p−3 ...φ p = 0 λ p = φ i λ p−1 + φi λ p−2 + φi λ p−3 ...φ p

6

Reemplazando en la matriz:

(4) (5)

F ti

   =   

p

λi p−1 λi p− λi 2 . . . λi

    

p−1

   =  

λi p−2 λi p−3 λi . . .

p∗1

1

       λi

1∗1

(6)

p∗1

Entonces: se cumple que : F ti = t i λi

(7)

Enton Entonces ces dado dado que: que:

C i = [t1i tit ] C 1 =

λ21 (λ1 − λ2 )(λ1 − λ3 )

C 1 =

C i =

λ2 2 (λ2 −λ1 )(λ2 −λ3 )

C 1 =

λ2 3 (λ3 −λ1 )(λ3 −λ2 )

Generalizando: p−

1.2.3. 1.2. 3.

λi 1 k =i (λi − λk )



(8)

Experim Experimen entos tos con ED.

Realizar un script en MATLAB donde se encuentren graficados los multiplicadores dinámicos amicos para un ED(4), desde j=0 hasta 25 per p er´´ıodos adelante. Considere los siguientes valores propios: 0.4, 0.3, 0.05 y 0.01 ´ 1.2.3.: SCRIPT DE MATLAB SOLUCION phi1=0.4 phi2=0.3 phi3=0.05 phi4=0.01 F= [ p ph h i1 i1 p h i2 i2 p h hii 3 p h i4 i4 ; 1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0 ] e i g e n v a l u e s =e =e i g ( F ) vp p11= e i g e n v a l u e s (1 , 1 ) vp p22= e i g e n v a l u e s (2 , 1 ) vp p33= e i g e n v a l u e s (3 , 1 ) vp p44= e i g e n v a l u e s (4 , 1 ) c1=vp1ˆ3/((vp1− c1=vp1ˆ3/((vp1 −vp2) ∗ (vp1 (vp1− −vp3) ∗ (vp1 (vp1− −v p 4 )) c2=vp2ˆ3/((vp2− c2=vp2ˆ3/((vp2 −vp1) ∗ (vp2 (vp2− −vp3) ∗ (vp2 (vp2− −v p 4 )) c3=vp3ˆ3/((vp3− c3=vp3ˆ3/((vp3 −vp1) ∗ (vp3 (vp3− −vp2) ∗ (vp3 (vp3− −v p 4 )) c4=vp4ˆ3/((vp4− c4=vp4ˆ3/((vp4 −vp1) ∗ (vp4 (vp4− −vp2) ∗ (vp4 (vp4− −v p 3 )) f o r j = 1: 1: 30 30 FIR( j+1)=c1 ∗ vp1ˆ( j)+c2 ∗ vp2ˆ( j)+c3 ∗ vp3ˆ( j)+c4 ∗ vp4ˆ ( j ) en d 7

1.3.

Ejercicio Ejercicio 3: Procesos Procesos Estacion Estacionarios arios en en Cov Covarianza. arianza.

¿Es el siguiente proceso MA(2) estacionario en covarianza? Y t = (1 + 0,8L + 0,4L2 )εt E (εt , ετ ) = 0, ∀t  = τ

Si lo es, calcule sus funciones de autocov auto covarianzas arianzas del orden 0 al orden 4, as as´´ı como sus funciones de autocorrelaci´ oon n simple. simple. ´ 1.3. SOLUCION Tenemos: yt =0 ,8ε( t − 1) + 0,4ε( t − 2) + εt γ 0 = E (yt − E (yt ))2 = E (yt2 ) = E ((0 0,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )2 γ 0 =0 ,64E (yt2−1 ) + 0 ,16E (yt2−2 ) + E (yt )2 ) + A

Donde, A representa los productos de las Experanzas matemáticas aticas de errores, erro res, de d e per pe r´ıodos ıodo s diferendife rentes, por lo que para un εt ∼ RB (0, 1) resultan ser CERO. γ 0 = σε2 (0,64 + 0,16 + 1)

=1,8σε2 Luego, tendremos: γ 1 = E [[((yt − E (yt ))(yt−1 − E (yt−1 ))]

=E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )(0,8εt−2 + 0 ,4εt−3 + εt−1 ) γ 1 =0 ,8E (yt2−1 ) + (0,8)(0,4)E (yt2−2 ) γ 1 = σε2 (0,8 + (0,8)(0,4)) = 1,12σε2 γ 2 = E [( [(yt − E (yt ))(yt−2 − E (yt−2 ))]

=E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )E ((00,8εt−3 + 0 ,4εt−4 + εt−2 ) γ 2 =0 ,4E (ε2t−2 ) γ 2 =0 ,4σε2

γ 3 = E [( [(yt − E (yt ))(yt−3 − E (yt−3 ))] =E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )E ((00,8εt−4 + 0 ,4εt−5 + εt−3 ) γ 3 =0 γ 4 = E [( [(yt − E (yt ))(yt−4 − E (yt−4 ))]

=E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )E ((00,8εt−5 + 0 ,4εt−6 + εt−4 ) γ 4 =0

ρ0 = ρ1 =

γ 0 1,6σε2 = =1 γ 0 1,6σε2

γ 1 1,12σε2 = = 0 ,7 γ 0 1,6σε2

8

ρ2 =

γ 2 0,4σε2 = 0 ,25 = 1,6σε2 γ 0

2.

ρ3 =

0 γ 3 = =0 1,6σε2 γ 0

ρ4 =

0 γ 4 = =0 1,6σε2 γ 0

Ej Ejer erci cici cios os del del L Lib ibro ro..

2.1.. 2.1 2.1.1. 2.1. 1.

Demand Demanda a de dinero dinero y efect efectos os de largo largo plazo plazo:: Demuest Demuestre: re:

´ 2.1.1. SOLUCION Resolviendo la ecuacion diferenecial por sustituciones recursivas: y0 = φy−1 + ω0 y1 = φy0 + ω1 y2 = φy1 + ω2 yt = φyt−1 + ωt

Dado el valor de y0 y de ω para t = 1, podemos calcular el valor de y para t = 1: y1 = φy 0 + ω1 = φ (φy−1 + ω0 ) + ω1

o que es lo mismo: y1 = φ 2 y−1 + φω0 + ω1

Dado el valor de y1 y de ω para t = 2, podemos calcular el valor de y para t = 2: y2 = φy 1 + ω2 = φ (φ2 y−1 + φω0 + ω1 ) + ω2

o que es lo mismo: y2 = φ 3 y−1 + φ2 ω0 + φω1 + ω2

Continuando recursivamente para hallar el valor de y t obtendriamos: yt = φ t+1 y−1 + φt ω0 + φt−1 ω1 + φt−2 ω2 + ... + φωt−1 + ωt

Haciendo un cambio de variable de t pot j y corriendo t periodos hacia adelante: yj +t = φ j +1 yt−1 + φj ωt + φj −1 ωt+1 + φj −2 ωt+2 + ... + φωt+j −1 + ωt+j

Encontrando el multiplicador dinamico, nos damos cuenta que solo depende de j: ∂y t+j ∂ω t

= φj

9

2.1.2. 2.1. 2.

Encuen Encuentre tre::

´ 2.1.2. SOLUCION Para p = 2 los valores propios son las soluciones de:

 

operando:

 

φ1 φ2

1

0

 

(φ1 − λ) φ2 1 −λ

−

 =

λ 0 0 λ

  =0

λ 2 − φ1 λ − φ2 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado obtendremos los dos valores propios de F: λ1 =

λ2 =

2.1.3 2.1.3..

 + 4 2  + 4 −

φ1 +

φ21

φ2

φ1

φ21

φ2

2

Calc Calcul ule: e:

´ 2.1.3. SOLUCION Dado que mt = y t y que m t depende de I t : ∂ω t ∂m t+2 ∂m t+2 ∂ω t = φ 2 × × = ∂I t ∂I t ∂ω t ∂I t

Dado que ω t = 0,27 + 0,19I t − 0,045rbt − 0,019rct tendriamos que: ∂ω t = 0 ,19 ∂I t

Entonces el efecto del ingreso sobre la demanda de dinero dos periodos hacia delante es: ∂m t+2 = (0,72)2 (0,19) = 0,098. ∂I t

2.1.4 2.1.4..

Calc Calcul ule: e:

´ 2.1.4. SOLUCION

3. 3.1.. 3.1

La Labor borat ator orio io Experim Experimen entos tos con con proce procesos sos ARM ARMA A

´ 3.1. SOLUCION %E j e r c i c i o 3 : P ro r o c es es o s E s t a c i o n a r i o s %Cre ar un AR(8 AR(8 ) %Con v a l o r e s p a ra r a p h i 1 = 0. 0. 1 p h i 2 = 0 . 01 01 , 10

%p h i 3 = 0 .3 .3 p h i 4 = 0 . 0 5 , p h i 5 = 0 . 09 09 %E n co co n ntt rraa r e l p ol o l in i n om o m io io c a r a c t e r i s t i c o y s u uss r a i c e s y d et e t eerr mi mi n naa r s i e s

%e s t a c i o n a r i o phi1 =0.1; phi2 =0.01; phi3 =0.3; phi4 =0.05; phi5=0.08 phi6=0.1 phi7=0.3 phi8=0.4 y 0=0; % v a l o r i n i c i a l y1=5; y2=8; y3=9; y4=4 y5=3 y6=8 y7=2 y(1)= y0 ; y(2)= y1 ; y(3)= y2 ; y(4)= y3 ; y(5)= y4 ; y(6)= y5 ; y(7)= y6 ; y(8)= y7 ; sigma=0.88; f o r t = 9: 9 : 30 30 y1( t)=ph t)=ph i1 ∗ y ( t −1)+phi2 ∗ y ( t −2)+phi3 ∗ y ( t −3)+phi4 ∗ y ( t −4)+phi5 ∗ y ( t −5)+phi6 ∗ y ( t −6)+phi en d plot (y1)

phi11 =0.3; phi21 =0.07; p h i 3 1 =− = − 0.3; phi41 =0.1; phi51=0.09 phi61=0.5 phi71=0.003 phi81=0.02

sigma=0.99; f o r t = 9: 9 : 30 30 y2( t)=phi11 ∗ y ( t −1)+phi21 ∗ y ( t −2)+phi31 ∗ y ( t −3)+phi41 ∗ y ( t −4)+phi51 ∗ y ( t −5)+phi61 ∗ y ( t − en d plot (y2)

p h i 1 2 =− = − 0.1; phi22 =0.08; phi32 =0.7; 11

p h i 4 2 = − 0.05; phi52=0.03

phi62=0.11 phi72=0.6 p h i 8 2 =− = − 0.04

sigma=0.91; f o r t = 9: 9 : 30 30 y3( t)=phi12 ∗ y ( t −1)+phi22 ∗ y ( t −2)+phi32 ∗ y ( t −3)+phi42 ∗ y ( t −4)+phi52 ∗ y ( t −5)+phi62 ∗ y ( t − en d plot (y3) phi13 =0.4; phi23 =0.009 ; phi33 =0.2; phi43 =0.01; phi53=0.08 phi63=0.5 p h i 7 3 =− = −0.3 phi83=0.3

sigma=0.78; f o r t = 9: 9 : 30 30 y4( t)=phi13 ∗ y ( t −1)+phi23 ∗ y ( t −2)+phi33 ∗ y ( t −3)+phi43 ∗ y ( t −4)+phi53 ∗ y ( t −5)+phi63 ∗ y ( t − en d plot (y4) subplot (2 subplot (2 subplot (2 subplot (2

3.2.. 3.2

,2 ,2 ,2 ,2

,1) ,2) ,3) ,4)

, , , ,

plot (y1) plot (y2) plot (y3) plot (y4)

Box-J Box-Jenk enkins ins a lo UNI-FI UNI-FIEEC EECS S

´ 3.2. SOLUCION

12

Univer sidad Universida d Naci Nacional onal de Ingenier Inge nier´ ´ıa. Facultad acul tad de Ingenier Inge nier´´ıa Econ´ Eco nómica, omic a, Estad Estad´´ıstica ısti ca y CC.SS. CC. SS. An´ alisis alisis de Series de Tiempo. Solucionario de la Primera Pr´ actica actica Calificada. Alumnos: Espinoza Aranda, Leyla. Espinoza Huam´ an, an, Brallam. Vizcarra Valc´ arcel, arcel, Peter. Villafuerte Ch´ avez, avez, Daniel.

1.

Ejer Ejercic cicios ios Aplica Aplicativ tivos. os.

1.1.. 1.1 1.1.1.

Ejerci Ejercicio cio 1: Proceso Procesoss Estacion Estacionari arios os ARMA. ARMA. Estacionariedad en sentido d´ ebil. ebil.

De los siguientes procesos ARMA mostrados uno (o más) as) de ellos es estacionario en covarianza, evaluar los 4 casos y ubicar el proceso ARMA en mención. on.

ARMA(2, 1) : y t = 0,8yt−1 + 0 ,4yt−2 + εt + 1 ,4εt−1 ARMA(2, 0) : y t = 0,5yt−1 + 0 ,04yt−2 + εt ARMA(2, 2) : y t = 2,4yt−1 − 1,78yt−2 + εt + 1 ,6εt−1 + 1 ,2εt−2 ARMA(2, 0) : y t = 0,9yt−1 + 0 ,1yt−2 + εt

⇒Donde: ε t ∼ RB (0, 1) ´ 1.1.1. SOLUCION Primer Proceso ARMA(2,1): Para el primer proceso, tendremos: ARMA(2, 1) : y t = 0,8yt−1 + 0 ,4yt−2 + εt + 1 ,4εt−1 yt − 0,8yt−1 − 0,4yt−2 = ε t + 1 ,4εt−1

(1 − 0,8L − 0,4L2 )yt = (1 − 1,4L)εt

1

Luego, del polinomio caracter´ caracter´ıstico de rezagos, tendremos: t endremos:

λ1,2 =

0 ,8 ±

 0 8 − 4(4(−−0 4)(1) ,

2

,

2( 2(− −0,4)

λ1 = −2,8708 λ2 = 0,8708

| λ1 | = 2 ,8708 > 1 | λ2 | = 0 ,8708 ≤ 1 Por lo tanto, el primer proceso ARMA(2,1) es no-estacionario no-estacionario,, pues | pues | λ1 | > 1 y | λ2 |≤ 1

Segundo Proceso ARMA(2,0): Para el segundo proceso, tendremos: ARMA(2, 0) : y t = 0,5yt−1 + 0 ,04yt−2 + εt yt − 0,5yt−1 − 0,04yt−2 = ε t

(1 − 0,5L − 0,04L2 )yt = ε t Luego, del polinomio caracter´ caracter´ıstico de rezagos, tendremos: t endremos: λ1,2 =

0 ,5 ±

 0 5 − 4(4(−−0 04)(1) ,

2

,

2( 2(− −0,04) λ1 = −14,2539 λ2 = 1,7539 | λ1 | = 14 ,2539 > 1 | λ2 | = 1 ,7539 > 1

Por lo tanto, el segundo proceso ARMA(2,0) es estacionario, estacionario, pues pues | λ1 | > 1 y | λ2 | > 1 Tercer Proceso ARMA(2,2): Para el tercer proceso, tendremos: ARMA(2, 2) : y t = 2,4yt−1 − 1,78yt−2 + εt + 1 ,6εt−1 + 1 ,2εt−2 yt − 2,4yt−1 + 1 ,78yt−2 = ε t + 1 ,6εt−1 + 1 ,2εt−2 2

2

(1 + 1,6L + 1,2L )εt (1 − 2,4L + 1,78L Luego, del polinomio caracter´ caracter´ıstico de rezagos, tendremos: t endremos: )yt =

λ1,2 =

2 ,4 ±

 2 4 − 4(1 78)(1) ,

2

,

2(1,78) λ1 = 0,6742 + 0,3276i λ2 = 0,6742 − 0,3276i

| λ1,2 | =

 0 6742 + 0 3276 = 0 5618674 ≤ 1 ,

2

,

2

,

Por lo tanto, el tercer proceso ARMA(2,2) es no-estacionario no-estacionario,, pues | pues | λ1 |≤ 1 y | λ2 |≤ 1

2

Cuarto Proceso ARMA(2,0):

Para el cuarto proceso, tendremos: ARMA(2, 0) : y t = 0,9yt−1 + 0 ,1yt−2 + εt yt − 0,9yt−1 − 0,1yt−2 = ε t

(1 − 0,9L − 0,1L2 )yt = ε t Luego, del polinomio caracter´ caracter´ıstico de rezagos, tendremos: t endremos: λ1,2 =

0 ,9 ±

 0 9 − 4(4(−−0 1)(1) ,

2

,

2( 2(− −0,1)

λ1 = −10 λ2 = 1

| λ1 | = 10 > 1 | λ2 | = 1 ≤ 1 no-estacionario,, pues | Por lo tanto, el cuarto proceso ARMA(2,0) es no-estacionario pues | λ1 | > 1 y | λ2 |≤ 1

1.1.2 1.1.2..

Funci´ unci´ o on n de Autocovarianzas y Funciones de Autocorrelaci´ on. on.

De cada uno de los procesos estacionarios procesos estacionarios encontrados encontrados en la sección on anterior, se pide: i) Hallar su forma MA(∞ MA(∞) y mostrar los 3 primeros coeficientes. ii) Hallar la función on de autocovarianzas para j=0,1,2,3. iii) Hallar la función on de autocor autocorrelac relaci´ i´ on on para j=0,1,2,3. iv) Expresar la funcióon n generatriz de autocovarianzas. ´ 1.1.2. SOLUCION Parte i:

Φ−1 = Ψ(L)

(1 − 0,5L − 0,04L2 )Y t = ε t Φ = (1 − 0,5L − 0,04L2 ) Y t = Φ−1 εt Ψ(L) = (Ψ0 + Ψ 1 L + Ψ2 L2 )

1 = Φ(L)Ψ(L) 1 = (1 − 0,5L − 0,04L)(Ψ0 + Ψ 1 L + Ψ2 L2 + ...) 1 = Ψ0 + (Ψ 1 − 0,54Ψ0 )L + (Ψ2 − 0,54Ψ1 )L2 Ψ0 = 1 Ψ1 − 0,54Ψ0 = 0 Ψ2 − 0,54Ψ1 = 0 Ψ1 = 0,54 Ψ2 = 0,2916 Y t = (1 + 0,54L + 0,2916L2 + ....)

3

Parte ii:

E (Y t )) = 0 γ j = E [[((Y t − E (Y t ))(Y t−j − E (Y t−j ))] supone suponemos mos ϑ2u = 1 γ j = E [Y t Y t−j ] j = 0 E [Y t Y t ] = E [Y t (0,5Y t − 1 + 0 ,04Y t−2 + εt )] γ 0 = 0,5γ 1 + 0 ,04γ 2 + ϑ2u j = 1 E [Y t Y t−1 ] = E [Y t−1 (0,5Y t−1 + 0 ,04Y t−2 + εt )] γ 1 = 0,5γ 0 + 0 ,04γ 1 j = 2 E [Y t Y t−2 ] = E [Y t−2 (0,5Y t−1 + 0 ,04Y t−2 + εt )] γ 2 = 0,5γ 1 + 0 ,04γ 0 j = 3 E (Y t Y t−3 ) = E (Y t−3 (0,5Y t−1 + 0 ,04Y t−2 + εt )) γ 3 = 0,5γ 2 + 0 ,04γ 1

 1 −0 5 −0 04 0   1 −−00045 −0065 01 00   = 00 0 0 −0 04 −0 5 1   1   = 0   0  1 77 1 53 0 07 0 10  1 47 2 94 0 06 0 0 =  0 80 1 53 1 03 0 0 0 0 099 0 19 0 05 1    1 77    =  1 47  0 80   0 099 γ 0 γ 1

,

,

,

,

,

, ,

,

γ 2 γ 3

γ 0 γ 1 γ 2 γ 3

A−1

, , , ,

, , , ,

A −1

, , , ,

γ 0 γ 1 γ 2 γ 3

, , , ,

Parte iii: ρj =

γ j γ 0

ρ0 =

j = 0 , 1, 2, 3

0,8 γ 3 γ 2 γ 1 1,47 γ 1 = 0,45 ρ3 = = = 0,83 ρ2 = = = 1 ρ1 = 1,77 γ 0 1,77 γ 0 γ 0 γ 0 ρ3 =

4

Parte iv:

0,099 = 0,056 1,77

1.2. 1.2.1. 1.2. 1.

Ejercicio Ejercicio 2: Mecanism Mecanismos os de Ecuaci Ecuaciones ones en en Diferenc Diferencias. ias. FIR: FIR: Funci´ unci´ on on Impulso-Respuesta.

Considerar la siguiente ecuacióon n en diferencias de tercer orden: yt = 0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt

Donde wt

∼

RB (0, σu2 )

a) Hallar la Función on de Impulso-Respuesta para j=0,1,2. b) Determinar la Función on de Impulso-Respuesta para los primeros 30 per p er´´ıodos. (Nota: Deber´ Deb er´ a presentarse un script en MATLAB). (Laboratorio) ´ 1.2.1. SOLUCION Parte a: Tenemos: yt = 0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt

Para j=0, tendremos: ∂y t ⇒ ∂w t = 1

Para j=1, tendremos: yt+1 =0 ,6yt − 0,11yt−1 + 0 ,006yt−2 + wt+1 yt+1 =0 ,6(0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt ) − 0,11yt−1 + 0 ,006yt−2 + wt+1 yt+1 =0 ,25yt−1 − 0,06yt−2 + 0 ,0036yt−3 + 0 ,6wt + wt+1

⇒

∂y t+1 =0,6 ∂w t

Para j=2, tendremos: yt+2 =0 ,6yt+1 − 0,11yt + 0 ,006yt−1 + wt+2 yt+2 =0 ,6(0,25yt−1 − 0,06yt−2 + 0 ,0036yt−3 + 0 ,6wt + wt+1 )

− 0,11(0,6yt−1 − 0,11yt−2 + 0 ,006yt−3 + wt ) + 0 ,006yt−1 + wt+2 yt+2 =0 ,9yt−1 − 0,0239yt−2 + 0 ,0015yt−3 + 0 ,25wt + 0 ,6wt+1 + wt+2 ⇒

∂y t+1 =0,25 ∂w t

Parte b: SCRIPT DE MATLAB. phi1 =0.6; p h i 2 = − 0.11; phi3 =0.006 ; F= [ p hi h i 1 p hi h i 2 p hi hi 3 ; 1 0 0 ; 0 1 0 ] ; e i g e n v a l u e s =e =e i g ( F ) vp p11= e i g e n v a l u e s (1 , 1 ) vp p22= e i g e n v a l u e s (2 , 1 ) 5

vp p33= e i g e n v a l u e s (3 , 1 )

(1)

c1=vp1ˆ2/((vp1−vp2) ∗ (vp1 c1=vp1ˆ2/((vp1− (vp1− −v p 3 )) c2=vp2ˆ2/((vp2− c2=vp2ˆ2/((vp2 −vp1) ∗ (vp2 (vp2− −v p 3 )) c3=vp3ˆ2/((vp3− c3=vp3ˆ2/((vp3 −vp1) ∗ (vp3 (vp3− −v p 2 )) f o r j = 1: 1: 30 30 FIR( j+1)=c1 ∗ vp1ˆ( j)+c2 ∗ vp2ˆ( j)+c3 ∗ vp3ˆ ( j ) en d 1.2.2. 1.2. 2.

Multip Multiplic licador adores es Din´ Dinamicos. a ´micos.

´ 1.2.2. SOLUCION Dado Da do qu quee : F   = T ΛT −1 F T   = T Λ

Asignando Asign ando matriz matriz colum columna: na: F ti = t i λi ...(∗)

(2)

tomamos arbitrariamente ti :

ti

   =   

p−1

λi p−2 λi p−3 λi . . .

1

    

Donde: λ1 , λ2 , ... λ p son distint dis tintos os entre s´ı Enton Entonces ces ”ti ”debe cumplir ...(*) Comprobacion : F ti = t i λi

  1  0  

φ1 φ2 0 1 . . . . . . 0 0

..... φ p−1 φ p ... 0 0 ... 0 0 ... . . ... . . ... . . ... 1 0

        

λ pi −1 p− λi 2 p−3 λi . . . λi

1

       =   

p−1

p−2

p−3

φ1 λi + φ2 λi + φ3 λi + ... + φ p p−1 λi p−2 λi . . . λi

    

(3)

De la proposi proposicio cion: n: λ p − φi λ p−1 − φi λ p−2 − φi λ p−3 ...φ p = 0 p

p−1

λ = φ i λ

p−2

+ φi λ

6

Reemplazando en la matriz:

p−3

+ φi λ

...φ p

(4)

(5)

F ti

   =   

p

λi p−1 λi p− λi 2 . . . λi

    

p−1

   =  

λi p−2 λi p−3 λi . . .

p∗1

1

       λi

1∗1

(6)

p∗1

Entonces: se cumple que : F ti = t i λi

(7)

Enton Entonces ces dado dado que: que:

C i = [t1i tit ] C 1 =

λ21 (λ1 − λ2 )(λ1 − λ3 )

C 1 =

λ2 2

(λ2 −λ1 )(λ2 −λ3 )

C 1 =

λ2 3

(λ3 −λ1 )(λ3 −λ2 )

Generalizando: C i =

1.2.3. 1.2. 3.

λ pi −1 k =i (λi − λk )



(8)

Experim Experimen entos tos con ED.

Realizar un script en MATLAB donde se encuentren graficados los multiplicadores dinámicos amicos para un ED(4), desde j=0 hasta 25 per p er´´ıodos adelante. Considere los siguientes valores propios: 0.4, 0.3, 0.05 y 0.01 ´ 1.2.3.: SCRIPT DE MATLAB SOLUCION phi1=0.4 phi2=0.3 phi3=0.05 phi4=0.01 F= [ p ph h i1 i1 p h i2 i2 p h hii 3 p h i4 i4 ; 1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0 ] e i g e n v a l u e s =e =e i g ( F ) vp p11= e i g e n v a l u e s (1 , 1 ) vp p22= e i g e n v a l u e s (2 , 1 ) vp p33= e i g e n v a l u e s (3 , 1 ) vp p44= e i g e n v a l u e s (4 , 1 ) c1=vp1ˆ3/((vp1− c1=vp1ˆ3/((vp1 −vp2) ∗ (vp1 (vp1− −vp3) ∗ (vp1 (vp1− −v p 4 )) c2=vp2ˆ3/((vp2− c2=vp2ˆ3/((vp2 −vp1) ∗ (vp2 (vp2− −vp3) ∗ (vp2 (vp2− −v p 4 )) c3=vp3ˆ3/((vp3− c3=vp3ˆ3/((vp3 −vp1) ∗ (vp3 (vp3− −vp2) ∗ (vp3 (vp3− −v p 4 )) c4=vp4ˆ3/((vp4− c4=vp4ˆ3/((vp4 −vp1) ∗ (vp4 (vp4− −vp2) ∗ (vp4 (vp4− −v p 3 )) f o r j = 1: 1: 30 30 FIR( j+1)=c1 ∗ vp1ˆ( j)+c2 ∗ vp2ˆ( j)+c3 ∗ vp3ˆ( j)+c4 ∗ vp4ˆ ( j ) en d 7

1.3.

Ejercicio Ejercicio 3: Procesos Procesos Estacion Estacionarios arios en en Cov Covarianza. arianza.

¿Es el siguiente proceso MA(2) estacionario en covarianza? Y t = (1 + 0,8L + 0,4L2 )εt E (εt , ετ ) = 0, ∀t  = τ

Si lo es, calcule sus funciones de autocov auto covarianzas arianzas del orden 0 al orden 4, as as´´ı como sus funciones de autocorrelaci´ oon n simple. simple. ´ 1.3. SOLUCION Tenemos: yt =0 ,8ε( t − 1) + 0,4ε( t − 2) + εt γ 0 = E (yt − E (yt ))2 = E (yt2 ) = E ((0 0,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )2 γ 0 =0 ,64E (yt2−1 ) + 0 ,16E (yt2−2 ) + E (yt )2 ) + A

Donde, A representa los productos de las Experanzas matemáticas aticas de errores, erro res, de d e per pe r´ıodos ıodo s diferendife rentes, por lo que para un εt ∼ RB (0, 1) resultan ser CERO. γ 0 = σε2 (0,64 + 0,16 + 1)

=1,8σε2 Luego, tendremos: γ 1 = E [[((yt − E (yt ))(yt−1 − E (yt−1 ))]

=E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )(0,8εt−2 + 0 ,4εt−3 + εt−1 ) γ 1 =0 ,8E (yt2−1 ) + (0,8)(0,4)E (yt2−2 ) γ 1 = σε2 (0,8 + (0,8)(0,4)) = 1,12σε2 γ 2 = E [( [(yt − E (yt ))(yt−2 − E (yt−2 ))]

=E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )E ((00,8εt−3 + 0 ,4εt−4 + εt−2 ) γ 2 =0 ,4E (ε2t−2 ) γ 2 =0 ,4σε2

γ 3 = E [( [(yt − E (yt ))(yt−3 − E (yt−3 ))] =E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )E ((00,8εt−4 + 0 ,4εt−5 + εt−3 ) γ 3 =0 γ 4 = E [( [(yt − E (yt ))(yt−4 − E (yt−4 ))]

=E ((00,8εt−1 + 0 ,4εt−2 + εt )E ((00,8εt−5 + 0 ,4εt−6 + εt−4 ) γ 4 =0

ρ0 = ρ1 =

γ 0 1,6σε2 =1 = 1,6σε2 γ 0

γ 1 1,12σε2 = 0 ,7 = 1,6σε2 γ 0

8

ρ2 =

γ 2

=

0,4σε2

= 0 ,25

γ 0

2.

1,6σε2

ρ3 =

0 γ 3 = =0 1,6σε2 γ 0

ρ4 =

0 γ 4 = =0 1,6σε2 γ 0

Ej Ejer erci cici cios os del del L Lib ibro ro..

2.1.. 2.1 2.1.1. 2.1. 1.

Demand Demanda a de dinero dinero y efect efectos os de largo largo plazo plazo:: Demuest Demuestre: re:

´ 2.1.1. SOLUCION Resolviendo la ecuacion diferenecial por sustituciones recursivas: y0 = φy−1 + ω0 y1 = φy0 + ω1 y2 = φy1 + ω2 yt = φyt−1 + ωt

Dado el valor de y0 y de ω para t = 1, podemos calcular el valor de y para t = 1: y1 = φy 0 + ω1 = φ (φy−1 + ω0 ) + ω1

o que es lo mismo: y1 = φ 2 y−1 + φω0 + ω1

Dado el valor de y1 y de ω para t = 2, podemos calcular el valor de y para t = 2: y2 = φy 1 + ω2 = φ (φ2 y−1 + φω0 + ω1 ) + ω2

o que es lo mismo: y2 = φ 3 y−1 + φ2 ω0 + φω1 + ω2

Continuando recursivamente para hallar el valor de y t obtendriamos: yt = φ t+1 y−1 + φt ω0 + φt−1 ω1 + φt−2 ω2 + ... + φωt−1 + ωt

Haciendo un cambio de variable de t pot j y corriendo t periodos hacia adelante: yj +t = φ j +1 yt−1 + φj ωt + φj −1 ωt+1 + φj −2 ωt+2 + ... + φωt+j −1 + ωt+j

Encontrando el multiplicador dinamico, nos damos cuenta que solo depende de j: ∂y t+j ∂ω t

= φj

9

2.1.2. 2.1. 2.

Encuen Encuentre tre::

´ 2.1.2. SOLUCION Para p = 2 los valores propios son las soluciones de:

 

operando:

 

φ1 φ2

1

0

 

(φ1 − λ) φ2 1 −λ

−

 =

λ 0 0 λ

  =0

λ 2 − φ1 λ − φ2 = 0

Resolviendo la ecuacion de segundo grado obtendremos los dos valores propios de F: λ1 =

λ2 =

2.1.3 2.1.3..

 + 4 2  + 4 −

φ1 +

φ21

φ2

φ1

φ21

φ2

2

Calc Calcul ule: e:

´ 2.1.3. SOLUCION Dado que mt = y t y que m t depende de I t : ∂ω t ∂m t+2 ∂m t+2 ∂ω t = φ 2 × × = ∂I t ∂I t ∂ω t ∂I t

Dado que ω t = 0,27 + 0,19I t − 0,045rbt − 0,019rct tendriamos que: ∂ω t = 0 ,19 ∂I t

Entonces el efecto del ingreso sobre la demanda de dinero dos periodos hacia delante es: ∂m t+2 = (0,72)2 (0,19) = 0,098. ∂I t

2.1.4 2.1.4..

Calc Calcul ule: e:

´ 2.1.4. SOLUCION

3. 3.1.. 3.1

La Labor borat ator orio io Experim Experimen entos tos con con proce procesos sos ARM ARMA A

´ 3.1. SOLUCION %E j e r c i c i o 3 : P ro r o c es es o s E s t a c i o n a r i o s %Cre ar un AR(8 AR(8 ) %Con v a l o r e s p a ra r a p h i 1 = 0. 0. 1 p h i 2 = 0 . 01 01 , 10

%p h i 3 = 0 .3 .3 p h i 4 = 0 . 0 5 , p h i 5 = 0 . 09 09

%E n co co n ntt rraa r e l p ol o l in i n om o m io io c a r a c t e r i s t i c o y s u uss r a i c e s y d et e t eerr mi mi n naa r s i e s %e s t a c i o n a r i o phi1 =0.1; phi2 =0.01; phi3 =0.3; phi4 =0.05; phi5=0.08 phi6=0.1 phi7=0.3 phi8=0.4 y 0=0; % v a l o r i n i c i a l y1=5; y2=8; y3=9; y4=4 y5=3 y6=8 y7=2 y(1)= y0 ; y(2)= y1 ; y(3)= y2 ; y(4)= y3 ; y(5)= y(6)= y4 y5 ;; y(7)= y6 ; y(8)= y7 ; sigma=0.88; f o r t = 9: 9 : 30 30 y1( t)=ph t)=ph i1 ∗ y ( t −1)+phi2 ∗ y ( t −2)+phi3 ∗ y ( t −3)+phi4 ∗ y ( t −4)+phi5 ∗ y ( t −5)+phi6 ∗ y ( t −6)+phi en d plot (y1)

phi11 =0.3; phi21 =0.07; p h i 3 1 =− = − 0.3; phi41 =0.1; phi51=0.09 phi61=0.5 phi71=0.003 phi81=0.02

sigma=0.99; f o r t = 9: 9 : 30 30 y2( t)=phi11 ∗ y ( t −1)+phi21 ∗ y ( t −2)+phi31 ∗ y ( t −3)+phi41 ∗ y ( t −4)+phi51 ∗ y ( t −5)+phi61 ∗ y ( t − en d plot (y2)

p h i 1 2 =− = − 0.1; phi22 =0.08; phi32 =0.7; 11

p h i 4 2 = − 0.05;

phi52=0.03 phi62=0.11 phi72=0.6 p h i 8 2 =− = − 0.04

sigma=0.91; f o r t = 9: 9 : 30 30 y3( t)=phi12 ∗ y ( t −1)+phi22 ∗ y ( t −2)+phi32 ∗ y ( t −3)+phi42 ∗ y ( t −4)+phi52 ∗ y ( t −5)+phi62 ∗ y ( t − en d plot (y3) phi13 =0.4; phi23 =0.009 ; phi33 =0.2; phi43 =0.01; phi53=0.08 phi63=0.5 p h i 7 3 =− = −0.3 phi83=0.3

sigma=0.78; f o r t = 9: 9 : 30 30 y4( t)=phi13 ∗ y ( t −1)+phi23 ∗ y ( t −2)+phi33 ∗ y ( t −3)+phi43 ∗ y ( t −4)+phi53 ∗ y ( t −5)+phi63 ∗ y ( t − en pld ot (y4) subplot (2 subplot (2 subplot (2 subplot (2

3.2.. 3.2

,2 ,2 ,2 ,2

,1) ,2) ,3) ,4)

, , , ,

plot (y1) plot (y2) plot (y3) plot (y4)

Box-J Box-Jenk enkins ins a lo UNI-FI UNI-FIEEC EECS S

´ 3.2. SOLUCION

12

´ FACULTAD DE INGENIERÍA ECONOMICA, ESTADÍSTICA Y CIENCIAS SOCIALES

Universidad Nacional de Ingenier´ Ingenier´ıa - Per´ u

Profesor: ´ CORONADO, Rafael Jimmy PhD. CAPARO

Alumnos: Christian Cauti Lorena Delgad Delgado o

Flore Flores s

˜ an Champ Champo onan n

ń Eduardo D´ıaz Leon o

Khris Martinez Martinez Diana Respaldiz Respaldiza a Marvin Serna

Or´ e

de la Torre

Alejandro

SEPTIEMBRE 2015 - LIMA

Análisis de Series de Tiempo

´ Indice

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

1. Pre Pregun guntas tas del MIT

2

1.1.. Bo Bonu nuss 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Pregun guntas tas del del UW 2. Pre

3 4

2.1. Prim Primer er Pun Punto to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2. Seg Segund undoo Punt Puntoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Laboratorio torio 3. Labora

5

3.1. Prim Primer er Pun Punto to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Segund undoo Punt Puntoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Seg

5

3.3. Tercer Punt Puntoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.4. Cua Cuarto rto Pun Punto to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3.5. Quin Quinto to Pun Punto to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.6. Sex Sexto to Pun Punto to   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.7. Séptimo eptimo Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

4. Con Contro troll de Lectura Lectura

11

4.1. Indica Indicador dor Treynor Treynor-Mazur -Mazury y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4.2. Modelo Modelo EGARC EGARCH-M H-M   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Timi ming ng   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ti ´ 4.4. Det Determ erminac inaci´ i´ on del Portafolio Optimo on Optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11

4.5. Conca Concavidad vidad del del Conjunto Conjunto Eficiente Eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Modeloo CAP CAPM M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Model

12

5. Probl Problemas emas de ciclos ciclos pasados pasados

11

12

5.1. Mecani Mecanismo smo de Ecuacione Ecuacioness en Diferencia Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5.2. Cap Cap´´ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

5.3. Cap Cap´´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

5.4. Cap Cap´´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

5.5. Bonu nuss 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Bo

20

1

Análisis de Series de Tiempo

1.

Pr Preg egun unta tass del del MI MIT T

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Soluci´ on on 1: supongamos que x que x t sigue a un proceso MA(1):

xt = = µ µ + +  t + + θ θt−1

(1.1)

0 < θ < 1 E( E(t )=0 E( E(2t )= )=σ σ2 E( E(t t− j )=0 , para j  j  =0 y entonces calculamos una nueva serie y serie y t = (1 − ρL ρL))xt , para L el operador de rezago y ρ y ρ alg´ u un n número umero real.

a) Calcular la proyección on de población on lineal de y de y t en (1, (1,t−1 ,t−2 )’

xt = µ + (1 + θ + θ L) L)t (1 - ρL ρL))xt = (1 - ρL - ρL))µ + (1 - ρL - ρL)(1 )(1 + θ + θL L)t yt = (1 - ρ - ρ))µ + [1 + (θ (θ − ρ)L - θ θρL ρL2 ]t P(y P(yt | 1 1,,  t−1 ,  t−2 ) = (1 - ρ - ρ))µ + (θ − ρ)t−1 − θρt−2 b) Solución: on: yt ∼ MA(2) que es estacionario para todo ρ todo ρ..

E(y E(yt ) = (1 - ρ - ρ))µ sY   ( (ω ω) = σ

2

(1+θe−iω )(1 )(1− −ρe−iω )(1+θe−iω )(1− )(1−ρe−iω ) 2π

c) Esta es proporcional al espectro en frecuencia 0, que de la parte (b) es cero. d) Equivalentemente puede pensar en comenzar con (1 − ρL ρL))t y luego filtrar por (1 − θL). θL). La representación on (1− (1 − ρL ρL))t es no invertible , pero sus autocovarianzas γ autocovarianzas γ 0 = (1+ρ (1+ ρ2 )σ 2 y γ 1 = = ρσ ρσ 2 son idénticos enticos a los de (1 − σ −1 L)vt con E con E ((v2 ) = τ 2 . Resolviendo la ecuación on para γ 1 tenemos tenemos σ 2 = 0,5τ 2 o τ 2 = 4σ 2 . La representacióon n invertibl blee es as´ıı::

yt = (1 − ρ)µ + (1 − ρ−1 L)(1 + θL + θL))vt = C + v t + (θ ( θ − 0,5) 5)vvt−1 − 0,5θv t−2 . 2

Análisis de Series de Tiempo

1.1. 1.1.

Bonus onus 1

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Transformar un AR(p) a un MA. Si un AR de orden p φ( φ (L)yt = = ε ε t es estacionario con un MA representado y representado y t = ψ = ψ((L)εt , demostrar que: p

0=



= p, 1,... φ((L)Y t , k = p, p + 1,... φ j ψk− j = φ

j =0

Es decir demuestre que los coeficientes del MA satisfacen la ecuación on del AR: Demostración: on: + ... ... + + φ φ p Y t− p + + ε εt + φ φ4 Y t−4 + + φ φ3 Y t−3 + + φ2 Y t−2 + AR(( p) AR p) : Y t = = φ φ 1 Y t−1 + φ Y t = φ = φ 1 LY t + + φ φ2 L2 Y t + + φ φ3 L3 Y t + φ + φ4 L4 Y t + + ... ... + + φ φ p L p Y t + + ε εt Y t − φ1 LY t − φ2 L2 Y t − φ3 L3 Y t − φ4 L4 Y t + + ... ... − φ p L p Y t = = ε εt (1 − φ1 L − φ2 L2 − φ3 L3 − φ4 L4 + ... − φ p L p )Y t = = ε εt Y t = Φ( Φ(L L)−1 εt

(1 − φ1 L − φ2 L2 − φ3 L3 − φ4 L4 + ... − φ p L p )( )(ψ ψ0 + + ψ ψ1 L + + ψ ψ2 L2 + ψ3 L3 + ψ4 L4 ... ... + + ψ ψ p L p ) = ψ0 + ψ1 L + ψ2 L2 + ψ3 L3 + ψ4 L4 ... + ψ p L p − φ1 ψ0 L − φ1 ψ1 L2 − φ1 ψ2 L3 − φ1 ψ3 L4 + ... − φ1 ψ p L p+1 −φ2 ψ0 L2 − φ2 ψ1 L3 − φ2 ψ2 L4 − φ2 ψ3 L5 + ... − φ2 ψ p L p+1 −φ3 ψ0 L3 − φ3 ψ1 L4 − φ3 ψ2 L5 − φ3 ψ3 L6 + ... − φ3 ψ p L p+1 ... − φ p ψ0 L3 − φ p ψ1 L4 − φ p ψ2 L5 − φ p ψ3 L6 + ... − φ p ψ p L p+1 = 1

Ahora calcularemos calcularemos los coeficientes coeficientes:: ψ0 = 1

Hallando el primer coeficiente: + φ φ2 ψ2 − φ1 ψ1 − φ2 ψ0 = 0; ψ2 = = φ φ 21 + ψ3 − φ1 ψ2 − φ2 ψ1 − φ3 ψ0 = 0; ψ3 = = φ φ 31 + 2φ 2 φ2 φ2 + + φ φ3 ψ4 − φ1 ψ3 − φ2 ψ2 − φ3 ψ1 − φ4 ψ0 = 0

De esta ultima ecuación on notamos lo siguiente: ψ4 = φ 1 ψ3 + + φ φ2 ψ2 + + φ φ3 ψ1 + + φ φ4 ψ0 3

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

ψ4 = = φ φ 1 Lψ4 + φ + φ2 L2 ψ4 + + φ φ3 L3 ψ4 + + φ φ4 L4 ψ4

ψ4 = = φ φ((L)−1 0 = φ φ((L) psi4

Generalizand Genera lizandoo se obtiene obtiene que: p

0=

φ j ψk− j = φ φ((L)Y t , k = = p, p, p + 1,... 1,...



j j =0

2. 2.1. 2.1.

Pr Preg egun unta tass del del UW Prim Primer er Pun Punto

b) ∆ct = = c c t − ct−1 ∆ct = = c c pt + ηt − c pt−1 − ηn−1 ∆ct = = µ µ + + ε εt + η + ηt − ηn−1 c)

∆ct describe un proceso ARMA(0,1)

γ (0) (0) = cov = cov(∆ (∆cct , ∆ct ) = E [(µ [(µ + εt + ηt − ηn−1 )( )(µ µ + εt + ηt − ηn−1 )] = E (µ2 + µεt + µηt − µηt−1 + + η + η + ηt µ + + η + εt ηt − εt ηt−1 + η + ε ηt−1 ηt−1 ) ηt ηt − ηt ηt−1 − ηt µ − ηt−1 εt − ηt−1 ηt + ηt εt + εt µ + εt εt + ε γ (0) (0) = µ = µ2 + σε2 + + σ ση2 γ (1) (1) = µ = µ2 − ση2 γ (2) (2) = µ = µ2 .. . γ (h) = µ 2 ρ(h) = 2.2. 2.2.

γ (h) µ2 = 2 γ (0) (0) + σ ση2 µ + σε2 +

Segu Segund ndo o Pun Punto Para h=2, j=1 εt+2 = ε εt+2 + ψ + ψ1 εt+1 +2||t = εt+1 = ε εt+1 +1||t = Corr((εt+2 Corr +2||t , εt+1 +1||t ) = E (εt+2 +2||t .εt+1 +1||t ) E (εt+2 [(εt+2 + + ψ ψ1 εt+1 )( )(εεt+1 )] +2||t .εt+1 +1||t ) = E [(ε 2 Corr((εt+2 Corr +2||t , εt+1 +1||t ) = ψ 1 σ

4

Análisis de Series de Tiempo

Para h=3, j=1:

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

εt+3 = ε εt+3 + + ψ ψ1 εt+2 + + ψ ψ2 εt+1 +3||t = εt+1 = ε εt+1 +1||t = Corr((εt+3 Corr +3||t , εt+1 +1||t ) = E (εt+3 +3||t .εt+1 +1||t ) E (εt+3 (εt+3 + ψ + ψ1 εt+2 + + ψ ψ2 εt+1 )( )(εεt+1 )] +3||t .εt+1 +1||t ) = E [[(ε 2 Corr((εt+2 Corr +2||t , εt+1 +1||t ) = ψ 2 σ

Para h=3, j=2: εt+3 = ε εt+3 + + ψ ψ1 εt+2 + ψ + ψ2 εt+1 +3||t = εt+2 = ε εt+2 + + ψ ψ1 εt+1 +2||t = Corr((εt+3 Corr +3||t , εt+2 +2||t ) = E (εt+3 +3||t .εt+2 +2||t ) E (εt+3 (εt+3 + + ψ ψ1 εt+2 + + ψ ψ2 εt+1 )( )(εεt+2 + + ψ ψ1 εt+1 )] +3||t .εt+2 +2||t ) = E [[(ε 2 2 Corr((εt+3 Corr +3||t , εt+2 +2||t ) = ψ 1 σ + ψ1 ψ2 σ

3. 3.1. 3.1.

La Labor borat ator orio io Prim Primer er Pun Punto

Usando Eviews, se crea un nuevo archivo de trabajo(WF) con 250 observaciones sin fecha. A continuaci´ on, on, se crea una serie Y2 con valores simulados de la proceso AR(2). + e e yt = 1,2yt−1 − 0,4yt−2 + y1 = y = y2 = 0 Creamos una serie que tenga el comportamiento aleatorio, con el comando nrnd nrnd,, luego creamos la serie Y2, siguiendo el modelo AR(2). 3.2. 3.2.

Segu Segund ndo o Pun Punto

Graficamos:

afica de la serie Y2 Figura 1: Gr´ 5

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Se observa que la serie tiene comportamiento estacionario a los largo de su periodo. Ahora analizaremos analiza remos las autocorrelaci´ autocorrelaci´ on on (ACP) y las ecuaciones de Yule-Walker (PACF).

Figura 2: Autocorrelaci´ on de Y2

Observamos que la autocorrelacion decae a cero siguiendo un modelo AR(2). En la descripción on gráfica afica de la serie observamos que el Jarque-Bera es menor que 5.99 lo que nos da indicios de que nuestra variable es normal.

Figura Figur a 3: Gr´ afica estad´ est ad´ıstica ıst ica de Y2

3.3.. 3.3

Tercer ercer Punto Punto

Usamos las 200 primeras observaciones de la serie y generamos un modelo AR(2), se observa ˜ que el modelo está bien especificado. Las ra´ ra´ıces invertidas invertidas del del φ polinomio caracterAstico Astico z = 1 − 1,1986 1986zz + −0,3536 3536zz 2 = 0 son complejas y tienen un módulo odulo dentro del cálculo alculo de la unidad por lo tanto el modelo es estacionario. 6

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Figura 4: Modelo AR(2)

Ahora analizaremos los residuos del modelo, se observa en la gráfica afica que los datos simulados no presentan correlación. on.

afica de residuos Figura 5: Gr´ 3.4. 3.4.

Cuar Cuarto to Pun Punto

Para un modelo MA(1): se observa que el modelo es estacionario, el estad´ıstico ıstico Durbin Watson nos da indicios de correlación on positiva. Por otro lado la gráfica afica de los residuos nos indica que el modelo no hace seguimiento de los datos simulados.

7

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Figura 6: Modelo MA(1)

afica de residuos Figura 7: Gr´ 3.5. 3.5.

Quin Quinto to Pun Punto

Con los datos que tenemos realizaremos la predicción on estática atica para un modelo AR(2) y para un modelo MA(1).

8

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

on de AR(2) Figura 8: Predicci´

on MA(1) Figura 9: Predicci´ Para el AR(2) se observa que tiene menor suma de los errores al cuadrado (RMSE), por lo tanto el modelo AR(2) se ajusta más as a los datos. 3.6. 3.6.

Sext Sexto o Pun Punto

Nos piden calcular los errores de predicción on para lu luego ego calcular calcu lar el estad´ıstico ıstico de Diebol Di ebold-Mari d-Mariano. ano. En el gráfico afico diferencial de la perdida al cuadrado (DSQ) con la perdida absoluta (DABS) nos muestra que el modelo AR(2) presenta menor error de predicción, on, por lo tanto podemos decir que se ajusta más as al modelo.

9

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

afica diferencial Figura 10: Gr´ 3.7.

S´ eptimo eptimo Punto

Por ultimo u ´ltimo calculamos el estad´ estad´ıstico de Diebold-Mariano mediante la regresión on de cada diferencial de p´ erdida erdida en una constante constante y calculamos calculamos el error est´ andar andar utilizando un HAC (tipo NeweyWest). Utilizando las funciones de pérdida erdida de valor al cuadrado cuadra do y absolutos se rechaza la hipótesis otesis nula de que la AR(2) y MA(1) son iguales al momento de predecir. Por lo tanto concluimos que el modelo AR(2) es más as preciso que el modelo MA(1).

10

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

4. 4.1.

Co Con ntr trol ol de Le Lect ctur ura a Indicador Indicador Treynor-M reynor-Mazur azury y

Es un indicador que sirve para anticiparse a la evolucióon n del mercado. Este indicador supone que si existe una estrategia de timing timing,, el retorno del portafolio ser´ ser´ıa una funci´ oon n creciente y convexa del retorno del mercado. Por ejemplo si un administrador de portafolio prevee un auge o una ca ca´´ıda este po podr dr´´ıa tomar la decisióon n de componer su portafolio de valores sensibles o no al mercado de capitales. Su fórmula ormula es la siguiente: r pt − rf   = α α + + β β 1 (rmt − rf t ) + β + β 2 (rmt − rf t )2 + εt 4.2. 4.2.

Model Modelo o EGAR EGARCH CH-M -M

Este modelo establece una relación on entre el diferencial de rentabilidad de un activo financiero o un portafolio de inversiones (r (r p ) y un activo libre de riesgo (r (rf ), y la varianza condicional del diferencial de estos rendimientos. Esto permite estimar la evolución on de la prima de riesgo en el tiempo. La especificación on funcional de ambas variables es la siguiente: + λσ λσt2 + εt r pt − rf   = θ θ + + x xt φ + + α|| w + + βLog βLog((σt2−1 ) + α Log((σt2 ) = w Log 4. 4.3. 3.

εt−1 εt−1 | + y( y ( ) σt−1 σt−1

Timi Timing ng

Habilidad para anticiparse a la evolución on del mercado. 4.4.. 4.4

´ Deter Determi minac naci´ i´ on on del Portafolio Optimo

Se determina cuando la recta del conjunto eficiente tiene la máxima pendiente.

11

Análisis de Series de Tiempo

4.5.. 4.5

Conca Concavid vidad ad del Conju Conjunt nto o Eficien Eficiente te

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

El portafolio que se escogerá será el que presente mayor retorno esperado en base a un riesgo definido es decir si se presentan dos portafolios con un mismo riesgo se escogerá el portafolio con mayor retorno esperado de igual manera el caso en que ambos portafolios tengan un mismo retorno el eficiente será el que presente menor riesgo es decir gráficamente aficamente tendera a la concavidad. 4. 4.6. 6.

Modelo odelo CAPM CAPM

Estee modelo Est modelo muest muestra ra la rel relaci ación ó n en entr tree el retor retorno no esper esperad adoo y su nive nivell de rie riesg sgoo (des (desvi viac aci´ i´ on on estáandar), ndar), es empleado cuando el mercado de capitales se encuentra en equilibrio. El modelo tiene 10 supuestos: 1. Los portafolios se evalúan uan mediante su retorno esperado y riesgo en un determinado periodo. 2. Entre dos portafolios idénticos enticos se escogerá el de menor riesgo. 3. Los inversionistas son adversos al riesgo. 4. Los valores son divisibles. 5. Existencia de una tasa libre de riesgo. 6. Los impuestos y costos de transacción on son irrelevantes. 7. Todos los inversionistas tienen el mismo horizonte. 8. La tasa libre de riesgo es la misma para todos los inversionistas. 9. Existencia de información on perfecta. 10. Las expectativas son homogéneas eneas entre los inversionistas.

5.

Prob Proble lema mass d de e c cic iclo loss pas pasad ados os

5.1.. 5.1

Mecan Mecanism ismo o de Ecuacio Ecuaciones nes en Difer Diferenc encia ia

Como se sabe: F   F   = T T Λ ΛT −1 Donde:

 

λ1 0 . . . 0

Λ =

0 λ2 0 0 .. .. . . .. . . . . 0

0 . . . λ p

 

12

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

 

 

φ1 φ2 . . . φ p 1

F   =

0 1 ... 0 1 .. .. . . .. .. . . . . . 0

0 ... 1

0

Si obtenemos la matriz columna de la matriz T como:

  

  

λ pi −2

t2 1

ti =

t3 1 .. . t p1

  

λ pi −1

t1 1

=

λ pi −3 .. . 1

  

Ademáas λ s λ 1 ,λ2 , . . . ,λ ,λ3 son distintos distinto s entre s´ı. Y λ i es el i-ésimo esimo valor propio pr opio de la matriz matr iz F, por lo que: F.t i = = λ λ i .ti . . . . . . (1)

 

       

λ pi −1

φ1 φ2 . . . φ p 1

F.ti =

λ pi −2

0 1 ... 0 1 .. .. . . .. .. . . . . . 0

0 ... 1

λ pi −3 .. .

0

= λ λ i λi .ti =

1

           

λ pi − 1 φ1 + + λ λ pi − 2 φ2 + + . . . . + + φ φ p λ pi − 1 φ1 λ pi − 2 φ2 .. .

=

λi

λ pi −1

λ pi

λ pi −2

λ pi −1

λ pi −3 .. .

=

λ pi −2 .. .

1 Los valores propios de la matriz F matriz F ((λ) deben satisfacer:

λi

  

  

+ φ φ1 + + λ λ pi − 2 φ1 + λ p = λ p−1 φ1 + + . . . . + + φ φ p Se cumplirá que: F.t que: F.t i = = λ λ i .ti . Ahora se tiene T tiene T    = [t1 t2 . . . t p ] y y T T T −1 = 1, entonces lo siguiente:

  

t11 t12 . . . t1 p

t21 t22 . . . t2 p .. .. . . .. . . . . t p1 t p2 . . . t pp

    

t11 t12 . . . t1 p

t21 t22 . . . t2 p .. .. . . .. . . . . t p1 t p2 . . . t pp 13

  

=

  

1 0 ... 0 0 1 ... 0 .. .. . . .. . . . . 0 0 ... 1

  

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

seraa equivalente a: ser

 

λ pi −1 λ pi −2 .. .

1

λ pi −1 λ pi −2

.. .

λ pi −1 λ pi −2

.. . ... . . . ...

t11

t12

t1 p

. ..

t21 t22 . . . t2 p .. .. . . .. . . . . t p1 t p2 . . . t pp

1 ... 1

Si p=2:

   

 

 

 

1 0 ... 0

=

0 1 ... 0 .. .. . . .. . . . .

0 0 ... 1

     λ1 λ2

t11 t12

1

t21 t22

1

=

1 0 0 1

λ1 t11 + λ2 t21 = 1 t11 + t21 = 0 λ1 − t11 + λ2 t21 = 1 t21 (λ2 − λ1 ) = 1 t21 =

1 1 ; t11 = λ2 − λ1 λ1 − λ2

se obte ob tend ndrr´ıa ıa:: 2 C 1 = = C C 11 11 t = λ 1

1 λ1 = λ2 − λ1 λ2 − λ1

21 C 2 = = C C 21 21 C = λ 2

1 λ2 = λ2 − λ1 λ2 − λ1

Si p=3:

 

λ21

λ22

λ23

λ1 λ2 λ3 1

1

1

  

t11

t12

t13

t21 t22 t23 t31 t32 t33

 

 

 

1 0 0

=

0 1 0 0 0 1

λ21 t11 + λ22 t21 + λ23 t31 = 1 . . . . . . (1) λ1 t11 + λ2 t21 + λ3 t31 = 0 . . . . . . (2) t11 + t21 + t31 = 0 . . . . . . (3)

14

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Si restamos (1) − (2) (2)λ λ3 : (λ22 − λ2 λ3 ) = 1 (λ21 − λ1 λ3 )t11 + (λ λ1 (λ1 − λ3 )t11 + λ2 (λ22 − λ3 )t21 = 1 . . . . . . (4)

Si restamos (2) − (3) (3)λ λ3 : (λ1 − λ3 )t11 + (λ (λ2 − λ3 )t11 = 0 . . . . . . (5)

Luego, si se resta (4) − (5) : (λ1 − λ3 )( )(λ λ1 − λ2 )t11 = 1 t11 =

1 1 1 ; t21 = ; t31 = (λ1 − λ3 )( )(λ λ1 − λ2 ) (λ2 − λ1 )( )(λ λ2 − λ3 ) (λ3 − λ1 )( )(λ λ3 − λ2 )

11

C = = t t t

⇒

λ21

11

(λ1 − λ3 )( )(λ λ1 − λ2 )

C 2 = = t t 12 t21 ⇒

λ22 (λ2 − λ1 )( )(λ λ2 − λ3 )

1

31

C 3 = = t t 13 t

λ23 ⇒ (λ3 − λ1 )( )(λ λ3 − λ2 )

Entonces, se puede generalizar como: C i =



λ pi −1 (λ p − λk )

p i=1 j  =k

Funci´ on on Impulso Respuesta

Formamos una ecuacióon n de orden1: At = = F F At−1 + + ε εt−1 . . . . . . (1)

      yt

yt−1

yt−2

=

0,6 t − 0,11 0,006 1

1

0

0

1

0 15

          yt−1 yt−2 yt−3

wt

+

0 0

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Iteramos la ecuacion ecuacion 1 un periodo atr atras: as: At−1 = F = F At−2 + ε + εt−1 . . . . . . (2)

Reemplazamos (2) en (1): At = F F ((F At−2 + + ε εt−1 ) + ε + εt−1 At = F = F 2 At−2 + + F F εt−1 + + ε εt−1 . . . . . . (3)

Iteramos (2) dos periodos atrás: as: + εt−2 . . . . . . (4) = F At−3 + ε At−2 = F

Reemplazamos (4) en (3): At = F = F 3 At−3 + + F F 2 εt−2 + + F F εt−1 + + ε εt

Si generalizamos: At+ j = F t+ j +1 A−1 + + ε εt + + F F εt+ j + + F F 2 εt+ j −2 + + . . . . + + F F t−1 ε j −1 + + F F t−1 ε j

 

yt+ j yt+ j −1 yt+ j −2

           = F t+ j +1

y−1

wt

y−2 +

0

y−3

0

 

wt+ j −1

+F

0 0

 

 

 

 

wt+ j −2

+F 2

0 0

 

 

w j −1

+. . .+F t−1

0 0

 

  

 

 

w j

+F t

0

Si tomamos a j=0:

 

yt−1 yt−2 yt−3

          wt

y−1

= F t+1

y−2

+

y−3

0 0

+ F

 

wt−1 0 0

 

wt−2

+ F 2

0 0

 

w j −1

+ . . . + F t−1

0 0

 

w0

+ F t

0 0

Resolviendo Resolv iendo se obtiene: obtiene: t+1 t+1 t+1 1 2 1 w0 + + . . . . (α) + . . . . + + F F 11 yt−2 + + F F 11 yt−1 + yt = F = F 11 y−1 + F + F 12 y−2 + F + F 13 y−3 + + w wt + F + F 11 t+1 t+1 t+1 C   = F 11 y−1 + + F F 12 y−2 + + F F 13 y−3

16

Análisis de Series de Tiempo

j

0

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

Donde F Donde F 11 es el elemento elemento (1,1) de la matriz F elevada elevada a la jj-esima esima potencia. Nos piden hallar: dy +1 dw t

t

Como j=0 y de (α ( α) se tiene: dy

t

=1

dw

t

 

yt+1 yt

yt−1

         y−1

= F t+2

y−2

wt+1

+

0 0

y−3

 

  

wt−1

wt

+ F

0

 

+ F 2

0

0 0

 

 

w1

+ . . . + + F F t

0 0

 

Si resolvemos, en la primera fila se tiene: 1 2 t yt+1 = = C C   + w + w t+1 + f 11 wt + f + f 11 wt−1 + + . . . . + + f f 11 wt

si j=1 tenemos: dy +1 dy +1 1 = 0 ,6 ⇒ = f 11 dw dw t

t

t

t

 

yt+2

yt+1 yt

         y−1

= F t+3

y−2

wt+2

+

0 0

y−3

 

 

wt+1

+ F

0 0

 

  

w2

wt

+ F 2

0

 

+ . . . + + F F t

0

0 0

 

en la primera fila se tiene: 2 t 1 + f f 11 wt + + . . . . + + f f 11 wt = C C   + w + w t+2 + f 11 wt+1 + yt+1 =

si j=2 tenemos: dy +2 dy +2 dy +2 2 = (0, (0,6) = (0 (0,,6)2 − 0,11 ⇒ ⇒ = f 11 dw dw dw t

5.2.

t

t

t

t

t

Cap´ Cap´ıtulo 1

Se propone que si los valores propios de F son menores que β que β −1 en módulos, odulos, entonces la inversa de (I  p − βF βF )) existe. Supongamos que la inversa de (I ( I  p − βF βF )) no exista, entonces la determinante |I  p − βF βF || deb deber er´´ıa ser cero. Pero

|I  p − βF βF || = | − β β ∗∗ [F   − β −1 I  p ]| = (−β ) p |F   − β −1 I  p |,

17

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

as´ı que | |F F   − β −1 I  p | deber deber´´ıa ser cero siempre que la inversa de (I  p − βF βF )) fallara en existir. Pero

esto significar signific arıa ıa que β

1

es un valor propio de F, el cual es regido por la asunci on que todos

los valores propios de F son estrictamente menores que β −1 en módulos. odulos. Por lo tanto,la matriz I  p − βF βF  debe debe ser no singular. Como [I [I  p − βF βF ]]−1 existe, eso satisface la ecuacióon n

[I  p − βF βF ]]−1 [I  p − βF βF ]] = I   pp esta ecuaci´ ecuaci´ on on se puede expresar como

 

x11 x12 · · · x1 p x21 x22 · · · x2 p .. .. .. . . ··· . x p1 x p2 · · · x pp

   

1 − βφ 1 1 − βφ 2 · · · −β .. .

0

1 ...

···

0

· ··

−βφ p−1 −βφ p

···

0 ...

0 ...

−β

1

 

=

 

 

1 0 ··· 0 0 1 ··· 0 .. .. . . . · · · ..

0 0 ··· 1

Como nos piden el elemento (1,1) solo necesitamos encontrar el valor de x1 1, as´ as´ı que solo nos interesa la primera fila de las matrices 1 − βφ 1 1 − βφ 2 · · ·



x11 x12 · · · x1 p

 

−.β ..



0

1. ..

··· ···

0

···

−βφ p−1 −βφ p

0. ..

0. ..

−β

1

 

= 1 0 ··· 0



Multiplicamos la p-éesima sima columna de la matriz por β por β  y y agregamos el resultado a la (p-1)-ésima esima columna:



x11 x12 · · · x1 p

   

−βφ p−1 −

1 − βφ 1 1 − βφ 2 · · · −β .. . 0

1 ...

···

···

0

···

0 ...

0

β 2 φ

−βφ p

p

0 ...

1

  



= 1 0 ··· 0

Luego multiplicamos la (p-1)-ésima esima columna por β β    y agregamos el reusltado a la (p-2)-ésima esima columna. Siguiendo esa tendencia llegaremos a

   

1 − βφ 1 − β 2 φ2 − . . . − β  p−1 φ p−1 − β  p φ p −βφ 2 − β 2 φ3 − . . . − β  p−1 φ p · · ·



x11 x12 · · · x1 p ×



= 1 0 ··· 0



−β .. .

0

1 ...

···

···

0

···

entonces

18

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

x11 ∗ (1 − βφ 1 − β 2 φ2 − . . . − β  p−1 φ p−1 − β  p φ p ) = 1

−βφ p

x11 = 1/(1 − βφ 1 − β 2 φ2 − . . . − β  p−1 φ p−1 − β  p φ p ) 5.3.

Cap´ Cap´ıtulo 3

Denotamos un AR(2)

+ ε εt + φ φ2 Y t−2 + Y t = = c c + + φ φ1 Y t−1 + usamos la notación on de operador rezago,

(1 − φ1 L − φ2 L2 )Y t = c c + + ε εt

(α)

la ecuación on es estable siempre que la ra´ ra´ız de

(1 − φ1 z − φ2 z 2 ) = 0 este fuera del c´ırculo unitario. Cuando esa condicióon n es cumplida, el proceso AR(2) resulta ser de covarianza estacionaria, y la inversa del operador autorregresivo es dado por ψ (L) = (1 − φ1 L − φ2 L2 )− 1 = ψ 0 + + ψ ψ1 L + + ψ ψ2 L2 + ψ3 L3 + . . . Multiplicando ambos lados de (α (α) por ψ por ψ((L) obtenemos

= ψ((L)c + + ψ ψ((L)εt Y t = ψ Es demostrado que

ψ (L)c = c/ = c/(1 (1 − φ1 − φ2 ) 5.4.

Cap´ Cap´ıtulo 4

Considerando Consid erando un proceso ARMA(p.q) estacionario e invertibl invertible: e:

(1 − φ1 L − φ2 L2 − . . . − φ p L p )( )(Y Y t − µ) = (1 + θ + θ1 L + + θ θ2 L2 + . . . + + θ θq Lq )εt



(Y Y t +1 +1||t − µ) = φ 1 (Y t − µ) + φ2 (Y t−1 − µ) + . . . + φ p (Y t− p+1 − µ) + θ1 εt + θ2 εt−1 + . . . + θq εt−q +1

 

 

con εt generado recursivamente desde



19

Análisis de Series de Tiempo

Solucionario Primera Praactica ćtica Calificada

 

εt = = Y Y t − Y Yt |t−1

Las predicciones de los periodos en adelante ser´ıan ıan

  











(Y Y t +s|t − µ) = φ1 (Y Yt +s−1|t − µ) + φ + φ2 (Y Yt +s−2|t − µ) + . + . . . + + φ φ p (Y Yt +s− p|t − µ) + θ + θs εt + + θ θs+1 εt−1 + . . . + + θ θq εt+s−q

 

para s para s = = 1, 2, . . . , q



(Y Y t +s|t − µ) = φ 1 (Y Y t +s−1|t − µ) + φ + φ2 (Y Yt +s−2|t − µ) + . + . . . + + φ φ p (Y Yt +s− p|t − µ)

para s para s = = q q  + + 1, 1 , q  + + 2, 2, . . .

donde



Y Yτ   |t = Y τ τ   para τ para τ    ≤ t

Por lo tanto para una predicción on cuyo horizonte s es más a s grande que el orden q de la parte de media móvil ovil del proceso, las predicciones seguirán an una ecuacióon n en diferencia de orden p gobernado solamente por los parámetros ametros autorregresivos. 5.5. 5.5.

Bonus onus 2

a) X n = φX = φX n−2 + Z + Z n + Z Z n ) E (X n ) = E (φX n−2 + = φµ + 0 µ = φµ + µ = 0 + σ 2 = σ 2 + Z Z n2 ) = 0 + 0 + σ C ov( ov (X n , X n ) = E (X n .X n ) = E (φ2 X n2−2 + 2 ∗ φX n−2 ∗ Z n + C ov( ov (X n , X n−h ) = E (X n .X n−h ) = E (φX n−2 + + Z Z n .X n−h ) = φ ∗ 0 + 0 = 0 2

ρx ρx((h) = γ (h)/γ (0) (0) = 0/σ 0/σ = 0 b) V ar ar[( [(X X 1 + X + X 2 + + X X 3 + + X X 4 )/4] 1 [V ar( ar (φX −1 + + φX φX 0 + φX + φX 1 + φX + φX 2 ) + V + V ar( ar (Z 1 + + Z Z 2 + + Z Z 3 + + Z Z 4 )] 16 1 11σ 4 σ 2 ] = 0,11 [(0 [(0,,9)2 (4 (4σ σ 2 = 0,11 σ 2 ) + 4σ 16 c) V ar ar[( [(X X 1 + + X X 2 + + X X 3 + X + X 4 )/4] 1 [V ar( ar (φX −1 + + φX φX 0 + φX + φX 1 + φX + φX 2 ) + V + V ar( ar (Z 1 + + Z Z 2 + + Z Z 3 + + Z Z 4 )] 16 1 [( [(− −0,9)2 (4 (4σ σ 2 ) + 4σ 4 σ 2 ] = 0,11 11σ σ 2 = 0,11 16 20

FACULT ACULTAD DE INGENIERÍA ECONÓMICA, EST ESTADÍSTICA ADÍSTICA Y CC.SS

SOLUCIONARIO DE LA 1PC

SERIES DE TIEMPO SECCIÓN L ALUMNOS: AGUILAR PUMA, JUAN LUIS ARANGO ZÚÑIGA, ROCÍO CARRASCO FLORES, CHRISTIAN CHÁVEZ MENDOZA, NICK CUENCA OSTOS, KAREL DEUDOR CONDEZO, CRISTIAN DIESTRA BULNES, CHRISTIAN ESCOBAR LIVIAS, DANIEL GARCÍA RIVERA, ARTURO MORALES SUCLUPE, WENDY OTAZU MITMA, NATHALY PRADO BARZOLA, RAFAEL ROJAS ESPINOZA, JOHAO ROJAS POLO, LEO SAIRE SAIRE, RAÚL SIRHUAS VARGAS, MANUEL TONCONI ALMENDRE, ALONSO YAÑAC CARRASCO, EDUARDO Curso: Análisis de Series de Tiempo -EC 711L Profesor: Ph.D CAPARÓ CORONADO, RAFAEL JIMMY Jefe de Práctica: VILLAFUERTE CHAVEZ, DANIEL A.

1

1.

Pregun Preguntas tas Teór eórica icass y Demost Demostrac racione ioness

1.1.. Proc 1.1 Proceso eso Est Estacio acionar nario io ARM ARMA A 1.1.1. Pregunta Pregunta 1: Inv Invertib ertibilidad ilidad

En esta sección, se pide a Ud. que demuestre la propiedad de invertibilidad generalizada para un proceso AR(p) y MA(q).

SOLUCIÓN

Un modelo MA(q) se puede escribir como: yt = θ o + θ1εt 1 + θ2 εt 2 + ... ... + + θ θq εt q + εt 1 2 q yt = θ o + θ + θ1L εt + θ2L εt + ... + ... + + θq L εt q + εt yt = θ o + (1 + θ + θ1L1 + θ2 L2 + ... ... + + θq Lq )εt −

−

−

−

Si m(q) se puede escribir como un modelo AR AR((∞)utilizando la inversa inversa del (1 + θ1 L1 + θ2 L2 + ... ... + + θq Lq ), entonces se dice que MA(q) es invertible. Condición suficiente para la invertibilidad: Que todas las raíces del polinomio (1 + θ1 L + θ2 L2 + ... ... + + θ θq Lq )=0 estén fuera del rango de la unidad. 1

MA(q): yt − θo = (1 + θ1 L1 + θ2 L2 + ... ... + + θq Lq )εt Si todas las raíces están fuera del circulo de la unidad tenemos que:

(1 + n + n1 L1 + n2 L2 + ... ... + + n nq Lq ) = (1 + θ1 L1 + θ2 L2 + ... + ... + θq Lq )

1

−

Entonces: (1 + n + n1 L1 + n2 L2 + ... ... + + n nq Lq )( )(yyt − φo ) = ε t

Es un AR AR((∞) representación del modelo MA(q) Para un modelo AR(p) el procedimiento es idéntico al modelo anterior pero de manera inversa. 2

1.1.2. Pregunta Pregunta 22:: Estacionar Estacionaridad idad en sen sentido tido Dé Débil bil y en sentido sentido Est Estrict rictoo

En esta sección, se pide a Ud. que defina la estacionaridad en sentido débil y en sentido sent ido estricto estricto;; mostrando mostrando las propiedades propiedades de cada una de estas estas..

SOLUCIÓN

a) Estacionaridad en sentido estricto. Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto si cualquier conjunto de ”n” observaciones de la variable aleatoria y t mantiene la misma distribución de probabili ” n” observaciones medido en otro momento de tiempo dad conjunta que otro conjunto de ”n ”K ” periodos más adelante o más atrás yt+k .

F ((yt , yt+1, yt+2, .. F .... ..yyt+m ) = F F ((yt+k , yt+k+1, yt+k+2, .... ....yyt+k+m )

b) Estacionaridad en sentido débil. Una series será débilmente estacionaria o de covarianza estacionaria, si para cualquier momento del tiempo sus primeros y segundos momentos son independientes del tiempo. Estos tendrán media, varianza y covarianza constantes. Ejemplo para el caso de una distribución normal: i) E E ((yt ) = µ ii) V ar ar((yt ) = σ 2 iii) C ov ov((yt, yt k ) = γ k −

3

1.2. 1.2. Pr Pred edic icci ción ón

Sea el proceso estacionario en covarianza yt un proceso ergódico, por ejemplo, un proceso ARMA(p,q)con la representación de Wold.

∞

2

yt = µ +

ψ ε

j =0

t t− j , εt ∼

RB(0 RB (0,, σ )

Y sea I t = yt , yt 1 ,... el conjunto de información disponible al momento t.



−



1.2.1. 1.2. 1. Demost Demostrac ración ión Predic Predicció ción n1

La predicción del error cuadrático medio mínimo (Minimum MSE) - la mejor predicción dicci ón de yt+h basado en I t es: yt+h | t = E [yt+h | I t ]

SOLUCIÓN

Si estamos interesados en predecir el valor de una variable Y t+h basados en un con junto de variables Y t observadas a la fecha t, es necesario minimizar la función de perdida. Entonces: EC M M ((Y t+h | t) = E (Y t+h − Y t+h | t)

La predicción con el menor error cuadrático medio asociado resulta ser la esperanza de Y t+h condicionada a I t : Y t+h = E = E (Y t+h | I t )

4

Para verificar esta afirmación, suponemos lo siguiente:

Y t+h | t = g = g((I t )

Paraa esta función candidata, el ECM sería: Par E [Y t+h − g (I t )]2 = E [Y t+h − E (Y t+h | I t ) + E + E (Y t+h | I t ) − g (I t )]2 )][E (Y t+h | I t ) − g (I t)] = E [Y t+h − E (Y t+h | I t )]22 + 2E [Y t+h − E (Y t+h | I t )][E + E [E (Y t+h | I t ) − gt ]

El término medio se puede escribir como: 2E [nt+h ]

donde nt+h = [Y t+h − E (Y t+h | I t )][E )][E (Y t+h | I t ) − g (I t )] Consideremos en primer lugar la esperanza de nt+h condicionada a I t . Los términos E (Y t+h | I t ) g t a I t , sona:constante constantess conocidas, por ello pueden ser factorizadass fuera y de ,lacondicionados rizada esperanza matemática: matemátic

E [nt+h ] = [Y t+h − E (Y t+h | I t )] ∗ [E (Y t+h | I t ) − g(I t )] = 0* [E (Y t+h | I t ) − g(I t )] = 0

Reemplazando este resultado y teniendo en cuenta la ley de expectativas liberadas, de la ecuación se obtiene: E [(Y [(Y t+h | I t ) − gt ]2 = E [Y t+h − E (Y t+h | I t)]2 + E (E [[(Y (Y t+h | I t ) − gt ]2 )

El segundo término del lado derecho de la ecuación anterior no puede ser menor que cero y el primero, no depende de g g((I t ). Por ello la función g( g (I t ) que hace que el ECM sea el menor posible, es la que se logra haciendo en segundo término igual a cero: E (Y t+h | I t ) − g (I t ) = 0 E (Y t+h | I t ) = g( g (I t )

Así la predicción g g((I t )que minimiza minimiza el error cuadrático cuadrático medio es la esperanza condicional E (Y t+h | I t ) tal como se había afirmado.

5

1.2.2. 1.2. 2. Demost Demostrac ración ión Predic Predicció ción n2

La predicción lineal del mínimo error cuadrático medio (el mejor predictor) de yt+h basado en I t es: yt+h | t = µ + ψt εt + ψh+1εt+1 + ... + ...

SOLUCIÓN

Aplicando el teorema de la predicción lineal del mínimo error cuadrático medio, tenemos: yt+h |t = E [Y t+h | I t ] = E [(µ [(µ + ψo εt+h + ψ1 εt+h 1 + ψ2 εt+h 2 + ... + ψh εt+ + ψh+1εt 1 + ψh+2εt 2 + ...) ...) | I t ] −

−

−

−

−

−

o εt+h | I t ) + E (ψ1 εt+h 1 | I t ) + ... + = (E | I t ) + E (+ψ ... ... + E E (ψh εt | I t ) + E (ψh+1εt I t) + E + E ψ(hµ +2 εt 2 | I t ) + ... = µ + 0 + 0 + ... ... + + ψh εt + ψh+1εt 1 + ψh+2εt 2 ... = µ + ψh εt + ψh+1εt 1 + ψh+2εt 2... −

−

−

−

−

6

2 Ejercicios aplicativos

1

|

2.1 Ecuaciones en Diferencia y FIR 2.1.1 FIR:Función Impulso respuesta

Considerar Conside rar la siguient siguientee ecuación ecuación en difer diferencia encia de orden 4: yt = 0,5yt

1

−

− 0,8yt 2 + 0, 0 ,006 006yyt 3 + 0, 0 ,016 016yyt 4 + wt −

−

−

dónde w t ∼ RB RB(0 (0,, σ 2 ), se pide a usted: (a) hallar la FIR para j=0.1.2.3

Para j=0 ∂y t =1 ∂w t

Para j=1 yt+1 = 0,5yt − 0,8yt 1 + 0, 0 ,006 006yyt 2 + 0,016 016yyt 3 + w + wt+1 −

−

−

∂y t+1 ∂y t+0 = 0,5 = 0,5 ∂w t ∂w t

Para j=2 yt+2 = 0,5yt+1 − 0,8yt + 0, 0 ,006 006yyt 1 + 0,016 016yyt 2 + w + wt+2 −

∂y t+2 ∂w t

= 0,5

∂y t+1

− 0,8

∂w t

∂y t

−

= −0,55

∂w t

Para j=3 yt+3 = 0,5yt+2 − 0,8yt+1 + 0, 0 ,006 006yyt + 0,016 016yyt 1 + w + wt+3 −

∂y t ∂y t+1 ∂y t+2 ∂y t+3 = −0,669 + 0, 0,006 − 0,8 = 0,5 ∂w t ∂w t ∂w t ∂w t

7

(b) Determinar Determinar FIR para 30 prime primeros ros pperiodos eriodos en MATLAB: MATLAB:

Este ejercicios consiste en hacer una simulación de un AR(4) para los 30 primeros periodos: Código en Matlab:

phi1 = 0.5 phi2 = -0.8 phi3 = 0.06 phi4 = 0.016 Luego se va crear la matriz F: F   = [ phi1 phi1 phi phi22 phi phi33 phi phi4; 4; 1000; 1000; 010 0100; 0; 000 0001] 1]

Con el comando iegenvalues va calcular los valores de los valores propios. vp1=eigenvalues(1,1) vp2=eigenvalues(2,1) vp3=eigenvalues(3,1) vp4=eigenvalues(4,1) Luego, cada uno de los coeficientes: c1 = vp v p13 /(vp1 vp 1 − vp2) vp 2) ∗ (vp1 vp1 − vp3) vp 3) ∗ (vp1 vp 1 − vp vp4) 4) c2 = vp v p23 /(vp2 vp 2 − vp1) vp 1) ∗ (vp2 vp2 − vp3) vp 3) ∗ (vp2 vp 2 − vp vp4) 4) 3 c3 = vp v p3 /(vp3 vp 3 − vp1) vp 1) ∗ (vp3 vp3 − vp2) vp 2) ∗ (vp3 vp 3 − vp vp4) 4) 3 c4 = vp v p4 /(vp4 vp 4 − vp1) vp 1) ∗ (vp4 vp4 − vp2) vp 2) ∗ (vp4 vp 4 − vp vp3) 3)

Por ultimo se procede a crear el bucle que me genera la FIR para los 30 primeros periodos: forj = 1 : 30 forj = F I R( j) j ) = c1 c1 ∗ vp1 vp 1 j + c2 ∗ vp2 vp2 j + c3 ∗ vp3 vp 3 j + c c44 ∗ vp vp44 j end

8

2.2 Ejercicio 2: Procesos estacionarios ARMA

je c c o

ocesos estac o a os

R

2.2.1 Estacionariedad en sentido débil supuestos:

t E (E y(t ,yy)t)==0 γ 0 E (yt , yt j ) = γ  j j −

ARMA(2,1): yt = 0,4yt 1 + 0, 0 ,5yt 2 + εt + εt −

−

1

−

 0,4 + 4 ∗ 0,5 λ = = 0,9348 2  0,4 − 0,4 + 4 ∗ 0,5 0,4 +

2

1

2

λ2 =

2

= −0,5348

| λ2 | son menores a 1, entonces el proceso es estacionario. Como |λ1 | y |λ

ARMA(2,0): yt = 0,5yt 1 + 0, 0 ,04y 04yt 2 + εt −

−

 0,5 + 4 ∗ 0,04 λ = = 0,5701 2  0,5 − 0,5 + 4 ∗ 0,04 0,5 +

2

1

2

λ2 =

2

= −0,0701

Como |λ1 | y |λ | λ2 | son menores a 1, entonces el proceso es estacionario. ARMA(2,2): yt = 1,4yt

1

−

− 0,78y 78yt 2 + ε + εt + 1, 1 ,3εt 1 + 1,4εt −

−

2

−

 0,5 − 4 ∗ 0,78 λ = = 0,7 + 0, 0 ,538 538ii 2  1,4 − 0,5 − 4 ∗ 0,78 1,4 +

2

1

2

λ2 =

2

= 0,7 − 0,538 538ii

Como los valores alores propios propios son complejos complejos entonces entonces tomamos el módulo. R =

 0,7

2

+ 0, 0,5382 = 0,8831

9

Como R es menor a 1 entonces el proceso es estacionario. ARMA(2,0): yt = 1,9yt 1 + 0, 0 ,1yt 2 + εt −

−

 1,9 + 4 ∗ 0,1 λ = = 1,9512 2  1,9 − 1,9 + 4 ∗ 0,1 1,9 +

2

1

2

λ2 =

2

= −0,0512

Como |λ1 | es mayor a 1 y |λ2 | es menor a 1, entonces el proceso no es estacionario.

10

2.2.2 Función de autocovarianzas y funciones de Autocorrelación a) ARMA (2,1): yt = 0,4yt−1 + 0 ,5yt−2 + εt + εt−1 (a.i) Hallar su forma

MA(∞)

y mostrar los tres primeros coeficientes: Solución:

yt = 0,4yt 1 + 0, 0 ,5yt 2 + ε + εt + ε + εt −

−

1

−

(1 − 0,4L − 0,5L2 )yt = ε t + εt

1

−

2

1

−

−

yt = (1 − 0,4L − 0,5L ) (εt + ε + εt 1 ) yt = φ( φ (L) 1(εt + εt 1 ) −

−

La inversa del operador autoregresivo está dado por:

ϕ(L) = (1 − 0,4L − 0,5L2 )

1

−

= ϕ0 + ϕ + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3L3 + ...) ...)

Entonces:

(1 − 0,4L − 0,5L2 )( )(ϕ ϕ0 + ϕ + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3 L3 + ...) ...) = 1 ϕ0 + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3 L3 + ... − 0,4ϕ0L − 0,4ϕ1L2 − 0,4ϕ2 L3 − ... − 0,5ϕ0 L2 − 0,5ϕ1L3 − 0,5ϕ2 L4... ... = = 1

Calculando los tres primeros coeficientes:

11

ϕ0 = 1

Entonces hallamos el primer coeficiente:

ϕ1 − 0,4ϕ0 = 0 ϕ1 = 0,4

Hallamos el segundo coeficiente:

ϕ2 − 0,4ϕ1 − 0,5ϕ0 = 0 ϕ2 = 0,4ϕ1 + 0, 0 ,5ϕ0 ϕ2 = 0,4(0 4(0,,4) + 0, 0,5(1) ϕ2 = 0,66

Hallamos el tercer coeficiente:

ϕ3 − 0,4ϕ2 − 0,5ϕ1 = 0 ϕ3 = 0,4ϕ2 + 0, 0 ,5ϕ1 ϕ3 = 0,4(0 4(0,,66) + 0, 0,5(0 5(0,,4) ϕ3 = 0,464

(a.ii) Hallar la función de autocovarianza de orden j=0,1,2,3 E (yt , yt k ) = E ((0, ((0,4yt 1 + 0, 0 ,5yt 2 + εt + εt 1 )( )(yyt k )) −

−

−

−

−

E (yt , yt k ) = 0,4E (yt 1 , yt k ) + 0, 0 ,5E (yt 2 , yt k ) + E + E (εt , yt k ) + E + E (εt 1 , yt k ) −

−

−

−

Si k=0

12

−

−

−

−

E (yt , yt ) = 0,4E (yt 1 , yt ) + 0, 0 ,5E (yt 2 , yt ) + E + E (εt , yt ) + E + E (εt 1 , yt ) −

−

−

γ (0) (0) = 0, 0,4γ (1) (1) + 0, 0,5γ (2) (2)

Si k=1

E (yt , yt 1 ) = 0,4E (yt 1 , yt 1 ) + 0, 0 ,5E (yt 2 , yt 1 ) + E + E (εt , yt 1 ) + E + E (εt 1 , yt 1 ) −

−

−

−

−

−

−

−

(1) = 0, 0,4γ (0) (0) + 0, 0,5γ (1) (1) γ (1) (1 − 0,5)γ 5)γ (1) (1) = 0, 0,4γ (0) (0) γ (1) (1) = 0, 0,2γ (0) (0)

Si k=2

E (yt , yt 2 ) = 0,4E (yt 1 , yt 2 ) + 0, 0 ,5E (yt 2 , yt 2 ) + E + E (εt , yt 2 ) + E + E (εt 1 , yt 2 ) −

−

−

−

−

−

−

−

γ (2) (2) = 0, 0,4γ (1) (1) + 0, 0,5γ (0) (0) γ (2) (2) = 0, 0,4(0 4(0,,2γ (0)) (0)) + 0, 0,5γ (0) (0) γ (2) (2) = 0, 0,58γ 58γ (0) (0)

Si k=3

E (yt , yt 3 ) = 0,4E (yt 1 , yt 3 ) + 0, 0 ,5E (yt 2 , yt 3 ) + E + E (εt , yt 3 ) + E + E (εt 1 , yt 3 ) −

−

−

−

−

γ (3) (3) = 0, 0,4γ (2) (2) + 0, 0,5γ (1) (1) γ (3) (3) = 0, 0,4(0 4(0,,58γ 58γ (0)) (0)) + 0, 0,5(0 5(0,,2γ (0)) (0)) γ (3) (3) = 0, 0,332 332γ γ (0) (0)

13

−

−

−

(a.iii) Hallar la función de autocorrelación simple para j=0,1,2,3 Γ0 = γ γ = 1 0

0

Γ1 = γ γ = 0,γ 2γ = 0,2 1 0

0

0

γ Γ2 = γ γ = 0,58 = 0,58 γ 2 0

0

0

γ Γ3 = γ γ = 0,332 = 0,332 γ 3 0

0

0

(a.iv) Expresar la función generatriz de autocovarianzas

∞

∞

2



G(z ) = σ (

h

ϕh Z )(

j =0

h=0

14



ϕ j Z j ) −

b) ARMA (2,0): yt = 0,5yt−1 + 0 ,04yt−2 + εt (b.i) Hallar su forma

MA(∞)

y mostrar los tres primeros coeficientes: Solución:

yt = 0,5yt 1 + 0, 0 ,04y 04yt 2 + εt −

−

(1 − 0,5L − 0,04L 04L2 )yt = ε t 2

1

−

yt = (1 − 0,5L − 0,04 04L L ) (εt) yt = φ( φ (L) 1 (εt ) −

La inversa del operador autoregresivo está dado por:

04L2 ) ϕ(L) = (1 − 0,5L − 0,04L

1

−

= ϕ 0 + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3 L3 + ...) ...)

Entonces:

(1 − 0,5L − 0,04L 04L2 )( )(ϕ ϕ0 + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3 L3 + ...) ...) = 1 ϕ0 + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3 L3 + ... − 0,5ϕ0 L − 0,5ϕ1 L2 − 0,5ϕ2L3 − ... − 0,04 04ϕ ϕ0 L2 − 0,04ϕ 04ϕ1 L3 − 0,04ϕ 04ϕ2 L4 ... = ... = 1

Calculando los tres primeros coeficientes:

15

ϕ0 = 1

Entonces hallamos el primer coeficiente:

ϕ1 − 0,5ϕ0 = 0 ϕ1 = 0,5

Hallamos el segundo coeficiente:

ϕ2 − 0,5ϕ1 − 0,04 04ϕ ϕ0 = 0 ϕ2 = 0,5ϕ1 + 0,04 04ϕ ϕ0 ϕ2 = 0,5(0 5(0,,5) + 0, 0,04(1) ϕ2 = 0,29

Hallamos el tercer coeficiente:

ϕ3 − 0,5ϕ2 − 0,04 04ϕ ϕ1 = 0 ϕ3 = 0,5ϕ2 + 0,04 04ϕ ϕ1 ϕ3 = 0,4(0 4(0,,29) + 0, 0,02(0 02(0,,5) ϕ3 = 0,165

(b.ii) Hallar la función de autocovarianza de orden j=0,1,2,3 E (yt , yt k ) = E ((0, ((0,5yt 1 + 0, 0 ,04 04yyt 2 + ε + εt )( )(yyt k )) −

−

−

−

E (yt , yt k ) = 0,5E (yt 1 , yt k ) + 0, 0 ,04E 04E (yt 2 , yt k ) + E + E (εt , yt k ) −

−

−

−

Si k=0

16

−

−

E (yt , yt) = 0,5E (yt 1 , yt ) + 0, 0 ,04E 04E (yt 2 , yt ) + E + E (εt , yt ) −

−

γ (0) (0) = 0, 0,5γ (1) (1) + 0, 0,04 04γ γ (2) (2)

Si k=1

E (yt , yt 1) = 0,5E (yt 1 , yt 1 ) + 0, 0 ,04E 04E (yt 2 , yt 1 ) + E + E (εt , yt 1 ) −

−

−

−

−

−

(1) = 0, 0,5γ (0) (0) + 0, 0,04 04γ (1) γ (1) γ (1) (1 − 0,04) 04)γ γ (1) (1) = 0, 0,5γ (0) (0) γ (1) (1) = 0, 0,52γ 52γ (0) (0)

Si k=2

E (yt , yt 2) = 0,5E (yt 1 , yt 2 ) + 0, 0 ,04E 04E (yt 2 , yt 2 ) + E + E (εt , yt 2 ) −

−

−

−

−

−

γ (2) (2) = 0, 0,5γ (1) (1) + 0, 0,04 04γ γ (0) (0) γ (2) (2) = 0, 0,52 γ (0)) (0)) + 0, 0,04 04γ γ (0) (0) γ (2) (2) = 0, 0,31γ 31γ (0) (0)

Si k=3

E (yt , yt 3) = 0,5E (yt 1 , yt 3 ) + 0, 0 ,04E 04E (yt 2 , yt 3 ) + E + E (εt , yt 3 ) −

−

−

−

−

γ (3) (3) = 0, 0,5γ (2) (2) + 0, 0,04 04γ γ (1) (1) γ (3) (3) = 0, 0,5(0 5(0,,31γ 31γ (0)) (0)) + 0, 0,04(0 04(0,,52 52γ γ (0)) (0)) γ (3) (3) = 0, 0,176 176γ γ (0) (0)

17

−

(b.iii) Hallar la función de autocorrelación simple para j=0,1,2,3 Γ0 = γ γ = 1 0

0

γ Γ1 = γ γ = 0,52 = 0,52 γ 1 0

0

0

γ Γ2 = γ γ = 0,31 = 0,31 γ 2 0

0

0

γ Γ3 = γ γ = 0,176 = 0,176 γ 3 0

0

0

(b.iv) Expresar la función generatriz de autocovarianzas

∞

∞

2



G(z ) = σ (

h

ϕh Z )(

j =0

h=0

18



ϕ j Z j ) −

c) ARMA (2,2): yt = 1,4yt−1 − 0,78yt−2 + εt + 1 ,3εt−1 + 1 ,4εt−2 (c.i) Hallar su forma

MA(∞)

y mostrar los tres primeros coeficientes: Solución:

yt = 1,4yt

1

−

− 0,78y 78yt 2 + εt + 1, 1 ,3εt 1 + 1, 1 ,4εt −

−

(1 − 1,4L + 0, 0,78L 78L2)yt = ε = ε t + 1, 1 ,3εt 1 + 1, 1 ,4εt −

2

yt =

2

−

2

−

1

−

−

−

(1 − 1,4L + 0, 0,78L 78L ) (εt + 1, 1 ,3εt 1 + 1, 1 ,4εt 2 ) yt = φ( φ (L) 1 (εt + 1, 1 ,3εt 1 + 1, 1 ,4εt 2 ) −

−

−

La inversa del operador autoregresivo está dado por:

0,78L 78L2 ) ϕ(L) = (1 − 1,4L + 0,

1

−

= ϕ 0 + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3 L3 + ...) ...)

Entonces:

(1 − 1,4L + 0, 0,78L 78L2)( )(ϕ ϕ0 + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3L3 + ...) ...) = 1 ϕ0 + ϕ1 L + ϕ2 L2 + ϕ3 L3 + ... − 1,4ϕ0L − 1,4ϕ1 L2 − 1,4ϕ2 L3 − ... + ... + 0, 0,78 78ϕ ϕ0 L2 + 0,78ϕ 78ϕ1 L3 + 0, 0,78ϕ 78ϕ2 L4 ... = ... = 1

Calculando los tres primeros coeficientes:

19

ϕ0 = 1

Entonces hallamos el primer coeficiente:

ϕ1 − 1,4ϕ0 = 0 ϕ1 = 1,4

Hallamos el segundo coeficiente:

ϕ2 − 1,4ϕ1 + 0, 0 ,78 78ϕ ϕ0 = 0 ϕ2 = 1,4ϕ1 − 0,78 78ϕ ϕ0 ϕ2 = 1,4(1 4(1,,4) − 0,78(1) ϕ2 = 1,18

Hallamos el tercer coeficiente:

ϕ3 − 1,4ϕ2 + 0, 0 ,78 78ϕ ϕ1 = 0 ϕ3 = 1,4ϕ2 − 0,78 78ϕ ϕ1 ϕ3 = 1,4(1 4(1,,18) − 0,78(1 78(1,,4) ϕ3 = 0,56

(c.ii) Hallar la función de autocovarianza de orden j=0,1,2,3 E (yt , yt k ) = E ((1, ((1,4yt −

1

−

− 0,78y 78yt 2 + εt + 1, 1 ,3εt 1 + 1, 1 ,4εt 1 )( )(yyt k )) −

−

−

−

E (yt , yt k ) = −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

1,4E (yt 1 , yt k ) − 0,78E 78E (yt 2 , yt k ) + E + E (εt , yt k ) + 1, 1 ,3E (εt 1 , yt k ) + 1, 1 ,4E (εt 2 , yt k )

20

Si k=0

E (yt , yt ) = 1,4E (yt 1 , yt ) − 0,78E 78E (yt 2 , yt ) + E + E (εt , yt) + 1, 1 ,3E (εt 1, yt ) + 1, 1 ,4E (εt 2 , yt ) −

−

−

−

γ (0) (0) = 1, 1,4γ (1) (1) − 0,78 78γ γ (2) (2)

Si k=1

E (yt , yt 1 ) = −

1,4E (yt 1 , yt 1 ) − 0,78E 78E (yt 2, yt 1 ) + E + E (εt , yt 1 ) + 1, 1 ,3E (εt 1 , yt 1 ) + 1, 1 ,4E (εt 2 , yt 1) −

−

−

−

−

−

−

−

−

γ (1) (1) = 1, 1,4γ (0) (0) − 0,78 78γ γ (1) (1) (1 + 0, 0,78) 78)γ γ (1) (1) = 1, 1,4γ (0) (0) γ (1) (1) = 0, 0,7865 7865γ γ (0) (0)

Si k=2

E (yt , yt 2 ) = −

1,4E (yt 1 , yt 2 ) − 0,78E 78E (yt 2, yt 2 ) + E + E (εt , yt 2 ) + 1, 1 ,3E (εt 1 , yt 2 ) + 1, 1 ,4E (εt 2 , yt 2) −

−

−

−

−

−

−

−

−

γ (2) (2) = 1, 1,4γ (1) (1) − 0,78 78γ γ (0) (0) γ (2) (2) = 1, 1,4(0 4(0,,7865 7865γ γ (0)) (0)) + 0, 0,5γ (0) (0) γ (2) (2) = 1, 1,6011 6011γ γ (0) (0)

Si k=3

E (yt , yt 3 ) = −

1,4E (yt 1 , yt 3 ) − 0,78E 78E (yt 2, yt 3 ) + E + E (εt , yt 3 ) + 1, 1 ,3E (εt 1 , yt 3 ) + 1, 1 ,4E (εt 2 , yt 3) −

−

−

−

−

γ (3) (3) = 1, 1,4γ (2) (2) − 0,78 78γ γ (1) (1)

21

−

−

−

−

γ (3) (3) = 1, 1,4(1 4(1,,6011 6011γ γ (0)) (0)) + 0, 0,5(0 5(0,,7865 7865γ γ (0)) (0)) γ (3) (3) = 2, 2,6347 6347γ γ (0) (0)

(c.iii) Hallar la función de autocorrelación simple para j=0,1,2,3

Γ0 = γ γ = 1 0 0

γ Γ1 = γ γ = 0,7865 = 0,7865 γ 1 0

0

0

γ Γ2 = γ γ = 1,6011 = 1,6011 γ 2 0

0

0

γ Γ3 = γ γ = 2,6347 = 2,6247 γ 3 0

0

0

(c.iv) Expresar la función generatriz de autocovarianzas

∞

∞

2



G(z ) = σ (

h

ϕh Z )(

j =0

h=0

22



ϕ j Z j ) −

2.3 Ejercicio 3: Aplicaciones prácticas. 2.3.1 Demanda de dinero y efectos de largo plazo(2 puntos).

Sea la ecuación de la demanda de dinero de Godfeds(193):

mt = 0,27 + 0, 0,72m 72mt 1 + 0, 0 ,19I 19I t − 0,045 045rrbt − 0,019 019rrct −

Y su ecuación en diferencias :

yt = φy t 1 + wt −

Teniendo en cuenta que :yt = m t y además φ = 0,72.Se pide a Ud:

(i)Demue (i)De muestre stre que el multiplicador multiplicador dinámic dinámicoo depende sólo de los pperiodos eriodos j.

Solución: su ecuación en diferencias :

yt = φy t 1 + wt −

Para:

t=0 23

y0 = φy 1 + w0 −

t=1

y1 = φy 0 + w1 = φ = φ((φy 1 + w0) + w + w1 −

y1 = φ = φ 2 y 1 + φw0 + w1 −

t=2

y2 = φy = φy1 + w + w2 = φ( φ (φ2 y 1 + φw0 + w + w1 ) + w + w2 −

y2 = φ 3 y 1 + φ2 w0 + φw1 + w + w2 −

.. .

t=j

y j = φy j 1 + w j −

... + w j y j = φ j +1y j 1 + φ + φ j w0 + φ j 1 w1 + φ j 2 w2 + ... + −

−

Generalizando

24

−

yt+ φ j +1yt 1 + φ j wt + φ + φ j 1 yt+1 + ... + ... + φwt+ j 1 + wt+ j −

−

−

Hallando el multiplicador dinámico: ∂y t+ j j ∂w t = φ

ii)Encuentre los autovalores(eigenvalues) de la siguiente expresion matricial:

ξ t = F ξ t 1 + vt −

Equivalente Equiv alente a:

 y  y   y  ..  .

t

t−1 t−2

yt

p+1

−

  φ φ φ ··· φ   1 0 0 · · · 0    =  0 1 0 · · · 0   .. .. .. . . ..   . . . . . 1

0

2

0

p−1

3

0 ··· 1

 y φ    y 0    0  y  .. ..   .  . 

t−1 t−2

0

Considere p=2 y obtenga lo demandado siguiendo:

det((F   − λI  p ) = 0 det

Para p=2 tenemos:

 φ P   P   = 

1

1

25

 φ  2

0

t

p

yt

p

−

   w   0      +  0    ..    .  t

0

Tenemos:

 φ det(( det

1

1

   1 0 φ  − λ   ) = 0 2

0 1

0

det(( φ1 − λ φ2 det ) 1 1−λ

 

 

⇒ (φ1 − λ)λ − φ2 = 0 −λ2 + φ1 λ − φ2 = 0 λ2 − φ1 λ + φ2 = 0

obteniendo las raices:

λ1 =

λ2 =

φ1 −

 φ

2 1

− 4φ2

 φ

2 1

− 4φ2

2

φ1 +

2

26

3 Lectura: Evaluación de Portafolio de inversionistas institucionales: fondos mutuos y fondos de pensiones

3.1 Treynor Mazuy Esta medida se emplea para evaluar la existencia de timing , o habilidad para anticiparse a la evolución del mercado. Para ello se estima la ecuación de Treynor-Mazuy , que es semejante a la ecuación de Jensen , pero se le añade un término cuadrático:

Γ pt − Γf t = α = α + + β 1 (Γmt − Γf t ) + β + β 2(Γmt − Γf t )2 + t

(1)

En la ecuación(1) Γ pt , Γ f t y Γ mt son las rentabilidades del portafolio, del activo libre de riesgo y mercado respectivamente. Para Detectar la existencia de timing  es es suficiente evaluar si es que el parámetro β 2 es estadísticamente distinto de cero.

3.2 Modelo EGARCH-M Este modelo 1 establece una relación funcional entre el diferencial de rentabilidad de un activo financiero o un portafolio de inversiones (ΓP  ) y un activo libre de riesgo ( Γf   ), y la varianza condicional del diferencial de estos rendimientos. De esta forma, el modelo posibilita estimar la evolución de la prima por riesgo en el tiempo. A través del método de máxima verosimilitud, se estima simultáneamente la varianza condicional de los retornos, y el rendimiento del activo o portafolio. La especificación funcional de ambas variables es 1

/ El modelo EGARCH-M constituye una adaptación del modelo EGARCH propuesto por Nelson en 1991 en el articulo articulo Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach (Econométrica). (Econométrica). En el modelo EGARCH-M se estima simultáneamente la relación existente entre la volatilidad y la media de una variable, mientras que en modelo EGARCH-M se estima simultáneamente la media y la varianza, no obstante no se plantea ninguna relación funcional entre amos elementos.

27

la siguiente:

Γ pt − Γf t = θ + X t φ + λ.σt2 + t

(2)

log(σ log( σt2) = ω + β log(( β log((σ σt2 1 ) + α + α[[t 1 /σt 1] + y + y((t 1 /σt 1 ) −

−

−

−

−

(3)

En la ecuación (2) el exceso de retorno ( Γ pt − Γf t ) dependen de una constante (θ), un conjunto de variables exógenas dadas por el vector X t , y la varianza o desviación estándar condicional de los rendimientos (σt ). A su vez, en la ecuación (3), la varianza condicional depende de tres variables: una constante (ω), la predicción de la varianza del período anterior (σt2 1 ), y la información pasada sobre la volatilidad del activo, que está dado por −

el residuo de la ecuación de la media, t 1 . La ecuación tiene una especificación logarítmica −

con el fin de asegurar la no negatividad de la varianza condicional para cualquier valor real de la variables dependientes.

3.3 Timing Indica la capacidad de los administradores de portafolio de anticiparse adecuadamente a la evolución del mercado. Si es que efectivamente el administrador pudiera predecir correctamente el comportamiento futuro del mercado de valores, se observarla que el rendimiento del fondo y el rendimiento de la bolsa de valores se ajustarían a una función cuadrática, conocida como el modelo Treynor-Mazury. También este modelo solo es aplicable a los fondos mutuos de renta variable.

3.4 Determinación de Portafolio Óptimo La determinación de un portafolio óptimo (T) es hallada a través de un problema de optimización.

28

Para desarrollar la optimización primero es necesario determinar la forma funcional función objetivo. ob jetivo. Si tenemos en cuent cuentaa que el set es una función lineal, ésta puede obtenerse a partir de dos puntos : T (Rt , σt ) y Rf (Rt , 0). De esta forma, la recta del conjunto de portafolios sería:

R p = R f   + [( [(R Rt − Rf )/σt ] ∗ σ p

(4)

Donde la pendiente de la recta serial igual a:

φ = [( [(R Rif   − Rt )/φt ]

(5)

La ecuación (5) constituye la función objetivo del problema de optimizacíon. La maximizacíon esta sujeta a una restricción. La suma de todas las ponderaciones (X i) de los títulos debe ser igual a uno:



X i = 1

(6)

Con la finalidad de simplificar el problema, introduciremos la restricción en la función objetivo:



(RT   − Rf ) = R( R (RT   − Rf ) = (

X i )( )(R RT   − Rf ) =

29



[X i (RT   − Rf )]

(7)

Si reemplazamos la ecuación (7), en la ecuación (5) y expandimos la expresión de la varianza σt 2 , linealmente obtendremos la siguiente función de φ :



φ = [



X i (RT   − Rf )/(

2

2

X i σi +



X i X k σik )1/2 ]

Además el planteamiento general del problema empleando las condiciones de KuhnTucker  exige las siguientes restricciones:

∂φ/∂X i ≤ 0 ∂φ/∂X i + U i = 0 X i + U i = 0 X i ≥ 0 U i ≥ 0

Si un conjunto de valores para las variables X i y U i satisfacen las condiciones anteriores, riore s, ent entonces onces los valore aloress darán como soluci solución ón el portafo p ortafolio lio óptimo.

3.5 Concavidad del Conjunto Eficiente y modelo CAPM Concavidad del Conjunto Eficiente: Una propiedad que siempre debe cumplirse

en el set  eficiente eficiente es la concavidad. Esto puede demostrarse mediante un análisis partiendo de una premisa falsa. Supongamos por un momento que el set factible posee tramos 2

/ Una forma de definir la varianza es mediante la siguiente formula especificada en Sharpe(1995): 2 σT =



X i2 σi2 +



X j X k σjk ( j  = k )

(8)

Donde σ i es la varianza de los rendimientos del instrumento i, y σ jk es la covarianza entre los rendimientos del instrumento j y el instrumento k.

30

convexos, tal como el segmento PQ del gráfico 2. A partir de los portafolios establecidos en cada uno de estos dos puntos, podría generarse un tercer portafolio, Z, que sería una combinación lineal de P y Q. No obstante, se puede observar que el portafolio Z es superior al W, ubicado dentro del conjunto eficiente. Para una rentabilidad dada, el portafolio Z tiene una menor desviación estándar que W. De esta forma, el conjunto propuesto inicialmente no puede ser eficiente, en la medida que a partir delset   pueden obtenerse portafolios superiores.

31

Figura 1: CONCAVIDAD DEL CONJUNTO EFICIENTE

MODELO C.A.P.M (Capital Asset Pricing Model) 3: Es un modelo de equi-

librio general que se emplea para determinar la relación existente entre la rentabilidad y el riesgo de un portafolio o un título cuando el mercado de capitales se encuentra en equilibrio. El modelo asume, entre otras cosas, que todos los inversionistas en el mercado determinan el portafolio óptimo empleando el enfoque de Markowitz. El modelo C.A.P.M. tiene un planteamiento simple, y se sustenta en una serie de supuestos sobre el mercado de capitales. A pesar de que los supuestos del modelo no necesariamente se cumplen en la vida real, la capacidad capacidad predictiv predictivaa del modelo ha demost demostrado rado ser efectiv efectiva. a.

3

/ El modelo C.A.P.M fue desarrollado por William Sharpe (1964), John Limber (1965) y Jan Mossin (1966).

32

4 Comparando Modelos de Predicción: Creamos un Workfile con 250 datos sin estructura y simulamos la serie (Ver anexo1): yt = 1,2yt

1

−

− 0,4yt 2 + εt con εt ∼ N (0 N (0 : (0, (0,5)2 ) −

y1 = y = y 2 = 0

Mostrando Mostr ando la sim simulaci ulación ón reali realizada zada con la semil semilla la (rndseed (rndseed 123):

Figura 2:

33

Mostramos la FAS y FAP, según la gráfica podemos entender una que la variable dependiente podría estar afectada por sus dos rezagos y podría, también, estar afectada por rezagos del error.

Figura 3:

Principales estadísticos de la serie Y2:

Figura 4:

34

Considerando solo las 200 primeras observaciones se estima un modelo AR (2) reportando la ecuac ecuación ión estimada: estimada:

Figura 5:

Valor actual de la variable Y2, Y2 estimado, y el residuo estimado.

Figura 6:

35

Mostrando los valores de los residuos del modelo:

Figura 7:

36

Del menú View mostramos la estructura del ARMA:

Figura 8:

Función impulso respuesta del AR (2):

Figura 9:

37

FAS y FAP de los residuos:

Figura 10:

38

Considerando solo las 200 primeras observaciones se estima un modelo MA (1):

Figura 11:

Valor actual de la variable Y2, Y2 estimado, y el residuo estimado.

Figura 12:

39

Seriespackdepacks Parciales

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