Series y Sucesiones

 

UNIDAD II RELACIONES DE NÚMEROS 2.1 SERIE Y SUCESIONES Una sucesión  es un conjunto de números ordenados o cantidades que son llamados términos, y éstos se obtienen mediante la aplicación de una regla o ley.

Ejemplos. a) 1, 2, 3, 4, 5, ... b) 3, 5, 7, 9, 11, ... c) 15, 20, 25, 30, 35, ... d) 5, 4, 3, 2, 1 e) 14, 19, 24, 29, 34 f)

                   

Se dice que una sucesión es: Finita: cuando posee un número fijo de términos.

Infinita: cuando no tiene un número fijo de términos, es decir no tiene fin. Los incisos a), b), c) y f) son sucesiones

infinitas, y los puntos suspensivos que acompañan a la Serie,

además de indicar que sigue hasta el infinito la sucesión, llevan el mismo patrón de comportamiento. Los incisos d) y e) son sucesiones finitas.

La forma de distinguir a cada término de una sucesión es con la letra “ a ”, de tal manera que al primer término se le denomina “a1“, al segundo término “a2“, el tercer término “a3“, y así sucesivamente, al término en general se le nombra el n-ésimo término y es na  , por lo que la sucesión de términos ordenada quedaría:

    Si se conoce la expresión que proporciona el

n-ésimo término,

se pueden encontrar todos los demás

sustituyendo el número de término en la expresión, como se muestra a continuación.

Ejemplo 1.

Encontrar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo n-ésimo término sea:

  

 

Número de Término (n) 1 2 3 4 5

Fórmula a1= a2= a3= a4= a5=

(8*1)-3 (8*2)-3 (8*3)-3 (8*4)-3 (8*5)-3

Resultado 5 13 21 29 37

La sucesión ordenada es: 5, 13, 21, 29, 37, …  

Ejemplo 2. Encontrar el vigésimo quinto término de la sucesión anterior.

a 2 5 = ( 8*25)-3=197 8*25)-3=197 En otras ocasiones el término general de la sucesión no se conoce, pero éste se puede calcular a partir del primer término a 1, junto con una regla para determinar cualquier término a n+1 del término anterior a 2 , con la condición de n ≥ 1. En este caso se dice que la sucesión es recursiva y a la expresión se le llama fórmula de recurrencia.

Ejemplo 3. Encuentra los primeros seis términos de la sucesión definida por a 1= 5 y an+1= an + (n+3) n 1 2 3 4 5

Fórmula an + (n+3) a 2 = 5+ (1+3) a 3 = 9 + (2+3) a 4 = 14 + (3+3) a 5 = 20 + (4+3) a 6 = 27 + (5+3)

Los primeros seis términos de la sucesión son: 5, 9, 14, 20, 20, 27, 35,…  35,… 

Resultado 9 14 20 27 35

 

ACTIVIDAD 1: Utiliza la calculadora para resolver las siguientes sucesiones 1.  1.  Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión

        b)  b)      

a)  a) 

c)  c)  d)  d) 

             

2.  2.  Encuentra los primeros cuatro términos de las sucesiones infinitas recursivas, definidas para cada caso:

         b)  b)         c)  c)           

a)  a) 

3.  3.  Encuentra el término indicado en cada una de las siguientes sucesiones. a)  a) 

                    b)  b)             c)  c)           

 

2.1.1 DEDUCCIÓN DEL TÉRMINO GENERAL. También se puede dar el caso de no tener información del n-ésimo término de una sucesión, de tal manera, que observando el comportamiento de cada uno de los términos puede encontrarse la regla a la cual se sujetan.

Ejemplo 1. Dada la siguiente sucesión infinita de números pares, encontrar el término n-ésimo. n

1

2

3

4

5

… 

an 

2

4

6

8

10

… 

Como se observa en la tabla, n es la ubicación que le corresponde a cada término de la sucesión y cada uno de los términos de la sucesión son el doble de su ubicación, por lo que el término en general es: an =2n

Ejemplo 2.  En el caso de la sucesión infinita de números impares, el n-ésimo término se construiría de la siguiente forma. n

1

2

3

4

5

… 

an 

1

3

5

7

9

… 

En esta sucesión, sus términos son una unidad menos que el doble de su ubicación, por lo que el nésimo término está dado por la fórmula: an =2n - 1

Ejemplo 3.

 Ahora se encontrará el n-ésimo n -ésimo término de una un a sucesión que no es tan conocida cono cida como las anteriores. n

1

2

3

4

5

… 

an 

1

5

9

13

17

… 

En esta sucesión no es tan fácil encontrar el comportamiento ni la relación de la ubicación con cada término.  Aunque los términos de la sucesión van creciendo de cuatro cua tro en cuatro, la fórmula del n-ésimo n- ésimo término debe depender de la ubicación, así es que se tienen que relacionar. Para ello debes utilizar tus habilidades de Aritmética para poder hallarla. En este caso la relación está dada por: an =4n  =4n –  3  – 3

 

Ejemplo 4. También se pueden establecer sucesiones más elaboradas, como: n

1

2

3

4

5

… 

an 

0

3

8

15

24

… 

El crecimiento que tienen los términos de la sucesión no son constantes, es decir, del primer término al segundo hubo un aumento de 3, del segundo al tercero hubo un aumento de 5, del tercero al cuarto subió 7, del cuarto al quinto subió 9, por ello, se puede pensar que están involucradas las potencias, así que si se piensa en términos de potencias, cada término es igual a la ubicación elevada al cuadrado disminuida en una unidad.

an =n2  –– 1

 

ACTIVIDAD 2 a)  a)  2, 6, 10, 14, …  … 

b)  b)  4, 7, 12, 19, …  … 

c)  c)  1, 4, 7, 10, …  …  d)  d)  3, 6, 9, 12, …  … 

e)  e)  3, 7, 11, 15, 15, …  … 

f) f)   1, 4, 9, 16

g)  g)  1, 8, 27, …  … 

h)  h)  5, 9, 13, 13, …  … 

i)i)   7, 13, 19, 25,… 25,…  

 j)   j) 

      

 

2.4 SERIES  A la suma de los términos de una sucesión se le denomina denomina Serie. Puede ser una suma finita o infinita 

según sea el número de términos que se toman.

    

ó

   

La notación que se utiliza para expresar una serie, es la letra mayúscula griega Sigma Σ, como se muestra a continuación.



           

 k

es el índice de la sumatoria, 1 y n son los valores mínimo y máximo de la variable, también se puede

llevar a cabo una sumatoria parcial en donde se puede sumar una parte de la sucesión.



            

 Ejemplos Calcular las siguientes series.



             

 

               





           



 

ACTIVIDAD 3



1

 

  2

 



 



3

 

 

4

   

 

5

  

 

6

   



 

2.4.1 SERIES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS. Series aritméticas.

La suma ( S ) de los

n

términos de una sucesión aritmética finita está dada por la

expresión:



       



es decir,

             

fórmula se escribe :

Ejemplo 1.

y para mayor facilidad la

       

Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 7, 15, 23,…  23,…  Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión aritmética .

                   Ahora se aplica la fórmula fórm ula de la serie

              

Ejemplo 2 Dada la progresión aritmética 5, 12, 19, 26, …, encontrar la suma de los primeros 12 términos.  términos.   Se obtiene el 12vo. Término de la sucesión aritmética.

                   Ahora se aplica la fórmula de la serie

             

 

Series geométricas. La suma ( S ) de los n términos de una sucesión geométrica finita está dada por la expresión: