Series y Sucesiones

 

I. INTRODUCCIÓN En este presente trabajo el propósito principal es mostrar cómo se puede usar las series y sucesiones en matemáticas. Es importante mencionar que las series y las sucesiones se encu en cuen entr tran an pr pres esen ente tes s en nu nues estr tra a vida vida diar diaria ia,, reco ecord rdem emos os qu que e las las se seri ries es pe perrmi mite ten n entender la idea de querer sumar una cantidad infnita de sumandos (tantos sumandos como números naturales); esto sinifca que se le asina a cada entero positivo n un número a una variable, a este número se le llama n!"simo de la sucesión. # medida que n, la variable tiende a un número $, por lo que se le llama el l%mite de la sucesión esto sinifca que entre más incremente la sucesión se apro&imara con mayor probabilidad a su l%mite; por ejemplo un automovilista cuando llea al estacionamiento el automóvil entra en una sucesión que es el rodaje de sus llantas y se apro&ima a las l%neas que dividen cada espacio. $as series son las sucesiones 'ormadas mediante la suma de más y más t"rminos de una sucesión. n ejemplo común es el recorrido de un automovilista, cundo recorre varios ilómetros en una pendiente la velocidad va aumentando constantemente, esto es que a medida que aumenta la velocidad el motociclista desciende más rápido, por medio de este ejemplo podemos citar la sucesión de suma a la cual se le denomina serie obtenida de la sucesión. *radicionalmente se refere a ella como +la serie cuyo t"rmino n!"simo es una variable infnita. -i la sucesión de sumas parciales de una serie convere a $, se le conoce como la suma de las series y se le denomina converente. ecordemos que no se suma un número infnito de t"rminos, si no que se toma el l%mite de sumas fnitas, a una serie que no es converente se le conoce tambi"n como diverente.

II. RESUMEN 1

 

En la vida diaria se utili0an continuamente conjuntos ordenados de números como el de los números naturales, el de los números pares u otros conjuntos num"ricos en los que cada t"rmino se puede obtener del anterior mediante una 'órmula, como por ejemplo los d%as del mes, ya que se trata del conjunto 1, /, 2, 3, 4, ...., /5, 267; o bien cuando por aluna ra0ón se tiene solamente al conjunto de los números pares /, 3, 8, 9, 16, ... 7 ; o qui0ás los nones 1, 2, 4, :, 5, ... 7 , etc. e cualquier 'orma, e&iste siempre una rela bajo la cual se 'orma el siuiente elemento de la sucesión a partir del primero. En el caso del conjunto de los pares y tambi"n de los nones, la rela es sumar / al último número 'ormado. $a primera parte del estudio de las sucesiones consistirá en descubrir por simple intuición cuál es dic su valor y el luar n que ocupa. ∞

-e usa la notación { a }n   o simplemente

{a n }

 

!ormas de determinar una sucesión

i iii ii iii

# par parti tirr d del el t"r t"rmi mino no e ene nera rall o n! n!"s "sim imo o # a rttir irr d e nsapr órmula ley de #p p par arti d de eu lo los prim imer eros os o t"r t"rmi mino nos srecurrencia de la s suc uces esió ión. n.

$os ejemplos más corrientes de sucesiones se indican dando los primeros t"rminos o una 'órmula 'órm ula que defna el t"rmin t"rmino o n −ésimo como en los siuientes casos -on ejemplos de sucesiones> 1  1  1   1, , ,  , ⋯   a 2 3 4

b

  2,− 4,6, −8,10,−12, ⋯   1,

c

es una sucesión de t"rmino eneral

1  1   1

,

,

es una sucesión de t"rmino eneral

 A

n

1

n

s n=

 

{}

∞

s n=−2 (−1) n

 , ⋯

2 6 24

sn

1

es una sucesión de t"rmino eneral

 1

n!

{ }

3.. C!"SES DE SUCESIONES   3..1 Sucesiones Monótonas ∞

•

-ea

{a n }n

∞

  es una suce sucesió sión n real real,, se dic dice e que

{a n }n

  es un una "ucesión #reciente

cuando la siuiente proposición es verdadera> ve rdadera>

n ≤ m → an ≤ a m  

Es decir, decir, cad cada a t"r t"rmin mino o d de e la la suce sucesió sión n es es m meno enorr o iiua uall q que ue el el t"rmino que le siue.

2

 

{n }∞ y { 2 n }∞ 2

Ejemplo> $as sucesiones

1

  son sucesiones crecientes

1

∞

•

-ea

{b n }n

∞

 es una sucesión real, se dice que

{b n }n

cuando la siuiente proposición es verdadera>

 es una "ucesión $ecreciente n ≤ m → bn ≥ b m

  Es decir, cada

t"rmino de la sucesión sucesión es mayor o iual que el t"rmino qu que e le siue. Ejemplo> $as sucesiones • 

1

∞

n

1

 y

∞

n+ 1 2

n

{} { }

1

  son sucesiones decrecientes ∞

{a n }n

-e dice que una sucesión  

  es u un na "uc "ucesi esión ón %on %onóto ótona na si es #reciente o

$ecreciente

  3.. Sucesiones "cotadas ∞

•

na sucesión  M 

 tal que

{a n }n

an ≤ M 

  se dice que es &cotada "uperiormente si e&iste una constante  , para todo n ∈ N  .

Ejemplo> la sucesión an = 1n

menor que /, es decir

{} {}

 está acotada ya que todo t"rmino de la sucesión es

1 < 2 para todo n ∈ N . n

∞

•

na sucesión  K 

 tal que

{b n }n bn ≥ K 

  se dice que es  &cotada 'neriormente si e&iste una constante  , para todo n ∈ N  . ∞

• 

-e dice que la sucesión  { b n }n

  es  &cotada si es acotada superior e in'eriormente,

es decir que e&iste una constante  M 0 ≥ 0  tal que

|a n|≤ M 0   para todo

n ∈ N 

.

  3..3 Su#sucesiones -ea (an) una sucesión cualquiera y n  una sucesión estrictamente una sucesión creciente de números enteros positivos. $a sucesión b   A a n se dice que es una subsucesión de la sucesión (an). -i b convere su l%mite cuando k → ∞   se lla llama ma l%m l%mite ite s subsec ubsecuenci uencial al de (an). -i una sucesión convere a $ todas sus subsucesiones tambi"n converen a $. Este resultado se puede usar para probar la diverencia de una sucesión. ?ara ello vasta buscar bus car un una a sub subsuc sucesi esión ón diver diveren ente te o bie bien n dos suc sucesi esion ones es con conver veren entes tes con l%m l%mite ites s distintos. ?or ejemplo, la sucesión 6, 1, 6, 1, ... no es converente ya que la sucesión 'ormada por los at"rminos impares convere a 6 y la subsucesión 'ormada por los t"rminos pares convere 1.

3

 

?or otra parte, si se conoce la converencia de una sucesión es posible determinar o estimar su l%mite escoiendo una subsucesión que converja rápidamente.

3.3 CON$ER%ENCI" DE UN" SUCESIÓN

$a caracter%stica más importante que se estudia en una sucesión es su comportamiento a laro pla0o, es decir, la tendencia de los t"rminos de la sucesión

|a n−l|0

•

  tiene por l%mite 

l

  si y sólo si para cualquiera

  que tomemos, e&iste un t"rmino   an

todos los t"rminos de 

an

 siuientes a 

-e di dice ce qu que e un una a su suce cesi sión ón

an

ak 

ak 

 a partir del cual

 cumplen que  |a n−l| ε k  k 

 Da  Da que podemos determinar a partir de qu" t"rmino de la sucesión, su distancia a 6 es menor que un número positivo (), por pequeCo que "ste sea. ε =0.1 ; k =

 1

; k > 10

0.1 a =omo k > 10  a partir del 11  se cumplirá que su distancia a 6 es menor que 6.1.

| |

1 −0 < 0.1 0.1;; 0.09090909090 < 0.1 11

•

eterminar a partir de qu" t"rmino la distancia a 6 es menor que 6.661

b ec ecidi idirr si lla a su suces cesión ión de tt"r "rmin mino o e ener neral al

an =

2 n −3 n+ 5

es converente y, en caso

afrmativo,

8

 

a16666 A 1,555:661; a26666 A 1,555488:;... *odo parece indicar que el l%mite de esta sucesión, cuando n tiende a infnito, es /.

?ara probarlo, probarlo, se -i K un número real cualquiera, son suces esiiones nulas

{ }{ }{ }

k   k  k  ; 2 ; 3 ;… n n n

lim n →∞

k  n

= lim n→ ∞

k  2

n

 

= lim n →∞

pues k  3

'ácilmente

se

puede

demostrar

que

=0

n

 { }  { }  { } :

 

 p ( n )  es un polinomio en n ,

En eneral, si

lim n →∞

 { }

  k  =0  p ( n )

3.2 SUCESIONES DI$ER%ENTES ∞

•

$efnición  -ea

{a n }n

  es una suce sucesió sión n de nú númer meros os rreal eales. es. n

tiende a infnito o divere a infnito cuando númer núm ero o re real al natural 

ec ecimo imos s que

an

  tiende a infnito, si eleido un

 M > 0   tan ran rande de como se qui quiere ere,, se puede encontra encontrarr un númer número o

 N ∈ N 

 con 

 N > M 

   tal que

an ≥ M ( par  para a to todon don ≥ N )

.

En est ste e ca caso so

escribimos an →∞ !ando n→∞ . ∞

{a n }n

n otras palaras, una sucesión de números reales un número real

  tiende a infnito, si dado

 M   ,  ,  por grande *ue sea, e+iste un término de la sucesión tal *ue

todos los términos de la sucesión son mayores *ue él

Ejemplo> la sucesión •

$efnición> -ea

{a n }∞n =2 n +1 >100000 si y s " l o sisi n=50000 {a n }∞n

  es una sucesi sucesión ón de nú númer meros os rreales. eales. eci ecimos mos qu que e

an

  se

n

  tiende a infnito si para cualquier número  M     N ∈ N   con   N > M     tal que real e&is e& iste te un nú núme merro na natu tura rall  a → ∞!andon→∞. an ≤− M  ( ( para todo n ≥ N   )) . En este c caso aso escribimos n − apro&ima a menos infnito cuando

∞

#lunas veces decimos

{a n }n  divere $as suc sucesi esione ones s que tien tienen en por lim limite ite

lim an=+ ∞

n →∞

  o

lim an=−∞

n →∞

  se

llaman sucesiones divergentes 3 2 sucesiones ucesiones diverentes, pues Ejemplo> las sucesiones ( n ) , ( n ) , ( n ) , ⋯   son s

( n )= lim ( n2 )= lim ( n3 )=⋯= ¿ +∞ n→ ∞

n→ ∞

lim ¿ n→∞

9

 

∞

 

{a n }n

$efnición> -i una sucesión

divere a

∞   ni a

−∞

  de nú númer meros os rreal eales es es di diver veren ente te per pero o no

 , entonces decimos que

{a n }∞n

  es scilante.

Ejemplo>

  { ( −1 ) } n

•

•

  es una sucesión oscilante

  { 1,2,1,3,1,4,1,5, ⋯ }  es una sucesión oscilante

3. 4RO4IED"DES DE !OS !5MITES DE SUCESIONES -ean

an  y bn

  sucesiones convergentes con l%mites fnitos

lim an= a y lim b n=b

n →∞

n→∞

. # partir

de la defnición d de e l%mite se pu pueden eden demostrar las s siuientes iuientes propiedades>

•

El l%mite del producto de un número real  por una sucesión es iual al producto del número por el l%mite de la sucesión. lim ( k . an ) =k . lim an=k . a

n →∞

•

n→ ∞

El l%mite de la sucesión suma o resta es iual a la sum suma a o rresta esta de los l%mites. an # nlim b n= a # b →∞ →∞ ( a n # bn ) =¿ nlim lim

¿

n→∞

•

El l%mite l%mite de la s sucesión ucesión producto es iual al pr producto oducto de lo los s l%mites. ( a n . bn ) =¿ lim an . lim b n=a . b n→ ∞

n→∞

lim

¿

n→∞ •

El l%mite de la su sucesión cesión cociente es iual al co cociente ciente de los l%mites, si el l%mite del denominador es di'erente de cero an bn

lim a n

=¿

()

n→∞

=

lim b n

n→∞

a n →∞ bn $ 0 b , si lim si lim

lim ¿ n→ ∞

3.6 OTR"S 4RO4IED"DES 4"R" E! C7!CU!O DE !5MITES

1 -i u un na s su ucesión

an

, cuyos t"rminos son todos positivos, tiene l%mite a $ 0 ,

entonces lim log a = log a . n →∞

n

5

 

 p  es un número positivo y

/ -i

an

 es una sucesión que tiene por l%mite a ,

entonces an

lim  p = p

a

n →∞

an

2 -i

a

 es una sucesión de t"rminos positivos que convere a un número

tambi"n positivo, entonces, para cualquier e&ponente s lim ( a n)

s

=a s

n →∞

an

3 -i

es una sucesión de t"rminos positivos converente a un número

mayor que cero, y bn

lim ( a n)

bn

 es otra sucesión converente a

a ,

b , entonces

=ab

n →∞

3.8 !5MITES INDETERMIN"DOS Fay ca Fay caso sos s en lo los s qu que e al e' e'ec ectu tuar ar op oper erac acio ione nes s co con n l% l%mi mite tes s ap apar arec ecen en la las s ll llam amad adas as e+presiones indeterminadas. ?or ejemplo, dadas las sucesiones de t"rmino eneral an =2 n+ 1 y bn =5 n  con  

lim n →∞

an= lim bn=+ ∞ n→ ∞

an

tratamos de  

acionales> E&ponenciales>

1¿

 0  ∞ 2 ¿  3 ¿ 0. ∞   0 ∞

∞

0

0

1¿ 1 2 ¿ ∞ 3 ¿ 0

-i al tratar de calcular el l%mite de una sucesión aparece un caso indeterminado, por lo que se

an ( a n) b =¿ (nlim ) →∞ n

lim bn

n→ ∞

lim

¿

n→∞

#plicando esta propiedad a dic -n A a Na/ N a2 N a3 N ... N an A O an estamos ambas ecuaciones> -n ! -n A a ! an   (a!an) -n A !!!!!!! (1!)   a an -n A !!! ! !!!   1! 1! ?ara GG H 1 lim - n A aR(1!) pues  n !P 6, la serie eom"trica convere. ?ara GG P 1 la serie divere pues  n !P in'.

13

 

?ara  A 1 la serie divere pues - n A na. ?ara  A !1 la serie es oscilante.

2.6 SERIE TE!ESCÓ4IC" -erie tal que cada t"rmino se e&presa como una di'erencia de la 'orma a n A bn ! bnN1. -n A O an A O (bn ! bnN1) A (b1 ! b/) N (b/ ! b2) N ... N (bn ! bnN1) A b1 ! bnN1 lim -n A lim b1 ! lim bnN1 ?or lo tanto O an convere si y sólo si b n convere, y en ese caso su suma es b1 ! $, donde $ A lim bnN1. (-i bndivere, O an tambi"n).

2.8 CRITERIOS DE CON$ER%ENCI" 4"R" SERIES DE T=RMINOS 4OSITI$OS   2.8.1 Criterio de D>"'em#ert -ea O an una serie de t"rminos positivos. anN1Ran HA  H 1 para todo n PA @

O an convere. emostración> anN1 HA an (H1) para todo nPA@. a@N1 HA a@ a@N/ HA a@N1 ... anN1 HA an Qultiplicamos> [email protected]@N/.....anN1 HA [email protected]@[email protected] anN1 HA na@R@!1 n

@!1

anN1 HA F  donde F A a @RK  H1 AP O  n convere (es una serie eom"trica) AP por la propiedad distributiva O Fn convere AP por el criterio de comparación comparación O  O an convere.

  2.8. Coro'ario de D>"'em#ert lim anN1Ran A $ AP (por de' de'.. de l%mite fnito de una sucesión) sucesión) para todo  P 6 e&iste @ R para todo n P @ Ga nN1Ran ! $G H  o sea $ !  H a nN1Ran H $ N  ?ara que $ N  H 1 basta eleir  H 1 ! $ ?ara todo nP@ anN1Ran H $N H 1 AP por el teorema anterior O a n convere.

sucesión) para todo  P 6 e&iste @ R lim anN1Ran A $ AP (por de'. de'. de l%mite fnito de una sucesión) para todo n P @ Ga nN1Ran ! $G H  o sea $ !  H a nN1Ran H $ N 

14

 

?ara que $ !  P 1 basta eleir  H $ ! 1 ?ara todo nP@ anN1Ran P 1 AP por el teorema anterior O an divere.

  2.8.3 Criterio de Cauc?@ n SS  TGan HA  AP an HA n H1 AP O  n convere AP por el criterio de comparación comparación O  O an convere.

n SS  TGan P 1 AP an P 1 AP an no tiende a 6 AP O an divere.

2.8.2 Raa#e n nN1 n n Escribamos la desiualdad como> na  ! na  PA a  N a ?asemos an para el lado i0quierdo> (n!1)an ! nanN1 PA an

$a desiualdad se cumple para todo nPA@> (@!1)a@ ! @a@N1 PA a@ @a@N1 ! (@N1)a@N/ PA a@N1 ... (n!1)an ! nanN1 PA an -umamos> (@!1)a@ ! nanN1 PA (a@ N a@N1 N ... N an) A (-n ! F) (donde F es la suma de los t"rminos anteriores anteriores a a @) (-n ! F) HA (@!1)a @ ! nanN1 H (@!1)a@ -n ! F HA (@!1)a@R -n HA (@!1)a@R N F $a sucesión de sumas parciales está acotada superiormente AP ((teorema teorema)) O an convere.

Escribamos la desiualdad como> na n ! nanN1 HA an y lueo como> na nN1 PA (n!1)an nanN1 PA (n!1)an PA (n!/)an!1 PA ... PA (@!1)a@ nanN1 PA (@!1)a@ anN1 PA F.1Rn donde F A (@!1)a@

18

 

O 1Rn divere AP por distributiva O F.1Rn divere AP por el criterio de comparación comparación O  O an divere.

2.: SERIES "! "!TERN"D"S TERN"D"S   2.:.1 Denición -on series de la 'orma> O (!1)nN1.an donde an P 6 -us t"rminos son alternadamente positivos y neativos> O (!1)nN1.an A a1 ! a/ N a2 ! a3 N ... N (!1)n!1.an

  2.:. Criterio de !ei#nitA

=onsideremos las sumas parciales pares - /n por un lado y las sumas parciales impares -/n! =onsideremos 1 por otro. -/nN/ ! -/n A a1 ! a/ N ... ! a /n N a/nN1 ! a/nN/ ! (a1 ! a/ N ... ! a /n) A a/nN1 ! a/nN/ P 6 AP -/n es creciente (1) -/nN1 ! -/n!1 A a1 ! a/ N ... ! a/n N a/nN1 ! (a1 ! a/ N ... N a/n!1) a/nN1 ! a/n H 6 AP -/n!1 es decreciente (/) (2) ?ara todo n - /n H -/n!1 pues -/n!1 ! -/n A a/n P 6

lim a/n A 6 AP lim - /n ! -/n!1 A 6 AP (por de'. de l%mite fnito de una sucesión sucesión)) para todo  P 6 e&iste @ R para todo n P @ G-/n!1 ! -/n ! 6G H  (3) ?-Q=,, (-/n,-/n!1) es un ?-Q= e 1), /), 2) y 3) por defnición de ?-Q= AP por la propiedad de propiedad  de que todo ?-Q= tiene 'rontera, e&iste c perteneciente a RB R lim -/n A lim -/n!1 A c -/n y -/n!1 son sucesiones contenidas en - n ?or el teorema anterior, anterior, lim -n A c AP O (!1) nN1.an convere.

2.< 4RO%RESIONES n ca caso so pa part rtic icul ular ar de se seri ries es de mu muc< c> el primer primer t"r t"rmin mino, o, el último último t"rmino, el número de t"rminos, la di'erencia y la suma de todos esos t"rminos.

=onocidas tres de ellas se pueden calcular las otras dos con la utili0ación de las tres 'órmulas que se deducirán a continuación> -ean> a A primer t"rmino de la p.a. l A último t"rmino de la p.a. n A número de t"rminos d A di'erencia de la p. a. s A suma de los n t"rminos. Entonces> el primer t"rmino es a el seundo t"rmino es a N d el tercer t"rmino es a N d N d A a N /d el cuarto t"rmino es a N /d N d A a N 2d el quinto t"rmino es a N 2d N d A a N 3d y as% sucesivamente. e manera que, considerando que se tienen n t"rminos, el último t"rmino es>

  $a su suma d de e llo os n

t"rminos viene dada por la 'órmula>

 o bien, sustituyendo

19

 

15