Series y Converge Nci A

UNIDAD No. 5 Series Series y criterios de convergencia

SERIES





El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si {an} es la sucesión a1, a2, a3,..., an, ..., entonces la suma a1+ a2+ a3+ … + an+ … se le llama serie infinita. Los elementos ak, k = 1, 2, 3, . . . se llaman los términos de la serie; ak se denomina término general. Se presentará una serie infinita en forma compacta como: +∞

∑a k =1

k

SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES +∞




ak Para cada serie infinita ∑ k =1 existe una sucesión de sumas parciales {Sn}, definida como sigue:

S1 = a1 S 2 = a1 + a 2 S 3 = a1 + a 2 + a3 M S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n M

CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA a ∑
Se dice que una serie infinita +∞

k

k =1

es convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es, +∞

∑a k =1




k

=

Lim n→∞

Sn = S

El número S es la suma de la serie. Si

Lim

Sn

no existe, se dice que

n→∞ la serie es divergente.

SERIES TELESCÓPICAS +∞




Determine si la serie infinita: es convergente o divergente

1 ∑ k =1 ( k + 2)( k + 3)

SERIES GEOMÉTRICAS


A una serie infinita de la forma: +∞

k −1 2 n −1 ar = a + ar + ar + L + ar +L ∑ k =1 =1

se le denomina serie geométrica.

CONVERGENCIA DE SERIES GEOMÉTRICAS


a Una serie geométrica converge 1 − ar para |r|1.




Demuestre lo anterior. Para ello: 1. 2. 3.

Determine Sn Multiplique Sn por r Efectúe la diferencia Sn-rSn

PROBLEMA


+∞

Determine si la serie infinita es convergente o divergente. En caso de ser convergente, determine el valor de la suma.

3 ∑ k k =1 10

SERIES ARMÓNICA




Demuestre que la serie armónica +∞ 1 1 1 1 = 1+ + + +L ∑ 2 3 4 k =1 k

es divergente.

CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE


TEOREMA: +∞

Si la serie ∑ a k es convergente, entonces: k =1 Lim ak = 0 k →∞ Lim Lim Si ak no existe o si el k → ∞ a k ≠ 0 , k →∞ +∞ entonces la serie ∑ a k diverge. k =1

PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE LA SUMA


Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente y an=f(n). +∞

a ∑ Entonces, la serie es k

k =1

convergente si y solo si la integral +∞ impropia: f ( x)dx es convergente.

∫ 1

PROBLEMA +∞




1 Determine si la serie: ∑ 2 es convergente. k =1 k Estime el valor de la suma.

¨ +∞




Determine si la serie:

∑ k =1

1 k

es convergente.

SERIE P


La serie p: +∞ 1 ∑ p converge si p>1 y diverge n n =1 cuando p0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.

PROBLEMA Pruebe la convergencia o la divergencia de la serie: +∞ 1 ∑ k 2 −1 − 1 k =1
Utilice la prueba de comparación en el límite considerando:


1 an = k 2 −1

y

1 bn = k . 2

SERIES ALTERNANTES Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos (alternando signo).
Ejemplos:


(−1) n −1 1 1 1 1 1 = 1− + − + − +L ∑ n 2 3 4 5 6 n =1 +∞

+∞

n 1 2 3 4 5 6 (−1) = − + − + − + −L ∑ n +1 2 3 4 5 6 7 n =1 n

PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE


Si la serie alternante:

+∞

n −1 ( − 1 ) bn = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − b6 + L ∑ n =1

1. 2.

bn>0 satisface las siguientes dos condiciones: bn+1 < bn para toda n. Lim bn = 0 n→∞ entonces la serie converge.

CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ +∞




La serie: ∑ a k es absolutamente k =1 convergente si la serie de valores +∞ absolutos converge. a

∑ n =1

n

PROBLEMA (−1) n −1
Muestre que la serie: ∑ n 2 n =1 +∞

es absolutamente convergente.

PRUEBA DE LA RAZÓN


Lim a n +1 = L < 1 , entonces la serie Si n → ∞ an +∞

∑ a es absolutamente convergente n

n =1




(y por lo tanto converge).

Lim an +1 Si = L >1 o n → ∞ an

entonces la serie

Lim an +1 = ∞, n → ∞ an

+∞

∑ a diverge. n

n =1

PROBLEMA


Pruebe la convergencia absoluta de la serie: 3 +∞ n n ( − 1 ) ∑ n 3 n =1

PRUEBA DE LA RAÍZ


Lim n a Si n = L < 1, entonces la serie n→∞ +∞

∑ a es absolutamente convergente n

n =1

(y, en consecuencia, convergente). Lim




Si n → ∞ entonces la serie n

an = L > 1 o

Lim

n

an = ∞

, ∑ a n es divergente. +∞

n =1

n→∞

PROBLEMA


Compruebe la convergencia de la serie:  2n + 3    ∑ n =1  3n + 2  +∞

n