Series Tiempo

 

Introducción al análisis de series de tiempo

Prof. Juan Diego Chavarría 

Página 1  

Técnico en Riesgo-Series de tiempo Objetivos



Conocer la importancia de las predicciones en la toma de decisiones



Entender los cuatro componentes de una serie temporal

 

Estimar y predecir la tendencia en una serie temporal Medir la componente cíclica de una serie temporal



Calcular índices temporales y desestacionalizar series



Reconocer variaciones irregulares en una serie

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Contexto  

Importancia de los pronósticos o predicciones Calidad de la información y datos estadísticos con que se cuenta



Análisis de series de tiempo: método cuantitativo utilizado para determinar patrones en los datos recopilados a través del tiempo



El análisis de series temporales permite tener una visión con incertidumbre acerca del futuro



Definición: 

Una serie temporal es cualquier grupo de información estadística

que se acumula a intervalos regulares  Conjunto de valores de una variable (económica o de otro tipo),relacionado con otro conjunto de instantes o intervalos de tiempo 

Es la consideración conjunta de dos variables, de las cuales una es el tiempo

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Utilidad 

Describir el comportamiento de la variable en el para pasado y explicar dichas variaciones en el periodo total de tiempo el cual se dispone de observaciones estadísticas



Predicción del comportamiento futuro de la variable



Las variables están sometidas a variaciones en el tiempo. ¿Cuáles son las causas de esas variaciones? Una vez conocidas las causas se puede intentar explicar o describir el comportamiento histórico de la serie o, en su caso, tratar de predecir su comportamiento futuro

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Enfoques para el análisis de series temporales 

Enfoque clásico  Estudio separado de cada variable, que se supone está en función del tiempo Y = f (t), donde “Y” es la variable dependiente y “t” es

la variable independiente o explicativa 

Enfoque causal 

La serie temporal se considera una función de las variables que provocan aquellas aquellas variaciones, por ejemplo: ejemplo: el crecimiento crecimiento poblacional en CR está explicado por las tasas de natalidad, mortalidad, fecundidad, etc. Requiere de la formulaci formulación ón de una teoría que señale cuáles son las las causas de la variación de la serie temporal

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Componentes de una serie temporal 

Tendencia secular  El valor de la variable tiende a aumentar o disminuir en un periodo muy largo



Fluctuaciones cíclicas 



Variaciones estacionales 



Los movimientos cíclicos no siguen ningún patrón regular. El ejemplo más común es el del ciclo de los negocios. El tiempo que transcurre entre picos o puntos bajos es de al menos un año, y puede durar hasta 15 o 20 años

Implica patrones de cambio en un lapso de un año, que tienden a repetirse anualmente

Variaciones accidentales 

El valor de una variable puede ser completamente impredecible, es decir, cambia de manera aleatoria

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo ¿Cómo se relacionan estas cuatro fuerzas para originar la serie? Se plantean varias hipótesis:



HIPÓTESIS ADITIVA: 



Y = f1(t)+f2(t)+f3(t)+f4(t), tendencia, variación estacional, donde fluctuación f1, f2, f3,cíclica f4 se yrefieren variación a la irregular respectivamente

HIPÓTESIS MULTIPLICATIVA: 

Y = f1(t)*f2(t)*f3(t)*f4(t), con lo que se expresa que la serie temporal es elsupracitados resultado de la multiplicación de los cuatro componentes

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Variación en las series temporales

Serie temporal real

Variación temporal

Tendencia secular 

Tiempo en años

Tiempo en años

Fluctuación Cíclica

Variación irregular 

Línea de tendencia

Tiempo en años

Tiempo en años

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Variación temporal o estacional 

Se define como un movimiento repetitivo y predecible alrededor de la línea de tendencia que se da en un año o en menos. Para estimarla se requiere una periodicidad dada en días, meses o trimestres



Razones: 

Establecer el patrón de cambios pasados



Proyectar los patrones pasados hacia el futuro



Una vez establecido el patrón temporal que existe, podemos eliminar sus efectos de la serie temporal (desestacionalizar)

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Método de razón de promedio móvil 

Esta técnica proporciona un índice que describe el grado de variación estacional. El índice está basado en una media de 100, con el grado de estacionalidad medido por las variaciones con respecto a la base



Ejemplo: Serie temporal para la ocupación del hotel

Año

Número de huéspedes por trimestre I II II I IV

1988

1,861

2,203

2,415

1,908

1989 1990

1,921 1,834

2,343 2,154

2,514 2,098

1,986 1,799

1991

1,837

2,025

2,304

1,965

1992

2,073

2,414

2,339

1,967

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Pasos para el cálculo de un índice temporal 1. Calcul Calcular ar el total total móvi móvill de los cuat cuatro ro trim trimest estres res:: 1,861+2,203+2,415+1,908=8,387. Este total se asocia con el punto de dato que ocupa el lugar medio del conjunto de valores para el cual fue calculado (entre los trimestres 1988-II y 1988III) 2. Calcular Calcular el el promed promedio io móvil móvil de cuatro cuatro trimest trimestres, res, dividiendo dividiendo cada uno de los totales de cuatro trimestres entre cuatro 3. Centra Centrarr el prome promedio dio móvil móvil de de cuatro cuatro trim trimest estres res.. Con el el fin de de centrar los promedios, asociamos a cada trimestre el promedio de los dos promedios móviles de cuatro trimestres que caen por arriba y por debajo de este. Ejemplo: 1988III=(2,096.75+2,111.75)/2=2,104.25. (ver en el gráfico como el promedio suavizó los picoslay periodicidad los valles de es la serie original; este paso móvil suele omitirse cuando impar) 4. Calcular Calcular el porcentaje porcentaje del valor valor real real con respecto respecto al al valor valor de promedio móvil. Este paso permite recobrar la componente estacional para los trimestres.

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Pasos para el cálculo de un índice temporal 5. Organi Organizar zar los los porce porcenta ntajes jes del del punt punto o 4 por por trim trimest estre re y calcul calcular ar la media modificada (excluyendo el valor más alto y más bajo). Los valores estacionales por trimestres (columna 7) todavía contienen las componentes cíclica e irregular de la variación de la serie temporal. Al eliminar los valores extremos reducimos las mismas y al promediar la serie se suaviza aún más. Las variaciones cíclica e irregular tiendenmodificada a ser eliminadas mediante este proceso, de modo que la media es un índice de la componente estacional 6. Ajuste Ajuste de la la media media modifi modificad cada. a. Suma Suma dese deseada ada de de los los índic índices es (400) entre la suma obtenida.

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Cálculo del promedio móvil centrado en los cuatro trimestres

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Uso de un promedio móvil para suavizar la serie temporal original 2,600 Serie temporal original

2,500

s

t

er

2,400 2,300 rt

mi

e

2,200 s

p

o

r

2,100 et p

a

n

2,000 u c O

1,900 1,800 1,700

II

II 8 8

I8 8

-

IV 8

8

8 9

1

8 1

9 1

9

II

9 9

9

8

9 1

-

IV 8

9

9 9

1

8 1

9

II

0 0

0

8

9 1

-

IV 9

0

9 9

1

9 1

9

II

1 1

1

9

9 1

-

IV 9

1

9 9

1

9 1

9

II

2 2

2

9

9 1

I -

IV 9

2 1

9

-

9 1

II I-

I -

9 1

II I-

I -

9 1

II I-

I -

9 1

II I-

I -

-

9 1

9

9 9

1

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Procedimiento para el cálculo de un índice temporal Medias modificadas  Año 1988

Trimestre I Trimestre II Trimest rimestre re IIIIII Trimestre rimest re IIV V -

-

114, 8

89, 6

1989

89

107, 4

115, 3

92, 6

1990

88, 6

108

106, 4

92

1991 1992

93, 5 94, 5

100, 6 109, 8

182, 5

215, 4

Media modificada: Trimestre I: 182,5 /2 = 91,25 Trimestre II: 215,4/2 = 107,70 Trimestre III: 226,5/2 = 113,25 Trimestre IV: 183,8/2 = 91,90 Total de índices = 404,10

-

111, 7 226, 5

-

91, 8 183, 8

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Media modificada ajustada Factor de ajuste: 400/404.1=0.9899

índices Trimestre desa saju justa stad dos I II III IV

91,25 107,7 113,25 91,9

* * * * *

Constante de ajus te 0,9899 0,9899 0,9899 0,9899

= = = = =

Índice temporal 90,3 106,6 112,1 91

400 40 0 Tota otall de los índ ndices ices tempo tempora rales les = Media Med ia de los índ ndices ices temp tempor orale aless = 40 400/4 0/4 = 100

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Usos del índice temporal 

 

Con el método de promedio móvil identificamos la variación estacional y eliminamos los efectos de la estacionalidad (desestacionalización) Paso previo para identificar la componente de tendencia o cíclica Para desestacionalizar una serie dividimos cada uno de los valores reales de la serie entre el correspondiente índice temporal (expresado como fracción de 100)

Año (1) 1988 1988 1988 1988

Trimestre (2 (2)) I II III IV

Ocupación real (3) 1,861   2,203   2,415   1,908  

   

(ïndice temporal  /100) (4) (4)   (90, 3/100)   (106, 6/100)   (112, 1/100)   (91/100)

= = = =

Ocupación desestacionalizada (5) = (3) / (4) 2, 061 2, 067 2, 154 2, 097

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Análisis de tendencia 



Tendencia secular 

Representa la dirección a largo plazo de la serie



Ajuste de la línea recta que represente el mejor ajuste (método de mínimos cuadrados ordinarios)

Razones para el estudio de tendencias 

Describir un patrón histórico



Proyectar patrones pasados, o tendencias, hacia el futuro

Eliminar la componente de tendencia de la serie Tendencia puede ser lineal o curvilínea 





Y    a  bX 

 XY   n X Y   b 2

 X 

2

 n X 

(1)

a

 

Y 



b X 

(2)

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Codificación de la variable independiente 

El tiempo codificado o traducido se denota por la letra x



Razones para codificar: 

Elimina la necesidad de elevar al cuadrado números grandes (asociados con años)



El año medio x se traduce a cero por lo que las ecuaciones 1 y 2 pueden simplificarse  x  xY  Y   b 2

 x

(3)

 

a



Y 

(4)

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Codificación valores del tiempo-Análisis de tendencia a) Cuando hay un número impar de elementos en la s erie temporal

X (1) 1 19 98 86 7 1988 1989 1990 1991 1992

X - ¯X¯ (2) 1 19 98 86 7--1 19 98 89 9= = 1988-1989= 1989-1989= 1990-1989= 1991-1989= 19 1992-1989=

Codific ado (3)

X (1)

X - ¯X¯ (2)

--3 2 -1 0 1 2 3

1 19 98 87 8 1989 1990 1991 1992

1 19 98 87 8--1 19 98 89 9.. 5 5= = 1989-1989. 5= 1990-1989. 5= 1991-1989. 5= 1992-1989. 5=

ΣX=13,923

 ¯X¯=ΣX/n  ¯X¯= =13,923/ 7 =1989

b) Cuando hay un número par de elementos en la s erie temporal

(X - ¯X¯)*2 Codific ado (3) (4) --2 1..5 5**2 2= = -0.5*2= 0. 5*2= 1. 5*2= 2. 5*2=

--5 3 -1 1 3 5

ΣX=11, 937

¯X¯ (el año medio)=0

 ¯X¯=ΣX/n  ¯X¯= =11, 937/6 =1989. 5

¯X¯ (el año medio)=0

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Ejemplo-Análisis de tendencia

Número de naves cargadas en un puerto Año Número 1985 98 1986 1987 1988 1989

105 116 119 135

1990 1991 1992

156 177 208

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Pasos intermedios para el cálculo de la tendencia (lineal) X (1) 1985 1986 1987

Y (2) 98 105 116

X - ¯X¯ x xY (3) (4) (4) X (2) 1985-1988.5= -3.5*2=-7 -686 1986-1988.5= -2.5*2=-5 -525 1987-1988.5= -1.5*2=-3 -348

x2 (4)2 49 25 9

1988 1989 1990 1991 1992

119 135 156 177 208

1988-1988.5= 1989-1988.5= 1990-1988.5= 1991-1988.5= 1992-1988.5=

1 1 9 25 49

ΣX=15,908 ΣY=1,114  ¯X¯=  ¯X ¯=ΣX/n=15,908/8=1,988.5  ¯Y¯=ΣY/n=1,114/8=139.25

-0.5*2=-1 0.5*2=1 1.5*2=3 2.5*2=5 3.5*2=7

-119 135 468 885 1,456 2

Σx Y=1,266 Σx =168

   

Y^=139.25+7.536x

b=1,266/168 b=7.536 a=139.25

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Proyección con la ecuación de tendencia 

Convertir el nuevo valor a proyectar (tiempo) en tiempo codificado



Sustituir valor codificado en ecuación de tendencia 

Ejemplo proyección 1993=1993-1988.5=4.5X2=9(tiempo codificado) Y^=139.25+7.536(9)=207 naves 

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Variación cíclica 

Es la componente de una serie temporal que tiende a oscilar por encima y por debajo de la línea de tendencia



El supuesto a utilizar aquí implica que la mayor parte de la variación que quedó sin explicar por la componente de tendencia secular corresponde a la tendencia cíclica



Cuando se observa una serie temporal consistente en datos anuales, solamente se toman en cuenta los componentes de tendencia secular, cíclica e irregular. Esto es así debido a que la variación temporal o estacional experimenta un ciclo completo y regular dentro del periodo de un año y, en consecuencia, un año en particular tiene el mismo efecto que otro cualquiera

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Variación cíclica 

Expresión de la variación cíclica como un porcentaje de tendencia 



Porcentaje de tendencia=Y/Y^ * 100

Expresión de las variaciones cíclicas en términos de residuos cíclicos relativos 

Residuo cíclico relativo= (Y-Y^/ Y^)*100 (en su forma resumida, corresponde a restar 100 del porcentaje de tendencia)



Solamente pueden utilizarse para describir variaciones cíclicas pasadas y no para predecir variaciones cíclicas



Aunque variacióneltemporal uneste ciclotipo recurrente de losdescribe datos pasados,larecuerde hecho dees que de variación patrones que se presentan dentro de un año, año, pero la variación cíclica significa un patrón en una serie temporal que abarca periodos mayores de un año. año.

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Variaciones cíclicas Grano recibido durante 8 años por cooperativa de granjeros

Y Quintales X19Año 85 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

Y^ Quintales

reales (x 7.510,000) estimados7.(x 6 10,000) 7.8 7.8 8.2 8.0 8.2 8.2 8.4 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 9.1 9.0

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Fluctuaciones cíclicas alrededor de la línea de tendencia

9.2 Gráfica de los puntos reales (Y)

9.0 8.8 8.6 8.4

Fluctuaciones cíclicas por encima de la línea de tendencia

Fluctuaciones cíclicas cícli cas por debaj debajo o de la línea de tendencia

8.2 8.0 Línea de tendencia (gráfica de Y^)

7.8 7.6 7.4 1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Cálculo del porcentaje de tendencia

X Año (1) 1985 1986

  reales (x 10,000) (2) 7.5 7.8

 Y^ Quintale s estimados (x 10,000) (3) 7. 6 7. 8

(Y/Y^)*100 Porcentaje Porcent aje de tendencia (4) = 2/3*100 98.7 100.0

1987 1988 1989 1990 1991 1992

8.2 8.2 8.4 8.5 8.7 9.1

8. 0 8. 2 8. 4 8. 6 8. 8 9. 0

102.5 100.0 100.0 98.8 98.9 101.1

Residuo cíclico relativo =(( Y - Y^) / Y^) *100 Y = valor real de la serie temporal Y^ = Valor de tendencia estimado a partir del mismo punto de la serie temporal

Para 1990 el porcentaje de tendencia indica que la cosecha real fue un 98.8% de la cosecha esperada para ese año

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Cálculo de los residuos cíclicos relativos  Y/Y^*100  Y/Y^*100

X Año

 Y Quintales  Y  Y^ ^ Quintale Quintal e s reales (x estimados (x Porcentaje de 10,000) 10,000) tendencia

(( ((Y Y-Y^)/Y^)*10 -Y^)/Y^)*100 0

Porcentaje de tendencia

(1)

(2)

(3)

(4) = 2/3*100

(5) = (4)-100

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992

7. 7. 5 7.8 8.2 8.2 8.4 8. 8. 5 8. 8. 7 9.1

7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0

98.7 100.0 102.5 100.0 100.0 98.8 98.9 101.1

-1.3 0.0 2.5 0.0 0.0 -1.2 -1.1 1.1

El residuo cíclico relativo indicó que la cosecha real estaba 1.2% por debajo de la cosecha esperada.

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo Gráfica del porcentaje de tendencia alrededor de la línea de tendencia 103.0 102.5 102.0 c

ai

Línea de tendencia

n

101.5 101.0 e

et

n

de

100.5 at

ej

d

100.0 e

n r

99.5 P

99.0

o

c

98.5

1985

1986 1987

1988

1989

Porcentaje de tendencia

98.0 Tiempo

1990 1991

1992

Página 30  

Técnico en Riesgo-Series de tiempo Variación irregular    

Factor impredecible Típicamente se presenta en intervalos cortos y sigue un patrón aleatorio No describible de manera matemática Implica conocimiento del fenómeno a lo largo de la historia

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Técnico en Riesgo-Series de tiempo

Muchas gracias!