Series Sumatorias

SERIES y SUMATORIAS

CAPITULO II

OJO

Solución: El símbolo

k se llama Sigma

e indica la sumatoria desde k = 1 : hasta para k = n. donde: k = 1 : lími límite te infe inferio rior  r  k = n : lími límite te super superio ior  r  "k" "k" : térmi término no genér genéric ico o

Método Práctico: "La suma está dada por la multiplicación entre el último término y el consecutivo al último factor del último término y todo sobre la cantidad de factores quesevaaformar. "3 factores"

Para Para poder poder desarr desarroll ollar ar una sumato sumatoria ria,, tenemos tenemos que empeza empezarr asignan asignando do para para k = 1; k = 2; k = 3; y así sucesivamente hasta k = n, al término genérico, para para luego luego sumar sumar todos todos los result resultado ados. s.

 A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8 =

Último término Consecutivo del "8"

B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11

Ejemplo: 3

(7k + 8) = 7(1) + 8 + 7(2) + 8 + 7(3) + 8 = 66 k=1

7x8x9 3

Para k= 1

Para k= 2

B=

Para k= 3

9 x 10 x 11 x 12 4

En general :

Para la suma de los 1ros. Números Números N:

k

k=1+2+3+…+n=

  n(n + 1) 2

n : Número de términos

Calcular Calcular : 1 + 2 + 3 + ......... ......... + 10 Solución: 

k(k + 1) = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + .... + n(n + 1)

Método Práctico: "La "La suma suma está está dada dada por por la mita mitad d de la mult multip iplilica caci ción ón del último último sumando sumandocon con su consec consecuti utivo" vo".. Consecutivo de "10"

Calc alcular ular : 1 + 2 + 3 + .... ...... .... .... + 10 =

10 • 11 2

=

n(n + 1)(n + 2) 3

k(k + 1)(k + 2) = 1x2x3 + 2x3x4 + .... + n(n + 1)(n + 2) =

= 55

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4

Último término

k(k + 1)(k + 2) … (k + P) =

• Calcular   A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + ....... + 7x8 7 x8 B = 1x2x3 + 2x3x4 + 3x4x5 + .... +9x10x11

donde :

n! = 1 x 2 x 3 x … x n Factorial de un número

(n + p + 1)! (P + 2)(n - 1)!

Suma de los 1ros. Números Pares:

2k

 Así por ejemplo: • Calc Calcul ular ar :

• Calc Calcula ularr : 2 + 4 + 6 + … + 40 40

1 + 3 + 5 + ..... 25 t é rm in o s 

Solución: 

Solución: 

1 + 3 + 5 + .... ...... = 25² 25² = 625 625

Método Práctico:

25 t é rm in o s 

"La suma suma esta esta dada dada por por la mult multip iplilica caci ción ón de la mita mitad d delúltimo delúltimo y el cons consec ecut utiv ivo o de esta esta mita mitad" d" Consecutivo Consecutivo de  la mitad de 40.

En general: (2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²

2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420  Últ im o  té r m in o 

÷2

En general :

2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1) ÷2

Ejemplo 1: En una industria de productos para "Taco" produce 78 bol bolas por por cada ada minut inuto, o, las las cual uales las acon acondi dici cion onan an en form forma a de triá triáng ngulo ulo de modo modo que en la 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera tres tres y así sucesi sucesivam vament ente. e. ¿Cuánt ¿Cuántas as filas filas se formar formarán? án?  A) 26

Suma de los 1ros. Números Impares:

B) 23

C) 12

D) 13

E) 263

Solución: 

sea "n" el número de filas

(2k-1) • Calc Calcula ularr : 1 + 3 + 5 + … + 19 19 Solución: 

Método Práctico: "Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma del primer primer y último último términ término" o" 1 + 3 + 5 + .... ...... + 19 = Primer  té r m in o 

 Últ im o  té r m i n o 

( (

1 + 19 2 = 100 2

Cuadrado de  la semisuma 

Total de bolas:

n(n +1) = 78 2 n(n +1) = 156 156

OJO n (n +1) = 12 • 13

Pero cuando nos muestren la cantidad de términos, términos, la suma será igual al cuadrado cuadrado de dicha cantidad de términos o sumandos. sumandos.

n = 12 ∴

Rpta. C 

Suma de los 1ros. Números Pares:

2k

 Así por ejemplo: • Calc Calcul ular ar :

• Calc Calcula ularr : 2 + 4 + 6 + … + 40 40

1 + 3 + 5 + ..... 25 t é rm in o s 

Solución: 

Solución: 

1 + 3 + 5 + .... ...... = 25² 25² = 625 625

Método Práctico:

25 t é rm in o s 

"La suma suma esta esta dada dada por por la mult multip iplilica caci ción ón de la mita mitad d delúltimo delúltimo y el cons consec ecut utiv ivo o de esta esta mita mitad" d" Consecutivo Consecutivo de  la mitad de 40.

En general: (2k - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n - 1) = n²

2 + 4 + 6 + … + 40 = 20 • 21 = 420  Últ im o  té r m in o 

÷2

En general :

2k = 2 + 4 + 6 + … 2n = n(n + 1) ÷2

Ejemplo 1: En una industria de productos para "Taco" produce 78 bol bolas por por cada ada minut inuto, o, las las cual uales las acon acondi dici cion onan an en form forma a de triá triáng ngulo ulo de modo modo que en la 1ª fila haya una, en la 2ª dos, en la tercera tres tres y así sucesi sucesivam vament ente. e. ¿Cuánt ¿Cuántas as filas filas se formar formarán? án?  A) 26

Suma de los 1ros. Números Impares:

B) 23

C) 12

D) 13

E) 263

Solución: 

sea "n" el número de filas

(2k-1) • Calc Calcula ularr : 1 + 3 + 5 + … + 19 19 Solución: 

Método Práctico: "Lasumaestádadaporelcuadradodelasemisuma del primer primer y último último términ término" o" 1 + 3 + 5 + .... ...... + 19 = Primer  té r m in o 

 Últ im o  té r m i n o 

( (

1 + 19 2 = 100 2

Cuadrado de  la semisuma 

Total de bolas:

n(n +1) = 78 2 n(n +1) = 156 156

OJO n (n +1) = 12 • 13

Pero cuando nos muestren la cantidad de términos, términos, la suma será igual al cuadrado cuadrado de dicha cantidad de términos o sumandos. sumandos.

n = 12 ∴

Rpta. C 

Ejemplo 2: Si : Sn = 1 + 2 + 3 + … + n

Ejemplo 4: Calcular :

Calcular :

E=

S1 + S2 + S3 + … + S20

 A) 1240

B) 1610

D) 400

E) 210

Solución: 

Se tiene que :

Sn =

C) 2000

n (n + 1) 2

[

D) 99

E) 100

20 x 21 x 22 3

[= 1610

∴

E=

E=

1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 196 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420 B) 68

D) 40

E) 27

+

3 100

+

5 100

+ ..... +

(

1999 + 1 2 10

( 

1000 10

=

C) 67

 Aplicando métodos prácticos :

D) 38

E) 111

1 + 3 + 5 + 7 + ..... + x = 196 196 (= 196

(= 20 • 21

Luego: x + y = 27 + 40 = 67

C) 37

1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa x (x + 1) = a • 11 111 2

2 + 4 + 6 + 8 + ..... + y = 420 y +1 2

Rpta. E 

Solución: 

2

 Aplicando métodos prácticos :

(

∴

1 + 2 + 3 + ...... + x = aaa B) 36

y 2

= 10 0

Ejemplo 5 Calcular : "x"

 A) 35

(

1999 100

2

Solución: 

1+x 2

C) 80

1 + 3 + 5 + ..... + 1999 100 (suma de los primeros impares)

Rpta. B 

Ejemplo 3: Calcular "x + y" si :

 A) 69

1 100

E=

1 [1x2 + 2x3 + 3x4 + … + 20x21] 2 1 2

B) 0,123

Transformando los decimales :

1x 2 2x 3 3x 4 20 x 21 + + + …... + 2 2 2 2

=

 A) 1

Solución: 

Luego piden :

=

0,01 0,01 + 0,03 0,03 + 0,05 0,05 + ...... ...... + 19,99 19,99

y 2

= 20

y = 40

x (x + 1) = a • 2 • 3 • 37 (tanteando) 36 → se deduce

x = 36 ∴

Rpta. C 

∴

Rpta. B 

Ejemplo 6: Determinar el valor de : S = 20.1: + 19.2 + 18 .3 + ........ + 1.20  A) 4525

B) 1245

D) 1580

E) 1540

• Calcul Calcular ar : 1³ + 2³ + 3³ 3³ + .... .... + n³ n³ C) 3870

Solución: 

Podemos resolver, dándole forma de la siguiente manera : S = (21-1).1 + (21-2).2 + (21-3).3 +.....+ (21-20).20

S = 21.1 + 21.2 + ... + 21.20 - (1²+2²+3²+....+20²) S=



21 . 20 (21)

-



20 (21) (41)

2

Solución: 

Método Práctico: "La suma está dada por el cuadrado de la mitad de la multiplicación entre el número de términos y su consecutivo".  10 • 11 1³ + 2³ + 3³ + .... + 10³ = = 3025 2 10 términos

Cuadrado de la mitad de la multiplicación

En general :

6

S = 1540

dond donde e: ∴

Rpta. E 

Suma de los cuadrados de los 1ros.

. Calcular :

  ) k²)

1² + 2² + 3² + .... + 10²

Solución: 

n : Núme Número ro de térm término inoss

Ejemplo 1: Juan conviene en pagar un artículo cada fin de semana de la siguiente forma: la primera semana paga S/.0.25, la segunda semana S/.1, la tercera S/.2.25, la cuarta S/.4 y así sucesivamente durante vein veinte te sema semana nas. s. El preci precio o del del artí artícu culo lo es :  A) S/.750.50

B) S/.700.50

D) S/.717.50

E) S/.400.50

C) S/.350.50

Solución: 

Método Práctico: "La suma está dada por la multiplicación, entre el número de términos, con su consecutivo y la suma del número de términos y su consecutivo, para luego luego dividi dividirr todosob todo sobre re 6". (10 + 11)

1² + 2² + 3² + .... .... + 10² = 10 términos

10 • 11 • 21 = 385 6

En general :

Sea "S" la suma a pagar, luego: S = 0.25 + 1 + 2.25 + … 20 sumandos

S=

n : núme número ro de térm términ inos os

1 9 +1 + +4 +… 4 4 20 sumandos

S= S= S=

donde donde :

  ) k³)

Suma de los cubos de los 1ros.

1 + 4 + 9 + 16 + … 4 1² + 2² + 3² + 4² + .... + (20)² 4 1 4

20(21)(41) 6

S = 717.5

∴

Rpta. D 

Ejemplo 2: En el triángulo numérico hallar la suma de las veinte primeras columnas (dar como respuesta la suma de cifras del resultado). C1

C2

C3

C4  .......

.

.

. 3 3 3

4 4 4 4

2 2

1  A) 16 D) 15

....... ....... ....... .......

B) 17 E) 19

C) 18

Piden : 1(1) + 2(2) + 3(3) + … + 20(20) 20 x 21 x41 6

B) 5665 E) 5388

C) 5385

Es importante considerar que la fórmula de los cuadrados, específicamente está referida a la suma de los cuadrados de los primeros enteros positivos, es decir que si la suma no empieza en 1² + 2²; será necesario un artificio previo, que consiste en suponer que efectivamente empieza en 1², para luego restarle los primeros términos que no correspondan a la suma planteada inicialmente; es decir que siendo la suma original :

Ejemplo 3: Efectuar: 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 3² + 4² + 5² + ...... + 10²

10²

B) 17 E) 19

C) 18

el artificio será : S = 1² + 2² + 3² + ....+25²

- (1² + 2² + ...+ 5² + 6² + 7²)

n = 25

n=7

Este procedimiento conocido, como el QUITA y PON nos permite aplicar la fórmula dos veces, primero para los 25 primeros términos y luego en el sustraendo a los siete primeros términos, apliquemos pues : n (n + 1)(2n +1) 6

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 2² + 3² + 4² + 5² + ...... + 10² 3² + 4² + 5² + ...... + 10²

Luego :

S = (25 • 26 • 51) 6

10² 1(1²) + 2(2²) + 3(3²) + ..... + 10(10²)

-

(7 • 8 • 15) 6

S = 5385

( (10•11 2 2

= 3025 ∴

quesepuedeexpresar: S=[8²+9²+10²+11²+12²+.....+25²]

Rpta. B 

∴

1³ + 2³ + 3³ + ..... + 10³ =

 A) 5525 D) 3600

S=64+81+100+121+144+.....+625,

= 2870 Pero se requiere : 2 + 8 + 7 + 0 = 17

 A) 16 D) 15

S = 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + ..... + 625

Solución: 

Solución: 

= 1² + 2² + 3² + .... + 20² =

Ejemplo 4:

Rpta. B 

∴

Rpta. C 

Ejemplo 5:

Suma de los términos de una Progresión Aritmética

Calcular: S = 12³ + 13³ + 14³ + .... + 20³  A) 194736 D) 8910

B) 36191 E) 11197

C) 39744

Solución: 

Solución: 

 Aplicamos un procedimiento análogo al ejemplo 4, se tendrá que falta :

(   ( (

4 + 7 + 10 + 13 + ..... + 37 +3 +3 +3 Razón aritmética r=3=7-4

(   (

S=

Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión aritmética.



11 • 12 1³ + 2³ + 3³ + .... + 11³ = 2 Luego :

• Calcular : 4 + 7 + 10 + 13 + ...... + 37

1er término a1 = 4

20 • 21 ² 11 • 12 ² = 39744 2 2

(

∴

último término an = 37

an = a1 + (n - 1) r 

Rpta. C 

n= Sn =

I)

Suma de los cuadrados de los "n" primeros números pares naturales. 2² + 4² + 6² + 8² + … + (2n) ² =

2n (n+1)(2n+1) 3

an - a r  +1 r  an + a 1 n 2

Donde:

n : número de términos an : término enésimo S : suma de los "n" primeros términos n

en el problema :

II)

Suma de los cuadrados de los "n" primeros números impares naturales. 2n (4n² - 1) 3

a1 = 4 r  = 3 an = 37

Suma de los cubos de los "n" primeros números pares naturales.

OJO

1² + 3² + 5² + 7² + … + (2n - 1)² =

III)

n = 37 - 4 + 1 3

S12 = 37 + 4 12 2 = 246

n = 12

2³ + 4³ + 6³ + 8³ + … + (2n)³ = 2[n(n + 1)]²

IV)

Suma de los cubos de los "n" primeros números impares naturales. 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + … + (2n - 1)³ = n² (2n² - 1)

S =

(

Semisuma de extremos

(

Número de términos

CONSIDERACIONES IMPORTANTES:

CONSIDERACIONES IMPORTANTES:

I)

En toda P.A. cada término comprendido entre el primero y el último, es igual a la semisuma de sus dos términos adyacentes.

I)

En toda P.G. cada término comprendido entre el primero y el último es igual a la raíz cuadrada del producto de sus dos términos adyacentes.

II)

En toda P.A. de número impar de términos, siempre se cumple que existe un único término central cuyo valor es la semisuma de dos términos equidistantes.

II)

En toda P.G. de número impar de términos se cumple siempre que existe un único término central, cuyo valor es la raíz cuadrada del producto de dos términos equidistantes.

tcentral =

S términos equidistantes

Tcentral =

2

III) En toda serie aritmética de número impar de términos se cumple: términos

S = T central   x 

IV)

términos

lugar  — S de lugar  S de impar   par 

tcentral  =

PRODUCTO DE 2 t  TÉRMINOS EQUIDISTANTES

Q = 1 + 2 + 2² + 2³ + 22001

Ejemplo 1: Calcular :  A) 22001 - 1

B) 22001

D) 42001

E) 1616

C) 22003

Solución:  Número de términos

Suma de los "n" primeros términos de una progresión geométrica finita

Estamos frente a una progresión geométrica finita: T1 = 1 ; q = 2 ; n = 2002 donde : Sn = T1

qn - 1 q- 1

⇒ Q= 1

Calcular : 3 + 6 + 12 + 24 + .....

22002 - 1 2- 1

= 22002 - 1

Solución: 

Debemos tomar en cuenta los conceptos utilizados en una progresión geométrica. 3 + 6 + 12 + 24 + ......... "8 términos" x 2

Donde :

x 2

x 2

T1 = q n

3 (primer término)

=

2 (razón geométrica)

=

8 (número de términos)

∴

Ejemplo 2: Si n es un entero positivo, el valor de la suma : 3 + 33 + 333 + ....... + 3 ..... 3 n cifras

 A)

10n - 9n - 10 27 n+1

Sn = T1

D) 10

qn - 1 q- 1

Rpta. A

- 9n + 10 27

n+1

B) 10 E)

- 9n - 10 27

n+1

C) 10

+ 9n - 10 27

10n - 9n + 10 27

Solución: 

S = 3 + 33 + ....... + 3 ..... 3

• Sn : suma de los "n" primeros números

n cifras

multiplicando por 3 3S = 9 + 99 + ....... + 99..... 9

•q>1

n cifras

En el problema : T1 =

3

q = n =

2 8

( (

28 - 1 S8 = 3 2- 1

= 3 • 127 = 381

podemos expresar como : 3S = (10 - 1) + (10² - 1) + … + (10n - 1) Observamos "n" sumandos : 3S = (10+10² + … + 10n) - (1 + 1 + ..."n" sumandos) aplicando "S" de progresión geométrica 3S =

10 (10n -1) 10 - 1

n+1

10 -n ⇒ S=

+ 9n - 10 27

∴

Rpta. C 

Suma de los Infinitos términos de una progresión geométrica decreciente : 1 1 1 + + +… 2 4 8

• Calcular : 1 +

Ejemplo 2: Si los radios de una sucesión de circunferencias son: 1 1 1   1m ; m ; … 2 4 8

La suma de sus correspondientes longitudes es igual a:

Solución: 

Es decreciente ya que los términos van disminuyendo su valor, donde el término enésimo tiendeacero,cuando"n"esmuygrande.

 A) π

B) 2π

D) 8π

E) 16π

C) 4π

Solución : 

1+

1 1 1 + + +… 2 4 8

1 x 2

1 x 2

q =

1 x 2

1 2

por eso es decreciente