Series Fourier Almira

 

LAFA. Laboratorio de An´ a´ lisis de Fourier Aplicado Analisis

Convergencia puntual y uniforme de las series de Fourier: teorema de Dirichlet y necesidad de la regularidad*

Estim timacion o´ n de coeficientes de Fourier y suavidad de se ˜  se ˜  nales

1. 1.1. 1.1.

Es Esti tima maci ci´on o´ n de los coeficientes de Fourier mediante integraci´ integracion o´ n por partes

En la se secc cciio on ´ n ante teri rio or se ha vis visto que si la senal n˜ al es de cuadra cuadrado do int integ egrab rable le enton entonces ces sus co coefic eficien ientes tes de Fourier pertenecen a   l2 (Z). Evidentemente, esto no basta para garantizar la convergencia de la correspondiente serie de Fourier1 (y, mucho menos, para garantizar, en el caso de que se produzca dicha convergencia, que el l´ l´ımite ımite es la senal n˜ al de partida). Para garantizar la convergencia de la serie de Fourier a la se nal n˜ al de partida, necesitaremos ciertas hip´otesis otesis sobre la suavidad de la se˜nal. nal. Podemos lograr una primera impresi´on on sobre el efecto que tiene imponer condiciones de suavidad para la se˜ senal n˜ al x(t) sobre el tama˜ tamano n˜ o de los coeficientes de Fourier, si calculamos dichos coeficientes mediante integraci integraci´on o´ n por partes. Ahora bien, antes de efectuar el calculo a´ lculo de los coeficientes de Fourier de la senal, n˜ al, hacemos la siguiente observaci observaci´on: o´ n:

 u (t)  tiene discontinuidades de salto en los puntos  { a, b} , entonces al aplicar integraci´  integracion ´  Nota 1   Si  u( b  por partes para el calculo ´  de a   udv , se obtiene que

 

 b

 

udv   =

a

 

  b−t

l´ım

t→0+

a+t

−

= 

b uv] uv ]a+  −

−

b

 u (b−)v (b) − u(a+ )v (a). uv ]a+   =  u( donde   uv]

udv   = l´ım+ udv t→0

 b

  a



uv uv]]ab−+tt

     b−t

−

vdu

a+t

vdu ;

´n Supongamos que existe una particio on

−π   =  θ 0  < θ1    1  y, sin embargo, no es sumable.

 

 

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 x(t) es derivable en cada intervalo abierto  (  (θθ j− del intervalo [−π, π ] tal que x( l´ımites ımites  j −1 , θ j )  y existen los l´ laterales  ) , · · ·   , x(θJ ±−1 ), x(π − )}.  ), x(θ2± ), {x(−π+ ), x(θ1± ),  x(t)  vienen dados por2 : Entonces los coeficientes de Fourier de x( a  = k

 π

 1

x(t)cos( )cos(kt kt))dt

π  1 = π  j j=1 =1

      −π J 

  θj

θj

x(t)cos( )cos(kt kt))dt

−1

J 

=

 1 π  j j=1 =1

  1 = kπ

x(t)

sin(kt)) sin(kt k

J 

     −

θj

  θj

θj+

−1

θj

−1

  θj

−

θj

x(t)sin( )sin(kt kt)] )]θ+ − j −1

 j  j=1 =1

x (t)

−

θj

 

sin(kt)) sin(kt   dt k

x (t)sin( )sin(kt kt))dt

−1

1 =   O ( ). k

Obviamente, esto no basta para garantizar la convergencia de la serie de Fourier asociada. Ahora

 

 x(t)  es continua entonces la suma bien, si sabemos que la se˜nal nal x( de modo que solo o´ lo debemos preocuparnos del valor de

    J 

  θj

−

θj

 j  j=1 =1

x (t)

−1

J   j=1  j =1

 −

sin(kt)) x(t) sin(kt k

θj

θj+

se cancela,

−1

sin(kt)) sin(kt   dt . k

 x (t)  es continua y derivable (excepto quiz´ Si suponemos, pues, que  x( quizas a´ s en los puntos  θ i , donde supon dremos dre mos que ex exist isten en las deriv derivad adas as latera laterales les), ), y que que x (t) es deriv derivabl ablee en los interv intervalo aloss ab abier iertos tos (θi−1 , θi ), entonces, integrando de nuevo por partes, obtenemos que  1 ak   = π

J 



  j=1 j =1 2

cos(kt)) cos(kt x (t) k2

−

θj

  θj

− θ+



x (t) θj

−1

cos(kt)) cos(kt   dt k2

      j −1

2



(1/k /k )  (y, an´ (1/k /k )), de modo que la serie de Fourier y, por tanto,   |ak |   =   O(1 analogamente, a´ logamente, |bk |   =   O(1 3 converge con verge absoluta y uniformemente . Si la primera derivada es continua, entonces la suma J 

1 π  j j=1 =1

cos(kt)) cos(kt x (t) k2

−

θj

θj+

−1

se cancela y, volviendo a introducir m as a´ s hip´ hipotesis o´ tesis de regularidad (esta vez sobre  x  (t)) y a integrar por partes, obtenemos que |ak |  =  O (1 (1/k /k3 ). El argumento se puede continuar repetidas veces. 2 3

Para los coeficientes b k  se puede realizar, evidentemente, un c´alculo alculo an alogo a´ logo Esto es consecuencia de la prueba M de Weierstrass.

2

 

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Hemos demostrado entonces que, para se nales n˜ ales continuas con primera deriv derivada ada continua a trozos y 2 deriv der ivab able le a trozos trozos,, los co coefic eficien ientes tes de Fouri Fourier er satis satisfac facen en |ak |  =  O (1 (1/k /k ) y, puest puesto o que que | sin t|, | cos t| ≤ 1, la correspondiente serie de Fourier es sumable (de hecho, absolutamente y uniformemente sumable). Es m´ mas, a´ s, su suma ser´ sera´ de nuevo la senal n˜ al de partida4 . Este resultado se debe a Heine 5 , que lo demostr´o´ en 1870 utilizando la desigualdad de Bessel. demostr

1.2.

Uso de dell T Teorem eorema a del Valor M Medio edio In Integral tegral para la estimac estimaciion o´ n de los coeficientes de Fourier

Otro m´ metodo e´ todo para estimar los coeficientes de Fourier se basa en el uso del conocido Teorema del Valor Medio Integral: Supongamoss que u(  u(t) es una funci´  on integrable, positiva y decreTeorema 1 (P. O. Bonnet, 1849)   6 Supongamo ciente en el intervalo   [a, b]  y que   ϕ  es integrable en   [a, b]. Entonces existe un punto   x   ∈   (a, b)   tal que

 

 b

 

 x

u(t)ϕ(t)dt dt =  = u  u((a)

a

ϕ(t)dt.

a

 2π π -peri´odica Supongamos ahora que estamos estimando los coeficientes de Fourier de una se˜nal nal 2 odica tiene la propiedad de ser de o´tn) − acotada. Entonces que dicha senal n˜ al se x (t)   que  x(  x(variaci t) =  u(  u (on v (t), donde  u(  u (t),es v (tconocido )  son funciones puede expresar como una diferencia decrecientes en [−π, π ). Es m´ mas, a´ s, sumando a ambas funciones la misma constante, su diferencia queda invariante y y,,  u(t), v (t)  ≥  0  para todo  t . Entonces podemos realizar las siguientes por tanto, podemos suponer que  u( estimaciones:

 1 ak   = π

 

 π

 1 )cos(kt  = x(t)cos( kt))dt dt = π −π

 

 π

 1 )cos(kt u(t)cos( kt))dt − π −π

 

 π

)cos(kt v (t)cos( kt))dt

−π

4

˜ de partida no est´ La prueba de que la serie suma exactamente la se nal esta´ contenida en los c alculos a´ lculos que se han realizado hasta aqu´ı. ı. Sin embargo, para demostrar la veracidad de esta afirmaci´ afirmacion o´ n bastar´a tener en cuenta el Teorema de Aproximaci´on maci o´ n de Weierstrass en su versi versi´on ´ trigonom´ trigonometrica, e´ trica, lo que demostramos en el Corolario  ?? que sigue al Teorema de Fej` Fejer e` r (ver la seccci secccion ´ 1.3.5. ). 5 H. E. Heine (1821-1881). Matem´atico atico alem´an. an. Se le conoce, entre otras cosas, por el teorema que caracteriza los comn pactos pac tos de R pre precis cisame amente nte com como o sus sub subcon conjun juntos tos cer cerrad rados os y aco acotad tados. os. Tamb ambiien e´ n tra trabaj baj´o´ en te tema mass deAn deAn´alisis a´ lisis Mate Matem matico, a´ tico, como las funciones de Bessel o los polinomios de Legendre. 6 P. O. Bonnet (1819-1892). Matem´atico atico franc´es. e s. En 1843 public´o un primer trabajo sobre convergencia de series de terminos e´ rminos positivos y en 1849, gracias a otro trabajo sobre series funcionales, recibi o´ un premio de la Academia de Bruselas Bruse las (Es en este segundo segundo art´ıculo ıculo donde aparece el teore teorema ma del valor medio integral). integral). Sin embar embargo, go, en el tiemp tiempo o transcurrido entre estos art´ art´ıculos, ıculos, se interes´ intereso´ por la Geometr´ Geometr´ıa ıa Diferencial, tema al que dedic o´ el resto de su carrera investigadora, logrando importantes avances. En particular, a ´el el debemos el concepto de curvatura geod´esica esica y uno de los pocos teoremas de Geometr´ıa ıa Diferencial Global que se estudian actualmente en la carrera de Matem´aticas: aticas: el Teorema de Gauss-Bonnet.

3

 

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 u(t)  y  v  v((t), tenemos que y, por tanto, si utilizamos el Teorema de Bonnet para  u(

 

 π

1 π

 

 x

u(t) co cos( s(kt kt))dt   =   u(−π )

−π

cos(kt cos( kt))dt

−π

=

  u(−π )   (sin(kx (sin(kx)) + sin(kπ sin(kπ)) )) k

=   u(−π ) sin(kx sin(kx)) k y

1 − π

 

 π

 

 y

cos( s(kt v (t) co kt))dt   =   −v (−π )

−π

cos(kt cos( kt))dt

−π

v (−π )   (sin(ky (sin(ky)) + sin(kπ sin(kπ)) )) k v (−π ) = −   sin(ky sin(ky)) k = −

para ciertos valores x, y  ∈  ( −π, π ). Se sigue que

ak   = y, por tanto,

  u(−π)  v  v((−π)   sin(kx sin(kx)) −   sin(ky sin(ky)) k k

 1 u(−π) v (−π)   |+|   |  = (u(−π) + v +  v((−π )) )).. k k k  cos(kπ kπ)) no se anula y, por En la estimaci´ estimacion o´ n de los coeficientes bk  habr  habr´a´ que tener en cuenta que ahora  cos(

|ak | ≤ |

tanto,

1 π

 

 π

 

 x

u(t) sin( sin(kt kt))dt   =   u(−π)

−π

sin(kt sin( kt))dt

−π

=

  u(−π)   (− cos( cos(kx kx)) + cos(kπ cos(kπ)) )) k

y

− de modo que

1 π

 

 π

v (t) sin( sin(kt kt))dt   =   −

−π

v (−π)   (− cos( cos(kx kx)) + cos(kπ cos(kπ)) )),, k

u(−π ) v (−π)  2   | + 2|   |  = (u(−π) + v +  v((−π )) )).. k k k En todo caso, acabamos de demostrar que para se nales n˜ ales   x(t)   de variaci´ variacion o´ n acotada se tiene que los coeficientes de Fourier asociados se van a cero con velocidad O(1  O (1/k /k)).

|bk | ≤  2 |

Un poco m´ mas a´ s de trabajo bastar´ bastara´ para demostrar el siguiente (interesante) resultado: senal  x (t)  es derivable en todo punto y que  x  (t)  es una funci´  funcion Teorema 2  Supongamos que la se˜  ˜   x( ´  de variaci´  on acotada. Si adem´  as se satisface que   x(−π ) =   x(π ) , entonces   |ak |, |bk |   =   O (1 (1/k /k2 )  y, en  particular,, la serie de Fourier de  x(  particular  x(t)  converge a x(  x(t)  absoluta y uniformemente en [−π, π ].

4

 

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1.3.

Con Conver vergenc gencia ia pu puntua ntuall de lla a ser serie ie de Fourie Fourierr

Los criterios explicados en las secciones anteriores relativos al tama no n˜ o de los coeficientes de Fourier de se˜ senales n˜ ales   2π -peri -peri´odicas o´ dicas   x(t)  no son, en absoluto, suficientes para un estudio serio de las propiedades de convergencia de las sumas parciales   S N  e´ ngase en cuenta que los c´ calculos a´ lculos realN x. Tengase ´ s bien enfocados para utilizar el criterio M de Weierstrass y, por tanto, izados hasta ahora estaban m´ m aas para demostrar la convergencia de la serie de Fourier. De modo que deseamosCon estudiar la convergencia puntual de la uniforme serie, necesitaremos realizar estimaciones m as a´ ssiprecisas. este objetivo en mente, vamos a obtener, como primer paso, una expresion o´ n cerrada para las sumas parciales S N  expresion o´ n que posteriormente ser´ sera´ utilizada para estimar las diferencias  S N  N x, expresi´ N x(t) − x(t),

N   = 0, 1, 2, · · ·   , .

1.4.

Algunas estimac estimaciones iones previas: previas: Repr Representaci esentaci´on o´ n integral de  S N N  x

Sabemos que

  a0 (S N )(t) =   + N  x)(t 2 donde

  ak   = bk   =

 

  1

N 



(ak cos(  cos(kt kt)) + b +  bk sin(  sin(kt kt)) )),

k=1

π

 x(  x(s)cos( )cos(ks ks))ds  ; para  k  ≥  0 ππ x( −  x(s)sin( )sin(ks ks))ds; para k  ≥  1 −π

             π 1 π

(1)

Ahora, sustituyendo las expresiones de los coeficientes en (1), e intercambiando la suma (finita) con la integral, obtenemos que

(S N )(t) = N  x)(t =

 1 π

 1 π

 π

x(s)

−π  π

x(s)

−π

1  + 2

N 



cos(ks ks)cos( )cos(kt kt)) + sin(ks sin(ks)sin( )sin(kt kt))} ds {cos(

k=1 N 



1  + cos(k cos( k(s − t)) ds, 2 k=1

y, haciendo u =  u  = s  s − t, obtenemos que N 

 π

(S N )(t) =   1 N  x)(t π

 

x(t + u)

−π

1 + cos(ku cos( ku)) du. 2 k=1

  

Para obtener resultados sobre la posible convergencia de  S N  N x, lo que necesitamos es, pues, analizar N   1  cos(ku ku)). De hecho, vamos a obtener una expresio ´n el comportamiento de la suma kN (u) = 2 + k=1 cos( on compacta para dicha suma. Para ello empleamos la f´ormula ormula trigonom´etrica etrica



sin(a sin( a + b) − sin( sin(a a − b)   = cos a sin b. 2  a  = k  ku u  y  b =  b  = u/  u/22, Tomando  a = sin

 (2  (2k k + 1)u 1) u  (2  (2k k − 1) 1)u u  u   = cos( cos(ku ku)sin )sin   − sin 2 2 2 5

 

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se deduce que

  N 

kN (u)sin

 u  1  (2k  (2 k + 1)u 1) u  u  (2  (2k k − 1) 1)u u  = sin sin   +   − sin 2 2 2 2 k=1 2 =

 1

 sin

 (2  (2N  N   + 1) 1)u u

2

y, por tanto,



2

 

x(t + u)

 

sin((2N   + 1) sin((2N  1)u/ u/2) 2) du  . sin(u/ sin( u/2) 2) 2

 π

 1 (S N  )(t) = N x)(t π

−π

sin((2N   + 1) sin((2N  1)u/ u/2) 2) du  . sin(u/ sin( u/2) 2) 2

(2)

´ n7 (2) es de vital importancia para la estimaci on  x (t) − S N   N    = La expresi´ expresio on o´ n de las diferencias  x( N x(t),  N  0, 1, · · · . Veamos por qu´ que: e´ : Debido a la propiedad de mejor aproximacion o´ n en m´ m´ınimos ınimos cuadrados para S N  N x, se deduce que, si tomamos x(  x(t) = 1, entonces (S   (S N )(t) = 1 y, por tanto, N  x)(t

 1 1= π

 π

−π

Multiplicando ambos miembros por x(t) y, pasando la constante x(t) dentro de la l a integral del segundo miembro de la igualdad (t´eengase ngase en cuenta que integramos contra la variable u), se tiene que

 1 x(t) = π y, por tanto,

 1 x(t) − (S N )(t) = N  x)(t π

   

 π

−π

x(t)

sin((2N  + sin((2N   + 1) 1)u/ u/2) 2) du sin(u/ sin( u/2) 2) 2

 π

(x(t) − x(t + u))

−π

sin((2N   + 1) sin((2N  1)u/ u/2) 2) du  . sin(u/ sin( u/2) 2) 2

Ya estamos en condiciones de demostrar el siguiente importante resultado:

Teorema 3   Supongamos que   x(t)   ∈   L1 (−π, π )   y   x(t)  es derivable en el punto   t0   ∈   (−π, π). Entonces  l´ımN →∞  x (t0 ). →∞ S N N  x(t0 ) =  x( Demostraci on. o´ n.   Para estimar estimar la diferencia x(  x (t0 ) − (S N )(tt0 )  hemos conseguido que aparezca en el N  x)(   x(t0 )−x(t0 +u)  x (t)  es derivable en  t 0 , ya que en tal caso   . Esto Esto es util ´ si  x( segundo miembro la expresi´o on n 2sin( 2sin(u/ u/2) 2) la expresi´ expresio on ´n

  x(t0 )−x(t0 +u)   u

tiene l´ımite ımite −x (t0 )  ∈ R para u  →  0  y, por tanto, podemos afirmar que

Φ(u Φ( u) := 7

  x(t0 ) − x(t0 + u)   x(t0 ) − x(t0 + u) 1   = , 2 sin( sin(u/ u/2) 2) u sin(u/ sin( u/2) 2)//(u/2) u/2)

     

  

π π N    1   1 ik(t−s)  x((s)e−iks ds. Por tanto,   S N  x(s)) ))ds ds  y, N x(t) = 2π −π ( k=−N  e 2π −π x (2N  N +1) +1)τ  τ  + 1) τ  − + 1) τ  − i(2 i(N +1)τ  iNτ  i(N +1)τ  iNτ   e −1   e −e   e −e e−iτ/ 2 iτ  k Nτ  e e−iNτ  2kN  =   e−iNτ    =   = iτ  iτ  iτ  =0 (e ) e −1 e −1 e −1 e−iτ/ 2 sin((N + 12 )τ ) , se llega a la expresi´ expresi´on on deseada tomando  τ   τ    =  t − s. sin   τ  2

x(k) =

6

   

N  ikt , do dond ndee k=−N  x(k)e N  ikτ  usando que = k=−N  e

Otro Ot ro mo modo do de ll lleg egar ar a (2 (2)) es el si sigu guie ient nte: e: Se ti tien enee en cu cuen enta ta qu quee   S N  N x(t) =

 =

N + + i(N 

  e

1 )τ  −i(N + 1 )τ  2 2 −e −e−iτ/ 2

iτ/ 2

e

 

=

 

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es una funcion o´ n acotada, ya que el   unico u´ nico posible problema lo dar´ dar´ıa ıa tomar l´ l´ımite ımite   u   →   0, pero esto sin u  produce el valor −x (t0 ), pues l´ımu→0 u   = 1. Queremos, pues, estimar el l´ l´ımite ımite de

1 π

 

 π

Φ(u Φ( u) sin( sin(

−π

(2 (2N  N   + 1) 1)u u   )du 2

para N   → ∞. Ahora bien, podemos utilizar el siguiente resultado, que es una interesante consecuencia del Lema de Riemann-Lebesgue:

 h(u)  es una se˜  Lema 1  Supongamos que h( senal ˜  absolutamente integrable en ( −π, π ). Entonce Entoncess 1 l´ım n→∞ π

 

 π

h(u) sin( sin(

−π

(2 (2n n + 1)u 1) u   )du = du  = 0 2

Demostraci on. o´ n. Para verlo, tengamos en cuenta que

sin

 (2  (2n n + 1)u 1) u  1   = sin(( sin((n n + )u) = sin(nu sin(nu)) co cos( s(u/ u/2) 2) + cos(nu cos(nu)sin( )sin(u/ u/2) 2) 2 2

cos(u/2) 2)h h(u) y  h 2 (u) =  h(  h (u)sin( )sin(u/ u/2) 2), se tiene que y, por tanto, si hacemos h 1 (u) = cos(u/ 1 π

 π

 1 du =  = b  b n (h1 ) + a +  an (h2 ), h(u) si sin( n(((n + 2 )u)du −π

 

donde  b n (h1 )  denota el  n -´eesimo simo coeficiente de Fourier (de los que multiplican a los senos) de  h 1   y an (h2 )  denota el  n -esimo e´ simo coeficiente de Fourier (de los que multiplican a los cosenos) de  h 2 . Como  h (u)  como  h 1 (u)  y  h 2(u)  son absolutamente integrables en  ( −π, π), podemos utilizar el Lema tanto h( de Riemann-Lebesgue, y por tanto, sus coeficientes de Fourier convergen a cero. Esto termina la prueba.  ´ n Φ( Φ(u u) gara La construcc construcciio´ n de la fu func nciio on garantiza ntiza que ´ que ´esta esta perte pertenec necee a L1 (−π, π ) y, por tanto, tanto, podem podemos os utilizar el lema anterior para afirmar que

1 l´ım N →∞ →∞ π

 

 π

Φ(u Φ( u)sin(

−π

(2 (2N  N   + 1) 1)u u   )du = du  = 0, 2



lo que concluye la prueba del teorema.

2.

El Teorema eorema de Dirich Dirichlet let

La idea, expuesta en la seccion o´ n anterior, de obtener una f ´ f ormula o´ rmula integral que proporcione una expresion o´ n cerrada para la suma parcial   N -esima e´ sima   S N  N x  de la serie de Fourier de   x(t)   fue explotada por P. L. Dirichlet, que en 1829 logr o´ el primer avanze verdaderamente significativo en el estudio de la convergencia de las series de Fourier de senales n˜ ales peri´ periodicas o´ dicas al establecer con todo rigor una clase de funciones lo suficientemente amplia como para justificar su utilidad en numerosas aplicaciones. Concretamente, Concretamen te, demostr´ demostro´ el siguiente resultado8 : 8

Hemos esperado hasta enunciar el teorema de Dirichlet para introducir la terminolog´ıa ıa usual, segun ´ la cual denotamos por DN   al n ucleo u´ cleo de Dirichlet, etc.

7

 

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Teorema 4 (Dirichlet)   Sea  x  x((t)  una se˜  senal  2π π -peri -peri´  odica y sea  S N  )(tt)  la suma parcial N -esima de ˜   2 ´  ´  N (x)( la serie de Fourier de  x. Entonces  S N siguiente representac representaciion ´  integral: N  (x)  admite la siguiente

 1 S N )(t) = N  (x)(t 2π

 

 π

x(t + s)DN (s)ds,

−π

  sin((N  sin((N + + 1 )s) = sin( 12 s2)   ,

donde  D N (s) toma toma el nombr nombree de n´  ucleo de Dirichlet. Adem´  as, si   x(t)  es continua a trozos tro zos con primera primera derivada continua a trozos trozos9 , entonces

  x(t+) + x +  x((t− ) l´ım S N  )(t) =   . N (x)(t N  N →∞ →∞ 2  Es mas, ´  en tal caso podemos garantizar que se dan las siguientes f ormulas: ´  ´ 

1 l´ım N →∞ →∞ 2π 1 l´ım N →∞ N →∞ 2π

   

 π

  x(t+ ) x(t + s)DN (s)ds   = 2 0  0   x(t− ) x(t + s)DN (s)ds   =  , 2 −π

 

(3)  

(4)

donde la convergencia que se produce es uniforme sobre compactos   K  estrictamente contenidos dentro del conjunto de puntos de continuidad de la se˜  nal (i.e., [−π, π ] \ {θ1 , θ2 , · · ·   , θm }  para cierto m conjunto finito de puntos {θi }i=1 ).   x(π )+ )+x x(−π + ) −

Finalmente, para   t   ∈ {−π, π }   se tiene que  l´ımN    . En particular particular,, si N →∞ →∞ S N  N x(±π ) = 2 x(t)  es  2π  2π-periodica  x (t) ´  y continua con derivada continua a trozos, entonces la serie de Fourier de  x( converge uniformemente a x(  x(t)  en R.

Demostraci on. o´ n.  La primera parte del teorema, seg un u´ n la cual  S N  o´ n integral N (x)  admite la representacion

 1 S N )(t) = N  (x)(t 2π con D N (s) =

  sin((N  sin((N + 12 )s)   , sin( 12 s)

 

 π

x(t + s)DN (s)ds,

−π

ya la hemos hemos probad probado o en la secci secci´on o´ n anterior. Si probamos que (3) y (4) son

ciertas entonces habremos finalizado. Hacemos las cuentas solo para (3), pues (4) se demuestra de forma an´ analoga. a´ loga. Para empezar, hacemos la siguiente observaci´on: on: si   h(t)  es una funci´on on continua a trozos en el  [0,, π ]  entonces intervalo [0

1 l´ım N →∞ →∞ π

 

 π

0

 1 h(t)sin(( )sin((N  N   + )t)dt = dt  = 0. 2

´ n h ∗ (t) := h :=  h((t)χ[0 Para verlo, basta tener en cuenta que la funci´ funcio on [0,π ,π]] (t)  satisface

1 π

 

 π

 1  1 h∗ (t)sin(( )sin((N  N   + )t)dt dt =  = 2 π −π

9

 

 π

0

 1 h(t)sin(( )sin((N  N   + )t)dt 2

Para mayor precisi precision: ´ estamos pensando en funciones  x  x((t)  tales que ellas y sus primeras derivadas tienen a lo sumo un conjunto finito de discontinuidades de salto. En particular, para todo  t  ∈  ( −π, π )  existen los valores  x  x((t± )  y  x (t± ).

8

 

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y podemos aplicar a  h ∗ el Lema 1. Ahora bien, se sigue de la expresi on o´ n integral de  S N  N x  y del hecho π  1 de que 2π −π DN (s)ds ds =  = 1, que

 

      

sin((N   +   12 )s) sin((N    x(t+) + x +  x((t− ) x(t + s)   ds − 1 2 2sin( s ) −π 2 sin((N  N   +   1 )s) 1   0 x(t + s) − x(t−) sin(( 2 2 π −π sin( 12 s) sin((N  N   +   12 )s) 1   π x(t + s) − x(t+) sin(( . + 2 π 0 sin( 12 s)

  x(t+) + x +  x((t− )  1 S N  )(t) −   = N (x)(t 2 π =

 π



Por tanto, nuestro problema se reduce ahora a la estimaci´ estimacion o´ n de las integrales que aparecen en el segundo miembro de la igualdad anterior. Como la estimacion o´ n es an´ analoga a´ loga para ambas integrales, relizamos de manera expl´ expl´ıcita ıcita los c´ calculos a´ lculos solo para la segunda, que est´ esta´ escrita en el intervalo  [0,  [0, π ]. Reagrupamoss terminos Reagrupamo e´ rminos en dicha integral, obteniendo que

1 π

 

 π

0

sin((N  N   +   12 )s)  1 x(t + s) − x(t+) sin((   = π 2 sin( 12 s)  1 = π

 h (s) = donde  h(

  x(t+s)−x(t+ )   2 sin( sin( 12 s)

   

 π

0  π 0

 1 x(t + s) − x(t+)   sin(( sin((N  N    + ) s) 2 2sin( 12 s)  1 h(s)sin(( )sin((N  N   + 2 )s),

 [0 , π]  y, por tanto, teniendo en cuenta es una funci´ funcion o´ n continua a trozos en  [0,

lo observado al principio de esta prueba, concluimos que

1 l´ım N →∞ →∞ π

 

 π

0

sin((N  N   +   12 )s) x(t + s) − x(t+ ) sin((   = 0, 2 sin( 12 s)

que es lo que quer´ quer´ıamos ıamos demostrar (las estimaciones en los puntos   t   ∈ {−π, π }  son an´ analogas, a´ logas, de modo que las dejamos como sencillos ejercicios). El   unico u´ nico punto que aun u´ n no hemos aclarado es por qu e´ el l´ l´ımite ımite es uniforme sobre compactos K  contenidos   contenidos en el conjunto de puntos donde la se nal n˜ al   x(t)  es continua. Por sencillez y para evitar sutilezas innecesarias, vamos a abordar esta cuesti´ cuestion o´ n solo o´ lo en el caso en que la se n nal ˜ al x(  x (t)  es continua en todo el intervalo  [ −π, π ]  y satisface que  x( on n  2  x (−π) =   x(π )  (de modo que admite una extensi´o  2π πperi´odica peri o´ dica a toda la recta real). La idea es utilizar la prueba M de Weierstrass. Para ello, usaremos que  x  (t)  es continua a trozos (y la desigualdad de Bessel) para estimar los coeficientes de Fourier de  x(  x (t). Veamos como o´ mo se hace esto: Como   x (t)  es continua a trozos entonces   x (t)  tiene asociada una serie de Fourier   (Sx  )( )(tt)   ∼ ∞ ∞  cos(kt kt)) + b +  bk sin(  sin(kt kt)) )),  cos(kt kt)) + β  +  β k sin(  sin(kt kt)) )). Adem´  (Sx)( )(tt)   ∼  a 0 /2 + k=0 (ak cos( α0 + k=0 (αk cos( Ademas, a´ s, si  (Sx entonces es f acil a´ cil comprobar que se satisfacen las igualdades   α0   = 0  (por ser   x(−π ) =   x(π )), y β n an   =  − n  ,  b n   =   αnn , para  n =  n  = 1, 2, · · · . Vamos a utilizar esta informaci´ informacion o´ n para estimar el tama˜ tamano n˜ o de los coeficientes coeficientes |ak |, |bk |. 1 ∞ ax ax{|ak |, |bk |} ≤  ( |ak |2 + |bk |2 ) 2 , podemos podemos centrar nuestro inter´es e s en la seri seriee k=1 (|ak |2 + Como m´ 1 ´n |bk |2 ) 2 . Con este objetivo en mente, recordamos la conocida desigualdad de Cauchy-Schwartz, seg uun







9

 

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la cual:

   

xk yk

k=1

          2

N 

  N 

  N 

2

|yk |2

|xk |

≤

k=1

k=1

para todo par de vectores  (x  (x1 , · · ·   , xN ), (y1 , · · ·   , yN )  ∈ CN . Se sigue sigue que 2

 N 

(|ak |2 + |bk |2)

k=1

1 2

N 

=

k=1

2

1 (|αk |2 + |β k |2 ) k

1 2

≤

  N 

k=1

1 k2

  N 



(|αk |2 + |β k |2 )

k=1

para N   N    = 1, 2, · · · . Se sigue que la desigualdad se satisface tambi´ tambi en e´ n para las correspondientes series ∞ num´ericas. num e´ ricas. Ahora bien, como  x  (t)  es de energ´ energ´ıa ıa finita, sabemos que la serie k=1 (|αk |2 + |β k |2 )  es convergente. Se sigue que {ak }, {bk } ∈  l 1 (N)  y, por tanto, la serie de Fourier de  x(  x(t),



∞

Sx((t) =  a 0 /2 + Sx



(ak cos(  cos(kt kt)) + b +  bk sin(  sin(kt kt)) ))

k=0

es uniformemente conve convergente. rgente. Como, por otra parte, ya hab´ııamos amos probado que el l´ımite ımite puntual de dicha serie es la propia se nal n˜ al x(  x(t), la prueba se concluye. 

3.

Necesid Necesidad ad de regula regularid ridad ad para para la conve converge rgenci ncia a uniform uniformee de

S N N  x Los resultados que hemos obtenido sobre convergencia de las sumas parciales  S N  N x  hasta ahora han requerido asumir cierta regularidad sobre las se˜n nales ales x(  x (t)  pero, ¿son verdaderamente necesarias estas hip´ hipotesis?. o´ tesis?. En esta secci´ seccion o´ n vamos a esbozar una prueba de que s´ s ´ı. ı. Concretamente, explicamos  2π π -peri´odicas  x (t)  para las que la sucesi´o como o´ mo se demuestra la existencia de se˜nales nales continuas  2 odicas  x( on n de sumas parciales S N N  x(t)  es divergente. Vamos a ofrecer dos demostraciones del resultado. La primera, de caracter existencial, s´olo olo la esbozamos, pues vamos a basarnos en un resultado de An alisis a´ lisis Funcional que, aunque de naturaleza b´aasica, sica, se escapa de los objetivos de este libro. Se trata del famoso teorema de Banach-Steinhaus, o Teorema de Acotacion o´ n Uniforme.

Teorema 5 (Banach-Steinhaus)   Supongamos que   X  es un espacio de Banach y   T N   , N    :   X   →   X  , N   = 1, 2, · · ·  es una sucesi´  sucesion operadoress lineales acotados (i.e., T N  αx +  + β  βyy ) =  αT N   +  βT  T N  ´  de operadore N (αx N x + β N y  para  α, β  escalares   escalares y  x, y   ∈  X ; y T N  N    = 1, 2, · · · ). Entonces las N    := supx=1 T N  N x  <  ∞  para  N  siguientes propiedades son equivalentes: ∞ Para todo  x  ∈  X  la sucesi´  sucesion ´  {T N N  x}N  N =1 =1  es acotada. ∞  La sucesion ´  {T N  N }N = =1 1  es acotada.

Obviamente, nosotros vamos a utilizar el teorema anterior con

X   =  C 2π (R) :=  C (T) =  { x  :

R

→ C :  x  continua y 2  2π π -peri -peri´odica o´ dica}

10

 

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 =  S N  e´ sima de la dotado de la norma uniforme, x  = supt∈[−π,π N x  = S  N x, la suma parcial  N -esima π,π]] |x(t)|, y  T N  serie de Fourier asociada a la senal n˜ al x(  x(t). En la segunda demostraci on o´ n usaremos los c´ calculos a´ lculos realizados en la primera prueba para construir un ejemplo concreto de se˜ senal n˜ al continua cuya serie de Fourier es divergente. Ya estamos, pues, en condiciones de probar el resultado principal de esta seccion. o´ n. nales continuas  2 -peri´ ri´ııodica od icass  x( on de sumas parciales Teorema 6  Existen se˜   2π π-pe  x (t)  tales que la sucesi´ 

S N  N x  diverge.

Primera demostraci´ demostracion o´ n (Existencial).  Fijada una se˜ senal n˜ al x(t)  ∈  C (T), si las sumas parciales S N  N x fuesen convergentes convergentes a una funci´ funcio on ´ n z (t)  ∈  C (T), en el sentido sent ido de la norma uniforme, unif orme, entonces enton ces tendr´ıamos ıamos que

sup S N N x(t) − z (t)  <  ∞ , N  x(t) ≤ z (t) + sup S N  N  N ≥ ≥1

N ≥1

y esto para cada senal n˜ al x   ∈   C(T). Por tanto, usando el Teorema de Banach-Steinhaus, llegar´ llegar ´ıamos ıamos a la conclusi´ conclusion o´ n de que las normas   S N  estar´´ıan ıan uniformemente acotadas. Vamos N    := supx=1 S N  N x  estar a demostrar que esto  esto  ultimo u´ ltimo no es cierto y, por tanto, existen se nales n˜ ales para las que las sumas parciales de Fourier no son convergentes en el sentido de la norma uniforme. Sea   ϕN (t)   una funcion o´ n continua de norma uniforme   ϕN    = 1   en   [−π, π ]  y tal que   ϕN (t) = k=1 [xN,k , yN,k ]   ⊂   [−π, π ]  representa una unio oin ´ in sign(DN (t))  para todo   t   ∈   ∆N , donde   ∆N    =   ∪∞ ∞ 2επ  2π π  −  2N  . infinita de intervalos disjuntos dos a dos con la propiedad de que k=0 (yN,k  − xN,k )   ≥  2 + +1 1 Entonces

              





1  π ϕN (s)DN (s)ds S N N  ϕN (t) ≥ S N N  ϕN (0)|  = 2π −π 1  1 = ϕN (s)DN (s)ds |DN (s)|ds + 2π ∆N  2π [−π,π] π,π ]\∆N   π 1 1 ≥ ϕN (s)DN (s)ds |DN (s)|ds − 2π −π 2π [−π,π π,π]]\∆N    sin((N  sin((N + +1/ 1/2) 2)tt)   , sin(t/ sin( t/2) 2)

Teniendo en cuenta que DN (t) =

 

ssee puede probar que

 =  D N (0) = 2N  2N   + 1 m´aax x |DN (t)|  = D

t∈[−π,π π,π]]

y, por tanto, podemos afirmar que

 1 S N N  ϕN (t) ≥ 2π

 

 π

 1   2επ  1 (2N  N   + 1)  = |DN (s)|ds − (2 2π 2N   + 1 2π −π

 

 π

|DN (s)|ds − ε.

−π

Como   ε >   0   se elige arbitrariamente pequeno, n˜ o, se concluye que existen funciones   ϕN    ∈   C(T)   de (1//N ) N ). Ahora bien, vamos a probar que las normas norma 1  y tales que S N  N ϕN   =   DN L1 (−π,π π,π)) + O (1 LN   :=   DN L1 (−π,π concluira´ la π,π))  se van a infinito con la velocidad de  log N , para  N   → ∞, lo que concluir´ prueba.

11

 

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Claramente

                       

LN    =

  1 2π

0

 2

  π/ π/2 2

π  2 ≥ π

0   π/ π/2 2

=

(2N  N +1) +1)tt sin( (2   ) 2 sin( 2t )

  2π

 

dt

sin((2N  sin((2 N   + 1) 1)ss)

sin(ss) sin( sin((2N   + 1) sin((2N  1)ss) ds s

0



+1 Tomando  u =  u  =   2N π+  1 s  tenemos que

 2 LN   ≥ π y, por tanto,

  2N +1 2

0

sin πu  2 du > u π

 2 LN    ≥ π

N −1

  k+1

k=0

k

 2 = π

N −1

 1

k=0

0

 2 ≥ π

 1

≥

 2  log N  π

  

k=1  1

  N 

0



sin nu du u

 

sin πu du u

sin πu  du u+k

  N 

0

ds

1 k

sin πudu

sin πudu πudu =  =

0

 4  log N. π2 

Segunda demostraci´ demostracion o´ n (Constructiva).   Sabemos que hay una sucesi´ sucesion o´ n de funciones   ϕn   ∈   C2π N   =   O(|S N  N )). Tomamos tales que   ϕn  ≤   1  para todo   n  y sin embargo   log N   N ϕN (0)|) =   O (log N  φN   =   σN 2 (ϕN ),  N   N    = 1, 2, · · · . Entonces  φ N   es un polinomio trigonom´ trigonom etrico e´ trico de orden  ≤   N 2 y tal que φN ∞   ≤  1 . Ahora, si tenemos en cuenta la expresi on o´ n compleja de las sumas parciales de F ejer, e´ jer, entonces para cualquier senal n˜ al ϕ  se tiene que:

σN 2 (ϕ) =

     

  |n| ϕ(n) 1 − 2 N  + 1 2

|n|≤ |≤N  N 

y

ϕ(n) 1 −

S N N  (σN 2 (ϕ)) =

|n|≤ |≤N  N 

12

 

  |n| N 2 + 1

eint

eint ,

 

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de modo que

      

|S N N  (ϕ) − S N N  (σN 2 (ϕ))|   =

ϕ(n)

|n|≤ |≤N  N 

  |n| int e N 2 + 1 1

  

2N ( N (N   + 1)

≤ {ϕ(n)}n∈Z ∞ N 2 + 1 . N 2 + N  ≤ ϕ∞ 2 N  + 1 <   2ϕ∞ .

2

 ϕ  = ϕ  ϕ N  en la desigualdad anterior, se tiene que Por tanto, tomando  ϕ =  2,,   para N   N    = 1, 2, · · ·  .... S N N  (ϕN ) − S N N  (φN )∞   <  2 ∞ ´ n   {S N Se sigue que la sucesio on N  (φN )(0)}N = =0 0  converge a infinito con la misma velocidad que   log N . 3N  Tomamos  λN   = 2 y definimos la se˜nal nal ∞

x(t) =



N N  = =1 1

1

φλN  (λN t).

N 2

Evidentemente, x(  x(t) es continua (basta usar la prueba M de Weierstrass). Vamos a probar que su serie  t  = 0. de Fourier diverge en t = Ahora bien, como φλj (t)  es un polinomio trigonom´ trigonom etrico, e´ trico, se tiene que: ∞

             φλj (m)eimt

φλj (λ j t) =

m=−∞

y, por tanto,

 n

|S λ2n x(0)|   =

S λn2

∞

1 1 ( λ t ) (0) + φ φ (0)  j λ j 2 2 λj  j  j  j  j=1 =1  j=  j =n+1

n−1

=

≥

∞

1 1  1 (0) + (0) + φ φ φ (0) S  λ λ λ n n j 2 2 λj 2  j  j n  j  j=1 =1  j=  j =n+1

  K   log λn − 3. n2

 x(t) diverge en  t  t =  = 0. Se sigue que l´ımn→∞ |S λn2 x(0)|  =  ∞ y, por tanto, la serie de Fourier de x(

 



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