Series de Tiempo y Pronostico Levin

15

capítulo

SERIES DE TIEMPO Y PRONÓSTICOS

Objetivos •

• • •

Aprender por qué los cambios en los pronósticos que tienen lugar en tiempo constituyen una parte importante de la toma de decisiones Entender las cuatro componentes de una serie de tiempo Utilizar técnicas basadas en la regresión para estimar y pronosticar la tendencia de una serie de tiempo Aprender cómo medir la componente cíclica de una serie de tiempo

• • •

Calcular índices estacionales y usarlos para desestacionalizar una serie de tiempo Ser capaces de reconocer una variación irregular en una serie de tiempo Manejar simultáneamente las cuatro componentes de una serie de tiempo y utilizar el análisis de series de tiempo para pronosticar

Contenido del capítulo 15.1 Introducción 674 15.2 Variación en las series de tiempo 675 15.3 Análisis de tendencia 676 15.4 Variación cíclica 686 15.5 Variación estacional 691 15.6 Variación irregular 699 15.7 Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo 699 15.8 Análisis de series de tiempo en pronósticos 707

• • • • • •

Estadística en el trabajo 708 Ejercicio de base de datos computacional 709 Del libro de texto al mundo real 709 Términos introducidos en el capítulo 15 710 Ecuaciones introducidas en el capítulo 15 711 Ejercicios de repaso 712

673

L

a administración de un campo de esquí tiene los siguientes datos acerca de la ocupación trimestral correspondientes a un periodo de cinco años: Año 1991 1992 1993 1994 1995

1er. trim. 1,861 1,921 1,834 1,837 2,073

2o. trim. 2,203 2,343 2,154 2,025 2,414

3er. trim. 2,415 2,514 2,098 2,304 2,339

4o. trim. 1,908 1,986 1,799 1,965 1,967

Con el fin de mejorar su servicio, la administración debe entender el patrón estacional de la demanda de habitaciones. Con los métodos analizados en este capítulo, ayudaremos a la administración del hotel a discernir ese patrón, si existe, y a utilizarlo para pronosticar la demanda de habitaciones. ■

15.1 Introducción

Uso del análisis de series de tiempo

Los pronósticos, o predicciones, son una herramienta esencial en cualquier proceso de toma de decisiones. Sus aplicaciones varían desde la determinación de los requerimientos de inventario de una pequeña zapatería hasta la estimación de las ventas anuales de juegos de video. La calidad de los pronósticos que los administradores pueden realizar está estrechamente relacionada con la información que puede extraerse y utilizarse a partir de los datos históricos. El análisis de series de tiempo es un método cuantitativo que utilizamos para determinar patrones en los datos recolectados a través del tiempo. La tabla 15-1 es un ejemplo de datos de una serie de tiempo. El análisis de series de tiempo se utiliza para detectar patrones de cambio en la información estadística en intervalos regulares. Proyectamos estos patrones para obtener una estimación para el futuro. En consecuencia, el análisis de series de tiempo nos ayuda a manejar la incertidumbre asociada con los acontecimientos futuros.

Tabla 15-1 Serie de tiempo para el número de buques cargados, en Morehead, Carolina del Norte

Año Número

1988 98

1989 105

1990 116

1991 119

1992 135

1993 156

1994 177

1995 208

Ejercicios 15.1 Conceptos básicos ■ ■ ■ ■

674

15-1 15-2 15-3 15-4

¿Qué valor tienen los pronósticos en el proceso de toma de decisiones? ¿Con qué propósito aplicamos el análisis de series de tiempo a datos recolectados durante un tiempo? ¿Qué beneficios proporciona la determinación de patrones históricos? ¿Cómo afectarán los errores en los pronósticos al gobierno de una ciudad?

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

15.2 Variación en las series de tiempo Cuatro tipos de variación en las series de tiempo

Utilizamos el término serie de tiempo para referirnos a cualquier grupo de información estadística que se acumula a intervalos regulares. Existen cuatro tipos de cambio o variación implicados en el análisis de series de tiempo, éstos son: 1. 2. 3. 4.

Tendencia secular

Fluctuación cíclica

Tendencia secular Fluctuación cíclica Variación estacional Variación irregular

Con el primer tipo de variación, la tendencia secular, el valor de la variable tiende a aumentar o disminuir en un periodo muy largo. El incremento estable en los costos de vida registrados en el Índice de Precios al Consumidor (IPC) es un ejemplo de tendencia secular. De un año a otro, el costo de vida varía bastante, pero si examinamos un periodo a largo plazo, nos damos cuenta que la tendencia tiende a aumentar de manera estable. La gráfica (a) de la figura 15-1 muestra una tendencia secular en una serie de tiempo creciente que fluctúa. El segundo tipo de variación observado en una serie de tiempo es la fluctuación cíclica. El ejemplo más común de fluctuación cíclica es el ciclo económico. A través del tiempo, hay años en los que Y

(a) Serie de tiempo real

Tendencia secular

X

Tiempo en años

Y

(b) Fluctuación cíclica

Línea de tendencia

X

Tiempo en años

Y

(c)

Variación estacional

X

Tiempo en años

Y

(d)

Variación irregular

FIGURA 15-1 Variación en las series de tiempo

X

Tiempo en años

15.2

Variación en las series de tiempo

675

Variación estacional

Variación irregular

el ciclo económico llega a un pico arriba de la línea de tendencia; en otros, es probable que la actividad de los negocios disminuya abajo de la línea de tendencia. El tiempo que transcurre entre picos y depresiones es al menos un año, y puede llegar a ser hasta 15 o 20. La gráfica (b) de la figura 15-1 ilustra un patrón típico de fluctuación cíclica arriba y abajo de la línea de tendencia secular. Observe que los movimientos cíclicos no siguen ningún patrón regular, sino que se mueven de manera un tanto impredecible. El tercer tipo de cambio en los datos de una serie de tiempo es la variación estacional. Como cabría esperar, este tipo de variación implica patrones de cambio en el lapso de un año que tienden a repetirse anualmente. Por ejemplo, un médico puede esperar un aumento sustancial en el número de casos de gripe cada invierno y de afectados de tifoidea cada verano. Como se trata de patrones regulares son útiles al pronosticar el futuro. La gráfica (c) de la figura 15-1 muestra una variación estacional. Note cómo alcanza un pico cada cuarto trimestre del año. La variación irregular es el cuarto tipo de cambio que ocurre en el análisis de las series de tiempo. En muchas situaciones, el valor de una variable puede ser completamente impredecible cambiando de manera aleatoria. Las variaciones irregulares describen esos movimientos. Los efectos que el conflicto de Medio Oriente en 1973, la situación de Irán en 1979-1981, el colapso de la OPEP en 1986 y la situación de Irak en 1990 tuvieron sobre los precios de la gasolina en Estados Unidos son ejemplos de variación irregular. La gráfica (d) de la figura 15-1 ilustra la variación irregular. Hasta ahora, nos hemos referido a las series de tiempo como datos que presentan una de las cuatro variaciones descritas. Sin embargo, en la mayor parte de los casos las series de tiempo contienen varias de estas componentes. Así, podemos describir la variación total en una sola serie de tiempo en términos de estas cuatro clases de variación. En las siguientes secciones examinaremos las cuatro componentes y las formas en que medimos cada uno.

Ejercicios 15.2 Conceptos básicos ■

15-5

■

15-6

■ ■

15-7 15-8

■ 15-9 ■ 15-10 ■ 15-11

Identifique las cuatro principales componentes de una serie de tiempo y explique el tipo de cambio, en el tiempo, al que se aplica. ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie de tiempo se utilizaría para describir el efecto de las ventas navideñas de una tienda departamental al menudeo? ¿Cuál es la ventaja de descomponer una serie de tiempo en sus cuatro componentes? ¿Cuál de las cuatro componentes de una serie de tiempo debería utilizar el Departamento de Agricultura de Estados Unidos para describir un patrón climatológico de siete años? ¿Cómo se explicaría una guerra en una serie de tiempo? ¿Qué componente de una serie de tiempo explica el crecimiento y decrecimiento general de la industria del acero en los dos últimos siglos? Utilizando los cuatro tipos de variación, describa el comportamiento de los precios del petróleo crudo de 1970 a 1987.

15.3 Análisis de tendencia Dos métodos para ajustar una línea de tendencia

676

De las cuatro componentes de una serie de tiempo, la tendencia secular representa la dirección a largo plazo de la serie. Una manera de describir la componente que corresponde a la tendencia es ajustar visualmente una recta a un conjunto de puntos de una gráfica. Pero cualquier gráfica dada estará sujeta a interpretaciones que varían de un individuo a otro. Podemos también ajustar una línea de tendencia con el método de mínimos cuadrados, estudiado en el capítulo 12. En nuestro análisis, nos concentraremos en el método de mínimos cuadrados, ya que el ajuste visual de una recta a una serie de tiempo no es un proceso completamente seguro.

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

Razones para estudiar las tendencias Tres razones para el estudio de las tendencias seculares

Las líneas de tendencia toman diferentes formas

Existen tres razones por las cuales resulta útil estudiar las tendencias seculares: 1. El estudio de tendencias seculares nos permite describir un patrón histórico. Existen muchos ejemplos en los que podemos utilizar un patrón del pasado para evaluar el éxito de una política anterior. Por ejemplo, una universidad puede evaluar la efectividad de un programa de captación de estudiantes mediante el examen de sus tendencias en las inscripciones anteriores. 2. El estudio de tendencias seculares nos permite proyectar patrones o tendencias pasados al futuro. El conocimiento del pasado nos puede hablar en gran medida acerca del futuro. Por ejemplo, el examen de la tasa de crecimiento de la población mundial puede ser de ayuda para estimar la población en algún momento futuro dado. 3. En muchas situaciones, el estudio de la tendencia secular de una serie de tiempo nos permite eliminar la componente de tendencia de la serie. Esto facilita el estudio de las otras tres componentes de la serie de tiempo. Si deseamos determinar la variación estacional de la venta de esquíes, por ejemplo, la eliminación de la componente de tendencia nos proporciona una idea más precisa de la componente estacional. Las tendencias pueden ser rectas o curvilíneas. Antes de examinar el método lineal o de línea recta para describir tendencias, debemos recordar que algunas relaciones no toman esa forma. El aumento de contaminantes en el ambiente sigue una curva de pendiente creciente parecida a la que mostramos en la gráfica (a) de la figura 15-2. Otro ejemplo común de una relación curvilínea es el ciclo de vida de un nuevo producto comercial, que se ilustra en la gráfica (b) de la misma figura. Cuando se introduce en el mercado un nuevo producto, su volumen de ventas es bajo (I). Conforme el producto adquiere reconocimiento y éxito, las ventas unitarias aumentan con una rapidez cada vez mayor (II). Después de que el producto se establece firmemente, sus ventas unitarias crecen con rapidez constante (III). Por último, cuando el producto llega al fin de su ciclo de vida, las ventas unitarias empiezan a disminuir (IV).

Ajuste de la tendencia lineal con el método de mínimos cuadrados Además de las tendencias que se pueden describir por una curva, existen otras que se describen por una línea recta. Éstas se conocen como tendencias lineales. Antes de desarrollar la ecuación para una tendencia lineal, necesitamos revisar la ecuación general para estimar una línea recta (ecuación 12-3): ˆ  a  bX Ecuación para estimar una recta ⎯→ Y [12-3] donde, • Yˆ  valor estimado de la variable dependiente • X  variable independiente (tiempo en el análisis de tendencia) • a  ordenada Y (el valor de Y cuando X  0) • b  pendiente de la recta de tendencia (a)

(b)

Tendencia del incremento de contaminación

FIGURA 15-2 Relaciones de tendencia curvilínea

Ventas anuales en unidades

Y

Contaminación

Y

Tiempo

IV III

I X

II X

Tiempo

15.3

Análisis de tendencia

677

Búsqueda de la recta de tendencia de mejor ajuste

Podemos describir la tendencia general de muchas series de tiempo utilizando una línea recta. Pero nos encontramos con el problema de buscar la recta, o ecuación, de mejor ajuste. Del mismo modo que en el capítulo 12, podemos utilizar el método de mínimos cuadrados para calcular la recta o ecuación de mejor ajuste. En ese capítulo, vimos que la recta de mejor ajuste estaba determinada por las ecuaciones 12-4 y 12-5, que representamos ahora como ecuaciones 15-1 y 15-2. Pendiente de la recta de regresión de mejor ajuste Y  XY  nX b   2 2 X  nX 

[15-1]

Ordenada Y de la recta de regresión de mejor ajuste a Y  bX 

[15-2]

donde, • Y  valores de la variable dependiente • X  valores de la variable independiente Y  media de los valores de la variable dependiente •   X •  media de los valores de la variable independiente • n  número de datos en la serie de tiempo • a  ordenada Y • b  pendiente Con las ecuaciones 15-1 y 15-2 podemos establecer la recta de mejor ajuste para describir los datos de la serie. Sin embargo, la regularidad de los datos de la serie de tiempo nos permite simplificar los cálculos de las ecuaciones 15-1 y 15-2 mediante el proceso que describiremos a continuación.

Traducción o codificación del tiempo Codificación de la variable tiempo para simplificar los cálculos

Manejo de números pares e impares de elementos

¿Por qué usar un código?

678

Normalmente, medimos la variable independiente tiempo en términos de semanas, meses o años. Afortunadamente, podemos convertir estas medidas tradicionales de tiempo a una forma que simplifica los cálculos. En el capítulo 3, llamamos codificación a este proceso. Para utilizar la codificación en este caso, encontramos el tiempo medio y luego restamos ese valor de cada uno de los tiempos de la muestra. Suponga que nuestra serie de tiempo consiste en tres puntos, 1992, 1993 y 1994. Si tuviéramos que sustituir estas cantidades en las ecuaciones 15-1 y 15-2, veríamos que los cálculos resultantes son tediosos. En su lugar, podemos transformar los valores 1992, 1993 y 1994 en los valores correspondientes 1, 0 y 1, en donde 0 representa la media (1993), 1 representa el primer año (1992  1993  1) y 1 el último año (1994  1993  l). Cuando codificamos valores de tiempo es necesario tomar en cuenta dos casos. El primero es una serie de tiempo con un número impar de elementos, como en el ejemplo anterior; el segundo, una serie de tiempo con un número par de elementos. Considere la tabla 15-2. En la parte a, a la izquierda, tenemos un número impar de años. En consecuencia, el proceso es el mismo que el que acabamos de describir utilizando los años 1992, 1993 y 1994. En la parte b, a la derecha, tenemos un número par de elementos. En casos como éste, cuando encontramos la media y la restamos de cada elemento, la fracción 1/2 se convierte en parte de la respuesta. Para simplificar el proceso de codificación y eliminar el 1/2, multiplicamos cada elemento de tiempo por dos. Denotaremos el tiempo “codificado” o traducido con la letra minúscula x. Existen dos razones para hacer esta traducción del tiempo. Primero, elimina la necesidad de elevar al cuadrado números grandes como 1992, 1993 y 1994, etc. Este método también hace que el año medio, x, sea igual a cero y permite simplificar las ecuaciones 15-1 y 15-2.

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

(a) Cuando hay un número impar de elementos en la serie de tiempo

Tabla 15-2 Traducción o codificación de los valores de tiempo

X (1)

XX  (2)

Tiempo traducido o codificado (3)

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

1989  1992  1990  1992  1991  1992  1992  1992  1993  1992  1994  1992  1995  1992 

3 2 1 0 1 2 3

X  13,944 X X   n

Simplificación del cálculo de a y b

(b) Cuando hay un número par de elementos en la serie de tiempo

1990 1991 1992 1993 1994 1995

x (el año medio)  0

XX  (2)

X (1)

1990  19921/2  1991  19921/2  1992  19921/2  1993  19921/2  1994  19921/2  1995  19921/2 

(X  X )  2 (3)

Tiempo traducido o codificado (4)

21/2  2  11/2  2   1/2  2  1 /2  2  11/2  2  21/2  2 

5 3 1 1 3 5

x(el año medio)  0

X  11,955 X X   n

13,944   7

11,955   6

 1992

 19921/2

Ahora ya podemos regresar al cálculo de la pendiente (ecuación 15-1) y la ordenada Y (ecuación 15-2) para determinar la recta de mejor ajuste. Como estamos utilizando la variable codificada x, sustituimos X y  X por x y x en las ecuaciones 15-1 y 15-2. Entonces, como la media de nuestra variable tiempo codificada x es cero, podemos sustituir 0 por x en las ecuaciones 15-1 y 15-2, como sigue: XY  nX Y  b   [15-1] X2  nX 2 xY  nxY  x (la variable codificada) sustituida   ← en lugar de X y x en lugar de X 2 2  x  nx



xY  n0Y    ← x sustituida por 0 x2  n02 Pendiente de la línea de tendencia para valores de tiempo codificados xY b  x2

[15-3]

La ecuación 15-2 cambia de la siguiente manera: a Y  bX   Y  bx ← x en lugar de X  Y  b0 ← x sustituida por 0

[15-2]

Ordenada Y de la recta de tendencia para valores de tiempo codificados aY 

[15-4]

Las ecuaciones 15-3 y 15-4 representan una mejora sustantiva respecto a las ecuaciones 15-1 y 15-2. 15.3

Análisis de tendencia

679

Un problema que usa el método de mínimos cuadrados en una serie de tiempo (número par de elementos) Uso del método de mínimos cuadrados

Búsqueda de la pendiente y la ordenada Y

Considere los datos de la tabla 15-1, que ilustran el número de buques cargados en la ciudad de Morehead entre 1988 y 1995. En este problema, queremos encontrar la ecuación que describirá la tendencia secular de las cargas. Para calcular los valores necesarios para las ecuaciones 15-3 y 15-4, observemos la tabla 15-3. Podemos sustituir estos valores en las ecuaciones 15-3 y 15-4 para encontrar la pendiente y la ordenada Y para la recta que describe la tendencia en las cargas de buques: xY b x2

[15-3]

1,266  168  7.536 y a Y

[15-4]

 139.25 Así, la ecuación lineal general que describe la tendencia secular en la carga de buques es Yˆ  a  bx

[12-3]

 139.25  7.536x donde, • Yˆ  número estimado anual de barcos cargados • x  valor de tiempo codificado que representa el número de intervalos de mitad de año (el signo menos indica intervalos de mitad de año anteriores a 19911/2; el signo más indica intervalos de mitad de año posteriores a 19911/2) Tabla 15-3 Cálculos intermedios para calcular la tendencia

X (1)

Y† (2)

1988 1989 1990 1991 1992 1993

98 105 116 119 135 156

1994 1995 ______

177 208 _____

X  15,932

Y  1,114

X X (3) 1988  19911/2‡ 1989  19911/2 1990  19911/2 1991  19911/2 1992  19911/2 1993  19911/2 1994  19911/2 1995  19911/2

X 15,932 X      1,9911/2 8 n Y 1,114 Y      139.25 8 n † Y es el número de buques. ‡ 19911/2 corresponde a x  0.

680

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

x (3)  2  (4)  31/2  21/2  11/2  1/2 1  /2   

11/2 21/2 31/2

31/2 21/2 11/2 1/2 1 /2

    

xY (4)  (2)

x2 (4)2

2 7 2 5 2 3 2 1 2 1

686 525 348 119 135

49 25 9 1 1

11/2  2  3 21/2  2  5 31/2  2  7

468 885 01,456

9 25 0 49

xY  1,266

x2  168

Proyección con la ecuación de tendencia Una vez desarrollada la ecuación de tendencia, podemos proyectarla para pronosticar la variable en cuestión. En el problema de hallar la tendencia secular de las cargas de buques, por ejemplo, determinamos que la ecuación de tendencia secular apropiada es Yˆ  139.25  7.536x Uso de nuestra recta de tendencia para pronosticar

Ahora suponga que deseamos estimar las cargas de buques para 1996. Primero, debemos convertir 1996 al valor de tiempo codificado (en intervalos de mitad de año). x  1996  19911/2  4.5 años  9 intervalos de mitad de año Sustituyendo este valor en la ecuación correspondiente a la tendencia secular, obtenemos Yˆ  139.25  67.82  139.25  67.82  207 barcos cargados Por consiguiente, hemos estimado que se cargarán 207 barcos en 1996. Si el número de elementos de nuestra serie de tiempo hubiera sido impar, no par, nuestro procedimiento hubiera sido el mismo, excepto que hubiéramos manejado intervalos de cada año, no intervalos de mitad de año.

Uso de una ecuación de segundo grado en una serie de tiempo Manejo de series de tiempo descritas por curvas

Hasta aquí hemos descrito el método de ajustar una recta a una serie de tiempo. Pero muchas series de tiempo se describen mejor por curvas que por rectas. En estos casos, el modelo lineal no describe de manera adecuada el cambio en la variable conforme pasa el tiempo. Para vencer este problema, a menudo utilizamos una curva parabólica, que se describe matemáticamente por una ecuación de segundo grado. Este tipo de curva se ilustra en la figura 15-3. La forma general para una ecuación de segundo grado estimada es: Forma general para una ecuación de segundo grado ajustada Yˆ  a  bx  cx2

[15-5]

donde,

Unidad de medida

Yˆ  estimación de la variable dependiente • • a, b y c  constantes numéricas x  valores codificados de la variable tiempo •

Curva parabólica Ecuación general para una curva parabólica: Y = a + bx + cx 2

FIGURA 15-3 Forma y ecuación de una curva parabólica

Tiempo

15.3

Análisis de tendencia

681

Búsqueda de valores para a, b y c

De nuevo utilizamos el método de mínimos cuadrados para determinar la ecuación de segundo grado que describe el mejor ajuste. La derivación de la ecuación de segundo grado está más allá del propósito de este libro; sin embargo, podemos determinar el valor de las constantes numéricas (a, b y c) a partir de las siguientes tres ecuaciones: Coeficientes de mínimos cuadrados para una tendencia de segundo grado

Ecuaciones para encontrar ⎯⎯⎯⎯⎯→ a, b y c para ajustar una curva parabólica

Y  an  cx2

[15-6]

x Y  ax  cx 2

2

4

[15-7]

x Y b   x2

[15-3]

Después de encontrar los valores de a, b y c resolviendo las ecuaciones 15-6, 15-7 y 15-3, de manera simultánea, sustituimos estos valores en la ecuación 15-5 de segundo grado. Al igual que en la descripción de una relación lineal, transformamos la variable independiente, tiempo (X), en una forma codificada (x) para simplificar los cálculos. Ahora trabajaremos con un problema en el cual ajustamos una parábola a una serie de tiempo.

Problema que involucra una tendencia parabólica (número impar de elementos en la serie de tiempo)

Codificación de la variable tiempo

Cálculo de a, b y c por sustitución

En los últimos años, la venta de relojes electrónicos de cuarzo ha aumentado con una rapidez significativa. La tabla 15-4 contiene información acerca de las ventas de estos artículos que será útil para determinar la tendencia parabólica que describe la venta de relojes. En la tabla 15-5 organizamos los cálculos necesarios. El primer paso en este proceso es traducir la variable independiente X en una variable de tiempo codificada x. Note que la variable codificada x está dada en intervalos de cada año, debido a que tenemos un número impar de elementos en nuestra serie de tiempo. Así, no es necesario multiplicar la variable por 2. Sustituyendo los valores de la tabla 15-5 en las ecuaciones 15-6, 15-7 y 15-3, obtenemos 247  5a  10c

1

[15-6]

565  10a  34c

2

[15-7]

227 34b   10

3

[15-3]

De 3 , vemos que b  22.7 Se puede encontrar a y c al resolver las ecuaciones simultáneas 1 y 2 . Al hacerlo, se encuentra que a es 39.3 y c es 5.07. Esto nos da los valores apropiados de a, b y c para describir la serie de tiempo presentada en la tabla 15-4 mediante la ecuación: Yˆ  a  bx  cx2 [15-5]  39.3  22.7x  5.07x2 Tabla 15-4 Ventas anuales de relojes electrónicos de cuarzo

682

Capítulo 15

X (año)

1991

1992

1993

1994

1995

Y (ventas unitarias en millones)

13

24

39

65

106

Series de tiempo y pronósticos

Tabla 15-5 Cálculos intermedios para determinar la tendencia

XX x

Y

X

(1)

(2)

13 24 39 65 106 Y  247

x2 (3)2

x4 (3)4

4 1 0 1 04 x 2  10

16 1 0 1 16 x 4  34

(3) 1991  1993  2 1992  1993  1 1993  1993  0 1994  1993  1 1995  1993  2

1991 1992 1993 1994 01995 X  9,965

x2Y (3)2  (1)

xY (3)  (1) 26 24 0 65 212 xY  227

52 24 0 65 424 x 2Y  565

X 9,965 X      1993 n 5

¿Se ajusta la curva a los datos?

Se grafican los datos de los relojes para ver qué tan bien se ajusta la parábola desarrollada a la serie de tiempo. La figura 15-4 presenta esta gráfica.

Pronósticos basados en una ecuación de segundo grado Para pronosticar

Suponga que deseamos pronosticar las ventas de relojes para 2000. Para hacer una predicción, debemos primero transformar 2000 en una variable codificada x restándole el año medio, 1993: X Xx 2000  1993  7 Después este valor codificado (x  7) se sustituye en la ecuación de segundo grado que describe la venta de relojes: Yˆ  39.3  22.7x  5.07x2  39.3  22.7(7)  5.07(7)2  39.3  158.9  248.4  446.6

Ser cuidadosos al interpretar la predicción

Con base en la tendencia secular histórica, concluimos que las ventas de relojes deberá ser aproximadamente 446,600,000 unidades en 2000. Sin embargo, este pronóstico tan alto sugiere que debemos ser más cuidadosos al pronosticar con una tendencia parabólica que cuando trabajamos con una tendencia lineal. La pendiente de la ecuación de segundo grado de la figura 15-4 se incrementa continuamente; en consecuencia, la parábola puede convertirse en un estimador pobre si intentamos pronosticar a un plazo mayor. Al utilizar el método de la ecuación de segundo grado, también debemos considerar factores que pueden estar frenando o invirtiendo la tasa de crecimiento de la variable. En el ejemplo de la venta de relojes, podemos suponer que durante el periodo considerado, el producto se encuentra en una etapa de crecimiento muy rápido de su ciclo de vida. Pero debemos darnos cuenta de que a medida que el ciclo se acerca a la etapa de madurez, el crecimiento de las

FIGURA 15-4 Tendencia parabólica ajustada para los datos de tabla 15-4

Ventas en millones de unidades

Y

Tendencia parabólica Y = 39.3 + 22.7x + 5.07x 2

140 120 100 80 60 40 20

Puntos reales

-7

-6 1987

-5

-4 1989

-3

-2 1991

-1

0

1993 Tiempo

1

2 1995

3

4

5

6

X

1997

15.3

Análisis de tendencia

683

ventas puede disminuir y la parábola ya no predecir con precisión. Cuando calculamos predicciones, debemos considerar la posibilidad de que la línea de tendencia puede cambiar. Esta situación puede ocasionar un error significativo. Por tanto, es necesario poner una atención especial cuando se utiliza una ecuación de segundo grado como herramienta de pronóstico. Advertencia: “ningún árbol crece hasta el cielo” es un proverbio de Wall Street que significa que ningún precio de acción sube para siempre. Esto también se aplica a los pronósticos hechos con ecuaciones de segundo

grado. Extrapolar una tasa de crecimiento de una compañía que comienza (que inicia con cero ventas de manera que un dólar de venta se convierte de manera automática en una tasa de crecimiento infinito) es riesgoso. Las tasas iniciales de crecimiento rara vez continúan.

SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

Ejercicios 15.3 Ejercicios de autoevaluación EA

15-1

Robin Zill y Stewart Griffiths son los propietarios de una pequeña fábrica de mesas de masaje portátiles en Hillsborough, Carolina del Norte. Desde que inició la compañía, el número de mesas que han vendido está representado por esta serie de tiempo: Año Mesas vendidas

EA

15-2

1987 42

1988 50

1989 61

1990 75

1991 92

1992 111

1993 120

1994 127

1995 140

1996 138

a) Encuentre la ecuación lineal que describe la tendencia del número de mesas vendidas por Robin y Stewart. b) Estime sus ventas para 1998. El número de académicos que poseen computadoras personales en la Universidad de Ohio ha aumentado drásticamente entre 1990 y 1995: Año Número de PC

1990 50

1991 110

1992 350

1993 1,020

1994 1,950

1995 3,710

a) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos. b) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos. c) Estime el número de computadoras personales que habrá en uso en la universidad en 1999, utilizando ambas ecuaciones. d) Si hay 8,000 académicos en la universidad, ¿qué ecuación es mejor pronosticador? ¿Por qué?

Aplicaciones ■ 15-12

Jeff Richards invirtió los ahorros de toda su vida e inició un negocio de limpieza de alfombras en 1986. Desde entonces, la reputación de Jeff se ha propagado y el negocio ha crecido. Los números promedio de casas que ha limpiado por mes cada año son: Año 1986 Casas limpiadas 6.4

■ 15-13

1987 11.3

1988 14.7

1989 18.4

1990 19.6

1991 25.7

1992 32.5

1993 48.7

1994 55.4

1995 75.7

1996 94.3

a) Encuentre la ecuación lineal que describa la tendencia de estos datos. b) Estime el número de casas limpiadas mensualmente en 1997, 1998 y 1999. El dueño de la compañía Progressive Builders está examinando el número de casas solares que iniciaron su construcción en la región durante los últimos siete meses: Mes Jun. Número de casas 16

Jul. 17

Ago. 25

Sep. 28

Oct. 32

Nov. 43

Dic. 50

a) Grafique estos datos. b) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos, y grafique la recta en la gráfica del inciso a) (una unidad de x igual a 1 mes).

684

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

■ 15-14

c) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa estos datos y grafique esta curva en la gráfica del inciso a). d) Estime las ventas de marzo utilizando ambas curvas graficadas. Richard Jackson desarrolló un ratón para computadora ergonómico en 1989 y las ventas han ido en aumento desde entonces. A continuación se presentan datos en términos de miles de ratones vendidos por año. Año Número vendido

1989 82.4

1990 125.7

1991 276.9

1992 342.5

1993 543.6

1994 691.5

1995 782.4

1996 889.5

a) b) c) d) ■ 15-15

Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos. Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa estos datos. Estime el número de ratones que venderá en 1998 usando ambas ecuaciones. Si se supone que la tasa de crecimiento de las ventas de ratones decrecerá pronto con base en la oferta y la demanda, ¿qué modelo será un mejor pronosticador para su respuesta en c)? Mike Godfrey, auditor de un sistema escolarizado de educación pública, ha revisado los registros de inventario para determinar si las existencias reales de libros de texto son típicas. Las cantidades de inventario siguientes corresponden a los cinco años anteriores: Año Inventario (miles de dólares)

■ 15-16

1970 5

1972 8

1974 8

1976 10

1978 13

1987 13

1994 $5,730

1995 $5,990

1980 15

1982 18

1984 20

1986 22

1988 25

1990 25

1992 29

1994 1996 29 32

1988 15

1989 19

1990 21

1991 27

1992 35

1993 47

1994 49

1995 57

a) Grafique los datos. b) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa estos datos y grafique la recta en la gráfica del inciso a). c) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos, y grafique la ecuación en la gráfica del inciso a). d) ¿Según el conocimiento adquirido al respecto, el mercado favorece a b) o c) como el método de estimación más preciso? A continuación presentamos los datos que describen el índice de contaminación de aire [en partes por millón (ppm) de partículas en el aire] de una ciudad del oeste de Estados Unidos: Año Índice de contaminación

■ 15-19

1993 $5,490

a) Desarrolle la ecuación de estimación lineal que mejor describa los datos. b) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado que mejor describa los datos. c) ¿Existe algún indicador en el entorno económico o político que sugiera que una de las dos ecuaciones tiene mayor posibilidad de ser mejor pronosticador de los precios postales? Ingeniería Environtech, una compañía especializada en la construcción de dispositivos de filtrado anticontaminante, ha registrado los siguientes niveles de ventas durante los últimos nueve años: Año Ventas (cientos de miles de dólares)

■ 15-18

1992 $4,910

a) Encuentre la ecuación lineal que describa la tendencia en las existencias de inventario. b) Estime para el auditor el valor del inventario para el año 1996. La siguiente tabla describe los precios del correo de primera clase desde 1968 hasta 1996:

Año 1968 Precio (ctvos.) 5

■ 15-17

1991 $4,620

1980 220

1985 350

1990 800

1995 2,450

a) ¿Qué ecuación de estimación, lineal o de segundo grado, proporciona la mejor predicción de los índices de contaminación de la ciudad? b) Considerando el entorno económico, social y político, ¿cambiaría usted la respuesta del inciso a)? c) Describa cómo las acciones políticas y sociales podrían cambiar la efectividad de las ecuaciones de estimación del inciso a). El Departamento Estatal de Vehículos estudia el número de muertes por accidentes de tránsito en el estado debido a conductores ebrios, y registró el número de muertes en los nueve años anteriores: Año Muertes

1987 175

1988 190

1989 185

1990 195

1991 180

1992 200

1993 185

1994 190

1995 205

a) Encuentre la ecuación lineal que describe la tendencia en el número de muertes en accidentes de tránsito en el estado debidas a conductores ebrios. 15.3

Análisis de tendencia

685

b) Estime el número de muertes en accidentes de tránsito debidas a conductores ebrios que se pueda esperar en 1996.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA

15-1

a)

Año 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

0x0 9 7 5 3 1 111 113 115 117 109 110

0Y0 142 150 161 175 192 111 120 127 140 138 956

0xY0 378 350 305 225 192 11111 11360 11635 11980 1,242 1,978

x2 181 149 125 119 111 111 119 125 149 081 330

956 xY 1,978 a Y    95.6 b      5.9939 10 x2 330 ˆ Y  95.6  5.9939x (donde 1991.5  0 y unidades x  0.5 año) b) Yˆ  95.6  5.9939(13)  173.5 mesas EA

15-2

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995

0x0 5 3 1 1 3 5 0

Y00 50 110 350 1,020 1,950 3,710 7,190

xY 0 250 330 350 1,020 5,850 118,550 24,490

x2 25 9 1 1 9 25 70

x2Y 1,250 990 350 1,020 17,550 1192,750 113,910

x4 625 81 1 1 81 00625 1,414

7,190 xY 24,490 a) a   Y    1,198.3333 b      349.8571 6 x2 70 ˆ Y  1,198.3333  349.8571x (donde 1992.5  0 y unidades de x  0.5 años) b) Las ecuaciones 15.6 y 15.7 se convierten en 7,190  6a  70c Y  na  cx2 2 2 4 113,910  70a  1,414c x Y  ax  cx Al resolver estas ecuaciones simultáneas, se obtiene a  611.8750, c  50.2679 Yˆ  611.8750  349.8571x  50.2679x2 c) Pronóstico lineal: Yˆ  1,198.3333  349.8571(13)  5,746 PCs Pronóstico de segundo grado: Yˆ  611.8750  349.8571(13)

 50.2679(169)  13,655 PCs d) Ninguna de las dos es muy buena: la tendencia lineal no expresa la aceleración de la tasa de adquisición de PCs de los académicos; la tendencia de segundo grado supone que la aceleración continuará e ignora el hecho de que sólo hay 8,000 miembros del cuerpo docente.

15.4 Variación cíclica Definición de variación cíclica

686

La variación cíclica es la componente de una serie de tiempo que tiende a oscilar arriba y abajo de la línea de tendencia secular en periodos mayores que un año. El procedimiento utilizado para identificar la variación cíclica es el método de residuos.

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

Método de residuos

Expresión de la variación cíclica como porcentaje de tendencia

Cuando observamos una serie de tiempo consistente en datos anuales, sólo se toman en cuenta las componentes de tendencia secular, cíclica e irregular. (Esto es así porque la variación estacional pasa por un ciclo completo y regular cada año y no afecta más un año que otro.) Dado que podemos describir la tendencia secular utilizando una línea de tendencia, es posible aislar de la tendencia las componentes cíclica e irregular restantes. Supondremos que la componente cíclica explica la mayor parte de la variación que quedó sin explicar por la componente de tendencia secular. (Muchas series de tiempo reales no satisfacen esta suposición. Los métodos como el análisis de Fourier y el análisis espectral pueden estudiar la componente cíclica de estas series de tiempo. Tales métodos, sin embargo, están más allá del objetivo del presente libro.) Si utilizamos una serie de tiempo compuesta por datos anuales, podemos encontrar la fracción de la tendencia dividiendo el valor real (Y) entre el valor de tendencia correspondiente (Yˆ) para cada valor de la serie de tiempo. Luego se multiplica el resultado de este cálculo por 100. Esto da la medida de la variación cíclica como un porcentaje de tendencia. Presentamos el proceso en la ecuación 15-8: Porcentaje de tendencia Y   100 Yˆ

[15-8]

donde, • Y  valor real de la serie de tiempo • Yˆ  valor de tendencia estimado a partir del mismo punto de la serie de tiempo

Medición de la variación

Interpretación de las variaciones cíclicas

Expresión de las variaciones cíclicas en términos de residuos cíclicos relativos

Ahora aplicaremos este procedimiento. La cooperativa de comercialización de granjeros desea medir las variaciones en las cosechas de trigo de sus miembros durante 8 años. La tabla 15-6 da el volumen de cereal cosechado cada uno de los 8 años. La columna Y contiene los valores de la tendencia lineal para cada periodo. La recta de tendencia fue generada utilizando los métodos ilustrados en la sección 3 de este capítulo. Observe que en la gráfica del valor real (Y) y del valor de tendencia (Yˆ ) para los 8 años, figura 15-5, los valores reales quedan por arriba y abajo de la recta de tendencia. Ahora ya podemos determinar el porcentaje de tendencia para cada año de la muestra (columna 4 de la tabla 15-7). En esta columna podemos ver la variación de las cosechas reales alrededor de la tendencia estimada (98.7 a 102.5). Podemos atribuir estas variaciones cíclicas a factores como lluvias y cambios de temperatura. Sin embargo, debido a que estos factores son relativamente impredecibles, no podemos determinar un patrón específico futuro de variación con el método de residuos. El residuo cíclico relativo es otra medida de la variación cíclica. En este método se encuentra el porcentaje de variación de la tendencia para cada valor. La ecuación 15-9 presenta la fórmula matemática para determinar los residuos cíclicos relativos. Igual que con el porcentaje de tendencia, esta medida también es un porcentaje. Tabla 15-6 Grano recibido por la cooperativa de granjeros durante ocho años

X Año

Y bushels reales (decenas de miles)

Yˆ bushels estimados (decenas de miles)

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

7.5 7.8 8.2 8.2 8.4 8.5 8.7 9.1

7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0

15.4

Variación cíclica

687

Residuo cíclico relativo Y  Yˆ   100 Yˆ

[15-9]

donde, • Y  valor real de la serie de tiempo • Yˆ  valor de tendencia estimado a partir del mismo punto de la serie de tiempo

Comparación de dos medidas de variación cíclica

Gráfica de la variación cíclica

La tabla 15-8 muestra los cálculos del residuo cíclico relativo para el problema de la cooperativa de granjeros. Observe que la forma fácil de calcular el residuo cíclico relativo (columna 5) consiste en restar 100 del porcentaje de tendencia (columna 4). Estas dos medidas de variación cíclica, porcentaje de tendencia y residuo cíclico relativo, son porcentajes de la tendencia. Por ejemplo, en 1993, el porcentaje de tendencia indicaba que la cosecha real fue del 98.8% de la cosecha esperada para ese año. Para el mismo año, el residuo cíclico relativo indicó que la cosecha real estaba 1.2% por debajo de la cosecha esperada (un residuo cíclico relativo de 1.2). A menudo, graficamos la variación cíclica como el porcentaje de tendencia. En la figura 15-6 se ilustra cómo este proceso elimina la línea de tendencia y aísla la componente cíclica de la serie de

9.2 Gráfica de puntos reales ( Y )

Bushels (decenas de miles)

9.0 8.8 8.6

Fluctuaciones cíclicas arriba de la línea de tendencia

8.4

Fluctuaciones cíclicas abajo de la línea de tendencia

8.2 Línea de tendencia (gráfica de Yˆ )

8.0 7.8

FIGURA 15-5

7.6

Fluctuaciones cíclicas alrededor de la línea de tendencia

7.4 1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

Tiempo

Y   100 Yˆ

Tabla 15-7 Cálculo del porcentaje de tendencia

688

Capítulo 15

X Año (1)

Y Bushels reales ( 10,000) (2)

Yˆ Bushels estimados ( 10,000) (3)

Porcentaje de tendencia

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

7.5 7.8 8.2 8.2 8.4 8.5 8.7 9.1

7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0

98.7 100.0 102.5 100.0 100.0 98.8 98.9 101.1

Series de tiempo y pronósticos

(2) (4)    100 (3)

tiempo. Debe resaltarse que los procedimientos analizados en esta sección pueden usarse sólo para describir variaciones cíclicas pasadas y no para pronosticar variaciones cíclicas. La predicción de variaciones cíclicas requiere usar técnicas que van más allá del alcance de este libro. Y

Tabla 15-8 Cálculos de los residuos cíclicos relativos

X Año (1)

Y Bushels reales ( 10,000) (2)

Yˆ Bushels estimados ( 10,000) (3)

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

7.5 7.8 8.2 8.2 8.4 8.5 8.7 9.1

7.6 7.8 8.0 8.2 8.4 8.6 8.8 9.0

  100 Yˆ Porcentaje de tendencia (2) (4)    100 (3) 98.7 100.0 102.5 100.0 100.0 98.8 98.9 101.1

Y  Yˆ   100 Yˆ Residuo cíclico relativo (5)  (4)  100 1.3 0.0 2.5 0.0 0.0 1.2 1.1 1.1

103.0 102.5

Porcentaje de tendencia

102.0 101.5 101.0 100.5 100.0 Línea de tendencia

99.5

FIGURA 15-6

99.0

Gráfica del porcentaje de tendencia alrededor de la línea de tendencia para los datos de la tabla 15-7

98.5

Gráfica del porcentaje de tendencia

98.0 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Tiempo

Recuerde que la variación crítica es la componente de una serie de tiempo que oscila arriba y abajo de la tendencia lineal durante periodos mayores que un año. Advertencia: la variación estacional forma un ciclo completo dentro de cada año y no afecta a un año más que SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

a otro. La variación cíclica se mide por dos métodos. El primero expresa la variación como porcentaje de la tendencia, de ahí su nombre de porcentaje de tendencia. El segundo método (el residuo cíclico relativo) calcula la variación como porcentaje de desviación desde la tendencia.

Ejercicios 15.4 Ejercicios de autoevaluación EA

15-3

La Western Natural Gas Company ha surtido 18, 20, 21, 25 y 26 mil millones de pies cúbicos de gas, respectivamente, en los años 1991 a 1995. 15.4

Variación cíclica

689

a) b) c) d)

Encuentre la ecuación lineal de estimación que mejor describa estos datos. Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos. Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos. ¿En qué años se presentó la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es ésta la misma para ambos métodos?

Aplicaciones ■ 15-20

La compañía de computación Microprocessing, especializada en ingeniería de software, ha recolectado los siguientes registros de rendimientos para el periodo de 1989 a 1995. Año Recuperación (cientos de miles de dólares)

1989 1.1

1990 1.5

1991 1.9

1992 2.1

1993 2.4

1994 2.9

1995 3.5

La ecuación de segundo grado que mejor describe la tendencia secular para estos datos es: Yˆ  2.119  0.375x  0.020x2, donde 1992  0, y la unidad de x  1 año

■ 15-21

a) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos. b) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos. c) Grafique el porcentaje de tendencia del inciso a). d) ¿En qué año se presentó la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es ésta la misma para ambos métodos? La tienda departamental BullsEye ha expandido su participación en el mercado durante los últimos 7 años, con las siguientes ventas brutas en millones de dólares: Año Ventas

■ 15-22

1990 14.8

1991 20.7

1992 24.6

1993 32.9

1994 37.8

1995 47.6

1996 51.7

a) Encuentre la ecuación lineal de estimación que mejor describa estos datos. b) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos. c) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos. d) ¿En qué años ocurre la mayor fluctuación desde la tendencia y es la misma para ambos métodos? Joe Honeg, gerente de ventas responsable de la división de aparatos electrodomésticos de una gran compañía de productos de consumo, ha recogido los siguientes datos correspondientes a las ventas unitarias de su división durante los últimos cinco años: Año Unidades (decenas de miles)

1991 32

1992 46

1993 50

1994 66

1995 68

La ecuación que describe la tendencia secular para las ventas de aparatos electrodomésticos es Yˆ  52.4  9.2x, en la que 1993  0, y la unidad de x  1 año

■ 15-23

a) Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos. b) Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos. c) Grafique el porcentaje de tendencia del inciso a). d) ¿En qué año ocurrió la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es la misma para ambos métodos? Suponga que es el administrador principal de presupuesto de una pequeña empresa cuyos requerimientos de financiamiento durante los últimos años fueron: Año Millones de dólares requeridos

1989 2.2

1990 2.1

1991 2.4

1992 2.6

1993 2.7

1994 2.9

1995 2.8

La ecuación de tendencia que mejor describe los datos es Yˆ  2.53  0.13x, donde 1992  0, y la unidad de x  1 año a) b) c) d) ■ 15-24

690

Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos. Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos. ¿En qué año se presentó la mayor fluctuación en la tendencia? ¿Es ésta la misma para ambos métodos? Como administrador principal, ¿qué significaría esta fluctuación para usted y para las actividades que realiza? La Parallel Breakfast Foods tiene datos correspondientes al número de cajas de cereal que ha vendido en cada uno de los últimos 7 años.

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

Año Cajas (decenas de miles)

1989 21.0

1990 19.4

1991 22.6

1992 28.2

1993 30.4

1994 24.0

1995 25.0

a) b) c) d) ■ 15-25

Encuentre la ecuación de estimación lineal que mejor describa los datos. Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos. Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos. ¿En qué año ocurrió la mayor fluctuación de la tendencia con cada medida de la variación cíclica? ¿Es este año el mismo para ambas medidas? Explique su respuesta. Wombat Airlines, una aerolínea australiana, ha reunido datos sobre el número de pasajeros que han volado en sus aeronaves durante cada los últimos 5 años: Año Pasajeros (en decenas de miles)

a) b) c) d)

1991 3.5

1992 4.2

1993 3.9

1994 3.8

1995 3.6

Encuentre la ecuación lineal de estimación que mejor describa los datos. Calcule el porcentaje de tendencia para estos datos. Calcule el residuo cíclico relativo para estos datos. Con base en los datos y en los cálculos anteriores, dé un resumen de una oración acerca de la posición en que se encuentra la Wombat Airlines.

Soluciones a los ejercicios de autoevaluación EA

15-3

Año

x

Y

xY

x2

Yˆ

1991 1992 1993 1994 1995

2 1 0 1 02 0

18 20 21 25 026 110

36 20 0 25 052 21

4 1 0 1 04 10

17.8 19.9 22.0 24.1 26.2

Y

  100 Yˆ 101.12 100.50 95.45 103.73 99.24

Y Yˆ   100 Yˆ 1.12 0.50 4.55 3.73 0.76

110 xY 21 a) a   Y    22 b      2.1 5 x2 10 ˆY  22  2.1x (donde 1993  0 y unidad de x  1 año) b) Vea en la penúltima columna de la tabla el porcentaje de tendencia. c) Vea en la última columna de la tabla el residuo cíclico relativo. d) La fluctuación más grande (por ambos métodos) fue en 1993.

15.5 Variación estacional Definición de variación estacional

Además de la tendencia secular y de la variación cíclica, una serie de tiempo incluye la variación estacional. Este tipo de variación se define como un movimiento repetitivo y predecible alrededor de la línea de tendencia en un año o menos. Con el fin de detectar la variación estacional, los intervalos de tiempo necesitan medirse en unidades pequeñas, como días, semanas, meses o trimestres. Tenemos tres razones principales para el estudio de la variación estacional:

Tres razones para el estudio de la variación estacional

1. Podemos establecer el patrón de cambios pasados. Proporciona una forma de comparar dos intervalos de tiempo que de otro modo serían bastante disímiles. Si una escuela de capacitación de pilotos desea saber si una depresión en los negocios durante el mes de diciembre es normal, puede examinar el patrón estacional en los años anteriores y encontrar la información que necesita. 2. Es útil proyectar los patrones pasados al futuro. En el caso de decisiones de largo alcance, el análisis de tendencia secular puede resultar adecuado. Pero para decisiones a corto plazo, la habilidad de pronosticar fluctuaciones estacionales a menudo es esencial. Considere una cadena de venta de alimentos al mayoreo que desea mantener una existencia mínima adecuada en 15.5

Variación estacional

691

todos sus productos. La habilidad de pronosticar patrones de corto plazo, como la demanda de pavo en Navidad, dulces el Día del Niño o duraznos en verano, es útil para la administración de la cadena. 3. Una vez establecido el patrón estacional existente, podemos eliminar sus efectos de la serie de tiempo. Este ajuste nos permite calcular la variación cíclica que se lleva a cabo cada año. Cuando eliminamos el efecto de la variación estacional de una serie de tiempo, hemos desestacionalizado la serie.

Método de razón de promedio móvil Uso del método de razón de promedio móvil para medir la variación estacional

Con el fin de medir la variación estacional, es común usar el método de razón de promedio móvil. Esta técnica proporciona un índice que describe el grado de variación estacional. El índice está basado en una media de 100, con el grado de estacionalidad medido por las variaciones respecto a la base. Por ejemplo, si examinamos la estacionalidad de la renta de canoas en un hotel de veraneo, podríamos encontrar que el índice del trimestre de primavera es 142. El valor 142 indica que el 142% de las rentas trimestrales promedio ocurre en primavera. Si la administración registró 2,000 rentas de canoas durante todo el año anterior, entonces la renta promedio por trimestre será 2,000/4  500. Como el índice del trimestre de primavera es 142, estimamos el número de alquileres de canoas de la forma siguiente: Índice del trimestre de primavera

Rentas promedio por trimestre

Un ejemplo del método de razón de promedio móvil

Paso 1: Calcule el total móvil de 4 trimestres

⏐ ⏐ ↓ 142 Renta estacionalizada ⎯⎯⎯→ 500    710 ←⎯⎯⎯ del trimestre de primavera 100

El ejemplo con que abrimos el capítulo puede ilustrar el método de razón de promedio móvil. El hotel de veraneo desea establecer el patrón estacional de demanda de cuartos por parte de sus clientes. La administración desea mejorar el servicio al cliente y está considerando varios planes de contratación de personal durante los periodos pico. La tabla 15-9 presenta la ocupación por trimestre, es decir, el número promedio de huéspedes durante cada trimestre de los últimos cinco años. Nos referiremos a la tabla 15-9 para exponer los seis pasos requeridos para el cálculo de un índice estacional. 1. El primer paso en el cálculo de un índice estacional consiste en calcular el total móvil de 4 trimestres para la serie de tiempo. Para hacerlo, calculamos el total de los valores para los trimestres durante el primer año, 1991 en la tabla 15-9: 1,861  2,203  2,415  1,908  8,387. Un total móvil se asocia con el dato que ocupa el lugar medio del conjunto de valores del cual fue calculado. Como nuestro primer total de 8,387 se calculó a partir de cuatro datos, lo colocamos frente al punto medio de esos trimestres, de modo que queda en la columna 4 de la tabla 15- 10, entre los renglones 1991-II y 1991-III. 1. Encontramos el siguiente total móvil eliminando el valor de 1991-I, 1,861, y agregando el de 1992-I, 1,921. Al eliminar el primer valor y agregar el quinto, nos quedamos con cuatro trimestres en el total. Los cuatro valores sumados ahora son 2,203  2,415  1,908  1,921  8,447. Tabla 15-9 Serie de tiempo para la ocupación del hotel

692

Capítulo 15

Año

I

1991 1992 1993 1994 1995

1,861 1,921 1,834 1,837 2,073

Series de tiempo y pronósticos

Número de huéspedes por trimestre II III 2,203 2,343 2,154 2,025 2,414

2,415 2,514 2,098 2,304 2,339

IV 1,908 1,986 1,799 1,965 1,967

Paso 2: Calcule el promedio móvil de los 4 trimestres Paso 3: Centre el promedio móvil de 4 trimestres

Este total se coloca en la tabla 15-10 justo debajo del primer total trimestral, 8,347. Continuamos con este procedimiento de “deslizar” el total de 4 trimestres por la serie de tiempo hasta incluir el último valor de la serie. En el ejemplo, corresponde a las 1,967 habitaciones del cuarto trimestre de 1995, el último número de la columna 3 de la tabla. El último elemento de la columna de totales móviles es 8,793. Se encuentra entre los renglones de los trimestres 1995-II y 1995-III, ya que se calculó con los datos de los 4 trimestres de 1995. 2. En el segundo paso, calculamos el promedio móvil de los 4 trimestres, dividiendo entre 4 cada uno de los totales. En la tabla 15-10, dividimos entre 4 los valores que se encuentran en la columna 4, para obtener los valores de la columna 5. 3. En el tercer paso, centramos el promedio móvil de 4 trimestres. Los promedios móviles de la columna 5 caen a la mitad de los trimestres. Tal vez sería mejor tener promedios móviles asociados a cada trimestre. Con el fin de centrar nuestros promedios móviles, asociamos a cada trimestre el promedio de los dos promedios móviles de 4 trimestres que caen justo arriba y abajo de éste. Para el trimestre 1991-III, el promedio móvil centrado de 4 trimestres resultante es 2,104.25, es decir (2,096.75  2,111.75)/2. Los otros elementos de la columna 6 se calculan de la misma forma. En la figura 15-7 se ilustra cómo el promedio móvil suaviza los picos y los valles de la serie de tiempo original. Las componentes estacional e irregular se suavizaron, y la línea punteada resultante, representa las componentes cíclicas y de tendencia de la serie.

Tabla 15-10 Cálculo del promedio móvil centrado de 4 trimestres

Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación (3)

1991

I II III IV

1,861 2,203 2,415 1,908

1992

I II III IV

1,921 2,343 2,514 1,986

1993

I II III IV

1,834 2,154 2,098 1,799

1994

I II III IV

1,837 2,025 2,304 1,965

1995

I II III IV

2,073 2,414 2,339 1,967

Paso 1: Total móvil de 4 trimestres (4)

Paso 2: Promedio móvil de los 4 trimestres (5)  (4)  4

8,387 8,447

2,096.75 2,111.75

8,587 8,686 8,764 8,677

2,146.75 2,171.50 2,191.00 2,169.25

8,488 8,072 7,885 7,888

2,122.00 2,018.00 1,971.25 1,972.00

7,759 7,965 8,131 8,367

1,939.75 1,991.25 2,032.75 2,091.75

8,756 8,791 8,793

2,189.00 2,197.75 2,198.25

15.5

Paso 3: Promedio móvil centrado de 4 trimestres (6)

Paso 4: Porcentaje del valor real respecto al promedio móvil (3) (7)    100 (6)

2,104.250 2,129.250

114.8 89.6

2,159.125 2,181.250 2,180.125 2,145.625

89.0 107.4 115.3 92.6

2,070.000 1,994.625 1,971.625 1,955.875

88.6 108.0 106.4 92.0

1,965.500 2,012.000 2,062.250 2,140.375

93.5 100.6 111.7 91.8

2,193.375 2,198.000

94.5 109.8

Variación estacional

693

Algunas veces, es posible omitir el paso 3

Paso 4: Calcule el porcentaje del valor real respecto al valor del promedio móvil

Paso 5: Reúna las repuestas del paso 4 y calcule la medida modificada

Reducción de variaciones cíclica e irregular extremas

3.

Suponga que trabajamos con los datos de admisión de la sala de urgencias de un hospital, y deseamos calcular los índices diarios. En los pasos 1 y 2, calculamos los totales móviles y los promedios móviles de 7 días, y los promedios móviles ya quedan centrados (debido a que el punto medio de un periodo de 7 días es el cuarto día). En este caso, el paso 3 no es necesario. Siempre que el número de periodos para los cuales queremos obtener índices sea impar (7 días en una semana, 3 turnos en un día), podemos omitir el paso 3. Sin embargo, cuando el número de periodos es par (4 trimestres, 12 meses, 24 horas), entonces debemos seguir el paso 3 para centrar los promedios móviles obtenidos en el paso 2. 4. Enseguida, calculamos el porcentaje del valor real con respecto al valor del promedio móvil para cada trimestre de la serie de tiempo que tenga un elemento de promedio móvil de 4 trimestres. Este paso nos permite recuperar la componente estacional para los trimestres. Determinamos este porcentaje dividiendo cada uno de los valores trimestrales reales de la columna 3 de la tabla 15-10 entre los valores correspondientes del promedio móvil centrado de 4 trimestres que se encuentran en la columna 6, y luego multiplicamos el resultado por 100. Por ejemplo, encontramos que el porcentaje correspondiente a 1991-III es:

2,415 Real    100    100 Promedio móvil 2,104.250  114.8 5. Para reunir todos los porcentajes de los valores reales respecto a los valores del promedio móvil de la columna 7 de la tabla 15-10, organícelos por trimestre. Luego calcule la media modificada para cada trimestre. Esta media modificada se calcula descartando los valores más alto y más bajo de cada trimestre y promediando los valores restantes. La tabla 15-11 presenta el quinto paso y el proceso para encontrar la media modificada. 3. Los valores estacionales recuperados de los trimestres, datos en la columna 7 de la tabla 15-10, todavía contienen las componentes cíclica e irregular de la variación de la serie de tiempo. Al eliminar los valores más alto y más bajo de cada trimestre, reducimos las variaciones cíclica e irregular extremas. Cuando promediamos los valores restantes, suavizamos todavía más estas componentes. Las variaciones cíclica e irregular tienden a ser eliminadas mediante este proceso, de modo que la media modificada es un índice de la componente estacional. (Algunos estadísticos prefieren utilizar la mediana en lugar de calcular la media modificada para obtener el mismo resultado.) 2,500 2,400

Serie de tiempo original

Ocupantes por trimestre

2,300 2,198

2,200 2,100 2,000 Promedio móvil centrado del cuarto trimestre (columna 6 de la tabla 15-10)

1,900 1,800

FIGURA 15-7 Uso de un promedio móvil para suavizar la serie de tiempo original

694

1,700

Capítulo 15

I

II III IV 1991

I

II III IV 1992

I

II III IV

I

1993

1994 Tiempo

Series de tiempo y pronósticos

II III IV

I

II III IV 1995

I

II III IV 1996

Paso 6: Ajuste la media modificada

6. El paso final que se muestra en la tabla 15-12 es un ligero ajuste de la media modificada. Note que los cuatro índices de la tabla 15-11 dan un total de 404.1. Sin embargo, la base de un índice es 100. Entonces, los cuatro índices trimestrales deben dar un total de 400 y su media debe ser 100. Para corregir este error, multiplicamos cada uno de los índices trimestrales de la tabla 15-11 por una constante de ajuste. Este número se encuentra dividiendo la suma deseada de los índices (400) entre la suma real (404.1). En este caso, el resultado es 0.9899. En la tabla 15-12 se ve que multiplicar los índices por la constante de ajuste hace que den un total de 400. (En ocasiones, incluso después de haber hecho este ajuste, la media de los índices estacionales no es exactamente 100, debido a los errores de redondeo acumulados. Sin embargo, en este caso la media es exactamente 100.) Tabla 15-11

Año

Trimestre I

Trimestre II

Trimestre III

Trimestre IV

Procedimiento seguido en el paso 5 para calcular un índice estacional*

1991 1992 1993 1994 1995

— 89.0 88.6 93.5 094.5 182.5

— 107.4 108.0 100.6 109.8 215.4

114.8 115.3 106.4 111.7 .0— 0 226.5

89.6 92.6 92.0 91.8 .0— 0 183.8

Media modificada: 182.5 Trimestre I:   91.25 2 215.4 Trimestre II:   107.70 2 226.5 Trimestre III:   113.25 2 183.8 Trimestre IV:   91.90 2 Total de índices  404.1 *Los valores eliminados están tachados con una diagonal.

Tabla 15-12 Procedimiento para el paso 6

Trimestre

Índices desajustados



Constante de ajuste



Índice estacional

I II III IV

91.25 107.70 113.25 91.90

   

0.9899 0.9899 0.9899 0.9899 Total de los índices estacionales

    

90.3 106.6 112.1 ,091.0 400.0

400 Media de los índices   4  100.0

Usos del índice estacional Desestacionalización de una serie de tiempo

El método de razón del promedio móvil que acabamos de estudiar, nos permite identificar la variación estacional de una serie de tiempo. Los índices estacionales se utilizan para eliminar los efectos de estacionalidad de una serie de tiempo. A este proceso se le denomina desestacionalización de una serie de tiempo. Antes de poder identificar la componente de tendencia o la cíclica de una serie de tiempo, es necesario eliminar la variación estacional. Para desestacionalizar una serie de tiempo, di15.5

Variación estacional

695

Procedimiento para desestacionalizar datos

Uso de la estacionalidad para pronosticar

   100 Índice estacional

Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación real (3)

1991

I

1,861



100 



2,061

1991

II

2,203



100 



2,067

1991

III

2,415



100 



2,154

1991

IV

1,908



100 



2,097

Tabla 15-13

Ocupación desestacionalizada (5)  (3)  (4)

(4) 90.3

106.6

112.1

91.0

vidimos cada uno de los valores reales de la serie entre el índice estacional adecuado (expresado como una fracción de 100). Para describir el procedimiento, se hará la desestacionalización del valor de los primeros cuatro trimestres de la tabla 15-9. En la tabla 15-13, se presenta el proceso de desestacionalización utilizando los valores de los índices estacionales de la tabla 15-12. Una vez eliminado el efecto estacional, los valores desestacionalizados que quedan solamente reflejan las componentes de tendencia, cíclica e irregular de la serie de tiempo. Una vez eliminada la variación estacional, calculamos una línea de tendencia desestacionalizada, que luego podemos proyectar al futuro. Suponga que la administración del hotel de nuestro ejemplo estima, a partir de una línea de tendencia desestacionalizada, que la ocupación promedio desestacionalizada para el cuarto trimestre del año siguiente será de 2,121. Cuando se obtiene esta predicción, la administración debe tomar en consideración el efecto de las estaciones. Para ello, se multiplica la ocupación promedio desestacionalizada predicha, 2,121, por el índice estacional del cuarto trimestre (expresado como fracción de 100) para obtener una estimación estacionalizada de 1,930 cuartos de ocupación promedio para el cuarto trimestre: Índice estacional para el cuarto trimestre

⏐ ⏐ ↓ 9 1 .0 Valor desestacionalizado estimado de la línea de tendencia ⎯⎯⎯→ 2,121    1,930 ←⎯⎯⎯ 100

Utilizar los índices estacionales para ajustar los datos por mes y por trimestre ayuda a detectar la tendencia secular subyacente. Advertencia: la mayor parte de las cifras reportadas no dicen cuánto ajuste estacional se usó y en algunas decisiones administrativas esta información que falta es valiosa. Por ejemplo, si un departamento de control de vehículos estatal informa que el registro de SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

Estimación estacionalizada de la ocupación en el cuarto semestre

vehículos nuevos el mes pasado fue 25,000 con una tasa de ajuste estacional, ¿cómo puede pronosticar la demanda del próximo mes un distribuidor de refacciones para automóviles, como tapetes a la medida, sin saber el número real de autos nuevos? A menudo, con propósitos de planeación interna, es útil conocer tanto las cifras ajustadas como las no ajustadas.

Ejercicios 15.5 Ejercicio de autoevaluación EA

696

15-4

Utilice los siguientes porcentajes del promedio real respecto al promedio móvil que describen el flujo de efectivo trimestral en el Village Bank de Carrboro, N.C. durante un periodo de 4 años, para calcular el índice estacional para cada trimestre.

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

1992 1993 1994 1995

Primavera

Verano

Otoño

Invierno

87 85 84 88

106 110 105 104

86 83 87 88

125 127 128 124

Aplicaciones ■ 15-26

El dueño de la empresa The Pleasure-Glide Boat ha recopilado las siguientes cifras trimestrales del nivel de cuentas por cobrar durante los últimos 5 años (miles de dólares):

1991 1992 1993 1994 1995

■ 15-27

■ 15-29

Verano

Otoño

Invierno

102 110 111 115 122

120 126 128 135 144

90 95 97 103 110

78 83 86 91 98

a) Calcule un promedio móvil centrado de 4 trimestres. b) Encuentre el porcentaje de valores reales respecto al promedio móvil para cada periodo. c) Determine los índices estacionales y los índices estacionales modificados. Marie Wiggs, directora de personal de una compañía farmacéutica registró las siguientes tasas de ausentismo porcentual para cada trimestre de un periodo de 4 años:

1992 1993 1994 1995

■ 15-28

Primavera

Primavera

Verano

Otoño

Invierno

5.6 5.7 5.3 5.4

6.8 6.7 6.6 6.9

6.3 6.4 6.1 6.2

5.2 5.4 5.1 5.3

a) Elabore un promedio móvil centrado de 4 trimestres y grafíquelo junto con los datos originales. b) ¿Qué puede concluir acerca del ausentismo en el inciso a)? Utilice los siguientes porcentajes de promedios reales respecto a los promedios móviles que describen las ventas estacionales de artículos deportivos en un periodo de 5 años, para calcular el índice estacional de cada estación. Año

Béisbol

Fútbol

Básquetbol

Jockey

1992 1993 1994 1995 1996

96 92 84 97 91

128 131 113 118 121

116 125 117 126 124

77 69 84 89 81

Un fabricante importante de resortes para automóvil ha determinado los siguientes porcentajes de promedio real respecto al promedio móvil que describen las necesidades trimestrales de dinero en efectivo de la compañía para los 6 años anteriores:

1990 1991 1992 1993 1994 1995

Primavera

Verano

Otoño

Invierno

108 112 109 110 108 106

128 132 134 131 135 129

94 88 84 90 89 93

70 68 73 69 68 72

Calcule el índice estacional para cada trimestre. Comente su comparación con los índices que calculó en el ejercicio 15-26. 15.5

Variación estacional

697

■ 15-30

■ 15-31

■ 15-32

El jefe de admisiones de una universidad ha recabado las siguientes cifras correspondientes a los ingresos por trimestre para los 5 años anteriores (cientos): Primavera

Verano

Otoño

Invierno

1991

220

203

193

84

1992

235

208

206

76

1993

236

206

209

73

1994

241

215

206

92

1995

239

221

213

115

a) Calcule un promedio móvil centrado de 4 trimestres. b) Encuentre el porcentaje del promedio real respecto al promedio móvil para cada periodo. c) Determine los índices estacionales y los índices estacionales modificados. El hotel Ski and Putt Resort, una combinación de montañas para esquiar y campo de golf, acaba de tabular los datos del número de clientes (en miles) que ha tenido durante cada estación en los últimos 5 años. Calcule el índice estacional para cada trimestre. Si el hotel contrata 15 personas en el verano, ¿cuál deberá ser el número de empleados en el invierno, suponiendo que ambos deportes tienen iguales requerimientos de servicio? Primavera

Verano

Otoño

Invierno

1991

200

300

125

325

1992

175

250

150

375

1993

225

300

200

450

1994

200

350

225

375

1995

175

300

200

350

David Curl Builders recolectó datos trimestrales del número de casas que comenzó a construir durante los últimos 5 años. Primavera

Verano

Otoño

Invierno

1991

8

10

7

5

1992

9

10

7

6

1993

10

11

7

6

1994

10

12

8

7

1995

11

13

9

8

a) Calcule el índice estacional para cada trimestre. b) Si las necesidades de capital de trabajo de la constructora tienen una relación directa con el número de casas, ¿cuánto debe disminuir su capital de trabajo entre verano e invierno?

Solución al ejercicio de autoevaluación EA

15-4

Año

Primavera

Verano

Otoño

Invierno

1992

87

106

86

125

1993

85

110

83

127

1994

84

105

87

128

1995

88

104

88

124

Suma modificada

172

211

173

Media modificada

86

105.5

86.5

252 126

Índice estacional 85.15 104.46 85.64 124.75 La suma de las medias modificadas fue 404, de manera que el factor de ajuste fue 400/404  0.9901. Los índices estacionales se obtuvieron multiplicando las medias modificadas por este factor.

698

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

15.6 Variación irregular Dificultad para manejar la variación irregular

La última componente de una serie de tiempo es la variación irregular. Después de eliminar las variaciones de tendencia, cíclica y estacional de una serie de tiempo, todavía queda un factor impredecible. Por lo común, la variación irregular se presenta en intervalos cortos y sigue un patrón aleatorio. Debido a lo impredecible de la variación irregular, no tenemos la intención de intentar describirla de manera matemática. Sin embargo, a menudo podemos aislar sus causas. Por ejemplo, la crisis financiera en la ciudad de Nueva York en 1975 fue un factor irregular que deprimió severamente el mercado de bonos municipales. En 1984, las temperaturas inusualmente bajas que se presentaron a finales de diciembre en los estados sureños de la Unión Americana fueron un factor irregular que aumentó significativamente el consumo de electricidad y de combustibles. La Guerra del Golfo Pérsico de 1991 fue otro factor irregular que hizo aumentar significativamente el número de viajes por aire y mar durante meses, a medida que se trasladaban tropas y suministros al lugar del conflicto. Sin embargo, no todas las causas de la variación irregular se pueden identificar con tanta facilidad. Un factor que permite a los administradores manejar la variación irregular es que, con el tiempo, estos movimientos aleatorios tienden a contrarrestarse entre sí.

Advertencia: la variación irregular es muy importante, pero no se explica matemáticamente. Es “lo que queda” después de eliminar la variación por tendencia, cíclica y estacional de una serie de tiempo. En la mayoría de los casos, es difícil, si no imposible, pronosticar la variaSUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

ción irregular y nunca se intenta “ajustar una línea” para explicarla. Sugerencia: a menudo se encontrará variación irregular reconocida con un pie de página o un comentario en una gráfica. Ejemplos de esto serían “mercado cerrado por el día del trabajo” o “la Semana Santa cayó en marzo este año en lugar de abril”.

Ejercicios 15.6 Conceptos básicos ■ 15-33 ■ 15-34

■ 15-35 ■ 15-36

¿Por qué no proyectamos la variación irregular al futuro? ¿Cuáles de los siguientes incisos ilustran variaciones irregulares? a) Una sequía larga que lleva a aumentar los precios de los alimentos. b) El efecto de la nieve sobre el negocio del esquí. c) Descuento, por única vez, en los impuestos federales para la adquisición de casas nuevas. d) El colapso en los precios del petróleo crudo al inicio de 1986. e) La reducción del uso de energía después del embargo petrolero de 1973. Haga una lista de cinco variaciones irregulares en series de tiempo con las que se encuentra como parte de su rutina diaria. ¿Qué permite a los administradores manejar la variación irregular en las series de tiempo?

15.7 Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo Para analizar un problema que involucra las cuatro componentes de una serie de tiempo, veremos el caso de una compañía que se especializa en la producción de equipo para recreación. Para pronosticar las ventas con base en sus patrones de ventas históricas, la compañía ha recolectado la información de la tabla 15-14. El procedimiento para describir esta serie de tiempo consistirá en tres etapas:

15.7

Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo

699

1. Desestacionalización de la serie de tiempo 2. Desarrollo de la línea de tendencia 3. Búsqueda de la variación cíclica alrededor de la línea de tendencia Paso 1: Cálculo de índices estacionales

Búsqueda de los valores desestacionalizados

Como los datos están disponibles por trimestre, primero debemos desestacionalizar la serie de tiempo. Los pasos para hacerlo se muestran en las tablas 15-15 y 15-16. Estos pasos son los mismos que introdujimos en la sección 15-5. En la tabla 15-15 se tabularon los primeros cuatro pasos para el cálculo del índice estacional. En la tabla 15-16 completamos el proceso. Una vez calculados los índices estacionales trimestrales, podemos encontrar los valores desestacionalizados de la serie de tiempo dividiendo las ventas reales (tabla 15-14) entre los índices estacionales. La tabla 15-17 da el cálculo de los valores desestacionalizados de la serie de tiempo.

Tabla 15-14 Año Ventas trimestrales

Ventas por trimestre (decenas de miles de dólares) I II III IV

1991 1992 1993 1994 1995

16 15 17 17 18

21 20 24 25 26

9 10 13 11 14

18 18 22 21 25

Tabla 15-15 Cálculo de los primeros cuatro pasos para obtener el índice estacional

700

Capítulo 15

Año (1)

Trimestre (2)

Ocupación (3)

1991

I II III IV

16 21 9 18

1992

I II III IV

15 20 10 18

1993

I II III IV

17 24 13 22

1994

I II III IV

17 25 11 21

1995

I II III IV

18 26 14 25

Series de tiempo y pronósticos

Paso 1: Total móvil de 4 trimestres (4)

Paso 2: Promedio móvil de los 4 trimestres (4) (5)   4

64 63

16.00 15.75

62 63 63 65

15.50 15.75 15.75 16.25

69 72 76 76

17.25 18.00 19.00 19.00

77 75 74 75

19.25 18.75 18.50 18.75

76 79 83

19.00 19.75 20.75

Paso 3: Promedio móvil centrado de 4 trimestres (6)

Paso 4: Porcentaje del valor real respecto al promedio móvil (3) (7)    100 (6)

15.875 15.625

56.7 115.2

15.625 15.750 16.000 16.750

96.0 127.0 62.5 107.5

17.625 18.500 19.000 19.125

96.5 129.7 68.4 115.0

19.000 18.625 18.625 18.875

89.5 134.2 59.1 111.3

19.375 20.250

92.9 128.4

Paso 2: Desarrollo de la línea de tendencia utilizando el método de mínimos cuadrados

El segundo paso para describir las componentes de la serie de tiempo consiste en desarrollar la línea de tendencia. Para ello aplicamos el método de mínimos cuadrados a la serie de tiempo desestacionalizada (después de haber traducido la variable estacional). La tabla 15-18 presenta los cálculos necesarios para identificar la componente de tendencia. Con los valores de la tabla 15-18, podemos encontrar la ecuación de la tendencia. De las ecuaciones 15-3 y 15-4, encontramos la pendiente y la ordenada Y de la recta de tendencia de la siguiente manera: xY b [15-3] x2 420.3  2,660  0.16 a Y [15-4]  18.0 La línea de tendencia apropiada se describe utilizando la ecuación de la recta (ecuación 12-3), con x en lugar de X: Yˆ  a  bx [12-3]  18  0.16x Paso 5*

Tabla 15-16 Año Pasos 5 y 6 en el cálculo del índice estacional

1991 1992 1993 1994 1995

I — 96.0 96.5 89.5 092.9 Suma modificada  188.9

II

III

IV

— 127.0 129.7 134.2 128.4 258.1

56.7 62.5 68.4 59.1 0—0 121.6

115.2 107.5 115.0 111.3 0—0 226.3

Media modificada: Trimestre I:

188.9  94.45 2

II:

258.1  129.05 2

III:

121.6  60.80 2

IV:

226.3  113.15 2 397.45

Paso 6† 400 Factor de ajuste   = 1.0064 397.45

*

Trimestre

Índices



Factor de ajuste



Suma de índices

I II

94.45 129.05

 

1.0064 1.0064

 

95.1 129.9

III IV

60.80 113.15

 

1.0064  1.0064  Suma de índices estacionales 

61.2 113.9 400.1

Ordene los porcentajes de la columna 7, tabla 15-15, por trimestre y encuentre la media modificada.

**

Corrección de los índices del paso 5.

15.7

Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo

701

Paso 3: Búsqueda de la variación cíclica

Suposiciones acerca de la variación irregular

Predicciones utilizando una serie de tiempo

Paso 1: Determinación del valor desestacionalizado de las ventas para el periodo deseado

Se han identificado las componentes estacional y de tendencia de la serie de tiempo. A continuación, encontraremos la variación cíclica alrededor de la línea de tendencia. Esta componente se identifica midiendo la variación desestacionalizada alrededor de la línea de tendencia. En este problema, calcularemos la variación cíclica en la tabla 15-19, usando el método de residuos. Si suponemos que la variación irregular es, en general, de corto plazo y relativamente insignificante, hemos descrito por completo la serie de tiempo de este problema utilizando las componentes de tendencia, estacional y cíclica. En la figura 15-8 ilustramos la serie de tiempo original, su promedio móvil (que contiene tanto la componente de tendencia como la cíclica) y la línea de tendencia. Ahora, suponga que la administración del complejo de veraneo que hemos usado como ejemplo desea estimar el volumen de ventas para el tercer trimestre de 1996. ¿Qué debe hacer la administración? 1. Debe determinarse el valor desestacionalizado de las ventas del tercer trimestre de 1996, mediante la ecuación de tendencia, Yˆ  18  0.16x. Esto requiere la codificación del tiempo, 1996-III. Ese trimestre (1996-III) es tres trimestres después de 1995-IV que, como se ve en la tabla 15-18, tiene un valor de tiempo codificado de 19. Sumando 2 por cada trimestre, la administración encuentra que x  19  2(3)  25. Sustituyendo este valor (x  25) en la ecuación de tendencia se produce el siguiente resultado: Yˆ  a  bx  18  0.16(25)  18  4  22 Así, la estimación de ventas desestacionalizada para 1993-III es $220,000. Este punto se señala sobre la línea de tendencia en la figura 15-8.

Año (1)

Trimestre (2)

Ventas reales (3)

Índice estacional   100 (4)

Ventas desestacionalizadas (5)  (3)  (4)

1991

I II III IV

16 21 9 18

0.951 1.299 0.612 1.139

16.8 16.2 14.7 15.8

1992

I II III IV

15 20 10 18

0.951 1.299 0.612 1.139

15.8 15.4 16.3 15.8

1993

I II III IV

17 24 13 22

0.951 1.299 0.612 1.139

17.9 18.5 21.2 19.3

1994

I II III IV

17 25 11 21

0.951 1.299 0.612 1.139

17.9 19.2 18.0 18.4

1995

I II III IV

18 26 14 25

0.951 1.299 0.612 1.139

18.9 20.0 22.9 21.9

Tabla 15-17 Cálculo de los valores desestacionalizados de la serie de tiempo

702

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

Tabla 15-18 Identificación de la componente de tendencia

Y Ventas desestacionalizadas (1/2 x) (columna 5 de la tabla Traducción o 15-17) (decenas de codificación de la miles de dólares) variable estacional (3) (4)

x (5)  (4)  2

xY (6)  (5)  (3)

x2 (7)  (5)2

9 1/2 8 1/2 7 1/2 6 1/2

19 17 15 13

319.2 275.4 220.5 205.4

361 289 225 169

15.8 15.4 16.3 15.8

5 1/2 4 1/2 3 1/2 2 1/2

11 9 7 5

173.8 138.6 114.1 79.0

121 81 49 25

I II

17.9 18.5

3 1

53.7 18.5

9 1

III IV

21.2 19.3

1 1/2 1/2 0* 1 /2 1 1/2

1 3

21.2 57.9

1 9

1994

I II III IV

17.9 19.2 18.0 18.4

2 1/2 3 1/2 4 1/2 5 1/2

5 7 9 11

89.5 134.4 162.0 202.4

25 49 81 121

1995

I II III IV

18.9 20.0 22.9 21.9 Y  360.9

6 1/2 7 1/2 8 1/2 9 1/2

13 15 17 19

245.7 300.0 389.3 0000000416.1  xY  420.3

169 225 289 00000000361 x 2  2,660

Año (1)

Trimestre (2)

1991

I II III IV

16.8 16.2 14.7 15.8

1992

I II III IV

1993 Media

Y Yˆ   n Y

360.9   20

Y  18.0 *Asignamos la media de cero al valor en la mitad de los datos (1993-II 1/2) y luego medimos el tiempo traducido, x, por medios trimestres, debido a que tenemos un número par de periodos.

Paso 2: Estacionalización de la estimación inicial

2. Ahora la administración debe estacionalizar esta estimación multiplicándola por el índice estacional correspondiente al tercer trimestre, expresado como una fracción de 100: Índice estacional para el trimestre III tomado del paso 6 de la tabla 15-16

⏐ ⏐ ↓ 61.2 Estimación de tendencia obte⎯⎯⎯→ 22    13.5 ←⎯⎯⎯ nida con la ecuación 12-3 100 Precaución al utilizar la predicción

Estimación estacionalizada

Con base en este análisis, la compañía estima que las ventas para el trimestre 1996-III serán de $135,000. Debemos aclarar, sin embargo, que este valor es solamente una estimación y no toma en cuenta las componentes cíclica e irregular. Como hicimos notar, la variación irregular no se puede pronosticar matemáticamente. Recuerde también que el manejo de la variación cíclica fue meramente una descripción del comportamiento pasado y no un pronóstico del comportamiento futuro. 15.7

Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo

703

Año (1)

Trimestre (2)

Y Ventas desestacionalizadas (columna 5, tabla 15-17) (3)

1991

I II III IV

16.8 16.2 14.7 15.8

18  0.16 (19)  14.96 18  0.16 (17)  15.28 18  0.16 (15)  15.60 18  0.16 (13)  15.92

112.3 106.0 94.2 99.2

1992

I II III IV

15.8 15.4 16.3 15.8

18  0.16 (11)  16.24 18  0.16 ( 9)  16.56 18  0.16 ( 7)  16.88 18  0.16 ( 5)  17.20

97.3 93.0 96.6 91.9

1993

I II III IV

17.9 18.5 21.2 19.3

18  0.16 ( 3)  17.52 18  0.16 ( 1)  17.84 18  0.16 ( 1)  18.16 18  0.16 ( 3)  18.48

102.2 103.7 116.7 104.4

1994

I II III IV

17.9 19.2 18.0 18.4

18  0.16 ( 5)  18.80 18  0.16 ( 7)  19.12 18  0.16 ( 9)  19.44 18  0.16 ( 11)  19.76

95.2 100.4 92.6 93.1

1995

I II III IV

18.9 20.0 22.9 21.9

18  0.16 ( 18  0.16 ( 18  0.16 ( 18  0.16 (

94.1 98.0 110.5 104.1

Tabla 15-19 Identificación de la variación cíclica

a  bx  Yˆ * (4)

Y  100 Yˆ Porcentaje de tendencia (3) (15)    100 (4)

13)  20.08 15)  20.40 17)  20.72 19)  21.04

Serie de tiempo, línea de tendencia y promedio móvil centrado de 4 trimestres para los datos de ventas trimestrales de la tabla 15-14

704

Capítulo 15

Serie de tiempo de la tabla 15-14 (las cuatro componentes)

26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9

Yˆ = 18 + 0.16x (sólo la tendencia)

Estimación de ventas desestacionalizadas para 1996-III ($220,000)

Promedio móvil centrado de 4 trimestres (componentes de tendencia y cíclica) x=0

I

II III IV I

II III IV I

II III IV I

II III IV I

II III IV I

II III IV

{ { { { { {

FIGURA 15-8

Ventas (decenas de miles de dólares)

*El valor apropiado de x en esta ecuación se obtiene de la columna 5 de la tabla 15-18.

1991

1992

1993

Series de tiempo y pronósticos

1994

1995

1996

Un análisis completo de la serie de tiempo intenta explicar la tendencia secular, la variación cíclica y la variación estacional. Lo que queda es la variación irregular. Advertencia: aun el mejor análisis de series de tiempo describe el comportamiento anterior y puede no pronosticar SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

el comportamiento futuro. Sugerencia: la manera correcta de proceder al analizar todas las componentes de una serie de tiempo es primero desestacionalizar la serie de tiempo, después encontrar la línea de tendencia, luego calcular la variación alrededor de la línea de tendencia y, por último, identificar la variación irregular en lo que queda.

Ejercicios 15.7 Ejercicio de autoevaluación EA

15-5

Una comisión estatal designada para controlar el consumo de energía reunió los siguientes datos correspondientes al consumo de gas natural, en millones de pies cuadrados: Año

Invierno

Primavera

Verano

Otoño

1992 1993 1994 1995

293 301 304 306

246 252 259 265

231 227 239 240

282 291 296 300

a) Determine los índices estacionales y desestacionalice estos datos (usando un promedio móvil centrado de 4 trimestres). b) Calcule la recta de mínimos cuadrados que mejor describa esos datos. c) Identifique la variación cíclica de los datos con el método del residuo cíclico relativo. d) Represente gráficamente los datos originales, los datos desestacionalizados y la tendencia.

Aplicaciones 15-37

■ 15-38

Una agencia de ecología ha observado la calidad del aire en Nueva York durante 5 años y ha reunido los siguientes datos estacionales respecto a los contaminantes (en partes por millón) en el aire. Año

Invierno

Primavera

Verano

Otoño

1992 1993 1994 1995 1996

452 474 494 506 527

385 397 409 429 454

330 356 375 398 421

385 399 415 437 482

a) Determine los índices estacionales y desestacionalice estos datos (usando un promedio móvil centrado de 4 trimestres). b) Calcule la recta de mínimos cuadrados que mejor describa estos datos. c) Identifique la variación cíclica en estos datos con el método de residuos cíclicos relativos. d) Grafique los datos originales, los datos desestacionalizados y la tendencia. Los siguientes datos describen el desempeño de comercialización de un productor regional de cerveza: Ventas por trimestre (cientos de miles de dólares) II III IV

Año

I

1991 1992 1993 1994

19 21 23 24

24 28 31 35

38 44 41 48

25 23 23 21

a) Calcule los índices estacionales para estos datos. (Utilice un promedio móvil centrado de 4 trimestres.) b) Desestacionalice estos datos utilizando los índices del inciso a). 15.7

Problema que incluye a las cuatro componentes de una serie de tiempo

705

■ 15-39

Para el ejercicio 15-38: a) Encuentre la recta de mínimos cuadrados que mejor describa la tendencia en las ventas desestacionalizadas de cerveza. b) Identifique la componente cíclica en esta serie de tiempo calculando el porcentaje de tendencia.

Solución al ejercicio de autoevaluación EA

15-5

a) Año

Trimestre

Uso real de gasolina

1992

Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño

293 246 231 282 301 252 227 291 304 259 239 296 306 265 240 300

1993

1994

1995

Promedio móvil 4 trimestres

Promedio móvil centrado

263.00 265.00 266.50 265.50 267.75 268.50 270.25 273.25 274.50 275.00 276.50 276.75 277.75

Año

Invierno

1992 1993 1994 1995 Suma modificada Índice estacional

113.16 111.87 110.62 111.87 111.66

Porcentaje de promedio real respecto al promedio móvil

264.000 265.750 266.000 266.625 268.125 269.375 271.750 273.875 274.750 275.750 276.625 277.250

087.50 106.11 113.16 094.51 084.66 108.03 111.87 094.57 086.99 107.34 110.62 095.58

Primavera

94.51 94.57 95.58 94.57 94.39

Índice estacional

Uso desestacionalizado

111.66 094.39 086.82 107.13 111.66 094.39 086.82 107.13 111.66 094.39 086.82 107.13 111.66 094.39 086.82 107.13

262.4037 260.6208 266.0677 263.2316 269.5683 266.9774 261.4605 271.6326 272.2551 274.3935 275.2822 276.2998 274.0462 280.7501 276.4340 280.0336

Verano

Otoño

87.50 84.66 86.99

106.11 108.03 107.34

86.99 86.82

107.34 107.13

La suma de las medias modificadas fue 400.77, de manera que el factor de ajuste 400/400.77  0.99808. Los índices estacionales se obtuvieron multiplicando las medias modificadas por este factor.

b, c)

Año

Trimestre

Uso desestacionalizado (Y)

1992

Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño

262.4037 260.6208 266.0677 263.2316 269.5683 266.9774 261.4605 271.6326 272.2551 274.3935 275.2822 276.2998

1993

1994

x 15 13 11 19 17 15 13 11 11 13 15 17

xY 3936.0555 3388.0704 2926.7447 2369.0844 1886.9781 1334.8870 784.3815 271.6326 272.2551 823.1805 1376.4110 1934.0986

x2

Tendencia desestacionalizada Yˆ  270.7161  0.6301x

Residuo cíclico relativo Y  Yˆ   100 Yˆ

225 169 121 81 49 25 9 1 1 9 25 49

261.2646 262.5248 263.7850 265.0452 266.3054 267.5656 268.8258 270.0860 271.3462 272.6064 273.8666 275.1268

0.44 0.73 0.87 0.68 1.23 0.22 2.74 0.57 0.33 0.66 0.52 0.43 (continúa)

706

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

Año

Trimestre

1995

Invierno Primavera Verano Otoño

Uso desestacionalizado (Y)

x

274.0462 280.7501 276.4340 280.0336 4,331.4571

x2

xY

9 11 13 15 0

2466.4158 3088.2511 3593.6420 4200.5040 856.9239

81 121 00169 0,225 1,360

Tendencia desestacionalizada Yˆ  270.7161  0.6301x

Residuo cíclico relativo Y  Yˆ   100 Yˆ

276.3870 277.6472 278.9074 280.1676

0.85 1.12 0.89 0.05

856.9239 xY b     0.6301 1,360 x2

4,331.4571 a Y    270.7161 16

Yˆ  270.7161  0.6301x (donde 1993-IV 1/2  0 y unidad de x  1/2 trimestre) d)

310 300 290

Consumo de gasolina

280

•

270 260

• •

• •

•

•

IV

I

•

•

•

•

•

II III 1994

IV

I

II III 1995

•

•

•

•

250 240 230 220

I

II III 1992

IV

I

II III 1993

datos originales

IV

• datos desestacionalizados

15.8 Análisis de series de tiempo en pronósticos

Limitaciones del análisis estacional

En este capítulo hemos examinado las cuatro componentes de una serie de tiempo. Hemos descrito el proceso de proyectar la tendencia pasada y la variación estacional hacia el futuro, mientras tomamos en consideración las imprecisiones inherentes de este análisis. Además, hicimos notar que a pesar de que las componentes cíclica e irregular afectan el comportamiento, futuro, son factores erráticos y difíciles de utilizar para pronosticar. Debemos estar conscientes de que el enfoque mecánico del análisis de series de tiempo está sujeto a errores y cambios considerables. Es necesario que los administradores combinen estos procedimientos sencillos con el conocimiento de otros factores con el fin de desarrollar pronósticos funcionales. Los analistas revisan, actualizan y descartan constantemente sus pronósticos. Si deseamos manejar con éxito el futuro, debemos hacer lo mismo. Cuando utilizamos los procedimientos descritos en este capítulo, debemos poner especial atención en dos problemas: 15.8

Análisis de series de tiempo en pronósticos

707

1. En pronósticos, proyectamos la tendencia histórica y la variación cíclica al futuro. Debemos preguntarnos “¿qué tan regulares y duraderas fueron las tendencias pasadas?, ¿cuáles son las posibilidades de que tales patrones estén cambiando?” 2. ¿Qué tan precisos son los datos históricos que utilizamos en el análisis de series de tiempo? Si una compañía cambió de un sistema de contabilidad de inventario PEPS (primero en entrar, primero en salir) a un sistema UEPS (último en entrar, primero en salir) en un periodo dentro del tiempo que se analiza, los datos (como las ganancias trimestrales) obtenidos antes y después del cambio no son comparables y tampoco son muy útiles para pronosticar.

Advertencia: los administradores inteligentes se dan cuenta de que explicar la mayor parte de la variación en una serie de tiempo de datos históricos no significa que este mismo patrón continuará en el futuro. Sugerencia: estos mismos administradores inteligentes combinan todos los pronósticos disponibles de la serie de tiempo con SUGERENCIAS Y SUPOSICIONES

respuestas intuitivas para ampliar las preguntas de ¿qué pasa si...?, que siempre son parte de la planeación estratégica. Estas preguntas se refieren al entorno (sociológico, económico, político) de negocios futuros y si cambiará en forma significativa el entorno existente cuando se reunieron los datos de la serie de tiempo.

Ejercicios 15.8 ■ 15-40 ■ 15-41 ■ 15-42 ■ 15-43

Enumere cuatro errores que pueden afectar las predicciones con una serie de tiempo. Cuando se utiliza una serie de tiempo para pronosticar el futuro, ¿qué garantías necesitamos en los datos históricos en los que se basan nuestras predicciones? ¿Qué problemas pueden desarrollarse si utilizamos las cifras de inscripciones pasadas a la universidad para pronosticar las inscripciones futuras? ¿De qué manera los pronósticos con series de tiempo manejarían cuestiones como las siguientes? a) Cambios en la ley federal de recaudación de impuestos. b) Cambios en los sistemas de contabilidad.

Estadística en el trabajo Loveland Computers Caso 15: Series de tiempo Lee Azko descansaba en su bien ganada fama. El complicado análisis de regresión de los resultados de los gastos de publicidad había dado a Sherrel Wrigtht más confianza para utilizar el argumento de una mejor planeación. Incluso Walter Azko comenzó a reconocer que parte del éxito de marketing no dependía del azar, sino que existían ciertas reglas. “Nunca pude ver el valor de publicar anuncios de cinco o seis anuncios de una plana”, dijo el tío Walter mientras daba la vuelta a la esquina de la ‘oficina’ de Lee, un cubículo equipado con pocos muebles y una de las computadoras personales más grandes y rápidas de Loveland. “Gracias por mostrar que tenía razón. Estás a punto de hacerme creer también en esos anuncios de periódico tan caros.” “¿Comentó algo Margot acerca de esos grupos de enfoque?”, Lee andaba a la caza de otro cumplido. “Vamos a ver ese asunto la semana próxima; es demasiado pronto para decir algo. Pero no te sientas libre todavía. Tengo un proyecto completamente nuevo para ti. Ve a ver a Gracia.”

708

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

Gracia Delaguardia se reía de un chiste. La risa se escuchaba en todo el corredor. Gracia tenía una ‘verdadera’ oficina, con puerta. Lee la encontró mirando una gráfica junto con otro miembro del equipo Loveland. “Lee, ven, déjame presentarte a Roberto Palomar. Bert es el encargado del banco de teléfonos, nuestro departamento de pedidos. Estábamos hablando de ti.” “¿De eso se reían?”, Lee se sintió nervioso. “No, no. Mira esto. Bert está tratando de estimar el número de vendedores por teléfono que necesitamos para atender los pedidos. Debemos planear la contratación...” “E instalar suficientes líneas 800”, agregó Roberto, a quien todo el mundo llamaba Bert. “Graficamos los datos trimestrales”, continuó Gracia, “y, como ingeniera, déjame decirte que puedo reconocer una tendencia no lineal cuando veo una”. Gracia señaló una curva que se parecía a la trayectoria del transbordador espacial llegando a la órbita. “Desde luego, no nos quejamos de nuestro crecimiento. Es bueno estar en un equipo que va ganando.” “Pero si continuamos con esta tendencia”, intervino Bert, deslizando una regleta sobre la gráfica, “dentro de 10 años tendremos que contratar a toda la población de Loveland, solamente para que atiendan nuestros teléfonos”. Con eso, Gra-

cia y Bert se echaron a reír de nuevo. “Lee, ve bien esos números y di si no es cierto.” “Bueno, no cabe duda de que hay una tendencia bastante fuerte”, observó Lee, enfatizando lo obvio. “¿Hay alguna especie de estacionalidad?, es decir, ¿hay diferencias de un mes a otro?” “Buena pregunta”, respondió Bert. “Estos totales por trimestre tienden a ocultar algo de las alzas y bajas mensuales. Por ejemplo, agosto siempre está muerto, pues la gente está de vacaciones. Pero diciembre es un mes muy pesado. Aunque no estamos metidos en el negocio de los regalos de Navidad, algunos usuarios domésticos en verdad le piden a Santa Claus que les traiga una computadora Loveland. El principal efecto viene de los negocios pequeños, que desean registrar en la contabilidad gastos de equipo antes del final del año, con el fin de pagar menos impuestos.” “Y no me parece que el volumen de llamadas esté repartido por igual entre todos los días de la semana”, se aventuró a decir Lee.

Ejercicio de base de datos computacional HH Industries La siguiente semana, Stan pidió a Laurel pedirle algunos datos, para su próxima reunión de ventas. “En esas primeras pláticas que tuvimos sobre la historia de la compañía”, le dijo, “recordarás que te dije que los sellos y el equipo para sellar, nuestra línea de producción más extensa, son la piedra angular de nuestras ventas. De hecho, es la línea de productos con la que, básicamente, el señor Douglas empezó el negocio. Como están las cosas, también es la línea de productos que genera nuestro mayor margen bruto. ¿Hay algo que puedas hacer, como diagramas o gráficas, que pudiera ilustrar el comportamiento de las ventas de sellos durante los últimos 10 años o algo así? Tengo datos de las ventas por día o por mes con los que puedes trabajar”. “¿Qué tal si desestacionalizo los datos para mostrar una tasa de crecimiento más precisa?”, sugirió Laurel. “Puedo utilizar las cifras de ventas mensuales y generar algunas gráficas que muestren las tendencias. Calculando una estimación de mínimos cuadrados, también podría darte una herra-

Del libro de texto al mundo real Industria pesquera en Islandia El Ministerio de Pesca de Islandia ha desarrollado un modelo para facilitar la toma de decisiones en la administración pesquera. Se utiliza principalmente para la administración de

“Ah, sí. Los días lluviosos y los lunes”, respondió Bert. “Tenemos una regla empírica que dice que hacemos el doble de negocios en lunes que en martes. De modo que intentamos evitar hacer sesiones de entrenamiento o reuniones de personal los lunes. En algunas ocasiones, el personal de supervisión atiende cualquier llamada, no importa lo que cueste. Si perdemos una llamada, un cliente potencial podría adquirir una computadora de la competencia. “Pero ahora siento que estamos en el momento en que realmente debo planear un poco mejor el número de trabajadores que debo tener disponibles. Si programo a demasiada gente, desperdiciamos dinero y los vendedores se aburren. Estarían mejor en su casa.” “Bueno, creo que podría ayudarles”, se ofreció Lee. “Les diré lo que necesito.” Preguntas de estudio: ¿Qué datos querrá examinar Lee? ¿Qué análisis llevará a cabo? ¿De qué manera utilizará Bert la información que obtenga Lee?

mienta aproximada para que puedas pronosticar la venta de sellos desestacionalizada para los años venideros. ¿Qué te parece?” “Me perdí en la parte de los mínimos cuadrados”, admitió Stan, “pero suena exactamente como lo que estoy buscando. Será interesante ver las ventas sin el efecto de las temporadas. ¿Podrías tener una primera información de las cifras para el inicio de la siguiente semana?”. “Claro que sí”, respondió Laurel. “Te traeré todo a tu oficina el lunes o el martes.” 1. Haga un análisis de serie de tiempo de la ventas de sellos durante los últimos 10 años. (Use los datos de ventas del archivo CH15.xxx del CD que acompaña al libro.) Desestacionalice las ventas por mes, utilizando el método de razón de promedio móvil (use un promedio móvil centrado de 12 meses). Luego encuentre la ecuación lineal de mínimos cuadrados que mejor describa los datos desestacionalizados. 2. Utilice los resultados para pronosticar las ventas de cada mes de 1994. 3. Observe los residuos asociados con la ecuación de regresión lineal. ¿Existe algún patrón que pueda hacerle sospechar que una línea recta no es el mejor ajuste?

sistemas de cuota a corto plazo y para la planeación de inversiones a largo plazo. Con este modelo se pueden hacer pronósticos acerca de la cantidad de pesca de bacalao y otras especies de aguas profundas con varios años de anticipación. También puede obtenerse información de las ganancias y los costos. El análisis reúne datos de varias variables, entre las que podemos incluir la cantidad de peces en existencia al Del libro de texto al mundo real

709

principio del periodo de planeación y el tamaño y clasificación de la flota de pesca. Algunos estudios recientes indican que la flota de pesca es demasiado grande y, a menos que se puedan tomar medidas adecuadas para limitar el volumen de pesca fuera de las costas de Islandia, la espina dorsal de la economía del país puede verse amenazada. Antecedentes La pesca es la industria principal de la economía de Islandia; el pescado y sus productos representan aproximadamente el 70% de las exportaciones del país. Las especies de que desovan en aguas profundas son las más importantes en los mares de Islandia, y el bacalao representa el 55% de esta pesca. Hasta 1976, cuando Islandia adquirió completa soberanía de sus áreas de pesca, los barcos extranjeros obtenían cerca de la mitad de la pesca total. Las compañías pesqueras islandesas empezaron a modernizar sus flotas en 1970, anticipándose al retiro de la competencia extranjera. Conforme las flotas fueron creciendo en tamaño y se volvieron más eficientes, surgieron preocupaciones con respecto a la protección del recurso. Estimaciones del tamaño de los recursos existentes, hechas en 1975, indicaban que la existencia de bacalao había bajado a menos de la mitad de su promedio en la época de la posguerra. Además, la edad y la estructura de la pesca no eran favorables. A pesar del retiro de los barcos de pesca extranjeros, el volumen de pesca total casi no disminuyó, esto debido a las técnicas y equipo modernos para pescar. Para 1983, la pesca de bacalao alcanzó el nivel más bajo de todos los tiempos. Las autoridades y la industria pesquera se dieron cuenta de que la flota de pesca y, en consecuencia, el esfuerzo de captura, eran demasiado grandes. Debía contenerse el crecimiento de las flotas de pesca. En un principio, el periodo de captura se restringió haciendo más largas las vacaciones de Navidad y de Pascua para los pescadores, y se establecieron topes al tiempo anual permitido de operación de cada barco pesquero. En 1984, se introdujo un sistema general de cuotas. Modelos de pesca En 1979, el Ministerio de Pesca organizó un grupo de trabajo integrado por miembros de la Universidad de Islandia, el Instituto de Investigación Marina y otros grupos con el fin de desarrollar un modelo de captura de especies de aguas profundas. El modelo sería una herramienta de apoyo para la toma de decisiones de la administración, a corto y largo plazos. La planeación a corto plazo incluye el cierre de áreas para la pesca, reglamentos sobre las dimensiones de malla de las redes y sistemas de cuotas. A largo plazo,

el tamaño de las flotas y su composición pueden ser administradas por medio del control del gobierno sobre préstamos bancarios e inversión en nuevos barcos. Datos sobre pesca Durante las últimas décadas, se han registrado grandes cantidades de datos sobre la pesca en Islandia. Que el gobierno se haya involucrado en las transacciones entre pescadores y la industria procesadora de productos marinos ha hecho que sea benéfico para ambas partes que los informes de volúmenes de pesca y otros datos sean correctos, de modo que se tiene datos muy confiables. Aunque los datos son precisos, existe aleatoriedad debido al impacto del clima inestable y el mal tiempo sobre las áreas de pesca. Se tienen cuatro grupos de datos: desembarques, tamaño de existencias, potencia y selectividad de pesca y económicos. De esta información, se pueden extrapolar las tendencias relativas a la captura esperada para una unidad de pesca dada, las ganancias o pérdidas esperadas para la flota y otras estadísticas, año por año. La comisión del gobierno usa como base 1983 para comparar la producción sustentable para flotas de diferente tamaño y tipo. La producción sustentable o sostenida se refiere a la captura equilibrada dados un esfuerzo constante y los factores ambientales normales. Resultados La conclusión principal del estudio fue que la flota de pesca es demasiado grande y que la existencia futura de peces está amenazada por los esfuerzos excesivos de los barcos pesqueros. A pesar de que los problemas asociados con los recursos naturales renovables implican incertidumbre y, a menudo, son impredecibles, el modelo de serie de tiempo utilizado por el Ministerio de Pesca de Islandia proporcionó una herramienta para determinar la naturaleza y la severidad del problema. Permitió también a los diseñadores de estrategias concentrarse en las comparaciones de diferentes políticas mediante análisis de sensibilidad, más que en buscar predicciones de valores absolutos. Al observar las tendencias en el tamaño de las existencias del recurso y en otras variables, los políticos pueden determinar los efectos que tendrán diferentes estrategias gubernamentales. En Islandia, los encargados de la toma de decisiones encontraron que las estrategias anteriores no tuvieron éxito en disminuir el tamaño de la captura, de modo que se impusieron los sistemas de cuota y las limitaciones en la inversión para preservar la industria pesquera del país. Fuente: Thorkell Helgason y Snojolfur Olafsson, “An Icelandic Fisheries Model”, European Journal of Operational Research 33 (1988): 191199.

Repaso del capítulo ● Términos introducidos en el capítulo 15 Codificación Método para convertir medidas tradicionales de tiempo en una forma que simplifique los cálculos (a menudo se le conoce como traducción).

710

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

Desestacionalización Proceso estadístico utilizado para eliminar los efectos de la estacionalidad de una serie de tiempo.

Ecuación de segundo grado Forma matemática que se utiliza para describir una curva parabólica que puede usarse en el análisis de tendencia de una serie de tiempo.

Residuo cíclico relativo Medida de la variación cíclica, utiliza la desviación porcentual de cada valor de la serie respecto a la tendencia.

Fluctuación cíclica Tipo de variación que se presenta en una serie de tiempo, en la cual el valor de la variable fluctúa alrededor de una línea de tendencia secular.

Serie de tiempo Los datos acumulados a intervalos regulares y los métodos estadísticos utilizados para determinar patrones en esos datos.

Media modificada Método estadístico utilizado en el análisis de series de tiempo. Descarta los valores más alto y más bajo cuando se calcula una media.

Tendencia secular Tipo de variación en una serie de tiempo. El valor de la variable que tiende a aumentar o disminuir en un periodo largo.

Método de razón de promedio móvil Método estadístico empleado para medir la variación estacional. Usa un índice que describe el grado de dicha variación.

Variación estacional Patrones de cambio de una serie de tiempo que ocurren en un año; patrones que tienden a repetirse cada año.

Método de residuos Método para describir la componente cíclica de una serie de tiempo. Supone que la mayor parte de la variación de la serie que no explica la tendencia secular se debe a factores cíclicos.

Variación irregular Condición de una serie de tiempo en la que el valor de una variable es completamente impredecible.

● Ecuaciones introducidas en el capítulo 15 ■

15-1

XY  nX Y  b   2 2 X  nX  Esta fórmula, introducida en el capítulo 12 como la ecuación 12-4, nos permite calcular la pendiente de la línea de regresión de mejor ajuste para cualquier conjunto de datos de dos variables. Los símbolos  Xy  Y representan las medias de los valores de las variables independiente y dependiente, respectivamente; n es el número de datos con los cuales se ajusta la línea.

■

15-2

a Y  bX  Vimos esta fórmula como la ecuación 12-5. Nos permite calcular la ordenada Y de la recta de regresión de mejor ajuste para cualquier conjunto de datos de dos variables.

■

15-3

xY b x2 Cuando el tiempo medido en años individuales (X) se cambia a valores de tiempo codificados (x) restando la media (x  X   X), la ecuación 15-1, para la pendiente de la recta de tendencia se simplifica y se convierte en la ecuación 15-3.

■

■

15-4

15-5

a Y De manera parecida, utilizar los valores de tiempo codificado también nos permite simplificar la ecuación 15-2 para obtener la ordenada de la recta de tendencia. Yˆ  a  bx  cx2 En ocasiones deseamos ajustar una tendencia con una curva parabólica (o de segundo grado), en lugar de utilizar una línea recta (Yˆ  a  bx). La forma general de una curva de segundo grado ajustada se obtiene incluyendo el término de segundo grado (cx2) en la ecuación de Yˆ .

■

15-6

Y  an  cx2

■

15-7

x2Y  ax2  cx4

■

15-8

Con el fin de encontrar una curva de segundo grado ajustada con el método de mínimos cuadrados, debemos resolver las ecuaciones simultáneas 15-6 y 15-7 para encontrar los valores de a y c. El valor b se obtiene de la ecuación 15-3. Y Porcentaje de tendencia  ˆ  100 Y Repaso del capítulo

711

■

15-9

Podemos medir la variación cíclica como un porcentaje de tendencia si dividimos el valor real (Y) entre el valor de tendencia (Yˆ ) y luego multiplicamos por 100. Y  Yˆ Residuo cíclico relativo    100 Yˆ Otra medida de la variación cíclica es el residuo cíclico relativo, que se obtiene dividiendo la desviación de la tendencia (Y  Yˆ ) entre el valor de tendencia, y multiplicando el resultado por 100. El residuo cíclico relativo se puede obtener fácilmente si restamos 100 del porcentaje de tendencia.

● Ejercicios de repaso ■ 15-44

El número de personas admitidas a Valley Nursing Home por trimestre está dado en la siguiente tabla:

1992 1993 1994 1995

■ 15-45 ■ 15-46

15-49

712

Otoño

Invierno

29 27 33 34

30 34 36 40

41 45 46 47

43 48 51 53

Ene.

Feb.

Mar.

Abr.

May.

Jun.

Jul.

Ago.

Sep.

Oct.

Nov.

Dic.

0.3 0.4 0.2

0.7 0.9 0.6

0.8 0.7 0.6

0.8 0.9 0.9

0.7 0.5 0.7

0.7 0.8 0.7

0.6 0.7 0.8

0.6 0.7 0.8

0.4 0.4 0.5

0.7 0.6 0.6

0.2 0.3 0.3

0.5 0.4 0.5

Construya un promedio móvil centrado de 4 meses y grafíquelo junto con los datos originales. Un gerente de producción de una fábrica de papel canadiense ha acumulado la siguiente información que describe la cantidad de papel (en millones de libras) procesado cada trimestre:

1992 1993 1994 1995

■ 15-48

Verano

a) Calcule los índices estacionales para estos datos (use un promedio móvil centrado de 4 trimestres). b) Desestacionalice estos datos usando los índices del inciso a). c) Encuentre la recta de mínimos cuadrados que mejor describa las cifras de la tendencia desestacionalizada. Wheeler Airlines, una línea aérea regional, ha estimado el número de pasajeros para el mes de diciembre en 595,000 (desestacionalizado). ¿Cuántos pasajeros debe prever la compañía si el índice estacional de diciembre es 128? Un grupo de investigación ecológica ha medido el nivel de contaminación por mercurio en el océano en cierto punto de la costa este de Estados Unidos. Se encontraron los siguientes porcentajes de mercurio en el agua:

1993 1994 1995

■ 15-47

Primavera

Primavera

Verano

Otoño

Invierno

3.1 3.3 3.4 3.7

5.1 5.1 5.3 5.4

5.6 5.8 6.0 6.1

3.6 3.7 3.8 3.9

a) Calcule los índices estacionales de los datos (porcentaje del promedio real respecto al promedio móvil centrado). b) Desestacionalice los datos utilizando los índices estacionales del inciso a). c) Encuentre la línea de mínimos cuadrados que mejor describa los datos. d) Estime la cantidad de libras de papel que serán procesadas durante la primavera de 1996. Describa algunas de las dificultades al usar una ecuación de estimación lineal para describir los datos siguientes: a) Kilometraje de gasolina logrado por los automóviles estadounidenses. b) Número de muertos en accidentes de aviación comercial. c) La exportación de cereales de un solo país. d) El precio de la gasolina. La empresa Magna International es una compañía canadiense dedicada a la manufactura de componentes para automóviles, como paneles moldeados para puertas. En el informe anual de Magna de 1992 se dio

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

una lista de las ganancias anuales de la compañía correspondientes a los 10 años anteriores (en millones de dólares canadienses): Año Ganancias

■ 15-50

■ 15-51

1983 302.5

1984 493.6

1985 690.4

■ 15-54 15-55

1989 1,923.7

1990 1,927.2

1991 1992 2,017.2 2,358.8

1990 596

1991 688

1992 740

1993 812

1994 857

1995 935

a) Encuentre la ecuación lineal que describa mejor esos datos. b) Estime el número de manuales de operaciones (uno por franquicia) que deba imprimirse en 1997. Un subsecretario asistente del Departamento de Comercio de Estados Unidos tiene los siguientes datos que describen el valor del grano exportado durante los últimos 16 trimestres (en miles de millones de dólares):

1992 1993 1994 1995

■ 15-53

1987 1988 1,152.5 1,458.6

a) Encuentre la línea de tendencia de mínimos cuadrados para estos datos. b) Grafique los datos anuales junto con la línea de tendencia. ¿Las variaciones de la tendencia parecen ser aleatorias o cíclicas? c) Utilice un paquete de computación estadístico que obtenga regresión para encontrar la tendencia parabólica de mejor ajuste para estos datos. ¿Es c, el coeficiente de x2, significativamente diferente de cero? ¿Cuál de los dos modelos de tendencia recomendaría usted para pronosticar las ganancias de Magna para 1993? Explique su respuesta. d) Pronostique las ganancias de la empresa para 1993. Comente las dificultades que tendría al utilizar una ecuación de estimación de segundo grado para pronosticar el comportamiento del proceso que generó los datos siguientes: a) Ventas de computadoras personales en Estados Unidos. b) Uso de juegos de video en Estados Unidos. c) Primas de seguros contra malas prácticas médicas. d) El número de graduados de maestría en administración de las universidades de Estados Unidos. La tabla siguiente muestra el número de franquicias de Beauty Bar, Inc. que opera al final de cada año: Año Número de franquicias

■ 15-52

1986 1,027.8

I

II

III

IV

1 2 2 1

3 2 4 3

6 7 8 8

4 5 5 6

a) Determine los índices estacionales y desestacionalice los datos (utilice un promedio móvil centrado de cuatro trimestres). b) Calcule la recta de mínimos cuadrados que mejor describa los datos. c) Identifique la variación cíclica en los datos mediante el método del residuo cíclico relativo. d) Grafique los datos originales, los datos desestacionalizados y la tendencia. La tienda de bicicletas Richie Bell ha determinado, a partir de un análisis de tendencias pasadas, que las ventas de primavera (desestacionalizadas) deberán ser de 165 bicicletas. Si el índice estacional de primavera es 143, ¿cuántas bicicletas deberá vender la tienda esta primavera? En el momento de terminar el programa de autopistas interestatales de Estados Unidos, ¿de qué utilidad serán los viejos datos a los fabricantes de equipo pesado de remoción de tierra cuando intentan pronosticar sus ventas? ¿Qué nuevos datos sugeriría usted que utilizaran en su pronóstico? La manufactura de automóviles, a menudo, se cita como ejemplo de una industria cíclica (sujeta a cambios de acuerdo con un ciclo económico subyacente). Considere la producción de automóviles en todo el mundo (en millones de unidades) y en la antigua Unión Soviética (en cientos de miles de unidades) durante el periodo de 1970 a 1990: Año

En el mundo

En la URSS

Año

En el mundo

En la URSS

1970 1971 1972 1973 1974 1975

22.5 26.4 27.9 30.0 25.9 25.0

13.4 15.3 17.3 19.2 11.2 12.0

1981 1982 1983 1984 1985 1986

27.5 26.6 30.0 30.5 32.3 32.9

13.2 13.1 13.2 13.3 13.3 13.3 (continúa)

Repaso del capítulo

713

■ 15-56

Año

En el mundo

En la URSS

Año

En el mundo

En la URSS

1976 1977 1978 1979 1980

28.8 30.5 31.2 30.8 28.6

12.4 12.8 13.1 13.1 13.3

1987 1988 1989 1990

33.0 34.3 35.6 35.8

13.3 12.6 12.2 12.6

a) Encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados para los datos en el mundo. b) Grafique los datos del mundo y la recta de tendencia en la misma gráfica. ¿Las variaciones con respecto a la tendencia parecen ser cíclicas o aleatorias? c) Grafique los residuos como porcentaje de la tendencia. ¿Aproximadamente qué tan largo es el ciclo económico para estos datos? d) Considere la producción de automóviles en la antigua URSS. Analice sus similitudes y diferencias con los patrones que encontró en los incisos a), b) y c). La R.B. Fitch Builders ha construido el siguiente número de casas en los 8 años que lleva en el negocio: Año Casas construidas

■ 15-57

■ 15-58

■ 15-60

1990 19

1991 17

1992 19

1993 18

1994 20

1995 23

Estación

Primavera

Verano

Otoño

Invierno

Número de homicidios y asaltos

31,000

52,000

39,000

29,000

a) Si los índices estacionales respectivos son 84, 134, 103 y 79, ¿cuáles son los valores desestacionalizados de cada estación? b) ¿Cuál es el significado del índice estacional de 79 para al invierno? Las cifras porcentuales desestacionalizadas trimestrales de desempleo en cierto estado durante el periodo 1991-1995 son las siguientes: I

II

III

IV

17.3 18.7 10.2 17.6 17.4

7.2 9.2 9.9 7.4 7.0

7.3 9.8 9.2 7.5 6.8

18.1 10.5 18.3 17.6 16.5

a) Encuentre la ecuación lineal que describe la tendencia de desempleo. b) Calcule el porcentaje de tendencia para los datos. c) Grafique la variación cíclica de las tasas de desempleo a partir del porcentaje de tendencia. El número de casos confirmados de SIDA reportados en una clínica de salud local durante el periodo de 5 años de 1988 a 1992 fueron 2, 4, 7, 13 y 21, respectivamente. a) Desarrolle la recta de regresión lineal para estos datos. b) Encuentre la curva de segundo grado de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos. c) Construya una tabla de los casos reales de cada año, las estimaciones lineales obtenidas con la regresión del inciso a) y los valores de la curva de segundo grado del inciso b). d) ¿Qué regresión parece ser el mejor estimador? RJ’s Grocers ha agregado pollos enteros hervidos a su línea de comida para llevar, para los profesionales ocupados que no tienen tiempo de cocinar en casa. El número de pollos precocidos vendidos en las primeras 7 semanas es el siguiente: Semana Ventas

714

1989 11

a) Desarrolle una ecuación lineal de estimación para describir la tendencia del número de casas. b) ¿Cuántas casas deberá planear terminar la constructora para 1999? c) Junto con la respuesta al inciso b), ¿qué consejo daría usted a la R.B. Fitch acerca del uso de esta técnica de pronósticos? Como parte de una investigación realizada por un departamento federal referente a la sicología de la actividad criminal, una encuesta acerca del número de homicidios y de asaltos producidos en el curso de un año produjo los siguientes resultados:

1991 1992 1993 1994 1995

■ 15-59

1988 12

Capítulo 15

1 41

Series de tiempo y pronósticos

2 52

3 79

4 76

5 72

6 59

7 41

15-61

a) Encuentre la recta de regresión lineal que mejor se ajuste a estos datos. b) Estime el número esperado de ventas en la semana 8. c) Con base en la estimación del inciso b) y los datos disponibles, ¿la regresión describe con exactitud la tendencia de ventas para este producto? La compañía Walt Disney es una gran empresa de entretenimiento con tres rubros de negocios: películas y televisión, mercancías, y parques de diversiones y hoteles (PDH). Como muchas empresas, Disney informa trimestralmente la cantidad total de dinero que recibe cada uno de estos rubros. La expansión de instalaciones en los dos parques de diversiones en Estados Unidos (Disneylandia en California y Walt Disney World en Florida) y la adquisición de licencias y el ingreso por inversión en parques en Francia y Japón, han ocasionado un crecimiento estable en los ingresos totales por PDH. La siguiente lista de ingresos trimestrales (en millones de dólares) muestra el crecimiento de los ingresos durante la última década, que asciende a casi $1,000 millones por trimestre al final del año fiscal de la empresa en diciembre de 1992. (El año fiscal de la empresa Disney empieza en octubre, de modo que el trimestre que termina en diciembre de 1992 es el primer trimestre del año fiscal 1993). Un analista que observe este éxito notaría primero que algo del aumento podría atribuirse a la inflación. En consecuencia, los ingresos también se dan en dólares constantes de 1982, es decir, deflacionados en un porcentaje equivalente a la inflación desde 1982. Esto se logra dividiendo los ingresos reales entre el deflactor PIB del Departamento de Comercio de Estados Unidos y multiplicando el resultado por 100. (Éste aparentemente misterioso proceso tendrá más sentido si consulta la sección 16.1 del siguiente capítulo.) Año fiscal y trimestre de Disney 1983-1 1983-2 1983-3 1983-4 1984-1 1984-2 1984-3 1984-4 1985-1 1985-2 1985-3 1985-4 1986-1 1986-2 1986-3 1986-4 1987-1 1987-2 1987-3 1987-4 1988-1 1988-2 1988-3 1988-4 1989-1 1989-2 1989-3 1989-4 1990-1 1990-2 1990-3 1990-4 1991-1 1991-2

Mes final del trimestre DIC 82 MAR 83 JUN 83 SEP 83 DIC 83 MAR 84 JUN 84 SEP 84 DIC 84 MAR 85 JUN 85 SEP 85 DIC 85 MAR 86 JUN 86 SEP 86 DIC 86 MAR 87 JUN 87 SEP 87 DIC 87 MAR 88 JUN 88 SEP 88 DIC 88 MAR 89 JUN 89 SEP 89 DIC 89 MAR 90 JUN 90 SEP 90 DIC 90 MAR 91

Ingreso real

Deflactor PIB

Ingreso en dólares de 1982

203.7 239.7 288.9 298.8 224.9 244.3 314.6 313.6 232.6 270.0 368.8 386.1 274.1 360.2 434.0 455.6 359.0 414.8 534.4 526.0 385.7 438.0 599.9 618.4 511.6 580.1 727.9 775.8 619.5 710.2 858.1 831.8 623.8 671.0

101.7 102.5 103.3 104.2 105.4 106.5 107.3 108.2 109.0 109.7 110.6 111.3 112.2 112.4 113.2 114.6 115.1 116.0 117.1 117.9 118.6 119.2 120.6 121.9 123.3 124.5 125.9 126.9 127.9 129.7 131.8 138.0 140.5 141.0

200.3 233.9 279.7 286.8 213.4 229.4 293.2 289.8 213.4 246.1 333.5 346.9 244.3 320.5 383.4 397.6 311.9 357.6 456.4 446.1 325.2 367.4 497.4 507.3 414.9 465.9 578.2 611.3 484.4 547.6 651.1 602.8 444.0 475.9 (continúa)

Repaso del capítulo

715

Año fiscal y trimestre de Disney 1991-3 1991-4 1992-1 1992-2 1992-3 1992-4

Mes final del trimestre JUN 91 SEP 91 DIC 91 MAR 92 JUN 92 SEP 92

Ingreso real

Deflactor PIB

Ingreso en dólares de 1982

759.0 810.8 662.4 774.1 890.5 996.2

141.8 142.7 143.8 144.7 145.6 146.5

535.3 568.2 460.6 535.0 611.6 680.0

Fuente: The Walt Disney Company, Informe anual de 1992.

■ 15-62

a) Grafique los datos en dólares de 1982 y encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados. b) Como debería esperarse, existe un fuerte patrón estacional en los ingresos por PDH; el trimestre de diciembre muestra el ingreso más bajo y los mejores resultados por lo general se reportan en el trimestre de septiembre. Encuentre los índices estacionales por trimestre para los ingresos en dólares de 1982, y utilícelos para desestacionalizar dichos ingresos. c) Encuentre la línea de tendencia de mínimos cuadrados para los datos desestacionalizados. d) No podemos comparar directamente los valores r2 de las líneas de tendencia de los incisos a) y c) porque la primera indica qué fracción de la variación de los ingresos reales se explica por la tendencia, mientras que la segunda nos dice qué fracción de la variación de los ingresos desestacionalizados se explica por la tendencia. Para ver cuánta variación en los ingresos reales se explica por la tendencia y por la estacionalidad, proceda de la siguiente manera: 1) Utilice la línea de tendencia desestacionalizada para pronosticar los ingresos desestacionalizados para los 40 trimestres. 2) Estacionalice de nuevo las predicciones multiplicándolas por el índice estacional apropiado y dividiéndolas entre 100. 3) Para cada trimestre, reste el ingreso real del pronóstico vuelto a estacionalizar para encontrar el error del pronóstico. 4) Eleve al cuadrado estos errores y súmelos. Llame SCE* al resultado. 5) Represente con SCT la suma total de los cuadrados de la línea de tendencia del inciso a). La fracción de la variación de los ingresos reales explicada por la tendencia y por la estacionalidad es 1  SCE*/SCT. ¿Cuánto más de la variabilidad de los ingresos reales se explica al tomar en cuenta la estacionalidad? e) De octubre de 1993 a septiembre de 1991, la afluencia a los parques de diversiones disminuyó por la guerra del Golfo Pérsico, cuando el temor a ataques terroristas hacía que mucha gente se quedara en sus casas, y por la recesión en la economía de Estados Unidos. ¿Qué tipo de variaciones son éstas? f) Utilice los pronósticos del inciso d) para estimar cuánto le costó a la empresa Disney la recesión y la guerra del Golfo, en cuanto al rubro PDH durante el año fiscal 1994. g) Utilice el modelo que desarrolló en el inciso d) para pronosticar el ingreso total por PDH (en dólares de 1982) para el año fiscal de la empresa correspondiente a 1993. ¿Hay alguna razón para preocuparse porque el pronóstico pueda no ser preciso? Explique su respuesta. h) ¿Qué información adicional necesitaría para convertir los pornósticos del inciso g) en dólares actuales? El sistema de transporte de College Town recolectó información del número de pasajeros por estación durante 1994 y 1995. Los datos desestacionalizados (en miles de pasajeros) son:

1994 1995

■ 15-63

716

Primavera

Verano

Otoño

Invierno

593 640

545 560

610 600

575 555

a) Si los índices estacionales utilizados para desestacionalizar fueron 110, 73, 113 y 104, respectivamente, encuentre el número real de pasajeros (en miles) para estas ocho estaciones. b) ¿En qué estación de 1995 se tuvo el menor número de pasajeros? ¿Y el mayor? c) Si la ecuación lineal de estimación para estos datos desestacionalizados es Yˆ  584.75  0.45x (con x medida a medio trimestre y x  0 entre los trimestres de invierno de 1994 a primavera de 1995), ¿cuál es el número esperado de viajes reales (en miles) para el otoño de 1996? Ferris Wheeler, director del parque de diversiones Whirly World, ha proporcionado los siguientes datos sobre el número de visitantes al parque (en miles de personas) para las estaciones en que permanece abierto:

Capítulo 15

Series de tiempo y pronósticos

1992 1993 1994 1995

■ 15-64

Otoño

750 780 800 640

1,150 1,100 1,225 1,050

680 580 610 600

1 2 3 4

Lun.

Mar.

Mié.

Jue.

Vie.

Sáb.

Dom.

345 418 393 406

310 333 387 412

385 400 311 377

416 515 535 444

597 664 625 650

706 761 711 803

653 702 598 822

Determine los índices estacionales (diarios) para estos datos. (Utilice un promedio móvil de 7 días.) Suponga que las ventas de televisores de una pequeña cadena de aparatos electrodomésticos durante 19911995 fueron las siguientes: Año Ventas

■ 15-66

Verano

a) Calcule los índices estacionales para estos datos utilizando un promedio móvil de 3 periodos. b) Desestacionalice estos datos utilizando los índices estacionales obtenidos en el inciso a). El administrador de un restaurante desea mejorar el servicio que brinda a sus clientes y el horario de sus empleados, basándose en la afluencia diaria de clientes durante las últimas cuatro semanas. El número de clientes atendidos en el restaurante en ese periodo fue:

Semana

■ 15-65

Primavera

1991 230

1992 250

1993 265

1994 300

1995 310

a) Desarrolle la ecuación de estimación de segundo grado para estos datos. b) ¿Qué indica la magnitud de los coeficientes a, b y c respecto a la elección de una ecuación de segundo grado para esos datos? La compañía Zapit ha registrado las siguientes cifras (en cientos de miles) correspondientes a las ventas totales en su línea de hornos de microondas durante los últimos 5 años: Año Ventas

1991 3.5

1992 3.8

1993 4.0

1994 3.7

1995 3.9

La ecuación que describe la tendencia de estos volúmenes de ventas es Yˆ  3.78  0.07x, donde 1993  0 y las unidades de x son años

■ 15-67

a) ¿Qué año tuvo el más alto porcentaje de tendencia? b) ¿Qué año estuvo más cercano a la línea de tendencia? Los siguientes datos muestran el número de casas listadas para venta, en miles, en el oeste de Estados Unidos al final de cada trimestre: Año

Trimestre

Casas listadas

1992

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1

75 77 72 74 73 74 77 73 74 79 80 82 80

1993

1994

1995

a) Calcule los índices estacionales para cada trimestre. (Nota: debido a que esta serie de datos es corta, no descarte los valores extremos en el paso 5.) b) Desestacionalice estos datos. c) Encuentre la recta de tendencia de mínimos cuadrados para los datos desestacionalizados. Fuente: Real Estate Research Council of Northern California.

Repaso del capítulo

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