Series de Fourier

SERIES DE FOURIER

Elaborado por: Marina Salamé

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1.SERIES DE FOURIER 1.1 Introducción Al ingeniero moderno le resulta útil la idea de describir ondas como una serie de funciones senoidales. Diariamente se está en contacto con sintetizadores de voz o de música que producen sonidos vocales o musicales como resultado de la generación de una serie adecuada de señales senoidales que activan una bocina estéreo. La precisión es el requisito básico en la transmisión de señales. Las señales en su forma original se transmitían a través de un canal. Por ejemplo, la transmisión del código Morse de puntos y rayas a través del cable Atlántico original se distorsionaba por la naturaleza RC del cable y su material aislante. Así, la velocidad de transmisión estaba limitada y la señal se distorsionaba a medida que viajaba a través del cable. El cable submarino transmite información lentamente, pero sólo utiliza un estrecho canal

de frecuencias. El teléfono transmite la información a una velocidad

intermedia con requisitos de ancho de banda moderados. La televisión transmite información a una velocidad alta y necesita una banda muy ancha de frecuencias. A lo largo de las líneas telefónicas largas, se distribuyen amplificadores repetidores que regeneran la señal en los puntos donde se debilita. Esto permite extender bastante la distancia de la transmisión. Algunos matemáticos del siglo dieciocho, incluyendo a Euler y Bernoulli, estaban al tanto de que una onda f(t) podría representarse aproximadamente con una serie finita ponderada de senoides armónicamente relacionadas. El barón Jean – Baptiste- Joseph Fourier propuso en 1807 que una onda periódica podría descomponerse en una serie infinitas de senoides simples que, al sumarlas, construirían la forma exacta de la onda original.

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1.2 Funciones periódicas. Definición 1 (Funciones periódicas) Una función f(t) tiene un periodo T o es periódica con periodo T si para todo t, f(t +T) = f(t), donde T es una constante positiva. El valor más pequeño de T>0 se llama el periodo principal o periodo fundamental o simplemente el periodo de f(t). Mediante repetición, se obtiene: f (t) = f ( t + nT ),

n = 0, ± 1, ± 2,LL

En general, el mínimo periodo ocurrirá cuando: T=

Ejemplo 1:

periodo natural de la funcion n

Obtener el menor periodo de f(t) = cos 2t. Como el periodo de la función coseno es 2π, entonces: T=

2π =π 2

El periodo de f(t) = cos 2t es T = π. 1.3 Serie de Fourier Definición 1: Sea la función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica:

f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Se llama serie trigonométrica de Fourier o f(t) = C0 +

∞

∑

n =1

Cn cos ( n ω0 t − θn )

Se llama la forma fase-ángulo de la serie de Fourier

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ω0 =

donde:

2π , y a0, an y bn ( todos reales ) se llaman coeficientes T

trigonométricos de Fourier. Usando la forma alterna de f(t) dada en la segunda ecuación, se tiene: Cn =

an2 + bn2

an

cos θn =

tan θn = C0 =

an2 + bn2

bn , ó an

s en θn =

,

bn an2 + bn2

,

⎛a ⎞ θn = tan−1 ⎜ n ⎟ , ⎝ bn ⎠

1 a0 2

La representación en series de Fourier de una función periódica, representa la función periódica como la suma de componentes sinusoidales que tienen diferentes frecuencias. La componente sinusoidal de frecuencia ωn = n ω0 se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo periodo de la función y ω0 = 2 π f0 =

2π se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los T

coeficientes Cn y θn se conocen como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente. Una serie de Fourier es una representación exacta de una señal periódica que consiste en la suma de senoides en las frecuencias fundamental y de las armónicas. El periodo de la onda f(t) y el periodo de la fundamental son los mismos. La naturaleza de la onda f(t) depende de la amplitud y la fase de todo posible componente

armónico,

y

resultará

posible

generar

ondas

que

tienen

características extremadamente no senoidales con una combinación apropiada de funciones senoidales.

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1.4 Propiedades de las funciones seno y coseno. Funciones ortogonales. Un conjunto de funciones φk (t) es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos funciones cualesquiera φm (t) y φn (t) pertenecientes al conjunto φk (t) , cumple: ⎧ 0 para m ≠ m ⎪ φm ( t ) φn ( t ) dt = ⎨ ⎪ r para m = m a ⎩ n

b

∫

Consideremos el conjunto de funciones sinusoidales : T 2

∫T

−

2

T 2

∫T

−

2

T 2

∫T

−

⎧ 0, m ≠ n ⎪ cos ( m ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt = ⎨ T ⎪⎩ 2 , m = n ≠ 0,

⎧ 0, m ≠ n ⎪ sen ( m ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt = ⎨ T ⎪⎩ 2 , m = n ≠ 0,

sen ( m ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt = 0 para todo valor de m y n

2

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1.5 Evaluación de los coeficientes de Fourier: Utilizando las relaciones de ortogonalidad se pueden evaluar los coeficientes de Fourier f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Cálculo de a0 ⎡ T T⎤

Integrando entre ⎢ − , ⎥ ⎣ 2 2⎦

T 2

∫T

−

T 2

∫T

f(t) dt =

−

2

=

1 a0 dt + 2

2

1 a0 2

T 2

T 2

∫T

−

⎡∞ ⎢ ( an cos ( n ω0 t ) + bn sen ( n ω0 t ) ) ⎢⎣n =1

∑

2

T 2

∞

∫T dt + n∑=1 an ∫T

−

2

⎤ ⎥ dt ⎥⎦

−

cos ( n ω0 t ) dt +

2

T 2

∞

∑ bn ∫ T

n =1

−

sen ( n ω0 t ) dt

2

Mediante el cálculo elemental se puede demostrar que: T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) dt = 0, para n ≠ 0

T 2

y

∫T

−

2

sen ( n ω0 t ) dt = 0,

para todo valor de n

2

donde, T 2

1

∫T f(t) dt = 2 a0 T

−

2

1 1 a0 = 2 T

T 2

∫T f(t) dt

−

observemos que

a0 es el valor promedio de f(t) durante un 2

2

periodo.

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Despejando a0, obtenemos:

a0 =

2 T

T 2

∫T f(t ) dt

−

2

Cálculo de an f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Multiplicando ambos lados por cos ( n ω0 t T 2

∫T

−

f(t)cos ( n ω0 t ) dt =

T 2

∫T

−

2

1 a0 cos ( n ω0 t ) dt + 2

2 T 2

∫T

+

−

⎡∞ ⎢ bn sen ( n ω0 t ⎢⎣n = 1

∑

) e integrando entre T 2

⎡ T T⎤ ⎢ − 2 , 2 ⎥ , se obtiene ⎣ ⎦

⎡∞ ⎤ ⎢ an cos ( n ω0 t ) ⎥ cos ( n ω0 t ) dt ⎢⎣n = 1 ⎥⎦

∫T ∑

−

2

⎤

)⎥ cos ( n ω0 t ) dt ⎥⎦

2

Intercambiando el orden de los signos de integración y sumatoria se obtiene: T 2

∫T f(t)cos ( n ω0 t ) dt =

−

1 a0 2

2

+

T 2

∫T cos ( n ω0 t ) dt + n∑=1 an ∫T

−

−

2 T 2

∞

∑ bn ∫ T

n =1

T 2

∞

−

cos ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt

2

sen ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt

2

Aplicando las relaciones de ortogonalidad, se tiene T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) dt = 0, para n ≠ 0

2

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T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt =

T , para n ≠ 0 2

2

T 2

∫T

−

sen ( n ω0 t ) cos ( n ω0 t ) dt = 0, para todo valor de n

2

Reemplazando, T 2

∫T f(t)cos ( n ω0 t ) dt =

−

T an 2

2

despejando an

an =

2 T

T 2

∫T f(t) cos ( n ω0 t ) dt,

−

n = 0,1, 2, 3,.......

2

Cálculo de bn f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

Análogamente, multiplicando ambos lados por sen ( n ω0 t

) e integrando entre

⎡ T T⎤ ⎢ − 2 , 2 ⎥ , se obtiene ⎣ ⎦ T 2

∫T

−

f(t) sen ( n ω0 t ) dt =

T 2

∫T

−

2

+

2 T 2

1 a0 sen ( n ω0 t ) dt + 2

T 2

∫T

−

⎡∞ ⎢ an cos ( n ω0 t ⎢⎣n = 1

∑

⎤

)⎥ sen ( n ω0 t ) dt ⎥⎦

2

⎡∞ ⎤ ⎢ bn sen ( n ω0 t ) ⎥ sen ( n ω0 t ) dt ⎢⎣n = 1 ⎥⎦

∫T ∑

−

2

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T 2

∫T f(t) sen ( n ω0 t ) dt =

−

1 a0 2

2

+

T 2

T 2

∞

∫T sen ( n ω0 t ) dt + n∑=1 an ∫T

−

−

2 T 2

∞

∑ bn ∫ T

n =1

−

cos ( n ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt

2

sen ( n ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt

2

Aplicando las relaciones de ortogonalidad, se tiene T 2

∫T

−

sen ( n ω0 t ) dt = 0, para todo valor de n

2

T 2

∫T

−

cos ( n ω0 t ) s en ( n ω0 t ) dt = 0, para todo valor de n

2

T 2

∫T

−

sen ( n ω0 t ) sen ( n ω0 t ) dt =

T , para n ≠ 0 2

2

Reemplazando, T 2

∫T f(t) sen ( n ω0 t ) dt =

−

T bn 2

2

despejando bn

2 bn = T

T 2

∫T f(t) sen ( n ω0 t ) dt,

−

n = 1, 2, 3,.......

2

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Resumiendo, Los coeficientes de la serie de Fourier

a0 =

a0 2

2 T

T 2

∫T f(t ) dt

−

an =

2

es el valor promedio

2 T

T 2

∫T f(t) cos (nω0 t ) dt

−

2

n = 0,1,2,3, 4,L,

bn =

2 T

T 2

∫T f(t) s en (nω0 t ) dt

−

2

n = 1,2,3,4,L,

de f(t) durante un periodo. En general, no es necesario que el intervalo de integración sea simétrico alrededor del origen. El único requisito es que la integral se tome sobre un periodo completo. 1.6 Condiciones de Dirichlet Es importante establecer criterios simples para determinar cuando una serie de Fourier converge. En esta sección desarrollaremos las condiciones que debe cumplir f(t) para que se pueda encontrar la suma de la serie de Fourier. Un método bastante útil para analizar las propiedades de convergencia es expresar las sumas parciales de Fourier como integrales. Una función dada f(t) es posible representarla mediante una serie de Fourier si se satisfacen las siguientes propiedades matemáticas, conocidas como condiciones de Dirichlet : 1) f(t) es una función univaluada, excepto posiblemente en un número finito de puntos. 2) f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el periodo T. 3) f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en el periodo T. 4) La integral del valor absoluto de f(t) en un periodo es finita; es decir T 2

∫T

−

f(t) dt = finita < ∞

2

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⎡ T T⎤

Se dice que una función f(t) es continua por tramos en el intervalo finito ⎢ − , ⎥ , si ⎣ 2 2⎦ satisface las condiciones (1) y (2). Definición 1: (Función continua a trozos) Una función f es continua a trozos dentro de un intervalo si ambas f y f' son continuas a trozos en dicho intervalo.

Teorema 1:

Supongamos que f es continua a trozos y periódica entonces la serie de Fourier converge a: 1. f(t) si t es un punto de continuidad. 2.

1 ⎡ f ( t − ) + f ( t + ) ⎤⎦ si t es un punto de discontinuidad 2⎣

Esto significa que, en cualquier t dentro del intervalo -T y T, la serie de Fourier converge al promedio entre el límite izquierdo y el derecho de f(t) en t. Si f es continua en t, entonces los límites izquierdo y derecho son iguales a f(t), y la serie de Fourier converge a la misma f(t). Si f tiene una discontinuidad en t entonces la serie de Fourier converge al punto medio en la discontinuidad. Observación 1: Sea f una función continua a trozos. Se dice que f está estandarizada si los valores en los t i de discontinuidad están dados por f(ti ) =

1 ⎡ f ( ti − ) + f ( ti + ) ⎤⎦ 2⎣

Observación 2: Las condiciones impuestas a f(t) son suficientes mas no necesarias, si las condiciones se satisfacen la convergencia esta garantizada. Sin embargo si no se satisfacen la serie puede o no converger.

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Teorema 2:

( Desigualdad de Bessel) Sea f una función integrable en el intervalo [0,T]. Sean an, bn, cn los coeficientes de Fourier de f. Entonces a0

2

+

2

Teorema 3:

∑ ( an ∞

2

+ bn

2

n =1

)=2 ∑ ∞

ck

2

k = −∞

2 ≤ T

T

∫ f (t)

2

dt

0

(Lema de Riemann) Sea f integrable y an y bn los coeficientes de Fourier de f. Entonces: lim an = lim bn = 0

n→∞

n→∞

lo que implica π

lim

n→∞

Teorema 4:

∫

π

f(t)cosnt dt = lim

n→∞

−π

∫ f(t) sennt dt

=0

−π

(Identidad de Parseval) 2 T

T

∫

2

f (t) dt =

0

a02 + 2

∞

∑ ( an2 + bn2 )

n =1

Si an y bn son coeficientes de Fourier correspondientes a f(t) y si f(t) satisface las condiciones Dirichlet

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Ejemplo1: Determinar la serie de Fourier para la función f(t)

periódica con

periodo 2π y trazar la grafica de las tres primeras sumas parciales. f(t)

1 1 2

-π

t

π − 2

π 2

π

Solución: Paso 1. Encontramos los coeficientes de Fourier Cálculo de a0

Re emplazando

T=2π

⎡ −π 2 2 ⎢ 1 ⎢ a0 = dt + 2π ⎢ 2 −π ⎢⎣

∫

⎡ 1 ⎢ t = ⎢ π 2 ⎢⎣

−

π 2

−π

+ t

a0 =

en π 2

0

2 T

π

∫π 0 dt + ∫ 1 dt + ∫π

−

0

2

2

π 2 0

t + 2

−π π 2

T 2

∫T f(t) dt,

−

e int egrando obtenemos :

2

⎤ ⎥ 1 dt ⎥ 2 ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

= 1

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Entonces :

1 2 a0 = 2 T

T 2

1

∫T f(t) dt = 2

−

2

Cálculo de an

an =

2 T

T 2

∫T f(t) cos (nω0 t ) dt

−

2

Como T = 2 π

ω0 =

y

2π T

entonces

ω0 =

2π =1 2π

reemplazando obtenemos:

an =

2 2π

π

∫

f(t) cos ( n t ) dt

−π

⎡ −π 2 2 ⎢ 1 ⎢ an = cos ( n t ) dt + 2π ⎢ 2 −π ⎢⎣

∫

⎡ 1 ⎢ 1 sen ( nt ) = ⎢ π 2n ⎢⎣ =

1 π

−

π 2

−π

+

π 2

0

π

∫π 0 cos (n t ) dt + ∫ 1 cos (n t ) dt + ∫π

−

0

2

2

1 sen ( nt ) n

nπ nπ 1 ⎡ 1 ⎢ − 2n sen 2 + n sen 2 ⎣

−

π 2 0

1 + sen ( nt ) 2n

π π 2

⎤ ⎥ 1 cos ( n t ) dt ⎥ 2 ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

nπ ⎤ 1 sen 2n 2 ⎥⎦

= 0

entonces: an = 0

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Cálculo de bn T 2

2 T

bn =

∫T f(t) s en (nω0 t ) dt

−

2

Como T = 2 π

ω0 =

y

2π T

entonces

ω0 =

2π =1 2π

reemplazando obtenemos:

2 2π

bn =

π

∫

f(t) s en ( n t ) dt

−π

⎡ −π 2 ⎢ 2 1 ⎢ bn = sen ( n t ) dt + 2π ⎢ 2 −π ⎢⎣

∫

⎡ 1 ⎢ 1 sen ( nt ) = ⎢− 2n π ⎢⎣

−

π 2

π 2

0

π

∫π 0 sen (n t ) dt + ∫ 1 sen (n t ) dt + ∫π

−

0

2

−

−π

2

1 cos ( nt ) n

π 2 0

1 − cos ( nt ) 2n

π π 2

⎤ ⎥ 1 sen ( n t ) dt ⎥ 2 ⎥ ⎥⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦

=

1 π

⎡ 1 nπ ⎤ nπ nπ 1 1 1 1 1 ⎢ − 2n cos 2 + 2n cosn π − n cos 2 + n − 2n cosn π + 2n cos 2 ⎥ ⎣ ⎦

=

1 π

⎡ 1 nπ 1⎤ ⎢ − n cos 2 + n ⎥ ⎣ ⎦

=

1 nπ

nπ ⎤ ⎡ ⎢1 − cos 2 ⎥ ⎣ ⎦

entonces: bn =

1 nπ

nπ ⎤ ⎡ ⎢1 − cos 2 ⎥ ⎣ ⎦

como cos ( n π ) = ( −1)

n

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⎧ 1 ⎪ nπ, ⎪ ⎪ ⎪ nπ ⎤ 1 ⎡ ⎪ 2 bn = 1 − cos = , ⎨ ⎢ ⎥ nπ ⎣ 2 ⎦ ⎪ nπ ⎪ ⎪ ⎪ 0, ⎪⎩

si n es impar n = 1,3,5,7,9,11,........

si n = 2,6,10,..........

si n = 4,8,12.......

Paso 2. Sustituimos los coeficientes de Fourier en la serie: 1 a0 + 2

f(t) =

1 a0 + 2

∞

∑ ( an cos n ω0 t

n =1

+ bn sen n ω0 t )

∞

∑

n =1

bn sen n t

De donde 1 1 2 1 1 + sen t + sen 2 t + sen 3t + 0 + sen 5t + LLL 2 2π 3π 5π π

f (t) =

=

⎞ 1 1⎛ 1 1 sen 3t + sen 5t + LLL ⎟ + ⎜ sen t + sen 2 t + 2 3 5 π⎝ ⎠

Paso 3. Graficamos S1, S2 y S3

S1 =

1 2

S2 =

1 1 + sen t 2 π

S3 =

1 1 2 + sen t + sen 2 t 2 π 2π

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f(t)

S2 S3

S1

Observemos que cada suma parcial se aproxima más a la función original y en el infinito coincide exactamente. Por ello la serie converge a f(t).

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Ejemplo2: Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por: ⎧ −1 ⎪ f(t) = ⎨ ⎪ 1 ⎩

−π < t < 0 0 ≤t