Series de Fourier Funcion Triangular

ANÁLISIS DE SEÑALES SERIES DE FOURIER PARA UNA SEÑAL TRIANGULAR

DANIEL STIVEN VALENCIA BALLESTEROS DANIEL ALBERTO TOBÓN

DOCENTE: SARA YEPES

INSTITUCION UNIVERSITARIA ITM

FACULTAD DE INGENIERIAS TECNOLOGIA EN TELECOMUNICACIONES

MEDELLIN

2015

Contenido

OBJETIVOS  ......................................................................................................................................

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SERIES DE FOURIER  ....................................................................................................................

5

METODOLOGIA  ...............................................................................................................................

7

RESULTADOS OBTENIDOS  ........................................................................................................

9

RESULTADOS TEORICOS DE LOS COEFICIENTES A0 An Bn ........................................ 9 SERIE DE FOURIER  .............................................................................................................

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RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE MATLAB ........................................................... 16 TABLA COMPARATIVA  ..............................................................................................................

17

ERRORES ASOCIADOS  ..............................................................................................................

17

RESULTADOS OBTENIDOS MENDIANTE ANALIZADOR DE ESPECTRO ..................... 18 CONCLUSIONES:  .........................................................................................................................

19

REFERENCIAS  ..............................................................................................................................

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INTRODUCCION

Las descripciones comprensibles del paso y de la forma de una señal en la dimensión del tiempo y en la dimensión de la frecuencia son parte importante para la comprensión de transmisión de datos y una de las bases fundamentales en materia de telecomunicaciones. Para mostrar en términos matemáticos una señal determinada bien sea senoidal o no y llevarla a la dimen sión de la frecuencia se usa la Serie de Fourier. Básicamente, éste proyecto toma una señal propuesta por la docente de forma gráfica en forma de función en el tiempo; seguidamente se le da una amplitud cualquiera, se define la función por tramos y se comienza a calcular los coeficientes necesarios para la suma de armónicos que constituyen la Serie de Fourier. Más específicamente se propone tomar una señal en función del tiempo tiempo de tipo tipo triangular con amplitud de 1 voltio y sin offset. El número de armónicos a calcular son 10 para cada coeficiente, pero por la naturaleza impar de la onda señal, se sabe que sólo los coeficientes Bn arrojarán un resultado diferente de cero.  Además de plasmar plasmar los los resultados calculados, se muestran los resultados resultados obtenidos obtenidos en el software MATLAB y en el analizador de espectro, para posteriormente unirlos en un cuadro comparativo. Finalmente, con la Serie de Fourier obtenida se le dan 16 valores aleatorios de tiempo para reconstruir la función inicial.

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OBJETIVOS 





Consolidar los conocimientos adquiridos en las clases magistrales y demostrarlos en la práctica trabajando sobre una señal determinada, combinando los conocimientos básicos del software MATLAB, del proceso para llegar a la Serie de Fourier a partir de las fórmulas dadas para hallar los coeficientes y de la introducción en el uso del analizador de espectro para hallar los picos proporcionados por la señal dada. Comparar los resultados para corroborar la veracidad de la teoría. Reconstruir la señal inicial a partir de los resultados arrojados mediante la Serie de Fourier.

4

SERIES DE FOURIER 1 Esta serie se usa en análisis de señales para representar las componentes senoidales de una onda periódica no senoidal, es decir, para cambiar una señal en el dominio del tiempo a una señal en el dominio de la frecuencia. En general, se puede obtener una serie de Fourier para cualquier función periódica, en forma de una serie de funciones trigonométricas con la siguiente forma matemática

La ecuación indica que la forma de onda f (t) comprende un valor promedio (A 0) de DC, una serie de funciones cosenoidales coseno idales en las que cada término sucesivo suces ivo tiene una frecuencia que es múltiplo entero de la frecuencia del primer término cosenoidal de la serie, y una serie de funciones senoidales en la que cada término sucesivo tiene una frecuencia que es múltiplo entero de la del primer término senoidal de la serie. No hay restricciones para los valores o los valores relativos de las amplitudes de los términos seno y coseno. La ecuación se enuncia como sigue en palabras: Cualquier forma de onda periódica está formada por un componente promedio y una serie de ondas senoidales y cosenoidales relacionadas armónicamente. Una armónica es un múltiplo múltiplo entero de la frecuencia fundamental. La frecuencia fundamental es la primera armónica, y es igual a la frecuencia (rapidez de repetición) de la forma de onda. El segundo múltiplo de la fundamental se llama segunda armónica, el tercer múltiplo es la tercera armónica, y así sucesivamente. La frecuencia fundamental es la mínima necesaria para repr esentar a una forma de onda. Por consiguiente, la ecuación se puede escribir como sigue

Onda simétrica

1

Tomasi, 2003, p.22-24

5

Simetría de onda. Dicho en términos sencillos, la simetría de la onda describe la simetría de una forma de onda en el dominio del tiempo, esto es, su posición relativa con respecto a los ejes horizontal (tiempo) y vertical (amplitud).

Simetría par. Si una forma de onda periódica de voltaje es simétrica respecto al eje vertical (amplitud) se dice que tiene simetría especular, o de ejes, y se llama función par. Para todas las funciones pares, los coeficientes B de la ecuación 1 son cero. Por consiguiente, la señal sólo contiene un componente de cd y los términos cosenoidales. La suma de una serie de funciones pares es una función par. Las funciones pares satisfacen la condición

Simetría impar.

  

Si una forma periódica de onda de voltaje es simétrica respecto a una línea intermedia entre el eje vertical y el horizontal negativo (es decir, a los ejes en el según doy cuarto cuadrantes) y pasa por el origen de las coordenadas, se dice que tiene una simetría puntual o que es antisimétrica, y se le llama función impar. Para todas las funciones impares, los coeficientes A de la ecuación 1 son cero. Por consiguiente, la señal tan sólo contiene un componente de DC y los términos senoidales la suma de una serie de funciones impares es una función impar. A esta forma primero se le debe reflejar en el eje Y y después en el eje X para sobr eponerla consigo misma. Así

  

Los coeficientes de A 0, A1 a An y B1 a Bn se pueden calcular como sigue

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METODOLOGIA Para llevar acabo satisfactoriamente los objetivos del proyecto final se necesitaron los conceptos teóricos y comprender como llegar a plantear la serie de Fourier para una señal cualquiera. cualquiera . Además del uso de equipos como el osciloscopio, oscilosco pio, el generador de señales y el analizador de espectro para la simulación. Se estableció un paso a paso desde el conocimiento de la señal dada hasta su reconstrucción a partir de Fourier. El paso a paso general consta de: -

Representación, planteamiento planteamiento y cálculo matemático matemático a mano de de la señal. Muestra de resultados para cada coeficiente A n y Bn. Cálculo de los coeficientes en el software software MATLAB, MATLAB, observación de los resultados y comparación parcial de resultados. Muestra y toma de resultados de la simulación con el analizador de espectro y comparación final de resultados con un cuadro comparativo. Toma de tiempos tiempos aleatorios para la reconstrucción de la señal utilizando la serie de Fourier obtenida.

Primero se debe llevar a términos matemáticos la ecuación, para eso de define en tramos para un periodo (T). Posteriormente se plantean las ecuaciones para cada coeficiente utilizando las fórmulas dadas en clase. Se hace una recopilación de resultados y se plantea la serie de Fourier. Después, de trabaja la señal en MATLAB con el código proporcionado por la docente y se recopilan los resultados de los coeficientes según el programa para la comparación parcial. Finalmente con el uso del osciloscopio, el generador de señales y el analizador analizador de espectro se hacen la observación de los niveles de voltaje entregados, también se recopilan y se hace el cuadro cuadr o comparativo para los resultados obtenidos a mano, en MATLAB y de la simulación. Además de reconstruir la señal como se dijo anteriormente tomando 16 tiempos aleatorios.

7

SERIES DE FOURIER

PARÁMETROS INICIALES

   10   1 100    1

REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA SEÑAL TRIANGULAR

4 ; 4 ;   2     2  4 ;  4 2; 8

0≤≤/4 4 ≤≤/2 2 ≤≤3/4 3/4≤≤

RESULTADOS OBTENIDOS RESULTADOS TEORICOS DE LOS COEFICIENTES A0 An Bn INTEGRAL PARA A 0

⁄ 4 ⁄ 4 ∫ (  )   + ∫⁄ (2   )   1  =  ⁄ 4  4 +[ ∫ (2   )   + ∫⁄ (   4)   ] INTEGRAL PARA An

⁄ 4 2 ⁄ 4 2 ∫ ( )   ( cos   )  +∫ ( 2 )   ( cos )       = 2 ⁄ 4 2 ⁄  4 2 + ∫ (2   )  (cos  ) +∫ + ∫⁄ (   4)  (cos  ) INTEGRAL PARA Bn

⁄ 4 2 ⁄ 4 2 ∫ ( )   ( si n   )  +∫ ( 2 )   ( si n )      = 2 ⁄ 4 2 ⁄  4 2 +[ ∫ (2   ) (sin  ) +∫ + ∫⁄ (   4) (sin  ) ] COEFICIENTES A 0

  4 4 ∫ ( )     + ∫ ( 2  )     100µ 100µ 1    =  + ∫ (2  4 )   + ∫ ( 4  4)    100µ  100µ 9

 = 100µ1 (800001 + 800001  800001  800001 )  = 100µ2 0  =  COEFICIENTE An

  4 2 4 2 ∫ ( )   ( cos  )   + ∫ ( 2  )   ( cos ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2  = 100µ + ∫ (2  4 )  (cos 2 )  +∫ ( 4  4) (cos 2 ) 100µ  100µ 100µ  100µ 2   20000 2  + 20000 2   20000 2 )  = 100µ2 (20000

 = 100µ2 0

 =    4 4 4 4 ∫ ( )   ( cos  )   + ∫ ( 2  )   ( cos ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2    = 100µ + ∫ (2  4 )  (cos 4 )  + ∫ ( 4  4) (cos 4 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1   20000 1  + 20000 1  + 20000 1 )  = 100µ2 ( 20000  = 100µ2 0  =    4 6 4 6 ∫ ( )   ( cos  )   + ∫ ( 2  )   ( cos ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2    = 100µ + ∫ (2  4 )  (cos 6 )  + ∫ ( 4  4) (cos 6 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 10

2+3  + 180000 2+3   180000 2+3  + 180000 2+3 )  = 100µ2 ( 180000  = 100µ2 0  =  Dado que la función f (t) es una función impar, todos los coeficientes An = 0. Por lo tanto la serie de Fourier para f (t) estará dada por la serie de senos.

 2 =  ∫    (sin 2 )

COEFICIENTES Bn

  4 2 4 2 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2   = 100µ + ∫ (2  4 ) (sin 2 )  + ∫ ( 4  4) (sin 2 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1  + 10000 1  + 10000 1  + 10000 1 ) = 100µ2 (10000

4 ) = 100µ2 (10000

= .   4 4 4 4 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2 = 100µ + ∫ (2  4 )  (sin 4 )  +∫ ( 4  4) (sin 4 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1  40000 1  40000 1 + 40000 1  = 100µ2 40000 = 100µ2 0 =  11

  4 6 4 6 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2   = 100µ + ∫ (2  6 )  (sin 6 )  + ∫ ( 4  4) (sin 6 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1   90000 1   90000 1   90000 1 ) = 100µ2 ( 90000

4 ) = 100µ2 ( 90000

=    4 8 4 8 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2   = 100µ + ∫ (2  6 ) (sin 8 )  + ∫ ( 4  4)  (sin 8 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1 + 80000 1 + 80000 1  80000 1 ) = 100µ2 ( 80000 = 100µ2 0 =    4 10 4 10 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2   = 100µ + ∫ (2  6 )  (sin 10 )  + ∫ ( 4  4) (sin 10 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1  + 250000 1  + 250000 1  + 250000 1 ) = 100µ2 (250000 4 ) = 100µ2 (250000 = . 12

  4 12 4 12 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2   = 100µ + ∫ (2  6 )  (sin 12 )  + ∫ ( 4  4) (sin 12 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1  120000 1  120000 1 + 120000 1 ) = 100µ2 (120000

= 100µ2 0 =    4 14 4 14 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2 = 100µ + ∫ (2  6 )  (sin 14 )  +∫ ( 4  4) (sin 14 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1   120000 1   120000 1   120000 1 ) = 100µ2 ( 120000 4 ) = 100µ2 ( 120000 = .   4 16 4 16 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2 = 100µ + ∫ (2  6 )  (sin 16 )  +∫ ( 4  4) (sin 16 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1  16000 1 + 160000 1  160000 1  ) = 100µ2 (160000 = 100µ2 0 =  13

  4 18 4 18 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2 = 100µ + ∫ (2  6 ) (sin 18 )  +∫ ( 4  4) (sin 18 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1  + 810000 1  + 810000 1  + 810000 1  ) = 100µ2 (810000

4 ) = 100µ2 (810000 =    4 20 4 20 ∫ ( )   ( si n  )   + ∫ ( 2  )   ( si n ) 100µ 100µ 100µ 100µ 2 = 100µ + ∫ (2  6 ) (sin 20 )  +∫ ( 4  4)  (sin 20 ) [  100µ 100µ  100µ 100µ ] 1  200000 1 + 200000 1  200000 1  ) = 100µ2 (200000 = 100µ2 0 = 

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SERIE DE FOURIER Al conseguir los coeficientes resultantes para los An, Bn, podemos obtener la serie de Fourier, la cual está dada por los coeficientes Bn ya que nuestra función es una función impar con An= 0.

          +2 +   2 +   2 +   2     2 2 − −  810      +32.  210000 210000 90. 0 6  230000 230000 −250000 17.54 −270000 4 2 +10−290000 Finalmente asignamos valores a t para reconstruir nuestra señale a partir de la Serie de Fourier t f(t) 0 0 25E-6 0.96 50E-6 0 75E-6 -0.96 0 100E-6

ONDA TRIANGULAR RECONSTRUIDA 1,5

1

0,5      s      o        i       t        l      o       V

segundos 0 0

0,00002

0,00004

0,00006

-0,5

-1

-1,5

15

0,00008

0,0001

0,00012

RESULTADOS OBTENIDOS MEDIANTE MATLAB A continuación se presentan los resultados obtenidos mediante el software MATLAB a partir de las integrales que arrojan el resultado de los armónicos.

DATOS OBTENIDO DESDE MATLAB INTEGRANDO

                

ARMONICO An RESULTADO

ARMONICO Bn

    

0 0 0 0 0 0 0

≅≅ 00 ≅0

1,6e-17 -2,6e-33 1,1e-17

0

RESULTADO 0,8106 0 -0,0901 0 0,0324 4,3e-17 -0,0165 -1.1e-17 0,0100 1,2e-17

≅0 ≅0 ≅0

DATOS OBTENIDOS DESDE LA FUNCION FOUSER EN MATLAB

                

ARMONICO An

RESULTADO

ARMONICO Bn

    

0 -1,5e-16 4,82e-16 1,9e-17 7,95e-18 2,1e-17 2,53e-17 -1,7 e-17 5,4e-18 -5,5e-17 2,85e-17

≅≅ 00 ≅0

16

RESULTADO 0,81057 -6,3e-9 -0,090 1,26e-8 0,0324 -1,89e-8 -0,0165 2,52e-8 0,0100 -3,15e-8

TABLA COMPARATIVA

    ARMÓNICOS n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f 10KHz 20KHz 30KHz 40KHz 50KHz 60KHz 70KHz 80KHz 90KHz 100KHz

  

TEORICO An(V) Bn(V) 810e-3 0 0 0 -90e-3 0 0 0 0 32,42e-3 0 0 -16,54e-3 0 0 0 10e-3 0 0 0

   

AMPLITUD INTEGRAL MATLAB An(V) Bn(V) 0,8106 0 0 0 -0,0901 0 0 0 0 0,0324 4,3e-17 0 -0,0165 1,6e-17 -2,6e-33 -1.1e-17 0,0100 1,1e-17 0 1,2e-17

FOUSER An(V) 0 -1,5e-16 4,82e-16 1,9e-17 7,95e-18 2,1e-17 2,53e-17 -1,7e-17 5,4e-18 -5,5e-17

Bn(V) 0,81057 0 -0,090 0 0,0324 0 -0,0165 0 0,0100 0

ERRORES ASOCIADOS Para nuestro caso vamos a calcular los errores asociados entre los cálculos obtenidos teóricamente (X) y los arrojados por MATLAB en la función fouser (x).

          |   |% %   − % ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO

ERROR ABSOLUTO 1 2  3  4  5  6  7  8  9  10 

An 0 -1,5e-16% 4,82e-16% 1,9e-17% 7,95e-18% 2,1e-17% 2,53e-17% -1,7e-17% 5,4e-18% -5,5e-17%

ERROR RELATIVO

Bn 5,7e-3% 0% 0% 0% 0,2e-3% 0% 40e-3% 0% 0% 0%

An 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%

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Bn 7,3e-3% 0% 0% 0% 0,6e-3 0% 2,41% 0% 0% 0%

RESULTADOS OBTENIDOS MENDIANTE ANALIZADOR DE ESPECTRO

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CONCLUSIONES: 







Se pudo observar de manera satisfactoria el comportamiento de una señal en la dimensión de la frecuencia aplicándole la Serie de Fourier. Gracias a los resultados arrojados por los cálculos hechos se puede corroborar la teoría acerca de la inexistencia de coeficientes An para señales de tipo impar y la entrega de voltajes sólo en los coeficientes Bn impares.  Apoyándonos en los resultados de los errores absolutos y relativos de cada armónico, asentamos la idea de los pequeños errores a la hora de realizar una medición, bien sea por omisión de milésimas o cienmilésimas. Los valores experimentales en el analizador de espectro para los coeficientes A n, Bn no coincidieron para los resultados teóricos y los arrojados por el software MATLAB ya que el analizador de espectro calcula la Transformada de Fourier y no la serie de Fourier como esperábamos.

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REFERENCIAS Tomasi, W. (2003). Sistemas de comunicaciones electrónicas. México: Pearson

Education.

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