Series Criterios de Convergencia

 

Criterios de convergencia Cl Clas asif ific icar ar una se seri riee es de dete term rmin inar ar si conver converge ge a un nú númer mero o rea reall o si si diver diverge ge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Para que una serie

sea divergente, una condición suficiente es que

. Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Sea una serie

, tal que ak  > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

con

, el Criterio de D'Alembert establece que:      







si L si  L <  < 1, la serie converge. si L si  L >  > 1, entonces la serie diverge. si L si  L =  = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

 

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie

, tal que ak  > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo Entonces, si:    L  L <  < 1, la serie es convergente.    L  L >  > 1 entonces la serie es divergente.    L  L=1, =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe,







o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Criterio de Raabe En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos  permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie

, tal que ak  > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo Por tanto, si L si  L >  > 1, entonces la serie es convergente conv ergente y si  L <  L < 1, la serie es divergente Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Criterio de la integral de Cauchy Si  f  ( x)  x) es una función positiva y  y  monótonamente  monótonamente  decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f   que  f  (n) = an para todo n, entonces

converge si y sólo si

es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

 

  si  la integral converge  si y sólo si converge

converge.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. sólo si la serie

converge si y

converge.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con si se cumplen las siguientes condiciones: a)

) se llama alternada. Tal serie converge

para n par y n impar

 b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que:

Si esto se cumple, la serie serie diverge.

es condicionalmente convergente  de lo contrario la

 Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de  Nota:Se criterio, usando los criterios para series positivas.

antes de aplicar este

 

Criterios de convergencia comparativos Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la serie geométrica con razón (en valor absoluto) mayor que 1,  z  | z | > 1. Entonces:

Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss ) Si  

Si

converge

 

Si

diverge





converge diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Entonces:  

Si L Si  L  = 0 y

   

Si y diverge diverge En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien







converge

ambas son divergentes).

converge

 

Tipos de convergencia Convergencia absoluta

Una serie alternada an converge absolutamente si

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente