Série Uniforme de Pagamentos

 

SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 

Pode-se definir uma série uniforme de pagamentos como uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou prestações, de mesmo valor, representados por  R, divididos regularmente num período de tempo. O somatório do valor acumulado de vários pagamentos, montante, é calculado pela expressão mostrada abaixo e representado no fluxo de caixa da figura 1. Este somatório é deduzido a partir da equação da capitalização composta VF=VP(1+i) n para o cálculo do montante de cada pagamento R. Trata-se, portanto, do cálculo da soma dos termos de uma progressão geométrica limitada, de razão q = 1 + i. 

FV 

R

0

1

2

R

3

R

(n-1)

R 

R

n 

Figura 1 

Perceba que a última parcela coincide com o valor futuro (montante) e que a primeira parcela é paga no momento 1. O momento zero corresponde a hoje. Esse tipo de série é chamado de série de termos vencidos, onde a primeira parcela não é efetuada hoje.  

Situação Problema 

Uma pessoa deposita mensalmente R$ 500,00 numa conta especial particular. Qual será o saldo daqui a 2 anos, para uma remuneração de 0,8 % a.m. concedida pelo banco?  

 

Solução:  R = 500 (valor da parcela mensal)  i = 0,8% (taxa de juro mensal) para fins de cálculo 0,008   n = 2 anos o que corresponde a 24 parcelas mensais  

Utilizando a expressão (1):

VF = 500.[(1+ 0,008)24-1] / 0,008 = 13.171,58

Procedendo-se o cálculo do inverso da expressão (1), pode-se obter o valor da parcela ou prestação R, a partir do montante conhecido, através da seguinte expressão:  

Situação Problema 

Determine o valor que deve ser depositado trimestralmente numa conta a prazo fixo, que oferece juros de 3,5% a.t., para acumularmos R$ 25.000,00 em 5 anos.  

Solução:  n = 20, pois em 5 anos existem 20 trimestres  

 

VF = 25.000 (valor futuro)  i = 3,5% ao mês o que corresponde a 0,035 para fins de cálculo  

Utilizando a expressão (2), temos: 

R = 25.000.{0,035 / [(1+0,035) 20 -1]} = 884,03

 Ainda dentro do contexto de uma série uniforme de pagamento, deseja-se determinar o valor capaz de liquidar antecipadamente, e de uma só vez, um empréstimo ou financiamento, assumido de forma a ser  pago em prestações uniformes e periódicas.  

 Assim sendo, deve-se calcular a expressão do valor presente desta série uniforme. Sabemos que o valor 

presente de uma capitalização composta pode ser calculado pela equação

, substituindo o VF

da expressão (1) na equação anterior determinamos o valor presente de uma série de termos uniformes como sendo: 

VP

R

R

R

R 

R

0

1

2

Figura 2 - Diagrama do valor presente de uma série uniforme  

3

(n-1)

n 

 

  Situação problema 

Determine o valor à vista de um eletrodoméstico vendido em 6 prestações mensais de R$ 200,00, sabendose que os juros cobrados pelo lojistas são de 5 % a.m.   Solução:  n = 6 (número de parcelas mensais)  R = 200 (valor de cada parcela mensal)  i = 5% (taxa mensal) igual 0,05 para fins de cálculo.  

VP = 200 . { [(1+ 0,05)6 -1] / [0,06.(1+ 0,05)6] } = 1.015,14

Para a determinação do valor de cada uma das prestações R quando o valor do principal (financiamento) é conhecido, calcula-se o inverso da expressão (3), pois existe reciprocidade.  

 Assim, o valor de R é obtido pela seguinte expressão:  

Situação Problema: 

 

Uma pessoa adquire um freezer  por R$ 800,00, dando de entrada R$ 300,00. Determine a prestação mensal para um financiamento do restante em 4 vezes, à taxa de 5% a.m.  

Solução:  Valor a ser financiado: VP = 800 - 300 = 500;  Taxa i = 5% ao mês, o que corresponde a 0,05   n = 4 parcelas mensais  Usando expressão (4) temos: 

R = 500.{[0,05.(1+ 0,05)4]/[(1+ 0,05)4-1]}=141

SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS ANTECIPADOS 

Nas séries com termos antecipados, os pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período unitário. Assim a primeira prestação é sempre paga ou recebida no momento “zero”, ou seja, na data do

contrato do empréstimo ou financiamento, ou qualquer outra operação que implique em uma série de pagamentos, ou recebimentos. 

Acumulação de Capital 

Situação problema:  Qual o montante daqui a 8 meses resultante da aplicação de 8 parcelas mensais de R$100,00, a taxa de 1,5% ao mês, sabendo-se que a primeira aplicação é feita hoje.  

 

Esquematicamente temos:  

100

0

1

2

3

100

4

100

5

100

6

100

7

100

100

100

VF (montante)  

8  

Dados: 

VF = ?  

n = 12   i = 1,5% mês   R = 100 por mês  

Solução:  

Se usarmos a equação

o valor de montante será encontrado no momento da última

aplicação, nesse caso, no momento “7”. Como desejamos o montante no momento “8” teremos que

capitalizar um período a mais, ou seja, oitavo mês. 

Conclusão: 

assim teremos o montante no final do

 

  Para calcular o Montante de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, devemos

utilizar a expressão:

Valor atual 

Situação problema:  Um eletrodoméstico foi financiada em 6 parcelas mensais iguais e consecutivas de R$100,00, sabendo-se que a taxa de juro cobrada pela Loja é de 5% ao mês e que a primeira prestação foi paga no ato da compra, qual foi o valor financiado?  

Esquematicamente temos:  

VP (valor financiado)  0

1

100

2

100

3

100

6 parcelas mensais 

Dados: 

4

100

5 Meses  

100

100 (note que a primeira parcela está sendo paga a vista) 

 

VP = ?   n = 6   i = 5% mês   R = 100 por mês  

Solução: 

 Aproveitando o que já sabemos, temos que

, como desejamos saber o valor de de

VP pela fórmula da capitalização composta VF=P(1+i) n =>

temos que; 

=>

Donde:

Conclusão: 

Para calcular o Valor Presente de uma série de pagamentos ou recebimentos com termos antecipados, devemos utilizar a expressão:

Perpetuidade  

 

 A perpetuidade é um conjunto de valores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorre indefinidamente. Trata-se, portanto, de uma série uniforme permanente, tal como uma pensão mensal vitalícia, um dividendo anual etc. 

O valor presente de uma perpetuidade VP, deduzido a partir do cálculo do limite da expressão (3), com n tendendo ao infinito, pode ser encontrado pela fórmula.  

(5) 

Situação problema 

Determine o valor teórico de um apartamento que rende mensalmente R$ 1.000, considerando-se a taxa de  juros de mercado de 1,0 % a.m. Como o aluguel mensal de um apartamento pode ser considerado uma perpetuidade, pela fórmula (5) chega-se ao seu valor teórico: 

VP= 1.000 / 0,01 = 100.000

 

Séries de Pagamentos Uniformes  Definição: é a série que exibe o retorno do capital através de pagamentos iguais em intervalos de tempo constantes. É bem ilustrada nas situações de empréstimo ou aquisições de bens. O fluxo de caixa que caracteriza esse tipo de série está representado na figura abaixo:

O modelo matemático para esse tipo de série é:

Onde, presta ções a serem pagas   PMT → é o valor das parcelas ou prestações PV → é o valor financiado  i → é a taxa de juros   n → é o tempo Exemplo 1: Um empréstimo no valor de R$ 15.000,00 será quitado em 24 meses. Determine o valor das prestações sabendo que a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês. Solução: Temos que PMT = ? PV= 15000 i = 2% a.m. = 0,02 n = 24 meses os dados na fórmula, obtemos: Substituindo

 

 

Exemplo 2. Na aquisição de um bem financiado em 48 meses, as parcelas ficaram no valor de R$ 680,00 cada. Sabendo que a taxa de juros cobrada foi 1,5% a.m., determine o valor desse bem. Solução: temos que, PMT = 680 n = 48 meses i = 1,5% a.m. = 0,015 PV = ? Substituindo os dados na fórmula obtemos:

 

Série de pagamentos I  I  Introdução  Introdução  Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R 1, R2, R3, ... Rn, distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses pagamentos serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos (ou recebimentos) ao os longo dos n períodos, resolver a seguir, problemas nos quaisconstitui - se num fluxo de caixa. Vamos R1 = R2 = R3 = ... Rn = R, ou seja: pagamentos (ou recebimentos) iguais. Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia um período após a data zero, o fluxo recebe o nome de POSTECIPADO. Quando o início dos pagamentos ou recebimentos ocorre na data zero, o fluxo recebe o nome de ANTECIPADO. Exemplos:  Exemplos:  1 - Pagamentos no início dos períodos: Fluxo ANTECIPADO (BEGIN)

2 - Pagamentos no final dos períodos: Fluxo POSTECIPADO (END).

Na calculadora HP12C, o modo normal de operação é na posição g END ou seja fluxo postecipado. Para as seqüências antecipadas, deveremos teclar g BEG (BEG de begin = início). Caso não seja feita nenhuma referencia , devemos considerar sempre que o fluxo é postecipado. FAC   Fator de acumulação de capital - FAC O problema a resolver é o seguinte: Determinar a quantia S acumulada a partir de uma série uniforme de pagamentos iguais a R, sendo i a taxa de juros por período. Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado. NOTA NOTA:: na calculadora HP12C, R é expressa pela tecla PMT (pagamentos periódicos). Portanto R e PMT possuem o mesmo sentido, ou seja, a mesma interpretação. Da mesma forma, S corresponde a FV na calculadora HP 12C.

 

A) Fluxo postecipado  postecipado  Considere o fluxo de caixa postecipado a seguir, ou seja: os pagamentos são feitos nos finais dos períodos.

Vamos transportar cada valor R para o tempo n, supondo s upondo que a taxa de juros é igual a i , lembrando que trata-se de um fluxo de caixa POSTECIPADO, ou seja, os pagamentos são realizados no final de cada período. Teremos: S = R(1+i)n-1 + R(1+i)n-2 + R(1+i)n-3 + ... + R(1+i) + R Colocando R em evidencia, teremos: S = R[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1] Observe que a expressão entre colchetes, é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo (1+i) n-1, último termo 1 e razão 1/(1+i). Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, teremos: Geométrica..  Nota: em caso de dúvida, consulte o arquivo  arquivo Progressão Geométrica (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1 =

Substituindo o valor encontrado acima, vem finalmente que:

• o fator entre colchetes é denominado Fator de acumulação de capital - FAC(i,n). • assim, teremos: S = R . FAC(i,n). Os valores de FAC(i,n) são tabelados. Na prática,

utilizam-se as calculadoras científicas ou financeiras, ao invés das tabelas. Usando-se a simbologia adotada na calculadora HP 12C, onde R = PMT e S = FV, teremos a fórmula a seguir:

 

Exemplo:   Exemplo: Aplicando-se $200,00 por mês num Fundo de Renda Fixa a uma taxa mensal de 5%, pede-se calcular o montante ao final de 10 anos, considerando-se que as aplicações são feitas no final dos períodos. Solução: Aplicando-se diretamente a fórmula vista anteriormente, anterior mente, vem: – 1] / 0,05 = $ 1.391.647,94 S = 200[(1+ 0,05)120  –  Observe que 120 = 10 anos x 12 meses. Usando a calculadora financeira HP 12C, teríamos: 200 CHS PMT 5 i 120 n FV Aparecerá no visor, o valor calculado acima. antecipado   B) Fluxo antecipado Dando continuidade, vamos supor agora que o fluxo de caixa fosse ANTECIPADO, ou seja, com os pagamentos periódicos realizados no início dos períodos.

Nestas teríamos, transportando todos os pagamentos periódicos para o períodocondições, n: S = R(1 + i)n + R(1 + i)n-1 + ... + R(1 + i) Colocando R em evidencia, teremos: S = R[(1 + i) n + (1 + i)n-1 + ... + (1 + i)] Observe que a expressão entre colchetes, é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica – PG, de primeiro termo (1+i)n , último termo 1+ i e razão 1/(1+i). Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG, teremos:

 

(1 + i)n + (1 + i)n-1 + ... + (1 + i) =

Substituindo o valor encontrado acima, encontraremos finalmente:

Observe que a fórmula acima (para pagamentos antecipados), difere da anterior (pagamentos postecipados), pelo aparecimento do fator (1 + i). Quando colocamos a calculadora HP 12C no estado BEG, ou seja, pagamentos antecipados, ela ajusta a fórmula vista no início dessa seção, para a fórmula acima, automaticamente. Usando a simbologia adotada nas calculadoras HP 12C, a fórmula acima ficaria:

Exemplo:  Exemplo:  Aplicando-se $200,00 por mês num fundo de renda fixa a uma taxa de 5% a.m. , pedese calcular o montante ao final de 10 anos, sabendo-se que as aplicações são sã o feitas sempre no início de cada mês. Solução: Aplicando-se diretamente a fórmula vista anteriormente, anterior mente, vem: 120 S = 200(1+ 0,05)[(1+ 0,05)   –  – 1] / 0,05 = $ 1.461.230,34 Observe que 120 = 10 anos x 12 meses.