Serie Tema Var Aleatorias s 1

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS ACADEMIA DE PROBABILIDAD Semestre: 2017-1 SERIE TEMA VARIABLES ALEATORIAS

1.

Una variable aleatoria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde 𝑘 (9 − 𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 = 5, 6, 7, 8 𝑓(𝑥) = { 0 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 a) Determine K b) Encuentre la media y la varianza de X

SOLUCIÓN: P(X=5) = k (9 - 5) = 4k P(X=6) = k(9 - 6) = 3k P(X=7) = k(9 - 7) = 2k P(X=8) = k(9 - 8) = 1k Sabemos que: 10k = 1 entonces tenemos que: k = 1/10 Función de Probabilidad X 5 P (X) 4/10

6 3/10

7 2/10

Varianza V(x)= (5 – 6)2(4/10) + (6-6)2(3/10) + (7-6)2(2/10)+ (8-6)2(1/10) = 1 2. Considere un grupo de cinco donadores de sangre potenciales, Adán, Bruno, Carlos, Diego y Eduardo de los cuales sólo Adán y Bruno tienen sangre tipo O+. Se determinará en orden aleatorio el tipo de sangre con cinco muestras, una de cada individuo, hasta que se identifique un individuo O+. Sea la variable aleatoria Y=el número de exámenes de sangre para identificar un individuo O+. a) Hallar la función de masa de probabilidad en forma tabular. b) Hallar el valor esperado de Y. c) Hallar la varianza de Y. SOLUCIÓN: 2 a) p(1)=P(Y=1)=P(Adán o Bruno examinados primero)= = 0.4 5

p(2)= P(Y=2)=P(Carlos, Diego o Eduardo primero, y luego Adán o Bruno)=P(Carlos, Diego o Eduardo primero) ∙ 𝑃(Adán o Bruno a continuación|Carlos, Diego o Eduardo primero) = 3 2 ∙ = 0.3 5 4

p(3)= P(Y=3)=P(Carlos, Diego o Eduardo primero y segundo, y 3 2 2 luego Adán o Bruno)= ∙ ∙ = 0.2

8 1/10

5 4 3

3 2 1

p(4)= P(Y=4)=P(Carlos, Diego y Eduardo primero)= ∙ ∙ = 0.1 Función de Distribución Acumulada X P(X) 5 4/10 6 3/10 7 2/10 8 1/10

     F  x       

0 4 10 7 10 9 10 1

si

5 4 3

F(X) 0+4/10 = 4/10 4/10+3/10 =7/10 7/10+2/10 =9/10 9/10+1/10 = 1

x5

La función de masa de probabilidad en forma tabular es: y 1 2 3 4 p(y) 0.4 0.3 0.2 0.1

b)

n

x f x 

E  X 

i

i

i1

si 5  x  6 si 6  x  7 si 7  x  8 si x  8

Media µ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10) + (8) (1/10) = 6 SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 2017-2

= 1(0.4) + 2(0.3) + 3(0.2) + 4(0.1) = 0.4 + 0.6 + 0.6 + 0.4 = 2 c)

E  X 2  = 12 (0.4) + 22 (0.3) + 32 (0.2) + 42 (0.1) = 0.4 + 1.2 + 1.8 + 1.6 = 5

Var  X  E  X    E  X  = 5 − 22 = 1 2

2

3. Un alumno presenta, sin estudiar, un examen de opción múltiple, el cual consta de diez reactivos y cinco posibles respuestas por reactivo. Si el

1

número de aciertos es una variable aleatoria, encontrar la función de probabilidad y la probabilidad de acreditar el examen. SOLUCIÓN: Como el alumno no estudió, contestará al azar y no dejará ninguna pregunta sin responder. El número de formas de tener x aciertos está dado por

C10x , y el número de 10  x

formas en que se pueden contestar 10 – x preguntas incorrectamente es 4 ya que cada pregunta tiene 4 respuestas incorrectas. Y el número total de formas en que se puede contestar el examen es

4. La constructora encargada del tramo de la autopista concesionada Tierra Blanca-Tuxtepec, en el estado de Veracruz, está obligada a garantizar el funcionamiento y mantenimiento de la vía de comunicación a su cargo. Para ello ha contratado un seguro contra daños causados por desastres naturales por una cantidad de 100 mdp (millones de pesos). La aseguradora ha considerado que se tendrá una pérdida del 100% con una probabilidad de 0.003, una pérdida del 50% con una probabilidad de 0.02 y una pérdida de 25% con probabilidad de 0.1 ¿Cuánto deberá pagar la constructora de prima anual a la aseguradora?

510 . SOLUCIÓN:

Por lo tanto la función de probabilidad está dada por:

10  410  x   P( x)   x  510  0 

x  0,1,2.... 10 otro caso

O bien:

Siendo X la variable aleatoria que representa las pérdidas causadas por desastres naturales en millones de pesos. A partir de los datos del problema se puede generar la siguiente función de probabilidad: x 1 f(x) 0.003 Las pérdidas esperadas son:

0.50 0.02

x

P(x)

0

0.1074

1

0.2684

2

0.3020

3

0.2013

es el porcentaje de pérdidas esperadas.

4

0.0881

El seguro cubre $100 000 000

5

0.0264

6

0.0055

7

0.0008

8

0.0001

9

0.0000

0.25 0.1

0 0.877

n

 x f  x   1 0.003   0.50 0.02   0.25 0.1  0.038

E  X 

i

i

i1

La prima a cobrar es entonces: 100 000 000 * 0.038 = 3 800 000 anuales. 5. Sea una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por: X 0 1 2 3 4 Probabilidad

10 0.0000 Para encontrar la probabilidad de acreditar el examen tenemos que calcular:

0.10

0.20

0.30

0.25

0.15

10 10   410  x P( x  6)     10  x 6  x  5  0.005505052 0.000743 7.3728 10 5  4.096  10 6  1.024  10 7

a) Obtener una tabla de distribución de probabilidad de la siguiente variable aleatoria

P( x  6)  0.00636938 0.637%

b) Obtener la media y la varianza de la variable Y

La probabilidad de aprobar el examen es de 0.637%. SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 2017-2

Y  X3  4X2  10

SOLUCION:

2

a) Sustituimos los valores de X en la función Y y obtenemos lo siguiente

Y  0   X  4X  10  Y  0   10 3

2

funcionan independientemente y cada una se abre correctamente mediante una señal con una probabilidad 0.8. Encuentre la distribución de probabilidad para el número de vías abiertas y represéntela gráficamente.

Y 1  X 3  4X 2  10  Y 1  7 Y  2   X 3  4X 2  10  Y  2   2 Y  3  X 3  4X 2  10  Y  3   1 Y  4   X 3  4X 2  10  Y  4   10

SOLUCIÓN:

Y

1

2

7

10

P(y)

0.25

0.30

0.20

0.25

b)

E Y   1 0.25   2  0.30   7  0.20   10  0.25 

Sea X: número de vías abiertas después de haber enviado la señal {0, 1, 2}, Vk: válvula k abierta {1, 2, 3, 4} Lk: línea abierta P(L1 ‘)= P(V1 ‘)= 1 - 0.8 = 0.2

P(L1)= P(V1)= 0.8

E Y   0.25  1.2  9.8  25

P(L2)= P(V2 y V3 y V4)=( 0.8)3 = 0.512

E Y   36.25

P(Vk)= 0.8

E Y   1 0.25   4  0.30   49  0.20   100  0.25 

P(L2 ‘)= 1 - 0.512 = 0.488

P(Vk’)= 1 – 0.8 = 0.2

P(X=0) = P (L1 ‘ y L2 ‘) = (0.2) (0.488) = 0.0976

2

P(X=1) = P (L1 o L2) – P(L1 y L2) = P(L1) + P(L2) – P(L1) P(L2) - P(L1) P(L2)

E Y   0.25  1.2  9.8  25

= 0.8 + 0.512 – 2(0.8) (0.512) = 0.4928

E Y   36.25

P(X = 2) = P(L1 y L2) = P(L1) P(L2) = (0.8)(0.512) = 0.4096

2

2

Var Y   E Y

2

   E Y 

Var Y   36.25   4.75 

2

2

x 0 1 2

P(x) 0.0976 0.4928 0.4096

Var Y   36.25  22.56 Var Y   13.6875 6. Considere un sistema de agua que fluye a través de las vías o líneas que fluyen desde A hasta B (véase el diagrama). Todas las válvulas 1, 2, 3 y 4 SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 2017-2

3

En donde el punto (h,k) representa las coordenadas de su vértice, 4p la longitud de su lado recto y el signo de p define si la parábola abre hacia arriba (+) o hacia abajo (-) De esta forma, su expresión analítica es:

  f  x   1    b) 7. En la gráfica que se muestra a continuación se ilustra una función de probabilidad formada por dos ramas parabólicas; la primera es una parábola vertical que abre hacia arriba, con vértice en el origen; la segunda es una parábola vertical con vértice en el punto (1,1) y que abre hacia abajo.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

c)

( y  k) 

1 ( x  h) 2 4p

SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 2017-2

1 x  2

otro caso

Determine su función de probabilidad acumulada.

¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor de 0.8 El resultado se puede obtener a partir de

Obtenga su expresión analítica. Determine su función de probabilidad acumulada. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad de que x esté entre 0.8 y 1.2 Calcule su media. Obtenga su desviación estándar.

Una parábola vertical tiene como expresión analítica

0

si

0 si x  0   1 3  x si 0  x  1  3 F  x    x  1  x  1 3 si 1  x  2  3  1 si x  2 

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

SOLUCIÓN: a) Obtenga su expresión analítica.

 x  1

2

Ésta se obtiene integrando cada rama. Para la segunda rama hay que integrar de 1 a 2, pero se requiere sumarle 1/3 de área de la rama anterior:

p(x)

a) b) c) d) e) f)

si 0  x  1

x2

F(x) = F(x = 0.8) – F (x = 0) =

1 3  0.8  0.1707 3

P(x 0) = 1 –

𝑃(𝑋 ≤ 0) = ∫ −∞

= (

0

3 3 (502 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ∫ (502 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 4 50(10 ) 50(104 ) −50

3 50(104 )

2

) [50 𝑥 −

SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 2017-2

𝑥3 3

0

]|

= 0.5

12



0

P  X  11.5  1  P  X  11.5  1 

11.5

0

de retardo semanal = P( X > 0) 0



E  X    X   xf X  x  dx  

= 0

16 144 1 3 x dx   xdx  11.5 12 1152 1152

1 2 1  x3 x dx  1   1152 1152  3

SOLUCIÓN: Se requiere:

x 11.5

x 0

   0.5599  

E (ax  b)  7 Var (ax  b)  1

Por propiedades de la esperanza y la varianza tenemos:

− 50

5

10. Se Considere la variable aleatoria discreta X cuya función de masa de probabilidad es:

p X  xi  

k , 4 xi

xi  1,2,3,...

a) Determine el valor de la constante k que hace que la función sea una auténtica función de masa de probabilidad y grafíquela. b) Obtenga la función de distribución acumulada de X y grafíquela. c) Calcule la probabilidad de que X sea mayor o igual que 3. d) Calcule la probabilidad de que X sea menor que 1 e) Calcule los siguientes parámetros de la distribución: media, mediana, moda, varianza, desviación estándar, coeficiente de variación, coeficiente de asimetría y coeficiente de curtosis.

c) 𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑋 < 3) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 1 − 0.9375 = 0.0625 d) 𝑃(𝑋 < 1) = 0

SOLUCIÓN: 𝑘 a) ∑∞ 𝑥𝑖 =1 4𝑥𝑖

𝑝𝑋 (𝑥) =

=

𝑘 1 𝑥𝑖 −1 ∑∞ 𝑥𝑖 4 (4)

e) 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑∞𝑥𝑖=1 𝑥𝑖 𝑘/4

= 1−1/4 =

𝑘/4 3/4

= 1; 𝑘 = 3;

∞

𝐸(𝑋 2 ) = ∑ 𝑥𝑖 2

3 , 𝑥𝑖 = 1,2, … 4 𝑥𝑖 ,

𝑥𝑖 =1

3 4 𝑥𝑖

= 3 ∑∞𝑥𝑖=1

𝑥𝑖 4 𝑥𝑖

4

4

9

3

= 3 ( ) = , 𝑥0.50 = 1, 𝜇̂ = 1

∞

3 𝑥𝑖 2 20 20 = 3 ∑ = 3( ) = , 𝑥 𝑥 4 𝑖 4 𝑖 27 9

𝜎 2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =

𝑥𝑖 =1

2 𝜎= , 3

b) Obtenga la función de distribución acumulada de X y grafíquela.

=

20 16 4 − = 9 9 9

2/3 1 = 4/3 2

4 3 ∞ ∞ (𝑥𝑖 − ) 1 4 3 1 4 3 3 81 3 = 81 (20) = 5 𝛾1 = 3 𝐸 [(𝑋 − ) ] = ∑ (𝑥𝑖 − ) 𝑥 = ∑ 𝑥 𝑖 𝑖 𝜎 3 8/27 3 4 8 4 8 81 2 𝑥𝑖 =1

𝑥𝑖 =1

= 2.5 4 4 ∞ ∞ (𝑥𝑖 − ) 1 4 4 1 4 4 3 243 3 = 243 (20) 𝛾2 = 4 𝐸 [(𝑋 − ) ] = ∑ (𝑥𝑖 − ) 𝑥 = ∑ 𝜎 3 16/81 3 4 𝑖 16 4𝑥𝑖 16 27 𝑥𝑖 =1

𝑥𝑖

𝐹𝑋 (𝑥) = ∑ 𝑛=1

𝑥𝑖

3 3 1 =∑ ( ) 𝑥 𝑖 4 4 4 𝑛=1

𝑥𝑖 −1

1 𝑥𝑖 [1 − ( ) ] 3 4 = 4 1−1 4

1 𝑥𝑖 1 4𝑥𝑖 − 1 =1−( ) =1− 𝑥 = , 4 4 𝑖 4𝑥𝑖

SERIE TEMA: VARIABLES ALEATORIAS. 2017-2

𝑥𝑖 =1

45 = = 11.25 4

𝑥𝑖 = 1,2, …

6