Serie Exponencial de Fourier PDF
January 27, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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´ Indice general
´ Indice general
I
4. Series de Fourier
1
4.1. Serie exponencial de Fourier (SEF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4. 4.1.1 1.1..
Defin Definic iciio´ n de la SEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4.1.2.
Convergencia de la SEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4.1.3. 4.1. 3.
Interpr Interpreta etaci´ ci´on de la SEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4.2. Repres Representa entaci ci´on o´ n de se˜ senales n˜ ales peri´ perio´ dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4. 4.2.1 2.1..
SEF SEF pa para ra se˜ senales n˜ ales peri´ perio´ dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4.2.2.
Espectro de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4. 4.2. 2.3. 3. Teor orem emaa de Parse arsev val pa parra la seri seriee expon xponen enci cial al . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2. 2.4 4.
Propiedades de la ser serie expone nenc ncia iall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
4.2.5. 4.2. 5.
Serie Serie tri trigono gonom me´ trica de Fourier
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4. 4.2.6 2.6..
Dedu Deducc cciion o´ n de la serie trigonom´ trigonome´ trica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
17
4. 4.2.7 2.7..
Defin Definic iciion o´ n de la serie trigonom´ trigonome´ trica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
18
4. 4.2.8 2.8..
Rela Relaci´ ci´on on entre la serie trigonom´ trigonom´etric tricaa y la seri seriee expon xponen enci cial al . . . . . . . .
20
4.2.9. 4.2. 9.
Serie Serie tri trigono gonom´ m´etrica etrica de Fourier para se˜nales pares e impares . . . . . . . .
22
4.2.10. Te Teorema orema de Parseval Parseval para la serie trigonom´ trigonome´ trica de Fourier
. . . . . . . .
25
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
I
DERECHOS RESERVADOS ´ QUIROGA SEPULVEDA ´ c 2016 por JULIAN Bogot´a, Bogot a´ , Colombia
˜ FUNDAMENTOS DE SENALES Y SISTEMAS Juli´an Juli a´ n Quiroga Sepulveda u´ lveda
Cap´´ııtulo Cap tulo 4
Series de Fourier
Una se˜ senal n˜ al x x((t) ∈ S t1 ,t2 se puede representar en el intervalo del tiempo [t [ t1 , t2 ] de acuerdo a: ∞
x(t) =
an φn (t) t1 < t < t2 ,
n=1
si el conjunto {φn (t)} es una base ortogonal de S t1 ,t2 y cada uno de los coeficiente coeficientess de la represen represen-taci´on taci o´ n es encontrado encontrado de acuerdo a: t2
an =
x(t), φn (t) t = t φn (t), φn (t)
x(t)φ∗n (t)dt
1
2
n ∈ Z+ .
|φn (t)|2 dt
t1
En particular, es de inter´es e s el caso en el cual el conjunto {φn (t)} corresponde a un conjunto de exponenciales complejas. Esta representaci representaci´on o´ n permite analizar las componentes de frecuencia de una se˜ senal n˜ al y caracteriza caracterizarr un SLIT a partir de su respuesta respuesta en frecue frecuencia. ncia.
4.1.
Serie expon exponencia enciall de Fou Fourier rier (SEF) (SEF)
La serie exponencial de Fourier (SEF) es un caso particular de representaci´ representacio on ´ n se se˜n nales, ˜ ales, en el cual la base ortogonal es elegida como una familia de exponenciales complejas de la forma { φn (t)} =
{e jnω t }n∈Z , donde ω0 ∈ R∗ . La eleccion o´ n de esta familia de senales n˜ ales complejas permite la re0
presentaci´on presentaci o´ n de se se˜nales n˜ ales reales y complejas sobre cualquier intervalo acotado de tiempo. Se puede demostrar que
e jnω
0
t
n∈Z
es una base ortogonal de S t1 ,t2 si la frecuencia fundamental ω0 es
escogida de forma apropiada. ortogonal del espaPropiedad 4.1. El conjunto de senales ˜ {φn (t)} = { e jnω 0 t }n∈Z es un conjunto ortogonal cio vectorial S t1 ,t2 si ω0 = 2π/( π/ (t2 − t1 ).
1
Cap ´ ´ıtulo 4. Series de Fourier
j2 2ω0 t − jω 0 t Demostraci´ Demostraci on. n˜ ales es de la forma {. . . , e− j ´ El conjunto de se nales ,e , 1, e jω 0 t , e j j22ω0 t , . . .}.
Dado que el conjunto tiene cardinalidad infinita, la verificaci on o´ n de ortogonalidad debe realizarse de forma general, para lo cual se seleccionan dos se nales n˜ ales cualquiera del conjunto, φn (t) y φ m (t), con
n, m ∈ Z , para las que se debe cumplir que si n = m entonces: t2
φn (t), φm (t) =
t2
dt = = φn (t)φ∗m (t)dt
t1
t2
e jnω t e− jmω t dt dt = = 0
0
t1
e j j((n−m)ω t dt dt = = 0 , 0
t1
es decir, decir, que el producto interno entre cualquier cualquier par de se˜ sen nales ˜ ales del conjunto es cero. Si n producto interno entre e jnω 0 t y e jmω 0 t se escribe como: = m entonces k = k = (n − m) ∈ Z ∗ y el producto t2
jkω 0 t
e
t1
e jkω t dt dt = = jkω jk ω0 0
t2
=
e jkω
t
− e jkω jkω jk ω0
0 2
t1
t
0 1
,
y llega a ser cero si e jkω 0 t2 = e jkω 0 t1 , para lo que se debe cumplir que e jkω 0 (t2 −t1 ) = 1. Por jnω 0 t
tal motivo, el conjunto {e ´ ltiplo entero de 2π }n∈Z es ortogonal si ω0 (t2 − t 1 ) es un muultiplo 2 π. En particular, el conjunto es ortogonal si ω0 = 2π/( π/(t2 − t1 ).
Defin Definic iciion o´ n de la SEF
4. 4.1. 1.1. 1.
Conociendo que {e jnω 0 t }n∈Z es una base ortogonal de S t1 ,t2 entonces toda sen nal ˜ al x(t) ∈ S t1 ,t2 puede expresarse como: ∞
x(t) =
n=−∞
cn e jnω
0
t
t1 < t < t2 ,
(4.1)
donde cada uno de los coeficientes coeficientes de la serie es encontrado encontrado como: t2
cn =
1 t2 −t1
dado que:
x(t)e− jnω t dt
jnω 0 t
x(t), e t = t jnω t jnω t e ,e 0
2π t2 −t1
,
x(t)φ∗n (t)dt
1
0
con ω0 =
t1
t2
0
2
. 2
|φn (t)| dt
t1
Ejemplo 4.1. Represente la se˜ nal x x((t) definida como:
x(t) =
1
0 < t < 1
−1 1 < t < 2
,
utilizando la serie exponencial de Fourier, sobre el intervalo de tiempo [0, [0 , 2].
2
(4.2)
Cap ´ ´ıtulo 4. Series de Fourier
Soluci´ on. Conociendo que el intervalo de representaci representaci´on o´ n es [0, [0, 2], la frecuencia fundamental es
coeficientes de la serie son encontrados encontrados como: ω0 = π = π y los coeficientes
cn =
2
1 2
= x(t)e− jnπt dt dt =
0
2
Si n = n = 0 entonces: 1
1 c0 = 2
1
1
e− jnπ t dt −
2
0
2
1
e− jnπt dt .
1
2
1 dt − 2
dt dt = = 0 .
0
0
Por otro lado, si n = 0 entonces:
1 cn = 2 =
e− jnπt − jnπ
1
e− jnπt − − jnπ 0
2 1
1 jn2 2π 1 − e− jnπ + e− jn − e− jnπ 2 jnπ
1 = 2 − 2e− jnπ = 2 jnπ
0 n par
2 jnπ
n impar
.
Por tal motivo, la serie exponencial viene dada por: ∞
x(t) =
n=−∞ n impar
4.1.2. 4.1 .2.
2 jnπ t jnπ e
0 < t < 2 .
Conver Convergen gencia cia de la SEF
Las condiciones bajo las cuales una senal n˜ al x x((t) puede ser representada como una serie exponencial de Fourier, sobre un intervalo [t conocen como condiciones de Dirichlet y est´ estaan ´ n dadas por: [ t1 , t2 ], se conocen 1. x(t) tiene un n´ numero u´ mero finito de m´ maximos a´ ximos y m´ m´ınimos ınimos en el interv intervalo alo [t [ t1 , t2 ]. 2. x(t) tiene un n´ numero u´ mero finito de discontinuidades en el intervalo [t [t1 , t2 ]. 3. x(t) es integrable en magnitud en el intervalo [t [ t1 , t2 ], es decir, t2
|x(t)| dt < ∞ .
t1
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, la serie converge a la se nal n˜ al en todos los tiempo donde la se se˜nal n˜ al es continua, y para los tiempos en los cuales x( x (t) es discontinua converge al promedio de la − discontinuidad, es decir, al promedio entre x x((t ) y x( x(t+ ), como se ilustra en la Figura 4.1. 3
Cap ´ ´ıtulo 4. Series de Fourier
)
) x(t )
x (t x (t
2 x (t )
Figura 4.1: Convergencia de la serie en los tiempos de discontinuidad.
Se puede comprobar que las condiciones de Dirichlet se cumplen si la se n nal ˜ al x( energ´ııaa finita x(t) tiene energ´ nal de S t1 ,t2 puede ser en el intervalo [t1 , t2 ], es decir, si x(t) ∈ S t1 ,t2 . Por tal motivo, toda se˜nal representada como una serie exponencial de Fourier sobre el intervalo de tiempo [t [ t1 , t2 ].
Propiedad 4.2. Si la senal ˜ x x((t) cumple la Condicion ´ 3 de Dirichlet, entonces todos los coeficientes de su serie exponencial de Fourier tienen magnitud finita. Demostraci´ Demostraci on. ´
|cn | =
1 t2 − t1
1 ≤ t2 − t1
4.1.3. 4.1 .3.
t2
x(t)e− jnω t dt ≤ 0
t1
t2
|x (t)| e− jnω
0
t
t1
1 t2 − t1
t2
x(t)e− jnω
0
t
t1
1 dt ≤ t2 − t1
t2
dt
|x (t)| dt
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