Serie Dipole RC-2012

Exercices chapitre 6 : le dipôle RC Exercice 1 Utiliser la loi d’additivité des tensions On souhaite réaliser l’étude de la charge d’un condensateur initialement déchargé à l’aide du montage ci-contre. ci-contre. Un système d’acquisition  permet  permet d’acquérir d’acquérir s imultanément multanément la tension tension u G aux bornes bornes du générateur généra teur de tensi te nsion on contin c ontinue ue,, la tension u BM  aux bornes du conducteur ohmique de résistance  R. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur  K . 1.

i(t)

Représenter sur sur le le schéma les tensions tensions u AB et u BM. .

2. La masse masse du montage montage étant étant en  M , représenter sur s ur le schéma ci-contre c i-contre les connexions à l’ordinateur permetta perme ttant nt de visual visualiser iser les tensio tens ions ns u G et u BM .. 3. Comment à l’aide du logiciel peut -on déduire de uG et variations de la tension u AB aux bornes du condensateur. Justifier.

u BM 

les

obtient sur s ur l’écran ’éc ran de l’ordinateur le graphe 4. On obtient ci-contre. 4.1 Associer à chaque courbe la tension qui lui correspon corres pond. d. Justifier. Justifier. 4.2. A la date t  = 2,0 s déterminer déterminer les valeurs des tensions u G , u AB et u BM .. Ces valeurs valeurs sont-elles so nt-elles cohérentes avec la loi d’additivité des tensions ? 4.3. En appliquant la loi d’Ohm, justifier le sens du courant dans le circuit circuit ainsi que que le signe signe des charges cha rges accumulées accumulées sur armatures du condensateur.

Exercice 2 capacité.

Repérer la charge et la décharge d’un condensateur

On réalise le montage montage du document ci-contre c i-contre comportant un u n di d ipôl pô le RC. On étudie les variations de la tension aux bornes du condensateur ainsi que les variations variations de l’intensité l’ intensité du courant dans le circuit lors de la charge, puis lors de la décharge décharge du condensateur.

: déterm déte rmina ination tion de la

 A

Le condensateur est initialement déchargé. A la date t  = 0, l’ interrupteur est basculé en position 1. Un dispositi disposit if  informatisé permet d’acquérir simultanément la tension u AB aux bornes du condensateur et u BN  aux bornes du conducteur ohmique. Le cond c ondensate ensateur ur étant com c omplètement plètement chargé, on bascul basc ulee l’ interrupteur en position 2 et le dispositif informatisé acquiert alors à nouveau simultanément les tensions u AB et u BN  . On appellera également t = 0 la date du début de la décharge du condensateur.

Données : uPN  = 6,0 V ;  R = 2000 . 1.

Indiquer, en justifi just ifiant ant la réponse, laquelle de ces tensions tensions u AB ou u BN  représente à un coefficient près :

a.

la charge q A de l’armature  A du condensateur.

b.

l’intensité i du courant.

2.

Etablir la relation entre i et u AB à une date t  quelconque.

3. Après traitement des acquisit acquisitiions obtenues à la charge et à la décharge, on obti obt ient les 4 graphes graphes A, B, C et D. représentés ci-après. En vous a idant s i nécessaire, néce ssaire, des conditions initia initialles de c harge ou de décharge, de la loi d’Ohm, de la loi d’additivité d’additivité des tens ions, de la relati relat ion établie en 2 ou de la continuité continu ité de la tension te nsion aux bornes du condensateur, condens ateur, just justifier ifier quel est es t le graphe qui correspond corre spond : a.

à la tension u AB aux bornes du condensateur condensateur lors de la décharg déchar ge ;

b.

à la tension tension u AB aux bornes du condensateur condensateur lors de la charge cha rge ;

c.

à l’intensité i du courant dans le circuit circuit lors de la charge ;

d.

à l’intensité i du courant dans le circuit lors de la décha décharge. rge.

On préci préc isera les unités unités utilisée utiliséess sur les axes a xes des ordonnée ordonnéess des graphes, en s’app s ’appuyant uyant sur des données données ou sur un calcul.

4.

Déter Dé termi miner ner la capacité C  du condensateur.

Exercice 3 Déch Dé charge arge d’un co nd ndee nsate ur da ns une rés istance : é tablis tablissement sement de l’équation différentielle ; diss ipation ipation d’énergie. Un condensateur, chargé depuis depuis un temps très long sous une tensi tens ion de  E = 6,0 V est es t plac placéé dans le circuit ci-contre. c i-contre. A la date da te t  = 0, on ferme fer me l’ interrupteur ( non représ r eprésenté enté sur le schéma ).

Données : R = 2000

: C = 200 F.

1. Quelle est la val va leur de la la charge c harge initia initia lement emmagasinée emmagasinée par l’armature A du condensateur. Placer sur le schéma, les signes signes des charges c harges déposées sur les armatures. 2.

Calculer l’énergie initialement emmagasiné e par le condensateur.

3.

Etablir une relation entre les les tensio tens ions ns uC  et u R .

4. Etablir Etablir la relati relat ion entre i et u C  à partir des relations charge-intensité et charge-tension. 5.

). Etablir l’équation différentielle vérifiée par  uC  (t ).

6. On propose comme solution de l’équation différentielle u C (t ) =  A exp ( - t /  ). Etablir Etablir les expressi express ions de  A et en fonction de  R, C  et  E . 7.

Calculer la constante consta nte de temps

du dipôle dipôle RC.

8.

Etablir l’expression de i en fonction du temps t , de de  E , de de  R et de C .

9.

Quelle est es t en mA, la valeur de i(0) ? Interpréter le signe signe de i(0) ?

10. Quelle sont les les limite limitess de u C  et de i lorsque t  tend vers l’infini. 11. Tracer les allures allures des courbes représentant uC  (t ) et i(t ) pour t  vari varian antt entr entre les particularités des fonctions u C  (t ) et i(t ) au passage par la date t = 0s?

et +

. Quel Quellles sont sont

12. 12. Déterminer l’énergie dissipée par le condensateur ? diss ipée à votre avis ? condensateur ? Sous quelle forme s’est-ell s’est-ellee diss Comment peut-on expliquer la particularité que présente uC (t ) au passage par la date t = 0 s.

1

 K 

Exercice 4 Déch Dé cha a rge d’un condensateur condensate ur dans un un a utre utre

+

condensateur

Le circuit ci-contre comprend en parallèle deux condensateurs 1 et 2 initialement initialement déchargés de capacités respectives respectives C 1 = 1,0 F et C 2 = 3,0 F et un générateur géné rateur de tensi tens ion continue c ontinue délivrant à ses bornes une tension uG = 12,0 V.

2

uG

C  2

C 1 -

On charge dans un prem premiier temps le condensateur co ndensateur 1 en plaçant l’interrupteur  K  en position 1. Puis on  place  place l’interrupteur ’interrupteur en posi position tion 2. On admet admet que que dans cette opérati opération, on, il n’y a pas pas de perte de charges charges électriques. 1. Calculer Calculer la charge Q1 portée par le condensateur 1 à la fin de sa charge puis l’énergie  E 1 qu’il a emmagasiné. 2. A la fin du processus proces sus de décharge un état d’équilibre d’équilibre électrique électrique est attein a tteint. t. Calculer Calculer dans ces conditions : a.

la tensio tens ion n U  aux bornes des deux condensateurs.

b.

les charges cha rges finales finales Q’ 1 et Q’ 2 portées par les condensateurs 1 et 2.

c.

l’énergie totale  E  emmagasinée par le système des deux condensateurs.

3.

Comparer  E  à  E 1. Interpréter.

Exercice 5 Etude énergétique de la charge d’un condensateur On réalise le montage de la figure ci-contre dans dans le but d’étudier  les transferts d’énergie lors de la charge du condensateur d’un dipôle RC. Initia Initiallement en position 2 pendant un u n temps suffi suff isant, le commutateur est basculé en position 1 à la date t = 0.

i

Grâce à un système système informatisé, on réali réa lise se l’acquis l’acquis ition de la tension u C  aux bornes du condensateur.

Données : R = 2000

; C = 400

1

F

1. Un log logiiciel de traitement de donnée donnéess permet, à partir de la la tension u C (t ), ), de tracer i(t ) puis la puissance P(t) électrique transférée au condensateur.

2

1.1. Quelle relation existe-t-il entre i(t ) et u C (t ) ? 1.2. Quelle est la relation permettant au logiciel de calculer P(t), à partir de i(t ) et u C (t ) ? 1.3. L’énergie acquise  E e(t ) par pa r le le condensateur au cours du temps peut être calculée calculée par la relation relation :  E e(t ) =

t  0

P ( t ') d t ' .

2 (t ) . Montrer Montrer que  E e(t ) = 1 C uC  2

2. Le document document ci-après représe nte nte trois courbes sans indicat indicat ions ions de la grandeur représentée représe ntée en ordonnées.

temps (s)

2.1. Attribuer à chacune des grandeurs uc(t), i(t ) et P(t), la courbe qui lui correspond et préciser les unités employées sur les axes des ordonnées des graphes i(t ) et P(t) sachant que sur le graphe uc(t) la tension est exprimée en volt. Justifier. 2.2. Indiquer sur le graphique approprié comment on pourrait déterminer graphiquement l’énergie emmagasinée par le condensateur à la date t = 2,0 s. 2.3. Détermi Déte rminer ner graphiquement graphiquement la constante de de temps temps théorique.

du condensateur co ndensateur et comparer comparer à la va va leur

3. Le document ci-contre ci-contre représente l’évolution temporelle de l’énergie  E e emmagasin emmagas inée ée condensateur

par le

3.1 Sachant que la puissance instantanée P(t) reçue par le condensateur est la dérivée de  E e(t), expliquer l’allure du graphe P(t). 3.2. Déterminer graphiquement la valeur de l’énergie emmagasinée par le conde nsateur lorsque la charge est terminée. 3.3. Calculer à partir des données l’énergie finale emmagasinée par le condensateur  . Compare Comparerr les deux valeurs obtenues.

Exercice 6 Tension triangulaire aux bornes d’un condensateur contre et l’on visualise sur l’écran d’un On a réalisé le montage cici-contre oscilloscope : 

la tension u C  aux bornes du condensateur de capacité C  ( tension triangulai triangu laire re ) sur s ur la voie 2



la tension u R aux bornes borne s du conducteur c onducteur ohmique ohmique de d e résistance ré sistance  R = 1,0 k . su sur la la vo voie 1. 1.

On obtient l’oscillogramme ci ci-après. -après. 1. Indiquer les connexions du montage à l’oscilloscope pour visualiser les tensions u C  et u R : on indiquera la masse du montage et l’on indiquera quelle voie il faudra fa udra « invers inverser er » ( changement c hangement de u en - u ). 2.

Quelle relation relation exi ex iste-tste -t-il il entre l’intensité i du courant dans le circuit et la tension u R ?

3.

Quel est l’intérêt de visualiser la tension u R ?

l’intensité 4. Quelle est l’expression de l’in tensité i du courant en fonction de la tension u C  aux bornes du condensateur ? 5.

On s’intéresse à l’intervalle de temps [ T 1 ; T 2 ] .

5.1. Comment évolue uC(t ) sur cet intervalle de temps ? 5.2. Calculer

duC  dt 

.

5.3. Justifier la forme de l’oscillogramme de u R (t ). ). 5.4. Calculer la valeur de l’intensité i du courant. 5.5. Calculer la capacité du condensateur. 6.

Justifier Justif ier le changement cha ngement de de signe de i après la date T 2.

Données 

Sensibilité Sensibil ité verticale vertica le : voie 1 : 0,5 V/DIV V/D IV ; voie voie 2 : 2 V/DIV V/D IV



Sensibilité Sensibilité horizonta horizontalle : 1 ms/DIV. ms/DIV.

C 

 R

Exercice 7 Tension en créneaux appliquée à un dipôle RC Une cellule RC est constituée d’un condensateur de capacité C = 10 nF et d’un conducteur conduct eur ohmique de résistance  R = 2,2 2,2 k . Elle est est soumise soumise à une tensi tens ion créneaux cré neaux (0, 5V ) , de fréquence 1 kHz. ( cf  schéma ci-contre ). On réal réa lise le montage m ontage ci-contre. ci-contre . Un oscilloscope permet de visualiser visualiser la tension d’entrée ue sur la voie 1 et e t la tension tens ion de sortie u S  sur la voie 2.

A.

l’interrupteur  K  est

ouvert.

1. Représenter les connexions à l’oscilloscope pour visualiser les tensions u e et uS . 2. Lorsque la la tens tensio ion n u e prend la la valeur 5V à la date t  = 0 le condensateur, initialement déchargé, se charge. ut ilisant sant la loi d’additivi d’additiv ité des tens ion et e t la loi lo i d’Ohm 2.1. Justifier, en utili comment évolue l’intensité du courant dans le conducteur ohmique pré ciserr la valeur initiale i nitiale de la  pendant  pendant l’ intervall ntervallee de temps [0, T/ 2 ] et précise tension de sortie u S . 2.2. Calculer Calculer la constante de temps de la la cellule cellule RC et la la compare comparerr à la durée T/ 2 de la phase de charge c harge.. Conclure. 2.3. Représenter, l’allure  /2] l’allure du graphe uS (t ) pendant l’intervalle l’inte rvalle de temps [0,T  générate ur passe brutalement brutalement à la valeur 0V. Dans l’intervalle de temps 3. A la date T   /2, la tension tension u e du générateur [T/ 2 ; T ], le condensateur se décharge. 3.1. Expliquer pourquoi pourquo i la tension tens ion de sortie u S  devient négative à la date T   /2. Décrire, en justifiant, ustifiant, l’évolution de uS (t) dans l’intervalle de temps [T   /2 ; T ]. 3.2. Compléte Compléterr aalo lors rs sur le sch sc héma de la la figure figure 1.3, le graphe u S (t) dans l’intervalle  /2 ; T ]. l’intervalle de temps [T  l’interva lle de temps [0, 4T ]. 3.3 Représenter l’allure du graphe uS (t ) dan s l’interva 3.4. Représenter , au dessous du graphe de la question 2.3, le graphe de uC (t) aux bornes condensateur en convention récepteur récepteur dans l’intervalle ’intervalle de temps [0, 4T ].

B.

On ferme l’interrupteur  K 

La diode est supposée idéale ce qui signifie qu’elle se comporte comme un fil sans résistance lorsqu’elle est es t passante pass ante ( la tension te nsion à ses s es bornes e st alors nulle nulle ) et comm c ommee un interrupteur ouvert lorsqu’ell orsqu’e llee est bloquée. Comment est modifié modifié l’oscillogramme de la tension de sortie sort ie dans l’intervalle [0, 4 T  ] ? Représenter 4. Comment son allure.

Exercice 8 : stockage

d’énergie :

le flash électronique

 L’énergie  L’énergie libérée libérée en un temps très bref bref par l’éclair l’éclair d’un flash est e st au préalable préalable stockée stockée dans dans un condensateur condensateur de grande grande capacité, capacité, chargé chargé par quat qua tre piles en série équivalente équivalente à un générateur générateur de f .é.m. .é.m. U = 6V. Elles Elles pe uvent fournir une énergie totale e = 18 kJ lorsqu’elles sont neuves. On admettra que pour un fonctionnement optimal, la  moitié  moitié de cette énergie énergie est transférab ransférable le au condensateur. Au-delà, les piles doivent être changées.  Le mode d’emploi d’emploi du flash Minolta 5400 HS indique, pour une alimentation alimentation par quatre piles a lcali lcalines nes de type AA :

Autonomie

Temps de recharge après un éclair

( en nombre nombre d’éclairs d’éclairs )

( en secondes )

100 à 3500

0,2 à

11

 L’autonomie  L’autonomie indique le nombre d’éclairs possibles avant de changer de piles. La durée de l’éclair peut  être limitée limitée par un circuit électroni électron ique, ce qui q ui explique les fourchettes de d e données.  Les indicati indications ons en gras correspondent correspondent à des éclairs d’intensité lumineuse et de durée maximales, résultant  de la décharge du condensateur.

utilisant les donn d onnées ées du mode d’emploi, cal ca lcul cu ler la val va leur de l’énergi ’éner giee libérée par un écl éc lair  1. En utilisant d’intensité lumineuse et de durée maximales. maximales. 2. En déduire la capacité ca pacité C  du condensateur qui a été chargé sous la tension constante U’ = 300 V qui est une tension amplifiée grâce à un dispositif électronique approprié. 3. En utilisant les données du mode d’emplo i, donner un ordre de grandeur de la la constante de temps du circuit circuit de charge. 4.

En déduire déduire l’ordre de grandeur de la résistance à travers laquelle laquelle s’est s’e st chargé le condensate condensateur. ur.

Exercice 9 : princi princip pe

de fonc fonc tionnement tionnement d’une

minuterie

L'objet L'objet de cet c et exercice e xercice est d'étudier d'étudier le pri pr inci nc ipe de fonctionnement fonctionnement d'une minuterie minuterie permettant d'étei d'éte indre une lampe automatiquement au bout d'une durée t 0 réglable. Le montage du circuit électrique est constitué : 

d'un générateur générate ur idéa idéall de tensi tens ion, de force électromotrice électromotrice E = 30 V.



d'un interrupteur K .



d'un conducteur ohmique de résistance R.



d'un condensateur de capacité C .



d'un bouton poussoir P qui joue le rôle d'un interrupteur: il est fermé seulement quand on appuie dessus.



d'un composant électronique  M  qui permet l'allumage de la lampe  L tant que la tension aux bornes du condensateur est inférieure à une tension limite, caractéristique du composant, notée U  (dans tout l'exercice on fixera U  à une valeur constante égale à 20 V).

Le composant électronique  M  possède une alimentation électrique propre (non représentée sur le schéma) qui lui fournit fournit l'énergi 'é nergiee nécessa né cessaiire à l'allum l'allumage age de la lampe. De ce fait, on admettra que le composant électronique M  ne perturbe pas le fonctionnement du circuit RC, c'est-àdire que que la ten te ns ion aux bornes bornes du cond condee ns ate ate ur est identique que que  M soit présent ou non dans le circuit.

 A

K   R

+

 E 

 –

P

u

C 

 M 

 L

 D

I - Étude du circuit RC A l'instant initial (t = 0 s), le condensateur est déchargé. On ferme l'interrupteur K , le bouton poussoir P est relâché (voir schéma ci-dessus). 1. On souhaite souhaite visualiser les les variations variations de la tension tension uC  aux bornes du condensateur en fonction du temps à l'aide d'un oscilloscope oscilloscope à mémoi mémoire. Indiquer les branchements à réal éa liser (voie (voie 1 et e t masse) masse ) sur le le schéma du montage. montage. 2. Montrer que que l'équation différentielle différ entielle donnant les variatio variat ions ns de la tensio tens ion n uC (t) aux bornes du condensateur en fonction du temps est de la forme : u c(t) + RC

duc (t ) =E dt  -t/ 

3.a. En vér vér if iant que la fonction du temps uc(t) =  A (1 - e ) est solution de l'équation différentielle précédente montrer que  A = E et que = R.C   R.C . 3.b. Quelle est la valeur valeur de uC  en régime permanent ? 3.c. Quel est le nom nom donné donné à la la constante .

? A l'a ide d'une d'une analyse dimensionne dimensionnell lle, e, donner l'unité 'u nité de la constante

4. La représentatio représenta tion n graphique graph ique de la fonction uC (t) est donnée donnée sur la figure figure ci-contre. Faire apparaître  justifi  justification cation :

sur

ce

graphe

sans

-

la tension E,

-

la constante

-

les régimes régimes permanent et transitoi transitoire. re.

aucune

,

5. Calculer Calculer la val va leur de la constante 100 k et C = 200 µF.

pour pour  R =

6.a. Donner l'expression littérale de la date t 0 à laquelle la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur limite U  en fonction de U  , E et . (t 0 est es t la la durée d'all d'a llumage umage de la lampe). lampe) . 6.b. Calculer la valeur de t 0 et vérifier la validité du résultat à l'aide du graphe uC (t) ci-avant. 6.c. On a fixé U  à 20 V pour obtenir une durée d'allumage t 0 vois vois ine ine de . Pour quelle raison choisir t 0 très supérieur à , n'aurai n'a uraitt pas été judic judicieux ieux pour un tel montage ? 7. Quel(s) para paramètre(s) mètre(s) du du montage montage peut-on peut-on modif modif ier sans sa ns changer le le générateur générate ur afin afin d'augmenter d'augmenter la la durée d'allumage de la lampe ?En fixant C = 200 µF quelle valeur doit-on donner à la résistance R pour obtenir une constante de temps d'une minute ? 8.

On appuie sur le le bouton-poussoi bouton-pousso ir. Que vaut la tension aux bornes bornes du condensateur condensa teur ? La comparer comparer à U . Que

se passe-t-il pour pour la lampe dans les cas suivants : 8.a. la lampe est es t déjà déjà allum allumée ée ? 8.b. la lampe est éteinte éteinte ?

II - Méthode d'Euler On se propose maintenant de résoudre numériquement l'équation différentielle établie à la question I-2,  R et C  conservant les valeurs R = 100 k et C = 200 µF . 1. A parti pa rtirr de cette équation équation différentielle, donner la relation entre la dérivée dérivée

duc(t) dt 

La méthode d'Euler permet de calculer calculer success succ essiivement les valeurs de u C (t) et de réguliers réguliers notés

t appelé

et la tensio tens ion n uC (t).

duc(t) dt 

à des intervalles de de temps

le pas . En prenant un pas suffisamment petit on peut écrire la relation : uC (t + t) = uC (t) +

duc(t) dt 

. t

Pour cette étude, on prend un pas égal à t = 2 s. 2. Justifier la relation précédente en considéra considérant nt que que pour pour le pas choisi, on peut assimiler assimiler la déri dér ivée de ta ux de variatio va riation n de la fonction fonc tion uC (t) entre les dates t  et t  + t. uC (t) au point d’abscisse t , au taux 3. En utilisant l'e l'expression xpression littérale littérale cici- dessus, compléter, compléter, dans dans le tablea tableau u ci-après, ci-après , les les colonnes colonnes correspondant aux dates t = 2 s et t = 4 s.

t (s)

0

uC (t) duc(t) dt 

2

4

6

8

10

12

…

20

0

8,14

10,3

12,3

14,1

…

19,6

1,50 1,50

1,09

0,99

0,89

0,80 0,80

…

0,52

4. Le document document ci-après représente un agrandissement de la courbe u C (t) de la courbe expérimentale uC  (t). Tracer sur ce graphe graphe la partie du du graphe graphe u C (t) correspondant à ce tableau. Que constatez-vous ?

5. On peut améliorer la la préc préciis ion de la la méthode méthode d'Euler en modifiant la la valeur valeur du du pas t. Quelle Quelle modificat modificatiion pourrait-on apporter à la valeur du pas t ? Quel serait l'inconvénient l'inconvén ient de cette cett e modi modiff ication ?