Serie de Taylor Taylor Daniela Cando, Erik Erik Muso, Carlos Ortí Ortí Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas-ESPE Sangolquí, Ecuador
[email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected]
This paper paper expl explai ains ns the the way way to Abstract- This dete etermi rmine the the best best polyn polynom omial ial appro approxim ximati ation on allows any value of f ( x ) for a given function, giving an almost exact response with minimal errors , using the mathematical tool called Taylor Series . Also presents didact didactic ic examp examples les to unde underst rstand and its use use and and corre correct ct application It explains the operation and implementation of the Taylor series in atlab as a tool for for dec decisio ision, n, and and inte interrpre pretati tatio on thr through ugh the the charac character terist istic ic polyno polynomi mial al and compar compariso ison n charts charts.. A brie brieff comp compar aris ison on with with sim similar ilar meth method odss are are also also discussed.
$stos t#rminos se calculan a partir de las deri%adas de la unci"n unci"n para un determinad determinadoo %alor de la %aria&le 'respecto 'respecto de la cual se deri%a() lo que in%olucra un punto espec*ico so&re la unci"n. La implementaci"n del m#todo en +atla& nos permitirá compro&ar que las operaciones reali,adas sean correctas) y entender entender de me-or manera el m#todo m#todo mediante mediante las ráicas ráicas de los primero) seundo t#rminos de la serie y inalmente de la Serie de Taylor completa.
!eywords " polynomial, series , uni#ueness, derived, interpolation, function holomorphic, integral field.
/UND0+$NTO T$ÓRICO
II. Resumen $ %l presente presente document documento o tiene por ob&etivo ob&etivo exp explica licarr la maner anera a a trav trav's 's de la cual cual se pue puede determinar el me&or polinomio #ue permita aproximar cual#uier valor de f(x) para una funcin dada, dando una respuesta casi exacta con errores mnimos, mediante la herramienta matem*tica denominada Serie de Taylor y presenta e&emplos did*cticos para comprender su uso y correcta aplicacin. Adem*s explica el funcionamiento e implementacin de la Serie de Taylor en atlab como herramienta de resolucin, e interpretacin a trav's del polinomio caracterstico y comparacin entre gr*ficas. Tambi'n se hace una breve comparacin con m'todos similares.
+alabras lave" polinomio, serie, singularidad, derivada, funcin, interpolacin , funcin holomorfa, integral de campo.
I.
A. Definición
La serie de Taylor de una unci"n 12 real o comple-a 3'!( ininitamente dierencia&le en el entorno de un n4mero real o comple-o c es la siuiente serie de potencias5
f ( c ) f ( c ) f ( c ) 2 3 ( x ( x ( x f ( ( c ) + x −c ) + x − c ) + x − c ) + … 1! 2! 3! '
' ' '
6ue puede ser escrito de una manera más compacta como la siuiente sumatoria5
NTRODUCCIÓN I NTRODUCCIÓN
∞
∑ =
La serie de Taylor es una herramienta matemática que si se usa apropiadamente acilita mucho los cálculos de apro!imaci"n de unciones.
n
0
( n)
f
(c )
n!
n x −c ) ( x
%c. - Serie de Taylor
Una Una seri seriee de Taylor lor es un unaa repr repres esen enta taci ci"n "n de una unci"n como una ininita suma de t#rminos. t#rminos . er!"#
' '
Donde5
n7 es el actorial de n
( n)
f ( a ) f ( a ) f ( a ) f ( x )= f ( a ) + ( x −a )+ ( x − a )2 + … + ( x − a )n n! 1! 2! '
' '
Serie de Taylor ( n)
f ( c )
Denota
la
n8#sima deri%ada de para
el
%alor a de la %aria&le respecto de la cual se deri%a.
=( >enta-as de la Serie de Taylor $sta representaci"n tiene tres %enta-as importantes. •
Si c9: se conoce como serie de +aclaurin de . er !$#% Demostraci"n
•
f ( x )=a 0+ a1 ( x −a ) + a 2( x −a ) + a3 ( x − a ) + … + an ( 2
3
•
/unci"n Inicial '
La deri%aci"n e interaci"n de una de estas series se puede reali,ar t#rmino a t#rmino) que resultan operaciones tri%iales. Se puede utili,ar para calcular %alores apro!imados de la unci"n. $s posi&le demostrar que) si es %ia&le la transormaci"n de una unci"n a una serie de Taylor) es la "ptima apro!imaci"n posi&le. er !"#
2
f ( x )=a1 + 2. a2 ( x −a ) + 3. a3 ( x −a ) + … + n . an ( x − ;rimera deri%ada '
f ( x )=2. a2 + 2.3. a 3 ( x − a ) + … + ( n −1 ) . n . an ( x −a )
n
B. Estrategia de clculo de la !erie de "a#lor •
(⋮)
Seunda deri%ada
Deri%ar '!( %arias %eces y e%aluar las deri%adas en c. ( n)
f ( c ) , f ( c ) , f ( c ) , … , f ( c ) '
f ( x )= a n . n . ( n−1 ) . ( n−2 ) … .1= an .n ! n
' '
' ''
n8#sima deri%ada x =a $%aluar la unci"n y sus deri%adas en el punto
•
?uscar la secuencia de n4meros
•
Usar esa secuencia para ormar los coeicientes de
a
(n )
Taylor
f ( a )= a0
f ( c ) an = ) y determinar el inter%alo n!
de con%erencia de la serie de potencias resultante
f ' ( a ) =a1
( ) ( ) f ( c ) ( x −c ) + f c ( x − c )2 + f c ( x − c )3 + … f ( c ) + 1! 2! 3! '
f ' ' ( a ) =2. a2 <
a2=
f ' ' ' ( a )=3.2 . a3 <
f ' ' ( a )
f
' ' '
2
a3 =
f ' ' ' ( a )
•
0%eriuar si) en ese inter%alo de con%erencia) la serie con%ere a '!( o no.
3.2
(⋮) ( n)
' '
C. E$em%los de clculos
( a )= an .n !
(n )
3
f ( a ) = a n < n!
Tomando '!( 9 sen'!() ormar la serie de Taylor
Deri%ando %arias %eces '!( tenemos que5
Si e!presamos todos estos %alores en una sumatoria como lo anuncia la Serie de Taylor tenemos que5
(−1 )n x n+ f ( x )= x − + − + … + 3! 5! 7! (2 n +1 ) ! x
f ( x )= sen ( x )
f ( 0 )=0
f ( x )=cos ( x )
f ( 0 )=1
'
'
f ( x ) =−sen ( x ) ' '
( 0 ) =0
' '
f
( 3)
f
(4 )
f
( 5)
f
f ( x ) =−cos ( x )
f ( x ) = sen ( x ) f ( x ) =cos ( x )
( 3)
( 0 )=−1
(4 )
( 0 )=0
( 5)
( 0 ) =1
3
x
5
x
7
2
1
$l criterio del cociente aseura que la serie con%ere para todo %alor de !. ;ara representar ráicamente de&emos tener en cuenta que) mientras más t#rminos de la serie se utilicen el raico se a-ustará mas al real) por lo cual tendremos un %alor de apro!imaci"n muy cercano) sin errores.
@ as* sucesi%amente) se puede o&ser%ar que la secuencia se repite tras la tercera deri%aci"n) si reempla,amos cada %alor o&tenido de las deri%aciones tendr*amos5
a0 =
a1 =
a2 =
a3 =
a 4=
a5 =
0 0!
1 1!
0 2!
0
( x − 0 ) =0 ig. - Aproximacin de Taylor con un t'rmino. (/ernande0 1 2u3e0, 4556) 1
( x −0 ) = x
2
( x −0 ) =0
−1 −1 ( x −0 ) = x 3
3!
0 4!
1 5!
3
3!
4
( x −0 ) = 0
5
1
( x −0 ) = x
5
5!
Como podemos o&ser%ar los %alores pares siempre son : por lo cual no orman parte de la serie.
ig. 4 Aproximacin de Taylor con dos t 'rminos. (/ernande0 1 2u3e0, 4556)
ig. 7 Aproximacin de Taylor con tres t'r minos. (/ernande0 1 2u3e0, 4556)
ig. 9 :esarrollo en series de funciones fundamentales. (;.
+0NU0L D$ USU0RIO
/i. =E Captura de pantalla P
•
$n este campo de&eremos inresar una unci"n que dependa de la %aria&le 1!2) presionamos $NT$R) y se despleara lo siuiente5
Si en una Serie de Taylor el %alor que tomamos para anali,ar los %alores de la deri%ada es c9:) se conoce como serie de +aclaurin de '!( ;ara que una unci"n coincida con la suma de su serie de Taylor es necesario que sus deri%adas sucesi%as no tenan un tamao desmesurado. $!isten otros m#todos similares a Series de Taylor) pero para aplicaciones y de diicultad dierentes) la serie de Laurent más completa que Taylor) pero siniica tam&i#n un procedimiento dierente y un poco mas comple-o +atla& es una herramienta que nos permite reali,ar procesos l"icos) matemáticos de manera sistemática) como reali,ar el proceso de Serie de Taylor mediante proramaci"n) ahorrándonos tiempo) o&teniendo %alores conia&les y permiti#ndonos anali,ar la unci"n mediante %arios ráicos enerados por la aplicaci"n.
/i. = Captura de pantalla Q •
@ se muestra los resultados del prorama.
R $/$R$NCI0S = 0n"nimo. 'E de Octu&re de E:=P(. &i'ipedia. O&tenido de5 http5MMes.iVipedia.orMiViMSerieWdeWTaylor
>.
CONCLUSION$S
+ediante Series de Taylor se utili,an unciones polin"micas en luar de unciones de mayor comple-idad para anali,ar el comportamiento de una unci"n) acilitando as* la determinaci"n de sus %alores. $s necesario utili,ar %arios terminas de la Serie de Taylor si se quiere o&tener una &uena apro!imaci"n a la unci"n real. No todas las unciones pueden ser apro!imadas usando un polinomio y en particular por la Serie de Taylor) ya que presentan aluna sinularidad. Los polinomios pueden considerarse las unciones más sencillas de todas. Son unciones continuas para todo ! y tienen deri%adas de cualquier orden.
E Sánche, Cano) X. 0. 'E::P(. +YTODO D$ S$RI$S D$ T0@LOR. Lima5 ;u&licaciones.
?I?LIOJR0/G0 Bernande,) B.) Nue,) L. 'E::F(. +atematica a%an,ada para inenieros. +adrid5 Saa%edra. OANeil) ;. >. 'E::(. +atematicas a%an,adas para inenieria. +e!ico5 Cenae Learnin) Inc. Zline) +. '=:( (at)ematical *)oug)t +rom Ancient to (odern *imes. O!ord Uni%ersity ;ress. pp. Q8[.?oyer) C. and +er,&ach) U. '==( A istor o+ (at)ematics. Xohn \iley and Sons. pp. E:E8E:.
