Serie de Fourier en MatLab

 

Serie  de  Fourier   Señales  y  Sistemas   Facundo  Ramón  

RESUMEN   Representación,  con  un  algoritmo  creado  en  MatLab  R2010a,  de  una  señal   periódica  con  la  Serie  de  Fourier  y  análisis.                          

 

        Universidad  Nacional  de  Tres  de  Febrero   Ingeniería  de  Sonido   1er  Cuatrimestre  2011  

 

Seminario  Señales  y  Sistemas  

 

Ramón  Facundo  

Objetivo   El   objetivo   del   trabajo   es   calcular   los   coeficientes   de   Fourier   para   la   siguiente   función.      

(1)   Y  obtener  un  algoritmo  que  pueda  graficar  la  serie  y  permita  variar  su  número  de   armónicos  para  poder  apreciar  las  diferentes  aproximaciones.  

Cálculo  de  los  Coeficientes   Primero  es  pertinente  definir  la  serie  de  Fourier.    

 

 

(2)  

(3)  

 

(4)   Ahora  se  puede  proceder  al  cálculo  de  los  coeficientes  !!  y  !!  relacionados  a  !(!).   Se  considera  a  !(!)  una  función  periódica  de  periodo  ! = 4,  y  se  toma  el  intervalo   [−2,2]  para  la  integración.    

  Ahora  se  calcula  !! .    

(5)  

  (6)   Para  resolver  (6)  es  necesario  realizar  un  cambio  de  variables.    

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(7)  

Aplicando  (7)  en  (6)  se  obtiene:       (8)  

Resolviendo  (8)  se  llega  al  valor  de  !! .      

(9)   Dado   que  !(!)  es   una   función   impar,   los   componentes   pares   de   su   serie   de   Fourier   son  nulos.  Es  por  esto  que  !!  es  siempre  nula.   Ahora  se  calcula  !! .    

  (10)   Al   igual   que   en   el   caso   anterior,   es   necesario   realizar   un   cambio   de   variables.   Se   usa  el  cambio  realizado  en  (7).  Y  aplicando  en  (10)  se  obtiene.       (11)  

Resolviendo  (11)  se  obtiene  el  valor  de  !! .        

(12)   Analizando   (12)   se   puede   observar   que   valdrá   cero   cuando  !  sea   par,   dado   que   ! para  !  par  cos !" = 1.  Mientras  que  para  !  impar  !! = !"  .  Por  lo  tanto:    

 

(13)  

Desarrollo  del  Algoritmo   Con  los  coeficientes  calculados  manualmente,  es  posible  realizar  un  algoritmo  que   realice  las  sumatorias  de  la  ecuación  (2).  

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Ramón  Facundo  

Se  crea  una  variable  N  la  cuál  define  el  número  de  armónicos  que  tendrá  la  serie.   Luego   se   crea   un   vector   x   que   cubre   el   intervalo   de  [−2,2]  de   integración   con   saltos  de  0.01.   Como  los  coeficientes  !!  y  !!  son  nulos  no  es  necesario  agregarlos  al  algoritmo.  Sí   es   necesario   realizar   la   sumatoria   de  !! .   Para   ello   se   realiza   un   loop   for   que   realiza  la  sumatoria.   Finalmente   se   grafica   la   función   original   y   sobre   ella   la   serie   de   Fourier   correspondiente.  

Código   disp('Serie de Fourier') N= NUMERO DE ARMÓNICOS DESEADOS; x=-2:0.01:2; sum=0; for k=1:2:N b(k)=4/(k*pi); sum=sum+b(k)*sin(k*pi*x/4); end f=(x=0).*1; plot(x,f,'g',x,sum,'b') grid title('Aproximación por Serie de Fourier')

Resultados   Con  N=1  se  obtiene  el  siguiente  gráfico.  

Ilustración  1  -­‐  Serie  de  Fourier  con  N=1  

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La  aproximación  de  la  serie  es  tosca  pero  se  puede  notar  como  la  forma  senoidal,  al   menos,  comparte  las  regiones  de  positividad  y  negatividad  con  la  función  original.   Este   es   el   resultado   de   utilizar   un   único   armónico,   es   decir,   sólo   una   función   senoidal  con  la  frecuencia  fundamental  de  la  serie.   Cuando  el  número  de  armónicos  es  2,  es  decir  N=2,  se  obtiene  el  mismo  resultado   que   con   N=1,   dado   que   en   la   ecuación   (13)   se   observa   que   los   coeficientes   son   nulos  cuando  N  es  par.   Además,  !(!)  define  una  onda  cuadrada  en  un  solo  intervalo,  y  es  conocido  que  una   onda   cuadrada   (físicamente   imposible   dada   su   abrupta   discontinuidad)   se   compone  de  la  sumatoria  de  armónicos  impares  de  una  función  senoidal.   Con  N=5  el  gráfico  es  el  siguiente.  

 

Ilustración  2  -­‐  Serie  de  Fourier  con  N=5  

Como  era  de  esperarse,  la  serie  se  aproxima  mejor  a  !(!)  con  mayor  cantidad  de   armónicos.  Siendo  N=5  tenemos  3  funciones  senoidales  con  distintas  componentes   frecuenciales  interactuando  juntas.  La  ecuación  (2)  con  los  coeficientes  ya   calculados  evaluada  en N=5  resulta  la  siguiente  ecuación.      

(14)  

Más  terminos  serán  sumados  si  aumenta  N,  y  mejor  será  la  aproximación.   Con  N=55  la  aproximación  es  considerablemente  buena.    

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Ilustración  3  -­‐  Serie  de  Fourier  con  N=55  

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Y  si  N=99.  

Ilustración  4  -­‐  Serie  de  Fourier  con  N=99  

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No  hay  ninguna  restricción  para N,  es  decir,  puede  ser  tan  grande  como  quiera.  Sin   embargo,   con   grandes   valores   de   N   el   gráfico   de   este   algoritmo   pierde   presición,   dado   que   el   dominio   sigue   siendo   el   vector   x   que   avanza   de   a   pasos   de   0.01,   entonces  cuando  la  frecuencia  de  las  componentes  aumenta  considerablemente  y   su  período  es  menor  a  0.01  resulta  dificil  ver  la  oscilación  y  se  pierde  presición.  

Efecto  de  Gibbs   Se   puede   observar   que   sea   cual   sea   el   valor   de   N   hay   una   impresición   constante   en   las   cercanías   de   la   discontinuidad   de  !(!).   Este   fenómeno   se   conoce   como   Efecto   de   Gibbs.   La   aproximación   por   Fourier   se   diferencia   hasta   en   un   %18   por   ciento   del  valor  real  de  !(!)  en  los  entornos  de  las  discontinuidades.  

Ilustración  5  -­‐  Efecto  de  Gibbs  con  N=21  

 

Con   valores   de   N   altos,   por   ejemplo   N=21,   ya   se   mostró   que   la   aproximación   es   relativamente   buena,   sin   embargo,   en   las   cercanías   de   x=0,   o   sea   en   el   punto   de   discontinuidad   de  !(!),   la   aproximación   de   la   seria   llega   a   su   diferencia   máxima   con  el  valor  real  de  la  función.  Mientras  la  función  vale  1  la  serie  vale  1.18,  lo  cual   es  el  18%  mas  que  el  valor  real  de  la  función.   A   medida   que   N   aumente,   el   punto   de   diferencia   máxima   se   acercará   al   punto   de   discontinuidad.   Sin   embargo,   para   cualquier   valor   de   N,   la   máxima   diferencia   se   conservará  constante.   A  continuación  se  observa  el  efecto  de  Gibbs  con  N=55  y N=99.  

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Ilustración  6  -­‐  Efecto  de  Gibbs  con  N=55  

Ilustración  7  -­‐  Efecto  de  Gibbs  con  N=99  

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Mientras   la   posición   del   pico   de   la   serie   se   acerca   a   x=0,   su   valor   sobre   el   eje   y   permanece  prácticamente  constante  en  y=1.18.

Bibliografía   MatLab  R2010a,  Matlab  Getting  Started  Guide,  The  Mathworks  Inc.  2010   Señales  y  Sistemas  2011,  Material  y  apuntes  del  curso,  UNTREF,  Ing.  De  Sonido   2011   Seminario  de  Análisis  Funcional,  Material  y  apuntes  del  seminario,  UNTREF,  Ing.   De  Sonido  2011   A.V.  Oppenheim,  A.  S.  Willsky,  Señales  y  Sistemas  segunda  edición,  Ed.  Pearson,   1997.        

Tabla  de  contenido   Objetivo  ....................................................................................................................  1   Cálculo  de  los  Coeficientes  .........................................................................................  1   Desarrollo  del  Algoritmo  ............................................................................................  2   Código  ..........................................................................................................................................................................  3   Resultados  .................................................................................................................  3   Efecto  de  Gibbs  ..........................................................................................................  6   Bibliografía  ................................................................................................................  8      

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