Serie de Fourier, en matlab

Laboratorio Nº 01: Simulación de la Serie de Fourier Mediante el Software Matlab Hans Junior Puente Jara Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Universidad Nacional de Ingeniería Lima, Perú [email protected] I.

OBJETIVOS

-Utilizando la sumatoria de “n” términos de la serie de Fourier estimar el ancho de banda de una onda y hallar su gráfica aproximada. -Aprender a trabajar con Series de Fourier utilizando Matlab, así como aumentar mis conocimientos sobre este software. II. TEORÍA 1. Formas de Ondas La forma de onda de una señal u onda, es la gráfica de su valor instantáneo, versus tiempo. En audio, por ejemplo, siempre estamos tratando con formas de onda periódicas que son gráficas de las ondas sonoras que oímos. Estas formas de onda pueden ser dibujadas en una gráfica que se verá como algún tipo de line curva que sube y baja de nivel. De izquierda a derecha se grafica el tiempo. Es decir podemos ver una porción de tiempo de determinada onda y saber qué ocurre en esa porción de tiempo. De arriba a abajo está la amplitud de esos voltajes instantáneos en el tiempo. Las formas de onda algunas veces se usan también para nombrar el sonido generado por un oscilador de un sintetizador. Es decir se usa el nombre de la forma de onda para nombrar la onda en sí. Las ondas más comunes generadas por los osciladores en un sintetizador son las de sinusoidal, diente de sierra, triangular y cuadrada. Se dice entonces que cierto oscilador genera una onda sinusoidal, o una onda de diente de sierra por ejemplo.

2. Series de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente y publicando sus resulta dos iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma:

Donde

y

se denominan coeficientes de Fourier de la

serie de Fourier de la función Definición: Si

es una función (o señal) periódica y su período es

la serie de Fourier asociada a

Gráficas de las formas de onda más comunes

es:

,

Donde , los valores:

y

son los coeficientes de Fourier que toman III. DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA A. Equipos y Materiales:     

Una computadora Software Matlab Acceso a Internet Capturador de imagen o cámara fotográfica Guía de laboratorio

B. Procedimiento:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

1.-Haciendo uso del software Matlab, elabore un programa que permita realizar lo siguiente: a)

Dada una función en el tiempo, el programa debe permitir visualizar en pantalla la gráfica real.

b) Con el uso de la serie de Fourier, el programa nos debe permitir visualizar las diferentes aproximaciones, dependiendo de “n”, a la gráfica real. Los coeficientes ahora serían: c)

Forma Exponencial: Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

Determinar gráficamente el espectro de frecuencias.

d) Para permitir realizar el paso b), el programa debe solicitar: La ecuación característica del término a0.  La ecuación de los términos an.  La ecuación correspondiente a los bn.  En el programa desarrollado, simule la onda  asignada para diferentes valores de n. Visualice los cambios, si realizamos variaciones  en los parámetros de la función; amplitud, periodo, duración del pulso. Capture la imagen de las gráficas más  significativas anotando el valor de n. 2.- A cada grupo de trabajo se le asignará una función: En nuestro caso siendo el grupo 2 se nos asignó la siguiente función:

En forma más compacta:

Pulso triangular impar, amplitud 10 Vpp, periodo 20 ms, duración 20 ms.

Vale la pena mencionar que en esta expresión se ha separado el término cuando n = 0, de la definición de Serie de Fourier dada en la sección anterior, y ahora la sumatoria empieza en n = 1.

IV. RESPUESTA A PREGUNTAS 1.

¿En telecomunicaciones cómo se representa una función periódica?

Definición:

Para obtener A0 calculamos el promedio temporal de f(t), sustituyendo la anterior serie en la integral del promedio y tomando en cuenta que el promedio temporal de los senos y cosenos son cero. El valor de t0 normalmente es cero pero más adelante nos convendrá tomarlo como – T/2.

Una forma de onda w (t) es periódica con un periodo T0 si: w (t) = w (t+T0)

para toda t

(1)

Donde T0 es el número positivo más pequeño que satisface esta relación. Por ejemplo, una forma de onda senoidal con frecuencia con frecuencia f0 = 1/T0 hertz es periódica, debido a que satisface la ecuación (1). A partir de esta definición se hace claro que una forma de onda periódica tendrá valores significativos sobre un intervalo de tiempo infinito (∞-∞). Por consecuencia, las formas de onda físicas no pueden ser realmente periódicas pero sí contar con valores periódicos sobre un intervalo de tiempo finito. Esto es, la ecuación (1) puede satisfacerse para t sobre algún intervalo finito, pero no para todos los valores de t. 2.

¿La serie de Fourier es una función periódica?Explicar

Definición: Una serie de Fourier es una expansión de una función periódica f (t), con periodo T, en términos de una suma infinita de senos y cosenos que toma la forma:

En otras palabras, cualquier función periódica se puede reescribir como una suma de funciones armónicas multiplicadas por constantes a determinar: an y bn .

Para calcular los coeficientes Am con m=1,2,…,, calcularemos el promedio de una nueva función: f(t) *cos ( m* 1*t)

La primera integral del lado derecho es cero porque es el promedio de un coseno. Y para la siguiente parte considerando que se nos permite intercambiar los signos de sumatoria e integral. Entonces calculemos primero la última integral usando que el producto sen()*cos() se puede escribir como [sen(+) +sen(-)]/2, resultando así dos promedios que se anulan en un período, para todo valor de  y , es decir para todo valor de n y m, y así ningún Bm saldrá en el resultado. Para calcular la segunda integral usamos que el producto cos ()*cos () se puede escribir como [cos(+)+cos(-)]/2, resultando así dos promedios que se anulan en un período, para todo valor de  y , es decir para todo valor de n y m, excepto para el caso n=m que solo se anula el promedio de cos(+), porque cos(-)= cos(0)=1, cuyo promedio es 1.

Sin embargo, veremos que aunque la función no sea periódica podremos hacer un análisis de Fourier mediante la transformada integral de Fourier.

En resumen, solamente quedará el valor Am/2, o cambiando la letra del índice:

3.

Similarmente obtenemos:

Determinar los coeficientes de Fourier.

Considerando el desarrollo en términos de funciones ortogonales, podemos encontrar los coeficientes del desarrollo de Fourier para la función f (t) dada por:

El gráfico de A n y B n en función de n (ó de n) se conoce como el espectro de frecuencias de la función periódica f(t). Note que la distancia entre dos frecuencias consecutivas es:  = (n+1) 1 – n 1 = 1 = 2  / T. 4.

Gn 

1 T



T

2 T 2

f (t) e j n 1 t dt

Utilizar la identidad de Euler para determinar la forma compleja de la serie de Fourier.

Es posible modificar la ecuación de la Serie de Fourier para que la función f(t), real, quede en términos de exponenciales complejas, usando para ello la fórmula de Euler- De Moivre:

e j θ  cos  j sen Para ello escribamos la serie de la siguiente manera:

Donde se cumplen las relaciones: A n = C n cos (n) B n = - C n sen (n)

5.

¿Qué ocurre si la función periódica es discontinua?

La expansión en Serie de Fourier usualmente funciona de manera adecuada cuando tenemos funciones que son discontinuas en el intervalo requerido. Sin embargo, en estos casos la serie no produce una función discontinua, sino que “conecta” la función original en su discontinuidad. Por ejemplo, para la función diente de sierra definida como f(t) = at (con a > 0) y periodo , que se muestra en la figura de la izquierda, y que presenta una discontinuidad en t = , encontramos que el desarrollo en Serie de Fourier existe, tal como se muestra en la figura de la derecha, el cual se ha calculado para 4, 6 y 10 términos.

La cual podemos escribir como:

Finalmente, usando un solo signo de sumatoria: El valor de la función en términos de la Serie de Fourier en la discontinuidad será el promedio de los valores que toma f(t) en la discontinuidad. Donde:

Las Gn se obtienen a partir de f(t) usando la integral:

Matemáticamente, podemos expresar que en el punto de discontinuidad td, la serie converge al valor dado por:

En la discontinuidad, la representación en series de Fourier de la función, fFOURIER(t) toma valores que rebasan los correspondientes a la función original f(t). Conforme se incluyen más términos en la representación en serie, los puntos con rebasamiento se acercan cada vez más a la discontinuidad, pero no desaparecen, incluso en el límite cuando se considera la serie completa.

6.

Con ω = 2π/T, su serie de Fourier. 

Si f es continua en un punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto a f(t), o sea:



Si f tiene una discontinuad de salto en un punto t, entonces la serie de Fourier converge en ese punto al punto medio del salto, o sea:

Explicar detalladamente las condiciones de Dirichlet y el teorema de la convergencia.

Condiciones de Dirichlet: Las series de Fourier pueden usarse para representar una función para la cual no es posible un desarrollo de Taylor. Las condiciones particulares que debe reunir una función f (t), a fin de que pueda representarse mediante una serie de Fourier, se conocen como condiciones de Dirichlet y son las siguientes: i.

La función f(t) debe ser periódica.

ii.

La función debe ser monovaluada y continua, excepto (posiblemente) en un número finito de discontinuidades finitas.

iii.

La función debe tener solamente un número finito de máximos y mínimos dentro de un periodo T; y

iv.

La integral de |f(t)| sobre un periodo T, debe converger.

Si se satisfacen las condiciones anteriores entonces la serie de Fourier correspondiente converge a f(t) en todos los puntos en que f(t) es continua. Vale la pena mencionar que cuando tenemos situaciones físicas (reales), las tres últimas condiciones de Dirichlet casi siempre se cumplen, no así la primera de ellas, ya que no todas las funciones son periódicas. Sin embargo, en muchas situaciones es posible representar una función no periódica como una serie de Fourier mediante la manipulación de la función para transformarla en una forma periódica. Teorema de la convergencia de Dirichlet: Sea f: R → R una función periódica de período T que satisface las condiciones de Dirichlet y sea:

Donde, como es habitual:

Indica el límite de f en t por la izquierda y:

Indica el límite de f en t por la derecha. El teorema nos dice, en particular, que si f satisface las condiciones de Dirichlet y redefinimos el valor de f en cada punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o sea, poniendo:

Entonces la suma de la serie de Fourier coincide con f(t) en cada t ∈ R. Por eso, en lo que sigue, y salvo que se diga lo contrario, supondremos que esto se cumple. 7.

Explicar el fenómeno de Gibbs en la serie de Fourier considerando la función salto o función Delta de Dirac.

Consideremos la función salto:

La N-ésima suma parcial correspondiente a su serie de Fourier viene dada por la expresión:

Como f es una función impar, a k = 0, para todo k = 0, 1, 2,. . . Por otra parte, bk puede calcularse de forma explícita, obteniéndose el siguiente resultado:

Por tanto, para nuestra función salto, la suma parcial de Fourier queda:

Por otra parte, como b k = 0 si k es par, la suma se puede escribir también de la forma:

Sabemos que, si f y df son continuas, salvo en un número finito de puntos de discontinuidad de tipo salto, las sumas parciales de Fourier convergen puntualmente a f(x) en los puntos de continuidad de f y a la media de los límites laterales en los puntos de discontinuidad. Este resultado se aplica al caso particular de la función salto que estamos considerando y que presenta una singularidad en x = 0: una discontinuidad de tipo salto. En la figura apreciamos la forma en la que, efectivamente, cuando x diferente de 0, las series de Fourier aproximan el valor de la función en x, mientras que en x = 0 convergen a la media de los límites laterales, nula en este caso puesto que: [f (0−) + f (0+)]/2 = (1 − 1)/2 = 0 En este punto de discontinuidad x = 0 se aprecia también con claridad el fenómeno de Gibbs. En efecto, se observa claramente que la gráfica de la suma parcial de Fourier excede a la de la función salto en el punto de discontinuidad. Por ejemplo, a la derecha del punto x = 0 se ve como la gráfica de la suma parcial de Fourier supera con nitidez a la de la función salto.

Y dibujando la gráfica de la suma parcial de Fourier de la función salto, para N = 30

En la siguiente figura, se puede observar cómo las gráficas de las sumas parciales sobresalen por debajo de la gráfica de f(x), en las proximidades del punto (0,-1).

Y finalmente:

bn 

20  [ sen(n )  2 sen(n )] 2 2 2 n 

Por lo tanto, tenemos que la ecuación del pulso es: 

f (t )   (bn ) * sen( n 1

8.

n * * t ) 10

Desarrolle analíticamente el espectro de frecuencias para la señal asignada. V. SIMULACIÓN

Función: Pulso triangular impar (amplitud 10 Vpp, periodo 20 ms, duración 20 ms) Dado que la función es impar, entonces podemos reducir el análisis de la serie de Fourier; donde a0=0, an=0 y

bn 

4 T

T /2

 f (t ) * sen(n * w

0

* t )dt

0

Entonces analizando bn para el periodo T=20: 5

10

4 bn  [  ( t ) sen(nw0 t ) dt   (t  10) sen(nw0 t ) dt ] T 0 5 Se obtiene:

bn 

4 [ sen(10nw0 )  2sen(5nw0 )] Tn 2 w02

Función: Pulso triangular impar (amplitud 10 Vpp, periodo 20 ms, duración 20 ms) Primero mostraremos la gráfica de la función triangular pedida mediante la siguiente codificación: x=-10:0.005:10; f=(x-5&x5).*(x-10); plot(x,f,'r'),grid on con lo cual se obtiene:

Y finalmente comparamos ambas gráficas: Ahora simulamos la serie de Fourier de esta función triangular impar, mediante el siguiente código:

x=-10:0.005:10; suma=0; b=zeros(1,3); for k=1:3 b(k)=20/(k^2*pi^2)*(sin(k*pi)-2*sin(k*pi/2)); suma=suma+b(k)*sin(k*pi/10*x); end

x=-10:0.005:10; f=(x-5&x5).*(x-10); suma=0; b=zeros(1,3); for k=1:3 b(k)=20/(k^2*pi^2)*(sin(k*pi)-2*sin(k*pi/2)); suma=suma+b(k)*sin(k*pi/10*x); end plot(x,f,'r',x,suma,'b-'),grid on

plot(x,suma,'b-'),grid on

Así obtenemos esta gráfica:

VI.

BIBLIOGRAFÍA

Zoltowski, Michael. “Signals and Systems” Purdue University. Feb 4 2012, https://engineering.purdue.edu/~mikedz/ee301/ee301.html “Series de Fourier”. AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. 2008. http://personal.us.es/contreras/practica3.pdf Edwards, Henry – Penney, David. “Ecuaciones Diferenciales”. Editorial Prentice Hall, 4ta edición. Pág. 608610. http://rpduarte.fisica.uson.mx/archivos/curso3/06MetMatFisI.pdf http://verso.mat.uam.es/web/ezuazua/documentos_public/archiv os/personal/conferencias/cubo.pdf http://personales.us.es//contreras/practica3.pdf J.W. Gibbs. Fourier’s series, cartas en Nature, 59, (1898), p. 606 y 59, (1899), p.606. (También en Collected Works, v. 2, Longmans, Green and Co., 1931, pp. 258-260.)