Serie de Fourier Discreta

 

Representación de una señal periódica discreta en series de Fourier.

 

Señales periódicas discretas 

Cualquier señal discreta x[n] es periódica con período N, si existe un entero positivo N, para el cual para toda n

(1)

Se tiene

con m= ±1, ± 2, ± 3,…; a valores enteros. Donde 0 es conocido como el periodo fundamental de la señal discreta. Y la frecuencia fundamental

 



Para una señal de tiempo discreto [], el contenido de energía normalizada E de [] se define como

La potencia promedio normalizada P de []se define como:

 



Con base en estas definiciones, se definen las siguientes clases de señales:

1. Se dice que   es una señal (secuencia) de energía si y sólo si 0 < E < ∞ (y, en consecuencia, P = 0).

2. Se dice que [] es una señal (secuencia) de potencia si y sólo si 0 < P < ∞, implicando con ello que E = ∞.

3. A las señales que no satisfacen ninguna de estas propiedades no se les refiere ni como señales de energía ni de potencia.

 

Representación en series de Fourier discreta 

Se tiene una secuencia periódica x(n) de periodo N Para todo n

La representación en serie de Fourier de x(n) consta de N funciones exponenciales armónicamente relacionadas

Se expresa como

Donde los

son los coeficientes de la representación de la serie

 

Serie de Fourier discreta en el tiempo (DTFS, Discrete-Time Fourier Series)

Los coeficientes de Fourier proporcionan la descripción de x(n) en el dominio de la frecuencia, en el sentido de que representa la amplitud y la fase asociadas con la componente de frecuencia

Donde

 



Ejemplo:

Determine los espectros de las señal

Se tiene

o

Para k = 0,1,2,3 se tiene

 



El módulo y la fase de los espectros son

 



Contenido espectral

Módulo

Fase

 

Propiedades de la serie de Fourier discreta

1. Periodicidad de los coeficientes de Fourier

la cual indica que los coeficientes de la serie de Fourier son periódicos con período fundamental 0 . Es decir, si consideramos más de 0 valores secuenciales de k, los valores de  se repetirán periódicamente con período 0 .

 

2. Dualidad los coeficientes de Fourier  forman una secuencia periódica con período fundamental 0 . Entonces, escribiendo  como []

Sea  = − en la Ec. Anterior

Haciendo ahora  =  y  =  en la expresión anterior, se obtiene

 

Comparando la ecuación anterior con

Se son los coeficientes de Fourier expresados en a k  Se ve que los valores (1Τ0 )[−] son los coeficientes de Fourier de []. Sise adopta la notación

para denotar el par de series de Fourier discretas (SFD), entonces,

 

La Ec. anterior se conoce como la propiedad de dualidad de la serie de Fourier discreta. Dicho de otra forma, puesto que los coeficientes de Fourier  de una señal periódica [] son a su vez una secuencia periódica, podemos expandir los coeficientes  en una serie de Fourier. La propiedad de dualidad descrita implica que los coeficientes de la serie de Fourier para la secuencia periódica  son los valores (1Τ0 )[−].

 

3. Conjugado Cuando [] es real, entonces

donde, igual que antes, el asterisco (*) denota el conjugado complejo. 4. Secuencias pares e impares Cuando   es real, sea

Donde     y     son partes par e impar de [], respectivamente y sea

 

Entonces

Vemos entonces que si   es real y par, entonces sus coeficientes de Fourier son reales, mientras que si [] es real e impar, sus coeficientes son imaginarios.

 

Convergencia de la serie de Fourier discreta 

Puesto que la serie de Fourier discreta de una secuencia [] es una serie finita, en contraste con el caso de tiempo continuo, y definida completament completamente e por los valores delalaserie señal un período, noy hay problemas de convergencia con deen Fourier discreta no se presenta el fenómeno de Gibbs.



En otras palabras, el hecho de que cualquier secuencia periódica en tiempo discreto [] está completamente especificada por un número finito de por parámetros, saber, los valores la secuenciaen engeneral un período, es la razón la cual noa hay problemas dede convergencia con la serie de Fourier en tiempo discreto.

 

Conclusiones 





Las series de Fourier y la transformada de Fourier son las herramientas matemáticas que permiten analizar las características de las señales en el dominio de la frecuenc frecuencia. ia. La serie de Fourier es apropiada para representar una señal periódica como una suma ponderada de componentes sinusoidales armónicamente relacionadas, en la que los coeficientes ponderados representan la amplitud de cada uno de los armónicos, y el módulo al cuadrado de cada coeficiente ponderado representa la potencia del armónico correspondiente. Su importancia nace del comportamiento característico de los sistemas LTI.