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2013/2014 4 Sc exp

Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. [Jorge Luis Borges] 2iz+2  vérifiant la relation arg( ) = [2] est Exercice 1 : z-2i 2 Déterminer la forme algébrique de : un cercle deux demi droite un demi cercle. ( 3+i) 2)Soit A et B d’affixes respectives z A=i et ZB= 3 Z1 = , Z2 = dans un repère orthonormal. L’affixe zC du point C (3- 3i) tel que ABC soit un triangle équilatéral est Z3= = 1+i+i²+....+i2011 -i 2i 3+i 3+2i Exercice 2: Exercice 6: z  1  2i Soit Z = où z≠ -2i Soit z1=1-i ; z2= 1-i 3 et Z = 2iz  4 1)Déterminer l’ensemble des points M(z) tel que Z soit Ecrire sous forme exponentielle les nombres réel. complexes z1, z2 et Z. Déduire les valeurs exactes 2)Déterminer l’ensemble des points M(z) tel que Z soit de cos  et sin  imaginaire pur 12 12 3)Déterminer l’ensemble des points M(z) ; Z=  Exercice 7 : Exercice 3: Déterminer l’ensemble des points M(z) ; tels que : Soit Z=1- 3+i(1+ 3) a)arg (z-2i) = arg (-z) (2), 1)Ecrire Z² sous forme algébrique b)arg(z-1+i) = arg(-z+1+i) (2) 2)Déterminer le module et un argument de Z² _ _ 3)Déduire le module et un argument de Z c)z-2i= z +i, e)(z+i)( z -i)=9 7  d) z= 1-2i + 4(cos + i sin ) où [, ] 4)Donner les valeurs exactes de cos et sin 12 12 Exercice 4 :Q.C.M. Exercice 8: Déterminer les réponses correctes. 1°) Soit  un réel de [-,  ] et z le nombre 1) L’ensemble des points M(z) tels que z=z est : 1 complexe défini par: z = [sin + i (1 - cos )] a)une droite b)un cercle, c)une demi droite. 2 _

Déterminer, en fonction de, le module et un argument de z. 2°)  est un réel de] 0,  [. Déterminer le module et un argument des

2) l’ensemble des points M(z) tels que z=z+ z est inclus dans : a)un cercle b) une demi-droite c)deux droites _ _ _   6)Si z =  alors a) z =  ; b) z = z= ; c) z z z 7)Si z est un nombre complexe non nul d’argument _

nombres complexes : a = z - i & b =  

alors un argument de i z est  ; b) ; c) /3   9) Si zA  1  3 3 et zB  1  3i , alors une mesure de





5 6

b)

Exercice 9:(4 points) Pour chacune des affirmations suivantes répondre par vrai ou faux. 1) Pour tout nombre complexe z, si

alors la partie imaginaire de z

est nulle.

l’angle u, AB est : a)

z z i



 6

c)

 2

Exercice 5 QCM 1) l’ensemble des points M d’affixe z

La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques.

2) Pour tout nombre complexe z de module 1, si arg(z²)

arg(

3) z² + 2 cos

(2 ) alors z =

ou z =1

a deux solutions

complexes de module 1. Page 1

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Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. [Jorge Luis Borges] Construire les points A, B et C pour la valeur de  4) est un imaginaire pur. trouvée. Exercice 10 :(5 points) Exercice 13 Soient A(−1) et B(3i).Soit f l’application du plan dans   ( O, u, v) est un repère orthonormé du plan lui-même qui a tout point M d’affixe z distinct de A Soient A le point d’affixe 1 et B le point d’affixe -1 associe le point M’(z’) où z’ = A tout point M d’affixe z non nul , on associe le point M’ d’affixe z’ =  1) Soit C(2-i). Montrer que C possède un unique z antécédent D par f. 1)Ecrire z’ sous forme exponentielle lorsque 2) Déterminer la nature du triangle ABC 3) Montrer que pour M distinct A et B on a :

z= 2)Montrer que les points O, M et M’ sont alignés.

4) Déterminer l’ensemble E des points M tel que M’

3)Montrer que 4)On suppose que M est un point du cercle C de centre A et de rayon 1

soit sur le cercle trigonométrique

a)Montrer z’   = z’ puis interpréter

5) Déterminer l’ensemble F des points M tels que M’

géométriquement cette égalité. b) Déduire de ce qui précède une construction du point M’ à partir du point M. Exercice 14 :TN2012 Soit a un réel strictement positif. 1)Résoudre dans C : z²-(1+i)az+ia²=0 2)Le plan est rapporté à un repère orthonormé

et ( ,

)

+(

,

) (2

soit sur l’axe réel. Exercice 11 : n

n

 3 i  i   Soit A=   3   1  3  ; n  IN     1) Montrer que A est un imaginaire pur 

2) Prouver que A = i Exercice 12

Soit  un réel appartenant à ]0,

iα

 [, on considère E : 2

2i α

z  – (2 e cos  ) z + e = 0. 1° a) Vérifier que 1 est une solution de E. b) En déduire l’autre solution de E. 2° le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct (O, u , v ), on désigne par A, B et C les points d’affixes respectives

2i α

2i α

z A = 1, z B = e et z C = e – 1. a) Déterminer et tracer l’ensemble des points C lorsque  varie dans ]0,

 [. 2

b) Ecrire z C sous forme exponentielle. c) Montrer que pour tout  , OABC est un parallélogramme. d) Déterminer la valeur de  pour laquelle OABC est un losange. La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques.

(o, u , v ). On désigne par A et B les point direct d’affixes respectives a et ia. a) Quelle est la nature du triangle OAB ? b) Déterminer l’affixe du point C tel que OACB soit un carré. 3) Soient P et Q les points du plan tels que les triangles OAP et AQC sont équilatéraux de sens direct. a) Montrer que l’affixe du point C est a( b) Calculer l’affixe du point Q. c) Montrer que les points B, P et Q sont alignés. Exercice15:TN2012 Scx: Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (o, u , v ). On désigne par C le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes respectives 1 et a= 1)a)Donner la forme exponentielle de a b) Construire le point A Page 2

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Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. [Jorge Luis Borges] géométriquement le point M’1 puis le placer et 2)Soit B le point d’affixe b = construire alors le point N1 a)Vérifier que . En déduire que le point B c) Calculer la forme algébrique de l’affixe du appartient à C. point N. b) Montrer que les points A, B et I snt alignés. En déduire l’ensemble décrit par le point N c) Construire alors le point B. lorsque M décrit le cercle C. 3) Soit un argument de b Montrer que cos = Exercice 16 Répondre par Vrai ou Faux (aucune justification n’est demandée). 1°) Soit L’équation (E) : z 3 = z i

 6

a) e est une solution de (E) b) Si  est solution non nulle de (E) alors  = 1 c) Si  = 1 alors  est solution de (E) 2°) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,

u, v ) Soit A et B deux points du plan d’affixes respectives a 

et b telles que

i a =2 e 3 b

a) O, A et B ne sont pas alignés b) OAB est un triangle rectangle en O c) OAB est un triangle équilatéral 1) Pour tout complexe z, Ré (z²) = (Ré(z))² 2) Le plan complexe est rapporté au repère   orthonormé (O; u ; v), Pour tout nombre complexe z non nul, les points M ( z z² ) appartiennent à un même cercle de ), N ( z ) et P ( z centre O. Exercice 17 :(6 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( o, , ) A tout point M d’affixe z non nul , on associe le point M’ d’affixe z’= , puis le point N milieu du segment [MM’]. On désigne par C le cercle de centre O et de rayon 1, J le point d’affixe i et J’ celui d’affixe –i I) 1) Déterminer l’affixe du point N 2) Dans cette question z = où est un réel a) Ecrire z’ sous forme exponentielle. b) Sur la figure on a placé le point M1 d’affixe z1 Expliquer comment on peut obtenir La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques.

II) Dans cette question , M est un point du plan d’affixe z non nul. 1) a) Déterminer les points M du plan pour lesquels M et N sont confondus b) Développer ( z-2i)² + 3 ; Déterminer les points M du plan pour lesquels l’affixe de N est 2i 2) On pose z = x + i y a) Exprimer en fonction de x et y , la partie réelle et la partie imaginaire de l’affixe du point N b) Déterminer l’ensemble E des points M du plan tels que N appartient à l’axe (O, ) c) Déterminer l’ensemble F des points M du plan tels que N appartient à l’axe (O, ) Exercice 18 ( 5 points ) é Soient les nombres complexes 1) Donner la forme exponentielle de . 

i   2) Montrer que u = 4 cos ( + ) e 2 . 2 6

3)a/Calculer la forme algébrique de u lorsque = b/ Déduire les valeurs exactes de cos (

 6

 ) 12

Exercice 19: Soit E :(1+i) z² - 2(cos-sin) z + 1-i =0   avec - , . z’ et z” sont les solutions de E 2 2 1°) Sans calculer z’ et z”, - Mque arg ( z’) + arg (z”) = (2) 2 2°) a- Résoudre dans C l’équation E. b- Vérifier que z” = -i z' .

Exercice 18: 1°) Résoudre dans C l’équation : (E) :z² - (a + a²) z + a3 = 0 où aC-{1, -1} Page 3

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Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. [Jorge Luis Borges] On désigne par z1 et z2 les solutions de cette équation. c) Déterminer l’image du cercle C de centre A et 2°) Le plan étant muni d’un repère orthonormé de rayon 1 par f. direct .On considère les points A, B, C d) Déterminer l’image par f de l’ensemble -{A d’affixes respectives 1, z1, z2,. Où  : y=x-1 a- Montrer que le triangle ABC est équilatéral ssi 3)Déterminer l’image par f du cercle  a et  a+1   trigonométrique. Exercice24 On pose a ,  Déterminer le module et un argument de 1 + a en Le plan complexe est rapporté au repère fonction de . orthonormé direct O;u, v . Soit [0 ,] b- Déterminer la valeur de  pour laquelle le triangle 1°) Soit dans C, l’équation ABC est équilatéral. Eθ  : z2  2 1  3eiθ z  3  10eiθ  8e2iθ  0 . Exercice 19:





 

Soit (o, u, v ) un repère orthonormé direct du plan Complexe P et f l’application qui a tout point d’affixe z , associe le point M’ d’affixe z’= , A(i) ; B(-i)





Résoudre Eθ  dans Z. 2°) On désigne par M et N les points d’affixes respectives z1  3  2eiθ et z2  1  4eiθ

1) Déterminer les points fixes de f

a)Déterminer l’ensemble des points M lorsque 

2) Mque les points A, M et M’ sont alignés

varie.

3) Soit C le cercle de diamètre [OB]

b)Peut-on avoir M = N ?

a) Mque MP-O,B},arg(z’)



+(



b) En déduire que si MC, alors le point M’ appartient à une droite fixe  que l’on précisera . c) Donner une construction du point M’ image d’un point M de C. Exercice 20: 1°) Déterminer sous forme trigonométrique les solutions de l'équation : z3 = 4 2 (- 1 + i). 2°) En utilisant les racines cubiques de l'unité, écrire les solutions de cette équation sous formes algébriques. Déduire des questions précédentes les valeurs de cos11π & sin11π

12

12

Exercice 21: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé  (o, u , v )f : P-{A(-i)  P-{A:M (z)  M’(z’); 1-z z’= 1-iz 1) Déterminer l’ensemble E des points M (z) tels que z’ soit réel. -1+i 2) a) Montrer que pour tout zi, z’+i = z+i b) M que AM.AM’ = 2,     3 et ( u , AM ) + ( u , AM’ ) = (2) 4 La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques.

c)Déterminer  pour que O soit un point du cercle de diamètre [MN]. Exercice 28 : (6 points) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct ( O, , ). À tout point M d’affixe z i, est associé le point M’ d’affixe z’ 1 définie par: z’ = 1) Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que z’ soit imaginaire non nul. 2) a) Vérifier que pour tout z on a : z’ – 1 = b) En déduire que pour tout point M distinct de J, on a : M’ . JM = 2 et c) Déduire une construction du point M’ lorsque M appartient au cercle C de centre J et de rayon 1. 3) a) Résoudre dans C l’équation : b) Soit , montrer que z’ = équivaut à z = - cotan c) Déduire alors les solutions de l’équation : =

Exercice 26 :( 6 points )

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Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. [Jorge Luis Borges]   ; ;  3 2 4) Un argument de -1- e- i ;   ] , 2  [ est :     ;  + ; 2 2 2

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé (O, , ). Dans la figure cicontre , C est le cercle de centre O et de rayon 2. A le point d’affixe 2 et B le point tels que OAB est un triangle équilatéral direct.

1) a) Par lecture graphique déterminer ZB l’affixe du point B b) Vérifier que est un réel négatif 2) Soit l’équation (E) z3- 4z² + 8z - 8 = 0 a) Vérifier que 2 est une solution de ( E ). b) Résoudre alors l’équation (E) 3) Soient B et C les points d’affixes respectives : b=1+i ,c= , Montrer que les droites (OC) et (OB) sont perpendiculaires.

Exercice 28 I) Déterminer le(s) nombre(s) complexe(s) z

4) Soit D le point du plan tel que OBDC soit un parallélogramme a) Calculer l’affixe de D b) Montrer que le parallélogramme OBDC est un carré Exercice 27 ( 3.5 points ) Cocher la bonne réponse 1) Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O, Å u,  Ä )   [2 ] ;   ] , [. Å v ). On pose ( Å u , OM 2 1 La forme exponentielle de est : z -cos  ei

;

-cos  e-i

vérifiant II) a et b deux nombres complexes non nuls. Mque arg( a ) 2arg( b )

;

sin  e -i  ; -cos  ei(+) . 2 2) L’équation : z – ( 1 + 2i )z + i = 0, admet dans C I deux solutions z1 et z2 vérifiant : z1 + z2 = 1+ 2i

;

z1z2 = - i

;

z1 = z¯2 3) Soit z un nombre complexe d’argument un argument de

iÒ z 3 est :

 alors 3

La vie n’est bonne qu’à étudier et à enseigner les mathématiques.

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