Serie Binomial

Series Armónica y Binomial

SERIE 



“Una serie es un conjunto de cosas que tienen una relación entre sí y que se sucede unas a otras”. Una serie matemática es la expresión de la suma de los infinitos términos de una sucesión.



   +  +  …+     =



Estas sumas se usan implícitamente, por ejemplo, al considerar desarrollos decimales ilimitados de los números reales: así la igualdad.

7  2.333… 7  2 + 3 + 3 + 3 3 3 10 100 1000



 A las propiedades de las series que evalúan si el resultado tiende a un resultado infinito, finito o que se desconoce, se le conoce como Carácter de la serie.

Por lo tanto: “Cuando el resultado de la serie es Infinita se dice que el carácter de la serie Diverge o es divergente” 



“Cuando el resultado de la serie es Finita, se dice que el carácter de la serie Converge o es Convergente”

Esto quiere decir que: Una serie es convergente cuando la suma es un número real. Una serie es divergente cuando la suma da + o – infinito (∞). 



SERIE ARMONICA  

Un ejemplo claro de una serie infinita es la serie armónica. Se llama así por que la longitud de onda de los armónicos de una cuerda es proporcional a su longitud, según la serie:



1  =



1 1 1 1 1 1 1    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯+  + ⋯ = 



Observa que cada término de la serie es la media armónica de los términos que le precede y le sucede. Si cometemos el error de intentar sumarla con un ordenador, observaremos que la suma acumulada eventualmente deja de crecer. Esto ocurre porque, a partir de cierto momento, los términos que se acumulan son tan pequeños comparados con la suma ya acumulada, que el numero finito de dígitos que señala el ordenador no refleja el incremento que se produce en la suma, lo que puede producir la impresión que la serie armónica es convergente.

SERIE ARMONICA  





Si observamos los elementos de la serie, éstos difieren en sus primeros elementos pero después se vuelven idénticos, entonces la serie dada es divergente. Es una serie que su resultado siempre tiende al infinito. Una de las propiedades de una serie armónica es que tiene divergencia de manera lenta en los primeros 1043 términos.



La serie armónica es convergente si p > 1.



La serie armónica es divergente si  p < 1.

Ejemplo

SERIE BINOMIAL 



Un ejemplo claro de una serie finita es la serie binomial. La serie binomial es la serie de potencias expresadas como coeficientes binomiales y generaliza la fórmula algebraica del Teorema Binomial o Teorema de Newton. El desarrollo del binomio es el desarrollo de la función  en potencias de x cuando n es un entero positivo. Ejemplos:

(1+)

  1 + 2 +   (1+)  1 + 3 + 3  +   (1+) (1+) 1 + 4 + 6 + 4  +  

SERIE BINOMIAL 

La formula general de las series binomiales es la siguiente:

(1+)  



∞

 () =

El teorema de cualquiera de estas series se conoce como Teorema del Binomio o Teorema de Newton. Este teorema forma parte de la factorización de la  donde k es un número real entero expresión positivo.

( + )

SERIE BINOMIAL 

Entonces la formula del teorema binomial, se explica a continuación, donde tanto x como y son variables, y  n es un número entero positivo.



  ( + )  ()  − = 

El coeficiente de una serie binomial es representado

 por y es el numero de combinaciones de n objetos  tomados de k en k, ósea, n! y k!

SERIE BINOMIAL Ejemplo: 

5 Calcule los coeficientes binomiales y utilícelos para   desarrollar ( + ) . Además encontrar el termino no. 3 de la serie.



(5) − =  50 − + 51 − +  50  + 51   + 52  50 1 + 51   + 52

5 − + 5 − + 5 3 2 4  + 53  + 54  +  + 53  + 54  +

− + 55 − 5   5 5  1 5

Ejemplo: Por definición de los coeficientes:

    !     ! !− !

r = 0, 1, 2…, 5

5   + 5   + 5   + 5   + 5   + 5    0!5! 1!4! 2!3! 3!2! 4!1! 0!5! 5x4x3x2x1  + 5x4x3x2x1   + 5x4x3x2x1  + 5  + 5  + 5   1x5x4x3x2x1 1x4x3x2x1 1x2x3x2x1 3!2! 4!1! 0!5!

Ejemplo: 120 120 120 120 120 120         120  + 24  + 12   + 12   + 24   + 120   

()−   + + +  +  +  =

 ∴        Ya que siempre, la variable k del cociente binomial será el número de termino que se desee obtener menos 1.



Los coeficientes binomiales forman un patrón de números llamados triangulo de Pascal. Exponente

Coeficientes binomiales

n=0

1

n=1

1

n=2

1

n=3

1

n=4 n=5

1 1

5

1 2

3 4 10

1 3

6

1 4

10

1 5

1

Cada fila comienza y termina con el numero 1 para los coeficientes de  y   de en  , y cada numero interior es la suma de los dos números el desarrollo de situados diagonalmente sobre él.

( +)





Otro ejemplo de triangulo de pascal es: (+) = (+) = (+) = (+) = (+) = (+) =

 a+b

 ++  + + +   +4  +  +   +  + + + 