Serbian Physics Olympiad 2012

6. ÑÏÑÊÀ ÔÈÇÈ×ÊÀ ÎËÈÌÏÈJÀÄÀ Ó×ÅÍÈÊÀ ÑÅěÈÕ ØÊÎËÀ ØÊÎËÑÊÀ 2011/2012. ÎÄÈÍÀ Äðóøòâî èçè÷àðà Ñðáèjå Ìèíèñòàðñòâî ïðîñâåòå è íàóêå åïóáëèêå Ñðáèjå

ÁÅÎ ÀÄ 26-27.5.2012.

ÇÀÄÀÖÈ

Çàäàòàê 1: àêåòà (23 ïîåíà)

àêåòå êàî ïîãîíñêî ãîðèâî íàj÷åø£å êîðèñòå íåêó òå÷íîñò. Ó êîìîðè çà ñàãîðåâà»å ðàêåòå äîëàçè äî õåìèjñêå ðåàêöèjå ïðè êîjîj ñå òå÷íî ãîðèâî ïðåòâàðà ó ãàñíó ñìåøó âèñîêå òåìïåðàòóðå. Ìëàç ãàñîâà èñòè÷å êðîç ìëàçíèöó è óñëåä òîãà ñå ðàêåòà óáðçàâà. Ó îâîì çàäàòêó £åìî èñïèòàòè êîëèêî jå ãîðèâà ïîòðåáíî èñêîðèñòèòè äà ñå ðàêåòà óáðçà äî ïðâå êîñìè÷êå áðçèíå è òàêî ïîñòàíå Çåì§èí ñàòåëèò, êàî è êîëèêè jå ïðèòîì ñòåïåí èñêîðèø£å»à õåìèjñêå åíåðãèjå ãîðèâà. ~v PSfrag repla ements

ìëàçíèöà

êîìîðà çà ñàãîðåâà»å

~u

ãðëî

ðåçåðâîàð

Øåìàòñêè ïðèêàç ðàêåòå

à) Îäðåäèòè áðçèíó ñàòåëèòà êîjè ñå êðå£å íà íèñêîj êðóæíîj îðáèòè îêî Çåì§å. Çà íèñêó îðáèòó âàæè äà jå ïîëóïðå÷íèê îðáèòå ïðèáëèæíî jåäíàê ïîëóïðå÷íèêó Çåì§å. Êîëèêà jå êèíåòè÷êà åíåðãèjà òîã ñàòåëèòà àêî jå »åãîâà ìàñà ms = 200 kg? Êîëèêî ïóòà jå òà êèíåòè÷êà åíåðãèjà âå£à îä ìåñå÷íå ïîòðîø»å åëåêòðè÷íå åíåðãèjå jåäíîã äîìà£èíñòâà êîjà èçíîñè Qd = 350 kW · h? (3 ïîåía) á) Ó ðååðåíòíîì ñèñòåìó âåçàíîì çà ðàêåòó ãàñíà ñìåøà èñòè÷å êðîç ìëàçíèöó áðçèíîì u. àêåòà jå êðåíóëà èç ìèðîâà»à è òàäà jå »åíà ìàñà áèëà jåäíàêà m0. Êîëèêà £å áèòè áðçèíà ðàêåòå v êàä »åíà ìàñà áóäå m? Çàíåìàðèòè óòèöàj ñèëå Çåì§èíå òåæå è Çåì§èíå àòìîñåðå íà êðåòà»å ðàêåòå. (5 ïîåíà) â) Ó ðàêåòè ñå êàî ãîðèâî êîðèñòè òå÷íè íèòðîìåòàí (CH3NO2). Íèòðîìåòàí ñå ÷óâà ó ðåçåðâîàðó íà òåìïåðàòóðè Tr = 300 K è ïðèòèñêó p è îäàòëå ñå óáðèçãàâà ó êîìîðó çà ñàãîðåâà»å. Ó êîìîðè çà ñàãîðåâà»å äîëàçè äî õåìèjñêå ðåàêöèjå êîjà ñå îäâèjà ïðè êîíñòàíòíîì ïðèòèñêó p: CH3 NO2 −→ 0,8 CO + 0,2 CO2 + 0,7 H2 + 0,8 H2 O + 0,5 N2

ïðè êîjîj ñå òå÷íè íèòðîìåòàí ðàçëàæå íà ñìåøó ãàñîâà. Êîëè÷èíà òîïëîòå êîjà ñå îñëîáîäè ïðè íàâåäåíîjkJ ðåàêöèjè jåäíîã ìîëà íèòðîìåòàíà íà òåìïåðàòóðè Tr è ïðèòèñêó p je qm = 246 mol . Íàñòàëà ãàñíà ñìåøà ñå ìîæå ïîñìàòðàòèg êàî èäåàëíè ãàñ êîåèöèjåíòà àäèjàáàòå γ = 1,25 è ìîëàðíå ìàñå M = 20,3 mol . Îäðåäèòè òåìïåðàòóðó T ãàñíå ñìåøå. Ñìàòðàòè äà ñâà òîïëîòà êîjà ñå îñëîáîäè ó ðåàêöèjè (4 ïîåía) îäëàçè íà çàãðåâà»å ãàñíå ñìåøå ïðè êîíñòàíòíîì ïðèòèñêó p.

Çàäàòàê 1: Ñòðàíà 1 îä 2

6. ÑÏÑÊÀ ÔÈÇÈ×ÊÀ ÎËÈÌÏÈJÀÄÀ Ó×ÅÍÈÊÀ ÑÅěÈÕ ØÊÎËÀ ØÊÎËÑÊÀ 2011/2012. ÎÄÈÍÀ Äðóøòâî èçè÷àðà Ñðáèjå Ìèíèñòàðñòâî ïðîñâåòå è íàóêå åïóáëèêå Ñðáèjå

ÁÅÎ ÀÄ 26-27.5.2012.

ÇÀÄÀÖÈ

ã) Óñëåä ðàçëèêå ïðèòèñêà ó êîìîðè çà ñàãîðåâà»å è ïðèòèñêà âàí ðàêåòå äîëàçè äî ïðîòîêà ãàñíå ñìåøå êðîç ãðëî, ìëàçíèöó è »åíîã èñòèöà»à èç ðàêåòå. Íà£è áðçèíó u êîjîì ãàñíà ñìåøà èñòè÷å èç ðàêåòå (ó ðååðåíòíîì ñèñòåìó âåçàíîì çà ðàêåòó) àêî jå òåìïåðàòóðà ãàñíå ñìåøå ó êîìîðè T . Ñìàòðàòè äà jå ïîïðå÷íè ïðåñåê ìëàçíèöå çíàòíî ìà»è îä ïîïðå÷íîã ïðåñåêà êîìîðå çà ñàãîðåâà»å, à äà jå âàí ðàêåòå âàêóóì. Êîëèêa jå áðîjíà âðåäíîñò áðçèíå u êàäà ñå êîðèñòè ãîðèâî èç äåëà çàäàòêà â) ? (4 ïîåíà) ä) Êîëèêó ìàñó íèòðîìåòàíà òðåáà ïîòðîøèòè íà óáðçàâà»å ðàêåòå îä ìèðîâà»à äî ïðâå êîñìè÷êå áðçèíå, ïðè ÷åìó £å êîíà÷íà ìàñà ðàêåòå áèòè ms = 200 kg? (2 ïîåía)

¢) Ñòåïåí èñêîðèø£å»à õåìèjñêå åíåðãèjå ãîðèâà ïðè ïðîöåñó óáðçàâà»à ðàêåòå ñå äåèíèøå êàî îäíîñ êðàj»å êèíåòè÷êå åíåðãèjå ðàêåòå è òîïëîòå êîjà ñå îñëîáîäè ïðè ñàãîðåâà»ó ïîòðîøåíîã òå÷íîã ãîðèâà. ¢1) Óêîëèêî ñå ó ðåøå»ó äåëó çàäàòêà ïîä â) çàíåìàðè ÷ëàí êîjè ñàäðæè Tr (òj. çàìåíè äà je Tr = 0), ñòåïåí èñêîðèø£å»à ñå ìîæå èçðàçèòè ó çàâèñíîñòè ñàìî îä îäíîñà v/u áðçèíå ðàêåòå è áðçèíå èñòèöà»à ãîðèâà. Îäðåäèòè ìàòåìàòè÷êè îáëèê òå çàâèñíîñòè. Êîëèêè jå ñòåïåí èñêîðèø£å»à çà ðàêåòó èñïèòèâàíó ó îâîì çàäàòêó? (3 ïîåíà) ¢2) Ïðè êîì îäíîñó v/u jå ñòåïåí èñêîðèø£å»à ìàêñèìàëàí è êîëèêè jå òàj ñòåïåí èñêîðèø£å»à? Ïðèçíàâà£å ñå ñâà îáðàçëîæåíà íóìåðè÷êà ðåøå»à êîjà îä òà÷íèõ îäñòóïàjó çà ìà»å îä 10%. (2 ïîåía) Ôèçè÷êå êîíñòàíòå êîjå ìîæåòå êîðèñòèòè ó îâîì çàäàòêó: • Óáðçà»å ñèëå òåæå íà ïîâðøèíè Çåì§å: g = 9,81 sm • Ïîëóïðå÷íèê Çåì§å: Rz = 6400 km J • Óíèâåðçàëíà ãàñíà êîíñòàíòà: R = 8,31 mol·K • Ìîëàðíå ìàñå àòîìà âîäîíèêà, óã§åíèêà, àçîòà è êèñåîíèêà: g MH = 1 mol , MC = 12 molg , MN = 14 molg , MO = 16 molg . 2

Ïîäñåòíèê:

, çà a > 0 è b > 0. • Êîåèöèjåíò àäèjàáàòå jå ïî äåèíèöèjè jåäíàê γ = CC , ãäå jå Cp ìîëàðíè òîïëîòíè êàïàöèòåò ïðè êîíñòàíòíîì ïðèòèñêó, à Cv ìîëàðíè òîïëîòíè êàïàöèòåò ïðè êîíñòàíòíîj çàïðåìèíè. •

Rb

dx a x

= ln ab

p

v

äð Íåíàä Âóêìèðîâè£, Èíñòèòóò çà èçèêó, Áåîãðàä äð Äàðêî Òàíàñêîâè£, Èíñòèòóò çà èçèêó, Áåîãðàä Ïðåäñåäíèê Êîìèñèjå çà òàêìè÷å»à ñðåä»èõ øêîëà: äð Àëåêñàíäàð Êðìïîò, Çàäàòàê ïðèïðåìèî:

åöåíçåíò:

Çàäàòàê 1: Ñòðàíà 2 îä 2

Èíñòèòóò çà èçèêó, Áåîãðàä

6. СРПСКА ФИЗИЧКА ОЛИМПИЈАДА УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКА 2011/2012. ГОДИНА Друштво физичара Србије Министарство просвете и науке Републике Србије ЗАДАЦИ

БЕОГРАД 26-27.05.2012.

Задатак 2: Молекулске интеракције (24 поена) а) Сви молекули у природи међусобно дејствују на различите начине у зависности од самог типа молекула и карактера сила које делују између њих. Уопштено говорећи, понашање система од два интерагујућа молекула прикладно је разматрати помоћу зависности њихових потенцијалних енергија. Свака интеракција молекула на неком међусобном растојању r може се описати дефинисањем адекватног међумолекулског потенцијала U = f (r ). До данас теоријски није добијен аналитички облик криве U = f (r ) који би у потпуности репродуковао реално међудејство било која два молекула нпр. неког гаса. Семиемпиријски је, међутим, добијено неколико међумолекулских потенцијала који доста добро описују молекулске интеракије. Најједноставнији такав међумолекулски потенцијал је потенцијал круте сфере U кс (r ) , помоћу кога молекуле и њихово међудејство можемо посматрати као апсолутно еластичне сударе крутих билијарских куглица. Потенцијал U кс (r ) међудејства таквог система дат је у аналитичком облику као

⎧∞, r ≤ d , U кс (r ) = ⎨ ⎩0, r > d где r представља међумолекулско растојање а d – ефективни пречник молекула (најмање растојање које достигну центри два молекула приликом судара). Помоћу овог потенцијала могу се израчунати карактеристични параметри реалних гасова а и b из Ван дер Валсове једначине стања реалних гасова

⎛ a ⎜⎜ p + 2 VM ⎝

⎞ ⎟⎟(VM − b ) = RT , ⎠

где је VM = V / ν моларна запремина гаса, ν је број молова гаса, p његов притисак, T његова апсолутна температура, док је R = 8,314 J/(mol ⋅ K) универзална гасна константа. Најпогоднији експерименти којима се врше мерења одступања понашања реалних од идеалних гасова су они који се заснивају на мерењима тзв. фактора компресибилности z дефинисаног као

pV M . RT За идеалне гасове је z = 1 , док је за реалне гасове: 0 < z < 1 (када доминирају привлачне силе међудејства) или z > 1 (када доминирају одбојне силе међудејства). Ако се z развије у ред по VM добиће се да је z=

∞ ⎛ 1 B (T ) B3 (T ) B4 (T ) z = 1+ 2 + 2 + 3 + ... = 1 + ∑ Bk (T )⎜⎜ VM VM VM k =2 ⎝ VM

⎞ ⎟⎟ ⎠

k −1

,

где су Bk (T ) тзв. виријални коефицијенти који указују на степен међудејства молекула јер су уско повезани са међумолекулским потенцијалом. За једноставне молекуле довољно је задржати се на другом виријалном коефицијенту B2 (T ) који се израчунава помоћу формуле

6. СРПСКА ФИЗИЧКА ОЛИМПИЈАДА УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКА 2011/2012. ГОДИНА

⎡ ⎛ U (r ) ⎞ ⎤ 2 B2 (T ) = −2πN A ∫ ⎢exp⎜ − ⎟ − 1⎥ r dr , ⎝ kT ⎠ ⎦ 0 ⎣ ∞

где је N A = 6,022 × 10 23 mol -1 Авогадров број, U (r ) је претпостављени међумолекулски потенцијал, r је међумолекулско растојање, T је апсолутна температура гаса а k = 1,38 × 10 −23 J/K је Болцманова константа. Његова веза са параметрима а и b из Ван дер Валсове једначине стања дата је једноставном формулом облика

B2 (T ) = b −

a . RT

Очигледно је да, уколико је B2 (T ) < 0 преовлађују дејства привлачних сила, тј. доминира параметар а (нпр. на нижим температурама), а ако је B2 (T ) > 0 преовлађују дејства одбојних сила између молекула тј. доминира параметар b (нпр. на вишим температурама). Јединица за B2 (T ) је m 3 /mol . Израчунајте B2 (T ) и z = f (B2 ) за потенцијал круте сфере U кс (r ) , један мол гаса и

VM = 1 m 3 /mol ако је гас: a1) аргонски (d Ar = 316,2 pm); a2) угљендиоксидни (d CO 2 = 391,7 pm ). На основу добијених резултата повежите B2 (T ) са Ван дер Валсовим параметрима а и b. (10 поена) б) На садашњем нивоу развоја физике, молекули се сматрају сложеним електродинамичким системима који се покоравају законима квантне механике, али их у основи можемо сврстати у електромагнетни тип деловања. Познато је да између молекула у неком реалном гасу делују и привлачне и одбојне силе. Пошто међудејства молекула сврставамо у електромагнетна, у представљању ових сила можемо се водити аналогијом са Кулоновим силама. Посматрајмо један фиксирани поларни молекул А који има сталан диполни момент, и један неполарни молекул Б који је неутралан у електричном смислу када се налази ван спољашњег електичног поља (нема сталан диполни момент). Услед дејства електричног поља молекула А молекул Б се поларизује и у њему се индукује диполни момент (слика 1). Први експерименти су показали да, у општем случају, привлачне Fn и одбојне Fo силе међу молекулима реалних гасова у зависности од њихових међусобних растојања r можемо представити у облику: Fn = − a1 r m r0 и Fo = a2 r 13 r0 где су a1 , a2 и m константе, а r0 је јединични вектор у односу на правац који спаја центре молекула. Резултанта Fmd ових сила међудејства једнака је Fmd = Fn + Fo . б1) Одредите зависност Fn од међусобног растојања r у датом случају (слика 1) израчунавши вредност константе m . (6 поена) б2) На основу резултата под б1) и података из поставке задатка б), изведите општи израз за укупну потенцијалну енергију међудејства U md (r ) ова два молекула са

(

)

(

)

6. СРПСКА ФИЗИЧКА ОЛИМПИЈАДА УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА ШКОЛСКА 2011/2012. ГОДИНА слике 1 као функцију међусобног растојања r , знајући да је Fmd (r ) = −dU md (r ) / dr . (3 поена) в) За молекуле са слике 1 међумолекулски потенцијал који јако добро описује њихово међудејство јесте тзв. Ленард-Џонсов потенцијал U LJ (r ) облика

⎡⎛ σ ⎞ p ⎛ σ ⎞ k ⎤ U LJ (r ) = 4ε ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ r ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ r ⎠ где су p и k вредности степене зависности од растојања добијене под б1) и б2), и података поставке ε задатка б). Параметар ε представља дубину тзв. σ “потенцијалне јаме” на међумолекулском растојању r0 , где одбојне силе преузимају доминацију над привлачним силама, а U LJ (r ) има минимум (слика 2). Параметар σ представља растојање молекула при U LJ (r ) = 0 (слика 2). в1) Користећи се датом једначином за U LJ (r ) израчунајте вредност r0 = f (σ ). (3 поена) в2) Користећи се резултатом под v) израчунајте вредност U LJ (r0 ). (2 поена)

Задатак припремили: др Сања Тошић, Институт за физику, Београд др Бојан Николић, Институт за физику, Београд Рецензент: др Драган Д. Маркушев, Институт за физику, Београд Председник Комисије за такмичење ДФС: др Александар Крмпот, Институт за физику, Београд

6. SRPSKA FIZIQKA OLIMPIJADA UQENIKA SRED IH XKOLA XKOLSKA 2011/2012. GODINA Druxtvo fiziqara Srbije Ministarstvo prosvete i nauke Republike Srbije ZADACI

BEOGRAD 26-27.5.2012.

Zadatak 3: Magnetna levita ija (23 poena)

U ovom zadatku prouqiemo jedan od naqina da se ostvari magnetna levita ija. Gusto namotan kruni kalem sa N navoja polupreqnika a i zanemar ive deb ine nalazi se u horizontalnoj ravni. Na rastojau z iznad entra kalema koaksijalno je postav en mali provodni prsten polupreqnika b ≪ a, z, kao na sli i. Masa prstena je m, otpor R, a koefi ijent samoinduk ije L. Sistem emo posmatrati u ilindriqnom koordinatnom sistemu qija se z−osa poklapa sa osom kalema i usmerena je navixe, a kalem se nalazi u ravni z = 0. Odgovarajui jediniqni vektori u taqki prostora sa koordinatama (r, ϕ, z) su ~e , ~e i ~e . Ubrzae Zem ine tee je ~g = −g~e . Neka kroz kalem protiqe konstantna struja I u smeru kao na sli i. a) Pokaite da je radijalna komponenta magnetne induk ije na obodu prstena data sa B~ (z) = − 2b dBdz(z) ~e , gde je B (z) intenzitet z−komponente magnetne induk ije u entru prstena. (3 poena) b) Ukoliko kroz prsten protiqe konstantna struja jaqine I u smeru prikazanom na sli i, pokaite da je Amperova sila koja deluje na dB (z) prsten jednaka F~ = πb I dz ~e . Kakav treba da bude odnos stvarnih smerova struja I i I da bi prsten mogao da levitira, odnosno da nepokretno lebdi iznad kalema? (3 poena) Razmotrimo sada drugaqiju situa iju. Neka u smeru kao na sli i kroz kalem protiqe naizmeniqna struja i (t) = I cos Ωt koja se mea tako brzo da je 2π/Ω mnogo mae od bilo kog drugog vremena karakteristiqnog za dati sistem. Neka se prsten u trenutku t nalazi na visini z iznad kalema. v) Odredite elektromotornu silu ε (z, t) indukovanu u prstenu. (1 poen) (4 poena) g) Odredite struju i (z, t) koja protiqe kroz prsten. d) Odredite Amperovu silu F~ (z, t) koja~ deluje na prsten u ovom sluqaju. Predstavite F~ (z, t) u obliku zbira ~ vremenski~ konstantne komponente F (z) i vremenski promen ive komponente f (z, t). Kolika je sreda vrednost f (z, t) tokom jednog perioda 2π/Ω? (3 poena) Sada emo razmotriti magnetnu levita iju prstena. Æ) Pretpostavimo da se uti aj komponente f~ (z, t) na kretae prstena praktiqno moe zanemariti, xto emo pokazati kasnije. Ukoliko prsten levitira na visini z , odredite za koje vrednosti z e biti mogue male os ila ije prstena oko tog ravnotenog poloaja. Odredite ugaonu uqestanost ω takvih os ila ija u funk iji g, a i z . Zanemarite uti aj kretaa prstena na indukovanu elektromotornu silu. (6 poena) (1 poen) e) Koliku amplitudu mora da ima struja kroz kalem da bi prsten levitirao na visini z = a? ) Usled brze promen ivosti struje i (t), jasno je da vremenski promen iva komponenta Amperove sile slabo utiqe na kretae~ prstena.~ en doprinos se moe pro eniti na sledei naqin: smatrajui da tokom kretaa prstena vai f (z, t) ≈ f (z , t), odredite amplitudu prinudnih os ila ija prstena za realne vrednosti a = 20 cm, z = 10 cm i Ω = 100 Hz. (2 poena) Podsetnik: ~ kroz bilo koju zatvorenu povrxinu jednak je nuli. • Fluks vektora induk ije magnetnog po a B • Intenzitet induk ije magnetnog po a na osi krunog provodnika polupreqnika r kroz koji protiqe struja jaqine I , na rastojau z od egovog entra je B(z) = 2(z µ+Irr ) , gde je µ magnetna permeabilnost vakuuma. ~ deluje na beskonaqno mali deli • Elementarna Amperova sila kojom spo axe magnetno po e induk ije B provodnika duine dℓ kroz koji protiqe struja jaqine I je dF~ = Id~ℓ × B~ , pri qemu je smer vektora d~ℓ isti kao i referentni smer struje I . • (1 + x) ≈ 1 + αx, za |x| ≪ 1 i α ∈ R. r

ϕ

z

z

k

z

r

r

z

p

2

A

k

k

z

p

z

p

k

i

p

A

A

A

A

A

A

0

0

0

0

k

A

A

0

0

2

0

2

2 3/2

0

A

α

Zadatak pripremio: Milan Radoi, Institut za fiziku, Beograd Re enzenti: dr Antun Bala i Milan ee , Institut za fiziku, Beograd Predsednik komisije za takmiqee uqenika sredih xkola DFS: dr Aleksandar Krmpot, Institut za fiziku, Beograd

6. ÑÏÑÊÀ ÔÈÇÈ×ÊÀ ÎËÈÌÏÈJÀÄÀ Ó×ÅÍÈÊÀ ÑÅěÈÕ ØÊÎËÀ ØÊÎËÑÊÀ 2011/2012. ÎÄÈÍÀ Äðóøòâî èçè÷àðà Ñðáèjå ÁÅÎ ÀÄ

Ìèíèñòàðñòâî ïðîñâåòå è íàóêå åïóáëèêå Ñðáèjå

26-27.5.2012.

ÅØśÀ

Çàäàòàê 1: àêåòà (23 ïîåíà) êèíåòè÷êà åíåðãèjà jå

n=

T Qd

= 4,98

ms v 2 Rz = 9

√ ms g . Oäàòëå jå v = gRz = 7,92 km s , à T = 12 ms v 2 = 21 ms gRz = 6,28 · 10 J = 1,74 MW · h. Òà êèíåòè÷êà åíåðãèjà jå

à) Èç jåäíà÷èíå êðåòà»à ñàòåëèòà ïî îðáèòè ñëåäè

ïóòà âå£à îä ìåñå÷íå ïîòðîø»å jåäíîã äîìà£èíñòâà

3ï .

t è t+dt ñëåäè m(t)v(t) = m(t+dt)v(t+dt)+ [m(t) − m(t + dt)] [v(t + dt) − u], ãäå jå ÷ëàí ñ ëåâå ñòðàíå èìïóëñ ðàêåòå ó òðåíóòêó t, ïðâè ÷ëàí ñ äåñíå ñòðàíå jå èìïóëñ ðàêåòå ó òðåíóòêó t + dt, à äðóãè ÷ëàí ñ äåñíå ñòðàíå èìïóëñ èçáà÷åíå êîëè÷èíå ãàñà. Ñðå¢èâà»åì îâå jåäíà÷èíå ñå äîáèjà [m(t) − m(t + dt)] u = m [v(t + dt) − v(t)], îäàêëå R R m dm m 1 1 v dm jå − m = u dv . Èíòåãðàöèjîì ïîñëåä»å jåäíà÷èíå ñëåäè − m m = u 0 dv , ïà jå v = u · ln m0 0

á) Èç çàêîíà îäðæà»à èìïóëñà ïðèìå»åíîã íà òðåíóòêå

5ï .

â) Àêî ó ðåàêöèjè ó÷åñòâójå

nL

ìîëîâà ðåàêòàíòà, òàä íàñòàjå

nD = 3nL

ìîëîâà ãàñíå ñìåøå. Ïîøòî γ

îñëîáî¢åíà òîïëîòà îäëàçè íà ãðåjà»å ãàñíå ñìåøå, ñëåäè qm nL = nD Cp (T − Tr ), ãäå jå Cp = γ−1 R ìîëàðíè òîïëîòíè êàïàöèòåò ãàñíå ñìåøå ïðè êîíñòàíòíîì ïðèòèñêó. Òàêî ñå äîáèjà T = Tr + qm γ−1 nL R γ nD

= 2270 K 4ï

.

∆m ìàñà ãàñíå ñìåøå êîjà èñòåêíå çà íåêî ìàëî âðåìå, ∆n áðîj ìîëîâà ó òîj ∆V çàïðåìèíà êîjó jå òà êîëè÷èíà ãàñà çàóçèìàëà ó êîìîðè. Èç åíåðãèjñêîã áàëàíñà R ∆m p∆V = 12 ∆mu2 − ∆nCv T . Êîðèñòå£è jåäíà÷èíå p∆V = ∆nRT , Cv = γ−1 è M = ∆n q q 2γ RT 2qm nL 2γ RTr km u = γ−1 4ï . M . Îäàòëå jå u = M nD + γ−1 M = 3,05 s

ã) Íåêà jå à

ä) Èç äåëà á) ñëåäè ms

2480 kg 2ï

.

= m0 exp − uv

¢1) Ñòåïåí èñêîðèø£å»à jå

η =




, ïà jå ìàñà ïîòðîøåíîã ãîðèâà mg

2 1 2 ms v m nL . Êîðèñòå£è ðåøå»à äåëîâà ã), ä) è á) ñëåäè mg qM n

v/u = 2,79 äîáèjà ñå η = 0,51 3ï

ñëåäè


= m0 −ms = ms exp uv − 1 =

D

Ïîøòî jå

ìàñè, ñëåäè

η =

(v/u)2 v exp u −1 .

. Íàïîìåíà: Àêî ñå óçìå áðîjíà âðåäíîñò èç äåëà ã) (êîjà

íå óê§ó÷ójå çàíåìàðèâà»å ÷ëàíà êîjè ñàäðæè

Tr )

äîáèjà ñå

v/u = 2,59

è

η = 0,54.

Ïðèçíàâà£å ñå

îáà íàâåäåíà ðåøå»à. ¢2) Èñïèòèâà»åì óíêöèjå èçíîñè

η = 0,648 2ï

.

f (x) =

x2 ex −1 ñå äîáèjà äà ñå ìàêñèìóì äîñòèæå çà

x = 1,59 è òàj ìàêñèìóì

6.

AB C D E F AB 2011/2012. AE E C $ %

%

A B

2: )&

F

F

C F

* % " "

'

B2 (T )

D

!" $ &" "' ( &"

CD

D

U

B2 (T ) = −2'N A B Fexp −

U

= −2 'N A

d

0

C

DCA C BC A F D ( C" )D . D A (F C ) BC C F A d.! C (B U (r ) C F D F BC , A B ABC d A A BC F A F B C , A AB BC F 2 'N A d 3 / 3 .

A " D

z >1 A

D

F D

3 2 'N A d Ar m3 = 3,987 × 10 −5 . (1 ') 3 mol

B2CO 2 (T ) =

3 2'N A d CO 2

3

= 7,572 × 10 −5

m3 . (1 ') mol

F , C A

B B 2 (T )

BC )B

B C D

F

C

B2 Ar (T ) ≈ 1,0004 1 F A

2'N A d 3 . (2 ') 3

B2 (T ) BC DF " , D F , C A F AF D " C A F D A d.- D F B C D D C A C CA F C F B C D " BC A F ), D F C A A A A BC A D A BC F C C DCA A A . % F B C 3 D F A NA / 2 4 'd / 3 . % A A A A C F C

B2 Ar (T ) =

C

! FA B C ACF F C F "A A ( F F DT. D F C A 3 V M = 1 m /mol :

# D F D

D

F D

x →0

B 2 (T ) = −2'N A B [0 − 1]r 2 dr →

1) z Ar = 1 +

B F

E − 1C r 2 dr = D

lim exp(− x ) = 1 D

x→∞

2)

(r )

D )

∞

D FA lim exp(− x ) = 0

1)

(r )

B

# A E 26-27.5.2012.

!"

E 2 E 2 0 ∞ B0 Fexp − kT − 1CD r dr + Bd Fexp − kT − 1CD r dr . (2 ') d

,F C F

B

kT

0

AB

E FC (24

B

∞

E

( D

BC F

2) z CO 2 = 1 + F

D

B2 CO 2 (T ) 1

C A),

D

F

a CA D

z A

D

≈ 1,0008 . (2 ') F

A

D

6.

AB C D E F AB 2011/2012. AE .4

1)

C D B

C

E (r ) =

D C F

a m3 ≈ b = 0,04 , RT mol

B "

C F A )

(

1 q F 4' 3 0 (r − l )2

q BF A A 2l . &

2) B2CO 2

D

A r

C D F l