Sequencias e Series

Marília Brasil Xavier REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) F676s Fonseca, Rubens Vilhena Sequências e séries / Rubens Vilhena Fonseca – Belém: UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011. 24 p.; iI. ISBN: 978-85-88375-67-3 1.Sequências (Matemática). 2. Séries (Matemática). I. Universidade Estadual do Pará. II. Título. CDU: 517.521 CDD: 515.24 Índice para catálogo sistemático 1. Sequências (Matemática) 517.521

Belém - Pará - Brasil - 2011 -

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Seqüência: esta palavra está relacionada com sucessão ordenada de coisas. Seqüência infinita: sucessão interminável de números, chamados termos.

Exemplos: 1) 1,2,3,4,5,6,7...... 2) 2,4,6,8,10,..... 3) 1, 1/2,1/3,1/4,1/5,..... 4) 1,-1,1,-1,1,-1,.... Cada seqüência tem um padrão definido dado pelo termo geral.

Exemplos: 1) 2, 4, 6, 8,.... onde cada número representa o dobro de sua posição. O número 2 está na posição 1, portanto vale 2x1=2, o número 4 está na posição 2 e vale 2x2=4, e assim por diante. O termo geral portanto é 2n. 2) 1, 1/2,1/3,1/4,1/5,..... onde o termo geral é 1/n

3) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,....

1 ,....... 2n

4)

1 2 3 4 n , , , ,......., ,........ 2 3 4 5 n 1

5)

1,3,5,7,9,.... 2n 1,.....

Desta forma, a seqüência pode ser representada por seu termo geral. Assim, para o exemplo anterior: 1)

{2n}n

1

2)

1 2n

n 1

3) 4)

n n 1

n 1

{2n 1}n 1

5

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Observação: A letra n é denominada índice da seqüência (outras letras podem ser utilizadas).

Definição: Um seqüência é uma função cujo domínio é um conjunto de números inteiros. Assim, {a n }n 1 equivale a uma notação alternativa da função: f (n) a n , n 1,2,3,4.....

Exemplo: 1)

1 n

pode ser escrito como: y n 1

1 , n

n 1,2,3,4.... , cujo gráfico é:

6

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

2) Similarmente: {2(n 2 2)}n 1

3) Para: {( 1)n 1}n

1

Limite de uma seqüência: O limite de uma seqüência existe quando, à medida em que n cresce, os valores da seqüência também crescem ou diminuem em direção a um valor limite L. Em outras palavras, para qualquer número positivo , há um ponto N na seqüência, após o qual todos os termos estão entre as retas y L e y L .

Exemplo: 1)

1 n 1

ou seja lim n 1

n

1 n 1

0 n 1

7

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

2)

lim 1 n

1 2

n

1 n 1

Definição: Dizemos que uma seqüência {a n } converge para o limite L se dado um número inteiro N, tal que | a n L |

para n

0 qualquer, existir

N . Neste caso temos: lim an n

L.

Uma seqüência diverge, quando não converge para algum limite finito.

Propriedades: As propriedades válidas para limites usuais, também valem para seqüências: Suponha que as seqüências {a n } e {b n } convergem respectivamente para L1 e L2, e seja c uma constante. Então:

8

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

lim c c

n

lim ca n

c lim a n

lim (a n

bn )

lim a n

lim (a n

bn )

lim a n

n n n

n

lim (a n b n )

n

n

L1 L 2

lim b n

L1 L 2

n

n

n

n

n

lim a n

an bn

lim b n

lim a n lim b n

n

lim

cL1

L1 L2

n

lim b n

n

L1 L 2 se L 2

0

Exemplo: As seqüências a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre limite: n 2n 1

1)

lim n

n 1

n 2n 1

n 2) ( 1)

1 2

n 2n 1

. O gráfico desta função é: n 1

Visualmente verifica-se há dois limites distintos: um se refere aos termos de posição ímpar (pontos acima do eixo x) e outro se refere a termos de posição par (abaixo do eixo

9

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

x). O simples fato de estes limites não serem iguais, já seria suficiente para determinar a não convergência de série. n 1 (posições par) lim n 2n 1 2 n 1 (posições ímpar) lim n 2n 1 2

Propriedade: Uma seqüência converge para um limite L se e somente se as seqüências de termos de posição par e impar convergem ambas para L.

10

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

MONOTONICIDADE DE SEQÜÊNCIAS Teorema do confronto: Sejam {a n } , {b n } e {c n } seqüências tais que an bb cn , para todos os valores de n acima de um índice N. Se as seqüências {a n } e {c n } tiverem um limite , então {b n } terá o limite L quando n

comum L quando n Teorema: Se lim an n

0 então lim an

.

0.

n

Observação: As seqüências podem ser definidas recursivamente através de fórmulas de recursão.

p:

Ex. Algorítimo para o cálculo de y0

1,

yn

1

1 yn 2

2 yn

,

n

1,2,3,4,.....

Terminologia: Uma seqüência é dita : Estritamente crescente se a1

a 2 a3 a 4 ..... Estritamente decrescente se a1 a 2 a3 a 4 ..... Crescente se a1 a 2 a3 a 4 ..... Decrescente se a1 a 2 a3 a 4 ..... Se uma seqüência for estritamente crescente ou decrescente ela á dita estritamente monótona. Se uma seqüência for crescente ou decrescente ela é dita monótona.

Teste de monotonicidade: 1o. Método: Diferença entre termos sucessivos: Estritamente crescente se a n 1 a n 0 Estritamente decrescente se a n Crescente se a n 1 a n 0 Decrescente se a n

1

an

1

an

0

0

2o. Método: Razão entre dois termos sucessivos: Estritamente crescente se a n 1 / a n 1 Estritamente decrescente se a n 1 /a n 1 Crescente se a n 1 / a n 1 Decrescente se a n 1 / a n

1

11

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Observação 1) Algumas seqüências possuem um comportamento errático no início, apresentando uma propriedade a partir de um certo termo. 2) Normalmente a convergência ou divergência de uma seqüência não depende do comportamento de seus termos iniciais mas de seu comportamento a partir de um certo termo. 3) Se uma seqüência for crescente a partir de um certo termo então: a. Ela é limitada por uma cota superior de valor M ( a n seqüência converge para L M . b. Ela é ilimitada e lim a n .

M ) e a

n

4) A mesma observação é válida para seqüências decrescentes.

SÉRIES INFINITAS Observe o número: 1 3

0.33333333.... 0,3 0, 03 0, 003 0, 0003 0, 00003 0, 000003 ........ 3 3 3 3 3 3 ....... 10 100 1000 10000 100000 1000000

Pode-se afirmar que 1/3 pode ser escrito como um soma de uma série infinita de termos. Tomemos a seqüência de somas:

S1 S2 S3 S4

3 10 3 10 3 10 3 10

3 10 2 3 10 2 3 10 2

3 10 3 3 10 3

3 10 4

S5 A seqüência S1, S2, S3, S4,.... é uma sucessão de aproximações da “soma” da série infinita cujo valor é 1/3. Quanto mais avançarmos na série, melhor será esta aproximação. Tomando um termo geral da série acima:

12

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

3 10

Sn

3 10 2

3 10 3

3 10 n

.....

Assim, podemos concluir que um limite para esta soma é:

lim Sn

lim

n

n

3 10

3 10 2

3 10 3

.....

3 10 n

Para determinar este limite, temos que manipular a expressão de Sn. Multiplicando-se ambos os lados da expressão de Sn por 1/10 e subtraindo esta nova expressão da expressão para o Sn original tem-se:

Sn

1 1 1 3 10 n

Tomando-se o limite tem-se que a soma é dada por 1/3 como esperado.

Definições: 1) Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma:

uk

u1 u2

u3 u4 ....... uk

....... , onde u1, u2, u3, etc, são os termos da série.

k 1

2) O número Sn é chamado n-ésima soma parcial e a seqüência {Sn }n das somas parciais. 3) Se a seqüência {Sn }n ou seja: S

1

1

é chamda seqüência

convergir para um limite S, dizemos que a série converge para S,

uk . k 1

4) A série diverge se {Sn }n

1

diverge, e uma série divergente não tem soma.

Séries Geométricas: São aquelas em que cada termo é obtido multiplicando-se o anteriror por uma constante r fixa, conhecida como razão.

ar k

Forma geral:

a ar ar 2 .... ar k

...... .

k 0

Observação: Algumas vezes é conveniente iniciar a série por um índice diferente de 1, o que não modifica em nada a série. Uma série geométrica diverge se r

1 e converge se r 1 .

13

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

A soma de uma série convergente, tomando-se os n primeiros termos da série é:

ar k

Sn

a ar ar 2 .... ar n .

k 0

Multiplicando ambos os lados por r e subtraindo a expressão resultante da expressão de Sn anterior, tem-se: a 1 rn

Sn

.

1 r

Se r

1 , temos lim r n

0.

n

Então: lim Sn

lim

n

a 1 rn

a

1 r

1 r

n

.

Desta forma,

S lim ar k n

a

r

1.

1

1 2

se

1 r

Série Harmônica: k

1 1 k

1 3

1 .... 4

Esta série surge em conexão com os sons harmônicos produzidos pela vibração de uma corda musical. Diferentemente do que a nossa intuição possa nos dizer, esta série diverge, conforme prova a literatura.

Testes de Convergência: Para seqüências: Achar o termo geral e calcular o limite. Para séries: achar o termo geral da seqüência das somas parciais e encontrar o limite. Normalmente, este termo geral é muito difícil de ser obtido. Para isto, diversos testes de convergência/divergência foram obtidos.

Teste da divergência: uk , toma-se o termo geral da série, uk, e calcula-se o limite para k

Para a série k 1

a)

Se lim uk x

b) Se lim uk x

c)

0 , então a série

uk diverge. k 1

0 , então a série

uk converge ou diverge. k 1

uk converge, então lim uk

Se a série k 1

x

0.

14

.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Propriedades Algébricas: a)

Se uk e vk são séries convergentes, então (u k vk ) e convergentes e as somas destas séries estão relacionadas por:

(u k vk )

uk

vk

(u k vk )

e

b) Se c é uma constante não nula, então ambas as séries

cuk

divergem. No caso da convergência, vale: c)

c

(u k vk ) são séries

uk uk e

vk . vk convergem ou

uk

A convergência ou divergência não é afetada pela retirada de um número finito de termos uk

u1

u2

u3 ...

k 1

de uma série,

ou ambas convergem ou ambas divergem. uk

uN

uN

1

uN

2

...

k N

Note que a divergência não é afetada, mas o valor da soma sim!!!!

Teste da integral: Para uma função f (x) contínua, decrescente e com valores positivos para todo x

a , a série

f (n) será convergente se a integral imprópria n a

será divergente se f (x)dx

f (x)dx existir e a

.

a

Séries Hiper-Harmônicas ou p-Séries: São séries do tipo 1 1 1 1 1 ... ..... . Estas convergem se p 1 e divergem se 0 p p p 2 3 kp k 1 k Demonstração: use o teste da integral!

Teste da Comparação ak e

Sejam k 1

bk , k 1

1) Se a série maior convergir, então a série menor converge. 2) Se a série menor divergir, então a série maior diverge.

Dicas para a aplicação deste teste 1) Termos constantes no denominador podem geralmente ser eliminados sem afetar a divergência ou convergência da série. 2) Geralmente pode-se descartar os termos de menor grau em um polinômio do numerador e/ou denominador, deixando apenas o termo dominante.

15

p 1.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Teste da Comparação com Limites Sejam Se

ak e

bk séries de temos positivos e seja:

lim k

ak . bk

for finito e maior que 0, então ambas as séries convergem.

Teste da Razão Nos testes anteriores, era necessário encontrar uma série apropriada e estudar a sua convergência. Isto algumas vezes não é fácil de se obter. O próximo teste é bastante versátil, uma vez que funciona apenas com os termos da série dada. uk 1 lim k Seja uk uma série de termos positivos e suponha que uk 1 , a série converge Se 1 , a série diverge Se 1 , a série converge ou diverge Se

Teste da Raiz Seja Se Se Se

uk uma série de termos positivos e para 1 , a série converge 1 ou , a série diverge 1 , a série pode convergir ou divergir

16

lim k

k

uk

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

SÉRIES ALTERNADAS Possuem termos positivos e negativos.

Teste da Série Alternada ( 1) k ak converge se as duas condições forem satisfeitas:

Uma série alternada da forma k 1

a)

a1 > a2 > a3 ... > ak > ...

b)

lim k

ak

0

Exemplo ( 1) n n 1

an

1 n

1 n an

1 1

n 1

Note que esta é uma série harmônica alternada que, ao contrário da série harmônica simples, converge! A soma de séries alternadas chama atenção especial, já que estamos adicionando um termo positivo e um negativo sucessivamente à série. Para uma série que satisfaça as condições acima, onde S é a soma da série, então: a)

S está entre duas somas parciais sucessivas, isto é: Sn < S < Sn+1 ou Sn+1 < S < Sn

b) Se S for aproximada por Sn, então o erro absoluto |S - Sn| < an+1 e o sinal de S – Sn é igual ao do coeficiente de an+1.

Convergência Absoluta uk converge absolutamente se a série de valores absolutos Definição: A série converge, e diverge absolutamente se a série de valores absolutos diverge.

Observação: | uk | converge, então a série

Se a série k 1

uk também converge. k 1

Este resultado é útil na solução de problemas do tipo:

17

| uk |

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Exemplo Mostre que a série k

cos k converge. 2 1 k

O sinal desta série varia irregularmente. Assim vamos tratar a convergência de: k 1

cos k k2

mas cos k k2

1 k2 Série hiper-harmônica p>1 Converge

k

converge

cos k converge! 2 1 k

Observação: Os testes da razão e da raiz podem ser usados para o teste da convergência absoluta de uma série.

SÉRIES DE POTÊNCIAS Até o momento: séries cujos termos são números. Agora: séries cujos termos são funções. Séries de Potências em x

ck x k c0

c1 x c2 x 2

c3 x 3 ...

k 0

Exemplo n 0

xn n!

1 x

x2 2

x3 6

...

Quando x é substituído por um número, a série numérica resultante pode convergir ou divergir. Note que em x=0 a série sempre converge pra c0. O conjunto de valores nos quais a série converge é chamado intervalo de convergência, que, como pode ser provado, é centrado em zero.

18

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Para cada série de potências em x, exatamente uma das seguintes alternativas é verdadeira: a) A série converge somente em x=0 (raio de convergência 0). b) A série converge absolutamente (e portanto converge) para todos os valores reais de x (raio de convergência ). c) A série converge absolutamente (e portanto converge) para todo x em algum intervalo aberto finito (-R,R). e diverge se x R. Nos pontos x = R ou x =-R, a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da série particular (raio de convergência R). O procedimento usual para se determinar o raio de convergência é aplicar o teste da razão para convergência absoluta.

Série de potências em (x - x0) Se x0 for uma constante e se x for substituído por (x – x0) então a série de potências tem a forma:

ck ( x x0 ) k

c0

c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 ) 2 ... ck ( x x0 ) k

...

k 0

O intervalo de convergência é obtido de forma semelhante, substituindo x – x0 em x, ou seja, exatamente uma das alternativas é correta: a) A série converge apenas para x = x0; b) A série converge absolutamente para todos os valores reais de x; c) A série converge absolutamente para todo x em algum intervalo finito (x0 – R, x0 + R) e diverge se x < x0 + R ou x > x0 + R. Nos pontos x = x0 - R e x = x0 + R a série pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da série particular.

SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN Polinômios de MacLaurin:Veremos como aproximar funções por polinômios.

19

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Porém, se a curvatura for muito pronunciada nesta região, esta aproximação será rapidamente deteriorada à medida que se afasta de x0. Um polinômio de grau dois seria muito mais recomendável, especialmente se for garantido que a derivada primeira e segunda do polinômio coincidam com as da função no ponto x0. Assim, a função f (x) e o polinômio p(x) teriam a mesma derivada e concavidade no ponto x0.

p( x) c0 c1 x c2 x 2 onde: p(0)

f (0)

p(0) c0

f (0)

p ' ( 0)

f ' ( 0)

p ' ( 0)

c1

f ' ( 0)

p" (0)

f " (0)

p" (0)

2c2

Assim p( x)

f (0)

f ' (0) x

c2

f " ( 0)

f " (0) 2

f " (0) 2 x 2

Exemplo Encontre as aproximações linear e quadrática locais de ex em x = 0.

f (0) e0 1

f ' (0) e0 1

f " (0) e0 1

linear: p( x ) 1 x quadrática: p( x ) 1 x

x 2

2

Podemos extender este procedimento para um polinômio de grau n, de forma que as n primeiras derivadas coincidam com as derivadas de f (x) em x0. Se x0 = 0:

p( x) c0 c1 x c2 x 2 ... cn x n

20

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

f (0)

p(0) , f ' (0)

p' ( x )

c1

p" ( x )

2c2

p' ' ' ( x )

p' (0) , ..., f ( n) (0)

2c2 x 3c3 x 2

... ncn x n

p( n) (0)

1

3 2c3 x ... n( n 1)cn x n

2

4 3 2c4 x ... n( n 1)( n 2)cn x n

3 2 c3

3

 p (n) ( x)

n( n 1)( n 2)...(1)cn

f (0)

p(0)

c0

c0

f ' (0)

p' (0)

f ' ' (0)

p' ' (0)

f ' ' ' (0)

p' ' ' (0)

3 2 c3

p ( n ) (0)

n( n 1)( n 2)...(1)cn

c1

f (0)

c1

2c2

f ' (0) c2

f ' ' (0) 2 f ' ' ' (0) c3 3 2

f ' ' ' (0) 3!

 f ( n ) (0)

n! cn

cn

f ( n ) (0) n!

Assim:

pn ( x )

f (0)

f ' (0)

f ' ' (0) 2 x 2!

f ' ' ' (0) 3 x ... 3!

f ( n ) (0) n x n!

n-ésimo polinômio de MacLaurin, que na realidade representa uma série de potências

Polinômios de Taylor Se a aproximação for feita em um ponto x0 qualquer (para a série de MacLaurin a aproximação era na origem), temos o polinômio:

p( x) c0 c1 ( x x0 ) c2 ( x x0 )2 ... cn ( x x0 )n onde c0

f ( x0 )

Assim, pn ( x)

c1

f ( x0 )

f ' ( x0 )

f ' ( x0 )( x

c2

x0 )

f ' ' ( x0 )  cn 2!

f ' ' ( x0 ) (x 2!

x0 ) 2

f ( n ) ( x0 ) n!

...

f ( n ) (0) (x n!

polinômio de Taylor em toro de x = x0, se f (x) tiver n derivadas

21

x0 ) n

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Convergência da Série de Taylor Pn (x) n-ésimo polinômio de Taylor em torno de x0, cujo valor e as n-ésimas primeiras derivadas coincidem com aquelas de f em x0. Assim é razoável esperar que, à medida em que n cresce, os valores do polinômio de Taylor devem convergir para o valor de f (x) em torno de x0, ou seja: n

k 0

f k ( x0 ) (x k!

x0 ) L

f ( x ) quando n

Mas Pn (x) corresponde à n-ésima soma parcial da série de Taylor para f e a séria de Taylor converge para f (x) que é a sua soma. A questão que surge é: há um intervalo em torno de x0 para o qual a série converge para f (x), pra x pertencente a este intervalo? Isso é óbvio para o ponto x0, dadas as condições com que Pn (x) foi criado.

y n

x

e

P2 ( x ) 1

Rn ( x )

x

f ( x) k 0

x2 2

f k ( x) (x k!

x)k

n-ésimo resto para f em torno de x = xo

x

n

Ou seja:

f ( x) k 0

f k ( x0 ) (x k!

x0 ) k

Rn ( x )

fórmula de Taylor com resto

f k ( x0 )( x x0 ) k é verdadeira em um ponto x se, e somente se,

A igualdade f ( x ) k o

lim Rn ( x) 0 .

n

A estimativa deste resto não é trivial e não será abordada neste curso. Para se aproximar o valor de uma função f em torno de x usando uma série de Taylor, duas questões devem ser respondidas: 1.

Em torno de quais pontos a série de Taylor deve ser expandida?

2.

Quantos termos na série devem ser usados para alcançar a precisão desejada?

22

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Resposta: 1.

Em pontos x0 próximos de x, nos quais as derivadas de f possam ser facilmente calculadas.

2.

Depende de cada caso.

Funções Exponenciais Pode-se provar que a série de MacLaurin converge para ex, para todo x, isto é:

e

x k 0

para

xk k!

1 x

x2 2!

x3 3!

xk k!

...

x2 2

x3 3

x4 4

... ( 1 x 1)

...

x

Funções Logarítmicas A série de MacLaurin:

ln(1 x ) Convergência muito lenta

x

pouco uso prático.

Mas se substituirmos x por –x:

ln(1 x)

x

x2 2

x3 3

x4 4

e substituirmos as funções ln(1 x ) ln(1 x )

ln

1 x 1 x

2 x

x3 3

x5 5

x7 7

...

( 1 x 1)

Série Binomial Se m for um número real, então a série de MacLaurin para (1+x)m é chamada de série binomial e é dada por:

1 mx

m(m 1) 2 x 2!

m(m 1)( m 2) 3 x ... 3!

m(m 1)...( m k 1) m x m!

...

Se m é inteiro não negativo, todas as derivadas (m+1)-ésimas são nulas e portanto a série se reduz à expansão binomial familiar:

(1 x) m

1 mx

m(m 1) 2 x 2!

23

...

xm

x

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Porém, pode-se provar que esta série binomial converge para (1+x)m se |x| < 1. O u em notação sigma:

(1 x ) m

1 k

m(m 1)...( m k 1) m x k! 1

se |x| < 1

Diferenciação e Integração de uma Série de Potências Diferenciação de uma Série de Potências

ck ( x x 0 ) k

Se f ( x )

(x0 – R < x < x0 + R)

k 0

a função é diferenciável no intervalo de convergência e a série:

k

d [ck (x x 0 )k ] converge para f no mesmo intervalo, ou seja, 0 dx

f '(x) k

d [ck (x x 0 ) k ] dx 0

(x0 – R < x < x0 + R)

o mesmo pode ser extendido para f f

,f

, etc.

Conclusão: Se uma função f puder ser representada por uma série de potências em (x - x0) com raio de convergência diferente de zero, R, então f tem derivadas de todas as ordens sobre o intervalo (x0 – R, x0 + R).

Exemplo x3 x5 x7 sen x x ... 3! 5! 7! d d x3 x5 x7 [sen x ] x dx dx 3! 5! 7! 1

3x 2 3!

5x 4 5!

7x6 7!

... 1

x2 2!

... x4 4!

x6 6!

...

cos x

Integração de uma Série de Potências Se f ( x )

ck ( x x 0 ) k

(x0 – R < x < x0 + R)

[ ck (x x 0 ) k ] + C

(x0 – R < x < x0 + R)

k 0

f (x)dx k 0

24

SEQUÊNCIAS E SÉRIES

f ( x )dx

ou

x0 ) k dx onde e são pontos do intervalo (x0 – R, x0 + R).

ck ( x k 0

Exemplo x2 1 2!

cos xdx x

x3 3.( 2! )

x

x5 5.( 4! )

x3 3!

x5 5!

x4 4!

x6 6!

... dx

x7 ... C 7.( 6! )

x7 7!

... C

sen x C

Observação: Se uma função f estiver representada por uma série de potências em (x – x0) em algum intervalo aberto contendo x0, então aquela série de potências é a série de Taylor para f em torno de x – x0.

Dica: Como obter a série de Taylor para tan-1x? Das tabelas de intergrais temos que: 1 dx tan 1 x C 1 x2 1 Da tabela 2.9.1 temos: 1 x2 1 x2 tan 1 x C

[1 x 2

tan 1 x

x3 3

x

x5 5

x 4 x 6 ...] dx x7 7

Sabendo-se que tan 1 0 0 3

tan 1 x

x

x 3

5

x 5

...

x4

x6

...

x

x3 3

x5 5

C

C 0

7

x 7

... (-1 < x < 1)

25

x7 7

...