Sequencias e Séries - Resumos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA SEQUÊNCIAS E SÉRIES

Resumo Aula - MMT5207 - Cálculo para Engenharia de Materiais 3 – 03233

2014-1

SEQÜÊNCIAS Informalmente, uma “seqüência” significa uma sucessão de coisas em uma determinada ordem – cronologicamente, de tamanho, ou lógica por exemplo. Na matemática o termo “seqüência” é utilizado para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função.

Seqüências Numérica : Uma seqüência numérica ( ou progressão ) é uma sucessão de números, chamados termos ou elementos. Colocados numa ordem com primeiro termo, segundo termo, terceiro termo, e assim por diante. Se chamarmos cada termo de a i  ( onde i representa a posição do termo na seqüência) podemos representar uma seqüência por: a1 , a 2 , a 3 , a 4 , L Exemplos:  (1) 1,2,3, L   (2) 1,2,3,4,6,12   (3) 1, 1 2 , 13 , 1 4 , 15 L (4) 2,4,6,8L   (5) 1,−1, 1,−1L   (6) 1, 1 2 , 1, 13 , 1, 1 4 Seqüência Finita : Uma seqüência é dita finita quando “pára” em um determinado termo, ou seja, tem um último elemento. Exemplos: As seqüências (2) e (6) do exemplo anterior. Seqüência Infinita : Uma seqüência é dita infinita quando continua indefinidamente (ou não tem um último termo). Nesse caso são usadas reticências (...) para indicar que o padrão continua. Exemplos: As seqüências (1), (3), (4) e (5) do exemplo anterior. As cheias do Nilo. Termo geral: É uma regra ou um fórmula a partir da qual é possível gerar os elementos dessa sequencia. No exemplo acima, cada uma das seqüência tem um padrão definido, e seguindo–o torna-se fácil gerar termos adicionais. Mas, um padrão pode ser ilusório, dessa forma é importante importante ter o termo geral. Para isso, o objetivo é procurar uma função que relacione cada termo da seqüência a sua posição. Exemplos: (1) Na seqüências (4) cada termo é o dobro do número da sua posição: isto é, o n-ésimo.termo da seqüência é dado pela fórmula 2n. 3 4 5 6 7  (2) Determine o termo geral da seqüência:  ,− , ,− , ,...  5 25 125 625 3125  Exercícios 1. Em cada uma das seqüências a seguir, determine o termo geral: (a) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 L   (b) 1 2 , 1 4 , 18 , 116 L (c) 1 2 ,− 2 3 , 3 4 ,− 4 5 L  

(d) {1, 3, 5,7 L}

1 2. Considere a seqüência cujo termo geral é an= (3 − 5n + 6n 2 − n 3 ) . Calcule os três 3 primeiros termos e faça uma conjectura sobre o quarto termo. Verifique se a sua conjectura foi correta.

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Seqüências e Funções Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto de inteiros {1, 2, 3, 4 L , n, L} . Os números na imagem de uma seqüência são chamados elementos da seqüência. Se o n-ésimo termo for denotado por f(n), então a seqüência será o conjunto de pares ordenados da forma (n, f(n)); onde n é um inteiro positivo.

DEFINIÇÃO 01: Uma sequência de números reais é uma função f:IN → IR, que associa a cada número natural  n um número real f(n). Notação : Como o domínio de toda seqüência é o mesmo, a notação { f (n)} pode ser usada para denotar uma seqüência. Outra notação encontrada é a notação de subíndice {a n } , ou seja  f (n) = a n . n , determine os 5 primeiros termos. (2n + 1) 2) Dadas as seqüências, identifique o termo geral e escreva os três primeiros termos:

Exemplos: 1) Se  f (n) =

∞

n  a)    n + 1 n =1

b)

{

n − 3}n

∞

∞ =3

nπ     c) cos  6  n =0 

∞

 (−1) n (n + 1)  d)   3n   n =1

Gráfico de Seqüências : como uma seqüência é uma função, podemos esboçar o gráfico com seus pontos. 1 Exemplo: 1) Se  f (n) = , n = 1,2,3, L , esboce o gráfico com os 5 primeiros termos. Exercícios

n

1. Esboce o gráfico da seqüência  f (n) =

n , n = 1,2,3, L (2n + 1)

1 se n  for ímpar   n = 1,2,3, L 2. Esboce a seqüência definida por  f (n) =  2 se n  for   par   n + 2

Igualdade : Dizemos que a seqüência seqüência a1 , a 2 , a 3 , a 4 , L  é igual à seqüência b1 , b2 , b3 , b4 , L se e somente se a i = bi , para todo i inteiro positivo. OBS: Uma seqüência consiste em uma ordenação de elementos. Dessa forma, é possível que duas seqüências tenham os mesmos elementos e não serem iguais.

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 DEFINIÇÃO 02: A sequência {an } tem limite L se para qualquer ε>0 existir um número  N>0, se n for inteiro positivo e se n>N, então para todo |an-L|