Separatas Ingenieria de control

1 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

SILABO DE INGENIERIA DE CONTROL Duración del curso Profesor del curso

: 4 semanas (10 horas semanales) : Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

CONTENIDO DEL CURSO Semana 1: Modelado matemático de sistemas dinámicos Introducción a los sistemas de control, definiciones preliminares control en lazo cerrado, control en lazo abierto. Función de transferencia, diagramas de bloques, modelado en el espacio de estados, representación en el espacio de estados de sistemas dinámicos. Sistemas mecánicos, sistemas eléctricos y electrónicos, sistemas de nivel de líquidos y sistemas térmicos. Sistema con movimiento compuesto: el péndulo invertido. Linealización de modelos matemáticos no lineales. Semana 2: Respuesta en el tiempo. Lugar geométrico de las raíces Sistemas de primer orden, segundo orden y de orden superior, estabilidad, polos y ceros, criterio de estabilidad de Routh, efectos de las acciones de control, errores en estado estacionario. Graficas del lugar de las raíces, resumen de las reglas generales para construir los lugares de las raíces, sistemas con realimentación positiva, sistemas condicionalmente estables, lugares de las raíces para sistemas con retardo de transporte. Semana 3: Diseño de sistemas de control por el método LGR. Sintonía de controladores. Consideraciones preliminares de diseño, compensación de adelanto, compensación de retardo, compensación de retardo-adelanto, compensación paralela, controlador proporcional derivativo, controlador proporcional integral y controlador proporcional integral derivativo. Reglas de sintonía de Ziegler-Nichols: primer método y segundo método Semana 4: Diseño de sistemas de control mediante el método de la frecuencia. Diseño de sistemas realimentación con variables de estados. Controlabilidad. Observabilidad. Realimentación por ubicación de polos. Estimación del estado. Realimentación de salida. SISTEMA DE EVALUACION

𝑃𝑃 + 𝐸𝐹 2 PF = Promedio final, PP = Promedio de Practicas calificadas, EF = Examen Final 𝑃𝐹 =

BIBLIOGRAFIA Katsuhiko Ogata Richard Dorf Benjamín Kuo Paul Lewis

Ingeniería de Control Moderna Sistemas de Control Moderno Sistemas de Control Automático Sistemas de Control en Ingeniería

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Modelado matemático de sistemas dinámicos Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL El control automático ha desempeñado un papel vital en el avance de la ingeniería y la ciencia. Además de su gran importancia en los sistemas de vehículos espaciales, de guiado de misiles, robóticos y análogos, el control automático se ha convertido en una parte importante e integral de los procesos modernos industriales y de fabricación. Por ejemplo, el control automático es esencial en el control numérico de las maquinas herramientas de las industrias de manufactura, en el diseño de sistemas de piloto automático en la industria aeroespacial, y en el diseño de automóviles y camiones en la industria automotriz. También es esencial en las operaciones industriales como el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad y flujo en las industrias de proceso. Como los avances en la teoría y la práctica del control automático proporcionan los medios para conseguir un comportamiento optimo de los sistemas dinámicos, mejorar la productividad, simplificar el trabajo de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, así como de otras actividades, la mayoría de los ingenieros y científicos deben tener un buen conocimiento de este campo. Definiciones preliminares Variable controlada. La variable controlada es la cantidad o condición que se mide y controla. Variable manipulada. La variable manipulada es la cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Plantas. Una planta puede ser una parte de un equipo, tal vez un conjunto de los elementos de una maquina que funcionan juntos, cuyo objetivo es efectuar una operación particular. En este libro se llamara planta a cualquier objeto físico que se va a controlar. Procesos. Es cualquier operación que se a controlar. Sistemas. Es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un objetivo determinado. Perturbaciones. Es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema y es una entrada. Control realimentado. Se refiere a una operación que en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo realiza tomando en cuenta esta diferencia.

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Sistemas de control en lazo cerrado En este sistema, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. Sistemas de control en lazo abierto Los sistemas en la cual la salida no tiene efecto sobre la acción de control se denominan sistema de control en lazo abierto. En otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con sistemas en lazo abierto. Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y las variaciones internas en los parámetros del sistema. Es así posible usar componentes relativamente poco precisos y baratos para obtener el control adecuado de una planta determinada, mientras que hacer eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el punto de vista de estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un gran problema en el sistema de control en lazo cerrado, que puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de amplitud constante o cambiante. Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las entradas y en los cuales no hay perturbaciones del sistema. Obsérvese que la potencia nominal de salida determina en forma parcial el coste, peso y tamaño de un sistema de control. El número de componentes usados en un sistema de control en lazo cerrado es mayor que el que se emplea para un sistema de control equivalente en lazo abierto. Por lo tanto, el sistema de control enlazo cerrado suele tener costos y potencias más grandes. Para disminuir la potencia requerida de un sistema, se emplea un control en lazo abierto siempre que pueda aplicarse. Por lo general, una combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos costosa y ofrecerá un comportamiento satisfactorio del sistema global. EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROL Sistema de control de nivel En la figura Nº 01 se muestra un proceso en la un liquido esta fluyendo hacia el tanque con una velocidad Qin y sale con una velocidad Qout. El líquido en el tanque se encuentra a una altura o nivel h. si el flujo de salida no es exactamente igual al de la entrada entonces el nivel variara. Este proceso es propiamente llamado autorregulación. El objetivo es regular la altura h a un valor específico, el setpoint H (referencia). La altura o nivel es llamada la variable controlada.

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Qin

H h Qout

Fig Nº 01 el objetivo es regular el nivel del líquido en el tanque al valor H En la figura Nº 02 se muestra un sistema modificado que consigue el control artificial del nivel por un humano. El tubo S ha sido adicionado como ayuda para que el humano pueda ver cuál es el nivel en el tanque y comparar con el valor del setpoint H el cual ha sido marcado en el tubo. También se ha añadido una válvula para que el flujo de salida pueda ser cambiado por el humano. El flujo de salida es la variable manipulada o variable controlada. La altura puede ser regulada usando la siguiente estrategia: el humano mide la altura en el tubo S y lo compara con el valor del setpoint, luego abre o cierra la válvula para alcanzar el setpoint. Qin

H h Qout

Fig. Nº 02 Un humano puede regular el nivel usando un tubo S comparando el nivel h con el objetivo H y ajustar la válvula para cambiar el nivel. En la figura Nº 03 el sistema es modificado agregándole un control automático con maquinas electrónicas o computadoras para reemplazar la operación humana. Se ha agregado un sensor para medir el valor del nivel y entregar una señal proporcional. Esta señal es proporcionada al controlador y este envía una señal al actuador para que la válvula se abra o cierre y así alcance el setpoint.

5 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda sensor

Qin

H

controlador

setpoint

actuador H h Qout

Fig. Nº 03 Un sistema de control automático reemplaza al humano por medio de un controlador y un sensor para medir el nivel Sistema de control de temperatura La figura Nº 04 muestra un diagrama esquemático del control de temperatura de un horno eléctrico. La temperatura del horno eléctrico se mide mediante un termómetro, que es un dispositivo analógico. La temperatura analógica se convierte a una temperatura digital mediante un convertidor A/D. la temperatura digital se introduce en un controlador mediante un interfaz. Esta temperatura digital se compara con la temperatura de entrada programada, y si hay discrepancia (error) el controlador envía una señal al calefactor, a través de un interfaz, amplificador y relé, para hacer que la temperatura del horno adquiera el valor deseado.

Conversor A/D

interfaz

Entrada programada

Horno eléctrico

calefactor

PC rele

amplificador

interfaz

Fig Nº 04 Sistema de control de temperatura

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TIPOS DE CONTROLADORES UNIVERSAL DIGITAL CONTROLLERS UDC 6300 El Controlador de Procesos UDC 6300 ofrece diagramas de barras verticales y pantalla digital, es ideal para aplicaciones de procesos continuos (formato frontal: 72x144mm). Características:

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PROGRAMMABLE LOGIC CONTROLLER Se ha diseñado para programar y controlar procesos secuenciales en tiempo real. Por lo general es posible encontrar este tipo de equipos en ambientes industriales. Los PLC sirven para realizar automatismos; son dispositivos electrónicos que producen programas informáticos, que permiten controlar procesos.

PLC Micrologix 1000

SLC 500

S7-300

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PROGRAMMABLE AUTOMATION CONTROLLER Un controlador de automatización programable, o PAC (del inglés Programmable Automation Controller), es una tecnología industrial orientada al control automatizado, al diseño de prototipos y a la medición. El PAC se refiere al conjunto formado por un controlador (una CPU típicamente), módulos de entradas y salidas, y uno o múltiples buses de datos que lo interconectan todo. Este controlador combina eficientemente la fiabilidad de control de un autómata (controlador lógico programable o PLC) junto a la flexibilidad de monitorización y cálculo de un PC. A veces incluso se le une la velocidad y personalización de la microelectrónica. Los PACs pueden utilizarse en el ámbito investigador (prototipaje rápido de controladores o RCP), pero es sobre todo en la industria, para control de máquinas y procesos, donde más se utiliza. A destacar los siguientes: múltiples lazos cerrados de control independientes, adquisición de datos de precisión, análisis matemático y memoria profunda, monitorización remota, visión artificial, control de movimiento y robótica, seguridad controlada, etc. Los PAC se comunican usando los protocolos de red abiertos como TCP/IP, OPC (OLE for process control), SMTP, puerto serie (con Modbus por ejemplo), etc, y es compatible con los privados (CAN, Profibus, etc). Un ejemplo claro de utilización es en un sistema de control de un proceso determinado. El elemento controlador es el sitio donde se toman todas las decisiones sobre las acciones a tomar. Se le puede considerar el "cerebro" del sistema. Debe tomar decisiones basadas en ciertas pautas o valores requeridos. Los valores establecidos son introducidos en el sistema por el hombre.

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MODELO MATEMATICO DE SISTEMAS DINAMICOS Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión o, al menos bastante bien. Téngase presente que un modelo matemático no es único para un sistema determinado. La dinámica de muchos sistemas, ya sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc., se describen en términos de ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos. Sistemas lineales. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la cusa y el efecto, lo cual implica que se aplique el principio de superposición, el sistema se considera lineal. Sistemas lineales invariantes y variantes en el tiempo. Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones solo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes en el tiempo. Suponiendo que tenemos un circuito RLC serie cuyos parámetros son constantes. Entonces analizando el circuito tenemos:

vi (t )

L

R

i(t ) 𝒗𝑹 + 𝒗𝑳 + 𝒗𝑪 = 𝒗𝒊 𝒗𝑹 = 𝑹𝒊 𝒅𝒗𝑪 𝒊=𝑪 𝒅𝒕 𝒗𝑪 = 𝒗 𝒐

vo (t ) C

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𝒅𝒗𝑪 𝒅𝒗𝒐 = 𝑹𝑪 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑑𝑖 𝑑 𝑑𝑣𝐶 𝑑 2 𝑣𝐶 𝑑 2 𝑣𝑜 𝑣𝐿 = 𝐿 = 𝐿 (𝐶 ) = 𝐿𝐶 = 𝐿𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝟐 𝒅 𝒗𝒐 𝒅𝒗𝒐 𝑳𝑪 + 𝑹𝑪 + 𝒗𝒐 = 𝒗𝒊 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒗𝑹 = 𝑹𝑪

Se observa que el modelo matemático es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes e invariantes con el tiempo. Al estudiar el lanzamiento vertical de un cohete tomando en cuenta la fuerza de gravedad

x

v

mg

vr El cohete en su vuelo vertical hacia arriba, arroja un chorro continuo de gas. Se pide determinar la dinámica del cohete, donde 𝑣 es la velocidad del cohete, 𝑣𝑟 la velocidad de salida de los gases de modulo constante y dirigida en sentido opuesto al movimiento del cohete. Despreciando la resistencia del aire, suponiendo que la parte activa de la trayectoria no es muy grande en comparación con el radio de la tierra. Considerando que la aceleración de la fuerza de gravedad es constante e igual a su valor en la superficie terrestre (segundo problema de Tsiolkovski). 𝒎

𝒅𝒗 𝒅𝒎 = −𝒎𝒈 − 𝒗𝒓 𝒅𝒕 𝒅𝒕

En este modelo matemático la masa es variable, entonces la ecuación diferencial no es lineal.

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FUNCION DE TRANSFERENCIA Y DE RESPUESTA IMPULSO La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformadas de Laplace de la entrada (función excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. Considérese el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación diferencial: 𝒂𝟎 𝒚(𝒏) + 𝒂𝟏 𝒚(𝒏−𝟏) + ⋯ + 𝒂𝟏 𝒚̇ + 𝒂𝒏 𝒚 = 𝒃𝟎 𝒙(𝒎) + 𝒃𝟏 𝒙(𝒎−𝟏) + ⋯ + 𝒃𝒎−𝟏 𝒙̇ + 𝒃𝒎 𝒙 𝑦 = 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 La función de transferencia de este sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero: ℒ[𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎] 𝑌(𝑠) 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺(𝑠) = = ℒ[𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎] 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) 𝑏0 𝑠 𝑚 + 𝑏0 𝑠 𝑚 + ⋯ + 𝑏𝑚−1 𝑠 + 𝑏𝑚 = 𝑋(𝑠) 𝑎0 𝑠 𝑛 + 𝑎1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑠 + 𝑎𝑛 A partir del concepto de función de transferencia es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de orden n-esimo. Comentarios acerca de la función de transferencia. 1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. 2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. 3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. 4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema. 5. Si se desconoce la función de transferencia de un subsistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física.

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DIAGRAMAS DE BLOQUES El diagrama de bloques de un sistema es una representación grafica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tales diagramas muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes.

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MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto de variables más pequeño (llamadas variables de estado), de forma que el conocimiento de estas variables en 𝑡 = 𝑡0 junto con el conocimiento de la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier 𝑡 ≥ 𝑡0 . Variables de estado. Las variables de un sistema dinámico son las variables que constituyen el menor conjunto de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si al menos se necesitan n variables 𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), … , 𝑥𝑛 (𝑡) para describir completamente el comportamiento de un sistema dinámico (de forma que una vez que la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0 esta dada y el estado inicial en 𝑡 = 𝑡0 esta especificado, el estado futuro del sistema está determinado completamente), entonces tales n variables son un conjunto de variables de estado. Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces estas n variables de estado se pueden considerar como las n componentes de un vector x. Este vector se denomina vector de estado. Un vector de estado es por lo tanto, un vector que determina unívocamente el estado del sistema x(t) en cualquier instante del tiempo 𝑡 ≥ 𝑡0 especificado.

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Espacio de estados. El espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje 𝑥1 , eje 𝑥2 , …., eje 𝑥𝑛 , donde 𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), … , 𝑥𝑛 (𝑡) son las variables de estado, se denomina espacio de estados. Ecuaciones en el espacio de estados. Sea un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas con n integradores. Supóngase también que hay r entradas 𝑢1 (𝑡), 𝑢2 (𝑡), … , 𝑢𝑟 (𝑡) y m salidas 𝑦1 (𝑡), 𝑦2 (𝑡), … , 𝑦𝑚 (𝑡). Se define las n salidas de los integradores como variables de estado: 𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), … , 𝑥𝑛 (𝑡). Entonces el sistema se puede describir mediante 𝒙̇ (𝑡) = 𝒇(𝒙, 𝒖, 𝑡) 𝒚(𝑡) = 𝒈(𝒙, 𝒖, 𝑡) Si se linealizan estas ecuaciones alrededor del estado de operación, se tienen las siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas: 𝒙̇ (𝑡) = 𝑨(𝑡)𝒙(𝑡) + 𝑩(𝑡)𝒖(𝑡) 𝒚(𝑡) = 𝑪(𝑡)𝒙(𝑡) + 𝑫(𝑡)𝒖(𝑡) Donde 𝑨(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑩(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑪(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑫(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explícitamente, el sistema lineal se denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso las ecuaciones se simplifican a 𝒙̇ (𝑡) = 𝑨𝒙(𝑡) + 𝑩𝒖(𝑡) 𝒚(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡) + 𝑫𝒖(𝑡) D *

u B

x

+ +

 dt

+

x C

+

y

A

Correlación entre funciones de transferencia y ecuaciones en el espacio de estados Tomando transformadas de Laplace a las ecuaciones de estado y de salida 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖

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Se obtiene 𝑠𝑋(𝑠) − 𝑥(0) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑢(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Que implica

𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0) + (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0) + 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0)𝐵𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) Si la condición inicial 𝑥(0) = 0 𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0)𝐵𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠) La función de transferencia será 𝒀(𝒔) = 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏 𝑩 + 𝑫 𝑼(𝒔) la ecuación característica es: |𝒔𝑰 − 𝑨| ELEMENTOS ELECTRICOS LINEALES i (t ) + Resistencia (ohmios)

v (t )

R

v(t )  Ri(t )

L

v(t )  L

di(t ) dt

C

i(t)  C

dv(t) dt

-

i (t ) + Inductancia (henrios)

v (t ) -

i (t ) +

v (t )

Capacitancia (faradios) -

ELEMENTOS MECANICOS LINEALES TRASLACIONALES Amortiguamiento Viscoso (N.s/m)

v (t )

f (t )  Bv(t )

f (t ) B

v (t ) Masa (Kg)

f (t )

f (t)  M

M

dv(t) dt

v (t ) Resorte lineal (N/m)

f (t )  Kx(t )

f (t ) K

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ELEMENTOS MECANICOS LINEALES ROTACIONALES B Amortiguamiento Viscoso (N.m.s/rad)

T (t)

B

T (t )  Bw(t )

w (t ) J Momento de inercia (Kg.m2)

T (t )

T(t)  J

dw(t) dt

w (t ) T (t ) K Resorte torsional (n.m/rad)

T (t )  K (t )

w (t )

SISTEMAS DE NIVEL DE LÍQUIDO

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SISTEMAS TERMICOS Considérese el sistema que aparece en la figura. Se supone que el tanque está aislado para eliminar las pérdidas de calor hacia el aire circundante.

Liquido caliente calefactor

Liquido frio

mezclador

Fig. Nº sistema térmico

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También se supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el líquido del tanque está perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable. De este modo, se usa una sola temperatura para describir la del líquido en el tanque y la del líquido que sale. Sean: 𝛩𝑖 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎, °𝐶 𝛩𝑜 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒, °𝐶 𝐺 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝐾𝑔/𝑠𝑒𝑔 𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒, 𝐾𝑔 𝑐 = 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜, 𝐾𝑐𝑎𝑙/𝐾𝑔 °𝐶 𝑅 = 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎, °𝐶 𝑠𝑒𝑔/𝑘𝑐𝑎𝑙 𝐶 = 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎, 𝐾𝑐𝑎𝑙/°𝐶 𝐻 = 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝐾𝑐𝑎𝑙/𝑠𝑒𝑔 Supóngase que la temperatura del líquido que entra se mantiene constante y que el flujo de calor de entrada al sistema (calor que proporciona el calefactor) cambia repentinamente de 𝐻 𝑎 𝐻 + ℎ𝑖 donde ℎ𝑖 representa un cambio pequeño en el flujo de calor de entrada. El flujo de calor de salida cambiara, entonces de forma gradual, de 𝐻 𝑎 𝐻 + ℎ𝑜 . La temperatura del liquido que sale también cambiara de 𝛩𝑜 𝑎 𝛩𝑜 + 𝜃. Para este caso ℎ𝑜 , 𝐶 , 𝑅 se obtienen, respectivamente como ℎ𝑜 = 𝐺𝑐𝜃 𝐶 = 𝑀𝑐 𝜃 1 𝑅= = ℎ𝑜 𝐺𝑐 La ecuación diferencial para este sistema es 𝐶𝑑𝜃 = (ℎ𝑖 − ℎ𝑜 )𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝐶 = ℎ𝑖 − ℎ𝑜 𝑑𝑡 Que puede reescribirse como 𝑅𝐶

𝑑𝜃 + 𝜃 = 𝑅ℎ𝑖 𝑑𝑡

Obsérvese que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o M/G segundos. La función de transferencia se obtiene mediante 𝛩𝑜 (𝑠) 𝑅 = 𝐻𝑖 (𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1 En la práctica, la temperatura del líquido que entra puede fluctuar y actuar como perturbación de carga. ( si se pretende mantener una temperatura de salida constant6e, puede instalarse un controlador automático que ajuste el flujo de calor de entrada, con el

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propósito de compensar las fluctuaciones de temperatura del liquido que entra.) si la temperatura del liquido que entra cambia repentinamente de 𝛩𝑖 𝑎 𝛩𝑖 + 𝜃𝑖 , mientras que el flujo de calor de entrada H y el flujo del liquido G se conservan constantes, el flujo de calor de salida cambiara 𝐻 𝑎 𝐻 + ℎ𝑜 y la temperatura del liquido que sale cambiara de 𝛩𝑜 𝑎 𝛩𝑜 + 𝜃. La ecuación diferencial para este caso es 𝐶𝑑𝜃 = (𝐺𝑐𝜃𝑖 − ℎ𝑜 )𝑑𝑡 𝐶

𝑑𝜃 = 𝐺𝑐𝜃𝑖 − ℎ𝑜 𝑑𝑡

Que puede escribirse como 𝑅𝐶

𝑑𝜃 + 𝜃 = 𝜃𝑖 𝑑𝑡

La función de transferencia que relaciona 𝜃 𝑦 𝜃𝑖 se obtiene mediante 𝛩(𝑠) 1 = 𝛩𝑖 (𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1 Si este sistema térmico está sujeto a cambios en la temperatura del líquido que entra y en el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del líquido se conserva constante, el cambio 𝜃 en la temperatura del líquido que sale se obtiene mediante la siguiente ecuación: 𝑑𝜃 𝑅𝐶 + 𝜃 = 𝜃𝑖 + 𝑅ℎ𝑖 𝑑𝑡 La figura muestra un diagrama de bloques que corresponde a este caso. Obsérvese que el sistema tiene dos entradas.

 i (s) R

Hi (s)

+

+ 1 RCS

 (s)

-

Fig. Nº Diagrama de bloques del sistema térmico

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SISTEMA CON MOVIMIENTO COMPUESTO: EL PENDULO INVERTIDO Un péndulo invertido montado en un carro manejado por un motor aparece en la figura Nº1. Este es un modelo del control de posición de un propulsor primario espacial para despegues. (El objetivo del problema del control de posición es conservar el propulsor primario espacial en una posición vertical.) El péndulo invertido es inestable porque puede girar en cualquier momento y en cualquier dirección, a menos que se le aplique una fuerza de control conveniente. Aquí se considera solo un problema en dos dimensiones, en el cual el péndulo solo se mueve en el plano de la página. Se aplica al carro la fuerza de control u. supóngase que el centro de gravedad de la barra del péndulo está en su centro geométrico. Obténgase un modelo matemático para este sistema.

L

y 

( xG , yG )

x V

mg

H

o

u

H

x

M V

𝜃 = 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑢 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 (𝑥𝐺 , 𝑦𝐺 ) = 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜. 𝐿 = 2𝑙 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝐼 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝛼 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 Las coordenadas del centro de gravedad son 𝒙𝑪𝑮 = 𝒙 + 𝒍𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒚𝑪𝑮 = 𝒍𝒄𝒐𝒔𝜽

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El movimiento rotacional de la barra alrededor de su centro de gravedad. En este caso la suma de momentos alrededor del centro de gravedad de la barra (de sentido positivo en la dirección de las agujas del reloj. ∑ 𝑴𝑪𝑮 = 𝑰𝑪𝑮 𝜶 𝜶 = 𝜽̈ 𝑰𝜽̈ = 𝑽(𝒍𝒔𝒆𝒏𝜽) − 𝑯(𝒍𝒄𝒐𝒔𝜽) El movimiento horizontal del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene mediante. ∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒙 = 𝒙̈ 𝑪𝑮 𝑯 = 𝒎𝒙̈ 𝑪𝑮 El movimiento vertical del centro de gravedad de la barra del péndulo se obtiene mediante. ∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 𝒂𝒚 = 𝒚̈ 𝑪𝑮 𝑽 − 𝒎𝒈 = 𝒚̈ 𝑪𝑮 El movimiento horizontal del carro se describe mediante: ∑ 𝑭𝒙 = 𝒎𝒂𝒙 𝒖 − 𝑯 = 𝑴𝒙̈ Como se debe mantener el péndulo invertido en posición vertical, entonces el ángulo de rotación es muy pequeño (linealización). 𝒔𝒆𝒏𝜽 ≈ 𝜽, 𝒄𝒐𝒔𝜽 ≈ 𝟏 Luego las ecuaciones linealizadas, son: 𝒙𝑪𝑮 = 𝒙 + 𝒍𝜽 𝒚𝑪𝑮 = 𝒍 ̈ 𝑰𝜽 = 𝑽𝒍𝜽 − 𝑯𝒍 𝒙̈ 𝑪𝑮 = 𝒙̈ + 𝒍𝜽̈ 𝒚̈ 𝑪𝑮 = 𝟎 𝑯 = 𝒎(𝒙̈ + 𝒍𝜽̈) 𝑽 − 𝒎𝒈 = 𝟎 𝒖 − 𝑯 = 𝑴𝒙̈ 𝒖 = 𝑴𝒙̈ + 𝑯 = 𝑴𝒙̈ + 𝒎(𝒙̈ + 𝒍𝜽̈) Se obtienen las ecuaciones que describen el movimiento compuesto del sistema péndulo invertido. Estas ecuaciones constituyen el modelo matemático lineal

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(𝑴 + 𝒎)𝒙̈ + 𝒎𝒍𝜽̈ = 𝒖 (𝑰 + 𝒎𝒍𝟐 )𝜽̈ + 𝒎𝒍𝒙̈ = 𝒎𝒈𝒍𝜽 𝒙𝟏 = 𝜽 𝒙𝟐 = 𝜽̇ 𝒙𝟑 = 𝒙 𝒙𝟒 = 𝒙̇ 𝒚𝟏 𝒙𝟏 𝜽 𝒚 = [𝒚 ] = [ ] = [𝒙 ] 𝟐 𝒙 𝟑 𝒙̇ 𝟏 = 𝜽̇ = 𝒙𝟐 𝒙̇ 𝟐 = 𝜽̈ 𝒙̇ 𝟑 = 𝒙̇ = 𝒙𝟒 𝒙̇ 𝟒 = 𝒙̈ (𝑴 + 𝒎)𝒎𝒈𝒍 𝒎𝒍 𝒙 − 𝒖 𝟏 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 𝑰 + 𝒎𝒍𝟐 𝒎𝟐 𝒍𝟐 𝒈 𝒙̇ 𝟒 = 𝒖 − 𝒙 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 𝟏 𝒙̇ 𝟐 =

La ecuación de estado y salida tienen la forma 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖 𝟎 (𝑴 + 𝒎)𝒎𝒈𝒍 𝒙̇ 𝟏 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 𝒙̇ [ 𝟐] = 𝟎 𝒙̇ 𝟑 𝒎𝟐 𝒍𝟐 𝒈 𝒙̇ 𝟒 − [ (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐

𝟏

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎 𝟎

𝟎 𝟎

𝒚𝟏 𝟏 [𝒚 ] = [ 𝟎 𝟐

𝟎 𝟎

𝟎

𝟎 𝒎𝒍 𝒙𝟏 − 𝟎 (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 𝒙 [𝒙𝟐 ] + 𝒖 𝟎 𝟑 𝟏 𝒙𝟒 𝑰 + 𝒎𝒍𝟐 𝟎 [ (𝑴 + 𝒎)𝑰 + 𝒎𝑴𝒍𝟐 ] ] 𝟎 𝟏

𝒙𝟏 𝟎 𝒙𝟐 ][ ] 𝟎 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟏

El momento de inercia de la barra alrededor de su centro de gravedad es 𝑰 = 𝟑 𝒎𝒍𝟐

23 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

LINEALIZACION DE MODELOS MATEMATICOS NO LINEALES. Sistema no lineal. Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por lo tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados. Linealización de sistemas no lineales. En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir alrededor de un punto de equilibrio y las señales pueden considerarse señales pequeñas alrededor del equilibrio. Sin embargo, si el sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y las señales involucradas son pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal. Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales. Con la finalidad de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables solo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considérese un sistema cuya entrada es 𝑥(𝑡) y cuya salida es 𝑦(𝑡). La relación entre 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡). se obtiene mediante 𝑦 = 𝑓(𝑥) Si la condición de operación normal corresponde a 𝑥̅ , 𝑦̅. La ecuación anterior se expande en series de Taylor alrededor de este punto 𝑑𝑓 1 𝑑2 𝑓 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥̅ ) + (𝑥 − 𝑥̅ ) + (𝑥 − 𝑥̅ )2 2 + ⋯ 𝑑𝑥 2! 𝑑𝑥 𝑑𝑓

𝑑2 𝑓

Donde las derivadas 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥 2 , …. Se evalúan en 𝑥 = 𝑥̅ . Si la variación 𝑥 − 𝑥̅ es pequeña, es posible no considerar los términos de orden superior en 𝑥 − 𝑥̅ . Entonces la ecuación se escribe como 𝑑𝑓 𝑦 ≈ 𝑓(𝑥̅ ) + (𝑥 − 𝑥̅ ) 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑦̅ + 𝐾(𝑥 − 𝑥̅ ) 𝐾=

𝑑𝑓 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥̅ 𝑑𝑥

Considérese un sistema no lineal cuya salida 𝑦 es una función de dos variables 𝑥1 , 𝑥2 de modo que 𝑦 = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 ) Con la finalidad de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la serie de Taylor alrededor del punto de operación normal 𝑥̅1 , 𝑥̅2 entonces

24 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

𝜕𝑓 𝜕𝑓 1 𝜕 2𝑓 1 𝜕 2𝑓 + (𝑥2 − 𝑥̅2 ) + (𝑥1 − 𝑥̅1 )2 2 + (𝑥2 − 𝑥̅2 )2 2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2! 𝜕𝑥1 2! 𝜕𝑥2 2 𝜕 𝑓 + (𝑥1 − 𝑥̅1 )(𝑥2 − 𝑥̅2 ) +⋯ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

𝑦 = 𝑓(𝑥̅1 , 𝑥̅ 2 ) + (𝑥1 − 𝑥̅1 )

Donde las derivadas parciales se evalúan en 𝑥1 = 𝑥̅1 , 𝑥2 = 𝑥̅2 . Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante 𝑦 ≈ 𝑦̅ + (𝑥1 − 𝑥̅1 )

𝜕𝑓 𝜕𝑓 + (𝑥2 − 𝑥̅ 2 ) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2

𝑦 = 𝑦̅ + 𝐾1 (𝑥1 − 𝑥̅1 ) + 𝐾2 (𝑥2 − 𝑥̅2 ) Donde

𝑦̅ = 𝑓(𝑥̅1 , 𝑥̅2 ) 𝐾1 =

𝜕𝑓 𝑒𝑛 𝑥1 = 𝑥̅1 , 𝜕𝑥1

𝑥2 = 𝑥̅2

𝐾2 =

𝜕𝑓 𝑒𝑛 𝑥1 = 𝑥̅1 , 𝜕𝑥2

𝑥2 = 𝑥̅2

La técnica de Linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede presentar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras.

25 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

RESPUESTA EN EL TIEMPO LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

INTRODUCCION En capítulos anteriores el primer paso para analizar un sistema de control era obtener un modelo matemático del mismo. Una vez obtenido tal modelo se aplican los métodos de análisis para el comportamiento del sistema. Se hace uso de señales de prueba (escalón, rampa, parábola, impulso, etc.) para facilitar el análisis matemático y experimental de sistemas de control, para verificar también el comportamiento transitorio y estacionario de la respuesta del sistema. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN (con un polo dominante) Si un sistema en lazo cerrado esta descrito por un solo polo localizado en 𝑠 = −1/𝑇, la correspondiente función de transferencia es 𝐶(𝑠) 𝐾 = 𝑅(𝑠) 𝑇𝑠 + 1 Si se asume que r(t) es un escalón unidad, entonces 𝑡

𝑐(𝑡) = 𝐾(1 − 𝑒 −𝑇 ) El tiempo que demora en asentarse la respuesta es: 𝑡𝑠 = 3.912𝑇 ≈ 4𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 2% 𝑡𝑠 = 2.996𝑇 ≈ 3𝑇 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 5% 5% 2% asentamiento asentamiento

K

0.5K

0 T

0

2T

3T

4T

5T

Respuesta a un escalón con un modelo de un único polo Ejemplo

2 𝐶(𝑠) 2 3 = = 1 𝑅(𝑠) 𝑠 + 3 3𝑠 + 1 2 1 𝐾 = 3 = 0.666, 𝑇 = 3 = 0.333

close all; clear all; clc; % Sistemade Primer Orden % C(s)/R(s)=2/(s+3)

26 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda n=[0 2]; d=[1 3]; step(n,d) grid Step Response 0.7 System:System: sys sys System: sys Time (sec): Time 1.33 (sec): 1.97 Time (sec): 1.01 Amplitude: Amplitude: 0.654 0.665 Amplitude: 0.634

0.6

Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Time (sec)

Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escalón

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28 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

29 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

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Especificaciones de la respuesta transitoria

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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN (con un par de polos dominantes) Una función de interés particular está formada por la presencia de dos polos dominantes. La función de transferencia es 𝐶(𝑠) 𝐾𝜔𝑛2 = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 Ejemplo 𝑇(𝑠) = clear all; close all; clc; n=[0 0 17]; d=[1 2 17]; step(n,d) grid

𝑠2

17 + 2𝑠 + 17

Step Response 1.5

Amplitude

1

0.5

0

0

1

2

3 Time (sec)

4

5

6

33 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR El comportamiento de los sistemas de orden superior, es decir, de aquellos que poseen tres o más polos, depende fundamentalmente del carácter de los polos más lentos del sistema. El polo más lento es el que posee la constante de tiempo más grande, es decir aquel polo se encuentra más cerca del origen en el plano complejo S. 𝐶(𝑠) 𝑝𝐾𝜔𝑛2 = 𝑅(𝑠) (𝑠 + 𝑝)(𝑠 2 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2 ) Ejemplo 𝑇(𝑠) =

17 17 = (𝑠 + 2)(𝑠 2 + 2𝑠 + 17) 𝑠 3 + 4𝑠 2 + 21𝑠 + 34

clear all; close all; clc; n=[0 0 0 17]; d=[1 4 21 34]; step(n,d) grid Step Response 0.7

0.6

Amplitude

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

1

2

3 Time (sec)

4

5

6

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36 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

37 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Análisis del lugar de las raíces Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Introducción

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Reglas de construcción

39 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

40 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

41 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Diseño de sistemas de control mediante el método del lugar de las raíces Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

42 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

43 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

44 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

45 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

46 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

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49 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

50 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Sintonía de Controladores Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

REGLAS DE SINTONIZACION PARA CONTROLADORES PID Control PID de plantas. La figura siguiente muestra un control PID de una planta. Si se puede obtener un modelo matemático de una planta, es posible aplicar diversas técnicas de diseño con el fin de determinar los parámetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. Sin embargo si la planta es tan complicada que no es fácil obtener su modelo matemático, tampoco es posible un enfoque analítico para el diseño de un controlador PID. En este caso, debemos recurrir a los enfoques experimentales para la sintonización de los controladores PID. +

K p (1  -

1  Td s ) Ti s

planta

El proceso de seleccionar los parámetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sintonización del controlador. Ziegler y Nichols sugirieron más reglas para sintonizar los controladores PID (lo cual significa establecer Kp, Ti y Td) con base en las respuestas escalón experimentales o basadas en el valor de Kp que se produce en la estabilidad marginal cuando sólo se usa la acción de control proporcional. Las reglas de Ziegler-Nichols son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemáticos de las plantas. Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID. Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, con base en las características de respuesta transitoria de una planta especifica. Tal determinación de los parámetros de los controladores PID o de la sintonización de los controles PID la realizan los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta. Existen dos métodos denominados reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Primer método. En el primer método, la respuesta de la planta a una entrada escalón unitario se obtiene de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escalón unitario puede tener forma de S, como se observa en la figura 2. Si la respuesta no exhibe una curva con forma de S, este

51 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

método no es pertinente. Tales curvas de respuesta escalón experimentalmente o a partir de una simulación dinámica de la planta.

se

generan

La curva con forma de S se caracteriza por dos parámetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexión de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la línea c (t)=K, como se aprecia en la figura 2. En este caso, la función de transferencia C (s)/U(s) se aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte del modo siguiente: 𝐶(𝑠) 𝐾𝑒 −𝐿𝑠 = 𝑈(𝑠) 𝑇𝑠 + 1 Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente tabla. Tipo de controlador

Kp

Ti

Td

P

0

PI

0

PID

2L

0.5L

52 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Observe que el controlador PID sintonizado mediante el primer método de las reglas de Ziegler-Nichols produce 1 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑝 (1 + + 𝑇𝑑 𝑠) 𝑇𝑖 𝑠

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en 𝑠 = −1/𝐿. Segundo método. En el segundo método, primero establecemos Ti= y Td=0. Usando sólo la acción de control proporcional, se incrementa Kp de 0 a un valor crítico Kcr en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este método. Por tanto, la ganancia crítica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimentalmente. ZieglerNichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula que aparece en la siguiente tabla. Tipo de controlador

Kp

Ti

Td

P

0.5Kcr

0

PI

0.45Kcr

0

PID

0.6Kcr

0.5Pcr

0.125Pcr

Se debe observar que el controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas de Ziegler-Nichols produce: 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑝 (1 + 𝐺𝑐 (𝑠) = 0.6𝐾𝑐𝑟 (1 +

1 + 𝑇𝑑 𝑠) 𝑇𝑖 𝑠

1 + 0.125𝑃𝑐𝑟 𝑠) = 0.075𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟 0.5𝑃𝑐𝑟 𝑠

4 2 (𝑠 + 𝑃 ) 𝑐𝑟

𝑠

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y cero doble en 𝑠 = −4/𝑃𝑐𝑟.

53 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Comentarios. Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se han usado, junto con otras reglas, ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en los que no se conoce con precisión la dinámica de la planta. Tales reglas de sintonización han demostrado ser muy útiles durante muchos años. Por supuesto, las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se aplican a las plantas cuya dinámica se conoce. En estos casos, se cuenta con muchos enfoques analíticos y gráficos para el diseño de controladores PID, además de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Si se conoce la función de transferencia de la planta, se calcula la respuesta escalón unitario o la ganancia critica Kcr y el periodo crítico Pcr. Sin embargo, la utilidad real de las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols se vuelve evidente cuando no se conoce la dinamica de la planta, por lo que no se cuenta con enfoques analíticos o gráficos para el diseño de controladores. En general, para aquellas plantas con una dinámica complicada y sin integradores, se han aplicado las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols. Sin embargo, si la planta tiene un integrador, en algunos casos estas reglas no son pertinentes. Para ilustrar una situación en las que las reglas de Ziegler-Nichols no se aplican, consideremos el caso donde un sistema de control con realimentación unitaria tiene una planta cuya función de transferencia es de la siguiente manera: 𝐺(𝑠) =

(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 5)

Debido a la presencia de un integrador no se aplica el primer método. Como se sabe la respuesta escalón de esta planta no tendrá una curva de respuesta con forma de S; más bien, la respuesta se incrementa con el tiempo. Asimismo, si se intenta el segundo método, el sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional no exhibirá oscilaciones sostenidas, sin importar el valor que pueda tomar la ganancia Kp. Si es posible aplicar en la planta las reglas de Ziegler-Nichols, la planta con un controlador PID sintonizado mediante estas reglas exhibirá un sobrepaso máximo aproximado de10% a 60% en la respuesta escalón. En promedio el sobrepaso máximo aproximado es de 25%. En un caso especifico, siempre es posible en forma experimental hacer una sintonización precisa para que el sistema en lazo cerrado exhiba respuestas transitorias satisfactorias.

54 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Análisis de la Respuesta en Frecuencia Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Con el término respuesta en frecuencia, se requiere hacer referencia a la respuesta de un sistema en estado estacionario a una entrada sinusoidal. Una ventaja de este método es que se puede utilizar los datos que se obtienen de las medidas sobre el sistema físico sin deducir su modelo matemático. Por lo general se usan tres representaciones graficas de las funciones de transferencia sinusoidales: diagrama de Bode o diagrama logarítmico, diagrama de Nyquist o diagrama polar y diagrama de magnitud logarítmico contra la fase (diagrama de Nichols)

G ( jw )

G ( jw )

Im G ( jw )  G ( jw )

w

Re G ( jw )

 G ( jw ) w Nichols

Nyquist

Bode

La salida en estado estacionario de una función de transferencia de un sistema se puede obtener directamente de la función de transferencia sinusoidal, es decir sustituyendo en la función de transferencia 𝑠 por 𝑗𝜔 , don de 𝜔 es la frecuencia. La respuesta en estado estacionario puede darse como 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑀𝑒 𝑗𝜑 = 𝑀∠𝜑 Donde M es el cociente de amplitud de las señales sinusoidales de entrada y salida y 𝜑 es el desplazamiento de fase entre ambas señales.

Diagramas de Bode Un diagrama de Bode está formado por dos graficas: una es la grafica del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal, y la otra es la grafica del ángulo de fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica. |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|𝐺(𝑗𝜔)| Ganancia constante 𝑮(𝒔) = 𝑲

55 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

𝐺(𝑗𝜔) = 𝐾∠0° |𝐺(𝑗𝜔)| = 𝐾 𝜑(𝜔) = ∠𝐺(𝜔𝑗) = 0° |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝐾 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = 0 G

 ( )

dB 0

40

90

20

45 0

20 log K 00

0  20

 45 0

 40

 90 0



Polos en el origen



𝟏 𝑮(𝒔) = 𝒔 1 1 1 𝐺(𝑗𝜔) = = −𝑗 = ∠−90° 𝑗𝜔 𝜔 𝜔

1 | = −20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝑗𝜔 𝜑(𝜔) = −90° Análogamente para un polo múltiple en el origen, se tiene |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 |

𝟏 𝑮(𝒔) = 𝑵 𝒔 1 1 1 1 𝐺(𝑗𝜔) = = 𝑁 = (−𝑗)𝑁 𝑁 = 𝑁 ∠−90° 𝑁 𝑁 𝑁 (𝑗𝜔) (𝑗) (𝜔) 𝜔 𝜔 1 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 | | = −20𝑁𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 (𝑗𝜔)𝑁 𝜑(𝜔) = −90° 𝑁

56 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

G

 ( ) dB 0

40

90

20

45 0

0

00

 20

 45 0

 40 0.1

 90 0

1

10

100



0.1

1000

1

10



100

1000

Cero en el origen 𝑮(𝒔) = 𝒔 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑗𝜔 = 𝜔∠−90° |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|𝑗𝜔| = 20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = 90° Análogamente para un polo múltiple en el origen, se tiene 𝑮(𝒔) = 𝒔𝑵 𝐺(𝑗𝜔) = (𝑗𝜔)𝑁 = (𝑗)𝑁 𝜔𝑁 = 𝜔𝑁 ∠90° 𝑁 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔|(𝑗𝜔)𝑁 | = 20𝑁𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜑(𝜔) = 90° 𝑁

G

 ( )

dB 0

40

90

20

45 0

0

00

 20

 45 0

 40 0.1

 90 0

1

10



100

Polo en el eje real 𝑮(𝒔) = 𝐺(𝑗𝜔) =

0.1

1000

𝟏 𝒔+𝟏

1

10



1 1 1 𝜔 = ∠𝜑 = − 𝑗 1 + 𝑗𝜔 √1 + 𝜔 2 1 + 𝜔2 1 + 𝜔2

100

1000

57 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

𝜔 1 + 𝜔 2 → 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(−𝜔) 𝑡𝑎𝑛𝜑 = − 1 1 + 𝜔2 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 |

1 √1 +

𝜔2

𝜔 0 0.1 1 10 100 1000 ∞

| = −10𝑙𝑜𝑔|1 + 𝜔2 | 𝑒𝑛 𝑑𝐵 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 0.000 -0.043 -3.010 -20.043 -40.000 -60.000 ∞

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜔 -0.0000 -5.7106 -45.000 -84.289 -89.427 -89.943 -90.000

close all; clear all; clc; %bode n=[0 1]; d=[1 1]; bode(n,d) grid Bode Diagram

Magnitude (dB)

0

-10

-20

-30

Phase (deg)

-40 0

-45

-90 -2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Para la forma asintótica: 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → 0 → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 0 𝑑𝐵 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → ∞ → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = −20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑑𝐵

58 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda G

 ( )

dB

0

40

90

20

45 0

0

0

 20

 45 0

 40 0.1

0

 90

1

10



100

0

0.1

1000

1

10



100

1000

Cero en el eje real

|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵

𝑮(𝒔) = 𝒔 + 𝟏 𝐺(𝑗𝜔) = 1 + 𝑗𝜔 = √1 + 𝜔 2 ∠𝜑 𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝜔 → 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜔 = 20𝑙𝑜𝑔 |√1 + 𝜔 2 | = 10𝑙𝑜𝑔|1 + 𝜔2 | 𝑒𝑛 𝑑𝐵 𝜔 0 0.1 1 10 100 1000 ∞

|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 0.000 0.043 3.010 20.043 40.000 60.000 ∞

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜔 0.0000 5.7106 45.000 84.289 89.427 89.943 90.000

Para la forma asintótica: 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → 0 → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 0 𝑑𝐵 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝜔 → ∞ → |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔𝜔 𝑑𝐵

G

 ( ) dB 0

40

90

20

45 0

0

00

 20  40 0.1

 45 0  90 0

1

10



close all; clear all; clc; %bode n=[1 1];

100

1000

0.1

1

10



100

1000

59 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

d=[0 1]; bode(n,d) grid Bode Diagram

Magnitude (dB)

40

30

20

10

Phase (deg)

0 90

45

0 -2

10

-1

0

10

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Factores cuadráticos 𝑮(𝒋𝝎) = [𝟏 + 𝟐𝝃 (𝒋

𝝎 𝝎 𝟐 ) + (𝒋 ) ]±𝟏 𝝎𝒏 𝝎𝒏

Los sistemas de control suelen tener factores cuadráticos de la forma 𝐺(𝑗𝜔) =

1 𝜔 𝜔 2 1 + 2𝜉 (𝑗 𝜔 ) + (𝑗 𝜔 ) 𝑛 𝑛

Si 𝜉 > 1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de primer orden con polos reales. Si 0 < 𝜉 < 1, este factor cuadrático es el producto de dos factores complejos conjugados.

60 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

|𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 |

1 𝜔 𝜔 2 | = −20𝑙𝑜𝑔 |1 + 2𝜉 (𝑗 ) + (𝑗 ) | 𝜔 𝜔 2 𝜔𝑛 𝜔𝑛 1 + 2𝜉 (𝑗 𝜔 ) + (𝑗 𝜔 ) 𝑛 𝑛 2

𝜔 2 𝜔 2 = −20𝑙𝑜𝑔√(1 − ( ) ) + (2𝜉 ) 𝜔𝑛 𝜔𝑛 Para bajas frecuencias 𝜔 ≪ 𝜔𝑛 , la asíntota es una recta horizontal en 0 dB: |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 ≈ −20𝑙𝑜𝑔1 = 0 𝑑𝐵 Para bajas frecuencias 𝜔 ≫ 𝜔𝑛 , la asíntota es una recta con pendiente -40 dB/década: 𝜔 2 𝜔 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 ≈ −20𝑙𝑜𝑔 ( ) = −40𝑙𝑜𝑔 ( ) 𝜔𝑛 𝜔𝑛

𝑑𝐵

La asíntota de alta frecuencia corta a la de baja frecuencia en la frecuencia esquina 𝜔 = 𝜔𝑛 : 𝜔𝑛 |𝐺(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 ≈= −40𝑙𝑜𝑔 ( ) = −20𝑙𝑜𝑔1 = 0 𝑑𝐵 𝜔𝑛 Las dos asíntotas son independientes de ξ. Cuando 𝜔 = 𝜔𝑛 hay un pico de resonancia. El ángulo de fase es: 𝜔 2𝜉 𝜔 𝑛 𝜑(𝜔) = 𝑡𝑎𝑛−1 [ ] 𝜔 2 1 − (𝜔 ) 𝑛 𝜔 0 𝜔𝑛 ∞

𝜑(𝜔) 0° −90° −180°

61 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

20

dB

0.1

0 .2

0.4

0.6 0.8 1

2

4

6

8 10

6

8 10

  0.1

10

  0.5

0

 0.7  1.0

 10  20

asintotas

 30  40 0º

  0.1

 30º  60º



 90º  1.0

 120º  150º  180º 0.1

0.2

0.4

0.6 0.8 1

2

4

 n Las curvas de respuesta en frecuencia para el factor 𝐺(𝑗𝜔) = 1 + 2𝜉 (𝑗

𝜔 𝜔 2 ) + (𝑗 ) 𝜔𝑛 𝜔𝑛

pueden obtenerse si simplemente se invierte el signo de la magnitud logarítmica y del ángulo de fase del factor. Frecuencia de resonancia 𝝎𝒓 y el valor pico de resonancia 𝑴𝒓 . 𝐺(𝑗𝜔) =

1 𝜔 𝜔 2 1 + 2𝜉 (𝑗 𝜔 ) + (𝑗 𝜔 ) 𝑛 𝑛

62 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

1

|𝐺(𝑗𝜔)| =

2

2 2 √(1 − ( 𝜔 ) ) + (2𝜉 𝜔 ) 𝜔𝑛 𝜔𝑛 2

𝜔 2 𝜔 2 𝑔(𝜔) = (1 − ( ) ) + (2𝜉 ) 𝜔𝑛 𝜔𝑛 Se tendrá un valor máximo de |𝐺(𝑗𝜔)| cuando 𝑔(𝜔) sea mínima. Esto ocurre cuando: 𝜔 = 𝜔𝑟 = 𝜔𝑛 √1 − 2𝜉 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝜉 ≤ 0.707 1 𝑀𝑟 = |𝐺(𝑗𝜔)|𝑚𝑎𝑥 = 2𝜉√1 − 𝜉 2 Para 𝜉 > 0.707, entonces 𝑀𝑟 = 1 Cuando 𝜉 → 0, entonces 𝑀𝑟 → ∞ El ángulo de fase a la frecuencia de resonancia: ∠𝐺(𝑗𝜔𝑟 ) = −𝑡𝑎𝑛−1

√1 − 2𝜉 2 𝜉

Márgenes de ganancia y fase Si se considera un sistema realimentado inicialmente estable, es útil saber que características determinadas del modelo se pueden perturbar antes de que se produzca inestabilidad. El margen de ganancia y el margen de fase proporcionan este tipo de información. Si una variación en un parámetro del sistema produce que uno o más polos en la función del sistema en lazo cerrado atraviesen el eje 𝑗𝜔, la condición de corte (como se muestra en la figura) sitúa uno o más polos en lazo cerrado directamente sobre el eje 𝑗𝜔. Por lo tanto hay algún valor de 𝜔 para el que 𝐺(𝑗𝜔) | |=∞ 1 + 𝐺(𝜔)𝐻(𝑗𝜔) Y esta condición no puede ocurrir a menos que 𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔) = −1 Expresando en términos de magnitud y ángulo |𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔)| = 1 ∠𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔) = ±180°(2𝑛 + 1)

63 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

jw



Si no hay polos de la función en lazo cerrado en el semiplano derecho, esta condición representa una transición entre estabilidad e inestabilidad. La condición de cruce también se puede visualizar de forma diferente. Suponga que el lazo se rompe temporalmente en algún punto y que se ¡introduce una entrada sinusoidal después de la ruptura. Conviene darse cuenta de que hay otro signo menos en el lazo (adjunto al símbolo de suma). Si se satisfacen las condiciones de magnitud y ángulo, la señal sinusoidal atravesara el lazo y regresara como un duplicado exacto de la señal inyectada. Si se vuelve a conectar el lazo, está claro que una señal en esta frecuencia particular será autosostenida. Obsérvese que la condición del ángulo de fase para un cruce se satisface si el desfase de la función en lazo abierto alcanza +180º o -180º. Sin embargo si la magnitud y el ángulo están ambos cerca de la condición de transición, es un resultado típico de los polos que exceden en número a los ceros finitos. Por lo tanto un problema potencial de estabilidad se observa normalmente con un desfase en la proximidad de -180º. El margen de ganancia y de fase se define de forma que proporcionan una medida de la proximidad de una situación dada a la condición de transición. Si un sistema es inicialmente estable y un cambio en los parámetros produce la detección de un cruce en el eje 𝑗𝜔, el cruce debe representar estabilidad marginal. Obsérvese que lo contrario no es necesariamente cierto – si un sistema es inicialmente inestable, una detección de un cruce con el eje 𝑗𝜔 no es una condición marginal de estabilidad a menos que no existan otras raíces de la ecuación característica en el semiplano derecho. Por lo tanto, si el margen de ganancia y el margen de fase se definen en términos de un sistema que es inicialmente estable, la proximidad a la inestabidad puede ser verdaderamente expresada en términos de la proximidad a las condiciones de cruce en el eje 𝑗𝜔. El margen de ganancia. Considere un sistema que es inicialmente estable, el margen de ganancia es la razón (normalmente expresada en dB) por la que la ganancia del lazo se permite que cambie antes de que se alcance la condición de inestabilidad. Un diagrama de la respuesta en frecuencia en lazo abierto 𝑀(𝜔)𝑒 𝑗𝜑(𝜔) , presenta la razón requerida. Como la función de fase en lazo abierto no está afectada por un cambio en el factor de ganancia del lazo, la razón por la que la ganancia se debe modificar para alcanzar la inestabilidad es la razón de la ganancia unidad a la real ganancia medida en la frecuencia de cruce de fase, 𝜔𝑝𝑐 donde la fase cruza -180º. Por lo tanto, el margen de

64 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda 1

ganancia se puede expresar como 1/𝑀(𝜔𝑝𝑐 ). El radio en dB es +20log(𝑀(𝜔

𝑝𝑐 )

) o

simplemente −20𝑙𝑜𝑔 𝑀(𝜔𝑝𝑐 ) Ganancia

( dB )

20

10 0

0.1

1

2

10

100



MG  20dB

 10

14

 20

 30

0 .1

1

0º

2

10

100



 90 º

 112º

MF  68º

 180 º

 270º

Dicho de la forma más simple, el margen de ganancia es el numero de dB que se debe incrementar la ganancia en lazo abierto para que alcance 0 dB a la frecuencia a la que el desfase en lazo abierto es -180º. Si se debe decrementar la ganancia hasta que alcance 0 dB, entonces el margen de ganancia es, por supuesto negativo. Un ejemplo de medida del margen de ganancia se muestra en la figura. Si la fase no alcanza -180º a ninguna frecuencia, entonces no hay límite impuesto en el cambio de ganancia para que el sistema permanezca estable, y el margen de ganancia es infinito. La inestabilidad producida por un incremento en la ganancia es una situación común; por lo tanto, la razón requerida para alcanzar la inestabilidad es normalmente mayor que uno y el margen de ganancia expresado en dB es normalmente positivo. No obstante, hay algunos modelos de sistemas que requieren de una reducción en la ganancia para alcanzar la inestabilidad, y el caso general permite la posibilidad de que un aumento o una disminución conduzcan a la inestabilidad. Por lo tanto, puede existir tanto hacia arriba un margen de ganancia como hacia abajo un margen de ganancia o ambos.

65 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

El margen de fase. Considere un sistema que es inicialmente inestable, el margen de fase es una medida del retraso de fase adicional que está permitido antes de alcanzar 180º a la frecuencia donde 𝑀(𝜔) = 1 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 20𝑙𝑜𝑔𝑀 = 0 𝑑𝐵. Puesto que el retraso de fase adicional es 𝜑(𝜔) − (−180°), el margen de fase se puede expresar como 𝜑(𝜔) + 180°, cuando se evalúa en la frecuencia de cruce de ganancia, 𝜔𝑔𝑐 para la cual 20𝑙𝑜𝑔𝑀 = 0. Si la ganancia permanece menor que la unidad para todas las frecuencias, el sistema permanece estable con cualquier valor de retardo de fase añadido. Un ejemplo de medida de margen de fase se ilustra en la figura anterior. Es importante entender que aunque los márgenes de ganancia y de fase están determinados utilizando la función de transferencia en lazo abierto, proporcionan medidas de estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado. G

G

dB

dB

MG negativo 

 MG positivo

G  90 º



 180 º  270 º

 90 º



 180 º

MF positivo

G MF

 270 º

negativo

sistema

sistema

estable

inestable

Criterio de estabilidad Un sistema controlado (es decir, el sistema completo) es estable si y solo si los dos márgenes de estabilidad (el margen de ganancia y el margen de fase) son positivos.

Diagramas Polares El diagrama polar (diagrama de Nyquist), de una función de transferencia sinusoidal 𝐺(𝑗𝜔) es una grafica de la magnitud de 𝐺(𝑗𝜔) con respecto al ángulo de fase de 𝐺(𝑗𝜔) en coordenadas polares, cuando w varia de cero a infinito. Por tanto, el diagrama polar es el lugar geométrico de los vectores |𝐺(𝑗𝜔)|∠𝐺(𝑗𝜔) cuando 𝜔 varia de cero a infinito. En graficas polares los ángulos de fase son positivos si se miden en el sentido contrario al de las agujas del reloj a partir del eje real positivo. Cada punto en el diagrama polar de 𝐺(𝑗𝜔) representa el punto terminal de un vector en un valor determinado 𝜔. Factores integral y derivativo (𝒋𝝎)∓𝟏.

1 1 1 = −𝑗 = ∠ − 90° 𝑗𝜔 𝜔 𝜔 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑗𝜔 = 𝜔∠90°

𝐺(𝑗𝜔) =

66 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Factores de primer orden (𝟏 + 𝒋𝝎𝑻)∓𝟏 𝐺(𝑗𝜔) =

1 1 = ∠ − 𝑡𝑎𝑛−1 𝜔𝑇 1 + 𝑗𝜔𝑇 √1 + 𝜔 2 𝑇 2 𝐺(𝑗0) = 1∠0° 1 1 𝐺 (𝑗 ) = ∠ − 45° 𝑇 √2

Im

1 1  w 2T 2

w 

w0

1 .0

0 .5

Re

0

w

wT 1  w 2T 2

G( j Definiendo

1 ) T

wT  1

1 −𝜔𝑇 +𝑗 2 2 1+𝜔 𝑇 1 + 𝜔2𝑇2 2 2 2 2 2 1 11−𝜔 𝑇 −𝜔𝑇 1 2 2 (𝑥 − ) + 𝑦 = ( ) =( ) ) +( 2 2 1 + 𝜔2𝑇2 1 + 𝜔 2𝑇 2 2 𝐺(𝑗𝜔) = 𝑥 + 𝑗𝑦 =

𝐺(𝑗𝜔) = 1 + 𝑗𝜔𝑇



Im

w0

0

w 1

Re

67 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Tabla de graficas polares

w 

Im

0 1 jw

1

Re

w

1  jwT jwT

0

Im

jwT 1  jwT

w 

 jw2 w 

1

0

Re

Re

0

1 a

0 Im

1

w

Re

w 0

0

a 1

1

1 (1 jwT1)(1 jwT2)(1 jwT3) w  Im

1

1  jwT 1  jwaT

0



Im

w

w 0 Re

0

Im

0 0

Im

w 0

w

1  jwT

0

n2 jw[( jw) 2  2wn ( jw)  wn2 ] w

Re

w 0

 jw

Re

w

0

Im

0

w 

Im

Re

w 

Re

1

1  jwT1 jw(1  jwT2)(1  jwT3) Im

w

0 0

Re

w 

Se considera un diagrama polar (con 𝜔 variando desde cero hasta infinito) suponiendo que la función de transferencia en lazo abierto es 3 𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔) = 3 𝑗𝜔 ( 2 + 1) 𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔) =

3 (1 + 𝑗0.5𝜔)(1 + 𝑗0.5𝜔)(1 + 𝑗0.5𝜔)

68 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

3

∠ − 3𝑡𝑎𝑛−1 (0.5𝜔) (√0.25𝜔 2 + 1)(√0.25𝜔 2 + 1)(√0.25𝜔 2 + 1) 3 = ∠ − 3𝑡𝑎𝑛−1 (0.5𝜔) 2 2 (0.25𝜔 + 1)(√0.25𝜔 + 1)

𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔) =

𝐺(𝑗𝜔)𝐻(𝑗𝜔) = 𝑀(𝜔)∠𝜑 3

𝑀(𝜔) =

(0.25𝜔 2 + 1)(√0.25𝜔 2 + 1) 𝜑(𝜔) = −3𝑡𝑎𝑛−1 (0.5𝜔) 𝜔 0.00 1.00 2.08 3.46 ∞

𝑀(𝜔) 3.000 2.140 1.000 0.375 0

𝜑(𝜔) 0° -79.7º -138º -180º -270º

Algunos valores de 𝑀(𝜔) y 𝜑(𝜔) se muestran en la tabla para valores discretos de 𝜔, y el contorno correspondiente se muestra en la figura. Si se añade al dibujo un círculo de radio unidad con su centro en el origen, se puede determinar el margen de fase en el punto en que el contorno intercepta el círculo unidad. El MF de la figura es aproximadamente de 42º. El margen de ganancia se puede determinar anotando la magnitud donde el contorno corta -180º. La magnitud en este punto es de 0.375. La razón del valor límite de estabilidad al valor nominal es 1/0.375; por lo tanto, la razón que especifica el MG es 2.67. Convertido a decibelios el MG es de 8.52 dB. Calculo del margen de fase: 𝑀(𝜔) =

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑀(𝜔) = 1 3

(0.25𝜔 2 + 1)(√0.25𝜔 2 + 1) (0.25𝜔2 + 1) (√0.25𝜔 2 + 1) = 3

=1

(0.25𝜔2 + 1)(0.25𝜔2 + 1)2 = 9 0.015625𝜔6 + 0.1875𝜔4 + 0.75𝜔2 − 8 = 0 >> p=[0.015625 0 0.1875 0 0.75 0 -8]; >> roots(p) ans = -1.1675 + 3.0860i -1.1675 - 3.0860i 1.1675 + 3.0860i

69 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

1.1675 - 3.0860i 2.0785 -2.0785

𝑟𝑎𝑑 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑀(𝜔) = 1 𝑠𝑒𝑔 𝑦 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝜑(𝜔) = −3𝑡𝑎𝑛−1 (0.5(2.0785)) = −138.307954° 𝜔 = 2.0785

𝑀𝐹 = 180° − 138.307954° = 41.69204604° ≈ 42°  270 º

 180 º

1

1

2

3

0º

MF  42º

 90 º

Calculo del margen de ganancia: 𝜑(𝜔) = −3𝑡𝑎𝑛−1 (0.5𝜔) = −180° 𝑡𝑎𝑛−1 (0.5𝜔) = 60° 0.5𝜔 = √3 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 𝜔 = 2√3 = 3.4641 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔 3

𝑀(𝜔) = (0.25(2√3)2

+

1) (√0.25(2√3)2

= 0.375 + 1)

1 𝑀𝐺 = 20𝑙𝑜𝑔 ( ) = 8.5194 𝑑𝐵 0.375 Obsérvese que la condición del límite de estabilidad ocurre si se aumenta la ganancia en lazo abierto de forma que el contorno pasa a través del punto −1 + 𝑗0. Cualquier aumento posterior en la ganancia del lazo producirá una condición de inestabilidad. La posibilidad de obtener una evaluación rigurosa de estabilidad absoluta esta proporcionada por la aplicación del criterio de estabilidad de Nyquist.

70 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

clear all; close all; clc; %bode n=[0 0 0 24]; d=[1 6 12 8]; nyquist(n,d); Nyquist Diagram 2.5

2

1.5

1

Imaginary Axis

0.5

0 System: sys System: sys Real: -0.741 Real: Imag: -0.741 -0.672 Imag: -0.758 Frequency (rad/sec): 2.08 Frequency (rad/sec): 2

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Real Axis

𝑀(𝜔) = √0.7412 + 0.6722 = 1.000332445 ≈ 1 0.672 𝑀𝐹 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 42.20433768° ≈ 42° 0.741 𝜔 = 2.08 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 Im

Im

MG positivo

MF negativo

Plano G

1 Kg

.

1

1 Re



.

Plano G

1



Re

1





MF positivo

1 Kg G( j)

Sistema estable

  180º 

G( j)

MG negativo

Sistema inestable

71 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Diseño de Compensadores de adelanto en frecuencia Ing. Julio C. Borjas Castañeda

Procedimiento para diseñar un compensador de adelanto mediante el método de respuesta en frecuencia: 1.

Suponga el siguiente compensador de adelanto: 1 𝑠+𝑇 𝑇𝑠 + 1 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 𝛼 = 𝐾𝑐 1 𝛼𝑇𝑠 + 1 𝑠 + 𝛼𝑇

(0 < 𝛼 < 1)

Defina 𝐾𝑐 𝛼 = 𝐾 Entonces, 𝑇𝑠 + 1 𝛼𝑇𝑠 + 1 La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es 𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante estática de error dada. 2. Usando la ganancia K así determinada, dibuje el diagrama de Bode de 𝐺1 (𝑗𝜔) el sistema con la ganancia ajustada pero sin compensar. calcule el margen de fase. 3. Determine el ángulo de adelanto de fase que es necesario que se añada al sistema. Incremente un adelanto de fase adicional de 5º a 12º al ángulo de adelanto de fase requerido, ya que la adición del compensador de adelanto desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha y disminuye así el margen de fase. 4. Determine el factor de atenuación 𝛼 a partir de la ecuación 1−𝛼 1−𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 = 2 = 1+𝛼 1+𝛼 2 Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado 𝐺1 (𝑗𝜔) es igual a 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾

1

−20log( 𝛼). Seleccione esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. √

Esta frecuencia corresponde a 𝜔𝑚 =

1 √𝛼𝑇

y el cambio de fase máximo 𝜙𝑚 ocurre en esta

frecuencia. 5. Determine las frecuencias esquinas del compensador de adelanto del modo siguiente: 1

Cero del compensador de adelanto: 𝜔 = 𝑇

1

Polo del compensador de adelanto: 𝜔 = 𝛼𝑇

72 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

6.

Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de 𝛼 determinado en el paso 4,

calcule la constante K, a partir de 𝐾𝑐 =

𝐾 𝛼

7. Verifique el margen de ganancia para asegurarse de que es satisfactorio. Si no es así, repita el proceso de diseño modificando la localización de polos-ceros del compensador hasta que se obtenga un resultado satisfactorio.

Problema Sea el sistema que se muestra en la figura. Se quiere diseñar un compensador para el sistema de modo que la constante de error estático de velocidad sea de 20 seg-1, el margen de fase sea al menos de 50º y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.

4 s ( s  2)

+ -

Solución 𝐺𝑝 (𝑠) =

4 𝑇𝑠 + 1 , 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾 , 𝑠(𝑠 + 2) 𝛼𝑇𝑠 + 1

𝐺(𝑠) = 𝐺𝑐 (𝑠). 𝐺𝑝 (𝑠) =

𝑇𝑠 + 1 4𝐾 𝛼𝑇𝑠 + 1 𝑠(𝑠 + 2)

𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐺𝑝 (𝑠) =

4𝐾 𝑠(𝑠 + 2)

𝐾𝑣 = lim 𝐺(𝑠) = 2𝐾 = 20 𝑠→0

𝐾 = 10 𝐺1 (𝑠) = clear all; close all; clc; n=[0 0 40]; d=[1 2 0]; w=logspace(0,1,100); bode(n,d,w); grid;

𝐾𝑐 𝛼 = 𝐾

40 𝑠(𝑠 + 2)

73 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda Bode Diagram 30 25

Magnitude (dB)

20 15 10 System: sys Frequency (rad/sec): 6.17 Magnitude (dB): -0.00474

5 0 -5 -10 -90

Phase (deg)

-120

System: sys Frequency (rad/sec): 6.14 Phase (deg): -162

-150

-180 0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

Del grafico se puede, medir el margen de fase MF y la frecuencia correspondiente. Este valor también se puede calcular en forma analítica al cumplir la condición de cruce de ganancia, |𝐺1 (𝑠)| = |

40 |=1 𝑠(𝑠 + 2)

40 𝜔√𝜔 2 + 4

=1

𝜔4 + 4𝜔2 − 1600 = 0 → 𝜔 = 6.1685 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝑀𝐹 = 180° + ∠𝐺1 (𝑠) 𝐺1 (𝑗𝜔) =

40 40∠0° = = 1∠ − 162.036° 𝑗𝜔(𝑗𝜔 + 2) (6.1685∠90°)(6.4846∠72.036°)

𝑀𝐹 = 180° − 162.036° = 17.964° Dado que MF requerido debe ser mayor a 50º, entonces la fase del compensador debe ser: 𝑀𝐹 = 17.964 + 𝜙𝑐 + 𝜙𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 Se encuentra así que el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer el requisito de estabilidad relativa es de 32.036º. Considerando el desplazamiento de la frecuencia de cruce de ganancia, se puede suponer que 𝜙𝑚 , el adelanto de fase máximo requerido, es de

74 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

aproximadamente 32.036° + 5° = 37.036° (esto significa que se han añadido 5° para compensar el desplazamiento en la frecuencia de cruce de ganancia.) 𝛼=

1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 → 𝛼 = 0.248 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚

Con este valor, se procede a calcular la magnitud de la respuesta en frecuencia a la cual ocurre la máxima contribución de fase del compensador. Es decir |𝐺𝑐 (𝑠)| =

1 √𝛼

= 2.008 → En dB es 6.056 dB

|𝐺1 (𝑠)| = −6.056 𝑑𝐵 Corresponde a |𝐺1 (𝑠)| = 0.498 a la frecuencia 𝜔 = 8.8 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔. Se selecciona esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce 𝜔𝑐 . Teniendo en cuenta que esta frecuencia corresponde a 1

𝜔𝑐 = 1 = 4.382 , 𝑇

√𝛼𝑇 1 = 17.671 𝛼𝑇

El compensador de adelanto así determinado es 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 𝐾𝑐 =

𝑠 + 4.382 𝑠 + 17.671

𝐾 10 = = 40.323 𝛼 0.248

𝐺𝑐 (𝑠) = 40.323

+

40 . 323 ( s  4 . 382 ) ( s  17 . 671 )

𝑠 + 4.382 𝑠 + 17.671 4 s(s  2)

𝐶(𝑠) 4 = 2 𝑅(𝑠) 𝑠 + 2𝑠 + 4

sin 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑟

𝐶(𝑠) 161.292𝑠 + 706.782 = 3 𝑅(𝑠) 𝑠 + 19.671𝑠 2 + 196.634𝑠 + 706.782

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜

75 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda close all; clear all; clc %diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %------------------------------------------------------------------%planta sin compensar %G(s)=4/(s^2+2s+4) ns=[0 0 4]; ds=[1 2 4]; %-------------------------------%planta compensada en frrecuencia nc=[0 0 161.292 706.782]; dc=[1 19.671 196.634 706.782]; t=0:0.05:10; [c1,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1,'-',t,c2,t,c2,'-'); grid; title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel('t seg'); ylabel('salidas c1 y c2'); gtext('sistema compensado'); gtext('sistema no compensado');

respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 1.4

sistema compensado 1.2 sistema no compensado

salidas c1 y c2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5 t seg

6

7

8

9

10

76 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Diseño de Compensadores de retardo en frecuencia Procedimiento para diseñar un compensador de retardo mediante el método de respuesta en frecuencia: 1.

Suponga el siguiente compensador de retardo: 1 𝑠+𝑇 𝑇𝑠 + 1 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 𝛽 = 𝐾𝑐 1 𝛽𝑇𝑠 + 1 𝑠+ 𝛽𝑇

(𝛽 > 1)

Defina 𝐾𝑐 𝛽 = 𝐾 Entonces, 𝑇𝑠 + 1 𝛽𝑇𝑠 + 1 La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es 𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) Determine la ganancia K que satisfaga el requisito sobre la constante de error estática de velocidad. 2. Si el sistema no compensado pero ajustado en ganancia 𝐺1 (𝑗𝜔) = 𝐾𝐺(𝑗𝜔) no satisface las especificaciones en los márgenes de fase y ganancia, entonces encuentre la frecuencia en la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a -180º mas el margen de fase requerido. Este es el margen de fase especificado más 5º a 12º. (La adición de entre 5º y 12º compensa el desfase que introduce el compensador de retardo.) Selecciones esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. 3. Para evitar los efectos adversos del desfase producido por el compensador de retardo, el polo y el cero del compensador de retardo deben localizarse sustancialmente por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Por tanto, seleccione la frecuencia esquina 𝜔 = 1/𝑇 (que corresponde al cero del compensador de retardo) entre una octava y una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia). Si las constantes de tiempo del compensador de retardo no se hacen demasiado grandes, la frecuencia esquina 𝜔 = 1/𝑇 se puede escoger una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Obsérvese que se selecciona el polo y el cero del compensador suficientemente pequeños. Así el retardo de fase ocurre en la región de bajas frecuencias de manera que no afecta al margen de fase. 4. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si se considera que esta atenuación es de −20𝑙𝑜𝑔𝛽 , determine el valor de 𝛽. A continuación se obtiene la otra frecuencia esquina (que corresponde al polo del compensador de retardo) a partir de 𝜔 = 1/(𝛽𝑇). 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾

77 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de 𝛽 determinado en el paso 4, calcule la constante K, a partir de 𝐾 𝐾𝑐 = 𝛽 Problema Sea el sistema que se muestra en la figura. Se desea compensar el sistema de forma que la constante de error estático de velocidad Kv sea de 5 seg-1, el margen de fase sea al menos de 40º y el margen de ganancia sea al menos de 10 dB.

+

1 s(s 1)(0.5s 1)

-

Solución Se utilizara un compensador de retardo de la forma 1 𝑠+𝑇 𝑇𝑠 + 1 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 𝛽 = 𝐾𝑐 (𝛽 > 1) 1 𝛽𝑇𝑠 + 1 𝑠+ 𝛽𝑇 𝐾𝑐 𝛽 = 𝐾 𝐾 𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) = 𝑠(𝑠 + 1)(0.5𝑠 + 1) 𝐾(𝑇𝑠 + 1) 1 𝐺(𝑠) = 𝐺𝑐 (𝑠). 𝐺𝑝 (𝑠) = 𝛽𝑇𝑠 + 1 𝑠(𝑠 + 1)(0.5𝑠 + 1) 𝐺1 (𝑠) = 𝐾𝐺𝑝 (𝑠) =

𝐾 𝑠(𝑠 + 1)(0.5𝑠 + 1)

𝐾𝑣 = lim 𝐺(𝑠) = 𝐾 = 5 𝑠→0

𝐾=5 𝐺1 (𝑠) = clear all; close all; clc; n=[0 0 0 5]; d=[0.5 1.5 1 0]; %w=logspace(0,1,100); %bode(n,d,w); bode(n,d); grid;

5 𝑠(𝑠 + 1)(0.5𝑠 + 1)

78 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda Bode Diagram 50

Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150 -90

Phase (deg)

-135

-180

-225

-270 -1

10

0

1

10

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Se observa que el margen de fase es -20º, lo que significa que el sistema no compensado pero ajustado en ganancia es inestable. Se debe permitir al MF la adición entre 5º y 12º con el fin de que de que el MF requerido compense la modificación de la curva de fase. Como la frecuencia correspondiente a un MF = 40º. Como la frecuencia correspondiente a un margen de fase de 40º es de 0.7 rad/seg, la nueva frecuencia de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe seleccionarse cercano a este valor. Para evitar constantes de tiempo muy grandes en el compensador de retardo, se debe elegir la frecuencia esquina 𝜔 = 1/𝑇 (que corresponde al cero del compensador de retardo) como 0.1 rad/seg. Se añade 12º al MF proporcionado y el MF requerido es ahora 52º. El ángulo de fase de la función 𝑟𝑎𝑑

de transferencia en lazo abierto no compensada es de -128º en la cercanía de 𝜔 = 0.5 𝑠𝑒𝑔 , por tanto se escoge la la nueva frecuencia de cruce de ganancia como 0.5 rad/seg. Para traer la curva de magnitud hasta 0 dB en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el compensador de retardo debe proporcionar la atenuación necesaria, que en este caso es de 20 dB. Por tanto. 20𝑙𝑜𝑔

1 = −20 𝛽

𝛽 = 10 La otra frecuencia esquina 𝜔 = 1/𝛽𝑇, que corresponde al polo del compensador de retardo, se determina como 1 = 0.01 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 𝛽𝑇

79 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

𝐾𝑐 =

𝐾 5 = = 0.5 𝛽 10

Así, la función de transferencia del compensador de retardo es 𝐺𝑐 (𝑠) = 0.5

𝑠 + 0.1 𝑠 + 0.01

𝐶(𝑠) 1 = 3 𝑅(𝑠) 0.5𝑠 + 1.5𝑠 2 + 𝑠 + 1

sin 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑟

𝐶(𝑠) 50𝑠 + 5 = 4 3 𝑅(𝑠) 50𝑠 + 150.5𝑠 + 101.5𝑠 2 + 51𝑠 + 5

𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜

close all; clear all; clc %diseño de un compensador en adelanto por el metodo de la frecuencia %------------------------------------------------------------------%planta sin compensar ns=[0 0 0 1]; ds=[0.5 1.5 1 1]; %-------------------------------%planta compensada en frrecuencia nc=[0 0 0 50 5]; dc=[50 150.5 101.5 51 5]; t=0:0.05:40; [c1,x1,t]=step(nc,dc,t); [c2,x2,t]=step(ns,ds,t); plot(t,c1,t,c1,'-',t,c2,t,c2,'-'); grid; title('respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado'); xlabel('t seg'); ylabel('salidas c1 y c2'); gtext('sistema compensado'); gtext('sistema no compensado'); respuesta a un escalon unitario de sistema compensado y no compensado 1.4

sistema compensado 1.2

1

salidas c1 y c2

sistema no compensado 0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

5

10

15

20 t seg

25

30

35

40

80 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Diseño de Compensadores de retardo-adelanto en frecuencia Procedimiento para diseñar un compensador de retardo mediante el método de respuesta en frecuencia: El diseño de un compensador de retardo-adelanto mediante el método de la respuesta en frecuencia se basa en la combinación de las técnicas de diseño analizadas en la compensación de adelanto y la compensación de retardo. Supóngase que el compensador de retardo-adelanto tiene la forma siguiente: 1 1 (𝑠 + 𝑇 ) (𝑠 + 𝑇 ) (𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇2 𝑠 + 1) 1 2 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 = 𝐾𝑐 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛽 > 1 𝑇1 𝛽 1 ( 𝑠 + 1) (𝛽𝑇2 𝑠 + 1) (𝑠 + 𝑇 ) (𝑠 + ) 𝛽 𝛽𝑇2 1 La parte de adelanto de fase del compensador de retardo-adelanto (la parte que contiene 𝑇1 ) altera la curva de respuesta en frecuencia añadiendo un ángulo de adelanto de fase e incrementando el margen de fase en la frecuencia de cruce de ganancia. La parte de retardo de fase (la parte que contiene 𝑇2 ) proporciona una atenuación cerca y por encima de la frecuencia de cruce de ganancia y, por lo tanto, permite un incremento de la ganancia en el rango de bajas frecuencias que mejora el comportamiento en estado estacionario. Problema Sea el sistema con realimentación unitaria cuya función de transferencia en lazo abierto es 𝐾 𝐺𝑝 (𝑠) = 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) Se desea que la constante de error estatico de velocidad sea de 10 seg-1, que el margen de fase sea de 50º y que el margen de ganancia sea de 10 dB o mas. Solución Usando compensador retardo-adelanto 1 1 (𝑠 + 𝑇 ) (𝑠 + 𝑇 ) (𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇2 𝑠 + 1) 1 2 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾𝑐 = 𝐾𝑐 𝑇1 𝛽 1 ( 𝑠 + 1) (𝛽𝑇2 𝑠 + 1) (𝑠 + 𝑇 ) (𝑠 + ) 𝛽 𝛽𝑇2 1 𝐾𝑐 𝐾 𝐾𝑣 = lim 𝐺(𝑠) = lim 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺𝑝 (𝑠) = = 10 𝑠→0 𝑠→0 2 𝑎𝑠𝑢𝑚𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐾𝑐 = 1 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐾 = 20 Diagrama de Bode de 20 20 𝐺𝑝 (𝑠) = = 3 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑠 + 3𝑠 2 + 2𝑠

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛽 > 1

81 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda Bode Diagram 50

System: sys Frequency (rad/sec): 2.4 Magnitude (dB): 0.144 Magnitude (dB)

0

-50

-100 -90

Phase (deg)

-135

-180 System: sys Frequency (rad/sec): 1.41 Phase (deg): -180 -225

-270 -1

0

10

1

10

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Bode Diagram System: sys Frequency (rad/sec): 1.42 Magnitude (dB): 10.3

20

System: sys Frequency (rad/sec): 2.42 Magnitude (dB): 0.029

10

Magnitude (dB)

0

-10

-20

-30

-40 -135

Phase (deg)

-180 System: sys Frequency (rad/sec): 1.42 Phase (deg): -180

System: sys Frequency (rad/sec): 2.42 Phase (deg): -208

-225

-270 0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

El MF del sistema no compensado pero ajustado en ganancia es de -32º, lo que indica que el sistema es inestable. El paso siguiente es seleccionar una nueva frecuencia de cruce de ganancia. A partir de la curva de fase de 𝐺𝑝 (𝜔), se observa que ∠𝐺𝑝 (𝜔) = −180° en 𝜔 = 1.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔. Es conveniente elegir la nueva frecuencia de cruce de ganancia como 1.5 rad/seg, a fin de que el adelanto de fase requerido en 1.5 rad/seg sea alrededor de 50º, lo que es muy posible mediante una red de retardo adelanto. Una vez que se ha seleccionado la frecuencia de cruce de ganancia en 1.5 rad/seg se puede determinar la frecuencia esquina de la parte de retardo de fase del compensador de retardo

82 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

adelanto. Se selecciona la frecuencia esquina 𝜔 = 1/𝑇2 (que corresponde al cero de la parte de retardo del de fase del compensador) que se encuentra una década por debajo de la nueva frecuencia de cruice de ganancia, o en 015 rad/seg. Recuerde que para el compebsador de adelanto, el máximo adelanto de fase 𝜙𝑚 viene dado por 1 1− 𝛽 𝛽−1 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 = = 1 𝛽+1 1+ 𝛽 Para el caso actual, sustituyendo 𝛼 = 1/𝛽 1−𝛼 1−𝛼 𝑠𝑒𝑛𝜙𝑚 = 2 = 1+𝛼 1+𝛼 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛽 = 10 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝜙𝑚 = 54.9° Como se necesita un MF de 50º, se puede seleccionar 𝛽 = 10. Así a la frecuencia esquina 𝜔 = 1/𝑇2 que corresponde al polo de la parte de retardo de fase del compensador) es 0.015 rad/seg. La función de transferencia de la parte de retardo de fase del compensador de retrdo-adelanto es 𝑠 + 0.15 (6.67𝑠 + 1) = 10 𝑠 + 0.015 (66.7𝑠 + 1) La parte de adelanto de fase se puede determinar del modo siguiente. Como la nueva frecuencia de cruce de ganacia es 1.5 rad/seg, de la figura se encuentra que Gp(j1.5) es de 13 dB. A partir de este requisito, es posible dibujar una línea recta de pendiente 20dB/dec, que pasa por el punto (1.5 rad/seg, -13 dB). Las intersecciones de esta línea con las líneas 0 dB y -20 dB determinan las frecuencias esquinas.asi, las frecuencias esquinas para la parte de adelanto son 0.7 rad/seg y 7 rad/seg. En este caso la función de transferencia del compensador en adelanto es 𝑠 + 0.7 (1.43𝑠 + 1) = 0.1 𝑠+7 (0.143𝑠 + 1) Si se combinan las funciones de transferencia 𝑠 + 0.7 𝑠 + 0.15 𝐺𝑐 (𝑠) = ( )( ) 𝑠 + 7 𝑠 + 0.015 𝐶(𝑠) 20 = 3 𝑅(𝑠) 𝑠 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 20 𝐶(𝑠) 95.381𝑠 2 + 81𝑠 + 10 = 𝑅(𝑠) 4.769𝑠 5 + 47.7287𝑠 4 + 110.3026𝑠 3 + 163.724𝑠 2 + 82𝑠 + 10

83 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Sin compensar 6

8

x 10

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Compensado Step Response 1.4

1.2

1

Amplitude

-12

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

5

10

15 Time (sec)

20

25

84 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

ASIGNACION DE POLOS UTILIZANDO REALIMENTACION DEL ESTADO Ing. Julio C. Borjas Castañeda

INTRODUCCION El diseño mediante realimentación de todos los estados normalmente se basa en técnicas de asignación de polos. Es importante darse cuenta de que el sistema debe ser completamente controlable y completamente observable para que permita la flexibilidad de colocar todos los polos del sistema arbitrariamente. CORRELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS D *

u B

x

+

 dt

+

+

x C

+

A

Tomando transformadas de Laplace a las ecuaciones de estado y de salida 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖 Se obtiene 𝒔𝑿(𝒔) − 𝒙(𝟎) = 𝑨𝑿(𝒔) + 𝑩𝒖(𝒔) 𝒀(𝒔) = 𝑪𝑿(𝒔) + 𝑫𝑼(𝒔) Que implica

𝑿(𝒔) = (𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏 𝒙(𝟎) + (𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏 𝑩𝑼(𝒔) 𝒀(𝒔) = 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏 𝒙(𝟎) + 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏 𝒙(𝟎)𝑩𝑼(𝒔) + 𝑫𝑼(𝒔)

Si la condición inicial 𝑥(0) = 0

𝑋(𝑠) = (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵𝑈(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝐶(𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝑥(0)𝐵𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠)

La función de transferencia será 𝒀(𝒔) = 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨)−𝟏 𝑩 + 𝑫 𝑼(𝒔) La ecuación característica es: |𝒔𝑰 − 𝑨|

y

85 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

ASIGNACION DE POLOS UTILIZANDO REALIMENTACION DEL ESTADO Las matrices A, B, C y D se utilizan para describir un modelo de planta lineal e invariante en el tiempo, en el que u(t) es la entrada a la planta y x(t) e y(t) son los vectores de estado y salida, respectivamente. El modelo del sistema global se completa entonces aumentando el modelo de planta para incluir la compensación por realimentación.

Realimentación de estados: un modelo vectorial La realimentación de estados se implementa utilizando una combinación lineal de variables de estados como una señal de realimentación negativa. Las ganancias de los caminos de realimentación se suponen que son ajustables de forma independiente con factores de ganancia 𝑘1 , 𝑘2 , … . , 𝑘𝑛 . De ahí, la señal realimentada vuelve a la entrada de la planta que es igual a 𝑘1 𝑥1 (𝑡) + 𝑘2 𝑥2 (𝑡) + … . + 𝑘𝑛 𝑥𝑛 (𝑡). La señal compuesta es un escalar y la formación de esta señal ya se ha descrito en notación matricial con la definición de una matriz fila K tal que

𝑲𝒙(𝑡) = [𝑘1

𝑘2

𝑥1 (𝑡) 𝑥2 (𝑡) . … 𝑘𝑛 ] . . [𝑥𝑛 (𝑡)]

Si se supone una única entrada y una única salida, el diagrama de bloques que muestra la realimentación de estados se presenta en la figura.

Planta x(0)

r

g



u

.

x  Ax  Bu

 Kx

K

x

C

y

86 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

Fig. Un sistema SISO con realimentación de estados Para permitir que r(t) se exprese en el mismo nivel que la salida deseada, se introduce un factor multiplicador constante g. esto permite que la suma de la entrada y las señales realimentadas ocurran con una versión escala de r(t). Considerar la planta con realimentación de estados, 𝒙̇ (𝒕) = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩𝒖(𝒕) 𝒚(𝒕) = 𝑪𝒙(𝒕) 𝒖(𝒕) = 𝒈𝒓(𝒕) − 𝑲𝒙(𝒕) 𝒙̇ (𝒕) = 𝑨𝒙(𝒕) + 𝑩[𝒈𝒓(𝒕) − 𝑲𝒙(𝒕)] Tomando transformadas de Laplace: 𝒔𝑿(𝒔) − 𝒙(𝟎) = 𝑨𝑿(𝒔) + 𝑩[𝒈𝑹(𝒔) − 𝑲𝑿(𝒔)] 𝒔𝑿(𝒔) − 𝑨𝑿(𝒔) + 𝑩𝑲𝑿(𝒔) = 𝒙(𝟎) + +𝑩𝒈𝑹(𝒔) (𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲)𝑿(𝒔) = 𝒙(𝟎) + 𝑩𝒈𝑹(𝒔) 𝑿(𝒔) = (𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲)−𝟏 𝒙(𝟎) + (𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲)−𝟏 𝑩𝒈𝑹(𝒔) 𝒀(𝒔) = 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲)−𝟏 𝒙(𝟎) + 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲)−𝟏 𝑩𝒈𝑹(𝒔) Asumiendo que el sistema esta inicialmente en reposo, la relación de transferencia en lazo cerrado es 𝑿(𝒔) = (𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲)−𝟏 𝑩𝒈𝑹(𝒔) 𝒀(𝒔) = 𝑪(𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲)−𝟏 𝑩𝒈𝑹(𝒔) Con el modelo de planta expresado en términos de una única salida, Y(s) es un escalar y C es una matriz fila. En este caso, g se puede evaluar de forma que r(t) este expresado en el mismo nivel que la salida deseada y(t). Esta condición se establece si g es 𝒈=

𝟏 𝑪(−𝑨 + 𝑩𝑲)−𝟏 𝑩

La ecuación característica es ∆(𝒔) = 𝐝𝐞𝐭(𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲) = 𝟎

87 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda Con libertad para ajustar los elementos de la matriz K, la realimentación de estados se utiliza para tener el control de la situación de las raíces de la ecuación característica. Las raíces se desplazan para obtener el comportamiento transitorio deseado.

CONTROLABILIDAD Un sistema es completamente controlable si existe un control sin restricción u(t) que pueda llevar cualquier estado inicial 𝑥(𝑡𝑜 ) a cualquier otro estado deseado 𝑥(𝑡) en un tiempo finito, 𝑡𝑜 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇. Para el sistema 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 Se puede determinar si el sistema es controlable examinando la condición algebraica 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜[𝑩 𝑨𝑩 𝑨𝟐 𝑩 …

𝑨𝒏−𝟏 𝑩] = 𝑛

La matriz a tiene dimensión 𝑛 × 𝑛 y B tiene dimensión 𝑛 × 1. Para sistemas con múltiples entradas, B es de 𝑛 × 𝑚, donde 𝑚 es el número de entradas. Para un sistema de única entrada, única salida, la matriz de Controlabilidad 𝑀𝑐 se describe en términos de A y B como 𝑀𝑐 = [𝑩 𝑨𝑩

𝑨𝟐 𝑩

… 𝑨𝒏−𝟏 𝑩] = 𝑛

Que es una matriz 𝑛 × 𝑛. Por lo tanto, si el determinante de 𝑀𝑐 es distinto de cero, el sistema es controlable. OBSERVABILIDAD Un sistema es completamente observable si y solo si existe un tiempo finito T de forma que el estado inicial 𝑥(0) se pueda determinar a partir de la observación de la historia 𝑦(𝑡) dado el control 𝑢(𝑡). Considerar el sistema de una entrada-una salida 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 e 𝑦 = 𝑪𝒙 Donde C es un vector fila 1 × 𝑛 y x es un vector columna 𝑛 × 1. Este sistema es completamente observable cuando el determinante de la matriz de Observabilidad 𝑀𝑜 es distinto de cero, donde

88 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

C CA .. 𝑀𝑜 = . [CAn−1 ] que es una matriz 𝑛 × 𝑛 ESTIMACION DEL ESTADO Si el estado de la planta se puede estimar, entonces la compensación por realimentación se puede implementar utilizando el estado estimado. Un observador de estado completo utiliza solamente la entrada a la planta, u(t) y la salida y(t) tal como se muestra en la ̂ de todas las variables de estado. Una gran ventaja figura, para proporcionar una estima 𝒙 del uso del observador es la capacidad de implementar compensación por realimentación con una reducción en el número de variables medidas. La medida de las variables de planta puede ser difícil y la disponibilidad y coste de los sensores apropiados puede ser un factor significativo en la selección de esta opción de diseño. Para proporcionar la operación deseada un observador debe constituir una simulación dinámica en tiempo real que es capaz de dar una estimación aceptablemente precisa de las variables de planta. Más aun, puede existir una diferencia en los valores iniciales de las variables de estado reales y estimadas y el observador debe tener la capacidad de producir una atenuación rápida de error inicial.

Planta x(0) u

x

.

x  Ax  Bu

xˆ (0)

C

Observador

Fig. Una planta con un observador de estado completo.

y

xˆ

89 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

̂, entonces la diferencia entre los estados real y Si el estado estimado se describe como 𝒙 estimado se puede definir como el error e, con ̂ 𝒆=𝒙−𝒙

Como las entradas al observador son u(t) e y(t) se propone un modelo de observador dinámico con ̂̇ = 𝑨𝒐 𝒙 ̂ + 𝑩𝒐 𝒖(𝒕) + 𝑮𝒚(𝒕) 𝒙 Donde 𝑨𝒐 , 𝑩𝒐 y 𝑮 deben definirse de forma tal que hay una tendencia a minimizar el error. Observe que Gy(t) se puede expresar también como GCx(t), entonces ̂̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 − 𝑨𝒐 𝒙 ̂ − 𝑩𝒐 𝒖 − 𝑮𝑪𝒙 𝒆̇ = 𝒙̇ − 𝒙 Si 𝑨𝒐 se fija igual a 𝐀 − 𝐆𝐂 y 𝑩𝒐 se fija igual a B entonces la diferencia entre el estado real y el estado estimado se controla por un modelo dinámico con ̂̇ = (𝑨 − 𝑮𝑪)(𝒙 − 𝒙 ̂) 𝒙̇ − 𝒙 𝒆̇ = (𝑨 − 𝑮𝑪)𝒆 La función de error dinámico es el modelo matemático de un sistema no forzado y si los valores propios de 𝑨 − 𝑮𝑪 se colocan en el semiplano izquierdo, e(t) tendera hacia cero cuando 𝑡 → ∞. En otras palabras, cualquier diferencia inicial entre el estado real y el estimado decaerá asintóticamente a cero. Asi, el modelo del observador es ̂̇ = (𝑨 − 𝑮𝑪)𝒙 ̂ + 𝑩𝒖 + 𝑮𝒚 𝒙 Como G no ha sido especificado, los elementos de la matriz G se pueden seleccionar para dar una colocación aceptable de los valores propios de 𝑨 − 𝑮𝑪. La ecuación característica del observador es 𝒅𝒆𝒕(𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑮𝑪) = 0 Y la velocidad a la cual el error inicial entre el estado real y el estado estimado decae es independiente de la colocación de las raíces de esta ecuación. Es una práctica deseable colocar las raíces del observador de forma tal que el decaimiento del error ocurre rápidamente con respecto al tiempo de respuesta transitoria que queda determinado por las constantes de tiempo dominantes del sistema en lazo cerrado. Sin embrago, si los polos del observador se colocan arbitrariamente lejos a la izquierda en el

90 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

plano s, una demanda innecesariamente excesiva se coloca sobre el observador en términos del tiempo de respuesta requerido y del ancho de banda correspondiente. Esta situación puede imponer problemas prácticos que incluyen un aumento innecesario en el nivel del ruido del sensor que se introduce en el sistema. Para proporcionar un comportamiento aceptable sin imponer demanda excesiva sobre el observador, a las raíces se le asignan normalmente posiciones que se obtienen multiplicando los valores de los polos dominantes del sistema en lazo cerrado (tal como queda determinado por la posición de los polos) por un factor de 3 o 4. Ejemplo 11.4 Considerando el modelo de la planta descrito en este ejemplo, diseñar un observador de estado completo para estimar el estado de la planta y describir el modelo del observador. Coloque los valores propios del observador en 𝑠 = −15. El modelo de la planta se describe por 𝑥̇ = [

0 1 0 ]𝑥 + [ ]𝑢 −2 −3 3 𝑦 = [5 0]𝑥 Solución

El modelo del observador es ̂̇ = (𝑨 − 𝑮𝑪)𝒙 ̂ + 𝑩𝒖 + 𝑮𝒚 𝒙 𝒈𝟏 𝑮 = [𝒈 ] 𝟐

̃ = 𝑨 − 𝑮𝑪 𝑨 ̃𝒙 ̂̇ = 𝑨 ̂ + 𝑩𝒖 + 𝑮𝒚 𝒙 𝒈𝟏 𝟓𝒈 𝟏 𝟎 𝟏 ̃=[ 𝟎 𝑨 ] − [𝒈 ] [𝟓 𝟎] = [ ]−[ 𝟏 𝟓𝒈𝟐 −𝟐 −𝟑 −𝟐 −𝟑 𝟐

𝟎 −𝟓𝒈𝟏 ]=[ 𝟎 −𝟐 − 𝟓𝒈𝟐

𝟏 ] −𝟑

Los valores propios del observador (como función de 𝑔1 y 𝑔2 ) se pueden especificar entonces como consistiendo en los valores de s para los cuales ̃) = 𝟎 𝒅𝒆𝒕(𝒔𝑰 − 𝑨 ̃ = [𝒔 𝒔𝑰 − 𝑨 𝟎

−𝟓𝒈𝟏 𝟎 ]−[ −𝟐 − 𝟓𝒈𝟐 𝒔

𝟏 𝒔 + 𝟓𝒈𝟏 ]=[ −𝟑 𝟐 + 𝟓𝒈𝟐

−𝟏 ] 𝒔+𝟑

91 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda

̃ ) = (𝒔 + 𝟓𝒈𝟏 )(𝒔 + 𝟑) + 𝟐 + 𝟓𝒈𝟐 = 𝒔𝟐 + (𝟑 + 𝟓𝒈𝟏 )𝒔 + 𝟐 + 𝟓𝒈𝟐 + 𝟏𝟓𝒈𝟏 𝒅𝒆𝒕(𝒔𝑰 − 𝑨 =𝟎 (𝒔 + 𝟏𝟓)(𝒔 + 𝟏𝟓) = 𝒔𝟐 + 𝟑𝟎𝒔 + 𝟐𝟐𝟓 = 𝟎 𝟑 + 𝟓𝒈𝟏 = 𝟑𝟎 𝟐 + 𝟓𝒈𝟐 + 𝟏𝟓𝒈𝟏 = 𝟐𝟐𝟓 Resolviendo 𝒈𝟏 = 𝟓. 𝟒 𝒈𝟐 = 𝟐𝟖. 𝟒 𝟏 ̃ = [ −𝟐𝟕 𝑨 ] −𝟏𝟒𝟒 −𝟑 El modelo del observador es entonces −𝟐𝟕 𝟏 0 5.4 ̂̇ = [ ̂ + [ ]𝑢 + [ 𝒙 ]𝒙 ]𝑦 −𝟏𝟒𝟒 −𝟑 3 28.4 ̂ esta disponible para implementar la compensación por Y el estado estimado 𝒙 realimentación. 𝒆̇ = (𝑨 − 𝑮𝑪)𝒆 ̃𝒆 𝒆̇ = 𝑨 𝒆̇ = [

−𝟐𝟕 𝟏 ]𝒆 −𝟏𝟒𝟒 −𝟑

Suponiendo la condición inicial 𝟐 𝒆(𝟎) = [ ] 𝟏 close all; clear all; clc; %trayectoria del observador A=[-27 1; -144 -3]; B=[2; 1]; t=0:0.01:0.6; [x,z,t]=step(A,B,A,B,1,t); x1=[1 0]*x'; x2=[0 1]*x'; plot(t,x1,t,x2); title('Respuesta a condicion inicial'); xlabel('t seg'); ylabel('Variables de estado x1, x2'); grid;

92 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda gtext('x1'); gtext('x2'); Respuesta a condicion inicial 2 1 x1

Variables de estado x1, x2

0 -1 -2 x2 -3 -4 -5 -6 -7

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

t seg

REALIMENTACION DE LA SALIDA Planta

r

g

x(0)



x

.

x  Ax  Bu

y

C

u 

xˆ xˆ (0)

Observador

K Fig. Realimentación de salida utilizando un observador

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El sistema de la figura presenta un modelo del sistema que muestra realimentación de salida. En lugar de devolver las variables de estado medidas para implementar realimentación de estado, la realimentación se formula como una combinación lineal de variables de estado estimadas. Esta configuración se realiza con la incorporación de un observador de orden completo y la adición de este observador duplica el orden del sistema. Si el modelo del observador se combina con el modelo de la planta, entonces el modelo revisado es 𝑥̇ 𝐴 [ ̇] = [ 0 𝑥̂

𝑥 0 𝐵 0 ][ ] + [ ]𝑢 + [ ]𝑦 𝐴 − 𝐺𝐶 𝑥̂ 𝐵 𝐺 𝑢 = 𝑔𝑟 − 𝐾𝑥̂ 𝑦 = 𝐶𝑥

El modelo de la planta en lazo cerrado es 𝑥̇ 𝐴 [ ̇] = [ 𝐺𝐶 𝑥̂

𝑥 −𝐵𝐾 𝐵 ] [ ] + [ ] 𝑔𝑟 𝐴 − 𝐺𝐶 − 𝐵𝐾 𝑥̂ 𝐵

Con el empleo de un observador de orden completo, se revela una característica particularmente útil los valores propios del modelo del sistema en lazo cerrado son simplemente las arices de det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐺𝐶] = 0 y las raíces de det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾] = 0. Esta característica se hace aparente con alguna manipulación del modelo. Si se redefinen ̂), entonces la las variables de estado para contener x y e (en lugar de x y 𝒙 transformación de variables es 𝑥 𝐼 [ ]=[ 𝑒 𝐼

0 𝑥 ][ ] −𝐼 𝑥̂

Y las expresiones para 𝑥̇ y 𝑒̇ , se desarrollan rápidamente para obtener una formulación alternativa del modelo del sistema en lazo cerrado con 𝑥̇ 𝐴 − 𝐵𝐾 [ ]=[ 0 𝑒̇

𝑥 𝐵𝐾 𝐵 ] [ ] + [ ] 𝑔𝑟 𝑒 𝐴 − 𝐺𝐶 0

La ecuación característica queda por supuesto inalterada; y es aparente del modelo de la ecuación anterior que la ecuación característica para el sistema en lazo cerrado se pueda expresar como det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾] det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐺𝐶] = 0. Así, los polos del sistema total incluyen las raíces de det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾] = 0 y las raíces de det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐺𝐶] = 0. El primer grupo comprende los polos que se obtienen utilizando realimentación de estado puro y el segundo grupo lo constituyen los polos del observador. Esto significa que se puede diseñar K basándose solamente en la realimentación del estado y G en la

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estimación del estado, aunque se interconectan para proporcionar realimentación de salida. Este fenómeno se conoce como el principio de separación, que produce un proceso de diseño directo.

EJEMPLO 11.5 Utilizando el modelo de planta y el observador descritos en el ejemplo 11.4, implementar la realimentación de salida de forma tal que las raíces del det[sI-A+BK] se localizan en 𝑠 = −5. Determinar el modelo de estado del sistema en lazo cerrado y evaluar los valores propios. 𝑥̇ = [

0 1 0 ]𝑥 + [ ]𝑢 −2 −3 3 𝑦 = [5 0]𝑥 Solución

Primero verificamos si el sistema es controlable y observable 𝑀𝑐 = [𝑩 𝑨𝑩] 𝐴𝐵 = [

0 1 0 3 ][ ] = [ ] −2 −3 3 −9

0 𝑀𝑐 = [ 3

3 ] −9

det(𝑀𝑐 ) = −9 ≠ 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐂 𝑀𝑜 = [ ] 𝐂𝐀 0 𝐶𝐴 = [5 0] [ −2 5 𝑀𝑜 = [ 0

1 ] = [0 −3

5]

0 ] 5

det(𝑀𝑂 ) = 25 ≠ 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 Ya que el sistema es controlable y observable se puede aplicar la realimentación de estados. Calculo de 𝐝𝐞𝐭[𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑩𝑲] = 𝟎

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𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾 = [

𝑠 0 0 1 0 ]−[ ] + [ ] [𝑘1 0 𝑠 −2 −3 3

𝑘2 ] = [

𝑠 2 + 3𝑘1

−1 ] 3 + 𝑠 + 3𝑘2

det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐵𝐾] = 𝑠 2 + (3 + 3𝑘2 )𝑠 + 2 + 3𝑘1 = 0 (𝑠 + 5)(𝑠 + 5) = 𝑠 2 + 10𝑠 + 25 3 + 3𝑘2 = 10 𝑘2 =

7 3

2 + 3𝑘1 = 25 𝑘1 = 𝐾=[

23 3

23 7 ] 3 3

Calculo de 𝐝𝐞𝐭[𝒔𝑰 − 𝑨 + 𝑮𝑪] = 𝟎 𝑠 𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐺𝐶 = [ 0

𝑔1 𝑠 + 5𝑔1 0 0 1 ]−[ ] + [𝑔 ] [5 0] = [ 2 + 5𝑔2 𝑠 −2 −3 2

−1 ] 𝑠+3

det[𝑠𝐼 − 𝐴 + 𝐺𝐶] = 𝑠 2 + (3 + 5𝑔1 )𝑠 + 2 + 15𝑔1 + 5𝑔2 = 0 (𝑠 + 15)(𝑠 + 15) = 𝑠 2 + 30𝑠 + 225 3 + 5𝑔1 = 30 𝑔1 =

27 5

2 + 15𝑔1 + 5𝑔2 = 225 𝑔2 =

142 5

27 𝐺=[ 5 ] 142 5 Utilizando el observador 𝑥̇ 𝐴 [ ̇] = [ 𝐺𝐶 𝑥̂

𝑥 −𝐵𝐾 𝐵 ] [ ] + [ ] 𝑔𝑟 𝑥 ̂ 𝐴 − 𝐺𝐶 − 𝐵𝐾 𝐵

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27 27 𝐺𝐶 = [ 5 ] [5 0] = [ 142 142 5 0 23 𝐵𝐾 = [ ] [ 3 3 𝐴 − 𝐺𝐶 − 𝐵𝐾 = [

7 0 ]=[ 23 3

0 1 27 ]−[ −2 −3 142

𝑥1̇ 0 𝑥2̇ −2 =[ 𝑥̂1̇ 27 142 ̇ [𝑥̂2 ]

0 ] 0 0 ] 7

0 0 0 −27 ]−[ ]=[ 0 23 7 −167

𝑥1 1 0 0 0 𝑥 2 −3 −23 −7 ] [ ] + [3] 𝑔𝑟 𝑥̂1 0 0 −27 1 3 0 −167 −10 𝑥̂2

close all; clear all; clc % respuesta en el tiempo en variables de estado A=[0 1; -2 -3]; B=[0; 3]; C=[5 0]; D=[0]; step(A,B,C,D); t=0:0.1:10 [y,x,t]=step(A,B,C,D,1,t); x1=[1 0]*x'; x2=[0 1]*x'; plot(t,x1,t,x2); grid; gtext('x1'); gtext('x2'); figure; y=5*x1; plot(t,y); grid; gtext('y=5*x1'); 1.5 x1

1 x2

0.5

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 ] −10

97 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda 8 y=5*x1 7 6 5 4 3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Problema Considerar la aplicación de la realimentación de estados del modelo de planta descrito en este ejemplo. El modelo describe un sistema motor que se utiliza para controlar la posición angular de la base de un telescopio. La variable 𝑥1 representa el ángulo, 𝑥2 representa la velocidad angular del eje del motor, y 𝑥3 representa la corriente del motor. Utilizando este modelo, determinar la ecuación característica con la realimentación de estados aplicada y completar el diseño de realimentación de estados de forma que los polos en lazo cerrado estén, situados en −10 ± 𝑗5 y −80. El modelo de la planta es 𝒙̇ 𝟏 𝟎 [𝒙̇ 𝟐 ] = [𝟎 𝒙̇ 𝟑 𝟎

𝒙𝟏 𝟎 𝟎 𝟔𝟎 ] [𝒙𝟐 ] + [ 𝟎 ] 𝒖 𝟏𝟎 −𝟓𝟎 𝒙𝟑

𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒 𝒚 = [𝟏

𝟎

𝒙𝟏 𝟎 ] [𝒙 𝟐 ] 𝒙𝟑

Solución Primero se determina la Controlabilidad y Observabilidad del sistema para que se pueda asignar los por los utilizando realimentación de estados. 𝒙̇ = 𝑨𝒙 + 𝑩𝒖 𝒚 = 𝑪𝒙 + 𝑫𝒖 𝒅𝒆𝒕(𝒔𝑰 − 𝑨) = 𝟎 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒔 𝒔𝑰 − 𝑨 = [𝟎 𝟎

𝟎 𝒔 𝟎

𝟎 𝟎 𝟎 ] − [𝟎 𝒔 𝟎

𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒

𝒔 𝟎 𝟔𝟎 ] = [𝟎 𝟎 −𝟓𝟎

−𝟓 𝟎 𝒔 + 𝟎. 𝟏 −𝟔𝟎 ] 𝟏. 𝟒 𝒔 + 𝟓𝟎

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𝒔 𝒅𝒆𝒕 |𝟎 𝟎

−𝟓 𝒔 + 𝟎. 𝟏 𝟏. 𝟒

𝟎 −𝟔𝟎 | = 𝒔[(𝒔 + 𝟎. 𝟏)(𝒔 + 𝟓𝟎) + (𝟏. 𝟒)(𝟔𝟎)] = 𝟎 𝒔 + 𝟓𝟎 𝒔(𝒔𝟐 + 𝟓𝟎. 𝟏𝒔 + 𝟖𝟗) = 𝟎 𝒔 = 𝟎, −𝟏. 𝟖𝟒𝟒𝟑, −𝟒𝟖. 𝟐𝟓𝟓𝟕

La matriz de Controlabilidad es: 𝑴𝒄 = [𝑩 𝑨𝑩 𝟎 𝑨 = [𝟎 𝟎 𝟎 𝑨. 𝑩 = [𝟎 𝟎

𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒 𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒

𝟎 𝟓 𝑨𝟐 𝑩 = 𝑨. 𝑨. 𝑩 = [𝟎 −𝟎. 𝟏 𝟎 −𝟏. 𝟒

𝟎 𝟎 𝟔𝟎 ], 𝑩 = [ 𝟎 ] 𝟏𝟎 −𝟓𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝟎 ] [ 𝟎 ] = [ 𝟔𝟎𝟎 ] −𝟓𝟎𝟎 −𝟓𝟎 𝟏𝟎

𝟎 𝟎 ] [ 𝟔𝟎 𝟎 −𝟓𝟎 𝟎

𝟎 𝑴𝒄 = [ 𝟎 𝟏𝟎

𝑨𝟐 𝑩]

𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒

𝟎 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟎 ] [ ] = [ 𝟎 −𝟑𝟎𝟎𝟔𝟎] 𝟔𝟎 𝟐𝟒𝟏𝟔𝟎 −𝟓𝟎 𝟏𝟎

𝟎 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎 −𝟑𝟎𝟎𝟔𝟎] −𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟒𝟏𝟔𝟎

𝒅𝒆𝒕(𝑴𝒄 ) = −𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ≠ 𝟎 Por lo tanto el sistema es controlable. La matriz de Observabilidad es: 𝑪 𝑴𝒐 = [ 𝑪𝑨 ] 𝑪𝑨𝟐 𝟏 𝑴𝒐 = [𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟓 𝟎 ] −𝟎. 𝟓 𝟑𝟎𝟎

𝒅𝒆𝒕(𝑴𝒐 ) = 𝟏𝟓𝟎𝟎 ≠ 𝟎 ̃ = 𝑨 − 𝑩𝑲 𝑨 𝟎 ̃ = [𝟎 𝑨 𝟎

𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒

𝟎 𝟎 𝟔𝟎 ] − [ 𝟎 ] [𝒌𝟏 𝟏𝟎 −𝟓𝟎

𝒌𝟐

𝒌𝟑 ]

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𝟎 𝟓 𝟎 𝟎 ] − [ −𝟎. 𝟏 𝟔𝟎 𝟏𝟎𝒌𝟏 −𝟏. 𝟒 −𝟓𝟎

𝟎 ̃ = [𝟎 𝑨 𝟎 ̃=[ 𝑨 𝒔 ̃ 𝒔𝑰 − 𝑨 = [𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 −𝟏𝟎𝒌𝟏

𝟎 𝒔 𝟎

𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒 − 𝟏𝟎𝒌𝟐

𝟎 𝟎 𝟎] − [ 𝟎 −𝟏𝟎𝒌𝟏 𝒔

𝒔 ̃ 𝒔𝑰 − 𝑨 = [ 𝟎 𝟏𝟎𝒌𝟏

𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝒌𝟐

𝟎 𝟔𝟎 ] −𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝒌𝟑

𝟓 −𝟎. 𝟏 −𝟏. 𝟒 − 𝟏𝟎𝒌𝟐

−𝟓 𝒔 + 𝟎. 𝟏 𝟏. 𝟒 + 𝟏𝟎𝒌𝟐

𝟎 𝟎 ] 𝟏𝟎𝒌𝟑

𝟎 𝟔𝟎 ] −𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝒌𝟑

𝟎 −𝟔𝟎 ] 𝒔 + 𝟓𝟎 + 𝟏𝟎𝒌𝟑

̃ ) = 𝟎 es la ecuación característica del sistema con realimentación de estados. 𝒅𝒆𝒕(𝒔𝑰 − 𝑨 𝒔𝟑 + (𝟓𝟎. 𝟏 + 𝟏𝟎𝒌𝟑 )𝒔𝟐 + (𝟖𝟗 + 𝒌𝟑 + 𝟔𝟎𝟎𝒌𝟐 )𝒔 + 𝟑𝟎𝟎𝟎𝒌𝟏 = 𝟎 Para situar todos los polos en lazo cerrado como se requieren, el polinomio característico es deseado es (𝒔 + 𝟏𝟎 − 𝒋𝟓)(𝒔 + 𝟏𝟎 + 𝒋𝟓)(𝒔 + 𝟖𝟎) = 𝒔𝟑 + 𝟏𝟎𝟎𝒔𝟐 + 𝟏. 𝟕𝟐𝟓𝒔 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟎. 𝟏 + 𝟏𝟎𝒌𝟑 = 𝟏𝟎𝟎 𝟖𝟗 + 𝒌𝟑 + 𝟔𝟎𝟎𝒌𝟐 = 𝟏. 𝟕𝟐𝟓 𝟑𝟎𝟎𝟎𝒌𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝟏 = 𝟑. 𝟑𝟑 𝒌𝟐 = 𝟐. 𝟕𝟐 𝒌𝟑 = 𝟒. 𝟗𝟗 𝑲 = [𝟑. 𝟑𝟑 𝟐. 𝟕𝟐

𝟒. 𝟗𝟗]

clear all; close all; clc; %asignacion de polos utilizando realimentacion de estados A=[0 5 0; 0 -0.1 60; 0 -1.4 -50]; B=[0; 0; 10]; C=[1 0 0]; D=[0]; t=0:0.1:100; [y,x,t]=step(A,B,C,D,1,t); x1=[1 0 0]*x'; x2=[0 1 0]*x'; x3=[0 0 1]*x';

100 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda plot(t,x1,t,x2,t,x3); grid; gtext('y=x1=salida del sistema'); gtext('x2'); gtext('x3'); 3500

3000

2500 y=x1=salida del sistema 2000

1500

1000 x2 500

0

x3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

clear all; close all; clc; %asignacion de polos utilizando realimentacion de estados A=[0 5 0; 0 -0.1 60; 0 -1.4 -50]; B=[0; 0; 10]; C=[1 0 0]; D=[0]; t=0:0.1:100; [y,x,t]=step(A,B,C,D,1,t); x1=[1 0 0]*x'; x2=[0 1 0]*x'; x3=[0 0 1]*x'; plot(t,x1,t,x2,t,x3); grid; gtext('y=x1=salida del sistema'); gtext('x2'); gtext('x3'); figure K=[3.33 2.72 4.99]; AS=A-B*K; E=B*K-A; EI=inv(E) invg=C*EI*B; g=1/invg; BS=[0; 0; 10*g]; t=0:0.01:1; [y,x,t]=step(AS,BS,C,D,1,t); x1=[1 0 0]*x'; x2=[0 1 0]*x'; x3=[0 0 1]*x'; plot(t,x1,t,x2,t,x3); grid;

101 UNAC FIEE: Ing. Julio Cesar Borjas Castañeda gtext('y=x1=salida del sistema'); gtext('x2'); gtext('x3'); 1.2 y=x1=salida del sistema 1

0.8

0.6 x2 0.4

0.2

0 x3 -0.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1