Separata Mecanica de Fluidos - 2017

 

 Mecánica de Fluidos

   t .C

El término

dh dt 

d 

 t





.C 

d





 VC   t



 ( A h)  t

  A

dh d dtt

…(2)    

es la rapidez con que la altura h aumenta o disminuye. Se considera positivo posit ivo si

el nivel crece; negativo, si decrece. Igualando (1) y (2) se obtiene:   A

dh dt



 

 As

 V dA 

  

As

V dA



A

dh dt

  

 

As

V dA  

Si se considera que el flujo es uniforme en la salida, entonces: De donde:

dh  

dt 

 A

dh dt 

 V s



 As

dA 

Vs

V s As A

El signo negativo indica que el nivel del líquido está decreciendo.

 Ing. Mario A. García Pérez

- 60 -

As

 

 Ecuación Integral de Conservación de masa 

Caso III. Volumen de control indeformable  

.C 

 y m óvil V

  cte.

 . C 

 cte.

 

Un avión avanza a 971 Km/h sobre una atmósfera quieta. El área de la toma frontal del motor a propulsión es de 0,80 m2 y la densidad del aire que penetra 0,736 kg/m3. Un observador parado en tierra determina que los gases de escape del motor se desplazan alejándose del motor mo tor con una velocidad de 1050 Km/h. El área de escape del motor es 0.558 m2 y la densidad del gas de escape es 0,515 Kg/m3. Calcule el flujo másico de combustible hacia el motor. Solución El volumen de control seleccionado se mueve con la misma velocidad del avión y rodea al motor y contiene a todos los fluidos presentes en ese instante. El flujo se puede considerar permanente, unidimensional y uniforme, de modo que la ecuación de continuidad aplicada a este volumen es:   C     d  t    .

0

     Vr . dA    A1

 

com combustib bustible le

     Vr dA  

0

 A1

mcombustible

 Vr

dA 



A2



A2

 Vr . dA

  Vr 

dA

    Vr  A   mco    Vr   A combustible

0



combust combustible ible

 Vr .dA 

1

Vr A

 



2

2

1

1



2

2

2

 .......(1)   Vr A  

2

1

1

1

De la ecuación de velocidad relativa se tiene: V r1



 

V1  V VC   



0

V r2



  

9 97 71 i



V2

  



971 i Km h  269, 72 i m / s

 V VC  

Reemplazando valores en la ecuación (1),

1 050 i 



971 i





2 021 i Km h  561, 39 i m / s



 mcombustible  0,515 ,515 x 561,39 x 0,558 ,558  0,736 ,736 x 269,72 x 0,80 

 mcombustible  2, 52 Kg / s

- 61 -

 

 Mecánica de Fluidos

Problemas propuestos

Nota: En todos llos os problemas iindique ndique claramente el volumen de control ele elegido gido señalando además las hipótesis adoptadas para el flujo.

3.1. En la figura determine la rapidez de cambio de h(t), si el fluido es agua, para: m a) V1 =10 m/s,  10 kg/s, Q3 = 600  /min m  20 kg/s, Q3 = 10   /s   b) V1 = 0 m c) V1 = 5 m/s,  10 kg/s, Q3 = 1000   /min   2

2

2

dh dt 



 



 



 



0, 02 029 m / s, 0,  0 02 27 m / s, 0, 02 029 m / s

3.2. Hacia el tanque A fluyen 5 pie3 /s de agua. En cierto instante, h1 = 15 pie y el agua fluye hacia el tanque B por un agujero a razón de 4 pie3 /s, En este instante h2 = 12 pie. Si la superficie libre del tanque B baja con velocidad de 0,2 pie/s, ¿Cuál es el caudal Q 2? y ¿Cuál es la velocidad con que h1 cambia de valor? Ambos tanques tienen 5 pie de d e ancho (normal al dibujo). Q2  12 pie3 s , dh d h1 dt  0, 04 pie s  

3.3. A través de la puerta de una cochera que mide 7 pie x 10 pie. Determine la velocidad media del aire a través de las ventanas de 3 pie x 4 pie.   V 2,92 pie s   

 Ing. Mario A. García Pérez

- 62 -

 

 Ecuación Integral de Conservación de masa 

3.4. Un flujo de 500 l/s de agua fluye a través de la tubería mostrada. El flujo sale a través de un área rectangular de 0,8 m de longitud y 40 mm de ancho. El perfil de velocidad es parabólico. La tubería tiene un diámetro interno de 250 mm. Calcule la velocidad máxima de salida así como la velocidad media de salida del flujo. Vmax   46, 95 m s , Vm 



15, 62 m s

 

3.5. Del recipiente rectangular superior se vacía aceite al recipiente inferior. La profundidad del aceite h1 aumenta a razón de 1 pie/min. a) Calcule la velocidad con que cambia el nivel del aceite en el depósito superior. b) Si después se bombea del depósito inferior hacia el superior un caudal de 25 pie3 /min usando una bomba B. ¿Cuáles son los valores ahora de dh ddtt 1

a)

dh2 dt

 

0,18 pie min

b)

dh2 dt



y dh2 dt  ?

0, 0556 pie min ,

dh1 dt

0, 309 pie min  

 

3.6. El recipiente mostrado tiene 6 pies de longitud en la dirección perpendicular al plano del papel. No existe flujo hacia el interior del recipiente, pero una reacción química que se desarrolla en su interior genera gas que sale a través de las 4 aberturas de 1 pie x 6 pie como se muestra. La velocidad del gas respecto al recipiente y su densidad al momento de salir varían con el radio y     0,002 ,002  0,001 ,001 r    según: V  10 r  r en pie, V en pie/s y  en slug/pie3. Determine la rapidez con que cambia la masa en el recipiente. m t  0,435 slug

s

3.7. A un depósito cilíndrico rígido sellado ingresa agua en régimen permanente de 100 l/h y obliga a salir gasolina ( R = 0,68) como se ilustra en la figura. ¿Cuál es la razón de cambio con respecto al tiempo de la masa de gasolina contenida en el depósito? m gas t  0,0188 kg

s 

- 63 -

 

 Mecánica de Fluidos

3.8. Un tramo de tubería que conduce agua está constituido por una cámara de expansión con una superficie libre de 2 m2. Las tuberías de entrada y salida a la cámara tienen una sección transversal de 1m 2. En un cierto instante V1 = 3 m/s y Q2 = 4 m3 /s. ¿Cuál es la rapidez con que cambia el nivel de la superficie libre en ese instante? Señale si el nivel sube o baja en la cámara de expansión. ex pansión. dh dt 

0,5 m s

 

3.9. Entra agua de manera permanente a un tanque de diámetro DT, con un flujo de masa m . Un orificio que está al fondo, con diámetro DO, deja que el agua se escape. Si el tanque está vacío al inicio. 1

a) Determine la altura máxima que alcanzará el agua en el tanque. b) Obtenga una ecuación para altura Z del agua en función del tiempo. 1

hmax 

1 2 g

[

4m1

2

2

   D0

] ,

t

 Ing. Mario A. García Pérez

2

 1   2 1  m1  4   D0 2 gZ    2    D0  m1 ln   2  m1    4    2 g           2

  DT 

1 2     D0 4

- 64 -

 

 

3.4. ECUACION DE TRANSPORTE DE REYNOLDS Es una ecuación que permite relacionar los puntos de vista de sistema y volumen de control (alternativamente, los métodos Lagrangianos y Eulerianos) en un nivel global de detalle. d B d t

  sist 

 mue ven b   d     b   Vr  . dA para volúmenes de control que se mueven        . C SC   con velocidad constante  t 

B -una propiedad extensiva cualquiera del fluido b = B/m es la correspondiente propiedad intensiva. Por ejemplo: Si dm dt

0

 sist 

B = m,

masa del fluido y

b = B/m = m /m =1, entonces:

   d      Vr . dA S .C  t   .C

es la ecuación de conservación de masa.

3.5. ANÁLISIS INTEGRAL DE LA ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO Se emplea para calcular las interacciones de fuerzas entre un fluido en movimiento y objetos sólidos en contacto con él. 

La segunda ley de Newton establece que: Donde:

mV



P 







d  m V  d V    F   sist   m a  m   d  t  d  t  



sist 

 

  se denomina ca cantidad ntidad de movimiento lineal de la fuerza

Luego:

  F   sist 



d mV 



dt

  sist 

d P  dt  

  Ec. de Cantidad de Movimiento Movimiento

Lineal Utilizando la ecuación de trasporte de Reynolds, para  B  P  m Vr y tiene:



d mV  dt

 sist 

   Vr d      Vr Vr . dA    F sist   S .C   t   .C

b  m Vr m  V r  , se

 

Luego, puesto que el sistema y el volumen de control coinciden en el instante to, entonces   F sist   F .C  y por tanto:

  F.C

   t   .C 

Ecuación Integral de Cantidad de Movi-  miento para un volumen de control que

Vr d  



S .C 

 V r





Vr . dA

 

no se acelera para unensistema de refe-  rencia inercialysituado el volumen de control. - 65 -

 Ing. Mario A. García Pérez

 

 Mecánica de Fluidos

donde:  F .  representa a todas las fuerzas que actúan sobre la masa del fluido contenido en el volumen de control control o simplemente, a todas las fuerzas fuerzas que actúan sobre el volumen de control considerado como cuerpo libre. Luego, incluye: C 

 A las fuerzas volumétricas o gravitatorias (peso) que actúan sobre so bre la masa contenida en el volumen de control  FVol         g d  . .C 

 A las fuerzas superficiales (tangenciales y normales) ejercidas por los fluidos  FSup    p dA     dA   ˆ

S .C

ˆ

S .C

 

 Ya las fuerzas ejercidas por sólidos cortados por la superficie de control  F   .  

mec

Es decir:

 F

.C

  FVol  FSup  Fmec     g d   .C

S .C

p dA  ˆ



S .C

  dA  ˆ

 

 F 

mec

 

3.5.1. Análisis de las Fuerzas que se ejercen sobre el Volumen de Control En la figura siguiente se muestra el flujo de un fluido a través de una boquilla. Se desea conocer qué fuerzas deben considerarse en el análisis del problema. Solución. Para conocer que fuerzas deben considerarse en un determinado problema, se debe previamente seleccionar un volumen de control adecuado, el cual puede tomarse al interior de la boquilla o exteriormente. Dependiendo de la elección de este volumen de control es que se tomarán en cuenta unas fuerzas y otras no. Veamos:  A.  A. Solución c Solución considerando onsiderando un .C interno: interno:

El conjunto de fuerzas que actúan sobre la masa de fluido contenido en el volumen de control es:   F   Fvol    F 

sup

No se consideran elemento sólido. fuerzas mecánicas puesto que el volumen de control no corta a ningún

 Ing. Mario A. García Pérez

66

 

 Ecuación Integral de Cantidad de Movimiento 

  F  

.C

 

g d 



p dA  ˆ

S .C





ˆ

S .C

dA  W fluido 



p dA  ˆ

S .C



  dA ˆ

S .C

 

 

Desarrollando para una entrada y una salida de flujo de la boquilla:   F  W  fluido   p dA  ˆ

 Ae



p dA   

ˆ

As

Información generalmente conocida.



 p dA  ˆ

 pared



 

ˆ

pared 

dA  

Requiere información detallada acerca de la presión y fuerzas cortantes en la pared.

p dA     dA a la fuerza neta que ejerce la pared de la boquilla sobre Llamando Fw   pare  pared d pared  pared   

ˆ

ˆ

el fluido, entonces:

  F  W  fluido   p dA  F W  ˆ

 Ae

Nota.- La fuerza que ejerce el fluido sobre la pared de la boquilla es -

 F W 

.

externo: B. Solución considerando un .C externo:









  F     F   vol     F sup     F mec   

Donde   F mec   R X  i  RY    j  es la fuerza mecánica originada cuando el .C corta a una superficie sólida. ˆ

ˆ

 F  Wboq.  Wfluido   p dA   p dA    

ˆ

 Ae

ˆ

As

p dA  ˆ

pared



  dA

pared 

ˆ

 

Pero, dado que la presión atmosférica rodea al área lateral y al área de salida, entonces  p dA   0  y   p dA   0 , y además    dA   no existe.  pare  A  pared   pared  d  ˆ

ˆ

 s

ˆ

67

 

 Mecánica de Fluidos

Por tanto, finalmente:

  F  Wboq.  W fluido   pdA  F mec  

ˆ

 Ae

Importante  .- En la ecuación de cantidad de movimiento, las presiones consideradas deben .evaluarse manométricamente.

Ejemplo 3.1. Determine la fuerza necesaria para anclar la barrera en el piso. El agua sale de la manguera a razón de 60 l/s y choca contra la barrera a una velocidad de 30m/s. Solución: Consideraciones generales: 1)  No hay información acerca del peso del fluido ni del álabe. 2)  La presión atmosférica actúa alrededor del .C. 3)  Los esfuerzos cortantes no están presentes. 4)  Flujo permanente. a)  Solución adoptando un volumen de control fijo, indeformable e interno:  F 

 

   g d 

(1)  0 (1)



VC 



 Ae

0 ( 2 )

 p dA ˆ





    Vd    FW       t  

0 ( 2 )

 p dA ˆ

 As

0 ( 4 )

  

Desarrollando en la dirección del eje X se tiene: ti ene:  F x  FW x  

  Vx

 Ae

V . dA   

 AS 1

 

V x

0

 AS 2



 FW

 F W 

FW es la fuerza ejercida por la barrera sobre el fluido contenido en el volumen de control. Como la barrera está en equilibrio:  FW



RX



RX 

 1800

N 



0

V . dA    

  

  FW     Ve    

2

Ve Ae



2

 

Ae

1000

  1800  N   





V x   V . dA

 



30   0, 06 06   

   V

SC 

V .d A 

 Ing. Mario A. García Pérez

68

 

 Ecuación Integral de Cantidad de Movimiento 

b) Solución adoptando adoptando un volumen de con control trol fijo, indeformable y externo:  F 

 

 

   g d 

(1) 0 (1)



0( 2)

 



 p dA ˆ





  dA

SC 

SC 

VC 

0

 

    Vd   Fmec      t  

0( 4)

  

   V V .d A   

SC 

Desarrollando en la dirección del eje X:  X x x   F  R   A e   V V .dA   .

  R X    (Ve ) Ve Ae    Ve Q    R X 



1000 1000x30x0,060 0,060  1800 1800 N 



 

Nota : En el caso b) las fuerzas FW no intervienen puesto que quedan  “encerradas” dentro

del volumen de control.

3.5.2. FUERZA SOBRE UN ÁLABE FIJO  FIJO  Ejemplo: Determinar la fuerzas de reacción mecánica que ejerce el álabe sobre el fluido de un chorro que sale de una tobera con velocidad absoluta “V”, sección de salida “A”. El chorro es desviado un ángulo “”. 

Considerando un .C fijo, indeformable y externo:  F 

1). 2). 3). 4).

 

   g d 

= 0 (1)





= 0 (2)

 p dA ˆ





 

SC 

SC 

VC 

0

dA

    Vd   Fmec      t  

No hay información acerca del peso del fluido ni del álabe. La presión atmosférica ac actúa túa alrededor del .C. Los esfuerzos cortantes no están presentes. Flujo permanente.

Entonces, en dirección del eje X:  R X       V  VdA   A    V  VdA     X   Vd   X VdA  Ae



 R X

   Ve

 As

2

Ae

  Vs

2

co coss  As  

 0(4)

  

   V

SC 

V .d A  

- 69 -

 

 Mecánica de Fluidos

Suponiendo que ni la fricción ni la gravedad afectan a la velocidad en el álabe entonces la velocidad del fluido sobre el álabe se conserva, es decir, Ve  Vs y de la ecuación de conservación de masa se tiene: Qe



Qs

Ve Ae    Vs As  



Entonces

 R X



  Ve 2 Ae

1

 

Ae  As  





cos 



 



Considerando ahora que el chorro, desde la salida de la tobera hasta la entrada del álabe, es sin fricción, entonces la velocidad V esa igual i gual a Ve; de la ecuación de continuidad en el chorro se tiene que V A V  e Ae  y por tanto  A  Ae   

Finalmente:  R X 



  V

2



   -- fuerza que ejerce el álabe sobre el chorro.

A 1  cos 

 Y la fuerza fuerza aplicada al alabe por el chorro es de ig igual ual magnitud que el anterior pero de sentido contrario: 2

 R ' X 



  V

A 1  cos 



    

Evaluando en dirección del eje Y se tiene:  RY 

   

 Ae

 



   VdA    V    Y 

 As

V  VdA    Y 

Pero VeY  =  = 0, entonces:  RY

   Vs2

sen As

  VA sen     -- fuerza vertical ejercida por el

álabe sobre

el chorro Luego, la fuerza vertical sobre el álabe es

 R 'Y 

   V 2 A

sen 

  

3.5.3. FUERZA SOBRE UN ÁLABE MÓVIL Ejemplo: Determinar las fuerzas R X  y R  Y  aplicadas   aplicadas al álabe que se mueve con velocidad constante Va. El chorro sale de la boquilla con velocidad constante V. Solución:  Adoptando un volumen de control móvil, indeformable y externo:  F      g d 

= 0 (1)





= 0 (2)

 p dA

SC 

ˆ

 



=0

  dA

SC 

ˆ

   Fmec 



= 0 (4)

     Vr d     

 t 



   Vr Vr. dA

SC 

 

 Ing. Mario A. García Pérez

- 70 -

 

 Ecuación Integral de Cantidad de Movimiento 

1) No hay información acerca del peso del fluido ni del álabe. 2) La presión atmosférica actúa alrededor del .C. 3) Los esfuerzos cortantes no están presentes. 4) Flujo permanente. 

 Fmec mec

    Vr Vr. dA     Vr Vr. dA    Ae

As

  R X        Vr    dA     Vr      X 

En dirección X:

 Ae

  R X       Vr e Vr e   A   e      Vr  s cos   Vr  s A s

 R X      V 2 r e  A  e      V 2 r  s co coss   As

 As

Vr  Vr  dA     X 

 

 

Si se ignora la fricción entre el fluido y el álabe entonces Vre = Vrs  y de la ecuación de continuidad Por tanto

 R X    V 2 re Ae

Vre. Ae = Vrs. As

 

Ae  = As 

1  cos   

Por otro lado, del movimiento relativo se cumple que Vr  V  V   , entonces:  

En el área de entrada de modo que Vr V e

Entonces



e

Vre 

 R X   

Ve

Va

Va

V V  i      asumiendo que el chorro es sin fricción

A

1  cos   



Va

 V







V  Va 

2

a



Ve i

ˆ



Va i

ˆ



e



ˆ

a

2

 R ' X    V  Va  A 1  cos     

Luego:

En dirección del eje Y:  RY 

   

 RY 

    Vr S   sen 

   dA    Vr  Vr    Y 

 AC 

 RY    V  Va 

2



 

Vr  Vr  dA     Y 

 AS 

Vr S   A   S 

    V 

2

r S   AS  sen   

A  sen sen     

Luego, la fuerza vertical sobre el álabe es

 R 'Y

  

V  V  a

2

 

A sen 

  

- 71 -

 

 Mecánica de Fluidos

3.5.4. FUERZA SOBRE UN CODO Determinar la fuerza requerida en la brida para mantener fijo el codo. El diámetro del codo es 14” y el caudal es 4000 gal/ min.

El codo pesa 150lb. Solución: Cálculos previos: Q  4000

V e



 

1 pie

 gal 

3

 galones ones   7,48 gal



   14 

 

2

2  8, 91 pie s  Ae   AS        1,07 pie   4  12  min



3

V  s



Q  A

 

8,91



1,07

 

8,33 pie  s

 R 

W fluido     codo  62, 4  A 

 

21

  62, 4 1, 07  2  12  183, 54 lb 2 

Para el volumen de control externo, indeformable y fijo que se muestra:   F  Wcodo     g d    p dA  F mec    ˆ

SC 

   V d      V V . dA   SC   t   .C



En dirección del eje X:



 Ae

= 0 (man)

 p X dA 





 

 pex Ae

Pero  R X 

RX

As

 pex  0 2

    V S 

p X  dA

 

Vex Ve Ae

y

Vex  0,

 AS 



 R X    

 



 Ae

V X 

0

VdA   



V X  VdA    

 R y   



Vy V dA   

As

Vsx Vs As  

entonce entoncess :  

 

2

   8,33  1,07  144 lb  1,94

En dirección del eje Y: W fluido  Wcodo   p y dA   Ae

W  flui   fluido do Wcod codo o 

Pero

 pey  pe

y

pey Ae  Ry

Vsy  0,



 

As

= 0 (man)

p y dA

   Vey

Ve Ae   Vsy Vs As  

entonces :  

 Ae

 



 As

V y

0

V dA  

 Ing. Mario A. García Pérez

- 72 -

 

 Ecuación Integral de Cantidad de Movimiento 

 W   fluido  W codo   pe    Ae   R y     V e2 Ae  

Reemplazando valores se tiene: 183, 54  150 

 2  144  1, 07    R y

 

2

 1, 94  8, 33

 1, 07





Ry

 118, 66

lb  

El signo negativo indica que el sentido de esta fuerza es hacia la derecha en vez de hacia la izquierda como se asumió inicialmente.

- 73 -

 

 Mecánica de Fluidos

Problemas Propuestos   Nota. En todos los problemas indique claramente el volumen de control elegido señalando además las hipótesis adoptadas tanto para el VC como para el flujo y la orientación del sistema de coordenadas

3.10. En la figura se muestra un °C conducto curvo permanente. de sección variable por el que circula agua a 20 en régimen Sabiendo que: p1 =350 kPa; p2 = 120 kPa (absolutas); D1 = 25 cm; D2 = 8 cm;  V1 = 2,2m/s y despreciando el peso del conducto y del agua, calcule la fuerza total que deben resistir los tornillos de la abrazadera.   '

 R X



14 854 N   ,

'

RY 



0

3.11. El álabe fijo mostrado en la figura divide el chorro de agua de forma tal que salen en cada una de las direcciones 30  /s. Para una una velocidad de entrada de 15 m/s determine los valores de las componentes, en para las direcciones Y, de en la fuerza necesaria mantener Xeleálabe equilibrio (suponer que no existe fricción).  R X  411, 4 N   ,

 

 

RY   576,11 N  

3.12. El depósito de agua que se mu muestra estra pesa 500 N cuando está vacío. Los conductos 1 y 2 tienen diámetros iguales a 6 cm y un caudal de 300 m3 /h cada uno. ¿Qué lectura, en N, mostrará la balanza? El volumen de agua contenido en el tanque es de 600  a 20 °C.  R



8 820 820,12 ,12 N 

Y 

3.13. ¿Cuál es el ángulo  que hará que la fuerza del chorro de salida sobre sob re la placa sea 3 kN? El canal de aproximación del flujo de agua tiene un ancho de 1m y la compuerta BC (rectangular) cierra completamente el conducto cuando  = 90°.   

  

49,46º

3.14. Un flujo de aceite (R  =  = 0,89) ingresa a través de un circular 3mm un de dispositivo. diámetro a El ra-aceite fluye radialmente hacia la estrecha zón detubo 250 N/h parade lubricar separación entre las dos placas. Calcule:

 Ing. Mario A. García Pérez

- 74 -

 

 Ecuación Integral de Cantidad de Movimiento 

a) El caudal de salida en m3 /s b) La velocidad media de salida en m/s c) La fuerza ejercida por el flujo de aceite sobre la placa superior. 6

Q  7, 95 x10 m s , V s  0, 0127 m s , 3

RY   7, 96 x10 '

3

 

N  

3.15. Un flujo de agua entra verticalmente hacia el dispositivo que se muestra mediante un tubo de 5 cm de diámetro y sale a través de una ranura horizontal con una velocidad que varía de 0 a 10 m/s a lo largo de la ranura de 0,2 m de longitud. ¿Qué fuerza de sujeción se requiere para mantener fijo el dispositivo?  R X'  0,

RY'  66, 7 N    ,

RZ '   50, 85 N   

3.16. Una máquina barredora de nieve ancho viaja aLa25nieve km/hsale haciendo a una lado la nieve con una profundidad dede 0,82,5 m mdedeprofundidad. del aspa una dirección normal a la dirección en que se mueve la barredora. ¿Qué potencia requiere la operación si la densidad de la nieve es de 90 kg/m3?  Pot



60,17

KW 

3.17. Un vehículo utilizado para ensayar asientos eyectores de avión se desplaza a 900 km/h y tiene una masa 5000 kg. Para frenar al mismo se utiliza un cucharón de 20 cm de ancho que se mete en agua hasta una profundidad pro fundidad de 6 cm. Si el agua se desvía a 180° calcule la fuerza de frenado que provoca el dispositivo.  R X '  1500 KN ,

 

- 75 -

 

 Mecánica de Fluidos

3.18. En un canal rectangular de 5 m de ancho se está descargando agua a razón de 14 m3 /s. Calcular la fuerza que se ejerce sobre la compuerta de desagüe cuando la altura de la lámina líquida antes de la compuerta es de 2 m y después de la misma se reduce a 0,5 m.

3.19. Un chorro circular horizontal de agua choca contra una placa fija como se muestra en la figura. La velocidad del chorro es 40 m/s y la velocidad del agua permanece constante mientras circula sobre la superficie de la placa en las direcciones mostradas, calcule: a) La fuerza de sujeción F necesaria para mantener fija la placa. b) La fracción de flujo de masa a lo largo de la placa que discurre en cada dirección. c) ¿Qué magnitud deberá tener F para permitir que la placa se desplace a la derecha con velocidad constante de 10 m/s?  F

11085, 3 N ,



m2



240 kg s ,

m3



80 kg s

3.20. Determine la fuerza de sujeción necesaria para mantener el dispositivo en equilibrio, si: p1 = 20 psi (man); V 1 = 10 pie/s; D 1 = 15”   D2 = 8”; D3 = 4”; V2 = 20 pie/s. El fluido es agua.  R X'



4 135, 8 lb

  ,

RY'



Wfluido  W disp.

3.21. El dispositivo de agua de la figura está colocado sobre un carro sin friccióndey 8alimenta cm de diámetro una velocidad m/s queunsechorro desvíade 60°4 por medio de un aálabe liso. ¿Qué tensión debe soportar el cable para que el sistema esté fijo? T



40,32 N  

3.22. Un chorro de agua se apunta sobre sob re un orificio en una pared. El 25% del chorro de agua escapa a través del orificio y el resto se desvía 90° con relación al chorro. Halle la fuerza que el chorro ejerce sobre la pared.  R X '



37,7 kN  

 Ing. Mario A. García Pérez

- 76 -

 

 Ecuación Integral de Cantidad de Movimiento 

3.23. Un velero viaja a 20 km/h. Se muestra un patrón estimado del flujo de aire a 15 °C en la vela. Calcule la fuerza que ejerce el aire sobre el velero. Asuma que la vela es lisa.  R X'



678 N   ; RY'

0; Rz'





W vela



fluido

3.24. En el difusor cónico que se muestra en la figura fluye agua, calcule la velocidad del agua que sale del difusor y la fuerza que ejerce el aire sobre so bre sus paredes. Sugerencia: Tome un volumen de control interno y halle Fw. V s

 2, 61m s ,

'

RX 

 2 160, 77 N      

3.25. La placa que contiene a la masa de agua tiene un ancho de 0,5 cm normal al papel. Calcule la velocidad del chorro de agua que se requiere para mantener la placa en posición vertical. V



5,10 m

s

3.26. Un cilindro circular colocado transversalmente adyacente a una corriente de agua hace que ésta se desvíe un ángulo θ = 20°. Para: a = 0,5 m, b= 0,1 m y V = 10 m/s ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre el cilindro? '

 R X

 1 710,1 N   ,

'

RY

 0,

 

'

RZ 

 301, 54 N    

 

- 77 -

 

 Mecánica de Fluidos

3.27. Para aplicar una vacuna se usa una jeringa como se muestra en la figura. Si el émbolo se desplaza hacia delante a un régimen estable de 20 mm/s y si la vacuna se filtra del émbolo (se fuga) a razón de 0.1 del caudal volumétrico a la salida de la aguja. Calcule: a) La velocidad media del flujo de salida de la aguja b) La fuerza de sujeción que debe ejercer una mano sobre la jeringa al inyectarlo. V s



14,84 m

s

3.28. Por la tubería ramificada circula agua. La distribución de velocidades del agua que ingresa a la tubería está dada por V V max 1   r    m s mientras que en cada una de  R   las ramas varía según: V  V  max 1   r     2



1

 



2

1 7



 R



Para Vmáx 1 = 1,45 m/min; Vmáx 2 = 8,2 m/min, calcule: a) La velocidad media del agua en la salida 3. b) La fuerza necesaria para mantener el codo en la posición mostrada V3

  4 4,8 ,85 5 m / min



3.29. El bote de pantano impulsado por una hélice, viaja a velocidad constante 20 km/h en aire en reposo. El chorro de aire a 25 °C que sale de la hélice tiene un diámetro de 2 m y una velocidad de 100 km/h relativa al bote en la parte de la popa. Halle el empuje hacia delante que ejerce el aire sobre la hélice. Suponer flujo incompresible. '  2288,15 N     R X 

3.30. Hacia un accesorio en forma de “U” de un sistema de tuberías fluye agua en régimen permanente. En la sección (1) la presión absoluta es 200 kPa e ingresan 30 kg/s de agua. En la sección (2) la presión absoluta es 150 kPa. En la sección (3) la descarga es hacia la atmósfera. Halle la fuerza que se ejerce sobre las bridas de la “U”. Use patm = 100 kPa.  R X'  1109,1 N    ,

RZ '   90, 58 N    

 Ing. Mario A. García Pérez

- 78 -

 

 Ecuación Integral de Cantidad de Movimiento 

3.31. La figura muestra la configuración del motor de cola de un avión que vuela a una cierta altura. Las velocidades que se muestran son relativas a un observador a bordo. Calcule la fuerza que el motor ejerce sobre el avión.  E



24 72 729,35 9,35 N 



 

3.32. Una corriente de agua de 0,10 m de diámetro a T = 20 °C golpea sobre un deflector cónico como se s e muestra en la figura. Calcule la fuerza necesaria para mantener al deflector: a) Fijo b) Avanzando con velocidad constante hacia la izquierda a razón de 3m/s. a) F  573, 8 N   , b) F  1020, 9 N    

3.33. El tanque yque se muestra una sección de agua 2 pie en de la aturacircular inicial del diámetro contiene agua tiene a 60ºF.Si el tanque es de 6,25 pie ¿Cuál es el mínimo valor del coeficiente de fricción estática entre el tanque y la superficie del suelo que evitará que el tanque deslice? El tanque vacío pesa 25 lb. u    0,0856    s

3.34. Determinar la fuerza que se requiere para mantener fija a la contracción brusca por la que fluye agua en las condiciones mostradas. La presión p1 es manométrica. '

 R X



'

355, 8 lb   ,

RY 



0

 

3.35. ¿Qué fuerza de sujeción es necesaria para mantener en su sitio a la boquilla? La presión en la sección (1) es manométrica. La boquilla pesa 200 N y el volumen de agua en ella es de 0,012 m3. '

 R X

 866 N    ,

'

RY 

 482, 33 N    

 

- 79 -

 

 Mecánica de Fluidos

3.36. El chorro líquido de diámetro “d” y velocidad “V” incide sobre el cono hueco en reposo que lo desvía hacia atrás como una capa cónica. Suponiendo que el cono es liso, determine el ángulo θ para el cual la fuer za ejercida por el fluido sobre el cono sea

F=

3

  ρ AV

2

2

   

  

60 60ºº

3.37. Un chorro plano de agua incide sobre un álabe divisor y se parte en dos corrientes planas en la forma que se indica. Como consecuencia del impacto el álabe se mueve con velocidad constante de 10 m/s horizontalmente. Si se sabe que la fuerza neta vertical que ejerce el chorro sobre el álabe es cero. ¿Qué valor debe tener la componente de fuerza horizontal? Suponga que el álabe es liso. '

 R X  



7,45 N   

3.38. Para cerrar parcialmente extremo lar que se muestra en la figura se del usatubo un disposidcircuispositivo axialmente simétrico. El aire sale en dirección radial a una velocidad de 50 pie/s. La presión en el área 1 es 1,9 psig. Determine: a) El caudal a través del tubo b) La fuerza F necesaria para mantener al tapón en su sitio Q  2 3, 56 pie3 s ,

F



216, 6 l b

3.39. Determine la fuerza de sujeción necesaria para mantener fija la boquilla cónica al tramo de tubería vertical que descarga agua hacia la atmósfera. La presión en la sección (1) es 68 psig y el peso de la boquilla es de 0,2 lb f .  RY 

 15,50

lb

  

 Ing. Mario A. García Pérez

- 80 -

 

 

3.6. ANALISIS INTEGRAL DE LA ECUACIÓN DE ENERGIA. ENERGIA . 3.6.1. Formas de energía a)  La energía intrínseca.- Es la energía almacenada o contenida en la masa del sistema. Existen cinco formas fundamentales:    

La energía potencial.cinética.- Energía movimiento. Energíadel debido a la posición en un campo de fuerzas(gravitacional, magnético o eléctrico)   La energía interna.- Energía debido a la estructura y movimientos moleculares.   La energía química.- Asociada con la disposición de los átomos en las moléculas, sólo se libera en una reacción química.   La energía nuclear.- Asociada a la estructura interna de los átomos, sólo se libera mediante la fisión o fusión nuclear. b) La energía transmitida.- Representa a la energía que se puede transferir a un sistema. Esta transferencia se realiza mediante calor (Q ) y trabajo (W). La transferencia de calor es el transporte de energía a través de una frontera del sistema originado por una diferencia de temperaturas entre él y su entorno. El trabajo es el transporte de energía por la acción de una fuerza a través de una distancia. También se denominan:

Energías Mecánicas

Energías Térmicas

Trabajo (W) E. Cinética (mV2 /2) E. Potencial (mgZ)

Calor (Q ) Energía interna (U) dQ

El balance de estas formas de energía es: dQ dt 



dW  dt 



dE  dt 

dW  dt 

 1era Ley

de la Termodinámica.

dt 

 

 

Sistema

Convención de signos

Donde: dQ dt  dW  dt 

es la velocidad de transferencia de calor, positiva cuando el calor se suministra al sistema. es la rapidez de efectuar trabajo, negativo cuando el trabajo es desarrollado hacia el

sistema. Se denomina también “Potencia” . dE  dt 

es la velocidad de aumento o disminución dism inución de la energía intrínseca del sistema.

Utilizando la ecuación de transporte de Reynolds, para un volumen de control fijo en tierra: dB sist  dt



   bd      b V . dA    SC  t   C 1

2

 

 B

1

Haciendo B   E   2 m V   mgZ   U     y b  m  2 V  u  U m es la energía interna específica.

2

  gZ   u

  - 81 -

 Ing. Mario A. García Pérez

 

 Mecánica de Fluidos

Entonces: dE dt



dQ dt



dW   dt



   1 2  1 2     V  gZ  u  d     V  gZ  u   V . dA    SC  t    C  2  2 

1  

3.6.2. Trabajo realizado por o sobre el fluido dentro del Volumen de Control El trabajo total es la suma de los tres componentes: W   W eje

 

W cor  

tan te



W  presió n  

Donde: W eje, mec, o de flecha - es el trabajo efectuado por o sobre el volumen de control si este es cortado por algún elemento mecánico, tal como el eje de una bomba o turbina. WCortante- es el trabajo realizado por los esfuerzos cortantes que actúan sobre las fronteras del volumen de control; es decir, en las superficies laterales y en las entradas y salidas. Wpresión -es el trabajo realizado por la presión sobre so bre las fronteras del volumen de control. Se le denomina también trabajo de flujo. Entonces:

dW  dt



dWeje



dt

dW cor  dt



dWpresión dt



dWeejje  

    V  . dA   p V . dA ˆ

dt  

SC

SC

 

 

 2  

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Lectura opcional En efecto, las fuerzas superficiales que actúan sobre un elemento de área son: 

T 



  

ˆ  

 p n   ˆ

Por otro lado, el trabajo desarrollado por una fuerza es: W   F . S    

W F s   t  t



lim  t 0

F s W  lim t  t 0 t



dW dt



   

 F . V 

La rapidez de trabajo efectuado sobre el volumen de control por el fluido para un elemento de área es:  dW     d  F . V   V  . d T dA   V .    p n  dA    dt  

d

ˆ

ˆ

El signo (-) es por convención, dW  es negativo si el trabajo se s e efectúa hacia el sistema dt 

Luego, el trabajo total sobre el fluido es:

 Ing. Mario A. García Pérez

- 82 -

 

 Ecuación Integral de Energía  

dW  dt 

  

  

V .  pn  dA    . V dA  ˆ

SC 

ˆ

ˆ

 p V . dA  

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1) se tiene: dQ  dW eje  dt dt

  . Vr  dA   p Vr. dA  t       V2

2

ˆ

C

  . dA    gZ  u  d      V  gZ  u  V SC    2  2

Reordenando términos se obtiene:     ( . V ) dA  t dt dt

dQ

dW eje

ˆ

V 2     g Z u d       C  2 

V 2 p      g Z u   V . dA  SC   2    

Ecuación Integral de Energía El término:

 p u  h    

 H 

es la entalpía específica del sistema



m

 

El término: SC  . Vr  dA  se denomina velocidad de trabajo de cuña o cizalladura y debe evaluarse en las entradas y salidas de flujo y en las superficies sólidas; es decir: ˆ

  . V  dA    . V  dA    . V  dA   ˆ

ˆ

SC

ˆ

Ae

As

 . V  dA    ˆ

sup erficie sólida

En general este término suele ser nulo (cero) o despreciable en ciertos tipos particulares de volúmenes de control. Por ej. En las superficies sólidas Vr  =0 de modo que el tercer término es cero (para .C. fijos). Para.C. cuya superficie de control corta transversalmente a las áreas de entrada y salida del flujo,     es perpendicular a Vr   y por tanto     . Vr  =0. De modo que: ˆ

ˆ

  . V  dA    . V  d A    . V  dA    ˆ

ˆ

ˆ

SC

superficie sólida

 As

Ae

   . V  dA  0   ˆ

Por lo anterior, la ecuación de energía, válida para volúmenes de control fijos, suele ser reescrita como: dQ dt



dW eje dt

V         gZ u   d      C t      2  2

* Referencias Adicionales dT T y du  Cv dT    En general: dh  C p d Cp- Calor específico a presión constante

V        gZ h  V . dA  SC   2  2

- 83 -

 

 Mecánica de Fluidos

C- Calor específico a volumen constante. En los líquidos Cp C  T- Temperatura absoluta Para el aire: C  p



C V 



6 008, 33

lb pie

 slug º R

4279, 83 lb pie  slug º R





0, 24

BTU 

lbm º R

0,171 BTU lbm º R

186, 77



717, 4

lb pie lbm º R



Nm Kgm º K 

1004

Nm Kgm º K 

 

 

Para el agua: C p



C V 



25 028, 26

lb pie  slug º R



1

BTU   lbm º R

 

Para los gases se cumple también que R = Cp - Cv  Para el vapor de agua (*):  R



2759, 54

C  p  0, 478

lb pie  slug º R

 BTU lbm º R



85, 78

lb pie lb º R m

 2000

Nm



461, 4

Nm Kg º K 

 

m

Nm   C V   0, 368  1540 lbm º R Kg m º K   Kg m º K    

 BTU

(*) El vapor de agua se comporta como un gas ideal cuando se sobrecalienta a más de 55ºC Equivalencias: 1Joule = 1 N.m = 0,239 calorías =9,48 x10 -4 BTU = 0,738 lbf  pie  pie 1Watt = 1Joule/s 1 HP = 746 Watt= 550 lbf  pie/s  pie/s 1 BTU (unidad térmica británica)= 778, 26 lbf  pie  pie = 1 055 kJ 1 cal = 4,186 J Unidades:

[u]: N m/Kg = J/Kg; lbf . pie/slug; BTU/slug [h] :N m/Kg = J/Kg; lbf . pie/slug; BTU/slug [dQ   /dt]: J/s; Kcal/h; lbf . pie/s; BTU/h [dW/dt]: J/s= Watt; lbf . pie/s; HP

 Ing. Mario A. García Pérez

- 84 -

 

 Ecuación Integral de Energía  

Ejemplo 3.2.  Flujo permanente, uniforme, incompresible, con fricción



u      u e

 s

 

Un flujo de agua suministra a la hélice de una turbina una potencia de 1,2 Kw. En 2 minutos de funcionamiento se ha estimado un flujo de calor hacia el medio ambiente de 15kJ. Calcular la variación de energía interna en el flujo. Solución:  Adoptando un volumen de control externo, indeformable y fijo: dQ dt

dW eje



dt



   1 2  V  gZ  u    d        t     .C  2    SC 

 

1 2 p  2 V  gZ  u      V . dA    

Para un flujo permanente y uniforme: dQ



 p    p    1  1      V e   gZ e  u e  e  V e  Ae      V S    gZ  s  u S   S   V S   AS              dt   2  2

dW eje

dt 

2

 

2

 1   p    p 1       Q V S   V e    g  Z S    Z e   u S   ue    S    e 2         2 2 

2

    

De la ecuación de continuidad: 15  0,2 V e  Ae  V S   AS   V    S    V S   30 m  s   0,1

Por tanto Q  V s x As



3

30  0,1  3m s  

Reemplazando valores se tiene: 



15000



 

 

1200  1000   3 0,5 30

2



15

2





120 

u S   ue   318,33  J  kg  

Ó

ue

Como



u S    318,33  J  kg   

u e     u S   

 

9, 806  2   u S      ue 

entonces se hhaa perdido energía interna específica.

- 85 -

 

 Mecánica de Fluidos

Ejemplo 3.3.  Flujo permanente, no uniforme, sin fricción



u

e

 

 



u

 s

 , incompresible y sin

trabajo mecánico.  A través de una tubería horizontal fluye agua con velocidad: 2     r  V   0,91  m  s   2   0,025  

Calcular la transferencia de calor durante una hora hacia o desde las paredes del tubo en el tramo indicado. Solución: La ecuación de energía para un volumen de control externo, fijo e indeformable y para un flujo permanente, incompresible: dQ

dW eje



dt

dt  

0

 V 2        gZ  u 

  

t   

 2

0

d 



SC 

  

V 2 p  gZ  u   V . dA      

2





 V   V     p   p          gZ   u   V dA        gZ    u   V dA    Ae  As         dt  2 2 2

2

dQ

0

 

0

V     p        V dA     u   V dA       V dA   Ae Ae Ae dt       2  V     p       V dA     u   V dA       V dA    As As As      2  2

dQ

2

Puesto que el perfil de velocidad se mantiene en la entrada y salida del tubo entonces:



 

V    V dA  As 2 



 

 u  V dA  

2

 Ae

 Ae

As

 

 V       V dA . Y dado que u e =us, entonces: 2  

u  V

2

dA

Por tanto:

  dQ dt 

  pS  pe  V dA  

De la información de los manómetros se tiene:  pe



ps

h  13,6  9806   Hg   

x 0,15  20 004,24 N m2  

 Ing. Mario A. García Pérez

- 86 -

 

 Ecuación Integral de Energía  

Reemplazando en la ecuación anterior: dQ dt  dQ dt 

 20 004, 24

0,025

0

 r 2  0, 9 1  2  r dr   2   0,025 

0,025

 113120, 63



0

Evaluando se obtiene



r3



 r dQ dt

0, 0252





 dr 

  17,68

 r2

J  S 



11  3120, 63  2

0,025

 

r4

4  0, 025 2  0

 

 

(el signo negativo indica que el calor sale del sistema hacia el medio ambiente). Luego, la transferencia de calor Q  en  en una hora es: Q  17,68 ,68  36 360 00  63648 3648 J



15211,87 ,87 cal  

 

Ejemplo 3.4.  Flujo estacionario, compresible, con fricción, uniforme.

Una máquina toma aire en régimen estacionario a través de la sección (1) y lo l o descarga a través de las secciones (2) y (3). La máquina comunica al aire, mediante unos álabes, una potencia de 150HP. Calcule la presión en la sección (3) y la velocidad de transferencia de calor hacia o desde la máquina.

Suponga que el aire es un gas perfecto:  R



1715

lb  pie  slug  º R

 y C  p

6 003



 

lb  pie 

 slug   R

 

Solución: Cálculo de las densidades: Como

 p     R T  



  2 

De la ecuación de continuidad:

 1

 p2  R T 2



 p1



 

 R T 1



 

20  144  slug   slug     0,00317     1715 70  460  pie  pie 3

30

1715 100  460

  1 V 1  A1

  2  V  2  A2

 



 0,0045  

 3 V 3 A3  

 slug   slug   pie  pie

3

- 87 -

 

 Mecánica de Fluidos



   3

Luego:

0,00317100  0,004540    slug  g   pie 3  0,00274   slu 50



 p3

   3

RT 3

0, 00 00274  17 1715  200   460   3101, 4 41 1



lb  pie2

 



21, 5 53 3

lb pu lg2

 

De la ecuación de energía, para un volumen de control externo, fijo e indeformable y para un flujo permanente y uniforme se tiene:  V   p           gZ   u   Q          dt  dt    2  V 32  p      3    gZ 3  u3  3  Q3   3     2

dQ

2

dW    eje

1

1

1

1

 

1

Como la entalpía específica es

hu

1

 p

2

 V   p      gZ   u   Q         2 2

2

2

2

2

2

2

  entonces:

  

 eje dQ    V  gZ  h dt dt      2  2

dW 

1

1

1

1

     Q    V 2  gZ  h   2

1

2

2

2

2

   V    Q     2  gZ  h     2

2

3

3

3

3

 Q 

3

Reemplazando valores:  2502    150  5  32,17  1 100  0, 55 50  0, 00 00317  0, 0 00 0317  100 h1    dt  2   2  40  0, 000045   32,17  4  40  00,, 000045  4400 h2     2  2  200  00274  00274  50 50 h3   0, 00  32,17  1, 5  50  00,, 00 2   dQ

Considerando que:

h  C p T  Cte , entonces:

h1    6003 6003  53 530 0  318159 3181590 0; h2

Luego

dQ

   49 826, 96 lb pie s

dt

y

  600 6003  560  3 361680 1680



 64, 03

BTU S 

 

h3     6003  660  3 961 9 98 80

 ingresando hacia la máquina.

 

 Ing. Mario A. García Pérez

- 88 -

 

 Ecuación Integral de Energía  

Problemas Propuestos

3.41. Una tubería de diámetro D1 está conectada a otra de diámetro D2 a través de un cono reductor. Al interior del sistema fluye aceite de densidad relativa 0,85. Considerando un flujo adiabático y sin fricción, calcule: a) La reductor. presión inmediatamente a la salida del cono b) La fuerza que ejerce el aceite sobre el cono reductor.  p   34574, 7 Pa;

´ R X   3619, 96 96 N  

3.42. Por un codo reductor horizontal de 45° y de 60 cm de diámetro en la sección aguas arriba y de 30 cm en la de aguas abajo, circulan 450  /s de agua con una presión de 150 N/cm2 (man) en la sección 1. Calcule la fuerza que se ejerce sobre los soportes de la cañería. Considere flujo adiabático y sin fricción.

 R X  348, 8 KN ; Ry  76, 04 KN 

3.43. Una lancha de pantano es impulsada a 50 km/h por una hélice de 2 m de diámetro que requiere de d e un motor de 20 kW. Calcule: a) El empuje sobre la lancha. b) El caudal de aire que circule a través de la hélice y la eficiencia de la misma.  E  2, 88 KN (); Q  43, 64 m3 / s

3.44. Una “Ye” horizontal divide el flujo de agua a 20 °C en dos caudales iguales. Si Q1 = 5 pie3 /s, p1 = 25 lb/pulg2  (man.) y seflujo desprecian las pérdidas de energía(es decir se supone sin fricción y sin transferencia de calor). Calcule: a) p2  b) p3  c) la fuerza necesaria para sujetar a la “Ye”.   p2  1 720, 5 lb / pie2 (man man);

p3  3 433, 3 lb / pie2 (man man); R x  452,14 lb (); Ry  4.32 lb ()

3.45. A un compresor entra aire en condiciones estándar con velocidad de 75 m/s y sale con presión absoluta de 200 kPa, temperatura 345° k y velocidad de 125 m/s. El gasto másico a través del compresor es 1 kg/s. El agua de enfriamiento que circula alrededor de la cubierta del compresor elimina 18 kJ/kg de aire. Determine la potencia necesaria para operar el compresor.

dW eje dt 

  80,92 kW 

- 89 -

 

 Mecánica de Fluidos

3.46. Para alimentar a una turbomáquina se toma aire de la atmósfera. A la salida las condiciones son: p2 = 500 k Pa (abs), T 2 = 130 °C, V2 = 100 m/s, m  = 0,8 kg/s. El flujo es permanente y puede despreciarse la transferencia de calor. Calcule la potencia de eje (kW) que intercambia la turbomáquina con el medio ambiente. ¿Se trata de un ventilador o de una turbina? 2

dW eje





95, 9 kW

vent ntil ila ador ) (ve

dt 

3.47. A través del dispositivo de la figura, fluye agua a 20 °C. Los efectos de la transferencia de calor, gravedad y temperatura son despreciables. Calcule la potencia desarrollada por o sobre el eje de la turbomáquina e indique el tipo de máquina de que se trata. Nota ..- Las presiones están expresadas en forma absoluta dW eje dt 





bomba omba 15 154 482,4 W ; es una b

3.48. La razón de flujo de agua a través de una turbina es 9000 kg/h, y la pérdida de calor a través de la carcasa es 100 000 kJ/h. Las entalpías de d e entrada y de salida son 2300 kJ/kg y 1800 kJ/kg respectivamente, mientras que las velocidades de entrada y salida son 25 m/s y 115 m/s respectivamente. Calcule la potencia en el eje de la turbina. dW eje dt 

206,47 kW     1 206,47

3.49. Un flujo estacionario de aire (R = 1716 lb lb.p .pie ie slu slug g o R ; Cp=600 Cp= 6003 3 lb. lb.pie pie slug slug o R  ) pasa a través de una turbina que produce 700 HP. Para las condiciones mostradas, calcule: a) La velocidad de salida V 2  b) La transferencia de calor en Btu/s Las presiones indicadas son absolutas. V2   244, 38 pie s ; 

dQ dt



490,16

BTU   s

3.50. Un flujo de aire alimenta a una turbina para extraer una potencia de 900 HP. La transferencia de calor hacia el medio ambiente ha sido estimada en 578000 Btu h   Para las condiciones mostradas, calcule: a) La velocidad de salida, V 2  b) El diámetro de salida, D 2. V2



1 301 pie s,

D2



0, 40 pie

 Ing. Mario A. García Pérez

- 90 -

 

 Ecuación Integral de Energía  

3.51. Una turbina de gas rota sin carga en régimen permanente y con muy poca transferencia de calor hacia los alrededores. A la cámara de combustión ingresa aire precalentado a 400 °F y a una tasa de 40 lb m /s con velocidad de 340 pie/s. Se introduce combustible líquido a una tasa de 68 partes por peso de aire a combustible. El combustible líquido se halla a 60 °F. Los productos de la combustión salen de la cámara de combustión a 1400 °F, con velocidad de 680 pie/s y con una entalpía especifica de 360 Btu/lbm. ¿Cuál es la entalpía del ccombustible ombustible que en entra? tra? T 

La entalpía del aire precalentado está dado por: h  124, 3   C p dT Btu / lbm  donde la 60

temperatura de referencia se ha tomado a 60 °F y T está en °F.  Además, para el aire a baja presión se tiene: C p h2





4



8



0, 219  0, 342 x10 T  0, 293 x10 T 11 291 291,, 5 BTU

2

Btu / lb  m o R ; T está en

º

 R

 

lbm

3.52. A través de una tubería aislada térmicamente se hace circular aire mediante un ventilador. Se desea que 50 pie3 /s de aire fluyan a través de la sección A-A. ¿Cuál es la potencia requerida en el ventilador? dW eje dt 





56676,58 lbpie s

3.53. Hacia un condensador entra vapor a una tasa de 600 kg/h con una entalpía h=2,7 x 10 6 N.m/kg. Con el fin de condensar el vapor se introduce agua a 15 °C a una tasa de 7 kg de agua por kg de vapor. El agua entra por una tubería con diámetro interno de 75 mm y se mezcla directamente con el vapor. La velocidad de entrada del vapor es 120 m/s ¿Cuál es la temperatura del agua que sale del condensador por una tubería de diámetro interno 100 mm? Use C p  4 210 N m / kg K   para el agua e ignore la transferencia de calor entre el condensador y sus alrededores. T  59 C  3.54. Hacia un motor muy aislado entra aire con una presión absoluta de 500 kPa y temperatura de 35 °C y sale hacia la atmósfera como un chorro libre con una temperatura de –  5 °C. La velocidad de entrada es 25 m/s y la de salida es 70 m/s. Si fluyen 3kg de aire por minuto y se toma to ma la energía interna específica u=CT. ¿Cuál es la potencia desarrollada por el motor de aire? dW eje La presión atmosférica es 101,3 kPa. dt 

 1915,6 W 

- 91 -

 

 Mecánica de Fluidos

3.55. Una turbina de vapor recibe vapor con presión estática p1=400 lb/pulg2  (abs.); h   1407  Btu lb   T1=1 031 °R y velocidad de 100 pie/s. El vapor sale de la turbina como una mezcla de vapor y líquido con entalpía h   1 09 098 8  Btu lb   ; p2 = 2 psia; T2 = 675 °R y V2 =200 pie/s. Considerando un flujo a través   1

2

 



 



m

m

dea)laLa turbina esencialmente calcule: potencia que extrae adiabático, la turbina del flujo b) El cambio en la energía interna a través de la turbina.  Asuma que el vapor de agua tiene una constante constante gaseosa igual a R=1716 lb pie/slug ºR dW eje dt

 

68 64 649, 3 HP,



u  9156, 4

BTU  slug

 

3.56. A un dispositivo que contiene a los álabes de una turbomáquina ingresa un flujo permanente de agua a razón de 300 gal/min. Si la temperatura del agua sufre un aumento de 0,12 ºR entre la entrada y la salida de la máquina, determine la potencia (HP) que absorbe o entrega la máquina. dW eje





32,1 HP, entre entrega ga poten potencia cia

dt 

3.57. A una tobera convergente entra aire a 40 psia, 150 ºF y velocidad de 30 pie/s. El área de entrada es 0,25 pie 2; la presión de salida es 35 psia y la velocidad de salida es 150 pie/s. Si el cambio en la energía interna del aire está dado por u s ue 5, 5 Btu / slug o F (Ts Te  )  y la tobera está aislada térmicamente del medio ambiente. Considerando que los cambios de elevación son insignificantes insig nificantes calcule: a) El área de salida. b) La temperatura de salida. 





3.58. Calcule los componentes de la fuerza (horizontal y vertical) que ejerce el agua sobre la “Te” que 

se muestra en la figura. Considere un flujo sin fricción.

3.59. Un fluido fluye a través de una boquilla sin pérdida ni ganancia de calor. La entalpía de entrada es 1000 Btu/slug y la de salida es 500 Btu/slug. La velocidad de enV   882 pie s trada es 10 pie/s. Determine la velocidad de salida ignorando los cambios en la energía potencial. 2 

3.60. Por una boquilla fluye aire hacia la atmósfera, que choca contra una placa vertical. Para mantener en su sitio a la placa se requiere una fuerza de 9 N. Determinar la lectura en el medidor de presión. Suponer flujo incompresible y sin fricción.  p  1 370, 32 Pa (man)

 Ing. Mario A. García Pérez

- 92 -

 

 

CAP.IV.

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

4.1. INTRODUCCIÓN. INTRODUCCIÓN. En el campo de la Mecánica de Fluidos existen muy pocos problemas de interés que se resuelven utilizando únicamente las ecuaciones diferenciales o integrales. En la mayoría de las veces es necesario recurrir a métodos experimentales para establecer relaciones entre las variables de interés que intervienen en el problema. Puesto que los estudios experimentales suelen ser muy costosos, es necesario reducir a un mínimo la experimentación requerida. Esto se logra utilizando previamente una técnica conocida como análisis dimensional. Por otro lado, en ocasiones es necesario realizar experiencias con objetos de grandes dimensiones, demasiado grandes para que la prueba se lleve a cabo a costos razonables; por ejemplo: flujos sobre diques, bocatomas, interacciones de las olas con los muelles y rompeolas, flujo alrededor de aviones, submarinos, autos, etc. Tales flujos suelen estudiarse en laboratorios utilizando modelos más pequeños que el prototipo. También, hay flujos de interés en las que intervienen dimensiones muy pequeñas, por ejemplo: flujo alrededor del álabe de una turbina, flujo en un tubo capilar, flujo a través de una válvula de control pequeña, etc. Estos flujos requerirán un modelo más grande que el prototipo a fin de realizar observaciones y mediciones con un grado de exactitud aceptable. La similitud es el estudio de la predicción del comportamiento del prototipo a partir de observaciones en modelos. 4.2. ANÁLISIS DIMENSIONAL. DIMENSIONAL. Es un proceso mediante el cual se puede formular un fenómeno físico como una relación funcional entre un conjunto de grupos adimensionales compuestos por p or las variables que intervienen en el fenómeno. Por ejemplo, la fuerza de arrastre sobre una esfera lisa se supone es una función de: Farrastre = f (V, , , D);

Variable dependiente:  Variables independientes:

Este proceso puede llevarse a cabo usando el teorema Rayleigh.

Farrastre  V, , , D   de

Buckingham o el método de

4.3. TEOREMA PI() DE BUCKINGMAN. Dado un problema físico en el cual el parámetro dependiente es una función de (n-1) parámetros independientes, podemos expresar la relación entre las variables de manera funcional como: X1 = f(X2, X3, …,Xn) Xn son los parámetros independientes. Esta relación funcional se puede expresar matemáticamente como: g(X1, X2, X3, …, Xn) = 0

- 93  Ing. Mario A. García Pérez

 

 Mecánica de Fluidos

donde g es una función desconocida diferente de f. El teorema  de Buckingham establece que:  “Dada una relación de la forma g(X1, X2, X3, …, Xn) = 0 entre n parámetros, estos se pueden agrupar en (n-m) parámetros adimensionales independientes representados por el símbolo   Dicha relación tiene la forma:

G(1, 2, 3, … n-m) = 0

O también:

1 =

G(2, 3, … n-m)

donde “m” es el número mínimo de dimensiones independientes necesarios para especificar las dimensiones de todos los parámetros. El teorema  no predice exactamente la función G o G 1. La relación entre los parámetros adimensionales independientes deberá determinarse experimentalmente.  Un parámetro  no es independiente si se puede formar mediante el producto o cociente Nota:  Un

de otros parámetros en el problema. Por

2 1 5   

ó

 2 3

6 

4.3.1. Procedimiento para el empleo del Teorema

1

3

3

ejemplo si

de Buckingham

1)  Listar los parámetros significativos que se supone tienen injerencia en el problema a analizar. - Para el ejemplo de la esfera: F, V, D, ,  

 

n=5

2)  Seleccionar un conjunto ffundamental undamental de dimen dimensiones; siones; por ejemplo: M, L, t o F, L, t  En En los casos necesarios se incluirán a la temperatura T o la carga eléctrica q. -Se elige M, L, t  r = 3 dimensiones primarias o fundamentales 3)  Listar las dimensiones de todos los lo s parámetros expresándolos en función dimensiones fundamentales empezando por la variable independiente, seguido pordelalas variable dependiente más fácilmente regulable o controlable experimentalmente y así sucesivamente. F [ M L t-2 ]

V [ L t-1 ]

D [ L]

Se forma la matriz de dimensiones:

[M F

M L

 

 

L-3 ]

V

[ M L-1t-1 ]

D

 

 

1

0

0

1

1

1

1

1

-3

-1

2

-1

0

0

-1

T

 Ing. Mario A. García Pérez

- 94 -

 

 Análisis Dimensional y Similitud

4)  El valor de “m” se obtiene del rango de la matriz cuyo determinante de mayor orden sea diferente de cero. 1

1

1

Por ejemplo: 1  3  1 2

0

(1)(3)  (1 (1)(3)  9  0    (1)(3)  (1

 1 3 x3

Luego, m = 3 y por tanto tanto se formarán n – m = 5 – 3 = 2 parámetros  adimensionales 5)  De la lista de variables o parámetros elaborada en el paso 1, seleccionar aquellos que se repetirán en los parámetros  adimensionales que se van a formar; dichos parámetros repetitivos deberán ser igual en número a las dimensiones primarias(r) y deberá buscarse no dejar fuera a ninguna de ellas. Los parámetros repetitivos no deberán tener las mismas dimensiones netas; ejemplo: no deberá incluirse en los parámetros repetitivos a una longitud (L) y a un momento de inercia (L4). - Como r = 3 entonces se eligen como parámetros repetitivos a , V y D 6)  Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros repetitivos seleccionados en el paso 4 con cada uno de los parámetros restantes buscando formar parámetros adimensionales (se obtendrán n – m ecuaciones). Resolver estas ecuaciones dimensiónales para obtener los 2parámetros1  y 2. Estableciendo los parámetros :  X 

Y 

 Z 

1    V   D  F 

0



0 

0



3

 M   L  t    M  L

  L t      L    M  L t    X 

1

Y 

Z 

2

Igualando los exponentes de M, L y t:  X 

 X   1  0  3 X   Y    Z   1   Y   2 

Luego:

0



0

1 

 F    V  2  D 2



1



2

Y 





 Z 





2

 

 Análogamente:  2    X  V Y   D Z   



 M 0  L0  t 0   M  L3   

 X 

 L t      L    M  L 1 Y 

Z 

1

t 1 

Igualando los exponentes de M, L y t se obtiene obtienen: n: X = -1, Y = -1 y Z = -1 Luego:

2 

    V  D

- 95 -

 

 Mecánica de Fluidos

7)  Verificar que cada parámetro  resulte adimensional. - Verificando que los  sean adimensionales: 1 

 F    V 2  D 2

2 

 



 

 M  L t 2

 M  L  L 3

2

1



  V  D

 

 M  L

 

t 2  L2

1

t 

 M  L  L t   L 3

  1 

1

  1 

Finalmente, la relación funcional entre los parámetros deberá determinarse experimentalmente: 1    f   2  ó

          f   V   D      V   D      F  2 

2

Notas :

1.  El procedimiento descrito anteriormente, donde m se toma igual a r, casi siempre permite obtener el número correcto de parámetros adimensionales. En ciertos casos se presentan dificultades debido a que el en número de dimensiones deferente cuando las variables se expresan términos de diferentesprimarias sistemas resulta de unidades. El valor correcto de m se puede establecer determinando el rango de la matriz de dimensiones; m = rango de la matriz. 2.  Para hallar el valor de m se forma una matriz cuadrada generada de la anterior de tal modo que su determinante sea diferente de cero. El rango de esta matriz es el valor de m. Ejemplo 4.1. Escriba la forma funcional de las variables adimensionales  para describir el

ascenso de líquido en un tubo capilar. Se supone que intervienen i ntervienen las siguientes variables: h - altura de ascenso ca capilar. pilar.  - tensión superficial. D diámetro del espec específico íficotubo. del líquido  -- peso entre tre el tubo y el líquido.  - ángulo de unión en Solución: Paso 1:h = f ( , D, , )

 

n=5

Paso 2:Se elegirán los sistemas: M, L, t y F, L, t para mostrar que hay dos valores valores de r. Paso 3: [h] Sistema MLt L Sistema FLt L

[] M t-2  F L-1 

[] M L-2t-2  F L-3 

En el sistema M, L, t: r = 3 dimensiones primarias En el sistema F, L, t: r = 2 dimensiones primaria primariass

[D] L L

[] 1 1

 Ing. Mario A. García Pérez

- 96 -

 

 Análisis Dimensional y Similitud

¿Es m = r? Se verifica la matriz de dimensiones para hallar m: -Sistema

M,

L,

t

h 0 1 0

M L t

D 0 1 0

 

 

 

1 1 -2 0 -2 -2

0 0 0

El rango de una matriz es igual al orden de su determinante no nulo de mayor orden. 0

1

1

1



2

0



2

0 

2



2 0 40  2  2 2 x 2

  2  1 2   0

0 1

3 x 3

Luego

m = 2; m   r h 0 1

D 0 1

 

 

 

1 -3

1 -1

0 0

Paso 4:

Se seleccionan 2 parámetros repetitivos:

 y

Paso 5:

Se obtendrán n – m = 5 – 2 = 3 parámetros adimensionales: 1, 2 y 3 

- Sistema F, L, t

1

1

3 1 2 x 2

F L

 1  3  2  0

Luego m = 2; m r

1    

 X 

Y 

 D h



0   0

0

 



2

 M    L t    M  t 

Igualando exponentes se halla X = 0, Y = -1

 

    X   D Y       M   L  t    M  t  0

0

 

0

2

Igualando exponentes se halla X = -1, Y = 2 3 =forma

1=

f ( 2, 3) 

 

    L L  X 

1 

2

D

Y 

h

1

 

 D

    L    M  L  X 

Y 

2 

2

t 2

  2   D

 

un parámetro adimensional por si sólo:    D 2         h   f     f  1  ,  ó   ,  2  D  D          D   h



1

- 97 -

 

 Mecánica de Fluidos

4.4. PARÁMETROS ADIMENSIONALES TIPICOS En la mecánica de fluidos se consideran los siguientes parámetros típicos: El número de Euler, el número de Reynolds, Froude, Mach, Weber y Strouhal. Cada uno de ellos constituye un parámetro adimensional cuando se estudia un determinado fenómeno físico. Por ejemplo, la caída de presión p:  =

f (L, V, , , g, , C, ) L: longitud característica R: tensión superficial C: velocidad del sonido : frecuencia angular  Aplicando el teorema  con , V y L como parámetros p arámetros repetitivos se tiene:    V  L V    2    L V 2 V    L     f    , , , , 1  g   L C  V        V 2      p

Cada uno de estos parámetros p arámetros es adimensional y aparecen en numerosas situaciones de flujo de fluidos. 4.4.1. El número de Reynolds  Reynolds  Parámetro obtenido por Osborne Reynolds (1880) estudiando el flujo de agua a través de un tubo y constituye un criterio mediante el cual se puede determinar el estado o régimen de flujo. Físicamente expresa la relación que existe entre las fuerzas viscosas y las inerciales. Re



  V L  

2 2 presióndin ndinámica xáre xárea  V L   rea   V   2  esfuerzo vviis cos o x á re   L   L 

=

fuerza dei ein nercia fuerza vis cos a

Se utiliza en ellímite. estudioPordeejemplo: flujos enestudios los que de influyen efectos viscosos: flujos internos, flujos de capa naves los aéreas, cuerpos sumergidos, transiciones, etc. 4.4.2. El número de Froude Parámetro Obtenido por William Froude (arquitecto naval) estudiando los flujos de líquidos a superficie libre.  Fr  

V   g  L



2

 Fr  



V 2  g  L



  V 

2

 L2 3

   g  L



 fuerza  fuerz a de inercia  fuerza  fuerz a gra  gravitaci vitacio onal 

Se utiliza en todos los estudios de superficie libre, tales como: flujos fluviales, flujos en canales y estructuras.

 Ing. Mario A. García Pérez

- 98 -

 

 Análisis Dimensional y Similitud

4.4.3. El número de Euler  Euler  Parámetro obtenido por Leonard Euler (matemático Suizo) se utiliza en el estudio de flujos en los que la caída de presión es significativa: casi todas las situaciones de flujo; por ejemplo, en pruebas aerodinámicas. p

Eu  

1



  V  2

fuerza de presión  fuerza fue rza de ine inercia  rcia 

2

4.4.4. El número de Mach Parámetro obtenido por Ernst Mach (físico austriaco, 1870). Se utiliza para estudiar los efectos de compresibilidad del fluido (generalmente cuando V> 0,3C); por ejemplo: en tuberías sujetas al golpe de ariete. M  

V C



V   R T  



fuerza de inercia   fuerza elástica o compresible  

4.4.5. El número de Weber Se estudia en los flujos en donde la tensión superficial es importante: Por ejemplo el flujo en un tubo gotitas, etc. capilar, flujo sobre una presa2 con altura hidrostática pequeña, formación de We 

  V

L



fuerza de inercia  



 

fuerz erza de tensió nsión n superf rfic icia ial  l   

4.4.6. El número de Strouhal Se utiliza en el estudio de flujos con un componente inestable que se repite periódicamente. St  

L   fuerza centrífuga    V fuerza de inercia  

4.5. SIMILITUD Es la relación que existe entre dos fenómenos de naturaleza similar pero de tamaños diferentes. El fenómeno de tamaño natural se denomina “Prototipo” mientras que el fenómeno de similar tamaño, superior o inferior al natural se denomina “Modelo”. 

Para que un modelo represente fielmente al prototipo debe verificarse que sea semejante geométrica, cinemática y dinámicamente. 4.5.1. Semejanza Geométrica.Geométrica.- Es la semejanza de la forma. Existe semejanza geométrica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre dos dimensiones homólogas son iguales; es decir: La escala de longitud:

  L1     L       1    L2   m   L2    p

  

 L1m  L1 p



 L2 m  L2 p

 e L 

 Lm  L p

 escala de longitud 

- 99 -

 

 Mecánica de Fluidos

L1 

L2   A

PROTOTIPO

La escala de área:

2

  L   m m m e L  A p   L p    L p     L2

 A

  2

2

 A

2

e L  e A  escala de área  A p  m



4.5.2. Semejanza Cinemática.- Existe semejanza cinemática entre el modulo y el prototipo si: a)  Las trayectorias de partículas homólogas son geométricamente semejantes. b)  Las velocidades en dos puntos homólogos tienen la misma dirección y están relacionadas en magnitud por un factor constante.  V 1    V        1   V 2   m  V 2    p

También:

eV  

V m V  p

  



 Lm t  p  L p t  p

V 1m V 1 p

   



V 2m V 2 p

t  p  Lm t m  L p



 eV  

e L et 

V m V  p

 escala de velocidad 

 eV 

4.5.3. Semejanza Dinámica.- Existe semejanza dinámica entre el modelo y el prototipo cuando las relaciones entre las fuerzas homólogas son iguales. ig uales. Esta condición implica necesariamente semejanza geométrica geo métrica y cinemática. En general, en un fenómeno físico cualesquiera actúan diversas fuerzas (viscosas, inerciales, gravitacionales, etc.) pero para el estudio de semejanzas deben establecerse las dos fuerzas actuantes mas importantes de modo que puedan relacionarse mediante un mismo factor de escala. Para una completa semejanza dinámica deberá cumplirse que: Re m  Re p ;  Fr m   Fr     p ;    Eu m     Eu p ; Wem  We p

Dependiendo del tipo de fenómeno bajo estudio se elige solo una igualdad. Ejemplo 4.2. Se desea estudiar el movimiento de un misil bajo b ajo el agua utilizando un modelo

reducido. Si se desea que el torpedo prototipo se mueva a 6m/s en aguas a 15 ºC, ¿Qué velocidad debe darse al torpedo en el modelo, si el ensayo ssee efectúa: a) en un canal de agua? b) en un túnel de viento a 27ºC y 20 atm de presión? Solución: Como se trata de estudiar a un cuerpo sumergido, entonces las fuerzas viscosas  juegan un papel primordial; por tanto:Re

 

m

  Re  p



 Ing. Mario A. García Pérez

- 100 -

 

 Análisis Dimensional y Similitud

a) De

Re m

 Re p



V m  Lm

 m

       L p    V   V m    m     p   Lm   p       

V  p  L p



  p

Como se va a utilizar agua en el modelo  Luego

V 



1 x

m

1  

 x   6



24 m /  s

  m

    p   



 V m  e 

e 

1

 

  m 

 p  

 R T 

 aire   aire



1,24

kg  s m2

1,88 x10    1,24

6

 





  aire

  7,8 x10 7 m 2 / s  

 15ºC    15ºC 

7

V m     7,8 x10 6       1   6 16,5 m / s 1 , 13 10  x      1 / 4 

6



 

La viscosidad cinemática del agua a 15 ºC es:  p  Luego:

1,88 x10

 aire   aire



V  P   

  m

  aire

e L

1/ 4

b) La viscosidad cinemática del aire en el túnel de viento es:   Con

1

 1   ,13 x10  6 m 2 / s  

 

- 101 -

 

 

- 102  Ing. Mario A. García Pérez

 

 

CAP.V. FLUJO VISCOSO  VISCOSO  5.1. FLUJO TURBULENTO, PERMANENTE E INCOMPRESIBLE 5.1.1. La Ecuación de Bernoulli Modificada Considere el flujo estacionario de un fluido a través de un tramo figura. de tubería (o tubo de corriente) como se indica en la Escribiendo la ecuación de energía para el volumen de control seleccionado se tiene:

dQ dt



dWeje dt  





0(1)

 

 s .c .

V dA

(1): El producto . V  (2): Flujo permanente 

  

  

dQ



dWeje

dt 

dt 

 



0

  t 

  

.c

 V 2    g Z  u  d    2 

  

 en las paredes del

 V       Q    gZ   u     2 2

1

1

1

 0(2)

  pues V 



 s.c





. C 





0

  

V 2 P    gZ  u   V .dA         2

 

           Q  V    gZ   u   p             2     2

  1

2

 

2

2

2



Dividiendo ambos miembros entre  Q  m  dm dt  ,  entonces:  V   dQ dt    dWeje dt    P    V   P              gZ   u       gZ   u           2      dm dt        Q     2 2

2

1

1

1



V 12 2

  gZ 1



 P 1   



 Pot     Q  



V 22 2

2

2

1

  gZ 2 

2

 p2



u

2



 u1 

dQ

2

 

dm      

 

 gh

energías ergías no utilizables o “pérEl término u2 u1  dQ   dm gh   representa al conjunto de en didas de energía”   

 



Las pérdidas se deben a dos efectos primarios: 1.  La viscosidad produce fricción interna que eleva la energía interna (la temperatura aumenta) o causa transferencia de calor. Se distribuyen a lo largo del conducto. 2.  Los cambios de geometría producen flujos separados que requieren energía útil para mantener los flujos secundarios s ecundarios que se generan. Se distribuyen solamente en las inmediaciones del cambio de geometría (codos, válvulas, etc.) La ecuación anterior puede rescribirse como: V 12 2 g 

  Z 1 

 P 1   



 Pot    Q

   

V 22

2 g 

  Z 2 

 p 2   



h1

2

Ecuación de Bernoulli modificada, válida para flujos reales (viscosos), incompresibles y perma-  nentes.

El término V2 /2g representa a la energía cinética o carga de velocidad.

- 103 -

 

 Mecánica de Fluidos

El término p/ representa a la energía de presión o carga de presión. El término Z representa a la energía potencial o carga de d e elevación. El término h1-2 representa al conjunto de pérdidas de energía que ocurren en el tramo comprendido entre las secciones 1 y 2. El término  Pot/ Q representa a la altura de energía o carga proporcionada o restada por el eje de una turbomáquina. Positivo si se trata de bombas, ventiladores, sopladores o compresores y negativo en el caso de las turbinas. Todos los términos están expresados en unidades de longitud. Nota: En turbomáquinas, el término

 Pot  

   Q

 Hu   se

denomina altu altura ra de Euler. Euler. Particularmente, altura

teórica  en  en el estudio de las bombas y altura útil  en  en el de las turbinas.

5.2. FLUJO EN TUBERÍAS SENCILLAS Para el cálculo de flujos en tuberías se utiliza frecuentemente la ecuación modificada de Bernoulli, válida para flujos reales: es decir: V 12 2 g 



 p1

 

  Z 1 

5.2.1. PERDIDAS DE ENERGIA

 Pot 

  Q

    

V 22 2 g 



 P 2

 

  Z 2  h12

h     EN LOS SISTEMAS DE TUBERÍAS TUBERÍAS.. 1 2

Las pérdidas de energía pueden ser de dos tipos: pérdidas primarias o pérdidas por fricción hf   y pérdidas secundarias o menores hm . Luego: h1

2



h   f  1 2   hm 

1 2

- Pérdidas Primarias o por Fricción  h f      Se deben a la fricción interna producida por la viscosidad y dependen de: a)  La densidad y viscosidad del fluido b) c)   La velocidad geometríadel delfluido conducto: Forma, tamaño, longitud. d)  La rugosidad absoluta, , de la superficie interna de la tubería

 Ing. Mario A. García Pérez

- 104 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

El término  /D se denomina “rugosidad relativa”  o “aspereza relativa” .

RUGOSIDAD MEDIA EN TUBERIAS COMERCIALES  

Material (nuevo)

pie milímetro  Acero remachado 0,003 - 0,0 0,033 0,9 - 9,0 Hormigón 0,001 - 0,01 0,3 - 3,0 Madera 0,0006 - 0,003 0,18 - 0,9 Fierro fundido 0,00085 0,26 Fierro galvanizado 0,0005 0,15 Fierro fundido asfáltico 0,0004 0,12  Acero comercial, hierro estirado o hierro forjado 0,00015 0,046 Latón o cobre estirado 0,000005 0,0015  Vidrio, PVC  “Liso”    “Liso”  

De modo experimental Henry Darcy (1857) y Julius Weisbach (1845) determinaron que se cumple la relación:

h f     f  

 L V 2  D

…. Ecuación de Darcy –  Weisbach  Weisbach

2 g 

donde f - coeficiente de fricc fricción ión de Da Darcy, rcy, cuyo valor se determina con la fórmula: Para flujos laminares:

Re  2000

Para flujos turbulentos:

Re    4000

 f   64



  1

-  Flujo en zona de tubería lisa:



 f  

-  Flujo en zona completamente turbulento:

-  Flujo en zona de transición:

Re  



0,86 ln  Re



f  



 0,8  

            0,86   ln       f    3,7 D 

1

      2,51   ….Fórmula de Colebrook    0,86 ln     3 , 7  D  f       Re  f   

1

  Estas ecuaciones han sido ploteadas en un gráfico denominado “Diagrama de Moody”  

- 105 -

 

 Mecánica de Fluidos

Diagrama de MOODY

 Ing. Mario A. García Pérez

- 106 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

Otras fórmulas empíricas para determinar las pérdidas por fricción, el caudal y el diámetro de las tuberías son: (SWAMEE Y JAIN – 1976) 

Q2 L  

0,9    D  h f    1, 07  l n 4 , 6 2    Q   gD5   3,7 D    

   D 5   Q   0,965  g  hf      L     D  0,66  1, 25  

  LQ 2       gh    f      

0,5

4, 75

    

2

Para 10 6 

0, 5     3,17  2 L      Para ln      3,7 D   gD 3 h f       

   L      Q   9, 4       gh      f    

5, 2

   

   102 D

y 3000  Re  3 10 8  

Re  2000  

0, 04

   Para 10 6     D 10 2 

 y 5000  Re  3  108  

 Válidas tanto tanto para el SI como para unidades in inglesas; glesas; la fórmula del caudal es tan exacta como el diagrama de Moody; las fórmulas de h f  y  y D difieren en menos del 2% con respecto al mismo diagrama. CHEN et Al publicó la siguiente relación para el cálculo del factor de fricción válida para regímenes de flujos de transición y turbulentos con   /D adimensional 1,1098      D  5, 0452 5, 8506        D      4 log    log   3, 7065 Re 2, 8257 Re0,8981    f       

2

- Pérdidas Secundarias o Menores Se cambio de magnitud y dirección que sufre la velocidad cuando el flujodeben sufreprincipalmente separaciones oalcaída de velocidad en ensanchamientos. En los sistemas de tuberías, las pérdidas menores ocurren en: a) Las entradas y salidas de tuberías.

- 107 -

 

 Mecánica de Fluidos

b) Válvulas

c) Accesorios: codos, tes, yes, etc.

d) Expansiones o contracciones de la sección transversal

Experimentalmente se determinó que la pérdida de energía en cada válvula o accesorio se puede evaluar mediante: hm   K 

V  2 2 g 

K - es un coeficiente de pérdida pérdid a de carga (adimensional) cuyo valor depende del tipo de accesorio; de la calidad del acabado, del material utilizado. En un tramo de tubería dado pueden existir múltiples válvulas o accesorios entonces las pérdidas de energía menores totales se expresan como:

hm

2        K  V     2 g  

 Ing. Mario A. García Pérez

- 108 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

COEFICIENTES DE PERDIDAS K EN VALVULAS ABIERTAS, CODOS y TES Roscado Acoplado (Bridado) Diámetro nominal (pulg) 1/2 1 2 4 1 2 4 8  Válvulas (abiertas) Esfera o globo 14 8,2 6,9 5,70 13 8,50 6,0 55,8 ,8 Compuerta (check)  Antiretorno De ángulo Codos 45º normal 45º suave 90º normal 90º suave 180º normal 180º suave Tes Flujo directo Flujo lateral

20 5, 5,55

0,30 5,1 9,0

0,24 2,9 4,7

0,16 2,1 2,0

0,11 2,0 1,0

0,80 2,0 4,5

00,35 ,35 2,0 2,4

0,16 2,0 2,0

0,07 2,0 2,0

0,03 2,0 2,0

0,39 2,0 1,0 2,0 -

0,32 1,5 0,72 1,5 -

0,30 0,95 00,41 ,41 0,95 -

0,29 0,64 0,23 00,64 ,64 -

0,21 0,50 0,40 0,41 0,40

0,20 0,39 0,30 0,35 0,30

0,19 0,30 0,19 0,30 0,21

0,16 0,26 0,15 0,25 0,15

0,14 0,21 0,10 0,20 0,10

0,90 2,4

0,90 1,8

0,90 1,4

0,90 1,1

0,24 1,0

0,19 0,80

0,14 0,64

0,10 0,58

0,07 0,41

 AUMENTO DE PERDIDAS PERDIDAS PARA VALVULAS PARCIALMENTE PARCIALMENTE ABIERTAS

Condición  Abierta Cerrada al 25% Cerrada al 50% Cerrada al 75%

Relación K/K abierto abierto  Compuerta Esfera o Globo 1,0 1,0 3,0 - 5,0 1,5 - 2,0 12 - 22 2,0 - 3,0 70 - 120 6,0 - 8,0

5.3. PROBLEMAS TIPICOS DE FLUJO EN TUBERÍAS Caso

Datos

I

Q, D, ,  

II III

D, , , hf   Q, , , hf  

Incógnita hf  o  o cualquier otra incógnita que no sea D ni Q. Q D

Incógnita Tácita f f, V f, V

Ecuaciones a emplearse en la resolución de problemas:        

Ec. de continuidad Ec. de Bernoulli modificada Ec. de Darcy Tablas y gráficos.

Tipo de Solución Directa Requiere de métodos iterativos Usando el diagrama de Moody

- 109 -

 

 Mecánica de Fluidos

Ejemplo 5.1. Caso típico I.

¿Qué presión manométrica se requiere en el tanque de aire para hacer circular 5 pie3 /s de agua a través del sistema? Suponer que el depósito es grande.  = 1,09 x10 -5 pie2 /s Solución: Se escribe la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2: V 12 2 g 

  Z 1 

 P 1



 

Pero V1 0  Z 1  

  

V 22 2 g 

100 100

  Z     2 

 P 2

 h f  12    hm12 ....(1)  

 

V2 

 pi  piee ;  Z 2     150  pie ; p2 /  / = 0 y

* Las pérdidas por fricción

h f  

1 2

h  f  



 L V 2

 f  

 D 2 g 



 f  

17127   ,13   f  



1 2

850 6 12



Q

5



 

 A      6    4  12 

25,46

2

2   32,17

2

 25, 4466 pie / s

 

  .... (2)



Cálculo de f: El número de Reynolds:

Re 

V .D.

 



25,46  6 12  1,09 x10

5





     0.00015 pie 

La rugosidad relativa para acero comercial:

Ingresando al diagrama de Moody con Re   y   /D se halla h  f  

Luego, en (2):



1 2 



2



k 

ent  

k valv.comp .  2k C   

90

  f  



k  salida

V 2

   0,05 2 g 





100 

62,4

de donde:





 



 D

0.00015

6 12

  0,0003



0,0158  

0,115  0,28  2  1 

Reemplazando los valores de las pérdidas en (1): 25,46

 

 

 V 2     K   equivalen a:  2 g  

hm12    17,38  pi  piee  

  p1



6



270,61 pie

* Las pérdidas menores hm12 hm1

 

1,17 10

2

 150  270.61  17.38  

2 32,17 lb lb  p1  21719 .24  150.83 2  pie  pu lg 2

(man).

25,46

2

2  32,17

 Ing. Mario A. García Pérez

- 110 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

Ejemplo 5.2. Caso típico II. ¿Cuál es el caudal de agua desde el tanque A hasta el tanque B en el sistema que se muestra?  = 1,13 x10 -6 m2 /s Potencia de la bomba = 57,1 KW Diámetro 6 pulg.fundido = 0,152m Material dedelatubería tubería:= fierro  Accesorios bridados. Solución: Escribiendo la ecuación de Bernoulli entre (1) y (2) V 12 2 g 

 Z 1 

 p1



  

Pero

V 1

 Pot 



  Q

V 2

  

V 22 2 g 

  Z 2 

0



  f  

 Z 1



 k 

10

V 2 2 g 

 L V  2

  k 

 D 2 g 

  

* Las pérdidas menores: 

 p 2

m    y  Z 2  



V  2



.... 1

2 g 

36 m



  K ent    K valv.esf  .   K valv.check    K valv.comp.   K C 90   K  salida

0,50  5,9  2  0,115  0, 28  1

V 



V 2 2 g 

2

2 x9,806

  

0,499 V 

2

Reemplazando valores en la ecuación (1): 

10 

620000



9806.Q

9806

Puesto que:



57100



36 

70000

 



9806

 f 

350



V 2

0,152 2  9,806

2 2 01 18 V Q  V A  V  D    0,152 V  0, 0 4 4

30.09 

323,5



V 

117, 41 f



2

0, 50V 

V 2  

 0,499

 

.... *

Proceso iterativo para hallar f y V: a)  Se

calcula

  D



0,26mm  152mm 



0,0017

b)  Con el valor de  /D se estima un valor de f´ f ´ = 0.0220 en el diagrama de Moody proyecp royectando directamente mediante una línea horizontal el valor de   /D   hacia el valor de f; esto es, suponiendo que el flujo es completamente turbule turbulento nto y rugoso y por ende f tiende a un valor contante. c)  Con el valor de f´ se halla V´ de la ecuación ( *)

- 111 -

 

 Mecánica de Fluidos

Para

 f ´ 0, 0220

 3, 08V

3

 30, 09 V  323, 5

V ´ 5, 40 m / s



d)  Para verificar si el f´  asumido  asumido es correcto se calcula el número de Reynolds Re´

V´ D



5, 40 40  0,152 6

 

1,1310

v

 7, 3 10

5

e)  Para estos valores de Re´ y   /D se halla en el diagrama de Moody,   f  "



0,0222  

Como el valor del nuevo f ” = 0,0222   no es igual a f´= 0,0220 0,0220 se re repite pite el proceso anterior anterior desde el paso c) con el valor de f ””  =  = 0,0222 - para -

  f  "  0,0222

Re" 

5,38  0, 0,15 152 2 6



1,1310



 

3,11 V 



5

7, 2 10

3



30,09   v



323,5

V "  5,38 m / s  



 

5    0, 00 0017 y Re"  77,, 2 10 ) un nuevo valor - En el diagrama de Moody se halla (con   / D de   f  ´´´ 0, 02 0222 22 que es igual al anterior valor. Se acepta entonces que f = 0,0222 y V = 5,38 m/s son los valores buscados.  



Finalmente se calcula el caudal:

Q  V . A  5,38 

  4

 

  0,152



2



0,098 m / s   3

Ejemplo 5.3.  Caso típico III III..

La central hidroeléctrica que se muestra tiene una turbina que desarrolla 100Kw con un caudal de 0,2 m3 /s. ¿Qué diámetro tiene la tubería forzada de acero comercial?  = 1,13 x 10-6 m2 /s 

Solución: Se escribe la ecuación de Bernoulli modificada entre las secciones (1) y (2): 2

V 1

2 g 



 P 1

 



 Z 1



 Pot 

  Q

2



V 2

2 g 



 P 2

 

2

2



 Z 2  



 L V    f     K ent   2 K  C 45  D 2 g 





 K valv.esf  .



V     K  sal   2 g 

 V1 0; V2 = V; p1 = p2 = 0; Z1 = 55 m; Z2 = 0 55 

100000 9806  0,2

4,01 



V 2 2  9.806

4,26  f  

 D

V 

2





 f  

73,54  10

V 2

 D

2  9.806

 

2,5  2 K 

C 45

  K valv.esf  .





V 

0,5

2

2  9.806



 

2 K C 45   K valv.esf  .





1

V 2 2  9,806

 

 Ing. Mario A. García Pérez

- 112 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

Pero 

Q

4,01 



V . A

0,2 



V      D  



4

4,26  f    0,065 

 D

V 

2



0,065

 D

0,065

......*  

4

1

    2,5  2 K C 45   K v .esf    4   4 2  9.806  D    D  



4, 01  0, 2757  f    2, 5  2 K c 45



2

 D

K v.esf   0  , 004331 D



.....(**)

Proceso iterativo: a) Se estima un diámetro D´= 6 ”  =  = 0,152m b) Se halla la velocidad velocidad V´ en la ec. (*): V´= 11, 03 m/s c) Se calcula calcula el número de Reynolds: Re´= 11,03 x 00,152/1,13x10 ,152/1,13x10-6 = 1,5 x106  d) Se calcula  /D´ = 0.00015/ (6/12) (6/12) = 0,0003 e) En el diagrama de Moody, con Re´ y  /D´, se halla f´= 0,0154 f) De tablas, para

 D ´ 6"

  

 K c 45





0, 175; 

K v.esf  

5,9



 

g) Con los valores de D´ y f´ y los K  se  se prueba si se verifica la ecuación (**): 



4,01 

4,01  

0,277  x 0,0154 0,152 

5

106,83

 

2,5  2  0,175  5,9 

0,00331 0,152

4

 

 

La igualdad no se verifica entonces por simple inspección de la ecuación se deduce que, en este caso, se requiere de un nuevo diámetro más alto y se repite el proceso. Se estima ahora D”  = 8” = 0,20 m  - Se halla la velocidad velocidad V” en la ec. (*): V”= 6, 37 m/s  - Se calcula el número de Reynolds: Re”= 6,37 x 0,20/1,13x10-6 = 1,1 x106  - Se calcula  /D” = 0.00015/ (8/12) = 0,00023 - En el diagrama de Moody, con Re” y  /D”, se halla f”= 0,015 - De tablas, para  D 8"  K    0   ,16; K  5,8   - Con los valores de D ””  y f ”   y los K  se  se prueba si se verifica la ecuación (**): 



  0,277 x 0,015

 4,01 

0,20 5

c 45 

 

v .esf   

0,00331  

  2,5  2  0,16  5,8  0,20 4

  Como no se verifica la igualdad entonces se escoge nuevamente un diámetro mayor 

4,01    30,82

- 113 -

 

 Mecánica de Fluidos

 Asumiendo ahora un D’’’ = 12” = 0,305 m y repitiendo el proceso se obtiene:  V”’= 2,74 m/s; Re”’= 7,4 x105;  /D”’ = 0.00015; f”’= 0,0144;

 K c 45



0 ,153; K v.esf    



5,7

 

Con los valores de D ””’ ’  y f ‘‘’’   se prueba si se verifica la ecuación (**): ’’  y los K  se 

4,01  



4,76

 

 Aun cuando la igualdad no se verifica exactamente exactamente se acepta ccomo omo resultado final el valor del diámetro D = 12” = 0,305 m.

Ejemplo 5.4. Caso típico III. ¿Cuál es el diámetro de tubería de PVC necesaria para la instalación del sistema de bombeo mostrado? La bomba tiene una potencia de 2,5 HP    1865 W    El caudal de agua es de 5 l/s.  = 1,13x10-6 m2 /s  



Solución: La ec. de Bernoulli modificada entre las secciones (1) y (2): V 12 2 g 

 Z 1 

 P 1   



 Pot    Q



V 12 2 g 

  Z 2 

V 2  L V 2   f     K     D 2 g  2 g 

 P 2   

 V1 = V2 0; p1 = p2 = 0; Z2 = 25 m; Z1 = 0   V 2 V 2   1865   43  2 K check   3 K C 90  K v.comp  K  sali da       25   f     D  2 9,806 2  9,806  9806 0,005 

38, 04  25  2,19  f

Pero:

V 2  D



 2K

check 

Q  V . A  0, 005  V 

 38, 04  25  2,19

K v.comp

  

4

4

D



3KC 90 1   



2

0, 051 V 

5



D

2

 f    4, 05 105 

  D 





2

V   

4.05 4.0510

 D

4

........... *

 4, 05 105    0, 051    2 Kcheck  Kv.comp  3K c90  1 4 D   

 Ing. Mario A. García Pérez

- 114 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

13, 04 

8, 87 10

5

2, 07 07 10

 f 

 D5

6

 2K

D4

 Kv.comp  K c 90 1 ...... ...... *

check

Proceso Iterativo: - Asumiendo  D´ - De la ec. (*): -

Re´ Re´



4"  0,10m



V ´



 K check 

0,636  

 K v.comp  

2,0;



m /  s



  ; 0,16

K c 90



0,30

 

 

V ´. D´ 0,636  0,10    5  ,6  10 4    6 v 1,13  10

-  /D”  0. Para PVC se usa la curva mas baja del diagrama de Moody. - Con Re´ y  /D´ en el diagrama de Moody se halla f´= 0,0205 0,0205 - Con D´ = 0,10 m y f´ = 0,0205 0,0205 se pru prueba eba si se verifica la ec ecuación uación (**) 13,04 

8,87  10

5



0,10 13,04 

0,0205



2,07  10

5

0,10

6

2  2  0,16  3  0,30  1

4





0,314  



 Analizando la ec. (**) se observa que el diámetro debe ser menor Se repite el proceso para un nuevo diámetro. Para D” = 2” = 0,05 m 

- De la ecuación (*): - Re" 

V ". D"

V "

2,55  0,05

  

6

1,1310

v



2,55   m / s  

 1  ,1104  

-  /D”   0. Para PVC se usa la curva mas baja del diagrama de Moody. - Con Re”  y  y   /D”  en  en el diagrama de Moody Mood y se halla f” = 0,030 - Para

 D"  2"   K check   2,0;    K v.comp    0,35 ;

K c 90  0,39

- Con los valores de D”  =  = 0,05 m; f”  =  = 0,030 y los k  se  se prueba si se verifica la ecuación (**) 13,04 

8,87 10

5





0,030

5

0,05 13,04  





2,07  10 0,05

4

6



2  2  0,35  3  0,39  1

10,7  

Finalmente, se acepta el valor para D = 2” = 0,05 m. 

- 115 -

 

 Mecánica de Fluidos

Problemas propuestos

5.1. Desde el tanque A hacia el tanque B circula un caudal de agua a 60 ° F. Si la bomba comunica al flujo una potencia de 65 HP, determine el valor del caudal Q. Las tuberías son de acero comercial con accesorios bridados.   pie   Q 4,63 3



 s

5.2. Calcule la potencia necesaria de la bomba para elevar agua, sabiendo que: - La línea de succión (Ls) tiene 1 válvula de compuerta, tres codos normales de 90° y una te de flujo indirecto. - La línea de impulsión (Li) tiene 3 válvulas de compuerta, seis codos de 90°, dos codos de 45° y una te directa. - Las tuberías son de fierro galvanizado de 3” y 2” de diámetro respectivamente; roscados. - La velocidad promedio en la tubería de 2” es 12 pie/s - El rendimiento total de la bomba bom ba es  =  = 85% n 

 Pot



18,8 HP 

 

5.3. La tubería mostrada está llena de agua cuando la válvula  A está cerrada p2- p1= 10 lb/pulg2. Cuando la válvula está abierta y el agua fluye a 10 pie3 /s, p2-p1 = -34 lb/pulg2. ¿Cuál es la pérdida de carga entre (1) y (2) en el segundo caso? h1



2

  101, 101, 49 pie



 

5.4. En la figura se muestra el sistema de llenado de petróleo (  = 920 kg/m3;  = 0,045 kg/m.s) hacia un que camión cisterna 20 m dedesde largo una y 5 cisterna cm de diámetro tiene una mediante una manguera plástica de entrada ligeramente redondeada, dos codos suaves de 90° y una válvula esférica. La capacidad del camión cisterna es de 18 m 3 y el tiempo en que debe llenarse es de 30 min. Determine la potencia necesaria en la bomba considerando una eficiencia del 82%.  Pot



5,5 HP  

 Ing. Mario A. García Pérez

- 116 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

5.5. Determinar el caudal de agua a 10 °C que fluye desde un depósito grande a otro más pequeño a través de un sistema de tuberías de fierro fundido de 5 cm de diámetro. Considere accesorios roscados. 3

Q

0,006   m  s



 

5.6. Calcule la presión en el punto A y el caudal que fluye a través del sifón mostrado. Considere como única pérdida menor la entrada tipo “reentrante” . El fluido es agua a 15 °C. Q

3



0, 0218 m

 s

;

P A



26 711 Pa



 

5.7. Estime el diámetro en el sistema de tubería mostrado. El material de la tubería es hierro galvanizado. El caudal caudal que fluye es Q = 15 l/s. Determine previamente el sentido del flujo.  D  4 pu lg;

sentido  

 

5.8. Determine la longitud total “L” que tiene la tubería de acero comercial de diámetro 0,15m   6 2   3     6500   m ) con un caudal de que conduce kerosene a 60 °C (    1, 2 10   m s ,    2,3 m3 /min. La presión en el reactor es 120 KPa manométrico. manométrico. 

 L



418 m

5.9. Agua a 10°C fluye a una rapidez de 900 l/min desde el recipiente y a través del conducto de cobre estirado que se presenta p resenta en la figura. Calcule la presión en el punto B.  p B



88,66 kPA  man

- 117 -

 

 Mecánica de Fluidos

5.10. Se encuentra fluyendo agua a 40°C desde A hacia B a través del sistema de tuberías mostrado en la figura. Determine la rapidez de flujo volumétrico del agua si la distancia vertical entre las superficies es de 10 m. Todos los accesorios son roscados. Q



18

l s

5.11. Desde el tanque A hacia el tanque B circulan 170 l/s. Si la viscosidad cinemática del fluido es 1,13x10-6 m2 /s, ¿Cuál debe ser el diámetro de la sección horizontal de la tubería?

5.12. ¿Qué presión manométrica p1 se requiere para hacer circular 0,180 m 3 /s de agua a tra través vés -6 2 del sistema? Suponga que el depósito es grande. (  = 1,13 x10  m /s.)  p1   1 1,, 65 M Pa 

5.13. Si 565 l/s de flujo se mueven desde A hasta B, ¿Cuál es la potencia necesaria para bombear el agua?

 Ing. Mario A. García Pérez

- 118 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

 Pot

913,3 KW   



5.14. ¿Cuál es el diámetro de tubería de cobre estándar que se requiere para transportar 120 l/s de agua a 80 °C de un calentador donde la presión es de 150 kPa (man) hacia un tanque abierto? La tubería es horizontal y de 30 m de longitud.  D



4 pu lg

5.15. Determine el diámetro requerido de tubería nueva de acero comercial para transportar agua a 160 °F con una caída máxima de presión de 10 lb/pug 2 por 1000 pies cuando el caudal del flujo es 0.5 pie3 /s.  D  4 pu lg

5.16. ¿Qué presión manométrica debe existir a la salida de la bomba en la instalación que se muestra? La tubería tiene un diámetro interno de 12” y es de acero comer-

cial. La bomba suministra una potencia de 65KW.El caudal de bombeo es 250 l/s y el agua se halla a 5°C.   p  174,13 KPa  man

5.17. ¿Qué diámetro de tubería de fierro fundido se requiere para hacer circular 200 l/s desde el tanque A hacia el tanque B? El fluido es agua y la tubería tiene 160 m de longitud.  D



6 pu lg

- 119 -

 

 Mecánica de Fluidos

5.18. Calcule el caudal que fluye de un tanque a otro si la válvula de compuerta está cerrada parcialmente al 25%. La tubería es de acero comercial de 4 pulgadas de diámetro con uniones de brida. Q



0,023   m

3

 s

5.19. Si la bomba conectada al sistema de tuberías tiene una eficiencia de 75% ¿Qué potencia debe tener para mover aceite (R = 0,94;   = 5x 10-5m2 /s) con un caudal de 1m3 /s? La tubería de succión es de acero comercial de 0,508m de diámetro y la de impulsión de fierro fundido de 0,406 m de diámetro.  Potnominal   1318 HP 

 Ing. Mario A. García Pérez

- 120 -

 

 Flujo Viscoso en tuberías

5.20. Se pretende elevar agua desde una tubería principal que suministra una presión de 300 KPa (man) hasta un depósito a 60 KPa (man). Qué diámetro debe tener la tubería de fierro galvanizado de 140 m si el caudal a transportar es 0,025 m3 /s?  D  4 pu lg

5.21. En la figura adjunta, el fluido tiene una densidad relativa de 0,68 y la presión p 1 = 700 KPa (abs). Si el caudal es 27 m3 /h. Estime la viscosidad del fluido.

5.22. La tubería lisa que se muestra conduce agua. La válvula de globo está abierta totalmente. Si el manómetro de mercurio indica 7 pulgadas, ¿Cuál es el caudal, en pie3 /s? El diámetro de la tubería es 1 pulgada. Q  0,030   pie

3

 s

5.23. Una planta industrial requiere un caudal de agua de 5,7 m3 /min. La presión en la red de suministro de agua, localizado en la calle a 50 m de la planta es de 800 kPa (abs). La línea abastecedora requiere que se instalen cuatro codos de 90° en una longitud de 65 m. La presión necesaria en la planta es 500 kPa (abs). Determine el diámetro de la tubería de fierro galvanizado que es necesario instalar. NOTA.- Elabore un esbozo o diagrama de la instalación según como interprete el enunciado.  D  6 pu lg

- 121 -

 

 

CAP. VI.

INTRODUCCIÓN A LA TURBOMAQUINARIA

6.1. TURBOMAQUINAS Son aparatos en los cuales la energía se transfiere hacia el fluido o desde él, en movimiento continuo mediante la acción de uno o más álabes impulsores móviles. Las turbomáquinas que extraen trabajo útil de la energía del fluido se llaman turbinas. Las que añaden trabajo útil a la energía del fluido se denominan bombas si el fluido es líquido y ventiladores, sopladores o compresores si se trata de gases o vapor, dependiendo del incremento de presión que se necesite: Por ejemplo, ventiladores  p   7  10 Pa , sopladores  7  10   p  3  10 Pa y 3

compresores

  p  3  10

5

Pa

3

5

 

6.2. TURBINAS Se emplean para generar energía eléctrica mediante el aprovechamiento de cargas hidráulicas suficientes y volúmenes de flujo disponibles. Se clasifican: turbinas de impulso y turbinas de reacción. 6.2.1. TURBINAS DE IMPULSO.IMPULSO.- Consiste en tres componentes básicos: una o más toberas to beras estacionarias, una rueda y una carcasa. La rueda consiste en múltiples cucharas montadas en una rueda giratoria. La carga de presión p resión corriente arriba de la tobera se convierta en energía cinética contenida en el chorro de agua que sale de la tobera. Cuando el chorro libre impacta en las cucharas la energía cinética se convierte en un momento de torsión giratorio. Las cucharas tienen una forma tal que dividen al chorro a la mitad y desvían su vector velocidad relativa en caso 180 en el plano horizontal.

Características Principales: Principales: 1.  Si se desprecian los efectos de la fricción y la gravedad, el líquido no experimenta ninguna variación en su velocidad relativa con respecto al álabe; la presión atmosférica rodea tanto al álabe como a la rueda, r ueda, por lo tanto, la aceleración del flujo se produce en la tobera y no en los álabes.

- 122 -

 

 

2.  Las turbinas de impulso tienen relativa baja velocidad (específico) y son apropiadas para cargas hidráulicas bastante altas y poco caudal. 3.  Pueden estar dispuestas con el eje vertical u horizontalmente. Los de eje horizontal sopo soporrtan hasta tres chorros como máximo. Pertenecen a esta clasificación las turbinas Pelton, Michell Banki y Turgo. 6.2.2. TURBINAS DE REACCIÓN. REACCIÓN. El flujo está contenido en una caja especial que dirige el líquido hacia la rueda o rodete. Corriente arriba de la rueda están situados los álabes direccionadores (fijos pero ajustables) del distribuidor. Su función es controlar la componente tangencial dela velocidad de entrada el rodete. El fluido sale de los álabes directores y entra al rodete con un momentum angular adquirido.  A medida que el fluido viaja por el interior del rodete reduce r educe su momento angular e imparte un momento de torsión al rodete, produciendo el giro del eje. El flujo sale de la rueda a través de un difusor o tubo de aspiración que convierte la energía cinética restante en energía de presión hasta llegar al valor de la presión atmosférica en el canal de desagüe. Características Principales: Principales: 1.  Todos los pasajes de la turbina están siempre llenos de líquido y el fluido se mueve constantemente a través del rodete. 2.  La presión se reduce a medida que le fluido circula por el rotor; la velocidad relativa del fluido no es constante; es más, aumenta a lo largo de los álabes móviles del rotor. 3.   A menudo emplean un eje vertical. 4.  Las turbinas de reacción se subdividen en: Turbinas de reacción binas Francis, H: 25 -radial 80 m.o radio axial.- TurTurbinas de reacción a propulsión (flujo axial).Turbina Kaplan o de Hélice, H: 30 m o menos. 5.  Tienen relativa baja velocidad (especifica) y se emplean donde existen cargas hidráulicas medianamente bajas pero con gran caudal.

- 123 -

 

 

 APÉNDICES

 

 

 

PROPIEDADES FÍSICAS DEL AGUA A 1 ATMÓSFERA DE PRESIÓN (Sistema Internacional)

Temperatura

Densidad

Peso

Viscosidad

Viscosidad

(ºC)

(Kg/m3)

específico (N/m3)

dinámica   (Kg/m s)

cinemática   (m2/s)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

999.80 999.90 1000.00 999.90 999.80 999.70 999.40 999.20 998.90 998.50 998.20

9804.04 9805.02 9806.00 9805.02 9804.04 9803.06 9800.12 9798.16 9795.21 9791.29 9788.35

178,7x10-5  167.1 x10-5  156.2 x10-5  146.4 x10-5  137.6 x10-5  130.5 x10-5  122.6 x10-5  116.1 x10-5  110.4 x10-5  105.2 x10-5  100.2 x10-5 

1,787x10-6  1.671 x10-6  1.562 x10-6  1.464 x10-6  1.375 x10-6  1.307 x10-6  1.227 x10-6  1.163 x10-6  1.106 x10-6  1.053 x10-6  1.004 x10-6 

-5

-6

22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 45 50 55 60

997.70 997.20 996.60 996.10 995.70 994.90 994.20 993.40 992.80 992.20 990.20 988.00 985.70 983.20

9783.45 9778.54 9772.66 9767.76 9763.83 9755.99 9749.13 9741.28 9735.40 9729.51 9709.90 9688.33 9665.77 9641.26

95.5 91.1 x10 x10-5   87.2 x10-5  83.4 x10-5  79.7 x10-5  76.4 x10-5  74.1 x10-5  70 x10-5  68 x10-5  65.3 x10-5  59.8 x10-5  54.8 x10-5  50.5 x10-5  46.7 x10-5 

0.957 0.914 x10 x10-6   0.875 x10-6  0.837 x10-6  0.801 x10-6  0.768 x10-6  0.745 x10-6  0.705 x10-6  0.685 x10-6  0.658 x10-6  0.604 x10-6  0.554 x10-6  0.512 x10-6  0.475 x10-6 

65 70 75 80 85 90 95 100 150 200 250 300

980.60 977.80 974.80 971.80 968.60 965.30 961.80 958.40 916.90 864.60 799.20 712.40

9615.76 9588.31 9558.89 9529.47 9498.09 9465.73 9431.41 9398.07 8991.12 8478.27 7836.96 6985.79

43.4 x10-5-5  40.4 x10   37.8 x10-5  35.5 x10-5  33.4 x10-5  31.5 x10-5  29.8 x10-5  28.2 x10-5  18.6 x10-5  13.6 x10-5  10.9 x10-5  8.91 x10-5 

0.443 x10-6-6  0.413 x10   0.388 x10-6  0.365 x10-6  0.345 x10-6  0.326 x10-6  0.310 x10-6  0.295 x10-6  0.205 x10-6  0.161 x10-6  0.140 x10-6  0.132 x10-6 

- 125 -

 

 Mecánica de Fluidos

 

PROPIEDADES FÍSICAS DEL AGUA A 1 ATMÓSFERA DE PRESIÓN (Sistema Gravitacional Inglés)

Temperatura Densidad (ºF) (slug/pie3)

Peso específico (lb/pie3)

Viscosidad dinámica   (lb. s/pie2)

Viscosidad cinemática   (pie2/s)

32 40 50 60 70 80 90 100 110 120

1,94 1,94 1,94 1,94 1,93 1,93 1,93 1,93 1,92 1,92

62,4 62,4 62,4 62,4 62,3 62,2 62,1 62,0 61,9 61,7

3,66 x 10-5  3,23 x 10-5  2,72 x 10-5  2,35 x 10-5  2,04 x 10-5  1,77 x 10-5  1,60 x 10-5  1,42 x 10-5  1,26 x 10-5  1,14 x 10-5 

1,89 x 10-5  1,67 x 10-5  1,40 x 10-5  1,21 x 10-5  1,05 x 10-5  9,15 x 10-6  8,29 x 10-6  7,37 x 10-6  6,55 x 10-6  5,94 x 10-6 

130 140 150 160 170 180 190 200 210 212

1,91 1,91 1,90 1,90 1,89 1,88 1,88 1,87 1,86 1,86

61,5 61,4 61,2 61,0 60,8 60,6 60,4 60,1 59,9 59,8

1,05 x 10-5  9,60 x 10-6  8,90 x 10-6  8,30 x 10-6  7,70 x 10-6  7,23 x 10-6  6,80 x 10-6  6,25 x 10-6  5,95 x 10-6  5,89 x 10-6 

5,49 x 10-6  5,03 x 10-6  4,68 x 10-6  4,38 x 10-6  4,07 x 10-6  3,84 x 10-6  3,62 x 10-6  3,35 x 10-6  3,20 x 10-6  3,17 x 10-6 

 Ing. Mario A. García Pérez

 

 

- 126 -

- 127 -

 

 Mecánica de Fluidos

CENTROIDES Y MOMENTO DE INERCIA DE FIGURAS COMUNES

Forma

Área

 2

 

 2

 

BH

  



 

12

Rectángulo

 3

 

2

 

36

 

Triángulo

 3

 

 3

 

 2

 

  36

 

Triángulo

  2

  2

   =    4



4

 



   4

Círculo

2

Medio Círculo

 

3

 

2

 

9  − 64       72

 Ing. Mario A. García Pérez

- 128 -

 

  Forma

Área

4 3

 

4 3

 

 

 

9  − 64       144

4 Cuarto de Círculo

4 3

0

 

 2

 

9  − 64       72

Media Elipse



4   3

  4

9 − 64       144

3ℎ

4ℎ

16ℎ

0

5

3

175

3

3ℎ

2ℎ

8ℎ

5

3

175

4   3

Cuarto de elipse

 

 

Parábola

8

Media Parábola

 

 

 

 

 

- 129 -

 

 Mecánica de Fluidos

Forma

Área

3 4

 

3ℎ

ℎ

10

3

 

37ℎ

 

2100

 

Extracto Parabólico

+1 +2

Extractos de Forma General

 

+1 4 + 2

 

ℎ +1

 

(7  + 4 4 + 1)ℎ  12 12((3 + 1) 1)(2 + 1)

 

 Ing. Mario A. García Pérez

 

 

- 130 -