Separata de Problemas - Serie 3 - 201502

 

3.  Formulación de modelos de programación lineal con más de 2 variables de decisión 53.  P r ogr ogra ama d de e inve i nverr sione si oness - Inversiones S.A. es una empresa que maneja capitales de inversión y carteras de acciones de diversos clientes. Un cliente nuevo acaba de solicitarle que compre acciones por un valor máximo de US$ 80 000. El cliente cl iente desea, como estrategia inicial de inversión, restringir la cartera a una combinación de tres tipos de acciones cuyas características principales se muestran en la siguiente tabla: Tipo de acción 1.  Arsenal 2.  Chelsea 3.  Liverpool

Precio por acción (US$)

Rendimiento anual estimado por acción (US$)

Inversión máxima posible (US$)

50 30 35

6 4 5

50 000 45 000 30 000

Formule un modelo de programación lineal para el problema de inversión si el cliente desea maximizar el rendimiento anual total. 54.   Sele  Seleccció ción n de m me edios de co com munica unicacci ón  - La Sociedad de Exportadores  patrocina periódicamente  programas educativos. En estos momentos se están elaborando los planes promocionales para los  programas del presente año. Las alternativas de publicidad incluyen anuncios en televisión, radio y  periódicos. A continuación se m muestran uestran las estimaciones de audiencia, los costos y las limitaciones sobre el uso máximo de los medios: Televisión

Medio Radio

Periódico

100 000 2 000 10

18 000 300 20

40 000 600 10

Audiencia por anuncio Costo por anuncio (en nuevos soles) Uso máximo del medio (números de avisos)

Para asegurar una utilización equilibrada de los medios publicitarios, los anuncios por radio no deben exceder el 50% del número total de anuncios que se autoricen. Además, se requiere que el número de avisos en televisión sea cuando menos el 10% del número total de anuncios autorizados. Si el presupuesto disponible para el año es de S/. 20 000, presente un modelo de programación lineal que maximice la audiencia obtenida por los avisos en los medios. 55.  Programación de la producción - Una compañía tiene tres tipos de máquinas, cada una de diferente velocidad y precisión (porcentaje de piezas buenas respecto a la piezas procesadas). Velocidad de fabricación (piezas/hora) Precisión (%) Costo ($/hora) Cantidad de máquinas disponibles

Máquina tipo 1

Máquina tipo 2

Máquina tipo 3

100 99 10 40

75 95 8,75 50

50 100 7,5 100

Cada día (8 horas) deben obtenerse por lo menos 17 500 piezas buenas y cada pieza fallada produce un sobrecosto de $1 a la compañía. Determine el modelo de programación lineal que permita determinar cuántas máquinas de cada tipo deben utilizarse para minimizar el costo. I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

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56.  Programación de la producción - Una empresa fabrica papel y lo distribuye en rollos. La gerencia de  producción debe determinar la mejor forma de realizar el proceso de corte. Los rollos de papel que se  producen tienen un ancho de 100 cm; sin embargo, los clientes demanda rollos de 30 cm, 45 cm y 50 cm de ancho. Por lo tanto, al cortar los rollos de 100 cm se incurre en una pérdida de material que depende de la forma en que se corten los rollos originales. Se tiene un pedido de 800 rollos de 30 cm, 500 de 45 cm y 1000 de 50 cm. Dadas las características de los rollos demandados por los clientes, existen seis alternativas diferentes de cortar un rollo de 100 cm. las cuales se muestran en la siguiente tabla: Alternativa de corte

Rollos obtenidos al cortar uno de 100 cm

1 2 3 4 5 6

Pérdidas

3 rollos de 30 cm 1 rollo de 30 cm y otro de 45 cm 2 rollos de 45 cm 1 rollo de 45 cm y otro de 50 cm 2 rollos de 50 cm 1 rollo de 30 cm y otro de 50 cm

10 cm 25 cm 10 cm 5 cm 0 cm 20 cm

Elabore un modelo de programación lineal que permita asignar rollos de papel a las distintas alternativas de corte, de manera que se satisfaga la demanda y: a.  Minimice la pérdida total del material.  b.  Minimice la cantidad de rollos de 100 cm empleados. 57.  Programación de la producción  - Ferguson Paper Company  produce rollos de papel para uso en sumadoras, calculadoras de escritorio y máquinas registradoras. Los rollos miden 100 metros de largo, se venden en anchos 3,75 centímetros, 6,25 centímetros y 8,75 centímetros. El proceso de producción sólo proporciona rollos de 100 metros en anchos de 25 centímetros. Por consiguiente la empresa debe cortar los rollos a los tamaños deseados del producto final. Las siete alternativas de corte y la cantidad de desperdicios generada por cada una de las alternativas son las siguientes: Alternativa de corte

3,75 centímetros

6,25 centímetros

8,75 centímetros

Desperdicio (cm)

1 2 3 4 5 6 7

6 0 2 0 1 1 4

0 4 0 1 3 2 0

0 0 2 2 0 1 1

2,50 0 0 1,25 2,50 0 1,25

6,25 centímetros 2 000

8,75 centímetros 4 000

Los requerimientos mínimos para los productos son: Ancho del rollo (centímetros) Unidades

3,75 centímetros 1 000

a.  Si la compañía desea minimizar la cantidad de rollos de 25 centímetros que deben manufacturarse,

 presente el respectivo modelo modelo de programación lineal.  b.  Si la compañía desea minimizar el desperdicio generado, presente el respectivo modelo de  programación lineal. I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

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 Seleccció ción n de porta rtafo folio lio de i nve nversió rsi ón - Considere que la empresa  Fondos Mutuos S.A. acaba de obtener 58.   Sele fondos de un cliente por $ 100 000 y está buscando oportunidades de inversión. Con base a las inversiones actuales de  Fondos Mutuos S.A. el analista financiero principal de la empresa recomienda que todas las nuevas inversiones se efectúen en empresas del sector minero, empresas del sector agroindustrial o en bonos del gobierno. Específicamente, el analista ha identificado las siguientes oportunidades de inversión: Inversión 1.  2.  3.  4.  5. 

Minera Atacocha Minera San Vicente Compañía Agroindustrial La Hacienda Agrícola Oxapampa S.A.C. Bonos del gobierno

Tasa de rendimiento anual proyectado (%) 7,3 10,3 6,4 7,5 4,5

La administración de la empresa ha impuesto las siguientes guías de inversión:  Ningún sector (minero o agroindustrial) agroindustrial) debe recibir más de $50 $50 000. La inversión en bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones en empresas del sector agroindustrial.   La inversión en la Minera San Vicente, dado que es de elevado rendimiento pero de alto riesgo, no puede superar el 60% del total de las inversiones en empresas del sector minero.

   

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Desarrolle el modelo de programación lineal que permita maximizar el rendimiento anual proyectado, definiendo las variables como el monto a destinar en cada tipo de inversión. 59.   A  Asigna signacci ón de tiem iemp pos - El gerente de programación del Canal M  desea  desea determinar la mejor forma de asignar el tiempo para la difusión de las noticias en el horario de 11 h a 11:30 h. Específicamente le gustaría determinar el número de minutos de tiempo de difusión dedicado a: noticias locales, noticias internacionales, clima y deportes. La estructura del programa requiere que: A lo largo de los 30 minutos minutos de difusión, se reserven 10 10 minutos para publicidad. La política de difusión de la estación indica que por lo menos 15% del tiempo disponible deberá dedicarse a cobertura de noticias locales.   El tiempo dedicado a noticias locales y internacionales deberá ser por lo menos el 50% del tiempo total de difusión.   El tiempo dedicado al clima deberá ser inferior o igual al tiempo dedicado a deportes.   El tiempo dedicado al segmento de deportes no deberá ser superior al tiempo ti empo dedicado a noticias locales e internacionales.    

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Por lo menos 20% del tiempo disponible deberá dedicarse al segmento del clima.

Los costos de producción por minuto son: S/. 300 para las noticias locales, S/. 200 para las noticias internacionales, S/. 100 para el clima y S/. 100 para los deportes. Formule un modelo de programación lineal que permita determinar la programación usando de manera óptima los l os recursos disponibles. 60.  Venta de pólizas de seguro  - La empresa ESPERANZA S.A. ofrece tres tipos de seguros: Vida, Accidentes y Automóviles, los cuales ofrecen un rendimiento por póliza de S/.10, S/.12, y S/.20 respectivamente. Según estudios realizados se ha determinado que la empresa tiene capacidad de manejar hasta 10,000 pólizas pólizas si fuesen so solamente lamente del tipo contra Accidentes. La experiencia muestra que el esfuerzo para colocar una póliza de accidentes es el doble de la de vida y de cuatro veces la de automóviles. También se determinó colocar por lo lo menos tres seguros de vida por por cada cinco seguros  para autos que se venda. Formule un modelo matemático en PL para determinar llaa combinación de  pólizas que se debería ofrecer para maximizar maximizar el rendimiento total.

I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

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61.  Programación de horarios  - El famoso Res taurante “ La Marmita” tiene un horario de atención al  público las 24 horas del día. Los meseros entran a las 3:00 h., 7:00 h., 11:00 h., 15:00 h., 19:00 h y 23:00 h. y cada uno cubre un turno de 8 horas. La tabla siguiente muestra el número de mínimo de meseros necesarios durante los 6 periodos en los que la administración del restaurante divide el día: Periodo

Horario 03:00 h  – 07:00 h 07:00 h  – 11:00 h 11:00 h  – 15:00 h 15:00 h  – 19:00 h 19:00 h  – 23:00 h 23:00 h  – 03:00 h

1 2 3 4 5 6

Meseros necesarios 3 12 16 9 11 4

Formule el modelo de programación lineal que permita a la administración del restaurante determinar cuántos meseros deberán reportarse al inicio de cada periodo para minimizar el personal total requerido durante un día de operación. 62.  P r oblem oblema a de m mez ezcl clas as  - Un nuevo producto puede ser obtenido mezclando insumos de cuatro  proveedores diferentes. Los análisis han demostrado que para producir el nuevo producto con las cualidades adecuadas mínimas se debe contar con tres elementos básicos que para abreviar designaremos A, B y C. En particular, cada tonelada del producto debe contener por lo menos 5 Kg. del el elemento A, por lo menos 100 Kg. del elemento B y al menos 30 Kg. del elemento C. El insumo de cada uno de los cuatro proveedoresdecontienen los tresbásico elementos básicos, de pero en diferentes  proporciones. La composición, en kilogramos, cada elemento por por tonelada insumo es: Elemento básico A B C

Insumo Proveedor 1

Proveedor 2

Proveedor 3

Proveedor 4

10 90 45

3 150 25

8 75 20

2 175 20

Los costos en dólares por tonelada de insumo de cada uno de los proveedores se muestran en la siguiente tabla: Proveedor 1 Costo de una tonelada ($)

800

Insumo Proveedor 2 Proveedor 3 400

600

Proveedor 4 500

Se pide encontrar el modelo de programación lineal de las proporciones (o cantidades) de insumo de cada proveedor que permita obtener una tonelada del nuevo producto que cumpla los requisitos antes mencionados al menor costo posible. 63.  D i stri buci ució ón de p prr oduct oductos os - Electronic Comunications Comunications fabrica intercomunicadores portátiles. El nuevo  producto de la empresa tiene largo aalcance lcance (50 kilómetros) y es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales. Los canales de distribución utilizados por la empresa son: Distribuidores de equipos marinos, distribuidores de equipos de oficina, cadenas nacionales de tiendas de menudeo y  pedidos por correo. Debido a los diferentes costos de distribución y promocionales, la rentabilidad del producto variará según el canal de distribución. Además el costo de publicidad y el esfuerzo de ventas personales requerido variarán de acuerdo con los canales ca nales de distribución, tal como se muestra:

I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 25 

 

Canal de  distribución 1.  Distribuidores marinos 2.  Distribuidores de oficina 3.  Tiendas nacionales de ventas de menudeo 4.  Pedidos por correo

Utilidad por unidad vendida (dólares)

Costo de publicidad por unidad vendida (dólares)

Esfuerzo de personal por unidad vendida (horas)

90

10

2

84

8

3

70

9

1

60

15

Ninguna

Para el establecimiento de la estrategia de distribución, se conoce que: La empresa ha asignado un presupuesto de publicidad de $5 000 y está disponible de 1 800 horas como máximo para el esfuerzo de ventas.   La administración también ha decidido asignar 600 unidades durante el periodo de producción actual.   Un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas de menudeo requiere que por lo menos se distribuyan 150 unidades a través de este canal de distribución.  

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Para establecer una estrategia de distribución de los radios a los diferentes canales de distribución que maximice la rentabilidad de la producción se pide que presente un modelo de programación lineal del  problema planteado.  

Cooperativa de Empleados Empcuatro leadostipos Unión (CC EU) está  Se leccció ción n dlae asignación porta rtafo folio lio dde e i fondos nve nversio rsi opara ne ness - La 64.  Sele  planeando el próximo año. de LaCrédito CCEU  ofrece  ofrece de(CCEU) préstamos a sus miembros; además, invierte sus excedentes de efectivo en valores sin riesgo para estabilizar sus ingresos. Las diversas asignaciones de fondo fondoss posibles junto con sus respectivas respectivas tasas de interés anuales son las siguientes:

1.  2.  3.  4.  5. 

Asignación posible de fondos 

Tasa de interés anual (%)

Préstamos vehiculares Préstamos hipotecarios Préstamos educativos Préstamos personales (viaje, boda, etc.) Valores libres de riesgos

8 10 11 12 9

La CCEU  dispondrá  dispondrá de un total de fondos de S/.2 000 000 para el próximo año. Las leyes estatales y llas as  políticas de la CCEU  imponen  imponen las siguientes restricciones en la asignación de fondos. Los valores libres de riesgos no pueden exceder el 30% de los fondos totales disponibles. Los  préstamos personales  no pueden exceder el 10% de los fondos invertidos en todos los  préstamos.   Los  préstamos hipotecarios  más  préstamos educativos  no pueden exceder los  préstamos vehiculares.   Los préstamos educativos más los préstamos personales personales no pueden exceder los fondos invertidos en valores libres de riesgos.    

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Formule un modelo de programación lineal con la finalidad de determinar cómo se asignarían los fondos a cada tipo de préstamo o inversión para maximizar el rendimiento anual total. 65.   Sele  Seleccció ción nd de e porta rtafo folio lio de inve inversi rsio one ness  –  –   Inversiones Inversiones S.A.  tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un presupuesto de inversión de $ 1 500 000. En la siguiente tabla t abla se muestra la inversión neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

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Proyecto

1.  2.  3.  4. 

Centros comerciales Aceite de palma Edificios de oficinas Edificios de vivienda

Inversión

Rendimiento neto

Riesgo

550 000 400 000 450 000 500 000

170 000 500 000 100 000 100 000

6 9 4 2

A cada proyecto se le puede asignar fondos a cualquier nivel fraccional menor menor o igual al 100%. La compañía requiere una rendimiento rendimiento mínimo del 25% y desea minimizar el riesgo. S Suponga uponga que el riesgo es aditivo, por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceite de palma al 20% y para oficinas al 50% será (0,2).(9) + (0,5).(4) = 3,8. Elabore el modelo de programación lineal correspondiente. 66.  Programación de la producción  –  –   Manufacturas Manufacturas S.A. fabrica cinco productos diferentes en cualquier combinación. La fabricación de un producto requiere la utilización de cada una de tres máquinas. El tiempo que se emplea en la fabricación de un kilogramo de producto (en minutos) en cada una de las máquinas, se muestra en la siguiente tabla: Máquina 1

Máquina Máquina 2

Máquina 3

A B C

12 7 8

8 9 4

5 10 7

D E

10 7

0 11

3 2

Producto

Además se sabe que: Cada máquina está disponible 120 horas por semana. Los productos A, B, C, D y E son netamente competitivos c ompetitivos y cualquier cantidad fabricada puede venderse a los precios respectivos de $5, $4, $5, $4 y $4 por kilogramo de producto.   Los costos variables de trabajo son $4 por hora de las máquinas 1 y 2, y $3 para la máquina 3.   Los costos de material por cada kilogramo de los productos A y C son de $2 y para los productos B, D y E son de $1 por kilogramo.    

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La empresa desea maximizar la utilidad generada por los productos, para lo cual se pide que elabore el modelo de programación lineal correspondiente. 67.  Plan de producción y compras - Manufacturas S.A. tiene que decidir si produce en sus propios talleres y/o se abastece de terceros t erceros dos productos que identificaremos como A y B. La empresa los puede fabricar o los puede comprar, siendo los costos por kilo, los que se detalla a continuación: A B

Produce

Compra

1 1,7

1,2 1,5

Las tasas de producción de Manufacturas S.A. son de 4 kilogramos y 5 kilogramos por hora para A y B respectivamente.   Los requerimientos mínimos son de 100 kilogramos del producto A y 200 del producto B por semana.   Existen 40 horas semanales de taller disponibles y se calcula que una hora de tiempo ocioso de  

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S.Ade . aproximadamente  producción de taller les cuesta S/. 2,5.  No se puede producir más dea Manufacturas 70 kilogramosS.A. A ni más de 120 kilogramos de B. El abastecimiento de B está limitado a 130 kilogramos. I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1   27    

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Formule un modelo de programación lineal que permita a  Manufacturas S.A. determinar la manera de cumplir los requerimientos de los productos al menor costo.  Seleccció ción n de m me edios d de e co com munica unicacci ón  - Trucks S.A. ha decidido entrar al mercado de vehículos 68.   Sele recreativos con la Impro, una especie de motocicleta con tres llantas extra-grandes.

Dado que se trata de una nueva línea de productos se plantea una campaña de publicidad bastante intensa durante el mes de introducción a la cual se le asignó un presupuesto de $ 72 000 para ejecutarla. Trucks decidió usar la radio durante la mañana, la televisión en la tarde y los periódicos durante toda la campaña. La agencia de publicidad de Trucks S.A.  proporciona los datos relativos al costo de los anuncios en cada uno de los medios y el número de unidades de compra que serán logrados mediante dichos anuncios de acuerdo a la siguiente tabla: Medio de Publicidad 1.  Radio en la mañana 2.  TV en la tarde 3.  Periódicos

Número de unidades de compra alcanzados por anuncio

Costo por anuncio ($)

30 000 60 000 45 000

1 700 2 800 1 200

La efectividad de un anuncio se mide en unidades de exposición en una escala de 0 a 100 para cada anuncio exhibido. También se sabe que la eficacia del anuncio disminuye con el número de exposiciones en un medio durante un tiempo específico. La siguiente tabla muestra el número de exposiciones por anuncio y su variación de acuerdo al medio usado y a la cantidad de avisos utilizados en el mismo medio. Medio de publicidad 1.  Radio en la mañana 2.  TV en la tarde 3.  Periódicos

Primeros 10 anuncios

Todos los anuncios siguientes

60 80 70

40 55 35

Se quiere asegurar que la campaña de publicidad satisfará ciertos criterios que se consideran importantes. En concreto: no deberán aparecer más de 25 anuncios a nuncios en un solo medio; se deberá alcanzar un total de por lo menos 1 800 000 unidades de compra a través de todos los medios y al menos una cuarta parte de los anuncios aparecerán en la TV en la tarde. Obtenga el modelo de programación lineal que permita maximizar el total de unidades de exposición. 69.  Programación de producción  - Manufacturas S.A. fabrica y vende dos productos. Dicha compañía obtiene una ganancia de S/. 12 por cada unidad que vende del producto 1 y de S/. 4 por cada unidad del  producto 2. Los productos pueden ser fabricados en cualquiera de los departamentos A, B o C. Los requerimientos en términos de horas de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se muestran de manera resumida en e n la siguiente tabla: Departamentos

Producto 1

Producto 2

A B C

1 1 2

2 3 3

Los supervisores de estos departamentos han estimado que tendrán las siguientes disponibilidades de horas de trabajo durante el próximo próxi mo mes: 800 horas en el departamento A, 600 horas en el departamento I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 28 

 

B y 2 000 horas en el departamento C. Además, las condiciones particulares del mercado de los  productos indican que todos los productos que se fab fabrique rique serán vendidos. Si la compañía está interesada en maximizar las ganancias y suponiendo que todo lo producido se venderá, desarrolle el modelo de programación lineal correspondiente. 70.  Programación de producción - Diet S.A. es una empresa que produce alimentos dietéticos. En la línea de alimentos deshidratados produce dos tipos de alimentos:  Fit   y Sbelt . Cada tipo de alimento deshidratado se produce mezclando trigo, fruta deshidratada y avena. El precio de venta de 1 kilogramo de Fit  es  es S/. 14 y el precio de venta de 1 kilogramo de Sbelt  es  es S/. 10. En la siguiente tabla se presentan los precios de compra de los insumos (en nuevos soles) programados para el siguiente mes: Insumo

Precio de compra (1 Kg.)

Máxima cantidad disponible (Kg.)

Trigo Fruta deshidratada Avena

6 4 2

10 000 5 000 No tiene límite

En la programación de la producción del próximo mes, Diet  debe  debe tener en cuenta lo siguiente: El producto Fit  debe  debe tener un contenido de por lo menos de 30% de trigo y a lo más de 50% de fruta deshidratada.   El producto Sbelt  debe  debe tener por lo menos 45% de trigo y a lo más 40% de frutas deshidratadas.   La transformación de un kilogramo de insumos en producto  Fit  cuesta  cuesta 1,2 nuevos soles y en el  

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Sbelt  la caso  la realizar transformación cuesta sol . sol. Existedelunproducto compromiso en una entrega de16 nuevo 000 kilogramos del producto Fit . Dada la gran demanda de productos dietéticos, todos los productos elaborados por  Diet   se venden.   En el proceso de transformación de los insumos en producto se produce una merma en el peso de 5%, es decir, por cada kilogramo de insumos se obtiene 0,95 kilogramos kilo gramos de producto.    

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Determine el modelo de programación lineal que maximice las utilidades obtenidas por la producción y venta de los productos Fit  y  y Sbelt . 71.  Programación de producción - Una empresa que produce panetones debe determinar cómo satisfacer la demanda para la época de navidad que que ya se aproxima. Esto puede hacerse trabajando en tiempo normal o en tiempo extra. Si la producción no cubriera la demanda de un un mes se puede vvender ender las unidades del inventario. El costo mensual de mantener un panetón en inventario inventario es un sol. Para el 30 de septiembre se espera tener un inventario de 15 unidades y a fines de diciembre absolutamente nada. MESES Octubre Noviembre Diciembre

CAPACIDAD (unidades) Tiempo Tiempo Normal Extra 100 100 60

20 10 20

COSTO (soles/unidad) Tiempo Tiempo Normal Extra 14 17 17

18 22 22

DEMANDA 60 80 140

Teniendo en cuenta la situación descrita, desarrolle el modelo de programación lineal con la finalidad de determinar el plan óptimo de producción considerando que se desean minimizar los costos ttotales otales de  producción e inventario. 72.  E studi studio od de em mercado ercado -  Sondeos S.A. se especializa en evaluar la reacción del consumidor a productos, servicios y campañas publicitarias nuevas. Un cliente solicitó la asistencia de Sondeos S.A.  para determinar la reacción del consumidor a un producto doméstico recién comercializado. Durante las I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 29 

 

reuniones con los clientes, Sondeos S.A. acordó efectuar entrevistas personales de puerta en puerta, para obtener respuestas en hogares con niños y sin niños. Además, Sondeos S.A aceptó hacer entrevistas durante la mañana y durante la tarde. Específicamente el acuerdo con el cliente exigía que se efectuaran mil entrevistas, bajo los siguientes lineamientos: Entrevistar al menos 400 hogares con niños. Entrevistar al menos 400 hogares sin niños. La cantidad total de hogares entrevistados durante la tarde debe ser al menos igual a la cantidad de hogares entrevistados durante la mañana. realiza rse durante la tarde.   Al menos el 40% de las entrevistas para hogares con niños deben realizarse   Al menos el 60% de las entrevistas para hogares sin niños deben realizarse durante la tarde.      

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Debido a que la entrevista entrevista para hogares con niños requiere tiempo adicional del entrevistador y que además, a los entrevistadores vespertinos se les paga más más que a los matutinos, el costo varía con el tipo de entrevista. Con base a estudios previos, las estimaciones de los costos (en soles) de las entrevistas son mostradas en la siguiente tabla: Entrevista en la mañana  

Entrevista en la tarde

20 18

25 20

Entrevista en hogar con niños  Entrevista en hogar sin niños  

Formule el modelo que permita determinar el plan de entrevistas por tipo de hogar y hora del día y que satisfaga loa requerimientos del contrato con un costo de total de entrevistas mínimo 73.  P r ogr ogram amac acii ón d de e la p prr od oducci ucción ón - Bicycle S.A. S.A. fabrica bicicletas Harris de carrera de 10 velocidades en modelos para hombres y para mujeres. La administración desea elaborar un programa de producción que indique cuántas bicicletas de cada modelo debería producirse mensualmente para los siguientes dos meses.   Los pronósticos de demanda actuales exigen que se entreguen150 modelos para hombres y 125  para mujeres a finales del primer mes y que que se entreguen 200 modelos para hombres y 150 para mujeres a finales del segundo mes.

 

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A continuación se muestran datos adicionales: Modelo 

Costo de producción

Inventario actual

Para hombres Para mujeres

$ 120 $ 90

20 30

La compañía hace un cargo al inventario mensual con una tasa de 2% del costo de producción  basada en los niveles de inventario inventario al final del mes.   A la compañía le gustaría tener al menos 25 unidades de cada modelo en inventario al final de los dos meses.

 

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Formule el modelo de programación lineal que permita establecer el plan de producción que minimice los costos de producción e inventario. 74.  Distribución de transporte  - Goytisolo Motors S.A. tiene un contrato para exportar por lo menos 400 unidades del modelo A y 500 del modelo B. Cada auto del modelo A ocupa ocupa 12 m3  y cada auto del modelo B ocupa 15 m3. 

 

Se dispone de 3 de barcos paray el transporte, los cuales llegarán a puerto destino a principios de enero, mediados febrero finales de marzo, respectivamente.

I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 30 

 

El primer barco sólo puede puede transportar autos del mod modelo elo A a un costo de $450 por auto. El segundo y tercer barco pueden transportar ambos modelos a un costo de $35 y $40 por m 3  respectivamente.   El primer barco sólo puede acomodar 200 autos, mientras que el segundo y tercer barco tienen espacio disponible de 4 500 y 6 000 m3, respectivamente.   El fabricante se ha comprometido en entregar al menos 250 autos del modelo A y 200 del modelo B hasta mediados de febrero.

 

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Formule un modelo de programación linea lineall que permita a Goytisolo cumplir con las entregas al menor costo. 75.  P r ogr ogram amac acii ón d de e pr od oducci ucción ón - Best Products dispone dos máquinas para fabricar tres artículos. En una semana típica, están disponibles 40 horas en cada máquina. La contribución a la ganancia y el tiempo de producción en horas por unidad son las siguientes: Categoría Ganancia / unidad Tiempo / unidad en máquina 1 Tiempo / unidad en máquina 2

Producto 1

Producto 2

Producto 3

$30 0,5 hora 1,0 hora

$50 2,0 horas 1,0 hora

$20 0,75 hora 0,50 horas

Se requiere dos operadores para la máquina 1; por lo tanto, deben programarse 2 horas de labor  por cada hora de la máquina 1. Sólo Sólo se requiere un operador para para la máquina 2.   Se dispone de máximo 100 horas-hombre para asignar a las máquinas para la semana siguiente.

 

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El productoal1 no puede representar más delproducidas. 50% de las unidades producidas y el producto 3 debe representar menos 20% de las unidades

Determine el modelo de programación lineal que permita maximizar la ganancia total. 76.  P r oblem oblema a de me mezclas zclas -  Petroil Petroil S.A. es una empresa petroquímica y produce dos clases de gasolina: regular y de alto octanaje. Ambas gasolinas se producen mezclando dos tipos de petróleo crudo. Aunque ambos tipos de petróleo contienen los dos ingredientes importantes (A y B) requeridos para producir ambas gasolinas, difieren en el porcentaje, al igual que en el costo por galón. El porcentaje de los ingredientes A y B en cada tipo de petróleo crudo y el costo por galón son:

     







Petróleo crudo 

Costo

Ingrediente A

Ingrediente B

1 2

$ 0,10 $ 0,15

20% 50%

60% 30%

Cada galón de gasolina regular debe contener al menos 40% del ingrediente A. Cada galón de gasolina de alto octanaje puede contener cuando mucho 50% del ingrediente B. Las demandas diarias de gasolina regular y de alto octanaje son 800 000 y 500 000 galones, respectivamente.

Formule el modelo de programación lineal que minimice el costo de producción de las gasolinas regular y de alto octanaje. 77.  P r oblem oblema a de m mez ezclas clas  - La  Party Nut Company  tiene disponibles 550 kilogramos de maní, 150 kilogramos de nueces de la India, 90 kilogramos de nueces de Brasil y 70 kilogramos de avellanas. La empresa vende cuatro variedades de mezcla con utilidades por kilogramo mostrados en la siguiente tabla en la que además se muestra los requerimientos de cada mezcla. I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 31 

 

Mezcla

Contenido

1 - Maní

Utilidades (soles / kilogramo)

Sólo maní No más de 50% de maní Cuando menos 15% de nueces de la India Cuando menos 10% de nueces de Brasil Sólo nueces de la India Cuando menos 30% de nueces de la India Cuando menos 20% de nueces de Brasil Cuando menos 30% de avellanas

2 - Party 3 - India 4 - Lujo

5,2 8,0 10,2 10,4

Considerando que la compañía puede vender toda la producción que ponga a la venta, formule el modelo de programación lineal que maximice los ingresos por la venta de las mezclas. 78.  Programación de la producción  - La empresa  Hidro S.A.  elabora dos tipos de bombas: normal y especial. En el proceso de fabricación, las bombas pasan por los departamentos de fundición, maquinado y ensamble. Las bombas de tipo normal se fabrican fundiendo 2 Kg. de bronce o puede subcontratarse esa  parte del proceso a una fund fundición ición que cobra $4 por piez piezaa (el pr precio ecio incluye el fundición y m materia ateria  prima), para después maquinarse maquinarse y ensamblarse en los talleres de de la empresa.   Las bombas del tipo especial pueden fabricarse con 4 Kg. de acero al carbón o con 5 Kg. de  bronce y no hay posibilidades posibilidades inmediatas de subcontratar esa parte parte del proceso.   Para el próximo periodo de producción se dispone de 2 000 Kg. de acero al carbón y de 19 000

 

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Kg.departamento de bronce. Elde acero cuesta estima $ 0,60 el y elbombas bronce $su0,20 el Kg. total de producción en el El fundición enKg. 2 500 capacidad  próximo periodo, ya sean las del tipo normal o las del tipo especial. El costo estimado en este departamento es de $1 por unidad producida.   El departamento de maquinado requiere de 6 minutos por pieza para las bombas tipo normal por  pieza. Para las bombas tipo especiales requiere de 8 minutos si son de acero y de 10 minutos si son de bronce. Se estima en 300 horas el tiempo disponible de maquinado para el siguiente  periodo de producción. El costo de de maquinado es de $0,20 por m minuto. inuto.   El departamento de ensamble si sólo se dedicase a armar bombas especiales podría ensamblar 2000 unidades y si se dedicase a las bombas normales podría ensamblar 4000 unidades, pero en general puede ensamblar cualquier combinación de ambos tipos de bomba de acuerdo a su capacidad. Este departamento no tiene costos variables, debido a que sus empleados trabajan a sueldo fijo, según contrato colectivo y no se utilizan materiales adicionales ni otros servicios. Sus costos fijos son de $ 500 para el próximo periodo.   El precio de venta por unidad de las bombas normales es de $ 10 y el de las bombas especiales

 

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





es de $ 12. Formule el modelo de programación lineal que maximice las utilidades de la empresa por la venta de los productos. 79.  Programación de la producción agrícola - Un empresario agrícola tiene 3 parcelas. El rendimiento agrícola de cada parcela está limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable así como por la cantidad de agua asignada para regadío de la parcela. La Comisión de Aguas es el ente gubernamental encargado de la administración del agua para regadío. Los datos proporcionados por la Comisión al empresario son los siguientes: Parcela

Tierra Cultivable [ha]

Asignación de agua [m3]

1 2 3

400 600 300

600 800 375

I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 32 

 

El empresario ha considerado el cultivo de betarraga, trigo y soya. El Ministerio de Agricultura ha establecido un número máximo de hectáreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las tres parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla: Especie a cultivar

Consumo de Agua [m3 / ha]

Cuota Máxima [ha]

Ganancia Neta [$ / ha]

Betarraga Trigo Soya

3 2 1

600 500 325

400 300 100

El empresario ha decidido que en cada parcela se sembrará la misma fracción de su tierra ti erra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinación de especies en cualquiera de las parcelas. Elabore un modelo de programación lineal que permita determinar det erminar la cantidad de hectáreas que se deben cultivar cada especie en cada parcela, con el objetivo de maximizar la ganancia neta total. 80.  Programación de las compras  -  Manufacturas S.A.  compra dos componentes (C1 y C2) de tres  proveedores distintos (P1, P2 y P3). Los proveedores tienen capacidad limitada y ninguno de ellos  puede cumplir con la totalidad de las necesidades de la empresa. Además, los proveedores cobran  precios distintos por los componentes. componentes. Los precios de los componentes componentes (por unidad) son los siguientes: Proveedor

Componente  C1 C2

P1

P2

$ 12 $ 10

P3

$ 13 $ 11

$ 14 $ 10

Cada proveedor tiene capacidad limitada respecto al total de componentes que puede suministrar. Sin embargo, siempre que se emita pedidos con suficiente adelanto, cada proveedor puede dedicar su capacidad al componente 1, al componente 2 ó a cualquier combinación de ambos, siempre y cuando el total de unidades pedidas quede dentro de su capacidad. La capacidad de los proveedores es: Proveedor Capacidad 

P1 600 u.

P2 1 000 u.

P3 800 u.

Si el plan de producción para el siguiente periodo incluye 1 000 unidades del componente 1 y 800 unidades del componente 2, desarrolle el modelo de programación lineal que determine pedido óptimo de compra de componentes que haría la empresa a sus proveedores. 81.  Plan de producción y compras   –   Company S.A.  comercializa varios productos para negocios e ingeniería y en la actualidad está preparándose para introducir dos calculadoras: una para el mercado de negocios ( Financial   Financial ) y otra para el mercado de ingeniería ( Technician). Cada calculadora tiene tres componentes: una base, un cartucho electrónico y una placa frontal o tapa. La misma base se usa para ambas calculadoras pero los cartuchos y las tapas son diferentes. La empresa puede fabricar todos los componentes o comprarlos a proveedores externos. El costo de cada componente, fabricado o comprado, se muestra a continuación: Costo de componente fabricado en tiempo normal

Costo de componente comprado a proveedores

1.  Base 2.  Cartucho Financial

$ 0,50 $ 3,75

$ 0,60 $ 4,00

3.  Tapa Cartucho Technician 4. Financial 5.  Tapa Technician

$ 0,60 3,30 $ $ 0,75

$ 0,65 3,90 $ $ 0,78

Componente

 

I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 33 

 

Los pronósticos de Company indican que se necesitarán 3 000 calculadoras  Financial  y   y 2 000 calculadoras Technician .   La capacidad de manufactura es limitada. li mitada. La empresa tiene 200 horas de tiempo de manufactura normal y 50 horas de tiempo t iempo extra que pueden programarse para las calculadoras. El tiempo extra implica un sobresueldo con un costo adicional de $9 por hora.

 





La siguiente tabla muestra los tiempos de fabricación (en minutos) por unidad para los componentes: Componente Tiempo de manufactura

Cartucho Financial 3

Base 1

Cartucho Technician 2,5

Tapa Financial 1

Tapa Technician 1,5

Presente el modelo de programación lineal que permita determinar la programación de la producción de manera que se cumpla con los requerimientos al menor costo. 82.  P r oblem oblema a de m mez ezclas clas - Petroil S.A. produce tres tipos de gasolina (gasolina 1, gasolina 2 y gasolina 3). Cada tipo se obtiene a partir de la mezcla de tres tipos de petróleo crudo. (crudo 1, crudo 2 y crudo 3).  Petroil  tiene  tiene una capacidad de compra y almacenamiento diarios de hasta 5 000 barriles de cada tipo de crudo. El precio de venta por por barril de gasolina y el precio precio de compra del barril de de crudo se muestran en la siguiente tabla: Gasolina

Precio por barril ($) 

Crudo

Precio por barril ($) 

1 2 3

70 60 50

1 2 3

45 35 25

Los tres tipos de gasolina difieren en su índice de octano en el contenido de azufre. El crudo mezclado  para producir la gasolina 1 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos de 10 y contener cuando mucho 1% de azufre. La mezcla de crudos para producir la gasolina 2 debe tener un índice de octano promedio de por lo menos 8 y contener cuando mucho 2% de azufre. La gasolina 3 debe tener un índice de octano de por lo menos 6 y máximo 1% de azufre. Los índices de octano y porcentaje de azufre de los tres tipos de crudo se presentan en la siguiente tabla. Crudo

Índice de octano

Contenido de azufre (%) 

1 2 3

12 6 8

0,5 2 3

Cuesta $4 la transformación de un barril de crudo en un barril de gasolina, y la refinería de Petroil  tiene  tiene la capacidad de refinar al día hasta 14 000 barriles de gasolina. La demanda diaria de los tres tipos de gasolina por parte de los clientes de  Petroil   se indica en la siguiente tabla: Gasolina

Demanda diaria (en barriles) 

1 2 3

3 000 2 000 1 000

 Petroil   considera que es una obligación cumplir con esta demanda. Asimismo tiene la opción de

anunciarse para impulsar la demanda de sus productos. Cada dólar que gasta diariamente por anunciar un tipo específico de gasolina, incrementa la demanda por día por este tipo de producto en 10 barriles. Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar las utilidades diarias de Petroil . I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 34 

 

83.  Programación de la producción - Eli Daisy fabrica el medicamento  Rozac a partir de cuatro productos químicos. Hoy deben producir 1000 kilogramos del medicamento. Los tres ingredientes activos de  Rozac son A, B y C. Por peso, por lo menos 8% de  Rozac debe ser A, por lo menos 4% de B y por lo menos 2% de C. El costo por kilogramo de cada producto químico y la cantidad de cada ingrediente activo en un kilogramo de cada producto se proporciona en la siguiente tabla: Producto químico

Costo (soles / kilogramo)

A

B

C

1 2 3 4

8 10 11 14

0,03 0,06 0,10 0,12

0,02 0,04 0,03 0,09

0,01 0,01 0,04 0,04

Se debe utilizar por lo menos 100 kilogramos del producto químico 2. Presente un modelo de programación lineal que determine la forma más barata de producir el lote de hoy de Rozac. 84.  Programación de producción - Chemco S.A. elabora dos productos: 1 y 2. Cada libra de materia prima cuesta 25 soles. Ésta se somete a proceso y rinde 3 onzas del producto 1 y 1 onza del producto 2. Cuesta 1 sol y toma 2 horas de mano de obra procesar cada libra de materia prima.  



Cada onza de producto 1 se puede usar de dos maneras diferentes: se puede vender por 10 soles

la onza odesemano puededesometer a un proceso para elaborar 0,9 onzas de producto 2, lo cual requiere 2 horas obra y cuesta 1 un sol.   Cada onza de producto 2 se puede vender a 20 soles la onza.   La cantidad máxima que se puede vender del producto 1 es 5 000 onzas y del producto 2 es 4 000 onzas.   Se dispone de un máximo de 25 000 horas de mano de obra.







a.  Elabore un diagrama en el que esquemáticamente se muestre el proceso productivo de llos os productos.  b.  Elabore un modelo de programación lineal que permita determinar cómo maximizar las utilidades de Chemco S.A.  85.  Programación de la producción - Chemco  S.A. elabora tres productos: 1, 2 y 3. Cada libra de materia  prima cuesta 25 soles. Ésta se somete a proceso y rinde 3 onzas del produc producto to 1 y 1 onza del produ producto cto 2. Cuesta 1 sol y toma 2 horas de mano de obra procesar cada libra de materia prima. Cada onza de producto 1 se puede usar de tres maneras diferentes:   Se puede vender por 10 soles la onza.   Se puede procesar en 0,9 onza de producto 2, lo cual requiere 2 horas de mano de obra y cuesta 1 sol.   Se puede procesar en 0,8 onza de producto 3, para lo l o cual se requieren 3 horas de mano de obra y cuesta 2 soles. 





Cada onza de producto 2 se puede utilizar de dos maneras distintas:   Se puede vender a 20 soles la onza.   Se puede procesar en 0,7 onza del producto 3, para lo cual se requiere 1 hora de mano de obra y cuesta 6 soles.  

El producto 3 se vende a 30 soles la onza. La cantidad de máxima de onzas de cada producto que se  puede vender se proporciona proporciona en la siguiente tabla: Producto I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

1

2

3  35 

 

Cantidad (onzas)

5 000

5 000

3 000

Se dispone de un máximo de 25 000 horas de mano de obra. a.  Presente un esquema que explique el proceso general de elaboración de los l os productos.  b.  Elabore un PL que determine cómo c ómo Chemco S.A. debe maximizar las utilidades. 86.  P r ogr ogram amac acii ón d de e la p prr od oducci ucción ón - Rylon Corporation fabrica los perfumes Brute y Chanelle. La materia  prima necesaria elaborar1cada de perfumes se compra 3 dólares la libra. Para procesarrinde 1 lb de materia prima,para se necesita h de tipo tiempo de laboratorio. Cada alibra de materia prima procesada 3 oz de perfume Brute regular y 4 oz de perfume Chanelle regular. El Brute regular se vende a 7 dólares la onza y el Chanelle regular a 6 dólares la onza.  Rylon tiene también la opción de procesar aún más  Brute regular y Chanelle regular para obtener Luxury Brute Brute, que se vende a 18 dólares la onza, y Luxury Chanelle, que se vende a 14 dólares la onza. Cada onza de  Brute regular que que se som somete ete a otro proceso requiere 3 horas adicionales de laboratorio, el costo del proceso es de 4 dólares y rinde una onza de  Luxury Brute Brute. Cada onza de Chanelle regular que se somete a otro proceso proceso requiere 2 horas adicionales de laboratorio, el costo del proceso es de 4 dólares y rinde una onza de  Luxury Chanelle Chanelle. Rylon tiene el año 6 000 horas de tiempo de laboratorio disponibles, y puede comprar hasta 4 000 lb de materia prima. a.  Presente un diagrama donde se muestre el proceso para la elaboración de los perfumes.  b.  Plantee un modelo de programación lineal que se pueda aplicar para determinar cómo  Rylon puede maximizar sus utilidades. Suponga que el costo de las horas de laboratorio es un costo fijo. 87.  Programación de la producción  –   Greco S.A.  produce A, B y C y puede vender estos bienes en cantidades ilimitadas a los siguientes precios unitarios: A a 10 dólares-, B a 56 dólares y C a 100 dólares. Producir una unidad de A requiere 1 hora de mano de obra; una unidad de B requiere 2 horas de mano de obra más 2 unidades de A y una unidad de C requiere 3 horas de mano de obra más una unidad de B. Cualquier unidad de A que se utiliza para producir B no se puede vender. De igual igual manera, cualquier unidad de B que se utiliza para producir C no se puede vender. Se dispone de un total de 40 horas de mano de obra. a.  Elabore un esquema mostrando las diferentes etapas eta pas del proceso de producción de los tres productos.  b.  Plantee un modelo de programación programación lineal para maximizar los ingresos de la compañía. 88.  Programación de la producción - Sunco Oil  tiene   tiene tres procesos distintos que se pueden aplicar para elaborar varios tipos de gasolina. En cada proceso se requiere mezclar crudos en el desintegrador catalítico de la compañía. Ejecutar el proceso 1 durante una hora cuesta 5 dólares y se requiere 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de crudo 2. El producto luego de ejecutar el proceso 1 por 2 horas es 2 barriles de gasolina 1 y un barril de gasolina 2. Efectuar el proceso 2 durante una hora cuesta 4 dólares y requiere 1 barril de crudo 1 y 3 barriles de crudo 2. El resultado de correr el proceso 2 por una hora es 3 barriles de gasolina 2. Ejecutar el proceso 3 durante una hora cuesta 1 dólar y se requieren 2 barriles de crudo 2 y 3 barriles de gasolina 2. EL resultado del proceso 3 luego de una hora es 2 barriles de gasolina 3. Todas las semanas se podrían comprar 200 barriles de crudo 1 a 2 dólares el barril y 300 barriles de crudo 2 dólares el barril. Toda la gasolina producida se podría vender a los precios siguientes por barril: gasolina 1 a 9 dólares; gasolina 2 a 10 dólares y gasolina 3 a 24 dólares. a.  Elabore un diagrama que muestre el proceso de producción de la situación planteada.  b.  Plantee un modelo de programación lineal cuya solución maximice los ingresos menos los costos. Suponga que sólo se dispone cada semana de 100 horas de tiempo en el desintegrador catalítico. 89.  Programación de la producción - Drugs elabora dos fármacos. Los fármacos se producen mediante la mezcla de dos productos químicos: 1 y 2. Tomando en cuenta el peso, el fármaco 1 debe contener por I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 36 

 

lo menos 65% del producto químico 1, y el fármaco 2 debe contener por lo menos 55% del producto químico 1. El fármaco 1 se vende a 6 dólares la onza, y el fármaco 2 se vende a 4 dólares la onza. Hay dos procesos distintos para elaborar los productos químicos 1 y 2. Si se ejecuta el proceso 1 por una hora se requieren 3 onzas de materia prima y 2 horas de mano de obra calificada y rinde 3 onzas de cada  producto químico. En cambio, si si se ejecuta el proceso 2 durante 1 hora hora se requerirá 2 onzas de materia  prima y 3 horas de m mano ano de obra calificada y rinde 3 onz onzas as del producto químico 1 y 1 onza del producto químico 2. Hay disponible un total de 120 horas de mano de obra calificada y 100 onzas de materia  prima. a.  Elabore un diagrama que muestre el proceso de producción.  b.  Plantee un modelo de programación lineal que pueda ser utilizado para maximizar los ingresos de Daisy por las ventas. strr i bución d de e ca carr ga - Un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro. La capacidad 90.  D i st de cada bodega aparece en la siguiente tabla: BODEGA

Capacidad en Peso

Capacidad en Volumen

Proa Centro Popa

2000 Ton 3000 Ton 1500 Ton

100000 m³ 135000 m³ 30000 m³

Se han ofrecido para transportar los siguientes cargamentos. Los diseños del barco permiten cargar el total o una porción cualquiera de cada artículo: Artículo

Cantidad (Ton)

Volumen por Tonelada

Ganancia por Tonelada ($/Ton)

A B C

6000 4000 2000

60 50 25

6 8 5

Para preservar el equilibrio del barco, el peso en cada bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas. Formule un modelo de programación lineal que permita conocer la distribución óptima de la carga para obtener m máximas áximas gganancias. anancias. 91.  Programación de la producción - Todo el acero producido por Simesa debe cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5% de carbono, 1.8 a 2.5% de silicio; 0.9 a 1.2% de níquel; resistencia a la tracción de por lo menos 45000 lb/pulg². Simesa produce acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleación vienen dadas por: Costo por tonelada (dólares) Porcentaje de Silicio Porcentaje de Níquel Porcentaje de carbono Resistencia a la tensión

Aleación 1

Aleación 2

190 2% 1% 3% 42000 lb/pulg²

200 2.5% 1.5% 4% 50000 lb/pulg²

Supóngase que se puede determinar la resistencia a la tracción de una mezcla promediando las resistencias de las aleaciones que se mezclan. Formu Formule le un modelo de programación lineal para determinar cómo minimizar los costos de producción de una tonelada de acero. 92.  Programación de la producción - Una fábrica de tomates en conservas debe planificar la producción y venta de tomates en latas para la próxima campaña. A estas fechas de temporada, ya se tiene una idea  precisa de la producción y costos que los tomates ttendrán endrán en la próxima cosecha durante el verano. I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 37  

 

Según las estimaciones de los técnicos con largos años de experiencia, la cosecha y el precio de la  próxima campaña de los agricultores que generalmente negocian con la fábrica son los siguientes, en función de la calidad o grado del tomate: Grado

Toneladas ofertadas

Precio de venta (soles/kilo) 

A B C D

2 000 4 000 6 000 1 0000

0,40 0,30 0,25 0,10

Por otra parte, el Departamento de Ventas ha estimado que la capacidad de ventas de la red comercial de la fábrica es la siguiente, de acuerdo con los tipos de tomate que se ofrecen y conforme a los precios que se consideran recomendables: Tipo

Toneladas

Precio de venta (soles/kilo) 

Enteros Salsa Puré

Infinita 3 000 2 000

0,80 0,55 0,20

Antes de elaborar el plan de producción se obtienen los siguientes datos del departamento de calidad y  producción:  producc ión: Calidad de los tomates en el origen Grado

Nivel ofertado

A B C D

9 6 5 2

Calidad de los tomates en el destino Nivel mínimo Tipo requerido Enteros Salsa Puré

7 5 2

El departamento de calidad nos explica que el grado A corresponde a los mejores tomates, a los que se les da una puntuación de 9, mientras que el grado D son los peores tomates a los que se les da una puntuación de 2. Las latas de tomates enteros deben tener un grado mínimo de 7 y las de salsa de 5, mientras que las latas de puré de tomates suficiente con que contengan un grado mínimo de 2. Todos los tipos de tomate se envasan en latas que contienen un kilogramo de tomates y dado los modernísimos sistemas de producción, no se tienen pérdidas de ningún tipo al tratar y envasar los l os tomates. Además, se estima que el costo de añadir los conservantes y especias, envasar y embalar los diferentes tipos de tomates tiene un costo de 0,08 soles por kilogramo para los tomates enteros, de 0,05 soles por kilogramo para la salsa de tomate y de 0,03 soles por kilogramo para el puré de tomate. Elabore un modelo de programación lineal para la producción de conservas de tomate que maximice la utilidad. Defina con propiedad las variables que utilizará así como una referencia para cada una de las restricciones. 93.  Programación de la producción - Carpintería Don Jorge S.A. fabrica gabinetes para cocina que se venden a distribuidores locales en todo el país. La empresa tiene un fuerte atraso en los pedidos de cedro  y caoba y ha decidido contratar a tres pequeños fabricantes de gabinetes para hacer la operación de acabado final. Para los tres pequeños fabricantes de gabinetes, se muestran las horas requeridas para completar todos los de cedro, las horas requeridas para completar todos los de caoba, las horas disponibles para la operación de acabado final y el costo por hora para ejecutar el trabajo. Fabricante 1 de gabinetes I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

Fabricante 2 de gabinetes

Fabricante 3 de gabinetes  38 

 

Horas requeridas para completar todos los gabinetes de cedro  Horas requeridas para completar todos los gabinetes de caoba  Horas disponibles Costo por hora

50

42

30

60

48

35

40 $36

30 $42

35 $55

Por ejemplo, el fabricante 1 de gabinetes estima que le tomará 50 horas completar todos los gabinetes de cedro y 60 horas todos los caoba. Sin embargo, el fabricante 1 de gabinetes sólo dispone de 40 horas  para la operación de acabado final. Por tanto, el fabricante 1 de ggabinetes abinetes sólo puede completar 40/50 = 0,80 u 80% de los gabinetes de cedro si trabajara únicamente en ellos. Del mismo modo, el fabricante 1 de gabinetes sólo puede completar 40/60 = 0,67 ó 67% de los gabinetes de caoba si únicamente trabajara en ellos. Formule el modelo de programación lineal que permita minimizar el costo total de la operación de acabado final, tomando como variables: a.  Los porcentajes de los gabinetes de cedro y de caoba que deberían asignarse a cada uno de los tres fabricantes.  b.  Las cantidades de horas asignadas para gabinetes de cedro y de caoba que deberían asignarse a cada uno de los tres fabricantes. 94.  Programación de la producción  - Chandler Oil Company cuenta con 5 000 barriles de crudo 1 y 10 000 barriles de crudo 2 a un costo por barril de 10 y 8 soles respectivamente. La compañía vende dos  productos: y aceite acada ceitecrudo combustibles. Ambos combinando el de crudo cr udo 1 y el crudo 2. Lagasolina calidad de es como sigue: el productos crudo 1 es se de elaboran calidad 10; el crudo 2 es calidad 5. La gasolina debe tener una calidad promedio de por lo menos 8 y el aceite combustible una calidad de  por lo menos 6. La demanda de los combustibles ddebe ebe ser creada por la publicidad. Cada so soll gastado en anunciar a la gasolina crea 5 barriles de demanda, y cada sol gastado en anunciar el aceite combustible origina 10 barriles de demanda. La gasolina se vende a 25 soles por barril y el aceite combustible a 20 soles el barril. Es necesario la utilización un mezclador para combinar apropiadamente los crudos y obtener los combustibles. El uso del mezclador cuesta 0,4 soles por barril de combustible obtenido. En la combinación de crudos para la obtención de gasolina hay una merma del 5%; para la obtención de aceite combustible, la merma es del 8%. Suponga que nnoo se puede adquirir más crudo. Formu Formule le un modelo de programación lineal para ayudar a Chandler  a   a maximizar las utilidades por la venta de los combustibles, definiendo adecuadamente las variables a utilizar en el modelo. 95.  Programación de la producción  - Chemco elabora tres productos químicos: B, C y D. Empieza por comprar el producto químico A a un costo de 6 soles los 100 litros. Por un costo de 3 soles y 3 horas de mano de obra calificada, 100 litros de A se transforman en 40 litros de C y 60 litros de B. El producto C se puede vender o someterse a otro proceso. Cuesta 1 sol y requiere 1 hora de mano de obra calificada  procesar 100 litros de C para obtener 60 litros de D y 40 litros de B. Los precios de venta por cada 100 litros y la cantidad máxima (en cientos de litros) que se pueden vender de cada producto se dan en la siguiente tabla: Precio (soles) Demanda máxima

B

C

D

12 30

16 60

26 40

Se dispone de máximo 200 horas de mano de obra calificada. Plantee un modelo de programación lineal con el que Chemco maximice su utilidad, definiendo apropiadamente las variables del modelo.  

96.

Programación de laindica producción  - Unde fabricante tiene cuatro depara producción: A, B,órdenes C y D. La tabla que se incluye el número horas-hombre que seórdenes requieren fabricar estas en

cada uno de los tres talleres (X, Y, Z) de la industria. I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

 39 

 

Es posible dividir una orden entre varios talleres, por ejemplo, parte de la orden A puede ser procesada en X, parte en Y, y parte en Z. Así mismo, cualquier taller puede ejecutar fracciones de varias órdenes. Taller X Y Z

A

Horas-Hombre necesarias B C

71 39 46

298 147 155

133 61 57

D

Costo por Horas-Hombre

Hora-Hombre Disponibles

144 126 121

89 81 84

320 160 160

Si el fabricante desea minimizar los costos de producción, presente un modelo de programación lineal adecuado, definiendo explícitamente las variables a emplear.  97.  Programación de la producción - Un gerente de producción está planeando la programación de tres  productos en cuatro máquinas. Cada producto se puede manufacturar en e n cada una de las máquinas. A continuación se resumen los costos de producción por unidad (en soles) PRODUCTO  1 2 3

MÁQUINA 1

2

3

4

4 6 12

4 7 10

5 5 8

7 6 11

A continuación se resume el tiempo tie mpo (en horas) requerido para producir cada unidad de producto en cada una de las máquinas. PRODUCTO 1 2 3

MÁQUINA 1

2

3

4

0.30 0.20 0.80

0.25 0.30 0.60

0.20 0.20 0.60

0.20 0.25 0.50

Suponga que se requieren 4 000, 5 000 y 3 000 unidades de los productos 1, 2 y 3, y que las horasmáquina disponibles son 1 500, 1 200, 1 500 y 2 000, respectivamente para las máquinas 1, 2, 3 y 4. Formule el modelo que que permita establecer el el plan óptimo de producción. 98.  Programación de la producción - Una compañía fabrica tres productos, tal como se muestra en el siguiente diagrama: Producto A (ventas) Materia prima 1

Proceso A

Producto A (insumo)

Producto B (ventas) Materia prima 1 Materia prima 2

Proceso B

Producto B (insumo) Materia prima 1 Materia prima 2

Proceso C

Producto C (ventas)

Materia prima 3

Los productos A, B ydeCprocesos y son hechos concomo materias primasCada 1, 2 unidad y 3. Los procesos también2 requieren de lassonsalidas proceso s previos entrada. proces procesada ada enB By C requiere I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

40 

 

unidades del producto A, y cada unidad del producto C requiere 1.2 unidades de producto B. Información adicional acerca de los productos y las materias primas se muestran en las siguientes tablas: Producto Ingreso unitario (soles por unidad de producto)  Demanda máxima

A

B

C

100

350

500

100

150

200

Materia prima Costo unitario (soles por unidad de recurso)  Disponible

1

2

3

50

20

40

230

150

190

Los ingresos unitarios aplican solamente a las unidades vendidas, y no para unidades utilizadas en otros  procesos.   Cada unidad procesada en A requiere 1 unidad de materia prima 1.   Cada unidad procesada en B requiere 2 unidades de producto A, 1 unidad adicional de materia  prima 1 y 0.6 unidades de materia materia prima 2.   Cada unidad procesada en C requiere 1.2 unidades de producto B, 0.3 unidades adicionales de materia prima 1, 0.2 unidades adicionales de materia prima 2 y 1 unidad de materia prima 3. 





Si el objetivo es maximizar las ganancias, formule un modelo matemático lineal adecuado a esta situación. 99.  Programación de la producción - Se hace un pedido a una fábrica de papel, de 800 bobinas de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 bobinas de 45 pulgadas de ancho y 1000 bobinas de 56  pulgadas. La fábrica de papel tiene bobinas de 108 pulgadas de ancho las cuales deben ser cortadas apropiadamente de acuerdo al pedido. Definiendo apropiadamente laspar variables, formule el modelo  programación lineal que determine cómo deberán cortarse las bobinas para a suministrar el pedido con de el: a.  Mínimo de cortes.  b.  Mínimo de desperdicios.

Revisión bibliográfica: HILLIER, Frederik S.y LIEBERMAN Gerald   - Investigación de operaciones. operaciones. México D. F. McGraw-Hill. Novena edición. Capítulo 3  – Introducción a la programación lineal  – páginas de 21 a 80.

MATHUR, K. y SOLOW, D.  Investigación de operaciones, el arte de la toma de decisiones. México D. F. Prentice-Hall Hispanoamericana. Hispanoam Primera edición. Capítulo 3 - Aplicaciones Aplicacione s deericana. programación programaci ón lineal  – páginas de 62 a 117

EPPEN G. D.; GOULD F. J. y otros. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa. México D. F. Prentice-Hall Prentice-Hall Hispanoamericana. Quinta edición. Capítulo 3  – Optimización lineal  – páginas de 65 a 127.

WINSTON, Wayne  - Investigación de operaciones. operaciones. México D. F. International Thompson Edito Editores res S.A. Cuarta edición. Capítulo 3  – Introducción a la programación lineal  – páginas de 49 a 127.

ANDERSON, David; SWEENEY, Dennis y WILLIAMS, Thomas  –  – Métodos cuantitativos para los negocios. México México D. F. International Thompson Editores S.A. Novena edición. Capítulo 9 – Aplicaciones de la programación lineal  – páginas de 338 a 416.

I nve nvestig stigac acii ón Ope Operr at atii va 1 

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