Separata de Probabilidades

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

INDICE -Pág.INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... .....1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO................................................................................3 PERMUTACIONES................................................................................................. .................. ....5 Definición de STIRLING Permutación con Sustitución Permutación con Repetición Permutación Circular COMBINACIONES.................................................................................................................... ......8 Definición Combinación con Repetición PROBABILIDADES.................................................................................................................... ....11 Definiciones Axiomas Propiedades Eventos Mutuamente Excluyentes Probabilidad Condicional Teoría de la Multiplicación Eventos Independientes Teorema de Bayes PROBLEMAS RESUELTOS y PROPUESTOS.............................................................................22

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

INTRODUCCIÓN

Jacob Bernoulli (1654 - 1705), Abraham de Moivre (1667 - 1754), el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761) y Joseph Lagrange (1736 - 1813) desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, marqués de Laplace (1749 - 1827), unificó todas estas primeras ideas y compiló la primera teoría general de la probabilidad. La teoría de la probabilidad fue aplicada con éxito en las mesas de juego y, lo que es más importante, en problemas sociales y económicos. La industria de seguros requería un conocimiento preciso acerca de los riesgos de pérdida. Muchos centros de aprendizaje estudiaron la probabilidad como una herramienta para el entendimiento de los fenómenos sociales. Nuestra necesidad de tratar con total incertidumbre nos lleva a estudiar y utilizar la teoría de la probabilidad. Al organizar la información y considerarla de manera sistemática, seremos capaces de reconocer nuestras suposiciones, comunicar nuestro razonamiento a otras personas y tomar una decisión más sólida. Finalmente, la preparación del siguiente material de estudio es siempre un trabajo en equipo y esperamos contribuir con el mejor aprendizaje de nuestros estudiantes.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

“Si un evento E1 puede realizarse de n1 maneras diferentes y otro evento E 2 puede realizarse de n2 maneras; entonces, el número de maneras en que estos eventos pueden realizarse, en el orden indicado es el producto n1 x n2”. Ejemplo (1) ¿Cuántas cartillas de dupletas diferentes simples se pueden confeccionar, si es la 1ra. y en la 2da carrera intervienen 10 caballos? Solución Sean los eventos : E1 = (corren 10 caballos en la 1ra. carrera ) E2 = (corren 10 caballos en la 2da. carrera )

1

X

1

E1

=

100

E2

En la 1ra. carrera, puede ganar cualquiera de los 10 caballos que intervienen; asimismo, en la 2da. Por lo tanto, se podrán confeccionar 100 cartillas simples diferentes. Ejemplo (2) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar? (se supone diferentes ) a) Las cifras pueden repetirse. b) Las cifras no pueden repetirse. Solución a) Con repetición En el primer casillero (centenas) : se pueden ubicar cualquiera de los dígitos (menos cero); esto es de 9 maneras. En el segundo casillero, si se pueden ubicar de 10 maneras (incluido el cero). Asimismo el tercero

9 centena 1º

1

=

1

decena 2º

900

unidad 3º

Por lo tanto, pueden formarse 900 números diferentes de tres cifras. b) Sin repetición En el primer casillero, pueden ubicarse 9 dígitos (igual que el ejemplo 1-a). En el segundo casillero: Como los dígitos no pueden repetirse y se ha ubicado uno de ellos en el primero. Entonces quedarían 8 dígitos; pero el cero si puede ir en el segundo (formando números, como por ejemplo: 106, 508, 901, 706, etc.). Y en el tercer casillero: Quedaría cualquiera de los 8 dígitos restantes:

9

9

8

1º

2º

3º

=

648

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

Entonces, se pueden formar 648 números de 3 cifras. Ejemplo (3) En el ejemplo anterior. ¿cuántas son: a) pares? b) Múltiplos de 5? Solución Sin repetición a) Un número es par, si su ultima cifra es par ó cero. Se recomienda, realizar el cálculo en forma separada, siempre en cuando se trate de números pares y se incluye el cero. Terminan en cifra par: 2, 4, 6, 8 En este caso, comenzamos en el casillero Nº.3 y pueden colocarse de 4 formas (cualesquiera de los dígitos pares)

4 1º 2º 3º Para el 1er casillero: Se ha colocado un dígito en el 3er. casillero, entonces quedarían 8 dígitos (el cero no va en el 1er. casillero).

8

8

4

1º

2º

3º

=

256

Termina en cero: En el 3er. casillero, puede ir solamente el cero, entonces, puede ir de una sola manera. En el primer casillero se puede colocar cualquiera de los 9 dígitos y en el 2do. casillero, podrán colocarse cualquiera de los 8 dígitos restantes. Total de números pares: - terminan en cero : 72 - terminan en cifra par : 256 328 a) Múltiplos de 5 :

8

8

1

9

8

1

= =

64 72 136

terminan en cinco terminan en cero

Con repetición a) Números pares : 450 b) Números múltiplos de 5 : 180 Comprobar estos resultados. Ejemplo (4) En una playa de estacionamiento quedan 10 espacios libres. Si en ese momento llegan 4 autos. ¿De cuántas maneras pueden estacionarse?

1 0

9

8

7

=

5,040

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

1er.

2do. auto

3er.

auto

4to. auto

auto

PERMUTACIONES Son arreglos diferentes que pueden ordenarse un conjunto de elementos en un orden definido. Ejemplo (1) Consideremos los números 4, 5, 6, 7. a) b) c)

4567, 5674, 6547 son permutaciones de los 4 números, tomados todos a la vez. 456, 547, 567, son permutaciones de los 4 números, tomados de 3 en 3. 45, 56, 74, son permutaciones de los 4 números, tomados de 2 en 2.

Ejemplo (2) Determinar el número de permutaciones de los 4 números del ejemplo 1. a)

Tomados de 4 en 4 4

3

2

1

=

24

En la primera posición pueden colocarse cualquiera de los 4 números. En la segunda, cualquiera de los 3 restantes, . . . b)

Tomados de 3 en 3 4

c)

3

=

24

Tomados de 2 en 2 4

d)

3

=

12

Tomados de 1 en 1 4

=

Definición :

n

4 El número de permutaciones de “n” elementos, tomados de “r en r” se denotará por nPr y es igual a :

n-1 1

r

2

n-2 2

n-3 3

.....

n-r +2 4

n–r +1 .....

r–1

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

n n

Pr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) . . . (n – r + 2) (n – r + 1) Pr = n (n – 1) (n – 2) . . . (n – r + 1) . (n – r)! (n – r)!

P =

n! (n – r) !

n r

r

≤ 0!

n =

1

Definición: Factorial de n ó n factorial (n!) es el producto de enteros consecutivos desde 1 hasta n. n! = 1 x 2 x 3 x 4 x . . . x (n – 2) (n – 1) n n! = n (n – 1) (n – 2) . . . 4 x 3 x 2 x 1 Ejemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 20 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6 x 5! = 720 7! = 8 x 7 x 6! = 56 x 720 = 40,320 APROXIMACIÓN DE STIRILING A n! Cuando “n” es un valor muy grande, se utiliza la aproximación de Stirling n! =

2 . π . n (n n e −n )

Ejemplo : Calcular 35! 35! =

2 π x 35 (35 35 e −n )

35! = 1.031 x 10 40

Ejemplo (1) Cuántas permutaciones de 5 letras se pueden formar con A, B, C, D, Y E? n=5 r=5 5P5 = 5! = 120 Ejemplo (2) En una final de 100 metros planos intervienen 6 atletas. De cuántas formas pueden llegar a la meta (descartar la posibilidad de que lleguen 2 ó mas atletas en la misma posición) n=6 r=6 6P6 = 6! = 720 PERMUTACIÓN CON SUSTITUCIÓN

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

El número de permutaciones con sustitución de “n” elementos tomados de “r” (orden r) será : n

Pr = n r

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN El número de permutaciones de “n elementos, de tal manera que: n 1 son iguales, n2 son iguales,....,nk son iguales, y n = n1 + n2 + .....+ nk n

P n1 n2 n3 .... nk = n! n1! n2! n3! ..nk!

.

Ejemplo (1) ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con las letras de la CABAÑA y de cuántas maneras, si las “aes” deben estar juntas? A= 3 C=1 B=1 Ñ=1 P =

6! 3! 1! 1! 1!

palabra

= 120

Si las 3 “aes” deben estar juntas: A

A 1

A

C

B

Ñ

2

3

4

P = 4! = 24

Ejemplo (2) Hallar el número de permutaciones de los siguientes signos : +-+-+-+ (+)= 4 (-) = 3 p = 7! = 35 4! 3! PERMUTACIÓN CIRCULAR El número de permutaciones circulares de n elementos, tomados todos a la vez, es igual: P = ( n - 1 )! Ejemplo (1) ¿De cuántas maneras se pueden acomodar 4 personas en una reunión en un fila de 4 sillas. P = 4! = 24 alrededor de una mesa redonda P = ( 4 –1)! = 3! = 6 7

C3=

7! 3!

= 35 4!

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

Ejemplo (2) Pedro es una de las 7 personas (ejemplo 1). ¿Cuántos comités conformar? 7-1

Definición:

podrá

 7 − 1  6   =   = 15  3 − 1  2 

C 3-1 = 

El número total de combinaciones de “n” elementos tomados de “1 en 1”, “2 en 2” ... “ n en n”. a) C = n C 1 + n C 2 + .... + n-1 C n + n C n C=

n 1

+

n 2

+ ......

n n-1

+

n n

b) C = 2n -1 Ejemplo

¿De cuántas maneras se pueden repartir 6 cartas en grupos, que contengan 1 carta por lo menos? a) C = ( por lo menos 1)

=

( 1 ó más)

 6  6  6  6  6  6

C =   +   +   +   +   +    1  2   3   4   5   6  C =

6

+

15

+ 20

+ 15 +

6 + 1 = 63

C = 26 - 1 = 64 –1 =63 COMBINACIONES Es una selección de un conjunto de “n” elementos tomados de “r en r” sin tener en cuenta el orden de los elementos, convirtiéndose en un subconjunto de n.

Ejemplo (1) Las combinaciones que se pueden formar con las letras A, B, C, D, son: a) de 4 en 4 : ABCD b) de 3 en 3 :

ABC, ABD, ACD, BCD

c) de 2 en 2 :

AB, AC, AD, BC, BD, CD

d) de 1 en 1 :

A, B, C, D

Ejemplo (2) Del ejemplo anterior comparar la permutaciones y las combinaciones. A B C D .... n = 4 r=2 4

P2 = 12

4

C 2 = 6 (ver ejemplo 1-c)

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

Combinación AB

Permutaciones AB BA

AC

AC

CA

AD

AD

DA

BC

BC

CB

BD

BD

DB

CD

CD

DC

Combinaciones

: NO le interesa el orden.

Permutaciones

: SI le interesa el orden.

Cada combinación tiene 2! Permutaciones. 2!

4

C2

=

4

P2

4

n

Cr =

C2

=

P2 2!

4

=

4! x 1 2! 2!

n! ( n – r )! r!

Ejemplo (1) ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar con 7? n=7

r=4

Sólo interesa que estén 4 personas, no interesa el orden,

por lo tanto se trata de

combinaciones: a) Con sustitución b) Sin sustitución

8

8

P 3 = 83 =

P 3 = 8! 5!

=

512 336

COMBINACIÓN CON REPETICIÓN = CR CR

=

(n-1 + r)! (n-1)! r!

Ejemplo Hallar el número de combinaciones con repetición de las letras A, B, C, D y E. Tomados de 2 en 2 5

C R2 =

( 5 -1 +2 )! 2! (5 –1)!

n=5 = 15

r=2

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

Tomados de 3 en 3 5

C R2 =

( 5 -1 +3 )! 3! (5 –1)!

AA AB AC AD BB BC BD CC CD DD

= 35

AAA BBB CC DD EEE C D AAB AAC AAD AAE BBA BBC BBD BBE CCA CCB CCD CCE DDA DDB DDC DDE EEA EEB EEC EED ABC ABD ABE ACD ACE Algunas propiedades ADE BCD BDE DCE CDE n 

 n 

 



 1.   =  r n −r n  n 



AE BE CE DE EE

combinación complementaria  n + 1

 =   2.   +   r   r + 1  r + 1

3.

de las combinaciones:

ó

 n   n   n + 1   +   =    r − 1  r   r 

r  m  n  m + n  =   ∑   k = 0  k  r − k   n 

4.

n  n    =   = n  1   n − 1

5.

n   n   = 1  

6.

n   0   = 1  

PROBABILIDADES Experimento Aleatorio Es una operación cuyo resultado no puede predecirse con certeza; pero sí, se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Ejemplo: E1 : Lanzar un dado y observar el número de puntos que aparece en la cara superior. E2 : Lanzar 2 monedas y observar el número de caras E3 :Extraer un artículo de un lote que contiene artículos buenos y defectuosos.

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

E4: Sacar una muestra de 10 artículos de la producción diaria y determinar el número de artículos defectuosos. ESPACIO MUESTRAL: (S, Ω) Es la reunión o conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Ejemplo: Para los experimentos anteriores, se tiene: S1: {(1, 2, 3, 4, 5, 6)} S2: {(CC, SS, SC, CS)}

S3 : {(B, D)} S4: {( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)}

SUCESOS O EVENTOS En un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: A1: {resultado sea par} = (2, 4, 6) A2: {por lo menos una cara } = (CS, SC, CC) A3: {artículo defectuoso} = (D) A4: {obtener como máximo 2 artículos defectuosos} = (0, 1, 2) PROBABILIDAD Definición.- Si un evento puede ocurrir de "N" maneras mutuamente exclusivas e igualmente probables (posibles) y si "n" de ellas tienen una característica "E", entonces la probabilidad de ocurrencia de E, es:

p (E) =

n N

Hay una relación natural entre Teoría de Probabilidades y Teoría de Conjuntos. Podemos observar por ejemplo: Espacio Muestral con Conjunto Universal y Evento con subconjunto. Entonces, se puede dar la definición utilizando estos términos: La probabilidad de ocurrencia del evento A es igual al número de muestras posibles que puede suceder A sobre el número de elementos del espacio muestral. p(A)

=

n( A ) n(S )

Ejemplo (1)

Se lanza un dado. Hallar la probabilidad de obtener a) un resultado par; b) un número de puntos de 4 ó menos.

Solución

El espacio muestral será: S : (1, 2, 3, 4, 5, 6)

n (S) = 6

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

a) A1 : (resultado sea par) = (2, 4, 6) n(A1) = 3 b) A2 : (4 ó menos) = (1, 2, 3, 4) n(A2) = 4

∴p(A1) = 3/6 ∴p(A2) = 4/6

Ejemplo (2) Se lanzan 2 dados. Calcular la probabilidad de: a) Obtener una suma igual a 5 b) Obtener una suma menor de 6 c) Que el puntaje del 1er dado sea igual al 2do. d) Que el segundo dado sea 3. Solución

El número de elementos del espacio muestral, se puede calcular utilizando el principio fundamental del conteo. n(S) =

6

6

= 36

1er dado

2do dado

Pero; es necesario describir el espacio muestral para facilitar los cálculos

Segundo dado

6

•

1,6

2,6

3,6

4,6

5,6

6,6

5

•

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

4

•

1,4

2,4

3,4

4,4

5,4

6,4

3

•

1,3

2,3

3,3

4,3

5,3

6,3

2

•

1,2

2,2

3,2

4,2

5,2

6,2

1

•

1,1

2,1

3,1

4,1

5,1

6,1

•

•

•

•

1

2

5

6

• • Primer dado 3

4

A1: {(suma sea 5)} : {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A1) = 4 y p(A1) = 4/36 A2: {(suma menor de 6)} n(A2) = 10 y p(A2) = 10/36 A3: {(segundo sea 3)} : n(A4) = 6 y p(A4) = 6/36 A4: {(puntaje 1er. dado igual al puntaje del 2do)} n(A3) = 6 y p(A3) = 6/36

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

Ejemplo (3) Se tienen los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9, y se forman números de 4 cifras, sin repetición. Se selecciona un número al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número par?. Solución El espacio muestral (S) será el total de números de 4 cifras (sin repetición). n(S) = 9 9 8 7 = 4,536 A: {número par} A1: {termina en cifra par} A2: {termina en cero} Entonces: n(A) = n(A1) + n(A2) n(A) = 2,296 n (A1) = 9 8 7 1 = 504 n (A2) = 8 8 7 4 = 1,792 p(A) =

n( A ) 2,296 = n(S ) 4,536

AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1. Axioma de positividad (No negatividad) O ≤ p(A) ≤ 1

S

2. Axioma de Certeza p(S) = 1

E1

3. Axioma de uniones

E2

i)

K Ei = S i=1 k

ii)

= E1 U E2 U E3 U ... U Ek Ei = O

i=1

= E1 ∩ E2 ∩ E3 ∩ ... ∩ Ek

k p(

Ei ) = i=1

k

∑ p(E i )

i =1

E3

... ...

E5 E4

... Ek

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

De los 3 axiomas se deducen las siguientes propiedades: 1.

"La probabilidad del conjunto nulo o vacío es igual a cero". p(Ø) = 0

Se sabe que: A U Ø = A p(A U Ø) = p(A)

p(A) + p(Ø) = p(A)

∴p(Ø) = 0

2. "La probabilidad del complemento de A, es igual a uno menos la probabilidad del evento A" −

p( A ) = 1 - p(A)

S

−

AU A =S −

−

p(A) + p( A ) = p(S) .... A y A son disjuntos

A

−

p( A ) = p(S) - p(A)

−

A

−

p( A ) = 1 - p(A) 3.

Si A y B son 2 sucesos, entonces: p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A

A

B)

A A∩ B

=

A-B

B +

A∩ B

Se puede observar que A-B y B son disjuntos p(A-B) + p(B) = p(A U B) p(AUB) = [p(A) - p(A∩B)] + p(B) ∴p(AUB) = p(A) + p(B) - (AB) 4. 5.

AB = A ∩ B

Sean los eventos A,B y C p(AUBUC) = p(A) + p(B) + p(C) - p(AB) - p(BC) - p(AC) + p(ABC) A B Sean los eventos:

Ing. Luis Manrique Ing. Nancy Ochoa ESTADISTICA Ing. Enrique Bendezú PROBABILIDADES

A1, A2, A3, ... An p(A1 U A2 U A3 U ... U Ak) =

C n

= 6.

∑ p(Ai ∩ Aj) +

i < j =2

n

∑

i < j