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ARITMETICA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA

TEORIA DE CONJUNTOS 1. NOCION DE CONJUNTO Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre  por ejemplo:  llaves,      =    =

  

 

 =

2. DETERMINACION DE CONJUNTOS A) Por extensión: Un conjunto esta determinado por extensión cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida: A = {1,2,3,4}

Ej.:

B = {1,4,9,16, 25,36} C = {a, e, i, o, u}

Esta denotado por (B ⊂ A) . Se lee: B esta incluido en A B esta contenido en A B es subconjunto de A Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sea: B = {3, 4, 5} 1

A

3 6

4

5

B

2

Luego (B ⊂ A) Pero ( A ⊄ B) Observación: Ø Todo conjunto esta incluido en si mismo. Ø Todo conjunto es subconjunto de si mismo Ø El conjunto vacío esta incluido en todo conjunto Ø Sea n(A) el número de elementos del conjunto A, entonces: Número de subconjuntos

nº subconjutos de A = 2 n( A ) Número de subconjuntos propios

B) Por comprensión: Un conjunto esta determinado por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o característica común. Ej.: De los ejemplos anteriores A = { x / x ∈ N ∧ x ≤ 4}

nº subconjutos propios de A = 2 n( A ) − 1 B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden.

A=B⇔ A⊂ B ∧ B⊂ A

B = { x 2 / x ∈ N ∧ x ≤ 6} C = { x / x es una vocal}

OJO: No todo conjunto de puede expresar por comprensión y extensión a la vez.

C) Conjuntos diferentes: Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos por lo menos tiene un elemento que no posee el otro.

A≠B⇔ A⊄B∨B⊄A

En general:

D) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son comparables sólo cuando uno de ellos esta incluido en el otro.

forma del Caracteristicas Conjunto =   (propiedades)  elemento 3. RELACION DE PERTENENCIA: Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte ∈) a dicho de el. Además se dice que pertenece (∈ conjunto, en caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a dicho conjunto.

OJO: La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de conjunto.

A⊂ B ∨ B⊂ A.

E) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común. F) Conjuntos equivalentes: Dos conjunto son equivalentes cuando tienen la misma cantidad de elementos. A B ⇔ n( A) = n(B)

4. RELACION ENTRE CONJUNTOS A) INCLUSION: Se dice que B está incluido en el conjunto A, si todos los elementos de B pertenecen al conjunto A.

Lic. F. Alberto Quispe Ayala

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5. CLASES DE CONJUNTOS:

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A) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primero hasta el último. B) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos es ilimitado. 6. CONJUNTOS ESPECIALES:

A) Unión ( AUB ): La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.

AUB = { x / x ∈ A ∨ x ∈ B}

A) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto B) Conjunto Unitario: También llamado Singleton, es aquel que tiene un solo elemento. C) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que contiene todos los demás conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto. D) Conjunto Potencia o conjunto de partes: Conjunto formado por todos los subconjunto que es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es potencia del conjunto A. A = {a, b, c} entonces los Ej.: Sea subconjuntos de A son:

{a}, {b}, {c}, {a;b}, {a; c}, {b; c}, {a;b; c}, ∅ OJO: ∅ ) es subconjunto El conjunto vació (∅ subconjunto de todo conjunto

Propiedades:


AUB = BUA
A ⊂ ( AUB)
B ⊂ ( AUB)
AUA = A
AU∅ = A B) Intersección: ( A I B) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos). Simbólicamente se define:

A I B = { x / x ∈ A ∧ x ∈ B}

Entonces P(A)= { {a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c};{a;b;c};∅} Luego el número de elementos del conjunto potencia de A es:

n[P(A)] =# subconjuntos de A = 2n(A) 7. CONJUNTOS DE NÚMEROS: Veamos el siguiente grafico:

Propiedades:


A I B = B I A
A I B ⊂ A
A I B ⊂ B
( A I B) ⊂ ( A U B) A I A = A PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: DISTRIBUTIVAS:


A U (B I C) = ( A U B) I ( A U C)
A I (B U C) = ( A I B) U ( A I C) DE ABSORCION:

Donde: C=Conjunto de los números complejos C= R=Conjunto de los números reales R= Q=Conjunto de los números racionales Q= Z=Conjunto de los números enteros Z= N=Conjunto de los números naturales N=


A I ( A U B) = A
A U ( A I B) = A
A U ( A'I B) = AUB
A I ( A'U B) = A I B

8. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

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C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B. Simbólicamente se define:

A − B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B} PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS: LEYES DE D´MORGAN


( A U B)' = A'I B'
( A I B)' = A'U B' Propiedades:

NUMERO DE ELEMENTOS


A − B ≠ B − A
( A − B) ⊂ A


El cardinal de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto:

n(∅ ) = 0 n( A ∪ B) = n( A ) + n(B) − n( A ∩ B) n( A ∪ B ∪ C) = n( A) + n(B) + n(C) −


( A − B) ⊄ B
( A − B) U ( A I B) = A D) Diferencia Simétrica: ( A∆B ): La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Simbólicamente se define:

A∆B = { x / x ∈ ( A U B) ∧ x ∉ ( A I B)}

n( A ∩ B) − n( A ∩ C) − n(B ∩ C) + n( A ∩ B ∩ C) 9. PAR ORDENADO: Es un conjunto que tiene dos elementos (no necesariamente diferentes), en la cual interesa el orden de estos, llamados también componentes. Se denota (a;b) 10. PRODUCTO CARTESIANO: Dados dos conjuntos A y B diferentes del vacío, se denomina producto cartesiano de A y B (AxB), en ese orden, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a;b) tal que las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. Simbólicamente se define:

Propiedades:


A∆B = B∆A
( A∆B) ⊂ ( A U B)

AxB = {(a; b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}


Si A I B = ∅ ⇒ A∆B = A U B

n(AxB)=n(A).n(B)


A∆A = ∅
A∆∅ = A C

E) Complemento de un conjunto (A’),( A ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A. Simbólicamente se define:

AC = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}

NUMERACIÓN es la parte de la aritmética cuyo objetivo consiste en expresar y escribir los números. Es decir que es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad. 1. PRINCIPIOS

Propiedades:

Ø DEL ORDEN: Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.


A U A' = U
A I A' = ∅
( A' )' = A
(∅ )' = U ∧ (U)' = ∅ Lic. F. Alberto Quispe Ayala

SISTEMA DE NUMERACION NUMERACION

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Ø 1a 1a

= n + xa O

1a

(n) 14243 x veces

Ø DE LA BASE: Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior. del numeral

abcd(n) donde “n” es la base

Ø DE LAS CIFRAS: Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleados o utilizados.

abcd(n) a