Separata 2 Electricidad y Magnetismo

Separata 2 Electricidad y magnetismo Docente: Christian Rivera Ascona

Problemas Resueltos 1. Dos esferas conductoras geom´etricamente etricamente id´enticas enticas separadas sepa radas 0,1m se atraen con una fuerza electrost´ electrost´ atica de 2,7N. Un alambre conductor se colcoa sobre las esferas. Pasado atica un tiempo se retira el alambre. alambre. Despu´es es de este proceso se observa que las esferas se cargan positivamente por lo que se repelen con 0,9N. Cu´ales ales fueron las cargas iniciales de las esferas? Soluci´ on: on:

Al inicio. inicio. La fuerza fuerza el´ el´ectrica ectrica entre entre las cargas cargas se puede puede obtener obtener de la ecuaci´ ecuaci´ on de Coulomb Cou lomb,, as´ as´ı tenemo ten emoss |q 1 ||q  ||q 2| F 1  = k  =  k = 2, 7N r2 donde |q 1 | y |q 2 |  es el valor absoluto de las cargas iniciales de las esferas conductoras. Reemplazando k  = 9 × 10  × 109 Nm2 /C2 y por dato r  = 0, 1m obtenemos |q 1||q  ||q 2 |  = 3 × 10  × 10−10C2 . Al inicio las esferas se atraen, esto muestra que las esferas tienen cargas diferentes, por lo que podemos considerar que |q 1 |  = q   =  q 1 y |q 2|  = −  =  −q  q 2 , entonces q 1q 2 =  −3  − 3 × 10  × 10−10C2 .

(1)

Al conectar las esferas con el alambre se produce un intercambio de electrones que acaba cuando la distribuci´ o n de cargas en las esferas son iguales, y como indica el on problema, estas cargas son positivas, q  positivas,  q . As´ı, ı, despu´es es de retirar retir ar el alambre la fuerza fuerz a de Coulomb entre las esferas ser´ a q 2 F 2 =  k 2 = 0, 9N r Substituyendo valores obtenemos q  =  = 10−5C Por la consevaci´on on de la carga sabemos que q  que q 1 − q   −  q 2 = 2q . Por lo que q 1 − q   −  q 2  = 2 × 10  × 10−5 C. De (1) y (2) obtenemos que q 1  = 3 × 10  × 10−5 C y q 2  = −  =  −10 10−5C.

1

(2)

Figura 1

2. Un capacitor esf[erico tiene entre los conductores un aislante de constante diel´ectrica κ. Demostrar que la capacitancia de este conductor es C  = κC 0, donde C 0   es la capacitancia de un capacitor esf´erico en el vac´ıo. Soluci´ on:

Usemos la ley de Gauss para calcular el campo el´ ectrico entre los conductores   q  E  · A = ε

   

donde ε = κε 0 . De la ecuaci´on de Gauss obtenemos q  E  = . 4πεr 2 Ahora calculemos la diferencai de potencial entre las superficies de los conductores. b

V a − V b =

q  E  · r  = 4πε

    a

b

  a

1 q  dr = r2 4πε

 b − a  ba

.

Con esto calculemos la capacitancia C  =

q  4πεba 4πε 0 ba = = κ = κC 0 . V a − V b b − a b − a

3. Un capacitor de placas paralelas de a´rea A separados una distancia d se colocan dos diel´ectricos de constantes κ1 y κ2  de dos diferentes formas como se muestra en la figura. Calcular la capacitancia en ambos casos.

Figura 2

Soluci´ on:

En el caso (a), se puede considerar como si tubi´eramos dos capacitores en paralelo, entonces podemos obtener la capacitancia como C  = C 1 + C 2  =

κ1ε0 (A/2)  κ 2 ε0 (A/2) (κ1 + κ2 )ε0A + = . d d 2d 2

En el caso (b) podemos considerar el caso de dos capacitores en serie, entonces obtendremos la capacitancia como 1 1 1 = + = C  C 1 C 2 entonces

1 κ1 ε0 A

+

1 κ1 ε0 A

a

b

κ1 κ2 ε0 A . κ2 a + κ1 b

C  =

4. Un alambre conductor de longitus L y secci´on transversal circular de radio r tiene una resistencia R0 . Qu´e ocurre con la resistencia si: a ) Se se duplica la longitud del alambre. b ) Se disminuye el radio a la mitad. c ) Se duplica L y r Soluci´ on:

La resistencia del conductor es ρL  , A = πr2 A

R0 =

Ahra vemos que sucede cuando se aplican los cambios. a )

R = . b)

R =

ρ2L ρL =2 = 2R0 A A

ρ2L r

2

 π

=4

2

. c )

R =

 ρL = 4R0 πr 2

ρ2L 1 ρL R0 = = π(2r)2 2 πr 2 2

5. Se tiene un cilindro conductor hueco de radio interno a   y externo b, longitud L y resistividad ρ. Se establece una diferencia de potencial entre las superficies interna y externa del cilindro, produciendo de esta manera una corriente el´ectrica radial. Calcule la resistencia del conductor. Soluci´ on:

Tomemos una superficie cil´ındrica que tenga una superficie circular de radio r (a < r < b) y longitud L. El diferencial de resistencia de esta superficie cil´ındrica es dR =

ρdr ρdr = A 2πrL

Para obtener la resistencia total integramos ρ R = 2πL

b

  1 a

3

r

dr =

ρ  b  ln . 2πL a

Figura 3

6. Dos cilindros conductores de diferente resistividad ρ1 y ρ2  y longitud L, pero con la misma ´area transversal A se unen para formar un solo alambre conductor. Si se aplica una diferencia de potencial entre los extremos libres. Calcular la resistencia total del alambre.

Figura 4

Soluci´ on:

Sea V 1 y V 2  las diferencias de potencial entre los conductores 1 y 2. Entonces V  = V 1 + V 2 = I R1 + IR2  = I (R1 + R2 ). Entonces podemos obtener la resistencia total como R = R 1 + R2 =

ρ1 L1 ρ2 L2 + . A A

7. Reducir el siguiente circuito de resistores.

Figura 5

Soluci´ on:

4

Problemas propuestos 1. Calcular el la carga, la corriente el´ectrica y el voltaje en el capacitor 10 segundos despu´es de cerrar el switch. Considerar que el capacitor est´ a inicialmente descargado.

figii1.png

2. En el circuito mostrado en la figura calcular la intensidad de la corrientes el´ectricas que pasas por las resistencias.

3. Calcular las intensidades de las corrientes I 1 , I 2 e I 3  en el circuito. 4. En el circuito RC mostrado en la figura calcular la expresi´ on del voltaje y la corriente el´ ectrica en el capacitor durante el proceso de carga. Considerar que el capacitor esta descargado al inicio. 5. Calcular la energ´ıa potencial el´ectrico generado por tres cargas q 1 = 4µC ubicada en (0, 0)cm, q 2  = 2µC ubicada en (2, 0)cm y q 3  = 1µC ubicada en (0, 2)cm. 6. Se tiene una capacitor de placas paralelas que tienen un a´rea de 10cm2 y que est´an separadas 1mm. Al capacitor se le aplica una diferencia de potencial de 20V. Calcular la capacitancia, la carga en el capacitor y el campo el´ ectrico entre las placas. 7. Un capacitor esf´erico tiene un radio interno de 5cm y un radio externo de 10cm. Cu´ al tiene que ser la diferencia de potencial en el capacitor para obtener una carga de 2µC. 8. Un capacitor formado por dos placas rectangulares de largo a  y ancho b   forman un determinado a´ngulo como se muestra en la figura. La separaci´ on entre un extremo es 5

c y en el otro extremo es 2c. Demostrar que la capacitancia de este capacitor es C  =

0 ln(2)ab c

9. Reducir el siguiente sistema de capacitores si C  = 1µF. 10. A un capacitor de placas paralelas de a´reas A = 0, 1m2 y que est´an separadas una distancia d = 0, 01m se le aplica una diferencia de potencial de 90V mediante una bater´ıa. Cuando el capacitor est´ a cargado se retira la bater´ıa. Entonces se le coloca un diel´ectrico de espesor a = 0, 007m y constante diel´ectrica κ = 2, 5. ectrico. a ) Calcular la capacitancia antes de colocar el diel´ b ) Obtener la carga entre las placas.

ectrico entre el diel´ectrico y las placas conductoras. c ) Calcular el campo el´ d ) Calcular el campo el´ectrico dentro del diel´ectrico.

es de colocar el diel´ectrico. e ) Obtener la diferencia de potencial despu´  f  ) Determinar la capacitancia al colocar el diel´ectrico.

11. En la figura se muestra una esfera maciza de radio a que est´ a hecha de un material diel´ectrico de constante diel´ectrica κ y que tiene una distribuci´on de carga volum´etrica homog´enea ρ. Demostrar que el campo el´ ectrico dentro y fuera de la esfera es E  = 6

ρr ,r a. 3ε0 r 2

12. La resistencia el´ectrica de un cilindro conductor de longitud L y secci´on transversal S  var´ıa con la longitud del conductor de forma lineal. Considerar que la resistividad en uno de los extremos del conductor es ρ0  y en el otro ρ1 . Calcular la resistencia total del conductor. 13. Un capacitor esf´ erico de radio interno a y exterior b tiene entre los conductores dos cancarones esf´ericos diel´ectricos de constantes κ1 y κ2 , como se muestra en la figura. Demostrar que la capacitancia de este capacitor es −1

C 

 1 1

1 1 = 4πε 0 κ1

1 −  + a c κ2

 1 1  c

−

b

.

14. Dos conductores de forma de medio cascar´ on esf´erico de conductividad σ1  y σ 2  se unen para formar una esfera. Demostrar que la resistencia de la esfera es R =

b − a . 2π(σ1 + σ2 )ba

15. Dos conductores esf´ericos de conductividades σ1 y σ2, son colocados como se muestra en la figura. Demostrar que la resitencia total del sistema es 1 R = 4π

 c − a

b − c + σ1 ac σ2bc

7



.

8